Μ α θ η ματικά για την Γ Λ υκε ίου
του Αιγαίου, 40% για τα νησιά του Ιονίου και 5% για την υπόλοιπη Ελλάδα. Επιλέ γουμε τυχαία έναν επιτυχόντα του διαγωνι σμού. Ν α υπολογισθεί η πιθανότητα του εν δεχομένου: «0 επιτυχών να προέρχεται από τα νησιά του Ιονίου». 1\ iJ σi1 :
Λύση :
α. Από κλασικό ορισμό πιθανότητας θα έ1 50 3 χουμε: και Ρ(Α)= = 0,75 200 4 60 3 0,3 . Έστω ότι τα ενδεΡ(Β)= 200 1 0 χόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. Τότε για την πιθανότητα Ρ( Α υ Β) της ένωσης των ενδεχομένων Α, Β θα πάρουμε ότι: Ρ( Α υ Β) =Ρ(Α)+Ρ(Β)= Ο,75+0,3= 1 ,05> 1 . Άτοπο. Άρα τα ενδεχόμενα Α και Β δεν εί ναι ασυμβίβαστα. β. Για το ενδεχόμενο Α γνωρίζουμε ότι Ac Α υ Β . Άρα θα έχουμε: Ρ(Α) � Ρ(Α υ Β) ή 0,75 :-::; Ρ(Α υ Β) ή Ρ( Α υ Β) � 0,75 . Επίσης έχουμε ότι Ρ(Α υ Β) :<;; Ι , οπότε 0,75 :-::; Ρ( Α υ Β) :<;; Ι :::::;, 0,75 � Ρ(Α) + Ρ(Β)- Ρ (Α n Β) � 1 :::::;, -1 � P(A n B ) -P(A)-P( B ) � -0,75 :::::;, Ρ(Α)+Ρ(Β)-1 � Ρ(Α n Β) � Ρ(Α)+Ρ(Β)-0, 7 5 :::::;, τελικά 0,05 :-::; Ρ( Α n Β) :-::; 0,3 . γ. Το ενδεχόμενο Γ είναι το ενδεχόμενο (Α-Β) υ (Β-Α). Άρα Ρ(Γ)=Ρ((Α-Β) υ (Β-Α))= =Ρ(Α)+Ρ(Β)-2Ρ (Α n Β) = = 1 ,05-2P (A n B ) ( 1 ). Από το δεύτερο ερώτημα έχουμε: Ρ (Α n Β) � 0,3 =>-Ρ (Α n Β) 2:: -0,3 =:::;,-2Ρ ( Α n Β ) 2:: -0,6. Έτσι από ( 1 ) θα πάρουμε: Ρ(Γ) � 1 ,05-0,6 :::::;, Ρ (Γ) � 0,45 . Άρα η ελάχιστη τιμή της πι θανότητας του ενδεχομένου Γ είναι ίση με 0,45 . Σχu"»}. ω : Οι πιθανότητες Ρ(Α υ Β) και P(A n Β) δύο ενδεχομένων Α και Β ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω ικανοποιούν πάντοτε τις παρακάτω ανισο τικές σχέσεις: ί) max {Ρ(Α), Ρ(Β)} � Ρ(Α υ Β) � min {Ρ(Α)+ Ρ(Β), 1 } ίί) max{O,P(A)+P(B)-1 } � P(AnB)� min{P(A),P(B)} =
= -
Έστω χ ο αριθμός των υποψηφίων από τα νησιά του Ιονίου. Τότε οι υποψήφιου του Αι γαίου θα είναι 2χ, οι υποψήφιοι της Αθήνας θα είναι 3 (2χ+χ)=9χ και οι υποψήφιοι της υπό λοιπης Ελλάδας θα είναι 20.000-χ-2χ-9χ=20.000-1 2χ. Το πλήθος των επιτυχόντων της Αθήνας θα είναι 40% · 9χ 3,6χ , του Ιονίου θα είναι 40% · χ 0,4χ , του Αιγαίου θα είναι 30% · 2χ 0,6χ και της υπόλοιπης Ελλάδας θα είναι 5%(20.000- 1 2x)= l .000-0,6x. Τότε θα έχουμε: 3 ,6χ+Ο,4χ+Ο,6χ+ 1 .0000,6χ=3 .000:::::;,4 χ=2000:::::;, χ=500. Άρα οι υπο ψήφιοι του Ιονίου είναι 500 και οι επιτυχόντες τους θα είναι σε πλήθος: 40% · 500 200. Έστω Ι το ενδεχόμενο «0 επιτυχών να προέρ χεται από τα νησιά του Ιονίου». Αφού το πλή θος των επιτυχόντων είναι 3.000 και οι επιτυ χόντες από τα νησιά του Ιονίου είναι 200, από κλασικό ορισμό πιθανότητας θα έχουμε ότι 1 200 P ( l)= _. 3 .000 1 5 =
=
=
=
=
Θ f f\/� A 7" :
45%.
Σε ένα δείγμα 200 στρατιωτών από το Κέντρο Εκπαίδευσης Πυροβολικού της Θή βας, 1 50 στρατιώτες δήλωσαν ότι κατάγο νται από την Αθήνα ενώ 60 στρατιώτες δή λωσαν πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης. Επιλέγουμε έναν στρατιώτη και θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: «0 στρατιώτης να κατά γεται από την Αθήνα» και Β: «0 στρατιώ της να είναι πτυχιούχος Ανώτατης Εκπαί δευσης». α. Να δειχθεί ότι τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β. Να δειχθεί ότι Ρ(Α υ Β) ;;::: Ο,75 και 0,05 � Ρ( Α n Β) � 0,3 . γ. Να δείξετε ότι η πιθανότητα του ενδε χομένου Γ: «0 στρατιώτης να κατάγεται μόνο από την Αθήνα ή να είναι μόνο πτυχιούχος Ανώτατης Εκπαίδευσης», αποκλείεται να είναι μικρότερη από
Θ Ε :\� Λ 8" :
=
Από μελέτες που έχουν πραγματοποιηθεί έχει διαπιστωθεί ότι επτά στα δέκα αυτοκί νητα που προσέρχονται για τεχνικό έλεγχο έχουν φθαρμένα ελαστικά. Από τα αυτοκί-
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 67 τ.3/62