Issuu on Google+

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NHẬP • MÔN

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

LÂM NGỌC THIỀM (chủ biên) LÊ KIM LONG

TR Ầ

N

NG

■ HÓA HỌC LƯỢNG TỬ ■

B

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

10

00

(Phần bài tập)

NHÀ XUẤT BẢN ðẠI HỌC Q u ố c GIA HÀ NỘI

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

I

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

10

00

B

TR Ầ

N

V■

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP .Q UY

MỤC LỤC

Trang

Lờị nói ñầu

V

ĐẠ O

Chương 1. Cơ sở của cơ học lượng tử rút gọn í

2. Toán tử tuyến tính

-

1. ðịnh nghĩa toán tử

NG

A- Lí thuyết tóm lược

3. Phương trình hàm riêng và trị riêng

TR Ầ

N

4. Hệ hàm trực chuẩn 5. Hệ hàm ñầy ñủ 6 . Toán

;

tỏ Hermite

1

2 2

3

00

kiện ñể hai ñại lượng vật lí có giá trị ñồng thòi xác ñịnh ỏ cùng một trạng thái

A

9. Một sô"biểu thức cần ghi nhớ

5

6 8

47 51

Í-

C- Bài tập chưa có lòi giải

-L

B- Bài tập áp dụng

1

3

10

8 . ðiều

1

2

B

7. Hệ tiên ñề

1

TO ÁN

Chương 2. Áp dụng cơ học lượng tử vào cấu tạo nguyên tử A- Lí thuyết tóm lược

51

I. Electron chuyển ñộng trong giếng th ế

51

ĐÀ N

1. Chuyển ñộng của electron trong giếng thế một chiều 2.

Chuyển ñộng của electron trong giếng thế 3 chiều

DI Ễ

N

II. Bài toán nguyên tử hiñro trong trường xuyên tâm 1 . Mối

2.

tương quan giữa toạ ñộ Descartes và toạ ñộ cầu

Phương trình Schrồdinger ồ trạng thái dừng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

51 52 52 52 52

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. Mật ñộ xác suất tìm thấy vi hạt theo r và 0, ((>

ặ 54 55

NH ƠN

4. Áp dụng lí thuyết lượng tử cho nguyên tử nhiều electron 5. Cấu hình electron. Số hạng nguyên tử

56

B- Bài tập áp dụng

59

TP .Q UY

C- Bài tập chưa có lòi giải

106

Chương 3. Áp dụng cơ học lưựng tử vào câu tạo phân tử

109

A- Lí thuyết tóm lược

109

niệm chung

2 . Phương

ĐẠ O

1 . Khái

pháp liên kết hoá trị

NG

3. Phương pháp obitan phần tử 4. Phương pháp HMO

B- Bài tập áp dụng

N

C- Bài tập chưa có lòi giải

109 110 112 112 115 178

181

A' Lí thuyết tóm lược

181

B

181

Các yếu tô' ñối xứng và các phép ñối xứng phân tử

181

10

2.

niệm về ñối xứng

00

1 . Khái

TR Ầ

Chương 4. ứn g dụng lí thuyết nhóm trong cấu tạo chất

182

A

• 3. Khái niệm về nhóm-

183

5, Biểu diễn khả quy và biểu diễn bất khả quy

184

Í-

4. Biểu diễn nhóm

186

C- Bài tập chưa có lời giải

219

TO ÁN

-L

B- Bài tập áp dụng

Chương 5. Khái quát về phổ phân tử

223

A. Lí thuyết tóm lược

223

ĐÀ N

1. Khái niệm chung

DI Ễ

N

2 . Các

223

dạng phổ phân tử

224

3. Phổ quay của phân tử 2 nguyên tử

224

4. Phổ dao ñộng của phân tử 2 nguyên tử

225

5. Phổ quay - dao ñộng của phân tử 2 nguyên tử

22Ẹ

6 . Phổ

226

electron của phân tử 2 nguyên tử

ii Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

226

B- Bài tập áp dụng

228

C- Bài tập chưa có lời giải

NH ƠN

7. Phổ cộng hưởng từ hạt nhân

257

Phụ lục

261

TP .Q UY

A- Các hằng số vật lí quan trọng hay dùng B- Tương quan giữa một số ñơn vị năng ỉượng

262

C- Các bậc bội, bậc ước so vối ñơn vị cơ sỏ

262

263

E- Một sô' hàm ñặc biệt dùng trong hoá lượng tử

264

NG

F- Dạng hàm bán kính Rn , (r) của các ion giống hiñro

ĐẠ O

D- Phương trình Schrốdinger và nghiệm của nó cho một vài hệ lượng tử ñơn giản

266 267

I- Cấu hình electron và số hạng ồ trạng thái cơ bản của các nguyên tô' trong bảng tuần hoàn

268

K- Các bảng ñặc biểu quan trọng của một số nhóm ñiểm ñốỉ xứng

272

00

B

TR Ầ

H- Một sô' obitan nguyên tử của nguyên tử hiñro

N

G- Dạng hàm cầu YỂm (0, (ị>)

265

279

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

10

Tài liệu th a m k h ảo

iii Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

10

00

B

TR Ầ

N

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

IV Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP .Q UY

LỜI NÓI ðẦU

ĐẠ O

Do tính trừu tượng và phức tạp của môn Hoá học lượng tử nên việc giảng dạy lí thuyết phải gắn liền vỏi việc giải các bài tập. ðể làm ñược các dạng bài tập người ñọc phải hiểu thật kỹ lý thuyết và biết cách vận dụng nó vào từng trường hợp cụ thể. Cuôh bài tập Nhập môn hoá lượng tử ra ñời nhằm ñáp ứng yêu cầu này.

NG

Cũng nhằm giảm bốt phần nào khó khăn trong quá trình giải bài tập, trong mỗi chương của sách chúng tôi lại chia làm 3 dề mục:

A- Lí thuyết tóm lược B- Bài tập áp dụng

TR Ầ

N

C- Bài tập chưa có lòi giải

00

B

Các dạng bài tập trong các chương của cuốh sách là nộí dung giảng dạy mà các tác giả ñã sử dụng nhiều năm cho sinh viên năm thứ 3 và cao học tại khoa Hoá, Trưòng ðại học Khoa học Tự nhiên - ðại học Quốc gia Hà Nội.

Các tác giả

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

10

Cuốn sách của chúng tôi biên soạn lần ñầu chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong các ý kiến ñóng góp của ñộc giả ñể cuốn sách ngày càng tốt hơn.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

10

00

B

TR Ầ

N

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP .Q UY

Chương 1

ĐẠ O

C ơ SỞ CỦA C ơ HỌC LƯỢNG TỬ RÚT GỌN

A- Lí th uyết tóm lược .

NG

Lí thuyết cơ học lượng tử (CHLT) xuất hiện vào nửa ñầu của thế kỉ XX ñã làm thay ñổi cơ bản quan niệm về thế giới vi mô và cố tác ñộng không nhỏ ñến nhiều ngành khoa học kĩ thuật hiện ñậi, trong ñó có hoá học.

B

ð ịn h n g h ĩa to á n tử

00

1.

TR Ầ

N

CHLT ñược xây dựng bằng một hệ các tiên ñề dựa trên một loạt các công cụ toán, trong sô' ñó toán tỏ giữ một vị trí quan trọng.

A

10

Một phép tính nào ñó cần thực hiện lên một hàm này ñể cho một hàm khác ñược gọi là toán tử. Gọi  là toán tử tác dụng lên hàm f(x) cho hàm g(x) ta viết: Ảf(x) = g(x)

Í-

Trong số các thuộc tính của toán tử thì tích của hai toán tử là quan trọng nhất:

-L

[Â,B] = 0, tức là Â B = B Â ;Â v à B giao hoán vối nhau.

TO ÁN

[Â,B] * 0, tức l à Â B * B Â ; Ã v à è không giao hoán với nhau.

T o á n tử t u y ế n t ín h

ĐÀ N

2.

Toán tử A là tuyến tính nếu chúng thoả mãn các ñiều kiện:

Â(f1 + f2) = Â f 1 + Â f 2

hoặc

Ẳ (Cjfj + C2Í2) = Cj Â

DI Ễ

N

Â(cf) = c f

+ C2 Â f2 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

3.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

P h ư ơ n g tr ìn h h à m r iê n g v à tr ị r iê n g

ở ñây:

NH ƠN

Phương trình dạng: Â f = af gọi là phương trình hàm riêng, trị riêng, f là hàm riêng của toán tử Â . a là trị riêng.

TP .Q UY

Nếu ứng với mỗi trị riêng ta có một hàm riêng xác dịnh thì phổ trị riêng thu ñược không bị suy biến.

ĐẠ O

A 2^2 Anfn —anfn

NG

Nếu tồn tại một dây các hàm riêng khác nhau cùng ứng với mội trị riêng a thì ta nói phổ trị riêng thu ñược bị suy biến. À l'i - aí-!

00

H ệ h à m tr ự c c h u ẩ n

10

4.

B

 f„ = afn

TR Ầ

N

Ả (2 "

A

Iíệ hàm trực giao và chuẩn hoá kết hợp với nhau và ñược biểu ñiễn dưới dạng hệ hàm trực chuẩn: (f, |fj^ = J*íffjdt - ỗịị khi i * j

1

khi i

j

hệ trực giao hệ chuẩn hoá

TO ÁN

-L

Í-

0

(ñenta Kronecker)

5.

Hệ hàm ñầy ñủ

DI Ễ

N

ĐÀ N

Mộ hàm f,(x), fỵ(x) ... ín(n) ñưựo gọi là hộ hàm ñầy ñủ nếu một hàm bất kì V | / ( x ) có thể khai triển thành chuỗi tuyến tính của các hàm trên, nghĩa là:

Cj

- hệ

Ij/(x) = C] fj (x) + c2 fj((x) + ... + cnf„(n) =

(x) i" 1

số

khai triển;

f'j - hệ hàm cơ sồ.

2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

6.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Toán tử Hermite

NH ƠN

Toán tử Â ñược gọi là toán tử Hermite hay toán tử liên Hơp nếu chúng thoả mãn ñiều kiện:

hay

Jg*Âfck=JẦ*g*fdc Toán tử tuyến tính Hermite có 2 thuộc tính quan trọng là:

TP .Q UY

(g|Âf) = (Âg|f)

- Tất cả các trị riêng của toán tử Hermite ñều là nhũng số thực.

ĐẠ O

- Những hàm riêng của toán tử Hermite tương ứng với những trị riêng khác nhau lập thành một hệ hàm trực giao

Hệ tiên ñề

7.

NG

f r i fj ) = / f*fjd ĩ = 0

N

- Tiên ñ ề 1. Hàm sóng

10

Từ hàm y/(q,t) ta nhận thấy:

00

B

TR Ầ

Mỗi trạng thái của một hệ lượng tử ñều ñược ñặc trưng ñầy ñủ bằng một hàm xác ñịnh Vịí(q,t), nói chung là hàm phức. Hàm Vị/(q,t) gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ.

A

• Hàm sóng nói chung là hàm phức, ñơn trị, hữu hạn, liên tục, khả vi

• Mọi thông tin cần thiết về hệ ñều suy ra từ hàm này.

Í-

• ly(q,t)2l = I V|/1|/* I chỉ mật ñộ xác suất của hệ vi hạt tại toạ ñộ q và thời ñiểm t. Vậy xác suất tìm thấy hạt là:

TO ÁN

-L

d(0 = I (j/(q,t) Ị2 ch ; dx = dv = dxdydz

ĐÀ N

• ðiểu kiện chuẩn hoá của hàm V|/(q,t): /M

2

dt =

1

oo

DI Ễ

N

• Hàm sóng y(q,t) thoả mãn nguyên lí chồng chất trạng thái, hay hàm này lập thành một tổ hợp tuyến tính: V|/ = Cjfj + c2f2 + c3f3 + ... + cnfn = i=l 3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

- Tiên ñ ề 2. Toán tử

/

NH ƠN

Trong cơ học lượng tử, ứng vối mỗi dại lượng vật lí là một toán tỏ tuyến tính Hermite.

Toán tử tương ứng

ðại lượng

x = x ;ỹ = y ;z = z

.. d .,f á

ðộng lưọng thành- phần

(ơx

Px> Py» Pz

ỡ 1

- h 2v 2 q2

P2=

Pz

d ơy

ỡz Ị

q2 — —+ — - + — — ỡx ỡy õz

.

d

Toán t ử Laplace

N

V2 =

NG

Px+ Py+

. . d

p =

.

ĐẠ O

Toạ ñộ X, y, z

TP .Q UY

Liệt kê một số toán tử quan trọng thường hay sử dụng

My

= - i / i (zpx - x p z)

M-,

B

Momen ñộng lượng thành phần M x, M y,

TR Ầ

M* = ift(yp 2 - z p y)

Mj = - ià (xpy - ypx)

00

Momen ñộng lượng M

Ũ =u

•Thế năng Ư(x, y, z) 2

Í-

t =- — v2

-L

ðông năng T = — 2m

+ MỆ + M®

A

10

M2 =

H = -

TO ÁN

Năng lượng E = T + Ư

2m

— v 2+ v 2m

DI Ễ

'0 ; sv = y 2 i 0,

S2 = ấị + ấị + s z2 = —

0

fl 0

; ẽz = z 2

i

0 1

1

0

h '0 ốv = 2 1

N

ĐÀ N

Toán tử spin thành phần và spin bình phương:

0 1

- Tiên ñ ề 3. Phương trình Schrỏdinger

Trong cơ học lượng tủ, sự biến ñổi trạng thái của hệ vi mô theo toạ ñộ ñược xác ñịnh bỏi phương trình:

4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

H»j/(q) = Ev|/(q)

NH ƠN

V|/(q)- hàm sóng chỉ phụ thuộc toạ ñộ gọi là hàm sóng ỏ trạng thái dừng

TP .Q UY

Phương trình Schrõdinger là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất nên các nghiệm ñộc lập f1( f2)... cũng lập thành một nghiệm chung dưối dạng tổ hợp tuyến tính: V = Cjf! + c2f2 + ... + cnfn Nếu

Vị/ ñã

chuẩn hoá thì:

Tiên ñ ề 4. Trị riêng và trị trung bình

NG

-

ĐẠ O

l c j 2 + |c 2 | 2 + ... + Icn I 2 — I Cị I 2 = 1 i=l

N

Những giá trị ño lường một ñại lượng vật lí A chỉ có thể là phổ các trị -riêng an của toán tử tuyến tính Hermite Ả tương ứng theo phương trình trị riêng ỏ thời ñiểm t.

10

00

B

TR Ầ

ÂVn = anVn Nếu hàm I|/n không trùng với bất kỳ hàm riêng nào thì ñại lượng vật lí A vẫn có thể nhận một trong những giá trị aj, a2, a3, ... , an. Trong trưòng hợp này, ñại lượng A không xác ñịnh, nó chỉ có thể xác ñịnh bằng trị trung bình ã theo hệ thức:

(vnl ’ !>/

J MMVfc

Í-

A

{vn\ ÂVn) = / VnM>nả*

ð iể u k iệ n ñ ể h a i ñ ạ i lư ợ n g v ậ t lí c ó g iá tr ị ñ ổ n g th ờ i x á c ñ ịn h ở c ù n g m ộ t tr ạ n g th á i

TO ÁN

-L

8.

ðiều kiện cần và ñủ ñể hai ñại lượng vật lí có giá trị xác ñịnh ñồng thời ở cùng một trạng thái là những toán tử của chúng phải giao hoán.

DI Ễ

N

ĐÀ N

Nguyên lí bất ñịnh Heisenberg là một ví dụ về ñộng lượng liên hợp chính tắc vói toạ ñộ không ñồng thời xác ñịnh. X px - px X = i h

Py - Py ỳ = Ì Â

zpz - ỳ z i= ih 5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Một sô' hệ thức giao hoán thường gặp:

[M y , M J

NH ƠN

[M*, =i h ũ x

TP .Q UY

[M,, Mx] = ifcMy [M2, Mx] = [M2, My] = [M2, M J = 0 [Sx , Sy] = ìh ấ z

[ S z>

ĐẠ O

[Sy, S J = i£ S x Sx ] = i h S y

NG

[S2, Sx] = [S2, Sy] = [S2, Sz] = 0

TR Ầ

N

[Â,B] = Â Ẻ - BÂ =0

Một sô" biểu thức giao hoán tử hay sử. dụng:

[Â,B + C] = [Ẳ,B] + [Ả,C]

00

B

[Â + B,C] = [A,C] + [B,C]

10

[Â ,B C] = [Â,Ố]Ô + Ể[Â ,C]

A

[Â Ố,C] = Ẳ [B,C] + [Â ,C]B M ột s ố ’b iể u th ứ c c ầ n g h i n h ớ

Í-

9.

-L

• ðịnh luật Planck về sự lượng tử hoá năng lượng dòng photon.

TO ÁN

En = nhv;

với n = 1 , 2, 3...

ĐÀ N

• Hiệu ứng quang ñiện:

V-

2

tần sô' ánh sáng tối;

v0 - tần sô' ngưỡng quang ñiện.

DI Ễ

N

.trong ñó:

hv = hv0 + ỉ mv2

• Hiệu ứng Compton: AX = X - X 0 = —

mc

(1-C O S 0) = 2 —

mc

s in 2 - , 2

6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

trong ñó:

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X0 - bưóc sóng tới ban ñầu; ;

AX - ñộ tăng bưổc sóng X của photon khuếch tán. • Hệ thức de Broglie vói lưỡng tính sóng - hạt của photon:

Khi mồ rộng cho bất kì hệ vi h ạt nào: p

ĐẠ O

mv

!

TP .Q UY

x = zmc r

4.

NH ƠN

X - bước sóng khuếch tán;

NG

• Nếu electron chuyển ñộng trong một ñiện trưòng v.di hiệu ñiện thế là u von thì:

m - khối lượng hạt;

N

với:

(2mqU)1/2

TR Ầ

- q - ñiện tích hạt; h = 6.62.10-34 J.S là hằng sô' Planck.

00

10

AxAp* > h

B

• Eệ thức bất ñịnh Heisenberg:

AxAvx > — m

A

hay:

h = — = 1.05.10-34 J.S là hằng sô' Planck rú t gon; 27t

với:

-L

Í-

Ax - ñộ bất ñịnh về toạ ñộ theo phương x; Apx - ñộ bất ñịnh vể ñộng lượng theo phương x;

TO ÁN

Avx - ñộ bất ñịnh về vận tốc theo phương X.

DI Ễ

N

ĐÀ N

• Sự áp dụng CHLT vào một sô' hệ lượng tử cụ thể sẽ ñược ñê cập ở các chương tiếp theo.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

9

Bài tập áp dụng

NH ƠN

B-

1.1. Thực hiện các phép tính sau ñây: a) Â( 2 x ) ,

a -

b) Ầ(x2) ,

 = --ĩ + 2 ~ +3 dx dx

* ■

TP .Q UY

d -“ả

NG

d) Â(eikx)

ĐẠ O

>• 1! «< I*

Á (x /

c)

4dx

A(x*) = ■-—5- X2 + 2—

b)

dx

x

2 + 3

x

2

B

dx

0

N

=

TR Ầ

a) Ẳ( 2 x)==- ị ( 2 x)= dx dx

Trả lời

10

00

= 2 + 4x + 3x2

A

c) Ẳ(sy3) = ệ K H xy2

Hỏi các toán tử cho dưới ñây có phải là toán tử tuyến tính hay không?

-L

1 .2 .

Í-

d) Â(eikx)| = - if ii- ( e ikx) = - i 2 k/ieikx =

f(x) = c1f1 (x)+c 2 Í2 (x)

x 2 .f(x) mà

f(x) = c1f1 (x) + c2 f2 (x)

 f(x )---Ịf(x)]2 mà

f(x) = C1f1(x) + C2f2 (x)

TO ÁN

a) Áf(*).-= /(* ) b) Âf(x)

ĐÀ N

c)

DI Ễ

N

Trả lời

a) Âf(x) = (7 ^1 fi7 x) + c2 f2 (X)j * a/c^i (x) + ^

2^2 (x)

==>A không phải là toán tủ tuyến tính.

8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

b) Âf(x) = x2(c1f1(x) + c2f2(x)) = x2c1f1(x) + x2c2f2 (x)

■'

NH ƠN

= x 2 (c1f1 (x) + c2 f2 (x)) => A là toán tử tuyến tinh.

TP .Q UY

c) Âf(x) = (c1f1 (x) + c2f2 (x ))2 = (cff12 (x) + c |f |( x ) + 2c1c2f1(x)f2 (x)Ị

^ c 1f12 (x) + c2 f | (x)

ĐẠ O

=^- A là không phải là toán tử tuyến tính.

NG

dn 1.3. Chứng minh rằng eax là hàm riêng của toán tử —— . Trị riêng trong dx11 trường hợp này là bao nhiêu?

N

Trả lời

10

00

— eax = a neax dx11

B

TR Ầ

dn Ta thực hiện phép ñạo hàm —— ñối vói hàm eux sẽ có kết quả sau: ñxn

A

dn Vậy e“x là hàm riêng của toán tử —— và trị riêng là ctn . dx11

Í-

1.4. Cho f(x) = ếikxlà hàm riêng của toán tử px . Hãy tìm trị riêng bằng

-L

bao nhiêu?

TO ÁN

Trả lời

Thực hiện phép pxf(x) ta có: -iA— ỊeikxỊ= - i 2k/íeikx - k/ỉeikx

ĐÀ N

Trị riêng là k/ỉ. X2

và f(x). Hãy chứng minh:

DI Ễ

N

1.5. Cho toán tử Ả = — , B = dx a) Â2f(x) =* ỊÂf (x)Ị-

b) ÂẾf(x)*ỂÂf(x) 9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời _d_ f(x) dx dx

d2f dx2

NH ƠN

a) Â2 f(x) = Â[Âf(x)Ị:

df ì2 dx

TP .Q UY

ảl ỉ dx dx2 df b) ÂBf(x) = - ^ ( x 2)f = 2xf(x) + x2^ f(x)

ẺÂf(x) = x2— (f) = x2- ^ v’ dxw . dx

ĐẠ O

Như thế: ÂẺf (x) = BAf(x) hay A & B không giao hoán với nhau.

c)

TR Ầ

N

NG

1.6. Hãy xác ñịnh hàm g(x) thu ñược khi cho toán tử ủ tác dụng lên hàm f(x) trong các trường hợp dưới ñây: _ 2 a) ũ = X ; f(x) = e x d f(x) = e b) ũ = dx ũ = ĩ (toán tử nghịch ñảo); f(x) = X2 - 3x + 5

00

10

f(x, y, z) = xy - xz + yz

B

d) ũ = c4 (toán tử quay quanh trục z một góc bằng 90°);

Trả lời

A

Theo ñịnh nghĩa về toán tử ta có: ũf(x) = g(x) _

2

_

2

-L

Í-

a) Nếu ủ = Xvà f(x) = e x ta viết: X. e x = g(x) d 2 b) Nếu ũ = —- ; f(x) = e x thì toán tử g(x) có dang: dx

TO ÁN

Ậ ( e - x2) = - 2 x e - x2 = g(x) ck

ĐÀ N

c) Khi ủ = ĩ là toán tử nghịch ñảo thì có nghĩa các trục toạ ñộ ñược chuyển từ X sang - x; y sang - y. Vậy: ĩ (x 2 - 3 x + 5 ) = X2 + 3 x + 5 = g (x)

N

d) Toán tử c4 quay quanh trục z theo một góc bằng 90°, có nghĩa là

DI Ễ

X -> y; y

- X và z -> z. N h ư vậy: c4 f(x, y, z) = —yx —yz - xz = g(x).

10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

d hãy xác ñịnh hàm sóng mói thu ñược dx khi thực hiện phép nhân toán tử cho các trường hợp sau: a)

X ủ

và ù =

X = X

b)

;

NH ƠN

1.7. Cho toán tử

ũ X

Biết hàm f(x) = e ' x .

TP .Q UY

Trả lời

Chúng ta thực hiện phép nhân hai toán tử với nhau theo tính chất của chúng sẽ dẫn ñến hàm sô' mổi. Quả vậy. ủf(x) =x--d-. [f(x)J = x y- ( e 'x”) dx (ix = x( b)

ủ x f(x ) =

2xe

ĐẠ O

X

) = - 2xi e~*Z = g(x)

x[f(x)] = ~-(xe"x”)

NG

a)

dx

B

TR Ầ

N

dx

'ỉ

X2

------ - . Hãy xác dx2

10

00

1.8. Biết f(x) = e_x 12 là hàm riêng của toán tử h =

A

ñịnh trị riêng khi thực hiện phép hf(x).

Í-

Trả lời

TO ÁN

-L

ị Ạ dx ñx

2.e -XT’/2 + e - X

= X

/2

■x.xe -x^/a

N

ĐÀ N

Thực hiện phép lấy ñạo hàm ------ ta có: dx

DI Ễ

hay:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Như vậy:

íì e

*2/2

= + l. e

*2/2

1.9. Hãy chứng minh các toán tử dưới ñây là toán tử tuyến tính: dn dx11

c)

TP .Q UY

a) ả b>Ịắ+i, ^ d

Trả lời

NG

Theo ñịnh nghĩa của toán tử tuyến tính ta có:

dy

N

(C ỊÍ! + c 2f2) = C x - i + c 2 - ±

ax

ax

ỷ C j - i + c2- 4

ay

ay

00

B

dx

TR Ầ

a) -f-(cx ^ + c2 f2) = C j - i + c2- ^ dx dx dx

b)

ĐẠ O

d) * V2

Vây — là toán tử tuyến tính, dx

NH ƠN

Rõ ràng trị riêng thu ñược là +1.

10

Vậy — + — là toán tử tuyến tính, dx dyj d d d dx dx dx

A

+ c 2f2) =

dn (c ^ i dx11

Í-

c)

dx

_d_ dx dx

_d_

d _d_ dx dx dx

fri X + c2 A f -

TO ÁN

-L

= Ci

(Clfl + c2f2)

DI Ễ

N

ĐÀ N

Thực hiện các phép ñạo hàm ta thu ñược kết quả thoả mãn ñiều kiện dn tuyến tính. Vậy toán tử —— là toán tử tuyến tính. dx11 j2 j2 j2 d) V = —— + —— + —- là toán tử Laplace, dx dy dz2 Thực hiện phép tính v 2(cifi + C2f2) ta có: ,2 2 d + dz | jdz dx2 dy2 dz2

(C ]fi + c 2f 2)

12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP .Q UY

Kết quả thu ñược thoả riiãn ñịnh nghĩa về toán tử tuyến tính. Vậy toán tử Laplace là toán tử tuyến tính. 1.10. Cho toán tử Â = - i-^- (i = V—ĩ) . Hãy chứng minh toán tử Â là

ĐẠ O

dx Hermite. Biết X nằm trong (—00 , + oo).

NG

Trả lời

Nếu  = —i — thì  = i — dx dx

-too

TR Ầ

N

Theo ñịnh nghĩa về toán tử Hermite ta có: J g Âfdx -ro

+x>

00

-too

B

, . .V , . ĩ = - i. d Áp dụng cho trường hợp  dx

—i J g — dx = - i J g df. — oo — CÚ Ịb b b Theo phép tích phần từng phần J vdu = uv - J udv ta có:

A

10

ta viết:

J

-L

-i

Í-

-\ru

.a +00

g*df = - igf

a

+ i J fdg* -TXJ

TO ÁN

-o u

3

Khi X = ± 00, các hàm f và g ñều tiến tói 0. Do vậy biểu thức - igf = 0. Cuối cùng ta viết:

ĐÀ N

+XJ

-fou

400 J *

-kxj

/

,

+x>

J g*Âfdx = i J fdg* = i J

—o o

—o o

—TXJ

f g dx -DO

-o o

DI Ễ

N

d So sánh kết quả thu ñược với biểu thức ban ñầu, toán tử A= - i — là dx

toán tỏ Hermite.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

1.11. Cho toán tử  là Hermite. Nếu nhân toán tử  với một số thực Ị, thì c  có phải là toán tử Hermite hay không ? Trả lời

J g*Âfdx= J f g dx

J g*(c  ) f d x

=

J

ĐẠ O

Nhân 2 vế của biểu thức này vối c là sô' thực (c = c*) sẽ có: ** * p A* * / g A f dx = c Ị {A g dx hay

TP .Q UY

Từ ñịnh nghĩa về toán tử Hermite ta có:

f.(c  )g*dx

NG

J g*B f dx= J f (B*g*)dx

Biểu thức cuối cùng thu ñược chỉ rõ B = c A là Hermite.

TR Ầ

N

1.12. Cho A và B là hai toán tử Herxnite. Hãy chứng minh tổng A + B cũng là Hermite?

B

Trả lời

00

Theo ñầu bài và từ tính chất của toán tử ta có thể viết:

if

it

fA g d x +

J

p

A

A

f B g ốdx

= J* f (Â + B ) g d x

Í-

A

10

J g (Â +Ề) f dx = J g*Âf dx + J g *B f dx

TO ÁN

-L

So sánh biểu thức cuối cùng với biểu thức ñầu tiên rõ ràng tổng ( A + B) cũng là Hermite. 1.13. Biết  và B là những toán tử Hermite, chứng minh tích  B cũng là Hermite nếu A và ồ giao hoán vối nhau.

ĐÀ N

Trả lời

Từ giả thiết ban ñầu ta viết:

g*Â Bf dx = J g*Ã (Êf)dx

DI Ễ

N

Mặt khác do  là toán tử Hermite nên : J g* (Bf)ảx=J (Bf)Ầ*g*dx

14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

và cũng do B là toán tử Hermite nên:

NH ƠN

f (Bf)Â*g*dx = JfỐ * (Â V )d x

Chúng ta lại biết AB = BA nên:

J

. A *

* *

*

p

. A * * *

*

f è (Â g)dx = / í Â ề g d x

TP .Q UY

Kết quả này chỉ rõ tích A B là toán tử Hermite.

NG

ĐẠ O

1.14. Hãy chứng minh những hàm sau ñây hàm nào là hàm riêng của toán d tử ñx eikx e) e -ax2 a) c) k b) coskx d) kx

Trong từng trường hợp trên hãy chỉ rõ các trị riêng tương ứng. Trả lời

N

Phương trình hàm riêng, trị riêng có dạng: Âi|/ = ay

TR Ầ

Áp dụng cho từng trường hợp ta có các kết quả sau:

d

•>

00

B

a) — (eikx) = ikeikx. N h ư thế hàm eikx là hàm riêng của toán tử — và dx dx trị riêng tương ứng là ik.

A k không phải là hàm riêng, kx không phải là hàm riêng,

TO ÁN

d) —- (kx) = k. dx

-L

Í-

c) — (k) = 0 . dx

hàm riêng của toán tử — . ñx

10

b) — (cos kx) = - ksinkx. ớ trường hơp này hàm coskx không phải là dx

e) — (e_ax ) = - 2axe_ax . Hàm e_ax ñx

cũng không phải là hàm

ĐÀ N

riêng của toán tử — bỏi vì 2 ax không phải là hằng số. dx

DI Ễ

N

1.15. Xác ñịnh giá trị trung bình của ñộng lượng tuyến tính hình chiếu px ñược mô tả bằng các hàm sóng sau ñây: a) eikx ;

b) coskx ;

c) e-ax 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Toán tử ñộng lượng tuyến tính theo phương X có dạng: ì _ • * jdu Px = ~ í h -Tdx

/

f

\

V*PxV< &

r ỉ —

ĐẠ O

( p* / =

TP .Q UY

Giá trị trung bình của px ñược xác ñịnh bằng biểu thức:

NH ƠN

Trả lời

NG

Áp dụng cho từng trường hợp:

N

TR Ầ

, . -ifc.ik (Viị/dx ( p* ) = ---- Ịf \ự ydx =~i

a) yx = eikx---- > ^ = ikeikx = ikv dx

=kÃ

10

00

B

b) \)/x=coskx------» — = - ksinkx ; dx

y — dx = I coskx(-ksiríkx)dx dx J -00

I

-L

J -O0

CO

Í-

00

A

VỊÍ* = coskx

00

=- k J

coskxsinkxdx = 0

TO ÁN

—00

Vậy ( Px ) = 0 .

DI Ễ

N

ĐÀ N

c) \|/x = e-ax ----- > — = - 2 ax e~ a*2 dx ( p* )

= Ĩ

—00

V

dx

16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

= J e a*2 (-2 ax e a*2 )dx —oo oo

TP .Q UY

-2 a x

= - 2a /

=0 Í2Ì1/2

ĐẠ O

1.16. Cho hàm sóng fn (x) = —sin— X vôi 0 < X < a mô tả chuyển ñộng v^/ ^ của electron trong giếng thế một chiều. Hãy chứng minh hệ thức:

NG

(E 2y - ( E ) 2 = 0 .

N

TR Ầ

h2 d 2 toán tử năng lượng có dang: H = — 2m dx2 ’

Trả lởi Khi electron chuyển ñộng trong giếng thế một chiều thì u(x) = 0,

(x)Hfn (x)dx. Thay fn(x) vào ta có:

00

(E) = J

B

Năng lượng trung bình (E) ñược tính theo biểu thức sau:

(E )= / ' ' ■'U J

. __ nroc h-2 d,2 | 2 | sin— - - —— —5- a 2m dx2 va

A

a / 0 \l/2 rí2 )

10

0

___ i nitx , sin——dx a

TO ÁN

-L

Í-

2 ft2 r . nux d2 . nux . = — —— I sin——------ s in ——dx a 2m J a dx2 a

DI Ễ

N

ĐÀ N

Ĩ17ĨX 2 h2 nu r . n7ix d :os a 2m a a dx a

2 Ã2 rnu a 2m a

, nnx . mcx . sin —— sin —— dx

•v2 a a \2

_ 2 nrcx, sin — ma fa J J/ a ' 0

17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ma I a Ã2 r me I2 mai a )

r

Ỉ Ĩ Ị 1 + K,s Ỉ 2 S k 2 J0 l a a

1

a

/ dx +/

2

0

NH ƠN

Ã2 íI17t

2 n 7tx , cos— dx

0

TP .Q UY

_

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ã2 ( nrcl2 -flxH------1[ a sin . — 2 mi ——X 2 nu ma( a

h2 ,*!E ĨỈ . 2 _m n a 2 92 4it

1 1 2

NG

_ ft2 I"nu |[ a + 0 -0 )] m ai a _a2 a_ ,ft2 _n 2_2 ftfc2 nícl n ma m a2

ĐẠ O

—___ _

n 8oma 2 •

TR Ầ

N

ðối vối trường hợp ( e 2^ ta cũng tính tương tự:

B

(E2) = /f* (x )H 2 fn (x)

00

=/(!)

