Issuu on Google+

Z.C OM

LỜI NÓI ĐẦU

Bộ sách gồm 2 tập: Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

.U CO

Bộ sách Giáo trình Vật Lý Đại Cương do Bộ môn Vật Lý biên soạn đã được Hội Đồng Khoa Học thẩm định và Hiệu Trưởng phê duyệt làm Giáo Trình Chính Thức để giảng dạy cho sinh viên hệ Đại Học và Cao Đẳng trường Đại Học Công Nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh.

HO N

Tập 2: Quang – Vật lí nguyên tử và Hạt nhân

MQ

UY N

Giáo trình được biên soạn trên quan điểm cho sinh viên tự nghiên cứu. Khi lên lớp, sinh viên sẽ được giáo viên hệ thống lại các kiến thức cốt lõi, giải đáp các thắc mắc và khai thác thêm các bài tập mẫu. Do đó các kiến thức không những được sắp xếp một cách logic, chặt chẽ, rõ ràng, mà còn có các ví dụ minh họa, giúp sinh viên có thể tự đọc, lĩnh hội dễ dàng. Để đo sự chiếm lĩnh tri thức, cuối mỗi chương đều có các câu hỏi, bài tập. Hy vọng với sự nỗ lực, trong thời gian ngắn các bạn có thể chiếm lĩnh được nhiều các tri thức vật lí đại cương.

AY KE

Giáo trình này là kết quả của sự làm việc nhiệt tình, tâm huyết của quí thầy, cô có năng lực, kinh nghiệm trong giảng dạy và nghiên cứu khoa học.

W W

W

.D

Mặc dù đã cố gắng, song không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý của qúi bạn đọc để bộ sách ngày càng hoàn thiện. Thư góp ý xin gửi về Bộ môn Vật lý khoa Khoa Học Cơ Bản trường ĐHCN TPHCM. Tháng 9 năm 2006 Ban biên soạn


3

Chương 0: MỞ ĐẦU

MỞ ĐẦU

OM

Chương 0:

Z.C

Khi nghiên cứu một môn học hay bất cứ một đối tượng nào đó, ta thường đặt các câu hỏi như: môn học đó là gì? Nó nghiên cứu về vấn đề gì? Nghiên cứu như thế nào? … Từ đó sẽ định hướng cho mình một cách đúng đắn để việc nghiên cứu đạt kết qủa tốt.

N. UC O

Nội dung của chương này nhằm giới thiệu cho bạn đọc bức tranh tổng quan về Khoa Học Vật Lí, đồng thời chỉ ra nhiệm vụ của môn Vật Lí Đại Cương. Hi vọng nó sẽ hỗ trợ tốt cho việc tìm hiểu tri thức vật lí ở những chương sau.

§0.1 – ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 – Đối tượng nghiên cứu :

YN HO

CỦA VẬT LÝ HỌC

.D

AY

KE

M

QU

Vật Lý Học là một khoa học tự nhiên, nghiên cứu về các cấu trúc, các tính chất và các dạng vận động tổng quát của thế giới vật chất. Tên khoa học là Physics, xuất phát từ gốc từ Hylạp: “phylosophia” có nghĩa là yêu thích sự thông thái. Các tri thức vật lý đã có từ thời cổ và các nhà khoa học cổ Hylạp tự gọi mình là phylosophos – người bạn của sự khôn ngoan và dạy sự khôn ngoan, hiểu biết của mình cho người khác. Trước đây, Vật Lý Học cùng các khoa học tự nhiên khác nằm chung trong một khoa học duy nhất, gọi là “Triết học tự nhiên”. Đến thế kỷ XVIII mới bắt đầu phát triển riêng thành một khoa học độc lập (Vật lý cổ điển). Khi các Khoa học phân ngành, mỗi bộ môn sẽ đi sâu nghiên cứu vào một vài lĩnh vực. Vật Lý Học nghiên cứu các đặc trưng, các tính chất, các qui luật vận động mang tính tổng quát của các sự vật hiện tượng xảy ra trong tự nhiên nhằm hiểu rõ bản chất của sự vật hiện tượng ấy, từ đó vận dụng vào cuộc sống, phục vụ lợi ích cho con người. Trong các hiện tượng tự nhiên, có các hiện tượng vật lý. Nhiệm vụ của Vật Lý Học là phải tìm ra qui luật của các hiện tượng vật lý và giải thích vì sao nó lại xảy ra như thế.

W

W

W

2 – Phương pháp nghiên cứu: Các hiện tượng xảy ra trong tự nhiên là độc lập với ý thức của con người. Để khám phá ra qui luật của sự vật hiện tượng, Nhà Vật Lý trước hết phải biết quan sát và ghi chép diễn biến của sự vật hiện tượng đó. Trong một số trường hợp, phải tiến hành các thí nghiệm để lặp lại, quan sát lại sự vật, hiện tượng, đồng thời thay đổi một vài thông số nhằm rút ra sự ảnh hưởng của từng thông số vào hiện tượng đó. Các số liệu thu được từ quan sát, thí nghiệm chỉ là những dữ liệu rời rạc, qua quá trình xử lý (bằng các qui tắc toán học, biểu đồ, đồ thị, …), các dữ liệu đó sẽ cho thông tin quan trọng về qui luật, bản chất của sự vật, hiện tượng mà ta nghiên cứu – Đó chính là những định luật của vật lý.


4

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Z.C

OM

Các định luật vật lý cho biết qui luật biến đổi của sự vật, hiện tượng, nhưng chưa cho biết bản chất bên trong của sự vật, hiện tượng ấy. Để hiểu rõ bản chất của sự vật, hiện tượng, cần nêu các giả thuyết để giải thích vì sao nó lại vận động theo qui luật ấy. Nếu các giả thuyết đưa ra không những giải thích được qui luật vận động của sự vật hiện tượng vừa quan sát mà còn giải thích được nhiều kết quả thực nghiệm, quan sát khác thì nó sẽ trở thành một thuyết khoa học. Từ đó sẽ hiểu sâu thêm về bản chất bên trong của sự vật, hiện tượng.

N. UC O

3 – Vai trò của khoa học vật lý đối với cuộc sống:

YN HO

Một trong những nhu cầu cơ bản của con người đó là nhu cầu “hiểu biết”. Cuộc sống của con người luôn gắn chặt với thiên nhiên. Trong mối liên hệ mật thiết ấy, con người luôn có xu hướng tìm tòi, khám phá bản chất, qui luật của các sự vật hiện tượng xảy ra trong tự nhiên, để làm chủ nó. Khoa học Vật lý giúp con người hiểu rõ về bản chất, qui luật của các sự vật ấy. Trên cơ sở hiểu biết bản chất, qui luật các hiện tượng đã quan sát được, con người còn có tham vọng vươn xa hơn – khám phá đến những điều bí ẩn của thiên nhiên. Bằng các thiết bị, dụng cụ chế tạo được, con người có thể khám phá đến những hành tinh xa xôi hoặc khám phá đến những cấu trúc vi mô của nguyên tử, hạt nhân mà mắt thường không thể thấy được.

QU

Các tri thức vật lý mà con người khám phá sẽ được vận dụng vào cuộc sống, phục vụ lợi ích cho chính con người. Đây cũng là đích cuối cùng của mọi khoa học. Nhờ các tri thức vật lí, con người đã chế tạo ra các máy móc để tăng năng suất, tăng hiệu quả lao động, hoặc để phục vụ nhu cầu sinh hoạt, vui chơi giải trí.

KE

4 – Vật lý đại cương:

M

Tóm lại Vật Lí Học đóng vai trò cực kì quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống con người.

.D

AY

Vật Lý Đại Cương là một bộ phận quan trọng của Khoa học Vật lý. Nó hệ thống những khái niệm, những định luật, những lý thuyết cơ bản của khoa học Vật lý. Các khái niệm, các định luật, các lý thuyết đó, diễn tả hầu hết các qui luật vận động và bản chất của các sự vật hiện tượng trong tự nhiên và là cơ sở của Vật lý Học. Có thể nói Vật Lý Đại Cương là xương sống của Khoa Học Vật Lý.

W

W

W

Vật Lý Đại Cương gồm có năm phần: 1. Cơ học: Nghiên cứu chuyển động của vật thể vĩ mô (chuyển động cơ). 2. Nhiệt học: Nghiên cứu chuyển động nhiệt của các hạt vi mô (phân tử, nguyên tử). 3. Điện học: Nghiên cứu qui luật, bản chất các hiện tượng về điện, từ. 4. Quang học: Nghiên cứu qui luật và bản chất các hiện tượng về ánh sáng . 5. Nguyên tử và hạt nhân: Nghiên cứu cấu trúc và qui luật biến đổi của nguyên tử và hạt nhân.


5

Chương 0: MỞ ĐẦU

Z.C

OM

Những tri thức vật lý đại cương không chỉ là những cơ sở để sinh viên học và nghiên cứu các môn khoa học khác, mà còn góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm và xây dựng thế giới quan duy vật biện chứng. §0.2 – CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ VÀ HỆ ĐƠN VỊ SI

YN HO

N. UC O

1 – Các đại lượng vật lý: Mỗi một tính chất hay một thuộc tính của sự vật, hiện tượng, được mô tả bởi một thông số – gọi là đại lượng vật lý. Ví dụ: tính chất nhanh hay chậm của chuyển động, được mô tả bởi đại lượng vận tốc; diễn tả cho sự tương tác giữa các vật là lực; … Các đại lượng vật lý có thể là vô hướng (như: khối lượng, điện tích,…) hoặc hữu hướng (như: lực, vận tốc, …). Đại lượng vô hướng được biểu diễn bằng giá trị số có thể dương, âm hoặc bằng không. Do đó, xác định đại lượng vô hướng nghĩa là xác định số trị của nó. Đại lượng hữu hướng được biểu diễn bằng một vectơ. Vậy, xác định một đại lượng hữu hướng là xác định phương chiều, môdun và điểm đặt của vectơ biểu diễn đại lượng đó. Mỗi một đại lượng vật lý được kí hiệu bởi một hay nhiều kí tự La Tinh hoặc kí tự Hi Lạp (xem bảng 0.1).

Viết in

Tên gọi

Viết thường

Viết in

A

Nuy

ν

N

B

Kxi

ξ

Ξ

γ

Γ

Ômikrôn

O

O

δ

Pi

π

Π

ε

E

ρ

P

ζ

Z

Xichma

σ

Σ

Êta

η

H

τ

T

Têta

θ

Θ

Ipxilon

υ

Y

Iôta

ι

I

Fi

ϕ

Φ

Kapa

κ

K

Khi

χ

X

Lamđa

λ

Λ

Pxi

ψ

Ψ

Muy

µ

M

Ômêga

ω

Viết thường

Alfa

α

Bêta

β

KE

Tên gọi

Gamma

W

W

W

.D

Zêta

AY

Đelta Epxilon

M

QU

Bảng 0.1: Các mẫu tự HiLạp


6

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

W

W

W

.D

AY

KE

M

QU

YN HO

N. UC O

Z.C

OM

2 – Hệ đơn vị – Hệ đơn vị SI: Một đại lượng vật lý chỉ có ý nghĩa thực sự khi ta định lượng được nó, nghĩa là phải đo được. Đo một đại lượng vật lý là so sánh đại lượng ấy với một “chuẩn” cùng loại chọn làm đơn vị. Giá trị đo được sẽ bằng tỉ số giữa đại lượng cần đo với chuẩn đơn vị. Ví dụ: đo chiều dài của một khúc gỗ là so sánh chiều dài đó với “chuẩn” – gọi là MÉT. Nếu chiều dài của khúc gỗ gấp x lần chiều dài của “chuẩn” thì ta nói khúc gỗ dài x mét. Nếu lấy “chuẩn” là INCH thì tương tự, chiều dài khúc gỗ sẽ là y inch. Như vậy, một đại lượng vật lý có thể có nhiều đơn vị đo, tùy theo “chuẩn” mà ta chọn làm đơn vị. Với mỗi đơn vị đo, ta lại có một giá trị đo khác nhau, mặc dù cùng một đại lượng. Một hệ đơn vị luôn gồm một số các đơn vị cơ bản và các đơn vị dẫn xuất. Các đơn vị dẫn xuất được định nghĩa từ các đơn vị cơ bản thông qua các phương trình vật lí. Qui luật biểu diễn sự phụ thuộc này gọi là thứ nguyên của đơn vị dẫn xuất. Có một số hệ đơn vị, chúng khác biệt ở cách chọn những đại lượng được lấy làm các đại lượng cơ bản và đơn vị của chúng được thiết lập nên do những thỏa thuận riêng. Ví dụ: Hệ CGS (hệ Gauss) chọn đơn vị cơ bản là centimét, gam và giây. Để thống nhất chung toàn thế giới, năm 1960, các nhà khoa học đã họp lại và thống nhất một hệ đơn vị chung gọi là hệ SI (système international). Trong hệ này, có 7 đơn vị cơ bản: * Độ dài mét (m) * Khối lượng kilôgam (kg) * Thời gian giây (s) * Cường độ dòng điện ampe (A) * Nhiệt độ kelvin (K) * Lượng chất mol (mol) * Độ sáng candela (Cd) Ngoài 7 đơn vị cơ bản, còn có đơn vị phụ: đơn vị đo góc phẳng là radian (rad); góc khối là steradian (sterad). Các đơn vị này không có thứ nguyên. Mỗi đơn vị dẫn xuất của một đại lượng vật lý được biểu diễn thông qua các đơn vị cơ bản theo một quy luật nhất định. Ví dụ thứ nguyên của: [vận tốc] = [độ dài] [thời gian] – 1 = ms – 1 [gia tốc] = [độ dài] [thời gian] – 2 = ms – 2 [lực] = [khối lượng] [độ dài] [thời gian] – 2 = kgms – 2 Từ đó suy ra: * Hai đại lượng cùng loại mới công được. * Hai vế của một phương trình vật lý phải cùng thứ nguyên.


7

Chương 0: MỞ ĐẦU

OM

Ngoài các đơn vị chuẩn, người ta còn dùng các tiếp đầu ngữ để chỉ ước và bội của đơn vị (xem bảng 0.2). Để học tốt Vật Lý Đại Cương, sinh viên phải có một số kiến thức về toán, nhất là kiến thức về vectơ , vi phân và tích phân.

Bội 10 102 103 106 109 1012 1015 1018

Tên gọi đềxi centi mili micrô nanô picô femtô attô

Ước 10 – 1 10 – 2 10 – 3 10 – 6 10 – 9 10 – 12 10 – 15 10 – 18

Kí hiệu d c m

N. UC O

Kí hiệu da h k M G T P E

µ n p f a

YN HO

Tên gọi đềca hectô kilô mêga giga têra pêta ecxa

Z.C

Bảng 0.2: Tiếp đầu ngử chỉ ước và bội của các đơn vị

§0.3 – KHÁI QUÁT CÁC PHÉP TÍNH VỀ VECTƠ

QU

1 – Khái niệm vectơ: Đoạn thẳng có định hướng gọi là một vectơ. Một vectơ có 4 yếu tố: phương, chiều, modun và điểm đặt.

M

A : goác  → B : ngoïn AB Ñöôøng thaúng AB goïi laø giaù cuûa vectô Ñoä daøi AB goïi laø moâdun

AY

KE

B A

Qui tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B. C bất kỳ trong không gian, ta luôn có: →

(0.1)

.D

AB = AC + CB hay AB = CB − CA

2 – Tọa độ của vectơ: →

W

Trong hệ tọa độ Descartes, gọi a1, a2, a3 lần lượt là hình chiếu của vetơ a →

W

lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz thì ta có thể mô tả vectơ a thông qua bộ ba số thực →

W

(a1, a2, a3):

a = a 1 i + a 2 j + a 3 k = (a 1 , a 2 , a 3 ) →

Bộ số thực (a1, a2, a3) được gọi là tọa độ của vectơ a . →

Khi đó môdun của vectơ a được tính bởi công thức:

(0.2)


8

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện →

a = | a | = a 12 + a 22 + a 32 3 – Cộng vectơ:

OM

(0.3) →

a

c

b

a

Z.C

Tổng của hai hay nhiều vectơ là một vectơ mới, được xác định theo qui tắc nối đuôi hay qui tắc hình bình hành (hình 0.1).

α

b

N. UC O

c Hình 0.1: Cộng hai vectơ.

Nếu a = (a1, a2, a3) và b = (b1, b2, b3) thì vectơ tổng là: →

c = a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 )

YN HO

(0.4)

Độ lớn của vectơ tổng: c =

a 2 + b 2 + 2ab cos α r r trong đó α là góc tạo bởi 2 vectơ a và b . →

- Nếu a ⊥ b (hình 0.2) thì : →

(0.6)

- Nếu a ↑↑ b thì: c=a+b

(0.7)

(0.8)

AY

.D

4 – Trừ vectơ:

)

(0.9)

W

W

b

d

a →

Hình 0.4: Hiệu của 2 vectơ.

a − b = a + (− b ) = d

W

α

Hình 0.3: Tổng của 2 vectơ cùng môdun.

c

b

vectơ đối của b : →

Hiệu của vectơ a và b là tổng của vectơ a với →

a

- Nếu a = b (hình 0.3) thì :

c = 2a cos(α / 2)

a

KE

- Nếu a ↑↓ b thì :

c = a−b

c

Hình 0.2: Tổng của hai vectơ vuông góc.

M

b

QU

c = a2 + b 2

(0.5)

(0.10) →

Nếu dùng qui tắc hình bình hành thì vectơ hiệu d hướng từ ngọn của vectơ trừ b →

đến ngọn của vectơ bị trừ a (hình 0.4).


9

Chương 0: MỞ ĐẦU →

OM

Nếu a = (a1, a2, a3) và b = (b1, b2, b3) thì vectơ hiệu là: →

d = a − b = (a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 )

Z.C

5 – Nhân vectơ với một số thực:

a

Tích của một vectơ với một số thực k là một vectơ mới có modun gấp k lần modun của vectơ đầu, và cùng chiều với vectơ đầu nếu k > 0 ; ngược chiều nếu k < 0 (hình 0.5). Nói cách khác, tọa độ của vectơ mới cũng gấp k lần tọa độ của vectơ ban đầu.

N. UC O

2a

− 1,5 a

Hình 0.5: Nhân vectơ với số thực

YN HO

(0.11)

a = (a 1 , a 2 , a 3 ) ⇒ k a = k (a 1 , a 2 , a 3 ) = (ka 1 , ka 2 , ka 3 )

6 – Tích vô hướng của 2 vectơ:

(0.12)

Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực bằng tích các môdun của hai vectơ ấy với cosin của góc hợp bởi hai vectơ đó: →

a .b =

→ →

QU

→ →

a . b cos( a , b ) = ab cos α →

(0.13)

AY

KE

M

với α là góc tạo bởi 2 vectơ a và b . Từ (0.13), suy ra: hai vectơ:  vuông góc thì tích vô hướng triệt tiêu ;  tạo với nhau góc nhọn thì tích vô hướng dương ;  tạo với nhau góc tù thì tích vô hướng âm. Trong hệ toạ độ Descartes: →

→ →

.D

a = (a 1 , a 2 , a 3 ); b = (b1 , b 2 , b 3 ) ⇒ a . b = a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 →

(0.14)

W

W

W

Do đó, góc giữa hai vectơ a vaø b có thể tính bởi: →→

cos α =

ab = ab

a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a +a +a . b +b +b 2 1

2 2

2 3

2 2

→ →

2 2

2 2

(0.15)

7 – Tích hữu hướng của 2 vectơ: →

a×b = c

hay [ a, b ] = c

(0.16)


10

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện →

OM

Tích hữu hướng cuả hai vectơ a và →

b là một vectơ c viết theo (0.16).

c

 Phương: vuông góc với 2 vectơ thành phần.

b

 Chiều: xác định theo qui tắc đinh ốc thuận: vặn cái đinh ốc quay từ vectơ thứ nhất đến vectơ thứ hai theo góc nhỏ nhất thì chiều tiến của đinh ốc là chiều vectơ tích.

a

Hình 0.6: Tích hữu hướng của 2 vectơ.

YN HO

N. UC O

α

 Môdun: bằng tích các môdun của hai vectơ thành phần với sin của góc xen giữa hai vectơ đó: →

Z.C

Vectơ tích c có:

c = c = a . b sin ( a , b ) = ab sin α

(0.17)

QU

Từ (0.17) suy ra: hai vectơ cùng phương thì tích hữu hướng triệt tiêu; hai vectơ vuông góc thì tích hữu hướng có môdun lớn nhất. Về ý nghĩa hình học, modun của vectơ tích có trị số bằng trị số diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ thành phần (xem hình 0.6). →

Tích hữu hướng không có tính giao hoán: a x b = − b x a

M

(0.18) →

KE

Tính hữu hướng có tính phân phối: ( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c ) →

(0.18a)

Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ tích c = a x b được xác định bởi định thức: →

i a1

j k a 2 a 3 = (a 2 b 3 − a 3 b 2 ; a 3 b 1 − a 1 b 3 ; a 1 b 2 − a 2 b 1 )

b1

b2

c=

(0.19)

b3

.D

AY

W

Ví dụ: a = (6; - 1; 2) ; b = (-2; 3; 1) thì c = a x b = (-7; -10; 16) và diện tích →

W

hình bình hành tạo bởi 2 vectơ a và b là: →

W

S = | c | = (−7) 2 + (−10) 2 + 16 2 = 20,1 (đơn vị diện tích).

8 – Đạo hàm của một vectơ theo thời gian: Trong hệ toạ độ Descartes, ta có:


11

Chương 0: MỞ ĐẦU →

a = a x i + a y j+ a z k

d a da x → da y → da z → = i+ j+ k dt dt dt dt

(0.20)

OM

Z.C

Vậy đạo hàm của một vectơ theo thời gian là một vectơ mới có các thành phần là đạo hàm các thành phần tương ứng của vectơ ban đầu.

N. UC O

da Ví dụ: a = (2sint; cost; 5t) ⇒ b = = (2cost; -sint; 5). dt

§0.4 – KHÁI QUÁT VỀ CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

YN HO

Các bài toán vật lí thường có tính đối xứng không gian. Việc lựa chọn hệ qui chiếu để khảo sát chúng là rất cần thiết. Đôi khi một bài toán phức tạp trong hệ tọa độ này lại rất đơn giản trong hệ tọa độ kia. Cần nhấn mạnh rằng, việc chuyển đổi tọa độ chỉ làm cho các phép tính trở nên đơn giản, còn bản chất vật lí của sự vật hiện tượng thì không thay đổi. Phần này giới thiệu vài hệ tọa độ thường dùng trong các bài toán vật lí. 1 – Hệ trục toạ độ Descartes: Hệ trục toạ độ Descartes còn gọi là hệ toạ độ vuông góc thuận, gồm 3 trục toạ độ Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau, sao cho một đinh ốc thuận quay từ trục x sang trục y theo góc nhỏ thì đinh ốc sẽ tiến theo chiều trục z. Trên mỗi trục đó lần lược có các vectơ đơn vị (vectơ có môdun

QU

z

KE

bằng 1) i , j , k hướng dọc theo chiều tăng của trục (hình 0.7). Dễ thấy: →

AY

k = i x j ; i = jxk ;

r

k

y

j

y

i O

M

M(x, y, z)

x x

Hình 0.7: Hệ toạ độ Descartes

j = kx i

Vị trí điểm M trong không gian được xác định bởi vectơ tia r : →

.D

r = OM = x i + y j + z k = ( x, y, z) (0.21)

z M’

W

Bộ ba số (x,y,z) gọi là toạ độ của điểm M, →

dy

W W

r = OM = x 2 + y 2 + z 2

dx

y O

(0.22)

Nếu xét điểm M’ rất gần với M thì toạ độ của M’ là (x+dx; y+dy; z+dz) với dx, dy, dz là gia số rất nhỏ (vi phân) của x, y, z. Các

dz

M

cũng là toạ độ của vectơ tia r (còn gọi là vectơ vị trí hay vectơ bán kính). Do đó khoảng cách từ điểm M đến gốc toạ độ là: x

Hình 0.8: Ô cơ sở của hệ toạ dộ Descartes


12

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Ba cạnh: dx; dy ; dz Thể tích: dV = dx.dy.dz Diện tích ba mặt: dSx = dy.dz; dSy = dz.dx ; dSz = dx.dy

Đường chéo: MM ' = dr = →

Độ dời vi phân: d r = MM ' = (dx, dy, dz)

(0.25)

N. UC O

(dx ) 2 + (dy) 2 + (dz) 2

(0.23) (0.24)

Z.C

• • •

OM

mặt tọa độ của M và M’ tạo nên một hình hộp cơ sở của không gian Descartes. Ô cơ sở này có:

(0.26)

Hệ tọa độ vuông góc trên còn gọi là hệ tọa độ trực chuẩn (các trục tọa độ trực giao và chuẩn hóa).

x = ρ cos ϕ   y = ρ sin ϕ z = z 

z

ρ

YN HO

2 – Hệ toạ độ trụ: Điểm M có toạ độ (x,y,z) trong hệ toạ độ Descartes thì trong hệ toạ độ trụ có toạ độ (ρ,ϕ,z). Trong đó:

M(ρ, ϕ, z)

r

(0.27)

QU

Ngược lại, ta có:

M

ρ = x 2 + y 2  y  ϕ = arctg( ) x  z = z 

y

O

ϕ

x

x

y

Hình 0.9: Hệ toạ độ trụ.

KE

(0.28)

Giả sử các toạ độ ρ, ϕ, z của điểm M gia tăng một lượng vi phần dρ, dϕ, dz. Khi đó hai mặt trụ bán kính ρ và ρ + dρ, hai nửa mặt phẳng ϕ và ϕ + dϕ; và hai mặt phẳng nằm ngang z và dz sẽ bao một thể tích vi phân có dang nêm cụt. Thể tích này rất nhỏ, nên coi gần đúng là một hình hộp chữ nhật với:  Chiều dài các cạnh là:

AY

.D

r θ O

W

W

W

dρ; ρdϕ và z + dz.  Diện tích các mặt: dSρ = ρdϕdz; dSϕ = dρdz;

M(r, θ,ϕ)

z

x

y

ϕ

x

Hình 0.10: Hệ toạ độ cầu.

y


13

Chương 0: MỞ ĐẦU dSz = ρdρdϕ

OM

 Thể tích: dV = ρdρdϕdz 3 – Hệ toạ độ cầu:

Trong đó: r ∈ (0, ∞ ) ; θ ∈ (0, π); ϕ ∈ (0,2π).

(0.29)

N. UC O

x = r sin θ cos ϕ  có toạ độ (r,θ,ϕ), với:  y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ 

Z.C

Điểm M có toạ độ (x,y,z) trong hệ toạ độ Descartes thì trong hệ toạ độ cầu

Yếu tố thể tích trong hệ tọa độ cầu là: dV = r2sinθdrdθdϕ 4 – Hệ toạ độ cực:

YN HO

Hình chiếu của hệ tọa độ trụ lên mặt phẳng (Oxy) cho ta hệ tọa độ cực. Trong hệ tọa độ cực, vị trí của điểm M được xác định bởi bán kính cực ρ và góc cực ϕ. Ta có:

x = ρ cos ϕ   y = ρ sin ϕ

ρ

QU

(0.32)

ϕ x

O

Hình 0.11: Hệ tọa độ cực

KE

M

dS = rdrdϕ

M

y

(0.31)

Nếu trong hệ tọa độ Oxy, yếu tố diện tích là dS = dxdy thì trong hệ tọa độ cực, ta có:

(0.30)

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 0

1. Chất phóng xạ biến đổi theo qui luật: N = N o e − λt ; H = H o e − λt . Hãy xác

AY

định thứ nguyên của số hạt N, hằng số phóng xạ λ và độ phóng xạ H. 2. Hai vật thể bất kỳ (coi như hai chất điểm) trong vũ trụ hấp dẫn nhau một lực:

m1m 2 . Trong đó m1 và m2 là khối lượng của 2 vật; r là khoảng cách r2

.D

F=G

W

W

W

giữa chúng. Hãy xác định thứ nguyên của hằng số hấp dẫn G. 3. Cho 2 vectơ có cùng modun là x. Tính góc tạo bởi 2 vectơ đó nếu: a) Vectơ tổng cũng có modun bằng x. b) Vectơ hiệu cũng có modun bằng x. c) Vectơ tổng và vectơ hiệu có modun bằng nhau. →

4. Cho hai vectơ a và b có modun a = 6 cm và b = 8 cm. Tính modun của →

vectơ tổng và vectơ hiệu trong các trường hợp sau: a) a ⊥ b

b) a ↑↑ b


14

Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện →

d) Góc giữa chúng là 120o ; 60o →

OM

c) a ↑↓ b

5. Cho hai vectơ a và b có modun a = 6 cm và b = 8 cm. Xác định tích hữu hướng và tích vô hướng của chúng trong các trường hợp sau: →

Z.C

KE

M

QU

YN HO

N. UC O

a) a ⊥ b b) a ↑↑ b c) a ↑↓ b d) Góc giữa chúng là 120o ; 60o 6. Nêu vài ví dụ về hiện tượng vật lý và hiện tượng hóa học. Từ đó suy ra sự khác nhau cơ bản giữa 2 lĩnh vực này. 7. Các hiện tượng sau đây, hiện tượng nào là hiện tượng vật lý? a) Nước sôi và hoá hơi; Hòa tan đường vào nước tạo dung dịch nước đường. b) Cây cối xanh tươi nhờ có mưa. c) Tấm kim loại để ngoài nắng sáng lấp lánh. d) Gạo bỏ vào nồi nấu thành cơm chín. e) Người già thì chết đi. f) Bầu trời có màu xanh. g) Phản ứng giữa các hạt nhân thường toả năng lượng. h) Đọc sách lâu, ta thấy mệt mỏi. i) Từ ngoài nắng bước vào phòng, ta bị hoa mắt, không trông thấy gì cả. 8. Bạn hiểu như thế nào về các “khái niệm vật lý”, “định luật vật lý”, “thuyết vật lý”? 9. Bạn tự nhận xét về vai trò của Khoa Học Vật Lý đối với sự phát triển của kỹ thuật công nghệ nói chung và môn học Vật Lý Đại Cương đối với việc nắm bắt kiến thức nghề của bạn nói riêng. 10. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(6, -1, 2); B(-2, 3, -4) và C(-3,1,5) →

AY

a) Tìm AC + AB ; AC - AC ; AB . AC ; [ AB , AC ] b) Tìm diện tích tam giác ABC, số đo góc A và pháp vectơ đơn vị của mặt phẳng (ABC). →

11. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho a = (2, -3, 1) và b = (-4, -2, 5). Xác định: →

.D

a) Các vectơ đơn vị theo hướng của vectơ a , b ;

→ →

b) Vectơ [ a , b ]

W

W

W

12. Tính thể tích của phần khối cầu bán kính R, có phạm vi biến thiên của góc ϕ và θ từ π/4 đến π/2.


15

NG H C CH T I M

ng 1:

Ch

ng 1

Z.C

NG H C CH T I M

OM

Ch

§1.1 – CÁC KHÁI NI M C ng c h c – Ch t i m:

B N V CHUY N

NG

YN HO

1 – Chuy n

N. UC O

ng h c là m t ph n c a ngành C h c, nghiên c u chuy n ng c a v t th (v mô) mà không chú ý n nguyên nhân c a chuy n ng ó. Ch ng này nghiên c u các tính ch t t ng quát v chuy n ng c a ch t i m. Vì th khi nói chuy n ng c a m t v t hay v n t c, gia t c c a v t, ta hi u v t ó là ch t i m.

W

.D

AY

KE

M

QU

Chuy n ng c h c (chuy n ng c ) là s thay i v trí c a v t th trong không gian theo th i gian. Chuy n ng c a v t có tính t ng i. Vì, v trí c a v t có th thay i i v i v t này, nh ng l i không thay i i v i v t khác. Nghiã là v t có th chuy n ng so v i v t này, nh ng l i là ng yên so v i v t khác. Ví d : Ng i ng i trên xe l a, i v i nhà ga thì ng i ó ang chuy n ng cùng v i xe l a, nh ng i v i hành khách bên c nh, thì ng i ó l i không h chuy n ng. Khi ta nói “v t A ang chuy n ng” mà không nói rõ chuy n ng so v i v t nào thì ta ng m hi u là so v i Trái t. M i v t u có kích th c xác nh. Tuy nhiên, n u kích th c c a v t quá nh bé so v i nh ng kho ng cách mà ta kh o sát thì v t c coi nh m t ch t i m. V y, ch t i m là m t v t th mà kích th c c a nó có th b qua so v i nh ng kích th c, nh ng kho ng cách mà ta kh o sát. Ch t i m là m t khái ni m tr u t ng, không có trong th c t nh ng r t thu n ti n trong vi c nghiên c u chuy n ng c a các v t. Khái ni m ch t i m c ng mang tính t ng i. Ngh a là trong i u ki n này v t c coi là ch t i m, nh ng trong i u ki n khác, nó l i không th coi là ch t i m. Ví d : Khi nghiên c u chuy n ng c a Trái t quanh M t Tr i, ta có th coi Trái t là ch t i m, nh ng nghiên c u chuy n ng t quay quanh tr c c a nó thì Trái t không th coi là ch t i m. o, quãng

i mA

n v trí M2 (hình 1.1). Ta g i

2 – Qu

ng và

d i:

W

W

Q i o c a ch t i m là t p h p các v trí c a ch t i m trong quá trình chuy n ng. Nói m t cách khác, khi ch t i m chuy n ng, nó s v ch ra trong không gian m t ng g i là qu o. C n c vào hình d ng qu o, ta có th phân chia chuy n ng c a ch t i m là th ng, cong ho c tròn. Xét m t ch t i m M chuy n ng trên qu o cong b t kì t v trí M1 qua dài c a cung M1AM 2 là quãng

ng


16

Giáo Trình V t Lý

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

iC

N. UC O

Z.C

OM

v t i t M1 n M2 và c kí hi u là s. Và ta g i vect M1M 2 là vect d i (hay d i) c a ch t i m t i m M1 n i m M2. Nh v y quãng ng s là m t i Quãng ng s l ng vô h ng luôn d ng; còn d i là m t vect . N u v t chuy n ng trên ng M2 A cong kín ho c i chi u chuy n ng sao cho v trí u và cu i trùng nhau thì d i s tri t tiêu nh ng quãng ng là khác M1 không. Khi v t chuy n ng trên ng d i M1M2 th ng theo m t chi u duy nh t thì quãng ng v t i c b ng v i l n c a Hình 1.1: Quan h gi a vect d i. quãng ng và d i

YN HO

3 – H qui chi u, ph ng trình chuy n ng – ph ng trình qu o:

z

z

k

QU

Mu n xác nh v trí c a v t trong không gian, ta ph i ch n m t v t làm m c, g n vào ó m t h t a và m t ng h o th i gian. H th ng ó c g i là h qui chi u. T i m i th i i m t, v trí c a ch t i m M s c xác nh b i vect v trí (hay vect tia, vect bán kính): (1.1)

r y

O

i

M

OM

KE

r (t)

M

y

j

x x

r

x. i

y. j

z. k

(1.2)

W

.D

AY

Ph ng trình (1.1) cho phép ta Hình 1.2: V trí c a ch t i m M trong xác nh v trí c a ch t i m h to Descartes t ng th i i m, nên g i là ph ng trình chuy n ng t ng quát c a ch t i m. Trong h t a Descartes, (1.1) có d ng:

W

W

Trong ó (x,y,z) là t a c a i m M và i, j, k là các vect n v trên các tr c Ox, Oy, Oz. Vì v trí c a ch t i m M thay i theo th i gian nên to c a nó là hàm c a th i gian: x = f(t); y = g(t); z = h(t) (1.3) (1.2), (1.3) là các ph ng trình chuy n ng c a ch t i m trong h to Oxyz. N u kh tham s t trong các ph ng trình (1.3), ta c:

F( x , y, z)

0

G ( x , y, z )

0

(1.4)


Ch

17

NG H C CH T I M

ng 1:

Trong tr ng h q i o c a v t, ta có th O là m t i m nào ó n o, và v trí c a v t cong: s

hoành

N. UC O

Z.C

OM

(1.4) bi u di n t t c các v trí mà ch t i m s i qua trong quá trình chuy n ng nên c g i là ph ng trình q i o c a ch t i m. V y, ph ng trình chuy n ng cho phép ta xác nh c v trí c a ch t i m m t th i i m t b t kì; ph ng trình q i o cho bi t hình d ng q i o c a v t. Tùy theo vi c ch n h qui chi u và m c th i gian, ph ng trình chuy n ng và ph ng trình qu o c a ch t i m s có d ng t ng minh khác nhau. Trên th c t , khi gi i các bài toán v chuy n ng, ng i ta th ng ch n h qui chi u và g c th i gian sao cho ph ng trình chuy n ng d ng n gi n nh t. p ã bi t tr c ch n i m m c m ngay trên q i c xác nh theo

s(t) OM

s

M

O

(1.5)

Hình 1.3: V trí c a ch t i m M xác nh theo hoành cong s.

Ví d

YN HO

Ph ng trình (1.5) c g i là ph ng trình chuy n ng c a v t trên q i o. 1.1: Ch t i m M chuy n

trong m t ph ng Oxy v i ph o khi: 1

a) Ta có

2

1

QU

a)

= k2 ;

2

b)

= k2

x = A1 cos( t +

V yq i

KE o là

ng t , ta có:

W

W

.D

b) T

W

1–T c

1

1

=

2

x

A 1 cos( t

1

y

A 2 cos( t

2)

= (2k + 1)

A2 x A1

c xác

.

A2 A1

ax ; v x

A1

2

x A 12

y A 22

1

Q i

c xác

nh b i vect

o là Elíp.

VÀ V N T C

trung bình và v n t c trung bình: Xét ch t i m M chuy n ng trên qu v trí M1

nh

2)

ng th ng y = ax, v i – A1 2

. Hãy xác

+ k2

+k2 ) = A1 cos( t +

y

2

)

Gi i 2

§1.2 – T C

t1, ch t i m M2

2

y A2

AY

x A1

ng

ng trình:

M

d ng q i

c

o cong b t kì. Gi s

nh b i vect v trí r1 ;

v trí r2 . G i s là quãng

th i i m

th i i m t2 v t ng v t

ã

v trí i và


18 r

Giáo Trình V t Lý

M1M 2

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

iC

r2 r1 là

s t

(1.6)

s

N u quãng ng s g m nhi u quãng ng nh s1, s2, …, sn và th i gian t ng ng v t i h t các quãng ng ó là t1, t2, …, tn thì (1.6) c vi t d i d ng:

s1 s 2 ... s 2 t1 t 2 ... t n

ôi khi t c

(1.7)

trung bình còn

c kí hi u

b i vtb ho c v . V n t c trung bình c a m t ch t i m chuy n ng trong kho ng th i gian t t1 s gi a vect d i và kho ng th i gian ó :

r t

r2 r1 t 2 t1

M2

r

r2

r1

n t2 là

O

Hình 1.4 il

ng o b ng th

ng

(1.8)

QU

v tb

M1

YN HO

vs

N. UC O

vs

Z.C

OM

d i t M1 n M2. Ta nh ngh a t c trung bình và v n t c trung bình c a ch t i m nh sau : T c trung bình vs trên m t o n ng nh t nh c a m t ch t i m chuy n ng là i l ng o b ng th ng s gi a quãng ng s mà ch t i m i c v i kho ng th i gian t ch t i m i h t quãng ng ó.

KE

M

T c trung bình là i l ng vô h ng, không âm, c tr ng cho m c nhanh, ch m c a chuy n ng trên m t o n ng nh t nh ; còn v n t c trung bình là m t i l ng vect c tr ng cho s thay i c a vect d i trong m t kho ng th i gian nh t nh. Khi v t chuy n ng liên t c trên ng th ng theo m t chi u duy nh t thì t c trung bình b ng v i l n c a vect v n t c trung bình. Trong h SI, n v o t c trung bình và v n t c trung bình là mét trên giây (m/s) ; trên th c t , ng i ta th ng dùng n v kilômét trên gi (km/h). Ta

.D

T (1.8) suy ra, khi ch t i m chuy n ng d c theo tr c Ox thì ta có th c giá tr i s c a v n t c trung bình theo công th c :

W

tính

v tb

x t

x 2 x1 t 2 t1

(1.9)

Trong tr ng h p t ng quát, ta có th chi u (1.8) lên các tr c t a c n thi t tìm các thành ph n c a vect v n t c trung bình, t ó tìm c l nc av nt c trung bình. C n nh n m nh s khác bi t c a các công th c nh ngh a (1.6) và (1.8) là: iv it c trung bình, ta quan tâm n quãng ng s mà ch t i m ã i và th i gian t mà ch t i m dùng i h t quãng ng ó, không quan tâm n th i

W W

5 m/s . 18

AY

có : 1km / h


Ch

19

NG H C CH T I M

ng 1:

OM

gian ngh ; còn i v i v n t c trung bình, ta quan tâm n v trí và th i i m u và cu i, không quan tâm n quá trình di n bi n c a chuy n ng. phân bi t c hai khái ni m t c trung bình và v n t c trung bình, chúng ta kh o sát các ví d sau ây :

s t

AC BC t1 t 2

Vì ôtô

AB 1 AB 2 AB 3 3 v1 v2

n B úng gi qui

AB v1

td = ttt

nh nên th i gian d

AB 0,5 v1

3

nh ban

2

AB v2

3

u là: t =

M

V y th i gian d

1

3v1.v 2 2v1 v 2

QU

vs

YN HO

N. UC O

Z.C

Ví d 1.2: M t ôtô d nh i t A n B v i t c 30km/h. Nh ng sau khi i c 1/3 o n ng, ôtô b ch t máy. Tài x ph i d ng 30 phút s a, sau ó i ti p v i t c 40km/h và n B úng gi qui nh. Tính t c trung bình c a ôtô trên o n ng AB và th i gian d nh ban u. Có th tính c l nc a vect v n t c trung bình trong kho ng th i gian t A n B hay không ? Gi i v1 = 30km/h v2 = 40km/h Gi s ôtô ch t máy t i C. G i t1, t2 là th i gian ôtô chuy n ng trên các o n AC, CB. A C B T c trung bình c a ôtô trên o n ng AB là :

3.30.40 2.30 40

36km / h

nh b ng th i gian th c t :

AB = 90 km

AB = 3 (gi ). v1

KE

V i gi thi t c a bài toán trên, ta không th tính c l n c a vect v n t c trung bình, vì không bi t qu o t A n B là th ng hay cong. N u qu o là

AY

ng th ng thì | v tb | cong thì ch a

| r| t

d ki n

AB tB tA

90 3

30m / s ; n u qu

o là

tính v n t c trung bình.

W

W

.D

Ví d 1.3: M t ôtô i t A n B v i t c v1 = 30km/h r i quay v A v i t c v2 = 50km/h. Tính t c trung bình và v n t c trung bình trên l trình i – v . Gi i T c trung bình trên l trình i – v :

W

vs

s t

AB BA t di t ve

2AB AB / v1 AB / v 2

2v1v 2 v1 v 2

V n t c trung bình trên l trình i – v :

v tb

r2 r1 t 2 t1

rA rA t 2 t1

0

2.30.50 30 50

37, 5km / h

ng


20

Giáo Trình V t Lý

iC

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

t c th i và v n t c t c th i: T c trung bình c tr ng cho tính ch t nhanh, ch m c a chuy n ng trên m t o n ng s xác nh. c tr ng cho tính ch t nhanh, ch m c a chuy n ng t ng i m trên qu o, ta dùng khái ni m t c t c th i. T c t c th i (hay t c ) t i m t i m ã cho trên q i o là i l ng o b ng th ng s gi a quãng ng i r t nh tính t i m ã cho và kho ng th i gian r t nh

v

ng ó:

lim t

0

s t

ds dt

(1.10)

N. UC O

v t i h t quãng

Z.C

OM

2–T c

Kí hi u: ds là vi phân c a ng i, dt là vi phân c a th i gian và t s ds/dt là o hàm c a quãng ng theo th i gian. V y t c t c th i b ng o hàm c a quãng ng theo th i gian. M t cách t ng t , vect v n t c t c th i (hay vect v n t c) là o v hàm c a vect d i theo th i gian: M’ ds

lim t

0

r t

dr dt

YN HO

v

(1.11)

M

QU

hi u rõ ý ngh a c a vect v n t c t c th i, ta xét chuy n ng c a m t ch t i m trên m t qu o cong (C) b t kì (xem hình minh h a 1.5). Gi s th i i m t, ch t i m v trí M c xác nh b i vect v trí r và th i i m t + dt, ch t i m v trí M’ c nh b i vect v trí r '

(C)

r' r

O Hình 1.5

r dr .

M

xác

dr

AY

KE

Theo nh ngh a (1.11), vect v n t c luôn có h ng c a d i dr , ngh a là có h ng c a cát tuy n MM’. Khi th i gian dt r t nh thì i m M’ r t g n v i i m M. Lúc ó gi i h n c a cát tuy n MM’ chính là ti p tuy n v i qu ot i i m M. V y vect v n t c t c th i t i m i i m có ph ng ti p tuy n v i qu o t i i m ó và có chi u là chi u chuy n ng c a ch t i m. M t khác, môdun c a

W

.D

ng ds chính là

W

W

Ngh a là

d i dr chính là

dài cung MM ' . Khi M’ ti n

|v| v

| dr | dt

dài dây cung MM’ và quãng n M thì | dr | = ds. V y:

ds dt

l n c a v n t c t c th i chính b ng t c

(1.12) t c th i.

V y, vect v n t c t c th i v có c i m: - Ph ng: là ti p tuy n v i q i o t i i m kh o sát. - Chi u: là chi u chuy n ng. l n: b ng o hàm c a quãng ng i v i th i gian. i m t: t i i m kh o sát.


Ch

21

NG H C CH T I M

ng 1:

Descartes, ta có: r

Trong h to

v

Suy ra :

v

YN HO

3 – Bi u th c gi i tích c a vect v n t c:

dr dt

QU

dx dt

dy dt

y' ; v z

dz dt

z'

v

v 2x

v 2y

M

x'; v y

KE

4 – Quãng

(1.15)

v 2z

(1.16)

ng v t ã i:

(1.12), suy ra quãng ng c trong th i gian t = t – to là:

AY

v t i

y. j z. k

dx dy dz .i .j .k dt dt dt

l n c a vect v n t c: v

T

x. i

vx . i vy . j vz .k

trong ó: v x Suy ra,

N. UC O

Z.C

OM

T c t c th i là i l ng vô h ng không âm, c tr ng cho m c nhanh, ch m c a chuy n ng t i m i i m trên qu o; còn v n t c t c th i là i l ng vect , c tr ng cho c ph ng, chi u và nhanh ch m c a chuy n ng t i m i i m trên qu o. Khi nói v t chuy n ng v i t c không i, ta hi u v t chuy n ng u trên qu o th ng ho c cong b t kì, trong ó v t i c nh ng quãng ng b ng nhau trong nh ng kho ng th i gian b ng nhau b t kì ; nh ng khi nói v t chuy n ng v i v n t c không i thì ta hi u chuy n ng c a v t là th ng u. Qua các khái ni m trên ta th y r ng, t c trung bình có ý ngh a v t lý c th h n v n t c trung bình nh ng t c t c th i l i không có ý ngh a v t lý y b ng v n t c t c th i. Do ó, khi nghiên c u tính ch t c a chuy n ng trên quãng ng dài, ng i ta th ng s d ng khái ni m t c trung bình ; còn khi nghiên c u tính ch t c a chuy n ng t i t ng v trí trên qu o, ta s d ng v n t c t c th i.

v

t

vdt

.D

s=

(1.17)

to

W

trong ó, v là

W

N u trong kho ng th i gian t, l n c a v n t c không i (v t chuy n ng u) thì: s = v t = v(t – t0) (1.18)

W

S

l n c a v n t c.

to

t

t

Hình 1.6: Ý ngh a hình h c c a ng i.

Trong m t s tr ng h p, ta có th tính quãng ng d a vào ý ngh a hình h c c a tích phân (1.17): quãng ng v t i c b ng tr s di n tích hình thang cong gi i h n b i th v = v(t) v i tr c Ot (hình 1.6).


Giáo Trình V t Lý 1.4: V t chuy n

Ví d

x 15t 5t 2

y

iC

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

ng trong m t ph ng Oxy v i ph

(SI) . Tính quãng

ng v t ã i k t lúc t = 0

n lúc t = 2s.

x ' 15

vy

y' 10 t

2

s

15 2

v

2

vdt 10 0

t

2

2,25dt

0

c quãng

10 t 2

2,25 (m/s)

2,25 ln | t 2

2,25

M

QU

Ví d 1.5: V t chuy n ng trên ng th ng v i v n t c cho b i th hình bên. Tính quãng ng v t ã i k t 7,5s. Suy ra t c trung bình trên quãng ng này và bình trong kho ng th i gian ó. Gi i v (m/s) D a vào ý ngh a hình h c c a tích phân (1.17), ta suy ra quãng B ng ph i tìm là: s = tr s 30 (di n tích hình thang ABCD + di n tích tam giác DEF).

