Chuyên đề Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

CHUYÊN ĐỀ:

BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Ơ

N

Tổng số tiết dạy: 48 tiết = 16 buổi.

N

H

MỞ ĐẦU

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

trọng trong học tập lượng giác và là một nội dung trong cấu trúc đề thi THPTQG.

H Ư

N

tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập.

G

phương pháp về biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác góp phần phát huy Chuyên đề này gồm: Hệ thống ngắn gọn các kiến thức cơ bản về biến đổi lượng

TR ẦN

giác và cách giải phương trình lượng giác.

Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán về biến

B

đổi lượng giác và phương trình lượng giác.

10 00

Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kĩ năng biến đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác.

-H

Ó

A

PHẦN I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. A. Lí thuyết cơ bản.

-L

Ý

B. Bài tập và phương pháp giải toán.

ÁN

Dạng 1. Bài tập về hệ thức lượng giác cơ bản.

TO

I. Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị của biểu thức lượng giác.

IỄ N

Đ

ÀN

1. Cho một hàm số lượng giác. Tính giá trị các hàm số lượng giác còn lại.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Với mục đích cung cấp cho học sinh THPT. Đặc biệt là học sinh lớp 10, 11.Các

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

THPTQG.

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

TP

Thành thạo các phép biến đổi lượng giác giúp các em học sinh thêm tự tin trong kì thi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác là nội dung cơ bản và quan

2. Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác.Tính giá trị của một biểu thức lượng giác.

3. Cho một biểu thức lượng giác. Tính giá trị lượng giác. Tính giá của biểu thức lượng giác.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

1

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Bài tập tính giá trị của biểu thức lượng giác qua các đề thi thử THPTQG năm 2015.

II. Chứng minh đẳng thức lượng giác.

Ơ

N

III. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số.

H

IV. Rút gọn các biểu thức lượng giác.

Y

N

Dạng 2: Bài tập về công thức quy gọn góc (Công thức biểu diễn góc (cung)

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

III. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.

G

II. Rút gọn biểu thức lượng giác.

IV. Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác.

TR ẦN

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản.

B

Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp.

Phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc 3 với một hàm số lượng giác.

10 00

I.

II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Ó

A

III. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx.

-H

IV. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx.

Ý

Dạng 3. Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về phương trình tích các

-L

phương trình lượng giác thường gặp.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

ÁN

I.

IỄ N

giác.

III. Phương trình đưa về phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx.

Đ

ÀN

TO

II. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

I. Chứng minh đẳng thức lượng giác.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Công thức biến đổi).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Dạng 3: Bài tập về công thức lượng giác. (Công thức cộng. Công thức nhân.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

U

có liên quan đặc biệt).

IV. Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx.

Dạng 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực với phương pháp khác.

I

Phương pháp tổng bình phương.

II. Phương pháp đánh giá hai vế.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

2

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

PHẦN I. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Số tiết dạy:18 tiết = 6 buổi.

N

A.Mục tiêu bài dạy.

Ơ

1.Mục tiêu bài dạy.

N

H

- Học sinh nhớ được các hệ thức lượng giác cơ bản.

Y

-Hiểu được các công thức thu gọn góc.

LÝ THUYẾT CƠ BẢN.

G

B.

N

1. Độ:

1 goùc beït 180

TR ẦN

Goùc 10 =

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

I. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG:

2. Radian: (rad)

10 00

B

180 0 = π rad

00

300

Radian

0

π

450

600

900

1200

1350

1500

1800

3600

π

π

π 2

5π 6

2π

3

3π 4

π

4

2π 3

Ý

-H

Độ

Ó

A

3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung) thông dụng:

ÁN

-L

6

II. GÓC LƯỢNG GIÁC & CUNG LƯỢNG GIÁC:

TO

y

1. Định nghĩa:

ÀN

y

+

Đ

B

α

IỄ N

+

α

D

t

α

x

O

(tia gốc)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

t

M

x A (điểm gốc)

AB = α + k 2π

(Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)

Tổ: Toán - Tin

x

(tia ngọn) (điểm ngọn)

O

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

+Rút gọn biểu thức lượng giác. Chứng minh đẳng thức lượng giác.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

-Dùng công thức lượng giác để: +Tính giá trị lượng giác.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

2. Kỹ năng.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

-Hiểu và nhớ công thức cộng, công thức nhân và công thức biến đổi.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

3

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

III. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: y

C

x'

t

Trục sin

Trục cotang

U M

t

+

α

α

x'

T

10 00

Q

u

B

B

O

sin α = OQ

x

A

−

Ó

A

P

Trục cosin

-H

−1

Trục tang

t'

-L

Ý

y'

ÁN

b. Các tính chất:

TO

Với mọi α ta có:

tgα

= AT

cot gα = BU

ÀN

−1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1 −1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1

Đ IỄ N

cos α = OP

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

t

y

TR ẦN

Ta định nghĩa:

H Ư

N

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q t'

TP

Đ ẠO

y'

a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α .

u'

N

−

−1

2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

U

• u'Bu : trục cotang

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

x

Y

• t'At : trục tang

1 A

R =1 O

−1

(trục tung )

+

Ơ

• x'Ox : trục côsin (trục hoành ) • y'Oy : trục sin

u

B 1

u'

N

• A: điểm gốc

t

H

1. Đường tròn lượng giác:

• tanα xaùc ñònh ∀α ≠

π 2

+ kπ với k ∈ ℤ

• cotα xaùc ñònh ∀α ≠ kπ k ∈ ℤ

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

4

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

c. Tính tuần hoàn

sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cosα tan(α + kπ ) = tan α

N

(k ∈ Z )

H

Ơ

cot(α + kπ ) = cot α

N

IV. GIÁ TRỊ CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC

.Q

π/6

3 /3

1/2

3 /2

2 /2

x

1 A (Ñieåm goác)

O

-1/2

-π/6

B

- 2 /2

-π/4

10 00

- 3 /2

-1

-π/3

IỄ N

Đ

ÀN

cos α tan α cot α

Ó

y'

450

600

π

π

6

0

t'

- 3

900

1200

1350

1500

π

π

4

3

2

2π 3

3π 4

5π 6

π

2π

1 2

2 2

3 2

1

3 2

2 2

1 2

0

0

1

3 2

2 2

1 2

0

0

3 3

1

3

kxđ

kxđ

3

1

3 3

0

Ý

-H

0

-1

-π π/2

A TO

sin α

300

ÁN

Hslg

00

-L

Góc

- 3 /3

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

−

1 2

−

2 2

3600

−

3 2

-1

1

3 3

0

0

kxđ

kxđ

− 3

-1

−

3 3

-1

− 3

−

1800

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

u

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

π/4

1/2

- 3 /2 - 2 /2 -1/2

3

1

2 /2

-1

G

3 /3 π/3

H Ư

3π/4

π

π/2

3 /2

5π/6

x'

B 1

2π/3

N

- 3 /3

-1

TR ẦN

- 3

u'

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

t

3

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

TP

y

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

U

Y

BIỆT:

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

5

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT: Đó là các cung:

3. Cung phụ nhau

: α vaø

π

: α vaø

π

6

π

(Vd:

π 6

&

6

,…)

5π ,…)

6

.Q

,…)

TP

π 3

(Vd:

+α

π

6

&

2π ,…)

3

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

5. Cung hơn kém π : α vaø π + α

TR ẦN

1. Cung đối nhau:

= − tan α

-L

ÁN

π

π

tan( − α ) 2

= cosα Phụ chéo = cot α

2. Cung bù nhau:

cos(π − α ) = − cosα = sin α = − tan α

4. Cung hơn kém

π 2

π

Hơn kém

π 2

cos( + α ) = − sin α 2

π

sin( + α ) = cos α sin bằng cos 2 cos bằng trừ sin π tan( + α ) 2

= −cot α

π

π

cot( + α ) = − tan α 2

cot( − α ) = tan α 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

sin( − α ) 2

7π ,…)

6

cot(π − α ) = − cot α

Ý

π

cos( − α ) = sin α 2

6

&

tan(π − α )

-H

3. Cung phụ nhau:

π

sin(π − α )

Sin bù

Ó

cot(−α ) = − cot α

10 00

tan(−α )

Cos đối

A

= − sin α

B

cos(−α ) = cosα sin(−α )

(Vd:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

6

&

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

2

π

) (Vd:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

π

π

G

4. Cung hơn kém

2

− α (tổng bằng

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

(tổng bằng π )

&−

N

: α vaø π -α

π

(Vd:

Ơ

2. Cung bù nhau

(tổng bằng 0)

H

: α vaø -α

N

1. Cung đối nhau

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

6

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

5. Cung hơn kém π :

cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sin α tan(π + α ) = tan α

N

Hơn kém π tan , cot

H

Ơ

cot(π + α ) = cot α

N

VI. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:

U

+kπ )

.Q 2

(α ≠ kπ ) kπ ) 2

H Ư

2. Công thức cộng:

cos(α + β ) = cosα .cos β − sin α .sin β

TR ẦN

cos(α − β ) = cosα .cos β + sin α .sin β sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cosα

B

sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cosα

10 00

tanα +tanβ 1 − tan α .tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = 1 + tan α .tan β

-H

Ó

A

tan(α +β ) =

Ý

3. Công thức nhân đôi:

= cos4 α − sin 4 α

sin 2α = 2sin α .cosα 2 tan α π π kπ π tan 2α = (α ≠ ± +kπ , α ≠ + ,α ≠ +kπ ) 2 4 4 2 2 1 − tan α

