Issuu on Google+

OM

Môc lôc

Z.C

Trang

Lêi nãi ®Çu

N. UC O

Ch−¬ng I: Ma trËn §1. Ma trËn bËc hai §2. H¹ng cña ma trËn §3. VÕt cña ma trËn Ch−¬ng II. §Þnh thøc

YN HO

§4. TÝnh luü thõa bËc cao cña ma trËn

2 3 3 9 12 16 24

§1. Sö dông tÝnh chÊt ®ång d−

24

§2. TÝnh ®Þnh thøc b»ng ph−¬ng ph¸p truy to¸n

27

§3. øng dông cña c¸c vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµo viÖc xem PhÇn kÕt luËn

35 36

W

W

W

.D

AY

KE

M

Tµi liÖu tham kh¶o

QU

xÐt mét ®Þnh thøc

32

1


OM

Lêi nãi ®Çu

Z.C

Vai trß cña ma trËn vµ ®Þnh thøc trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh nãi riªng vµ trong to¸n häc hiÖn ®¹i nãi chung hÕt søc to lín. §Ó hiÓu râ vÒ ma trËn vµ

N. UC O

®Þnh thøc viÖc gi¶i c¸c bµi tËp rÊt cÇn thiÕt. Trong c¸c gi¸o tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh c¸c bµi tËp cßn th−êng ë d¹ng c¬ b¶n, ch−a s¾p xÕp theo c¸c d¹ng vµ ch−a ®Ò cËp tíi ®−êng lèi gi¶i chung cho mét sè d¹ng to¸n khã.V× vËy viÖc theo dâi bµi tËp g©y khã kh¨n cho mét sè b¹n sinh viªn. Trong kho¸ luËn nµy, chóng t«i ®· liÖt kª ®−îc mét sè d¹ng to¸n vÒ

YN HO

ma trËn vµ ®Þnh thøc dùa trªn c¸c ®Ò thi Olympic To¸n toµn quèc trong nh÷ng n¨m qua, ®−a ra mét sè ph−¬ng h−íng gi¶i. §©y lµ mét ®Ò tµi më v× c¸c bµi to¸n hÕt søc phong phó vµ ®a dang. Chóng t«i hy väng kho¸ luËn sÏ ®−îc bæ sung bëi c¸c b¹n sinh viªn kho¸ sau ®Ó kho¸ luËn sÏ lµ mét tµi liÖu tèt cho c¸c b¹n sinh viªn khoa To¸n.

QU

Kho¸ luËn ®−îc hoµn thµnh d−íi sù h−íng dÉn cña thÇy gi¸o, PGSTS. Lª Quèc H¸n. Nh©n dÞp nµy chóng t«i bµy tá lßng biÕt ¬n tíi thÇy, thµnh kho¸ luËn.

M

ng−êi ®· nhiÖt t×nh h−íng dÉn vµ gióp ®ì chóng t«i trong qu¸ tr×nh hoµn

KE

Chóng t«i còng xin c¶m ¬n c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong tæ §¹i sè vµ c¸c b¹n sinh viªn cïng kho¸ ®· ®éng viªn chóng t«i hoµn thµnh kho¸ luËn.

AY

V× tr×nh ®é vµ thêi gian cã h¹n nªn kho¸ luËn ch¾c cßn nhiÒu thiÕu sãt, rÊt

.D

mong nhËn ®−îc sù ®ãng gãp cña b¹n ®äc ®Ó kho¸ luËn ngµy cµng tèt h¬n.

W

W

W

T¸c gi¶.

2


OM

Ch−¬ng I: Ma trËn §1. Ma trËn bËc hai

Z.C

C¸ch tÝnh An vµ øng dông.

I. C¬ së lý thuyÕt: Trong tÊt c¶ c¸c ma trËn, ma trËn bËc hai ®−îc nghiªn

N. UC O

cøu vµ xem xÐt rÊt nhiÒu. Môc nµy tr×nh bµy c¸ch tÝnh An; n ∈ N víi A lµ ma trËn thùc cÊp hai trong mäi tr−êng hîp.

a b  A=   víi a, b, c, d ∈ R. c d 

Gi¶ sö :

XÐt ®a thøc ®Æc tr−ng: d −λ

c

= λ2 − (a + d)λ + ad - bc . (*)

YN HO

a− λ b

+ NÕu (*) cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt. Khi ®ã ∆ = (a + d)2- 4(ad - bc) = (a - d)2 + 4bc > 0. ViÖc tÝnh An kh¸ dÔ dµng, cô thÓ nh− sau:

QU

Gäi λ1 vµ λ2 lµ hai nghiÖm thùc ph©n biÖt cña (*). Khi ®ã λ1, λ2 lµ hai gi¸ trÞ riªng, t−¬ng øng lµ hai vect¬ riªng v1(x1, x2); v2(x'1, x'2). -1 .

KE

M

Khi ®ã A = PBP

λ 0  víi B =  1 ; P = 0 λ  2

 x1  x 2 

x1'  . '  x2 

B»ng quy n¹p ta chøng minh ®−îc: n

n

-1 .

AY

A =PB P

λn1 0  . víi B =  0 λn2  n

.D

vµ An tÝnh ®−îc dÔ dµng. + NÕu ∆ ≤ 0 . VÊn ®Ò tÝnh An trë nªn khã kh¨n, Ýt ®−îc ®Ò cËp trong c¸c tµi

W

liÖu nh−ng l¹i xuÊt hiÖn nhiÒu ë c¸c kú thi. A2 -(a + d)A + (ad - bc)E = 0.

W

W

- NÕu ∆ = 0: (a + d)2- 4(ad - bc) = 0. KiÓm tra trùc tiÕp ta cã:

3


(a + d )2

OM

Khi ∆ = 0, ta cã (ad - bc) =

4 2

 a +d  2 mµ E = E, nªn ta cã: A - (a + d)A -   E = 0.  2 

n

2

a +d  a +d   A =  A − E+ E . 2  2  

a +d   ⇒ A− E  = 0 . Do ®ã: 2  

n

n

a +d  a +d    = A− E  + C1n  A − E 2  2   

n −1

2

a +d a +d   a +d   . E + ... + C nn−2  A − E  E 2 2   2  

n −1

n

 a +d   a +d  + E + E =  2   2    2  n −1 n a +d   a +d    a +d  = n − A − E   +  E 2   2   2   a+d  = n   2 

n −1

n

 a +d   a +d  E+ a −  E 2    2 

 a +d  A = n   2 

n −1

n

n

a +d   a +d   E+ A −  .E 2    2 

QU

VËy:

YN HO

a +d   C nn−1  A − E

Z.C

2

N. UC O

2

- NÕu ∆ < 0: Khi ®ã (*) cã hai nghiÖm phøc ph©n biÖt. Ta cã kÕt qu¶:

KE

M

λ1 0  (a + d )± i ∆ A = P . B P-1 víi B =  vµ λ1,2 = .  2 0 λ 2 

AY

DÔ thÊy: α 1 = α 2 =

4

 a+d α1,2 = k  ±i  2k 

a+d §Æt = cos ϕ th× 2k

(a + d )2 + ∆ 

(a + d )2 + ∆ 2k

=k∈R

k

= sin ϕ.

α1,2 = k[cos ϕ ± i sinϕ]

W

W

W

.D

Ta cã:

(a + d )2 + ∆

4

 

.

n −2


OM

Khi ®ã:

Z.C

n n   cos ϕ + i sin ϕ 0 0     n (cos ϕ + i sin ϕ ) n=  = k B  k     n 0 cos ϕ − i sin ϕ  0 (cos ϕ − i sin ϕ)   

cos nϕ + i sin nϕ 0  = kn  . 0 cos n ϕ − i sin n ϕ  

§Æc biÖt nÕu ϕ cã d¹ng

N. UC O

cos nϕ + i sin nϕ 0  -1 . Do ®ã An = P BnP-1 = knP  P cos nϕ − i sin nϕ 0

π th× khi ®ã ta cã B2m= k2mE vµ A2m = k2m E vµ m

®©y lµ tr−êng hîp th−êng gÆp ë c¸c bµi to¸n vÒ tÝnh An trong c¸c k× thi.

YN HO

II. mét sè øng dông

1 1  Bµi to¸n 1. TÝnh A2004 biÕt A =  . − 1 0  

Gi¶i: XÐt ®a thøc ®Æc tr−ng: A − αI = 0

QU

⇔ (1 - α)(0 - α) + 1 = 0 ⇔ α2 - α+ 2 = 0.

Ta cã:

biÖt, ta cã:

M

1± i 3 π π = cos ± i sin khi ®ã theo kÕt qu¶ suy ra tõ tr−êng hîp ®Æc 2 3 3

A6 = 16 . E = E.

KE

α1,2 =

Do ®ã A2004 = (A6)338 = E.

AY

Bµi to¸n 2. Cho f(x) lµ hµm ph©n thøc tuyÕn tÝnh f(x) =

ax + b . cx + d

.D

Ký hiÖu : f2(x) = f(f(x)); f3(x) = f(f(f)(x)) ;…, fn(x) = f(fn-1(x)).

W

W

W

DÔ cã:

 ax + b   + b a  cx + d a 2 + bc x + ab + bd   f2(x) = = .  ax + b  ( ac + cd )x + bc + d 2  + b c  cx + d 

(

)

5


a 2 + bc  c(a + d )

b(a + d ) a = bc + d 2  c

OM

§Ó ý r»ng: 2

b = A2  d

bn  a b  = c d  d n   

Trªn c¬ së nµy ta gi¶i bµi to¸n nhá sau: Cho f(x) =

x+6 TÝnh fn(x) x+2

n

.