1 (5,5 2,5).30 2

1 .1.20 2

KE

s

AY

V y s = 130(m) Suy ra t c trung bình trên quãng ng ó:

s t

130 7, 5 1

t

2,25 | 0

0

1 A

2,5

bi n i theo qui lu t lúc t = 1s n lúc t = l n c a v n t c trung

C

5

D 7,5 F 6,5

t (s)

- 20 E

20(m / s) .

.D

vs

2 2

a ln | u u 2 a | C - toán cao c p) 2 ng là: s 37, 4(m) .

YN HO

Thay s vào ta tính

t 2 10 t 2

u 2 u a 2

u 2 adx

(L u ý:

(10 t ) 2

N. UC O

vx

Z.C

Gi i Ta có:

ng trình:

OM

22

W

W

Vì v t chuy n ng trên ng th ng và c n c th , ta th y, t t = 1s n t = 6,5s v t chuy n ng theo chi u d ng c a q i o (do v > 0) còn t t = 6,5s n t = 7,5s v t chuy n ng ng c chi u d ng c a q i o (do v < 0) nên môdun c a d i tính t th i i m t = 1s n t = 7,5s là:

W

| r | tr s di n tích hình thang ABCD – di n tích tam giác DEF

Suy ra

= 120 – 10 = 110m. l n c a v n t c trung bình: v tb

| r| t 2 t1

110 16,9m/s 7,5 1


Ch

ng 1:

23

NG H C CH T I M

OM

§1.3 – GIA T C nh nghiã: Gia t c là i l ng c tr ng cho s bi n thiên c a v n t c, o b ng th ng s gi a bi n thiên c a v n t c và kho ng th i gian x y ra s bi n thiên ó (th ng s này còn c g i là t c bi n thiên c a vect v n t c):

Gia t c t c th i: a

v t

lim t

0

v vo t t0

dv dt

(1.19)

N. UC O

v t

a tb

Gia t c trung bình:

Z.C

1–

d2 r dt 2

(1.20)

YN HO

Vect gia t c t c th i c tr ng cho s bi n thiên c a vect v n t c t ng th i i m; còn vect gia t c trung bình c tr ng cho s bi n thiên c a vect v n t c trong kho ng th i gian t khá l n.

(1.21)

y' '

(1.22)

2 – Bi u th c gi i tích c a vect gia t c: Trong h t a Descartes, t ng t nh vect v n t c, ta có:

x' '

z' '

l n c a vect gia t c : a

x

AY

Suy ra,

dt dv z dt

d2x dt 2 d2y dt 2 d2z dt 2

KE

az

dv x dt dv y

a z . k = (ax, ay, az)

a y. j

M

ay

v i

ax. i

QU

a

y

8t

Ví d 1.5: M t ch t i m chuy n

a 2y a 2z

ng trong m t ph ng Oxy v i ph

4 3 t 3 (SI)

W

W

W

.D

3t 2

a 2x

a

a) Xác nh vect gia t c t i th i i m t = 3s. b) Có th i i m nào gia t c tri t tiêu hay không? Gi i

Ta có:

ax

x ' ' 6 8t

ay

y' ' 0

a

a 2x

a) Lúc t = 3s thì : a = (-18; 0) và

a 2y

| 6 8t |

l n a = 18m/s2.

(1.23) ng trình:


Giáo Trình V t Lý b) a

0

6 8t

0

t

iC

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

0,75s

OM

24

V y lúc t = 0,75 giây thì gia t c b ng không. 3 – Gia t c ti p tuy n và gia t c pháp tuy n:

là vect

Suy ra:

a

Thành ph n:

at

d v d(v. ) dt dt dv . dt

n m trên ti p tuy n q i

1

( )

2

dv . dt

d( ) 2 dt

1

M v.

KE

Do ó, thành ph n: a n

d dt

0

2. .

d dt

(1.25) (1.26)

d dt

0

d

o.

o nên

.D

W

'

W d

R

'

'

c

M t khác, vect d ' luôn h ng vào b lõm c a q i o (hình 1.7), suy ra gia t c pháp tuy n luôn h ng vào b lõm c a q i o. Do

d

(2.27)

AY

n m trên pháp tuy n q i g i là gia t c pháp tuy n.

W

d dt

n m trên ti p tuy n nên vect

d n m trên pháp tuy n c a q i dt

nên

v.

o nên g i là gia t c ti p tuy n.

QU

Vì:

(1.24)

n v n m trên ti p tuy n.

YN HO

trong ó

v.

N. UC O

v

Z.C

Trong chuy n ng cong, ngoài bi u th c gi i tích c a vect gia t c, ng i ta còn mô t vect gia t c theo thành ph n ti p tuy n và pháp tuy n v i q i o. Ta bi t vect v n t c luôn n m trên ti p tuy n c a q i o, nên ta có th vi t:

d Hình 1.7: Bi n thiên c a vect trên ti p tuy n q i o.

d 2

)

nv

d

1

d 2.1. 2

(xem hình 1.7 và 1.8)

d

ds R

' Hình 1.8: Quan h gi a | d

| và d .


1 ds R dt

dt

(2.28)

at

v2 , v i R là bán kính R

v v. R

và a n

v R

OM

d Suy ra:

25

NG H C CH T I M

chính khúc c a q i o. Tóm l i: Trong chuy n

an

ng cong, vect

tuy n a t và thành ph n pháp tuy n a n .

trong ó: a t và

at an

(1.29)

v2 R

dv và a n dt

l n c a vect gia t c là: a =

YN HO

a

a

Hình 1.9: Vect gia t c c phân tích làm hai thành ph n: ti p tuy n và pháp tuy n c a q i o.

gia t c a c phân tích thành hai thành ph n vuông góc nhau: thành ph n ti p

V y ta vi t:

Z.C

ng 1:

N. UC O

Ch

a 2t

a 2n

(1.30) (1.31)

AY

KE

M

QU

Gia t c ti p tuy n c tr ng cho s bi n i v l n c a vect v n t c; gia t c pháp tuy n c tr ng cho s bi n i v ph ng c a vect v n t c. Gia t c ti p tuy n luôn n m trên ti p tuy n q i o và h ng theo chi u chuy n ng, n u chuy n ng là nhanh d n và h ng ng c chi u chuy n ng, n u chuy n ng là ch m d n; gia t c pháp tuy n luôn n m trên pháp tuy n c a q i o và h ng vào b lõm c a q i o. Tr ng h p c bi t: * an = 0 ; at = 0 : chuy n ng th ng u. * an = 0 ; at = const : chuy n ng th ng bi n i u. * an = const ; at = 0 : chuy n ng tròn u.

v

: chuy n

ng nhanh d n.

* at

v

: chuy n

ng ch m d n.

.D

* at

Ví d 1.7: M t ch t i m chuy n

W

x 10 50 t

W

W

y

40 t 5t 2

ng trong m t ph ng Oxy v i ph

ng trình:

(SI)

a) Nh n d ng q i o. b) Xác nh tung l n nh t mà v t t c. c) Xác nh các thành ph n và l n c a vect v n t c, gia t c t i th i i m t = 2s. Tính gia t c ti p tuy n, gia t c pháp tuy n và bán kính chính khúc c a q i o lúc ó.


26

Giáo Trình V t Lý

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

iC

t=

x 10 , v ix 50 2

Q i b) ymax khi vy =

1 2 x 500

21 x 25

41 (m). 5

o là m t ph n Parabol v i x

10 (m).

dy = 40 – 10t = 0 dt

N. UC O

4 x 10 y = ( x 10) 5 5 50

10 (m).

Z.C

a) Ta có: x = 10 +50t

OM

Gi i

t = 4 (s)

ymax = 40.4 – 5.42 = 80 (m).

c) Các thành ph n c a vect v n t c lúc t = 2 (s):

dy dx = 50 (m/s) ; vy = = 40 – 10t = 40 – 10.2 = 20 (m/s). dt dt v 2x

l n c a vect v n t c: v T

v 2y

50 2

YN HO

vx =

20 2 = 53,8 (m/s).

ng t , v i vect gia t c, ta c ng có:

d2x ax = dt 2

d2y 0 (m/s ) ; ay = 2 dt 2

Gia t c ti p tuy n lúc t = 2 (s):

dv dt

d dt

50 2

KE

M

Gia t c pháp tuy n lúc t = 2(s):

a 2x

50 a2

2

(40 10 t ) a 2t

o lúc t = 2(s): R

10 2

v2 an

Chuy n ng tròn là chuy n ng có q i o là m t ng tròn. Khi ch t i m chuy n ng tròn quanh tâm O, ta còn nói: “ch t i m quay quanh i m O”.

.D

W

W W

9,3 (m/s2). 311 (m).

NG TRÒN

s Mo o

Trong chuy n ng tròn, v trí c a ch t i m có th xác nh theo t a góc: nh h

-3,7 (m/s2).

2

M

góc – góc quay:

= (Ox , r ) = góc

10 (m/s2).

3,7 2

§1.4 – V N T C, GIA T C TRONG CHUY N

1–T a

a 2y

53,8 2 9,3

AY

Bán kính chính khúc c a q i

an

a=

10( 40 10 t)

(40 10 t ) 2 =

QU

at

10 (m/s2)

x

O

ng gi a tr c

g c Ox v i vect bán kính r OM (xem hình 1.10). N u t i th i i m t0 ch t

Hình 1.10: V trí c a ch t i m M có th xác nh theo góc (cung) .


Ch

27

NG H C CH T I M

ng 1:

và quãng ng mà nó ã i là: s = .R v i R là bán kính q i o tròn. mô t tính ch t c a chuy n ng tròn, ta th

v trí M có t a (1.32)

OM

i m v trí M0 có t a góc 0 và t i th i i m t, ch t i m góc thì góc mà ch t i m ã quay là: = – 0

(1.33)

ng:

v n t c góc, gia t c góc. Do ó, vect v n t c v c a ch t i m trong chuy n

ng

c g i là “v n t c dài”, i m chuy n

ng tròn,

vect bán kính OM s quay theo và quét c m t góc nào ó. c tr ng cho s

QU

tb

Hình 1.11: Vect v n t c góc.

d dt

t

0

M

t

Mo

(1.34)

t

lim

- V n t c góc t c th i:

M

O

YN HO

quét nhanh hay ch m c a OM , ta dùng khái ni m v n t c góc. V n t c góc là i l ng c tr ng cho s quay nhanh hay ch m c a ch t i m, có giá tr b ng góc mà nó quay c trong m t n v th i gian. Ta có: - V n t c góc trung bình:

.

N. UC O

2 – V n t c góc: Khi ch t

phân bi t v i v n t c góc

Z.C

il

tròn còn

ng dùng các

(1.35)

có:

AY

KE

V n t c góc c ng là m t i l ng vect . Vect - Ph ng: vuông góc v i m t ph ng q i o. - Chi u: tuân theo qui t c inh c: “ t cái inh c vuông góc v i m t ph ng q i o, xoay cái inh c theo chi u chuy n ng thì chi u ti n c a inh c

d dt

-

v

.D

W

-

là chi u c a ”. l n: b ng o hàm c a góc quay theo th i gian. i m t: t i tâm q i o.

R

Hình 1.12: Quan h gi a vect v n t c góc và v n t c dài.

W

W

Trong h SI, n v o góc là rad (không th nguyên). Do ó, v n t c góc có n v là rad/s hay s – 1.

O

* Quan h gi a v n t c dài và v n t c góc: Ta có: ds = Rd

suy ra

ds dt

R

d dt

hay

v= R

(1.36)


28

Giáo Trình V t Lý

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

v

,R

OM

v, , R ôi m t vuông góc nhau, nên ta vi t (1.36) d i d ng tích

Do các vect vect :

iC

(1.37)

2

R

(1.38)

Ví d 1.8: M t v t chuy n i mc nh O v i góc quay t c góc

o

:

. Trong ó

a

các h ng s d

ng tròn quanh là hàm c a v n

ng. Lúc t = 0 thì

o

=

và a là

o.

N. UC O

tính b i: a n

Hình 1.13: Quan h gi a vect v n t c góc và gia t c góc khi ch t i m quay nhanh d n.

Tìm (t) và (t).

YN HO

v2 R

Z.C

(1.37) là m i liên h gi a vect v n t c dài và vect v n t c góc. K t h p (1.30) và (1.36), suy ra, trong chuy n ng tròn, gia t c pháp tuy n c

Gi i

a

o

V y bi u th c t

a

dt

0

t

d

o

a

dt 0

ng minh c a góc quay và v n t c góc theo th i gian là:

(1 e at ) và

3 – Gia t c góc: ng t

nh

'

vect

KE

T

a

o

M

o

d

QU

Ta có:

d dt

o

e

at

v n t c v,

W

W

.D

AY

vect v n t c góc c ng có th bi n thiên theo th i gian. c tr ng cho s bi n thiên này, ta dùng khái ni m gia t c góc. Gia t c góc là i l ng c tr ng cho s bi n thiên c a vect v n t c góc, o b ng t c bi n thiên c a vect v n t c góc:

W

có ph

N u ta có chuy n

lim t

0

t

ng không

d dt

(1.39)

Hình 1.14: Quan h gi a vect v n t c góc và gia t c góc khi ch t i m quay ch m d n.

i (luôn vuông góc v i m t ph ng q i

o), nên

thì ta có chuy n ng tròn nhanh d n (hình 1.13). N u ng tròn ch m d n (hình 1.14).

//

. thì


Ch

29

NG H C CH T I M

ng 1:

d( R ) dt

dv dt

at

Ta có:

d .R dt

OM

* Quan h gi a gia t c ti p tuy n và gia t c góc:

R

(1.40)

,R

(1.41)

N. UC O

at

vect :

Z.C

Vì các vect a t , , R ôi m t vuông góc nhau nên ta vi t (1.35) d i d ng tích

Công th c (1.41) bi u di n m i quan h gi a vect gia t c ti p tuy n và vect gia t c góc. Trong h SI, n v o gia t c góc 2 là rad/s (hay s – 2).

R

at

Hình 1.15: Quan h gi a vect gia t c ti p tuy n và gia t c góc.

' b 3ct 2

Lúc t = 0 thì: Lúc d ng:

6 6t 2 ;

o

= 6rad/s;

=0

t = 1s

o

'

1

0

0

=

1

= -12 rad/s2.

1

M

Góc mà ch t i m ã quay:

KE

V n t c góc trung bình:

AY

Gia t c góc trung bình:

12t .

= 0 rad/s2.

QU

Ta có

YN HO

Ví d 1.9: M t ch t i m quay tròn quanh m t tr c c nh. Ph ng trình chuy n ng có d ng: = bt – ct3, v i b = 6 rad/s; c = 2 rad/s3. Hãy xác nh v n t c góc, gia t c góc lúc t = 0 và lúc ch t i m d ng l i. Tính giá tr trung bình c a v n t c góc, gia t c góc trong kho ng th i gian ó. Gi i

tb

tb

t t

4 (rad)

4 4 rad / s ; 1 0 6 6 (rad/s2). 1 CHUY N

NG

N GI N

.D

§1.5 – M T S

(6 6 t 2 )dt

dt

W

W

W

Trên ây là các qui lu t, các tính ch t t ng quát v chuy n ng. m t s i u ki n nh t nh (c ng th ng g p trên th c t ), các tính ch t y c bi u di n t ng minh theo th i gian b ng các công th c toán h c n gi n. Ta g i ó là các chuy n ng n gi n. Do ó các ph ng trình bi u di n tính ch t các chuy n ng n gi n d i ây ch là h qu c a các công th c trên mà thôi. B n c có th t nghi m l i d dàng (n u công th c ch a c ch ng minh). 1 – Chuy n ng th ng u: Chuy n ng th ng u là chuy n không i.

ng trên

ng th ng v i v n t c


Ta có: v

iC

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

r

dr dt

const

dr

v dt

t

dr

v dt to

ro

V y:

r

ro

t

v(t t o )

V n t c: v

const

Quãng

(1.43)

N. UC O

0

to

(1.42)

N u ch n tr c Ox trùng v i ph ng chuy n ng thì ta có: x = xo + v(t – t0) Tóm l i, chuy n ng th ng u có các tính ch t: Gia t c: a

v dt

OM

Giáo Trình V t Lý

Z.C

30

ng : s = v(t – to) = vt (n u ch n t0 = 0)

(1.44) (1.45) (1.46)

KE

M

QU

YN HO

T a : x = x0 + v (t – t0) ho c x = x0 + vt (n u t0 = 0) (1.47) Ph ng trình (1.47) là ph ng trình chuy n ng c a chuy n ng th ng u, trong ó, xo là to ban u c a v t, v là hình chi u c a vect v n t c lên tr c Ox ; khi v t i theo chi u d ng c a tr c Ox thì v > 0, trái l i v < 0. Trong (1.46) thì v là l n v n t c hay t c c a v t. Ví d 1.10: Lúc 6 gi , m t ôtô kh i hành t A chuy n ng th ng u v B v i v n t c 40 km/h. Lúc 7 gi , m t môtô chuy n ng th ng u t B v A v i v n t c 50km/h. Bi t kho ng cách AB = 220km. a) Vi t ph ng trình chuy n ng c a 2 xe. b) Xác nh v trí và th i i m 2 xe g p nhau. c) Xác nh th i i m 2 xe cách nhau 60km. Gi i

6h

220km

.D

A

AY

v1 = 40km/h

v2 = 50km/h 7h B

x

W

0

W

W

a) Ch n tr c t a Ox trùng v i AB, g c t a t i A, chi u d ng h ng v B; g c th i gian lúc 6 gi . Ta có ph ng trình chuy n ng c a: Xe ôtô: x1 = x01 + v1 (t – t01) = 0 + 40(t – 0) = 40t ( n v c a t: gi ; x: km) Xe môtô: x2 = x02 + v2 (t – t02) = 220 – 50 (t – 1) = 270 – 50t (gi ; km). b) Khi g p nhau: x1 = x2

t = 3 gi . V y hai xe g p nhau lúc 9 gi .

V i t = 3 x1 = x2 = 120km. V y ch g p nhau cách A 120km. c) Hai xe cách nhau 60km | x1 – x2 | = 60 | 90t – 270| = 60.


Ch

31

NG H C CH T I M

ng 1:

const ). v

V i i u ki n ó thì:

dr

v dt

r

vo

ro

a (t t o )

v o .( t

to )

ng th ng v i gia

(1.48)

N. UC O

i(a

t c không

ng trên

Z.C

2 – Chuy n ng th ng bi n i u : Chuy n ng th ng bi n i u là chuy n

OM

t = 2h 20’ ho c t = 3h 40’. V y hai xe cách nhau 60km t i các th i i m: 8h 20’ và 9h 40’.

1 a (t t o ) 2 2

(1.49)

Gia t c: a

const

V n t c: v = v0 + at : x

T a

xo

vo t

YN HO

Ph ng trình (1.48) và (1.49) là ph ng trình v n t c và ph ng trình chuy n ng t ng quát c a chuy n ng th ng bi n i u. N u ch n tr c Ox trùng (ho c song song) v i q i o và g c th i gian là lúc b t u kh o sát chuy n ng thì các ph ng trình c a chuy n ng th ng bi n i u có d ng:

1 2 at 2

(1.50) (1.51) (1.52)

QU

Công th c c l p th i gian: v2 – vo2 = 2a(x – xo) (1.53) Công th c (1.53) thu c b ng cách kh tham s t trong (1.51) và (1.52). Trong

M

công th c (1.51) và (1.52), các giá tr v, vo , a là hình chi u c a các vect

v , vo ,

KE

a lên tr c Ox. Chúng có giá tr d ng hay âm tùy theo các vect t ng ng c a chúng cùng chi u hay ng c chi u d ng c a tr c Ox. C n c vào các giá tr i s a và v ta s suy ra tinh ch t c a chuy n ng, c th : N u a và v là hai s cùng

(a

v ) thì chuy n

AY

d u (a

v ) thì chuy n

ng là nhanh d n; N u a và v là hai s trái d u

ng là ch m d n.

W

W

W

.D

Tr ng h p ch t i m ch chuy n ng theo m t chi u duy nh t, ta ch n chi u ó là chi u d ng c a tr c Ox, khi ó, ngoài các ph ng trình t (1.50) n (1.53), ta còn có: ng i: s = x – xo = vo t +

1 2 at 2

v2 – vo2 = 2as

Trong (1.54) và (1.53a), giá tr vo và v luôn d ng là nhanh d n và a < 0 n u ch m d n.

(1.54) (1.53a) ng; còn giá tr a > 0 n u chuy n


32

Giáo Trình V t Lý

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

iC

v0 t1

1 2 at 1 2

OB

v 0 (t1

2)

1 2 at 1 2 1 a (t1 2

2) 2

Mà OB – OA = AB = 20 m M t khác: vB = vo + a(t1 + 2)

1 2 at 1 2

1 a (t1 2

2) 2

1 2 at 1 2

20

at1 + a = 10 (*)

12 = a(t1 + 2) (**)

a = 2 m/s ; t1 = 4s

vA = v0 + at1 = 8m/s.

16m

trung bình trên o n AB: v tb / AB

T c

trung bình trên o n OA: v tb / OA

AY

KE

c) T c

trung bình trên o n OB: v tb / OB

T c

n A)

2) 2

M

b) OA =

2

1 a (t 1 2

QU

T (*) và (**)

(v0 = 0; t1 là th i gian i t O

YN HO

OA

N. UC O

Z.C

OM

Ví d 1.11: M t xe ua b t u chuy n ng th ng nhanh d n u t O, l n l t i qua hai i m A và B. Bi t AB = 20m, th i gian xe i t A n B là 2 giây và v n t c c a xe khi qua B là vB = 12 m/s. Tính: a) V n t c c a xe khi qua A. b) Kho ng cách t n i xu t phát n A. c) T c trung bình trên các quãng ng AB, OA, OB. Gi i vB = 12 m/s a) Ch n chi u d ng t O 20m n B. A B 2s Áp d ng công th c ng O i (1.54), ta có:

AB t OA t1

OB t1 2

20 2

10m / s

4m / s 6m / s .

W

W

W

.D

3 – R i t do: S r i t do là s r i c a các v t trong chân không, ch d i tác d ng c a tr ng l c. Các v t r i trong không khí mà hàng ngày chúng ta quan sát c có th xem nh r i t do – n u b qua nh h ng c a không khí. V i quãng ng r i không quá l n thì m i v t u r i theo ph ng th ng ng v i cùng m t gia t c a = g 10 m/s2 (g i là gia t c r i t do). Do ó, các ph ng trình v chuy n ng r i t do là h qu c a các ph ng trình chuy n ng th ng bi n i u. M t khác, v n t c u c a v t r i là b ng không, nên ta có: Quãng

ng i tính

V n t c t i th i i m t:

n th i i m t: v = gt

s=

1 2 gt 2

(1.55) (1.56)


33

NG H C CH T I M

ng 1:

Th i gian r i:

tr i =

V n t c ngay tr

c lúc ch m

2h g

(1.57)

OM

Ch

2gh

t: v =

(1.58)

Th i gian r i : t

2h g

2.20 10

V n t c khi ch m

t: v

2gh

2s 2.10.20

t? Lúc

N. UC O

Z.C

Trong ó, h là cao ban u c a v t. Ví d 1.12: Th m t v t t nh tòa tháp cao 20m thì sau bao lâu nó ch m ch m t, v n t c c a v t là bao nhiêu? B qua s c c n không khí. Gi i

20m / s .

Gia t c góc:

=0

V n t c góc

= const.

T a

=

Góc quay:

(1.59)

0

= t

2 R v

2

KE

vòng): T

và t n s (là s vòng quay

1 T

AY

f

+ t

(1.62)

N R

u có tính tu n hoàn v i ch t i m quay h t m t

M

(1.63)

c trong m t giây): (1.64)

2

Trong h SI, chu k có

r

(1.61)

M

Chuy n ng tròn chu kì (kho ng th i gian

(1.60)

QU

góc:

YN HO

4 – Chuy n ng tròn u: Chuy n ng tròn u là chuy n ng trên ng tròn, v i v n t c góc không i. T ng t nh chuy n ng th ng u, trong chuy n ng tròn u, ta có các ph ng trình:

n v là giây (s); t n s có

n v là Hertz (Hz).

W

W

.D

Ví d 1.13: Trái t quay quanh tr c c a nó v i chu k 24 gi . Hãy tính v n t c góc, v n t c dài c a m t i m xích o và i m n m v 60o, bi t bán kính Trái t là R = 6400 km. Gi i

W

V n t c góc c a Trái V n t c dài c a

2 T

t:

2.3,14 24.3600

i m M trên xích

V n t c dài c a i m N

v

7,3.10 – 5 rad/s

o: v1 = R = 7,3.10-5. 6400.103 = 466m/s

= 600: v2 = r = Rcos = 233m/s.


Giáo Trình V t Lý

iC

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

5 – Chuy n ng tròn bi n i u: Chuy n ng tròn bi n i u là chuy n ng trên góc không i. T ng t nh chuy n ng th ng bi n i trình: = const

V n t c góc:

=

góc:

(1.65)

+ t. ot

o

Góc quay:

o

Công th c

(1.66)

t

1 2 t 2

1 2 t 2 2

c l p v i th i gian:

N. UC O

T a

o

ng tròn v i gia t c u, ta có các ph ng

Z.C

Gia t c góc:

OM

34

2 o

=2

(1.67)

(1.68) (1.69)

Ta có

= 480 vòng/phút = 8 vòng/giây = 16 rad/s 1 = 60 vòng/ phút = 1 vòng/giây = 2 rad/s; 0

1

Gia t c góc:

0

QU

=

t1

+ t; khi d ng

t1 = 2phút = 120s.

7 (rad/s2) 60

0

=0

0

t=

M

YN HO

Ví d 1.14: M t môt ang quay v i v n t c 480 vòng/phút thì b ng t i n. Nó quay ch m d n u, sau ó 2 phút, v n t c còn 60 vòng/phút. Tính gia t c góc, s vòng quay và th i gian quay k t lúc ng t i n n lúc ng ng l i. Gi i

960 7

137,1(s) .

V y th i gian quay là t = 137,1(s).

1 2 t 2

KE

Góc quay:

t

AY

o

S vòng quay: N =

2

.D

W

W W

t o v i ph

ngang m t góc .

1 7 ( ).137,12 2 60

1097 (rad)

548,5 vòng.

6 – Chuy n ng ném xiên: Chuy n ng ném xiên là m t d ng chuy n ng d i tác d ng c a tr ng l c. ây là m t chuy n ng th ng g p trong cu c s ng, ó, v t c ném lên v i v n t c u vo

16 .137,1

ng

ymax

y

vo v 0y x

) O

v 0x Hình 1.16: Chuy n

xmax ng ném xiên.


Ch

35

NG H C CH T I M

ng 1:

OM

B qua nh h ng c a s c c n không khí, ch n h tr c Oxy nh hình v , g c th i gian là lúc ném v t, thì chuy n ng c a v t có th phân tích thành 2 chuy n ng ng th i: * Theo ph ng Ox, v t chuy n ng u theo quán tính v i: (1.70)

Z.C

V n t c: vx = vox = vocos

Ph ng trình chuy n ng: x = vx.t = vocos .t * Theo ph ng Oy, v t chuy n ng v i gia t c a = – g, nên ta có:

Kh

vy = vosin

– gt

(1.72)

N. UC O

V n t c:

(1.71)

Ph ng trình chuy n ng: y = vosin .t – ½ gt2 t t (1.71) và (1.73) ta thu c ph ng trình q i o:

y

g 2 v o2 cos 2

x.tg

cao l n nh t mà v t Khi v t ch m

YN HO

V y q i o c a v t là m t Parabol. Khi v t lên n i m cao nh t c a qu

t thì tung

y = 0.

KE

i xa nh t n u góc ném

y max

(1.75)

t cách i m ném m t o n L

L=

v 2o sin 2 g

u vo , có 2 góc ném

M

V i cùng m t v n t c ban cho cùng m t t m xa.

v o2 sin 2 2g

i m ch m

QU

T (1.76) suy ra:

(1.74)

o thì vy = 0. T (1.72) và (1.73) suy ra,

c (g i là t m cao): h max

t

g i là t m xa. T (1.71) suy ra:

V ts

x2

(1.73)

o

1

= 45 . Khi ó: L max

2

(1.76)

,v i

v 02 g

2

= 90o -

1

s

(1.77)

W

W

W

.D

AY

Trên th c t luôn có nh h ng b i l c c n c a không khí, nên q i o là m t ng cong không i x ng. Các ph ng trình t (1.70) n (1.73) là các ph ng trình c a chuy n ng ném xiên v i là góc nh n. Trong tr ng h p = 0 và = 90o, ta thu c các ph ng trình c a chuy n ng ném ngang và ném ng. Ví d 1.15: Tàu c p bi n ang neo ngoài kh i cách b bi n 800m, n i có t pháo ài b o v . Súng i bác t ngang m t n c bi n, b n n v i v n t c u nòng 100m/s. H i tàu c p bi n có n m trong t m b n c a súng không? N u có thì ph i t nghiêng nòng súng m t góc bao nhiêu b n trúng tàu c p? Gi i T m b n c a súng V y tàu c

c tính theo (1.75): x max

p n m trong t m b n c a súng.

v 02 g

100 2 = 1000m > 800m 10


Giáo Trình V t Lý

b n trúng tàu c

iC

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

v 2o sin 2 g

p thì:

OM

36

W

W

W

.D

AY

KE

M

QU

YN HO

N. UC O

Z.C

Suy ra: sin2 = 0,8 = 26030’ ho c = 63030’. V y nòng súng ph i nghiêng m t góc 26030’ ho c 63030’ thì b n trúng tàu c

p.


ng 1:

37

NG H C CH T I M BÀI T P CH

NG 1

OM

Ch

YN HO

N. UC O

Z.C

1.1 Tr ng h p nào sau ây c coi là chuy n ng c a ch t i m? a) Ô tô i vào gatage; b) Xe l a t Sài Gòn n Nha Trang; c) Con sâu bò trên lá khoai lang; d) Trái t chuy n ng quanh m t tr i; e) Trái t quay quanh tr c c a nó; f) Tàu v tr phóng t Trái t lên M t tr ng. 1.2 Mu n bi t v trí c a v t th i i m nào ó ta d a vào ph ng trình chuy n ng hay ph ng trình q i o? N u bi t ph ng trình q i o có th tìm c ph ng trình chuy n ng không? 1.3 Xác nh q i o c a các ch t i m chuy n ng v i ph ng trình sau: a) x = - 2t ; y = 2t2 ; z = 0. b) x = 4e2t ; y = 5e- 2t ; z = 0. c) x = cost ; y = cos2t ; z = 0. d) x = - sin2t ; y = 2 ; z = 2sin2t +1. e) x = 5sin2t; y = 10cos2t; z = 0. f) x = 20sin4 t +5; y = 4 – 20cos4 t. 1.4 M t ôtô i t A n B v i t c v1 r i t B v A v i t c v2. Tính t c trung bình trên l trình i – v . Ap d ng s : v1 = 35km/h; v2 = 45km/h.

QU

1.5 M t ôtô chuy n ng t A, qua các i m B, C r i n D. o n AB dài 50km, ng khó i nên xe ch y v i t c 20km/h. o n BC xe ch y v i t c 80 km/h, sau 3h30’ thì t i C. T i C xe ngh 30’ r i i ti p n D v i t c 30km/h. Tính t c trung bình trên toàn b quãng ng, bi t CD = 3AB.

AY

KE

M

1.6 M t ôtô chuy n ng t A n B. N a quãng ng u xe i v i t c v1; n a sau v i t c v2. Tính t c trung bình trên toàn b quãng ng. Áp d ng s : v1 = 90km/h; v2 = 50km/h. 1.7 M t ôtô ang chuy n ng v i v n t c v0 thì hãm phanh, k t ó v n t c xe bi n thiên theo qui lu t v = v0 – kt2 (SI), v i k là h ng s d ng. Tính quãng ng ôtô ã i k t lúc hãm phanh n khi d ng l i và v n t c trung bình c a ôtô trên quãng ng ó. Coi qu o c a ôtô là ng th ng. 1.8 M t ch t i m chuy n

ng theo chi u d

ng c a tr c Ox v i v n t c v = v trí x = 0.

W

W

W

.D

b x , trong ó b là h ng s d ng. Bi t lúc t = 0, ch t i m Hãy xác nh: a) V n t c c a ch t i m theo th i gian. b) V n t c trung bình trên quãng ng t x = 0 n v trí x.

1.9 M t ch t i m chuy n ng có vect v trí: r i 4 t 2 j 6 t k . Xác nh vect v n t c c a v t t i th i i m t = 1s và tính t c trung bình, v n t c trung bình trong giây u tiên. 1.10 Ch t i m chuy n ng trên tr c Ox v i ph ng trình: x = 6 - 11t + 6t2 - t3 (h SI). Xác nh các th i i m v t qua g c t a và vect v n t c c a ch t


Giáo Trình V t Lý i m lúc ó. Tính các quãng trí g c O.

iC

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

ng i gi a hai l n liên ti p ch t i m qua v

OM

38

1.11 T i th i i m t = 0, m t h t i qua g c to theo chi u d ng c a tr c Ox v i v n t c v0 = 10cm/s. K t ó, v n t c c a h t bi n thiên theo qui lu t

v o (1 2 t ) . Hãy xác nh:

Z.C

v

a) Hoành x c a các h t t i các th i i m 0,2s; 6s. b) Th i i m h t cách g c to 20cm. c) Quãng ng mà v t i sau 0,4s và 8s u tiên. V d ng

N. UC O

th s(t).

1.12 Chuy n ng c a ch t i m M trong m t ph ng Oxy lu t: x = 2t; y = 2t(1 - 4t). Hãy xác nh: a) Ph ng trình q i o và v th c a nó.

c mô t b i qui

YN HO

b) V n t c v , gia t c a c a ch t i m th i i m t = 0,25s. c) Gia t c ti p tuy n at, pháp tuy n an và bán kính qu o lúc t = 0,25s. d) Th i i m to mà v và a t o v i nhau m t góc 45o. e) Tính quãng ng v t i k t lúc t = 0 n lúc t = 0,25s.

QU

1.13 M t ch t i m chuy n ng trong m t ph ng v i gia t c ti p tuy n at = c và gia t c pháp tuy n an = bt4, trong ó b, c là các h ng s d ng. T i th i i m t = 0, ch t i m b t u chuy n ng. Hãy xác nh bán kính cong c a q i o và gia t c toàn ph n theo quãng ng s mà v t ã i.

KE

M

1.14 M t h t chuy n ng trong m t ph ng Oxy v i vect gia t c a không i, có h ng ng c chi u d ng c a tr c Oy. Ph ng trình q i o c a nó có d ng: y = Ax – Bx2 , v i A, B là các h ng s d ng. Hãy xác nh v n t c c a h t t i g c to . M t ch t i m chuy n

1.15

ng ch m d n trên m t

ng th ng v i gia t c a

1.16

.D

AY

mà l n ph thu c vào v n t c theo nh lu t a = b v , trong ó b là h ng s d ng. Lúc u, v n t c c a v t là vo. Tính quãng ng v t i cho n khi d ng l i và t c trung bình trên quãng ng ó? Bán kính vect c a ch t i m M bi n thiên theo th i gian t b i qui lu t:

W

W

W

r

2 t i t 2 j , trong ó i , j là các vect

nh: a) Ph

ng trình q i

o y (x) và v

b) Vect v n t c v , gia t c a và góc

1.17

M t ch t i m chuy n

n v trên tr c x, y. Hãy xác

th c a nó. gi a chúng lúc t = 1s.

ng trong m t ph ng Oxy v i ph

ng trình:


2t

y

2 t (1 t )

(SI) .

OM

x

Xác nh qu o c a ch t i m. Xác nh v n t c, gia t c th i i m t = 5s. Tìm th i i m mà vect v n t c và gia t c t o v i nhau m t góc 45o. Xác nh gia t c ti p tuy n, pháp tuy n, bán kính q i o lúc t = 5s. Tính quãng ng v t ã i trong th i gian 5s k t lúc t = 0.

Z.C

a) b) c) d) e)

39

NG H C CH T I M

ng 1:

Bán kính vect c a m t h t bi n thiên theo qui lu t r

1.18

trong ó r o là m t vect không i và a) Vect v n t c, gia t c theo t.

M t ch t i m b t

1.19 ó

o

là h ng s d

h t tr v g c t a

YN HO

b) Kho ng th i gian t gian y.

u chuy n

là m t vect không

i và

và quãng

t) ,

nh:

ng i trong th i

=

o

là góc quay tính t v trí ban

cos , trong u. H i v n

nh th nào? V d ng

M t ch t i m quay ch m d n quanh tr c c

QU

r o t (1

ng. Hãy xác

ng tròn v i gia t c góc

t c góc c a ch t i m ph thu c vào góc di n s ph thu c ó. 1.20

N. UC O

Ch

nh v i gia t c góc

th bi u t l v i

W

.D

AY

KE

M

. Bi t lúc t = 0, v n t c góc c a nó là o. Tính v n t c góc trung bình trong kho ng th i gian chuy n ng. 1.21 M t ch t i m chuy n ng trong m t ph ng Oxy v i ph ng trình: x = 8t – 4t2 ; y = 6t – 3t2 (h SI). Ch ng t ch t i m chuy n ng th ng bi n i u. Xác nh v n t c th i i m t = 0 và th i i m 5s. Tính quãng ng v t ã i trong kho ng th i gian ó. 1.22 Ng i ta th m t hòn bi t nh tòa nhà cao 10 t ng, m i t ng cao 4m. B qua s c c n không khí, l y g = 10m/s2. Tính th i gian hòn bi i qua t ng trên cùng và d i cùng. 1.23 M t ch t i m chuy n ng trong m t ph ng Oxy theo ph ng trình: x = Asin t; y = A(1 - cos t) v i A, là h ng s d ng. Ch ng t v t chuy n ng tròn u. Suy ra quãng ng v t i trong th i gian t và góc t o b i vect v n t c, vect gia t c.

W

W

1.24 Bánh xe p có ng kính 650mm b t u chuy n ng v i gia t c góc 2 = 3,14 rad/s . Sau giây u tiên thì: a) V n t c góc c a bánh xe là bao nhiêu? b) V n t c dài, gia t c ti p tuy n, pháp tuy n và toàn ph n c a m t i m trên vành bánh xe là bao nhiêu? c) Quãng ng xe ã i là bao nhiêu? 1.25 Bánh mài c a m t máy mài ang quay v i v n t c o = 300 vòng/phút thì b ng t i n. Nó quay ch m d n u, sau ó 1 phút v n t c còn 1 = 180 vòng/phút. Tính gia t c góc và s vòng quay c a bánh mài trong th i gian ó.


40

Giáo Trình V t Lý

iC

ng – T p 1: C – Nhi t – i n

Z.C

OM

1.26 Hai v t c ném cùng lúc t i cùng m t i m v i cùng v n t c vo = 25m/s. V tI c ném ng lên cao, v t II ném nghiêng m t góc 60o so v i ph ng ngang. B qua s c c n không khí. L y g = 10 m/s2. Tìm kho ng cách gi a 2 v t sau ó 1,7s. 1.27 M t viên n c b n lên t sân th ng c a m t toà nhà có cao 20m

YN HO

1.28 M t M t i m chuy n ng d c theo tr c x v i v n t c ph thu c th i gian theo th hình 1.17. Bi t lúc t = 0, ch t i m g c to . Hãy v g n úng th gia t c a(t) và quãng ng s(t).

N. UC O

v i v n t c u nòng v0 = 500m/s ; v o h p v i ph ng ngang m t góc 450. B qua s c c n không khí, hãy xác nh: a) Q i o c a n; b) Th i gian chuy n ng c a n. c) T m xa c a n (kho ng cách xa nh t tính theo ph ng ngang, k t i m b n n i m r i). d) V n t c, gia t c, gia t c ti p tuy n, gia t c pháp tuy n và bán kính cong c a q i o khi n ch m t. e) T i v trí nào thì v n t c c a n là l n nh t, nh nh t?

KE

M

QU

1.29 Hai h t chuy n ng u v i v n t c v1, v2 d c theo hai ng th ng vuông góc nhau và h ng v giao i m O c a hai ng th ng Hình 1.17 y. T i th i i m t = 0, hai h t cách O nh ng kho ng 1, 2. H i sau bao lâu kho ng cách gi a 2 h t s t c c ti u? Giá tr c c ti u ó b ng bao nhiêu?

W

W

W

.D

AY

1.30 Trong r ng, m t con chó i m A T v x nhìn th y m t con th i m O, cách A O m t kho ng OA = a (hình 1.18). Ngay lúc ó th ch y v i v n t c v theo h ng Ox u vuông góc v i OA. Chó li n u i theo v i v n t c u, song nó ch a ph i ã khôn, C không bi t cách ón u th mà c nhìn th y th âu thì ch y theo h ng ó Hình 1.18 (ch ng h n lúc chó C, nhìn th y th T thì chó ch y theo h ng CT). A a) Sau bao lâu chó b t c th ? Cho bi t u > v. b) N u u = v thì khi u i n cùng chó có b t c th không? N u không thì chó còn cách th bao xa? Áp d ng s : a = 160m; u = 10m/s; v = 6m/s.


41

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Z.C OM

Chương 2

ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

.U CO

Động Lực Học nghiên cứu mối quan hệ giữa sự biến đổi trạng thái chuyển động của vật và nguyên nhân làm biến đổi trạng thái của chuyển động đó. Chương này nghiên cứu mối quan hệ giữa gia tốc của chất điểm, hệ chất điểm với các lực tác dụng lên nó. Các phương trình động lực học rút ra chỉ được áp dụng cho các vật có kích thước nhỏ – các chất điểm. Vì thế, khi nói “vật” ta hiểu vật đó là chất điểm. §2.1 – CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTON

UY N

1 – Định luật Newton thứ I:

HO N

Cơ sở của Động Lực Học là ba định luật của Newton. Isaac Newton – nhà Vật Lý người Anh (1642 – 1727). Trong công trình “Các tiên đề toán học của triết học tự nhiên”, công bố năm 1687, ông đã phát biểu những định luật cơ bản của cơ học cổ điển, thiết lập được định luật vạn vật hấp dẫn, nghiên cứu sự tán sắc ánh sáng và khởi thảo những cơ sở của các phép tính vi phân và tích phân.

Một vật cô lập, nghiã là hoàn toàn không chịu tác dụng của các vật khác, sẽ mãi mãi đứng yên (nếu nó đang đứng yên) hoặc chuyển động thẳng đều (nếu nó đang chuyển động). Nói các khác, một vật cô lập sẽ bảo toàn trạng thái chuyển động của nó →

MQ

( v = const ). Đây là một thuộc tính của vật chất, và được gọi là quán tính của vật. Vì thế, định luật I Newton còn gọi là định luật quán tính.

AY KE

Trên thực tế, không có vật cô lập tuyệt đối, mà chỉ có những vật chịu tác dụng của những lực cân bằng, khi đó định luật I Newton cũng nghiệm đúng. 2 – Định luật Newton thứ II:

.D

a) Khái niệm về lực: Trong cuộc sống, ta thấy rõ nhiều hiện tượng vật này tác dụng vào vật kia. Chẳng hạn như: khi nâng một vật lên cao, tay ta đã tác dụng vào vật và vật đã đè lên tay ta; khi nam châm để gần đinh sắt sẽ hút đinh sắt, … . Để đặc trưng cho các tác dụng đó, người ta đưa ra khái niệm về lực.

W

Lực là đại lượng vật lý đặc trưng cho tác dụng của vật này vào vật khác, là số đo của tác động cơ học do các đối tượng khác tác dụng vào vật. Số đo ấy đặc trưng cho hướng và độ lớn của tác dụng.

W W

Lực được kí hiệu là F (Force). Trong hệ SI, lực có đơn vị là newton (N). Lực →

là một đại lượng vectơ ( F ) và là một khái niệm cơ bản của Động Lực Học. →

-

Phương của lực F : cho biết phương tác dụng.

-

Chiều của F

: cho biết chiều tác dụng.


42

-

Độ lớn của F

: cho biết độ mạnh, yếu (cường độ) tác dụng. →

Điểm đặt của F

: cho biết vị trí (điểm) chịu tác dụng.

Z.C OM

-

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Dưới tác dụng của lực, vật có thể thu gia tốc hoặc bị biến dạng. Chương này không nghiên cứu sự biến dạng của vật, chỉ nghiên cứu quan hệ giữa gia tốc của chất điểm với các lực tác dụng vào nó.

.U CO

Nếu tổng vectơ của hai lực đặt vào chất điểm bằng không thì sự có mặt của các tác động đo bởi các lực đó không được phản ánh trong chuyển động của chất điểm. Hai lực như vậy được gọi là hai lực cân bằng. Trong cơ học, ta phân biệt ba loại lực:

Các lực hút tương hỗ giữa các vật – gọi là lực hấp dẫn.

ƒ

Các lực xuất hiện khi các vật tiếp xúc trực tiếp tác dụng lên nhau. Các lực này có chung bản chất là lực đàn hồi.

ƒ

Các lực là kết quả của sự tương tác giữa hai vật tiếp xúc nhau, chuyển động tương đối với nhau. Các lực này gọi là lực ma sát.

HO N

ƒ

UY N

Bản chất và đặc điểm của các lực này, được trình bày rõ hơn ở §2.2. b) Khái niệm về khối lượng:

MQ

Mọi vật đều có xu hướng bảo toàn trạng thái chuyển động ban đầu của mình. Thuộc tính đó gọi là quán tính của vật. Mức quán tính của vật được đặc trưng bởi một đại lượng vật lý đó là khối lượng. Ta nói: khối lượng là số đo mức quán tính của vật.

AY KE

Quán tính của vật thể hiện ở gia tốc mà nó thu được khi có ngoại lực tác dụng và được định lượng bởi định luật II Newton: F = ma. Ta thấy, với cùng một lực tác dụng, trạng thái chuyển động biến đổi càng nhỏ (gia tốc càng nhỏ) khi khối lượng (quán tính) của vật càng lớn và ngược lại. Khối lượng còn là đại lượng đặc trưng cho mức hấp dẫn giữa vật và các vật khác. Theo Newton, lực hấp dẫn giữa Trái đất và vật là F = mg. Như vậy, đối với cùng một vật, ta có thể viết: F = m i a và F = m g g . Trường hợp thứ nhất, khối lượng là số

W

.D

đo quán tính của vật, nên gọi là khối lượng quán tính và được kí hiệu là mi. Trường hợp thứ hai, khối lượng là số đo tương tác hấp dẫn của vật với Trái đất, nên gọi là khối lượng hấp dẫn và được kí hiệu là mg.

W W

Tuy nhiên, trong sự rơi tự do, mọi vật đều có cùng gia tốc a = g như nhau nên suy ra khối lượng quán tính và khối lượng hẫp dẫn bằng nhau về trị số:

mi = mg = m

(2.1)

Hệ thức (2.1) là một trong những kết luận vững chắc nhất của vật lý hiện đại. Trên cơ sở đó, ta đi đến khái niệm về khối lượng như sau: Khối lượng là số đo mức


43

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Z.C OM

quán tính của vật và mức hấp dẫn của vật đối với vật khác. Trong hệ SI, đơn vị đo khối lượng là kilôgam (kg) và là một trong bảy đơn vị cơ bản. Khối lượng không phải là đại lượng bất biến. Thuyết tương đối hẹp của Einstein đã chỉ ra rằng, khối lượng m của vật tăng theo vận tốc v của nó (xem chương

m0

m=

(2.2)

v2 1− 2 c

.U CO

5) theo công thức:

Trong đó m0 là khối lượng của vật lúc đứng yên (khối lượng nghỉ), c = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không. Tuy nhiên, trong phạm vi cơ học cổ điển, v << c nên m ≈ m 0 , ta coi khối lượng là đại lượng bất biến.