4. Công thức nhân ba:

cos3α = 4cos 3 α − 3cos α

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

cos2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α

sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α 5. Công thức hạ bậc: cos 2 α =

Tổ: Toán - Tin

1 + cos 2α 1 − cos 2α ; sin 2 α = ; 2 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

tg 2α =

cos 3 α =

cos 3α + 3 cos α 4

sin 3 α =

3 sin α − sin 3α 4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

tanα . cotα = 1 (α ≠

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

sin 2 α

π

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 + cot 2α =

cos2α 1

(α ≠

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

sinα π (α ≠ +kπ ) cosα 2 cosα cotα = (α ≠ kπ ) sinα

tanα =

1

TP

cos α + sin α = 1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

1 + tan 2α =

2

Đ ẠO

2

Y

1. Các hệ thức cơ bản:

1 − cos 2α 1 + cos 2α

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

7

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

6. Công thức tính sin α ,cos α , tan α theo t = tan

tan α =

2t 1 + t2

Ơ

7. Công thức biến đổi tích thành tổng:

H

1 [ cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2

N Y U .Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

cosα .cos β =

http://daykemquynhon.ucoz.com

sin α + sin β = 2 sin

α +β 2

α +β

α −β

.sin

.cos

2

G

cos α − cos β = −2sin

2

.cos

α −β

N

α +β

2

H Ư

cos α + cos β = 2 cos

Đ ẠO

8. Công thức biến đổi tổng thành tích:

α −β

Ó

A

10 00

B

sin(α + β ) cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β tan α + tan β =

TR ẦN

2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 cos .sin 2 2

-H

9. Các công thức thường dùng khác: π

π

-L

Ý

cos α + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + ) 4 4

π

π

ÁN

cos α − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − ) 4 4

TO

3 + cos 4α 4 5 + 3 cos 4α cos 6 α + sin 6 α = 8

D

IỄ N

Đ

ÀN

cos 4 α + sin 4 α =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1− t ; 1+ t2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

cos α =

2

N

2t ; 1+ t2

α

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

sin α =

2

GV: Đào Mỹ Hạnh

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

8

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

C. BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

H

I. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG

Tính cosα, tanα, cotα.

Giải:

G

< α < π => cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0

10 00

2

B

π

N

4 π và < α < π 5 2

H Ư

a) Cho sinα =

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

* Ví dụ 1:

+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có:

Ó

A

cos2α = 1 – sin2α = 1 -

-H

sin α 4 =− cosα 3

Ý

tanα =

16 9 3 = ⇒ cosα = − 25 25 5

3 4

-L

ÁN

cotα = −

ÀN

TO

b) Cho cosα = -

Đ IỄ N

1 3π với π < α < . Tính sinα, tanα, cotα.

4 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Bước 3: Kết luận.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Bước 2: Dùng hệ thức lượng giác cơ bản để tính.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Bước 1: Kiểm tra dấu của các hàm số lượng giác cần tính.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

* Các bước thực hiện:

+ Vì π < α <

D

U

1. Cho 1 hàm số lượng giác. Tính giá trị của các hàm số lượng giác còn lại.

Y

N

GIÁC.

+ Vì:

Ơ

N

DẠNG 1. BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG CƠ BẢN

3π => sinα < 0, tanα > 0, cotα > 0.

2

+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có: sin2α = 1 – cos2α =

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

15 − 15 ⇒ sin α = 16 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

9

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

15 15

tanα = 15 ;cot α =

3π . Tính sinα, cosα, tanα.

2

U

b) Cho cotα = 3 và π < α <

Ơ

< α < π . Tính sinα, cosα, cotα;

H

2

N

π

Y

a) Cho tanα = - 2 và

N

* Ví dụ 2:

Cách 1: Rút gọn biểu thức lượng giác đã cho chỉ còn hàm số lượng giác đã biết.

G

Cách 2: + Tính các hàm số có trong biểu thức.

TR ẦN

* Áp dụng:

N

Cách 3: Giải phương trình để tính giá trị đơn.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

+ Thay kết quả tìm được vào biểu thức.

sin α + 2cos α sin α − 2cos α

10 00

A=

B

Ví dụ 1: Cho tanα = - 2. Tính giá trị của các biểu thức.

Giải:

A

Vì tanα = - 2(gt) => cosα ≠ 0

Ó

Chia cả tử và mẫu của A cho cosα ≠ 0 và thay tanα = - 2, được:

-H

tan α + 2 −2 + 2 = =0 tan α − 2 −2 − 2

-L

Ý

A=

Ví dụ 2: Cho cotα = 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:

1 cos α − sin α cosα + sin 2 α

ÁN TO

A=

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

* Phương pháp:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

một biểu thức lượng giác.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2. Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác. Tính giá trị của

ÀN

Giải:

D

IỄ N

Đ

Chia cả tử và mẫu của B cho sin2α ≠ 0 thay cotaα = 3, được:

1 + cot 2 α 10 = A= 2 cot α − cot α + 1 7 Ví dụ 3:

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

10

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

a) Cho 3sin4α - cos4α =

GV: Đào Mỹ Hạnh

1 (1). Tính 2

A = sin4α + 3cos4α.

Ơ H

1 2

N

Thì (1) trở thành 3t2 – (1 – t)2 =

N

Giải: Đặt t = sin2α với 0 < t < 1. => cos2α = 1 – t

.Q

b) Tương tự cho 3 sin4α +2cos4α =

98 . Tính A = 2sin2α + 3cos4α.

81

π 2

< α < π và sinα =

3 tan α . Tính A = 5 1 + tan 2 α

A

Cho

10 00

B

Ví dụ 4: (Đề minh họa – THPT Quốc Gia – 2015)

Ó

Ví dụ 5: Đề thi THPT Quốc gia năm 2015

ÁN

-L

Ý

-H

Tính giá trị của biểu thức p = (1-3cos2α) (2+3cos2α), biết 2 sin α = 3 Giải:

TO

2 7 14 P = (−2 + 6sin 2 α )(5 − 6sin 2 α ) = . = 3 3 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 3 + =1 4 4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP N

G

A=

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đ ẠO

1 1 1 ta có sin2α = => cos2α = thay vào A ta được: 2 2 2

Với t =

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 −3 t = 2 ∉ [ 0;1] 2 4t + 4t – 3 = 0  t = 1 ∈ [ 0;1]  2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

6t2 – 2(1 – 2t + t2) = 1

ÀN

3. Cho 1 biểu thức lượng giác. Tính giá trị lượng giác. Tính giá trị của biểu thức

D

IỄ N

Đ

lượng giác.

* Phương pháp: - Dùng hệ thức lượng giác cơ bản để tính. * Áp dụng: Ví dụ 1: Cho sinα + cosα =

2

a) Tính sinα , cosα, tanα, cotα.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

11

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin5α + cos2α Giải:

a) Theo giả thiết và hệ thức lượng giác cơ bản, ta có

Ơ H N U .Q

Giải:

A

a) Theo giả thiết và hệ thức lượng giác cơ bản ta có:

Ý

-H

Ó

 tan α = 2 − cot α  tan α = 2 − cot α  tan α + cot α = 2  <=>  2   tan α cot α = 1  cot α (2 − cot α ) = 1 cot α − 2cot α + 1 = 0

-L

 tan α = 1 cot α = 1

TO

ÁN



IỄ N

Đ

ÀN

+ sin α = cosα =

2 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G N H Ư sin α cosα tan 2 α + cot 2 α

10 00

b) Tính giá trị của biểu thức A =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα

TR ẦN

Ví dụ 2: Cho tanα + cotα = 2

B

http://daykemquynhon.ucoz.com

TP

5

 2  2 2 A=   +  = 4  2   2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

5

2 . Thay vào A ta được: 2

Đ ẠO

b) Theo kết quả a) sinα = cosα =

Y

 2 2 = sin α = 2 −  tan α = 1  2 2  ⇒ cot α = 1 cosα = 2  2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

N

sin α + cosα = 2 sin α = 2 − cosα ⇔  2  2 2 2 sin α + cos α = 1 ( 2 − cosα ) + cos α = 1

2 2 .