21

10

d2 — a ị 22 m m[dx2jị [dx2] Ua)

A

J(aj

, nTtx , sin—— dx a

Í-

2 ft4 r , nux d4 . n7ix , = —— I sin——----- - s in —— dx a 4m Q a dx a

TO ÁN

-L

Thực hiện phép ñạo hàm 4 lần ta có: .4 * . nnx , /r,2\_ Z « r • 1 d 2 i d 2 ]sin—— dx (E a dx2 dx2 ' ') = a “4m 2 J0/ sin

DI Ễ

N

ĐÀ N

2 h

2 a

__

,2

n7t I r . hitx d

a 4 m* a 2 h4 n7t' a 4m 2 , a

, mix ,

I sin——---- - s in —- d x J0 a dx a

2/ _\2 a .

nTCl r • 2 n7tXj — I sin ——dx a 'I J0 a

18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

?ỊÌ/H22rh

NH ƠN

h4 'ỉlTt' a 4m2 l a ]

‘7T4 4 h h 4 n- 4=n 16it4 4m2 a 4 64m2a4

h4 nrc' a 4m2 , a 2 2

TP .Q UY

2

2

Vậy ( e 2) =

8 ma

ĐẠ O

So sánh với kết quả tính ñược cho (E ), ta có: Ị e 2^ -(E )2 = 0 . ðó là ñiểu cần chứng minh.

NG

1.17. Cho hàm. sóng mô tả trạng thái của một vi hạt có dạng:

lị/ = (cosx)elkx + (sinx)e- ikx ỏ ñây X là tham số. Hăy:

TR Ầ

N

a) Cho biết trị riêng của toán tử px và biểu thức hàm riêng mô tả toàn trạng thái của hệ khảo sát

00

B

b) Viết dạng hàm sóng VỊ/ trên ñây nếu xác suất tìm thấy vi hạt ñạt ñược 90% ứng với px = +k h. Biết eíkx là hàm riêng của toán tử px.

10

Trả lời

A

Theo ñầu bài: \Ị/(cosx)eikx + (sinx)e~ikx

Í-

Áp dụng phương trình hàm riêng trị riêng ta có:

TO ÁN

-L

a) PxVi = -i/ỉ-^ -(e ikx) = - i/ỉikeikx = kft(eikx) dx + k h là trị riêng của px .

ĐÀ N

px v 2 = - i h - - (e~ikx) = - i h (- ik)eikx = - k h (eikx) dx - k h là trị riêng của px.

Theo tiên ñề

DI Ễ

N

1|/

1

của cơ học lượng tử thì:

= (cosx)eikx + (sinx)e~ikx hay

= cxeikx + c2e~ikx cũng là hàm riêng mô tả trạng thái của hệ vi hạt.

19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

b) ðể viết dạng hàm sóng cụ thể, ta lại biết xác suất tìm thấy vị hạt

NH ƠN

là: = cos2x = 0,90------- » cosx = 0,95

Pi =

p2 = c | = sin2x = 0,10-----» sinx = ± 0,32

TP .Q UY

Vậy lị/ = 0,95eikx ± 0,32 e~ikx

ĐẠ O

1.18. Biết toán tử tuyến tính  ứng với trị riêng duy nhất a có k hàm riêng f1; f2, ... fjj, hãy chứng minh rằng bất cứ tổ hợp tuyến tính nào của các hàm riêng nói trên cũng là hàm riêng cuả toán tử  ứng với trị riêng a. Trả lời

NG

ðể tiện lợi cho cách giải ta xét trường hợp hàm riêng suy biến bậc 2. Theo giả thiết ban ñầu ta có:

A f^ a fi

(2 )

N

Âf2 = af2

... (1)

c1 Ảf 1 = c1af1

TR Ầ

Ta nhân lần lượt phương trình (1 ) vdi cx và (2) với c2

00

B

c2Ầĩl =c2'aỉi__________

10

CxAfx + C2 Âf 2 = c1af 1 + c2af2

A

Vì Â là toán tử tuyến tính nên ta viết:

 (Cjfi + c2f2) = a ( c ^ + c2f2)

(3)

tổ hợp (Cjfj + C2f2) ồ phương trình (3) là hàm riêng của toán tử tuyến tính A

Í-

ứng với trị riêng a duy nhất.

TO ÁN

-L

Từ kết quả thu ñược của bài toán này ta suy rộng cho các trường hợp không có suy biến, nghĩa là ứng vổi các hàm fx> f2... có các trị riêng alt a2... khác nhau. Trong trường hợp này ta nhận thấy: Â (c^! + c2f2) =

(4)

* a 2 nên tổ hợp Cjf-L + C2Ỉ2 không là hàm riêng của toán tử A .

ĐÀ N

Do

+ à 2c2f2

N

1.19. Hãy chứng minh các trị riêng của toán tử Hermite ñều là những sô"thực.

DI Ễ

Trả lời Xuất phát từ phương trình trị riêng ta viết: A f-a fj

(1)

20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Lấy liên hợp phức hai vế của phương trình (1 ) sẽ là: í * «*

* -*

(2 )

NH ƠN

 fj = a* fj

Nhân (1 ) vói f . và lấy tích phân ta ñược:

(3 )

TP .Q UY

/ £j*Âfjdx = &ịj ỉ*fjdx •Một cách tương tự nhân (2) với fj: Jfj *f* d x= a* J fj*fjdx

(4)

ĐẠ O

Do A là toán tử Hermite nên từ (3) và (4) dẫn ñến: ãj J ỉ* fj dx = a* J fj* fj dx

a.j = a*. ðó là ñiều cần chứng minh.

NG

hay

£ |Â f ị > = ( í l a jfj } =aj{ tp f j )

TR Ầ

N

£i = ajfj ^ {

Bài toán này cũng có thể biểu diễn dưới dạng tích vô hướng.

K *<

f>*i o)

(n «

B

So sánh hàm (1 ’) và (2’) rõ ràng aj = a*.

A

10

00

1.20. Những hàm riêng của một toán tử Hermite Ả ứng với những trị riêng khác nhau sẽ lập thành một hệ hàm trực giao. Hãy chứng minh ñiều này. Trả lời

là hai hàm riêng bất kì của toán tử A ứng vối hai trị riêng

Í-

Gọi fj và

TO ÁN

giả thiết ta có:

-L

ãj và ajc khác nhau (aj * a^) ta phải chứng minh J fj f£ dx = 0 . Quả vậy, theo

A fj= a j$

DI Ễ

N

ĐÀ N

nhân (1 ) với

(1)

và lấy tích phân ta có: J f£ Â fjdx - ãj J f£ fjdx

(2 )

Vổi hàm riêng fk của toán tử Â, phương trình trị riêng có dạng: Â fk = ak fk Ẵ X = «k

hay liên hợp có dạng: (3) 21

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

nhân (3) với fj và lấy tích phân ta có: (4)

Trừ (3) vối (4) ta có biểu thức sau:

Do A làIlerm ite nên vế trái của (5) bằng 0 (aj - a^) J fkfjdx = 0 ;

J

fjdx = 0 . ðiều này có nghĩa hàm riêng fk và í'i trực giao với nhau.

ĐẠ O

nên

(ãj - a£) t- 0

(5)

TP .Q UY

J f£Âfjd x - f fj f£ñx = (aj - a£) J fkfjdx

NH ƠN

f ỉ j Ả * £ d x = a*k f £fjdx

(ðộc giả có thể biểu diễn bài toán này dưối dạng tích vô hưổng).

NG

1.21. Cho hàm f = cosax.cosby.coscz, hãy: b) Tìm trị riêng tương ứng vối hàm riêng f.

TR Ầ

'..2 dx 2

+ -^ỉ— J..Z dy dz2

B

a) Toán tử Laplace có dang V2 =

N

^

Trả lời

a) Chứng minh hàm ñã cho là hàm riêng của toán tử Laplace V2.

v 2f=kf

hay

d^_’

d2_d^

dz2

10

Í-

dy2

cosax.cosby.coscz =

-L

dx2

A

Thực vậy:

 f = af

00

Ta thực hiện phép tính của phương trình trị riêng:

TO ÁN

d2 d2 d2 —- (cosax.cosby.coscz) + —— (cosax.cosby.coscz) + ——(cosax.cosby.coscz) dy2 dz2 dx2 Ta thựchiện phép lây ñạo hàm bậc 2theo X , y và zsẽ dẫn tói kết quả.

ĐÀ N

d2 —^ (cosax.cosby.coscz) = - a 2(cosax.cosby.coscz) = - a2í dx

DI Ễ

N

d2 —y (cosax.cosby.coscz) = - b 2(cosax.cosby.coscz) = - b2f dy

_d_2 -ỹ (cosax.cosby.coscz) = - c2(cosax.cosby.coscz) = - c2f dZ

22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

dx

+

+ -d - Ị f - - (a2 + b2 + c2)f dz J

dy

Biểu thức cuối cùng ñã chỉ rõ hàm f chính là hàm riêng của toán tử Laplace.

NH ƠN

Cuốỉ cùng ta có biểu thức:

COS

- X là trưc giao trong a

ĐẠ O

1.22. l-Iãy chứng minh hàm f'l = sin - X và Co = a khoảng xác ñịnh 0 < X < a.

TP .Q UY

b) Cũng từ biểu thức thu ñược giá trị -(a 2 + b2 + c2) là trị riêng của toán tử Laplace trong hệ toạ ñộ Descartes.

Trả lời

NG

Ị fj fj dt = 0 .

Theo ñiều kiện trực giao

0

TR Ầ

0

J a

- x.cos--xdx a a

B

2 sin

00

=— I 2 “

N

f fifodx = [ sin -x .c o s-xdx J ' J a a

Xét cho hai hàm f] và C.J ta có:

a

J

0

2

a i 2k cos X , 271J " a (1

- 1) = 0

-L

Í-

2

1

A

1 rI sin o2 u■X dx

10

Do 2 sinO.cosO = sin2G nên ta viết:

TO ÁN

Vậy f) và ũ) là hai hàm trực giao vối nhau. 1.23. Cho toán tử A và B là tuyến tính và Ilermite. Hãy cbứng minh rằng khi 2 toán tử này giao hoán với nhau thì chúng có cùng hàm riêng f.

ĐÀ N

Trả lời

Dạng tổng quát của phướng trình hàm riêng và trị riêng là: (1)

N

 f= ả f

DI Ễ

Nhân trái hai vế của (1) vói ồ ta có: B Á f = Ố af= aỐ f

(2 ) 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Do Ả và B giao hoán với nhau nên ta có hệ thức:

#

 Ề f = B  f = Ả(Bf) =  b f= b  f

(3)

Từ (2) và (3) dẫn tối Â(Ềf) = a(Bf)

(4)

TP .Q UY

Phương trình (4) chứng tỏ Ẻf là hàm riêng của toán tử Â Ta ñặt Bf = 4 sẽ có:

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Ằ ể = aSÍ

(5)

Như vậy f và ^ ñều là hàm riêng của toán tử Â ứng vói trị riêng a.

có dang px=

- ih — .

dx

và cho biết ý nghĩa của nó.

TR Ầ

N

Từ giá trị này hãy tìm hàm riêng Trả lởi

X

NG

1.24. Toán tử ñông lương thành phần theo phương

ĐẠ O

Mặt khác ta lại biết: ế = hằng số *f nên Bf = hằng số *f = bf. Vậy f là hàm riêng của toán tử A cũng là hàm riêng của toán tử B. ðó là ñiều cần chứng minh.

ðe xác ñịnh hàm riêng VỊ/px ta áp dụng phương trình trị riêng:

B

Px V=Px V

00

ở ñây Vj/ là hàm riêng và px là trị riêng của px . Thay giá trị px ta có:

10

i h

7 PxV

Lấy tích phân biểu thức sẽ dẫn ñếnkết quả:

lni|/ = ■■pxx + lnA h

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

..

. . dvư, dw ih = PXV|/ h ay — = dx dx

A

-

pxx

N

Cuôi cùng hàm riêng MJp = A. e

uhay

V = eĂ — n x

~ r xx

ðây chính là hàm riêng của toán tử px và nó tồn tại vâi mọi giá trị

DI Ễ

thực của px. Các giá trị px lập thành một phổ liên tục và có thể có những giá trị liên tục bất kì.

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1.25. Cho biết toán tử mômen ñộng lượng hình chiếu theo phương z là

NH ƠN

M_ = - ih —. Hãy xác ñịnh hàm riêng của toán tử này và cho biết các 9 giá trị khả dĩ (trị riêng) của toán tử M j. Trả lời

TP .Q UY

Giải bài toán này ta cũng sử dụng phương trình trị riêng: M_,<ị>= Mzộ. ở ñây ộ là hàm riêng và M2 là trị riêng của toán tử Mj,. Phương trình trên

cup

- i h — = m/ịộ

h a y - i — = m(|>. d<p

v

dtp

jf — = im J d(p

(2)

TR Ầ

N

Lấy tích phân sẽ có:

( 1)

NG

Mặt khác, ta ñặt M2 = m h vối giá trị m chưa biết:

ĐẠ O

có dạng:

In ộ = im(p + lnA

B

hay

(|)=A.eirĩ><|)

(3)

00

ln — =imcp A

hoặc

A

<ị)(tp) = <ị>(27t + (p). Từ ñây ta viết:

10

ộ chính là hàm riêng của toán tử Mz. Hàm riêng ộ phải là ñơn trị nên

A. eim<l’ = A.eim(,p + 2,t) = A.eirn<p.eim2ít eim2,t= l

.

(5)

Í-

'hay

(4)

-L

Sử dụng hệ thức Euler e1'15= coscp + isin ẹ cho trường hợp trên ta có: =1

(6 )

TO ÁN

eim27t = cos27tm + isin27ĩm

V ế phải của (6) là số thực nên v ế trái cũng phải thực, như th ế sô" hạng

isin 2 T: phải triệt tiêu, nghĩa là:

DI Ễ

N

ĐÀ N

sin27rm = 0 = sinkii

2nm = kn

k=0 , ± 1 , ±2 ... nguyên sẽ k 1 3 m = — = 0, ± —, ± 1, ± —,± 2... n g u y ê n h a y bán n g u y ê n 2 2 2

dẫn ñến (7)

Mặt khác từ (6 ) ta lại có: 25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

cos2 um = 1 = cos2 ku 2 itm

t

= 2 ku

NH ƠN

k = 0, ± 1, ± 2 ... nguyên sẽ dẫn ñến m = k = 0, ±1, ± 2, ± 3 ... nguyên

(8)

TP .Q UY

Kết hợp ñiều kiện (7) và (8 ) thì m bắt buộc phải là số nguyên. Như vậy khi Mz = m h thì m chỉ có thể nhận các giá trị gián ñoạn. Mz = Oh, ± Ih, ±2h , ± 3 /ỉ... nghĩa là Mz lập thành phổ trị riêng gián ñoạn. Nói cách khác Mz ñã ñược lượng tỏ hoá.

i=l

NG

ĐẠ O

1.26. Cho hàm X|/ ñược khai triển dưới dạng tổ hợp tuyến tính (theo nguyên n lí chồng chất trạng thái). VỊÍ = CịÍì + C2 f2 + c3f3 + ... + cnfn= Ỵ ' Cjfj. Hãy chứng minh ồ trạng thái hàm sóng 1|/ mô tả hệ lượng tử có tổng

bình phương môñun hệ sô" khai ,triển bằng ñơn vị, biết rằng các hàm

Trả lời y = Ỵ2 ciA i

(1)

B

Theo ñầu bài ta có:

TR Ầ

N

sóng ñều chuẩn hoá.

10

j

(2)

00

Iiàm liên hợp phức là:v|/ -Ỵ 2 C* fj

i |A | / ñ x = ^ i

TO ÁN

-L

Í-

J

A

Do các hàm sóng ñã chuẩn hoá nên:

1

IC ị 12 =

fj*fjdx

j

E

cJ ci5ij= 1

khi i ^ i khi i = j

1.

ðó là ñiều cần chứng minh.

ĐÀ N

Vậy ^

0

=E

Y2 C;C* j

1.27. Xuất phát từ phương trình chính tắc của cơ hoc lương tử: iti ~ = Hi|/ <9t

DI Ễ

N

với Iị/(q,t), hãy:

a) Thiết ]ập phương trình Schròdinger ỏ trạng thái dừng với <ị>(q). b) Cho biết ý nghĩa của hàm <ị>(q) trong phương trình vừa xác lập ồ câu (a).

26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

. WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời

NH ƠN

a) Phương trình Schrõdinger phụ thuộc thòi gian có dạng: ( 1)

=

TP .Q UY

Hàm y(q,t) có thể phân tích thành hai thừa sô': một thừa sô' chỉ phụ thuộc vào to ạ ñộ (Ị»(q) và một chỉ phụ thuộc vào thời gian f(t): Vị/(q,t)=<j>(q)f(t)

(2 )

Thay (2) vào (1) ta có: i h - ị- [<ị>(q)f(t)] = H [<|>(q)f(t)] ơt

ĐẠ O

Do H không tác dụng lêri f(t) nên ta có:

dt

=

(Ị>(q)

f(t)

NG

i / / ộ ( q ) ^ =f(t)H<|>(q) at

(3 )

_

00

i # fM

d f(t)

d U E

10

1

B

TR Ầ

N

Vì hai vế của phương trình (3) phụ thuộc vào 2 biến số q và t khác nhau nên chúng chỉ có thể nghiệm ñúng khi cả 2 vế bằng một hằng số. Ta gọi hằng số ñó là E. Lúc này phương trình (3) ñược tách thành hai phương trình và mỗi phương trình chỉ phụ thuộcvào một biến số. Từ (3) ta có: hay ■

A

M < ll= _ÌEdt f(t) h H<Kq) _E u — -- =

Í-

u

hay

-L

*(q)

(4)

,

(5)

TO ÁN

H(ị)(q) = E<Ị)(q)

ĐÀ N

Phương trình (5) chính là phương trình Schrởdinger ỏ trạng thái dừng với hàm <|>(q). ðó chính là phương trình hàm riêng, trị riêng rất hay gặp trong các bài toán của hoá lượng tử. b) ðể tìm ý nghĩa của hàm <ị>(q), trưóc hết ta giải phương trình (4) ñể

DI Ễ

N

xác ñinh hàm f(t). Quả vây:

Ị tí- - = - - E Í d t u f(t) h J lnf(t) = - - Et + lrvc h 27

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

— Et lnf(t) = lne h + Inc

#

NH ƠN

--Et f(t) = c. e h --Et --Et Hàm ñầy ñủ có dạng: V|/(q,t) = ộ(q)c. e * = <|>(q) e n

(6)

TP .Q UY

Ta không cần xét hệ sô' c vì hàm sóng trong cơ học lượng tử ñược xác ñịnh ñến một hằng số tuỳ ý. \Ị/*(q,t) = ộ*(q) eft

ơ)

ĐẠ O

Ý nghĩa của hàm sóng ñược biểu diễn thông qua hệ thức:

NG

IVị/ (q,t) 12 = Ilị/ V* I. Quả vậy:

|y\ị/ I =ộ(q) e h .<|> (q)e;'

= <|>(q)<ị>*(q) = l<ị>(q)|2.

TR Ầ

N

Như vậy ồ trạng thái dừng, mật ñộ xác suất có mặt của vi hạt tại một vị trí nào ñó trong không gian không phụ thuộc vào thòi gian và có giá trị bằng Iộ(q) 12.

10

00

B

1.28. Cho hàm sóng I)/ = elkxcosA + e-lkxsinB, A và B là các hằng số, hãy xác ñịnh giá trị ñộng năng trung bình của vi hạt ñược mô tả bằng hàm sóng ñã cho.

A

Trả lởi

Toán tử ñộng năng có dạng sau: 2m

22

2m

cbr

(theo phương x)

-L

Í-

T=

9

TO ÁN

Áp dụng giá trị trung bình của một ñại lượng cơ học ta viết:

J V|/ lị/dT

eikx cos A + e~ikx sinB ) dx

DI Ễ

N

ĐÀ N

Thay giá trị hàm sóng Vị/ ñã cho ta có biểu thức:

Khai triển tử sô' ta ñược:

28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(T) = “

3

'

J 7 ^

TP .Q UY

- —— f V|/*(i2 k 2 eikx cosA 4- i 2 k 2 e-ikx sinB)dx 2m J J 1|/ V|/dx

NH ƠN

~ 2 ~ f ^ Ị ( i k ) 2 eikxcosA + (-ik ) 2 e - ikxsinB|dT

— f \|/*(-k 2 )(eikx cos A + e~ikx sinB)di J________ ______________________ J \ụ vydx

ĐẠ O

2m

NG

h2k 2 f V|/ (eikx cos A + e_ikx sinB )dt 2 m J___________________________ J v|/*vịfdt

h2k 2 2m

TR Ầ

N

J ' 1|/ V|/dx

B

1.29. Dựa vào giao hoán tử A B - BA hãy xác ñịnh các giá trị thu ñược của toán tử Ả và ố cho các trường hợp sau ñây:

= ị

dx

; Ố = X2

10 A

Â

b)

00

a) Â = — ; B = X dx

Trả lời

X

= X và px = —

B = ự=r(X - ipx)

d_ dx

TO ÁN

Vói:

-L

Í-

c) Â = ~ ( x + i p x);

DI Ễ

N

ĐÀ N

a) Theo thông lệ, muôn xác ñịnh các giá trị cụ thể A B - BẢ ta lần lượt thay các biểu thức toán tử ñã cho và tiến hành các phép biến ñổi tương ứng. ẲB = A [xf(x)] = x ^ ) + f(x) dx dx df(x) B Â = X — f(x ) = X dx dx 29 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

d d  B - B  = —- x - x — f(x) = f(x) dx dx d =M =1 dx f(x )

NH ƠN

d dx

hay

— X ~ X—

TP .Q UY

 B = — x2 f(x) = — x2f(x) = x2^ + 2xf(x) dx dx dx

b)

B Â = X2 Ậ f(x) = X2— f(x) = x2^ dx dx dx = — x2 f(x) dx

X2

d .9

»2 d

d _._2

.0

— f(x) = 2xf(x) dx

ĐẠ O

ÂB - BÂ

NG

— X -X — f(x) = 2 xf(x) dx dx d

---X - X --- = 2 x ,dx dx;

TR Ầ

N

c) ðề xác ñịnh giá trị của giao hoán tử với giá trị ñã cho, chúng ta phải thực hiện một loạt các biến ñổi sau: •

00

B

 Ể = - ~ ( x + i p x) - ^ ( x - i p x) = | ( x + i p x)(x - i p x)

A

10

= ị [ x 2 + x ( - ip x) + ipx x - i 2 Px]

= ị [ x 2 + ic(-ip x) + ipx X + p^]

-L

Í-

B Â = — (x - i p x) - ^ ( x + ip x)= ^ (x - i p x)(x + ip x) _ 1 Ĩ.-.2 , - • -

-2 - 1

+ ẰÌPx - i p x x - i PxJ

TO ÁN

2 1-

=ị1 r-2 [x 2 + x ip x - i p x X + p2]

ĐÀ N

Thực hiện phép A B - B A ta có thể khử các sô' hạng

X2

Px.

Vậy:

DI Ễ

N

 B - B  = - [x (- ipx) + ipx X - x ip x + ip x X] _1 2

-i. d X -x i ■* d ì + i í-in— x(-i) -ih— dx

dx,

+i

dx )

30 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP .Q UY

K ết quả cuối cù n g ta có: A Ẻ - ố Ả = í

1.30. Hãy chứng minh các hệ trực giao hoá sáu ñây rồi rút ra các kết luận cần thiết. a) [Mx, My] = i/j 1VL,;

ĐẠ O

b ) [ ố 2 , ố x ] = 0.

Trả lời

0 0 ]. . .( 0 0 ......z‐ 111)\ z -------r X <Jz ớy Ị \ cix ih

y

N

ill

o

TR Ầ

Mx My

NG

a) Dể chứng minh biểu thức này ta áp dụng quy tắc giao hoán tử. Trong trường hợp này ta có:

Í ớ

d"

B

_ y X_ Ị _

00

àx. ch2 ũ â L 0 0 i /í "• -X-- ( - i / o y ......'I. •• (hi ửi 'ừí 'ởy

A

10

%. Mx

<->>•

Ov?

Í-

- 1-2 lìI 2 X 0 - yx ' 0 -■ =

- i■’■í h/2 y

_= -i-2,2 h

DI Ễ

u

íTx

o2

-y x - -

•2 ,9 - i /í

iỳ/.

0 (Ty

X ........ V

ớy

0 * -■

d2

yx “ v

d ờx

= i // í - i ) X -- - y

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

[Mx, Myl = Mx My - Mv Mx

ị = i / i M-

ỡx j

Như vậy toán tử mómen ñộng lượng thành phần không giao hoán

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

s2 = ^ 4

hay

•\2

0

—i

i

0

1 0

3r

0) 1

n2 [S2, S X} = S 2 SX- S XS! (N CO 1 11

S2 SV =

'1

4

0 | h 0

0

1)2

* [0

1

2 ll

0

4

1'

1

0

ì

0

0

= - h z

1

8

= 1

0

- h 3

8.

0 1

1’

0

1'

0,

ĐẠ O

_

Vậy

+ ốf

TP .Q UY

Mặt khác:

Sy

NH ƠN

b) Theo ñịnh nghĩa s2 = s* +

[S2 ,Sx] = 0

NG

Kết quả này chứng tỏ toán tử bình phương mômen ñộng lượng spin tổng giao hoán vổi toán tử mômen ñộng lượng spin thành phần theo một phương xác ñịnh. ðiều ñó chỉ rõ 2 ñại lượng nậy ñồng thòi xác ñịnh.

00

B

TR Ầ

N

Trong cơ học lượng tử, các giao hoán tử giữ một vai trò rất quan trọng góp phần giải các bài toán hoá lượng tử liên quan. ðể làm ñiều này ngưòi ta thưòng áp dụng các giao hoán tủ biểu diễn dưới dạng móc Lie [ ]. Ví dụ: [xi> xj] = 0 ; ÍPi, Pj] = 0 1

10

s ij =

0

khi i =* j khi i = j

A

. Kí hiệu i, j ứng vối 1, 2, 3 thay cho X, y, z.

Quy ước dấu theo hoán vị vòng:

Í-

- Thuận theo kim ñồng hồ

321=213=132=-1

-L

- Nghịch theo kim ñồng hồ

123 = 2 3 1 = 3 1 2 = 1

TO ÁN

1.31. Hãy chứng minh các hệ thức giao hoán sau ñây và rút ra biểu thức

ĐÀ N

chung cho các trường hợp:

a) [M j, x2] = í ^ ^3

b) [Mj, p2] = ih p3 c) [Mp M2] = ift M3

Trả lời

DI Ễ

N

a) Chúng ta biết toán tử mômen ñộng lượng hình chiếu thành phần theo các trục có biểu thức: Mi = x2 P3 - x3 p2

32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Thay biểu thức này vào [Ml , x2] ta có: hay

NH ƠN

[ M ! , x 2] = [ * 2 P 3 - x 3 P2 , x 2 ]

= tx2 P3,x2]-[x3P2>Ẳ2] Sử dụng dạng móc Lie:

TP .Q UY

[Â B,C] = Â[B,C] + [Â ,C]B ta có:

Theo quy ước về dấu ta có:

[M1 ,x2] = i/ỉ X3 .

Từ biểu thức này ta rú t ra:

[ Mị , x2 ] = i h X3 .

NG

[M2,x3] = ifixi-

ĐẠ O

= x2[p3,x2] + [x2.x2]P3 - X3[P2,X2] - [ Ẳ3>Ẩ2]P2 =0 + 0 -x 3-i/i-0

.[M3,x1] = iftx2-

b).Chứng minh hệ thức [M i, P2 ] ta cũng sử dụng các móc Lie thông

TR Ầ

N

thường.

[Mj.Pa] = [ x 2 P 3 - *3P2>P2] = [*2P3>P2]-[X3P2>P2]

B

= x2[p3,p2] + [x2,P2]P3 - x3[p2,p2] - [x3,P2]P2

00

= 0 + ifi p3 - 0 - 0

[M1 ,p 2 ] =i Ãp 3

10

Vậy:

A

[M2»P3l = iftPi

Í-

[M g.pJ =ifcp 2 ' [M x, M 2] = [*2 P3-X 3 P2>x 3 P i- Xj P3]

-L

c)

Áp dụng dạng [A , B - C] ta có:

TO ÁN

= [ Ẵ2 P3 - h P2 .X3 Pll - t Ẳ2 P3 - Ẳ3 P2>Ẳ1 P3 ]

Sử dụng dạng [Ả - B,C] sẽ có:

ĐÀ N

= [ x 2 P3.X3 p j - [*3 P2.X3 P i] — [ Ẳ2 P3>Ằ1 P3I + 1*3 P2>Ằ1 P3]

DI Ễ

N

Ap dụng dạng [ A B, c ] sẽ có: ■= *2 [ P3 >*3 Pl ] + [ *2 >Ẳ3 Pl ] P3 - *3 1P2 >*3 Pl ] - t *3 >*3 Pi 1P2 - Ì 2 ÍP3>Ẳ1 P3 I —ÍẪ2 -Ằ1 P3 IP3 + X3 lP2 >Xl P3l + ÍẰ3>Ằ1 P3ỈP2 Sử dụng dạng [A , B C] ta có:

33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

' - X 3 { [ p 2 > Ẳ3 ] p 1 + X3 f P 2 . P l ] } - { [ X 3 .X 3 ] P i + x 3 [ x 3 p i ] } p 2 + X i t p g . p g ] } - { [ x 2 >Ẳi ] p 3 + * i [ * 2 ’ P 3 ] } p 3

TP .Q UY

- ^ { [ p s .X j ] ^

NH ƠN

= X2 { [ p 3 .X3 ] p i + X3 t P 3 . P l ] } + { [ Ẳ2 - Ẳ3 ] ỉ > l + X3 [ * 2 P l ] } * 3

+ X3 { [ p 2 , X i ] p 3 + X i [ p 2 >p3 ] } + { [ * 3 < * i ] p 3 + ẳ i [ ẳ 3>P3]}f>2

Trong các móc Lie chỉ có [p3,x3] = - i h và [x3, P3] = i h

[Mị,Mọ] = x9 (-i/j)P i + Xji/i ỷọ

= i

h

h

Xọ

Ỉ>1

+ i

Xj P 2 - i

= i h { x x ị >2

h

fi

Xj P9

ĐẠ O

= - i

hay

Xọ P j

- x 2 P j) =

ìh

M3

Một cách tương tự ta có các hệ thức:

NG

Vậy:

[Ml l M2] = i í M

3

TR Ầ

N

[ĩì,,M g] = i » M 1

[M3 , M J = i h ù 2

00

B

1.32. Chứng minh [ M 2 ,Mj ] = 0

10

Cho biết M2 = M? + M | + M§; Mị có thể là Mx, M2...

A

Trả lời

Ta xét cụ thể trường hợp Mị là Mj hay

Í-

[M2, Mj ] = [Mf + M| + m | , M J

-L

= [Mx M, + M2 M2 + M3 M3 ,M] ]

TO ÁN

Áp dụng các móc Lie thông thường dạng [ A B , c ] sẽ có: = [ Mi M j , M, ] + [ M2 M2 , Mx] +

ĐÀ N

= Mj [IV^ , M j ] + [ Mx M J M j +

+

+ MalMg.MiJ + tMg.MjJMg

DI Ễ

N

Sử dụng kết quả ñã chứng minh ỏ bài 1.30 và 1.31 sẽ dẫn tối kết quả: [M2 ,M 1 ]= -ìa 'K í 2i M3 - i h ỳ ^ Mọ + i h ỳ ^ M2 + i s ì ^ M

3

Vậy [M2, M J = 0 hay viết dưối dạng tổng quát: [M2, Mj] = 0 .

34

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1.33. Chứng minh các hệ thức giao hoán sau: =

J3

NH ƠN

a) í

b ) [ j * , j 1] = o

+ j l + J3 ; j = M + S

Trả lời a)

= [M i+

sửd ụngdạng [Â + B,C] sẽcó:

= [Mj, J 2 ] + f

, Ơ2 1

hay

ĐẠ O

= [Mx, M2 + ố2 ] + [ốỊ ,M2 + S2 ].

TP .Q UY

vai j 2 =

Từ dạng [Â , B + C] ta cũng có:

ih M3 + 0 + 0 + i h S3

N

= i h (M3 + S3 ) = i ỐJ 3 [J 1 ,J 2 ] = i ^ j 3

TR Ầ

Vậy:

NG

= [Mi,M2] + [M1 .S2 ] + [Si,M2] + IS 1 .S 2 ]

[ J 2 >J 3 ] =

00

B

[J 3 >J il = ift J 2

10

b) Cũng bằng cách sử ñụng các dạng móc Lie quen thuộc ta tiến hành khảo sát hệ thức:

A

[J2 (j x] = [ j Ị + 4 ‘ + jfiJj

, Jj] + [ J 2 ^2 ’

hay

1 + [^3

-L

= [Jj

Í-

= [J ? ,J i] + [ J l , j i ] + [ J l ,J i]

TO ÁN

Dựa vào dạng [Â B,C] ta viết: = Jl [Jl ><Jl] + [ Jl >JjJ Jl + ^2

]+

>^1 ] ^2 + ^3 [^3 > ^1 ] + [^3 >^11^3

Sử dụng kết quả thu ñược ở bài 1.25 ta có:

ĐÀ N

= 0 + 0 —1 h

DI Ễ

N

Vậy:

—1 h jy% zJọ

1 h JỈQ Jợ "í" 1 h ^ 3^ J 3

[J2 , J x] = 0 [J 2 , j 2] = 0 [ J 2, J 3 ] = 0 3$

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

1.34. Hãy chứng minh rằng mômen ñộng lượng thành phần hình chiếy trên trục z và mômen ñộng lượng bình phương tổng ñều giao hoán với toán tử Hamilton viết cho nguyên tử hiñro. Từ kết quả thu ñược hãy cho biết ý nghĩa. Trả lời

TP .Q UY

Từ lí thuyết của cơ học lượng tử ta biết toán tử mômen ñộng hình chiếu có dang:

= - ih — , nhưng bài toán hiñro ñược thực hiên trong toa dz ụ, = -i h

ĐẠ O

ñộ cầu nên: dtp

NG

Mặt khác, toán tử Hamilton viết cho nguyên tử hiñro:

h 2 v 2+ 2 Ù H = -— 2m

10

00

B

TR Ầ

N

Ta loại bỏ ù = u vì không có biến số (p. Toán tử Laplace V2 trong tọa ñộ cầu có phần biến số theo r và theo 0, (p. Trong trưòng hợp này ta chỉ chú ý ñến phần có chứa biến sô' cp, nghĩa là: Q d2 1 d V2=y2(r)+ sinG— sin 0 00 Ổ0 sin 2 6 ỡ<p2

A

Thực hiện phép giao hoán tử giữa toán tử -Mjj và H như sau:

= -ih

TO ÁN

2 m ỡ(p

ĐÀ N

2m

1 ỡ2 f siri2 8 ổẹ2

sin2 0

ớ3f ớcp3

_ 1 ___ d l_ -ih ớcp 2 m sin2 0 ớ(p2

N DI Ễ

1 d 2 m sin2 0 ap 2

dtp

-L

Í-

Mj, ÍIf

[JV^.Hjf = Mj, H f - HM,f. Quả vậy:

_ ịh3 1 dzỉ 2 m sin2 0 c?(p3

36 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

So sánh kết quả thu ñược ta có:

NH ƠN

Mj, H - HMj. = 0 Vậy Mz giao hoán với H .

ðể chứng minh toán tử M2 giao hoán với H ta thực hiện các bước như

TP .Q UY

sau: M = M*

Khi

M* hoặc

+ My +

giao hoán với H thì có nghĩa M2 cũng giao

ĐẠ O

hoán với H .