HO N

c) Phát biểu định luật Newton thứ II:

Khi vật chịu tác dụng của ngoại lực F , nó sẽ thu một gia tốc a theo hướng của lực, tỉ lệ thuận với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: →

a=

F m

UY N

(2.3)

Nếu vật chịu tác dụng bởi nhiều lực thì F chính là hợp lực của các lực thành phần. →

F hA ∑ F F1 + F 2 + ... + F n a= = = m m m

(2.4)

MQ

Khi đó (2.3) trở thành:

AY KE

Định luật II Newton phát biểu ở dạng (2.3) và (2.4) là cơ sở của động lực học chất điểm. Tuy nhiên, phạm vi áp dụng của nó chỉ đúng trong cơ học cổ điển (khối lượng được coi là bất biến). 3 – Định luật Newton thứ III:

Nếu vật A tác dụng vào vật B một lực F thì vật B cũng tác dụng ngược trở lại →

vật A một lực F' . Hai lực này tồn tại đồng thời, cùng giá, bằng nhau về độ lớn nhưng →

.D

W

ngược chiều:

F = −F'

(2.5) →

F được gọi là lực tác dụng vào vật thì F' gọi là phản lực của vật. Lực và phản lực là

W W

hai lực trực đối nhưng không cân bằng nhau, vì đặt vào hai vật khác nhau. Chúng có cùng bản chất, cùng tồn tại và m���t đi đồng thời.

Định luật III Newton khẳng định tác dụng giữa các vật bao giờ cũng là “tương tác” (có tính hai chiều). Điều này thể hiện mối liên hệ biện chứng giữa các vật.

F ' = F BA

A

B

F = F AB

Hình 2.1: Lực và phản lực.


44

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

4 – Phương trình cơ bản của động lực học chất điểm: Từ các định luật cơ học của Newton, ta khái quát nên một phương trình diễn tả mối quan hệ giữa lực tác dụng (nguyên nhân) và gia tốc của vật (kết quả): →

∑F= ma

(2.6)

.U CO

Phương trình (2.6) được gọi là phương trình cơ bản của Động Lực Học chất điểm. Từ (2.6) suy ra: →

Khi ngoại lực F = 0 thì gia tốc a = 0 và do đó v = const : ta có chuyển động thẳng đều. (2.6) thể hiện định luật Newton thứ nhất.

Khi ngoại lực F ≠ 0 thì từ (2.6) ta tìm lại (2.3): thể hiện định luật Newton thứ hai.

a = a t + a n hay m a = m a t + m a n →

MQ

at

M

F

a

Suy ra: F = Ft + Fn , nghĩa là lực tác dụng lên vật cũng được phân tích làm hai thành phần:

Ft

UY N

Khi chất điểm chuyển động cong, vectơ gia tốc được phân tích làm hai thành phần:

HO N

an →

Fn

Hình 2.2: Lực tác dụng lên vật được phân tích thành hai thành phần: tiếp tuyến và pháp tuyến.

Thành phần Ft = m a t gọi là lực tiếp tuyến (vì nằm trên tiếp tuyến qũi đạo), có tác dụng làm thay đổi độ lớn của vectơ vận tốc (gây ra gia tốc tiếp tuyến).

Thành phần Fn = m a n gọi là lực pháp tuyến (vì nằm trên pháp tuyến qũi đạo), có tác dụng làm thay đổi hướng của vectơ vận tốc (gây ra gia tốc pháp tuyến).

AY KE

W

.D

Như vậy, vật chuyển động cong thì ngoại lực tác dụng phải có thành phần pháp tuyến:

Fn = ma n =

mv 2 R

(2.7)

W W

Từ phương trình cơ bản (2.6) suy ra: nếu biết lực tác dụng vào vật (nghiã là biết được nguyên nhân) thì sẽ tìm được gia tốc của vật và từ đó biết được tính chất chuyển động của vật (kết quả). Bài toán xác định tính chất chuyển động của vật khi biết các lực tác dụng vào vật được gọi là bài toán thuận. Trong một số trường hợp đơn giản, nếu biết trước tính chất chuyển động của vật, ta có thể tìm được nguyên nhân gây nên tính chất của chuyển động ấy – bài toán ngược.


45

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Z.C OM

§2.2 – CÁC LỰC CƠ HỌC Để tìm được tính chất chuyển động của một vật, ta phải xác định các lực tác dụng lên nó. Vì vậy cần nghiên cứu bản chất và đặc điểm của các lực trong cơ học.

HO N

.U CO

Trong tự nhiên tồn tại 4 loại lực tương tác: lực hấp dẫn, lực điện từ, lực tương tác mạnh (lực hạt nhân) và lực tương tác yếu. Lực hạt nhân và lực tương tác yếu có bán kính tác dụng vi mô nên không xuất hiện trong cơ học cổ điển – cơ học của các vật vĩ mô. Đối với vật thể vĩ mô, lực điện từ thể hiện dưới hai dạng: lực đàn hồi và lực ma sát. Vì vậy trong cơ học cổ điển, xét về bản chất, có ba loại lực gọi là lực cơ học: lực hấp dẫn, lực đàn hồi và lực ma sát. Về mặt hình thức, người ta chia các lực cơ học làm hai loại: các lực trực tiếp tác dụng vào vật (lực hấp dẫn) và các lực liên kết với chuyển động của vật (phản lực, lực ma sát, lực căng dây). Chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu đặc điểm của các lực này. 1 – Lực hấp dẫn – Trọng lực:

UY N

Các vật trong vũ trụ đều hút lẫn nhau bằng các lực có cùng bản chất – gọi là lực hấp dẫn. Newton là người đầu tiên phát hiện ra rằng, nguyên nhân làm cho quả táo rơi xuống đất, Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, hay nguyên nhân làm các hành tinh quay xung quanh Mặt Trời đó chính là lực hấp dẫn. Ông đã thiết lập được biểu thức định lượng của lực hấp dẫn và phát biểu thành định luật vạn vật hấp dẫn. a) Định luật vạn vật hấp dẫn (định luật hấp dẫn):

m1m 2 r2

AY KE

Fhd = G

MQ

Hai chất điểm bất kì luôn hút nhau một lực gọi là lực hấp dẫn. Lực này tỉ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. hay

F hd = −G

m1 m 2 → r r3

(2.8)

G: gọi là hằng số hấp dẫn, G = 6,68.10 – 11 (Nm2/kg2).

Fhd = Gm 2

dm1 2 (V) r

(2.9)

W

.D

Để tính lực hấp dẫn của một vật thể khối lượng m1 bất kì lên một chất điểm khối lượng m2, ta chia nhỏ vật thể đó thành những phần tử khối lượng dm1 rồi vận dụng (2.8), tích phân trên miền thể tích (V) của vật m1:

Kết quả tính tích phân (2.9) cho phép rút ra một số kết luận sau: Lực hấp dẫn của một quả cầu đồng nhất lên một chất điểm ở ngoài quả cầu tựa hồ như toàn bộ khối lượng của quả cầu tập trung tại tâm của nó.

Lực hấp dẫn của một quả cầu rỗng đồng nhất lên một chất điểm ở trong quả cầu luôn bằng không. Nói cách khác, vỏ cầu đồng nhất không hấp dẫn bất kì vật nào bên trong nó.

W W


46

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

(2.10)

O

với: M là khối lượng và R là bán kính của Trái Đất, h là độ cao từ mặt đất đến vật. Nếu vật nằm trong lòng Trái Đất thì chỉ có phần nằm trong khối cầu bán kính r (r < R) là tác dụng lực hấp dẫn lên vật, do đó lực hấp dẫn trong trường hợp này là:

F hd = G

mM' , với M’ là khối lượng r2

O

M' M V' r3 = ⇒ M' = M = M 3 V' V V R

r

R

Hình 2.3: Phân bố lực hấp dẫn bên trong và bên ngoài Trái Đất

UY N

phần Trái đất nằm trong hình cầu bán kính r. Coi mật độ khối lượng Trái đất phân bố đều thì ta có:

Fhd

.U CO

mM (R + h ) 2

HO N

F hd = G

Z.C OM

Từ kết quả trên suy ra, lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một vật nhỏ ở ngoài Trái Đất là:

⇒ Fhd = (G

Mm ).r R3

(2.11)

AY KE

MQ

Vậy: trong lòng Trái Đất, lực hấp dẫn tỉ lệ thuận với bán kính r; tại tâm Trái Đất, lực hấp dẫn triệt tiêu; tại bề mặt Trái Đất, lực hấp dẫn đạt cực đại; bên ngoài Trái Đất, lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vật. Hình (2.3) biểu diễn phân bố lực hấp dẫn của Trái Đất lên một vật nhỏ theo khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vật. Trong trường hợp tổng quát, tích phân (2.9) khá phức tạp, nên ta có thể tính gần đúng lực hấp dẫn giữa các vật thể bằng cách coi chúng là những chất điểm đặt tại khối tâm của chúng. Bảng 2.1: Lực hấp dẫn của các vật trong vũ trụ m1 (kg) 30

m2 (kg) 24

Fhd (N)

11

1,5.10

3,6.1022

Mặt trời – Trái đất

2.10

Mặt trời – Sao Thủy

2.1030

3,3.1023

5,8.1010

1,3.1022

Mặt trời – Sao Diêm vương

2.1030

1,1.1024

6.1012

4.1018

Trái đất – Mặt trăng

6.1024

7,4.1022

3,8.108

2.1020

Trái đất – người

6.1024

60

6,37.106

600

Người – người

60

60

1

2,4.10 – 7

W

6.10

r (m)

W W

.D

Vật thể

Do trị số của G quá nhỏ nên lực hấp dẫn chỉ đáng kể đối với vật có khối lượng rất lớn (các thiên thể). Chính vì thế, trong cuộc sống, ta không phát hiện ra lực hấp dẫn


47

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Z.C OM

của các vật xung quanh. Bảng 2.1 cho ta một số giá trị của lực hấp dẫn giữa các vật thể khác nhau. b) Trọng lực – gia tốc rơi tự do:

Trọng lực của một vật, theo nghĩa gần đúng là lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên vật đó, có biểu thức:

Mm = mg r2

(2.12)

Trong đó: M và m là khối lượng của Trái Đất và vật; r khoảng cách từ tâm của Trái Đất đến vật và:

Fhd M =G 2 m r

(2.13)

là gia tốc rơi tự do hay gia tốc trọng trường.

h

gh đất

Hình 2.4: Gia tốc rơi tự do phụ thuộc độ cao.

HO N

g=

.U CO

P = Fhd = G

Vì bán kính Trái Đất rất lớn (R = 6400km), nên ở gần mặt đất, gia tốc g coi như không đổi (trọng trường đều):

M ≈ 9,8 m/s2. 2 R

UY N

go = G

(2.14)

Khi lên cao, lực hấp dẫn giảm nên gia tốc g giảm theo qui luật:

M R2 gh = G = go (R + h ) 2 (R + h ) 2

MQ

với go là gia tốc tại mặt đất.

(2.15)

AY KE

Ở độ sâu h so với mặt đất, từ (2.11) suy ra gia tốc rơi tự do là:

g=(

GM R−h h )r = g 0 = g 0 (1 − ) 3 R R R

(2.16)

Thực ra, vật luôn tham gia vào chuyển động tự quay của Trái Đất, nên ngoài →

.D

lực hấp dẫn của Trái Đất, nó còn chịu tác dụng một lực Q - gọi là lực quán tính li tâm →

W

(chúng ta sẽ nghiên cứu sau). Hợp lực: P = F hd

+

Q

(2.17)

là trọng lực theo nghĩa chính xác.

W W

Vậy, theo nghĩa chính xác, trọng lực của một vật là lực mà Trái đất hút nó khi có kể đến sự tự quay của Trái đất. →

Vì lực quán tính li tâm Q phụ thuộc vào vĩ độ, nên trọng lực P cũng phụ thuộc vào vĩ độ, kéo theo trị số của g thay đổi theo vĩ độ. Càng xa xích đạo, g càng tăng (ở xích đạo: g = 9,78 m/s2; ở điạ cực: g = 9,83m/s2). Các kết quả tính toán cho


48

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän →

Z.C OM

thấy thành phần quán tính li tâm Q rất nhỏ, chỉ làm g thay đổi tối đa 0,5%, nên để đơn giản, ta hiểu trọng lực theo nghĩa gần đúng, và khi đó, gia tốc rơi tự do g được tính theo các công thức (2.14), (2.15) và (2.16). Trong đa số các trường hợp, để đơn giản, ta thường chọn g = 10 m/s2.

.U CO

Ngoài ra, gia tốc g còn phụ thuộc vào phân bố mật độ khối lượng của Trái Đất, nghĩa là phụ thuộc vào thành phần cấu trúc của lớp vỏ Trái Đất. Trước đây, người ta đã căn cứ vào sự thay đổi của g tại các nơi khác nhau để thăm dò địa chất. c) Trọng lượng:

Trọng lượng của một vật là lực mà vật ấy tác dụng lên giá đỡ hoặc dây treo nó, do bị Trái Đất (hoặc rộng hơn là các thiên thể ) hút mà không được tự do chuyển động.

UY N

HO N

Thuật ngữ “trọng lượng” và “trọng lực” thường hay bị lầm lẫn, thực ra chúng là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau. Trọng lực là lực hút của Trái đất tác dụng lên vật, có điểm đặt tại trọng tâm của vật; còn trọng lượng là lực mà vật tác dụng vào giá đỡ hoặc dây treo, có điểm đặt tại giá đỡ hoặc dây treo. Ở điều kiện bình thường, khi vật đứng yên so với mặt đất thì trọng lượng và trọng lực có cùng trị số. Nhưng khi vật chuyển động có gia tốc, thì trị số của trọng lượng có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn trị số của trọng lực P (hiện tượng tăng giảm trọng lượng – đọc thêm §6). d) Đo khối lượng:

MQ

Để đo khối lượng của một vật, ta dùng một dụng cụ gọi là cái cân. Sơ đồ Nguyên lý hoạt động của cái cân được mô tả ở hình (2.5). Giả sử khối lượng vật cần cân là m, khối lượng chuẩn (quả cân) là mo. Vì ở cùng một nơi, gia tốc rơi tự do là không đổi, nên:

P Po = m mo

hay m = m o

P Po

AY KE

g=

Khi cân thăng bằng ta có tỉ lệ:

A m = mo o A

W

Do đó :

.D

P Ao = Po A

(2.18)

A

B

O

A

Ao →

Po

P

Hình 2.5: Sơ đồ nguyên lý của cái cân.

W W

Đo chiều dài các cánh tay đòn OA, OB và biết khối lượng của quả cân mo ta sẽ tính được khối lượng của vật. Cái cân có sơ đồ nguyên lý ở hình (2.5) được gọi là cân đòn. Trong đó, cánh tay đòn OA là cố định, cánh tay đòn OB có các vạch chia sẵn tương ứng với khối lượng m của vật. Di chuyển quả cân (thay đổi chiều dài cánh tay đòn OB) đến vị trí cân thăng bằng, ta sẽ có số chỉ của khối lượng m.


49

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Z.C OM

Nếu cố định chiều dài các cánh tay đòn bằng nhau thì phải thay đổi khối lượng chuẩn mo cho đến khi cân thăng bằng. Lúc đó khối lượng m sẽ bằng tổng khối lượng các quả cân. Đó chính là nguyên lý hoạt động của cân đĩa (cân Rôbécvan). Đo khối lượng bằng phương pháp trên được gọi là phép cân. Mặc dù khi ta cân vật ở các địa điểm khác nhau thì gia tốc g có khác nhau, nhưng (2.18) không phụ thuộc vào gia tốc g nên phép cân không phụ thuộc vào địa điểm cân.

HO N

.U CO

Một phương pháp đo khối lượng khác là dựa vào lực kế lò xo (cân lò xo). Ta biết độ giãn của lò xo tỉ lệ với lực đàn hồi. Nếu ta móc vật vào lò xo thì khi vật đứng yên cân bằng (trong hệ qui chiếu gắn với Trái Đất), độ lớn của lực đàn hồi chính bằng trọng lượng mg của vật. Do đó khối lượng của vật tỉ lệ với độ giãn của lò xo. Dựa vào độ giãn của lò xo, ta có thể suy ra khối lượng của vật. Phương pháp cân vật bằng các cân lò xo khá tiện lợi, nhưng kết quả không thật chính xác vì phụ thuộc vào gia tốc g (nghĩa là phụ thuộc vào địa điểm cân). Tuy nhiên, sai số là không đáng kể, nên trong đời sống hàng ngày, cân lò xo được sử dụng khá rộng rãi. 2 – Lực đàn hồi:

Khi ngoại lực tác dụng làm biến dạng một vật thì bản thân vật sẽ xuất hiện một lực có xu hướng chống lại biến dạng đó. Lực ấy gọi là lực đàn hồi.

UY N

Xét biến dạng một chiều, lực đàn hồi tuân theo định luật Hooke: “Trong giới hạn đàn hồi, lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng của vật”. →

Fdh = −k∆ A

(2.19)

AY KE

MQ

Trong đó k: là hệ số đàn hồi (hay độ cứng) của vật, đơn vị đo là niutơn trên mét (N/m); ∆ A : là độ biến dạng của vật (m); dấu “ – “ chứng tỏ lực đàn hồi ngược với chiều biến dạng.

Độ cứng của một vật phụ thuộc vào chiều dài ban đầu A , tiết diện ngang S và bản chất của vật liệu làm ra nó:

S A

F ñh

Hình 2.6: Lực đàn hồi.

(2.20)

.D

k=E

∆A

W

trong đó E là hệ số tỉ lệ đặc trưng cho vật liệu, gọi là suất Young. Từ (2.20) suy ra, với cùng một loại vật liệu và cùng tiết diện ngang, vật nào càng ngắn thì càng cứng. Bảng 2.2 cho biết suất Young của một số vật liệu thông dụng.

W W

Lực đàn hồi có bản chất là lực điện từ. Vì khi biến dạng, khoảng cách giữa các phân tử thay đổi nên xuất hiện các lực hút và lực đẩy tĩnh điện giữa các phân tử. Lực đàn hồi thể hiện rõ nhất là ở các lò xo, các dây thun. Một số dạng khác của lực đàn hồi, đó là lực căng dây, phản lực vuông góc của bề mặt tiếp xúc. Chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu sâu hơn.


50

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

Bảng 2.2: Suất Young của vài vật liệu thông dụng Suất Young E (N/m2)

Vật liệu

Suất Young E (N/m2)

Đồng

(0,82 – 1,03).1011

Cao su

(1,5 – 8).106

Nhôm

(6,3 – 7).1010

Đá vôi

3,5.1010

Thép

(1,7 – 2,1).1011

Gang

(1,1 – 1,5).1011

Niken

2,4.1011

Bêtông

(1,5 – 4).1010

.U CO

Vật liệu

a) Lực căng dây:

HO N

Trong nhiều máy móc, một số chi tiết được nối với nhau bằng dây curoa, cáp mềm, thừng,…, ta gọi chung là dây. Dây là vật không chống lại lực nén mà chỉ chống lại lực kéo. Khi bị kéo căng, dây bị giãn một ít và bản thân nó xuất hiện lực đàn hồi chống lại sự kéo căng đó. Lực đàn hồi trong trường hợp này được gọi là lực căng dây.

UY N

Để đơn giản hoá các tính toán, người ta thường coi dây như không bị giãn và không có khối lượng. Khi đó lực căng có độ lớn bằng nhau tại mọi điểm trên dây. Ta nói sợi dây truyền nguyên vẹn lực từ đầu này đến đầu kia.

A

T

A

A

AY KE

MQ

→ Ví dụ: Xét vật m được treo ở đầu sợi dây, m T' đầu kia của sợi dây treo vào điểm cố định C (hình 2.7). Trong quá trình chuyển động của vật, sợi Hình 2.7: Lực căng dây. dây luôn được căng thẳng. Tại điểm A bất kì trên dây, nó chịu tác dụng của hợp lực bằng không. Nếu cắt đứt sợi dây tại A, muốn cho đoạn AC vẫn căng thẳng như trước, ta phải tác

dụng lên A một lực T ' . Ngược lại, muốn cho vật m vẫn có chuyển động như cũ, ta →

phải tác dụng lên A một lực T . T và T ' cùng độ lớn, cùng giá nhưng ngược chiều và được gọi là lực căng dây. b) Phản lực vuông góc của bề mặt tiếp xúc:

W W

W

.D

Xét hai vật (1) và (2) tiếp xúc nhau, do áp lực của vật (1) tác dụng vào vật (2) làm bề mặt của vật (2) bị biến dạng. Khi đó vật (2) xuất hiện lực đàn hồi chống lại sự biến dạng đó. Lực này tác dụng ngược trở lại vật (1) theo hướng vuông góc với bề mặt tiếp xúc nên được gọi là phản lực vuông góc hay phản lực pháp tuyến (hoặc ngắn gọn là

N

(1) (2)

phản lực) của mặt tiếp xúc, và được kí hiệu là N .

Q

Phản lực N của bề mặt tiếp xúc có bản chất là lực →

đàn hồi, có độ lớn bằng với áp lực vuông góc Q . Cặp lực

Hình 2.8: Phản lực của mặt tiếp xúc.


51

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC →

Z.C OM

Q và N luôn tồn tại và mất đi đồng thời, là cặp lực của định luật III Newton. 3 – Lực ma sát:

Khi một vật tiếp xúc với một vật khác và chúng có chuyển động tương đối với nhau thì tại bề mặt tiếp xúc xuất hiện một lực có xu hướng chống lại chuyển động của vật. Lực đó gọi là lực ma sát.

.U CO

Nếu vật rắn chuyển động trong chất lỏng, khí thì xuất hiện lực ma sát nhớt (ma sát ướt). Nếu vật rắn tiếp xúc với vật rắn khác thì ta có ma sát khô. Trong ma sát khô, nếu vật này trượt hoặc lăn trên mặt vật kia, thì ta có ma sát trượt hoặc ma sát lăn; còn nếu vật có xu hướng trượt (nhưng chưa trượt) thì ta có ma sát nghỉ. Dưới đây, ta khảo sát đặt điểm của các ma sát. → →

R

HO N

a) Lực ma sát trượt: Giả sử vật m trượt trên mặt sàn nằm ngang. Trong quá trình chuyển động, vật m sẽ tác dụng vào →

f ms

v

UY N

mặt sàn một lực F . Theo định luật III Newton, mặt sàn sẽ tác dụng ngược trở lại vật m một phản lực liên →

kết R . Do bề mặt tiếp xúc gồ ghề, nên phản lực R không vuông góc với mặt tiếp xúc. Nó được phân →

f

ms

P

Hình 2.9: Lực ma sát trượt (2.21)

MQ

R=N +

tích thành 2 thành phần:

N

Thành phần N vuông góc với mặt tiếp xúc, gọi là phản lực pháp tuyến (hay phản lực →

AY KE

vuông góc); thành phần f ms luôn ngược chiều chuyển động và có xu hướng chống lại chuyển động của vật, gọi là lực ma sát trượt. Bảng 2.3: Hệ số ma sát trượt của vài vật liệu thông dụng µ

Mặt tiếp xúc

µ

Thép – thép

0,18

Gỗ – gỗ

0,25 – 0,5

Sắt – sắt

0,34

Cao su – đất cứng

0,4 – 0,6

Thép – sắt

0,2 – 0,4

Cao su – gang

0,83

Ổ trượt có bôi trơn

0,02 – 0,08

Nước đá – nước đá

0,03

W

.D

Mặt tiếp xúc

W W

Đặc điểm của lực ma sát trượt: •

Xuất hiện tại bề mặt tiếp xúc khi hai vật trượt tương đối với nhau.

Có phương tiếp tuyến với bề mặt tiếp xúc và hướng ngược chiều chuyển động.

Có độ lớn tỉ lệ với áp lực vuông góc với bề mặt tiếp xúc, không phụ thuộc vào (2.22) diện tích mặt tiếp xúc: fms = µQ = µ N


52

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

với µ: là hệ số tỉ lệ, được gọi là hệ số ma sát trượt. Giá trị của µ phụ thuộc vào bản chất của hai vật tiếp xúc và tính chất của bề mặt tiếp xúc. Bảng 2.3 cho biết hệ số ma sát trượt của vài vật liệu thông thường. b) Lực ma sát lăn: Khi vật có chuyển động lăn thì xuất hiện lực ma sát lăn cản trở chuyển động của vật. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, lực ma sát lăn cũng tỉ lệ với áp lực vuông góc với mặt tiếp xúc và tỉ lệ nghịch với bán kính R của vật lăn hình trụ hoặc hình cầu:

N R

.U CO

fms lăn = µL N = µ' L

(2.23)

với µL là hệ số ma sát lăn. µL nhỏ hơn µ rất nhiều. Chính vì thế mà trong kĩ thuật, để giảm ma sát, tại chỗ tiếp xúc ta thay bằng các ổ bi, bánh xe.

Fn

F

m

Ft

f msn

UY N

Trường hợp ngoại lực tác dụng không đủ mạnh, ta thấy vật vẫn đứng yên. Điều này có mâu thuẫn với định luật II Newton hay không? Thực ra khi vật có xu hướng trượt, tại bề mặt tiếp xúc sẽ xuất hiện lực ma sát nghỉ,

HO N

c) Lực ma sát nghỉ:

MQ

cân bằng với thành phần tiếp tuyến Ft của Hình 2.10: Lực ma sát nghỉ ngoại lực, làm cho tổng các lực tác dụng lên vật vẫn triệt tiêu, kết quả vật không trượt. Nếu thành phần Ft tăng lên thì lực ma sát nghỉ cũng tăng theo, cho đến khi fmsn = µ N thì vật bắt đầu trượt. fmsn ≤ µ N

Vậy ta có:

(2.24)

W W

W

.D

AY KE

Một cách chính xác thì lực ma sát nghỉ cực đại luôn lớn Fms Fms hơn lực ma sát trượt. (Đẩy một vật nào đó thì ta phải nỗ lực nhiều nhất lúc nó sắp dịch chuyển. Khi nó bắt đầu dịch v v chuyển, ta thấy dễ đẩy hơn). Đồ thị hình (2.11) biểu diễn sự biến a) b) thiên của lực ma sát theo vận tốc tương đối v. Khi vật bắt đầu Hình 2.11: sự biến thiên của lực ma sát trượt, lực ma sát nghỉ cực đại theo vận tốc. lớn hơn lực ma sát trượt. Khi vận tốc v tăng thì lực ma sát tăng chậm. Nếu bỏ qua các chi tiết nhỏ này, đồ thị (2.11a) được thay bằng đồ thị (2.11b). Khi đó, ta có công thức (2.24). d) Vai trò của ma sát: Ma sát sinh ra do các bề mặt tiếp xúc gồ ghề, cho dù có làm nhẵn, vẫn có những chỗ gồ ghề vi mô. Ma sát có thể làm cản trở chuyển động, mài mòn các chi tiết máy. Để giảm bớt tác hại này, người ta thay ma sát trượt bằng ma sát lăn, nghĩa là các trục máy đều gắn các vòng đỡ có ổ bi và phải được bôi trơn.


53

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Z.C OM

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ma sát lại rất cần thiết. Không có ma sát, con người và tất cả xe cộ đều không thể chuyển động được. Quan sát một chiếc ôtô đi trên đoạn đường bùn lầy, ta thấy có lúc bánh xe quay rất nhanh mà ôtô không tiến lên được. Đó là vì ma sát của đường không đủ lớn để giữ cho bánh xe khỏi trượt. Trong trường hợp này, lực ma sát nghỉ đóng vai trò là ngoại lực phát động làm vật chuyển động. Do đó các lốp xe phải có rãnh, gờ để tăng ma sát phát động.

e) Lực cản của môi trường:

a)

HO N

b)

v

c)

UY N

Xét một vật rắn ở trong môi trường lỏng hoặc khí. Nếu nó đứng yên thì chỉ cần một lực rất nhỏ cũng làm cho nó chuyển động (thí dụ một người không thể làm nhúc nhích chiếc tàu mắc cạn, nhưng nếu tàu đậu trên bến thì người ấy có thể đẩy nó chuyển động dễ dàng). Có thể nói rằng, chất lỏng và chất khí không có ma sát nghỉ.

.U CO

Ma sát vừa có ích lại vừa có hại. Tùy theo mục đích sử dụng mà trong từng trường hợp cụ thể, ta có thể làm tăng hoặc giảm ma sát.

MQ

Khi vật rắn chuyển động trong môi trường chất lỏng, hay khí thì nó chịu lực cản đáng kể, ta gọi là lực cản của môi trường. Nguyên nhân của lực cản này, một phần nhỏ là do ma sát, phần lớn là do sự chênh lệch về áp suất ở mặt trước và sau vật rắn.

d) Hình 2.12: Lực cản phụ thuộc hình dạng vật rắn.

AY KE

Đặc điểm của lực cản môi trường: •

Tỉ lệ với tiết diện cản S – là tiết diện ngang lớn nhất của vật vuông góc với phương chuyển động.

Tỉ lệ với bậc nhất của vận tốc v - nếu v nhỏ (vài m/s); và tỉ lệ với bình phương vận tốc – nếu v lớn.

.D

F = k1vS 2

F = k2v S

(khi v nhỏ)

(2.25)

(khi v lớn).

(2.26)

W W

W

Các hệ số k1, k2 phụ thuộc vào bản chất môi trường, tính chất bề mặt của vật và nhất là hình dạng của vật. Hình (2.12) ghi lại kết quả thực nghiệm về lực cản của những vật có cùng tiết diện cản S, chuyển động trong không khí với cùng vận tốc v, nhưng có hình dạng khác nhau. Nếu lực cản đối với vật hình trụ là lớn nhất bằng 1 thì lực cản của vật có dạng (d) là nhỏ nhất, chỉ bằng 1/25. Ta gọi dạng (d) là dạng khí động học. Thân các loài chim, cá đều có dạng này. Người ta cũng chế tạo thân máy bay, ô tô theo dạng này để giảm tối đa lực cản môi trường.


54

§2.3 - PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC

Z.C OM

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Trên cơ sở hiểu biết về bản chất và các đặc điểm của các lực cơ học, chúng ta sẽ vận dụng các định luật Newton để khảo sát các bài toán cơ bản của động lực học. Phương pháp vận dụng các định luật Newton để khảo sát các bài toán cơ học còn được gọi là phương pháp động lực học.

.U CO

Bài toán thuận của cơ học là bài toán biết các lực tác dụng lên vật, tìm tính chất chuyển động của nó. Để giải tường minh bài toán này, cần phải biết thêm các điều kiện ban đầu, tức là vị trí (toạ độ), vận tốc của vật ở một thời điểm nào đó được qui ước làm gốc thời gian. Trình tự giải bài toán này là: Xác định các lực tác dụng lên chất điểm.

Vận dụng (2.6).

Chiếu lên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz cần thiết để tìm các thành phân ax, ay, az của vectơ gia tốc rồi sử dụng các điều kiện ban đầu, tìm phương trình chuyển động của chất điểm.

HO N

MQ

UY N

Trong quá trình nghiên cứu, đôi khi ta gặp bài toán ngược của cơ học: biết tính chất chuyển động của vật, xác định các lực tác dụng lên nó. Ví dụ nổi tiếng của bài toán này là việc Newton tìm ra lực hấp dẫn từ chuyển động của các hành tinh. Trong kĩ thuật, ta cũng thường hay gặp bài toán ngược. Thí dụ: trong một ống phóng điện tử (như đèn hình chẳng hạn), electron phải có qũi đạo và vận tốc xác định, người kĩ sư phải tính các lực điện, lực từ tác dụng lên electron, để từ đó thiết kế các mạch điện hợp lý. Trình tự giải bài toán này là: Từ chuyển động của vật suy ra gia tốc của nó.

Vận dụng (2.6) suy ra lực tác dụng lên vật.

AY KE

Trên thực tế, nhiều bài toán không thuần tuý là thuận hay ngược. Thí dụ trong bài toán thuận, thường ta không biết đầy đủ về lực ma sát, lực liên kết, để giải được, phải có thêm các dữ kiện như hệ số ma sát hoặc biết một vài yếu tố của chuyển động. Dưới đây là vài ví dụ điển hình. →

W W

W

.D

Ví dụ 2.1: Vật có khối lượng m được kéo trượt trên mặt sàn ngang bởi một lực F không đổi, tạo với phương ngang một góc α. Hệ số ma sát giữa vật và mặt sàn là µ. Tính gia tốc của vật. Xác định góc α để gia tốc lớn nhất. •

Giải

Phân tích lực: Lực tác dụng lên vật gồm: →

- Trọng lực P ;


55

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC →

y

- Lực kéo F ; →

O

- Lực ma sát F ms . •

Fn

x

N

F ms

Áp dụng (2.6) ta có:

P + N + F + F ms = m a (1)

Ox:

Ft

Hình 2.13: Vật bị kéo trượt trên mặt phẳng ngang.

(2)

HO N

⇒ Fms = µ.N = µ(P - Fsinα)

Thay (3) vào (2), rút ra gia tốc của vật là:

(3)

F(cos α + µ sin α) − µmg F = (cos α + µ sin α) − µg m m

(2.27)

UY N

a=

) α

P

Oy: – P + N + Fn = may = 0 ⇒ N = P – Fsinα

F

Ft – Fms = max

hay: Fcosα – Fms = ma

.U CO

Chiếu (1) lên các trục Ox, Oy ta có:

Z.C OM

- Phản lực của mặt sàn N ;

Từ (2.27) suy ra: khi lực kéo có độ lớn không đổi, gia tốc của vật là lớn nhất khi (cosα + µ sinα)max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

MQ

(cosα + µ sinα)2 ≤ (12 + µ2 )(sin2α + cos2α) ⇒ cosα + µsinα ≤

1 + µ 2 = const

AY KE

⇒ (cosα + µsinα)max =

1 + µ 2 khi µ cosα = sinα

tgα = µ

(2.28)

Vậy để gia tốc nhất thì lực kéo phải hợp với mặt nghiêng một góc αo sao tgαo = µ. Ví dụ 2.2: Vật có khối lượng m được kéo trượt lên một mặt phẳng nghiêng có góc →

.D

nghiêng α so với mặt phẳng ngang bởi lực F hợp với mặt nghiêng một góc β. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là µ.

W

a) Tìm gia tốc của vật. Từ đó suy ra lực kéo tối thiểu để vật có thể đi lên.

W W

b) Giả sử lực kéo có độ lớn không đổi, hãy tìm góc β để gia tốc lớn nhất. c) Trong trường hợp không có lực kéo, hãy tìm biểu thức tính gia tốc trượt xuống của vật. Từ đó suy ra góc α nhỏ nhất để vật bắt đầu trượt xuống.


56

Giải →

F

Fn

N

β

y

.U CO

Pt →

x

f ms α

)

Pn

P

α

HO N

O

Ft

Z.C OM

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Lực tác dụng lên vật gồm: →

UY N

Hình 2.14: Vật bị kéo lên mặt phẳng nghiêng.

Trọng lực P ; Phản lực pháp tuyến N ; Lực kéo F và Lực ma sát f ms . •

P + N + F + f ms = m a

MQ

Áp dụng (2.6) ta có:

(1)

Chiếu (1) lên phương Ox // mặt phẳng nghiêng, ta có: – Pt + 0 + Ft – fms = ma ⇒ – mgsinα + Fcosβ – µ N = ma

(2)

AY KE

Chiếu (1) lên phương Oy vuông góc với mặt nghiêng, ta có: – Pn + N + Fn = 0 ⇒ – mg cosα + N +Fsinβ = 0 ⇒

N = mgcosα – Fsinβ

(3)

Thay (3) vào (2) ⇒ F(cosβ +µsinβ) –mg(sinα + µcosα) = ma.

F (cos β + µ sin β) − g(sin α + µ cos α) m

(2.29)

W

a=

.D

Từ đó tính được gia tốc của vật là:

W W

Suy ra, lực kéo nhỏ nhất (ứng với a = 0) để vật bắt đầu trượt lên dốc:

Fmin =

mg(sin α + µ cos α) cos β + µ sin β

Nếu lực kéo có hướng song song mặt nghiêng (β = 0) thì:

(2.30)


57

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

F − g(sin α + µ cos α) m

(2.31)

Z.C OM

a=

b) Từ (2.29) suy ra: khi lực kéo có độ lớn không đổi, gia tốc của vật là lớn nhất khi (cosβ + µ sinβ)max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, tương tự như ví dụ 1, ta có: tgβ = µ . Vậy để gia tốc nhất thì lực kéo phải hợp với mặt nghiêng một góc βo sao cho tgβo = µ.

.U CO

c) Nếu không có lực kéo, vật có thể sẽ trượt xuống dốc. Khi đó lực ma sát hướng ngược lên trên dốc. Làm tương tự như câu a, ta sẽ thu đựợc gia tốc của vật khi nó trượt xuống dốc: a = g(sinα – µ cosα) (2.32). Vật thực sự trượt xuống khi a ≥ 0. (2.32) ⇒ sinα ≥ µ cosα ⇒ tgα ≥ µ. Vậy góc α nhỏ nhất để vật bắt đầu trượt xuống dốc (khi không có lực kéo) là: Ví dụ 2.3: Thang máy chuyển động với đồ thị vận tốc như hình (2.15). Khối lượng của thang máy là 500 kg, lực căng lớn nhất của dây cáp cho phép sự an toàn của thang máy là Tmax = 12000 N. Tính trọng tải của thang máy.

v (m/s)

5

UY N

Giải

Gọi m và M là khối lượng thang máy và tải trọng.

-

2

10

13

MQ

T

AY KE

-

t (s)

Hình 2.15: Đồ thị vận tốc của thang máy.

Lực tác dụng lên hệ (thang máy + tải) gồm: →

(2.33)

HO N

αmin = arctgµ

Trọng lực P = (m + M) g ;

x

Lực căng dây v của dây cáp.

Áp dụng phương trình (2.6): →

.D

P + T = (m + M ) a

m

(1)

W W

W

Chiếu (1) lên trục Ox thẳng đứng, chiều (+) hướng lên, ta có: (2)

trong đó gia tốc a có giá trị đại số, nó có

giá trị dương hay âm tùy theo vectơ hướng lên hay hướng xuống.

M →

– P + T = (m + M)a

⇒ T = P + (m +M)a = (m + M)(g + a)

O

a

P

Hình 2.16 : Lực tác dụng lên hệ (thang máy +người).


58

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän →

T = Tmax = (m + M)(g + amax) và do đó: M =

a max =

∆v 5 = = 2,5 m/s2. ∆t 2

Vậy trọng tải của thang máy là:

M=

Tmax 12000 −m= − 500 = 460kg . g + a max 10 + 2,5

HO N

Ví dụ 2.4: Hai vật có khối lượng m1, m2 buộc vào hai đầu sợi dây, vắt qua ròng rọc. Bỏ qua khối lượng dây và ròng rọc. Coi dây không giãn. Chứng tỏ hai vật chuyển động ngược chiều với cùng độ lớn gia tốc. Tính gia tốc của các vật và lực căng dây. Áp dụng số: m1 = 6kg; m2 = 4kg. Giải →

Ta có: P1 + T1 = m1 a 1

(1)

0

T1

UY N

(3)

.U CO

Từ đồ thị vật tốc, suy ra:

Tmax −m g + a max

Z.C OM

Khi thang máy chuyển động đi lên nhanh dần hoặc đi xuống chậm dần thì a hướng lên , suy ra a > 0, khi đó từ (2) ta có lực căng dây lớn nhất :

m1

T2

x1

m2

x2 (2) → → Chọn trục Ox như hình vẽ. Chiếu (1) và (2) lên P1 P2 0x, ta có: P1 – T1 = m1a1 (3) x P2 – T 2 = m2a2 (4) Gọi x1 và x2 là tọa độ của m1 và m2. Do dây Hình 2.17: Hệ vật vắt không giãn nên chiều dài dây: qua ròng rọc A = x1 + x2 +C = const. (5) với C là hằng số biểu diễn phần dây vắt qua ròng rọc. Lấy đạo hàm cấp 2 của (5) ta được: a1 + a2 = 0 ⇒ a1 = – a2 = a (6) Phương trình (6) chứng tỏ hai vật luôn chuyển động ngược chiều với cùng độ lớn gia tốc a. Mặt khác, dây rất nhẹ nên T1 = T2 = T (7) Thay (6) và (7) vào (3) và (4) rồi trừ vế với vế, suy ra gia tốc:

W

.D

AY KE

MQ

P2 + T2 = m 2 a 2

a=

( m 1 − m 2 )g m1 + m 2

(8)

W W

Thay (8) vào (3) ta có lực căng dây: T = m1g – m1a1 Hay

T=

m1 m 2 g m1 + m 2

(9)

Thay số: m1 = 6kg; m2 = 4kg; g = 10m/s2 vào (8) và (9) ta được: a = 2m/s2; T = 24N.


59

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Z.C OM

§2.4 – ĐỘNG LƯỢNG – XUNG LƯỢNG 1 – Động lượng:

Động lượng của chất điểm là đại lượng vectơ bằng tích khối lượng với vận →

p =mv

tốc của chất điểm:

(2.34)

.U CO

Từ định nghĩa (2.34), ta thấy, vectơ động lượng p luôn cùng hướng với vectơ vận tốc →

v . Trong hệ SI, động lượng có đơn vị là kgm/s.

Đối với hệ chất điểm, động lượng của một hệ bằng tổng động lượng của các →

2 – Các định lí về động lượng: →

HO N

p heä = ∑ p i

chất điểm trong hệ:

(2.35)

Gọi F là tổng các lực tác dụng lên chất điểm, thì theo (2.6) ta có: →

d(m v) d p → = =F dt dt

UY N

dv → ma = m = F hay dt →

(2.36)

Lấy đạo hàm (2.35) theo thời gian t và sử dụng hệ thức (2.36), ta có: →

d p heä →

MQ

→ → → → d pi =∑ = ∑ (F i + f i ) = ∑ F i + ∑ f i dt dt →

trong đó F i và f i là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i.

đối, vì thế

AY KE

Theo định luật III Newton, các vật trong hệ tương tác nhau bằng những cặp lực trực →

∑f

i

= 0 . Suy ra:

d p heä dt

= ∑ Fi = F

Định lí 1: Đạo hàm của vectơ động lượng của một chất điểm (hay hệ chất điểm) theo thời gian bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên chất điểm (hay hệ chất điểm) đó.

.D

d p heä

W

dt

= ∑ Fi = F

(2.37) →

W W

Nếu viết (2.36) hoặc (2.37) dưới dạng d p = F dt , rồi lấy tích phân hai vế, ta

được:

p2

t2

t2

∫ d p = ∫ F dt hay ∆ p = p 2 − p1 = ∫ F dt

p1

t1

t1

(2.38)


60

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän t2

∫ F dt gọi là xung lượng của ngoại lực F trong thời gian từ t1 đến t2 ; còn

Z.C OM

Đại lượng

t1

đại lượng ∆ p = p 2 − p 1 chính là độ biến thiên động lượng của vật. Vậy ta có thể phát biểu (2.38) dưới dạng định lý sau:

.U CO

Định lí 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm (hay hệ chất điểm) trong khoảng thời gian ∆t bằng xung lượng của ngoại lực tác dụng lên chất điểm (hay hệ chất điểm) ấy trong khoảng thời gian đó. 3 – Ý nghĩa của động lượng và xung lượng:

HO N

Ta biết rằng, vận tốc là đại lượng đặc trưng cho chuyển động về mặt Động Học. Nhưng khi khảo sát chuyển động của vật về mặt Động Lực Học, ta thấy vận tốc của vật còn tùy thuộc vào cả khối lượng của nó. Động lượng là đại lượng bao hàm cả vận tốc lẫn khối lượng, nên nó đặc trưng cho chuyển động về mặt Động Lực Học. Trong các va chạm, động lượng đặc trưng cho khả năng truyền chuyển động.

UY N

Phương trình (2.36) chỉ là một dạng khác của phương trình cơ bản (2.6), nhưng nó tổng quát hơn dạng (2.6). Vì thực ra, khối lượng của vật không phải là “bất biến”, nó phụ thộc vào vận tốc, nhất là khi vận tốc cỡ vận tốc áng sáng (300000 km/s). Tuy nhiên, trong khuôn khổ các hệ vĩ mô, vận tốc của vật là không đáng kể so với vận tốc ánh sáng, nên khối lượng của vật coi như không đổi. Nói tóm lại, phương trình (2.36) là phương trình động lực học cho bất kỳ vật nào, còn (2.6) chỉ là trường hợp riêng của (2.36) khi vật có vận tốc nhỏ.

AY KE

MQ

Từ (2.38) suy ra, với một lực khá lớn, nhưng tác dụng vào vật trong thời gian rất ngắn thì chưa chắc đã làm thay đổi vận tốc của vật bằng một lực nhỏ nhưng thời gian tác dụng lâu. Vậy xung lượng của lực trong khoảng thời gian ∆t đặc trưng cho tác dụng của lực vào vật trong khoảng thời gian ấy. 4 – Định luật bảo toàn động lượng: →

p heä = ∑ p i = const

(2.39)

W

.D

Nếu hệ mà ta khảo sát là hệ cô lập (hay hệ kín F = 0) thì từ (2.37) suy ra động lượng của hệ không đổi. Ta có định luật bảo toàn động lượng: Tổng động lượng của một hệ cô lập được bảo toàn.

W W

Trên thực tế không có hệ nào cô lập tuyệt đối cả! Tuy nhiên, định luật bảo toàn động lượng vẫn được áp dụng trong các trường hợp sau: •

Hệ cô lập theo một phương Ox nào đó. Trường hợp này hệ có ngoại lực tác dụng, nhưng hình chiếu của ngoại lực lên phương Ox luôn bằng không thì động lượng của hệ theo phương Ox cũng được bảo toàn.

Hệ có ngoại lực, nhưng tổng các ngoại lực triệt tiêu.


61

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Hệ có nội lực rất lớn so với ngoại lực. Trong các bài toán về va chạm, đạn nổ, thì trong thời gian va chạm là rất ngắn, ngoại lực là rất nhỏ so với nội lực, nên hệ cũng được coi là kín và động lượng của hệ được bảo toàn.

Z.C OM

Ví dụ 2.5: Một toa xe chở đầy cát đang chuyển động tự do với vận tốc v = 9km/h trên đường ray nằm ngang. Khối lượng cả toa xe là 1000kg. Một tảng đá khối lượng 10kg bay với vận tốc u = 20m/s đến cắm vào xe cát theo hướng tạo với phương ngang một góc 30o (hình 2.18). Tính vận tốc của toa xe ngay sau đó.

u α

.U CO

Giải

v

HO N

Hình 2.18 Hệ kín theo phương ngang (Ox) nên động lượng của hệ được bảo toàn theo phương này. Chọn chiều dương là chiều chuyển động của toa xe, gọi u, v là vận tốc của tảng đá, toa xe lúc đầu; v’ là vận tốc lúc sau của toa xe; M, m là khối lượng của toa xe và tảng đá, ta có: phệ/Ox lúc đầu = Phệ/Ox lúc sau ⇒ Mv – mucosα = (M + m)v’

Mv − mu cos α 1000.2,5 − 10.20. cos 30 0 = = 2,3 m/s M+m 1000 + 10

UY N

⇒ v' =

5 – Một số ứng dụng của định luật bảo toàn động lượng: a) Súng giật khi bắn:

Ta có thể giải thích hiện tượng súng giật khi bắn bằng cách vận dụng định luật

MQ

AY KE

bảo toàn động lượng. Gọi M và m là khối lượng của súng và đạn; V vaø v là vận tốc của súng và đạn khi đạn rời nòng. Hệ (súng + đạn) là hệ kín (vì tổng các ngoại lực triệt tiêu) nên động lượng của hệ được bảo toàn. Mà trước khi bắn, động lượng của hệ bằng không, nên sau khi bắn, ta cũng có: →

p heä = p suùng + p ñaïn = 0

MV + mv = 0 ⇒ V = −

hay

m→ v M

(2.40)

W W

W

.D

Dấu trừ trong (2.40) chứng tỏ súng chuyển động ngược chiều với đạn, ta nói súng bị “giật”. Súng giật càng yếu khi khối lượng của súng càng lớn. Vì thế, khi bắn súng trường hay súng AK, người ta phải tì chặt súng vào vai để người và súng tạo thành một hệ có khối lượng M lớn. Nếu là súng cối hay pháo, thì phải có đế nặng để nó ít bị giật lùi. Ví dụ 2.6: Một khẩu đại bác có thể chuyển động theo phương ngang. Một viên đạn được bắn khỏi nòng súng với vận tốc vo = 200m/s, hợp với phương ngang môt góc α = 450. Tính vận tốc của súng ngay khi đạn rời nòng súng, biết khối lượng của súng là M = 2 tấn, của đạn là m = 5kg.


