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Laurence TISTAERT

2e année

X E H T MA s h t a m s e s ir s s Tout pour réu


s Avant-propo

Professeur de mathématique depuis plus de dix ans, je constate que l’élève ne s’entraîne pas assez par écrit. Il me semble que bien maîtriser les techniques de base est indispensable pour pouvoir résoudre des situations mathématiques plus complexes. C’est avec un entraînement rigoureux que l’élève peut maîtriser ces techniques mathématiques et apprécier davantage cette discipline : il va comprendre l’importance de la rédaction de chaque étape amenant à la solution de l’exercice. MATHEX 2e est un livre d’exercices mathématiques qui a pour but d’aider l’élève dans son apprentissage de la rigueur mathématique, de fournir aux parents une source d’exercices d’entraînement et de compléter le cours de l’enseignant. L’élève peut : • lire les exemples et le rappel théorique pour les matières qui lui posent un problème ou qu’il veut approfondir ; •  choisir des séries d’exercices en fonction de ses difficultés et de la matière qu’il voit ; • apprendre à respecter des consignes et à rédiger des résolutions d’exercices ; • s’entraîner davantage par écrit, en rédigeant les étapes sur une feuille annexe ; • revoir et approfondir certaines notions et techniques mathématiques ; • aller plus loin dans la résolution d’exercices ; • se corriger en allant sur le site http://maths.deboeck.com. Les parents peuvent : • lire et s’aider du rappel théorique et des exemples nécessaires pour accompagner leur(s) enfant(s) dans son (leur) apprentissage des maths ; • choisir des séries d’exercices en fonction du niveau ou des difficultés de leur(s) enfant(s) ; • s’aider du corrigé pour évaluer la progression de leur(s) enfant(s) dans son (leur) apprentissage en allant sur le site http://maths.deboeck.com. L’enseignant peut : • utiliser ce livre comme outil d’exercices pour son cours ; • continuer à utiliser ses propres introductions et sa propre méthodologie ; • compléter le contenu théorique comme il l’entend. Chaque chapitre de MATHEX 2e est composé, d’une part, d’un bref rappel théorique de certaines notions accompagné d’exemples avec une résolution complète, et, d’autre part, d’activités avec une multidude de séries d’exercices. Ces dernières sont proposées par gradation croissante de difficulté, afin que chaque élève puisse appliquer les concepts de façon inductive et progresser à son rythme. À noter que certaines séries dépassent le programme de deuxième année de l’enseignement général et que, par ailleurs, pour éviter toute confusion avec la lettre x, le signe d’opération de la multiplication est remplacé par un point (.). MATHEX 2e, ce sont donc des centaines d’exercices couvrant le programme de la deuxième année de l’enseignement général avec les rappels théoriques indispensables. Tout pour réussir ses maths ! Bon entraînement ! Laurence Tistaert

Avant-propos

III


Sommaire

IV

Chapitre 1

Vocabulaire algébrique����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 1

Chapitre 2

Les entiers������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5

Chapitre 3

Le calcul littéral de base avec les entiers����������������������������������������������������11

Chapitre 4

Le PGCD et le PPCM���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������19

Chapitre 5

Les fractions��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������29

Chapitre 6

Opérations sur les fractions����������������������������������������������������������������������������������������������������49

Chapitre 7

Les puissances�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������71

Chapitre 8

La distributivit������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������91

Chapitre 9

Les produits remarquables�������������������������������������������������������������������������������������������������� 107

Chapitre 10

La mise en évidence���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 119

Chapitre 11

Les équations���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 125

Chapitre 12

Les problèmes avec équations������������������������������������������������������������������������������������� 137

Chapitre 13

Le signe « – » devant des parenthèses������������������������������������������������������� 141

Chapitre 14

Exercices récapitulatifs����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 145

Chapitre 15

Angles et droites remarquables du triangle���������������������������������� 149

Chapitre 16

Projection parallèle. Proportion. Thalès������������������������������������������������� 161

Chapitre 17

Les transformations du plan�������������������������������������������������������������������������������������������� 169

Sommaire


iers t n e s  e L 2 e r t i Chap 1. Rappel a) Tout nombre entier est constitué de deux parties : a) un signe + ou – Ex : – 7

b) une valeur absolue

b) La valeur absolue c’est le nombre sans son signe. | a | = a et | - a | = a c) L’opposé d’un nombre : l’opposé de a est - a  et  - (5) = - 5  et  - (- 5) = 5 d) • 0 est un nombre à la fois positif et négatif ; • est absorbant dans la multiplication ; • est neutre dans addition et soustraction ; • n’est jamais diviseur.

