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Aplicaciones de Funciones Exponenciales David J. Coronado1 1 Departamento

de Formaci´ on General y Ciencias B´ asicas Universidad Sim´ on Bol´ıvar

Matem´aticas I

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Aplicaciones de Funciones Exponenciales Inter´es Compuesto Crecimiento Poblacional Escala Richter Ley de Enfriamiento

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Inter´es Compuesto

Suponga que se invierten BsF. 100 a una tasa de 5% compuesto, anualmente. Al final del primer a˜ no tenemos 100 + 100(0.05) = 105 Calculando el inter´es para el segundo a˜ no, 105 + (0.05)105 = 110.25 En este caso, llamaremos a la diferencia entre el monto final menos el monto invertido como el inter´es compuesto. logo

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Inter´ es Compuesto Crecimiento Poblacional Escala Richter Ley de Enfriamiento

Inter´es Compuesto De manera m´as general, si un capital de P bol´ıvares se invierte a una tasa de 100r por ciento compuesto anualmente, (ejemplo 5% es r=0.05) la cantidad compuesta despu´es de un a˜ no es P + Pr = P(1 + r ). Al final del segundo a˜ no P(1 + r ) + P + Pr = P(1 + r )[1 + r ] = P(1 + r )2 Despu´es de n - a˜ nos, el monto compuesto S del capital P al final de n a˜ nos a una tasa de r compuesta anualmente, est´a dado por S = P(1 + r )n N´otese que es una funci´ on exponencial (en n). Veamos los ejemplos D. Coronado

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Inter´es Compuesto Ejemplo Suponga que se invierten BsF 1000 durante 10 a˜ nos al 6% compuesto anualmente. 1

Encuentre el monto compuesto

2

Encuentre el inter´es compuesto

Soluci´on:

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Inter´es Compuesto Ejemplo Suponga que se invierten BsF 1000 durante 10 a˜ nos al 6% compuesto anualmente. 1

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Encuentre el inter´es compuesto

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Inter´es Compuesto Ejemplo Suponga que se invierten BsF 1000 durante 10 a˜ nos al 6% compuesto anualmente. 1

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Crecimiento Poblacional

Suponga que la poblaci´ on P de una ciudad con 10.000 habitantes, crece a una tasa de 2% anualmente. Entonces P es una funci´on del tiempo t, donde t est´a medida en a˜ nos. Esto se denota P = P(t) De aqu´ı se obtiene que P(t) = 10.000(1 + 0.02)t = 10.000(1.02)t Nuevamente una funci´ on exponencial. logo

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Crecimiento Poblacional Ejemplo La poblaci´on de una ciudad de 10.000 habitantes, crece a una tasa de 2% anual. Encuentre la poblaci´ on dentro de 3 a˜ nos. Soluci´on:

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Crecimiento Poblacional Ejemplo La poblaci´on de una ciudad de 10.000 habitantes, crece a una tasa de 2% anual. Encuentre la poblaci´ on dentro de 3 a˜ nos. Soluci´on:

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Crecimiento Poblacional Ejemplo La poblaci´on de una ciudad de 10.000 habitantes, crece a una tasa de 2% anual. Encuentre la poblaci´ on dentro de 3 a˜ nos. Soluci´on:

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Crecimiento Poblacional Ejemplo Una compa˜ nia nueva con 5 empleados espera que el n´ umero de trabajadores crezca a una tasa de 120% anual. Determine el n´ umero de asalariados dentro de 4 a˜ nos. Soluci´on:

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Crecimiento Poblacional Ejemplo Una compa˜ nia nueva con 5 empleados espera que el n´ umero de trabajadores crezca a una tasa de 120% anual. Determine el n´ umero de asalariados dentro de 4 a˜ nos. Soluci´on:

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Crecimiento Poblacional Ejemplo Una compa˜ nia nueva con 5 empleados espera que el n´ umero de trabajadores crezca a una tasa de 120% anual. Determine el n´ umero de asalariados dentro de 4 a˜ nos. Soluci´on:

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Escala Richter

Una escala habitualmente utilizada en la medici´ on de la intensidad de los sismos es la escala Richter. Los grados de intensidad se calculan mediante la expresi´ on   A R = log p donde A es la amplitud medida en micr´ ometros (1 micr´ometro= 10−4 cm) y p es el per´ıodo medido en segundos.