62

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

Giải

Hệ kín theo phương ngang nên động lượng của hệ được bảo toàn theo phương này. Từ (3.26) suy ra vận tốc của súng là:

V=

mv 0 cos α 5.200. cos 45 0 = = 0,35m / s M 2000

.U CO

Vậy, súng bị giật lùi với vận tốc 0,35m/s. b) Chuyển động bằng phản lực:

Xét chuyển động của tên lửa: Giả sử ở thời điểm t, tên lửa có khối lượng m, →

chuyển động với vận tốc V , thì động lượng của tên lửa là p1 = m V . Ở thời điểm →

HO N

t + dt, vận tốc của tên lửa là V' = V + d V . Lúc này khối lượng của tên lửa giảm một →

lượng dm và khối lượng nhiên liệu phụt về phiá sau là – dm (dm < 0). Gọi v là vận tốc nhiên liệu, ta có động lượng của hệ ở thời điểm t’ là: →

UY N

p 2 = ( m + d m) V' + (−d m) v = ( m + d m)(V + d V) − d m v →

≈ m V + md V + dm V − dm v →

MQ

Suy ra: d p = p 2 − p1 = (V − v)dm + md V và

d p (V − v)dm md V = + dt dt dt →

dp Gọi F là tổng ngoại lực tác dụng vào hệ thì theo (2.37) F = , do đó ta có: dt →

dV → m =F + dt →

AY KE

→ dm ( v − V)dm → = F + u. dt dt

(2.41)

.D

Trong đó: u = v − V là vận tốc tương đối của nhiên liệu phun ra so với tên lửa.

W

(2.41) chính là phương trình chuyển động của tên lửa. Vế phải chính là tổng các lực tác dụng lên tên lửa, trong đó số hạng thứ 2 có thứ nguyên của lực nên được gọi là phản lực.

W W

Nếu ngoại lực rất nhỏ so với phản lực thì ta có: →

→ → dm → dm dV m = ( v − V) =u dt dt dt

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của tên lửa, ta có:

(2.42)


63

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

dm dV =− . m u

(2.42a)

Z.C OM

mdV = – udm hay

Giả sử vận tốc phụt khí của tên lửa không đổi (u = const), lấy tích phân hai vế (2.42a)

ln m = −

ta có:

V +C u

(2.42b)

ta có vận tốc của tên lửa:

V = uln

.U CO

Ở thời điểm ban đầu (trước khi phóng), khối lượng của tên lửa là m = mo và vận tốc V = 0. Thay điều kiện này vào (2.42b) ta tìm được hằng số tích phân C = ln mo. Từ đó

m0 m

(2.43)

HO N

Phương trình (2.43) được gọi là phương trình Xiôncốpxki. Nó là một trong những phương trình cơ bản, được sử dụng trong ngành khoa học không gian vũ trụ. Dựa vào đó, ta có thể điều khiển được vận tốc của tên lửa.

UY N

Ví dụ 2.7: Tên lửa được phóng lên thẳng đứng từ mặt đất. Vận tốc khí phụt ra so với tên lửa là 1000m/s. Tại thời điểm phóng, khối lượng tên lửa là 6000kg. Tính vận tốc của tên lửa sau 5 giây. Biết rằng, cứ mỗi giây khối lượng khí phụt ra là 200kg. Bỏ qua sức cản không khí, có tính đến ảnh hưởng của trọng lực. Giải

Áp dụng (2.41) ta có:

MQ

dV → m =P + dt

u dm dt

m

AY KE

với P là trọng lực tác dụng lên tên lửa; u là vận tốc khí phụt ra so với tên lửa. Do tên lửa phóng theo phương thẳng đứng, nên chiếu phương trình vectơ lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên, ta có:

dV dm dm hay dV = – gdt – u = −mg − u dt dt m

Tích phân hai vế và chú ý: từ thời điểm to = 0 đến thời điểm t thì khối lượng tên lửa biến thiên từ mo đến m và vận tốc tên lửa cũng biến thiên từ 0 đến V. V

m

m dm ⇒ V = – gt + u ln( 0 ) m m m0

∫ dV = − ∫ gdt − u ∫

W

0

.D

Ta có:

t

0

(*)

Với t = 5s thì khối lượng còn lại của tên lửa là: m = 6000 – 200.5 = 5000kg

W W

Thay vào (*) ta có vận tốc tên lửa là: V = – 10.5 +1000.ln(6/5) = 132m/s.


64

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

§2.5 – MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG – MÔMEN LỰC

Phương trình (2.36) là một trong những phương trình cơ bản của động lực học. Trong nhiều trường hợp, nhất là khi khảo sát các chuyển động quay, chuyển động dưới tác dụng của trường lực xuyên tâm, người ta diễn tả phương trình động lực học (2.36) dưới dạng khác: đó chính là định lí về mômen động lượng. →

.U CO

1 – Mômen của một vectơ đối với điểm O: →

Cho một vectơ u = AB có gốc tại A và một điểm O cố định. Ta định nghĩa →

mômen của vectơ u đối với O là một vectơ, kí hiệu là M / o ( u ) , được xác định bởi →

⎡→

tích hữu hướng: M / o ( u ) = ⎢ OA , u ⎥ = ⎢ r , u ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

HO N

Vectơ M / o ( u ) có:

- Độ lớn: M/O = ursinθ = ud

r

A

là cánh tay đòn chính bằng →

M

(2.45)

MQ

với d = OH

UY N

- Gốc: tại O; - Phương: vuông góc với mặt phẳng chứa (O, u ); - Chiều: tuân theo qui tắc đinh ốc;

(2.44)

O → d u B H

Hình 2.19: Mômen của một vectơ

khoảng cách từ O đến giá của u .

AY KE

Từ định nghĩa trên, ta có các tính chất sau: →

a) Nếu u có phương qua O thì M / o ( u ) = 0. →

b) Nếu u = λ u 1 thì M / o ( u ) = λ. M / o (u 1 ) , λ là số thực. →

.D

W

c) Nếu u = u 1 + u 2 thì M / o ( u ) = M / o (u 1 ) + M / o (u 2 ) 2 – Mômen động lượng: →

W W

Mômen động lượng của chất điểm là vectơ L được xác định bởi: → ⎡ → →⎤ ⎡ → →⎤ L = ⎢ r , p ⎥ = m⎢ r , v ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.46)


65

L = rpsinθ = mrvsinθ →

(2.47)

L

với θ là góc giữa r và p .

Phương, chiều, điểm đặt của vectơ mômen động lượng được xác định như ở mục 1. Trong hệ (SI), đơn vị đo mômen động lượng là kilôgram mét bình phương trên giây (kgm2/s).

r

O

Z.C OM

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

p

θ

M

.U CO

Hình 2.20: Mômen động lượng.

Mômen động lượng của hệ chất điểm bằng tổng các mômen động lượng của từng chất điểm trong hệ: → → ⎡→ → ⎤ L = ∑ L i = ∑ ⎢ri , p i ⎥ ⎣ ⎦

HO N

(2.48)

trong đó: ri là vectơ bán kính hướng từ gốc O đến chất điểm thứ i; p i = m i v i là động lượng của chất điểm thứ i. 3 – Mômen lực:

UY N

⎡→

Tương tự, mômen của lực F đối với điểm O là: M = M / O ( F) = ⎢ r , F ⎥ (2.49) ⎣ ⎦ →

M/O( F ) = r.F.sinθ = F.d

MQ

Suy ra độ lớn của mômen lực:

(2.50) →

Với d = Fsinθ là cánh tay đòn (khoảng cách từ O đến giá của lực F ).

AY KE

Phương, chiều, điểm đặt của vectơ mômen lực được xác định như ở mục 1. Trong hệ (SI), đơn vị đo mômen lực là niutơn mét (Nm). Trong các chuyển động quay tròn quanh tâm O, mômen lực còn được gọi là →

mômen quay. Lực F luôn được phân tích thành hai thành phần: F = Fn + Ft . Do đó →

→ →

mômen lực: M / O (F) = [R , F] = [R , Ft ] + [R , Fn ] . Vì thành phần pháp tuyến Fn song →

.D

song với bán kính quĩ đạo R , nên [ R , Fn ] = 0. Do đó mômen lực trong trường hợp →

W

này và được xác định bởi: M / O ( F) = [R , Ft ] ⇒ M / O = RFt

W W

Chỉ có thành phần tiếp tuyến của lực mới tạo ra mômen quay. 4 – Định lí về mômen động lượng: Lấy đạo hàm (2.48) theo thời gian, ta có: → ⎡ → → ⎤ ⎡→ → ⎤ dp dr dL d → → = ∑ [ri , p i ] = ∑ ⎢ i , p i ⎥ + ⎢ri , i ⎥ ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎢ dt dt dt ⎦ ⎦ ⎣ ⎣

(2.51)


66

⎡ → →⎤ → → → → ⎢ d ri , p i ⎥ = [ v i , m i v i ] = m i [ v i , v i ] = 0 ; ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦

⎡→ → ⎤ → → → → ⎢ ri , d p i ⎥ = [ ri , Fi ] = M i / O (Fi ) ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦

Z.C OM

Vì:

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

→ → → dL = ∑ M i / O (Fi ) = M / O dt

nên

(2.52)

.U CO

Định lí 1: Đạo hàm vectơ mômen động lượng của một chất điểm (hay hệ chất điểm) theo thời gian bằng tổng các mômen của ngoại lực tác dụng lên chất điểm (hay hệ chất điểm) đó. Nhân hai vế (2.52) với dt rồi tích phân hai vế, ta được: →

t2

t1

Nếu mômen ngoại lực không đổi thì ta có: →

UY N

∆ L = L 2 − L1 = M .∆t

HO N

∆ L = L 2 − L1 = ∫ M dt

(2.53)

(2.54)

Định lí 2: Độ biến thiên mômen động lượng của hệ bằng xung lượng của các mômen ngoại lực tác dụng lên hệ. 5 – Mômen động lượng trong chuyển động tròn:

I = mR

L

(2.55)

O

AY KE

Đặt:

2

I được gọi là mômen quán tính của chất điểm đối với điểm O, L = Iω →

.D

thì:

MQ

Phương trình (2.52) được xem là phương trình động lực học trong các chuyển động cong. Xét trường hợp riêng, khi chất điểm chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính R thì độ lớn của mômen động lượng là: L = R.p.sinθ = Rmv = mR2ω

(2.56)

ω →

p

R

Hình 2.21: Mômen động lượng trong chuyển động tròn

W

Dễ thấy ω và L là hai vectơ cùng phương

W W

chiều, nên ta có:

Khi đó (2.52) trở thành:

L = Iω

(2.57)

d (I ω) → → = M / O ( F) dt

(2.58)


67

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC →

→ → → d (ω) I = I β = M / O ( F) dt

đổi. Suy ra:

Z.C OM

Đối với một chất điểm chuyển động trên một đường tròn xác định thì I không (2.59)

(2.59) là phương trình động lực học trong chuyển động quay của chất điểm quanh tâm O. Nhân hai vế của (2.59) với dt rồi tích phân, ta được: t2

t1

Nếu mômen lực không đổi thì (2.60) trở thành:

I.∆ω = I(ω 2 − ω1 ) = M.∆t

(2.60)

.U CO

I(ω 2 − ω1 ) = ∫ M dt

(2.61)

HO N

Ví dụ 2.8: Một chất điểm đang chuyển động trên đường tròn bán kính R = 20cm với vận tốc góc ω = 4π (rad/s). Để hãm chất điểm dừng lại trong 5s thì mômen hãm trung bình là bao nhiêu? Biết khối lượng chất điểm là 100g. Áp dụng (2.61): I(ω2 – ω1) = M∆t Mà:

UY N

Giải

I = mR2; ω1 = ω = 4π (rad/s); khi dừng lại: ω2 = 0.

Iω mR 2 ω 0,1.0,2 2.4π =− =− = −0,01 ( Nm) ∆t ∆t 5

MQ

⇒ M=−

Vậy độ lớn của mômen hãm là 0,01Nm (dấu “–“ cho biết đây là mômen cản). 6 – Định luật bảo toàn mômen động lượng:

AY KE

Từ (2.52) suy ra: Đối với chất điểm (hay hệ chất điểm) cô lập, hoặc chịu tác dụng của ngoại lực, nhưng tổng mômen của ngoại lực triệt tiêu, thì mômen động lượng của chất điểm (hay hệ chất điểm đó) được bảo toàn. →

→ → dL M / O ( F) = 0 ⇒ = 0 ⇒ L = const dt →

(2.62)

.D

Ví dụ: chất điểm chuyển động dưới tác dụng của trường lực xuyên tâm (phương của lực tác dụng luôn đi qua tâm O) thì theo (2.49), mômen lực luôn bằng không, do đó: →

W W

W

→ → → dL = 0 ⇒ L không thay đổi. Vì L luôn vuông góc với mặt phẳng (O, p ) suy ra, dt →

mặt phẳng (O, p ) cố định.

Vậy khi vật chuyển động dưới tác dụng của trường lực xuyên tâm thì qũi đạo của vật nằm trong một mặt phẳng cố định.

Đối với hệ chuyển động quay xung quanh một trục cố định, nếu tổng các mômen ngoại lực triệt tiêu thì mômen động lượng của hệ được bảo toàn: L = Iω =


68

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

const . Suy ra, nếu vì lí do nào đó mà mômen quán tính I tăng lên thì hệ sẽ quay chậm lại; ngược lại, nếu I giảm, hệ sẽ quay nhanh hơn. Điều này được áp dụng trong nghệ thuật múa Balê, vũ công thay đổi vị thế tay chân để thay đổi vận tốc quay của mình. §2.6 NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILÉE – LỰC QUÁN TÍNH 1 – Không gian và thời gian trong cơ học cổ điển:

.U CO

Xét hệ qui chiếu O’x’y’ chuyển động tương đối với vận tốc u so với hệ qui chiếu Oxy. Theo quan điểm của cơ học cổ điển thì thời gian trôi đi trong các hệ qui chiếu O’x’y’ và Oxy là như nhau. ⇒ t’ = t : “Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ qui chiếu”. Từ quan điểm đó, Galilée đã thiết lập được các công thức biến đổi tọa độ khi chuyển từ hệ qui chiếu này sang hệ qui chiếu khác. →

HO N

Xét một chất điểm M chuyển động trong không gian, theo qui tắc 3 điểm, ta →

OM = OO' + O' M hay r = OO' + r '

luôn có:

z’

z

r

O’

AY KE

O

MQ

r'

UY N

M

y

(2.63)

y’

x’

x

Hình 2.22: Toạ độ điểm M trong hai hệ qui chiếu. →

.D

Để đơn giản, ta coi hệ O’ chuyển động với vận tốc u // Oy và lúc đầu O’ trùng với O.

W W

W

Khi đó (2.48) được viết dưới dạng:

⎧ x = x' ⎪ ⎨ y = ut + y' ⎪ z = z' ⎩

(2.64)

Từ (2.64) suy ra, với hai điểm A, B bất kỳ, ta có:

⎧x A − x B = x 'A − x 'B ⎪ ' ' ⎨y A − y B = y A − y B ⎪ ' ' ⎩z A − z B = z A − z B

(2.65)


69

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

( x A − x B ) 2 + ( y A − y B ) 2 + (z A − z B ) 2

(AB)O =

trong hệ O’x’y’z’ được tính bởi công thức:

( x ' A − x ' B ) 2 + ( y' A − y' B ) 2 + ( z ' A − z ' B ) 2

(AB)O’ =

Z.C OM

Mà khoảng cách AB trong hệ Oxyz được tính bởi công thức: (2.66)

(2.67)

.U CO

Từ (2.65), (2.66), (2.67) suy ra: khoảng cách AB là như nhau trong hai hệ qui chiếu Oxy và O’x’y’. Vậy, khoảng không gian cũng có tính tuyệt đối (bất biến) trong mọi hệ qui chiếu. 2 – Tổng hợp vận tốc, gia tốc theo quan điểm cổ điển: →

d r d OO' d r ' = + dt dt dt

hay r = OO' + r '

O' M

HO N

Ta có: OM = OO' +

va = v r + v c

hay

(2.68)

UY N

dr → Trong đó: = v a là vận tốc của chất điểm đối với hệ qui chiếu O, hay vận tốc dt →

d r' → tuyệt đối; = v r là vận tốc của chất điểm đối với hệ qui chiếu O’, hay vận tốc dt →

MQ

d OO' → tương đối; = v c là vận tốc tịnh tiến của hệ O’ đối với hệ O, hay vận tốc kéo dt theo.

AY KE

Công thức (2.68) được gọi là công thức cộng vận tốc theo quan điểm cổ điển. Lấy đạo hàm (2.68) theo thời gian, ta có công thức cộng gia tốc:

aa = ar

+

ac

(2.69)

.D

Trong đó: a a vaø a r là gia tốc của chất điểm đối với hệ O và O’, hay gia tốc tuyệt →

W

đối và tương đối; a c là gia tốc tịnh tiến của hệ O’ đối với hệ O, hay gia tốc kéo theo. Để dễ nhớ, ta viết (2.68) và (2.69) dưới dạng tương tự như qui tắc 3 điểm:

W W

v M / O = v M / O'

+

v O '/ O

; a M / O = a M / O'

+

a O '/ O

(2.70)

Khi ta nói vận tốc hay gia tốc của một vật mà không nói rõ đối với hệ qui chiếu nào thì hiểu là so với hệ qui chiếu đứng yên đối với Trái Đất.


70

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

B →

v

a) Tính vận tốc của đò so với bờ sông.

a) Theo công thức cộng vận tốc (2.70), ta có: →

hay

A Hình 2.23: Đò ngang bị trôi theo dòng nước và cập bến tại C.

HO N

Giải

u

.U CO

c) Để đò cập đúng bến B thì phải hướng mũi đò như thế nào? khi đó thời gian sang sông là bao nhiêu?

v ñoø/bôø = v ñoø/nöôùc + v nöôùc/bôø

V

b) Tính quãng đường mà đò đã đi và bề rộng của con sông nếu thời gian sang sông là 30 phút.

C

Z.C OM

Ví dụ 2.9: Một con đò ngang, xuất phát từ A và luôn hướng mũi đò vuông góc với bờ sông để sang bến B. Nhưng do nước chảy với vận tốc u = 5 km/h nên đò cập bến tại C. Vận tốc của đò so với dòng nước là v = 12 km/h.

V=v + u

UY N

Vì v ⊥ u nên vận tốc của đò so với bờ sông là:

V = v 2 + u 2 = 12 2 + 5 2 = 13km / h b) Quãng đường mà đò đã đi:

B →

v

V

α

S = AC = V.t = 13.0,5 = 6,5 km.

MQ

Bề rộng của con sông: AB = v.t = 12. 0,5 = 6 km.

c) Để đò cập đúng bến B thì phải hướng chếch mũi đò về phiá thượng nguồn một góc α so với AB (xem hình

u 5 = ⇒ α = 24 o 30' v 12

AY KE

2.24), sao cho: sin α = Vận tốc của đò khi đó:

u

A Hình 2.24: Để đò cập đúng bến B, phải hướng mũi đò về phía thượng nguồn một góc α.

V = v 2 − u 2 = 12 2 − 5 2 ≈ 11km / h .

.D

Thời gian sang sông: t =

AB 6 = (giôø) = 32( phuùt) V 11

W

3 – Nguyên lý tương đối Galilée:

W W

Một hệ qui chiếu đứng yên tuyệt đối được gọi là hệ qui chiếu quán tính. Các hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu đứng yên cũng là hệ qui chiếu quán tính. Tuy nhiên trong thực tế không có sự đứng yên tuyệt đối, vì thế, ta định nghĩa hệ qui chiếu quán tính là hệ qui chiếu mà các phương trình động lực học của Newton được nghiệm đúng. Trong phạm vi nghiên cứu hẹp, ta coi hệ qui chiếu gắn với trái đất là hệ qui chiếu quán tính.


71

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Giả sử hệ qui chiếu tương đối O’x’y’z’ chuyển động thẳng đều đối với hệ qui

Z.C OM

d vc chiếu tuyệt đối Oxyz ( v c = const ) thì a c = =0 dt →

aa = ar

Từ (2.69) ta có:

⇒ F = maa = mar

(2.71)

.U CO

Điều này chứng tỏ: các phương trình của Động Lực Học bất biến trong mọi hệ qui chiếu quán tính. Nói một cách khác “Các hiện tượng cơ học đều xảy ra như nhau trong mọi hệ qui chiếu quán tính”. Đó là nội dung của nguyên lý tuơng đối Galilée. Từ nguyên lý tuơng đối Galilée suy ra: mọi hệ qui chiếu quán tính là tương đương nhau. Ta không thể tiến hành một thí nghiệm cơ học nào để chứng tỏ được rằng hệ qui chiếu quán tính đứng là yên hay chuyển động thẳng đều.

HO N

4 – Lực quán tính:

Xét chuyển động của vật trong hệ qui chiếu tương đối O’ chuyển động có gia tốc (hệ qui chiếu không quán tính) đối với hệ qui chiếu quán tính O. Từ (2.69) ta có →

gia tốc tương đối: a r = a a − a c ⇒ m a r = m a a − m a c →

UY N

m a r = F + F qt

Mà m a a = F , nên

(2.72)

F qt = −m a c

với

MQ

gọi là lực quán tính.

(2.73)

AY KE

Vậy: khi khảo sát vật trong hệ qui chiếu không quán tính, ngoài các lực thông thường, vật còn chịu tác dụng thêm lực quán tính. Lực quán tính luôn cùng phương và ngược chiều với gia tốc của hệ qui chiếu đó. Lực quán tính khác với các lực thông thường là nó không có phản lực. Dưới đây sẽ khảo sát vài trường hợp chứng tỏ ảnh hưởng của lực quán tính. a) Hiện tượng tăng giảm trọng lượng: Xét người đứng trong thang máy đang chuyển →

.D

động với gia tốc a c (Nghĩa là xét trong hệ qui chiếu không →

x

W

quán tính). Ngoài trọng lực P , phản lực N của sàn thang máy, người còn chịu tác dụng thêm lực quán tính: →

W W

F qt = − m a c .Vì đối với thang máy, người đứng yên nên

ar = 0. Ta có: →

P + N + F qt = 0 →

⇒ P + N − mac = 0

ac →

M

N

O →

P

Hình 2.25: Hiện tượng tăng trọng lượng


72

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän →

(*)

Z.C OM

⇒ N = m a c − P = m( a c − g )

i) Khi thang máy đi lên nhanh dần hoặc đi xuống chậm dần thì vectơ a c hướng lên. Từ (*) suy ra trọng lượng của người là: Q = N = mac + P = m(ac + g) > mg.

.U CO

Điều này chứng tỏ người sẽ đè lên sàn thang máy một lực lớn hơn trọng lượng bình thường của người. Ta có hiện tượng tăng trọng lượng. ii) Một cách tương tự, khi thang máy đi lên chậm dần hoặc đi xuống nhanh dần thì →

a c hướng xuống. Suy ra trọng lượng của người là: Q = N = m(g – ac ) < mg. Ta có hiện tượng giảm trọng lượng.

b) Lực quán tính ly tâm:

MQ

UY N

Xét một điã tròn nằm ngang, trên phương bán kính OA, ta cắm các cọc thẳng đứng và treo trên đầu mỗi cọc một con lắc đơn giống nhau. Cho đĩa quay đều với vận tốc góc ω thì thấy các con lắc bị lệch khỏi phương thẳng đứng. Con lắc nào càng xa tâm thì góc lệch càng lớn (hình 2.26).

HO N

iii) Nếu gia tốc ac của thang máy bằng gia tốc rơi tự do g thì Q = 0: người hoàn toàn không đè lên sàn thang máy. Ta gọi đó là trạng thái “phi trọng lượng”. Và nếu ac > g thì người sẽ “bay bổng” lên, đầu đụng vào trần thang máy! →

α

τ

α

O

A ω

F qtlt

P

Hình 2.26: Con lắc ở xa tâm O thì góc lệch càng lớn.

AY KE

Có thể giải thích hiện tượng trên bằng cách xét con lắc trong hệ qui chiếu gắn với đĩa. Do điã chuyển động tròn đều nên mọi điểm trên nó đều có gia tốc hướng tâm an = ω2r. Vì thế, con lắc chịu tác dụng thêm lực quán tính: Fqt = man = mω2r. Lực quán tính ngược chiều với gia tốc hướng tâm của đĩa, nghiã là hướng ra xa tâm O, nên được gọi là lực quán tính li tâm. Chính lực quán tính li tâm này làm lệch con lắc khỏi phương thẳng đứng một góc α. →

.D

Vì con lắc đứng yên đối với điã nên gia tốc của nó đối với điã bằng không, ta có: →

W

F qt + P + τ = 0

Fqt

mω 2 r ω 2 r = = ⇒ F qt + P = − τ ⇒ tgα = P mg g →

(2.74)

W W

Hệ thức (2.74) chứng tỏ con lắc nào càng ở xa tâm O (r càng lớn) thì góc lệch α càng lớn. Do chuyển động tự quay của Trái đất mà mọi vật trên mặt đất đều bị tác dụng bởi lực quán tính li tâm. Ở các vĩ độ khác nhau, bán kính qũi đạo r khác nhau nên lực quán tính li tâm cũng khác nhau và do đó trọng lực của vật cũng thay đổi theo vĩ độ. Hiệu ứng li tâm được ứng dụng rất nhiều trong đời sống. Các máy giặt, các máy đúc vật liệu, … đều có nguyên tắc hoạt động dựa trên hiệu ứng này.


73

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC c) Lực quán tính Coriolis:

quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω . Trên đĩa, ta vẽ một đường thẳng OA đi qua tâm (hình

Z.C OM

Để thấy rõ sự xuất hiện của lực Coriolis, ta lấy một đĩa nằm ngang có thể quay

ω

Fc

B

O

A Hình 2.27: Lực Coriolis

.U CO

Đối với các vật chuyển động trong hệ qui chiếu quay, ngoài lực quán tính li tâm, còn xuất hiện lực quán tính Coriolis (gọi tắt là lực Coriolis).

2.27), cho một hòn bi lăn theo hướng OA với vận tốc v' (so với đĩa). Nếu đĩa không quay thì hòn bi sẽ chuyển động dọc theo đường OA. Nhưng nếu đĩa quay theo ngược chiều kim đồng hồ, hòn bi sẽ chuyển động theo đường cong OB. Điều đó chứng tỏ nó →

HO N

đã bị tác dụng bởi môt lực Fc làm thay đổi hướng vận tốc của mình. Lực Fc không hướng xa tâm O nên không thể là lực quán tính li tâm. Nó được gọi là lực quán tính Coriolis.

UY N

Các kết quả nghiên cứu cho thấy, lực Coriolis có biểu thức tính: → ⎡→ →⎤ Fc = 2m ⎢ v', ω ⎥ ⎣ ⎦

(2.75) →

MQ

(2.75) chứng tỏ lực Fc luôn vuông góc với mặt phẳng chứa trục quay và vận tốc v' →

của vật; có chiều xác định theo qui tắc đinh ốc: xoay cái đinh ốc từ v' đến ω thì chiều →

AY KE

tiến của đinh ốc là chiều của lực Fc . Đặc biệt, nếu vật đứng yên trong hệ qui chiếu quay (v’ = 0) thì không xuất hiện lực quán tính Coriolis (nhưng vẫn tồn tại lực quán tính li tâm). Các vật chuyển động trên bề mặt của trái đất đều chịu tác dụng của lực Coriolis. Cụ thể: Nếu vật chuyển động dọc theo kinh tuyến ở phía Bắc bán cầu thì lực Coriolis hướng sang bên phải, còn ở Nam bán cầu thì hướng sang trái. Do đó các dòng sông chảy theo hướng Bắc – Nam thì đều bị bào mòn về bên phải, nếu ở Bắc bán cầu và bào mòn về bên trái nếu ở Nam bán cầu.

Nếu vật chuyển động dọc theo vĩ tuyến từ Đông sang Tây thì lực Coriolis luôn ép vật xuống dưới, làm trọng lượng của vật tăng lên; nếu vật chuyển động dọc theo vĩ tuyến từ Tây sang Đông thì lực Coriolis luôn nâng vật lên , làm trọng lượng của vật giảm. Đó cũng chính là lí do vì sao các đường băng của sân bay thường có hướng từ Đông – Tây và khi cất cánh hay hạ cánh, các máy bay thường bay từ Tây sang Đông.

W W

W

.D


74

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän Đối với các vật rơi tự do, lực Coriolis luôn làm vật lệch sang phía Đông; còn khi ném đứng, vật lệch sang phía Tây.

Cũng do lực quán tính Coriolis mà mặt phẳng dao động của các con lắc luôn thay đổi. Và trong một ngày đêm, mặt phẳng dao động của con lắc quay đúng một vòng. Bằng việc quan sát sự quay mặt phẳng dao động này, Foucault là người đầu tiên đưa ra bằng chứng thực nghiệm về sự tự quay của trái đất. Con lắc dùng vào việc chứng minh sự tự quay của trái đất được gọi là con lắc Foucault.

.U CO

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Z.C OM

2.1 Lực có phải là nguyên nhân gây ra chuyển động của vật không? Vì sao một vật chuyển động tròn đều thì lực tác dụng lên nó luôn hướng vào tâm qũi đạo? Bạn hiểu thế nào là hai lực cân bằng? Hai lực trực đối? Hai lực cân bằng thì có trực đối không? Hai lực trực đối thì có cân bằng không?

HO N

2.2 Một vật đặt trên bàn nằm ngang. Hãy phân tích các lực tác dụng lên nó. Hãy tìm các cặp lực và phản lực của định luật III Newton đối với các lực vừa phân tích. 2.3 Đặc điểm của lực đàn hồi, lực ma sát trượt, lực ma sát nghỉ? Vì sao lực đàn hồi và lực ma sát lại có bản chất chung là lực điện từ?

UY N

2.4 Theo định luật II Newton, nội lực không thể làm thay đổi trạng thái chuyển động của hệ. Vậy mà người đi xe đạp vẫn chuyển động được? Hãy chỉ ra đâu là ngoại lực tác dụng lên hệ người – xe? →

MQ

2.5 Một vật khối lượng m trượt trên mặt ngang bởi một lực F . Hệ số ma sát giữa vật và mặt đường là µ. Hãy tìm biểu thức tính lực ma sát tác dụng lên vật và biểu thức tính gia tốc của vật khi:

AY KE

a) F // mặt đường; b) F chếch lên một góc α so với mặt đường; →

c) F chúi xuống một góc α so với mặt đường. 2.6 Vật khối lượng m được treo như hình 2.28. Tính lực căng của các dây CA, CB.

.D

Áp dụng số: β = 28o, α = 47o, m = 15kg. Lấy g = 10 m/s2.

A

β

C Hình 2.28

W

2.7 Vật đặt trên mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng ngang một góc α . Hệ số ma sát giữa vật và mặt nghiêng là µ . Tính góc α để vật không trượt. Nếu góc α không thỏa giới hạn đó thì vật trượt với gia tốc bao nhiêu? Khi đó vật đi được quãng đường s trong bao lâu? 2.8 Một người nhảy dù theo phương thẳng đứng dười tác dụng của trọng trường đều p = mg và lực cản

W W

B

α

m m2

Hình 2.29


75

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Z.C OM

không khí Fc = kmv2, với k là hệ số tỉ lệ. Xác định vận tốc của người ở thời điểm t. 2.9 Một ôtô đang chuyển động với vận tốc vo thì hãm phanh. Lực hãm tỉ lệ với vận tốc của xe: Fh = – kv. Tính vận tốc của xe ở thời điểm t và quãng đường xe đi được cho đến khi dừng. 2.10 Cho cơ hệ như hình 2.29. Sợi dây nối hai vật rất nhẹ, không co giãn. Hệ số ma sát giữa m2 và mặt bàn là µ. Bỏ qua khối lượng ròng rọc và ma sát ở ròng rọc. Tính gia tốc của hệ. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của m2 để nó không trượt.

.U CO

2.11 Cho cơ hệ như hình 2.30. Bỏ qua khối lượng ròng rọc, dây và ma sát. Coi dây không giãn. Tính gia tốc của mỗi vật và lực căng dây.

HO N

2.12 Một vật có khối lượng m chịu tác dụng bởi một lực kéo và một lực đẩy như hình 2.31. Hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là µ. Tính gia tốc của vật.

B

UY N

Ap dụng số: F1 = F2 = 700N; m = 100kg; α = β = 60o; µ = 0,6. 2.13 Một hòn bi khối lượng m được treo vào điểm I m2 bằng sợi dây nhẹ, không co giãn. Hòn bi → chuyển động tròn đều trong mặt phẳng ngang F2 sao cho sợi dây vạch ra một hình nón có góc ở định là α. Tính Lực hướng tâm và lực căng β ( dây tác dụng vào hòn bi.

m1 →

H 2.30

F1

) α

Hình 2.31 m1

m2 m3

.D

AY KE

MQ

2.14 Cho hệ như hình (2.32): m1 = 1,2kg; m2 = 0,6kg; m3 = 0,2kg; α = 300. Bỏ qua ma sát, kích thước các vật, khối lượng dây và ròng rọc; coi dây không giãn và không trượt trên rãnh ròng rọc; lấy g = 10m/s2. Đoạn dây nối m2 và m3 dài 2m. Khi bắt đầu chuyển động, m3 cách mặt đất 2m.

A

W

a) Tính gia tốc của các vật; các lực căng dây và thời gian chuyển động của m3.

α Hình 2.32 m2 m1

W W

b) Vật m2 có chạm đất không? Nếu có thì sau bao lâu kể từ khi m3 chạm đất?

2.15 Cho hệ như hình vẽ (2.33). Biết khối lượng các vật là m1, m2; hệ số ma sát giữa các vật và mặt nghiêng là µ1, µ2 (µ1 > µ2). Tính:

α Hình 2.33


76

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

a) Gia tốc và lực tương tác giữa các vật khi chuyển động. b) Giá trị nhỏ nhất của α để hai vật trượt xuống.

3 thì vật B sẽ chuyển 5

động như thế nào?

M

C

A

MQ

a) Tính áp lực của xe lên cầu. Lực này cực đại ở vị trí nào?

H 2.34

UY N

2.17 Một ôtô khối lượng m đi với vận tốc không đổi lên một cái cầu vồng có dạng cung tròn AB, bán kính r. Vị trí của xe được xác định bới góc MOC = α (H 2.35).

α

HO N

α = 30o ; µ =

.U CO

2.16 Cho cơ hệ như hình (2.34). Khối lượng các vật A và B lần lượt là m1 và m2; bỏ qua khối lượng dây và ròng rọc, dây không dãn; hệ số ma sát giữa vật và mặt nghiêng là µ. a) Hãy tìm điều kiện của m2 để vật B đi lên. Tính gia tốc khi đó. b) Hãy tìm điều kiện của m2 để vật B đi xuống. Tính gia tốc khi đó. B c) Từ hai kết quả trên suy ra điều kiện của m2 để B đứng yên. A Áp dụng: Với m1 = 8kg; m2 = 50kg;

B

α

W

.D

AY KE

b) Chứng minh rằng, nếu vận O tốc tăng quá một giới hạn thì lúc vào cầu, xe sẽ “bay” Hình 2.35 một đoạn rồi mới tiếp xúc với cầu. Giả thiết đường lên cầu là tiếp tuyến với cầu tại A. 2.18 Đặt một tờ giấy lên bàn nhẵn, rồi đặt một ly nước lên trên tờ giấy. Kéo nhẹ tờ giấy, ta thấy ly nước chuyển động cùng với tờ giấy; nhưng nếu kéo thật nhanh tờ giấy, ta thấy tờ giấy tuột khỏi ly nước mà ly nước vẫn không hề chuyển động, thậm chí nước trong ly cũng không bị đổ ra ngoài. Hãy tự làm thí nghiệm và giải thích hiện tượng đó.

W W

2.19 Một người trượt tuyết trên đường ngang, cứ sau 3s, lại đẩy xuống tuyết một cái với xung lượng 50kgm/s. Biết tổng khối lượng của người và bàn trượt là 50kg, giả sử ma sát giữa bàn trượt và tuyết là không đáng kể, tính vận tốc của người sau khi bắt đầu chuyển động được 15s. 2.20 Viên đạn khối lượng 10g bay với vận tốc 200m/s xuyên sâu vào cát trong thời gian 0,05s. Tính xung lượng của lực do cát tác dụng vào viên đạn và độ xuyên sâu của viên đạn trong cát.


77

Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC

Z.C OM

2.21 Một dây xích đồng chất đặt trên bàn nằm ngang. Ban đầu cho một mắt xích lọt ra ngoài cạnh bàn, sau đó dây xích tuột xuống không vận tốc đầu. Bỏ qua mọi ma sát, hãy xác định vận tốc của dây xích khi nó rời khỏi bàn. Giả thiết bàn đủ cao và chiều dài một mắt xích không đáng kể. →

.U CO

2.22 Một xe cát chịu tác dụng của lực không đổi F theo phương ngang. Do có một lỗ thủng dưới sàn xe nên cát chảy ra ngoài với lưu lượng µ(kg/s). Xác định vận tốc của xe cát theo t. Biết lúc t = 0, khối lượng xe cát là m0 và nó đang đứng yên. Bỏ qua ma sát. 2.23 Một tên lửa khối lượng m0 = 100 tấn, đang bay với vận tốc v0 = 200m/s thì tăng tốc bằng cách khai hỏa cho nhiên liệu cháy phụt về phía sau với lưu lượng µ = 500kg/s. Vận tốc khí phụt về phía sau là u = 500m/s so với tên lửa. Tính vận tốc của tên lửa sau đó 20s, bỏ qua sức cản không khí và trọng lực. →

Một vật khối lượng m, được ném xiên tại điểm O với vận tốc v 0 tạo với

HO N

2.24

phương ngang một góc α. Xác định vectơ mômen động lượng của vật đối với điểm O theo thời gian t và tính độ lớn của mômen động lượng tại đỉnh qũi đạo. Ap dụng số: vo = 100m/s, α = 450, m = 100g.

UY N

2.25 Bỏ qua ảnh hưởng các lực hấp dẫn khác, chỉ xét lực hấp dẫn của Mặt trời tác dụng lên Trái đất. Chứng minh rằng qũi đạo của Trái đất nằm trong một mặt phẳng cố định. Coi quĩ đạo đó là tròn, hãy tính mômen động lượng của Trái đất. Biết khối lượng Trái đất m = 6.1024 kg, bán kính qũi đạo là R = 1,5.10 11 m, chu kì quay 365 ngày. Mômen động lượng của một của một hệ thay đổi theo thời gian t theo qui luật →

MQ

2.26

L = a + b .t 2 , trong đó a và b là các vectơ không đổi và a ⊥ b . Xác định

AY KE

mômen của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Xác định thời điểm mà vectơ mômen động lượng tạo với vectơ mômen ngoại lực một góc 45o. Khi đó mômen ngoại lực bằng bao nhiêu?

Một hệ hạt có động lượng tổng cộng p và mômen động lượng L đối với

W

2.28

.D

2.27 Trên một mặt phẳng ngang, nhẵn, có một vật nhỏ khối lượng m chuyển động tròn nhờ một sợi dây buộc vào vật mà đầu kia của sợi dây chui qua lỗ O ở tâm quĩ đạo. Ban đầu, vận tốc góc của vật là ω0 và bán kính quĩ đạo là R0. Nếu kéo đầu kia của sợi dây với vận tốc không đổi thì lực căng dây và vận tốc góc là bao nhiêu, khi bán kính quĩ đạo là r?

W W

điểm O. Tìm mômen động lượng của hệ đối với điểm O’, với OO' = r0 . Trong trường hợp nào thì mômen động lượng của hệ không phụ thuộc vào điểm O?

2.29

Chứng minh rằng, mômen động lượng L của một hệ đối với điểm O (bất kì) →

có thể tính bởi: L = L G + rG x p , trong đó L G là mômen động lượng của hệ đối


78

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän →

Z.C OM

với khối tâm G của hệ đó; r G là vectơ bán kính của khối tâm G đối với điểm O; →

p là tổng động lượng của hệ.

F

Hình 2.36 m0

HO N

2.31 Cho cơ hệ như hình 2.37, khối lượng các vật là mo, m1, m2. Bỏ qua ma sát, khối lượng dây và ròng rọc; dây không trượt trên rãnh ròng rọc. Biện luận chiều chuyển động và tính gia tốc của vật m1. → a0 2.32 Khối lăng trụ tam giác A, mang một vật B khối lượng m, nhận được gia tốc

.U CO

2.30 Vật khối lượng m1 đặt trên tấm gỗ khối lượng m2 trên sàn ngang. Hệ số ma sát giữa vật và tấm gỗ là µ1; giữa tấm gỗ với mặt sàn là µ2. Hỏi lực kéo tấm gỗ phải có độ lớn tối đa là bao nhiêu để vật không bị trượt trên tấm gỗ? (hình 2.36). Ap dụng số: m1 = 1kg ; m2 = 2kg; µ1 = 0,1; µ2 = 0,2; g = 10m/s2.

UY N

Hình 2.37

A

a 0 (hình 2.38). Xác định giá trị lớn nhất của a0 để vật B vẫn còn nằm yên trên khối lăng trụ. Hệ số ma sát giữa vật B và khối lăng trụ A là µ < cotgα.

m1 B

m2

α(

MQ

Hình 2.38

AY KE

2.33 Một sô nhỏ đựng nước, được buộc vào sợi dây nhẹ, dài A , không co giãn. Quay tròn đều sô nước trong mặt phẳng thẳng đứng với vận tốc góc ω. Xác định giá trị ωmin để nước trong sô không chảy ra ngoài? Tính lực căng dây khi sô nước ở vị trí cao nhất, thấp nhất. Biết khối lượng sô nước là m.

.D

2.34 Trong một trò xiếc, một người đi mô tô theo một đường tròn nằm ngang trên mặt trong của một tường hình trụ thẳng đứng có bán kính đáy r = 3m. Hệ số ma sát giữa bánh xe và tường là 0,3. Người ấy phải đi với tốc độ nhỏ nhất là bao nhiêu để bánh xe không bị trượt theo phương thẳng đứng?

W W

W

2.35 Vật nhỏ có khối lượng m đứng yên trên mặt nêm (hình 2.39). Hệ số ma sát giữa vật và nêm là µ; chiều dài mặt nêm là A . a) Nêm chuyển động sang trái với gia tốc ao< gcotgα, tính thời gian vật trượt hết nêm. b) Nêm chuyển động sang phải với gia tốc ao. Tính giá trị nhỏ nhất của ao để vật trượt lên đỉnh nêm?

m →

α(

ao Hình 2.39


79

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Z.C OM

Chương 3

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

§3.1 – VẬT RẮN 1 – Khái niệm về vật rắn:

.U CO

Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.

HO N

Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm. Các chất điểm trong hệ có thể tương tác lẫn nhau, các lực tương tác đó gọi là nội lực; đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ, các lực tương tác này gọi là ngoại lực. Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô) trong một miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ không thay đổi.

UY N

Như vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định. Trên thực tế, không có vật rắn tuyệt đối. Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần tử trong vật có thay đổi đôi chút. Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là không đáng kể thì ta coi vật đó là vật rắn.

MQ

2 – Tính khối lượng của một vật rắn:

hệ:

AY KE

Trong chương 2, ta đã biết khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính và mức hấp dẫn của vật. Trong phạm vi giới hạn của Cơ học cổ điển, khối lượng là đại lượng bất biến. Do đó khối lượng của một hệ cô lập luôn bảo toàn. Khối lượng m của một hệ chất điểm bằng tổng khối lượng các phần tử tạo nên m = mi (3.1)

∑ i

.D

Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục trong miền Ω nên khối lượng của vật rắn m = dm (3.2) được tính bởi:

W

với dm là vi phân của khối lượng m (chính là khối lượng của phần tử nhỏ bé cấu tạo nên vật rắn).

W W

Trường hợp vật rắn phân bố liên tục trong thể tích V (hình 3.1), tại mỗi điểm khảo sát M, ta lấy một yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm là khối lượng của vật chất chứa trong yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối : ρ(M) =

dm dV

(3.3)


80

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện và

m = ∫∫∫ ρ(M )dV

(3.4)

Z.C OM

Khi đó, dm = ρ(M)dV

V

Nếu vật rắn là đồng nhất (hay thuần nhất) thì ρ = const (lúc này ρ chính là khối lượng riêng của chất liệu cấu tạo nên vật rắn). Khi đó (3.4) trở thành: m = ρV

(3.5)

mật độ khối lượng mặt:

σ( M ) =

dm dS

.U CO

Tương tự, nếu hệ phân bố liên tục trên bề mặt (S) (hình 3.2), thì ta định nghĩa (3.6)

với dm là khối lượng vật chất chứa trên yếu tố diện tích dS. Khi đó ta có: dm = σ(M)dS

m = ∫∫ σ(M )dS

HO N

S

(3.7)

Nếu hệ phân bố liên tục trên chiều dài L (hình 3.3), ta định nghĩa mật độ khối λ=

lượng dài:

dm dA

(3.8)

dm = λd A

UY N

với dm là khối lượng vật chất chứa trên yếu tố chiều dài d A . Khi đó ta có:

m = ∫ λ(M)dA

(3.9)

L

dV

AY KE

M

MQ

Nếu hệ thuần nhất thì từ (3.7), (3.9) ta có:

W

.D

a) Yếu tố thể tích dV bao quanh M

m = σS = λL

(3.10)

M dS

M dA

b) Yếu tố diện tích dS bao quanh M

c) Yếu tố chiều dài d A bao quanh M

Hình 3.1

W W

Một hệ phức tạp có thể chia thành nhiều phần, khối lượng của mỗi phần thuộc về một trong những dạng định nghĩa trên. Và khối lượng của hệ là tổng khối lượng của các phần đó.


81

§3.2 KHỐI TÂM

Z.C OM

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Khi nghiên cứu chuyển động của một hệ chất điểm hay chuyển động của vật rắn, trong một số trường hợp có thể rút gọn về chuyển động của một điểm đặc trưng cho hệ đó. Điểm đặc biệt này chính là khối tâm của hệ. Khối tâm được định nghĩa xuất phát từ bài toán tìm trọng tâm (điểm đặt của trọng lực) của hệ 2 chất điểm. Xét hai chất điểm M1 và M2 có khối lượng m1 và m2. Trọng lực tác dụng lên →

2 chất điểm đó là P 1 và P 2 . Hợp lực của P 1 và →

P 2 là P có điểm đặt tại G sao cho: M 1G P2 m 2 = = M 2 G P1 m1 m1.M1G

m2.M2G →

m1 . M 1G + m 2 . M 2 G = 0

=

M1

P1

P

Hình 3.2: Khối tâm của hệ 2 chất điểm

0

hay

UY N

G

P2

HO N

M2

.U CO

1 – Định nghĩa khối tâm:

(3.11)

Điểm G thỏa mãn (3.11) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M1 và M2.

hay:

m1 M 1G + m 2 M 2 G +

AY KE

điểm G thoả mãn:

MQ

Trường hợp tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượng lần lượt là m1, m2, …, mn đặt tương ứng tại các điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định nghĩa khối tâm của hệ là một

n

∑m i =1

... + m n M n G = 0

=0 i MiG

(3.12)

Với vật rắn, khối tâm là điểm G thỏa mãn:

.D

∫ MG dm =

Vaät raén

∫ MG ρdV = 0

(3.13)

Vaät raén

W W

W

trong đó M là điểm bất kì trên vật rắn, dV là yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1) Khối tâm G được định nghĩa theo (3.12) và (3.13) là một điểm đặc trưng cho hệ, chỉ phụ thuộc vào vị trí tương đối và phân bố khối lượng giữa các phần tử trong hệ, không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài. Các kết quả tính toán cho thấy, nếu hệ có một yếu tố đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng, mặt đối xứng) thì khối tâm của một hệ nằm trên yếu tố đối xứng đó. Như vậy, nếu hệ có nhiều yếu tố đối xứng thì khối tâm G thuộc về giao của các yếu tố đối xứng đó.


82

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

Z.C OM

Ví dụ, khối tâm của đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều chính là tâm của đĩa (giao điểm của hai đường kính); khối tâm của miếng sắt mỏng đồng chất, hình chữ nhật chính là giao điểm của 2 đường chéo, …

.U CO

Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” và “trọng tâm”! Trọng tâm G’ của hệ là điểm đặt của trọng lực tác dụng vào hệ, nghĩa là vị trí của G’ không những phụ thuộc vào vị trí, khối lượng của các phần tử cấu tạo nên hệ mà còn phụ thuộc vào gia tốc trọng trường. Trong khi đó vị trí khối tâm G không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường. Trên thực tế, hầu hết kích thước các hệ vật lí mà ta khảo sát là không lớn, do đó gia tốc trọng trường hầu như không đổi tại mọi điểm và G’ trùng với G. Việc phân biệt vị trí của G’ và G là không cần thiết!

HO N

Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giác ABC. Xác định khối tâm của hệ. Giải →

Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa: m1 AG + m 2 BG + m 2 CG = 0 →

UY N

Vì m1 = m2 = m3 = m nên: AG + BG + CG = 0

Điểm G thỏa phương trình trên chính là trọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến) của tam giac ABC.