2. Addition et soustraction d’entiers Pour calculer la somme de deux nombres entiers de même signe

Pour calculer la somme de deux nombres entiers de signes différents

on conserve le signe commun

on donne à la somme le signe du terme ayant la plus grande valeur absolue

on additionne les valeurs absolues

on soustrait les valeurs absolues (la plus grande moins la plus petite)

Exemples : (+8) + (+2) = +10 (– 10) + (– 4) = –14

Exemples : (+7) + (–5) = +2 (+13) + (–15) = –2

3. Multiplication et division d’entiers Pour multiplier les entiers, il faut

Pour diviser des entiers, il faut

chercher le signe du produit

chercher le signe du quotient

+.+

+

+ : +

+.–

+ : –

–.–

+

– : –

–.+

– : +

effectuer le produit des valeurs absolues 12 . 3 =

36

12 . (–3) =

–36

– 12 . (–3) =

36

– 12 . 3 =

–36

+ + + – – – – +

+ – + –

effectuer le quotient des valeurs absolues 12 = 3 −12 = 3 −12 = 3 12 = −3

12 : (–3) =

– 4

12 : 3 =

4

– 12 : (–3) =

4

– 12 : 3 =

– 4

Chapitre 2 • Les entiers

5


4. Priorités des opérations avec les entiers Parenthèses Exposants MultiplicationDivision AdditionSoustraction

 

Dans le sens de la lecture

Dans le sens de la lecture

– (5 + 3 . 2) – [2 . [3 + (–5)]] Parenthèses

4 . (–2) + 5 . 3 + 15 : (–5) – (–1)

MultDivision

= – (5 + 6) – [2 . (–2)] = – (11) – (–4) = –11 + 4 = –7

= – 8 + 15 + (–3) – (–1) = –8 +15 – 3 +1 =5

AddiSoustr

Parenthèses AddiSoustr

Activité 1 • Addition et soustraction d’entiers Exercice 1 • Effectue les sommes et les différences d’entiers suivantes. Série 1 

Série 2

Série 3

a) 32 – (–3) = ................................................... a) –125 + 35 = ............................................... a) 450 – 328 = ............................................... b) 17 + (–8) = .................................................. b) –225 – 49 = ............................................... b) –752 – 425 = ............................................ c) 115 – (–32) = ............................................. c) 175 – 38 = ................................................... c) –175 + 392 = ............................................ d) – 8 – 0 = . ....................................................... d) 49 – 107 = .................................................. d) –708 – 151 = ............................................ e) – 0 – 12 = . .................................................... e) 19 – 23 = ...................................................... e) 409 + 510 = ............................................... f) 12 – 12 = ....................................................... f) –56 – 35 = .................................................... f) 130 – 75 = .................................................... g) –12 – 12 = ................................................... g) – 48 – 12 = .................................................. g) – 49 – 267 = . ............................................. h) –5 – (–5) = ................................................... h) –53 + 53 = .................................................. h) 827 – 856 = ............................................... i) (–3) + (–8) = ................................................. i) 168 – 213 = ................................................. i) – 492 – (–225) = ....................................... j) 25 – (– 42) = . ............................................... j) –85 + 120 =.................................................. j) 189 – 179 = ................................................. Série 4 