N. UC O

a a x + bn fn(x) = n víi  n cn x + d n c n

Z.C

Tõ ®ã b»ng quy n¹p ta nhËn ®−îc :

6 . 2 

Theo kÕt qu¶ trªn:

a n a n x + bn n fn(x) = víi A =  cn x + d n c n

YN HO

1 Gi¶i:XÐt A =  1

bn  . d n 

Nh− vËy thùc chÊt ta ph¶i tÝnh An .XÐt ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng:

QU

A − αE = 0 ⇔ (1 - α) (2 - α) - 6 = 0

M

α = 4 ⇔ α2 - 3 α - 4 = 0 ⇔  1 α 2 = − 1

KE

α1 = 4 øng víi vect¬ riªng v1(-2; -1). α2 = -1 øng víi vect¬ riªng v2(-6; 2).

AY

Ta cã:

− 6  4 2  0

− 2 An=  − 1

6  4 n  2 0

0 1  0  1n 

6 2 − 1 − 2 . Do ®ã:   2 1 

6 2(− 4 )n + 3 = − 2  − 4 n −1 

[2(− 4) +3]x +6(− 4) −6 f (x) = [(− 4) −1]x +3(− 4) + 2 n

n

n

n

n

W

W

W

.D

− 2 A=  − 1

6

6(− 4 )n − 6 . n 3(− 4 ) + 2 


OM

Bµi to¸n 3: B¶n chÊt cña mét d¹ng to¸n khã cña ph−¬ng tr×nh hµm. Tr−íc hÕt ta cho mét vÝ dô, c¸ch gi¶i kÌm theo ph©n tÝch b¶n chÊt cña  x −1   = 1 (1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm: x f(x) + 2f   x +1 

Thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn: x → x −1  x − 1   − 1 f  + 2f   = 1 (2) x +1  x + 1   x 

Thay x bëi

1  1 1  x + 1 ta cã − f  −  + 2f   (3) x  x x 1 − x 

YN HO

TiÕp tôc thùc hiÖn biÕn ®æi thay x bëi −

x −1 ta ®−îc : x +1

N. UC O

Gi¶i :

Z.C

c¸ch gi¶i nµy.

x +1 x + 1  x + 1 vµo (1),ta®−îc: f  + 2f (x ) = 1 (4). 1− x 1 − x 1 − x 

(1), (2), (3), (4) lµ hÖ 4 ph−¬ng tr×nh víi 4 Èn sè lµ f(x),

QU

 x − 1  1   x + 1 f ; f  − ; f    x + 1  x   1 − x 

M

2x 2 − x +1 Gi¶i ra ta ®−îc: f(x) = (x ≠ -1, 0, 1). 5x (x − 1)

KE

Tr−íc hÕt ta xÐt ma trËn t−¬ng øng cña

AY

1 Ta cã: x ↔  0 1 x −1 ↔ x +1 1

− 1 = A1 1 

0 −1 ↔ x 1

− 1 = A2 1 

1 x +1 ↔ 1− x  −1

1 = A3 1

.D W W W

0 = A0 = E 1 

7

ax + b lµ cx + d

a b  c d   


A12 = 2A 2 ; A13 = (− 2 )A 3 ; A14 = (− 4 )E

OM

TÝnh to¸n trùc tiÕp:

1 2 1 A1 ;A3 = (− )A13 vµ A4= kE . 2 2 Tõ ®©y ta ®−a ra mét vµi nhËn xÐt vÒ ®iÒu kiÖn cã thÓ gi¶i ®−îc vÒ d¹ng

to¸n ph−¬ng tr×nh hµm nµy. + Gäi A1 lµ ma trËn thu ®−îc sau lÇn biÕn ®æi thø nhÊt.

Z.C

Hay ta cã: A2=

N. UC O

+ NÕu tån t¹i k ∈ N sao cho Ak = αE th× ph−¬ng tr×nh hµm gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè khi ®ã hÖ sÏ cã k ph−¬ng tr×nh . Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp ¸p dông :

YN HO

 3 5  + 1 −   2  Bµi 1: Cho A =  2 1 3  − − 1  2  2

TÝnh A2002 (§Ò thi Olympic to¸n n¨m 2002). a Bµi 2: Cho A =  0

b  c 

víi a, b, c thùc.

QU

i) Chøng minh r»ng nÕu A1996 = 0 th× A2 = 0.

0  .(§Ò Olympic n¨m 1

M

1 ii) X¸c ®Þnh a, b, c sao cho tån t¹i n ∈ N ®Ó An =  0 2x − 7 , (x≠ -1). TÝnh f2003(x). x +1

KE

1996). Bµi 3: Cho f(x) =

AY

Bµi 4: Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp hai tho¶ m·n Ak = 0 víi k > 2. Chøng minh r»ng A2 = 0.(§Ò thi chän ®éi tuyÓn Tr−êng §¹i häc Vinh 2001).

.D

Bµi 5: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh hµm sau:

W

W

W

 1 a) xf(x) + 2f  −  = 3 (x ≠ 0).  x  x  1 b) f   + x   = 2 .(x≠0;1)  x − 1 x

 x − 1 c) f(x) + f   = 1 - x.(x≠0).  x 

8


OM

§2. H¹ng cña ma trËn.

Z.C

TiÕt nµy sÏ ®−a ra hai h−íng th−êng ®−îc sö dông ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan tíi h¹ng cña ma trËn.

N. UC O

H−íng 1. Sö dông ®Þnh lý: P vµ A lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n. P lµ ma trËn kh«ng suy biÕn th×: rank(PA) = rank(AP) = rankA. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô.

VÝ dô 1. Cho P vµ Q lµ hai ma trËn vu«ng cÊp n tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: P2 = P; Q2 = Q vµ I - (P + Q) lµ ma trËn kh¶ nghÞch.I lµ ma trËn ®¬n vÞ

YN HO

cÊp n.Chøng minh r»ng: rank P = rank Q (§Ò thi OLP n¨m 2002). Gi¶i: V× I - (P + Q) lµ ma trËn kh¶ nghÞch.Suy ra: + rank P = rank [P(I - (P + Q))]= rank [P - P2 - PQ] = rank [- PQ] = rank PQ.(1) = rank PQ(2)

QU

+ rank Q = rank [(I - (P + Q) Q] = rank [Q - Q2 - PQ] = rank [- PQ] Tõ (1) vµ (2) rank P = rank Q.

M

VÝ dô 2. (§Ò thi Olympic 2001).Cho A, B lµ ma trËn vu«ng thùc cÊp 2001 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn A2001 = 0 vµ AB = A + B. Chøng minh r»ng: det B = 0.

KE

Gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt A2001 = 0 ⇒ A2001 - E2001 = -E ⇒ (A - E)(A2000 + A1999 +… + A + E) = - E

AY

⇒ A − E ≠ 0 ⇒ A - E kh«ng suy biÕn.

MÆt kh¸c tõ : AB = A + B ⇒ (A - E)B = A.

.D

Suy ra: rank B = rank A v× det A = 0

W

⇒ rank A ≤ 2000 ⇒ rank B ≤ 2000 ⇒ det B = 0.Ta cã ®pcm.

W

W

VÝ dô 3: (§Ò thi Olympic 2003) Cho A lµ ma trËn vu«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn A2003 = 0. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n ta lu«n cã: rank A = rank (A + A2 + … + An) (1)

9


DÔ cã: AB = A + A2 + A3 + … + An

OM

§Æt B = E + A + A2+ … + An-1

Gi¶i:

Do ®ã ®Ó chøng minh (1) ta chØ cÇn chøng minh det B ≠ 0. ThËt vËy ta cã:

Z.C

B(A - E) = An- E.V× A2003 = 0 ⇒ An.2003 = 0 ⇒ An2003 - = -E

⇒ det(An - E) ≠ 0 ⇒ det [B(A - E)] ≠ 0.

N. UC O

⇒ (An - E)((An)2002 + … + E) = -E.

⇒ det B ≠ 0. VËy rank A = rank (A + A2 + … + An).

H−íng 2. Sö dông kÕt hîp mét sè bÊt ®¼ng thøc: - BÊt ®¼ng thøc Sylvester:

Cho A, B lµ c¸c ma trËn A = [aij]mxn B = [bij]nxp th× :

YN HO

rank A + rank B - n ≤ rank (AB) ≤ min {rank A, rank B}.

- Sö dông bÊt ®¼ng thøc tæng:Cho A, B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n khi ®ã: rank B (A + B) ≤ rank A + rank B

Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc nµy.

QU

VÝ dô 1: Cho c¸c ma trËn A = [aij]2000x2001 B = [bij]2001x2000 a) Chøng minh det (BA) = 0

b) Cho det (AB) ≠ 0. T×m rank A; rank B.

M

Gi¶i: a) Ta cã: BA lµ ma trËn cÊp 2001x 2001 (1).

KE

MÆt kh¸c ta cã: rank BA ≤ min{rank A, rank B} ≤ 2000 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ det (BA) = 0

AY

b) Ta cã: rank A ≤ 2000; rank B ≤ 2000 (3) MÆt kh¸c v× det (AB) ≠ 0 ; AB lµ ma trËn cÊp 2000x 2000.