AY KE

MQ

2 – Toạ độ của khối tâm: Trong kỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật rắn là hết sức quan trọng, nhất là đối với các vật rắn có chuyển động quay. Xác định khối tâm G theo định nghĩa (3.12) và (3.13) là rất phức tạp. Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cách tìm giao điểm của các trục đối xứng. Phương pháp này đặc biệt tiện lợi đối với các vật phẳng đồng nhất. Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị →

trí của khối tâm G được xác định bởi vectơ bán kính rG = OG . Áp dụng “qui tắc 3 →

.D

điểm” đối với 3 điểm O, G và Mi bất kì, ta có: OG = OM i

+ MiG .

Nhân hai vế phương trình này với mi rồi lấy tổng theo i, ta có:

W

m i OG = m i OM i

n

n

W W

∑ m OG = ∑ m OM

i =1

i

i =1

+ mi MiG

i

n

∑m M G

+

i

i

i =1

i

Vì OG không phụ thuộc vào chỉ số chạy i nên ta đưa ra ngoài dấu tổng: →

n

n

i =1

i =1

OG ∑ mi = ∑ mi r i

+

n

∑m M G i =1

i

i


83

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN n

i =1

MiG = 0 .

i

n

∑ mi ri i =1 n

∑m i =1

(3.14)

i

.U CO

rG = OG =

Vậy:

Z.C OM

∑m

Mà theo định nghĩa (3.12), ta có:

Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ ri có tọa độ ( x i , y i , z i ) nên khối tâm G của hệ có

tọa độ:

⎞ ⎟ i =1 ⎟ n ⎟ mi ⎟ ∑ i =1 ⎠

n

∑ mi yi i =1 n

∑m i =1

n

∑m z i

;

i

Với vật rắn thì tọa độ của G là:

∫ xdm

vaät raén

m

∫ ydm

vaät raén

UY N

⎧ ⎪ ⎨x G = ⎪ ⎩

i

HO N

⎛ n ⎜ ∑ mi x i ; G ⎜ i =1n ⎜ ⎜ ∑ mi ⎝ i =1

; yG =

m

; zG =

(3.15)

∫ zdm

vaät raén

(3.16)

m

MQ

Trong đó (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượng dm; m là khối lượng của vật rắn.

AY KE

Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt tại ba đỉnh A, B, C của tam giác đều, cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Phải tăng hay giảm khối lượng của m3 đi bao nhiêu để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC? Giải

x m3

Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G nằm trên OC. Chọn trục Ox như hình vẽ. Theo

.D

(3.15), ta có: x G =

m1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 m1 + m 2 + m 3

G m1 A

W

Dễ thấy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0;

W W

x3 = xC = a 3 /2.

Suy ra:

xG =

0 + 0 + 6m o a 3 / 2 3a 3 = 10m o 10

Để G trùng với trọng tâm ∆ABC thì : x G =

C

O Hình 3.3

xA + xB + xC a 3 = 3 6

B m2


84

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

0 + 0 + m 3a 3 / 2 a 3 = ⇒ m3 = 2mo 2m o + 2m o + m 3 6

dA = Rdϕ

α

Vậy phải giảm khối lượng vật m3 một lượng ∆m = 4mo

O -α

Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cung tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α. Giải

Z.C OM

ϕ

R

x

x

.U CO

Hình 3.4: Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở tâm như hình (3.4). Dễ thấy Ox chính là trục đối xứng của hệ. Suy ra khối tâm G phải nằm trên Ox.

L

m

=

L

m

α

λR =

2

∫ cos ϕ

−α

λR.2α

UY N

xG =

∫ xdm ∫ R cos ϕ.λRdϕ

HO N

Xét một yếu tố dài dA chắn góc ở tâm dϕ. Hoành độ của yếu tố này là: x = Rcosϕ; khối lượng chứa trong dA là dm = λ dA = λRdϕ. Theo (3.16), ta có:

=

R sin α α

(3.17)

trong đó λ là mật độ khối lượng dài của cung tròn; m = λR.2α là khối lượng của cung tròn. Vậy khối tâm của vật thể hình cung tròn đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm một đoạn xG được xác định bởi (3.17).

MQ

dS = r.dr.dϕ dr

AY KE

Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm của một vật thể hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α. Giải

Tương tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm G của hình quạt đồng nhất nằm trên trục đối xứng Ox (đường phân giác của góc ở tâm).

dϕ r

O

ϕ x R

W W

W

.D

Xét một yếu tố diện tích dS. Trong hệ tọa độ cực, ta có dS = r.dr.dϕ. Khối lượng chứa trong dS là dm = σdS; hoành độ của dS là x = r.cosϕ. Hoành độ của khối tâm G là:

xG =

∫ xdm ∫∫ r. cos ϕ.σdS S

m

=

S

m

=

Hình 3.5

∫∫ r. cos ϕ.σ.r.dr.dϕ S

m

x


85

⇒ xG =

R

α

0

−α

σ ∫ r 2 dr. ∫ cos ϕdϕ σ.αR

2

=

Z.C OM

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

2R sin α 3α

(3.18)

Trong đó, m = σ.S = σ.αR2 là khối lượng của hình quạt

α h r

Giải

G

x

h–x

x

dx

UY N

h 4

O

O

Hình 3.6: Khối tâm của vật hình nón

∫ x.dm

vaät raén

m

=

∫ xρdV

vaät raén

AY KE

3.6). Ta có: x G =

MQ

Chia hình nón thành những phần nhỏ, có dạng đĩa tròn bán kính r, bề dày dx (hình

HO N

Ví dụ 3.5: Xác định khối tâm của một vật thể hình nón đồng nhất, đường cao h.

.U CO

Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâm một đoạn xG được xác định bởi (3.18).

∫ ρdV

=

vaät raén

vaät raén

∫ (h − x )

2

.tg α.dx 2

vaät raén

W

.D

xG =

2 2 ∫ x (h − x ) .tg α.dx

∫ xρπr

2

.dx

vaät raén

∫ ρπr

2

.dx

vaät raén

h

=

∫ x (h − x )

2

.dx =

0 h

∫ (h − x )

2

.dx

h 4

0

Vậy, khối tâm của khối hình nón đồng nhất nằm trên trục hình nón, cách đáy một

W W

khoảng:

xG =

3 – Chuyển động của khối tâm: Vận tốc của khối tâm:

h 4

(3.19)


86

vG =

d rG = dt

→ d n m i ri ∑ dt i =1 n

∑m i =1

dr mi i ∑ dt i =1 n

=

i

n

∑m i =1

n

=

∑m i =1 n

i

vi

i

∑m i =1

(3.20)

i

n

aG =

Tương tự, gia tốc của khối tâm:

d vG = dt

∑m i =1 n

ai

i

.U CO

∑m i =1

Z.C OM

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

(3.21)

i

Gọi Fi vaø fi là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i; →

aG =

Suy ra:

HO N

∑ m i là khối lượng của toàn hệ. Theo (2.6) ta có : Fi + f i = m i a i . →

∑ Fi + ∑ f i m

.

UY N

m=

Mà theo định luật III Newton, các vật trong hệ tương tác nhau bằng các lực trực đối, nên tổng các nội lực

∑f

= 0.

i

aG

Vậy:

∑F =

i

m

hay m a G = ∑ Fi

MQ

(3.22)

AY KE

(3.22) chính là phương trình chuyển động của khối tâm. Từ đó ta thấy rằng, khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng các vật trong hệ.

W W

W

.D

Ví dụ: Khi ta ném cái rìu lên trời thì nó vừa bay, vừa xoay. Tuy vận tốc và qũi đạo của mỗi điểm trên cái rìu là hoàn toàn khác nhau và rất phức tạp, nhưng qũi đạo của khối tâm chắc chắn phải là đường Parabol như chuyển động ném xiên của một chất điểm (bỏ qua sức cản không khí).


87

§ 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

Z.C OM

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

1 – Vật rắn tịnh tiến:

.U CO

Trong chương 1, chúng ta đã nghiên cứu tính chất các chuyển động của chất điểm. Vật rắn có những chuyển động riêng và trong mỗi dạng chuyển động, có những tính chất đặc trưng riêng. Giáo trình này chỉ nghiên cứu chuyển động song phẳng của vật rắn, nghĩa là trong quá trình chuyển động, mỗi điểm trên vật rắn luôn có qũi đạo nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định.

Chuyển động của vật rắn được gọi là tịnh tiến nếu một đoạn thẳng nối hai điểm bất kì trên vật rắn luôn song song với chính nó (có phương không đổi).

HO N

Xét điểm M bất kỳ trên vật rắn và khối tâm G của vật rắn. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui tắc 3 điểm ta có: →

OM = OG + GM →

rM = rG

hay

+ GM →

d rM d rG = Suy ra: dt dt

+

d GM dt

UY N

G

M

M

Hình 3.7: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn. →

MQ

G

d GM = 0. Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ GM không đổi. Do đó dt →

AY KE

d rM d rG = dt dt

Vậy:

hay v M = v G

(3.23)

.D

Khi vật rắn tịnh tiến thì mọi điểm trong vật rắn đều vạch ra các qũi đạo giống nhau với cùng một vận tốc bằng với vận tốc của khối tâm. Do đó chuyển động của vật rắn trong trường hợp này được qui về chuyển động của khối tâm. Nói cách khác, toàn bộ vật rắn được coi như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng toàn vật rắn, đặt tại khối tâm G.

W

2 – Vật rắn quay quanh một trục cố định:

W W

Khi vật rắn quay quanh trục cố định (∆) với vận tốc góc ω thì mọi điểm của →

vật rắn sẽ vạch ra những đường tròn đồng trục ∆, với cùng một vận tốc góc ω . →

Xét một điểm M bất kì trên vật rắn, gọi R là vectơ bán kính quĩ đạo của M, ta có: - Vận tốc dài:

v=ω x R

(3.24)


88

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện v = ωR →

- Gia tốc tiếp tuyến: a t = β x R

(3.26)

at = βR

và độ lớn:

(3.27)

- Gia tốc pháp tuyến: a n = ω 2 R →

ω

(3.28)

- Gia tốc toàn phần: a = a t + a n và độ lớn:

Z.C OM

(3.25)

(3.29)

a = a 2t + a 2n

(3.30)

.U CO

và độ lớn:

R M

ω

UY N

HO N

Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vôlăng I và Hình 3.8: Chuyển bánh xe II. Bán kính vôlăng là R1 = 10cm; bánh xe là R2 = động quay của 50cm. Vôlăng đang quay với vận tốc 720 vòng/phút thì bị vật rắn quanh trục ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ cố định. còn 180 vòng/phút. Tính vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện, số vòng quay của vôlăng và bánh xe trong khoảng trời gian trên. Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góc trung bình của vôlăng và bánh xe trong khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa không bị trượt trên vôlăng và bánh xe). Giải

MQ

Gọi ω1 và ω2 là vận tốc góc của vôlăng và bánh xe; ω01 và ω02 là các vận tốc góc ban đầu của chúng. Ta có: ω01 = 720 vòng/phút = 24π rad/s.

R1

AY KE

t1 = 30s; ω1 = 180 vòng/phút = 6π rad/s. Vì dây cuaroa không bị trượt trên Hình 3.9 vôlăng và bánh xe nên các điểm tiếp xúc giữa vôlăng – dây cuaroa, bánh xe – dây cuaroa luôn có cùng vận tốc dài. Suy ra: ω1R1 = ω2R2 ; ω01R1 = ω02R2 Vậy vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện là:

.D

R1 10 ωo1 = .720 = 144 vòng/phút = 4,8π rad/s. R2 50

W

ωo 2 =

W W

Gia tốc góc của vôlăng: β1 =

ω1 − ωo1 6π − 24π = = −0,6π rad/s2. t1 30

Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t1 = 30s:

1 θ1 = ωo1 t 1 + β1 t 12 = 24π.30 − 0,3π.30 2 = 450π rad. 2

R2


89

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Z.C OM

Vậy, vôlăng đã quay được N1 = 225 vòng.

R1 N1 = 45 vòng. R2

Số vòng quay của bánh xe trong thời gian t1 = 30s: N2 = Ta có: ω1 = ωo1 + β1 t . Khi dừng: ω1 = 0. Suy ra t = −

.U CO

Vậy, hệ thống sẽ dừng lại sau 40s kể từ lúc ngắt điện.

ω o1 = 40s β1

Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t = 40s:

1 θ = ωo1 t + β1 t 2 = 24π.40 − 0,3π.40 2 = 912π rad 2

θ 912π = = 22,8π rad/s. t 40 R1 ω1tb = 4,56π rad/s. R2

UY N

Vận tốc góc trung bình của bánh xe: ω 2 tb =

HO N

Vận tốc góc trung bình của vôlăng: ω1tb =

3 – Chuyển động phức tạp của vật rắn:

Khi vật rắn có chuyển động phức tạp bất kỳ (nhưng vẫn là song phẳng), ta có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến và quay. Để chứng minh điều này, ta xét 2 điểm bất kỳ M và N trên vật rắn và chọn điểm O làm gốc tọa độ. Theo →

MQ

qui tắc 3 điểm ta có: OM = ON + NM →

vM = vN

AY KE

theo thời gian, ta có: →

+

hay rM = rN + NM . Lấy đạo hàm hai vế →

d NM dt

Vectơ NM có độ lớn không đổi, nhưng có phương thay đổi, nên ta có thể tìm được →

trục quay (∆) tức thời sao cho NM quay quanh N với vectơ vận tốc góc ω thỏa mãn →

.D

phương trình:

→ → d NM → → = ω x R vôùi R = NM dt

W

Do đó ta có thể viết:

vM = vN

(3.31)

+ ωxR

(3.32)

W W

Như vậy: Nếu chọn điểm N là điểm cơ bản thì chuyển động của điểm M (bất kỳ trên vật rắn) bao gồm hai chuyển động: →

- Tịnh tiến cùng với điểm cơ bản N với vận tốc v N ; →

- Quay quanh điểm cơ bản với vận tốc góc ω .


90

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

Khi chọn điểm cơ bản khác nhau thì vận tốc tịnh tiến của điểm M cũng khác nhau

Z.C OM

nhưng vận tốc góc ω không thay đổi. Trong các bài toán, ta thường chọn điểm cơ bản là khối tâm của vật rắn. Khi đó (3.32) trở thành: →

vM = vG

+ ω x R với R = GM

(3.33)

.U CO

Tóm lại: Chuyển động bất kỳ của vật rắn luôn có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến của điểm cơ bản và quay quanh trục đi qua điểm cơ bản đó. Thông thường, ta chọn điểm cơ bản là khối tâm G của vật rắn.

HO N

Ví dụ 3.7: Bánh xe hình đĩa tròn, lăn không trượt trên đường nằm ngang với vận tốc tịnh tiến vo. Xác định vectơ vận tốc, qũi đạo và quãng đường đi (sau hai lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường) của một điểm bất kì trên vành bánh xe. Giải

AY KE

MQ

UY N

y Xét điểm → M trên Đường vM vành → → cong D bánh xe. ωx R cycloid Chọn hệ G → trục toạ M vo độ Oxy như hình A O 3.10. Gốc toạ độ và Hình 3.10: Qũi đạo, vận tốc của điểm M trên vành bánh xe. gốc thời gian tại vị trí và thời điểm M tiếp xúc với mặt đường.

x

Do bánh xe lăn không trượt nên vận tốc dài của điểm M có độ lớn bằng với vận tốc tịnh tiến của bánh xe: vM = ωR = vG = vo. →

Vận tốc của điểm M: v M = v G + ω x R = v o + ω x R (*)

.D

Chiếu (*) lên các trục tọa độ Ox, Oy ta có:

W

⎧v x = v o − ωR cos ϕ = v o − v o cos ωt = v o (1 − cos ωt ) ⎨ ⎩v y = 0 + ωR sin ϕ = v o sin ωt

(3.34)

W W

q = ωt : là góc mà điểm M đã quay được trong thời gian t. trong đó ϕ = MGA Suy ra, độ lớn vận tốc của điểm M:

v M = v 2x + v 2y = v o 2(1 − cos ωt ) = v o | sin

ωt | 2

(3.35)


91

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN →

Vậy: phương của v M luôn đi qua đỉnh D của bánh xe. (3.34) suy ra phương trình chuyển động của M:

.U CO

t ⎧ 1 ⎪x = ∫ v x dt = v o ( t − sin ωt ) = v o t − R sin ωt ω ⎪ 0 ⎨ t ⎪ y = v dt = R (1 − cos ωt ) ∫0 y ⎪ ⎩

Z.C OM

Nếu ta chọn điểm cơ bản là điểm A thì v M = ω x AM . Suy ra v M ⊥ AM .

(3.36)

HO N

(3.36) biểu diễn đường cong cycloid. Vậy quĩ đạo của M là đường cong cycloid. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp điểm M tiếp xúc với mặt đường chính

2π . Trong khoảng thời gian này, điểm M đã đi ω T T → ωt được quãng đường: s = ∫ | v M | dt = v o ∫ | sin | dt = 8R. (3.37) 2 0 o

UY N

là chu kì quay quanh khối tâm: T =

§ 3.4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

MQ

1 – Tổng quát:

AY KE

Chuyển động phức tạp của vật rắn được phân tích thành hai chuyển động đồng thời. Vì thế, mô tả chuyển động của vật rắn về mặt động lực học, ta cũng có hai phương trình: Phương trình mô tả chuyển động tịnh tiến của khối tâm G: →

dp → =F dt

W W

W

(3.38)

F = ∑ Fi là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn;

.D

Với:

hay m a = F

p = ∑ m i v i = m v G là động lượng của vật rắn;

a là gia tốc tịnh tiến của vật rắn (gia tốc của khối tâm).

Phương trình mô tả chuyển động quay quanh trục ∆ đi qua khối tâm G: →

dL → = M dt

(3.39)


92 →

∫d A

L=

Với:

là mô men động lượng của vật rắn;

vaät raén →

M =

Z.C OM

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

∑ (ri x Fi ) là tổng momen ngoại lực đối với trục ∆.

.U CO

Hai phương trình (3.38) và (3.39) mô tả chuyển động bất kỳ của vật rắn. Nếu xét trong hệ trục Oxyz ta có 6 phương trình vi phân. Tuy nhiên, trong phạm vi giáo trình này, ta chỉ khảo sát các chuyển động đặc biệt của vật rắn, nên việc giải các phương trình trên sẽ đơn giản hơn. Trước hết, nếu chuyển động của vật rắn chỉ là tịnh tiến thì từ (3.38) ta thấy, chuyển động ấy được qui về chuyển động của khối tâm G và việc khảo sát giống như chuyển động của chất điểm G có khối lượng m.

HO N

Dưới dây ta sẽ khảo sát chi tiết hơn về chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định ∆. 2 – Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục cố định:

∫d A =

vaät raén

I∆ =

Với:

vaät raén

∫ dI = ∫ r

vaät raén

∫ dI ω = ω 2

∫ dI = I ∆ ω

(3.40)

vaät raén

dm

(3.41)

MQ

L=

UY N

Xét vật rắn quay quanh trục cố định ∆ với vận tốc góc ω. Theo (2.57) ta có mômen động lượng của vật rắn là:

vaät raén

là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay ∆.

AY KE

Chiếu (3.40) lên trục ∆, ta có:

L∆ = I∆ω

(3.42)

dL ∆ d(I ∆ ω) dω = = I∆ = I ∆β dt dt dt

Suy ra:

Chiếu (3.39) lên trục ∆ và kết hợp (3.43), ta có:

I ∆β = M ∆

(3.43) (3.44)

W W

W

.D

(3.44) là phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục ∆ cố định. Trong đó: β là gia tốc góc; M∆ là tổng đại số các mômen ngoại lực đối với trục quay ∆; I∆ là mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆. Về hình thức, (3.44) giống như phương trình cơ bản (2.6) của động lực học chất điểm, trong đó, mômen quán tính I đóng vai trò giống như khối lượng m. Vì khối lượng đặc trưng cho mức quán tính nên mômen quán tính cũng đặc trưng cho mức quán tính trong chuyển động quay. Do đó, người ta còn gọi mômen quán tính I là quán tính quay. Để giải được (3.44), ta cần tính được mômen của các ngoại lực và mômen quán tính đối với trục ∆.


93

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Z.C OM

3 – Tính mômen lực đối với trục ∆: →

Để tìm hiểu rõ tác dụng làm quay vật rắn quanh trục ∆ của ngoại lực F , ta →

phân tích F thành các thành phần (xem hình 3.11): →

F = F // + F ⊥ = F // + Fn + Ft →

Thành phần F// có phương song song với trục ∆, nên có tác dụng làm vật rắn trượt

.U CO

(3.45)

theo trục ∆. Thành phần này sẽ được cân bằng bởi phản lực của trục ∆. →

Thành phần F ⊥ nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay, lại được phân tích →

thành hai thành phần: Fn và Ft .

Thành phần Ft hướng theo tiếp tuyến qũi đạo của điểm M, chính thành phần này mới thực sự làm vật rắn quay quanh trục ∆.

MQ

Thành phần Fn nằm trên pháp tuyến qũi đạo của điểm M, có tác dụng kéo vật chuyển động vuông góc với trục ∆. Thành phần này cũng được cân bằng bởi phản lực của trục quay ∆.

UY N

HO N

AY KE

Vậy, chỉ có thành phần tiếp tuyến của lực mới thực sự gây ra tác dụng làm quay vật rắn.

F//

F

ω →

Ft

M

ω

F⊥

Fn Hình 3.11: Chỉ có thành phần tiếp tuyến của lực mới gây ra tác dụng làm quay vật.

Suy ra mômen của ngoại lực F đối với trục quay ∆ (gọi tắt là mômen quay) là: →

.D

M ∆ = R x F t ⇒ M ∆ = Ft .R = F⊥ .d = F⊥ .R sin θ

(3.46)

W

với R là bán kính quĩ đạo của điểm M (điểm đặt của ngoại lực); d = Rsin θ là cánh tay →

W W

đòn; θ là góc giữa R và thành phần F ⊥ (xem hình 3.12). →

Từ (3.46) suy ra, mômen quay sẽ lớn nhất khi lực F nằm vuông góc với trục →

quay và vuông góc với vectơ bán kính R .


94

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện Nếu có nhiều ngoại lực tác dụng vào vật rắn thì tổng mômen của ngoại lực là: →

Z.C OM

M ∆ = ∑ (R i x F ti ) ⇒ M ∆ = ∑ Ft i .R i

(3.47)

i

i

Ví dụ 3.8: Lực F = 10N tác dụng vào vật

H

rắn có trục quay cố định. Biết F nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay, có điểm đặt cách trục quay 20cm và tạo với bán kính R một góc 30o. Tính mômen quay của lực.

R

O

Giải

HO N

UY N

Ví dụ 3.9: Tính mômen của lực để mở cánh cửa hình chữ nhật, biết lực tác dụng vào tay nắm (núm cửa) vuông góc với mặt cánh cửa, có độ lớn 5N và tay nắm ở cách bản lề 80cm. Nếu điểm đặt của lực không phải ở núm cửa mà chỉ cách bản lề 50cm thì độ lớn của lực phải là bao nhiêu để có mômen trên?

MQ

Giải

M

Hình 3.12

Mômen quay của lực là: M∆ = F.R.sinθ = 10.0,2.sin30o = 1(Nm) .

θ

.U CO

d

F⊥

F’

F

M

N

O

Hình 3.13: Mômen làm quay cánh cửa

Mômen lực khi đặt tại núm cửa:

Mo = F.d = 5.0,8 = 4(Nm)

AY KE

Nếu điểm đặt của lực chỉ cách bản lề 50cm thì độ lớn của lực là: F’ = Mo/d’ = 4/0,5 = 8 (N). 4 – Tính mômen quán tính đối với trục ∆: a) Nhắc lại các công thức định nghĩa về mômen quán tính: Một chất điểm:

W

.D

Mômen quán tính đối với trục quay ∆ của: I∆ = mr2

(3.48)

W W

với r là khoảng cách từ chất điểm đến trục quay; m là khối lượng của chất điểm. •

Hệ chất điểm:

n

I ∆ = ∑ m i ri2

(3.49)

i =1

với mi là khối lượng của chất điểm thứ i; ri là khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục ∆.


95

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

I∆ =

Vật rắn:

∫r

2

dm

(3.50)

Z.C OM

vaät raén

với r là khoảng cách từ yếu tố khối lượng dm đến trục ∆. Tùy theo phân bố của vật rắn mà dm có thể tính theo (3.4), (3.7) hay (3.9). b) Mômen quán tính của một số vật rắn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục quay ∆ đi qua khối tâm G:

.U CO

Ví dụ 3.10: Tính mômen quán tính của hình trụ rỗng, thành mỏng hay vành tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục của nó. dϕ Giải

HO N

Chia bề mặt hình trụ làm nhiều phần, có dạng hình chữ nhật, mỗi phần có chiều rộng d A = Rdϕ. Gọi σ là mật độ khối lượng phân bố trên mặt trụ, ta có: dm = σ dS = σ h.d A = σhRdϕ ⇒

dI = dm. R2 = σ hR3 dϕ

I=

∫ dI = ∫ σ hR

maët truï

d

R

3

dϕ = σ hR

maët truï

I = 2πσ hR3 = mR2

3

∫ dϕ

Hình 3.14

0

MQ

UY N

Vì khối lượng phân bố đều nên σ = const

h

với m = 2πσhR là khối lượng hình trụ.

AY KE

Làm tương tự đối với vành tròn (trục quay là trục của vành tròn), ta cũng có: I = mR2.

dr

Vậy: Mômen quán tính đối với trục của hình trụ rỗng, hay vành tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều là: I = mR2

(3.50) h

.D

với m và R là khối lượng và bán kính hình trụ, hay vành tròn.

W

Ví dụ 3.11: Tính mômen quán tính của khối trụ đặc hay điã tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục của nó. Giải

W W

Chia khối trụ đặc thành nhiều lớp mỏng, có bề dày dr. Mỗi lớp được coi như môt hình trụ rỗng, nên có mômen quán tính là: dI = dm.r2 = ρdV.r2

dr r

với ρ là khối lượng riêng của khối trụ.

Mà dV = dS.h = [π(r + dr)2 - πr2 ].h ≈ 2πhrdr

Hình 3.15


96

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

R

3 ∫ dI = 2πρh ∫ r dr =

⇒ I=

toaøn khoái truï

0

Z.C OM

dI = 2πρhr3 dr

1 1 πρhR 4 = mR 2 2 2

Tương tự, đối với đĩa tròn ta cũng thu được kết quả trên. khối lượng phân bố đều là: I =

1 mR 2 2

.U CO

Vậy: Mômen quán tính đối với trục đối xứng của khối trụ đặc hay điã tròn đồng chất, (3.51)

với m và R là khối lượng và bán kính của khối trụ hay đĩa tròn.

Giải

dx

HO N

Ví dụ 3.12: Tính mômen quán tính của thanh đồng chất, khối lượng m phân bố đều theo chiều dài A của thanh, đối với trục ∆ vuông góc với thanh.

−A 2

O

x

A

MQ

A 2

∫ dI = λ ∫ x

I =

2

dx =

A − 2

1 3 1 λA = mA 2 12 12

(3.52)

AY KE

toaøn thanh

UY N

Chia chiều dài thanh thành các phần 2 tử nhỏ có bề dày dx. Khối lượng của mỗi Hình 3.16 phần đó là dm = λ dx , với λ là mật độ khối lượng phân bố theo chiều dài của thanh. Vì khối lượng phân bố đều nên λ = const. Ta có dI = dm.x2 = λ dx.x2 = λ x2 dx

với m = λ A là khối lượng của thanh; A là chiều dài của thanh. Ví dụ 3.13: Tính mômen quán tính của khối cầu đặc, đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục quay chứa đường kính. z

.D

Giải

z

Mômen quán tính đối với trục Oz (hình 3.17):

∫ dI =

W

Iz =

W W

khoái caàu

rz2 dm =

khoái caàu

r

2 2 ∫ (x + y )dm

O

khoái caàu

x

Tương tự đối với trục Ox, Oy ta cũng có:

Ix =

Iy =

∫ (y

2

+ z 2 )dm ;

2

+ x 2 )dm .

khoái caàu

∫ (z

khoái caàu

M y

x Hình 3.17

y


97

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

3

2 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )dm = r 2ρdV ∫ 3 khoái caàu 3 khoá∫i caàu

Mà thể tích hình cầu là V =

4 3 πr ⇒ 3

dV = 4πr2 dr

.U CO

⇒I =

Ix + Iy + Iz

R

2 8 8πρ 5 2 r 2 ρ4πr 2 dr = πρ∫ r 4 dr = R = mR 2 ∫ 5 3 khoái caàu 3 0 15

với R, m = ρV =

(3.53)

4 3 πR ρ là bán kính, khối lượng của khối cầu. 3

HO N

⇒ I=

Z.C OM

Do tính đối xứng cầu nên Ix = Iy = Iz = I =

Ví dụ 3.14: Tính mômen quán tính của khối cầu rỗng, thành mỏng đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục quay chứa đường kính.

UY N

Giải

2

Xét điểm M trên mặt cầu, ta có: x + y + z2 = R2 = const . Làm tương tự ví dụ 6, ta cũng có: I =

2

2 2 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )dm = R 2 dm = mR 2 ∫ ∫ 3 maët caàu 3 maët caàu 3

MQ

c) Định lí Huygens – Steiner:

(3.54)

AY KE

Các công thức (3.50) đến (3.54) chỉ cho phép tính mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay ∆G đi qua khối tâm G. Trong trường hợp, trục ∆ không đi qua G nhưng song song với ∆G, ta có thể vận dụng định lí Huygens – Steiner để tính: I∆ = IG + md2

(3.55)

với m là khối lượng của vật rắn và d là khoảng cách giữa hai trục quay ∆ và ∆G. Chứng minh:

W

.D

Xét một yếu tố khối lượng dm, các trục ∆G một đoạn x và cách trục ∆ một khoảng (x + d) (xem hình minh họa 3.18).

W W

Mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆G là: I G = x 2 dm và đối với trục ∆ là:

I=

∆G

∆ d

x

dm

O

VR

∫ ( x + d)

VR

2

dm =

∫ (x

2

+ 2dx + d 2 )dm

VR

⇒ I = ∫ x 2 dm + 2d ∫ xdm + ∫ d 2 dm (*) VR

VR

VR

Hình 3.18: Chứng minh định lí Huygens - Steiner

x


98

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

Z.C OM

Số hạng thứ nhất ở vế phải của (*) chính là mômen quán tính đối với trục ∆G; số hạng thứ hai luôn triệt tiêu, vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ theo x và miền tính tích phân đối xứng quanh trục ∆G của vật rắn (nói cách khác nếu có yếu tố dm ở tọa độ x thì tồn tại yếu tố dm ở tọa độ (– x) nên tích phân thứ hai bằng không); Số hạng thứ ba chính là md2. Vậy: I∆ = IG + md2 (đpcm). Ví dụ 3.15: Tính mômen quán tính của thanh đồng chất đối với trục quay đi qua một đầu và vuông góc với thanh.

.U CO

Giải Ap dụng định lí Huygen – steiner:

A 1 1 mA 2 + m( ) 2 = mA 2 3 12 2

(3.56)

HO N

I∆ = IG + md2 =

§ 3.5 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

UY N

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

MQ

Tương tự như Động Lực Học chất điểm, trong Động Lực Học vật rắn cũng có hai dạng bài toán: thuận và nghịch. Bài toán cho biết các lực, tìm gia tốc – gọi là bài toán thuận; bài toán cho gi a tốc tìm các lực, mômen lực – gọi là bài toán nghịch. Phương pháp giải các dạng bài toán này đều tuân theo trình tự sau: 1 – Các bước:

Bước 1: Phân tích các lực tác dụng lên vật rắn.

Bước 2: Viết cc phương trình động lực học:

AY KE

động tịnh tiến v phương trình có).

∑M

∑F = ma

(1) cho chuyển

= I ∆ .β (2) cho chuyển động quay (nếu

Bước 3: Chiếu phương trình (1) lên các trục toạ độ cần thiết.

Bước 4: Giải hệ phương trình và biện luận kết quả.

W

.D

W W

Chú ý: - Khi chiếu một vectơ lên trục toạ độ, nếu vectơ đó đã xác định thì hình chiếu của nó sẽ có dấu xác định tùy theo nó theo chiều dương hay âm của trục toạ độ. Nếu vectơ đó chưa xác định (thường là vectơ gia tốc và các lực liên kết) thì hình chiếu của nó sẽ có giá trị đại số. - Khi tính tổng các mômen lực, cần chọn một chiều quay dương (thường là chiều quay của vật, hoặc chiều kim đồng hồ). Nếu lực nào làm vật quay theo chiều đó thì mômen của nó sẽ dương; trái lại là mômen âm.


99

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Z.C OM

2 – Các ví dụ mẫu: Ví dụ 3.16: Một bánh xe (coi như hình trụ đặc đồng nhất), bán kính R bắt đầu lăn không trượt từ đỉnh một cái dốc có độ cao h, nghiêng một góc α so với phương ngang xuống chân dốc. Bỏ qua ma sát cản lăn. Tính gia tốc và vận tốc của khối tâm bánh xe ở chân dốc. Giải

.U CO

Bước 1: Lực tác dụng lên bánh xe gồm: →

- Trọng lực P (có giá qua khối tâm G); →

- Phản lực pháp tuyến N (có giá qua khối tâm G); msn

(tiếp tuyến với mặt tiếp xúc).

HO N

- Lực ma sát nghỉ f

UY N

Chú ý: Nếu hoàn toàn không có ma sát, bánh xe sẽ trượt mà không quay, vì P và N đều có giá qua G nên không tạo mômen quay. Do đó phải có ma sát nghỉ tạo mômen quay. Lực này đóng vai trò là lực phát động, không phải lực cản (bỏ qua ma sát cản lăn). Để hiểu rõ thêm về lực ma sát trong chuyển động lăn, xin đọc § 3.6. Bước 2: Chuyển động của bánh xe bao gồm hai chuyển động đồng thời: Tịnh tiến của khối tâm G và quay quanh trục đi qua G, nên ta có hai phương trình: →

MQ

Áp dụng (3.54), ta có: N + P + f

msn

=ma

Áp dụng (3.56), ta có: fmsn.R = I.β

(1) (2)

AY KE

Chú ý: chỉ có lực ma sát là tạo mômen quay, còn các lực khác đi qua khối tâm G nên không tạo mômen quay. →

N

W W

W

.D

f msn

h

P

α Hình 3.19

v


100

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

Do lăn không trượt nên a = at = β.R ⇒ β = a/R

(4)

Z.C OM

Bước 3: Chiếu (1) lên phương mặt phẳng nghiêng, chiều dương hướng xuống chân dốc, ta có: Psinα - fmsn = ma (3) Bước 4: Thay (4) vào (2) và kết hợp (3), ta có gia tốc của khối tâm bánh xe là:

m sin α 2 m sin α =g = g sin α 1 I 3 m+ m m+ 2 2 R

(3.57)

.U CO

a=g

Tới chân dốc, khối tâm G của bánh xe còn cách mặt đường một đọan R, nên quãng đường mà khối tâm đã đi là: s = (h – R)/sinα. Vậy vận tốc của G ở chân dốc là:

h−R = sin α

4g ( h − R ) 3

(3.58)

HO N

v = 2as = 2a

UY N

Ví dụ 3.17: Một động cơ điện khởi động nhanh dần đều trong thời gian 3 giây, và đạt vận tốc ổn định là 720 vòng/phút. Coi rotor có dạng hình trụ đặc đồng nhất, bán kính R = 10cm, khối lượng m = 5 kg và coi lực từ có phương tiếp xúc với bề mặt rotor, hãy tính mômen khởi động của lực từ và độ lớn của lực từ. Bỏ qua mômen cản ở trục rotor. Giải →

Lực tác dụng lên rotor gồm trọng lực P , →

MQ

phản lực pháp tuyến N của vòng đỡ, lực từ

F

F

(khi quấn động cơ, người ta tính toán sao cho F có phương tiếp tuyến để tạo mômen lớn nhất). Dễ thấy →

AY KE

N cân bằng với trọng lực P và chỉ có lực từ tạo mômen làm quay động cơ. Mômen khởi động của lực từ:

Hình 3.20

ω − ωo t 1 1 I = mR 2 = .6.0,12 = 0,03kgm2 ; ωo = 0 rad/s; ω = 720 vòng/phút = 24π 2 2

W

Với

.D

M∆ = I.β = I

W W

rad/s thì mômen lực là: M∆ = 0,03.24π/3 = 0,72π ≈ 2,26 Nm. Độ lớn của lực từ: M∆ = F.R ⇒ F =

M ∆ 2,26 = = 22,6 N . R 0,1

Ví dụ 3.18: Cho cơ hệ như hình 3.21. Khối lượng vật A, con lăn B và ròng rọc C là m1, m2 và mo. Bán kính ròng rọc là r, bán kính con lăn là R. Mômen cản ở trục ròng rọc là Mc, hệ số ma sát lăn giữa con lăn và mặt bàn là µ’ (có thứ nguyên là mét). Bỏ


101

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Z.C OM

qua mômen cản ở trục con lăn, coi dây không giãn và không trượt trên ròng rọc. Tính gia tốc của vật A. Giải Phân tích lực: B • Lực tác dụng lên vật A gồm: trọng lực

C

P1 , lực căng dây T1 Lực tác dụng lên con lăn B gồm: trọng →

.U CO

lực P2 , phản lực pháp tuyến N 2 , lực

H 3.21

căng dây T2 , lực ma sát F ms .

Lực tác dụng lên ròng rọc C gồm: trọng lực P0 , phản lực liên kết của trục →

HO N

A

quay R , lực căng dây T3 , T4 .

Viết các phương trình động lực học cho A, B, C: →

P1 + T1 = m1 a 1

B:

P2 + N 2 + T2 + F ms = m 2 a 2

(2)

∑M ∑M

= I 2β 2

(3)

= I 0β 0

(4)

và: C: →

B

/G

/G

AY KE

N2

T2

W

.D

F ms

W W

(1)

MQ

UY N

A:

R →

T3

C

O x

T4 →

P0

A

P2

T1

y

H 3.22

Chiếu (1) lên Ox ⇒ P1 – T1 = m1a1

P1 (5)


102

Chiếu (2) lên Ox ⇒ T2 – Fms = m2a2

(6)

Chiếu (2) lên Oy ⇒ P2 – N2 = 0

(7)

Chọn chiều quay dương là chiều kim đồng hồ. •

Z.C OM

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

Đối với con lăn B, các lực P2 và T2 không gây ra mômen quay, vì giá của →

Fms.R – µ’.N2 = I2.β

(8)

Tương tự đối với ròng rọc C, (4) trở thành:

HO N

.U CO

chúng đi qua trục quay; chỉ có lực ma sát F ms và phản lực pháp tuyến N 2 là gây ra mômen quay. Mômen của lực ma sát là mômen phát động làm con lăn quay theo chiều kim đồng hồ: Mms = Fms.R ; còn mômen của phản lực pháp tuyến là mômen cản lăn (xem § 3.6): MN = – µ’.N2. Do đó (3) trở thành:

T4 .r – T3 .r – Mc = I0.β0 Ngoài ra ta có các điều kiện:

UY N

- Dây không giãn ⇒ a1 = a2 = a

(9) (10)

- Dây không khối lượng ⇒ T1 = T4 = T; T2 = T3 = T’

(11)

- Dây không trượt trên ròng rọc ⇒ a = at = β0. r = β2.R

(12)

Giải hệ phương trình: thay (10), (11), (12) vào (5), (6), (7), (8), (9), ta có:

MQ

(5) ⇒ m1g – T = m1a

(6) ⇒ T’ – Fms = m2a

(6’)

µ' a 1 m 2g = I2 2 = m 2a 2 R R

(8’)

Mc I0 a 1 = . = m0a r r r 2

(9’)

AY KE

(8) ⇒ Fms −

(5’)

(9) ⇒ T – T’ −

W W

W

.D

Cộng vế với vế các phương trình (5’), (6’), (8’) và (9’), ta thu được gia tốc của vật:

M µ' m2 − c gr R a=g 1 3 m1 + m 2 + m o 2 2 m1 −

(3.59)

3 – Con lắc vật lý: Con lắc vật lý là một vật rắn khối lượng m, có thể quay quanh trục cố định, nằm ngang. Gọi G là khối tâm của con lắc, d là khoảng cách từ G đến trục quay O; θ là góc lượng giác tạo bởi phương thẳng đứng và đường OG. Bỏ qua ma sát thì lực tác


103

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN →

Z.C OM

dụng lên con lắc gồm trọng lực P (có điểm đặt tại khối tâm) và phản lực R của trục quay (có điểm đặt tại trục quay). Suy ra, chỉ có trọng lực gây ra mômen quay, còn phản lực không tạo mômen quay (vì có giá đi qua trục quay). Phương trình chuyển động quay của con lắc quanh trục O là:

d 2θ I 2 = M → = −P sin θ.d = − mg sin θ.d P/ O dt

HO N

Xét trường hợp con lắc dao động với biên độ góc θo nhỏ thì sinθ ≈ θ. (3.60) trở thành:

d 2 θ mgd d 2θ hay: + . θ = 0 + ωo2 θ = 0 2 dt 2 I dt

(3.61)

mgd . (3.61) là phương trình vi phân I

UY N

2 Với ωo =

.U CO

với I là momen quán tính của con lắc đối với trục quay; d là khoảng cách từ khối tâm G đến trục quay; chiều quay dương là chiều ngược kim đồng hồ.

(3.60)

của con lắc vật lý. Nghiệm của phương trình này (3.62) có dạng: θ = θosin(ωot + ϕ).

Tần số góc riêng:

Chu kì riêng:

AY KE

MQ

Vậy, với biên độ góc nhỏ (θo < 10o), dao động của con lắc vật lý là dao động điều hoà tự do, có :

ωo =

To =

θ

G

P

Hình 3.23: Con lắc vật lý

mgd I

(3.63)

2π I = 2π mgd ωo

(3.64)

W

.D

Trường hợp đặc biệt, vật rắn là một chất điểm đặt tại G, khi đó I = md2 và ta có:

To = 2π

d g

hay To = 2π

A g

(3.65)

con lắc vật lý trở thành con lắc toán học (con lắc đơn) có chiều dài A = d.

W W

Nếu một con lắc đơn và một con lắc vật lý có cùng chu kì thì ta nói chúng là hai con lắc đồng bộ.


104

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

Z.C OM

§ 3.6 MA SÁT TRONG CHUYỂN ĐỘNG LĂN CỦA VẬT RẮN

.U CO

Trong sinh hoạt hàng ngày, ta thường gặp chuyển động lăn của các vật hình trụ trên mặt phẳng ngang. Ta cũng thấy rằng, có lúc bánh xe quay rất nhanh mà không tiến lên được (xe bị lún sình); hoặc bánh xe trượt mà không lăn; hoặc vừa lăn, vừa trượt, …. Nguyên nhân của các hiện tượng trên là do ma sát. Bài này cung cấp thêm thông tin về đặc điểm của ma sát lăn; vai trò của ma sát trong các chuyển động lăn không trượt của các vật rắn có dạng hình trụ. Nói chung, ma sát trong chuyển động lăn rất phức tạp. Có lúc ma sát đóng vai trò là lực phát động, nhưng cũng có lúc lại cản trở chuyển động. Sau đây chúng ta khảo sát ảnh hưởng của ma sát đối với chuyển động lăn của khối trụ trong các trường hợp cụ thể.

HO N

1 – Trường hợp 1: ở thời điểm to = 0, khối trụ có chuyển động tịnh tiến với vận →

tốc v o :

Nếu giữa mặt ngang và khối trụ hoàn toàn không có ma sát thì phản lực N và →

UY N

trọng lực P triệt tiêu nhau (hình 3.24). Do đó khối trụ

trượt theo quán tính với vận tốc v o không đổi (điểm →

N

tiếp xúc A cũng trượt với vận tốc v o , vì không có lực tạo mômen quay).

MQ

O

Thực tế luôn có ma sát tác dụng lên khối trụ và lực ma sát có hai tác dụng (hình 3.25):

AY KE

dv = −f ms dt

(3.66)

P

Hình 3.24

• Tạo mômen làm quay vật rắn theo phương trình:

dω = f ms .R dt

(3.67)

.D

I

R

N

W

trong đó: v là vận tốc tịnh tiến của khối tâm; ω là vận tốc góc và I là mômen quán tính đối với trục quay qua khối tâm.

W W

Lúc này, vận tốc trượt của điểm tiếp xúc A là: vtr = v – ωR

O →

f ms A

(3.68)

Vận tốc tịnh tiến v càng lúc càng giảm còn vận tốc góc ω càng lúc càng tăng. Do đó, sau một khoảng thời gian t1 thì vtr = 0. Lúc đó điểm tiếp xúc A không còn trượt nữa, ta nói khối trụ lăn không trượt trên mặt

vo

A

• Cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương trình:

m

P

Hình 3.25

vo


105

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

dv m = −f ms dt

t

Z.C OM

phẳng ngang với vận tốc góc ω1 và vận tốc tịnh tiến v1 được xác định như sau:

f 1 1 ⇒ dv = − ms dt ⇒ v1 = v o − ∫ f ms dt m m0 t

(*)

(**)

.U CO

R 1 R dω = f ms .R ⇒ dω = f ms dt ⇒ ω1 = ωo + ∫ f ms dt I I 0 I dt

HO N

Khử tích phân trong (*) và (**) rồi kết hợp với điều kiện lăn không trượt: v1 = ω1R, ta vo ⎧ ⎪ω1 = I ⎪ R+ ⎪ mR có: (3.69) ⎨ v o ⎪v = ⎪ 1 I 1+ ⎪ mR 2 ⎩

UY N

Trên lý thuyết, khối trụ lăn không trượt với vận tốc góc ω1, nhưng trên thực tế, kể từ lúc t1 trở đi, khối trụ lại chuyển động chậm dần và dừng lại. Điều đó chứng tỏ giữa khối trụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mới (sẽ khảo sát trong mục 3). 2 – Trường hợp 2: ở thời điểm to = 0, khối trụ có chuyển động quay với vận tốc góc ωo:

AY KE

MQ

Cho khối trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc ωo rồi đặt nhẹ xuống mặt phẳng ngang. Nếu giữa hình trụ và mặt phẳng ngang không có ma sát thì tổng mômen các ngoại lực bằng không (vì trọng lực và phản lực không tạo mômen quay) nên mômen động lượng được bảo toàn và vật tiếp tục quay tại chỗ với vận tốc góc ωo không đổi. Nếu giữa hình trụ và mặt phẳng ngang có ma →

O

ω →

f ms

A Hình 3.26

sát thì tại điểm tiếp xúc A xuất hiện lực ma sát f ms có →

.D

khuynh hướng giữ chặt điểm A lại (hình 3.26). f

ms

W W

W

• Cản trở chuyển động quay theo phương trình: I

có hai tác dụng:

dω = −f ms .R dt

• Kéo hình trụ chuyển động sang phải với phương trình: m

dv = f ms dt

Vận tốc trượt của điểm tiếp xúc A: vtr = ωR – v.

Vận tốc tịnh tiến v càng lúc càng tăng còn vận tốc góc ω càng lúc càng giảm. Do đó, sau một khoảng thời gian t1 thì vtr = 0. Lúc đó điểm tiếp xúc A không còn trượt nữa, ta


106

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

dv = f ms m dt

f ⇒ dv = ms dt m

t

1 1 ⇒ v1 = ∫ f ms dt m0

(*) t

(**)

.U CO

R 1 R dω = −f ms .R ⇒ dω = − f ms dt ⇒ ω1 = ωo − ∫ f ms dt I I 0 I dt

Z.C OM

nói khối trụ lăn không trượt trên mặt phẳng ngang với vận tốc góc ω1 và vận tốc tịnh tiến v1 được xác định như sau:

Khử tích phân trong (*) và (**) rồi kết hợp với điều kiện lăn không trượt: v1 = ω1R, ta có:

HO N

ωo ⎧ ⎪ω1 = mR 2 ⎪ 1+ ⎪ I ⎨ ⎪v = Rωo ⎪ 1 mR 2 1 + ⎪ I ⎩

(3.70)

UY N

Trên lý thuyết, khối trụ lăn không trượt với vận tốc góc ω1, nhưng trên thực tế, kể từ lúc t1 trở đi, khối trụ lại chuyển động chậm dần và dừng lại. Điều đó chứng tỏ giữa khối trụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mới (sẽ khảo sát trong mục 3). 3 – Chuyển động lăn không trượt của khối trụ – ma sát lăn:

MQ

Trong các mục 1 và 2, ta thấy, sau thời điểm t1, muốn duy trì chuyển động của →

AY KE

khối trụ thì phải tác dụng lực F vào khối trụ. Điều đó chứng tỏ giữa hình trụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mới. Nguyên nhân của lực cản này là do khối trụ tiếp xúc với mặt phẳng ngang không phải tại một điểm A mà cả một mặt, một cung AB. Khi khối trụ lăn sang phải, trọng lượng của nó hầu

N ω

O

.D

như đặt tại B, nghĩa là phản lực N đặt tại B, lệch ra phía trước một khoảng nhỏ µ' L so với khối tâm →

W

(hình 3.27). Trọng lực P và phản lực pháp tuyến N tạo thành một ngẫu lực, cản trở sự quay, do đó khối trụ sẽ lăn chậm dần. Muốn cho khối trụ tiếp tục lăn, →

W W

ta phải tác dụng vào khối trụ một lực F sao cho → →

mômen của cặp lực ( F , f

FR ≥ Nµ ' L

f ms

F

B A →

Hình 3.27

P

ms

) phải lớn hơn mômen của cặp lực ( P , N ):

F≥

µ' L N R

(3.71)


107

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Fmin =

fms = Fmin =

Khi đó, lực ma sát lăn là:

µ' L N R

µ' L N R

(3.72)

Z.C OM

Vậy, giới hạn của lực F để khối trụ lăn đều là:

(3.73)

Trong đó: µ' L có thứ nguyên chiều dài, được gọi là “hệ số ma sát lăn” (ở chương 2, ta

µ' L = µL là hư số (không thứ nguyên) thì ta có fmslăn R

.U CO

đã kí hiệu hệ số này là µ’L). Đặt

= µLN, giống như trường hợp ma sát trượt: fmst = µN. Vì thế, đôi khi ta cũng gọi µL là hệ số ma sát lăn.