Série 5

Série 6

a) – 4 + 13 – 20 = ........................................ a) – (–5) – 3 + 2 – 3 = .............................. a) –8 + 3 – 25 = ............................................ b) –7 + (–3) – 9 = ......................................... b) 12 – (–2) + (–7) = .................................. b) –150 – 100 + 25 = .............................. c) 16 – 8 – 10 = ............................................. c) 17 + 5 – (–3) + (–2) = ......................... c) 98 + 12 – 52 = ......................................... d) –13 – (–8) + 5 = ..................................... d) 42 – 5 – (–3) – (–8) = ......................... d) – (–52) + (–48) – 4 = .......................... e) 51 – (–1) – (–2) = ................................... e) –15 – (–15) + 7 = .................................. e) 121 + (–76) – (–34) = ........................ f) –19 – 8 + 27 = .......................................... f) –108 – 12 + 15 = ................................... f) –65 – 32 – 10 = ....................................... g) 25 – 0 + 9 – 11 = .................................. g) – (–17) – 2 – 6 + (–7) = .................... g) 62 – 64 – 26 = ......................................... h) –17 + 3 – 5 = ............................................ h) 144 – 13 + (–8) = .................................. h) –20 – 80 – (–102) = ............................ i) –25 – 3 – 9 – 11 = ................................. i) –59 + 3 – (–5) – 11 = .......................... i) 12 – (–25) + 66 = .................................... j) –12 – 18 – (–12) = ................................. j) –19 – 15 – 7 = ........................................... j) –33 + 43 + (–53) = ................................

6

Chapitre 2 • Les entiers


Exercice 2 • Complète les pointillés. Série 1 

Série 2

Série 3

a) – 8 + ................................................ = 5

a) 12 + ................................................. = 7

a) 75 + .............................................. = 25

b) – 8 – . ......................................... = – 25

b) .............................................. + 15 = 42

b) – 100 + ...................................... = 25

c) 12 + ................................................ = 19

c) .................................................. – 6 = 76

c) 56 – ............................................... = 40

d) 5 – ................................................. = – 8

d) 91 + ............................................. = 80

d) .............................................. + 9 = 208

e) 12 – ................................................ = 15

e) 91 – .............................................. = 80

e) 150 – ........................................ = 100

f) – 7 – ............................................... = – 4

f) –17 + ........................................ = – 30

f) 150 + .................................... = – 100

g) – 7 – . ........................................ = – 13

g) 53 + ............................................. = 23

g) 25 – .............................................. = 60

h) –15 + ...................................... = – 13

h) 72 – .......................................... = – 54

h) – 25 + . ........................................ = 60

i) –15 + ........................................ = – 18

i) ................................................ + 13 = 75

i) ............................................ + 13 = – 30

j) 13 – ................................................... = 6

j) ............................................ – (– 9) = 27

j) ................................................ – 89 = 61

Activité 2 • Multiplication et division d’entiers Exercice 1 • Effectue les produits et les quotients d’entiers suivants. Série 1 

Série 2

Série 3

a) 13 . (–2) = .................................................... a) –17 . 3 = ........................................................ a) –3 . (–5) . 2 = ............................................ b) – 5 . (–2) = . .................................................. b) –15 . (–8) = ................................................. b) 127 . (–8) . 0 = ........................................ c) 12 . (–2) = ..................................................... c) – 3 . (–1) . 0 = ............................................ c) –1 . (–9) . (–9) = ....................................... d) – 7 . (– 4) = ................................................... d) – 8 . (–2) . 9 = ........................................... d) 8 . 7 . (–3) . (–2) = ................................ e) – 8 . (–12) = . ............................................... e) – 7 . (–3) = .................................................... e) 5 . (–6) . (–9) . 5 = ................................. f) – 50 . 2 = ........................................................ f) – 4 . (–2) . (–5) = ...................................... f) 2 . 12 . (–1) . 12 = ................................. g) – 8 . (–25) = ................................................ g) –17 . (–3) . 2 = ......................................... g) 13 . (–13) . 2 = ........................................ h) 75 . (–3) = .................................................... h) 42 . 2 . (–5) = ............................................ h) 5 . 3 . 2 . (– 4) = ...................................... i) 2 . (–56) = ...................................................... i) –3 . (–2) . (–1) . (– 4) = ........................ i) –7 . (–6) . (–1) . (–2) = ......................... j) 4 . (–11) = ...................................................... j) 17 . (–3) . (–2) = ....................................... j) –60 . (– 3) . (–2) = . .................................. Série 4

Série 5 −30 = ............................................................. −10 −75 = ............................................................ b) 25 −42 c) = ............................................................. 3 15 d) = ............................................................... −3 −39 e) = ............................................................ −13 1000 f) = .......................................................... 100 225 g) = ............................................................ −5

Série 6

a) 48 : 6 = ........................................................... a)

a) 45 : (–3) = ....................................................

b) 36 : (–6) = ....................................................

b) – 144 : (–12) = .........................................

c) 50 : (–5) = ..................................................... d) 10 : (– 1) = ................................................... e) –10 : (–10) = .............................................. f) 75 : (–5) = ..................................................... g) 72 : (–9) = ....................................................

c) 225 : 5 : (–1) = ......................................... d) 121 : 11 = .................................................... e) 14 : 2 : (–7) = ............................................ f) –16 : (– 4) = . ................................................ g) –204 : 4 = ....................................................

