Μ αθη ματικά για την Α ' Λυκείου
τμήματα, συνεπώς είναι ίσα, άρα το τρίγωνο ΑΖΕ Επομένως ισοσκελές. ορθογώνιο είναι ΑΕΖ = ΕΖΑ = 45" . Το τετράπλευρο ΑΕΡΖ είναι εγγράψιμο γιατί Α+ Ρ 9 0" + 90" 1 80° άρα ω = ΑΡΕ = ΑΖΕ 45° Λ
Λ
Λ
=
Λ
Λ
=
=
Λ
Λ
Λ
Γ ι = Ζ ι . Αλλά
άρα είναι εγγράψιμο, επομένως Λ
= Α ( θεώρημα χορδής και εφαπτομένης) επομένως Ζ ι Α ( 1 ) Γι
Λ
Λ
=
Λ
Λ
Στο τετράπλευρο ΑΕΗΖ είναι Ε+ Ζ 90" + 90" = 1 80", άρα είναι εγγράψιμο, οπότε ΕΗ Ζ+ Α = 1 80° και λόγω της ( I ) έχουμε Λ
Λ
Λ
Λ
ΕΗΖ+ Ζι = 1 80" άρα ΔΖ // ΕΗ. Όμοια αποδεικνύεται ότι ΔΕ // ΗΖ, επομένως το τετράπλευρο ΕΗΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. = �·· )
β) Είναι ΑΕΖ = Ε.2 45'' ( απ ό το θεώρημα χορδής και εφ α πτομ έγης). συνεπώς το τρίγωνο ΔΡΕ είναι ορθογι;η ·ιο κ αι ισοσκελές, άρα ΡΕ = Ρ Δ. Ισχύει ότι ΓΕ = Γ ..1 ( σ αν εφ απτόμενα τμήματα από το σημείο Γ στο" ίδιο κύκλο), επομένως τα σημεία Ρ κ αι Γ ισαπέι.ου" απ ό τα άκρα του τμήματος ΕΔ, πράγμ α πο υ σημ αίνει ότι η ευθεία ΡΓ είναι μ εσοκάθετο; το υ ευθύγραμμου τμήματος ΕΔ. γ) Επειδ1Ί το τρίγωνο ΔΡΕ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές η ΡΓ ως μεσοκάθετος είναι και διι.οτ ό μος της γωνίας ΕΡΔ άρα ΕΡΓ =45° Λ
=
Λ
iT I
Λ
Λ
Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ,ώστε Β- Γ = 90° . Αν το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει στο σημείο Ε την εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου αυτού στην κορυφή Γ, να συγκριθούν τα ευθύγραμμα τμήματα ΕΑ και ΕΓ. Προφανώς το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο στην κορυφή Β. Έστω Ζ σημείο της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε ΒΖ.lΒΓ.
Λ
Δ ίν εται τρ ίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο. Ο ι ε φ απτό μενες του κύκλου στα ση μ εία Β και Γ τέμνονται στο Η. Από το σημείο Η φέρνουμε ΗΕ .l ΑΒ, ΗΖ .l ΑΓ και ΗΔ .l ΒΓ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΗΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. Λ
Λ
Λ
Παρατηρούμε ότι: ΔΑΒ = ΑΒΖ Γ . Αυτό σημαίνει ότι η ΕΑ είναι εφαπτομένη στον κύκλο (γνωστή πρόταση ), επομένως ΕΑ ΕΓ. (Εφαπτόμενες αγόμενες από το σημείο Γ στον ίδιοι κύκλο). =
Θεωρούμε κυρτή γωνία xOy και σημεία Α, Γ της πλευράς Οχ διαφορετικά της κορυφής Ο με ΟΑ ΟΓ και Β, Δ της Oy διαφορετικά της κορυφής Ο με ΟΔ 08. Έστω Ε το σημείο τομής των ΑΒ και ΓΔ. α) Να αποδειχθεί ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΕΑΓ και ΕΔΒ δεν είναι δυνατό να εφάπτονται. <
Λ
Λ
Στο τετράπλευρο ΔΓΖΗ είναι Δ+Ζ= ιχ1' +'Χ1' 1 80°, =
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 75 τ.3/27
<