.D

⇒ rank AB = 2000.

W

L¹i cã : rank A ≥ rank AB = 2000; rank B ≥ rank AB = 2000.

W

W

KÕt hîp nh÷ng ®iÒu trªn ta cã: rank A = rank B = 2000. VÝ dô 2: Chøng minh r»ng nÕu A lµ ma trËn vu«ng cÊp n víi A2 = E th×

rank (E + A) + rank (E - A) = n(§Ò thi Olympic 1994) Gi¶i: Ta cã: (E + A)(E - A) = E - A2 = 0 10


OM

Do ®ã: rank (E + A) + rank (E - A) ≤ n + rank (E + A)(E - A) hay rank (E + A) + rank (E - A) ≤ n. MÆt kh¸c theo bÊt ®¼ng thøc tæng: Tõ ®ã ta cã: rank (E + A) + rank (E - A) = n Ta cã®pcm.

Z.C

rank (E + A) + rank (E - A) ≥ rank (E + A + E - A) = rank (2E) = n

N. UC O

VÝ dô 3: Chøng minh r»ng mäi ma trËn vu«ng cÊp n cho tr−íc trªn tr−êng sè thùc ®Òu t×m ®−îc mét sè nguyªn d−¬ng N sao cho:

rank (Ak) = rank (Ak+1) víi ∀ k ≥ N .(§Ò thi Olympic 1997). Gi¶i: Ta cã: ∀ k ∈ N* th× rank Ak+1 = rank AkA ≤ rank Ak. §Æt rk = rank Ak

Ta cã: … ≤ rk+1 ≤ rk ≤ … ≤ r1 = n.

YN HO

Trong d·y v« h¹n c¸c bÊt ®¼ng thøc, cã nh÷ng bÊt ®¼ng thøc thùc sù, cã nh÷ng bÊt ®¼ng thøc chØ lµ ®¼ng thøc. DÔ thÊy v× h¹ng cña ma trËn lµ mét sè tù nhiªn h÷u h¹n nªn sè bÊt ®¼ng thøc thùc sù ph¶i h÷u h¹n. Do ®ã tån t¹i N ∈ N* sao cho ∀ k ≥ N th× rank Ak = rank Ak+1.

QU

VÝ dô 4: (§Ò thi vßng lo¹i Tr−êng §¹i häc Vinh n¨m 2002) Trªn ®−êng chÐo ma trËn cì n x n lµ c¸c sè 0. C¸c phÇn tö cßn l¹i lµ 1 hoÆc

M

lµ 2002. Chøng minh r»ng h¹ng cña ma trËn lµ n - 1 hoÆc n.

AY

KE

1  1   1 1 a ij   §Æt A = ; B=    Μ Ο    1 1  a ij

1 Κ 1 1 Κ 1   Μ Μ  1 Κ 1

.D

Trong ®ã aij (i ≠ j) b»ng 1 hoÆc b»ng 2002. XÐt ma trËn C = A - B. DÔ thÊy ma trËn C gåm:

W

+ C¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh b»ng -1.

W

W

+ C¸c phÇn tö cßn l¹i b»ng 0 hoÆc 2001. Do ®ã : det C ≡ (-1)n(mod 2001). ⇒ det C ≠ 0⇒ rank C = n hay rank (A - B) = n, mµ rank B = 1.

11


= rank A + rank B = rank A + 1 .Tõ ®©y suy ra: rank A ≥ n - 1. VËy rank A b»ng n hoÆc n - 1.

OM

Ta cã: n = rank (A - B) ≤ rank A + rank (-B).

Z.C

VÝ dô 5: Cho A vµ B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp 2003. Chøng minh r»ng nÕu AB = 0 th× Ýt nhÊt mét trong hai ma trËn :A + AC, B + BC suy biÕn.

Do ®ã tån t¹i mét trong hai sè rank A < Gi¶ sö rank A <

N. UC O

Gi¶i: Ta cã: rank A + rank B ≤ 2003 + rank AB = 2003

2003 2003 hoÆc rank B < 2 2

2003 2003 .MÆt kh¸c rank AC = rank A < 2 2

2003 2003 + = 2003 2 2

YN HO

⇒ rank (AC + A) ≤ rank AC + rank A < ⇒ rank (AC + A) < 2003

⇒ (AC + A) suy biÕn. Ta cã ®pcm.

Bµi tËp: (§Ò thi Olympic 1995).

QU

Cho ma trËn vu«ng A = (aij) cÊp n (n > 1) cã h¹ng r, ma trËn A* = (Aij)nxn. Trong ®ã Aij lµ phÇn phô ®¹i sè cña aij. TÝnh h¹ng cña A*. AB = (det A) I.

M

H−íng dÉn: Víi B = (A*)C. B lµ ma trËn phô hîp cña A vµ ta cã

KE

Tõ ®ã ph©n ra c¸c tr−êng hîp ®Ó biÖn luËn ta thu ®−îc kÕt qu¶: NÕu r = n th× rank A* = n

AY

r = n - 1 th× rank A* = 1

.D

r = n - 2 th× rank A* = 0.

§3 VÕt cña ma trËn

W

I. Mét sè kh¸i niÖm cÇn nh¾c l¹i liªn quan tíi môc nµy:

W

W

§Þnh nghÜa: Víi mäi ma trËn vu«ng A = (aij)nxn, vÕt cña ma trËn lµ tæng tÊt

c¶ c¸c phÇn tö n»m trªn ®−êng chÐo chÝnh cña A. Ký hiÖu Tr(A) hoÆc V(A). ë ®©y ta dïng ký hiÖu V(A). Tõ ®Þnh nghÜa ta cã:

12


n

∑a

ii

OM

V(A) =

i =1

Ma trËn ®ång d¹ng: Hai ma trËn vu«ng cÊp n: A vµ B ®−îc gäi lµ ®ång d¹ng

Z.C

víi nhau nÕu tån t¹i ma trËn vu«ng cÊp n kh¶ nghÞch tho¶ m·n: A = P-1BP.

- Gi¸ trÞ riªng: Gi¸ trÞ riªng cña ma trËn vu«ng A lµ sè thùc λ tho¶ m·n:

N. UC O

A − λE = 0

II. Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n gèc ®−îc dïng ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n trong môc nµy.

Bµi to¸n1: Cho A, B lµ hai ma trËn vu«ng cÊp n. Ta lu«n cã: V(AB) =V(BA) n

Ta cã: V(AB) =

YN HO

Gi¶i: §Æt A = (aij)nxn ; B = (bjk)nxn n

n

∑ ∑ a ik b ki = ∑ (a i1 b1i + a i 2 b 2i + ... + a in b ni )= i =1 k =1

n

=

i =1

∑ (b

)

n

n

1i a i1 + b 2 i a i 2 + ... + b ni a in = ∑∑ b ki a ik = V(BA )

i =1

k =1 i =1

QU

Bµi to¸n2: Cho A ma trËn vu«ng cÊp n. Khi ®ã ta xÐt ®a thøc ®Æc tr−ng: A − λE = (-1)n λn + an-1 (-λ)n-1 + … + a1λ + a0

KE

M

Ta cã V(A) = (-1)n-1. an-1

AY

Gi¶i: DÔ cã víi A= (aij)nxn , khai triÓn ®Þnh thøc

a11 − λ

a12 ....

a 21

a 22 − λ .... a 2 n

Μ

Μ

a n1

a n 2 .... a nn − λ

a1n Μ

=0

ChØ cÇn chó ý tíi hÖ sè cña λn-1 ta cã ngay ®iÒu ph¶i chøng minh.

.D

Bµi to¸n3: Hai ma trËn ®ång d¹ng cã tËp hîp gi¸ trÞ riªng trïng nhau. - Chøng minh: Gi¶ sö A,B lµ ma trËn vu«ng cÊp n, ®ång d¹ng víi nhau, Tån

W

W

W

t¹i P lµ ma trËn vu«ng cÊp n kh¶ nghÞch: A = P - 1 BP.

Víi∀λ ∈ K ta cã : A − λE = P −1BP − λ P −1EP = P −1 (B − λ E )P = B − λE Tõ ®ã ta suy ra A vµ B cã tËp hîp gi¸ trÞ riªng trïng nhau. Bµi to¸n 4 (Suy ra trùc tiÕp tõ bµi to¸n gèc 2;3). 13


OM

Hai ma trËn ®ång d¹ng th× cã cïng vÕt. III. Mét sè bµi to¸n øng dông

Bµi 1: Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i c¸c ma trËn vu«ng cïng cÊp n: A, B

Z.C

mµ AB - BA = E. Gi¶i: Sö dông bµi to¸n gèc 1, ta cã: ⇒ AB - BA ≠ E.Ta cã ®pcm.