4 – Phân biệt ma sát nghỉ và ma sát lăn:

HO N

Để thống nhất cách gọi, trong giáo trình này, ta qui ước hệ số ma sát lăn là µ’L (có thứ nguyên là mét).

UY N

Trong chuyển động lăn của khối trụ thì lực ma sát nghỉ luôn có xu hướng giữ chặt điểm tiếp xúc A, ngăn không cho nó trượt về phía sau. Chính lực này đóng vai trò lực phát động làm cho điểm tiếp xúc A chuyển động đi tới. Khi khối trụ lăn, thì xuất hiện lực ma sát lăn, cản trở chuyển động lăn của khối trụ. Lực này gây ra mômen cản trở chuyển động quay của khối trụ.

AY KE

MQ

Để hình dung vai trò của ma sát nghỉ đối với chuyển động lăn, ta xét chuyển động của bánh xe sau của xe môtô (bánh phát động). Khi nổ máy và vào số, nhờ có hệ thống nhông, sên, đĩa, nội lực làm cho bánh xe có khuynh hướng quay và điểm tiếp xúc A có khuynh hướng trượt về phía sau. Khi đó xuất hiện lực ma sát nghỉ (chính là ngoại lực) có khuynh hướng giữ chặt điểm tiếp xúc A. Lực ma sát nghỉ có độ lớn tăng dần, cuối cùng kéo điểm tiếp xúc A đi tới, nhờ đó toàn bộ xe và người chuyển động. Khi bánh xe lăn, xuất hiện lực ma sát lăn cản trở chuyển động lăn. Nếu lực ma sát nghỉ cân bằng với ma sát lăn thì xe chuyển động đều.

.D

Như vậy, trong chuyển động của ôtô nói riêng và các vật rắn khác nói chung, lực ma sát nghỉ đóng vai trò là ngoại lực phát động. Vì lực ma sát nghỉ có giá trị lớn nhất là µN (bằng ma sát trượt), nên khi lực ma sát nghỉ đạt đến giá trị cực đại, dù công suất của động cơ đốt trong có tăng đến mấy cũng không thể làm cho xe chuyển động nhanh hơn được!

W

Đối với bánh xe trước, lúc t = 0, nó nhận được vận tốc tịnh tiến vo và điểm tiếp xúc bị trượt tới. Chính lực ma sát nghỉ đã làm cho nó có chuyển động quay.

W W

Vậy, trong các lực ma sát thì ma sát nghỉ đóng vai trò tích cực, hữu ích trong mọi chuyển động lăn của vật.

5 – Ma sát của dây quấn vào khối trụ:

Một dây vắt lên khối trụ, bán kính R, phần tiếp xúc với khối trụ là một cung tròn α. Hệ số ma sát giữa dây và khối trụ là µ. Đặt vào một đầu dây một lực có độ lớn


108

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

α

Để chứng minh (3.74), ta xét một mẩu dây chắn góc ở tâm dα. Lực tác dụng lên mẩu dây này gồm: lực →

Q

.U CO

tuyến N của khối trụ. →

Từ điều kiện cân bằng của mẩu dây, ta có: →

R

căng dây T và T ’; lực ma sát f ms ; phản lực pháp

Z.C OM

P, ta chứng minh được, dây sẽ cân bằng nếu đặt vào đầu kia một lực có độ lớn Q thỏa điều kiện: Q = P.e - µα (3.74)

Hình 3.28

P

T + T ’+ f ms + N = 0 (*)

HO N

Chiếu (*) lên phương tiếp tuyến với mặt trụ: T – T’ – fms = 0 Hay: dT = T’ – T = – fms = – µN

(**)

Chiếu (*) lên phương pháp tuyến của mặt trụ và lưu ý T’ ≈ T, ta có:

dT = −µα T P

Q ln( ) = −µα P

Q = Pe - µα

T'

N

T

T'

T Hình 3.29

AY KE

(đpcm).

f ms

MQ

dT = −µdα ⇒ T

Q

UY N

N

N = T.dα ⇒ dT = – µTdα ⇒

Nếu dây quấn hơn một vòng, Q << P.

Giải

W

.D

Ví dụ 3.19: Một người kéo chiếc sàlan và quấn nó vào một trụ trên bờ cảng. Nếu lực giữ đầu dây lớn nhất là 200N còn dòng nước chảy, đẩy sàlan làm căng đầu dây kia một lực 20000N. Hỏi người đó phải quấn mấy vòng dây vào trụ để có thể giữ được sàlan? Biết hệ số ma sát giữa dây và cột trụ là µ = 0,5.

W W

Theo (3.80), ta có Q =Pe - µα ⇒ α=−

ln(Q / P) ln(200 / 20000) =− = 9,21rad ≈ 1,5 vòng. µ 0,5

Vậy người đó chỉ cần quấn một vòng rưỡi là có thể giữa được sàlan.


109

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Z.C OM

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

3.1 Tính khối lượng của một tấm phẳng hình tròn, bán kính R, biết rằng mật độ khối lượng phân bố trên bề mặt giảm theo qui luật hàm mũ: σ = σ o e − k r , với k, σo là các hệ số dương; r là khoảng cách từ tâm đĩa đến điểm khảo sát. Áp dụng số: σo = 5kg/m2; k = 10g/cm; R = 50cm.

.U CO

3.2 Khối bán cầu bán kính R, có mật độ khối lượng tăng tuyến tính theo chiều cao: ρ = ah + b, với a, b là các hằng số; h là khoảng cách từ mặt đáy bán cầu đến điểm khảo sát. Tính khối lượng của khối bán cầu. Áp dụng số: R = 50cm; a = 20000 kg/m4 ; b = 0.

HO N

3.3 Một thùng đựng rượu thành mỏng, có dạng Elíp tròn xoay quanh trục lớn 2a, nhưng bị cắt bỏ ở hai đầu sao cho khoảng cách từ tâm đến hai mặt đáy bằng bán trục nhỏ b của Elíp. Tính dung tích của thùng và khối lượng rượu mà thùng có thể chứa, biết khối lượng riêng của rượu là ρ. Áp dụng số: a = 0,8m; b = 0,5m; ρ = 800kg/m3.

UY N

3.4 Quan sát chuyển động quay của các quạt trần hoặc quạt bàn, ta thấy có cái quay rất “êm”, nhưng có cái lắc rất mạnh. Hãy tìm ra nguyên nhân và đưa ra hướng khắc phục.

AY KE

MQ

3.5 Xác định khối tâm của hệ ba chất điểm có khối lượng lần lượt là: m, 2m, 2m đặt tại ba đỉnh A, B, C của tam giác đều, cạnh a. Cần phải tăng hay giảm khối lượng của chất điểm tại đỉnh A đi bao nhiêu để khối tâm của hệ trùng với trung điểm của đường cao AH? c 3.6 Xác định khối tâm của hệ bốn chất điểm có khối lượng lần lượt là: m, 2m, 3m, 4m đặt tại bốn đỉnh O, A, B, C của hình a vuông cạnh a. 3.7 Xác định khối tâm của các vật phẳng đồng nhất có dạng nửa hình tròn; ¼ hình tròn bán kính R.

b

3.8 Xác định khối tâm của vật phẳng đồng

.D

nhất có dạng nửa elíp:

x 2 y2 + = 1 ; với a 2 b2

a là bán trục lớn, b là bán trục nhỏ. Xét hai trường hợp: a) nửa elíp có x ≥ 0; b) nửa elíp có y ≥ 0.

W

a

W W

Hình 3.30

3.9 Xác định khối tâm của khối bán cầu đồng nhất, bán kính R.

3.10 Xác định khối tâm của vật phẳng đồng nhất có dạng hình tròn, bán kính R bị khoét một lỗ cũng có dạng hình tròn, bán kính r. Biết tâm của lỗ cách tâm hình tròn lớn một đoạn a. Suy ra trường hợp r = a =

R . 2


110

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

R . 2

3.12 Một thước dẹt đồng nhất có dạng hình chữ T (hình 3.30) Hãy xác định khối tâm của thước. Xét trường hợp đặc biệt c = b. 3.13 Một vật thể đặc, đồng nhất gồm một phần hình trụ, chiều cao h và một bán cầu bán kính R (hình 3.31). Xác định h theo R để khối tâm của vật nằm ở phần bán cầu. Một bánh xe bán kính R lăn không trượt trên

Hình 3.31

D

HO N

3.14

h

.U CO

Suy ra trường hợp r = a =

Z.C OM

3.11 Xác định khối tâm của khối cầu đồng nhất bán kính R, bị khoét một lỗ cũng có dạng hình cầu bán kính r. Biết tâm của lỗ cách tâm khối cầu lớn một đoạn a.

đường thẳng với vận tốc v o (hình 3.32). Hãy xác định:

UY N

a) Vận tốc tại các điểm A, B, C, D. Từ đó suy ra, muốn bánh sau xe đạp không văng bùn đất lên người thì cái chắn bùn (dè xe) phải phủ như thế nào?

A

O

vo

B

C

Hình 3.32

MQ

b) Quĩ đạo, vận tốc, gia tốc của một điểm M bất kì trên vành bánh xe. c) Quãng đường mà điểm M đi được giữa 5 lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường.

AY KE

3.15 Một dây cuaroa truyền động, vòng qua khối trụ I và bánh xe II. Bán kính khối trụ r1 = 30cm, bánh xe r2 = 75cm. Bánh xe bắt đầu quay với gia tốc góc 0,4πrad/s2. Hỏi sau bao lâu, khối trụ I sẽ quay với vận tốc góc 300 vòng/phút? (dây cuaroa không trượt trên khối trụ và bánh xe).

d H 3.33

.D

3.16 Một cái đĩa chia thành n hình quạt đều nhau, quay chậm dần đều. Một kim chỉ thị gắn ở ngoài, gần mép đĩa (giống như chiếc nón kì diệu). Hình quạt thứ nhất đi qua kim trong thời gia t1 = 4s, hình quạt thứ hai trong thời gian t2 = 5s; sau đó đĩa quay thêm được góc ϕ = 0,75π thì dừng lại. Tính gia tốc của đĩa.

W W

W

3.17 Quả cầu bán kính R = 3cm, lăn đều, không trượt trên hai thanh ray song song cách nhau d = 4cm. Sau 2s, nó đi được 120cm. Xác định vận tốc của điểm cao nhất, thấp nhất của quả cầu (hình 3.33). 3.18

Một hình trụ bán kính R, đặt giữa 2 tấm ván phẳng chuyển động song song →

với vận tốc v 1 và v 2 (H 3.34). Giả sử 2 tấm ván không trượt đối với hình trụ. Tính vận tốc góc của hình trụ và vận tốc tịnh tiến của trục hình trụ trong hai trường hợp:


111

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN →

a) v 1 và v 2 cùng chiều.

Z.C OM

v2

b) v 1 và v 2 ngược chiều.

.U CO

3.19 Trong thời gian đạp một vòng bàn đạp → thì xe đạp đi được mấy mét? Biết số răng v1 H 3.34 của đĩa gấp đôi số răng của líp và đường kính lốp xe là 700mm. Suy ra muốn xe đi được 10km thì phải đạp mấy vòng? Nếu vận tốc xe là v = 20km/h thì vận tốc đạp là bao nhiêu vòng/phút?

HO N

3.20 Chiều dài đùi pêđan (giò dĩa) xe đạp là 20cm; chân người tác dụng một lực F = 100N hướng thẳng đứng xuống dưới. Tính độ lớn của mômen quay đối với trục giò dĩa khi giò dĩa làm với đường thẳng đứng một góc 30o; 60o; 90o ; 180o ?

UY N

3.21 Tính mômen của các lực F1 ; F 2 đối với điểm O trong hình 3.35, biết F1 = 20N; F2 = 15N; α = 150o; β = 120o; OA = 20cm; OB = 10cm. Suy ra tổng mômen làm vật rắn quay quanh O? Vật sẽ quay theo chiều nào?

B

O α

β

3.22 Trong mặt phẳng Oxy, lực F = (6;8)N đặt tại điểm A(-20;50) cm. Hãy tính độ lớn

A

F2

F1

Hình 3.35

MQ

mômen của lực F đối với gốc O.

AY KE

3.23 Tính mômen quán tính của khối trụ rỗng, đồng nhất đối với trục của khối trụ. Biết khối trụ có khối lượng m, bán kính thành ngoài R1 thành trong R2 3.24 Tính mômen quán tính của khối hình nón đồng nhất đối với trục quay là trục hình nón. Biết nó có khối lượng m, bán kính đáy là R. Tương tự với hình nón cụt, bán kính R, r.

.D

3.25 Tính mômen quán tính của đĩa đặc phẳng, hình tròn đồng nhất, khối lượng m, bán kính R đối với trục quay chứa đường kính đĩa và đối với trục quay đi qua mép đĩa, vuông góc mặt phẳng đĩa.

W

3.26 Tính mômen quán tính của vành tròn, đồng nhất, khối lượng m, bán kính R đối với trục quay chứa đường kính vành tròn.

W W

3.27 Một đĩa đặc, phẳng, hình tròn, đồng nhất, bán kính R bị khoét một phần cũng có dạng hình tròn, bán kính r, tâm phần khoét cách tâm đĩa một đoạn d. Khối lượng phần còn lại là m. Tính mômen quán tính của phần còn lại đối với trục quay : a) đi qua hai tâm của hai hình tròn; b) đi qua tâm hình tròn lớn và vuông góc với mặt đĩa. Suy ra trường hợp r = d = R/2.

3.28 Tính mômen quán tính của khối cầu đặc, đồng nhất, khối lượng m, bán kính R bị khoét một phần cũng có dạng hình cầu, bán kính r, đối với trục quay đi qua hai tâm của hai hình cầu. Suy ra trường hợp đặc biệt r = R/2.


112

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

Z.C OM

3.29 Tính mômen quán tính của cánh cửa phẳng hình chữ nhật đồng nhất khối lượng m, chiều rộng a, chiều dài b đối với trục quay: a) chứa bản lề;

b) vuông góc với mặt cánh cửa tại tâm hình chữ nhật.

3.30 Một trục khuỷu có dạng một thanh nhỏ đồng nhất, chiều dài A , khối lượng m có thể quay quanh trục vuộng góc với thanh và đi qua một đầu của thanh. Tính mômen quán tính của trục khuỷu đối với trục quay này.

HO N

3.32 Có 4 viên bi nhỏ, khối lượng mỗi viên là m được đặt tại 4 đỉnh của một hình vuông, cạnh a. Tính mômen quán tính của hệ đối với trục quay: a) đi qua khối tâm và vuông góc mặt phẳng hình vuông; b) chứa đường chéo; c) chứa một cạnh; d) đi qua một đỉnh và vuông góc với mặt phẳng hình vuông.

.U CO

3.31 Có 4 viên bi nhỏ, khối lượng mỗi viên là m được đặt tại 4 đỉnh của một hình thoi mà độ dài hai đường chéo là 2a và 2b. Tìm khối tâm của hệ và tính mômen quán tính của hệ đối với trục quay đi qua khối tâm và: a) vuông góc mặt phẳng hình thoi; b) chứa đường chéo 2a; c) chứa đường chéo 2b.

O r

F

α

R

UY N

H 3.36

3.33 Một cuộn dây điện (dây đồng rất mảnh) có bán kính hình trụ ngoài là R và lõi có quấn dây điện, tạo thành hình trụ trong có bán kính r. Cuộn dây sẽ chuyển động theo chiều nào, gia tốc của trục hình trụ là →

MQ

bao nhiêu, nếu kéo đầu dây bằng lực F (H 3.36)? Cho biết khối lượng và mômen quán tính của cuộn dây là m và I; bỏ qua ma sát cản lăn.

AY KE

3.34 Tính gia tốc của vật và lực căng dây quấn vào ròng rọc trong các cơ hệ hình 3.37; 3.38. Biết khối lượng vật và ròng rọc là m và mo; dây nhẹ, không co giãn và không trượt trên ròng rọc; bỏ qua ma sát ở trục ròng rọc.

H 3.37

H 3.38

mo mo

W W

W

.D

3.35 Tính gia tốc của các vật và lực căng các dây trong các cơ hệ hình 3.39; 3.40. Biết khối lượng các vật và ròng rọc là m1, m2 và mo; dây nhẹ,

m2 m

α

m2

m1 H 3. 39

H 3.40


113

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Z.C OM

không co giãn và không trượt trên ròng rọc; bỏ qua ma sát ở trục ròng rọc; hệ số ma sát giữa vật và mặt nghiêng là µ. 3.36 Một khối trụ đặc khối lượng m lăn không trượt trên mặt phẳng ngang dưới tác dụng của lực kéo đặt tại tâm như hình 3.41. Tính gia tốc của khối trụ, bỏ qua ma sát lăn.

.U CO

3.37 Một vô lăng đang quay với vận tốc góc ωo thì bị hãm bởi một lực có mômen tỉ lệ với căn bậc hai của vận tốc góc của vô lăng. Tính vận tốc góc trung bình của vô lăng trong suốt thời gian hãm.

o

HO N

3.38 Bánh mài của máy mài hình đĩa, khối lượng 500g, bán kính R = 20cm đang quay với vận tốc 480 vòng/phút thì bị hãm đều lại. Tính mômen hãm để: a) bánh mài dừng lại sau 50 giây b) bánh mài quay thêm 100 vòng thì dừng. 3.39 Một thanh đồng chất, dài 1m, khối lượng 3 kg có thể quay quanh trục ∆ đi qua khối tâm và vuông góc với thanh. Tác dụng vào đầu → thanh một lực F = 10N theo hướng hợp với thanh một →

F

W W

W

.D

AY KE

MQ

UY N

góc 60 ( F nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay), trong thời gian 2 giây. Tính vận tốc góc mà thanh Hình 3.41 đạt được. 3.40 Một vô lăng hình đĩa tròn có khối lượng m, bán kính R đang quay với vận tốc góc ωo thì bị hãm và dừng lại sau t giây. Tính mômen của lực hãm.


114

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

Chương 4

CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG §4.1 CÔNG 1 – Định nghĩa:

dA = Fs ds = Fds.cosα = F d s

.U CO

Công của lực F trên đoạn đường vi cấp ds là: (4.1)

với Fs là hình chiếu của lực F xuống qũi đạo; d s là vi phân của vectơ đường đi (cũng chính là vi phân của độ dời); α là góc tạo bởi hướng của lực và hướng của đường đi.

F

) α

HO N

Hìmh 4.1: Công của lực.

Suy ra, công của lực F trên quãng đường s bất kì là: →

s

s

s

UY N

∫ dA = ∫ F d s = ∫ Fs ds = ∫ Fds cos α

A=

Trong hệ toạ độ Descartes, d s = d r = ( x, y, z); A=

F = (Fx , Fy , Fz ) , nên biểu thức

∫ F d s =∫ F d r = ∫ F dx + F dy + F dz s

MQ

tính công là:

(4.2)

s

s

x

y

(4.3)

z

s

AY KE

Tích phân (4.3) được gọi là tích phân đường. Hệ thức đó chứng tỏ, trong trường hợp tổng quát, công phụ thuộc cả vào vị trí và đường đi. Tuy nhiên, trong một số trường lực, công không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối. Trường lực có tính chất như vậy, được gọi là trường lực thế. Trường hợp đặc biệt: Nếu các thành phần Fx, Fy, Fz chỉ phụ thộc vào toạ độ tương ứng của nó, nghĩa là Fx = f(x), Fy = g(y), Fz = h(z) thì tích phân đường (4.3)

.D

được đưa về tổng các tích phân:

x2

A=

y2

z2

∫ F dx + ∫ F dy + ∫ F dz x

x1

y

y1

z

(4.4)

z1

W

Công là đại lượng vô hướng, có thể âm, dương hoặc bằng không. Trong hệ SI, công có đơn vị jun (J). →

Nếu lực F luôn vuông góc với đường đi thì từ (4.2) suy ra A = 0: lực không sinh công.

Nếu F tạo với dường đi một góc nhọn thì A > 0: công phát động.

Nếu F tạo với dường đi một góc tù thì A < 0: công cản.

W W

→ →


115

Z.C OM

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

Ví dụ 4.1: Tính công thực hiện bởi lực F = (5x; 4 y) tác dụng vào một vật làm nó di chuyển từ điểm M(2; 3) đến N(3; 0). Các đơn vị đo trong hệ SI). Giải Theo (4.4) ta có công cần tính là: 0

2

]

3

+ 2y 2

2

]

0

3

3

= 12,5 – 18 = –5,5J

.U CO

3

A = ∫ 5xdx + ∫ 4 ydy = 2,5x 2

2 – Công của lực ma sát: Lực ma sát luôn tiếp xúc với qũi đạo và hướng ngược chiều chuyển động, nên cosα = – 1. Do đó, công của lực ma sát là:

∫F

ms

s

ds cos α = − ∫ Fms ds s

(4.5)

HO N

Ams =

UY N

Nếu trên quãng đường s, lực ma sát có độ lớn không đổi thì ta có: Ams = – Fms.s (4.6) Biểu thức (4.6) chứng tỏ công của lực ma sát là công cản và phụ thuộc vào quãng đường vật đã đi. Vậy lực ma sát không phải là lực thế.

AY KE

MQ

Ví dụ 4.2: Vật khối lượng m = 10kg trượt trên sàn ngang có hệ số ma sát µ = 0,2. Tính công của lực ma sát khi vật đi được 10 mét. Giải Ta có lực ma sát trượt: F = µN = µmg = 0,2.10.10 = 20N = const. Vậy công của lực ma sát là: Ams = – Fms.s = – 20.10 = – 200J. 3/ Công của lực đàn hồi: →

Xét biến dạng một chiều của lò xo. Lực đàn hồi của lò xo, có dạng: F = −k x . Thay vào (4.2), ta có công của lực đàn hồi là: →

x2

x2

A = ∫ F d s = − k ∫ x d x = − k ∫ xdx = s

x1

x1

1 k ( x 12 − x 22 ) 2

.D

Trong đó x1 , x2 chính là độ biến dạng tương ứng của lò xo tại vị trí đầu và cuối. Từ (4.7) suy ra, công của lực đàn hồi không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thưộc vào vào vị trí đầu và cuối. Ta nói lực đàn hồi là một lực thế. Ví dụ 4.3: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10N/m, dao động điều hòa với phương trình: x = 10sin5πt (cm). Tính công của lực đàn hồi thực hiện trong khoảng thời gian: a) Từ lúc t = 0 đến lúc t = 5,5s. b) Một chu kì.

(4.7)

W W

W

F ñh

O

x2

x1

Hình 4.2: Công của lực đàn hồi.


116

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

Giải a) Tại thời điểm t1 = 0s toạ độ của vật là: x1 = 0 cm = 0m;

Tại thời điểm t2 = 5,5s toạ độ của vật là: x2 = 10sin27,5π = – 10cm = – 0,1m Vậy công của lực đàn hồi đã thực hiện là:

A=

1 1 k ( x 12 − x 22 ) = .100(0 − 0,12 ) = – 0,5J. 2 2

.U CO

b) Trong một chu kì thì x2 = x1 . Vậy A = 0 (J). 4 – Công của lực hấp dẫn: →

F hd = −G

Ta có lực hấp dẫn:

m1 m 2 → r r3

A 12 →

( 2 )→

( 2)

HO N

Suy ra công của lực hấp dẫn mang vật từ vị trí (1) đến vị trí (2) là: →

rdr = ∫ F hd d r = −Gm1 m 2 ∫ 3 (1) (1) r →

r2

nên

A12 = – Gm1m2

dr

∫r

2

UY N

mà r d r = xdx + ydy + zdz = ½ d(x2 + y2 + z2) = ½ d(r2) = rdr

= Gm1 m 2 (

r1

1 1 − ) r2 r1

(4.8)

r1 − r2 r1 r2

AY KE

AP = GMm

MQ

Trường hợp riêng, ta tính công của trọng lực khi vật di chuyển từ vị trí có độ cao h1 đến vị trí có độ cao h2 so với mặt đất : (4.9)

Với các độ cao không lớn lắm thì ta có: r1 . r2 = (R +h1).(R + h2) ≈ R2 r1 – r 2 = h 1 – h 2

m h1

h2

Hình 4.3: Công của trọng lực chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối

.D

h −h Vậy: AP = GMm 1 2 2 = mg(h1 – h2) (4.10) R

m

W W

W

Từ (4.10) suy ra, khi vật đi xuống thì trọng lực sinh công dương; khi vật đi lên thì trọng lực sinh công âm; nếu vật chuyển động theo phương ngang thì trọng lực không sinh công. Hệ thức (4.8) và (4.10) chứng tỏ công của lực hấp dẫn chỉ phụ thuộc vị trí điểm đầu và điểm cuối. Vậy, trường hấp dẫn là một trường lực thế. Trong trường hợp tổng quát, ta cũng chứng minh được các trường lực xuyên tâm là các trường lực thế. 5 – Công của lực trong chuyển động quay: Trong chuyển động quay, lực tác dụng được phân tích thành ba thành phần (xem hình 3.11):

F = F // + Fn + F t . Thành phần song song với trục quay F // và


117

Z.C OM

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

thành phần pháp tuyến F n luôn vuông góc với đường đi d s nên không tạo công, chỉ →

có thành phấn tiếp tuyến F t là tạo công . Do đó, công vi cấp: →

dA = Ft d s = Ft ds = Ft Rdϕ = M ∆ dϕ

(4.11)

với dϕ là góc chắn cung ds; M∆ = FtR là mômen của lực đối với trục quay ∆. Suy ra,

.U CO

ϕ2

công của lực làm vật quay từ vị trí góc ϕ1 đến ϕ2 là : A =

∫M

(4.12)

ϕ1

A = M∆.(ϕ2 – ϕ1) = M∆θ

Nếu mômen của lực không đổi thì:

Trong đó: θ = ϕ2 – ϕ1 là góc mà vật đã quay được.

dω dω thì dA = I .dϕ = Iωdω dt dt

ω2

ω1

1 I(ω 22 − ω12 ) 2

(4.14)

UY N

A = ∫ Iωdω =

Suy ra:

HO N

Nếu trong (4.11), ta thay M∆ = Iβ = I

(4.13)

AY KE

MQ

(4.14) là công thức tổng quát tính tổng công của các ngoại lực trong chuyển động quay của vật rắn quanh một trục ∆ cố định . Trường hợp muốn tính công của một lực (hay hệ lực) nào đó, ta dùng (4.12) hoặc (4.13), với M∆ là mômen của lực (hay hệ lực) đó đối với trục quay ∆. Ví dụ 4.4: Một vô lăng hình trụ đồng nhất, bán kính R = 20cm, khối lượng m = 20kg đang quay với vận tốc ω = 4πrad/s thì bị hãm và dừng lại. Tính công của lực hãm trong quá trình đó. Giải Ta có ω1 = ω = 4πrad/s; ω2 = 0 (vì dừng lại); I = ½ mR2 Áp dụng (4.14), ta có công của lực hãm là: A = ¼ mR2(ω22 - ω12) = – ¼ .20. 0,22.(4π)2 = – 32 J

.D

§ 4.2 CÔNG SUẤT

W

1 – Định nghĩa: Đại lượng đo bằng công sinh ra trong một đơn vị thời gian gọi là công suất.

W W

Công suất trung bình: Công suất tức thời:

A t dA P= dt

Ptb =

(4.15) (4.16)

Công suất của một máy nào đó đặc trưng cho khả năng sinh công của máy đó trong một đơn vị thời gian. Trong hệ SI, đơn vị của công suất là oát (W).


118

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

Trước đây người ta thường so sánh khả năng sinh công của máy móc với khả năng sinh công của con ngưạ. Vì thế, trong kĩ thuật, người ta còn dùng đơn vị công suất là mã lực, kí hiệu là CV hoặc HP. Ta có: 1 HP ≈ 736 W. Từ biểu thức tính công suất trung bình (4.15), ta có thể ước lượng công sinh ra trong thời gian t là A = Pt. Vì thế ta còn đo công bằng đơn vị kilô oát giờ (kWh): 1 kWh = 103 W . 3600 s = 3,6.106 (J).

.U CO

Bảng 4.1: Một vài giá trị công suất Công suất P

Tên động cơ

Người Ngựa Ôtô Đầu máy xe lửa

40 – 80W Cỡ 700W 20 – 300kW 1 – 3MW

Tên lửa 20MW Mặt trời 3,7.1020 MW Nhà máy thủy điện Hòa Bình 5GW

2 – Liên hệ giữa công suất, lực và vận tốc: →

Công suất P

HO N

Tên động cơ

dA F d s → d s → → = =F = Fv P= dt dt dt

UY N

Ta có :

(4.17)

AY KE

MQ

Vậy: Công suất bằng tích vô hướng của lực tác dụng với vận tốc của vật. Nếu lực tác dụng luôn cùng hướng với vận tốc thì ta có: P = F.v (4.18) Công thức (4.18) là cơ sở để chế tạo ra hộp số của xe máy và xe hơi: Do công suất của động cơ đốt trong có một giá trị nhất định, nên khi xe lên dốc, ta cần lực phát động lớn, muốn vậy, phải giảm vận tốc của xe; ngược lại, khi xe chạy trên đường ngang, ta không cần lực phát động lớn, vì thế vận tốc của xe phải lớn. Bộ hộp số được được chế ra nhằm đáp ứng yêu cầu trên. Trong chuyển động quay, ta có quan hệ giữa công suất, mômen lực và vận tốc

P=

góc như sau:

dA M ∆ dϕ = = M∆ω dt dt →

(4.19)

W W

W

.D

Hay (4.20) P = M ∆ .ω Ví dụ 4.5: Một động cơ có công suất cơ học 500W, rôto quay với vận 300 vòng/phút. Tính mômen của lực từ đã tạo ra công suất trên. Giải Ta có: P = 500W; ω = 300 vòng/ phút = 10π rad/s Từ (4.19) suy ra mômen của lực từ là:

M∆ =

P 500 = = 16 N / m . ω 10π


119

§ 4.3 NĂNG LƯỢNG

Z.C OM

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

HO N

.U CO

1 – Khái niệm năng lượng: Tất cả các dạng cụ thể của vật chất đều có năng lượng. Theo nghĩa chung nhất, năng lượng là một thuộc tính cơ bản của vật chất, đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất. Mỗi hình thức vận động cụ thể của vật chất sẽ tương ứng với một dạng năng lượng cụ thể. Ví dụ: trong vận động cơ, ta có cơ năng; vận động nhiệt, ta có nhiệt năng, nội năng; vận động điện từ, ta có năng lượng điện từ; … Năng lượng thường kí hiệu là E (Energy). Trong hệ SI, đơn vi đo năng lượng là jun (J). Theo Einstein, năng lượng và khối lượng của vật quan hệ với nhau bởi: E = mc2 (4.21) 8 với c = 3.10 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không.

MQ

UY N

2 – Định luật bảo toàn năng lượng: Vì vật chất vận động dưới nhiều hình thức, nên năng lượng của một vật hay hệ vật cũng tồn tại dưới nhiều dạng và trong quá trình vận động, năng lượng có thể chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác, nhưng năng lượng tổng cộng của một hệ cô lập luôn không đổi. Đó là nội dung cơ bản của định luật bảo toàn năng lượng. Suy rộng ra trong toàn vũ trụ, ta có định luật bào toàn và chuyển hoá năng lượng: Năng lượng không tự nhiên sinh ra và cũng không tự nhiên mất đi, mà nó chỉ chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác hoặc truyền từ vật này sang vật khác, còn tổng năng lượng không thay đổi.

.D

AY KE

3 – Ý nghĩa của định luật bảo toàn năng lượng: - Định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng phản ánh một thuộc tính cơ bản của vật chất không thể tiêu diệt, đó là sự vận động. - Từ định luật bảo toàn năng lượng suy ra: không thể có một hệ nào sinh công mãi mãi mà không nhận thêm năng lượng từ bên ngoài. Nói cách khác, không tồn tại động cơ vĩnh cửu – một loại máy mà con người đã có một thời tổn hao trí lực và tiền của để nghiên cứu chế tạo nhưng vô ích. - Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng là định luật có phạm vi áp dụng rộng nhất. Nó đúng trong mọi lĩnh vực, mọi hình thức vận động của vật chất từ vĩ mô đến vi mô.

W W

W

4 – Quan hệ giữa năng lượng và công: Như trên đã giới thiệu, năng lượng có rất nhiều dạng. Trong phạm vi Cơ học, khi nói “năng lượng”, ta ngụ ý muốn nói đến “cơ năng”. Một hệ cơ học ở trạng thái xác định sẽ có năng lượng xác định. Khi hệ biến đổi từ trạng thái này sang trạng thái khác thì năng lượng của hệ cũng biến đổi từ giá trị E1 sang E2 . Trong quá trình biến đổi đó, hệ có thể nhận công hoặc sinh công A. Thực nghiệm chứng tỏ: E2 – E1 = A (4.22)


120

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

.U CO

Z.C OM

Vậy: độ biến thiên năng lượng trong một quá trình nào đó bằng công mà hệ nhận được hoặc sinh ra trong quá trình đó. Nếu hệ nhận công từ bên ngoài (A > 0) thì năng lượng của hệ tăng; nếu hệ sinh công (A < 0) thì năng lượng của hệ giảm. Như vậy, công đặc trưng cho độ biến thiên năng lượng của hệ trong một quá trình nhất định. Công bao giờ cũng tương ứng với một quá trình biến đổi cụ thể, ta nói công là hàm của quá trình. Còn năng lượng có giá trị xác định khi hệ ở một trạng thái xác định, ta nói năng lượng là một hàm của trạng thái. Khi hệ biến đổi nó sẽ trao đổi năng lượng với bên ngoài bằng cách nhận công hoăc sinh công. Vậy công là số đo phần năng lượng đã chuyển hoá từ hệ (cơ học) ra ngoài hoặc từ bên ngoài vào hệ.

H=

gọi là hiệu suất của máy:

HO N

5 – Hiệu suất của máy: Máy là thiết bị biến đổi dạng năng lượng này thành dạng năng lượng khác dễ sử dụng hơn. Năng lượng cung cấp cho máy hoạt động (năng lượng đầu vào) được gọi là năng lượng toàn phần E; năng lượng mà máy sinh ra (năng lượng đầu ra) được gọi là năng lượng có ích Ei . Tỉ số giữa năng lượng có ích và năng lượng toàn phần được

Ei E

(4.23)

AY KE

MQ

UY N

Năng lượng cung cấp cho máy luôn lớn hơn năng lượng mà máy sinh ra, vì trong quá trình hoạt động của máy, một phần năng lượng bị hao phí do ma sát hoặc do sự vận hành của máy tiêu tốn năng lượng. Do đó Ei < E , suy ra hiệu suất của máy luôn nhỏ hơn 100%. Ví dụ: Động cơ điện là thiết bị biến điện năng thành cơ năng. Khi động cơ điện họat động, một phần điện năng bị tiêu tốn do tỏa nhiệt trên các cuộn dây của động cơ và do ma sát ở trục động cơ, … nên cơ năng sinh ra luôn nhỏ hơn điện năng cung cấp cho động cơ. Kết quả hiệu suất nhỏ hơn 100%. Tuy nhiên, động cơ điện là loại động cơ có hiệu suất cao nhất trong các loại động cơ. § 4.4 ĐỘNG NĂNG

1 – Định nghĩa động năng: Xét một chất điểm khối lượng m chuyển dời từ vị trí (1) đến vị trí (2) dưới tác →

dụng của lực F . Công của lực F trong quá trình đó là: ( 2 )→

( 2)

( 2)

dv → A = ∫ Fd s = ∫m a d s = ∫m ds = dt (1) (1) (1)

.D

W

W W

Suy ra:

A=

2 2

mv mv − 2 2

2 1

( 2)

ds → ∫(1)m dt d v =

( 2)

∫mvdv =

(1)

( 2)

⎛ mv 2 d ∫(1) ⎜⎜⎝ 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

(4.24)

mv 22 mv12 So sánh (4.22) với (4.24) ta suy ra vaø chính là năng lượng của vật tại vị 2 2 trí (1) và (2). Ta gọi năng lượng đó là động năng của vật tương ứng với các vị trí (1) và (2).


121

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

Z.C OM

Vậy: Động năng của một chất điểm là năng lượng tương ứng với sự chuyển động của chất điểm đó, có giá trị bằng nửa tích khối lượng với bình phương vận tốc của chất điểm.

mv 2 Eđ = 2

(4.25)

.U CO

Trong hệ SI, động năng có đơn vị jun (J). Đối với hệ chất điểm, động năng của hệ bằng tổng động năng của các chất

1 E ñ = ∑ m i v i2 i 2

điểm trong hệ:

(4.26)

Đối với vật rắn chỉ có chuyển động tịnh tiến, động năng là:

1 1 1 1 m i v i2 = ∑ m i v G2 = v G2 ∑ m i = mv G2 ∑ 2 2 2 2

HO N

E tt =

(4.27)

với m là khối lượng vật rắn, vG là vận tốc tịnh tiến của khối tâm. Trong chuyển động quay của vật rắn quanh trục ∆ cố định, so sánh (4.14) và

Eq =

1 I ∆ ω2 2

UY N

(4.22) ta có động năng quay:

(4.28)

MQ

Khi vật rắn có chuyển động phức tạp, ta có thể coi chuyển động đó gồm hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến của khối tâm G và quay quanh khối tâm G. Do đó động năng của vật rắn trong trường hợp này bằng tổng động năng tịnh tiến và động năng quay quanh khối tâm: E ñ = E tt + E q =

1 1 mv G2 + I G ω 2 2 2

(4.29)

AY KE

Ví dụ 4.6: Một quả cầu đặc đồng nhất, khối lượng m = 5kg đang lăn (không trượt) với vận tốc 2m/s. Tính động năng của quả cầu. Giải Chuyển động của quả cầu được phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến của khối tâm G với vận tốc v = 2m/s và quay quanh khối tâm G với vận tốc góc ω = v/R (do lăn không trượt nên vận tốc dài của điểm tiếp xúc bằng với vận tốc tịnh tiến của khối tâm).

.D

1 1 mv G2 + I G ω 2 2 2 2 1 1 2 1 1 Mà IG = mR 2 , nên E ñ = mv 2 + . mR 2 ω 2 = mv 2 + mv 2 5 2 2 5 2 5 7 7 ⇒ Eđ = mv 2 = .5.2 2 = 14J. 10 10

W W

W

Vậy động năng của quả cầu là: E ñ = E tt + E q =

2 – Định lý về động năng:


122

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

trong quá trình đó”:

∆Eđ = E2 – E1 =

mv 22 mv12 − = A12 2 2

1 1 mv 02 = .2.10 3.20 2 = 4.10 5 J 2 2

Động năng lúc sau: Eđ2 = 0 (vì dừng lại)

Fh

N

P

Hình 4.4

HO N

Eđ1 =

(4.30)

.U CO

Ví dụ 4.7: Một ô tô khối lượng 2 tấn đang chuyển động trên đường ngang với vận tốc 72km/h thì hãm phanh rồi dừng lại. Tính động năng ban đầu của ô tô và công của lực hãm sinh ra trong quá trình đó (coi ôtô như một chất điểm). Giải 3 Ta có: m = 2 tấn = 2.10 kg; vo = 72km/h = 20m/s; v = 0 (dừng) Động năng ban đầu:

Z.C OM

Từ (4.24) ta có định lý: “Độ biến thiên động năng của vật (hay hệ vật) sau một quá trình nào đó bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng vào vật (hay hệ vật)

MQ

Ah = Eđ2 – Eđ1 = – 4.10 5 J.

UY N

Áp dụng định lí động năng: ∆Eđ = Angoại lực = AN + Ap + Ah Vì trọng lực và phản lực vuông góc với đường đi nên: Ap = AN = 0. Do đó, công của lực hãm là:

§ 4.5 THẾ NĂNG

AY KE

1 – Định nghĩa thế năng: Ta biết, công của trường lực thế không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của đường đi. Để đặc trưng cho tính chất thế của trường lực, ta dùng hàm vô hướng Et(x,y,z) mô tả vị trí các điểm trong trường lực, sao cho hiệu hai giá trị của hàm tại hai điểm M, N bất kì bằng công của lực thế thực hiện giữa hai điểm đó. Hàm Et(x,y,z) có tính chất như vậy được gọi là hàm thế, hay thế năng của trường lực thế đó. →

W

.D

Vậy, Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là hàm E ( r ) phụ thuộc vào vị trí của chất điểm, sao cho hiệu các giá trị của hàm tại hai điểm M, N chính bằng công của lực thế đã thực hiện trong quá trình chất điểm di chuyển từ M đến N.

W W

Et (M) – Et (N) = AMN (4.31) Trong hệ SI, thế năng có đơn vị là jun (J). Với khái niệm (4.31), ta thấy có rất nhiều hàm thế, các hàm này sai khác nhau một hằng số cộng C. Do đó, thế năng của vật không xác định đơn giá mà sai khác nhau một hằng số cộng. Tuy nhiên, hiệu thế năng tại hai điểm luôn xác định đơn giá.


123

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

∞→

E t ( M ) = A M∞ =

định đơn giá và có biểu thức tính:

Z.C OM

Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng (Et( ∞ ) = 0) thì thế năng tại điểm M sẽ xác →

∫ Fd s

(M)

(4.32)

Tổng quát, thế năng tại điểm M(x,y,z) trong trường lực thế có biểu thức tính: →

+ C

(4.33)

.U CO

E t (M) = − ∫ Fd s = − ∫ Fd r

HO N

với C hà hằng số, phụ thuộc vào điểm chọn gốc thế năng. Ví dụ 4.8: Một trường lực hút xuyên tâm mà độ lớn của lực tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ điểm khảo sát đến tâm trường. Tìm thế năng của trường lực này trong hai trường hợp: a) chọn gốc thế năng ở vô cùng; b) chọn gốc thế năng tại điểm Mo cách tâm trường một khoảng ro. Giải →

UY N

k r Theo bài, ta có: F = − 2 , với k là hệ số tỉ lệ, k > 0. Dấu “–“ biểu diễn lực hút. r r →

a) Chọn gốc thế năng ở vô cùng, theo (4.31) thì thế năng tại điểm M cách tâm trường một khoảng r là: ∞→

∞→

dr k rdr E t = ∫ Fd s = ∫ Fd r = −k ∫ 3 = −k ∫ 2 = − r r r r r r r →

MQ

AY KE

b) Theo (4.32), ta có: E t (M ) = − Fd r + C = k vì E t ( M 0 ) = 0 ⇔ −

k k +C=0⇔ C= . r0 r0

dr

∫r

2

Vậy:

+C=−

k +C r

E t (M) =

k k − r0 r

2 – Quan hệ giữa thế năng và lực thế: So sánh (4.31) và (4.2) ta có mối quan hệ giữa thế năng và lực thế ở dạng tích →

∫ F d s = E t (M) − E t ( N)

.D

phân:

(4.34)

MN

W W

W

Vế trái (4.34) được gọi là lưu thông của vectơ lực từ điểm M đến N doc theo một đường cong bất kì nào đó; còn vế phải là hiệu thế năng tại M, N. Vậy: Lưu thông của lực thế dọc theo một đường cong bất kì từ điểm M đến N bằng hiệu thế năng giữa hai điểm đó. Lưu thông của lực thế dọc theo một đường cong kín bất kì thì bằng không:

∫ Fd s = 0

(4.35)

(C)

Các công thức (4.34) và (4.35) biểu diễn tính chất thế của trường lực ở dạng tích phân. Ở dạng vi phân, ta có: A12 = Et1 – Et2 = - ∆Et hay dA = - dEt


124

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän →

∂E t ∂E ∂E .dx + t .dy + t .dz ∂x ∂y ∂z

và vi phân cùa hàm thế : dE t =

Nên: Fxdx + Fydy + Fzdz = − (

Fx = −

Suy ra:

∂E t ∂E t ∂E t .dz .dy + .dx + ∂z ∂x ∂y

∂E t ∂E ∂E ; Fy = − t ; Fz = − t ∂x ∂y ∂z

)

.U CO

Et = Et(x,y,z)

Z.C OM

Mà: dA = F d s = F d r = Fxdx + Fydy + Fzdz;

(4.36)

Trong giải tích vectơ, người ta xây dựng một vectơ grad dẫn xuất từ một hàm vô

∂E t → ∂E t → ∂E t → .i + .j+ . k (4.37) ∂x ∂y ∂z

HO N

hướng – gọi là gradien: grad ( E t ) = →

F = − grad ( E t )

Do đó (4.36) được viết là:

(4.38)

(4.36) và (4.38) là mối quan hệ giữa lực thế F và thế năng Et ở dạng vi phân. Vì →

UY N

gradEt là vectơ luôn hướng theo chiều tăng của hàm thế nên lực thế F luôn hướng theo chiều giảm của hàm thế. Trường hợp riêng, thế năng chỉ là hàm một biến, ví dụ E t = E t ( x ) , thì ta có:

dE t ( x ) dx

(4.38a)

MQ

F=−

Ví dụ 4.9: Thế năng của một hạt trong trường lực thế có dạng: E t =

a b − , với a, b r2 r

AY KE

là những hằng số và r là khoảng cách từ hạt đến tâm trường. Hãy xác định giá trị ro ứng với vị trí cân bằng của hạt; vị trí cân bằng đó có bền không? Giải

dE t 2a b = 3 − 2. dr r r 2a Tại vị trí cân bằng: F = 0 ⇒ ro = r = b

.D

(4.38a) suy ra lực thế là: F = −

W W

W

Ta có bảng biến thiên của thế năng (hình 4.5). r

E' t

Et

0

ro –

0

CT Hình 4. 5

+


125

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

Z.C OM

Từ bảng biến thiên ta thấy, ứng với giá trị ro thì thế năng đạt cực tiểu. Vậy vị trí cân bằng này là bền. 3 – Thế năng của lực đàn hồi: So sánh (4.31) và (4.7) suy ra, thế năng của lực đàn hồi là:

1 2 kx + C 2

(4.39)

.U CO

Et =

Et =

1 2 kx 2

HO N

Trong đó x là độ biến dạng của lò xo, đơn vị đo là mét (m) ; k là độ cứng (hay hệ số đàn hồi) của lò xo, đơn vị đo là (N/m). Nếu chọn gốc thế năng tại vị trí mà lò xo không biến dạng thì ta có: (4.40)

4 – Thế năng của lực hấp dẫn: So sánh (4.31) và (4.8) suy ra, thế năng của lực hấp dẫn là:

m1 m 2 +C r

UY N

E t ( r ) = −G Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng thì:

E t ( r ) = −G

m1 m 2 r

AY KE

MQ

5 – Thế năng của trọng lực: Tương tự, thế năng của trọng lực ở gần mặt đất là: Et = mgh + C với h là độ cao của vật so với mặt đất. Nếu chọn gốc thế năng tại mặt đất thì: Et = mgh

(4.41) (4.42)

(4.43) (4.44)

§ 4.6 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG TRONG TRƯỜNG LỰC THẾ

W W

W

.D

1 – Cơ năng – định luật bảo toàn cơ năng: Trong trường lực thế, ta gọi cơ năng của vật là tổng động năng và thế năng (4.45) của nó: E = Eđ + Et Từ các công thức (4.30) và (4.31), ta có: A12 = Eđ2 – Eđ1 ; A12 = Et1 – Et2 Suy ra : Eđ2 – Eđ1 = Et1 – Et2 hay Eđ2 + Et2 = Eđ1 + Et1 nghĩa là E2 = E1 Vậy : E = Eđ + Et = const (4.46) Định luật bảo tòan cơ năng: “Khi chất điểm chuyển động chỉ dưới tác dụng của lực thế thì cơ năng của nó được bảo toàn”. Trường hợp riêng, khi vật chuyển động chỉ dưới tác dụng của trọng trường

đều thì:

E=

1 mv 2 + mgh = const 2

(4.47)


126

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

UY N

HO N

.U CO

Z.C OM

Hệ quả: Trong quá trình chuyển động, nếu động năng tăng thì thế năng giảm và ngược lại; Nếu động năng đạt cực đại thì thế năng đạt cực tiểu và ngược lại. Ví dụ 4.10: Một vật nhỏ khối lượng 100g rơi từ độ cao h = 50cm xuống đầu một lò xo nhẹ, thẳng đứng, có hệ số đàn hồi k = 80N/m (hình 4.6). Tính độ nén tối đa của lò xo. Giải Bỏ qua ma sát thì trong quá trình chuyển động của vật chỉ có trọng lực và lực đàn hồi tác dụng. Hai lực này đều là lực thế, nên cơ năng của vật không đổi trong suốt quá trình chuyển động. Gọi x là độ nén tối đa của lò xo, h là độ cao ban đầu của vật so với đầu lò xo lúc chưa biến dạng. Chọn gốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng, gốc thế năng trọng lực tại vị trí lò xo nén tối đa. Cơ năng ban đầu của vật chính là thế năng của trọng lực: E = mg(h+x); Cơ năng lúc sau (khi nén tối đa) chính là thế năng của lò xo: E’ = ½ kx2 Vì cơ năng bảo toàn nên: mg(h + x) = ½ kx2 m Thay số ta có: 0,1.10 (0,5 + x) = ½ .80x2 2 Suy ra: 0,5 + x = 40x hay: x = 0,125m = 12,5cm h Vậy độ nén tối đa của lò xo là 12,5cm. Chú ý: Nếu vật chuyển động trong trường lực thế nhưng còn chịu tác dụng của một lực F không phải lực thế thì cơ năng không bảo toàn. Khi đó độ biến thiên cơ năng của vật bằng công →

k

MQ

của lực F đó.

x

AY KE

2 – Sơ đồ thế năng: Hình 4.6 Tổng quát, thế năng Et là hàm theo ba biến tọa độ (x,y,z). Trong trường hợp thế năng chỉ phụ thuộc một biến (ví dụ biến x), ta có thể vẽ được đồ thị của hàm thế Et theo tọa độ x. Đồ thị đó gọi là sơ đồ thế năng (hình 4.7). Khảo sát sơ đồ thế năng, ta có thể rút ra một số kết luận định tính về chuyển động của vật trong trường lực thế đó. Giả sử đường cong thế năng và cơ năng của vật có dạng như hình (4.7) và trong quá trình chuyển động cơ năng của vật luôn có giá trị E xác định thì ta Et(x)

mv 2 + E t ( x ) = E = const 2

mv 2 ≥ 0 nên E t ( x ) ≤ E (4.48) 2

W W

W

.D

có:

Bất đẳng thức (4.48) chứng tỏ vật chỉ có thể chuyển động trong phạm vi x, sao cho: x A ≤ x ≤ x B hoặc x ≥ x C . •

Nếu: x A ≤ x ≤ x B thì vật chuyển động qua lại trong phạm vi hữu hạn.