Chapitre 2 • Les entiers

7


−129 = ......................................................... h) – 30 : (–5) = ................................................ 3 −51 i) = .............................................................. i) 18 : (–3) = ...................................................... −17 169 j) = ................................................................ j) 51 : 3 = ............................................................ 13 Série 8 Série 9

h) – 49 : (–7) = ................................................ h) i) 56 : (–8) = ...................................................... j) –121 : 11 = ................................................... Série 7

a) 17 . (–3) . 4 = ............................................ a) 3 . (–2) : (–3) = ......................................... a) 4 . 2 : (–2) . 5 = ....................................... b) – 5 . 4 . 25 = .............................................. b) 16 : 4 : (– 4) = ........................................... b) – 3 . (–2) : (–1) = ..................................... c) 12 : (–12) . 6 = ......................................... c) 55 : (–11) . 3 = ......................................... c) 17 . 2 : (–17) = ......................................... d) 150 . 2 . (–3) = ........................................ d) 17 . (– 3) . 2 = ........................................... d) – 16 . (– 2) . (–5) : (–8) = .................. e) – 26 . 1 . 5 = . ............................................. e) 66 . 2 : 132 = ............................................ e) 15 : (–3) . 7 . 2 = .................................... f) 400 : (– 4) : 25 = . .................................... −77 = ............................................................... g) 11 48 h) = .................................................................. 16 13 i) = ................................................................. −13 1000 = ............................................................. j) −8

f) – 8 . 7 : (–2) = . ........................................... f) 51 . (–3) . (–2) = ....................................... g) 12 : (– 4) . 3 = ........................................... g) 156 : (–3) . 0 = ........................................ h) 72 : (–9) . (–1) = ..................................... h) 42 . 3 : (–2) = ............................................ i) 54 . 2 : (–2) = .............................................. i) 13 . (–3) . (–1) : (–39) = ..................... j) –36 : (–6) . (–5) = .................................... j) 160 : (–8) : (–2) . (–1) = .....................

Exercice 2 • Complète le tableau suivant. x

y

–3

5

– 4

–7

0

5

6

9

x . y

(–x) . y

– (x . y)

x . (–y)

(–x) . (– y)

Activité 3 • Priorités des opérations avec les entiers Bien respecter les étapes :  1. Parenthèses  2. Exposants  3. MultiplicationDivision 4. AdditionSoustraction

Exercice 1 • Effectue en respectant bien les priorités des opérations. Série 1 

Série 2

Série 3

a) 17 – 3 . 4 = ................................................. a) 5 – 3 + 5 . 6 = .......................................... a) 13 + [5 : (–5)] = ....................................... b) – 5 . 4 + 25 = ............................................ b) 58 – 6 : (–3) = .......................................... b) –25 : 5 + 3 . 13 = ................................. c) 18 : 6 – 1 = .................................................. c) 74 : 2 – 7 = .................................................. c) (69 : 3 + 2) – 24 = ................................. d) 72 : 12 – 6 = ............................................. d) 25 . 2 : (–5) + 1 = ................................. d) 13 + 3 . 5 – 2 . 0 = .............................. e) (17 + 3) . 11 = .......................................... e) 10 . 10 + 7 . 3 = ..................................... e) 49 : 7 – 5 . (–2) = .................................. f) 45 – (5 . 4) = ............................................... f) (45 : 9) – (7 + 3) = ................................. f) 55 . (–1) : 11 – 45 = ............................. g) –18 + (5 . 3) = .......................................... g) 1 + 5 . (–6) . (–3) = .............................. g) (33 . 2) + (55 – 9) = ............................

