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Aplicaciones de las Derivadas David J. Coronado1 1 Departamento

de Formaci´ on General y Ciencias B´ asicas Universidad Sim´ on Bol´ıvar

Matem´aticas II

D. Coronado

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Valores Extremos Definici´on Extremos Globales

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Definici´ on Extremos Globales

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En el c´alculo podemos encontrar dos tipos de m´aximos y m´ınimos: globales (o absolutos) y locales (o relativos). La idea intuitiva en ambos es (la que estas pensando) el punto m´as alto o m´as bajo de la gr´afica. La diferencia est´a en cual es el intervalo donde estas estudiando la gr´afica:

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Definici´on Intuitivamente Si f es una funci´ on con dominio D, diremos que: f (c) es el valor m´aximo global (o absoluto) si f (c) ≥ f (x) para toda x ∈ D. f (c) es el valor m´ınimo global (o absoluto) si f (c) ≤ f (x) para toda x ∈ D. f (c) es el valor m´aximo local (o relativo) si f (c) ≥ f (x) para toda x ∈ D cercana a c. f (c) es el valor m´ınimo local (o relativo) si f (c) ≤ f (x) para toda x ∈ D cercana a c.

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Podemos afirmar que todo extremo (extremo) global lo es tambi´en local, al contrario no es cierto. Otra afirmaci´on es que los extremos globales son u ´nicos (si la funci´on no es constante): un u ´nico m´aximo global y un u ´nico m´ınimo global. Puede ocurrir que se alcancen en varios puntos diferentes. Al contrario, pueden existir varios m´aximos y m´ınimos locales. Incluso, puede ocurrir que alg´ un m´ınimo local sea mayor que un m´aximo local.

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No siempre existen extremos globales. El siguiente teorema nos muestra cual es la condici´ on suficiente para la existencia de los extremos globales. Teorema Si f es una funci´on continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f alcanza extremos globales. Es decir, existen valores c, d ∈ [a, b] tales que f (c) es el m´aximo global y f (d) es el m´ınimo global.

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Recordando un comentario anterior, llamaremos punto cr´ıtico a los puntos c del dominio de f tales que f 0 (c) = 0 o f 0 no existe. El siguiente teorema muestra una relaci´ on entre los puntos cr´ıticos y los extremos globales. Teorema Suponga que f (c) es un extremo absoluto de la funci´on f en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces c es un punto cr´ıtico de f o es uno de los extremos del intervalo a ´ o b.

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Este teorema nos genera un algoritmo para hallar los extremos globales: Primero, derivamos y buscamos los puntos cr´ıticos de f . Segundo, calculamos las alturas de f en los puntos cr´ıticos y en los extremos a y b. Finalmente, comparamos las alturas, la mayor es el m´aximo global y la menor es el m´ınimo global. Veamos en el siguiente ejemplo como aplicar este algoritmo.

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Extremos Globales El algoritmo a utilizar, de manera general, es el siguiente: 1

Determinar la funci´ on a optimizar, sin importar la cantidad de variables que posea dicha funci´ on. Esta funci´ on recibe el nombre de funci´on objetivo.

2

Expresar la funci´on en una sola variable.

3

Determinamos el dominio de la funci´ on objetivo.

4

Aplicamos el algoritmo anterior para encontrar los extremos de la funci´on.

5

Volvemos a leer la pregunta para saber cual debe ser la respuesta. Algunas veces es el valor extremo, otras veces, el valor de una o varias variables en las cuales se alcanza el valor extremo.

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Ejemplo Un granjero tiene 200 metros de tela met´alica con las cuales quiere construir tres lados de un corral rectangular; una pared ya existente formar´a el cuarto lado. ¿Qu´e dimensiones maximizar´an el ´area del corral?

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Extremos Globales Soluci´on: Primero, con gr´aficas, tratamos de entender el problema y sus posibles soluciones.

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Extremos Globales 1 Queremos maximizar el ´area del corral. Si llamamos x la longitud de cada lado adyacente al corral y y la longitud del otro lado, la funci´ on objetivo es el ´area: A = xy .

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Extremos Globales 2 El dato que no hemos usado es que se cuentan con 200 m de tela met´alica.

Este dato nos lleva a la ecuaci´ on 2x + y = 200. Despejando y como funci´ on de x: y = 200 − 2x. Sustituyendo en la funci´ on objetivo nos queda A = x(200 − 2x) = f (x).

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3 El valor mas peque˜ no que puede tomar x es 0 y el m´as grande es 100 (ambos casos generan corrales de ´area cero). 4 La derivada de f es f 0 (x) = 200 − 4x por lo que el punto cr´ıtico es x = 50.

f conclusi´ on

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5 Releyendo la pregunta, notamos que el problema pide las dimensiones del corral. Ya sabemos que x = 50m, sustituyendo 50 en la ecuaci´on y = 200 − 2x. Obtenemos y = 100.

Finalmente, las dimensiones que maximizan el ´area del corral son 50m para cada lado perpendicular a la pared y 100 m para el otro lado.

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