1 b) Theo kết quả a, thì A = 2 2 = 1+1 4

Ví dụ 3: Cho sin2αcos2α =

1 4

a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

12

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin4α + cos4α Giải:

a) Theo hệ thức lượng giác cơ bản và giả thiết có:

Y

N

H

Ơ

N

1 2 1 2

.Q

3π và tanα = 2 2

TR ẦN

1. Cho góc α thỏa mãn π < α <

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

QUA CÁC ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2015

2

π   5π  Tính M = sin α + sin  α +  + sin  − 2α  2   2 

B

2

10 00

THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội) Giải:

Ó

A

3π 1 1 1 = ⇒ cosα = − (gt) ⇒ cosα < 0 ⇒ cos2α = 2 1 + tan α 5 5

-H

+ Vì π < α <

= cos2α + cosα =

1 1 − 5 5

ÁN

-L

Ý

+ M = sin2α + cosα + cos2α = sin2α + 2cos2α + cosα - 1

TO

2. Biết rằng số thực α thỏa mãn tanα = 2. Tính:

sin α + 2cos3 α (Trường ĐH Vinh – TPTH chuyên lần 2) cosα + 2sin 3 α π 7 3. Biết rằng α ∈ (−π ; − ) và sin2α = . Tính: 2 9

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

BÀI TẬP TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

1 1 1 + = 4 4 2

b) A = (sin2x)2 + (cos2x)2 =

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

⇒ tanx = ± 1; cotx = ± 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

 1  2 sinx = ± sin 2 α + cos 2α = 1 sin x =     2 ⇔  2 1 ⇔ 2 1 sin os c = α α 2  cos x = cos x = ±  4   2

D

IỄ N

Đ

ÀN

A=

A=

cos 2α − 4cos α + 4 + sin 2 α − 4sin α + 4 (ĐH Vinh – THPT chuyên lần 3)

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

13

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

π  < α < 2π và tan  α +  = 1 2 4 

π

π

N

 + sinα 6

N

< α < π . Tính sin2α

Y

3π π −4  . Tính tan  α −  và cosα = 2 4 5 

TP

(Đề THPT Thạch Thành I)

< α < π và sinα =

2

4 . Tính A = sin2(α + π) 5

G

π

3π và sinα - 2cosα = 1. Tính A = 2tanα - cotα 2

TR ẦN

8. Cho góc α thỏa mãn π < α <

H Ư

(Đề Sở GD&ĐT Hà Tĩnh)

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

7. Cho góc α. Thỏa mãn

(Đề Sở GD&ĐT Nghệ An)

B

π π  π 4  với - < α < 0 . Tính A = sin  α −  cos  α +  2 4 4 5  

10 00

9. Cho cosα =

(Đề THPT Thủ Đức)

A

sin 3 α + cos3α − sin 3 α + sin α 2sin 3 α − 3cos3 α + sin α + cosα

(Mẫu đề thi thử THPT QG đề 9)

Ý

-H

Ó

10. Cho tanα = 2. Tính A =

-L

4. Bài tập tương tự:

ÁN

Bài 1: Cho sinα - cosα =

2

TO

a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα

D

IỄ N

Đ

ÀN

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin6α + cot6α

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

6. Cho góc α thỏa mãn π < α <

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

(Đề THPT Cẩm Lý – Bắc Giang)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

U

π

.Q

5. Cho sinα + 2cosα = - 1 và

H

(Đề THPT Hùng Vương – Phú Thọ)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 

Tính A = cos  α −

Ơ

4. Cho

Bài 2: Cho sinα + cosα = a với a ∈  − 2; 2  . Tính giá trị của biểu thức:

a)

A = sinαcosα;

B = sinα - cosα;

D = tan2α + cot2α

E=

C = sin4α + cos4α

sin 2 α sin α + cosα − sin α − cosα tan 2 α − 1

Bài 3: Tính sinα, cosα, tanα, cotα, biết

a) asinα + bcosα = 0 với a2 + b2 ≠ 0

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

14

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

1  1    b) 1 +  sin α + 1 +  cosα = 2 + 2  cosα   sin  c) 5sinα - 20cosα = 4(tanα - 4)

H

Ơ

N

d) 49 – 50sinαcosα = 12(tanα + cotα)

N

II. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

.Q TP

Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản

G

H Ư

A = B ⇔ A1 = B1 ⇔ A2 = B2 ⇔ … ⇔ An = Bn – đúng.

B

Cách 4: Xuất phát từ 1 đẳng thức đúng

10 00

An = Bn ⇔ An-1 = Bn-1 ⇔ … ⇔ A = B 3. Ví dụ minh họa:

A

1 + sin 2 a Ví dụ 1: CMR: = 1 + 2 tan 2 a 2 1 − sin a

-H

Ó

(1)

Ý

Giải: Sử dụng cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản.

ÁN

-L

1 + sin 2 a 1 + sin 2 a 1 sin 2 a = = + = (1 + tan 2 a) + tan 2 a = 1 + 2 tan 2 a 2 2 2 2 1 − sin a cos a cos a cos a

ÀN

TO

Ví dụ 2: Biến đổi đến cùng một biểu thức trung gian:

tan 2 a 1 + cot 2 a 1 + tan 4 a . = 1 + tan 2 a cot 2 a tan 2 a + cot 2 a

(1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Cách 3: Biến đổi tương đương

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

 A = A1 = A2 = ... = Am = G ⇒ A= B  B = B = B = ... = G  1 2

N

Cách 2: Biến đổi về cùng một biểu thức trung gian.

Đ ẠO

 A = A1 = A2 = ... = Am = B  B = B = B = ... = B = A 1 2  m

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2. Phương pháp:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

1. Bài toán: CMR: A (sin, cos, tan, cot) = B(sin, cos, tan, cot)

D

IỄ N

Đ

Giải: Sử dụng cách 2. Biến đổi về cùng một biểu thức trung gian.

VT(1) =

tan 2 a  1 tan 2 a  1 tan 2 a + 1) = tan 2 a + = (   2 2 2 1 + tan a  cot a  1 + tan α

(2)

VP(1) =

1 + tan 2 a tan 2 a (tan 2 a + cot 2 a) = = tan 2 a tan 2 a + cot 2 a tan 2 a + cot 2 a

(3)

Từ (2), (3) ⇒ đpcm.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

15

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

Ví dụ 3: CMR:

GV: Đào Mỹ Hạnh

π 1 − sin a cos a , ∀a ≠ + kπ = cos a 1 + sin a 2

Giải: Sử dụng cách 3: Biến đổi tương đương.

H

Ơ

N

1 − sin a cos a = ⇔ (1 − sin a )(1 + sin a ) = cos 2 a cos a 1 + sin a

sin a 1 + cos a 2 + = 1 + cos a sin a sin a

t ana cot 2 a − 1 . =1 c) 1 − tan 2 a cot a

d)

1 + cos a 1 − cos a 4cot a − = 1 − cosa 1 + cos a sin a

N

H Ư TR ẦN

Bài 2: CMR:

a) (sina + cosa)2 - (sina – cosa)2 = 4sinacosa

d)

10 00

c) tan2a – sin2a = tan2a sin2a

B

b) 1 + 2sinacosa = sinacosa (1 + tana) (1 + cota)2

(sin a + cos a)2 − 1 = 2 tan 2 a cot a − sin a cos a

Ó

A

Bài 3: CMR:

-H

sin 2 a cos 2 a − = sin a cos a 1 + cot a 1 + t ana

Ý

a) 1 -

c) sin4a – cos4a = 1 – 2cos2a

b)

-L

d) sin4a + cos4a = 1-2sin2acos2a

ÁN

e) sin6a + cos6a = 1 – 3sin2acos2a

TO

g) sin8a + cos8a = 1 – 4sin2acos2a + 2sin4acos4a.

i)

tan 3 a 1 cot 3 a − + = tan 3 a + cot 3 a 2 2 sin a sin a cos a cos a

k)

t ana − sin a 1 = 3 sin a cosa(1+ cos a )

Đ

ÀN

h) sin2a – tan2a = tan6a (cos2a – cot2a)

D

IỄ N

1 + cot a 1 + t ana = 1 − cot1 t ana − 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

b)

G

cos a 1 + t ana = 1 + sin a cos a

a)

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đ ẠO

Bài 1: CMR:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

4. Bài tập tương tự:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

1 − sin a cos a = đúng (đpcm). cos a 1 + sin a

.Q

Chứng tỏ:

N

⇔ 1 – sin2a = cos2a ⇔ sin2a + cos2 = 1 đúng.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

16

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

III. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC BIẾN SỐ 1. Phương pháp

- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà

N

không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.

H

Ơ

- Nếu biểu thức chứa một biến số thì biểu thức rút gọn là một hằng số.

N

2. Ví dụ minh họa:

B = cos4x + sin2xcos2x + sin2x

b)

G

= cos2x (cos2x + sin2x) + sin2x = 1

N

D = 3(sin8x – cos8x) + 4(sin6x – 2sin6x) + 6sin4x

H Ư

d)

TR ẦN

A = (sin4x + cos4x – 1) (tan2x + cot2x + 2)

Bài 2: a)

(1 − tan 2 x)2 1 − 2 2 tan x sin x cos 2 x

B=

c)

tan 2 x − cos 2 x cot 2 x − sin 2 x + C= sin 2 x cos 2 x

d)

D=

10 00

B

b)

1 − sin 6 x 3tan 2 x − cos6 x cos2 x

Ó

A

http://daykemquynhon.ucoz.com

c) Tương tự: C = 2(cos6x + sin6x) – 3 (sin4x + cos4x)

-H

IV. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Ý

1. Phương pháp

-L

- Đưa về cùng một hàm số lượng giác và rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất.

ÁN

- Nếu gặp dạng phân thức thì phải biến đổi tử và mẫu dưới dạng tích rồi rút gọn

TO

cho nhân tử chung.

- Nếu gặp dạng căn thức thì phải biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng lũy

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

= cos2x + sin2x = 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

= cos2x – sin2x + 2sin2x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

A = cos4x – sin4x + 2sin2x

Bài 1: a) Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Y

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số.

D

IỄ N

Đ

ÀN

thừa rồi rút gọn cho chỉ số căn thức.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = cos2a + cos2acot2a = cos2a (1 + cot2a) = cos2a .

1 = cot2a 2 sin a

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

17

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

1  1  1  2 B = 1 + t ana + 1 + t ana −  = (1 + t ana) − cos a  cos a  cos 2 a  = 1 + 2tana + tan2a - 1- tan2a = 2tana.