Quả vậy:

[M ^H ] = [Mx M ^H ] = M JM ^ H ] + [MX,.H]MX

nên M* và H cũng giao hoán vối nhau. Thực vậy:

NG

Chúng ta vừa chứng minh ñược giữa Mjj và H là giao hoán với nhau

M* [ Mx, ĩì] + [ M*, H] Mx = MJ0J + 10JM* = 0

TR Ầ

N

Bằng cách tương tự ta cũng có: [M^,H] = 0

00

B

[M2, H] = 0.

10

ðiềunày dẫn ñến:

[Mf,H] = 0

A

Như thế toán tử bình phương tổng mômen ñộng lượng và toán tử Hamilton viết cho nguyên tử H ở toạ ñộ cầu giao hoán vói nhau. Khi Mj,,

TO ÁN

-L

Í-

M2, H giao hoá với nhau, có nghĩa là giá trị mômen tổng bình phương và mômen hình chiếu ñộng lượng cũng như giá trị năng lượng sẽ ñồng thòi xác ñịnh. ðiều này sẽ ñược vận dụng khi khảo sát nguyên tử hiñro trong trường xuyên tâm. 1.35. Cho hàm sóng ộm (cp) = eim<p và 4>_m = e“'imi|> ñều là hàm riêng của -

d2

DI Ễ

N

ĐÀ N

toán tử A = —— ~ , ở ñây m là sô thưc. Dưa vào phương trình hàm dcp d"(ị>(<p)

riêng và trị riêng: — dcp

9

= _m <Kcp) hãy chứn-g minh tô hợp tuyên

tính các hàm riêng ñã cho cũng là hàm riêng của toán tử A và trị riêng có giá trị là - m2. 37

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời = -m 2ộ(<p), (<p) + Cọ<ị>_m (<p)

Ta lập tổ hợp tuyến tính <ị>(cp) =

TP .Q UY

Khi À tác dụng lên <ị)((p) ta có:

e im.|>+ C 2e-imq.Ị

NG

Thực hiện phép lấy ñạo hàm bậc 2 theo <pta có:

ĐẠ O

d2 ' <p) _ d 2 / * , V r = 7 l M m +C2 Ìm ) dọ2 d(p ñọ' r(ci

NH ƠN

Theo ñầu bài: — dtp

- i 2m2c ieira<(,+ i 2m2c2e -im<p

N

= - m 2(Cleimip+ c 2e -im(p)

TR Ầ

= —m2<Ị>(q>)

Vậy tổ hợp tuyến tính của 2 hàm riêng (ị>m (cp) và 4>_m (9 ) cũng lá hàm

00

B

riêng của toán tử Â và —m2 là trị riêng của toán tử này.

A

10

1.36. Cho các hàm riêng mô tả chuyển ñộng của vi hạt theo vòng tròn với bán kính a có dạng: - 1/ 2 ' ime Vm (e) = ( 2 ĩí)

-L

Í-

ở ñây m = 0; ± 1; ± 2 ... Góc 9 biến ñổi 0 < 0 < 271. Hãy chứng minh cảc hàm riêng này lập thành một hệ trực chuẩn.

TO ÁN

Trả lời

ĐÀ N

Hai hàm này là trực chuẩn khi: 2ji 0 / Vm(0)Vm(0) = ỗ mn = 1 0

Quả vậy khi thay hàm

DI Ễ

N

2ji 2ít/ / v *m (0)Vm (0) = / U 0 0

khi m s n khi m = n

(0 ) ta có: có %l/2 . 2jt e-^ àQ = J - / e ^ V ^ d G 0

38 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

2]t _L f e ^ - ^ d d 2n 0.

NH ƠN

=

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Áp dụng ñịnh lý Euler: e ‘P = cos<p + is in ọ , ta có: 2n

/ tC0S(m ~ n )ỡ + is in (m - n)0]ñ0 *0

J

2i

.

J * cos(m - n )9d 0 +

= 2

2ir

—J

%

s ữ i( m - n ) d 9

0

Theo ñầu bài 0 < 9 < 2% nên: 2n 1 / cos(m - n)0d0 = 7—-—-sin (m - n)0

271

=

0 - 0=0

(m “ n )

2tt ^ / sin(m -n)0d0 = - - —-—-cos(m -n)0 (m ~ n )

=

N

i

271

1- 1=0

TR Ầ

NG

- Khi m * n hai dạng tích phân ñều bằng 0:

0

TP .Q UY

0

ĐẠ O

f Vm (ỡ)Vm (e ) = 2

2k

- Khi m = n thì tổng hai tích phân bằng 1:

A

10

00

B

1 2* 1 2n 1 — f cos0d0=-— fl.dÔ = —~(2n-0) = l 2n J 2n J 2tcv ’ 0 0 . 2ji .2)1 — f sínOd0=— f OdO = 0 271J 2nJ 0 0

Í-

Vậy kết quả cuối cùng có thể biếu diễn như sau:

-L

271

n 0 khi m / n

2

ĐÀ N

TO ÁN

— J cos(m-n)0d0 + —- J sin(m-n)dG = 1 khi m = n 0 0 2n 0 khi ms t n hay tổng quát hơn: f:Wm(Qh m ( ỡì = 8mn = 1 khi m = n 0 ðó là ñiều cần chứng minh.

DI Ễ

N

1.37. Cho toán tử ñộng năng Tx và ñộng lượng px ñối với hệ vi hạt chuyển ñộng trong giếng thế 1 chiểu. Hỏi 2 ñại lượng Tx và px có ñồng thời xác ñịnh hay không?

39 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời

'ñiỊ/ 2m dx2 .dx .

ĐẠ O

h 2 d2 ] •* d -ih — W dx 2m dx2

T*PxV(x) =

TR Ầ

ihz ñ3i(/ 2m dx3

TXPXV|/X- PXTX1(/X= 0

B

Như vậy:

ìh3 ả dj2 V|/ 2m dx dx

■V|/ 2m dx2

N

P xT xv ( x ) =

NG

ifi3 d3y 2m dx3 £ - i hdx

TP .Q UY

ðối vối vi hạt chuyển ñộng trong giếng thế 1 chiều thì: hÍ.2 ñj2 2mdx.2 ’

NH ƠN

* Muốn xem hai ñại lượng cơ học có ñồng thời xác ñịnh hay không ta phải xem hai toần tỏ tương ứng có giao hoán hay không? Từ luận cứ này ta xét | f x ,pxỊ

10

00

hay [ Í X,PXỊ = 0, nghĩa là Tx và px giao hoán vối nhau, nên Tx và px ñồng

A

thời xác ñịnh.

Trả lời

TO ÁN

-L

Í-

1.38. Hãy xác ñịnh ñộ bất ñịnh về ñộng lượng và tốc ñộ cho một electron khi nó chuyển ñộng trong một vùng không gian theo một chiều xác ñịnh ■ (giả sử theo chiều X của toạ ñộ) vói ñộ rộng bằng cõ ñường kính của nguyên tử ~ 1 Ả.

DI Ễ

N

ĐÀ N

Theo hệ thức bất ñịnh Heisenberg: Ax.Apx s h h _ 1,055.10“24 J.S _ , in ..24 , -] = 1;055.10 kg.m.s APx = — = Ax l . i c r 10m

Ta lại biết: Apx = me.Avx. Từ ñó suy ra: {= Ap^ = Ị ^ Avx =

Ị Ọg k g g Ị T 1, = 11>6 105m s-!

9,1-10

kg

40 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1.39. Hãy tính bước sóng liên kết de Broglie cho các trường hợp sau:

TP .Q UY

a) Một vật có khối lượng 1,0 g chuyển ñộng vối tốc ñộ 1,0 cm.s-1.

NH ƠN

Từ kết quả thu ñược rõ ràng tốc ñộ của electron là xác ñịnh ñược trái lại giá trị ñộng lượng lại bất ñịnh. Như thế 2 ñại lượng này không ñồng thời xác ñịnh.

b) ðối vói vật thể cũng có khô'i lượng như thế, nhưng chuyển ñộng với tốc ñộ 1000 km.s-1.

ĐẠ O

c) 0 nhiệt ñộ phòng, một nguyên tử He chuyển ñộng vối vận tốc 1000 rn.s \ Cho He = 4,003.

NG

Trả lời

N

Áp dụng hệ thức de Broglie: h X= ta sẽ thu ñược các giá trị X như sau: mv

ìẢ_= ---------Ị-—----------------6,62.10~34 J.S c m -2 9 m - -=c6,6.10 1.0.10_3kg.l,0.10_2m s '1

b)

x = -------— = 6,6'10“36 m 1.0.10 kg. 1,0.10 ms-1

10

00

B

TR Ầ

a)

------------r =0,997.10-“ ™ - . Â

kg. 1,0.10 ms

4,003.1,660

A

cj

-L

Í-

Các kết quả của X thu ñược ñã chi rõ ñôì vối trường hựp a, b bước sóng là quá nhỏ nên hệ thức de BVoglie không có ý nghĩa, còn ñối với trường hợp c) thì giá Ằ cỡ kích thưốc nguyên tử nên biểu thức này có ý nghĩa.

TO ÁN

1.40. Dựa vào nguvên lí bất ñịnh của Heisenberg hãy cho biết ñộ biến thiên năng lượng AE và thời gian At thuộc một hệ lượng tử có ñồng thời xác ñịnh không ?

ĐÀ N

Trả lời

Hệ Heisenberg Ax.Apx > tì ñã chỉ ra rằng biến thiên của dộng lượng

DI Ễ

N

Apx và toạ ñộ Ax không ñồng thời xác ñịnh. ðể khảo sát 2 ñại lượng AE và At ta xuất phát từ: _ (mv)2 = — p2 ,hay E = - mv2 = 2 2m 2m

17-1

41 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

do p = mv.

t

Mặt khác ta lại biết: — do vây dE dt '

dpx hay dEdt = dxdpx.

= —

dt

Sự biến thiên của E và t có thể ñược biểu diễn bằng: ÁEAt = AxApx. Như vậy AEAt > h.

TP .Q UY

V=

NH ƠN

dE = — dp = vdp m

ĐẠ O

Biểu thức cuối cùng ñã chỉ rõ ñộ biến thiên của năng lượng và thời gian thuộc một hệ lượng tử là không ñồng thời xác ñịnh.

Cho h = 6,62.1(T34 J.s; c=3.108 m.s"1

TR Ầ

N

Trả lời

NG

1.41. Biết ngưỡng quang ñiện ñôi với kim loại vonfram (W) có bước sóng X0 - 2300 Ả. Hãy xác ñịnh bước sóng X theo Ả của ánh sáng tới ñập vào bề mặt kim loại w ñể làm bật electron ra, biết rằng ánh sáng chiếu vào kim loại có năng lượng tối ña bằng 1,5 eV.

Áp dụng hệ thức ñối vối hiệu ứng quang ñiện ta có: hoăc

00

B

T = E = h(v - v0) = hc ——— [X X0J

X

E = 1,5 eV= 1,5.1,6.10”19J

10

ở ñây

1

A

X0 = 2300 Ả = 23.10-8 m Thay các giá trị tương ứng vào biểu thức trên ta có:

Í-

hay = -___ _________________ + _ _ 1 6,62.10 ”34 J.S.3.108 ms- 1 23.10_8m

-L

1 A-

ĐÀ N

TO ÁN

= (0,1208.10? + 0,43.107) m-1

Vậy:

= 0,5508.107 n r 1= 550.8.104 n r 1 - i ___ m = 1,8155.10“7 m = 1815,5.10 ' 10 m 550,8.10“

X

=

X

= 1815,5 Â.

DI Ễ

N

1.42. Người ta biết năng lượng cần ñể ion hoá một nguyên tử là 3,44.1(T18 J. Sự hấp thụ photon có bưốc sóng X chưa biết ñã làm ion hoá nguyên tử và bật ra một electron với tốc ñộ 1,03.106 m.s-1. Hãy xác ñịnh bưốc sóng X của bức xạ tia tới.

42 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời

E = hv = hv0 + I

2:

= hv0 chính là năng lượng ion hoá làm bứt eletron ra khỏi nguyên

N hư

vậy ta viết: —mv2 = hv —I = — - I 2

hay

JL

. _

TP .Q UY

tử.

NH ƠN

Theo biểu thức xác ñịnh ñược ñôì với hiệu ứng quang ñiện có dạng-

hc

ĐẠ O

lJ +1-m v2 2

NG

Thay các giá trị tương ứng ta có: 3,44.10~18J + -

9,1.10_31kg(l,03.106)2.m2s-2

TR Ầ

N

= 5,06.10~8 m = 506.10-10 m Vậy:

______

x __________ 6,62.10~34J.S ■3.108m .s~1

k = 506 Â

00

B

1.43. Hãy tính năng lượng (theo J) cho một photon và năng lượng (theo kJ/mol) cho một photon bức xạ ứng vỏi bước sóng. d) 200 nm (tím);

10

a) 600 nm (ñỏ);

A

b) 550 nm (vàng); c) 400 nm (xanh);

f) 1 cm (vi sóng).

Í-

Trả lời

e) 1,5 Ả (tia X);

TO ÁN

-L

_ Theo hệ thức Planck ta có: E = hv = — X

E (cho 1 mol) = N a E = — X

ĐÀ N

hc = 6,62.10"34 J.s .3.108 m.s"1= 1,986.lO-25 J.m

DI Ễ

N

Vậy:

NAhc = 6,02.1023 mol^.l.gse.ỊO"25 J.m = 0,1196 J.mmoF1 Ằ

E (mol) = 0.L196 J-nvm oj-1

43

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Các giá trị E và E (mol) thu ñược ở bảng sau:

a

600.1C)'9

3,31.10-19

199,0

b

550.10”9

3,61.10-19

218,0

c

400.10'9

4,97.10-19

299,0

d

200.10"9

9,93.10-19

598,0

e

1,5.10'10

1,32.10-15

7,98.10®

f

1.10-2

1,99.10-23

0,012

ĐẠ O

TP .Q UY

X (m)

NH ƠN

E (kJ.mol-1)

E(J)

Na

NG

1.44. Một ñèn natri phát ra ánh sáng vàng ứng vối bưốc sóng bằng 550 nm. Hỏi liệu có bao nhiêu photon sẽ phát ra trong một giây nếu công suất của ñèn lần lượt bằng: a) 1,0 W;

TR Ầ

N

b) 100 w. Trả lời

00

B

Ta biết rằng công suất chính là năng lượng trong một ñơn vị thời gian. Theo ñơn vị SI thì:

10

w = M i ỉ ủ l = £ = j . 8-i

s

A

s

E=hv

Theo Planck:

S ố photon N phát ra trong một giây sẽ là:

-L

Í-

p = N.hv.

TO ÁN

Từ ñó N sẽ là:

V, _ p _ _ Js_1m N. = — = —■= hv he Js.ms

_

_1

=s

ĐÀ N

Kết quả thu ñược sau khi thay số’vào sẽ là: N = --------- = 5,0 35.1024.pA 6,62.10“ .3.10

DI Ễ

N

a) Vối p = l,0W = l'j .s -1;

b) Vối

X = 550 nm = 550.1(r9 m

N = 5,035.1024.1.550.10~9 = 2,77.1018 s”1 p = 100 w = 100 J.S-1; A. = 550.10_9m N = 5,035.1024.102.550.10~9 = 2,77.1020 S_1

44 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Kết quả thu ñược chỉ rõ ứng với công suất bóng ñèn 1 w phát ra ánh sáng có bữớc sóng bằng 550 nm thì sẽ có số photon phát ra là 2,77.1018 hạt trong 1 giây. ðối vói công suất là 100 w thì sô' hạt là 2,77.1020 trong 1 giây.

TP .Q UY

1A5. Người ta ño ñược bước sóng khuếch tán K’ = 0,22 Ả theo hưóng làm thành một góc 45° vối phương của chùm tia X ñập vào nguyên tử thí nghiệm. Hỏi bưốc sóng Ấ theo Ả của chùm tia X trong trường hợp này bằng bao nhiêu ? Trả lời

ĐẠ O

Theo ñầu bài thì ñó là thí nghiệm minh hoạ cho hiệu ứng Compton. Vói hiệu ứng Compton người ta ñã chứng minh ñược biểu thức như

X1—X = — (1 - cosO) = 2 — sin2“ mc mc 2

NG

sau:

B

X là bước sóng của chùm tia X chiếu tới.

n AA /V

A

10

00

hv

TR Ầ

N

X1 là bưốc sóng khuếch tán

Vậy biểu thức trên có thể viết:

-L

Í-

x = l! - — 2sin2— mc 2 Ằ1= 0,22 Ả = 0,22.10-10 m;

TO ÁN

Vối

0 = 45°

ĐÀ N

_h_ mc

6,62.10~34 J.S

9,1.10" 31 kg . 3.10Hms

= 2,425.] 0_12m

DI Ễ

N

Thay các giá trị bằng scí vào biếu thức trên ta có:

X=0,22.lO -10 m = 0,216.10“10m

Vậy:

2 .2 ,4 2 5 . 1CT12 m s i n 2 -4-f-

2

X = 0,216 Ả. 45

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

1.46. Cho biết một eletron chuyển ñộng trong một trường với hiệu ñiệp thế u = 1.000 Von. Hãy xác ñịnh bưốc sóng liên kết de Broglie X (Ả) là bao nhiêu ? Trả lời

TP .Q UY

Khi electron chuyển ñộng trong ñiện trựờng ta có thể biểu diễn dưới dạng biểu thức sau:

ĐẠ O

hoặc

NG

hay

qư = l,6.l0 _19.1000 J.

00

Thay số vào biểu thức ta ñược:

TR Ầ

ở dây:

(2mqƯ)1/~

B

mv

N

m

6.62.10- 34 J.S

10

, _

A

(2 . 9,1.10-31kg . 1,6.10-_19.103J ) 17^

= 3,88.10~u m =0,388.10"10 m X = 0,388'Ả.

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

Vậy:

46 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập chưa có lời giải

1.47.

Thực hiện phép tính Âf = g vối các giá trị của toán tử Â và hàm f(x) cho ỏ bảng dưới ñây:

r

d3 A

b

X4

■.c

/d x 0

3

d

d2 d2 d2 dx2 + dy2 + dz2

e~ax

f(x)

X3 -

X

2x + 3

3 2 4 yz

TR Ầ

N

dx

q +x

Â

ĐẠ O

a

f(x)

NG

Â

TP .Q UY

NH ƠN

C-

Hưóng dẫn: Thực hiện phép tính Af (x) = g(x) sẽ dẫn ñến kết quả.

B

Hãy cho biết toán tử Ả là tuyến tính hay không, khi thực hiện các phép tính sau ñây:

Âf(x) = f*(x),

c)

Âf(x) = 0 ,

d)

,1-1 Âf(x) = [f(x)Ị"

e)

Áf(x) = f(0),

í)

Âf(x) = lnf(x)

A

b)

Âf(x) = [f(x)Ị2 ,

-L

Í-

a)

10

00

1.48.

f* (x) là hằm liên hợp phức của f(x)

Nhân hạm f(x) với 0 Phép nghịch ñảo của hàm f(x)

TO ÁN

Hàm f(x) khi x=0

tính:

ĐÀ N

Hưống dẫn: Thực hiện phép tính theo ñịnh nghĩa của toán tử tuyến

DI Ễ

N

ÂỊcựx (x) + C2Í2 (x)] = CjAf! (x) + c9Âf9 (x) ðS. a); b); d); f): A khpng phải là toán tử tuyến tính; c); e): Â là toán tụi tuyến tính. 47

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

ĩ 49. Hãy tìm các trị riêng khi toán tử Â tác dụng lên hàm riêng f(^> cho dưới ñây: N°

A

f(x)

Â

f(x)

a

_Ẻ i

COSCDX

c

—"^r + 2-Ị—+ 3

e°x

b

d dt

ei(0t

d

d dy

dx

TP .Q UY

ðS.

dx

x2e6y

a)

-ffl2 ;

c)

b)

ico

d)

ĐẠ O

dx2

a 2 + 2a + 3 6

NG

1.50. Iỉàm sô' f(x) = 7.e~3x ñươc coi là hàm riêng củã toán tử ủ = — . Hãy dx tìm trị riêng trong irưòng hợp này.

N

ðS. -3

TR Ầ

1.51. Hãy thực hiện phép giao hoán tử với hàm f(x) cho các trường hợp sau: a) [ h , Â] f

biết h = X2 -

;

b) [ h , Â] f

biết íì = X - — T- ; dx

 = x -“

j2

ñx J

B=x+ — dx ðS.

a) 2Â b) - 2 B

A

10

00

B

dx

ðS.

f(x) là hàm riêng + 1 là trị riêng

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

^2 t) 1.52. Cho biết toán tử h = X2 — —- hãy chứng minh hàm sô' f(x) = e_x 12 là àxr hàm riêng của toán tử h ñã cho và cho biết trị riêng tương ứng bằng bao nhiêu.

DI Ễ

N

1.53. Hãy chứng minh hàm V|/(x) = 8.e4x là hàm riêng của toán tử — . Cho dx biết trị riêng thu ñược bằng bao nhiêu? ðS.

\|/(x) là hàm riêng Trị riêng là 4

48 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1.54. Hãy chứng minh các hệ thức giao hoán sau ñây:

NH ƠN

a) [M1,p2] = iftp3 b) [Ồ1>S2] = iÃS3

TP .Q UY

Từ các kết quả thu ñược hãy cho biết nhận xét.

1.55. Khảo sát tính chất sóng cho 2 loại vật thể với các thông sô' sau ñây:

a) Tính ñộ dài bưốc sóng theo m chò một proton vổi khốỉ lượng bằng 1,67.10_24 g, khi chuyển ñộng có ñộng năng bằng 1000 eV. xe tải nặng 1 tấn chuyển

ĐẠ O

b) Cũng câu hỏi này áp dụng chomộtchiếc ñộng vói tốc ñộ 100 km/giờ.

NG

Từ các giá trị Ằ tìm ñược hay rút ra các kết luận cần thiết.

X (proton) = 9,1.10-13 m có ý nghĩa X (xe) = 2,38.10“38 m không có ý nghĩa

ðS. a) b)

dx

b)

COS kx;

d) kx;

e)

e-ax

00

ðS.

a); b); c) và d) là hàm riêng e) không phải là hàm riêng.

A

10

c) k

B

a) eikx ;

TR Ầ

N

1.56. Hãy cho biết những hàm cho dưối ñây thì hàm.nào là hàm riêng của d2 toán tử —- ?

1.57. Tính giá trị trung bình của ñộng năng cho một vi hật khi chuyển ñộng

Í-

ñược mô tả bằng một hàm sóng Vị/ có dạng:

-L

V|/ = (cos%)eikx + (sinx)e-ikx

TO ÁN

Vổi X là tham số’.

ðS. ( T ) =

'

1

k V

2m

DI Ễ

N

ĐÀ N

1.58. Ngưòi ta dùng ñèn He chiếu một chùm bức xạ tử ngoại vối bước sóng x=58,4 nm lên một mẫu kripton thì thấy chùm electron bật ra khỏi kripton và chuyển ñộng với tốc ñộ V = 1,59.106 m.s-1. Hãy xác ñịnh thế ion hoá của kripton. Cho h = 6.62.10-34 J.s;

m = 9,1.10-31 kg ðS. I = 2,25.10~18 = 14,0 eV 49

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

1.59. ðể làm bứt electron ra khỏi bể mặt kim loại xesi (Cs) người ta |h ả i tiêu tôn một công bằng 2,64 eV. Hãy xác ñịnh ñộng năng và tốc ñộ của electron bật ra khi chiếu sáng vào Cs có bưốc sóng lần lượt là: a) 700 nm ðS. a) b)

TP .Q UY

b) 300 nm electron không bị bật ra. T = 3.19.10-19 J V = 8 3 7 k m .s " 1

NG

ĐẠ O

1.60. a) Hãy xác ñịnh ñộ bất ñịnh nhỏ nhất về tốc ñộ của một quả bóng có khối lượng bằng 500 gam, biết rằng nó ở một vị trí nào ñó trong không gian có một khoảng là 1 (im trên một dụng cụ ñể chơi bóng.

N

b) Một viên ñạn có khối lượng là 5 gam ñược bắn ñi với tốc ñộ vào khoảng 35.000.001 và 35.000.000 m.s-1. Hãy xác ñịnh ñộ bất ñịnh nhỏ nhất vể vị trí của viên ñạn này.

TR Ầ

ðS. a) Avx = 0,55.1(r28 m .s'1

B

b) Aqx = 0,5.10-27 m

d 2 = x; toán tử ú = — và hàm sô f(x) = e-x . Hãy thưc dx hiện phép giao hoán tử [x , ủ]. Từ kết quả thu ñược cho biết nhận xét.

A

X

, 1.62. Cho toán tử

10

00

1.61. Hãy chứng minh rằng nếu b là trị riêng của toán tỏ ố thì bn cũng là trị riêng của toán tử B.

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

Hưởng dẫn. Thực hiện phép X ũ và ủ X.

50

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP .Q UY

Chương 2

A-

ĐẠ O

ÁP DỤNG C ơ HỌC LƯỢNG TỬ VÀO CẤU TẠO NGUYÊN TỬ

Lí th u yết tóm lược

TR Ầ

N

NG

Ke từ khi sự áp dụng thành công cơ học lượng tử dể khảo sát cấu tạo nguyên tử trong hoá học ñã khẳng ñịnh tính ñúng ñắn của lí thuyết lượng tử. Trong chương này chúng ta ñề cập tới một sô’ hệ lượng tử hoá học quan trọng có liên quan ñến cấu trúc nguyên tử (Hệ quay tử cứng nhắc và dao ñộng tử ñiều hoà ñược chuyển xuống chương khái .quát về phổ phân tử). E le c t r o n c h u y ể n ñ ộ n g tr o n g g iế n g t h ế

1.

C huyển ñộng của electron tro ng giếng th ế m ột chiều

10

00

B

I-

Í-

A

Phương trình Schrõdinger trong trường hợp này có dạng'.

sóng

vị»„(x

) =

TO ÁN

- Hàm

-L

Giải phương trình vi phân ta có: s in n

u=0

X

0

L

-► X

ĐÀ N

Năng lượng En = n2- — - ; 8mL n =1, 2, 3... sô'lượng tử chính;

DI Ễ

N

h- hằng số Planck; m- khôi lượng electron;

L- chiều rộng giếng thế. 51

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

C huyển ñộng củ a electron tro n g giếng th ế 3 ch iểu Ilàm sóng:(x, y, z) = ^

(x) \|/nj (y) V|/^ (z)

NH ƠN

-

. , nr . n ụn (x) = -— sinnx- - - X x VLiv 1.JV

vối:

S M=Ề

TP .Q UY

2.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

V

Vz

ĐẠ O

t \ - IT • 71 sinn 2 r z Vi-L (2) = 9

JỈ. L?

9■

ĩ/

nz

n*

c

8m L

NG

- Năng lượng E = E,^ + En + En =

nx +

Bài toán nguyên tử hiñro trong trường xuyên tâm

1.

Mối tương qu an giữa tọa ñộ D escartes và to ạ ñộ cầu

TR Ầ

N

II-

z = rcosG

B

rsinG.coscp

A

10

y = rsin0.sin<p 2 _ 2. 2, 2 r =X +y + z

00

X=

di = r2drsinOd0d(p

-L

0 < 0 < 7t ;

Í-

0 < r < 00 ;

vối:

TO ÁN

0 < ọ < 2n.

Phương trìn h S chrỏdingcr ở trạ n g th á i dừng

ĐÀ N

2.

DI Ễ

N

vổi:

trong ñó:

í ì v|/(r, 0 . (p) = Ev|/(r, G, (p)

v (r, 0, «p) = R(r)Y(0, cp)

H =—

2m

V 2.

V Ỉ+ ịA + u 1 r2

dr

2A ỚT,

52 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1

■ n P.' =,L 1 sinO— — sin0 <90 Ỡ0.

s in 2 G ớcp2

NH ƠN

a

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Sau khi thay các giá trị tượng ứng và thực hiện một sô' phép biến ñổi ta thu ñược 2 phương trình: M2Y(0, <p) = Xh2Y(0, (p) dR

Phương trình bán kính: — dr

+ r2

TP .Q UY

- Phương trình góc:

(E - U)R = ẰR

1VL, = —ih

;

dip

ĐẠ O

ở ñây toán tử mômen ñộng lựợng có dạng: M2 = - tr A

NG

Các hệ thức giao hoán tử:

[£,,M2] = 0; [1^,111 = 0; [M2,Ĩ1] = 0

N

Giải phương trình góc và bán kính ta thu ñược các nghiệm sau: mZ2e4 0 _Z2 En = -- ~ ~ -y k = '-13,6— [eV] 2n A n

b) Hàm sóng:

V n , í , m ( (r > 0J ọ )

B

TR Ầ

a) Năng lượng:

10

hàm AO

A

n: 1,2, 3,... n

Í-

m,: 0, +1, ±2,... ± c

hàm.góc

số' íỢng tử phụ số lượng tử từ

là hệ số tỉ lệ trong tương tác tĩnh ñiện.

TO ÁN

-L

1 k = — = 9.10' 4n£0 C"

<-

hàm bán kín h

mI (®» *p)

số lượng tử chính

0, 1, 2, 3,... n - 1

f:

->

00

<-

®n. ( w

Các giá trị của hàm R(x), hàm Y(0, (p) ñược ghi thành bảng tại phần phụ lục.

ĐÀ N

c) Hàm toàn phần

DI Ễ

N

Ỹ n , í , m , , m s (r >e >9. ơ)

<------------ ----------- > hàm toàn phần

1

^ n ,í,m / <------------------ > hàm AO

x(ơ)

< - -----> hàm spin

Số lượng tử spin

53

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

- Mômen ñộng lượng:

M = Jfự + i~)h

- Mômen ñộng lượng hình chiếu:

Mz = m (h

- Mômen ñộng lượng spin:

Ms = sjs(s + l)h

TP .Q UY

- Mômen ñộng lượng toàn phần: với: J = (: + s gọi là số lượng tử nội.

ĐẠ O

e) P hố p h át xạ nguyên tử của hiñro -1- = V = Rh

X

Rh - hằng số Rydberg

H

M ật ñộ xác s u ấ t tìm th ấ y vi h ạ t th eo r và 9, <p

NG

3.

NH ƠN

d) Các g iá trị mômen ñộng lượng

a) Theo lí thuyết xác suất

J J \ụ 2dĩ

vối

TR Ầ

d p = I V|/ ị 2d-c

N

Xác suất, có mặt của electron ñược xác ñịnh bằng biểu thức: = 1

_

10

00

B

Trong thực tế tính toán người ta thường xác ñịnh mật ñộ xác suất có mặt của electron ở một ñiểm M nào ñó trong không gian, tại thòi ñiểm t, trong một ñơn vị thể tích dt và ñược tách riêng thành 2 phần, ñộc lập. r-Ịf

A

b) Măt dô xác su ất theo bán kính = Ịr I V

-L

Í-

dr Xác suất theo r là:

D(r)=

TO ÁN

Với ñiều kiện chuẩn hoá:

■ : 1 dp(r)'= RỈRr2dr

'

ĩ'ịị

'

••X.

. 'í -

J R Rr2dr = 1 0

s>: ^

Cũng như R(r), mật ñộ xác suất D(r) chỉ phụ thuộc vào n và c.

5

ĐÀ N

c) Mật ñộ xác suất theo góc

-

DI Ễ

N

ðây là sự phân bô" mật ñộ xác suất trong trường xuyên tâm theo một hướng cho trước ñược xác ñịnh bơi góc 0, (p. dp(0, cp) = Y*Ysin0ñ0dcp .= Y*Ydn dfỉ

= D(e, <p) = Y*Y = ỊY12

54 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

với ñiều kiện chuẩn hoá í 6=0 Hàm Yf

<p=27t

Y YsinQdOdcp = 1.

I <p=0

NH ƠN

0=71

(0, ọ) chỉ phụ thuộc vào các số lượng tử c và m( ñộc lập

TP .Q UY

với sô' lượng tử chính n. d) Hàm toàn p h ầ n - hàm spin - obitan (ASO)

Khi chú ý ñến sự hiệu chỉnh khôi lượng m của hệ vi mô theo thuyết tương ñôì của Einstein trong quá trình giải phứơng trình Schrõdinger, ta

ĐẠ O

thấy xuất hiện sô" lượng tỏ spin vói giá trị ms = ± - . Như vậy hàm spin-obitan là:

H à m toà n p h ầ n

Rn,f(*) • < -— >

(®> <p) <— — >

h à m bá n kính

hàm góc

• Xm. (®) <—— > hàm spin

hàm AO

TR Ầ

N

H à m spin-obitan

4.

Yc,m ,

NG

=

'*'n,í,m #,in> (r. 0. <p. o) <— — —— >

Áp dụng lí thuyết lượng tử cho hộ nguyên tử nhiều electron

10

00

B

vể nguyên tắc, cũng tương tự như trường hợp ñô'i vỏi hệ một electron, nhưng phức tạp về mặt toán học nên người ta phải sử dụng phương pháp gần ñúng.

Í-

A

ðối với nguyên tử nhiều electron, người ta giả thiết là mỗi electron chuyển ñộng ñộc lập với cậc electron trong một trường trung bình ñôì xứng cấu tạo bỏi hạt nhân nguyên tử và các electron còn lại. ðó là trường tự hợp (SCF - Self Consistent Field).

TO ÁN

-L

IT1|/ = E 1|/ J.2 N N 2 e2 N N ,2 vối H = ^ Vj -■'£2 —.. + ^2 X/ khi bo qua tương tác ñẩy giữa các 2m i i ri i j rij

ĐÀ N

electron thì toán tử Hamilton có dạng: i

i

1

DI Ễ

N

hj là toán tử Hamilton cho từng electron ñộc lập. Giải bài toán này dẫn tới giá trị năng lượng của hệ ]à: E=

+ E2+ E3 ... En 55

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Hàm sóng chung mô tả trạng thái cho toàn lóp vỏ là: Vn

NH ƠN

lị/ = V 1 V 2 V 3 -

Theo nguyên lí bất ñịnh Heisenberg người ta không thể vẽ quỹ ñạo từng electron trong hệ. v ề nguyên tắc chúng ta không thể phân biệt ñược các hạt trong hệ.

4n) =

/N !

.... ^p, (ìn)

4 ^ CU) Vp2

.....^p2 <fcN)

ĐẠ O

1. $2, -

^P, ($1) Ỹp,

NG

^

TP .Q UY

Hàm sóng toàn phần của hệ lượng tử phải là hàm phản ñối xứng. Biểu diễn ñiều này tốt nhất là dưới dạng ñịnh thức Slater.

......^ p N (5 n >

£n - toạ ñộ khái quát bạọ gồm cả toạ ñộ không gian và spin;

ẽ,ọ) là:

B

Ví dụ hệ có 2 electron thì hàm

TR Ầ

N

— - - hê sô'chuẩn hoá củ. làm sóng. VN!

00

V|/(l)a(l) V(1)P(1)

10

v(2)o(2) v(2)|5(2)

A

1

hay

m s =

; Vị/

là hàm obitan.

-L

Í-

với hàm spin a ứng với ms = + - và p khi

Câ”u h ìn h electron. Sô* h ạn g nguyên tử

TO ÁN

5.