N. UC O

V(AB) = V(BA) ⇒ V(BA - BA) = V(AB) - V(BA) = 0 ≠ n = V(E)

Bµi 2: Gi¶ sö A vµ B lµ c¸c ma trËn vu«ng cïng cÊp n vµ ma trËn A lµ kh¶ nghÞch. LiÖu cã ®¼ng thøc AB - BA = A (1)

Gi¶i: V× A kh¶ nghÞch: (1) ⇔ A-1(AB - BA) = A-1A

YN HO

⇔A-1AB - A-1BA = E ⇔ B - A-1BA = E

V× B, A-1BA lµ hai ma trËn ®ång d¹ng ⇒ V(A-1BA) = V(B) - V(A-1BA) = 0 ≠ n = V(E) ⇒ B - A-1BA ≠ E. Tõ ®©y suy ra kh«ng tån t¹i ®¼ng thøc (1)

Bµi 3: Cho A lµ ma trËn kh«ng suy biÕn cì n x n, liÖu ®èi víi ma trËn X bÊt kú cì n x n cã thÓ t×m ®−îc mét ma trËn Y cì n x n tho¶ m·n hÖ thøc:

QU

X = AYA-1 - A-1YA (1)

Gi¶i: DÔ cã AYA-1 vµ A-1YA lµ hai ma trËn ®ång d¹ng (v× cïng ®ång d¹ng

M

víi Y)

Do ®ã V(AYA-1) = V(A-1YA) tõ ®ã suy ra nÕu cã (1) th× V(X) = 0. Do ®ã

KE

víi X lµ ma trËn bÊt kú th× kh«ng thÓ t×m ®−îc ma trËn Y tho¶ m·n (1) Bµi 4: (§Ò thi chän ®éi tuyÓn Tr−êng §¹i häc Vinh n¨m 2003).

AY

Cho A, B, C lµ 3 ma trËn vu«ng cÊp 2003. BiÕt C kh¶ nghÞch vµ AC= CB. Trªn ®−êng chÐo chÝnh cña A chØ ®−îc viÕt bëi ch÷ sè 0 hoÆc -1. T×m ch÷

.D

sè 0 trªn ®−êng chÐo chÝnh cña AvµB . Gi¶i : Tõ AC = CB ⇒ ACC -1= CBC -1 ⇒ A = CBC -1 Tõ gi¶ thiÕt trªn ®−êng chÐo chÝnh cña A chØ ®−îc viÕt bëi ch÷ sè 0

vµ 1 ⇒ V(A) ≥ 0

W

W

W

⇒A<B lµ hai ma trËn ®ång d¹ng.⇒ V(A) = V(B).

14


⇒ trªn ®−êng chÐo chÝnh cña A vµ B ®Òu cã 2003 ch÷ sè 0.

Bµi 5: Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. BiÕt A2 = 0.

Z.C

Chøng minh r»ng: V(A) = 0.

OM

T−¬ng tù V(B) ≤ 0. MÆt kh¸c ph¶i cã V(A) = V(B) ⇒ V(A) = 0, V(B) = 0

Gi¶i: Gäi λ lµ gi¸ trÞ riªng cña A. Khi ®ã ta cã:|A - λE| = 0.

N. UC O

L¹i cã |A2 - λ2E| = |A - λE| |A + λE| = 0.⇒ |0 - λ2E| = 0 ⇒λ2 = 0 ⇒ λ = 0. Do ®ã A chØ cã gi¸ trÞ riªng b»ng 0.

⇒ §a thøc ®Æc tr−ng cña A cã d¹ng (-1)nλn = 0.⇒ V(A) = 0.

Bµi 6: Gi¶ sö A lµ ma trËn vu«ng cÊp n vµ aij = i x j TÝnh f'(0) víi f(x) = det (Ax + E) ChØ cÇn tÝnh a1 v× f'(0) = a1 n

DÔ thÊy: a1 =

∑ a ij

YN HO

Gi¶i: Ta cã: f(x) = det (Ax + E) = anxn + an - 1xn - 1+ … + a1x + a0 n

= V(A) =

i =1

∑i2 = i =1

n (n + 1)(2n + 1) . 6

Bµi 7: Chøng tá r»ng kh«ng tån t¹i A, B, C, D lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n

QU

sao cho: AC + DB = E ;CA + CB = 0. Gi¶i:

M

Ta cã: V(AC +DB) = V(AC) + V(DB)= V(CA) + V(BD)= V(CA + BD).

KE

Gi¶ sö cã A, B, C, D;

AC + DB = E; CA + BD = 0.

AY

⇒ V(AC + DB) = V(E) = n ≠ 0 = V(CA + BD) ⇒ V« lý.VËy ta cã ®pcm.

.D

Bµi 8: (§¼ng thøc Wagner)Chøng minh r»ng:Víi ∀A, B, C lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp 2.Ta cã: (AB - BA)2C - C(AB - BA)2 = 0. β α ⇒ ∃α, β, γ sao cho:AB – BA=  . γ − α  

W

W

W

Gi¶i: V× V(AB - BA) = V(AB) - V(BA) = 0

15


2 α 2 + βγ β α Khi ®ã (AB - BA) =   = γ − α    0

 2  = (α + βγ)E. 2 α + βγ 

⇒ (AB - BA)2 - C(AB-BA)2 = 0.Ta cã ®pcm.

Sau ®©y lµ mét bµi tËp vÒ vÕt cña ma trËn.

H−íng dÉn:Tõ hÖ ®· cho

YN HO

Trong ®ã X, Y lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp 2

N. UC O

 4 8  V ( X ) Y + V ( Y ) X =     4 − 4 Bµi 1: Gi¶i hÖ  1  XY = 1  4 − 2    

Z.C

Ta lu«n cã: C = EC = CE nªn ta cã:(AB - BA)2C = C(AB - BA)2

OM

0

2

4 8   = 0 ⇒ V(V(X)Y) + V(V(Y)X) = 0 V(V(X )Y + V(Y )X ) = V  4 − 4

QU

V( X ) = 0 ⇒ 2V(X) V(Y) = 0⇒  V( Y ) = 0

Tõ ®ã thay vµo, xÐt tõng tr−êng hîp.

KE

M

§4. TÝnh luü thõa bËc cao cña ma trËn. C¸c bµi to¸n vÒ tÝnh luü thõa cña ma trËn bËc cao rÊt th−êng gÆp trong c¸c k× thi.Sau ®©y lµ mét sè d¹ng to¸n th−êng gÆp

AY

* D¹ng 1. TÝnh An, trong ®ã ∃k ∈ N sao cho; Ak = ± E hoÆc Ak = 0 Chó ý r»ng ®èi víi ma trËn bËc 2 ta ®· tr×nh bµy ®Çy ®ñ ë §1. ë ®©y ta ®−a

.D

ra mét sè vÝ dô ®Ó minh häa vÒ d¹ng nµy:

W

W

W

VÝ dô 1: (§Ò thi Olympic 2002)  3 5  + 1 −   2  .TÝnh A2002 Cho A =  2  1 3  − 1  2  2

16


( )

YN HO

TÝnh A2004

 0 0   1 1  − 2 2  1 1  2 2 

1 0 0  Gi¶i: Ta cã A2 = 0 0 − 1 ; A4 =   0 1 0 

1 0 0  0 − 1 0  ; A8 = E.   0 0 − 1

1 0 0  A2004 = A2000. A4 = E.A4 = 0 − 1 0  .   0 0 − 1

QU

Do ®ã:

N. UC O

 1  VÝ dô 2: Cho ma trËn: A = 0   0 

5 3  2   1 + 3  2 −

=-E

Z.C

1  − 3 2002 6 . 333 4 Tõ ®ã: A = A . A = 2  3  − 2

2

OM

2 − 5  vµ A6 = A 3 Gi¶i: TÝnh to¸n trùc tiÕp ta cã A3 =  1` − 2 

M

*D¹ng 2:

KE

TÝnh An víi A = B + αE. Trong ®ã Bk lµ ma trËn dÔ tÝnh víi k = 1, n

AY

 1 − 2 1 VÝ dô 1: Cho ma trËn A = − 1 1 0  ;   − 2 0 1

TÝnh An

W

W

W

.D

 0 − 2 1 Gi¶i:Ta cã: A=E+B víi E lµ ma trËn ®¬n vÞ cßn B lµ ma trËn: − 1 0 0    − 2 0 0

 0 0 0 Ta dÔ cã B2 =  0 2 − 1 ; B3 = 0 ⇒ Bk = 0 (k ≥ 3)   − 2 4 − 2

17


n (n − 1) 2 B + nB + E . 2

OM

Do ®ã: An = (B + E)n =

N. UC O

0 0 0    2 n n 2  = 0 n + n − 1 − −  2 2    2 2 0 2n + 2n − n − n + 1)

Z.C

0 0 0  0  0 0  n (n − 1)    + 0 2n − n  + E = 0 n (n − 1) −  2    0 2n (n − 1) − n (n − 1)  0 4n − 2n   

* D¹ng 3: Sö dông ph−¬ng ph¸p quy n¹p ®Ó tÝnh An

YN HO

Theo l−îc ®å ®Ó cã ®−îc ph−¬ng ph¸p gi¶i b»ng quy n¹p, tr−íc hÕt ta ph¶i tÝnh nh÷ng tr−êng hîp riªng, sau ®ã ph¸n ®o¸n, ®−a ra c«ng thøc tæng qu¸t vµ cuèi cïng chøng minh c«ng thøc ®ã

ë d¹ng nµy, c¸c phÇn tö cña A th−êng cã nhiÒu phÇn tö b»ng nhau.