Ơ H

2cos 2 a − 1 (cos a + sin a)(cos a − sin a) = = cos a − sin a sin a + cos a sin a + cos a

N .Q

A = (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)2

b)

B=

cos 2 a + cos 2 a cot 2 a sin 2 a + sin 2 a tan 2 a

c) C =

d)

D=

tan a sin a − sin a cot a

e) E =

TP

a)

N

G

1 + sin a 1 − sin a + 1 − sin a 1 + sin a

TR ẦN

DẠNG 2: CÔNG THỨC QUI GỌN GÓC (CÔNG THỨC BIỂU DIỄN CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT)

900-α

900+α

sin

-sin

cosα

cosα

sinα

-sinα

-cosα

-cosα

sinα

cos

cosα

sinα

-sinα

-cosα

-cosα

-sinα

sinα

cosα

tan

-tanα

cotα

-cotα

-tanα

tanα

tanα

-cotα

tanα

tanα

-tanα

-cotα

cotα

cotα

tanα

cotα

Ý -L

-cotα

1800-α 1800+α 2700-α 2700+α 3600+α

ÁN

cot

-H

HSLG

Ó

-α

A

Góc

10 00

B

I. BẢNG CÔNG THỨC QUY GỌN GÓC.

TO

II. BÀI TẬP MINH HỌA

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

sin 2 a − tan 2 a cos 2 a − cot 2 a

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Rút gọn biểu thức

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

3. Bài tập tương tự

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

C=

N

Ví dụ 3: Rút gọn

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 1: Tính giá trị của các hàm số lượng giác của các góc sau:

a) 4950

b)

43π 6

Giải:

a) Ta có: 4950 = 3600 + 1800 - 450 sin4950 = sin[3600 + (1800 – 450)] = sin(1800 - 450) = sin450 =

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

18

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

cos4950 = cos[3600 + (1800 – 450)] = cos(1800 – 450) = -cos450 = -

2 2

tan4950 = - 1

Ơ

tan

43π π π 1 = tan(π + ) = tan = + 6 6 6 3

cot

43π cot π = = 3 6 6

Giải:

B

cos4060 = cos460

10 00

cot440 = tan460 ;

tan2260 = tan 460 ; cos3160 = sin460

A

(tan 460 + tan 460 )cos460 − tan180.cot180 0 sin 46

Ó

Khi đó: A =

cot720 = tan180

-H

= 2 (tan460 . cot460) – 1 = 2 – 1 = 1

Ý

Bài 3: Tính a) B = cos200 + cos400 + cos600 + … + cos1600 + cos1800

-L

b) C = tan100tan200 … tan700tan800.

ÁN

Giải:

TO

a) B = (cos200 + cos1600) + (cos400 + cos1400) + (cos600 + cos1200) +

ÀN

(cos800 + cos1000) + cos1800 = - 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO G N H Ư

(cot 440 + tan 2260 )cos4060 − cot 720.cot180 0 cos316

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Bài 2: Tính A =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

43π 3 π π = cos(π + ) = −cos = − 6 6 6 2

U

cos

.Q

43π 1 π  π π   = sin 6π + (π + )  = sin  π +  = − sin = − 6 6  6 6 2  

TP

sin

Y

N

H

π 43π = 6π + π + 6 6

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

b)

N

cot4950 = - 1

D

IỄ N

Đ

b) C = (tan100tan800) (tan200 tan700) (tan300 tan600) (tan400tan500) = 1 III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

cos( −2880 )cot 720 Bài 1: a) A = − tan180 0 0 tan( −162 )sin108

sin(−2340 ) − cos2160 .tan 360 b) B = 0 0 sin144 − cos126

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

19

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

cos 21970 + cos 2 2870 sin 2 3230 − 1 − sin 2 2170 cos 2 370

c) C =

N

1 2sin 25500.cos(−1880 ) + d) D = tan 3680 2cos 6380 + cos980

H

Ơ

Bài 2: Tính:

N

a) A = tan200 + tan400 + … + tan1600 + tan1800

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

1. Phương pháp:

TR ẦN

đó có các phương pháp để giải quyết như sau:

H Ư

Khi gặp các dạng toán này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong bài. Từ Phương pháp 1: Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản.

Phương pháp 2: Biến đổi hai vế của đẳng thức cần chứng minh về một đẳng

10 00

B

thức luôn đúng.

Phương pháp 3: Rút gọn hai vế của đẳng thức cần chứng minh về cùng một

biểu thức trung gian thứ ba.

Ó

A

Phương pháp 4: Từ một đẳng thức luôn đúng hoặc đẳng thức cho trước qua các

Ý

-H

phép biến đổi tương đương để được đẳng thức cần chứng minh.

-L

2. Bài tập áp dụng

ÁN

Bài 1:

TO

Chứng minh rằng

sin x − sin y x+y ) = −cot( cos x − cos y 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

I. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

(CÔNG THỨC CỘNG, CÔNG THỨC NHÂN, CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

DẠNG 3: BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

b) B = sin50 + sin100 + … + sin3550 + sin3600

D

IỄ N

Đ

ÀN

Giải

x+y cos   x+y  2  .Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức Bởi vì cot  =   2  sin  x + y     2 

x+y x+y xuất hiện cos   , sin  .  2   2 

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

20

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Khi đó ta có:

Ơ

N

x+y x−y 2cos sin sin x − sin y 2 2 = −cot x + y = cos x − cos y −2sin x + y sin x − y 2 2 2

N Y G

n

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

tan n α + cos nα  tan α + cosα  (n ∈ Z+ )   = n n  1 + cotα .cosα  1 + cot α .cos α n

TR ẦN

  n n  tan α + cosα   tan α + cosα  Ta có  = ( tan α )   =  1 + cotα .cosα   1 + 1 .cosα  tan α  

10 00

B

(1)

tan n α + cos nα tan n α + cos nα n = = ( tan α ) n n 1 1 + cot α .cos α 1 + .cos nα n ( tan α )

Ó

A

(2)

-H

Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.

-L

Ý

sin 4 x + cos 4 x − 1 2 Bài 4: chứng minh: = sin 6 x + cos 6 x − 1 3

ÁN

Giải:

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Ta có sin 4 a + cos 4 a − 1 = 1 − 2sin 2 acos 2 a − 1 = −2sin 2 acos 2 a

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Bài 3: Chứng minh rằng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

cos2x cos2x − sin 2 x ( cos x + sin x )( cos x − sin x ) = cos x + sin x = = 1 − sin 2x cos2x + sin 2 x − 2sinxcosx cosx − sin x ( cos x − sin x )2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Giải:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

cos x + sin x cos2x = cos x − sin x 1 − sin 2x

U

Chứng minh rằng:

H

Bài 2:

sin 6 a + cos 6 a − 1 = (sin 2 a + cos 2 a )3 − 3sin 2 acos 2 a (sin 2 a + cos 2 a ) − 1 = −3sin 2 acos 2 a

sin 4 x + cos 4 x − 1 −2sin 2 acos 2 a 2 Do đó = = sin 6 x + cos 6 x − 1 −3sin 2 acos 2 a 3 Bài 5: Chứng minh rằng: 8 + 4tan

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

π 8

+ 2tan

π 16

+ tan

π 32

= cot

π 32

(*)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

21

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

Ta có: (*) ⇔ 8 = cot

32

− tan

π 32

− 2tan

π 16

− 4tan

π 8

N

cosa sin a cos 2a-sin 2 a 2cos2a − = = = 2cot2a sina cosa sinacosa sin2a

Ơ

Mà cota-tana=

π

GV: Đào Mỹ Hạnh

H

Do đó:

Y U TP

H Ư

Bài 6: Chứng minh:

B

1 1 1 1 + + + = cotx - cot16x sin2x sin4x sin8x sin16x

10 00

b/

TR ẦN

 2π   2π  3 − x  + cos 2  + x = a/cos 2 x+cos 2   3   3  2

Giải:

-H

Ó

A

 2π   2π  − x  + cos 2  + x  3   3 

a/ Ta có: cos 2 x+cos 2 

-L

Ý

1 1 4π   1    4π  - 2x   = (1 + cos2x) + 1 + cos  2x+   + 1 + cos  2 2 3  2    3  3 1 4π  + cos2x + cos  2x+ 2 2 3 

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

=

  4π  - 2x    + cos    3 

=

3 1 4π  + cos2x + 2cos2xcos  2 2 3 

=

3 1  -1   3 + cos2x + 2cos2x    = 2 2  2  2

b/ Ta có: cota - cotb =

Tổ: Toán - Tin

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

= 8 (hiển nhiên đúng).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

4

=8

8

Đ ẠO

π

π

G

8

− 4tan

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ 8cot

π

N

⇔ 4cot

.Q

π π π  ⇔  2cot − 2tan  − 4tan = 8 16 16  8 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

N

π π  π π  ⇔ cot − tan  − 2tan − 4tan = 8 32  16 8  32

cosa cosb sin bcosa-sinacosb sin(b − a ) − = = sina sinb sin asinb sin asinb

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

22

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

sin(2 x − x ) 1 (1) = sinxsin2x sin 2 x

Do đó: cot x − cot 2 x =

sin(4 x − 2 x) 1 (2) = sin 2 x sin 4 x sin 4 x sin(8 x − 4 x ) 1 cot 4 x − cot8 x = (3) = sin 4 x sin 8 x sin8 x sin(16 x − 8 x) 1 cot 8 x − cot16 x = (4) = sin16 x sin8 x sin16 x

Ơ H N Y

10 00

B

Bài 1. Chứng minh rằng:

A

π  π  1 a.sinxsin  − x  sin  + x  = sin3x 3  3  4

-L

Ý

-H

Ó

π  π  1 b.cosxcos  − x  cos  + x  = cos3x 3  3  4

ÁN

c. tan α .tan(

π

π

+ α ).tan( − α ) = tan 3α 3 3

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a.