ĐÀ N

Thiết lập cấu hình electron của nguyên tử nhiều electron theo các nguyên lí saư: (nguyên lí Pauli, nguyên lí vững bền, quy tắc Hund) ñã ñược trình bày ở phần cấu tạo chất ñại cương.

DI Ễ

N

Sô' hạng nguyên tử. ðối vởi nguyên tử nhiều electron xuất hiện nhiều tương tác phức tạp, như tưñng tác ñẩy giữa các electron. Russell - Saunders ñã lập thành sơ ñồ lắp ghép nhằm xác ñịnh các trạng thái khả dĩ ñể giải thích các vạch phổ phát xạ. -

Mômen ñộng lượng obitan tổng của nguyên tử hay ion.

56 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

i

NH ƠN

ì - momen ñộng lượng obitan của electron i:

L = I 1iỉ

TP .Q UY

I L I = JĩXL+l) h

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Trạng thái

s

p

D

F

G

H

I

K

L

ĐẠ O

L

- Mômen spin tổng của nguyên tử hay ion:. S = Ị

Si

NG

i Sj - mômen ñộng lượng spin của electron i:

2

2

TR Ầ

N

1st = ựS(S+l) h 2

- Hình chiếu của mômen ñộng lượng obitan tổng trên trục z.

10

00

B

Lz = M fì vối Ml = y mf. i

A

Ml - sô' lượng tử tổng của toàn nguyên tử; mf - sô'lượng tử từ của electron i

Í-

Ml = L; L —1; L -2 ...

-L

- Momen ñộng lượng spin tổng hình chiếu theo một phương: với Mg =

mSj

TO ÁN

Sz = MsA

ĐÀ N

Mg - số lượng tử spin tổng của toàn nguyên tử; mg. T sô lượng tử spin của electron i. Ms = S; 8 - 1 ; S -2 ...

DI Ễ

N

- Momen toàn phần J của toàn nguyên tỏ: J =L+S I J Ị = v ữ ỹ + ĩ) h

J - Số lượng tử nội của nguyên tử hay ion. 57

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Hình chiếu của J trên trục z ñược xác ñịnh bằng hệ thức: vối Mj giá trị sô' lượng tử nội nhận 2J + 1 giá trị từ - J ñến +J.

NH ƠN

Jz = Sô' hạng nguyên tử X là nhóm những trạng thái có cùng L và s và ñược kí hiệu:

TP .Q UY

‘2 S"t Ỉ-Y _

(2S+1)- ñộ bội spin của nguyên tử;

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

10

00

B

TR Ầ

N

NG

ĐẠ O

J = IL - s I khi cấu hình electron nhỏ hơn hoặc bằng một nửa số electron thuộc cấu hình electron của nguyên tử khảo cứu. Ngược lại, khi J = IL+SI nếu cấù hình electron lớn hơn một nửa số electron có mặt của AO ñang xét.

58

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập áp dụng

2.1.

• Cho hàm sóng i(/x (x) = Bsin— mô tả chuyển ñộng electron trong ã giếng thế 1 chiểu với chiều rộng là a. Hãy tìm hệ số B của hàm sóng này.

TP .Q UY

NH ƠN

B-

Trả lởi

s*n 2

0

~ ~ (lx =

0

a

1

NG

f Vn (xMi (x)^x =

ĐẠ O

Áp dụng ñiều kiện chuẩn hoá hàm sóng ta có:

0

0

TR Ầ

N

0

1 2 nitaìj d2 1 f , r 2nux, B — I 1 -c o s——^-px = B ~ I d x - I cos—— dx 2^ a r 2 J J a

1 . 2mcx 2mt a

= B2Ỉ X

= B2 —Xa = 1 2

— sin ——

00

B

a

=» B = 12

A

10

2.2. Biết 1 vi hạt chuyển ñộng trong giếng th ế 1 chiêu với chiều rộng là a. Hãy tính xầc suất tìm thấy vi hạt ñó trong khoảng từ 0 ñến a/2.

Trả lời

Í-

Xác su ất có mặt của vi hạt trong khoảng X = 0 -ỉ- a ñược xác ñịnh theo

-L

hệ thức:

1 a/f2/

J

\|/*(x)y(x)dx = —J sin2^ ^ d x =

0

0

N DI Ễ

2njrxi,

a/2

1 aỉf A

3

a /2

s ?S—---d 52n7tx !ĩd x —X— I 1 - COS ■ — - ax = — / d ax x- -/ c o CO a 2 Jft {' a 1 a n0 Jn 0 a

ĐÀ N

2

TO ÁN

0 < x < —1=

a/f~

a /2

1 . 2mrx x - - r - ~ s in - — 2n7i a

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

a /2

a . • 2n7tx X — — s in —• — 2n;c a 0

0

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2.3. Electron chuyển ñộng trong giếng thế 1 chiểu

ñược

mô tả bằnậ hàm

NH ƠN

y n (x) = J —sin—^ (a- chiều rộng của giếng). Hãy tìm giá trị trung vâ 3. bình của vị trí (x) ñối vổi electron.

TP .Q UY

Trả lời a

(x) = / Vn(*)*Vn (x)dx

0

ĐẠ O

/ \ 2 r . nra . m tx, 2 r .9 n7ix , (x) = —I sin.-“—-xsin ——dx = — / xsin -dx a-* a a aJ a 0 0

hay

9

xsin2ax

NG

Sử dung tích phân: / xsin axdx = — 4 J xsin(2n7cx/a)

cos(2n7tx/a.)

4

4n7i/a

8x(n7t/a)2

a

0-

2 X a 4

0

a 2

TR Ầ

N

X2

cos2ax 8 a2 0 a

Kết quả này chỉ rõ thực tế ta không quan sát thây electron ở thành

00

B

giếng (x = 0 và a) mà nó tập trung ỏ ñoạn giữa (x = —a).

10

2.4. Tính giá trị trung bình của ñộng lượng (px) của electron chuyển ñộng 12

.

n7t

Í-

V n ( * ) = ^■sin — X

A

trong giếng thế 1 chiều (a- ñộ rộng của giếng thế). Cho

-L

T rả lời

TO ÁN

Giá trị trung bình của px ñược xác ñịnh bằng hệ thức: (p} = / K ( x)PXVn(x)dx 0

DI Ễ

N

ĐÀ N

Thay giá trị V|/n (x) vào ta có:

w'ị ỉ)

1/2

1

. nnx .. d Í2Ì -sin —— a dx. a,

. nrac , sin----—ax

; i 2 p . n7ix d , rntx , = - 1B— Ị sin-11- - — sin—--ax

60 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

a . n7tx__ I17IX 1171, sin —— cos —— X dx =-* -/ % n

NH ƠN

~

_ a.

2a

a0

=

0

NG

.. 1 2n7ix in— —COS"- ' *

ĐẠ O

2nn 2n7t 1 r • 2n7tx , sin— dx a 0 ..n7t 1 2n7tx — -— -cosa2 2n7t/a

=

=

TP .Q UY

.. 2 nn r . nrcx nTCX , = —ifi —X-—- I s i n C O S —— dx a a J a a 0

Trả lời a

hay

B

(p X ) = / Vn (x ) P x V n (x)dx

TR Ầ

N

2.5. Hãy tính giá trị trung bình bình phương của ñộng lượng px cho electron chuyển ñộng trong giếng thế 1 chiều.

00

0

A

10

nitx , 2 d2 (2 1 1/2 . Ĩ17IX - h * - — — sin— dx a . a dx2 UJ

0v '

TO ÁN

-L

Í-

= ,2 2 r . n7ix d2 = -n —I sinaJ a ñx2 0 o 27T2*2 2n « af . 2 nnx, sin <j

DI Ễ

N

ĐÀ N

2n2Tĩ2h2 1

n

/( 0

n ft

a

2n7tx]j 1 - cos--—- dx

. 2rurx

- - - - - - X- --— sin—— 2mt a a' 3 I 2 _ 2*2

n 71«

2

61

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2.6. Cho hàm thử 1|/ = x(a - x) ñể mô tả sự chuyển ñộng của vi hạt ịrong giếng th ế một chiều với ñộ rộng giếng là a. Vị/

thoả mãn ñiều kiện biên của bài

NH ƠN

a) Hãy chứng minh rằng hàm thử toán.

TP .Q UY

b) Áp dụng phương pháp biến phân, xác ñịnh năng lượng E ỏ trạng thái cơ bản ứng với ñiều kiện biên. c) So sánh kết quả thu ñược ồ câu b) với kết quả khi dùng hàm thực là

ĐẠ O

E = ÁL - với n = 1. 8m a2 Trả lời a) Hàm thử 1|/ = x(a-x)

u=0

X

= a ->

y(0) = 0(a - 0) = 0 VỊ/(a)

=0

= a(a - a) ~ 0

0

a

X

N

X

NG

0 ñiều kiện biên:

TR Ầ

Như vậy hàm thử \ụ ñã thoả mãn ñiều kiện biên của bài toán,

f f ờ[ựdT = í ^ a

10

E =

00

B

b) Theo nguyên lí biến phân ta có:

A

I V V|/dx' J

x)

ìr ñ2 x(a - x)dx 2m dx-

a,. I x(a -- x)x(a - x)dx 0

d2 J 2_ a / x(a - x)—- (a - x)xdx 2m J dx 0 ux

N

ĐÀ N

d2 Lây ñao hàm ——(ax dx

DI Ễ

/r d2 x(a - x)ñx 2m (ix“

-L

TO ÁN

Tử số:

Í-

Ta lần lượt khai triển biểu thức này.

X

) = -2 rồi thay vào biểu thức trên ta có:

a ịO ĨI /r a f (ax • x ^X ^dx = + 1 r (ax -x2)dx m 2m J 0 0

62 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

h2a3

= +-Ể.Ể. 6m Mấu sô”:

a

TP .Q UY

a

( 1)

247t2m

J (ax - x2)2dx = J (a2x2 + X 4 - 2ax3)dx = a 0

NH ƠN

2 3 = +- ax X m

30

0

h V _ 30 5h2 Kết hợp (1) và (2) dẫn ñến E = ———-. = —;9. (> 24t i m a 471 ma

(2 )

ĐẠ O

(3)

NG

c) So sánh giữa việc dùng hàm thử với giá trị: rj^2 ^2 E = —, và hàm thực có E(t) = - - - -- , ta có: 9

8m a

.

4 ĩC m a

® - « ạ JOO m

TR Ầ

Như vậy sai sô”thu ñược khoảng 1,3%.

N

.100= 1,32%

00

B

2.7. Chứng minh giá trị trung bình của ñộng lứợng thành phần px bằng không khi electron chuyển ñộng trong giếng thế một chiều với 0 < X < a. \|/(x) = J — sin n -x \ a a

A

10

Cho: p x = -ih — ; dx

Trả lời

hàm y(x) ñã chuẩn hoá. Thực hiện phép khai

TO ÁN

triển sẽ có:

J lựỵ P xV|/xñ x

-L

<Px) =

Í-

Áp dụng biểu thức cho giá trị trung bình ta có:

a = —ih. — ị 2sinn —x.cosn -- xdx a 2Q a a

DI Ễ

N

ĐÀ N

/ I _ . ,, / 2 " . 71 d ( [ ĩ '-sin n --X dx (Pv) = - in I sinn-: x— , — ' x/ J0 \ a a dx ỊV a

- * = / | s i n 2 - —x d x a 0 63

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

2.8.

TP .Q UY

ðó là ñiều chúng ta cần chứng minh.

a) Ilãy viết phương trình Schrởdinger dầy ñủ ở dạng khai triển cho trường hợp electron chuyển ñộng tự do trong giông th ế một chiều vối chiều dài giếng là a.

ĐẠ O

b) Tính giá trị trung bình của mômen ñộng lượng hình chiếu bình phương p | ứng vối n = 1.

NG

Trả lời

v 2iị/ +

(E - Ư)v|/ = 0

TR Ầ

r

Ta biết phương trình Schrổdinger ỏ trạng thái dừng có dạng:

N

a)

Khi electron chuyển ñộng tự do trong giếng thế thì ư = 0.

00

B

Vậy:

TO ÁN

Măt Mặt khác:

n =1

Í-

Khi

-L

b)

A

10

Giải phương trình này (xem giáo trình Cơ sô hoá lượng tử), ta tìm ñược:

pv px = - if ì x dx a,

,9

DI Ễ

N

ĐÀ N

Theo tiên ñề 2 cñ học lượng tử ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

,2 I( sin--x ■ It —d2- (s i- n — 7t X dx ị a dx2 I a

NH ƠN

h

9 a

- 9 9

2n ti

X 1 . 2jix) -- — sin---2 4 a I

CÓ:

_ 2rc?jr /T Ía _ Tt /j a3" '2

ĐẠ O

Áp dụng dạng Jsin 2x = ------sin2x , ta

TP .Q UY

r~ Ịsin2—xdx 0 “

-

TR Ầ

a

N

Cho V|/níx) = . — siri“ -x V a

NG

2.9. Hãy cho biết ứng vối những giá trị nào khi electron chuyến dộng trong giếng thế một chiều với dộ dài là a ở trạng thái n = 3 sẽ ñạt ñược giá trị mật ñộ xác suất cực ñại và cực tiểu.

Trả lời

sxn = J/2 sir

- -X.

ã

00

B

ửng vối n = 3 ---- >

10

Mật ñộ xác surít có mặt của electron trong giếng là:

A

D « = i f X> = | ¥ 3 M | 2 = 2 si„ 2 ( i « J

a )

. 9(371

sin

—-X

-L

Í-

~

a

dx

TO ÁN

Muôn tìm giá tri D(x) max và min ta phải thưc hiên:

ĐÀ N

dD(x) dx

DI Ễ

N

m 1

a xét:

. 9 37T ) — sin — X .a J

3nn . 3 ĩ ỉ _ 3ti —- 2sin x.cos a a a

_ 3tt 3tt 671 = —: sin2—- X ~ sin — 3 ,a

X

= 0

• 67t _ „ _ . , 67t _ s i n — X = 0 = s i n n 7 t -------- » — X = n 7t —

a

= 0. Vây: dx

,

a

Vối n< 6 do ñó n nhận các giá trị 0, 1, 2,... 6.

65

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

0

x(min)

0

+ Với

4 2a 3

2 a 3

n’

1 a 6

x(max)

X

3 a 2

5 5a 6

cực ñại và cực tiểu vào hàm sin — X có thể biểu a

ĐẠ O

Thay các giá trị của

6, a

NH ƠN

n’

TP .Q UY

+ Với

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TR Ầ

N

NG

diễn bằng giản ñồ sau:

17h 8mL

cho electron

B

2.10. Tính ñộ suy biến ứng với mức năng lượng là

00

chuyển ñộng trong giếng th ế 3 chiều.

10

Trả lời

17ỈT 8mL2

= 17

Í-

Suy ra: n* + rty +

A

h2 Theo lí thuyết E = 8mL2 (nx + ny + nz>

CO

2

CO

2

to

ĐÀ N DI Ễ

N

<N

1ị----------- —

CO

2

í

ny 2

i

TO ÁN

-L

Trong trường hợp này, muôn xác ñịnh ñộ suy biến ta phải thử các khả năng có thể có sao cho tổng bình phương của 3 sô' lượng tử dao ñộng theo 3 chiểu của giếng thế luôn luôn bằng 17. Các khả năng khẩ dĩ là:

Ta thấy rõ ràng E bị suy biến bậc 3. Từ kết quả này (3 cặp nx, ny, nz ñều cho cùng giá trị E).

66 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

2.11. Cho phân tử N2 chuyển ñộng giói hạn trong hình hộp vổi thể tích là 1,00m3. Giả thiết ỏ T = 300 K phân tử ñạt ñược giá trị năng lượng là 3/2 kT. a) Hãy cho biết giá trị n = (n | + riy + n l)m bằng bao nhiêu trong

TP .Q UY

trường hợp này? b) Tính giá trị AE giữa 2 mức năng lượng ứng với n và n + 1. c) Xác ñịnh bước sóng liên kết de Broglie (theo m) ?

ĐẠ O

Từ kết quả thu ñược có thể rút ra nhận xét gì về chuyển ñộng tịnh tiến cho N2-khi áp dụng lí thuyết cổ ñiển. Cho k = 1,381.10_23J.K~1 ; N = 14.

NG

Trả lời

TR Ầ

N

a) Theo lí thuyết cổ ñiển năng lượng tịnh tiến ñược biểu diễn bằng o n2h2 biểu thức E = -- kT. Mặt khác, theo lí thuyết lượng tử thì E = . 2 8mL Theo ñầu bài ta viết: E = - kT =

8mL2

2

8mL2

B

E = 1 .1.381.10"23 JFC1. 300 K = 6,214.10'21 J

10

(2 )

A

mv/’iw ' n 2 _- — 8mL2 Từ (1) ta có: ——E h

00

2

Mặt khác, ta lại biết L3 = 1,00

---- ■> L2 = 1,00 m2

-L

Í-

,11 T-1

TO ÁN

Thay giá trị tính ñược: vào (2) ta sẽ nhận ñược giá trị n: = 8,536.10"' J ' 1. 6,214.10"ai J = 5,304.102’

n = 7,28.1010

DI Ễ

N

ĐÀ N

b) AE = E,v ll- E n

- (n+1 h2

8mL 9

8mL •>

= ___ (n + 1 + 2n - n ) 8mL (3). 67

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Thay giá trị n ñã tìm ñược vào (3) ta có: AE = 1,71.10 31 J

V

_ [ẽkT _ _ „ -1 = , —— =517 m.s Vm

TP .Q UY

1 _ 2 _ 3. _ Ek = - mv = - kT ---- > k 2 2

V

NH ƠN

c) Muốn xác ñịnh A. liên kết theo hệ thức de Broglie ta phẳi biết chuyển ñộng của phân tử N2. ðiều này có thể rút ra từ:

Vậy bưốc sóng liên kết de Broglie là:

l = JL = ------- 6,62.10~ J.S---_ 2 75 10_11 m mv 28.1,66.10” kg.517m.s_

ĐẠ O

Như vậy, vối giá trị Ằ tính ñược ta nói rằng chuyển ñộng tịnh tiến của phân tử N2 có thể biểu diễn ñ ư ợ c bằng lí thuyết eổ ñiển.

NG

2.12. Hãy xác ñịnh lượng phần trăm biến ñổi bao nhiêu ñối với một mức năng lượng cho trưóc của vi hạt chuyển ñộng trong giếng thế 3 chiều nếu mỗi cạnh của hộp thế giảm 10%.

TR Ầ

N

Trả lời

Công thức tính năng lượng vi hạt trong hộp thế 3 chiều có dạng:

00

B

E = (n f + n | + n f ) - — 9 8mL

.

thì giá trị E sẽ là: E =

A

10

Ta ñăt phần các ñai lương không ñổi là: (nf + n | + n |) —— = K 8m L

E

_K L2

0,81

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

Dể xác ñịnh lượng phần trăm biến ñổi của năng lượng khi mỗi cạnh của hộp thế giảm 10%, nghĩa là:

Như vậy mức năng lượng biến ñổi là 23%.

DI Ễ

N

2.13. Hãy xác ñịnh xác suất tìm thấy-electron ỏ giữa 0,49 L và 0,51 L chuyển ñộng trong hộp thế một chiều với ñộ rộng của giếng là L cho các trường hợp sau: a)

n = 1;

b) n = 2.

68

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời a) Xác suâ't tìm thấy electron trong giếng thế ñược biểu diễn bằng: p =

J

^ d x = i|/„ Ax vì hàm là const.

0.49L

Ị—Ị

Vị/ =

sinn -- X

ĐẠ O

Ta lại biết:

TP .Q UY

0,51L

NH ƠN

Giả thiết hàm sóng mô tả electron ñối vối trường hợp này ñược xem là hằng sô' trong khoảng 0,49 L -ỉ- 0,51 L.

Vói n = 1 sẽ dẫn tối:

Vì ỏ giữa nên

= —L 2

N

X

NG

2 . 2 7r _ 2 . 2 71 2 _ 2 1 r ì _ 2 .2 _ 2 vưf = —sin —X = — sin — . —L = —sin - = — L L L 2 I L 2 L L

TR Ầ

Vậy xác suâ't tìm thấy electron trong giếng thế sẽ là:

00

B

p = vị^Ax = -2- (0,51 - 0,49)L = - ,0,02L = 0,04 L Li

2

Vị/ộ

_ 2 . 2 =

— sin

7t

2 — X

A

9

10

b) Với n = 2 ta sẽ có:

L

. ỈL

2

-L

Í-

= 2 .2 - —sin L

Vậy

TO ÁN

= —sin2TT = 0,0 L

p

= v|/ọ.Ax = 0

ĐÀ N

2.14. Hãy xác ñịnh sự biến thiôn năng lượng AE theo J, kJ.mol \ eV và cm '1 giữa các mức năng lượng ứng với:

DI Ễ

N

a) nc = 2;

b) n(. = 6;

nt = 1 nt = 5

Cho 1 electron chuyển ñộng trong giếng thế một chiều có chiều rộng là 1,0 nm. 69

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời

f

Vậy:

NH ƠN

h Năng lương ñươc tính theo E = n2. 8mL

Các hê sô' chuyển ñổi: E (kJ/mol) = ^4- E (J) 103 1 eV = 1,6.10~19 J;

1 cm '1 = 1.986.KT23 J

TP .Q UY

8.9,1.1CT31.(1,010 )2

ĐẠ O

Từ các sô" liệu này ta dễ dàng tính ñược AE theo các ñơn vị J, kJ/mol, eV, cm-1.

NG

h2 a) AE2^ 1 = E2- E 1 = ( 4 - 1 ) - ^ = 3.6,02. ic r20j 8mL

Vậy kết quả thu ñược là: V2

N

AE2_>1 = 1,806.1CT19 J = 1.08,72 kJ.moP1 = 1,13 eV = 9093,6 cm-1

TR Ầ

b) AE6_»5 = E6- E5 = (36 - 25)—— r- = 11.6.02.10"20 J 8mL

B

Cũng bằng cách tính và chuyển ñổi ñơn vị tương tự ta có kết quả sau:

00

AE6^ 5 = 6,62.10~19J = 398,5 kJ.moP1 = 4,14 eV = 33,333 cm '1

A

10

Như vậy ta có nhận xét mức năng lượng tách trong giếng thế tăng tỷ lệ thuận vổi n.

Í-

2.15. Hãy tìm giá trị ñộng năng thấp nhất cho một electron chuyển ñộng trong giếng thế 3 chiều tương ứng vối kích thưóc sau:

-L

0,1.1CT13 cm; 1,5.ÌCT13 cm; 2.1(Tl3cm.

TO ÁN

Trả lời

ĐÀ N

Áp dụng biểu thức tính năng lượng cho electron chuyển ñộng trong giếng thê 3 chiểu:

DI Ễ

N

Với:

a = 0,L1(T13 cm. = 0,1.10_15m b = 1,5.10~13 cm = 1,5.10-15 m c = 2,0.10-13 cm = 2,0.1CT15 m

70

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ở trạng thái cơ bản (ứng vổi năng lượng thấp nhất):

E =

-L

J_

NH ƠN

nx = ny = nz = l . Vậy: _L . Thay số vào ta có:

8m a2 + b2 + c2

2 .1 6 .

TP .Q UY

E = 6,067.10~8J

Một quả cầu bằng thép nặng 10 g chuyển ñộng dọc theo sàn nhà có ñộ rộng là 10 cm với tốc ñộ là 3,3 cm.s-1. Hãy tính sô”lượng tử n ứng với năng lượng tịnh tiến khi quả cầu chuyển ñộng.

ĐẠ O

Trả lời

Ta coi quả cầu chuyển ñộng trong một hộp thế vối ñộ rộng a = 10 cm =

NG

0,1 m. ðộng năng của quả cầu là: E = - m v 2. Giá trị này khi quả cầu

chuyển ñộng ñược xem như electron trong giếng thế là: 9

9 2 2

.

TR Ầ

N

E = n2-----—. Từ 2 biểu thức này ta rút ra giá tri n là: n2 = — 8ma . h2 Thay các giá trị tương ứng ô hệ SI ta ñược:

B

n = 0,995.1029 a 1.1029.

10

00

2.17. Giả thiết một hộp thế một chiều với ñộ rộng a = 10 nm có một vi hạt chuyển ñộng ñược mô tả bằng hàm sóng: __ vơi n = 1

A

Í2 n V|/ = —sin —X Ia a

Í-

Hãy xác ñịnh xác suất tìm thấy vi hạt cho các trường hợp sau ñây:

-L

a) Giữa X = 4,95 nm và 5,05 nm; b) Giữa X = 1,95 nm và 2,05 nm;

ĐÀ N

TO ÁN

c) Giữa X = 9,90 nm và 10,00 nm; d) 0 chính giữa a; e) X ỏ l/3a. Trả lời

DI Ễ

N

Xác suất p là: P(c, d)

d _ñ = f V|/2dx = — f sin2-x d x J aJ a c c 71

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

c

NH ƠN

_2jc cos—-X dx a a . 271 2n a

X —-— s i n ——X

_1_

J

2tc

.

0,10 1 f . 27t . 5,05 271 . 4,95 ----— sin ----- ----------sin -----—---10

10

2n

= 0,010

0,03141 - 0,03141)

2rc

b) P(l,95; 2,05)

0,10

1

10

2n

NG

0,02

=

10

ĐẠ O

=

sin— 2,05 —sin— 1,95 10 10

a) P(4,95; 5,05)

• 271 271 sin— d -s in —-c a a

TP .Q UY

d -c

TR Ầ

N

= 0,007

Một cách tương tự ta cũng thu ñược giá trị P: d) P(5,00; 10) = 0,5 1

2n 1

. 2it 2

srn— . - a —sin— a 2% a 3 ' a 3

A

1_ 3

10

1 2 e)P - a i v a 3 3

00

B

c) P(9,90; 10) = 6,56.10-6

Sau khi biến ñổi và khai triển ta thu ñược: p = 0,61.

TO ÁN

-L

Í-

2.18. Cho electron chuyển ñộng trong giếng thế một chiểu vối ñộ dài a = 1,0 nm. Hãy tính năng lượng các mức theo J; kj.mol; eV và cm”1 cho các trường hợp sau: a) nc = 2;

nt = 1

b) nc = 6;

nt = 5

-------------- ----- j n=6

ĐÀ N

Cho 1 eV = 1,6.10-19 J; 1 cm’ 1 = 1,986.1(T23J

--------------«-----[n=5

DI Ễ

N

Trả lời

Áp dụng công thức chung E = n2

8ma

n=2 n=l Ị

ðế dễ dàng ta tính phần cố ñịnh:

72 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

J ĩL . 8ma 8.9,1.10

■ = 6 ,0 2 .10 -

J

1,6.1(T19

1,6.10“19 _ 18,06.10“ _ nnơo -1 _9, = 9063 cm 1,986.10

ĐẠ O

*w/ _ - i\ AEXJ) AE (cm ) = — 1,986.10“

TP .Q UY

AE (kJ/mol) = AE(J).10"3.6,02.10_23 = 108,36 kJ.m oP1

NH ƠN

kg. (1,0.10 m) 1.2 a) AE(J) = E2 - E 1 = (4 —1)——-T- = 3.6,02.ìcr20 J = 18,06.10“20J 8ma

NG

h2 h2 b) AE = E6- E 5 = (36 - 25)— = 11.— - = 11.6,02.lo-20 J 8ma 8ma

N

Cũng bằng cách tương tự như câu a có các giá trị AE: 6,6.10-19J; 85400 kJ.moF1; 4,1 eV; 33.000 em’ 1.

TR Ầ

2.19. Tính giá trị năng lượng cho nguyên tử hiñro ỏ trạng thái cơ bản theo ñơn vị SI và theo eV. Cho me = 9.1.10-31 kg; h = 6,62.10~34 J.S.

B

Trả lời

A

10

00

Biểu thức tính năng lượng cho nguyên tử hiñro thu ñược từ việc giải phương trình Schrõdinger có dạng: 2n h 4

-L

Í-

ở trang thái cơ bản 11=1 ---- > E = ----- k2 2h

TO ÁN

Trong các phép tính hệ số tương tác tĩnh ñiện k ñược tính như sau:

DI Ễ

N

ĐÀ N

k

= JL = 4tce0

*' 4.3,14.8,854.10_12c2N_1m“2

= 8,99.109

c

-= 9.10' Ì Í S E c = 9.109 —^

73

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

E

9,1■10 kg.(l,6.10~19)4c4 ___ 8,2 9,2 J 2.m2 9,1.10_31kg.(l,6.10~19)4c4 2. (1,055.10 )2.J 2.s2 c4

_

= -2,179.1(T18 kg.m2.s-2 = -21.79.10'19 J.

NH ƠN

Thay các giá trị tương ứng vào biểu thức tính năng lượng sẽ có:

-21,79.10~19 J : 1,6.10_19J =-13,61 eV.

TP .Q UY

ðối với nguyên tử ngưòi ta thường sử dụng ñơn vị phi SI ồ dạng electronvolt (eV) với hệ sô' chuyển ñổi là 1 eV = 1,6.10-19 J. Vậy kết quả trên sẽ là:

ĐẠ O

Thông thưòng ngưòi ta chấp nhận giá trị này ñối với nguyên tử hiñro ở trạng )g thái cơ bản là:

NG

Els = Eft = -13,6 eV

2.20. Giả sử 2 electron ñược tách xa nhau trong chân không một khoảng cách là 3,0 Ẳ. Hãy xác ñịnh thế năng tương tác tĩnh ñiện theo ñơn vị SI.

N

Trả lời

TR Ầ

9

Thế năng u = — k. Khoảng cách giữa 2 electron là: r _ _ o r, XX Ẵ -_ o n 1n - 1 0 ilí, „

00 10

Ư=

3,0.10

m

c

A

Do ñó

B

ỉ --

u = 7,69 J

b)

2 — r- ] e - r / a « a oJ

TO ÁN

a ) ¥ =

-L

Í-

2.21. Người ta biết hai hàm sóng mô tả trạng thái electron trong nguyên tử hiñro ỗ trạng thái kích thích chưa chuẩn hoá có dạng sau:

\|J = rsinG.coscpe'1/2a"

ĐÀ N

Hãy chuẩn hoá hai hàm sóng này. Trả lời

DI Ễ

N

Áp dụng ñiều kiện chuẩn hoá: J \Ị/ I|/dr = 1

a)

/ N 2 ----aO,

r/2an N 2 - — aoi

g —

/2a" r2drsin0d0d<p

74

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ao

A

:J r V r/a°dr 0 a°

2r

7t

f r3e-r/a“d r+ - j f r V r/i

00

00

'

a0

0

Jsin0d0 J d ẹ = 0 0

0

TP .Q UY

oo

4

oc

*07

4!

2.2rc = 1

NG

. 2! 4 3! 1 N 4— —— -— —r + ■of 1

CÓ:

ĐẠ O

xne-axdx = — ■- ta 0 a“

NH ƠN

e r/2a° r 2drsin0d0d<p = 1 N 2i 4 - Í Ĩ + 4 ’

*0 }

N

Jvị/2dx = N2J r 2sin20.cos2cpe-r/a° dT = 1

00

B

b)

1 yj32.n.a.ị

TR Ầ

N=

N2.32uaổ = 1. Từ ñó suy ra hệ số chuẩn hoá là:

0

0

A

0

10

N2 J r V r/r°dr.Jsin30d0J'cos2tpd(p = 1

3

cos0(sin20 + 2)

Í-

Jcos2(pd(p = — + - sin 2<p sẽ dẫn ñến kết quả:

-L

Sử dung dang tích phần ísin30dG = . J

TO ÁN

= N2. 4!.a®.-7t = N 2327caj! = 1 3 0

ĐÀ N

Hệ số chuẩn hoá trong trường hợp này sẽ là: 1 N = J 32.K.4

DI Ễ

N

2.22. Hãy khảo sát mật ñộ xác suất cao nhất ñối với obítan 2p của nguyên tỏ hiñro. Cho R(r) = — a“5/2 r e~r/a° . 2 V6 75

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời Mật ñộ xác suất ở khoảng cách r ñối với hạt nhâii ñược biểu diễn bằng Dr = -J*- = IR12 r2 dr

NH ƠN

hệ thức:

sau: 1

Dr = IR2p 12r2 =

00

thì Dr triệt tiêu.

NG

Khi r = 0 và

•r4. e r/a°

dDr = 0. dr

I t

f

3 4 1 -

„4

•,

. e ,-^/a0 -

N

Quỉvậy:

1

0

TR Ầ

udD_ ur _

Muôn biết Dr(max) ta phải thực hiện: •

■\2

ĐẠ O

24a„

-5 /2 e -r /2 a c

TP .Q UY

ðối với trường hợp AO-2p, mật ñộ xác suất cực ñại ñược xác ñịnh như

00

B

ðể thoả mãn ñiều kiện này khi r = 4a0 sẽ có Dr ñạt giá trị cực ñại, nghĩa là mật ñộ xác suất cao nhất ñạt ñược khí r = 4a0.

A

10

2.23. Ta biết rằng khi electron chuyển ñộng thì hình chiếu mômen góc (obitan hay spin) theo một phương z sẽ tạo chóp nón.

Í-

a) Dựa vào mô hình vectơ hãy tìm biểu thức tổng quát ñể tính góc 0 tạo thành theo ív à m(

-L

b) Tìm góc 9 bằng bao nhiêu cho trường hợp spin a.

Trả lời

00.

TO ÁN

c) Chứng minh góc 0 ñạt giá trị cực tiểu khi l -»

CO S0

=

w m ) ] ,1/2

DI Ễ

N

ĐÀ N

á) Hình chiếu của mômen góc theo sơ ñồ vectơ ñược biểu diễn theo hình bên. Rõ ràng theo hình học ta có: mf

,

Từ ñó 0 = arccos----- — 1/2 ỉm + D ì

76

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

nghĩa là mômen hình chiếu ọbitan trên phương z sẽ dẫn tới: mc —> mg; £ -> s.

1

0 = arccos —*77- - arccos-^r ---- > 0 = 54°44’ 3i V3 .4.

Muốn ñể góc 0 ñạt min thì mf = L Lúc này ta có thể viết:

NG

ĐẠ O

c)

TP .Q UY

Như vậy góc 0 tạo thành có thể xác ñịnh ñược là:

Như thế góc 0min khi mf = £.

TR Ầ

N

= lim a r c c o s — = a r c c o s l = 0 £—>oo í

A

10

00

B

Í35~ 2.24. Cho hàm góc Y33 = . ---sin30 e3i(|) hãy chứng minh hàm này là chuẩn \6 4 tc hoá.

Trả lời

-L

Í-

Muốn chứng minh hàm Y ñã cho là chuẩn hoá nghĩa là biểu thức:

TO ÁN

ở ñây Y33 =

• sin 30e 3i(|5. Thay các giá trị hàm Y33 và Y33 vào

biểu thức trên ta có:

í~35~ ■ 3q 35 sin 9e-3i<p., I— —sin 30 e3i<l>.sin0 d0 d(p = \6 4 n V647T [ 35"

í i

0 0

1

DI Ễ

N

ĐÀ N

71 2nc

hay

77

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

7C

J

Ta ñặt: sin20 = 1 -

vậy biểu thức trên

N hư

■— J 32 ^

(1

CO S2 0

1

sinỡdG = d(cos0).

viết lại là:

ñược

- cos20 )3d(cos0 ) = 1 ;

^

= 1;

NG

/ <1 -

ĐẠ O

Với COS0 — = X,X , biểu u i t í u thức t n u u này n a y có u u dạng: t g

NH ƠN

.2 tt f (sin29)3sin9d0 =

TP .Q UY

64*

/1 - „2x3 Khai triển (1 X2) 3 ta thu ñượe:

TR Ầ

00

B

-1

35 3 3 5 1 7 x - x + -x ° —-x ' 32 5 7

N

+1

35 3x2 +3x 4 - x 6)dx 32 / a -

là :

35 32

10

sẽ

q u ả CUỐI c ù n g

oZ ưD

= 1. Vậy

hàm

Y33

ñ ã ch o là h à m

A

Kết

chuẩn hoá.