QU

§Ó ®i tíi c«ng thøc tæng qu¸t, nhiÒu khi ph¶i sö dông tíi c¸c c«ng cô gi¶i tÝch. C¸c vÝ dô sau sÏ cho thÊy ®iÒu ®ã

KE

M

2 1  VÝ dô 1: Cho ma trËn A = 1 2 1 1 

1  1 2 

6 Ph©n tÝch vµ gi¶i: Ta cã: A = 5 5

AY

2

5 6 5

5 5 ; 6

W

W

W

.D

U n Dù ®o¸n c«ng thøc tæng qu¸t cã d¹ng: An = Vn Vn  U n +1 Khi ®ã An + 1 cã d¹ng Vn +1 Vn +1

Vn +1  Vn +1  U n +1 

Vn +1 U n +1 Vn +1

mµ An + 1 = An.A nªn Un + 1 = 2Un + 2Vn 18

Vn Un Vn

Vn  Vn  U n 


Víi U1 = 2; V1 = 1.

Z.C

4n + 2 4n − 1 Tõ ®©y b»ng c«ng cô gi¶i tÝch, ta cã: Un = , Vn = ; 2 2

Tõ ®ã ta cã lêi gi¶i hÕt søc gän

N. UC O

Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p 4 n + 2 1 An = 4 n − 1 3 n 4 − 1

4 n − 1 4 n − 1  4 n + 2 4 n − 1  4 n − 1 4 n + 2

(*)

YN HO

Víi n = 1 dÔ thÊy (*) ®óng. Gi¶ sö (*) ®óng tíi n

Ta cÇn chøng minh (*) ®óng tíi n + 1 ThËt vËy. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p

M

4 n +1 − 1 4 n +1 − 1  4 n +1 + 2 4 n +1 − 1  4 n +1 − 1 4 n +1 + 2

KE

4 n +1 + 2 1 = 4 n +1 − 1 3  n +1 4 − 1

4 n − 1 4 n − 1 2 1  4 n + 2 4 n − 1 1 2   1 1 n n 4 − 1 4 + 2 

QU

4 n + 2 1 An + 1 = An . A = 4 n − 1 3 n 4 − 1

AY

Do ®ã (*) ®óng víi n + 1 VËy ta ®· gi¶i xong bµi to¸n 1 1 0

0 0  . TÝnh An.  2

W

W

W

.D

2 VÝ dô 2: Cho ma trËn A = 0  0

OM

Vn + 1 = Un + 3Vn

19

1 1  2


n −1

∑ 2i i =0

1 0

 0  0   2n  

Z.C

 n 2  qu¸t lµ: An = 0  0 

OM

Gi¶i: B»ng ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch nh− ë vÝ dô 1, ta dù ®o¸n c«ng thøc tæng

N. UC O

Kh«ng mÊy khã kh¨n, dïng quy n¹p ta kh¼ng ®Þnh c«ng thøc trªn lµ ®óng * D¹ng 4:

B¶n chÊt cña ph−¬ng ph¸p nµy ®ã lµ chÐo ho¸ ma trËn. §©y lµ ph−¬ng ph¸p ®¾c lùc ®Ó tÝnh luü thõa bËc cao trong nhiÒu tr−êng hîp cña ma trËn

YN HO

A. C¬ së lý thuyÕt

+ §Þnh lý vÒ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn vu«ng A chÐo ho¸ ®−îc Ma trËn vu«ng A cÊp n chÐo ho¸ ®−îc khi vµ chØ khi víi mçi gi¸ trÞ riªng λk nghiÖm béi mk cña A (m1 + m2 +…+mp=n) cã rank(A-λkE)=n- mk (k = 1, n ) Tõ ®Þnh lý trªn suy ra r»ng + ThuËt to¸n chÐo ho¸

QU

Ma trËn vu«ng A cÊp n cã n gi¸ trÞ riªng ph©n biÖt th× chÐo ho¸ ®−îc

M

- B−íc 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng |A - λE| = 0 ®Ó t×m c¸c gi¸ trÞ riªng

KE

cña A lµ λ1, λ2, …, λp béi t−¬ng øng lµ m1, m2, …, mp - B−íc 2: KiÓm tra ®iÒu kiÖn chÐo ho¸

AY

a) NÕu p = n th× A chÐo ho¸ ®−îc b) NÕu ∀k (k = 1, 2, …, p) rank (A - λkE) = n - mkth× A chÐo ho¸ ®−îc c) NÕu ∃λk sao cho rank(A - λkE) ≠ n - mk th× A kh«ng chÐo ho¸ ®−îc

.D

NÕu chÐo ho¸ ®−îc, A ®ång d¹ng víi ma trËn B

W

W

W

0 λ 1  λ2 - Trong tr−êng hîp a: B =   0 Ο  

20

     λn 


0 λ1 Ο λp

0

N. UC O

Ο

OM

Ο

           λ p 

Z.C

 λ1     - Trong tr−êng hîp b: B =       

Khi ®ã ∃ ma trËn T kh«ng suy biÕn: B = T -1 AT hay A = T B T -1 - B−íc 3: T×m T:

øng víi mçi λk, gi¶i ph−¬ng tr×nh (A - λkI)x = 0 t×m ®−îc mk vect¬ riªng

{

YN HO

®éc lËp tuyÕn tÝnh: a 1k , a k2 ,..., a kmk øng víi λκ

}

Khi ®ã hÖ: a 11 , a 12 ,..., a 1m1 ,..., a 1p , a p2 ,..., a pm p lµ c¬ së cña kh«ng gian

(

)

T lµ ma trËn a 11 , a 12 ,..., a 1m1 ,..., a 1p , a p2 ,..., a pmp lµ ma trËn cã cét j lµ to¹ ®é cña vect¬ thø j trong c¬ së trªn

QU

+ Gi¶ sö A chÐo ho¸ ®−îc:A = PBP –1 B»ng tÝnh to¸n ta cã An = PBP - 1 P.BP - 1P … P -1PBP -1= PBnP -1

M

Trong ®ã Bn lµ ma trËn chÐo, dÔ tÝnh ®−îc do ®ã tÝnh ®−îc An B.Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô minh ho¹ ph−¬ng ph¸p nµy:

AY

KE

− 1 6 VÝ du 1: Cho ma trËn A =  3 − 4   2 − 4

− 16 12   11 

TÝnh An

.D

Gi¶i:Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng |A - λI| = 0 ta cã ba nghiÖm λ1 = 1, λ2 = 2, λ2 = 3 t−¬ng øng víi ba vect¬ riªng:

W

W

W

x1 = (1, 3, 1); x2 = (2, 1, 0); x3 = (-4, 0, 1)

1 2 Khi ®ã: P = 3 1  1 0

− 4 0  ; P-1 =  1 

− 1 2 − 4   3 − 5 12 ; B =   1 0 5 

21

1 0 0  0 2 0  .   0 0 3 


6.2 n − 4.3n − 1  =  3.2 n − 3  3n − 1 

− 4 0  1 

1 0  n 0 2 0 0 

24.2 n − 20.3n − 4  12.2 n − 12   5.3n − 4 

Z.C

− 10.2 n − 8.3n + 2

1 −2 VÝ dô 2: Cho ma trËn A = − 2 3   0 0

0 0  5 

TÝnh An

N. UC O

− 5.2 n + 6

2.3n + 2

0  − 1 2 − 4   0   3 − 5 12   n  1  0 5 3  

OM

1 2 Ta cã: An = PB -1P - 1 = 3 1  1 0

YN HO

Gi¶i :Gi¶i ph−¬ng tr×nh |A - λE| thu ®−îc c¸c gi¸ trÞ riªng λ1 = 1, λ2 = 5 (nghiÖm béi 2) vµ ba vect¬ riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh a1 = (1, 1, 0); a2 = (-1, 1, 0); a3 = (0, 0, 1) Khi ®ã:

0 1 1 1 0  ; P - 1=  − 1 1  2  0 0 1 

M

QU

1 − 1 P = 1 1  0 0

Ta cã:

AY

KE

1 1 An = P.Bn.P - 1 =  1 2  0

1 0

.D

1 2  VÝ dô 3: Cho ma trËn A = 0   0 

W W W

−1

0 0  1 

1  0 0 

1 1 3 0

0  − 2  2 

0 5 0  1  1  1  5 

TÝnh lim A n n →∞

22

n

0  1 1  0  − 1 1  n  0 0 5  

0  − 2  2 


Ta cã: An = P.BnP - 1

1 3 0

OM

0

 0  0  1  5 

N. UC O

1 2  -1 nghÞch sao cho A = PBP víi B = 0   0 

1 1 1 , , . Khi ®ã tån t¹i P kh¶ 2 3 5

Z.C

Gi¶i: DÔ cã A cã ba gi¸ trÞ riªng ph©n biÖt lµ

(

)

DÔ cã lim B n = 0; lim A n = lim P.B n .P −1 = P lim B n P −1 = P. 0 . P - 1 = 0 n →∞

n →∞

n →∞

n →∞

Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp

1  ;TÝnh Mn. (§Ò thi Olympic 1995); 2

4 2 12) Cho A =  4  1

0 3 0 0  ;TÝnh An (§Ò thi Olympic n¨m 1999). 9 − 1 0  2 5 2 n

0

QU

3

YN HO

2 1) Cho M =  1

KE

M

 2 0 0  a 11 (n ) a 12 (n ) a 13 (n )    a (n ) . 3) Cho  0 3 0  = a 21 (n ) a 22 (n ) a 23 (n ) ;T×m lim 22   n →∞ a ( n ) 23  0 1 2 a 21 (n ) a 32 (n ) a 33 (n )   

§Ò Olympic 1996

W

W

W

.D

AY

 sin ϕ − cos ϕ 4) TÝnh An biÕt A =   cos ϕ sin ϕ 

23


OM

Ch−¬ng II. §Þnh thøc. §1. Sö dông tÝnh chÊt ®ång d−.