cot 2

α − cot 2 3α

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

3. Bài tập tương tự

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

9 3 1 1 (1 + cos8x) − (1 − 2cos4x+cos 2 4 x) + cos4x + 16 8 32 32 9 3 1 1 1 (1+cos8x) = + cos4x + cos8x+ cos4x 16 8 32 16 64 35 7 1 = + cos4x+ cos8x 64 16 64 =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

1 1 1 1 + + + sin2x sin 4 x sin 8 x sin16 x

Đ ẠO

cotx - cot16x =

TP

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

N

cot 2 x − cot 4 x =

2 2 = 8cos2 α .cosα 3α 2 1 + cot 2 2

b. tan a.tan 3a =

tan 2 a − tan 2 2a 1 − tan 2 a.tan 2 2a

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi x ta có:

a. sin10 x + cos10 x =

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

63 15 5 cos8x + cos4x + 128 32 128

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

23

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

b. cos6 x − sin 6 x =

GV: Đào Mỹ Hạnh

15 1 cos2x + cos6x 16 16 7 8

1 8

N

c. cos8x − sin8 x = cos2x + cos6x

Ơ

II. RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

N

H

1. Phương pháp

Y

- Đưa về cùng một loại hàm số lượng giác giác và rút gọn đến biểu thức đơn

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

- Nếu gặp dạng phân thức lượng giác thì phải biến đổi tử và mẫu dưới dạng tích rồi rút gọn cho nhân tử chung.

TR ẦN

H Ư

2  1 + cos x   (1 − cos x)  VD: Rút gọn biểu thức A=   1 + sin 2 x   sinx  

1 π < x <π 2 2

Tính giá trị của A nếu cos x = − ,

10 00

B

Giải

A

2 2  1 + cos x   sin x + 1 − 2cos x + cos x  A=   sin 2 x  sinx   

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

 1 + cos x  2(1 − cos x)  =   2  sinx  sin x  2(1 − cos 2 x) 2sin 2 x 2 = = 3 3 sin x sin x sinx

1 3 3 1 π < x < π có sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sinx = 2 2 4 4 2

TO

Với cos x = − ,

ÀN Đ IỄ N

Do đó A =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

2. Áp dụng

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

dạng luỹ thừa rồi rút gọn cho chỉ số căn thức.

(do sinx > 0)

D

Đ ẠO

- Nếu gặp căn thức lượng giác thì phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn dưới

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

giản nhất.

2 4 4 3 = = s inx 3 3

3. Bài tập tương tự: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

A=

Tổ: Toán - Tin

sin2a + sin5a -sin3a 1+ cosa - 2sin 2 2a

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

24

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:

a. A = sin 3xsin 3 x + cos3x cos3 x

N

1 + cos x  (1 − cos x)2  1 +  sin x  sin 2 x 

Ơ N

H

c. C = sin3xcos3x + cos3x sin 3 x

Y

d. D = cos3x.cos3x − sin3xsin 3 x

π

.Q

TP

4

π

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

4sin(4x − ) 2 f. F = 3 π 3π cot 2 (2x − ) − tan 2 (2x + ) 2 2

H Ư

III. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN: 1. Nhận xét:

TR ẦN

Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hoàn toàn có thể kiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giản là:Vì

B

biểu thức không phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức không thay

10 00

đổi,do đó ta chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu

thức:

Ó

A

2. Phương pháp:

-H

- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.

-L

Ý

- Nếu biểu thức chứa 1 biến số thì biểu thức rút gọn là một hằng số.

ÁN

3. Áp dụng

TO

Bài 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

π

π

3

3

IỄ N

Đ

ÀN

a. A = cos 2 ( − x) + cos 2 ( + x) + cos 2 (

b. B = cos2 x + cos2 ( c. C = sin 2 x + sin 2 (

2π 2π − x) + cos2 ( + x) − 2sin 2 x 3 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

(x ≠ k ) 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

π

e. E = cos(x + ) sin 2 x(1 + cotx) + cos 2 x(1 + tan x)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b. B =

2π 2π − x) + cos 2 ( + x) 3 3

2π 2π − x) + sin 2 ( + x) 3 3

Giải:

π

π

3

3

a/ A = cos 2 ( − x) + cos 2 ( + x) + cos 2 (

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2π 2π − x) + cos2 ( + x) − 2sin 2 x 3 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

25

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Ơ

Y

N

H

  2π   2π     4π   4π  ⇔ 2A=2+ cos  − 2 x  +cos  + 2 x   + cos  − 2 x  +cos  + 2 x  +2cos2x   3    3   3    3 4π 4π ⇔ 2A=2+2cos2xcos + 2cos2xcos + 2cos2x 3 3 ⇔ A=1-cos2x-cos2x+2cos2x

N

 2π   2π   4π   4π  ⇔ 2A=1+cos  − 2x  + 1+cos  + 2x 1+cos  − 2x 1+cos  + 2x  − 2(1-cos2x )   3   3   3   3

3

+ cos 2

π 3

+ cos 2

2π 2π + cos 2 =1 3 3

N

G

• Việc sử dụng công thức hạ bậc để có thể thực hiện các phép biến đổi dễ dàng hơn.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

• Nguyên tắc chung để chứng minh một tổng không phụ thuộc vào biến là ta biến đổi về cùng một hàm số lượng giác(để các giá trị đó giản ước hết).Trong phép biến đổi ở

TR ẦN

trên ta đã tìm cách ghép các biểu thức rồi sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích đưa tất cả các hàm số lượng giác về một hàm số cos2x.Các bạn cũng có thể tách ghép

B

theo một cách khác,miễn là đưa tất cả về cùng một hàm số lượng giác là được.

10 00

Ý b, c tương tự.

4. Bài tập tương tự

A

Bài 1: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:

-H

Ó

a. A = cos 2 (x − a) + cos 2 x − 2cosa cos xcos(a − x)

Ý

b. B = cos2 (x − a) + sin 2 (x − b) − 2cos(x − a)sin(x − b)sin(a − b)

-L

Bài 2: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau là một hằng số:

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

x 3x cot 2 − cot 2 2 2 a. A = x 3x cos2 .cos x(1 + cot 2 ) 2 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Với x = 0 ⇒ A = cos 2

Đ ẠO

• Có thể kiểm tra kết quả,bằng cách thay một giá trị bất kì của x vào biểu thức ban đầu

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Nhận xét:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

U

⇔ A=1

b. B = sin 4 x(1 + sin 2 x) + cos 4 x(1 + cos 2 x) + 5sin 2 xcos 2 x c. C = sin8 x + cos8x + 6sin 4 xcos4 x + 2sin 2 xcos 2 x + 1 d. D = 3(sin8 x − cos8 x) − 4(sin 6 x − cos6 x) + 6sin 4 x

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

26

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

IV. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. 1. Các ví dụ

4

−

Ơ H N

π 6

π π π π 2 π π  = sin  −  = sin cos − cos sin = ( 3 − 1) 12 3 4 3 4 4 3 4

Đ ẠO

π π π π 2 π π  = cos  −  = cos cos + sin sin = ( 3 + 1) 12 3 4 3 4 4 3 4 π

π π  = tan  −  = 2 − 3 12 3 4

cot

π π  = cot  −  = 2 + 3 12 3 4

TR ẦN

10 00

A

7π π π = + 12 3 4

B

π

5π π π = + 12 4 6

H Ư

π

b) Tương tự c)

N

tan

Ó

http://daykemquynhon.ucoz.com

G

cos

-H

Bài 2: Tính:

sin100 cos200 + sin 200 cos100 sin 300 1 A= = = tan 300 = 0 0 0 0 0 cos17 cos13 − sin17 sin13 cos30 3

-L

Ý

a)

ÁN

ÀN

TO

b)

6 cos90 cos390 + sin 90 sin 390 cos300 = = B= 3π 5π 3π 5π π 2 cos cos + sin sin cos 7 28 7 28 4

Đ IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π

π

Bài 3: Cho sina =

D

4

=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

π

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3

−

7π 12

Y

π

c)

U

=

5π 12

.Q

12

a) sin

b)

12

π

Giải: Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

π

TP

a)

N

Bài 1: Tính sin, cos, tan, cot của các cung sau:

3π −12 π  < α < 2π . Tính cos  − a  với 2 13 3 

Giải: + Vì

3π < α < 2π (gt) => cosa > 0 2 Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản có.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

27

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

cos2a = 1 – sin2a = 1 -

GV: Đào Mỹ Hạnh

144 25 5 = => cos a = 169 169 13

+ Áp dụng công thức cộng:

N

5 − 12 3 π π π  − a  = cos cos a + sin sin a = 3 3 26 3 

H

Ơ

cos 

D = cos6

e.

E = sin

f.

F = cos

π 5

π

N

Bài 5: Tính các tổng sau:

N

π 13π 23π + sin + sin 5 5 6

+ cos

9

TP G

+ sin

3π 5π 7π + cos6 + cos6 16 16 16

H Ư

16

+ cos6

TR ẦN

π

3π 5π 7π + sin 4 + sin 4 16 16 16

5π 7π + cos 9 9

B

16

+ sin 4

Ý

-H

Ó

A

a. B = sin10° sin 50° sin 70° π 2π 3π 4π 5π 6π 7π b. C = cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15 0 0 0 0 c. D = sin 5 .sin15 .sin 25 ...sin 85

-L

2. Bài tập tương tự

TO

ÁN

Bài 1: Chứng minh rằng

cos

π π 8π 12π 18π 1 7 sin + cos + cos = cos + 35 35 35 2 5 2 5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

d.