ĐÀ N

Trả lời

TO ÁN

-L

Í-

2.25. Người ta biết hàm 1|/100 ñối với ion giống hiñro, hãy chứng minh nó là hàm riêng của toán tử Hamilton H và tính trị riêng tương ứng. -,3/2 _Zr Cho: R 10 = 2 •e a° ; Yoo = 2m VĨtŨ

DI Ễ

N

Hàm

Vị/ioo = R 10.Yớ0 hay Ị

Vioo = 2

z

3/2

.a o ,

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

_££ e a° 1 ' • 'VĨK

z

\3/2

'1 ' A

Zr

1/2

.e

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2

2

H = X v 2 + U = | - Vr + T A 1Ể. 2m 2m r . r

Toán tử

TP .Q UY

Do hàm VỊ/100 chỉ phụ thuộc vào r nên dạng cuả toán tử H là: H= -iụ ? --(ạ u ) 2 r -Zr

•Ị v 2 - Ỉ

r

2

r

ĐẠ O

Ồi(/ =

nên

1 a 2 ỡ 2 r ỡr r ăr)

2 r2

z

+-

M

_-Zr

r V tụ '

ị ( r 2e - & . * ) |

ỡr V

/Ị

00

2r

_ zz[

N

d.(r22_Ỡ ± )ì ỡr( ỡỡrj rj

TR Ầ

1 1

Hy =

nên

- Ĩr. l\ ĩ7.1e ^

B

=

NG

Mặt khác ta lại biết: V2

J

§ ĩ.e - Z r

r V Jt

A

10

4 [ 2 r e - Z r- Z r V Zr] Ị - Z 2r

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

2

-r V- 7t * Zr

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

71 r

DI Ễ

N

Thông thường người ta biểu diên các ñại lượng lượng tử bằng ñơn vị nguyên tử (au - Atomic units) và quy ước như sáu:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Như vậy cuối cùng ta có biểu thức:

NH ƠN

È M - e~Zr= ~ M -e ~ Zr

Hvioo =

TP .Q UY

: _ z 3 _z Kết quả này ñã chỉ rõ hàm V|/joo - J — .e r là hàrii riêng của toán tử z2

H v à -----là trị riêng của toán tử này.

NG

ĐẠ O

2.26. Dựa trên khái niệm mật ñộ xác suất (D) tìm thấy vi hạt, hãy khảo sát sự biến thiên D ñốỉ với AO-2 pz bằng cách xây dựng ñưòng cong D = f(r) ứng với các giá trị góc 0 cho trước là 0°, 30°, 45° và 60°. Cho AO-2pz = —?= a “ 5/2 r. e_r/2a° C O S 0 4/ 2k

°

N

Trả lởi D = V|/ V|/* = I Vị/ 12

TR Ầ

Theo lí thuyết vê khái niệm mật ñộ xác suất D ta có:

00

B

Thay các giá trị hàm AO-2pz vào ta ñược:

A

10

D = —ỉ= a õ 5 / 2r.e r/ 2a°cos 0 4y/2n

HÓ Í-L TO ÁN

ĐÀ N

ðặt

4 -a

-3

3271

0

r

.e r/a°cos20

[ăo)

1 - 3

r a0 ; — = X,

k

=

D

= A.x2e

3271

hay

c„s2e

XC O S 2 0

ta có

hay

— = X2e_xcos20

DI Ễ

N

f D Biêu thức cuôi cùng này chỉ rõ — là môt hàm của — ứng vối góc 0 Ằ ' a„ D xác ñịnh hoặc ta viết: — = f X

80 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ta lập bảng sau: \r/a 0 1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0

0,1 52

0,3 6 8

0,502

0,541

0,513

0,448

0,370

0 ,293

0,225

0,168

30

0,114

0,2 7 6

0 ,377

0,406

0,385

0,336

0,277

0,2 20

0,169

0 ,126

45

0,0 76

0,184

0,251

0,271

0;257

0,224

0,185

0,147

0,112

0,084

60

0 ,038

0 ,092

0 ,1 2 6

0,135

0,128

0,112

0,012

0 ,0 7 3

0,0 5 6

0,042

NH ƠN

0,5

5,0

TP .Q UY

0 \

10

00

B

TR Ầ

N

NG

ĐẠ O

Với những giá trị r/a0 ứng với các góc 0 cho trưốc chúng ta dễ dàng xây dựng ñược ñường cong phụ thuộc giữa mật ñộ xác sua't D và r/a0:

A

2.27. Ổ trạng thái cơ bản, hàm sồng ls của nguyên tử hiñro có dạng:

ỷ /2

1

.e,- r / a „

Í-

V ls =

-L

Vối a 0 = 0,53 Ẳ (bán kính Bohr thứ nhất). Hãy:

TO ÁN

a) Tính xác suất tìm thấy electron trong phạm vi quả cầu có r 0 = 0 ,0 1 Ả bao quanh hạt nhân.

ĐÀ N

b) Xác ñịnh xác suất bằng bao nhiêu nếu bán kính quả cầu ñạt ñược r = a0. Trả lời

DI Ễ

N

Xác suất tìm thấy electron trong phạm vi quả cầu bao quanh hạt nhân nguyên tử hiñro ñược viết dưói dạng: IvisPdT với dx = ^ 7tr 03 <5

81

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

7ta'

e - 2 r /a „

! Visỉ 2 dx

=

0,01

I

TP .Q UY

Thay các giá trị r 0 = 0,01 Ả và a 0 = 0,53 Ả ta có: ' 2r/a 0

0,53

ĐẠ O

• g-0/0,53 = 8,95.10"6 * 9.10“ a) Khi r = 0 thì xác suất p sẽ là: — 3 (o,53 0,01 b) Khi r = an 0 thì xác suất p sẽ là: -r 3 0,53

NG

e- 2 = 1.21.KT6

3a,•0

,- r /3 a „

N

2—

TR Ầ

2.28. Cho hàm R3p = —^-j= a 0 5 /2 r 27v6

Như thế xác suất tìm thấy electron ñạt ñược cao hơn khi r = a0.

a) Hãy xác ñịnh mật ñộ xác suất theo r.

00

B

b) Biểu diễn kết quả thu ñược trên ñồ thị.

dpr = IR2 1r 2 dr

A

a)

10

Trả lời

* |r2

=

- 5 „4

27^6

2

— 3a„

-2r/3a„

-L

Í-

Dr = % | R dr

TO ÁN

Dr =

~ [ r 4(6 a0 - r ) 2 e0 2r/3a»] Ì27>/6. 9a;

ĐÀ N

dD, Lây ñạo hàm —-£■ = 0 ñể xác ñinh mât ñô xác suất tìm thấy electron dr theo bán kính r và tiến hành một số phép biến ñổi sẽ dẫn tối biểu thức:

DI Ễ

N

dDr dr

127V6. 27a

2r 3(6a0 - r)*eQ - 2r/3a° [ 6 a 0(6 a0 - r) - 3a0r - r( 6 a 0 - r)]=0

82 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4 f 1 = A .27VẽJ 27a^

^ = A2r3(6a0- r) e02r/3a° ( r 2 - 15a0r + 36 aổ) dr Rõ ràng từ biểu thức này Dr triệt tiêu khi r = 0, 00 và 6 a0. Dr ñạt ñược giá trị cực ñại khi: .

=0

ĐẠ O

r 2 - 15a0r + 36 aổ = 0

NH ƠN

ta có:

TP .Q UY

ðặt

Giải phương trình bậc 2 này sẽ có 2 nghiệm:

NG

rj = 3a0 và r 2 = 12a0.

Í-

A

10

00

B

TR Ầ

N

b) Các giá trị thu ñược ỏ câu a) có thể minh hoạ trên ñồ thị như sau:

Trả lời

TO ÁN

-L

2.29. Cho hàm \|/ls trong ñó hàm bán kính R 10 = N.e Zr/a° chưa chuẩn hoá, còn hàm góc Yoo ñã chuẩn hoá. Hãy xác ñịnh thừa sô" chuẩn hoá ñối vói hàm R10.

ĐÀ N

Hàm V|/ls có dạng tổng quát là: V is = Vioo = Rio-Yoo

J\ự lị/dx

=1

DI Ễ

N

ðể tìm thừa số chuẩn hoá của hàm R 10 ta áp dụng biểu thức:

ðể tiện cho các phép tính, thường người ta kí hiệu r/a 0 = ơ. Vậy biểu thức trên có thể viết dưới dạng tổng quát là: 83

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

f R^fr 2dr.Y;m Yim f sinGde / dcp = 0

0

NH ƠN

0

19

Do hàm góc ñã chuẩn hoá nên ta chỉ cần xét hàm Rnf. Như vậy biểu

= N2jf e_2Zr/a° r2dr

f R ị r 2dr 0

=

0

0

= N2 al j ơ2 e“2Zơ dơ = 1

NG

hay

1

ĐẠ O

= N2a^ J e“ 2Zơơ2dơ = 1

TP .Q UY

thức có thể viết:

0

I

nên ta có:

a“ 0

. ' hay N = 2 a

\3/2

A

Từ ñó suy ra: N =

4z

10

3

9

B

= N2aẵ - ^ 3 = 1. 4z

(2z)

00

N2 a 03

TR Ầ

N

Tích phân này thuộc dạng J xn!3~axdx = — a u

Với thừa sô' chuẩn hoá N tìm ñược ta có thể viết hàm bán kính Rls ñã 3/2 -Z ơ

Í-

chuẩn hoá như sau: Rls = 2

-L

Va o

Vls

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

2.30. Cho hàm sóng I|/ls và I|/2s ñối với nguyên tử hiñro là: _

1

-3 /2

r=-a0

V 7t

_

1

-r/a „

-e

_-r/2a„

-3 /2

Hãy chứng minh rằng hai hàm này trực giao vối nhau.

Trả lời Áp dụng ñiều kiện trực giao J[Ị/ V|/dx =

84 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

nu 7C 2rc

J J J Vị/ lsvj/2sr 2drsin 0 d0 d(p =

hay

0

NH ƠN

0 0 0

Như vậy ñể xét tính trực giao ta chỉ chú ý ñến các biểu thức có biến sô' theo r, 0 và cp; các ñại lượng khác ñược xem là hằng số. 2

——|.e r/2a°r 2drsin 0 d 0 d<p =

ỉ0 ĩ0 ĩ0 e" 2Ị ĩ^e-3r/2a°dr——J' r3e-3r/2a°d r.

1 0

(\j

0 Ị

Sử dung dang tích phân I xne~axdx = «/

o '

3!

4 3

N

3

10

,2V

4rc = 0.

00

4

0.

TR Ầ

2 an

2 ao

3

2.27C =

V*

3

B

'3

1 a„

quả: 2.2!

dcp = 0

^ ta dễ dàng thu ñược kết

a

0

J

ĐẠ O

30 0

sin0d0.

NG

0

J

0

TP .Q UY

Ít ĩx.

A

,2 a 0

Kết quả này ñã chứng tỏ 2 hàm V|/ls và V|/2s là trực giao với nhau.

-L

Í-

2.31. ðối với các ion giông hiñro ngưòi ta ñã xác ñịnh ñược hàm sóng: ,3/2

-Zr/a.

Ví a„

TO ÁN

V ls =

ĐÀ N

a) Hãy xác ñịnh giá trị trung bình - (r là khoảng cách từ electron ñến r hạt nhân) cho AO-ls.

DI Ễ

N

b) Từ giá trị — thu ñược hãy tính giá trị trung bình cho thế năng của r electron.

Trả lời Giá trị trung bình —ñược xác ñịnh theo biểu thức: 85,

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

=

/ / / V is -V 2sr2drsin 0 d0 d(p

r

0 0 0

Ở ñây hàm Vị/ls ñã ñược chuẩn hoá:

TP .Q UY

( - } = ~ | — J*re 2Zr/a° dr J*sin 0 dỡ. J dcp r laoJ 71 0 0 0

NH ƠN

( “ ) r

Các tích phân ỏ ñây ñểu thuộc dạng cơ bản (xem bài 2.25) nên dễ dàng ta thu ñược kết quả sau: ,9

ĐẠ O

. 2.2n =

NG

b) Thế năng trung bình ciía hệ ñược xác ñịnh theo biểu thức:

Ze2 —. Quả vậy: r

u =

TR Ầ

N

z 2e2 z

10

00

B

2.32. Dựa vào tiên ñề của cơ học lượng tử hãy xác ñịnh khoảng cách trung bình từ electron ñến hạt nhân ứng với trạng thái có mức năng lượng thâp nhất trong nguyên tử hiñro và cho nhận xét.

A

Cho VỊ/ = -jL = e~r/a° ; a0 = 0,53 Ả....... /7ta”

Í-

Trả lời

-L

Khoảng cách trung bình ñược biểu diễn bằng hệ thức:

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

ị r j = J ty f\ị(di

( 0

=i

1/2

1/2

e 7ia,0

-r/a„

0r

Ttar

e r/a° .r' 2drsin 8 dGdẹ

—g- J r3e ■'r/a° dr

J sin 0 d0 . J dcp

^ 0

0

0

0

sử dụng các tích phân (xem bài số 2.25) ta có:

86 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3 3 .2.271=- a 0 = -.0,53 A. 0

2

NH ƠN

2

*0 , Vậy

( r } = 0,795 Ả.

TP .Q UY

Với kết quả thu ñược này ta nhận thấy mỗi phép ño có thể cho một kết quả riêng nên hàm sóng mô tả trạng thái electron không phải là hàm riềng của toán tử r .

ĐẠ O

2.33. Cho hàm sóng \yls ñối vối nguyên tử hiñro là \yls = —-— e_r/a° . Với a0- bán kính Bohr.

NG

0

a) Tính xác suất tìm thấy electron trong vùng biến ñổi của r từ -> 2 a0.

TR Ầ

N

b) Hãy cho biết xác suất này ồ ngoài khoảng 2a0 là bao nhiêu ? Biết dt = 4ĩĩr2dr. Trả lời

B

p

10

00

a)

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

p

. 4 3e 4

e~4 1 ------- =0,7624 4 4

DI Ễ

N

b) Ó ngoài khoảng 2 a0 có nghĩa là xác suất tìm thấy electron bằng xác suất toàn không gian 1 ,0 0 - xác suất trong vùng từ 0 —> 2 a0. Vậy: p

= 1 ,0-0 ,7624 = 0,2376 87

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

2.34. a) Tính giá trị th ế năng trung bình ñối vối nguyên tử hiñro ị trạng thái cơ bản.

TP .Q UY

b) Chứng minh rằng ñộng năng trung bình của electron ñốĩ vối hiñro ỏ AO-ls bằng năng lượng tổng của chúng ỏ trạng thái này nhưng ngược dấu. Cho V|/ls = - p = e~rla° , dT = 47tr2ñr 3

Trả lời

ĐẠ O

a) Thế năng trung bình ñược xác ñịnh theo hệ thức; ( Ư } = Jv |/lsủv|/lsdT vào biểu thức này ta có: oo ■% í 2 f e~r/a° J r r r 0 v^o Ẩ 2 <\> 4ne (■ - 2r/a„ J —---k 1 re ° dr na0 Ố

\ị/ls

e r/a° 4ur2dr

00

B

TR Ầ

N

Thay giá trị hàm

NG

0

10

t\j

0

4ne

1!

A

Lấy tích phân này theo dạng J xne-axdx 2 2

4a„

7ia“

ta có: 2

= -ík

-L

Í-

< u > = -

A

„n+l

ĐÀ N

dạng:

TO ÁN

b) Từ kết quả thu ñược cho bài toán nguyên tử hiñro, năng lượng có

E = 2nh

DI Ễ

N

Mặt khác ta lại biết bán kính Bohr a0 là a0 =

h2

1

me2 k

2

Thay giá trị này vào E ta có: E =

^— k. 2 n a„

88

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

E =

k

( 1)

2^0

Giá trị ñộng năng có thể rút ra từ biểu thức: E = T + u ---- > T = E - u

TP .Q UY

T = - — k~ 2 a„

hoặc

NH ƠN

ở trạng thái cơ bản n = 1 thì giá trị E sẽ là:

-k

(2 )

2 a„

ĐẠ O

So sánh (1 ) và (2) ta nhận thấy giá trị T và E là như nhau nhưng ngược dấu. ðó là ñiều cần chứng minh.

e .

NG

2.35. Cho hàm góc của nguyên tử H có các giá trị sau: \l /2 /, p \l /2 sin 0 COS O sinGe ^ ; Y21 = — *!-! = ,8 tcJ

hàm góc Yị_i và Y21 là

2

TR Ầ

N

Hãy chứng minh hàm Yị_j là chuẩn hoá và trực giao vói nhau. Trả lởi 712 ji

J J Yj*_1Y1_1dx =

1

00

B

ðiều kiện chuẩn hoá là:

10

0 0

1.1 ta

A

Trong trường hợp vối hàm YM và Y I Ỉ I ( „ x1 /2

/ / ỴT-iYx-xdx = / /

1^1

0 0

0

Í-

0

/ o Ỷ 12

7t 2ít

có: sinO.e"11sinOdOdq)

'

TO ÁN

-L

n 2 jt 7C = — f sinOsin2 Od0 f dcp = — x2n f sinGsin 2 0dO 8k J J 8n 0

0

0

ĐÀ N

= “ J* Ịl-co s 2 ojsin( I0do 0 0

=0 = 2 it

X= 1

x=

-1

dx = -sinGdO

DI Ễ

N

ðặt X = COS0 =>

0

89 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1

3

~ —(o 2 - -2 4 3J

-1

NH ƠN

x3> 3 —— X-----3 4

Trong trường hợp với hàm Yj.! và Y21 Tí 2n ðiều kiện trực giao là: jdx =

TP .Q UY

ðó là ñiều cần chứng minh.

0

0 0

/ Z,Ỷ12 í

0

0

3 ì1/2 71 2k

J J sin 9. COS G.e-11’’ sin 0 .e_ití>sin 0 d0 d(p

' 8 ĩt'

0 0

0

0

2tt

271

71

NG

.K •,1/2 n 2jt = ----J sin3 0cos0d0j' e~2i(pd<p

ĐẠ O

K 2k

J J Y2 1Y1_1dt = I—

(cos2(p —isin2<p)d(p ở ñây có

N

Ta nhận thấy tích phân J e- 2i<pd(p = 0

TR Ầ

0

tích phân’cos2 tp và sin 2 (p (0 -ỉ- 2n) là biến ñổi theo chu kỳ vòng nên sệ triệt tiêu. Vậy biểu thức trên sẽ bằng không. ðó là ñiều cần chứng minh.

00

B

, \3/2

10

2.36. Cho hàm sóng của ion hyñro H/ 2 10 = z

A

, \3/2

- ơ)e ~ ơ /2 vói ơ = —- . Hãy chứng minh:

(2

ơe ơ/2 cos0 và

Í-

a) Hàm I|/o10 là chuẩn hoá;

n3/2 _1 ___ z_

DI Ễ

N

ĐÀ N

a)

TO ÁN

Trả lời

-L

b) Hàm Vj/ 910 trực giao với hàm v|/200 •

>/3271 (a 0 1

32n

zr

— e 2a° COS0 r drsin0d0dcp

a„

5 oo K 271 _?_r f f f r 2e a° COS2 0r2drsin0d0d<p 0 0 0

90 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(X) ' „ \5 rxj _Ar 7t 2k z — I J? rr 4e a° dr J cos20sin0d0 J dọ 3271 ,a 0 *'a ° ' 0 0 0 n! J xne-axdx = _n+l 1 P *> Ó * X II

a

0

ðặt

0= 0

COS0 = X => dx = - sin0d0

0=

X =

71

X =

f ) *■_/

X

V 3 2 Í .a o , 3/2

ĐẠ O

a oJ

Zr

Zr e 2a° cos 9 r2dr sin 0 dOdcpx a„

10

1

Zr _ 2a0 Í9 2 — Zrl e 0

TR Ầ

0 0 0

3/2

z

B

f

b> /v 2 0 0 V 2 1 0 dT = / /

1

N

là chuẩn hoá. 00 n 271

dx = 1

00

^210

1

NG

24

3271 ,a o .

Hàm

\5

5

z

-1

41

'5

/ V210 V210 dT = £ 2 " “ • 7 ~ f 2n I x2(~dx)

1

1

TP .Q UY

Áp dụng

NH ƠN

1

A

>/32i

4 00 Zrì P 3L / rñ 2 - — e l a 0 J0 a0

-L

V3 2 Ũ

Í-

---

4 <x> / f 3 0 ZrL 1 r a 2 - — .B ao 0 '

TO ÁN

z ' Ỉ _ L --2 ■32tc , a 0 .

4 00 = -.2 n .^ f r 3 2 - — e a° dr J sin 2 0 d0 2 3271 a0, ao , 0 0

ĐÀ N

z

DI Ễ

N

Ta nhận thây J sin20d0 = -2cos0|q = 0 . Như th ế cả biểu thức trên sẽ 0

triệt tiêu. ðó là ñiều cần chứng minh. 91

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

[3 I 2.37. Cho hàm sóng Yio = k r-

l> COS0, hãy cho biết hàm này có chuan hoá

1.471J

NH ƠN

hay không? Trả lời sau: 1 /2

J YÍ0Y10dT = J y i — I

1/9

cosoí— I

cosOsinGdỡdcp

0 0 It

2ji

2n

ĐẠ O

7t

TP .Q UY

Muốn biết hàm Y10 có chuẩn hoá hay không ta thực hiện phép tính

= — f cos2 0sin0d0 fdcp = — f cos2 0sin9d0x27t

4tjJ

J

4n J

0

0

NG

0

3 2ĩ = — I cos2 0sin0d0 2i ðặt COS0 = X => dx = -sinúùíG

-> x= 1

0 = 2iz —> x = -l

B

TR Ầ

N

0=0

I Ị x2dx = f X y | - \ = 1

00

/Y ỉoY iodx = - | / x 2dx =

-1

10

1

A

Như vậy hàm Y 10 là chuẩn hoá. 2.38. Hãy chứng minh rằng hàm sóng ñối vói AO-2 pz có giá trị cựG-ñại dọc

Í-

\3/2

— e~Zrl2a° cosO. a„

Trả lời

TO ÁN

-L

theo true z. Biết \ịiọ„ = —7= 4^

ĐÀ N

ðiểu kiện ñế AO-2pz ñạt giá trị cực ñại khi

d lỊ/Ọ p

do

= 0.

DI Ễ

N

Thực hiện ñiều kiện này ta có:

hay

3/2

dvị/2]

de dv|/<

do

4-y/27t

Zr

—e

,

-Z r/2 a „ 0 (-sin 0 )

_= r,0 .

= - AsinG = 0

92

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Muốn thoả mãn ñiều kiện của bài toán thì 0 chỉ có thể nhận giá trị 0 = 0 hoặc 0 = Tt. ðiều này chứng tỏ giá trị cực ñại của hàm 2pz biến ñổi dọc theo trục z.

TP .Q UY

2.39. Hãy chứng minh rằng tổ hợp tuyến tính những hàm riêng khác nhau ứng với cùng một trị riêng thì tổ hợp này cũng sẽ là hàm riêng của toán tử H và trị riêng là suy biến. Trả lời Bài toán hàm riêng có dạng tổng quát là:

ĐẠ O

 VỊ/ = av|/

NG

Phương trình Schrõdinger ở trạng thái dừng cũng thuộc dạng này. Nếu ta gọi \ị/a là hàm riêng, Ea là trị riêng của toán tử Hamilton H thì phương trình là: H Vị/b = EbV|/b

(1) (2)

N

Một cách tương tự:

Hv|/a = E a\]/a

TR Ầ

Nhân cả 2 vế của (1) với ca và của (2) vối cb sẽ có: (3)

cbH\|/b = cbEbvị/b

(4)

00

B

ca Hv|/a = caEaiỊ/a

10

Cộng (3) và (4) khi Ea = Eb = k ta có: (5)

A

H (cav|/a + cb\|/b) = k(ca V|/a + cbv|/b)

-L

Í-

Phựơng trình (5) chứng tỏ cavị/a + cbvị/b là tổ hợp tuyến tính các hàm riêng khác nhau của toán tử H, k là trị riêng của H. ðiều này cung có nghĩa Ea = Eb là nghiệm của phương trình H\|/ = E\|/ và trị riêng bị suy biến 2 lần. Trưòng hợp Ea * Eb * k thì phương trình (5) không tồn tại hay:

TO ÁN

Ố(cav|/a + cbv|/b)

* k(caiị/a + cbvị/b)

Tổ hợp tuyến tính caiị/a + cbv|/b sẽ không.^hải là hàm riêng của toán tử H . Vậy chỉ có tổ hợp tuyến tính caVỊ/a + Cij\|/J3thoả mãn phương trình (5) mới

ĐÀ N

là hàm riêng của toán tử H và trị riêng E bị suy biến 2 lần.

DI Ễ

N

Từ kết quả chứng minh này ta nhận thấy: V|/n I m = Rn (. Yí>m ñem V ' áp dụng cho trường hợp cụ thể sau: V211= R 2i-Yn V21-1= ^2-l-Yl-l

93

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Hai hàm V J/211 và V21-1 chỉ khác nhau ở số lượng tử mf. Vậy khi 3ầìt hàm ta chỉ cần chú ý ñến hàm Y nên tổ hợp tuyến tính hai hàm obitan chúng ta chỉ cần lập tổ hợp tuyến tính 2 hàm góc Y tương ứng.

NH ƠN

VỊ/

TP .Q UY

2.40. Dựa trên khái niệm mật ñộ xác suâ't theo góc hãy khảo sát hình dạng các AO-S và AO-p rồi rút ra kết luận cần thiết. Trả lời

Theo lí thuyết, m ật ñộ xác suất theo góc ñược biểu diễn bằng hệ thức: |2

(ể = 0, m,Ị = 0) hàm Y|0 0 ;

10

1AO-ls

00

B

TR Ầ

N

NG

ĐẠ O

D(0,(p) = y ‘y = | y

2yfn

Í-

|2 ‘ 001

_

1

là một hằng số và hoàn tọàn không phụ

-L

D(0 ,q>)

A

ớ ñây phần phụ thuộc góc của Y không phụ thuộc vào góc 0 và <p. Như thế mật ñộ xác suất sệ là:

thuộc góc 0 và 9 . ðiều này có nghĩa là xác suất tìm thấy electron ñểu có ñối

TO ÁN

xứng cầu với bán kính r = —-. Thông thường người ta biểu diễn hình dạng 4iỉ AO-S là một ñường tròn.

Pz = M 0 =

DI Ễ

N

ĐÀ N

• Ta chuyển sang xét AO-p. Ví dụ AO-2pz ((? = 1, mf = 0).

Nếu chọn

1 cos0 = r = Vồ C O S 0 2v 71 V471 >/3

T

r 7

làm ñơn vi thì pz có dang: p2 = \Ỉ3cosQ v 4 tc

94

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

vậy sự biến thiên của pz phụ thuộc vào góc 0. ở ñây ta chon ñ iể m 0 làm gốc toạ ñộ sao cho nó trùng vối hạt nhân nguyên tử rồi từ ñó biểu diễn hàm này bằng những ñoạn thẳng ứng vói những góc 0 xác ñịnh

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

N hư

N

Từ hình trên ta nhận thấy:

TR Ầ

- Khi 0 = 0°, C O S 0 = 1 ta có ñoạn OA='n/3 nằm trên trục Oz ứng với giá trị lớn nhất.

10

00

B

- Khi 0 = 90°, COS0 = 0, ñoạn AO tiến tối gốc toạ ñộ o , nghĩa là mặt phẳng xOy vuông góc vổi trục Oz làm thành một mặt nút của hàm pz. 2

A

- Khi 0 = 45°, COS0 = — ta có ñoạn OB:

OB

=—

V2

2

-L

Í-

Như vậy ñiểm B nằm trên nửa ñưòng tròn ñưòng kính OA = -Ịi. Nếu ta quay nửa ñường tròn quanh trục z sẽ có hình cầu ñường kính OA tiếp xúc với Iĩiặt phẳng xOy tại ñiểm gốc 0 ứng vối sự biến thiên góc Gtừ 0° 90°.

TO ÁN

Ta tiếp tục thực hiện các phép biến ñổi tương tự, nghĩa là góc 0 chuyển từ 90° ñến 180° sẽ thu ñược mặt cầu thứ 2 giông hệt hình cầu thứ nhất nhưng nằm dưới mặt phang xOy với dấu âm.

ĐÀ N

Như vậy, khi ta biểu diễn hàm pz trong tọa ñộ cực sẽ thu ñược hai mặt cầu tiếp xúc nhau tại gổc toạ ñộ 0. ðiều này có nghĩa là hình dạng AO-p là hình số 8 . ta sẽ nhận ñược một hình số

8

tròn xoay

N

Khi bình phương hàm

DI Ễ

quanh trục z (giống quả tạ tay). Những ñiểm nằm trên vành số 8 biểu thị mật ñộ xác suất có mặt của electron quanh hạt nhân, chẳng hạn ñoạn OM làm ví dụ. 95

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

2.41. Căn cứ vào các ñịnh lí về sự tổ hợp tuyến tính các hàm góc, hặy xác ñịnh hàm AO-3dxy. _ I 15 . 2n ±2i<p Cho hàm Yo± 2, = J. —— sin 0fl.fi .e 1..

22

13271

TP .Q UY

Trả lời

NG

ĐẠ O

Y d x y - 7 ^ ( Y 2 2 ~ Y 2-2)

= 1 J M sin 20 [(ei<p+ e~iẹ) (e'ẹ - e-iíp)] 4i V47C

N

e ill>+ e -i<p

coscp= ----- —— và

TR Ầ

Sử dụng hệ thức Euler:

_ /15

\4n

2n ei<p+ e-i<p eitp - e- itpì 2 2i

sin 9

A

Y dxy =

10

V

ei(|) —e~i(|) , ta có: 2i

00

B

sin<p =

,hay

Í-

- . /15 . 2q • = — sin 0 coscp sinẹ y4ji

TO ÁN

-L

_= — 1 . ÍĨ5 . 2I, — sin sin 0 2 cos<p sincp 2 V471

_= 1- 15 sin • 200 sin . „2 cp 2 V4ĩt

ĐÀ N

Bằng cách tương tự ta có thể xác ñịnh ñược các hàm obitan dyz, dzx, dx2_y2

DI Ễ

N

2.42. Hãy chứng minh tổ hợp tuyến tính Y22 - Y2_2 chính là hàm AO-dxy. Trả lời Ta biết rằng hàm AO-dxy có dạng là:

96

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(1)

NH ƠN

2 Ị ẵ sin2e sin2(p

Mặt khác, ta biết rằhg khi giải bài toán ñôi với nguyên tử II ta phải chuyển hàm Vị/(r, 0 , ọ) từ toạ ñộ Descartes sang V|/(r, 0 , <p) ố toạ ñộ cầu. Quan hệ giữa 2 toạ ñộ ñó là:

TP .Q UY

z = rcos0 X = rsinG coscp y = rsinG sincp

ĐẠ O

Như vậy, một cách dễ dàng ta có các hệ thức tương ứng là: xy =rzsin 20 coscp sincp

NG

r2 2 = — sin 0 sin2cp 2

sin 20 sin 2 (p =

(2 )

N

r2

TR Ầ

Thay (2) vào (1) và ñăt J — = r 2, ta có: V 4?t

_ r 2 .2 xy _ - ^ 2-2 - ~ 9 - xy 2r

B

^ 22

00

..

10

ðó chính là AO-dxy

A

Một cách tương tự ta cũng có thể thực hiện các phép tổ hợp tuyến tính các hàm góc Y thành các AO-d tương ứng.

f

2

sin 0 cos2(p

TO ÁN

-L

Í-

2.43. Cho hàm obitan nguyên tử dx2_y2

Hãy biểu diễn hình dạng của AO này trên hệ trục toạ ñộ Descartes.

ĐÀ N

Trả lời

dx2_y2 nằm trong mặt phẳng xy. ðiểu này có nghĩa 0 = 90° hay

DI Ễ

N

sin0 = 1 . Như vậy dx2_y2 = Jí 15 cos2 cp Muốn xét sự biến thiên của AO-dx2_y2 ta chỉ cần xét sự biến thiên của góc (p trong mặt phẳng xy. Nói cách khác dx2l y2 = f(<p). ðể làm ñiều này ta lập bảng sau: 97

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

0

45

90

135

180

225

270

315

^60

1

0

-1

0

+1

0

-1

0

+1

NH ƠN

<p cos2 <p

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Theo các số liệu của bảng trên ta có thể biều diễn hình dạng AO-ñx2_y2 trên toạ ñộ Descartes như sau:

TP .Q UY

Kết quả ñã chỉ rõ dọc theo trục X là dẫu (+), còn dọc theo trục y là dấu (-).

TR Ầ

N

NG

ĐẠ O

Một cách tường tự ta cũng có thể biểu diễn các AO-d vối hình dạng hoa thị 4 cánh vối các cánh ứng với phần dương và âm tương ứng.

B

2.44. Từ các sô" hạng ñã biết: 2D, 1G, 6S hãy xác ñịnh các trạng thái ứng với mức năng lượng có thể có trong phân tử.

00

Trả lời

10

Số hạng: 2D. ðiều này có nghĩa là: 1

= 2 ---- > s =

A

ðộ bội: 2 S +

2

Í-

Số hạng vối kí hiệu D có nghĩa là L = 2.

-L

Từ giá trị L và s ta có thể có 2 giá trị của J:

J = Il + s I = | 2+ - I = -

TO ÁN

2

J= Il -

s

2

I= I2 --I = 2

2

DI Ễ

N

ĐÀ N

Như vậy, số hạng 2D có thể ứng với trạng thái: 2 rv Dõ/2 và- 2 t\ D3/2

Một cách hoàn toàn tương tự ta có thể viết: *G : j

2S

+1=

1

— -> s = 0 và G ---- > L = 4

= I l + s | = Ịl -

s

I= | 4 ±

o

I=4.

98 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ðiều này có nghĩa *G ứng vối trạng thái !G4.

6S : 2S + 1 = 6 — -> s = - và L = 0 Vây

NH ƠN

2

J = | L ± S | = 10 ± ^ I = 2

2

TP .Q UY

Do vậy, số hạng 6S ứng với trạng thái 6S5/2.

2.45. a) Xác lập những giá trị spin có thể ñốĩ với hệ có 2 electron.