A

E

B

C

D O

x

xD

x

x

Hình 4.7: Sơ đồ thế năng

x


127

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

Z.C OM

Tại các vị trí A, B động năng của vật bằng không: vật đổi chiều chuyển động; tại vị tí D, thế năng cực tiểu nên động năng của vật lớn nhất. D chính là vị trí cân bằng bền của vật. Nếu: x ≥ x C thì vật có thể chuyển động ra xa vô cùng.

.U CO

§ 4.7 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG

HO N

Dựa vào các phương trình động lực học, ta sẽ giải được các bài toán về chuyển động của chất điểm, hệ chất điểm hay vật rắn – đó là phương pháp động lực học. Một phương pháp khác cũng có thể giải được các bài toán trên đó là vận dụng định luật bảo toàn cơ năng, bảo toàn năng lượng hay định lí động năng. Phương pháp này được gọi là phương pháp năng lượng. Mỗi phương pháp có một ưu điểm riêng. Tùy trường hợp, ta có thể vận dụng linh họat để bài giải trở nên đơn giản. 1 – Điều kiện áp dụng các định luật cho bài toán:

Định lí động năng áp dụng trong mọi trường hợp.

-

Định luật bảo toàn cơ năng chỉ được áp dụng khi vật chuyển động trong trường lực thế (trọng lực, lực đàn hồi) mà không có ngoại lực nào khác.

-

Khi có ma sát hoặc các lực không thế, ta dùng định luật bảo toàn năng lượng: độ bến thiên cơ năng bằng tổng công của các lực không thế.

UY N

-

MQ

2 – Các ví dụ:

AY KE

Ví dụ 4.11: Hai vật có khối lượng m1, m2 buộc vào hai đầu sợi dây, vắt qua ròng rọc khối lượng mo, bán kính R. Bỏ qua khối lượng dây và ròng rọc. Coi dây không giãn. Bằng phương pháp dùng định lí động năng, hãy tính gia tốc của các vật. Biết mômen cản trở chuyển động quay ở trục ròng rọc có độ lớn là Mc. Từ kết quả đó, suy ra điều kiện của m1 để nó chuyển động đi xuống; đi lên. Áp dụng số: m1 = 6kg; m2 = 3kg; mo = 2kg; Mc = 0,2Nm; R = 10cm; Giải Động năng ban đầu của hệ bằng không vì lúc đầu hệ đứng yên. Vì dây không bị trượt nên lúc sau vật m1 và m2 có cùng vận tốc v = ωR bằng vận tốc dài ở mép ròng rọc. Do đó động năng của hệ lúc sau chính là tổng động năng tịnh tiến của hai vật và động năng quay của

.D

m1

W W

W

m2

ròng rọc: E ñ =

1 1 ( m1 + m 2 ) v 2 + Iω 2 2 2

h’2 h1

h’1

Hình 4.8

h2


128

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

1 moR 2 2 1 1 1 1 ⇒ E ñ = ( m 1 + m 2 ) v 2 + m o ( Rω) 2 = ( m 1 + m 2 ) v 2 + m o v 2 2 4 2 4 1 1 ⇒ E ñ = (m1 + m 2 + m o ) v 2 2 2

Z.C OM

Với mômen quán tính của ròng rọc là: I =

HO N

.U CO

Khi vật m1 đi xuống một đọan đường s thì vật m2 đi lên một đoạn s, ta có: s = h1 – h1’ = – ( h2 – h2’) Trong quá trình đó, công của trọng lực là: AP = m1g(h1 – h1’) + m2g(h2 – h2’) = (m1 – m2)gs. Mặt khác, lực cản tạo ra mômen cản trở chuyển động quay của ròng rọc, nên công của lực cản là: Ac = – Mc.θ , với θ là góc mà ròng rọc đ�� quay. Do dây không trượt trên

s R = AP + Ac

rãnh ròng rọc, nên θ = s/R. Do đó: Ac = – M c . Theo định lí động năng: ∆E ñ = A ngoaïi löïc

1 1 s (m 1 + m 2 + m o ) v 2 = ( m1 − m 2 )gs − M c 2 2 R

UY N

Gọi a là gia tốc của các vật thì v2 – v02 = 2as, v0 = 0

⇔a=

1 1 s (m1 + m 2 + m o )2as = (m1 − m 2 )gs − M c 2 2 R

(m1 − m 2 )g −

Mc R

MQ

Suy ra:

(*)

(6 − 3).10 −

Thay số ta có: a =

0, 2 0,1

1 6 + 3 + .2 2 M Vật m1 đi xuống khi và chỉ khi a ≥ 0 . Từ (*) suy ra: m1 ≥ m 2 + c gR

AY KE

1 m1 + m 2 + mo 2

= 2,8m / s 2

.D

Vật m1 đi lên khi và chỉ khi m2 đi xuống. Hoán vị m1 và m2 trong công thức (*), ta

W

cũng có điều kiện: m 2 ≥ m1 +

Mc M hay m1 ≤ m 2 − c gR gR

W W

Ví dụ 4.12: Một quả cầu đặc, bán kính R = 10cm, lăn không trượt từ đỉnh mặt phẳng nghiêng xuống chân dốc. Độ cao ban đầu của khối tâm so với chân mặt nghiêng là h = 1,85m (hình 4.9). Tính vận tốc của quả cầu ở cuối chân dốc, bỏ qua ma sát cản lăn. Lấy g = 10m/s2. Giải Vì bỏ qua ma sát cản lăn nên cơ năng được bảo toàn. Chọn gốc thế năng ở mặt phẳng ngang qua chân dốc. Cơ năng ban đầu chỉ là thế năng của quả cầu Et = mgh. Cơ năng lúc sau gồm động năng tịnh tiến của khối tâm ½ mv2 , động năng quay quanh khối tâm


129

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

h

R Hình 4.9

v

7 1 2 1 2 mR 2 ⇒ g ( h − R ) = v 2 + . (Rω) 2 = v 2 10 2 5 2 5

UY N

Với I =

HO N

α

.U CO

Z.C OM

½ Iω2 và thế năng mgR của quả cầu (vì khối tâm vẫn cách chân mặt nghiêng một khoảng R). Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có: mgh = ½ mv2 + ½ Iω2 + mgR

10 10 g(h − R ) = .10(1,85 − 0,1) = 5m / s 7 7

Suy ra: v =

MQ

Vậy vận tốc của quả cầu ở chân dốc là 5m/s. Ví dụ 4.13: Người ta kéo một vật khối lượng m = 10kg bắt đầu trượt lên mặt phẳng nghiêng, có góc nghiêng α = 30o bởi lực kéo F = 30N (hình 4.10). Hệ số ma sát giữa vật và mặt nghiêng là µ = 0,2. Tính gia tốc của vật bằng cách vận dụng định luật bảo toàn năng lượng. h Lấy g = 10m/s2. Giải Chọn gốc thế năng tại mặt ngang qua chân dốc, giả sử vật đi được quãng đường s, ta có độ biến thiên cơ năng bằng tổng công của lực kéo và lực ma sát (các lực không phải lực thế): ∆Eđ = AF + Ams

α Hình 4.10

W

.D

AY KE

F

W W

Hay: ½ mv2 = F.s – Fms .s ⇒ ½ m.2as = F.s – µmgcosα.s Suy ra: a =

F 30 − µg cos α = − 0,2.10. cos 30 0 = 1,26m / s 2 . m 10


130

Z.C OM

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

§ 4.8 VA CHẠM

.D

AY KE

MQ

UY N

HO N

.U CO

1 – Khái niệm về va chạm: Khi hai vật tiến lại gần nhau (không nhất thiết phải đụng vào nhau), tương tác với nhau bằng các lực rất mạnh, trong khoảng thời gian rất ngắn, rồi tách xa nhau hoặc dính vào nhau cùng chuyển động, thì ta gọi đó là va chạm. Nếu xét vật nhỏ thì, mặc dù thời gian tương tác rất ngắn, nhưng lực tương tác rất lớn nên xung lượng của lực tương tác là đáng kể, nên động lượng của vật đó thay đổi đáng kể. Tuy nhiên, nếu xét hệ hai vật thì lực tương tác giữa chúng khi va chạm chỉ là nội lực. Vậy: va chạm giữa hai vật là hiện tượng hai vật tương tác với nhau trong một khoảng thời gian rất ngắn nhưng động lượng và vận tốc của ít nhất một vật biến thiên đáng kể. Trong cơ học, ta chỉ nghiên cứu sự va chạm có tiếp xúc giữa hai vật, nhưng trong vật lí hạt nhân, người ta còn nghiên cứu cả sự va chạm không có tiếp xúc giữa các hạt mang điện cùng dấu. 2 – Phân loại va chạm: Trong quá trình va chạm, các vật sẽ truyền năng lượng, động lượng cho nhau để thay đổi vận tốc hoặc hình dạng. Nếu sau va chạm mà hình dạng và trạng thái bên trong của các vật không thay đổi, thì ta gọi đó là va chạm đàn hồi. Trái lại là va chạm không đàn hồi. Khi hai vật va chạm có tiếp xúc, tại thời điểm chúng tiếp xúc nhau, sẽ tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả hai vật. Mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng va chạm và pháp tuyến của mặt phẳng này tại điểm tiếp xúc được gọi là pháp tuyến va chạm. Nếu khối tâm và vectơ vận tốc của hai vật trước va chạm đều nằm trên pháp tuyến va chạm thì ta gọi đó là va chạm trực diện hay chính diện hoặc xuyên tâm. Trái lại, ta có va chạm xiên. Các va chạm này cũng chỉ là đàn hồi hoặc không đàn hồi mà thôi. Nếu sau va chạm, hai vật dính vào nhau (nghĩa là vận tốc tương đối giữa chúng triệt tiêu) thì ta gọi đó là va chạm mềm (hay hoàn toàn không đàn hồi). Giữa va chạm mềm và va chạm đàn hồi có vô số các trường hợp trung gian. Trong các bài toán đơn giản, ta chỉ khảo sát hai trường hợp giới hạn, gọi tắt là va chạm đàn hồi và va chạm mềm.

W W

W

3 – Các định luật bảo toàn trong va chạm: Đối với các va chạm, thời gian tương tác là rất ngắn, hơn nữa, nội lực tương tác là rất mạnh, vì thế hệ được coi là kín, nên động lượng của hệ được bảo toàn. Riêng đối với va chạm đàn hồi, sau va chạm, hình dạng và trạng thái bên trong của các vật không thay đổi nên không có sự chuyển hoá cơ năng thành các dạng năng lượng khác, do đó cơ năng được bảo toàn. Trong va chạm đàn hồi, thế

v1 '

m1 m2

v1

Hình 4.11: Quả bóng đập vào tường rồi nảy ra.


131

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

Z.C OM

năng của các vật không đổi trước và sau va chạm, nên động năng của hệ được bảo toàn (trường hợp này va chạm còn được gọi là hoàn toàn đàn hồi). 4 – Khảo sát va chạm đàn hồi:

Xét hai vật khối lượng m1 và m2 , chuyển động với vận tốc v1 vaø v 2 đến va →

m1 v1 + m 2 v 2 = m1 v'1 + m 2 v' 2

(4.49)

m → → (4.49) ⇒ v'1 = 2 ( v 2 − v' 2 ) ≈ 0 ; m1 →

m1

v' 2

v1

m2 →

v'1

Hình 4.12 : Sau va chạm, 2 vật chuyển động theo 2 hướng vuông góc nhau.

AY KE

MQ

UY N

(4.50) ⇒ v’2 = v2 Nghĩa là sau va chạm vật m1 hầu như không chuyển động, còn vật m2 chuyển động với độ lớn vận tốc như cũ. Trên thực tế, đây chính là trường hợp qủa bóng đập vào tường rồi nẩy ra; hay hòn bi-da đập vào băng rồi bắn ra với vận tốc có độ lớn như cũ. b) Trường hợp m1 = m2 và v1 = 0: Từ (4.49) và (4.50), ta có:

(4.50)

HO N

1 1 1 1 m1v12 + m 2 v 22 = m1v'12 + m 2 v'22 2 2 2 2 a) Trường hợp m1 >> m2 và v1 = 0:

.U CO

chạm đàn hồi với nhau. Gọi v'1 vaø v' 2 là vận tốc tương ứng của chúng sau va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng, ta có:

→ → → ⎫ → → v 2 = v'1 + v' 2 ⎪ ⎬ ⇒ v'1 ⊥ v' 2 v 22 = v'12 + v' 22 ⎪⎭

W W

W

.D

Vậy: sau va chạm, hai vật chuyển động theo hai hướng vuông góc nhau. c) Trường hợp va chạm chính diện: Trước và sau va chạm, vectơ vận tốc của các vật đều nằm trên pháp tuyến va chạm. Vì thế (4.49) và (4.50) được viết thành phương trình đại số: m1v1 + m2v2 = m1v’1 + m2v’2 → → m1v12 + m2v22 = m1v’12 + m2v’22 m1 v1 v 2 m2 Giải 2 phương trình trên, ta được:

v'1 =

2m 2 v 2 + ( m 1 − m 2 ) v 1 m1 + m 2

(4.51)

Hình 4.13: Va chạm trực diện.


132

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

2m 1 v 1 + ( m 2 − m 1 ) v 2 m1 + m 2

(4.52)

Z.C OM

v' 2 =

.U CO

trong đó v1, v2 , v’1 và v’2 là các hình chiếu của các vectơ vận tốc lên pháp tuyến va chạm. Nó có giá trị dương hay âm là tùy theo vectơ vận tốc tương ứng cùng chiều hay ngược chiều dương mà ta chọn. Đặc biệt: • Nếu m1 = m2 thì v’1 = v2 và v’2 = v1 : các vật trao đổi vận tốc cho nhau. Suy ra, nếu ban đầu vật m1 đứng yên thì sau va chạm, vật m2 sẽ truyền hết vận tốc của mình cho m1 rồi nó đứng yên. Nếu m1 >> m2 và v1 = 0 thì v’1 ≈ 0 và v’2 ≈ - v2: vật m2 bật ngược lại theo phương cũ với vận tốc như trước.

UY N

HO N

Nếu m1 >> m2 và v2 = 0 thì v’1 ≈ v1 và v’2 = 2v1 : vật m1 hầu như không thay đổi vận tốc, còn vật m2 thu được vận tốc lớn gấp 2 lần vận tốc cũ của m1. 5 – Khảo sát va chạm mềm: Xét trường hợp đặc biệt: vật m1 chuyển động với vận tốc v1 đến va chạm với vật m2 đang đứng yên. Sau va chạm, hai vật dính vào nhau, cùng chuyển động với vận tốc v. Theo định luật bảo toàn động lượng, ta có: →

m 1 v1 = ( m 1 + m 2 ) v ⇒ v =

(4.53)

1 m1v12 2

m1 1 m12 1 (m1 + m2 )v2 = v12 = Eñ < Eñ 2 m1 + m 2 m1 + m 2 2

AY KE

E’đ =

m1 + m 2

v1

MQ

Động năng lúc đầu của hệ: Eđ = Động năng lúc sau của hệ:

m

Suy ra, phần cơ năng đã chuyển hoá thành dạng năng lượng khác là: ∆U = Eđ – E’đ =

m2 Eñ m1 + m 2

(4.54)

W W

W

.D

Biểu thức (4.54) có ý nghĩa thực tế: • Khi đóng đinh, hay đóng cọc, ta cần động năng sau của đinh, cọc lớn và đồng thời đinh, cọc không bị biến dạng (∆U nhỏ), muốn vậy, ta phải dùng búa có khối lượng m1 lớn. • Ngược lại, khi rèn một vật, hay tán đinh ốc, ta cần làm biến dạng vật, nghĩa là cần ∆U lớn; muốn vậy, phải dùng búa nhẹ và kê vật cần tán, rèn lên đe nặng.


133

Z.C OM

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

§ 4.9 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG HẤP DẪN 1 – Chuyển động của vệ tinh quanh Trái Đất:

Mm v2 =m hay G R+h (R + h ) 2

Suy ra: v =

G

M R+h

M = gR ≈ 8km / s R

HO N

Ở quĩ đạo gần mặt đất, ta có: vI =

G

.U CO

Nếu vệ tinh chuyển động trên qũi đạo tròn quanh Trái Đất thì lực hấp dẫn của Trái Đất đóng vai trò là lực hướng tâm. Gọi v là vận tốc dài của vệ tinh trên qũi đạo và h là độ cao của vệ tinh so với mặt đất, ta có: F = maht (4.55)

(4.56)

Vậy: Muốn phóng một vệ tinh nhân tạo quanh Trái Đất, ta phải cung cấp cho nó một vận tốc đầu vI = 8 km/s. Giá trị đó được gọi là vận tốc vũ trụ cấp I. Với vận tốc này, vệ tinh sẽ chuyển động trên qũi đạo tròn quanh Trái Đất (ở độ cao không lớn lắm) với T=

2π(R + h ) 2πR R ≈ = 2π ≈ 1h 30' v g gR

UY N

chu kỳ:

(4.57)

W W

W

.D

AY KE

MQ

Muốn cho vệ tinh chuyển → động trên qũi đạo xa hơn, ta v o vII phải phóng nó với vận tốc v > vI khi đó, qũi đạo của vệ tinh là elíp mà Trái Đất là một trong hai tiêu điểm. Elíp này càng dẹt khi vận tốc v càng vI < vo < vII lớn. Nếu vận tốc v đủ lớn, vật có khả năng thoát ra khỏi sức vI TĐ hút của Trái Đất và đi đến Mặt Trăng hoặc các hành tinh khác trong hệ Mặt Trời. Giá trị v nhỏ nhất để vật thoát khỏi sức hút của Trái Đất được gọi là Hình 4.14: Vận tốc của các vệ vận tốc vũ trụ cấp II. tinh trên qũi đạo Để tính vII, ta áp dụng định luật bảo toàn cơ năng trong trường hấp dẫn của Trái Đất:

Mm 1 Mm 1 1 = mv ∞2 − G = mv ∞2 ≥ 0 mv o2 − G ∞ 2 R 2 2 M v o2 ≥ 2G = 2gR ⇒ v o ≥ 2gR R

Vậy, vận tốc vũ trụ cấp II là:

v II = 2gR = 11 km/s.

(4.58) (4.59)


134

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Z.C OM

Tương tự, nếu vận tốc phóng tầu vũ trụ đủ lớn, nó có thể đi khỏi hệ Mặt Trời. Vận tốc nhỏ nhất để nó thoát khỏi sức hút của Mặt Trời được gọi là vận tốc vũ trụ cấp III. Các kết qủa tính toán cho thấy: vIII = 17 km/s. 2 – Chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái đất – Hiện tượng thủy triều:

.U CO

Mặt Trăng ở cách Trái đất cỡ 3,8.105 km và quay quanh Trái Đất với chu kỳ bằng một tháng âm lịch. Mà Trái Đất lại quay quanh Mặt Trời, nên khi Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng nằm thẳng hàng thì có hiện tượng nhật thực hoặc nguyệt thực. Ngoài ra, do ảnh hưởng của lực hấp dẫn từ Mặt Trăng nên trên Trái Đất có hiện tượng thủy triều. Vậy tại sao trong một ngày lại có 2 lần con nước lên, xuống? Để trả lời câu hỏi này, ta khảo sát như sau: Do lực hấp dẫn của Mặt Trăng nên phần đất và phần nước trên Trái Đất đều →

HO N

thu gia tốc. Xét ở thời điểm t bất kì, gọi a là gia tốc của phần đất, a 1 là gia tốc của →

UY N

nước ở phần (1) và a 2 là gia tốc của nước ở phần (2) so với Mặt Trăng (hình 4.15). Dễ thấy, các vectơ gia tốc này đều hướng về phía Mặt Trăng và a1 > a > a2. Để biết được con nước lên xuống như thế nào, ta cần tính gia tốc tương đối của nước ở vùng (1) và (2) so với Trái Đất. Áp dụng công thức cộng gia tốc (2.69), ta có: →

a nöôùc/ñaát = a nöôùc/ traêng + a traêng/ ñaát = a nöôùc/ traêng − a ñaát/ traêng →

(4.60)

* Đối với nước ở vùng (1), (4.60) có dạng a r = a 1 − a ⇒ ar = a1 – a > 0 →

AY KE

MQ

Điều này chứng tỏ a r hướng về phiá Mặt Trăng. Suy ra nước ở vùng (1) bị dâng lên. * Đối với nước ở vùng (2), tương tự, ta

(1)

(2)

cũng có: a r = a 2 − a Suy ra: ar = a2 – a < 0 Nghĩa là vectơ →

Trăng

Hình 4.15: Nguyên nhân chính của Thủy triều là do lực hấp dẫn của Mặt Ttrăng

a r hướng xa Mặt Trăng. Vậy nước ở

W

.D

vùng (2) cũng bị dâng lên. Do Trái Đất tự quay quanh trục của nó với chu kỳ 24 giờ nên trong một ngày sẽ có 2 lần con nước lên xuống. Tuy nhiên, trên thực tế, thủy triều còn tùy thuộc rất nhiều vào điạ hình nên có nơi thủy triều lên xuống ngày chỉ có một lần.

W W

3/ Các định luật Kepler: Trên cơ sở các số liệu suốt 30 năm quan sát của nhà thiên văn TychoBrahe, Kepler (1571 – 1630) đã rút ra các qui luật chuyển động của các hành tinh quanh mặt trời. Các qui luật đó được gọi là các định luật Kepler: Định luật 1: Các hành tinh chuyển động quanh mặt trời theo các qũi đạo là elip mà mặt trời là một trong hai tiêu điểm. Định luật 2: Bán kính vectơ vạch từ mặt trời đến các hành tinh quét được những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau bất kì.


135

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

phương bán trục lớn qũi đạo:

T2 =

Z.C OM

Như vậy, khi ở gần mặt trời, hành tinh sẽ chuyển động nhanh hơn khi ở xa. Định luật 3: Bình phương chu kỳ quay (quanh mặt trời) c���a các hành tinh tỉ lệ với lập

4π 2 3 .r GM

(4.61)

.U CO

Các định luật Kepler cũng đúng đối với các vệ tinh chuyển động quanh các hành tinh. Sau này Newton (1642 – 1720) đã chứng minh các định luật Kepler chỉ là hệ qủa của định luật vạn vật hấp dẫn và định luật II của ông mà thôi. CÂU HỎI VÀ BÀI TÂP CHƯƠNG 4

UY N

HO N

4.1 Để đưa một bao ximăng 50kg từ dưới đất lên lầu cao 20m, người công nhân dùng 3 cách sau: a) Đứng trên cao kéo trực tiếp; b) Dùng ròng rọc cố định gắn trên cao và đứng đưới đất kéo; c) Dùng một ròng rọc cố định và một ròng rọc động và đứng ở dưới kéo. Trong cả 3 trường hợp đó, bao xi măng luôn chuyển động đều; giả sử bỏ qua ma sát, khối lượng dây và ròng rọc. Hãy tính công mà người công nhân thực hiện, rút ra nhận xét từ các kết quả đó. 4.2 Một lực F = F0(x/x0 – 1) theo phương Ox, tác dụng vào một vật làm nó di chuyển từ vị trí x = 0 đến x = 2x0. Tính công của lực F. →

4.3 Một hạt chuyển động từ vị trí (1) có vectơ bán kính r1 = i + 2 j (m) đến vị trí →

MQ

(2) có r2 = 2 i − 3 j (m) dưới tác dụng của lực F = 3 i + 4 j (N). Tính công của lực trên đoạn đường đó. →

W W

W

Lực (N)

.D

AY KE

4.4 Tìm công thực hiện bởi lực F = (2x; 3) tác dụng lên một chất điểm làm nó dịch chuyển từ điểm M(2; 3) đến N(–4; –3) (các đơn vị đo trong hệ SI) . 4.5 Vật khối lượng 10kg chuyển động theo trục Ox dưới tác dụng của lực 10 biến đổi theo vị trí như đồ thị hình 4.16. Tính công của lực khi vật di chuyển từ gốc tọa độ đến vị trí x = 0 8m. -5 4.6 Một cần trục nâng đều một vật khối lượng 1 tấn lên cao 10m trong thời 0 2 gian 30s. Tính công suất của động 4 6 8 cơ cần trục, biết hiệu suất của động Tọa độ x (m) cơ là 60%. 4.7 Thác nước cao 30m, mỗi phút đổ Hình 4.16 xuống 18000m3 nước. Lợi dụng thác nước này, có thể xây trạm thủy điện với công suất bao nhiêu? Biết hiệu suất của trạm là 40%.


136

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

4.19

.D

AY KE

MQ

UY N

HO N

.U CO

Z.C OM

4.8 Động cơ ôtô đạt công suất 120kW, vận tốc ôtô là 60km/h. Tính lực phát động của động cơ. 4.9 Xe môtô chạy trên đường ngang với vận tốc 60km/h. Đến quãng đường dốc, lực cản tăng gấp 3 lần, mở ga tối đa cũng chỉ tăng công suất động cơ lên 1,5 lần. Tính vận tốc tốc tối đa trên đoạn đường dốc. 4.10 Một vật nhỏ khối lượng m nằm yên trên mặt phẳng ngang tại O. Ngưới ta truyền cho nó một vận tốc đầu vo. Hãy xác định: a) Công suất trung bình của lực ma sát trong suốt quá trình chuyển động của vật, biết hệ số ma sát µ = 0,27; m = 1kg và vo = 1,5m/s. b) Nếu hệ số ma sát tăng tỉ lệ thuận theo quãng đường với hệ số tỉ lệ k thì công suất tức thời của lực ma sát có độ lớn cực đại là bao nhiêu? 4.11 Một động cơ ôtô sản sinh được công suất 74,6 kW khi quay với tốc độ 1800vòng/phút. Tính mômen quay mà nó tạo ra. 4.12 Một bánh xe khối lượng 32kg, chủ yếu là một vòng tròn bán kính 1,2m, quay với vận tốc 280vòng/phút. Để hãm bánh xe dừng lại trong 15 giây cần tốn một công, công suất bao nhiêu? 4.13 Một vật 2kg rơi tự do từ trạng thái nghỉ. Tính công suất trung bình của trong lực sau khi rơi được 2 giây và công suất tức thời tại thời điểm 2 giây sau khi rơi. 4.14 Một bánh xe bán kính 50cm, khối lượng m = 25kg phân bố đều chủ yếu ở vành bánh xe, quay quanh trục với vận tốc góc ω = 2 vòng/giây. Tính động năng của bánh xe. Để hãm bánh xe dừng lại sau 2 giây, cần công suất bao nhiêu? 4.15 Một ô tô có khối lượng tổng cộng là 1 tấn. Đang chuyển động với vận tốc 72 km/h. Ô tô có 6 bánh xe (coi như hình trụ đặc), khối lượng mỗi bánh là 20kg. Tính động năng quay của mỗi bánh xe và động năng toàn phần của ôtô (bỏ qua động năng quay của các bộ phận khác). 4.16 Các động cơ đốt trong phải có một kì nén khí và kì nổ khí mới sinh công cung cấp năng lượng ra bên ngoài. Vậy ở kì nén, piston lấy năng lượng ở đâu để nén khí? 4.17 Tính công cần thiết để làm cho một vô lăng có dạng vành tròn, đường kính 1m, khối lượng 500kg đang đứng yên quay tới vận tốc 120vòng/phút. 4.18 Động năng là một dạng năng lượng do chuyển động, vậy thế năng thuộc dạng năng lượng nào? Thế năng của một hạt trong trường lực xuyên tâm có dạng: U =

a b − , với r2 r

W W

W

a, b là những hằng số dương, r là khoảng cách từ hạt đến tâm trường. Hãy chỉ ra ở phạm vi nào, lực thế tác dụng lên hạt là lực hút; lực đẩy. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của lực hút. Hãy vẽ đồ thị của U(r) và F(r). 4.20 Thế năng của một trường lực trong mặt phẳng Oxy có dạng: U = ax2 + by2, với a, b là các hằng số dương khác nhau. Hãy xác định: a) Trường lực này có xuyên tâm không? b) Dạng của các mặt đẳng thế và các mặt mà trên đó F = const. c) Hỏi tương tự câu a, b với hàm thế : U = ax2 + by2 + cz2.


137

Et(r)

a) F = ay i b) F = ax i + by j , với

E

→ →

a, b là những hằng số. i , j là các vectơ đơn vị trên trục x, y. Xét xem các trường lực đó có tính chất thế không? 4.22

O

Một vật được nâng từ mặt đất lên →

B

r

C

cao bởi lực F phụ thuộc độ cao y →

A

.U CO

4.21 Có hai trường lực dừng (không thay đổi theo thời gian):

Z.C OM

Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG

AY KE

MQ

UY N

HO N

Hình 4.17 theo qui luật: F = 2(ky − 1)m g , với k là hằng số dương. Tính công, công suất trung bình của lực đó và độ tăng thế năng của vật trong nửa đoạn đường đầu tiên của quá trình đi lên. 4.23 Thế năng tương tác Et giữa hai phân tử khí được biểu diễn trên hình 4.17, với r là khoảng cách giữa hai tâm của chúng. Năng lượng toàn phần của hệ hai phân tử là E. a) Chỉ ra phạm vi r mà tại đó hai phân tử hút nhau; đẩy nhau. b) Vẽ định tính đồ thị biễu diễn lực tương tác F(r) giữa hai phân tử này. c) Trong các hàm số Et(r) và F(r) thì hàm số nào bằng không tại các điểm A, B, C? 4.24 Một vật nhỏ A trượt từ đỉnh một mặt dốc, nhẵn độ cao H, tiếp sau đó bay ra A khỏi bức tường thẳng đứng có độ cao h và rơi xuống đất ở vị trí cách chân tường một đọan s (hình 4.18). Tìm h để s lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó. H

W W

W

.D

4.25 Một thanh mảnh AB, dài A , đang h s đứng thẳng trên mặt ngang tại A thì đổ xuống. Tính vận tốc của điểm B khi nó Hình 4.18 chạm đất. Xác định điểm M trên thanh mà vận tốc của nó khi chạm đất đúng bằng vận tốc khi chạm đất của một vật thả rơi tự do từ một điểm có cùng độ cao ban đầu với M. 4.26 Một quả cầu đặc, một khối trụ đặc và một cái vòng có cùng khối lượng m và bán kính R, lăn từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng có xuống chân mặt nghiêng. Ban đầu, khối tâm của chúng đều cách mặt đất một đọan h. Bỏ qua mọi mômen cản lăn. Tính tỉ số giữa động năng tịnh tiến và động năng quay của mỗi vật; vận tốc tịnh tiến của mỗi vật tại chân dốc, Vật nào tới chân mặt nghiêng trước? 4.27 Một người xách một sô nước và quay sô nước chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng. Tính vận tốc góc tối thiểu để nước trong sô không bị chảy ra ngoài, biết bán kính qũi đạo là R.


138

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

UY N

HO N

.U CO

Z.C OM

4.28 Một người trượt tuyết trên một đường dốc nghiêng 12% (cứ đi được 100m thì độ cao giảm 12m). Hệ số ma sát giữa bản trượt với mặt đường là 0,04. Tính vận tốc của người đó sau khi đi được 150m, biết vận tốc ban đầu bằng 5m/s và trong quá trình trượt, anh ta không dùng gậy đẩy xuống mặt đường. 4.29 Một trạm thủy điện họat động nhờ thác nước cao 20m , lưu lượng 200m3/s . Công suất điện phát ra là 8MW. Tính hiệu suất của trạm thủy điện này. 4.30 Cần trục nâng một vật có khối lượng 1 tấn lên cao 10m trong thời gian 20 giây. Tính công suất trung bình của đông cơ cần trục, biết hiệu suất là 80%. 4.31 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Độ cứng của lò xo là k, khối lượng của vật là m. Chọn trục Ox thẳng đứng, hướng lên, gốc O tại vị trí cân bằng của con lắc. Khi không treo vật, đầu dưới của lò xo cách vị trí cân bằng một đoạn xo. Nâng vật lên tới vị trí có hoành độ xm rồi thả ra. a) Tính cơ năng của hệ tại vị trí ban đầu và vị trí có hoành độ x. b) Tính vận tốc của vật tại vị trí có hoành độ x. 4.32 Một qủa cầu chuyển động với vận tốc v1 = 4 m/s va chạm xuyên tâm với một qủa cầu khác cùng khối lượng, đang đứng yên. Biết sau va chạm 2 quả cầu dính vào nhau và phần cơ năng mất mát là 12J. Tính khối lượng các qủa cầu. 4.33 Bao cát được treo bằng một sợi dây. Một viên đạn bay với vận tốc v theo phương ngang đến cắm vào bao cát. Biết khối lượng bao cát là M, viên đạn là m. Tính độ cao h mà bao cát được nâng lên. →

MQ

4.34 Một hạt có khối lượng m1 = 1g đang chuyển động với vận tốc v1 = 3 i − 2 j (m/s) đến va chạm mềm với một hạt khác có khối lượng m2 = 3g đang chuyển →

W W

W

.D

AY KE

động với vận tốc v 2 = 3 i + 6 j (m/s). Xác định vectơ vận tốc của 2 hạt sau va chạm. 4.35 Một vật khối lượng m1 chuyển động đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật m2 = 1kg đang đứng yên. Tính khối lượng m1, biết trong quá trình va chạm đó, nó đã truyền 36% động năng ban đầu của mình cho m2 . 4.36 Ta gọi hệ số va chạm k là tỉ số giữa các môdun vận tốc tương đối của hai vật sau và trước va chạm. Chứng minh rằng với va chạm hoàn toàn đàn hồi thì k = 1; va chạm mềm thì k = 0. Một quả cầu rơi tự do từ độ cao H xuống mặt sàn rồi nảy lên đến độ cao h. Tính tỉ số va chạm k. Nếu khối lượng quả cầu là m và thời gian va chạm là ∆t thì lực va chạm là bao nhiêu?


Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP

139

Z.C OM

Chương 5 THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN

.U CO

Thuyết tương đối hẹp Einstein là một môn cơ học tổng quát, áp dụng cho các vật chuyển động với vận tốc từ rất bé cho đến cỡ vận tốc ánh sáng và coi cơ học Newton như một trường hợp giới hạn của mình. Chương này nghiên cứu các tiên đề của thuyết tương đối hẹp Einstein, phép biến đổi Lorentz cùng các hệ quả của nó và động lực học tương đối tính của chất điểm chuyển động.

§5.1 CÁC TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN

MQ

UY N

HO N

Cơ học Newton đã đạt được nhiều thành tựu to lớn trong suốt hai thế kỷ đến nỗi nhiều nhà vật lý trong thế kỷ 19 đã cho rằng việc giải thích một hiện tượng vật lý bất kỳ đều có thể thực hiện được bằng cách đưa nó về một quá trình cơ học tuân theo các định luật Newton. Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học người ta đã phát hiện ra các hiện tượng mới không nằm trong phạm vi của cơ học cổ điển. Chẳng hạn, người ta đã gặp những vật chuyển động nhanh với vận tốc vào cỡ vận tốc ánh sáng trong chân không (c = 3.108 m/s). Khi đó xuất hiện sự mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học Newton, cụ thể là không gian, thời gian và vật chất phụ thuộc vào chuyển động, chứ không phải độc lập với chuyển động như Newton quan niệm. Người ta nhận xét rằng cơ học Newton chỉ đúng đối với các vật chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng trong chân không rất nhiều. Để mô tả sự chuyển động với vận tốc so sánh được với vận tốc ánh sáng, Einstein đã xây dựng môn cơ học tương đối tính, gọi là thuyết tương đối hẹp, vào năm 1905.

AY KE

Sự đúng đắn của thuyết tương đối hẹp Einstein cho đến nay không cần bàn cãi gì nữa vì nó đã được thử thách qua vô số thí nghiệm trong suốt thế kỷ qua. Hiện nay nó trở thành tiêu chuẩn để đánh giá sự đúng đắn của mọi thí nghiệm vật lý. Nếu một thí nghiệm nào đó mà kết quả mâu thuẫn với thuyết tương đối hẹp thì các nhà vật lý không đặt vấn đề nghi ngờ thuyết tương đối mà mặc nhiên khẳng định rằng trong thí nghiệm đặt ra có cái gì đó chưa ổn.

.D

Thuyết tương đối hẹp Einstein xây dựng trên hai nguyên lý là nguyên lý tương đối Einstein và nguyên lý bất biến của vận tốc ánh sáng. Hai nguyên lý đó phát biểu như sau:

W

1. Nguyên lý tương đối Einstein: Mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.

W W

2. Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau theo mọi phương và đối với mọi hệ qui chiếu quán tính. Nó có giá trị c = 3.108 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên. Nguyên lý tương đối Einstein là sự mở rộng của nguyên lý tương đối Galilée. Nguyên lý tương đối Galilée áp dụng cho các hiện tượng cơ học, nói rằng các định luật cơ học là giống nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Còn nguyên lý Einstein


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

140

Z.C OM

mở rộng ra cho tất cả các định luật vật lý nói chung. Theo Einstein thì tất cả các định luật của tự nhiên là như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Vậy nguyên lý tương đối Einstein đã mở rộng nguyên lý tương đối Galilée từ các hiện tượng cơ học sang các hiện tương vật lý nói chung.

HO N

.U CO

Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng phản ảnh rõ ràng sự khác nhau về vận tốc tương tác trong hai lý thuyết cổ điển và tương đối. Trong lý thuyết tương đối, vận tốc truyền tương tác là hữu hạn và như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Thực nghiệm chứng tỏ vận tốc không đổi này là cực đại và bằng vận tốc ánh sáng trong chân không c = 3.108 m/s. Trong cơ học Newton, quan niệm sự tương tác giữa các vật là tức thời, tức vận tốc tương tác là vô cùng. Điều này giải thích được do vận tốc trong cơ học cổ điển có giá trị rất bé, v << c. Vì vậy vận tốc ánh sáng có thể coi là lớn vô cùng trong cơ học cổ điển. Như vậy về mặt hình thức có thể chuyển từ thuyết tương đối Einstein sang cơ học Newton bằng cách cho c → ∞ trong các công thức của cơ học tương đối tính.

§5.2. PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ 1 – Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galilée với thuyết tương đối Einstein

AY KE

MQ

UY N

Trong cơ học cổ điển Newton, thời gian là tuyệt đối còn vận tốc tuân theo quy luật cộng vận tốc. Điều này mâu thuẫn với thuyết tương đối Einstein, trong đó thời gian phụ thuộc chuyển động và công thức cộng vận tốc (2.68) không còn đúng nữa. Để chứng minh nhận xét này, ta hãy xét hệ quy chiếu quán tính Oxyz và hệ quy chiếu quán tính O’x’y’z’ chuyển động dọc theo trục Ox với vận tốc V. Ta đặt một nguồn sáng tại điểm A trên trục O’x’ trong hệ O’ và hai điểm B và C đối xứng qua A như trên hình 5.1.

y

y’

O

O’

W

.D

Hình 5.1: Chứng minh sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galilée với thuyết tương đối Einstein.

B

A C x

z

x’

z’

W W

Trước tiên ta xét công thức công vận tốc (2.68). Theo nguyên lý tương đối Galilée vận tốc ánh sáng trong hệ O theo chiều dương của trục x sẽ bằng (c + V) còn theo chiều âm bằng (c – V). Điều đó mâu thuẩn với nguyên lý vận tốc ánh sáng bất biến đối với các hệ quy chiếu quán tính trong thuyết tương đối. Bây giờ xét đến mâu thuẫn về tính chất tương đối và tuyệt đối của thời gian. Đối với hệ O’ thì nguồn sáng A đứng yên vì nó cùng chuyển động với hệ O’. Theo thuyết tương đối thì vận tốc tín hiệu ánh sáng truyền đi mọi phương đều bằng c nên


Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP

141

.U CO

Z.C OM

trong hệ O’ các tín hiệu sẽ đến các điểm B và C cách đều A cùng một lúc. Nhưng các tín hiệu sáng sẽ đến các điểm B và C không đồng thời trong hệ O. Trong hệ này vận tốc truyền ánh sáng vẫn bằng c nhưng vì điểm B chuyển động đến gặp tín hiệu sáng gửi từ A đến B còn điểm C chuyển động ra xa khỏi tín hiệu gửi từ A đến C, do đó trong hệ O tín hiệu sáng sẽ gửi tới điểm B sớm hơn. Như vậy trong hệ O, theo thuyết tương đối thì các điểm B và C nhận tín hiệu sáng không đồng thời, còn theo thuyết cơ học cổ điển, các tín hiệu sáng đến B và C đồng thời do quan niệm thời gian không phụ thuộc hệ tọa độ. 2 – Phép biến đổi Lorentz

HO N

Phép biến đổi Galilée dẫn tới quy luật cộng vận tốc (2.68), mà quy luật này mâu thuẫn với nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng. Như vậy phép biến đổi Galilée không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối. Phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối là phép biến đổi Lorentz.

UY N

Xét hai hệ quán tính Oxyz và O’x’y’z’, hệ O’ chuyển động so với hệ O với vận tốc V theo phương x (Hình 5.2). Giả sử lúc đầu hai gốc O và O’ của hai hệ trùng nhau. Gọi (x,y,z,t) và (x’,y’,z’,t’) là các tọa độ không gian và thời gian trong các hệ O và O’.

x’ = α(x – Vt)

MQ

Gốc tọa độ O’ của hệ O’ có tọa độ x’ = 0 trong hệ O’ và x = Vt trong hệ O. Do đó biểu thức x - Vt phải triệt tiêu đồng thời với tọa độ x’. Muốn thế phép biến đổi tuyến tính phải có dạng: (5.1)

AY KE

trong đó α là một hằng số nào đó. Tương tự, gốc tọa độ O của hệ O có tọa độ x = 0 trong hệ O và x’ = -Vt’ trong hệ O’. Do đó ta có

z

y

y’

O

O’

G V

x

x’

z’

x = β(x’ + Vt’) (5.2)

W

.D

Hình 5.2: Minh họa phép biến đổi Lorentz. Theo nguyên lý tương đối Einstein, mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Như vậy các phương trình (5.1) và (5.2) có thể suy ra lẫn nhau bằng cách thay V ⇔ -V, x ⇔ x’ và t ⇔ t’, do đó β = α.

W W

Theo nguyên lý bất biến của vận tốc ánh sáng, nếu trong hệ O ta có x = ct thì trong hệ O’ ta có x’ = ct’. Thay các biểu thức này vào (5.1) và (5.2) ta được: ct’ = α(ct – Vt) = αt(c – V) (5.3a) ct = α(ct’ + Vt’) = αt’(c + V)

Nhân cả hai hệ thức với nhau ta đi tới phương trình: c2 = α2(c2 – V2)

(5.3b)


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

142

1

(5.4)

Z.C OM

Từ đó ta có: α =

V2 1− 2 c

Thay α vào (5.1) và β = α vào (5.2) ta được:

V2 1− 2 c

;

x=

x'+ Vt'

(5.5)

V2 1− 2 c

.U CO

x − Vt

x' =

Mặt khác sự phụ thuộc giữa t và t’ là:

V x' 2 c t= V2 1− 2 c t'+

HO N

V x 2 c t' = ; V2 1− 2 c t−

(5.6)

x'+ Vt'

;

y’ = y;

V2 1− 2 c

z’ = z;

MQ

x=

;

V2 1− 2 c

y = y’;

AY KE

x’ =

x − Vt

UY N

Do hệ O’ chuyển động dọc theo trục x nên y = y’ và z = z’. Vì vậy ta được các công thức biến đổi Lorentz như sau:

t’ =

V x c2 V2 1− 2 c

t−

V x' 2 c z = z’; t = V2 1− 2 c

(5.7)

t'+

(5.8)

Từ các biểu thức (5.7) và (5.8) ta thấy rằng khi c → ∞ hay khi

.D

chúng trở thành:

V → 0 thì c

x’ = x – Vt ; y’ = y ; z’ = z ; t’ = t

(5.9)

x = x’ + Vt’ ; y = y’ ; z = z’ ; t = t’

(5.10)

W W

W

nghĩa là trở thành các công thức biến đổi Galiée trong cơ học cổ điển. §5.3. TÍNH ĐỒNG THỜI VÀ QUAN HỆ NHÂN QUẢ

1 – Tính đồng thời Trong mục 5.2.1 ta đã xét các tín hiệu sáng từ điểm A đến các điểm B và C nằm trên trục x’ của hệ O’. Các tín hiệu sáng đến B và C đồng thời trong hệ O’ nhưng không đồng thời trong hệ O. Để khảo sát một cách tổng quát tính đồng thời trong các


Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP

143

Z.C OM

hệ quy chiếu quán tính, ta giả sử rằng trong hệ O có hai sự kiện A1(x1,y1,z1,t1) và A2(x2,y2,z2,t2) với x2 ≠ x1. Hệ O’ chuyển động với vận tốc V so với hệ O theo trục x. Khoảng thời gian trong hệ O là t2 – t1. Khi đó khoảng thời gian của hai sự kiện này trong hệ O’ là:

V (x 2 − x 1 ) c2 V2 1− 2 c

t 2 − t1 −

(5.11)

.U CO

t’2 – t’1 =

Từ (5.11) thấy rằng, nếu hai sự kiện A1 và A2 xảy ra đồng thời trong hệ O, nghĩa là t2 = t1, hay t2 – t1 = 0, thì trong hệ O’ ta có t’2 ≠ t’1, tức là hai sự kiện A1 và A2 không xảy ra đồng thời trong hệ O’, trừ trường hợp x2 = x1.