8

Chapitre 2 • Les entiers


h) 75 – 4 . 10 = ............................................. h) (5 + 9) . 2 = ................................................ h) 6 + 12 : 4 – 8 = ...................................... i) –13 – 2 . 9 = ................................................ i) 8 . 4 . (–1) + 13 – 5 = .......................... i) (36 : 6 + 5) – (3 . 2) = ......................... j) 16 – 4 . 4 = ................................................... j) [5 + (–3)] . 8 = ............................................ j) 55 – 5 . 11 = ............................................... Série 4 

Série 5

a) (7 . 25 – 3) : 4 – 9 = ......................................................................... a) (3 . 2) + [5 . (–3)] = ............................................................................... b) – 12 – 3 . [25 : (–5) – 38 : 19] = ............................................ b) [17 . (–2)] – (5 . 2) = ............................................................................ c) 8 . (37 – 5 . 6) – 14 = ...................................................................... c) (15 : 3) . 2 + 5 – 3 . 2 = .................................................................... d) – 9 + (–15 . 8 – 9) : 3 = ................................................................ d) (17 + 3 – 5) + (3 . 2 – 5 . 3) = . ................................................... e) (15 + 6 . 7) : 3 – (–18) = .............................................................. e) – (–3 + 2) + 5 – (–7) . (–1) = ......................................................... f) 13 + (81 – 12) : 3 = ........................................................................... f) [45 : (–3) + 2] + (5 . 2 – 3) = ......................................................... g) 16 – (3 . 10 : 6) + 5 = .................................................................... g) (13 . 2) . [5 + (–3) . (–2)] = ............................................................. h) –13 – (9 + 16 : 4) + 11 . 11 = . ............................................... h) 144 : 12 . (–3) + 5 . 2 – 17 . 3 = .............................................. i) 12 : (–3) + 5 . [12 : (– 4)] = .......................................................... i) –(13 + 5 . 2) – (4 + 5 . 0) = ............................................................. j) (12 + 3 . 0) – 7 = .................................................................................. j) 13 – (–5) . (–3) + 2 . (–1) – 0 . 5 = ............................................ Série 6

Série 7

a) (–7 + 3 . 5) – 15 + (–6) = ............................................................. a) (8 – 3) . 2 + 15 : 5 = ........................................................................ b) [–(4 . 2) + (12 . 5)] – 6 = .............................................................. b) (16 : 4 : 2) – 45 : (–9) = ................................................................ c) [46 : (–2) – 7] + 150 : (–3) = ..................................................... c) 480 : 8 – (75 : 5) + 12 = ............................................................... d) (12 + 3 – 8) + 77 : 11 = ............................................................... d) (8 + 15 . 2 – 5 : 5) – 81 : (–9) = ............................................ e) 3 . (51 : 3 + 2) – 19 = ..................................................................... e) 121 + 89 – (– 5 . 2 + 9) = ............................................................ f) 8 . 9 + 5 . (–1) = ................................................................................... f) – (13 . 2 + 4) – [(45 : 5 + 1) . 2] = ......................................... g) –[(13 : 13 + 5) – (3 . 5) . 2] = .................................................. g) (7 . 3) + (15 : 5 – 9) – 3 . 0 . 2 = .......................................... h) (12 + 2 : 2 – 5 . 3 – 9 : 3) – 3 . (–1) = ............................. h) – (5 . 0 . 5 . 9) . (3 . 2 . 8 . 1) = .............................................. i) 7 . (–7) + 15 – [13 : (–1)] = .......................................................... i) 12 : (–12) + (–5) : 5 + 8 : (–8) = .............................................. j) 4 + (–9) . (2 + 5 – 3) = ..................................................................... j) 72 : (–9) + 8 . 5 . 2 – (3 + 9) = .................................................

Exercice 2 • Complète avec une des quatre opérations mathématiques. a) (– 4) . .......................................... (–2) = 8 b) (– 4) .......................................... (–2) = –6 c) (–1) . ............................................ (–1) = 1 d) (–1) . ........................................ (–1) = –2 e) (–6) ............................................ (–2) = 3 f) (–6) .......................................... (–2) = – 4 g) (– 4) ............................................... 2 = – 6 h) (– 4) ................................................ 2 = –2 i) (–2) . ................................................. 5 = –7 j) 9 .................................................. (–1) = 10

Chapitre 2 • Les entiers

9


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