ĐẠ O

b) Khi có mặt electron thứ 3 ñược ñưa vào hệ trên thì giá trị spin sẽ là bao nhiêu ? Trả lời

-1 - ỉ 2 2

ị.

t hoặc i ị

ðộ bội sẽ là:

2S + 1

Si = 0 ---- > 2.0 + 1 =

1

ứng với trạng thái singlet

Nếu

Sị =

=3

ứng vói trạng thái triplet

2 .1

+

1

10

---- >

00

B

Nếu

1

-> Si = 1

N

Khả năng 2 : t

---- » Sị = 0

t

TR Ầ

Khả năng 1 :

NG

a) Hệ có 2 electron sẽ tồn tại hai khả năng:

S, = 1

1

+ - ( t ) ---- > So = 2 2. 2

Vối

A

b) Khi thêm electron thứ 3 vào hệ 2 electron ò trên thì:

Í-

s, = 1 - ỉ ( ị ) — -> So= ỉ

-L

1

22

2

2

TO ÁN

Lúc ñó các trạng thái có thể có sẽ là:

ĐÀ N

3 3 S2 = — -- > 2. —+ 1 = 4 So = - -- » 2

ứng vối quadratet

2 .- + 1 = 2 sẽ có doublet 2

DI Ễ

N

2.46. Giátrị sô' hạng của Cr ñược xác ñịnh bằng phương pháp phổ phát xạ là 7S3. Hãy cho biết cấu hình electron ñúng của Cr ở trạng thái cơ bản là như thế nào ? 991

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

T rả lờ ỉ

1t ị 1

b) ls 22sỉ 2p6 3s2 3p6 4s13d5 hay ~

t

c) ls 22s2 2p6 3s2 3p64s03d6 hay ~

1

1 1

1t

t

t

t

í

t

T

t

1ĩ l

T

t

TP .Q UY

a) ' ls 2 2siỉ2p6 3s‘ỉ3pe4s'i3ñ4 hay ~

NH ƠN

Theo quy tắc ta có thể viết cấu hình electron của Cr (Z = 24) như sau:

t

t

t

Rõ ràng

2S + 1 = 7 ---- > s = - = 3

Mặt khác

s = — ---- » N = 3.2 = 6

ĐẠ O

Trong 3 phương án a, b, c ta có thể khẳng ñịnh dựa vào số hạng 7S3 thu ñược từ thực nghiệm như sau:

NG

2

2

TR Ầ

N

Như vậy trong cấu hình electron của Cr phải có 6 electron ñộc thân. ðối chiếu vói 3 phương án thì chỉ có phương án b là phù hợp. Do ñó cấu hình ñúng của Cr là:

B

Is 2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1 3d5

A

10

00

2.47. Hãy cho biết có bao nhiêu khả năng có thể dùng ñể mô tả sự phân bố 4electron trên obitan p (p4). ứng vổi mỗi khả năng hãy tính giá trị Ml và Mg.

Trả lời

Í-

Cấu hình electron củá p 1 ứng với t = 1 có 4 electron ñược phân bô'

Na

TO ÁN

-L

trong 3 ô lượng tử theo các khả năng ñược liệt kê trong bảng sau:

DI Ễ

N

ĐÀ N

1

0

M l = £m/>

Mg = £mg

2

0

-1

1

n

tị

2

tị

t

t

1

1

3

U

t

1

0

4

tị

t

1

0

5

n

1

-1

100 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

t

tị

t

0

1

7

t

tị

0

0

8

ti ị ị t ʹ

tị

0

0

t ị ti

0

0

0

-1

10 11 12

ĩ l

T ị ị

13 14

tị tị

ị u

1

0

-1

tị Tị Tị tị

-1

0

-1 -2

-1 0

NG

15

-1

ĐẠ O

9

TP .Q UY

6

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

2.48. Dựa vào khái niệm liên kết Russell-Saunders hay liên kết L-S và căn cứ vào cấu hình electron của nguyên tử Fe (Z = 26). Hãy xác ñịnh số hạng cơ bản cho các trường hợp sau: c) Fe3+.

N

b) Fe2+;

TR Ầ

a) Fe; Trả lời

00

B

a) Cấu hình electron của Fe ỏ trạng thái cỡ bản là:

10

ls 2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6

2

1

0

t

-1 -2

Ml = £raf -

2

hay

L=2

TO ÁN

9.

T t

Í-

ĩ

-L

tị

A

Từ câu hình này ta nhận thấy số electron trên các phân lớp ñã hoàn toàn bão hoà trừ phân lớp 3d.

N 4 Giá tri s ñươc tính theo biếu thức: s = — = - = 2 ; 2 2

ĐÀ N

Với L = 2 ta suy ra sô' hạng là D. ðộ bội

2S

+ 1 = 2 .2 + 1 = 5, nghĩa là 5D.

DI Ễ

N

Do cấu hình electron của phân lớp d 6 là quá nửa nên: J = IL + s I =

Ị2

+ 2 Ị - 4 . Vậy sô'hạng cơ bản của Fe là: 5D4

b) ðối vối ion Fe2+, câu hình electron là: ls 2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 101

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

c) ðối với Fe3+, cấu hình electron là ls 2 2s2 2 p 6 3s2 3p6 3d 5

TP .Q UY

Bằng cách lập luận tương tự như trên ta có:

Ml = 2

1

-1

0

0 -----> L = 0

- 2

ĐẠ O

nif:

NH ƠN

Ta nhận thấy 2 electron trên phân lốp 4s mất ñi nên phân lớp 3tì6 vẫn giữ nguyên. Trong trường hợp này số hạng cơ bản của Fe2+cũng tương tự như Fe, nghĩa là 5D4.

NG

Vậy sô'hạng cơ bản của Fe31"là: 6S 5/2

N

2.49. a) Hãy xác ñịnh giá trị năng lượng E và dạng hàm sóng V|/ cho nguyên tử hêli (I-Ie) ỏ trạng thái cơ bản với giả thiết năng lượng ñẩy giữa 2 electron bị bỏ qua.

00

B

TR Ầ

b) So sánh kết quả năng lượng tính ñược vâi kết quả thực nghiệm E = -2,904Eh (Eh- ñơn vị Hartree) và cho nhận xét.

10

2

A

1 Eh= — ,k = 4,3598.10“18J Trả lời

Í-

Bài toán He ñược tiến hành giải như sau: 1

1|/ (2 )-

2

-L

V)i (1 )- hàm sóng mô tả e thứ

TO ÁN

hàm sóng mô tả e thứ

,.1|/ = v|/(l)vị/(2 )

(1)

ĐÀ N

Thế năng của hệ là: r/ 2

2

= rl

r2

(2)

Ze

*12

Toán tử H có dạng:

DI Ễ

N

u

n 2

(3)

102

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

+

Ĩ Ể .- Ỉ Ể - Ể . rl

r2

(4)

r12

h. = — ; mc, e0, a 0 và k = —ỉ — ñều bằng ñơn vi. 2n 47T8Như vậy phương trình (4) ñược viết lại là: ZZ rl

_1 r2

ĐẠ O

- | l( lm2 v f+ v l) +

TP .Q UY

Trong các bài toán về nguyên tử ñể thuận tiện ngưòi ta thường chuyển ñơn vị SI thành ñơn vị nguyên tử (au) ñược quy ước như sau:

1-12

NH ƠN

Phương trình Schrởdinger viết cho nguyên tử He là:

(5)

NG

Trong phép gần ñúng Born-Oppenheimer (gần ñúng bậc 0) người ta bỏ qua th ế năng tương tác giữa các electron vói nhau do ñó phương trình (5) ñược rú t gọn lại là: (6 )

TR Ầ

N

z z —+ — lrl r2

Chia cả 2 vế của (6 ) cho i|/(l)v/(2) ta có:

1 2 z „ V 2 + — xụ(2) = E v|/(2 ) 2 r2 ,

B

1 2 z 77V1 + — ¥(1) 2 rl.

10

00

(7)

A

Phương trình (7) ñược tách làm 2 phương trình riêng biệt:

1 2 z - v f + — Vj/(1) = EìhKY) 2 ri ;

Í-

ơa)

-L

- ^ 1 + - v|/(2 ) = E2v(2) 2 r9

TO ÁN

(7b)

DI Ễ

N

ĐÀ N

Mỗi phương trình này ñược xem là một phương trình Schrỏdinger viết cho ion giống hiñro nên các nghiệm của chúng ñểu có dạng ñã biết (viết theo ñơn vị nguyên tử). 1/2

z3' V<1) = 71 ^ \

e -Zri-;

=— Ể- o-Z(rl+r 2) V|/ = \|/(l)\|/(2 ) = e K

v( 2 ) =

z3'

1/2

e_Zr2

71

(8 ) 103

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

7^ n

TP .Q UY

e = e 1+ e 2= ~

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ở trạng thái cơ bản (n = 1) giá trị E sẽ là:

( 10 )

ĐẠ O

E = - z 2 = 2 Z2 Eh

(9)

ở ñây Efj của nguyên tử hiñro tính theo Ilartree sẽ là:

Với nguyên tử He, giá trị E]/t = 2.22( - - Eh) = -4Eh 2

N

b)

NG

EH= - ± E h

TR Ầ

Nếu so sánh vói giá trị Et/n = -2,904Eh thì AE = -l,096Ej,. Kết quả này ñẫn ñến sai sô' qua lổn. ðiều này có thể giải thích bằng.sự bỏ qua th ế

Trong hoá học lượng tử, năng lượng ñược biểu diễn theo ñơn vị nguyên me4 tỏ (au) ñược gọi là Hartree bằng hệ thức Eh = —, k 2 . Hãy chuyển hi 1 Eh thành các ñơn vị khác: theo J; kj/mol; cm-1 và eV.

-L

Í-

2.50.

A

10

00

B

năng tương tác ñẩy - ì - trong quá trình tính toán. Kết quả này sẽ tcít rl,2 hơn nhiều (sai sô' khoảng 5,3%) ñược thực hiện bằng phương pháp biến phân có tính ñến sự nhiễu loạn do thế năng ñẩy gây ra.

TO ÁN

Trả lời

ĐÀ N

me4 - Từ biểu thức Eh = — k 2 chúng ta thay các giá trị tương ứng theo tì ñơn vị SI sẽ dẫn ñến kết quả ñơn vị theo J.

DI Ễ

N

9

Ịl,052.10-34 J.sj2 = 4,365.10~18J

104 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

- Theo ñơn vị kJ/mol = 2627,67 k J.m or1

- Theo ñơn vị sô" sóng cm" 1 V=

— ta biên ñổi như sau: k

V= —

A.

Thay các giá trị tương ứng ta có:

hay

1

V:

4,365.10“ 18J 3.108m.s~1 x6,62.10_34J.s

hc

=

-JL c.h

219,78851 m - 1

ĐẠ O

E •= ch

=

TP .Q UY

Xuất phát từ biểu thức

NH ƠN

l E h = 4,365.10~18J xl O - 3 x6,02.10 23

Eh = 2,197.105cm_1

NG

- Theo ñơn vị eV

Ejj = 4,365.10

leV

18 J

N

1

= 27,23 e V .

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

10

00

B

TR Ầ

Quả vậy:

Chúng ta có thể .dễ dàng chuyển từ ñơn vị J thành eV theo hệ số chuyển ñổi 1 eV = 1 ,6 .10-19 J.

1Q5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

»

NH ƠN

C- Bài tập chưa có lời giải

TP .Q UY

2.51. Từ thực nghiệm người ta ñã ghi ñược các vạch phổ thuộc dãy Lyman ứng với sô' sóng tương ứng. Ion giống hiñro Li2+ là: 740747; 877924; 925933 cm"1. a) Tìm giá trị hằng số’R cho ion Li2+.

b) Xác ñịnh sô' sóng cho 2 vạch ñầu tiên thuộc dãy Balmer. ðS.

ĐẠ O

c) Tìm năng lượng ion hoá (eV) cho Li2+.

a) R =987663 cm'

1 1

NG

b) v32 = 137175 cm'

V43 = 185187 cm-1 c) Eị =1224,7 eV

TR Ầ

N

2.52. Khảo sát hàm bán kính ch.ia chuẩn hoá ồ trạng thái cơ bản dưới dạng: R 10 = N. e_r/a° ñối với nguyên tử hiñro.

B

Hãy xác ñịnh thừa sô'chuẩn hoá N và viết hàm R 10 ñã ñược chuẩn hoá.

A

10

00

ðS. 1

R 10

3/2

. e,- r /a ,

V|/ = s i n —

X

v ớ i k h o ả n g

TO ÁN

Li

-L

Í-

2.53. Hãy chuẩn hoá các hàm sóng sau ñây: 0 < X

trong không gian 3 chiều,

vy =x. e-r/2a°

trong không gian 3 chiều.

ĐÀ N N

th iê n

\|/=e-r/a“

Cho biết:

DI Ễ

b iế n

X

<L

= rsinS cosọ;

dĩ = r 2drsin 0 d0 d(p

Khoảng cách biến thiên của r, 0 và cp là: 0

<

r

<

co;

0

<

0

<

7t;

0 < ( p

< 2 tc

106

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

n!

Dạng tích phân j xne axdx =

a) Hệ số chuẩn hoá N = J — ễ b) Hệ số’chuẩn hoá N = c) Hệ sô' chuẩn hoá N =

Ỵ =

-

TP .Q UY

ðS.

NH ƠN

a, n + l

0

ĐẠ O

327ta0

.2.

„ -3 /2 '• or,

\

/

1/2

1

NG

2.54. Chúng ta biết rằng hàm bán kính R(r) của AO-2s ñổi với nguyên tủ hiñro có dạng: 1— —

.

2a0.

r = (3±Võ)a 0

00

ðS.

B

TR Ầ

N

Hãy khảo sát sự biến thiên của mật ñộ xác suất tìm thấy electron theo bán kính r và cho biết giá trị cực ñại của mật ñộ xác suất tại r. Các kết quả thu ñược hãy biểu diễn trên ñồ thị.

A

V2p = f(r)sin9 C0S(p

10

2.55. Cho hàm sóng AO-2px và 2 py ñối vối ion giông hiñro có dạng tổng quát sau:

Í-

Vị<2 p = f(r)sin0 sin<p '

-L

dx = r 2drsin 0 d0 d(p

TO ÁN

Hãy chứng minh hai hàm Vị/Ọp và V|/2p thoả mãn ñiều kiện trực giao.

2.56. Hãỵ chứng minh rằng ñối vối các phân lốp ñã bão hoà (vỏ ñóng) như ns2, np6, nd10, nf14 luôn luôn ứng với số’hạng 1s 0.

DI Ễ

N

ĐÀ N

2.57. Trong phổ phát xạ của nguyên tử hiñro tồn tại nhiều dãy phổ khác nhau như Lyman, Balmer, Paschen,... Hãy tìm một công thức tổng quát ñể xác ñịnh bưốc sóng ñặc trưng cho bưốc chuyển giữa 2 mức năng lượng kế tiếp nhau. ðS.

n2(n + l )2 Rjj(2 n + 1) 107

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2.58. Cho hàm bán kính của nguyên tử hiñro có dạng như sau:. .r.e -r/2a„

NH ƠN

n5/3

TP .Q UY

Hãy xác ñịnh xem ở ñiều kiện nào thì xác suất tìm thấy electron có giá trị lớn nhất (không phải bán kính). ðS. Tại ñiểm dọc theo 1 trục có giá trị bằng ± 1,06 Ả

ĐẠ O

2.59. ạ) ỊỊãỵ chứng minh rằng hàm AO-px và AO-Pj, không phải là hàm riêng cẬa toán tử Mz. b) Các tổ hợp tuyến tính px + ipy và px - ipy có phải là hàm riêng của toán tử Mz không ? px = f(r)sin0 coscp

NG

Cho:

Py = f(r)sin9 sincp

TR Ầ

N

M = -ih — dọ

B

Hướng dẫn: Thực hiện theo phương trình Ả f = af. Sử dụng ñịnh lí Euler:

10

00

cosẹ = —(eiq) + e~iC|>) và sincp = ~ (eil|) - e_i<í>)

J_

-3/2

,- r /2 a „

2a„o )

Í-

R2s = -j= (a0)

-L

Cho:

A

2.60. Hãy tính khoảng cách trung bình từ hạt nhân ñến electron có mặt trên AO-2s và AO-2p của nguyên tử hiñro.

1

■5/2 w

-rJ2an

TO ÁN

dr = r2dr với khoảng cách xác ñịnh [0, oo]

DI Ễ

N

ĐÀ N

Hướng dẫn: Thực hiện theo biểu thức tính khoảng cách trung bình: { a J = J\ụ*Â\ựảx rx,

Sử dụng dạng tích phân J xne-bx _ n! bn+1 0 ð S-

{

r

) 2p

= 5a0; ( r

) 2s

= 6a0

108

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP .Q UY

Chương 3

Lí th u yết tóm lược

1.

Khái quát chung

NG

A-

ĐẠ O

ÁP DỤNG Cơ HỌC LƯỢNG TỬ VÀO CẤU TẠO PHÂN TỬ

Í-

A

10

00

B

TR Ầ

N

ðến nay ngưòi ta quan niệm phân tử như là một hệ gồm một số giới hạn các hạt nhân nguyên tử và các electron ñược phân bố theo một quy luật xác ñịnh trong không gian tạo thành một cấu trúc bền vững. Về nguyên tắc, khi khảo sát phân tử ta phải giải phương trình sóng: Hv|/ = Ev|/ ñể xác ñịnh hàm sóng V mô tả các trạng thái của phân tử và các trị riêng năng lượng E tương ứng. Do phân tử là hệ phức tạp nên bài toán phải giải bằng phương pháp gần ñứng. Toán tử Hamilton có dạng: H = f e + f n + ử ee + ử i + Ù nn

TO ÁN

-L

Do hạt nhân nặng hơn electron hàng vạn lần nên ñộng năng của hạt nhân Tn có thể bỏ qua và tương tác ñẩy giữa các hạt nhân Unn là hằng số. Vậy thực tế:

h2

N

—Y ' V; 2m

ĐÀ N

Te =

H = T e + ử en + ử ee

N

- ðông năng của electron.

z

2

DI Ễ

N

ủ en = ^ 2 ^ 2 - Thế năng tương tác giữa hạt nhân và electron, ỉ

A

rAi

N

N

Z e2

ừ ee = J2 Y ' i

j< i.

—— - Thế năng tương tác giữa các electron vối nhau

r8

109

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Gần ñúng Born-Oppenheimer chỉ tính ñến Te và ừ en

NH ƠN

H '= f e + Ùen Gần ñúng Hartree-Fock. Do bỏ qua Uen ñã dẫn ñến kết quả quá xa vói thực tê' nên Hartree ñã trung bình hoá thành phần ử en vói hàm sóng ở dạng:

TP .Q UY

VỊ/= ộ Vi

ðe phù hợp với nguyên lí Pauli, hàm sóng phải là phản ñôl xứng nên Fock ñã viết hàm sóng dưới dạng ñịnh thức Slater:

ĐẠ O

T = (N!)'1/2| Vicyi |

00

B

I dt E = - „ -----/ dx

TR Ầ

N

NG

ðôì với phân tử, Roothaan ñã chọn hàm sóng dưới dạng tổ hợp tuyến tính MO- LCAO (Molecular Orbital - Linear Combination of Atomic Orbitals). n v= i ðể xác ñịnh hàm sóng V và ĩiing lượng E cho hệ phân tử người ta thường sử dụng phương pháp biến phân:

Phương pháp liên kết hoá trị (VB - Valence Bond)

10

2.

Í-

A

ở phương pháp này ngưòi-ta thừa nhận trong phân tử, các electron tồn tại riêng lẻ và phân bô' trên các AO. Liên kết hình thành phải do một cặp electron tham gia.

-L

Minh hoạ cho phương pháp VB là bài toán hiñro và giải theo phương pháp biến phân dẫn tới kết quả.

TO ÁN

Năng lượng của phân tử H -2 là: E± = 2 E h + - ^ 4 1±S2

N

ĐÀ N

Hàm sóng trong phân tử ñược xác ñịnh là:

DI Ễ

ỏ ñây ta kí hiệu:

v ± = V2 í l s a ^ ls b ®

v|/1Sjt = ls a;

±

l s a ( 2 ) l s b ( l) ]

V|/lsií = ls b;

Eh- năng lượng của nguyên tử H ở dạng cô lập và ở trạjig thái cơ bản.

110 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

c = j j l s a(l)lsb(2) H ls a(l)lsb(2)dx1dT2

- Tích phân Culông

A = j j l s a(l)lsb(2) H ls a(2)lsb(l)dx1dT2

- Tích phân trao ñổi

s = |ls ^ (l)lsb(2)d-t1= j l s a(2)lsb(l)dt2

- Tích phân xen phủ

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP .Q UY

Trong phương pháp VB người ta cũng chú ý ñến trạng thái liên kết cộng hoá trị và ion. Vì vậy: ¥ H 2= c i V h t +. c 2Vion

ĐẠ O

Thuyết lai hoá. Pauling ñã ñưa ra khái niệm lai hoá trong thuyết VB.

Lai hoá sp:

1AO-S + lAO-pz = 2AO-SP

d x = -ir(s + Pz) V2

TR Ầ

d2= ^ ( s - P z)

...

N

2AỌ-SP là:

NG

Các obitan lai hoá là những tổ hợp tuyến tính các AO và mô tả trạng thái ñặc biệt của nguyên tử.

1AO-S + 2AO-P = 3AO-sp2

B

L ai hoá sp2:

tj = -4= (s + V2 px) -v/3

10

00

3AO-sp2 là:

A

t2 = - ~ ( ^ s - p x+ x/ãpy)

Í-

f3 = - i ( V 2 s - p x- V3py)

1AO-S + 3AO-P = 4AO-sp3

3

TO ÁN

4AO-SP là:

-L

L ai hoá sp3:

1

te!= - ( s + Px+Py + Pz)

ĐÀ N

te2 = ^ (s + P x -P y -P z) ^ ( s - P x + P y -P z )

DI Ễ

N

te4 = ^ (s - px - Py + Pz) s = ~^= ;pY= J — COS0 coscp;

■JĨH

Un

111 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3.

«

CO S0

NH ƠN

Py =

Phương pháp obitan phân tử (MO-Molecular Orbital)

TP .Q UY

Thuyết MO thừa nhận là các electron ñược phân bô' trên các MO chung toàn phân tử. Những MO này ñược xác ñịnh từ sự tổ hợp tuyến tính của các AO (MO-LCAO). Ion phân tử hiñro H| ñược lấy làm ví dụ ñể diễn giải cho phương

ĐẠ O

pháp này.

Năng lượng của hệ:

E+ =

NG

Ap dụng phương pháp biến phân và các nguyên lí, quy tắc thông dụng của cơ học lượng tử cho trường hợp này chúng ta có các nghiệm sau:

l±s

Hàm sóng tương ứng:

a, p < 0

TR Ầ

N

vị/+=-^(lsa ± l s b) ;

00

l s bỒ l s adT

- Tích phân trao ñổi. - Tích phân xen phủ với 0 < s < 1

A

10

p = |l'sa H ls bdt =

B

- Tích phân Culông

Í-

Từ các giá trị E và ụ thu ñược, ngưòi ta tiến hành xây dựng các giản ñồ MO bao gồm:

-L

MO liên kết ứng vối E+ và V|/+

TO ÁN

MO phản liên kết ứng với E_ và \ụ_

ĐÀ N

Trong trường hợp cụ thể, người ta tổ hợp các hàm sóng mô tả các electron hóa trị tham gia tạo liên kết-và xác ñịnh phần trăm (trọng số) của từng obitan tham gia liên kết thông qua hệ sô' Cj.

Phương pháp HMO (Hxickel’s Molecular Orbital)

N

4.

DI Ễ

ðây là phương pháp MO áp dụng cho các dạng hợp chất liên hợp n. Nghĩa là khi xác ñịnh năng lượng và hàm sóng cho hệ phân tử này ngưòi ta chỉ xét ñến các electron 7t tham gia tạo thành liên kết. 112

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ðốí vổi hệ liên hợp n mạch thẳng vối n electron 7t:

NH ƠN

Vi = C lộ l + c 24>3 + c3<ì>3 + - + cn4>n

0

0

0

0

1

0

0

0

X

1

0

0

TP .Q UY

Áp dụng phương pháp biếri phân và các quy tắc riêng do Huckel ñề xướng dẫn tối ñịnh thức:

Dn = 0

0

0

ĐẠ O

1

0

X

NG

Vói E = a - xp

Giải ñịnh thức th ế kỉ Dn chúng ta sẽ xác ñịnh ñược giá trị năng lượng Ej và hàm sóng VỊ/ị của hệ.

TR Ầ

N

Trong trưòng hợp mạch thẳng (polien) ta có thể áp dụng công thức hạ bậc ñịnh thức Dn bằng biểu thức: D n = x D n - l ~ D n-2

00

B

Cũng có thể sử dụng biểu thức do Coulson ñưa ra ñể xác ñịnh:

10

Ej = a + 2pcos(—— I

I riu sin — l^n +1

A

2 — n +1

C ir =

i- là obitan thứ i;

Í-

trong ñó:

-L

n- là sô' lượng nguyên tử cacbon trong phân tử;

TO ÁN

r- là nguyên tử cacbòn thứ r.

D» =

DI Ễ

N

ĐÀ N

ðốỉ với hệ liên hợp 7t mạch vòng, ví dụ vòng benzen, ñịnh thức thế kỉ sẽ có dạng: X

1

0

0

0

1

1

X

1

0

0

0

0

1

X

1

0

0 -

0

0

1

X

1

0

0

0

0

1

X

1

1

0

0

0

1

X

113

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Giải ñịnh thức Dn tìm X và suy ra giá trị Ejỉ kết hợp với ñiều kiện c h u ẩ n hoá của hàm sóng ñể xác ñịnh các giả trị cir cho hàm sóng If/j.

X+

3

sx

1

1

0

X+ Sc>

1

l

x

0

0

1

0

l

1

0

0

0

1

X

1

0

1

X + 5 C'

NG

0

0

ĐẠ O

4

TP .Q UY

NH ƠN

ðối vôi hệ liên hợp 71 cho hợp chất dị vòng thì cách tiến hành cho bài toán này cũng tương tự như trưòng hợp mạch thẳng và mạch vòng. Ớ ñây ta phải chú ý ñến sự ảnh hưỏng của dị tố X. Ví dụ:

6X- gia số ảnh hưổng của dị tô' X;

8C" gia sô' gây ra ñối vói cacbon khi có mặt của X.

TR Ầ

N

Giải ñịnh thức này ñể xác ñịnh E j và V|/j của hệ. S ơ ñ ồ M O (7t)

A

10

00

B

Từ các giá trị Ej và íị/ị thu ñược của phương pháp H M O ngưòi ta xây dựng ñược các sơ ñồ MO (lĩ) nhằm tìm hiểu cơ chế phản ứng và các vấn ñề liên quan ñến cấu trúc của hợp chất khảo cứu thông qua các thông sô' sau:

Í-

-L

Bậc liên kết:

n

2

qr = ỵ Vị cfr

Mật ñộ electron:

TO ÁN

Chỉ sô' hoá trị tự do:

Prs

n X vicircÍ! i=l

Fr = 4,732 - Nr

Vj -

nhận các các giá trị

i -

obitan thứ i;

0 , 1, 2 ;

ĐÀ N

r - nguyên tử cacbon thứ r ; s - nguyên tử cacbon thứ s ;

DI Ễ

N

Nr- bậc liên kết có thể có quanh nguyên tử cacbon thứ r.

114 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

B-

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập áp dụng

NH ƠN

3.1. Khảo sát các biểu thức toán cho các AO lai hoá a) Hãy cho biết nguyên tắc xây dựng các AO lai hoá.

TP .Q UY

b) Hãy minh hoạ nguyên tắc cách xác ñịnh các hệ sô' tổ hợp aj b ị... ñối với kiểu lai hoá sp2. Trả lòi a) Nguyên tắc xây dựng các AO lai hoá là:

Py

Pz

B

TR Ầ

N

Px

NG

ĐẠ O

Có bao nhiêu AO tham gia lai hoá thì có bây nhiêu AO hình thành lai hoá. Ví dụ kiểu lai hoá sp3 có 1AO-S và 3AO-P tham gia sẽ dẫn ñến 4AO lai hoá: 1AO-S + 3AO-P = 4AO-sp3. v ề m ặt năng lượng ta có thể hình dung theo sơ ñồ sau:

00

s

A

10

Các hàm lai hoá thu ñược dựa trên phương pháp tổ hợp tuyến tính các AO tham gia lai hoá.

Vi =ai ộ1+bi <|>2+Ci<ị>2•••••••

Í-

Như kiểu lai hoá sp3 sẽ có 4 hàm lai hoá lị/ Vị/j = ajS + bjPx + CjPy + diPz

-L

cụ thể:

TO ÁN

v|/2 = a2s + b2px + c2Py + d2pz vy3 = a3s + b3px + c3py + d3pz

ĐÀ N

V|;4 = a4s + b4px + c4py + d4pz

DI Ễ

N

b) Trường hợp ñối với kiểu lai hoá sp2 là do 1AO-S tổ hợp với 2 AO-p tạo ra 2AỌ-sp2. Cụ thể là: V i = a xs +

b]jpx +

c^Py

v)/2 = a2s + b2px + c2Py iị/3 = a 3s + b3px + c3py 115.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

ðể xác ñịnh ñược 9 hệ số tổ hợp aị, bị, C; ñòi hỏi phải có ñủ 9 pỉyương trình liền hệ các hệ sô'cần tìm. Dựa vào các hàm AO s, p là trực chuẩn ta dễ dàhg xây dựng ñược 9 phương trình tương ñương như sau: af + bf +cf = 1

(l)

a! + b | + c | = 1

TP .Q UY

Do các hàm s và px, Py, pz ñã chuẩn hoá nên ta có 3 phương trình:

+

a3

(2)

+ c§ = 1

(3)

al a3 + a2a3 +

bl b3 + cl c3 = 0 b2b3 + C2C3 =0

NG

bi b2 + C1C2 =0

(4) (5) (6)

&1&2 +

ĐẠ O

Mặt khác, do các AO tham gia lai hoá có tính trực giao, vì vậy ta sẽ có các cặp hàm sau:

TR Ầ

N

Ngoài ra do lai hoá sp2 là lai hoá tam giác nên chung ta thực hiện một sô' phép ñôi xứng thích hợp ñể chuyển AO lai hoá này thành AO lai hoá khác. Ví dụ phép phản chiếu ơ(xz) thì hàm v|/2 thành v|/3 nghĩa là:

B

ơ(xz)[a2s + b2px + c2Py ] = (a3s + b3px + c3py ) (7)

A

10

00

Trong phép phản chiếu ơ(xz), từ hình vẽ ta nhận thấy AO-S có ñốỉ xứng cầu, AO-px hưống theo trục X không ñổi dấụ, còn Py sẽ có chiểu ngược lại. Như thế

ơ (x z )[a 2s + b2px +c2Py] = (a2s + b2px - c 2Py) (8)

Í-

Khi so sánh kết quả ồ (7) với (8) sẽ dẫn tới:

-L

= a2 ’

b3 = b2 ;

c3 = -c2

(9)

Dựa vào hình học phân tử hãy xác ñịnh nhanh các hệ số tổ hớp ÂO lai hoá và dấu của chúng cho các trường hợp sau:

ĐÀ N

3.2.

TO ÁN

Với 9 phương trình vừa xác lập ñược, về nguyên tắc, chúng ta giải chúng và thu ñược 9 hệ số tổ hợp.

DI Ễ

N

a) Kiểu lai hoá sp;

b) Kiểu lai hoá sp2.

Trả lời a) Lai hoá sp là do sự tổ hợp tuyến tính sau:

116 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Y l= a l s + b lPx

TP .Q UY

NH ƠN

y 2- a2s + b2px

ĐẠ O

Hai hàm lai hoá V)/! và \|/2 thu ñược cùng hưống dọc theo trục z nhưng ngược chiều nhau. Trong kiểu lai hoá sp này chỉ có AO-S và A0-p2 tham gia lai hoá nên ñương nhiên mỗi AO lai hoá sẽ ñóng góp 1/2 tính chất s và 1/2 tính chất p, có nghĩa là aj2 = a22 và l^ 2 = b22. Như thế về trị số tuyệt ñối các hệ số ñều cùng bằng 1/V2 .

NG

Vói kết quả này ta có thể viết các hàm lai hoá như sau:

V i = ^ ( s + Pz)

V i= ^ (s - P z )

TR Ầ

N

Do \|/2 có hưóng ngược lại nên hàm lai hoá i|/2 có dạng:

B

Người ta cũng có thể biểu diễn 2 hàm lai hoá này dưới dạng ma trận

00

sau:

1 ì V2 r s '

J_

_ J _ I p Z>

,n/2

V2 ,

Í-

U 2J

A

10

( l V2

-L

b) ðỔI vối kiểu lai hoá sp2, về nguyên tắc ta có 3 hàm lai hoá sau:

TO ÁN

Vj/J = ajS + bjpx + CiPy \|/2 = a2s + b2px + c2Py i(/3 = a3s + b3px + c3py

ĐÀ N

ở kiểu lai hoá sp2 sẽ có 1/3 tính chất s và 2/3 tính chất p. Ta xét cụ thể từng hàm lai hoá (xem hình vẽ ỏ bài 3.1).

DI Ễ

N

ðối vối hàm lai hoá V)/1 hướng theo trục X nên phần ñóng góp cho các hệ số chỉ có tính chất s và tính chất PX) như thế một cách trực giác ta có: 1

v i= v H ễf Px 117.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

(Phần ñóng góp của Py sẽ bằng không vì hàm này không hướng theo trục x). ðối vối hai hàm lai hoá cồn lại Vịf2 và \|/3 các phần ñóng góp của AO-S và AO-px và AO-py như sau:

TP .Q UY

AO-S ñóng góp là 1/3 cho mỗi hàm lai hoá.

AO-p ñóng góp chỉ còn lại 1/3 chia ñều cho 2 hàm VỊ/ 2 và Vịi2 nên trị số và ñều mang dấu ” vì chúng ñều nằm dưới trục X. Do V6 AO-py không tham gia ñóng góp cho hàm Vị/1 nên phần ñóng góp của chúng chia ñểu cho 2 hàm \ự2 và ụ 3 là 1/2, nghĩa là trị số tuyết ñối là I/V 2 . ở ñây hệ sồ' này mang dấu ñối với hàm v3 vì chúng hướng ngược chiều với trục y. Vậy hàm i|/2 và V|/a có dạng: - 7=

NG

ĐẠ O

tuyệt ñối sẽ là

TR Ầ

N

¥2 = V3S~ V 6 Px + V 2Py ử S“ ^ P x " Ẳ Py

-L

Í-

A

10

00

B

Theo thông lệ ta viết kết quả thu ñược dưối dạng ma trận sau: í nr \ 1 2 0 Vã V3 1 1 1 V2 V2 s ,V3. 1 1 1 vpy ; & Hãy chứng minh các hàm lai hoá thuộc dạng sp2 là trực giao từng ñôi một. Vi

à 2s t ề 2p’

ĐÀ N

TO ÁN

3 .3 .

DI Ễ

N

Cho

V3‘ ^ 2 s^

2p' - ^ 2p-

Các AO-2s, 2px, 2py ñều là những hàm trực chuẩn.