Z.C

I. C¬ së lý thuyÕt:

Ta ph¸t biÓu tÝnh chÊt sau cña ®Þnh thøc (t¹m gäi lµ tÝnh chÊt ®ång d−), sau ®ã sÏ chøng minh:

N. UC O

TÝnh chÊt: Cho ma trËn A = (a ij )n x n . Trong ®ã aij lµ mét sè nguyªn d−¬ng, gäi B = (b ij )n x n trong ®ã aij ≡ bij (mod k). Khi ®ã ta cã: |A| ≡ |B| (mod k); Chøng minh: §Æt aij = kcij + bij Khi ®ã: δi (1)

=

∑ Sign(δi) (k (a

1δi (1)

δi∈S

∑ Sign (δi)b1

δi (1)

δi∈S

.a 2

δi ( 2 )

...a n

)(

YN HO

∑ Sign (δi)a1 δi∈S

δi ( n )

)

+ b1δi (1) ... k (c n δi ( n ) + bn δi ( n ) .

... b n

⇒ |A| ≡ |B| (mod k) .

II. øng dông:

δi ( n )

(mod k)

QU

A=

M

Bµi 1: (§Ò olympic n¨m 2001)Cho A lµ ma trËn cã c¸c phÇn tö nguyªn ch½n Chøng minh r»ng: A kh«ng cã c¸c gi¸ trÞ riªng lÎ

KE

Gi¶i: Gi¶ sö λ lµ gi¸ trÞ riªng lÎ cña A.Khi ®ã: a11 − λ

AY

|A - λI| = 0⇔

Λ

a1n

a 22 − λ Λ

a 2n

a12

a 21

Μ a n1

Μ a n2

Μ a nn − λ

=0

W

W

W

.D

§Æt ma trËn vÕ tr¸i lµ B

DÔ cã :

1

0 1

|B| ≡

= 1 (mod 2);

1 0

Ο 1

24


OM

⇒ |B| ≠ 0 ⇒ V« lÝ. VËy A kh«ng cã gi¸ trÞ riªng lÎ.

Bµi 2: (§Ò thi Olympic 1994). Cho aij lµ c¸c sè nguyªn:

N. UC O

Z.C

1  2 x1 = a 11x1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n   1 x = a x + a x + ... + a x 21 1 22 2 2n n Gi¶i hÖ:  2 2  Μ   1 x = a x + a x 2 + .... + a x n1 1 n2 nn n  2 n

Gi¶i: HÖ t−¬ng ®−¬ng víi:

YN HO

(2a 11 − 1) x 1 + 2a 12 x 2 + ... + 2a 1n x n = 0  2a 21x1 + (2a 22 − 1) x 2 + ... + 2a 2 n x n = 0  Μ  2a n1 x1 + 2a n 2 x 2 + .... + (2a nn − 1) x n = 0

Khi ®ã ®Þnh thøc ma trËn hÖ sè 2a 21

2a 22 − 1 Λ

Μ

Μ

1a n1

2a n 2

2a 1n

1

2a 2 n

Μ

1 0 0 Ο

2a nn − 1

(mod 2) 1

M

|A| =

Λ

2a 12

QU

2a 11 − 1

KE

⇒ |A| ≡ 1 (mod 2) ⇒ |A| ≠ 0 ⇒ HÖ cã duy nhÊt nghiÖm tÇm th−êng: (0, 0,…, 0).

Bµi 3: (§Ò thi n¨m 2001): Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n cã ®−êng chÐo

AY

chÝnh b»ng 0. C¸c phÇn tö cßn l¹i b»ng 1 hay 2001. B lµ ma trËn cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö b»ng 1.T×m rank (A – B).

.D

Gi¶i: §Æt C = A - B.

W

W

W

− 1  −1  Ta cã:C =  2000 Ο  0  

  2000   0  Ο  − 1

25


OM

DÔ cã: 1 0

(mod 2) ⇒ |C| ≡ 1 (mod 2) ⇒ |C| ≠ 0

0 Ο 1

2 2 0 1 Ta cã: |A| ≡ 2 −1 2 1

YN HO

51237 79922 55538 39177 37025 99981 1520 27881  A=   9002 7304 6665 2221    75322 2241 7561 1995  Gi¶i: XÐt theo modun 5.

N. UC O

⇒ rank (A - B) lµ n . Bµi 4: Chøng minh ®Þnh thøc cña ma trËn sau ®©y kh¸c 0:

Z.C

1

|C| ≡

3 0 0 1

2 1 (mod 5) 1 0

Λ Λ Λ

2 32 42

KE

M

1 22 |A| = 33 Μ 20012001

QU

⇒ A ≡ 18 (mod 5) ⇒ |A| ≠ 0 . Ta cã ®pcm. Bµi5: Chøng minh:

2002 2001

2000 20012 2002 3

2001 2002 2 2002 3

2002 2001

2002 2001

≠0

Gi¶i: DÔ cã:

W W W

2000 1 1

(mod 2)

Ν

.D

|A| ≡

AY

1 2 Λ

1

0

1

⇒ |A| ≡ 1 (mod 2)⇒ |A| ≠ 0.Ta cã ®pcm. Nh− vËy, qua nh÷ng bµi to¸n trªn dÔ thÊy r»ng sau khi ph¸t hiÖn nÕu cã thÓ dïng tÝnh chÊt ®ång d− ®Ó gi¶i th× bµi to¸n sÏ trë nªn ®¬n gi¶n h¬n nhiÒu. Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n kh¸c

26


OM

Bµi 6: Cho A = (aij )n x n tho¶ m·n:

Z.C

a ij ∈ Z  i ≠ j th× aij lÎ i = j th× aij ch½n  Chøng minh r»ng: nÕu n ch½n th× |A| ≠ 0. ngoµi ®−êng chÐo lµ ± 1.Chøng minh r»ng: Víi n ch½n : |A| ≠ 0. Víi n lÎ: A cã thÓ suy biÕn.

N. UC O

Bµi 7: Gi¶ sö A lµ ma trËn vu«ng cÊp n mµ trªn ®−êng chÐo chÝnh lµ 0, cßn

YN HO

§2. TÝnh ®Þnh thøc b»ng ph−¬ng ph¸p truy to¸n. TÝnh ®Þnh thøc lµ mét trong nh÷ng néi dung kh¸ quan träng cña ®¹i sè tuyÕn tÝnh, ph−¬ng ph¸p ®Ó tÝnh ®Þnh thøc rÊt nhiÒu Sau ®©y lµ mét ph−¬ng ph¸p ®−îc ¸p dông kh¸ nhiÒu ®Ó tÝnh c¸c ®Þnh

QU

thøc ë d¹ng tæng qu¸t, ®ã lµ "ph−¬ng ph¸p truy to¸n". Ta t×m hiÓu ph−¬ng ph¸p nµy th«ng qua mét sè vÝ dô vµ bµi tËp. VÝ dô 1: (§Ò thi chän ®éi tuyÓn tr−êng Vinh - 2003).

M

TÝnh ®Þnh thøc cÊp 2n: 0 0 Λ

0 b

0

a 0

b 0

Λ

AY

A2n = Λ 0 b

KE

a

b 0 Λ

a

0 0

0 a

0

W

W

W

.D

Gi¶i: Khai triÓn ®Þnh thøc hµng thø nhÊt: a

0 0 Λ

b 0

a

0 0 Λ

0 b

0

a 0

0 0

0 a 0 Λ

b 0

A2n = a Λ

Λ

0

b 0 Λ

b

0 0

-b Μ Μ Μ a 0 0 b 0 Λ 0 a b 0 0 Λ

27

Μ Μ a

0

0 a


OM

= a2A2(n - 1) - b2A2(n - 1) = (a2 - b2) A2(n - 1) Suy ra: A2n = (a2 - b2)A2(n - 1) = (a2 - b2) A2(n - 2)= (a2 - b2)n VÝ dô 2: TÝnh (n − 1) n 0 0

0 −1 x Λ Μ 0 0 0 Λ 0 0 0 Λ

0

0

x −1

0 x

Z.C

An =

3 Λ 0 Λ

2 x

N. UC O

1 −1

Gi¶i: Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét cuèi, ta cã:

= n(-1)n + 1(-1)(n - 1) + xAn - 1

0 0

YN HO

An = n(- 1)n + 1

−1 x 0 Λ 0 −1 x Λ Λ 0 0 Λ 0 0

+ x(- 1)2nAn - 1

x −1

QU

⇒ An = n + xAn - 1= n + x[(n - 1) + xAn - 1]= n + x(n - 1) + x2An - 2 = n + x(n - 1) + x2[(x - 2) + xAn - 3]= n + x(n - 1) + x2(n - 2) + x3 An - 3 n −1

M

Ta dù ®o¸n c«ng thøc tæng qu¸t cña An =

∑ (n − i) x i

(*)

i =0

KE

Ta chøng minh (*) b»ng quy n¹p: 0

+ A1 = 1 =

∑ (n − i) x 0

= 1 ⇒ (*) ®óng

AY

0

.D

+ Gi¶ sö cã An - 1 =

n −2

∑ ( n − 1 − i) x i i =0 n −2

+ Ta cã: An = n + xAn - 1= n + x ∑ (n − 1 − i) x i = VËy (*) ®−îc chøng minh. VÝ dô 3: (§Ò thi olympic n¨m 2000). TÝnh ®Þnh thøc

