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(c) tan(x + y) =

tan x+tan y 1−tan x tan y

6. Identidades del a´ngulo medio q  x (a) sen x2 = ± 1−cos 2 q  x (b) cos x2 = ± 1+cos 2

´ BOL´IVAR UNIVERSIDAD SIMON Dept. Formaci´on General y Ciencias B´asicas ´ MATEMATICAS I Prof.: David Coronado

7. Identidades aditivas Pr´actica 4 Funciones trigonom´etricas

(a) senx + seny = 2sen (b) cos x + cos y = 2 cos

x+y cos x−y 2 2   x−y x+y cos 2 2





8. Identidades multiplicativas Antes de los ejercicios, algunas f´ormulas: (a) senxseny = − 12 [cos(x + y) − cos(x − y) 1. Identidades de paridad

(b) cos x cos y = 21 [cos(x + y) + cos(x − y)

(a) sen(−x) = −senx

(c) senx cos y = 12 [sen(x + y) + sen(x − y)

(b) cos(−x) = cos x

Ahora, algunos ejercicios

(c) tan(−x) = − tan x 1. Calcule el valor indicado en cada expresi´on usando el valor dado:

2. Identidades pitag´oricas (a) sen2 x + cos2 x = 1 2

1 (a) senα = , cos 2α =? 4 3 (b) senα = , tan α =? 4 2 (c) senα = , tan 2α =? 9 1 2 (d) senα = , cos β = , sen(α − β) =? 3 5 4 2 (e) cos α = , cos β = , cos(α + β) =? 5 3 1 2 (f) tan α = , cos β = , tan(α + β) =? 4 11 (g) sec α = 5, csc β = 3, sec(α − β) =? 3 1 (h) cos α = , senβ = , sen(2α + β) =? 7 8 2 (i) senα = , sec β = 10, cos(2α + 2β) =? 9

2

(b) 1 + tan x = sec x (c) 1 + cot2 x = csc2 x 3. Identidades del a´ngulo doble (a) sen(2x) = 2senx cos x (b) cos(2x) = cos2 x − sen2 x (c) cos(2x) = 1 − 2sen2 x (d) tan(−x) = − tan x 4. Identidades de cofunci´on  (a) sen π2 − x = cos x  (b) cos π2 − x = senx  (c) tan π2 − x = cot x 5. Identidades para suma de a´ngulo

2. Demuestre que la funci´on y = sec x es par.

(a) sen(x + y) = senx cos y + seny cos x

3. Demuestre que las funciones y = csc x y y = cot x son impares.

(b) cos(x + y) = cos x cos y − senysenx 1


2

4. Demuestre las siguientes identidades: (a) sen3α = 3senα − 4sen3 α (b) sen4α = cos α(4senα − 8sen3 α) (c) cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α (d) cos 4α = 8 cos4 α − 8 cos2 α + 1 (e) senαsenβ = 12 (cos(α − β) − cos(α + β)) (f) senα cos β = 21 (sen(α + β) + sen(α − β)) (g) cos α cos β = 21 (cos(α + β) + cos(α − β)) (h) (1 + cos θ)(1 − cos θ) = sen2 θ (i) cos2 t − sen2 t = 2 cos2 t − 1 (j) (1 − sen2 t)(1 + tan2 t) = 1 (k) (tan z + cot z) tan z = sec2 z sec2 t − 1 = sen2 t sec2 t (m) sent(csc t − sent) = cos2 t (l)

5. Bosqueje las gr´aficas de las siguientes funciones en [−π, 2π]. (a) y = sen2x (b) y = 2sent (c) y = cos x −

π 4



(d) y = sec x (e) y = cos 3t 6. Determine el per´ıodo y la amplitud de las siguientes funciones. Adem´as esboce su gr´afica en −5 ≤ x ≤ 5. (a) y = 3 cos(x/2) (b) y = 2sen2x (c) y = 3 + sen(x − π)  (d) y = 3 cos x − π2 7. Encuentre, sin usar calculadora, el valor indicado √ (a) arccos( 2/2) √ (b) sen−1 (− 3/3)

(c) arcsen(−1/2) √ (d) tan−1 (− 3/3) 8. Encuentre cada valor indicado sin utilizar calculadora  (a) cos[2sen−1 − 32 ]  (b) sen[cos−1 35 ]  (c) cos[cos−1 35 ]


Practica Funciones trigonometricas