118 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời j\|/Ịiị/2<ỈT- 0

và V|í2 ñã cho vào biểu thức này sẽ có:

K w h = ^ 2 s - + J 2p; j [ Ì 2 s - Ì 2 p y + ^ 2 f c ) d , = ị J2s* 2sdx + ^ |2s2pỷdx -

TP .Q UY

Thay giá trị

(ðiều kiện trực giao)

NH ƠN

Xét 2 hai hàm Yx và v|/2:

|2py 2s*dt - 1 |2p* 2py

ĐẠ O

|2s*2pxdx+ự= J2p* 2pxdt

NG

Do các hàm 2s, 2px, 2py ñã trực giao nên ta có thể viết:

|vị/*VỊ/2dx = ỉ J2s* 2sdt - —|2p* 2pydt

TR Ầ

N

Các hàm AO cũng ñã chuẩn hoá, vì vậy các dạng tích phân này ñều bằng ñơn vị. Nên: JV;>2ck = | - ^ = 0

00

B

ðiều này chứng tỏ lị/! và vị/2 là 2 hàm trực giao với nhau.

10

Cũng bằng cách tính tương tự chúng ta cũng dễ dàng chứng minh ñược:

A

JVjVgdT = 0 và J V ^ d T = 0

Í-

Có thể nói rằng 3 hàm lai hoá Vi, VỊ/2 và V|/3 thuộc dạng sp2 là trực giao từng ñôi một.

TO ÁN

-L

3.4. Người ta biết 2 hàm lai hoá V|/1 và v|/2 mô tả trạng thái lai hoá của nguyên tử oxi trong phân tử H20 có dạng: V |/ j —

0 , 45 . 2 s

+

0 , 71. 2p y

+

0, 55 . 2p x

vj/2~ 0,45.2s - 0,71.2py + 0,55.2px

ĐÀ N

Hãy chứng minh 2 hàm này trực giao với nhau, biết rằng các AO-2s, 2px, 2py ñều là những hàm trực chuẩn.

N

Trả lòi

DI Ễ

Áp dụng ñiều kiện trực giao ta có: Jvĩv2dt = 0 119

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Thay giá trị V|/j và v|/2 ñã cho vào biểu thức này sẽ có:

NH ƠN

J\|/ĨV2 * = j(o,45 2s* +0,71 2P; +0,55 2p*x)(0,45.2s-0,71.2py +0,55.2px)dx Khai triển tích phân sẽ dẫn ñến biểu thức sau:

TP .Q UY

jVjVị/9di = |(0,45)22s*2sdx + Ị(0,7l)(0,45)2pỷ2sdT+ |(0,55)(0,45)2p* 2sdt

+ J(0,7l)(0,45)2pý2sdx- Ị(0,7l)22p*2pydt+ J(0,7l)(0,55)2p*2pxdT - Ị(0,55)(0,7l)2p*2pydT+ J(0,55)22p*2pxdx

ĐẠ O

Theo ñầu bài các AO-2s, 2px, 2py ñều là những hàm trực chuẩn, do ñó biểu thức có thể rú t lại ỏ dạng sau:

NG

ji|/J\l/2dT = 0,552 j2p*2pxch -(0,7l)2 |2p*2pydx + (0,45)2 |2s*2sdx

Biểu thức cuối cùng sẽ là: fv ĩv 2dt = 0,552 x - (0,7l)2 + (0,45)2 = 0

TR Ầ

N

Kết quả này chứng tỏ hàm lị/! và V2 là trực giao vói nhau.

0 , 45 . 2s

+

0 , 71 . 2p y

10

'|/ l =

00

B

3.5. Hãy chứng minh rằng các hàm lai hoá V|/j và v|/2 mô tả cho nguyên tử oxi trong phận tử Iĩ20 hướng theo cắc trục ñể làm thành một góc liên k ế t l à 104,5°. . +

0 , 55 . 2p

x

A

vj/2= 0,45.2s —0,71.2py + 0,55.2px Trả lời

Í-

Chúng ta biết rằng AO-2s có dạng hình cầu, còn 2 AO-2py và 2px có

-L

phần ñóng góp trong 2 hàm lai hoá Vị/! và VJ/-2 ñược hưóng theo 2 trục y và X.

N

ĐÀ N

TO ÁN

ðiều này có thể ñược biểu diễn bằng hình vẽ sau ñây:

DI Ễ

Từ hình vẽ này chúng ta nhận thấy hàm và v|/2 ñược biểu diễn như những vectơ ứng vổi các hệ sô' ñóng góp của 2px và 2py. Góc 0 dễ dàng ñược xác ñịnh bằng hệ thức: 120

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

tg0 = — —= 1,29 0,55 0 = 52,24° và 28 = 104,5°

NH ƠN

hay

3.6. Dựa vào các lí thuyết lượng tử về liên kết hãy:

TP .Q UY

a) Mô tả liên kết OH ñơn thuần là íon dưói dạng hàm sóng.

b) Trình bày liên kết trên có một phần ion và một phần cộng hoá trị dưới dạng tổ hợp hàm sóng Trả lời i|/ion (0) = \ự2pz (!) V2pz (2)

0 +-H "

v|/ion(H)= V|/l s (l) V|/l s (2)

sóng

NG

0 _-H + thì thì

biểu diễn

liênkết OH hoàn toàn mang ñặc tính ion có

Hàm

ĐẠ O

a) Giả sử liên kết OH là ion, ta có thể mô tả như sau:

N

dạng:

TR Ầ

Vion = CiV2pz (l) V2pz (2) + c2 ^ ls(1) Vis(2) Cj, c2- hệ số biểu diễn sự ñóng góp của AO- 2pz và ls vào quá trình

00

B

hình thành liên kết.

A

10

b) Khi liên kết 0 —H vừa mang tính ion vừa mang tính cộng hoá trị thì hàm sóng ñược viết dưối dạng:

-L

Í-

'ĩ, = Ait/h.trị +Bv|/ion Ta lại biết, năng lượng liên kết E ứng vối V|/ bao giờ cũng thấp hơn Eh trị hay Ejon khi tách riêng biệt. Lúc này V|/h trị và \ị/ion sẽ là:

TO ÁN

V h .trị= cí V l s ( l ) V 2 p z (2 ) + c 2 V i s ® Vion

= Ci V 2 p z (1) V 2 p z ( 2 ) +

c

V 2 p z (D

2 M'1 s ( 1 ) V l s ( 2 )

A, B là hệ số biểu hiện sự ñóng góp phần trăm của từng dạng liên kết.

ĐÀ N

3.7. Từ kiểu lai hoá sp3 hãy chứng minh hai hàm lai hoá tej và te2 là trực giao vối nhau.

DI Ễ

N

cho:

t e j = s + p x + Py + p z t&2 — s —p x —Py + p z

Các AO-S, 2px, 2py, 2pz là chuẩn hoá. 121

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lởi

f

jte 1te2cfr = j(s + px + Py + pz)(s - px-

Py

+ P z)dT

TP .Q UY

Sau khi khai triển ta có thể viết:

NH ƠN

Theo ñiều kiện trực giao Ji|/*v|/dT = 0 áp dụng cho bài toán này ta có:

jspxdx = jp xpydT = jpzs d i ... = 0 vì các hàm này trực giao với

nhau, còn các tích phân:

ĐẠ O

js 2d t - J p ^ d x - J p y d T + j p 2 d x = l - l - l + l = 0

Kết qúả.này ñã chứng tỏ hai hàm te1 và te2 là trực giao vói nhau.

NG

3.8. Dựa vào lí thuyết VB hãy viết phần không gian của hàm sóng biểu diễn liên kết cộng hoá trị ñược hình thành trong phân tử N2. Biết rằng ồ N2 có 2 liên kết n và ỉ liên kết ơ.

Cấu hình electron của N là:

hay

00

2px

2py

2pz

Vn 2p xA = V2pxA = 2pxA

A

Kí hiệụ:

10

2s

ls 22s22p3

B

u

N

TR Ầ

N

Trả lời

V n 2p xB = V 2p xB = 2 Px®

v .v ...

-L

Í-

Chúng ta hình dung sự hình thành liên kết trong N2 như sau:

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

Ta chọn trục z nối 2 hạt nhân nitơ hưởng thẳng vào nhau ñể tạo ra liên kết ơ.

phân tử N2 là: 122

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Wl=

^ a Í 1) V2pzb(2) + V2Pza (2 ) V|/2Pzb(1)

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

Hai A0-2px và 2py của nitơ hưóng theo trục X và y và thẳng góc với trục z. Hai AO-2px và 2py của nguyên tử nitơ A và B khi tiến lại gần nhau trong quá trình hình thành liên kết sẽ xen phủ ñể tạo ra liên kết lĩ.

Hàm sóng v|/2 và i|/3 mô tả phần không gian cho liên kết 71 hình thành sẽ là:

TR Ầ

N

■ V 2 = V 2 Pxa (3 ) V 2 p xb ( 4 ) + V 2P xa (4 ) V 2P xb (3 )

¥3= ¥2Pj,a (5) V2Pj,b (6) + 't»2pyA<®> H'2pyB(5>

V|/ = V|/Iv2v3

10

00

B

Tổng hợp lại hàm VỊ/ chung (phần không gian) mô tả sự hình thành liên kết trong phân tử N2 sẽ là:

A

3.9. Hãy xác ñịnh những hệ số của hàm sóng ỏ trạng thái cơ bản cho phân tử LiH theo phương pháp VB dưới dạng:

Í-

V - Ci<h + c2ệ2

TO ÁN

-L

Ớ ñây <Ị>! hàm sóng ñược xác lập do sự xen phủ giữa AO 2s (Li) và Is (H), <Ị>2 hàm sóng mô tả sự xen phủ giữa AO 2p (Li) và Is (H). Hai hàm <(>! và (j)2 ñều chưa chuẩn hoá.

ĐÀ N

Cho biết:

H u = --9,48;

H22 = -10,19;

Sji = 1,19;

s 22 = 1,29;

Hl2 = -2,12 Sl2 = 0 ,2 6

Các ñại lượng này ñều biểu diễn ỏ hệ ñơn vị nguyên tử.

DI Ễ

N

Trả lời

Ta hình dung quá trình hình thàn liên kết ơ trong phân tỏ LiH như

sau:

123' Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

IS(H)

Theo ñầu bài:

V)/ =

Z tz { u )

NH ƠN

ls(H) 2s(Li)

(1)

+ c2<|>2

TP .Q UY

Áp dụng nguyên lí biến phân: í u/*ốvư d t

E= v

>I y V|/ dx

(2)

Thay \ự ồ (1) vào (2) ta có:

J (ci<Ị>i+c2<ị>2) dt

ĐẠ O

J (Ci<ị>i + c 2<j»2 ) H (Cỵ<ị>i H-c2 4>2 ) d 'c

E ------ --------- -— ---------------- J L —

NG

Sau khi khai triển và kí hiệu các dạng tích phân tương ứng (xem giáo trình cơ sở hoá học lượng tử) ta thu ñược hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. —0

TR Ầ

N

(Hji —ESj])^ + (H;i2 —

(H12 - E S 12)c1 + (H22 - ES22)C2 = 0

(3 )

B

Hệ phương trình này có nghiệm với Cj * c2 * 0 khi:

00

Hu - E u

H12- E 12 = o

10

1^12 - ®12 H22 - ^22

A

Thay số liệu tương ứng và giải ñịnh thức ta sẽ thu ñược hai giá trị:

E1= -7,882; E2 = -7,863.

Í-

ðể xác ñịnh cx và c2 ồ (1) ta thay giá trị Ej vào hệ phương trình (3) sẽ

TO ÁN

-L

có:

Si- = h 12 ~ e s 12 _ 2 40 c2 Hi 1 - ESị ị

Từ ñó suy ra c1=2,40 và C2=1,00

DI Ễ

N

ĐÀ N

Do hàm <t>2 và <ị)2 chưa chuẩn hóa nên ta phải xác ñịnh thừa số chuẩn hóa N. \|/=N (cx <t>]+C2 <Ị>2)=N (2,40 <^+1,00 <Ị>2)

(4)

Áp dụng ñiều kiện chuẩn hóa ta có: ji|/2ck

= N 2 [(j2,40<|>1 + l,00<j>2) 2dT:] = 1

124

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

<|>2 dx +

= N2[2,42s n + 1,0S22 + 4,8SaJ

4,8 Jộ1ộ2dx] = 1 =

1

NH ƠN

= N2[2,42 J ỘĨ dt + 1,0 j

Thay các giá trị s n , s 22 và S12 ta có N = 0,326

TP .Q UY

Vậy hàm sóng V|/ có dạng: lị/ = 0,782^ + 0,326<Ị>2

Cho biết giá trị tích phân xen phủ giữa AO-ls (H) vởi AO-2s (C) ñể tạo thành liên kết ơ (C:H) là 0,57. Giá trị này là 0,46 giữa AO-ls (H) vối AO-2pz (C). Hãy xác ñịnh giá trị tích phân xen phủ giữa AO-ls (H) vối các AO lai hoá của cacbon cho các trường hợp sau:

ĐẠ O

3.10.

b) AO-ls (H) với AO-sp2 (C) dọc theo trục z.

c) AO-ls (H) với AO-sp3 (C) dọc theo trục z.

NG

a) AO-ls (H) với AO-sp (C) dọc theo trục z.

N

Trả lời

B

TR Ầ

Theo lí thuyết, tích phân xeh phủ ñược biểu diễn bằng biểu thức:

10

00

Áp dụng cho các trường hợp của bài toán ta có: a)

A

V s p = d i = - r r (s + Pz);

\ụls= ls

(s+pz) ls dz

-L

Í-

jv|/sp.v|/ls dz= jd j.ls dz =

ĐÀ N

TO ÁN

Ị— ỉ=r s.ls dz+ Ị - i p z.ls dz= -j=-.0,57 + -L.0,46 J %/2 V2 V2

v sp2 = ti =

(s + V2 pz);

V ỉs= ls

DI Ễ

N

b)

125. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Khai triển và thay các giá trị tương ứng tích phân này ta sẽ có: f

c)

SP

NH ƠN

s 2 = 4 = (0,57 + V2.0,46) = 0,70 * -73 ' ' 3 = tex = ^ (s + Vã Pz); 2

jv

3 .V|/ls dz =

TP .Q UY

Vis=ls

jte j.ls dz= j —(s + \/3pz)ls dz

ĐẠ O

Một cách tương tự ta có: s 3= —(0,57 + & .0,46) = 0,68

0,73

0,70

N

s2

s3 0,68

TR Ầ

s*

NG

Như vậy các giá trị tích phân xen phủ thu ñược sẽ giảm dần theo chiều:

B

3.11. Khảo sát sự hình thành lai hoá trong phân tử thẳng hàng axetylen theo sơ ñồ sau: Az

A

10

00

H D2 T Di c H —•------ *--------- ị--------»--------- •------- •—

Í-

Cho biết các AO nào của cacbon ñã tham gia tạo. thành các hàm lai hoá. sô" ñó là a.

-L

Tìm các hệ sô' khi tổ hợp các AO-lai hoá với giả thiết một trong các hệ

TO ÁN

Các AO không tham gia lai. hoá sẽ tạo thành liên kết gí ?

ĐÀ N

Từ kết quả thu ñược cho phân tử C2H2 có thể mở rộng cho phân tử BeH2 thẳng hàng ñược không ? Nếu ñược thì hệ số’ cuả các hàm lai hoá là bao nhiêu ?

Trả lời

DI Ễ

N

a) Theo sơ ñồ ñã cho ỏ ñầu bài, ta dễ dàng nhận thấy rằng các AO-2px và 2pá không tham gia vào quá trình lai hoá theo hướng Oy (hướng Dj). Một cách ñịnh tính ta có thể hình dung như sau: 126

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

c ñã lai hoá

dtn 2pz 2Px

AO-2px, 2pz chưa bị lai hoá

>rfTT

I

2AO-sp lai hoá thẳng

TP .Q UY

l í t \ 2Px.2Py t

2s Như vậy ta có thể lập ñược các hàm: ọ2 - 32s + c2Py

la i h o á

các hàm lai hoá

NG

«P3= 2pz

ĐẠ O

các h à m

+ C jP y

NH ƠN

c * chưa lai hoá

và <p2 chúng ta tiến

N

94 = 2px b) ðể-xác ñịnh các hệ sô' trong các hàm lai hoá hành như sau:

TR Ầ

(p1 = a 1s + C jp y

B

q>2= a2s + c2Py Ta ñặt a!=a theo ñầu bài, ố ñây a < 1. = 1 hay

10

00

Như chúng ta ñã biết

a 2 + ãọ = 1

A

af2 +, a 2| _= ,1

Từ ñó ta có: a2 = V l-a 2

vói

Í-

hoặc

a2 > 0

(1)

-L

Sự trực giao của Ọj và <p2 cho ta biểu thức: 0

TO ÁN

a ^2 + 0^2 = 0 ñây a x và a 2 luôn luôn dương, còn Cj và c2 dấu sẽ biến ñổi phụ thuộc

ĐÀ N

vào chiều của AO. Như sơ ñồ ñã cho với (p! (hướng Dj) AO-2py ñóng góp phần dương, nghĩa là Cj > 0, trái lại theo hưóng D2 của cp2, hàm AO-2p có phần ñóng góp âm, nghĩa là c2 < 0.

DI Ễ

N

Từ ñiều kiện chuẩn hoá. af + C i

cỊ = 1

= a/i-cx2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

hay

a 2+

cỊ = 1

ñốĩ vối hàm _

(2)

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

a | + c| = 1

hay

1

- a 2 + cf = 1 ñối với hàm q>2

c2 = - a

NH ƠN

(3)

Từ kết quả tính ta có: Py

<P3= P z

cp2 = V l-a 2 s - apy

(4)

cp4 = px

Kết quả này có thể ñược biểu diễn dưới dạng: Px

Py

Pz

0

V l- a 2

0

<P2

V l- a 2

0

-a

0

<P3

0

0

<f>4

0

1

ĐẠ O

a

<P1

NG

s

TP .Q UY

q>! = as + V l-a 2

0

1

0

0

2

A

10

00

B

TR Ầ

N

c) Các AO không tham gia lai hoá 2 px và 2 pz sẽ tham gia ñể tạo ra liên kết 71.

-L

Í-

ðối vói phân tử thẳng hàng BeH2 cũng sẽ có hai hàm lai hoá:

TO ÁN

*

£

>

" <

0

3

D |>

(Pi = ajS + Cj P C2P

(do có hướng ngược lại)

ĐÀ N

cp2 = a 2 s “

3.12. Biết nguyên tử c trong phân tử etylen có lai hoá sp2 hãy:

DI Ễ

N

a) Thiết lập các hàm lai hoá của cacbon trong nhóm cấu tạo phẳng

/ H H biết rằng hưống của các hàm lai hoá D1; D2, D3 nằm trong mặt phẳng xOy. và D2 ñổi xứng qua mặt phẳng yoz.

128 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

_

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Cho a = a; góc HCH = 118°. Bằng ñồ thị vẽ hình dạng các hàm lai hoá (P! và cp3 cho các AO: v 4tc

TP .Q UY

2s = 1 =

NH ƠN

b) Khảo sát các hàm lai hoá <px và (p3 biến thiên theo góc (ị) từ 0 -ỉ- 360°.

2px = Vã sin0 cos<|) 2py = Vã sinO sin(|)

TR Ầ

N

NG

ĐẠ O

Trả lời

00

B

a) Theo sơ ñồ này các liên kết ñều nằm trong mặt phẳng xOy; AO-2pz không tham gia vào quá trình lai hoá. Như vậy chỉ có 3AO-S, px, P y tham gia ñể tạo thành 3 hàm lai hoá:

10

<Pl = a is + blPX+ CXPy

A

92 —^2® ^2Px *-2Py <p3 = a3s + b3px + c3py

-L

Í-

Hàm (pj và <P2 là tương ñương vì ứng với liên kết C—H. Nếu ta ]ấy hàm ọ / là ñối xứng vối (p! qua mặt yoz sẽ có hàm q>2, nghĩa là (Pi’ = q>2 -

TO ÁN

Do AO-2s là ñối xứng cầu nên chúng luôn luôn không thay ñổi. Theo hưống 2px -> -2px

X,

hàm 2px khi thực hiện phép ñối xứng qua mặt yOz thì •

DI Ễ

N

ĐÀ N

Theo hưống y, hàm 2py không thay ñổi dấu. Vậy ta viết: (P! = ajS + bjPx + CjPy <Pi’ = a j S —

C jPy

Do Ọị’ = q>2 n®n kéo theo: ^1= a2 í ^2 ——b j ; Mặt khác ta lại biết:

C2 = Cj

(1)

aỊ + aị + a | = 1 129

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Với ai = a ta sẽ dễ dàng rút ra: và

a3 =V l-2a2

(2)

NH ƠN

ãị = a2 = a

t

Xét theo hưóng D3 thì nhận thấy D3 sẽ thẳng góc với 2px, có nghĩa 2px không tham gia vào quá trình tạo lập hàm <p3. (3)

Chúng ta lại biết:'

TP .Q UY

b3 = 0 + b| + b | = 1 b2 = —bỵ

Nên

.

bi + b | = 1 -»

= -b 2 = -J= n2

ĐẠ O

(4) CP3

NG

Cuối cùng ta phải xác ñịnh c3. Từ ñiều kiện chuẩn hoá, ñối với hàm ta có:

a | + b | + c| = 1

N

Thay giá trị a3ở (2) và b3 (3) bào biểu thức này sẽ dẫn ñến - 2 a2 + 0 + c | = 1

TR Ầ

1

c3 = ±aV2

(5)

10

c3 = +a\Í2

00

B

Do D3 hướng theo 2py nên giá trị:

A

Ap dụng ñiều-kiện trực giao của hàm (Pj và (p3 ta có:

a 1a3 + b1b3 + c1c3 = 0 a.V l-2 a 2 + -j= .0 + a Vỗ .Cj = 0

v2

TO ÁN

-L

Í-

hay

l- 2 a 2 _

„ ----- c2

(6 )

DI Ễ

N

ĐÀ N

Với các hệ sô' xác ñịnh ñược ta có các hằm lai hoá sau: (Pl = a s + + __ L^ Px...py

<p2 = as -

l-2 a 2 2

Py

(7)

cp3 = V ĩ- 2a2 .s + a -H P y

130 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

m ð2) cos(Dj,

bl— b2Ị+cĩc2 - --— Ậ Ị + c f J b 2+4 :

NH ƠN

Thông số a có thể xác ñịnh từ các dữ kiện ñã cho ồ ñầu bài. Quả vây theo sơ ñồ ta Cố: có: hay

1

1 - 2a

NG

->

a 2 = 0,32

1 -a

2

ĐẠ O

2+ Sau khi biến ñổi ta có: a

TP .Q UY

l-2cc2 ---1----------2 2

Vậy a = 0,56.

TR Ầ

N

b) Muốn khầo sát hàm lai hoá (P! và (p3 ta phải chuyển các hàm này về dạng biến sô"<|>. Từ hệ thức (7) ta viết .hàm (Pj.

B

. 1 |l- 2 a 2 «p1 = as + - | p x- ì| ^ p y

10

00

ðôi với hàm (p3 ta viết:

A

cp3 = v l-2 a 2 .s + a>/2py

Tháy các giá. trị s,5, Py và a vào sẽ dẫn dân tới:

TO ÁN

-L

Í-

(P3 = n/Ĩ-2 a 2 + a V2 - M s m Q sinộ' Một cách hoàn toàn tương tự, với a = 0,56; 0 = 90°, sau khi thực hiện biến ñổi ta thu ñược hàm (p3: (p3 = 0,61 + l,37sin<|> (8)

ĐÀ N

Khi (Ị) biến ñổi sẽ dẫn ñến sự biến thiên của hàm (p3. Ta lập bảng ñể biểu diễn sự biến thiên ñó.

Góc ộ 0

DI Ễ

N

(P3 lai hoá tpi

-90

-60

-30

-0,77

-0,57

0,59

0,32

0

30

60

90

-0,08

0,6

1,28

1,77

1,97

0,006

0,36

1,64

3,13

3,86

.

131 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

Từ các số’liệu dẫn ra từ bảng trên ta có thể biểu diễn hình dạng c^útan lai hoá <P3 dưói ñây Khi muôn tìm hiểu mật ñộ xác xuất ta chi’ việc bình phương hàm lai hoá tương ứng. Lúc này ta thu ñược hình dạng ñối xứng qua hưống D3.

Hình dạng hàm (p3 (AO-lai hoá)

a + -J= >/3 sin0 cos<|> -

>/3

TR Ầ

<Pi:=

N

Thay các giá trị px, Py và s vào sẽ dan ñến:

sinG sinệ

9

2

lai hoá

<Pắ

Góc-(ị) (°)

cp3 lai hoá

<P3

Í-

<P3

1,78

3,16

210

-0,13

0,02

30

1,25

1,56

240

0,58

0,34

60

0,54

0,29

270

1,29

1,68

-0,12 -0,68

0,03

300

1,8

3,25

0,46

329

1,982

3,93

150

-0,85

0,72

330

1,98

3,92

180

-0,66

0,43

90

TO ÁN

0

-L

Góc ộ (°)

A

10

00

B

Do các hàm lai hoá chỉ nằm trong mặt phẳng xOy nên góc 0 = 90°, sin0 = 1 và a = 0,56. Hàm cpj sẽ có dạng: (Pi = 0,56 + l,22cos<|> - O,73sin0 (9) Rõ ràng 9 ] biến thiên theo góc (ị). Ta lập bảng biến thiên sau: -

DI Ễ

N

ĐÀ N

120

Vổi các giá trị ở bảng này ta có thể biểu diễn hình dạng hàm lai hoá (Pi như sau: 132

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Hình dạng của <P1 (AO lai hoá)

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TR Ầ

N

3.13. Áp dụng phép tổ hợp tuyến tính, hãy xây dựng các ÁO lai hoá kiểu sp giữa AO-2s và AO-2pz. Trả lời

là <Ị>2s - 2s

B

Ta kí hiệu hàm AO-2s

10

00

AO-2pz là ộ2p = 2pz

A

Theo phép tổ hợp tuyến tính thông thường giữa AO-2s và AO-2pz (dọc theo trục z) ta viết: V i= di = a ^ s + b12pz •

-L

Í-

V|/2 = d2 = a22s + b22pz

ĐÀ N

TO ÁN

Ớ ñây dj và d2 xuất phát từ tiếng Anh: diagonal. Các hệ số ai, &2’ b], b2 là các hằng sô' cần xác ñịnh. Mặt khác, do các obitan lai hoá là tương ñương nhau nên: af=a|

al = a2

bỊ = bl

bx = b2

^

DI Ễ

N

Chúng ta áp dụng ��iều kiện chuẩn hoá sẽ có: jv|/f di = j(ai2s + b12pz)2dx = af |2 s2dx + bỊ jW /d x + 2aibj |2s.2pzdx = 1 133

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Vì các hàm 2s và 2p7 ñã chuẩn hoá nên ta có:

Một cách hoàn toàn tương tự ñối vối hàm q>2 ta cũng thu ñược: af+ b |= l

TP .Q UY

Sử dụng ñiều kiện trực gịao ta nhận ñược:

NH ƠN

a?7b?“

j v 1v|/2dt = j(a i2 s + b12pz)(a22s + b22p2)dt

0

NG

=

ĐẠ O

= a ia 2 j2 s2dT + b1b2 J2pz2ck + aib2 j2s.2pzdT + b1a2 |2 pzsdx

(2)

= a 1a 2 + b 1b 2 = 0

TR Ầ

a i = bi = a2 = -b 2 = -J=

N

Giải (1) và (2) sẽ dẫn tới:

10

d l = VI ^2s + 2Pz^

00

B

Vậy MO lai hoá kiểu sp sẽ có dạng:

(2s - 2PJ

Í-

A

d2 =

-L

3.14. Cho phân tử BeH2 có cấu trúc thẳng hàng.

TO ÁN

Hãy biểu diễn sự hình thành liên kết ơ một cách ñịnh tính theo phương pháp MO với giả thiết các AO của Be chưa bị lai hoá. a)

b) Xây dụng các hàm MO mô tả sự hình thành liên kết trong phân tử

ĐÀ N

này.

DI Ễ

N

c) Hãy xác ñịnh các hệ sô" C; của hàm sóng .tham gia phần ñóng góp vào quá trình hình thành 2 liên kết ơ vối giả thiết mật ñộ ñiện tích của ñám mây electron ñược phân bô' như sau: ơs vối Be : 30 % 2H : 70 % ơz với Be : 20 % 2H : 80 %

134

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời

NH ƠN

t

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

a) Sự hình thành liên kết ơ trong BeH2 như sau:

TR Ầ

v ( ơ s ) = c i 2 s + c 2(l s a + iSb)

N

b) Sự tổ hợp các AO-2s và AO-2pz của Be với các AO - l s của H theo phương pháp MO-LCAO sẽ dẫri ñến các hàm MO tương ứng sau: v(ơz) = c32pz + c4(lsa - ls b)

B

c) Muốn xác ñịnh hệ sổ Cị của hàm sóng v ị ; ta áp dụng ñiều kiện chuẩn

10

00

hoá Jv|/2dx = 1 biết rằng các hàm ls, 2s, 2pz ñã chuẩn hoá. Cụ thể như sau:

A

Jự2(ơ?)dT = j[cj2s + c2(lsa + lsb)]2dx = cf j(2s)2dT + c| J(ls a)2dt

-L

Í-

+ c | j(ls b)2dx + 2 c | j ls alsbdt + 2cjc2 |2 s ls adT

TO ÁN

Do ls a, ls b và 2s ñã chuẩn hoá nên biểu thức trên có dạng:

ĐÀ N

Theo ñầu bài

N

Vậy

jvị/2(ơs)dx = cỊ + 2 c| = 1 cf = 0,30 ---- » Ci = 0,548 2c| = 0 ,7 0 ---- > c2 = 0,592 vj;(ơs) = 0,548(2s) + 0,592(lsa + lsb)

DI Ễ

Một cách tương tự ta cũng xác ñịnh ñược c3 và c4 cho hàm vựiơ?) là: jv(ơz)= c| + 2 cf = 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4

-> c3 = 0,447

0,20

=

NH ƠN

cj =0,80 -» c4 = 0,632

2

v|/(Oz) = 0,447(2pz) + 0,632(lsa - lsb)

Biết hàm MO liên kết mô tả trạng thái electron trong ion phân tử hiñro H |, một cách gần ñúng (bỏ qua các hệ số Cj), là:

TP .Q UY

3.15.

ĐẠ O

a) Tìm mật ñộ xác suất của electron tại nguyên tử hiñro A và B.

b) Cũng câu hỏi này cho trường hợp tại khoảng cách ỏ giữa A và B.

NG

c) So sánh 2 kết quả tìm ñược ỗ a) và b)

Cho ls A= ls B= -=L r e~r/a° ; /?AB= 0,74 Ả; a0 = 0,53 Ả.

N

Trả lời

TR Ầ

Mật ñộ xác suất tìm thấy electron ñược biểu diễn bằng hệ thức: D =M 2

00

B

Vậy theo ñầu bài ta có:

a° + “ 0"•e

TO ÁN

-V e ”

+2K K

sl/2 -rB e a°

2r,B

-L

2r.

Í-

pTrA/ao

A

-ữ

\l/2

10

D = [«h»A + ^ b ] 2 = C a +

1/2

\l/2

(rA + r B>

+2 rA+ r B

0 + 2 -\.e Ita“

30

DI Ễ

2 .0 ,7 4

Da = - ^ - ( l + e

° ’53 + 2 e

- ( 0 + 0 ,7 4 )

° ’53

7t a “

1 .1,556 Ttar

N

ĐÀ N

a) Mật ñộ xác suất tìm thấy electron tại A (rA= 0) và tại B (rg = 0,74 Ả). Thay các sô' liệu tương ứng ta có:

Da

= 3 ,327

136

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

b) Lập luận một cách tương tự vổi rA= r B= 0,37 Ả ta có: Db = ~

(e

( 2 .0 ,3 7 )

+e

0 ,7 4

+2e

NH ƠN

2 .0 ,3 7

a° ^

TP .Q UY

= ^ .0 ,9 9 0 Db =2,116 c) So sánh 2 kết quả tính ta có:

ĐẠ O

I k = M L = 1 572 * 1,6 Db 2,116

NG

3.16. Dựa vào lí thuyết cấu tạo và phương pháp MO, hãy giải thích các kết quả quan sát ñược sau ñây:

N

a) ðộ dài liên kết trong phân tử Li2 là 2,67 Ả so với 3,08 Ả trong phân tử Na2.

TR Ầ

b) Năng lượng phân li liên kết của N2 là 7,38 eV so với 6,35 eV trong N2 .

B

b) Năng lượng phân li liên kết của 0 2 là 5,08 eV so với 6,48 eV trong O2 .

10

00

c) Năng lượng phân li liên kết của NỊ và 0 \ gần như nhau. Trả lời

A

a) Li : ls 2 2s Na : ls 2 2s2 2p6 3s

-L

Í-

Xây dựng giản ñồ MO cho Li2 và Na2 (xem giáo trình câu tạo chất ñại cương).

TO ÁN

Từ giản ñồ MO ta có thể tính ñược số liên kết N là:

ĐÀ N

N(Li2)

=i(2-0) = l

N (N a2) = 1 ( 2 - 0 ) = 1

DI Ễ

N

Tuy số liên kết trong phân tử này như nhau, song ñộ dài liên kết của Na2 lớn hơn ñộ dài liên kết Li2 là vì liên kết trong Na2 ñược hình thành ño sự xen phủ của 2AO-3s có bán kính nguyên tử Na lớn hơn bán kính nguyên tử Li do 2AO-2s tạo ra. 137

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

-* N(N2) = i ( 6 - 0 ) = 3,0 £

N2 : ~ c K 2 < y ^

NH ƠN

b) Một cách lập luận tương tự từ giản ñồ MO ta có:

-> N(N£) = - ( 5 - 0 ) = 2,5 2 Theo lí thuyết, năng lượng liên kết Nỉ < N2 vì số liên kết ở N2 nhỏ

TP .Q UY

2 :~ 4 < y ? 4 ,y ° ì K+

hơn ố N2. c) 0 2 : ~

ơ*2 Ặ Ttịy nxị

*x,y *x,y ---- * N (Oị) = 1 ( 6 - 1 ) = 2,5

ĐẠ O

02 : ~ °? Ơ?

----> N (Na) = ị (6 - 2) = 2,0

NG

Lập luận như trường hợp b) ta cũng thấy năng lượng liên kết 0 2 < O2 . d) Kết quả xác ñịnh sô' liên kết theo giản ñồ MO cho 2 ion phân tử Nỉ

và O2 là như nhau, song sô' liên kết thực nghiệm giữa 2 ion phân tử này

N

khác nhau chút ít.

TR Ầ

O2 : 6,48 eV; N£ : 6,35 eV

Có sự khác nhau này là do ñiện tích hiệu dụng z* ở 0 + lốn hơn ỏ N+.

