2 1 1 1 a4 b4 c4 + + + + bc + 1 ab + 1 ca + 1 bc + 1 a b c ab + 1 ac + 1
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
27 ≥ 4
Phân tích và lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a = b = c = 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy được sự phức tạp của bài toán. Bất đẳng thức trên có một số ý tưởng tiếp cận như đổi biến, sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Cách 1: Trước hết ta tiếp cận bài toán với ý tưởng đổi biến Nhận thấy giả thiết của bài toán có thể viết lại được nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến x =
1 1 1 + + = 3 , đến đây hoàn toàn tự ab bc ca
1 1 1 ;y= ;z= khi đó giả thiết được viết lại thành a b c
xy + yz + zx = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
(
2 yz zx xy x+y+z 2 + 2 + 2 y 1 + yz 1 + xy z 1 + zx 1 + yz x 1 + xy 1 + xz
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
27 ≥ 4
Ta thấy sau khi đổi biết thì thu được một bất đẳng thức còn phức tạp hơn cả bất đẳng thức ban đầu nên ta tạm dừng ý tưởng này lại.
1 1 1 ;y= ;z= xem sao? Việc ta cần làm đó là đánh bc ca ab giá sao cho xuất hiên các đại lượng ab; bc; ca . Cũng từ giả thiết ta thử đổi biến x =
Dễ thấy đánh giá
1 1 1 9 3 + + ≥ = , khi đó gọi P là vế trái của bất đẳng thức thì ta thu được a b c a + b + c abc
9 a4 b4 c4 + + a 2b2 c2 ab + 1 ac + 1 bc + 1 ab + 1 ca + 1 bc + 1 2 2 2 a b c = 9 2 2 + 2 2 + 2 2 c a bc + 1 ab + 1 a b ca + 1 bc + 1 b c ab + 1 ac + 1 2 2 2 a bc b ca c ab = 9 3 3 + 3 3 + 3 3 c a bc + 1 ab + 1 a b ca + 1 bc + 1 b c ab + 1 ac + 1 1 1 1 Đến đây ta có thể thay ab = ; bc = ; ca = vào bất đẳng thức trên thì bất đẳng thức trở z x y P≥
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
thành
x3 y3 z3 P ≥ 9 + + 1+ z 1+ x 1+ x 1+ y 1 + y 1 + z
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
x3
+
y3
+
z3
(1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y )
≥
3 4
Bất đẳng thức trên đã được chứng minh trong kỹ thuật thêm bớt trong bất đẳng thức Cauchy. Cách 2: Nhận thấy bất đẳng thức có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được