Μαθη ματικά για την Β ' Λυ κείου
, ln 5 Για να ορίζεται η ( 1 ) πρέπει και αρκεί 4' > 5 και 4 ' > 2, δηλαδή 4 , > 5 και τελικα χ> -- . Τότε: 2 ln 4 2 2 2 ( l ) <=> log (2 4χ-7) = log( 4χ-5) <=> 2 4'-7 = ( 4χ - 5) <=> 4 χ - 1 2 - 4χ + 32 = Ο 4' = ω 4' = ω <=> } <::::> 4' = 4 ή 4' = 8 <::::> χ = I ή 2 2 ' = 2 3 <=> χ = I ή χ = � . <=> { 2 2 ω ε 4, 8 ω - 1 2ω + 32 = 0
}
ΑΣ Κ Η Σ Η 811
}
2 2 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) χ 4 + (ln m)x3 + (lnm)x - 2χ - 1 ,m > Ο. Αν το Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ + l ,να βρείτε : α) τις τιμές που μπορεί να πάρει το m. β) Αν m,, m 2 αυτές οι δυο τιμές με mι > m2, να λύσετε την aνίσωση ln(mι m2)-ln(m1x)>ln(m2x)-2m1, ΛΥΣ Η
=
χ>Ο
χ
α) Α φο ύ το + Ι είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ( χ) τότε η τιμή χ = -1 είναι ρίζα του. Άρα: Ρ ( - 1 ) = Ο ::::> 1- ln2m + lnm -2 - I = Ο ::::> ln 2 m -lnm -2=0 ::::> (lnm - 2)(1nm + 1 ) = 0 ::::> lnm = 2 ή lnm = -1 ::::> m = e2 ή m = .!_ β) Α φο ύ είναι
e
m > m 2 προκύπτει ότι: m = e2 ,m2 = .!_ . Επομένως η ανίσωση στο ( Ο, +οο ) ισοδύναμα 1
1
e
γράφεται: ln ( m Ι mz ) - Ιη(mΙ χ) > ln(m2 χ) -2m 1 <=> ln e - ln e2 χ > ln .!_ χ - 2e2 <=> e
I - 2 - Inx > lnx - 1- 2e2 <=> lnx < 2e2 <=> Ο < χ < e 2 e2
. \ :: 1-.: Η :: Η ll '
5·2'+1 4' + 1 6
Να λυθεί η εξίσωση
Η εξίσωση ισοδύναμα
<=>
2'
=ω
ωc - 1 0ω + 1 6 = 0
}
=
1 γράφεται: 5 2 ' + = 4' + 16 <=> 1 0·2' = 2 2 + 16 <=> 2 2 χ -l 0 · 2x + 16 = Ο 2' = ω } <=> 2 ' = 2 ή 2' = 8 <=> χ = Ι ή χ=3 <=> ω ε { 2, 8
·
χ
}
\ :::.>: · · � �τ . : , i . \ . \ \ � Η
I.
α-3 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f(x)=( -- ) ' α+2 2 . Ν α προσδιοριστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού χ σε κάθε περίπτωση α) χ = 8 ι - ιοg , ; β) 5 ' ' - s x +9 1 2 5 γ) 3 - 3 2· · · 3 ' = 3 1 0 δ) ( 3 15 / ' -2 =( 5 /3 ) ' -6 (απ: α: χ=8/2 7 , β: χ=2, χ=3 γ: χ=4 δ: χ=2) 3 . Να επιλυθούν οι εξισώσεις α) 3 χ -2 = 8 - 2 ' - 1 β) 2 2 ' + 2 -5 · 2χ +3 = - 2 6 γ) 2 2+χ -2 4 -χ = 1 2 =
4. 5. 6. 7. 8.
9.
ι ο.
δ) 2 ' -5 .JY + 4 = Ο ε) log4 [1og3 (1og2 x)] = Ο (απάντηση α :χ = 2 β : χ= Ι , χ= 3 γ: χ=2 δ: χ=Ο ε: χ=4 ) Να προσδιοριστεί τ ο α ώστε η εξίσωση 2' + α 2 _, - 2 = Ο ν α έχει δυο θετικές λύσεις (απάντηση α < I ) Αν για τους θετικούς και διάφορους της μονάδας αριθμούς α, β, γ ισχύει η σχέση loga β = logβ γ · logy α να δείξετε ότι α = β ή α = ι /β. Ν α βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=log [ log (log (log χ) ) ] (απάντηση Dr = ( 1 00, +οο)) Να λυθούν τα συστή ματα: α)
{ loglog χ -+ loglog Υ == 57 { χ
y
β)
xy = 1 000 ιo χ g y 1 00
(απάντηση α: (= 1 0 6 , y= Ι / 1 0 ), β: (χ = 1 0,
y= I 00 ή χ= 1 00, y= 1 0)) Αν οι θετικοί και διάφοροι της μονάδας αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί : ι /logaχ , ι /log11 ψ, ι /logy χ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου . Έστω η εξίσωση 4 ' - ι -5 · 2 ' + 1 6 = Ο α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες χ 1 , χ 2 (χ ι <χ 2 ) τις οποίες και να βρείτε. β)να βρείτε πόσους όρους πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ των δυο ριζών ώστε όλοι μαζ ί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά Ι / ι Ο (απ: α: χ 1 =2, χ 2 =4, β: 1 9 όρους) , , , . � ι + ημ2χ Ιn(η μχ) + ln(συνχ ) (απαντηση Να λυσετε στο διαστη μα (Ο,π/2) την εξισωση : l n χ = π/4) 2 2 =
=
1 1 . Να λύσετε στο σύνολο (0, � ) την log(ημ2x)+log( συνχ )+ .!. log 3 -log( l +συν2χ) = log( l +συνχ) (απ: χ=π/3 ) 2 2
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71
τ.3/39