π

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C = sin 4

2π 4π 6π 8π + cos + cos + cos 5 5 5 5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

c.

Y

B = cos

7

3π 5π + cos 7 7

U

b.

+ cos

.Q

A = cos

Đ ẠO

π

a.

10 00

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 4: Tính các tổng sau:

Đ

ÀN

Bài 2: Chứng minh rằng

2π sin 7

IỄ N D

1 2

+

1 4π sin 7 2

+

1 6π sin 7 2

=8

Bài 3: Tính giá trị: A = tan1100 + cot200 Bài 4: Chứng minh

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

28

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

a. tan200 + tan 400 + 3 tan 200 tan 400 = 3

2π 3π 1 3π 5π 1  π  + cos = ⇔  cos + cos + cos =  7 7 2  7 7 7 2

0

0

0

f.

c.

cos200 + 2sin 2 550 = 1 + 2 sin 650

g.

d.

tan 90 − tan 270 − tan 630 + tan810 = 4

h.

b.

tan10.tan190.tan210.tan390.tan410.tan590.tan610.tan790.tan810 =

12

TR ẦN

+ tan 2

3π 5π + tan 2 12 12

A

Ó -H

Ơ

H

( 5 +1)(4 − 10 + 2 5) 4

B

π

10 00

A = tan 2

Số tiết dạy:30 tiết= 10 buổi.

Ý

Mục tiêu bài dạy.

-L

ÁN

-Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

TO

-Phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp -Phương pháp biến đổi tương đương.

ÀN

N

G N

tan 200.tan400.tan600.tan800 = 3

H Ư

a.

1. Kiến thức.

Đ

2π 1 = 5 2

sin 90 sin120 = sin 480 sin810 1 − 2sin 700 = 1 0 2sin10 sin 330 + cos630 = cos30

PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

IỄ N

5

− cos

Y

sin 47 + sin 61 − cos79 − cos65 = cos7

A.

π

.Q

b.

Bài 7: Tính tổng:

cos

U

0

e.

TP

0

8cos200 3

Bài 6: Chứng minh rằng:

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

tan 300 + tan 400 + tan 500 + tan 600 =

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a.

N

Bài 5: Chứng minh rằng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

7

− cos

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

π

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b. cos

-Phương pháp đánh giá.

-Phương pháp tổng bình phương.

2.K ỹ năng.

-Giaỉ phương trình lượng giác cơ bản.

- Giaỉ phương trình lượng giác thường gặp.

-Giaỉ phương trình lượng giác không mẫu mực.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

29

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

B.C ác dạng phương trình lượng giác.

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Ơ

N

I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN

H

1. Dạng tổng quát:

N

sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a (với a là hằng số).

 x = α + k 2π

N

G

+ Đặt a = sin α thì (1) trở thành sin x = sinα ⇔   x = π − α + k 2π

 x = α10 + k 3600  −π π  (k ∈ ℤ, α = α10 ).α ∈  ;  Hoặc  0 0 0  2 2  x = 180 − α1 + k 360

H Ư

TR ẦN

10 00

B

  −π π  α ∈  ;  thì viêt α = arc sin a + Nế u   2 2 a = sin α 

A

 x = arcsin a + k 2π sinx= a ⇔  ( k ∈ ℤ)  x = π − arcsin a + k 2π

-H

Ó

 f ( x) = α + k 2π Tổng quát sin f ( x) = sin α ⇔  ( k ∈ ℤ)  f ( x) = π − α + k 2π

ÁN

-L

Ý

 f ( x) = g ( x) + k 2π sinf( x) = sing( x) ⇔  (k ∈ ℤ)  f ( x) = π − g ( x) + k 2π

IỄ N

Đ

ÀN

TO

* Đặc biệt:

i) sinf( x ) = 1 ⇔ f(x) =

π 2

+ k 2π (k ∈ ℤ)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

* Nếu |a| < 1 thì (1) có nghiệm.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

* Nếu |a| > 1 thì (1) vô nghiệm

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) Phương trình: sinx = a (1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

2. Công thức nghiệm

 f ( x) = α + k 2π 2i) sin f ( x) = sin α ⇔  (k ∈ ℤ)  f ( x) = π − α + k 2π 3i) sinf(x) = 0 ⇔ f(x) = kπ

(k ∈ ℤ )

b) Phương trình cosx = a (2)

* Nếu |a| > 1 thì (2) vô nghiệm. * Nếu |a| < 1 thì (2) có nghiệm.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

30

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

 x = α + k 2π Đặt a = cosα thì (1) trở thành cosx = cosα ⇔  (k ∈ ℤ)  x = −α + k 2π

Ơ

N

 x = α10 + k 3600 (k ∈ ℤ,α10 = α ) Hoặc  0 0  x = −α1 + k 360

2

.Q G

N

+ kπ ( k ∈ ℤ)

+ cosf(x) = 1 ⇔ f(x) = k2π (k∈ ℤ )

B

+ cosf(x) = - 1 ⇔ f(x) = π + k2π (k∈ ℤ )

10 00

c) Phương trình tanx = a (3)

π 2

Ó

A

B1: Điều kiện của (3) là cosx ≠ 0 ⇔ x =

+ mπ (m ∈ ℤ )

 a = tan α

Ý

-H

B2: Với điều kiện (*) thì (1) ⇔   t anx = tan α

-L

⇔ x = α + kπ hoặc x = α10 + k1800 (k ∈ ℤ , α = α10 )

ÁN

B3: Kết luận nghiệm thỏa mãn (*).

ÀN

TO

* a = tanα viết α = arctan a

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

+ cosf(x) = 0 ⇔ f(x) =

TR ẦN

Đặc biệt:

( k ∈ ℤ) ⇔

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

 f ( x) = π − g ( x) + k 2π ⇔  f ( x) = −π + g ( x) + k 2π

TP

 f ( x) = α + k 2π Tổng quát: + cosf(x) = cosα ⇔  (k ∈ ℤ)  f ( x) = −α + k 2π

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 x = arccos a + k 2π cos x = a ⇔  ( k ∈ ℤ)  x = − arccos a + k 2π

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

H

cos x = a - Nếu:  thì viêt α = arccos a a = cosα

Thì tanx = a ⇔ x = arctana + k π (k ∈ ℤ )

D

IỄ N

Đ

* Tổng quát: + tanf(x) = tanα ⇔ f(x) = α +k π (k ∈ ℤ ) + tanf(x) = tang(x) ⇔ f(x) = g(x) + k π (k ∈ ℤ ) * Đặc biệt: + tanf(x) = 0 ⇔ f(x) = kπ (k ∈ ℤ ) + tanf(x) = 1 ⇔ f(x) =

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

π 4

+ kπ ( k ∈ ℤ )

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

31

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

+ tanf(x) = -1 ⇔ f(x) =

GV: Đào Mỹ Hạnh

−π + kπ ( k ∈ ℤ ) 4

d) Phương trình cotx = a (4)

N

* Các bước giải phương trình

H

Ơ

B1: điều kiện của (4) là sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ mπ(*) (m∈ ℤ )

Y

N

B2: Với điều kiện (*) thì (1) ⇔ x = α + kπ hay x = α10 + k1800

+ cotf(x) = cotg(x) ⇔ f(x) = g(x) + kπ (k∈ ℤ )

π 4

N

+ kπ ( k ∈ ℤ ) + kπ ( k ∈ ℤ )

−π + kπ ( k ∈ ℤ ) 4

B

+ cotf(x) = -1 ⇔ f(x) =

2

H Ư

+ cotf(x) = 1 ⇔ f(x) =

π

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

+ cotf(x) = 0 ⇔ f(x) =

G

* Đặc biệt:

10 00

3. Bài tập ôn luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

A

π  =1 3

b) sin (4x – 300) = - 1

-H

Ó

 

a) sin  x +

ÁN

-L

Ý

d) cos (4x – 50) = 1

π  =0 12 

 

π  = −1 4

 

π  = −1 4

e) cos 

g) cos  x +

i) tan(x + 100) = 1

k) tan  x −

TO

h) tan2x = 0

π  − 3x  = 0 5 

 

c) sin  x +

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

* Tổng quát: + cotf(x) = cotα ⇔ f(x) = α + kπ (k∈ ℤ )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

B3: Kết luận nghiệm thỏa mãn (*)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

(k ∈ ℤ , α10 = α , a = cotα)

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) sin(3x – 100) = d) sin (3x + 50) =

h) sin4x =

1 2 2 2

3 2

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

 

b) cos  4 x −

π 1 = 4 2

e) cos(4x – 300) = i) sin(x – 100) = -

 

π  −1 = 6 2

 

2 =− 12  2

c) sin  x +

1 2

g) cos  x +

3 2

k) cos2x =

π  3 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

32

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

π − 3 = 4 2

N Ơ

b) sin3x + 2cos3x = 0

b1) tan3x = tan5x

c) 4sin2x = 1

c1) (2cosx – 1) (sinx + cosx) = 1

d) sin2x + sin22x = 1

d1 )

 −3π

G

e1) sin2x = 2cosx



8

π

1 2

TR ẦN

π

+ cos x sin

8

=

B

sinxcos

H Ư

, π  của phương trình Bài 4: Tìm tất cả các nghiệm x ∈   2 

10 00

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT, BẬC 2, BẬC 3 VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG

-H

Ó

GIÁC.