W

W

∑ (n − i) x i . i =0

W

i =0

n −1

28


0 Μ 0 0

1 Μ 0 0

a+b Λ Μ 0 0 Λ

0 0

0 0

0 0

OM

An =

Λ Λ

0 ab

0 0 0 Μ Μ Μ 1 a + b ab 0 1 a+b

Z.C

a + b ab 1 a+b

N. UC O

Gi¶i: Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét cuèi ta cã a + b ab 0 Λ 1 a + b ab Λ

An = (A + b) An - 1 - ab 0 0

0 0

YN HO

0 0

0 0

0 0

a + b ab 0 1

= (a + b)An - 1 - ab An -2⇒ An - a An - 1 = b(An - 1 - a An - 2) = b2(An - 2 - a An - 3) = … = bn - 2(A2 - a A1)= bn Do ®ã: An - a An - 1 = bn (1) An - bAn - 1 = an (2)

QU

+ NÕu a = b ≠ 0, ta cã: An - a An - 1 = an

A1 =n-1+2=n+1 a

AY

=n-1+

A n A n −1 = n −1 + 1 an a

KE

Do ®ã ta cã:

M

A n A n −1 − n −1 = 1 an a

Suy ra :

⇒ An = an (n + 1)

.D

+ NÕu a = b = 0 ⇒ An = 0

Tãm l¹i: a = b = 0 ⇒ An = 0 a = b ≠ 0 ⇒ An = (n + 1)an

W

W

W

bn − a n + NÕu a ≠ b. Tõ (1) (2) ⇒ An - 1 = b−a

29


OM

b n +1 − a n +1 a ≠ b⇒ An = b−a

VÝ dô 4: Bµi to¸n vÒ d·y Fibonaxi) 0 Λ 1 Λ 1 Λ

0 0 0

0 Λ 0 Λ

−1 1 1 0 − 1 1 nxn

TÝnh an

YN HO

Gi¶i: - DÔ cã: a1 = 1; a2 = 2

0 0 0

Z.C

0 0 0

N. UC O

1 1 −1 1 0 −1 Cho d·y an = Μ 0 0 0 0

- Khai triÓn ®Þnh thøc dßng cuèi ta cã: 1 1 Μ 0 0

0 Λ 1 Λ Μ 0 0 Λ

0 0 Μ 1 −1

1 1 ( n −1) x ( n −1)

1 −1 = a n −1 + Μ 0 0

1 Λ 1 Λ Μ 0 0

0 0 Μ 1 −1

0 0 Μ 1 1 ( n − 2 ) x ( n −2 )

AY

0 0

QU

M

KE

1 −1 an = Μ 0 0

1 −1 + Μ 0 0

1 1 Μ 0 0

= an - 1 + an - 2

W

.D

a = 1; a 2 = 2 Do ®ã d·y an ®−îc x¸c ®Þnh:  1 a n = a n −1 + a n −2

W

W

Ta biÕt c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y trªn lµ n n 1  1 + 5   1 − 5    −    an = 5  2   2    

30

0 Λ 1 Λ Μ 0 0 Λ

0 0 Μ 1 −1

0 0 1 1


OM

Trªn ®©y lµ c¸c vÝ dô vÒ bµi to¸n gi¶i theo ph−¬ng ph¸p truy to¸n (cßn gäi lµ truy håi) thùc chÊt cña ph−¬ng ph¸p nµy lµ tÝnh an theo c«ng thøc an -1,

an - 2… råi t×m ra c«ng thøc tæng qu¸t cña an. §èi víi ph−¬ng ph¸p nµy cÇn

Z.C

ph¶i cã mét sè kiÕn thøc vÒ gi¶i tÝch, ®Æc biÖt lµ phÇn d·y sè. Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n cã h−íng dÉn gi¶i hoÆc ®¸p sè 1 1 Μ 0 0

0 Λ 1 Λ Μ 0 0 Λ

0 0 Μ 1 −1

0 0

N. UC O

1 −1 Bµi 1: TÝnh ®Þnh thøc cÊp n : An = Μ 0 0

1 1 nxn

YN HO

H−íng dÉn: - Khai triÓn theo cét cuèi: An = 2An - 1 - An - 2 An = n + 1.

.D

AY

KE

M

QU

3 2 0 Λ 0 0 1 3 2 Λ 0 0 Bµi 2: TÝnh An = Μ Μ Μ Μ 0 0 0 3 2 0 0 0 Λ 1 3 H−íng dÉn: Khai triÓn theo hµng mét : An = 3An - 1 - 2An - 1 An = 2n - 1 x 1 0 Λ 0 1 x 1 Λ 0 Bµi 3: TÝnh Dn = 0 1 x Λ 0 Μ Μ Μ Μ 0 0 0 Λ x H−íng dÉn: Khai triÓn theo hµng mét Dn = xDn - 1 - Dn - 2 Dn = xn - C1n −2 + C 2n −3 x n −1 + ... Bµi 4: (Olympic n¨m 1993)

W

n

Cho 2n sè a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn víi aibj ≠ 0 ∀i, j vµ

∑ a i bi

W

W

i =1

31

=0


OM

a 1b n a 2bn Μ 1 + a n bn

H−íng dÉn: - Khai triÓn thÝch hîp An = anbn + An - 1 n

∑ a i bi i =1

x x x

Μ x 0 nxn

YN HO

Bµi 5: TÝnh ®Þnh thøc 0 x x Λ x y 0 x Λ x y y 0 Λ x An = Μ Μ Μ Μ y y y Λ 0 y y y Λ y

+1

N. UC O

An =

Z.C

1 + a 1b1 a 1b 2 Λ a 2 b1 1 + a 2 b 2 Λ TÝnh An = Μ Μ a n b1 a n b2 Λ

H−íng dÉn: - Khai triÓn thÝch hîp An = y xn - 1(-1)n + 1 - yAn - 1 An = (−1)

n +1

n

∑ yi x n −1 i =1

QU

§3. øng dông cña c¸c vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh

M

vµo viÖc xÐt mét ®Þnh thøc.

KE

ý nghÜa quan träng nhÊt cña ®Þnh thøc lµ ta cã thÓ dïng nã ®Ó kiÓm tra xem khi nµo mét hÖ h÷u h¹n c¸c vect¬ lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh (phô thuéc

AY

tuyÕn tÝnh). Song nhiÒu khi sö dông c¸c vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh (phô thuéc tuyÕn tÝnh) ta cã thÓ chøng minh, gi¶i mét sè bµi to¸n vÒ ®Þnh thøc.

.D

I. C¬ së lý thuyÕt:Sö dông ®Þnh lý: Mét hÖ n vect¬ x1, x2, …, xn ∈ Rn lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi (x1, x2, …, xn) ≠ 0.

W

W

W

HÖ qu¶: Cho A = (aij )n x n. NÕu |A| = 0. ∃n sè α1, α2, …, αn sao cho:

+ Cã Ýt nhÊt mét αi ≠ 0 + αi (a11, a12, …, a1n) + … + αn (an1, an2, …, ann) = 0

⇒ α1a1k + α2a2k + … + αnank = 0 ∀k = 1, n

32


OM

II. øng dông: Sö dông hÖ qu¶ trªn ta cã thÓ gi¶i ®−îc mét sè bµi toµn khã vÒ ®Þnh thøc. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô

Z.C

VÝ dô 1: Cho λ1,λ2,…,λn lµ c¸c sè thùc kh¸c nhau vµ kh¸c víi 0,-1,-2,…,- n+1 1 1 Λ λ1 λ2 1 1 Λ λ1 + 1 λ2 + 1 Μ Μ 1 1 Λ λ1 + n − 1 λ 2 + n − 1

1 λn 1 ≠0 λn + 1 Μ 1 λn + n − 1

N. UC O

Chøng minh r»ng:

thêi b»ng 0 sao cho XÐt hµm sè: f(λ) =

YN HO

Gi¶i: Gi¶ sö ®Þnh thøc trªn b»ng 0. Khi ®ã ∃c0, c1, …, cn - 1 kh«ng ®ång c0 c c n −1 + 1 + ... + = 0 ∀i = 1, n − 1 λi λi + 1 λi + n − 1 c0 c c n −1 P (λ ) + 1 + ... + ;f(λ) = . λ (λ + 1)...(λ + n − 1) λ λ +1 λ + n −1

QU

Trong ®ã P(λ) lµ ®a thøc bËc n - 1. DÔ cã: P(λi) = 0 víi i = 1, 2, …, n ⇒ P(λ) cã tíi n nghiÖm ⇒ P(λ) ≡ 0.

M

Mµ: P(λ) = c0(λ + 1) … (λ + n - 1) + c1λ(λ + 2) … (λ + n - 1) + … + +cn-1 λ(λ + 1) … (λ + n - 2)⇒ P(0) = 0 ⇒ c0 = 0; P(-1) = 0 ⇒ c1 = 0

KE

T−¬ng tù :P(-i) = 0 ⇒ ci = 0 víi i = 0, n − 1 .

AY

VËy c0 = c1 = … = cn - 1 = 0 ⇒ m©u thuÉn.VËy ®Þnh thøc ®· cho kh¸c 0. VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: modun c¸c gi¸ trÞ riªng cña mét ma trËn kh«ng v−ît qua tæng c¸c modun cña c¸c phÇn tö cña ma trËn

.D

Gi¶i: Gi¶ sö A = (aij )n x n. Gäi λ lµ gi¸ trÞ riªng cña A.