HO N

Vậy khái niệm đồng thời là khái niệm tương đối, hai sự kiện có thể xảy ra đồng thời trong hệ quán tính này nhưng không đồng thời trong hệ quán tính khác. 2 – Quan hệ nhân quả

UY N

Liên hệ nhân quả là một liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả. Nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả, quyết định sự ra đời của kết quả. Giả sử sự kiện A1(x1, t1) là nguyên nhân và A2(x2, t2) là kết quả thì t2 > t1. Để xét trong hệ O’, ta chú ý rằng trong hệ O thì x1 = vt1 và x2 = vt2, do đó

⎛ Vv ⎞ V (vt 2 − vt1 ) (t 2 − t 1 )⎜1 − 2 ⎟ 2 c ⎠ ⎝ c = 2 2 V V 1− 2 1− 2 c c

t’2 – t’1 =

(5.12)

MQ

t 2 − t1 −

AY KE

Do v < c và V < c nên khi t2 > t1 ta có t’2 > t’1. Như vậy trong hệ O’, sự kiện A1 cũng là nguyên nhân và sự kiện A2 cũng là kết quả. Vậy thứ tự nhân quả được tôn trọng trong các hệ quy chiếu quán tính.

§5.4 SỰ CO NGẮN LORENTZ

Ta hãy so sánh độ dài và khoảng thời gian trong hai hệ quán tính O và O’.

.D

y

y’ 1

W

1 – Độ dài:

W W

Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ O’ (Hình 5.3), đặt dọc theo trục O’x’, độ dài của nó trong hệ O’ là: ∆x’ = x’2 – x’1

O

O’

V

2

x’1 x’2 x1 x x2 x’

Độ dài của nó trong hệ O là: ∆x = x2 – x1.

z

z’ Hình 5.3: Minh họa sự co ngắn Lorentz.


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

144

x ,2 =

x 2 − Vt 2 1−

V2 c2

x 1, =

;

Z.C OM

Dùng các biểu thức:

x 1 − Vt1 1−

V2 c2

ta xác định được độ dài trong hệ O’:

(x 2 − x 1 ) − V(t 2 − t 1 )

(5.13)

V2 1− 2 c

.U CO

∆x’ = x’2 – x’1 =

Nếu độ dài ∆x được đo trong hệ O tại cùng một thời điểm t2 = t1, thì

x 2 − x1

V2 c2

HO N

x'2 − x'1 =

hay ∆x = ∆x' 1 −

V2 1− 2 c

(5.14)

AY KE

MQ

UY N

Vậy độ dài dọc theo phương chuyển động của thanh trong hệ O nhỏ hơn trong hệ O’, nghĩa là độ dài thanh trong hệ quy chiếu mà thanh chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên. Nói khác đi, khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương chuyển động, gọi là sự co ngắn Lorentz. Do đó một quả cầu đặt trên con tàu vũ trụ chuyển động rất nhanh so với Trái Đất thì phi hành gia trên tàu vũ trụ nhìn thấy nó có dạng hình cầu còn người quan sát đứng trên Trái Đất thấy nó có dạng hình bầu dục, co ngắn theo phương chuyển động của tàu vũ trụ. Như vậy độ dài có tính tương đối, phụ thuộc vào chuyển động. Khi hệ O’ chuyển động với vận tốc V << c thì công thức (5.14) trở thành ∆x ≈ ∆x’, nghĩa là độ dài không phụ thuộc vào chuyển động như đã quan niệm trong cơ học cổ điển. 2 – Khoảng thời gian

Ta hãy xét hai sự kiện tại cùng một điểm (x’,y’,z’) trong hệ O’. Khoảng thời gian giữa hai sự kiện này là ∆t’ = t’2 – t’1. Ta hãy xác định khoảng thời gian giữa hai sự kiện này trong hệ O. Sử dụng (5.6):

W W

.D

W

t2 =

V V t 1, + 2 x' x' 2 c c ; t1 = 2 V V2 1− 2 1− 2 c c

t ,2 +

Ta có:

∆t = t 2 − t 1 =

t ,2 − t 1, V2 1− 2 c

hay

V2 ∆t’ = ∆t 1 − 2 c

(5.15)


Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP

145

.U CO

Z.C OM

Như vậy khoảng thời gian ∆t’ của một quá trình trong hệ O’ chuyển động bao giờ cũng nhỏ hơn khoảng thời gian ∆t xảy ra của cùng quá trình đó trong hệ O đứng yên. Nếu trong hệ O’ gắn một đồng hồ và trong hệ O cũng gắn một đồng hồ thì khoảng thời gian của cùng một quá trình xảy ra được ghi trên đồng hồ của hệ O’sẽ nhỏ hơn khoảng thời gian ghi trên đồng hồ của hệ O. Điều đó có nghĩa là đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên. Thời gian được tính theo đồng hồ chuyển động cùng với vật được gọi là thời gian riêng của vật đó. Vậy thời gian riêng luôn luôn bé hơn thời gian được tính theo đồng hồ chuyển động đối với vật. Như vậy khoảng thời gian có tính tương đối và phụ thuộc vào chuyển động. Khi vận tốc V của hệ O’ rất nhỏ hơn vận tốc ánh sáng c thì từ công thức (5.15) ta có ∆t’ ≈ ∆t, tức là khoảng thời gian không phụ thuộc vào chuyển động như đã quan niệm trong cơ học cổ điển, 3 – Khoảng không - thời gian

UY N

HO N

Sự bất biến của vận tốc ánh sáng dẫn đến kết quả là không gian và thời gian liên quan với nhau và chúng lập thành một không – thời gian duy nhất. Mối liên hệ đó có thể được biểu diễn nhờ không – thời gian 4 chiều tưởng tượng mà theo ba trục người ta đặt các tọa độ không gian x, y, z còn trục thứ tư là trục thời gian t, hay chính xác hơn, là tọa độ thời gian ct, có cùng thứ nguyên như tọa độ không gian. Một biến cố nào đó trong không – thời gian 4 chiều ứng với các tọa độ x, y, z, ct. Ta gọi đó là điểm vũ trụ. Một đường nào đó trong không gian 4 chiều gọi là đường vũ trụ. Bình phương khoảng cách ∆s2 giữa hai điểm vũ trụ được gọi là bình phương khoảng không - thời gian, liên hệ qua bình phương khoảng cách không gian ∆A2 = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 và bình phương khoảng thời gian c2∆t2 như sau: (5.16)

MQ

∆s2 = c2∆t2 - ∆A2 = c2∆t2 - ∆x2 - ∆y2 - ∆z2

AY KE

Khoảng không – thời gian trong không gian 4 chiều ∆s bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Thật vậy, giả sử trong hệ Oxyzt khoảng này là ∆s, được xác định theo công thức (5.16). Khoảng không - thời gian trong hệ Ox’y’z’t’ chuyển động với vận tốc V dọc theo trục Ox là ∆s’, được xác định như sau: ∆s’2 = c2∆t’2 - ∆A’2 = c2∆t’2 - ∆x’2 - ∆y’2 - ∆z’2

(5.17)

Sử dụng các công thức (5.11) và (5.13) ta có :

V ∆x ∆x − V∆ t c2 và ∆x’ = , mặt khác ∆y’ = ∆y ; ∆z’ = ∆z V2 V2 1− 2 1− 2 c c

∆t −

W

.D

∆t’ =

W W

Từ các công thức này có thể suy ra rằng:

∆s’2 = ∆s2

(5.18)

nghĩa là khoảng không - thời gian bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Từ sự bất biến đó ta suy ra sự bất biến của khoảng thời gian riêng như sau: Từ công thức : ∆t’ = ∆t 1 −

V2 , c2


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

ta có : ∆t’ =

1 c

c 2 ∆t 2 − (V∆ t) 2 =

1 c

c 2 ∆t 2 − ∆ A 2 =

1 ∆s c

(5.19)

Z.C OM

146

.U CO

Trong đó ∆A = V∆t. Công thức (5.19) cho thấy rằng khoảng thời gian riêng tỉ lệ với khoảng không - thời gian giữa hai biến cố. Khoảng này bất biến nên khoảng thời gian riêng cũng bất biến, tức là không phụ thuộc vào sự chuyển động của vật đã cho được quan sát trong hệ quy chiếu nào. Ví dụ 5.1: Vật chuyển động phải có vận tốc bao nhiêu để chiều dài của nó giảm đi 25%. Giải Chiều dài ∆x của vật chuyển động với vận tốc v liên hệ với chiều dài ∆x’ của

V2 = ∆x' 1 − β 2 2 c

HO N

vật đó đứng yên như sau: ∆x = ∆x' 1 −

trong đó β = v/c.

∆x'− ∆x = 1 - 1− β2 ∆x'

Độ giảm tương đối của chiều dài là: δ =

1 − (1 − δ) 2 . Thay số δ = 0,25 ta được β = 0,6614.

UY N

Từ đó suy ra: β =

Vậy vận tốc của vật: v = βc = 0,6614×3.108 ≈ 1,99.108 m/s.

.D

AY KE

MQ

Ví dụ 5.2: Có hai con tàu vũ trụ với độ dài bằng nhau và bằng ∆x’ = 230 m. Tàu 1 A Chúng đi ngược chiều nhau với vận tốc tương Tàu 2 đối v (Xem hình vẽ). Một người ở vị trí A của con tàu 1 đo được khoảng thời gian nhìn thấy v B C từ đầu B đến đầu C của con tàu thứ 2 là ∆t = 3,57 µs. Hãy xác định vận tốc tương đối v giữa hai con tàu. Giải Gọi AB là sự kiện điểm A trùng với điểm B còn AC là sự kiện điểm A trùng với điểm C. Khoảng thời gian giữa hai sự kiện AB và AC đo bởi người ở tàu 1 tại vị trí A là ∆t = 3,57 µs. Độ dài của tàu 2 do người nói trên đo được là: ∆x = v∆t = βc∆t Trong đó β = v/c. Mặt khác, độ dài ∆x của tàu 2 do người ở tàu 1 đo được liên hệ với

W

độ dài riêng ∆x’ của tu 2 như sau: ∆x = ∆x’ 1 − β 2

W W

Từ hai công thức trên ta được: βc∆t = ∆x’ 1 − β 2 Nghiệm của phương trình này là: β =

∆x' (c∆ t ) 2 + ∆x' 2

Thay số : c = 3.108 m/s; ∆t = 3,57 µs = 3,57.10-6 s; ∆x’ = 230 m ta được: β = 0,210. Do đó v = 0,210×3.108 m/s = 0,63.108 m/s.


Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP

147

HO N

Giải Theo (5.11) và (5.13) thì:

v (x R − x B ) 2 c t’R – t’B = hay v2 1− 2 c (x R − x B ) − v(t R − t B )

UY N

tR − tB−

x’R – x’B =

Z.C OM

phát ra tại thời điểm tB

y’

× xB tB

O’

x

.U CO

Ví dụ 5.3: Trong hệ quán tính O một chớp sáng xanh và một chớp sáng đỏ phát tiếp theo sau đó tại thời điểm tR, khoảng thời gian y giữa hai chớp sáng là ∆t = tR – tB = 5,35 × xR µs. Nguồn sáng xanh nằm tại tọa độ xB còn nguồn sáng đỏ nằm tại tọa độ xR, tR khoảng cách giữa hai nguồn sáng là ∆x = xR – xB = 2,45 km. Hệ quán tính O’ O chuyển động dọc theo trục x với vận tốc v so với hệ O và β = v/c = 0,855. Hãy xác định khoảng cách và khoảng thời z’ gian giữa hai nguồn sáng trong hệ O’. z

v2 1− 2 c

x’

∆x c 1− β2

∆t− β

∆t’ =

hay ∆x’ =

∆x− βc∆t 1− β2

,

MQ

trong đó β = v/c. Thay số: ∆t = tR – tB = 5,35 µs = 5,35.10-6 s; ∆x = xR – xB = 2,45 km = 2,45.103 m; β = 0,855 ; c = 3.108 m/s ,

AY KE

ta được: ∆x’ = 2078 m = 2,08 km và ∆t’= -3,147.10-6 s = -3,15 µs.

.D

Kết quả trên cho thấy trong hệ O’, do ∆x’ > 0 nên tọa độ nguồn sáng đỏ x’R > x’B như trong hệ O nhưng khoảng cách giữa hai nguồn bằng 2,08 km, nhỏ hơn khoảng cách giữa hai nguồn trong hệ O (2,45 km). Về mặt thời gian, do ∆t’ < 0 nên t’R < t’B, tức là nguồn sáng đỏ chớp trước nguồn sáng xanh, điều này ngược lại thứ tự trong hệ O, tại đó nguồn sáng xanh chớp trước nguồn sáng đỏ.

§5.5. TỔNG HỢP VậN TốC

W W

W

Giả sử u là vận tốc của một chất điểm đối với hệ O và u’ là vận tốc cũng của chất điểm đó đối với hệ O’. Ta hãy xác định công thức tổng hợp vận tốc liên hệ giữa u và u’. Từ (5.7) ta có:

dx' =

dx − Vdt V2 1− 2 c

V dx c2 V2 1− 2 c

dt − ; dt' =


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

148

(5.20a)

u ,x + V ux = V 1 + 2 u ,x c

u ,y =

dy' = dt'

u ,z =

dy 1 −

V2 c2

V dt − 2 dx c dz' = dt'

=

dz 1 −

uy 1−

.U CO

dx . dt V2 c2

HO N

Trong đó: ux =

(5.20b)

V 1− 2 ux c

V2 c2

=

uz 1−

UY N

hay:

u −V dx' dx− Vdt = = x V V dt' dt− 2 dx 1 − 2 u x c c

Z.C OM

, Do đó: u x =

V dt − 2 dx c

V2 c2

V 1− 2 ux c

(5.21)

(5.22)

MQ

Các công thức (5.20) – (5.22) biểu diễn quy luật tổng hợp vận tốc trong thuyết tương đối.Từ các công thức này suy ra tính bất biến của vận tốc ánh sáng trong các hệ quy chiếu quán tính.

AY KE

Thật vậy nếu ux = c thì: u’x =

c−V =c V 1− 2 c c

Khi các giá trị vận tốc V, ux và ux’ rất bé so với vận tốc ánh sáng thì các công thức tổng hợp vận tốc (5.20a) và (5.20b) trở thành: ux’ = ux – V và ux = ux’ + V

.D

Đó chính là các công thức tổng hợp vận tốc trong cơ học cổ điển Newton. §5.6. ĐỘNG LƯỢNG VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG

W W

W

Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm trong trường hợp cổ điển là:

hay:

dv F = ma = m dt

dp F= dt

(5.23)

(5.24)


Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP →

149

G mo v

(5.25)

m=

.U CO

v2 1− 2 c

mo v2 1− 2 c

(5.26)

HO N

G G p = mv =

Z.C OM

trong đó p = m v là động lượng của chất điểm chuyển động với vận tốc v và có khối lượng m không đổi. Trong cơ học tương đối, phương trình (5.23) không còn phù hợp mà phải dùng phương trình (5.24), trong đó khối lượng trong công thức của động G lượng p không còn là một hằng số mà thay đổi theo vận tốc của chất điểm. Các công thức đối với động lượng và khối lượng có dạng như sau:

tốc v << c thì

1−

UY N

Trong các công thức (5.25) và (5.26), m là khối lượng động, nghĩa là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó chuyển động với vận tốc v, còn m0 là khối lượng tĩnh, tức là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó đứng yên. Như vậy khối lượng trong các công thức (3.23) và (3.24) của cơ học cổ điển là khối lượng tĩnh vì khi vận

v2 ≈ 1 và m ≈ m0. c2

MQ

Bây giờ ta hãy nêu ra lặp luận suy ra các công thức (5.25) và (5.26). Theo định nghĩa trong cơ học cổ điển thì động lượng được xác định theo công thức:

∆x ∆t

(5.27)

AY KE

p = m0v = m0

Trong đó ∆x là khoảng đường của hạt chuyển động được đo bởi người quan sát còn ∆t là thời gian cũng do người quan sát đo được. Tuy nhiên trong cơ học tương đối, động lượng xác định theo phương pháp đo như vậy không bảo toàn đối với tất cả các hệ quán tính. Để khắc phục khó khăn đó, trong cơ học tương đối, động lượng được định nghĩa lại như sau:

.D

p = m0

∆x ∆t'

(5.28)

W W

W

Trong đó ∆t’ là thời gian đo bởi người cùng chuyển động với hạt mà không phải đo bởi người quan sát hạt. Đối với người chuyển động cùng với hạt thì hạt đứng yên, do đó ∆t’ là thời gian riêng của hạt chuyển động.

Theo (5.15) thì ∆t’ = ∆t 1 −

v2 c2

hay

∆t = ∆t'

1 v2 1− 2 c

(5.29)


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Từ (5.28) và (5.29) ta được:

p = m0

∆x ∆t = m0v . ∆t ∆t'

1 v2 1− 2 c

(5.30)

Z.C OM

150

.U CO

Công thức này nếu viết dưới dạng vector ta được công thức (5.25), trong đó khối lượng tuân theo công thức (5.26). Theo công thức (5.26) khối lượng của vật tăng lên khi nó chuyển động. §5.7. NĂNG LƯỢNG CỦA CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG 1 – Công thức W = mc2

HO N

Khi hạt chuyển động dưới tác dụng của ngoại lực, năng lượng của nó thay đổi. Độ biến thiên năng lượng của chất điểm bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm đó: dW = dA (5.31) →

Để đơn giản ta xét trường hợp ngoại lực F cùng hướng với độ chuyển dời →

dW = dA = F d s = F ds

UY N

G d s . Khi đó:

(5.32)

dp vào (5.32), trong đó p xác định theo (5.30), ta có: dt

Thay F =

ds dv ds = dv = vdv dt dt

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ m 0 vdv ⎢ v2 ⎥ = m 0 vdv 1+ dW = 3/ 2 2 ⎥ 2 ⎢ v ⎞ v ⎛ v2 ⎞ 2⎛ ⎜ ⎟ − c 1 ⎢ ⎥ 1− 2 ⎜1 − ⎟ ⎜ c2 ⎟ c ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎜⎝ c 2 ⎟⎠

.D

Mặt khác:

AY KE

MQ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ m0 v 2 dv ⎥ d ⎜ m0 v ⎟ ⎢ m 0 dv ds + ds = ⎢ dW = 2 dt 2 ⎟ 2 3 / 2 dt ⎥ dt ⎜ v v ⎞ ⎛ v ⎜ 1− ⎟ ⎢ 1− ⎥ c 2 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎢ ⎥ c c ⎠ ⎝ ⎝ c ⎠ ⎣ ⎦

W W

W

Do đó:

Từ công thức m =

m0 2

v 1− 2 c

suy ra: dm =

m0 ⎛ v c ⎜⎜1 − 2 ⎝ c 2

2

⎞ ⎟⎟ ⎠

3/ 2

Kết hợp hai công thức (5.33) và (5.34) ta có: dW = c2 dm

vdv

(5.33)

(5.34)

(5.35)


Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP

151 W = mc2 + C

(5.36)

Z.C OM

Tích phân biểu thức (5.35) ta được:

Trong đó C là hằng số. Từ điều kiện W = 0 khi m = 0 ta có C = 0. W = mc2

Vậy:

(5.37)

Công thức này xác định mối liên hệ giữa khối lượng tương đối tính và năng lượng toàn phần của vật, thường gọi là công thức Einstein. 2 – Năng lượng tĩnh và động năng

.U CO

Năng lượng toàn phần W của chất điểm bằng tổng số của năng lượng tĩnh W0 khi nó đứng yên và động năng Wd khi nó chuyển động: W = W0 + W d

2

W0 = m0c

Năng lượng tĩnh của chất điểm đứng yên là:

(5.38) (5.39)

UY N

HO N

Năng lượng tĩnh là nội năng của hạt, không liên quan đến sự chuyển động của nó. Đối với một vật phức tạp gồm nhiều hạt thành phần thì năng lượng tĩnh của vật gồm năng lượng tĩnh của các hạt thành phần, động năng chuyển động của các hạt thành phần đối với khối tâm của vật và năng lượng tương tác giữa chúng. Thế năng của vật trong trường lực ngoài không tham gia vào năng lượng tĩnh cũng như năng toàn phần của vật. Cần lưu ý rằng thuật ngữ “năng lượng toàn phần” trong cơ học tương đối tính có ý nghĩa khác so với trong cơ học cổ điển. Trong cơ học Newton, năng lượng toàn phần là tổng động năng và thế năng của hạt còn trong cơ học tương đối, năng lượng toàn phần là tổng năng lượng tĩnh và động năng của hạt.

AY KE

MQ

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 ⎟ 2 2 2 ⎜ − 1⎟ Động năng: Wd = W – W0 = mc – moc = moc ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1− v ⎟ ⎜ 2 c ⎠ ⎝ 1

Trong trường hợp cổ điển, khi v << c, thì

1−

v2 c2

1 . 1 v2 1− 2 c2

.D

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 v2 1 1 ⎟ 2 ⎜ − 1⎟ ≈ m 0 c 2 = m0 v 2 Wd = m0c ⎜ 2 2 2c 2 ⎟ ⎜ 1− v ⎟ ⎜ 2 c ⎠ ⎝

W W

W

Do đó:

Công thức này trùng với động năng trong cơ học cổ điển. 3 – Liên hệ giữa năng lượng và động lượng: Viết lại công thức Einstein như sau:

(5.40)

(5.41)


W = mc2 =

m0c2 1−

2 4 ⇒ W2 = m 0 c +

v2 c2

hay

⎛ v2 ⎞ 2 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ W = m 02 c 4 ⎝ c ⎠

m2c4 v2 W2v2 2 4 2 m c + = m 02 c 4 + p 2 c 2 ⇒ W = 0 2 2 c c

.U CO

Trong đó đã thay mv = p. W = c p 2 + m 02 c 2

Vậy:

Z.C OM

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

152

(5.42)

(5.43)

là công thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng tương đối.

2

2

W = m0c

⎛ p ⎞ ⎟⎟ ≈ m0c2 1 + ⎜⎜ m c ⎝ 0 ⎠

HO N

Trong trường hợp phi tương đối khi p << m0c, (5.43) có dạng:

⎡ 1 ⎛ p ⎞2 ⎤ p2 ⎟⎟ ⎥ = m0c2 + ⎢1 + ⎜⎜ 2 m0 ⎢⎣ 2 ⎝ m 0 c ⎠ ⎥⎦

(5.44)

Wd =

p2 2 m0

UY N

Như vậy, động năng trong cơ học cổ điển liên hệ với động lượng như sau:

MQ

Công thức (5.45) có thể suy ra từ công thức (5.41) khi thay v =

(5.45)

p . m0

khối lượng : δ =

AY KE

Ví dụ 5.4: Có thể gia tốc cho electron đến động năng nào nếu độ tăng tương đối của khối lượng không được quá 5%. Giải Sử dụng công thức tính động năng Wd = (m – m0) c2 thì độ tăng tương đối của

m 0 − m Wd = , từ đó Wd = δ×m0c2 2 m0 m0c

Thay số δ = 0,05; m0c2 = 0,511 MeV, ta được Wd = 2,56.10-2 MeV.

W W

W

.D

Ví dụ 5.5: Xác định độ biến thiên năng lượng của electron ứng với độ biến thiên khối lượng bằng khối lượng của electron. Giải Do W = mc2 nên ∆W = ∆mc2 = m0c2 Thay số m0c2 = 0,511 MeV, ta được ∆W = 0,511 MeV. Ví dụ 5.6: Một electron có động năng Wd = 2,53 MeV. Hãy xác định năng lượng toàn phần và động lượng của nó. Giải Năng lượng toàn phần W = W0 + Wd, trong đó W0 = m0c2 = 0,511 MeV còn Wd = 2,53 MeV. Do đó W = 0,511 MeV + 2,53 MeV = 3,04 MeV.


Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP

153

1 W 2 − (m 0 c 2 ) 2 c

Z.C OM

Theo công thức (5.41) thì W2 = m 02 c 4 + p 2 c 2 , do đó p =

Thay số W = 3,04 MeV; m0c2 = 0,511 MeV ta được p = 3,00 MeV/c. BÀI TẬP CHƯƠNG 5

5.1 Vật chuyển động phải có vận tốc bao nhiêu để kích thước của nó theo phương chuyển động giảm đi hai lần.

W W

W

.D

AY KE

MQ

UY N

HO N

.U CO

5.2 Hạt mezon trong các tia vũ trụ chuyển động với vận tốc bằng 0,95 lần vận tốc ánh sáng. Hỏi khoảng thời gian theo đồng hồ người quan sát đứng yên trên trái đất lớn hơn thời gian sống của hạt mezon bao nhiêu lần? 5.3 Khối lượng hạt α tăng thêm bao nhiêu nếu tăng vận tốc của nó từ 0 đến 0,9 lần vận tốc ánh sáng. Cho biết khối lượng tĩnh của hạt α là m0 = 6,6444.10-27 kg. 5.4 Khối lượng của electron chuyển động bằng hai lần khối lượng nghỉ của nó. Tìm động năng của electron trên. Cho biết khối lượng tĩnh của electron là m0 = 9,1.1031 kg. 5.5 Tìm vận tốc của hạt mezon nếu năng lượng toàn phần của hạt mezon gấp 10 lần năng lượng nghỉ của nó. 5.6 Một sự kiện xảy ra trong hệ quy chiếu O tại tọa độ x = 100 km và thời gian t = 200 µs. Hỏi sự kiện đó có tọa độ bao nhiêu trong hệ quy chiếu O’ chuyển động dọc theo trục x của hệ O với vận tốc V = 0,95 c, với c = 3.108 m/s. Giả sử khi t = t’ = 0 thì x = x’. 5.7 Hệ quy chiếu O’ chuyển động với vận tốc V = 0,6c so với hệ quy chiếu O. Hai sự kiện được ghi nhận. Trong hệ O sự kiện 1 xảy ra tại x = 0 và t = 0 còn sự kiện 2 xảy ra tại x = 3 km và t = 4 µs. Hãy xác định thời gian của hai sự kiện này trong hệ O’. 5.8 Người quan sát trong hệ quy chiếu O nhìn thấy chớp sáng màu đỏ ở vị trí cách ông ta 1200 m rồi sau đó một chớp sáng màu xanh cách 480 m theo cùng chiều với chớp sáng đỏ. Ông ta đo được khoảng thời gian giữa hai chớp sáng là 5 µs. Hãy tính: a. Vận tốc tương đối của hệ quy chiếu O’ so với hệ O, trong đó người quan sát thứ hai nhìn thấy hai chớp sáng đỏ và xanh xảy ra ở tại cùng một vị trí. b. Thứ tự các chớp sáng mà người quan sát trong hệ O’ nhìn thấy. c. Khoảng thời gian giữa hai chớp sáng mà người quan sát trong hệ O’ đo được. 5.9 Một hạt chuyển động dọc theo trục x’trong hệ quy chiếu O’ với vận tốc u’ = 0,4c. Hệ O’ chuyển động với vận tốc V = 0,6c so với hệ quy chiếu O theo trục x. Hãy tính vận tốc của hạt đó trong hệ quy chiếu O. 5.10 Một hạt vũ trụ bay về phía trái đất theo trục trái đất đến cực bắc với vận tốc v1 = 0,8c. Một hạt vũ trụ khác bay về phía trái đất theo trục trái đất ngược chiều với hạt thứ nhất đến cực nam với vận tốc v2 = 0,6c. Hãy tính vận tốc tương đối giữa hạt thứ nhất và hạt thứ hai.


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät - Ñieän

154

Z.C OM

Chương 6

CƠ HỌC CHẤT LƯU

.U CO

§6.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐẠI LƯỢNG CƠ BẢN 1 – Chất lưu:

Chất lưu là những chất có thể “chảy” được, bao gồm chất lỏng và chất khí.

HO N

Chất lưu không có hình dạng nhất định. Khi chuyển động, chất lưu phân thành từng lớp, giữa các lớp có lực tương tác, gọi là lực nội ma sát hay lực nhớt. Chính lực này làm cho vận tốc của các lớp không bằng nhau.

UY N

Để đơn giản, khi nghiên cứu về chất lưu, ta giả sử nó hoàn toàn không nén được (có thể tích xác định) và không có lực nhớt (không có nội ma sát). Chất lưu như thế được gọi là chất lưu lý tưởng; trái lại là chất lưu thực. Nghiên cứu chất lưu thực rất khó khăn, vì thế ta nghiên cứu về chất lưu lý tưởng, rồi suy rộng ra cho chất lưu thực. Trong một phạm vi gần đúng cho phép, các qui luật rút ra đối với chất lưu lý tưởng cũng áp dụng được cho chất lưu thực. 2 – Đường dòng, ống dòng:

MQ

Trong phạm vi giáo trình này chỉ nghiên cứu chất lưu lí tưởng. Để dễ dàng nghiên cứu và biểu diễn sự chuyển động của chất lưu một cách trực quan, người ta đưa ra khái niệm về đường dòng và ống dòng:

AY KE

Ống dòng: Tập hợp các đường dòng tựa trên một đường cong kín bất kì tạo thành một ống dòng. Khi chất lưu chuyển động trong một cái ống nào đó thì bản thân ống đó là một ống dòng.

v

v

Hình 6.1: Đường dòng

W W

W

Đường dòng: là những đường mà tiếp tuyến với nó tại mỗi điểm trùng với vectơ vận tốc của phần tử chất lưu tại điểm đó. Nói cách khác, đường dòng chính là qũi đạo của các phần tử của chất lưu.

.D

Nếu các đường dòng không thay đổi theo thời gian, thì ta nói dòng chảy của chất lưu là dừng. Trái lại là dòng không dừng. Trong giáo trình này ta chỉ nghiên cứu các dòng dừng.

Hình 6.2: Ống dòng


155

Chöông 6: CÔ HOÏC CHAÁT LÖU

Z.C OM

3 – Khối lượng riêng và áp suất:

.U CO

Ta biết, vật rắn thì có hình dạng, kích thước và khối lượng xác định, nên ta có thể nói đến khối lượng và lực tác dụng lên vật rắn đó (ví dụ: vật có khối lượng m = 2 kg, chịu tác dụng của một lực F = 10N). Nhưng khi nghiên cứu về chất lưu – một môi trường liên tục, không có hình dạng nhất định – ta thường quan tâm đến sự thay đổi tính chất từ điểm này sang điểm khác trong chất lưu hơn là nói đến tính chất của một “phần tử” riêng biệt nào đó. Vì thế, ta dùng các đại lượng: khối lượng riêng và áp suất để mô tả (hơn là dùng các đại lượng: khối lượng và lực). a) Khối lượng riêng: Khối lượng riêng tại điểm M trong chất lưu được định nghiã là:

ρ=

dm dV

(6.1)

HO N

trong đó: dV là yếu tố thể tích bao quanh điểm M; dm là khối lượng của chất lưu chứa trong yếu tố thể tích dV. Khối lượng riêng theo định nghĩa (6.1) còn được gọi là mật độ khối lượng của chất lưu tại điểm M. Nếu chất lưu là đồng nhất và không nén được thì ρ =const. Khi

ρ=

m V

(6.2)

UY N

đó ta có:

với m và V là khối lượng và thể tích của một lượng chất lưu xác định. Trong hệ SI, khối lượng riêng có đơn vị là kg/m3. b) Áp suất: áp suất do chất lưu gây ra tại điểm M trong chất lưu được định nghĩa là:

dF dS

MQ p=

(6.3)

AY KE

trong đó: dF là áp lực mà chất lưu tác dụng theo hướng vuông góc vào diện tích dS đặt tại M. Nếu áp suất suất tại mọi điểm trên diện tích S đều như nhau thì:

p=

F S

(6.4)

với F là áp lực mà chất lưu tác dụng theo hướng vuông góc vào diện tích S

.D

Bảng 6.1: Hệ số chuyển đổi đơn vị áp suất

W

Đơn vị đo

W W

Pa at

Pa (N/m2)

at

atm (760mmHg)

torr (mmHg)

1

1,02.10 – 5

9,87.10 – 6

7,5.10 – 3

1

0,968

736

0,981

1,033

1

760

1,013

9,81.10 4 5

bar 10

-5

atm

1,013.10

torr

133,322

1,36.10 – 3

1,316.10 – 3

1

1,33.10 - 3

bar

10 5

1,02

0,987

750

1


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät - Ñieän

156

§6.2 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC

Z.C OM

Áp suất theo định nghĩa (6.3) và (6.4) là một đại lượng vô hướng, trong hệ SI, đơn vị của áp suất là niutơn trên mét vuông (N/m2) hay paxcan (Pa). Ngoài ra ta còn có các đơn vị đo áp suất khác như: atmotphe (at hoặc atm), milimet thủy ngân (mmHg), torr, … . Bảng 6.1 cho biết hệ số chuyển đổi giữa các đơn vị đo áp suất.

S1

→ v1

dm1 = ρ dV1 = ρ S1 v1 dt

HO N

Ta có lượng chất lưu đã chảy qua tiết điện S1 , S2 trong thời gian dt là:

.U CO

Xét một chất lưu lý tưởng, chuyển động trong một ống dòng bất kỳ. Gọi v1 và v2 là vận tốc chảy của chất lưu tại hai tiết diện S1 và S2 bất kỳ của → ống dòng. v2 S2

Hình 6.3: Sự chảy liên tục của chất lưu

dm2 = ρ dV2 = ρ S2 v2 dt

Vậy:

UY N

Do tính không chịu nén và tính liên tục nên trong thời gian dt, lượng chất lưu đã chuyển qua tiết diện S1 và S2 là như nhau. Suy ra dm1 = dm2 S1 v1 = S2 v2

hay

Sv = const

(6.5)

MQ

Phương trình (6.5) được gọi là phương trình liên tục của chất lưu. (6.5) chứng tỏ vận tốc chảy của chất lưu tỉ lệ nghịch với tiết diện của ống dòng.

AY KE

§6.3 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI 1 – Thiết lập pương trình:

Xét một khối chất lưu bất kỳ ABCD chứa trong một đoạn ống dòng giới hạn bởi các tiết diện S1 và S2. Gọi v1 và v2 là vận tốc chảy của chất lưu tại các tiết diện đó. Sau thời gian dt, khối chất lưu này chuyển tới vị trí mới A’B’C’D’. Ta có:

.D

Độ biến thiên động năng của khối chất lưu sau thời gian dt là:

W W

W

∆Wđ = W’đ – Wđ = (W’đ (2) + W’đ (3) ) – (Wđ (1) + Wđ (2) ) = W’đ (3) – Wđ (1) Nghĩa là độ biến thiên động năng của toàn khối bằng hiệu động năng của hai khối nhỏ (1) và (3). Mà từ phương trình liên tục (6.5) ta suy ra: khối lượng m và thể tích V của hai khối (1) và (3) là bằng nhau và bằng m = ρ V Suy ra

∆Wđ =

ρv 2 ρv 2 1 1 mv 22 − mv12 = V ( 2 − 1 ) 2 2 2 2

(6.6)

Mặt khác, ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đó gồm có: trọng lực, áp lực tại hai tiết diện S1 , S2 và áp lực của các ống dòng xung quanh. Công của các ngoại lực này sinh ra trong thời gian dt được tính như sau:


157

Chöông 6: CÔ HOÏC CHAÁT LÖU

Z.C OM

+ Công của trọng lực: ta thấy toàn bộ khối chất lưu đang xét gồm có 2 phần, trong đó phần (2) không thay đổi về độ cao, vậy công của trọng lực chính là công làm di chuyển phần (1) xuống vị trí của khối (3) : A1 = mg(h1 – h2) = ρ Vg (h1 – h2) + Áp lực tại tiết điện S1 sinh công dương đẩy khối chất lưu chuyển động; còn áp lực ở tiết diện S2 sinh công cản. Do đó công của áp lực tại hai tiết diện này là: A2 = F1 s1 – F2 s2 = p1 S1 v1 dt – p2 S2 v2 dt = p1V – p2V = (p1 – p2)V

A (1)

A’

D’ (2)

UY N

h1

HO N

D

S1

.U CO

+ Áp lực của các ống dòng xung quanh luôn vuông góc với mặt bên của ống dòng đang xét nên không sinh công.

S2

B

C

(3)

B’

C’

h2

MQ

Hình 6.4: Thiết lập phương trình Bernoulli Do đó, tổng công của các ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đang xét là:

AY KE

A = A1 + A2 = ρ gV(h1 – h2) + (p1 – p2)V

(6.7)

* Theo định lý động năng, ta có: ∆Wđ = A . Kết hợp (6.6) và (6.7), suy ra:

W W

hay

W

Suy ra:

ρv 22 ρv 12 − ) = ρ gV(h1 – h2) + (p1 – p2)V 2 2

.D

V(

p1 + ρ gh1 +

p + ρ gh +

ρv 12 ρv 22 = p2 + ρ gh2 + 2 2

ρv 2 = const 2

(6.8) (6.9)

Phương trình (6.9) được gọi là phương trình Bernoulli. Trong đó cả ba số hạng ở vế trái đều có cùng thứ nguyên của áp suất. Số hạng p được gọi là áp suất tĩnh; số hạng ρ gh được gọi là áp suất trắc điạ, vì nó liên quan đến độ cao so với mặt đất hoặc mặt


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät - Ñieän

biển, hoặc một mặt phẳng nằm ngang nào đó làm mốc; số hạng động vì nó liên quan đến vận tốc của chất lưu.

ρv 2 gọi là áp suất 2

Z.C OM

158

Vậy: tổng áp suất tĩnh, áp suất trắc địa và áp suất động không thay đổi tại mọi điểm trong chất lưu. 2 – Hệ quả:

p+

ρv 2 = const 2

.U CO

a) Nếu xét những điểm trong chất lưu cùng nằm trên một mặt phẳng ngang (h = const) thì áp suất trắc địa không thay đổi. Từ (6.9) suy ra: (6.10)

HO N

Tổng áp suất tĩnh và áp suất động không thay đổi tại mọi điểm thuộc cùng một mặt phẳng ngang trong chất lưu. Do đó nơi nào có dòng chảy mạnh thì nơi đó áp suất tĩnh giảm và ngược lại. b) Nếu trong chất lưu không có dòng chảy (v = 0) thì từ (6.9) ta có: (6.11)

UY N

p + ρgh = const

(6.11) là phương trình cơ bản của tĩnh học chất lưu. Ta sẽ bàn luận (6.11) sâu hơn ở §6.4. 3 – Vài ứng dụng của phương trình Bernoulli:

MQ

a) Tính vận tốc chảy ở vòi – công thức Toricelli:

ta có:

AY KE

Xét một bình chứa chất lỏng có một vòi ở thành bình. Miệng vòi cách mặt thoáng của chất lỏng trong bình một đoạn h. Gọi S1 là diện tích mặt thoáng của chất lỏng trong bình và S2 là tiết diện ngang ở miệng vòi. Ap dụng phương trình Bernoulli, p1 + ρ gh1 +

ρv 12 ρv 22 = p2 + ρ gh2 + 2 2

Vì p1 = p2 = po = áp suất khí quyển;

ρ 2 ( v 2 − v 12 ) = ρ gh. 2

.D

h1 – h2 = h, nên

Mà: S1 v1 = S2 v2; S1 >> S2 nên v1 << v2

W

Vậy: v 2 = v = 2gh

(6.12)

W W

Công thức (6.12) được gọi là công thức Toricelli. Từ đó ta thấy vận tốc chảy của chất lỏng (lý tưởng) tại miệng vòi chỉ phụ thuộc vào độ cao của cột chất lỏng so với miệng vòi, miệng vòi càng thấp thì vận tốc phun ra càng mạnh.

h

Hình 6.5: Vận tốc chảy tại vòi


159

Chöông 6: CÔ HOÏC CHAÁT LÖU

điểm trong chất lưu. Ta có (6.10): p +

Z.C OM

b) Bơm tia: Xét một ống dẫn nhỏ nằm ngang. Khi đó độ cao h coi như không đổi tại mọi

1 2 ρv = const. Từ (6.10) suy ra: nơi nào có 2

.U CO

vận tốc chảy lớn thì ở đó áp suất tĩnh p nhỏ. Nói cách khác, chỗ có tiết diện ống càng nhỏ thì tại đó, áp suất tĩnh p càng nhỏ. Dựa vào nguyên tắc này, người ta chế tạo ra thiết bị gọi là “bơm tia” - dùng trong việc sơn các dụng cụ, thiết bị khác - và bộ chế hòa khí (carburateur) của động cơ đốt trong. Cấu tạo: gồm một ống dẫn khí nén, có cổ thắt ở gần lối ra. Tại nơi cổ thắt có đường Xăng từ bình lớn xuống Lỗ thông hơi

Khí nén

UY N

Xăng

HO N

Phao xăng

Hỗn hợp nhiên liệu

Hình 6.6: Sơ đồ nguyên lý hoạt động của bộ chế hòa khí

MQ

thông với bình đựng sơn (hay nhiên liệu – nếu là bộ chế hoà khí). Bình đựng sơn có một lỗ thông hơi, để áp suất trên mặt thoáng của sơn (nhiên liệu) luôn bằng áp suất khí quyển.

AY KE

Hoạt động: Khi ta cho luồng khí nén đi qua ống, tại cổ thắt, vận tốc khí rất lớn nên áp suất tĩnh ở đó nhỏ hớn áp suất khí quyển, do đó sơn (nhiên liệu) từ bình chứa dâng lên hoà vào luồng khí phun ra ngoài thành tia.

W

.D

Ngoài các ứng dụng kể trên, phương trình Bernoulli còn là cơ sở để tạo ra các thiết bị đo áp suất (áp kế), thiết bị đo vận tốc của dòng chảy (lưu lượng kế), hay nghiên cứu về lực nâng máy bay, giải thích các hiện tượng: cửa sổ tự mở, tốc mái nhà khi có gió lớn, … . §6.4 TĨNH HỌC CHẤT LƯU

W W

1 – Phương trình cơ bản của tĩnh học chất lưu:

thành :

Trong trường hợp chất lưu không chuyển động, phương trình Bernoulli trở p + ρ gh = const (6.11)

Phương trình (6.11) được gọi là phương trình cơ bản của tĩnh học chất lưu, đã được Pascal tìm ra vào năm 1652. (6.11) chứng tỏ rằng: những điểm nằm trên cùng một mặt


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät - Ñieän

160

Z.C OM

phẳng ngang thì có cùng một áp suất tĩnh ; càng xuống sâu (h càng nhỏ), áp suất tĩnh càng lớn. Nếu xét hai điểm ở độ cao khác nhau thì: p1 + ρgh1 = p2 + ρgh2 ∆p = p2 – p1 = ρg(h1 – h2) = ρg∆h

Suy ra

(6.13)

p = p0 + ρgh 2 – Định luật Pascal:

UY N

h M

Hình 6.12: Sơ đồ nguyên lý hoạt động của đòn bẩy thủy tĩnh.

MQ

* Định luật Pascal: Áp suất tác dụng vào chất lưu sẽ được chất lưu truyền đi nguyên vẹn theo mọi hướng đến tất cả các phần tử trong chất lưu và đến thành bình.

(6.14)

m

HO N

Xét một chất lưu lý tưởng, bị nhốt trong một ống hình trụ. Khi đó, áp suất tại một điểm M bất kì trong chất lưu được tính theo (6.14). Nếu cố định điểm quan sát M thì độ sâu h không đổi. Bây giờ ta giả sử có một ngoại lực tác dụng vào chất lưu làm áp suất tĩnh tại mặt thoáng p0 tăng thêm ∆p thì theo (6.14), áp suất tĩnh tại M cũng tăng thêm ∆p. Ta nói: áp suất truyền đi nguyên vẹn.

.U CO

Độ chênh lệch áp suất tĩnh giữa hai điểm trong chất lưu bằng độ chênh lệch áp suất trắc địa giữa hai điểm đó. Do đó , nếu ta coi áp suất trên mặt thoáng của chất lưu là p0 thì áp suất tĩnh tại một điểm cách mặt thoáng của chất lưu một khoảng h là:

* Ứng dụng: Làm đòn bẩy thủy tĩnh (máy thủy lực). Sơ đồ nguyên lý được mô tả ở hình (6.8).

Ta có: ∆p =

F1 F2 = S1 S 2

S2 S1

.D

F2 = F1

F1 (6.15)

W W

Nếu S2 lớn hơn S1 bao nhiêu lần thì F2 cũng lớn hơn S1 bấy nhiêu lần. Đòn bẩy thủy tĩnh được ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp, kỹ thuật và đời sống. Kích xe hơi, thắng dĩa xe máy, … đều hoạt động theo nguyên tắc này. 3 – Định luật Archimede:

F2

W

Hay:

AY KE

Tác dụng một lực F1 vào piston nhỏ thì lực này sẽ gây ra áp suất ∆p tác dụng vào chất lỏng. Áp suất này được chất lỏng truyền nguyên vẹn đến piston lớn, tạo ra lực đẩy F2.

S1

S2

Hình 6.8: Sơ đồ nguyên lý hoạt động của đòn bẩy thủy tĩnh


161

Chöông 6: CÔ HOÏC CHAÁT LÖU

Z.C OM

Giả sử ta nhúng chìm một vật (để dễ lý luận, ta thiết nó có dạng hình hộp chữ nhật) vào một chất lưu. Áp suất của chất lưu sẽ tác dụng vào tất cả các điểm trên bề mặt vật, tạo ra các cặp lực ngược chiều nhau. + Đối vơí các mặt bên, do áp suất của các điểm nằm trên cùng một mặt ngang là bằng nhau nên cặp lực tác dụng lên các mặt bên đối diện nhau sẽ đôi một triệt tiêu nhau.

.U CO

F1

F2

Hình 6.9: Lực đẩy Archimede

HO N

+ Riêng đối với hai mặt đáy, do không cùng độ cao nên áp suất tại đáy dưới lớn hơn áp suất tại đáy trên nên lực tác dụng lên đáy dưới F2 lớn hơn lực tác dụng lên đáy trên F1. Kết qủa, vật bị đẩy lên một lực FA = F2 – F1 . Lực đẩy FA chính là lực đẩy Archimède (do Archimède phát hiện ra vào thế kỉ thứ ba TCN).

FA

Gọi S là diện tích mỗi đáy, ta có: F1 = p1S1 ; F2 = p2S2 Suy ra, lực đẩy Archimède là: FA = F2 – F1 = S(p2 – p1)

UY N

Từ (6.14) suy ra p2 – p1 = ρ g(h1 – h2) = ρ gh, với h là chiều cao hình hộp. FA = ρ ghS = ρ gV

Vậy:

(6.16)

MQ

Trong đó ρ là khối lượng riêng của chất lưu; V là thể tích phần chất lưu bị vật chiếm chỗ (chính là thể tích của vật, trong trường hợp vật bị nhúng chìm); g là gia tốc trọng trường. Biểu thức (6.16) cũng đúng trong trường hợp vật có hình dạng bất kỳ.

AY KE

Định luật Archimede được phát biểu như sau: “Bất kỳ một vật nào nhúng trong chất lưu cũng bị chất lưu đó đẩy lên một lực bằng với trọng lượng của phần chất lưu bị vật chiếm chỗ”.

.D

Định luật này là cơ sở để nghiên cứu sự nổi của các vật và là một trong những nguyên lí của ngành đóng tầu thủy, trục vớt các tầu đắm, hoạt động của tầu ngầm, kinh khí cầu, .... BÀI TẬP CHƯƠNG 6

W

6.1 Khi có gió lớn, để tránh tốc mái nhà, ta nên mở rộng các cửa sổ cho thông thoáng hay đóng kín lại? Giải thích?

W W

6.2 Tại sao tầu thủy nặng như vậy thì lại nổi, còn cái kim nhẹ lại chìm?

6.3 Giải thích tại sao có sự chênh lệch mực nước trong các ống áp kế ở hình 6.10? Dựa vào độ chênh lệch ∆h của mực nước trong 2 ống áp kế, hãy tính lưu lượng của dòng nước chảy qua ống nếu tiết diện của ống tại nơi cắm các ống áp kế coi như đã biết. Ap

∆h

Hình 6.10


Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät - Ñieän

162

Z.C OM

dụng số: ∆h = 5cm; SA = 40cm2; SB = 4cm2; g = 10m/s2. (coi chất lỏng không nén và không có nội ma sát) 6.4 Đặt một ống Pitô vào dòng chất lưu như hình 6.11. Ta thấy mực chất lỏng dâng lên trong ống cao 20cm. Tính vận tốc chảy của chất lưu.

h

.U CO

6.5 Áp suất khí quyển ở điều kiện bình thường là 1 atm. Nếu cho rằng với áp suất lớn hơn 1,5 atm là nguy hiểm đối với con người, thì người thợ lặn chỉ được phép lặn sâu bao nhiêu khi anh ta không có đồ bảo hiểm?