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

-L

Ý

a) Dạng tổng quát: at + b = 0 (a ≠ 0, a, b là hằng số, t là 1 hàm số lượng giác).

ÁN

b) Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. c) Ví dụ:

TO

* Ví dụ : Giải phương trình sau:

ÀN Đ

π

− 3 =0 6

Giải a) 2sin3 x – 1 = 0

D

IỄ N

 

b) cos  x −

a) 2sin3 x – 1 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

sin 4 x =1 cos6 x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

TP

sin 2 x = −2cos x 1 + sinx

.Q

U

Y

N

H

a1)

e)

http://daykemquynhon.ucoz.com

sin x cot 5 x =1 cos9 x

a) sin2x – cos2x = 0

N

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 3: Giải các phương trình sau:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 

m) cos  3x +

GV: Đào Mỹ Hạnh

⇔ sin3 x =

Tổ: Toán - Tin

1 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

33

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Ơ

3 π   − 3 = 0 ⇔ cos  x −  = 6 6 2 

H

π

N

 

b) 2cos  x −

N

π 2π  = + x k  π 18 3 (k ∈ ℤ) ⇔ sin3 x = sin ⇔  6  x = 5π + k 2π  18 3

TR ẦN

b) Cách giải:

- Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho để đưa về phương trình bậc 2, bậc 3 rồi giải phương trình đại số, đối chiếu điều kiện nếu có.

10 00

B

- Lưu ý: với t = sin x hoặc t = cos x thì có điều kiện |t| < 1 c) Ví dụ minh họa:

A

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2sin2 x + 3sin x – 2 = 0

Ó

(Đề khảo sát chất lượng ôn thi THPTQG lần 1 năm 2014 – 2015 của Sở GD-ĐT Vĩnh Phúc).

-H

Giải: 2sin2 x + 3sin x – 2 = 0

ÁN

-L

Ý

1  sin x = ⇔  2  sin x = −2( PT vô nghiêm)

IỄ N

Đ

ÀN

TO

π   x = 6 + k 2π (k ∈ ℤ) ⇔   x = 5π + k 2π  6

Vậy: phương trình đã cho có các nghiệm là: x =

π 6

+ k 2π ; x =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

(với a ≠ 0; a, b, c, d là hằng số, t là một hàm số lượng giác)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

at3 + bt2 + ct + d = 0

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

G

a) Dạng tổng quát: at2 + bt + c = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2. Phương trình bậc 2, bậc 3 với một hàm số lượng giác.

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

 π π π   x − 6 = 6 + k 2π x = + k 2π π π  ⇔ cos  x −  = cos ⇔  ⇔ (k ∈ ℤ) 3  6 6   x − π = −π + k 2π  x = k 2π  6 6

5π + k 2π (k ∈ ℤ) 6

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos2 x + 3sin x = 2 (1)

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

34

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Giải:

(1) ⇔ 1 – 2sin2 x + 3sin x = 2

⇔ 2sin2 x – 3sin x + 1 = 0

6

+ k 2π ; x =

N Ơ H N Y U .Q

5π + k 2π (k ∈ ℤ ) 6

N

d. Bài tập tương tự:

H Ư

Bài 1: Giải các phương trình sau:

2. sin3 x + 2cos3 x = 0

TR ẦN

1. sin2 x - cos2 x = 0 3. 4sin2 x = 1

sin 4 x =1 cos6 x

7. tan3 x = tan5 x

sin x.cot 5 x =1 cos9 x

8. (2cos x – 1) (sin x + cos x ) = 1

sin 2 x = −2cos x 1 + sin x

Ó

A

9.

B

6.

10 00

5.

4. Sin2 x + sin22 x = 1

-H

Bài 2: Giải phương trình sau:

2. 4sin4 x + 12cos2 x = 7

Ý

1. cos2 x + 3sin x = 2

4.sin42 x + cos42 x = sin2 x cos2 x

5. 2 + cos2 x = - 5sin x

6. sin3x + 2cos2x – 2 = 0

ÁN

-L

3. 25sin2 x + 100cos x = 89

IỄ N

Đ

ÀN

TO

7. 2 + cos x = 2 tan 9.

x 2

8. tan2 x + sin2 x =

sin 5 x =1 5sin x

11. sin6 x + cos6 x =

3 cot x 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

+ k 2π ; x =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

π

G

x=

Đ ẠO

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là :

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

π   x = 2 + k 2π  sin x = 1 π   ⇔ 1 ⇔  x = + k 2π (k ∈ ℤ) sin x = 6  2  5π x = + k 2π  6

10. 3cos4 x – 2cos23 x = 1

1 sin2 x 4

12. 2cos2 x + 8sin x – 5 = 0

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1. sin4 x = tan x (ĐHY khoa Hà Nội 2000) 2. sin3 x + sin2 x = 5sin x (ĐHY Hải Phòng 2000)

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

35

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

sin 3x sin 5 x (ĐH Thủy Lợi 2006) = 3 5

N

x -cos2 x = 15 (đề thi thử THPT QG năm 2015 - Sở GD&ĐT TPHCM).

2

H

TP

2) Cách giải: Giải phương trình: asinx + bcosx x = c (1)

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1) Dạng tổng quát: asin x + bcos x = c (a2 + b2 ≠ 0, a, b, c là hằng số).

U

Y

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX.

a +b

2

a + b2

(2)

chọn α ∈ (0; π/2)

10 00

a  = cosα  2  a + b2 Đặt:  b  = sin α  a 2 + b 2

c

cos x =

2

Thì phương trình (2) trở thành sin( x + α) =

c 2

là phương trình lượng giác cơ

Ó

A

a +b

2

-H

bản.

Ý

Bước 3: Giải phương trình (3) tìm nghiệm x và kết luận.

-L

x để đưa về phương trình bậc 2 một ẩn).

2

ÁN

Cách 2: (Dùng công thức biểu diễn t = tan

TO

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của (1): a2 + b2 ≥ c2

ÀN

Bước 2:

x = 0 có là thỏa mãn (1) không.

2

+ Nếu b + c = 0 thì (1) nhận cos

x = 0 làm nghiệm.

2

D

IỄ N

Đ

* Xét cos

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

b 2

N

sin x +

TR ẦN

a +b

2

B

http://daykemquynhon.ucoz.com

a 2

a 2 + b 2 ta được

H Ư

Bước 2: Chia cả 2 vế của (1) cho

G

Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: a2 + b2 > c2 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Cách 1: Dùng góc trung gian đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

5. 16sin2

2 (KB – 2003). sin 2x

Ơ

4. cot x – tan x + 4sin2 x =

N

3.

GV: Đào Mỹ Hạnh

+ Nếu b + c ≠ 0 thì (1) không nhận cos

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x = 0 làm nghiệm.

2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

36

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

x 1− t2 x 2t * Khi cos ≠ 0 , đặt t = tan ⇒ sinx = và cos x = 2 1+ t2 2 1+ t2 Phương trình (1) trở thành (b + c) t2 – 2at + c – b = 0 (*)

H

x = t , tìm nghiệm x .

2

N

- Với t tìm được; giải phương trình tan

Ơ

N

- Giải (*) tìm nghiệm t.

.Q TP

Ví dụ: Giải phương trình sau:

(Đề thi thử ĐH lần 3 năm học 2014 – 2015 trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ).

N

3 sin x – cos x – (sin2 x + cos2 x ) = 0

(1) ⇔

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

G

Giải: 3 sin x – cos x = 1

TR ẦN

⇔

3 1 1 sin x − cos x = 2 2 2 π π  ⇔ sin  x −  = sin 6 6 

10 00

B

⇔

Ý

-H

Ó

A

π  x = + k 2π  ( k ∈ ℤ) ⇔ 3   x = π + k 2π

-L

Vậy: phương trình đã cho có nghiệm là: x =

ÁN

b) (cos x + sin x )2 -

π 3

+ k 2π ; x = π + k2π (k ∈ ℤ )

3 cos2 x = 1 + 2sin x (1)

TO

(Đề thi khảo sát năm 2014 – 2015 trường THPT chuyên Hùng Vương)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

a) sin x ( 3 - sin x ) – cos x (1 + cos x ) = 0 (1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3) Áp dụng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.

Đ

ÀN

Giải : (1) ⇔ sin2 x - 3 cos2 x = 2sin x

IỄ N

⇔

1 3 sin2 x cos2 x = sin x 2 2  

D

⇔ sin  2 x −

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

π

 = sin x 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

37

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Ơ

3 sin x + cos x + 2cos3 x = 0

H N

(Đề thi thử THPT QG năm 2015 Trường THPT Vĩnh Lộc).