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Escala Richter Ejemplo ¿ Cu´al es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10−2 cm y su per´ıodo es de 1 segundo? Soluci´on: Como 1 micr´ometro = 10−4 cm, entonces 10−2 cm equivalen a 102 micr´ometros. Entonces la cantidad de grados Richter R es:     2 A 10 = 2 grados R = log = log p 1 logo

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Escala Richter Ejemplo ¿ Cu´al es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10−2 cm y su per´ıodo es de 1 segundo? Soluci´on: Como 1 micr´ometro = 10−4 cm, entonces 10−2 cm equivalen a 102 micr´ometros. Entonces la cantidad de grados Richter R es:     2 A 10 R = log = 2 grados = log p 1 logo

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Escala Richter Ejemplo ¿ Cu´al es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10−2 cm y su per´ıodo es de 1 segundo? Soluci´on: Como 1 micr´ometro = 10−4 cm, entonces 10−2 cm equivalen a 102 micr´ometros. Entonces la cantidad de grados Richter R es:     2 A 10 R = log = 2 grados = log p 1 logo

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Ley de Enfriamiento

La Ley de Newton del enfriamiento de los cuerpos establece que el enfriamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con la temperatura ambiente. Precisando, la ley dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos un cuerpo en un ambiente a una temperatura de Ta grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del cuerpo es: T (t) = Ta + (T0 − Ta )e −kt , donde k es una constante, llamada constante de enfriamiento, particular de cada cuerpo. logo

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Ejemplo William Dunhan, en su libro El universo de las matem´aticas, nos cuenta c´omo Clara, la novia de Edu el comadreja, se libr´o de la acusaci´on por el asesinato de ´este:

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Ejemplo William Dunhan, en su libro El universo de las matem´aticas, nos cuenta c´omo Clara, la novia de Edu el comadreja, se libr´o de la acusaci´on por el asesinato de ´este: 1

Clara pas´o la tarde en el bar de Luisa, bebiendo mucho y amenazando con matar a Edu; a las once y cuarto sali´o del local maldiciendo, completamente fuera de s´ı.

2

A las 12 de la noche la polic´ıa entraba en el apartamento de Edu, tras recibir una llamada an´ onima, encontrando su cadaver. Un oficial tom´ o nota de que la temperatura ambiente era de 68 o F y la del cad´aver de 85 o F. Al finalizar el trabajo, dos horas m´as tarde, se volvi´ o a tomar la temperatura de el comadreja, que hab´ıa descendido hasta los 74 o F. logo

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Ejemplo William Dunhan, en su libro El universo de las matem´aticas, nos cuenta c´omo Clara, la novia de Edu el comadreja, se libr´o de la acusaci´on por el asesinato de ´este: Averigua, con los datos anteriores, la constante de enfriamiento del finado Edu, y halla la hora de su fallecimiento, para comprobar que la despechada Clara ten´ıa una coartada perfecta.

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Ejemplo William Dunhan, en su libro El universo de las matem´aticas, nos cuenta c´omo Clara, la novia de Edu el comadreja, se libr´o de la acusaci´on por el asesinato de ´este: Se introduce un cuerpo caliente en un medio determinado y se realizan las siguientes mediciones: transcurrida una hora, el cuerpo presenta una temperatura de 52o , pasadas dos horas su temperatura baja a 33o y, a la tercera hora, la temperatura era ya de 20’5o . Determinar la temperatura ambiente y la temperatura inicial del cuerpo. logo

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FIN

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Aplicaciones Exponenciales y Logaritmos  

Algunas aplicaciones de las funciones exponenciales y logaritmicas

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