00

B

Zq + = 8 - ^ b i = 4 , 9 0

10

2^ = 7-£b i= 4 ,2 5

1 2(1 ±S)

1/2

-L

Í-

A

3.17. Từ phương pháp MO áp dụng cho phân tử H2 người ta ñã xác ñịnh ñược hàm liên kết và phản liên kết có dạng:

TO ÁN

Hãy biểu diễn bằng ñồ thị sự phụ thuộc của \y± vào sự biến thiên khoảng cách (bao gồm cả trong vùng lẫn ngoài vùng hạt nhân) dọc theo trục liên kết của phân tử H2. Rh -H = 1>06 A;

DI Ễ

ao = 0,53A. \ l /2

<t>A=

=

\™ 3oy

N

ĐÀ N

Cho:

s =

11 + —R

a0

1í R

+T

_.r_A

\i/2 . ì 1 . e a„ = 7ta0 ) r

•e a° ; *B= K R_ a„

3

138 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời

NH ƠN

Ho

. Theo ñầu bài:

i|/± =

TP .Q UY

i- khoảng cách biến ñổi dọc theo trục liên kết. nl/2

(1)

(4>a ± <Í>b)

2(1±S)_

ĐẠ O

<ị>A, <ị>B-hàm ñã chuẩn hoá.

ðể khảo sát sự biến thiên của V|/+vào khoảng cách í ta lần lượt tính các hệ sô' ỏ (1). 1

r

NG

N+ =

.2(1 ±S)

Trưốc tiên ta tính hệ số':

Giá trị tích phân xen phủ s ñược xậc ñịnh theo hệ thức:

N

106

s=

TR Ầ

e 53 =0,586

Vậy hệ số chuẩn hoá là: 2(1 ±S)

= 0,561;

N_ =

= 1,099

2(1-S).

A

N +=

1/2

10

1/2

00

B

ðể dễ biểu diễn ta lấy R = 1,06 Ả - 106 pm; a0 = 0,53 Ả = 53 pm

Mặt khác, thay <ị>A và <t>3 vào (1) ta có:

Í-

/

TO ÁN

-L

\ụ± = N+ (ỘA± ỘB) = N+

\ 1/2

1 3

_£a _£b_ e a° ± e a°

DI Ễ

N

ĐÀ N

Chú ý: rAvà rB ñều bắt ñầu tính lấy từ ñiểm gốc. Vì vậy:

,

0/2

VJ/+= N±

-

-

. e a° ± e /

í Í-R e a0 ± e ao = N* \l/2

hay

.

(2)

139 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Từ biểu thức (2) ta nhận thấy với 1 giá trị của í ta sẽ có 1 gifi trị . Kết quả tính ñược lập thành bảng sau:

tương ứng

/

•>1/2

VN1/2

-80

-60

-40

-20

0

0,096

0,14

0,20

0,30

0,44

0,66

0,65

20

40

0,49

0,42

0,54

0,20

1

0,144 -0,21

0,45

0,31

0,95

l 160

200

0,49

0,33

0,23

0,11

-0,73

-0,50

—0,34

-0,16

N

V' 1/2-

140

TR Ầ

r

120

0,42

0,47

0,59

-0,11

-0,43

B

V+ >1/2

100

. 80

00

t

60

10

t (pm)

NG

f

1

-100

TP .Q UY

l (pm)

ĐẠ O

V 7tao y

NH ƠN

\l/2

¥±

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

A

^ a0 /

-0,81

140 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

3.18. Kết quả giải bài toán H2 theo phương pháp MO cho biết: -|l/2 _ 1 (ỘA ± ộ b ) • v± = 2(i±S)

TP .Q UY

Hãy biểu diễn mật ñộ xác suất có mặt của electron biến thiên theo khoảng cách i dọc trục liên kết H-H. Các sô' liệu như bài 3.17. Trả lòi 1/2

ỉ ¥+ = 2(1±S)

\l/2

•e a° t e -

=

r

rB •

1/2

e a° ± e a°

2(1±S)

_ÌB_ . e a°

v^oy

TR Ầ

v± =

=

<t»A=

1/2

1-

N

Vối

_lk

NG

(

ĐẠ O

(ỘA ± 4 b )

00

B

Mật ñộ xác suất tìm thấy electron ñược xác ñịnh bằng biểụ thức:

10

2(1±S)

e

Tta;;

\2

° ±e

TO ÁN

-L

Í-

A

D± = lv± | 2 =

_£a _ _!§_ e a° ± e a°

và rg ñược tính từ ñiểm xuất phát là rA; hệ số N+ — ~ (trong ñó N+ Ttar

DI Ễ

N

ĐÀ N

tính ñược như ở bài số 3.17) bằng cách thay các số liệu tương ứng như sau: N? J - = 0,5612. A r = 6.73.10-7 pm3 naị nãị = 1 , 099 2 .

N *

7 ia:

=

25, 84 . 10-7 p

m 3

Jta :

141 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

í ao ± e ' a0

D± 2 N:'ĩ 13

NH ƠN

Vậy:

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TP .Q UY

Từ phương trình này ta có 2 phương trình biển diễn sự phụ thuộc D+ và D_ vào t như sau:

t Í-R a0 - e ao

D_.107 pm3 = 25,84

NG

D+.107 pm3 = 6,73

ĐẠ O

t £-R a0 + e

TR Ầ

N

Như vậy, cứ mỗi giá trị của l ta thu ñược một giá trị của D+ hoặc D_

i, pm

-100

-80

D+.107/pm '3

0,20

0,40

D_.107/pm-3

0,44

00

B

tương ứng. Kết quả ñược ghi ỏ bảng sau:

-60

-20

0

20

40

0,90

192

4,09

8,72

5,27

3,88

2,01

4,27

9,11

19,4

6,17

0,85

A

10

-40

-L

Í-

0,94

60

80

100

120

140

160

180

200

3,73

4,71

7,42

5,10

2,39

1,12

0,53

0,25

0,25

4,02

14,41

11,34

5,32

2,50

1,17

0,55

TO ÁN

í , pm

ĐÀ N

D+.107/pm-3

DI Ễ

N

D_.107/pm-3

142 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

i0

100

NG

-100

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

t

ðồ thị biểu diễn sự phụ thuộc D± vào khoảng cách

200 . i, pm

B

TR Ầ

N

3.19. Xét phần tử LiH. Hãy viết hàm sóng Vị/ biểu diễn sự hình thánh liên kết trong phân tử này với giả thiết có 60% là liên kết cộng hoá trị và 40% là liên kết ion; liên kết ñược hình thành trong trường hợp này là do sự xen phủ giữa AO-2s của Li và AO-ls của H.

00

Trả lời

10

Cấu hình electron của Li và H là:

ls

-L

Í-

A

H : -ls ; L i: ls 2 2s

2s

liên kết cộng hoá trị ơ

TO ÁN

Giả sử trong phân tử chỉ có liên kết cộng hoá trị thì-hàm sóng \|>h trị sẽ ñược biểu diễn là:

DI Ễ

N

ĐÀ N

¥ h.trị =c 1\|/h (1)Vl ì(2) + c 2H/H(2)v l ì (1) Do nguyên tử H có ñộ âm ñiện lốn hơn Li nên electron bị lôi kéo về phía hiñro,- vì vậy khả năng hình thành liên kết ion lúc này là do 2 electron ñã chuyển về phía nguyên tử H, vậy hạm sóng \ị/jon sẽ là: Vion = cvh(1)Vh(2) % Nếu cả 2 khả năng xẩy ra ñồng thòi thì hàm sóng chung sẽ là: 143 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

#

V = C3V h . t r i + C4Vion

NH ƠN

c |= 0 ,6 0 ---- > c3 = 0,77

Theo ñầu bài

c| = 0,40 ---- > c4 = 0,63 Vậy

V = 0,77v|/ h.trị + 0,63\|/ion

TP .Q UY

3.20. a) Cho hàm MO \|/ = <|>s(A) + Ẵ.(ị»g(B). Hãy chuẩn hoá hàm này theo tham số X. và tích phân xen phủ s.

ĐẠ O

b) Trong phép tổ hợp tuyến tính các AO ngưòi ta thu ñược các MO liên kết và phản liên kết <ị>s(A) ± ệg (B ). Hãy chứng minh các MO này trực giao vối nhau.

NG

Trả lời

a) Hàm \ụ ñã cho là chưa chuẩn hoá, ta phải chuẩn hoá chúng như sau: hay

N

j v 2dx . = jN 2[<ị>s(A) + M>s (B)]2clT = l

B

TR Ầ

= N2[j<d(A)dT+Vj<ị!(B)dT + 2*jộs(A)<|>s(B)dT] =1

10

00

Vậy

Í-

A

Từ ñây ta dễ dàng thu ñược thừa số chuẩn hoá N.

Theọ ñầu bài, sau khi tiến hành phép tổ hợp tuyến tính 2 AO là ỘS(A) <ị>s (B) ta thu ñược hàm M O liên k ế t <|>s(A) + (ị>s(B) và M O phản liên . kết <ị>g(A) - ệg(B). ðể chứng minh 2 MO thu ñược trực giao ta áp dụng biểu thức:

ĐÀ N

TO ÁN

-L

b) và

j [<t>s(A) + <|>S(B)] [ộs(A) - <j>s(B)] dx = 0

DI Ễ

N

ðây là dạng biểu thức quen thuộc (a + b)(a - b) nên ta có: jệ|(A )dt - jộl(B)dx = 0

Vì <|>s(A) và 4>S(B) ñều là hàm chuẩn hoá nên 1 - 1 = 0 ðó là ñiều cần chứng minh.

144

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

3.21. Dựa vào phương pháp MO hãy xác ñịnh năng lượng E+ ứng vối MO liên kết và E_ ứng với MO phản liên kết ñối với ion phân tử hiñro. Giả sử hàm AO ộg(A ) và ỘS(B) mô tả sự chuyển ñộng của electron hoàn toàn ñộc lập quanh từng hạt nhân A và B. Trả lời (Ị>s(A)

= <Ị>A

TP .Q UY

Ta kí hiệu:

ộg(B) = ỘB

A

NG

ĐẠ O

Từ ñiều kiện chuẩn hoá hậm sóng ta viết:

R

B

<t>B)2^ = NaJ ( * i + ộ |

±

2ộA<ị>B)di = 1

TR Ầ

N

N 2 j[(*A ±

Như vậy ta có thể biểu diễn dạng tích phân trên là:

A

10

s=

V ối

(2)

00

B

Từ ñó ta dễ dàng thu ñược thừa sô' chuẩn hoá

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

ðể xác ñịnh năng lượng E ta phải giải phương trình trị riêng dưới dạng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Vậy

NH ƠN

Do electron ñược giả thiết là chuyển ñộng ñộc lập trong trường củệ từng hạt nhân A và B nên bài toán ñược quy về dạng bài toán dạng nguyên tử H. — V2ộa —k — 4>a = E h ộa 2m rA

(5) k — <Ỉ,B = E h ^B

rg

TP .Q UY

2m

Biểu thức (4) ñược viết lại là: —k ~

—k — <f>A+ k TT (<|>A+ te )]

rA

.

R

IQ

ĐẠ O

H V ị/ = N [eịịỘa +

Áp dụng phương pháp biến phân ta có:

ơ)

NG

E= j \ụ H l ị / d-c

(6)

TR Ầ

N

_ k e 2N L Í Í A +ẾBÌdT ^ rA) Ị

= Eh Jvị/vị/dT + k ^ - jv|/v|/dt - ke2N2 J(ỘA + <I>b )

dx

00

B

rA)

K

10

= EH + k ^ - - k e 2N2 J[<ị)A— <ị)A+ <ị>B— (ị)B+(|)A— ộB+(ị)B— ộA]d-c (8)rt>

r*

r.

rv.

A

J

Do tính ñối xứng các thế năng ñược kí hiệu như sau: -k e2 (<ị>A— <j>Adt = —ke2 (<|)A— <Ị>b<ìt = Uj -k e2 (<ị>A— <Ị)Bd x

TO ÁN

J

J

Í-

-L

J

rb

(9) =

rA

-k e2 Íộb— <ỉ>AdT = J

u2

^

e2 9 E = E h + k — - N2(2Ul + 2 u 2) R

hay

1 2 ( U ! + u2) E = EH + k-ẼT- R 2(1+S)

DI Ễ

N

ĐÀ N

Biểu thức (8) ñược viết là:

Cuối cùng ta thu ñược năng lượng E+ ứng với hàm lị/ = N(Ộa + <Ị>b ) là năng lượng của MO liên kết. 146

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

E+ = EH + k — H R

l+ s u u '

(11)

TP .Q UY

E_ =E H+ k ^ + ^

NH ƠN

Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng thu ñược năng lượng của MO phản liên kết E_ ứng với hàm V|/ = N(<ị>A-ộg)

3.22. Cho năng lượng MO liên kết: E ,= EH + k ặ - a ± 3 L w R

ĐẠ O

l+s

và năng lượng MO phản liên kết:

1-S

NG

E_=EH + k — + “ R

TR Ầ

N

Hãy chứng minh rằng tổng năng ỉượng MO liên kết và MO phản liên kết luôn luôn lớn hơn 2 lần năng lượng khi electron chuyển ñộng ñộc lập quanh từng hạt nhân A và B trong, ion phân tử hiñro Hị ỏ inọi khoảng cách giữa 2 hạt nhân.

00

B

Trả lời

A

E+ + E_ > 2Ejj

10

Theo dầu bài ta phải chứng minh biểu thức sau:

Quả vây: E+t E. = EH + k - - ^ H R l+ s

+ E„ + k - - ^ R l-s

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

e2 - r (U1 + u2 )(1 - S) +(uị - U2 >(1 +S) = 2EH + 2k— H R (l+SX l-S)

E++ E_ =2EH + 2k— + 2(- - 2 ~ ^ H R 1 -S 2

N

e2 Từ biểu thức cuối cùng thu ñược ta nhận thấy năng lượng ñẩy k ^ r giữa R hạt nhân Ấ và B luôn luôn dương nên muôn chó E+ + E_ > 2EH thì dấu của

DI Ễ

2

_ , nl e2 2u, -2Su, = 2EH+ 2 k ^ ----- hay

biểu thức ^ --2 ~ u— sẽ quyết ñịnh. Ta xét A = l-s 2

~ ui) l-s 2 147

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

• Khi s = 0 sẽ dẫn tối Su2 = 0 và A < 0

f

NH ƠN

• Khi s = 1 sẽ có u2 = U! và ñại lượng A = 0 • Khi s = 0,5 (ồ khoảng cách trung gian) thì ISu 2 1 < ux và lúc ñó A < 0.

E+ + E_ > 2Ejj

TP .Q UY

Như vậy, trong mọi trưòng hợp tổng các ñại lượng ố vế phải của biểu thức trên luôn luôn nhỏ hơn tổng E+ + E_ hay hay

E_ > 2Eịj —E+

Giả sử chúng ta có một ñầu dò với thể tích 1 pm3 rất nhậy vói electron ñặt vào trong ion phân tử hiñro Híị ồ trạng thái cơ bản. Hãy tính xác

NG

3.23.

ĐẠ O

ðiều này có nghĩa là năng lượng MO phản liên kết càng phản liên kết hơn so với năng lượng MO liên kết.

suất có mặt của electron mà ñầu dò này có thể ghi nhận ñược khi: a) ở hạt nhân hiñro A và B ứng vối MO liên kết.

TR Ầ

N

b) ở h ạt nhân hiñro A và B ứng với MO phản liên kết. Cho biết tích phân xen phủ

s = 0,586;

B

Ra b = 106 pm; a0 = 53 pm;

00

1/2

e - rA/a0 .

> a (H ) =

^ 1

u m

=

~rB/a

__3

A

10

/

a)

DI Ễ

N

ĐÀ N

là:

TO ÁN

-L

Í-

Trả lời

Theo phương pháp MO, người ta ñã xác ñịnh ñược hàm MO cho H|

V|/ =

1 2(1 ±S)

1/2

(<i>A± fe)

Với các số liệu ñã cho ta dễ dàng tính ñược thừa sô' chuẩn hoá N+: -|l/2 N+->■ N+ = 0,561; N_= 1,099 2(1 ±S)

148

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

v± = N j

\ ■3

e Í-R ao ± e ao

1/2

V.

i - khòảng cách biến ñổi dọc theo trục liên kết giữa AB.

i-R

i

/ \ 1/2 1 V|/+= N H 3

a0

= 9,3129.10*-4

a0

+e

ĐẠ O

e

TP .Q UY

Tại hạt nhân A ta cho í - 0, lúc ñó hàm \ụ+ sẽ là:

NH ƠN

í

NG

11|/J 2dv = 8,67.10“'

Tại B, nghĩa là i = 106 pm. Do tính ñổi xứng của H2 nên:

Theo kết quả giải bài toán cho H |, hàm

3

- e

10

-

e

A

.

00

1

V|/ = N _

l a0

B

r

Vị/*

là: 1^ i1 I.W

TR Ầ

b) Tại A và B ứng với MO phản liên kết.

N

I\|/+12dv = 11|/+12dv = 8.67.10-7

0

-

\

Thay các giá trị tương ứng với l = 0, tại A ta có:

Í-

ị vự! | 2dv = 1,93.10-6

-L

Vậy xác suất có mặt electron trong trường hợp này là :

TO ÁN

I y! | 2dv= 1,93.10-6

tl= (ì)

X

một góc (p

l s - ế p' * ế \

N

ĐÀ N

Ì.24. Biết hàm lai ;hoá sp2 nằm trong mặt phẳng xy tạo với trục là 120° có dạng:

DI Ễ

Hãy viết dạng tượng minh của hàm này khi ta sử dụng các hàm AO-S, px, 'py thuộc dạng hàm của hiñro (một cách gần ñứng ta chỉ xét phần hàm góc). Chứng minh giá trị cực ñại của AO-sp ỗ hướng ñã chỉ ra.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trả lời

NH ƠN

Theo phụ lục ta có các giá trị hàm góc tương ứng là:

TP .Q UY

[ 2s

Y2px = ^ sin G c o sc p ;

sinỡ siníP

Thay các giá trị này vào hàm lai hoá sp ta có:

NG

- ễ r' n = .lị

3 V 471

1 - J^-sin 0 cos cp + yị—^/3 sin 8 sin (p

yịỉsin 9(cos cp - y/3 sin (p)

B

2 1•\12tc

TR Ầ

N

t,

1 — 3 i a , + J —J 3 3_ i a i — sinScoscp — sinSsincp 2 . V 4 rt V 2 V 4n

'* ■

ĐẠ O

Y2py = ^

10

00

Hàm lai hoá nằm trong mặt phẳng xy nên góc 0 =-90° hay sinồ = 1. Vậy AO-sp)2 tưòng minh là: J

-L

Í-

Muốn xét giá trị cực ñại của AO-sp2 theo hướng góc (p tạo thành vổi dt X m ô t g ó c b ằ n g 120° l à thưc h i ê n p h é p — ỉ- = 0. Quả v â y : dcp

TO ÁN

tr u e

= ,/- 4 - 1 (coscp - VtTsin tp) - Vl 2jt V2 T v

A

1

t1

— (coscp - y/ẫ sincp) = (-sincp - V3 coscp) = 0 hay dtp

ĐÀ N

sirwp = —^cos<p

tg (p

= -V ã

------->

(p = 1 2 0 °

N

ðó là ñiều cần chứng minh.

DI Ễ

3.25. Sử dụng mô hình electron 7t chuyển ñộng tự do trong mạch liên hợp có . công thức chung là: H2C=CH-(CH=CH)k-CH2

150 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

a) Viết công thức tính AE năng lượng và bước sóng X của phổ hấp thu xảy ra khi 1 electron chuyển từ mức n = 3 lên n = 4 với k = 1 1 b) Cũng câu hỏi như trên vdi k = 2.

TP .Q UY

Cho khoảng cách trung bình giữa 2 nguyên tử cacbon trong mạch là 1,40 Ả. Trả lờỉ Theo lí thuyết ñại lượng AE sẽ là:

1 h2 hv = hc— - 7 9 ^ 8ma

NG

suy ra:

Mặt khác:

(1)

ĐẠ O

AE = E4- E 3 = 42J ^ - 3 2- ^ i = 7 - ^ 8ma ■ 8ma 8ma

-

(2)

TR Ầ

N

á) k- = 1, mạch liên hợp có 5 nguyên tử cacbon do ñó: a = (N + l K = 6 ^ = 6.1,4Ả

B

Thay các giá trị tương ứng vào (2) ta có:

00

X = 332 nm

X = 459 nm

A

10

b) k = 2, một cách tương tự tạ cũng xác ñịnh ñược bước sóng là:

Í-

3.26. Cho phân tử butañien vổi 4 electron n ởtrạng thái cơ bản. Dựa phương pháp Húckel hãy:

vào '

-L

a) Viết ñịnh thức thế kỉ cho phân tử khảo sát.

TO ÁN

b) Xác ñịnh năng lượng electron n và biểu diễn chúng trên giản ñồ. c) Viết các hàm MO tương ứng và biểu diễn chúng bằng ñồ thị.

Trả lời

ĐÀ N

d) Lập sơ ñồ MO (7t).

DI Ễ

N

a) Phân tử butañien có công thức tổng quát như sau: CH2=CH-CH=CH2

Các nguyên tử cacbon trong phân tử này thuộc dạng lai họá sp2.Ta có

thể hình dung các liên kết

ĩt

bằng sơ ñồ sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Từ khung phân tử:

V|/ = + c 2<|>2+ Cata+ d) Áp dụng cách tính biến phân kết hợp vói các quy tắc Hiicke] ta dễ dàng viết ñược hệ phương trình tuyến tính và ñịnh thức cho phân tử butañien. XCJ + C2

= 0 = 0

N

C2 + xc3 + c4 =

Ci + XC2 + c3

X

a-E

D =

(2)

0

0

0

1 x 1 0 0 1 x 1

B

X=

0

0

10

0

00

Với

1

TR Ầ

c3 + xc4 =

NG

ĐẠ O

ta CÓ:

1

(3 )

X

A

b) Khai triển ñịnh thức (3) sẽ dẫn ñến phương trình: X4 -

3x2 + 1 = 0

(4)

TO ÁN

-L

Í-

Giải phương trình trùng phương (4) sẽ ñưa lại 4 nghiệm: xx =-1,618' x2 = -0,618 x3 = 0,618 x4 = 1,618

(5)

DI Ễ

N

ĐÀ N

Thay các giá trị X vào biểu thức tín h năng lượng E = a - xp ta sẽ thu ñược 4 mức năng lượng electron 71. e4 E j = a + 1 .6 1 8 P E2 =ot + 0,618p E3 = a-0,6 18p E4 =a -l ,6 1 8 P

(6) 4f

e2

-H-

E,

152 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Do a, p < 0 nên các mức năng lượng electron It ñược biểu diễn ở giản ñồ trên. c) Muốn xác ñịnh các hàm \ụ, ta phải tìm các hệ số C j trong biểu thức (1). xx =-1,618 ñứợc thay vào hệ phương trình (2) sẽ là: C2

= 1,618c! ^

C1+ c3

= 1,618 c 2

C2 + C4

= 1,618c3

c3

TP .Q UY

ðối với

(7)

= 1,618c4J

ĐẠ O

Rõ ràng từ (7) ta rú t ra: c2 = c3 và Cị ='c4

cỊ + c | + C3 + C4 = 1

C 4 = 0 ,3 7 1 7 !

TR Ầ

C i =

(8)

N

Từ (7). và (8 ) ta dễ dàng tìm ñược hệ số C ị :

NG

Kết hợp với ñiều kiện chuẩn hoặ các hàm sóng ta viết:

c2 = c3 = 0,6016 J

(9)

00

B

Vậy khi xx = -1,618 ta có hàm MO tương ứng là:

10

\J/J_= 0,37174»! + 0,6016<ị>2+ 0,6016«Ị>3 + 0,371 7Ộ4

A

Một cách hoàn toàn tương tự ứng vói các nghiệm x2, x3 và x4 ta sẽ thu ñược v|/2, V3 và v|/4.

-L

Í-

Vậy 4 MO là:

TO ÁN

Vl = 0,3717^ + 0,6016(|)2 + 0,6016<ị>3 + 0,3717cị)4 \ụ2 = 0,6016(1»! + 0,3717ộ2 - 0,3717<Ị>3 - 0,6016<t>4 (10)

ĐÀ N

V3 = 0,6016^ - ũ,2,110)2 - 0,3717<ị>3 + 0,6016(ị)4 V4 = 0,3717^ - 0,6016«ị>2 + 0,6016<Ị>3 - 0,3717<Ị>4

DI Ễ

N

Từ các giá trị MO thu ñược ỏ biểu thức (10) ta có thể biểu diễn chúng bằng ñồ thị sự phân bô"electron như sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

10

00

B

TR Ầ

N

NG

ĐẠ O

TP .Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Í-

A

Dựa vào ñồ thị ta nhận thấy sự phân bố electron ỏ 4 nguyên tử cacbon trong phân tử butañien ñã chỉ ra rằng ứng với các hàm v|/3 và Vị/4 là các MO phản liên kết.

TO ÁN

-L

Do phân tử butañien là mạch liên kết thẳng nên người ta còn có thể áp dụng các công thức tổng quát ñể xác ñịnh năng lượng Ej(7t) và các hệ sô"C j trong các hàm MO V|/ị một cách trực tiếp và nhanh chóng.

ĐÀ N

Ei = a + 2 P c ° s( ĩ 7 ĩ ) ;

DI Ễ

N

Ví du ñối với Ej = a + 2pcos— = a + l,618p 5 C1 =

Cu = J - sin— V5 5

= 0,632.0,588 = 0,3717

154

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

sin i^ L ĩ = 0,632.0,951 = 0,6015 5

-

c3

/2 si = C13 = JJ— - sin— — = 0,632.0,951 = 0,6015 V n5 s5 V5

-

In

1 n _

c 4 = Ci4 = J - sin— v5 5

NH ƠN

I

c2

= 0,632.0,588 = 0,3717

TP .Q UY

c 12

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

d) Áp dụng các biểu thức xác ñịnh mật ñộ electron 7t (qr), bậc liên kết 71(prs) và chỉ số hóa trị tự do (Fr) ta dễ dàng lập ñược sơ ñồ MO(it) sau ñây:

ĐẠ O

Từ các số liệu thu ñược ồ biểu thức (10) ta có thể: • Xác ñịnh qr:

Một cách tưñng tự ta cũng tìm ñược q2, q3 , q4 -

NG

q1 = 2c?1 + 2 c | x = 2(0,3717)2 + 2(0,6016)2 - 1

qi = q2 = Q3 = Q4 * 1

TR Ầ

N

• Giá trị prs(it)

P12 = 2C11C12 + 2c21c22 = 2.0,3717.0,6016 + 2.0,6016.0,3717 = 0,894

p 12 = P34 = 0,894

10

P23 = 0,447

00

B

ðể tìm các bậc liên kết P23 và P34 ta cũng tiến hành phép tính tương tự. Kết quả sẽ là:

A

• Chỉ số hóa trị tư do Fr. Chỉ số này ñược tính theọ biểu thức: Fr = Nm m ax—Nr ax

hay Fr = 4,732 - N r

Í-

Nr là toàn bộ bậc liên kết 71và ơ (p(ơ) = 1). Vậy

-L

Fi = F 4 = 4,732 - (3.1 + 0,894) = 0,838

TO ÁN

F2 = F3 = 4.732 - (3.1 + 0,894 + 0,447) = 0,391

DI Ễ

N

ĐÀ N

Với các giá trị qr, prs và Fr tính ñược ta có thể lập sd ñồ MO(tc) cho phân tử butañien như sau:

0.838

0.838

155 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TP .Q UY

NH ƠN

3.27. Áp dụng phương pháp gần ñúng MO của HCỈckel hãy tìm giá y*ị bậc liên kết cực ñại của cacbon trung tâm (cacbon số 1) thuộc phân tử trimetylenmetan (CH^C* theo sơ ñồ ñánh số sau, biết rằng phân tử này ỏ trạng thái cơ bản có 4 eĩc.

Trả lời

ĐẠ O

4é 71 ñược giải toả ñều trên toàn khung phân tử trimetylen metan theo

NG

sơ ñồ:

N

Áp dụng phữơng pháp MO-LCAO tá có:

( í)

TR Ầ

\ị/ = Cjfo + c2<t>2+ C3Ộ3 + c4<|>4

(Ị)j, ộ2>Ộ3, Ộ4- hàm AO mô tả 4 electron 71 trong phân tử.

B

C1>c2 >c3>c4' các hệ số cần phải tìm.

10

00

Theo phương pháp biến phân ta viết: f VI/*Vị/dĩ

E=

íI \|/ĩ dx r

'

-

m

A

.

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

-L

Í-

Thay Vị/ ỏ (1) vào (2) rồi khai triển và kí hiệu các tích phân tương ứng theo các quy tắc Hùckel ta sẽ thu ñược hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:

Vổi

X=

XCj + C2 + c 3 + C4

0

Cj + xc2

0

Cj +

xc3

0

Ci

+

XC4

(3)

0

a -E

Giải hệ phương trình này bằng cách cho D = 0.

156. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1

1

1 x 1 0 1 0 x 0 1

0

0

=.0

-> x2(x2 - 3) = 0

(4)

X

---- >

Ex = a + y/3 p

x2 = 0

---- »

E2 =

a

x3 = 0

---- >

E3 =

a

--->

E4 = a - 'Js p

N TR Ầ

E3

E2

-ty-

B

vào phương trình (3).

Giản ñồ năng lượng ñược biểu diễn theo hình bên. Muốn xác ñịnh các hệ số Cj của hàm sóng MO (j/ ta lần lượt thay các nghiệm Xj

(5)

NG

x4 =+Vă

ĐẠ O

Giải phương trình (4) sẽ thu ñược các giá trị E sau: Xị = -\Ỉ3

NH ƠN

D =

1

TP .Q UY

X

10

00

Ví dụ: Xj = -V ã ñược thay vào (3) ta có: 0

+ C2 + C3 + c4

0 0

A

C1-V3C2

•v/3

-

Í-

Cj

c

-

3 V 3

c

(6)

0

4

-L

Cj

V 3

Từ (6) ta rút ra: c2 = c3 = c4

TO ÁN

Theọ ñiều kiện chụẩn hoá: c\ + c | +C3 +C4 = 1

ĐÀ N

Kết hợp cả hai phừơng trình cuối cùng này ta sẽ thu ñứỢc: C1 = -L và c2 = c3 = c4 = ^

DI Ễ

N

Vậy hàm Vị/! ứng vói X! = -SỈ3 có dạng ¥l = V2 ^ + S

+

+^

ơ)

157 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ta xét nghiệm X2 = 0. Khi thay x2 vào phương trình (3) ta có: 0

Cl

= 0

Cj

= 0

Ci

= 0

>

NH ƠN

=

TP .Q UY

c2 + c3 + c4

Nghĩa là hệ phương trình: c2 + c 3 + c4

=

c ị+ c ị

= 1

2 c1

= 1

= 1

c2 -----c 3 —

(9)

00

B

Va=

TR Ầ

N

hay

c Ị + c ị+ c ị+ c l

NG

ĐẠ O

(8) Ci ở ñây ta có thể chọn các cặp tổ hợp ñộc lập tuyến tính b ất kì. Ví dụ cặp c4 = 0 sẽ dẫn ñến c2 = -C3. sử dụng ñiều kiện chuẩn hoá.

(10)

-L

Í-

A

10

Lập luận một cách hoàn toàn tương tự cho trường hợp x3 = 0 và x4 = V3 ta cũng thu ñược các hàm MO tương ứng:

DI Ễ

N

ĐÀ N

TO ÁN

ðể xác ñịnh Nmax tại vị trí cacbon sô* 1 của phân tử khảo sát ta phải tính bậc liên kết n cho p12, P13 và p14. Theo ñầu bài thì phân tử trimetylen metan có 4 electron 7t ỏ trạng thái cơ bản và theo giản ñồ năng lượng thu ñược ta có V|/1; \ụ2 và v|/3 với 2 electron 7Ctrên lị/! và 1 electron 7Ctrên vị/2 và Iịf3. Vậy bậc liên kết 7Tsẽ là: P12 = 2Cllc12 + c21c22 + c31c32 Thay các giá trị bằng số vào ta có: 1 P 12 ~ V3

158 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng nhận ñược bậc liên kết 7t của 1 P l3 - P l4 - P 12 Vã

N m ax

= 3pi 2(ơ) + 3p1200

= 3 + 3 -L = 3 + 1,732 V3 Nn

'ìc ,:

= 4,732

~c2

ĐẠ O

hay

TP .Q UY

Theo quy ưốc của phương phằp HMO thì mỗi bậc liên kết ơ bằng ñơn vị. Do ñó Nmax tại vị trí sô' 1 trong phân tỏ trimetylen metan sẽ là:

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

NG

3.28. Áp dụng phương pháp MO-Hiickel cho phân tử metylenxyclopropen với 4 electron 71ỏ trạng thái cơ bản theo sơ ñồ bên.

a) Viết ñịnh thức thế kỉ rồi suý ra hệ phương trình

N

tuyến tính ứng với X = í*—5

TR Ầ

b) Biểu diễn các mức năng lượng electron 71 trên giản ñồ năng lượng. Tính năng lượng tổng cộng các electron 71 của phân tử này.

(2)c

/ \ = ch (3) (4)

h c

10

00

B

c) Lập sơ ñồ (giản ñồ) MO (tĩ) cho phân tử khảo sát thông qua các giá trị tính cho mật ñộ electron 71, bậc liên kết 71và chỉ số hoá trị tự do. Vị/X=

A

E} ==a + 2,170p;

0,282<|>1+ 0,612<ị>2 + 0,523(<ị>3 + (Ị>4)

Biết:

vị/2 = -0,815(1)! - 0,254(ị>2 + 0,368(4*3 + w

E3 = a —P;

^3

-L

Í-

E2 - a + 0,311P;

E 4 = a — 1,481(3;

0,707(ệ4 - Ộ3)

i|/4 = -O.õOGỘỵ + 0 , 7 '4 9 Ộ2 - 0,302(<ị>3 + Ộ4)

TO ÁN

Trả lời

=

N

ĐÀ N

a) ðịnh thức thế kỉ và hệ phương trình tuyến tính có dạng: X 1 0 0 = 0 XCj + c2 l x l l 3 + c4 = 0 + xc2 + 0 1 x 1 Cọ + XC3 + c4 = 0 0 1 1 X Cọ + c3 + XC4 = 0

DI Ễ

b) sau ñây:

Theo các số liệu của ñầu bài vối a, p < 0 ta có giản ñồ năng lượng

159 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON


WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

E4 = a —l,48ip E3 = a - P ■H-

Ej = a + 2,170p

-H-

h2

E,

TP .Q UY

E2 = a + 0,311(5

NH ƠN

Ế4

Theo giản ñồ năng lượng ta dễ dàng tính ñược năng lượng tổng cộng các electron Jt như sau:

ĐẠ O

E* = 2Ej + 2E2 = 2(a + 2,170p) + 2(ot + 0,31ip) En = 4a + 4,962p.

NG

c) Muốn lập sơ ñồ (giản ñồ) MO (u) ta phải tính các ñại lượng qr, Prs, qi = 2(c?! + c |x) = 2[0,282)2+ (-0,81-5)2] = 1,487

N

Một cách tương tự ta có:

TR Ầ

q2 = 0,879; q3 = q4 = 0,817 p 12 = 2(c 11c 12 + c21c22) = 0 ,7 4 2

00

B

f*23 = ^24 = 0>452;

10

P 34 = 0.818 Fj = 4,732 - (3 + 0,742) = 0,99

A

.

F2.= 0,084;

0>8i7

*■ 0-461<