W

W

W

Khi ®ã ta cã: |A - λI| = 0.

Hay

a 11 − λ a 21 Μ a n1

a 12

a13

Λ

a 22 − λ a 23 Λ Μ Μ a n2 a n3 Λ

a 1n a 2n =0 Μ a nn − λ

33


c1 (a 11 − λ) + c 2 a 21 + ... + c n a n1 = 0 c (a ) + c (a − λ) + ... + c a = 0  1 12 2 22 n n2  Μ c1a 2 n + c 2 a 2 n + ... + c n a nn = 0

c1 c c + a 2 k 2 + … + akk + … + a nk n ck ck ck

⇒ |λ| = a 1k

YN HO

⇒ λ = a 1k

N. UC O

∃ ck sao cho |ck| = max {|c1|, |c2|, …, |cn|} Khi ®ã: c1a1k + c2a2k + … + ck(akk - λ) + ck + 1 ak + 1 + … + cnakn = 0 c c ⇒ a 1k 1 + … + akk - λ + … + n a nk = 0 ck ck

Z.C

OM

Khi ®ã ∃c1, c2, …, cn kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho:

c1 c c c + ... + a nk n ≤ a 1k . 1 + ... + a nk . n ck ck ck ck n

≤ |a1k| + |a2k| + … + |ank|≤

∑ a ij . Ta cã ®pcm. i , j=1

M

QU

VÝ dô 3: Cho ma trËn A: mçi cét cña nã cã ®óng 2 phÇn tö kh¸c 0, mét phÇn tö trªn ®−êng chÐo lín h¬n 1 vµ mét phÇn tö nµo ®ã kh«ng n»m trªn ®−êng chÐo b»ng 1. Hái ma trËn A cã suy biÕn kh«ng? Gi¶i: Gi¶ sö A = (aij )n x n Víi |A| = 0. Khi ®ã ∃ c1, c2, …, cn kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho:

AY

KE

c1a 11 + c 2 a 21 + ... + c n a n1 = 0 c a + c a + ... + c a = 0  1 12 2 22 n n2  Μ c1a 1n + c 2 a 2 n + ... + c n a nn = 0

W

W

W

.D

Tån t¹i ck ≠ 0, sao cho |ck| = max {|c1|, |c2|, …, |cn|} XÐt tæng: c1a1 + c2a2 + … + ckakk + … + cnank = 0 ∃m: ckakk + cmamk = 0 víi amk = 1 ⇒ ckakk + cm = 0⇒ |cm| = |ck| |akk| ⇒ |ck| < |cm|⇒ v« lý.VËy |A| ≠ 0. Sau ®©y lµ mét bµi tËp (§Ò thi chän ®éi tuyÓn tr−êng Vinh n¨m 2001): n

Cho A = (aij )n x n , víi ∀ i ta cã: ajj >

∑a j ≠i

34

ij

.Chøng minh r»ng : |A| ≠ 0.


Kho¸ luËn ®· gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò sau ®©y:

OM

N. UC O

1.VÒ ma trËn:

Z.C

PhÇn kÕt luËn

+ T×m ®−îc ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t tÝnh An ,trong ®ã A lµ ma tr©n bËc hai. + Ph¸t hiÖn hai h−íng gi¶i th−êng ®−îc sö dông ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ h¹ng cña ma trËn trong c¸c kú thi Olympic toµn quèc.

+ HÖ thèng bèn bµi to¸n gèc th−êng ®−îc sö dông ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ

YN HO

vÕt cña ma trËn.

+ Bèn d¹ng to¸n vÒ tÝnh An th−êng gÆp.

2. VÒ ®Þnh thøc:

+ §−a ra mét sè d¹ng to¸n vÒ ®Þnh thøc trong ®ã sö dông ph−¬ng ph¸p

QU

®ång d−, ph−¬ng ph¸p truy to¸n ®Ó gi¶i.

+ øng dông cña c¸c vÐc t¬ ®éc l©p tuyÕn tÝnh vµo viÖc xem xÐt mét ®Þnh

M

thøc.

3. C¸c vÝ dô vµ bµi to¸n ®−îc ®−a ra trong kho¸ luËn lµ nh÷ng bµi to¸n

KE

kh¸ khã vÒ ma trËn vµ ®Þnh thøc,trong ®ã mét sè lµ ®Ò thi to¸n Olympic toµn quèc, mét sè lµ ®Ò thi vßng lo¹i ë tr−êng Vinh.V× vËy kho¸ luËn cã thÓ

AY

sÏ lµ tµi liÖu tham kh¶o tèt cho c¸c b¹n sinh cã nguyÖn vong tham gia c¸c k×

W

W

W

.D

thi Olympic To¸n sinh viªn toµn quèc.

35


OM Z.C

Tµi liÖu tham kh¶o

1. TrÇn L−u C−êng, To¸n Olimpic cho sinh viªn tËp 2, NXB Gi¸o dôc, 2001

§¹i sè tuyÕn tÝnh, NXB Gi¸o dôc, 1998.

N. UC O

2. NguyÔn V¨n Gi¸m, Mai Quý Nam, NguyÔn H÷u Quang, Ng« Sü Tïng, 3. TrÇn V¨n H¹o, Hoµng Kú, Bµi tËp ®¹i sè, NXB §¹i häc vµ trung häc chuyªn nghiÖp, 1978.

4. NguyÔn H÷u ViÖt H−ng, §¹i sè tuyÕn tÝnh, NXB §¹i häc quèc gia Hµ

YN HO

Néi, 2000

5. Ng« Thóc Lanh, §¹i sè tuyÕn tÝnh, NXB §¹i häc vµ trung häc chuyªn nghiÖp 1970

W

W

W

.D

AY

KE

M

QU

6. Ng« ViÖt Trung, §¹i sè tuyÕn tÝnh, NXB §¹i häc quèc gia Hµ Néi, 2001

Ph−¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng to¸n

36


OM

vÒ ma trËn vµ ®Þnh thøc.

§1. Ma trËn bËc hai,c¸ch tÝnh An vµ øng dông. +Tr×nh bµy ®Çy ®ñ c¸ch tÝnh An ax + b .TÝnh fn(x) dùa vµo A= cx + d

a b  c d   

N. UC O

+f(x) =

Z.C

Ch−¬ng I: Ma trËn

+®iÒu kiÖn gi¶i ®−îc cho mét ph−¬ng tr×nh hµm. §2. H¹ng cña ma trËn:hai h−íng gi¶i th−êng gÆp

1: P kh«ng suy biÕn: rank(AP)=rank(PA)=rank A

YN HO

2: Sö dông : rank (A+B)≤ rank A+ rank B

vµ rank A + rank B - n ≤ rank (AB) ≤ min {rank A, rank B}.

§3. VÕt cña ma trËn: HÖ thèng bèn bµi to¸n gèc: 2.V(A)= (-1)n-1. an-1

QU

1.V(AB)=V(BA).

3 Hai ma trËn ®ång d¹ng cã cïng tËp gi¸ trÞ riªng

M

4. Hai ma trËn ®ång d¹ng cã cïng vÕt

§4. TÝnh luü thõa bËc cao cña ma trËn

KE

1.TÝnh An, trong ®ã ∃k ∈ N sao cho; Ak = ± E hoÆc Ak = 0 2TÝnh An víi A = B + αE. Trong ®ã Bk lµ ma trËn dÔ tÝnh víi k = 1, n

AY

3. Sö dông ph−¬ng ph¸p quy n¹p ®Ó tÝnh An 4.Sö dông gi¸ trÞ riªng vµ vect¬ riªng .(B¶n chÊt lµ sö dông ®iÒu kiÖn

W

W

.D

chÐo ho¸ ®−îc cña ma trËn)

W

Ch−¬ng II. §Þnh thøc

37


§1. Sö dông tÝnh chÊt ®ång d−

OM

Cho A = (a ij )n x n . Trong ®ã aij lµ c¸c sè nguyªn , gäi B = (b ij )n x n

Tõ ®ã : nÕu |B| ≠0 th× |A| ≠0.

N. UC O

§2. TÝnh ®Þnh thøc b»ng ph−¬ng ph¸p truy to¸n

Z.C

trong ®ã aij ≡ bij (mod k). Khi ®ã ta cã: |A| ≡ |B| (mod k);

TÝnh ®Þnh thøc an cÊp n theo an -1,an - 2… råi t×m ra c«ng thøc tæng qu¸t cña an. §èi víi ph−¬ng ph¸p nµy cÇn ph¶i cã mét sè kiÕn thøc nhÊt ®Þnh vÒ gi¶i tÝch, ®Æc biÖt lµ phÇn d·y sè.

xÐt mét ®Þnh thøc

YN HO

§3. øng dông cña c¸c vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµo viÖc xem

Cho A = (aij )n x n. NÕu |A| = 0. ∃n sè α1, α2, …, αn sao cho: + Cã Ýt nhÊt mét αi ≠ 0

QU

+ αi (a11, a12, …, a1n) + … + αn (an1, an2, …, ann) = 0 ⇒ α1a1k + α2a2k + … + αnank = 0 ∀k = 1, n

M

Tõ ®ã gi¶i ®−îc mét sè bµi to¸n liªn quan tíi ®Þnh thøc b»ng 0

W

W

W

.D

AY

KE

hay kh«ng

38


Phương pháp giải một số dạng toán về ma trận và định thức