Y

3 1 sin x + cos x = − cos3 x 2 2

2

( k ∈ ℤ)

π 3

+k

π

2

TR ẦN

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 4. Bài tập tương tự:

(k ∈ ℤ)

B

1. cos2x + (1 + 2cosx) (sinx – cosx) = 0

10 00

(Đề KSCL – THPT QG lần 2 năm 2014 – 2015 – Sở GD&ĐT Hưng Yên) 2. 2sin2x – sin2x + cosx – sinx = 0

A

(Đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 năm 2015 – Sở GD&ĐT Nghệ An)

-H

Ó

3. 2sin2x – sin2x + cosx – sinx = 0 (Đề thi thử THPT QG lần 3 năm 2015 – Trường THPT Quỳnh Châu)

-L

Ý

4. cos2x (cosx + sinx – 1) = 0

ÁN

(Đề thi thửa THPT QG năm 2015 – trường THPT Quỳnh Lưu II) 5. sin2x + 1 = 6sinx + cos2x

TO

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường THPT Thanh Chương III)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π

G

3

+k

N

π

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔x=

Đ ẠO

π  ⇔ cos  x −  = cos(π − 3x ) 3 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

⇔

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giải: 3 sin x + cos x + 2cos3 x = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

c)

N

π  = + k 2π x  3 (k ∈ ℤ) ⇔  x = 4π + k 2π  9 3

D

IỄ N

Đ

ÀN

6. ( 3 - 1) sinxcosx – ( 3 + 1) cos2x = sinx – cosx – 1 (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn)

7. cos2x + 2sinx = 1 +

3 sin2x

(Đề thi thử lần 1 THPTQG năm 2015 – Sở GD&ĐT Nghệ An) 8.

3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường THPT Nguyễn Du)

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

38

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

9. sin2x – 2cos2x = 3sinx – cosx (Đề thi thử THPTQG năm 2015 – Trường THPT Nguyễn Huệ)

3 cos2x = 0

Ơ

N

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường Phan Bội Châu)

H

11. cos2x – sinx = cosx

Y N

G

14. sin3x + cos3x = sinx + cosx 15. 2cos2x + 2cosx – 2sin2x + 4sinx – 5 = 0

H Ư

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – THPT Thành Nhân)

16. sinx -

TR ẦN

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường THPT Hồng Quanh)

3 cosx = 2

10 00

B

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – THPT Yên Phong 2) III. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX. 1) Dạng tổng quát:

Ó

A

+ asin2 x + bsin x cos x + ccos2 x = d (1)

-H

+ acos3 x + bsin2 x cos x + csin x cos2 x + dsin3 x + esin x + gcos x = 0 (2)

Ý

2) Cách giải: (Đưa về phương trình bậc 2, 3 với một hàm số lượng giác tanx hoặc

-L

cotx).

ÁN

* Xét cos x = 0 có thỏa mãn phương trình (1) hoặc (2) không.

TO

* Khi cos x ≠ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos2 x ≠ 0

Đ

ÀN

Khi cos x ≠ 0, chia cả 2 vế của (2) cho cos3 x ≠ 0 được:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – THPT Quỳnh Lưu I).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

3 sin4x = 2cos3xcosx + 1

13. cos2x -

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1) ⇔ atan2 x + btan x + c = d(1 + tan2 x )

⇔ (a – d) tan2 x + btan x + c – d = 0 (3) (2) ⇔ a + btan2 x + ctan x + dtan3 x + etan x (1 + tan2 x ) + g(1+tan2 x ) = 0

IỄ N D

.Q

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – THPT Lê Hồng Phong)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

3π  x  − 3 cos2 x = 1 + 2cos 2  x −  2 4  

12. 4sin2

N

(Đề thi thử THPTQG năm 2015 – trường THPT Phan Châu Trinh)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10. 2cosx (sinx + 1) -

⇔ (d + e) tan3 x + (b + g) tan2 x + (c + e) tan x + d + g = 0 (4) Giải phương trình (3) hoặc (4) tìm nghiệm x và kết luận nghiệm của phương trình đã cho.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

39

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

* Lưu ý: Với phương trình (1) dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2 x , cos2 x .

3) Áp dụng:

Ơ

N

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

H

a) 4sin2x + 3 3 sin2x – 2cos2x = 4 (1)

TP 2 + kπ (k ∈ ℤ) 3

b) cos3x - 4sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0 (1)

B

* Xét cosx = 0 thì sinx = 0

10 00

* Xét cosx ≠ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos3x ≠ 0, ta được: 3tan3x + tan2x – tanx – 1 = 0

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

 π   t anx = −1  x = − 4 + kπ   1 π  ⇔  x = + kπ ( k ∈ ℤ) ⇔  t anx =  6 3   1   x = −π + kπ  t anx = − 3  6

ÀN

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −

IỄ N

Đ

x= −

π 4

π 6

+ kπ , x =

π 6

+ kπ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

+ kπ ; x = arctan

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

π

TR ẦN

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x =

G

2 +kπ (k∈ ℤ ) 3

N

⇔ x = arctan

Đ ẠO

2 3

H Ư

tanx =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+ kπ ( k ∈ ℤ) là nghiệm của (1)

U

2

* Khi cosx ≠ 0, chia cả 2 vế của (1) cho cos2x ≠ 0 ta được

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

π

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

⇒ cosx = 0 thỏa mãn. Suy ra x =

Y

N

* Xét cosx = 0 thì VT (1) = 4 = VP(1)

+ kπ ( k ∈ ℤ )

4. Bài tập tương tự Bài 1: Giải phương trình sau:

1. 2sin22x – 2 3 sin2xcos2x = 3

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2. 4sinx + 6cosx =

1 cos x

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

40

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

1 cos x

3 1 + sinx cos x

N

6. sin3x = 2cos3x

Ơ N Y

.Q

 = cos3x 3

TP

5sin 4 x cos x 2cos 2 x

N

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Định nghĩa:

H Ư

TR ẦN

* Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình có chứa sinx+cosx và sinxcosx.

10 00

B

VD: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c

* Phương trình nửa đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình có chứa sinx-cosx và sinxcosx.

-H

2. Cách giải:

Ó

A

VD: a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c

-L

Ý

* Với phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

 

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

+ Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +

π

 với t ∈[4

2;

2]

t2 −1 ⇒ sin x cos x = 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

6. 2cos3 x = sin3x

G

7. 6sinx – 2cos3x =

π

4. sin3x + cos3x + 2cosx = 0

5. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

π  2 sin 3  x +  = 2sin x 4 

3.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2. 8cos3  x +

U

 

1. cos3x + sin3x = sinx – cosx

H

Bài 2: Giải phương trình sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

5. 8cosx =

4. sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3 sinx + cosx =

3.

GV: Đào Mỹ Hạnh

Chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn t. + Giải phương trình ẩn t đối chiếu đk. + Với t tìm được, giải PT

π  2 sin  x +  = t tìm nghiệm x .

4 

Và kết luận nghiệm. * Đối với phương trình nửa đối xướng đối với sinx và cosx

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

41

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

 

Đặt t = sin x − cos x = 2 sin  x −

π

2;

 với t ∈[4

2]

N

1− t2 2

Ơ H

Chuyển phương trình đã cho về phương trình đại số ẩn t

Y TP

+ Kết luận nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình:

N

π

2;

 với t ∈[4

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

 

Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +

G

a) 5(sin x + cos x ) + sin2 x + 1 = 0 (1)

2]

TR ẦN

t2 −1 hay (sin2 x = t2 – 1) ⇒ sin x cos x = 2

B

Phương trình (1) trở thành: 5t + t2 – 1 + 1 = 0

Ó

A

10 00

t = 0 ∈  − 2; 2     ⇔ t = −5 ∉  − 2; 2    

Ý

-H

π π   + Với t = 0, ta có: 2 sin  x +  = 0 ⇔ sin  x +  = 0 4 4  

ÁN

-L

⇔ x=−

TO

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -

π 4

π

+ kπ ( k ∈ ℤ )

4

+ kπ ( k ∈ ℤ )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

3 Áp dụng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

π  2 sin  x −  = t 4 

+ Với t tìm được, giải PT ẩn x: Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

+ Giải phương trình ẩn t tìm nghiệm thích hợp

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇒ sin x cos x =

GV: Đào Mỹ Hạnh

D

IỄ N

Đ

ÀN

b) 5(1 – sin2 x ) – 16(sin x – cos x ) + 3 = 0 (1)

 

Đặt với t = sin x − cos x = 2 sin  x +

π

 t ∈[4

2;

2]

⇒ 2sin x cos x = 1 – t2 hay sin2 x = 1 – t2

 1 t = (tm) PT (1) trở thành: 5t – 16t + 3 = 0 ⇔  5  t = 3 (loai ) 2

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

42

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

1 π 1  giải PT: 2 sin  x −  = 4 5 5 

N

H

Ơ

N

π 1  + k 2π x = + arcsin  4 1 π 5 2  ⇔ ,k ∈ℤ ⇔ sin  x −  = 4 5 2   x = 5π − arcsin 1 + k 2π  4 5 2 5π 1 − arcsin + k 2π , k ∈ ℤ 4 5 2

Đ ẠO

4. Bài tập tương tự Bài 1: Giải các phương trình sau:

2sin 2 x + 1 sinx + cos x = 2sin 2 x − 1 s inx + cos x − 1

N

4. sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2

H Ư

3.

http://daykemquynhon.ucoz.com

2. |sinx + cosx| - sin2x = 0

G

1. 3(sinx + cosx) – sinxcosx – 3 = 0

5. sin3x + cos3x + sin2x (sinx + cosx) = 1

1 =0 2

2. |sinx – cosx| + 4sin2x = 1

10 00

3. sin2x + (sinx – cosx) +

1 1 )=2 2

B

1. (sinx – cosx + 1) (sin2x +

TR ẦN

Bài 2: Giải các phương trình sau:

6. 2sinx + cotx + 2sin2x + 1

4. cotx – tanx = sinx – cosx 6. 1 + sin3x – cos3x = sin2x

Ó

A

5. |sinx – cosx| + 2sin2x = 1

-H

DẠNG 3. DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ

Ý

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

-L

Phương pháp : Dùng các công thức lượng giác lượng giác phù hợp, kết hợp với các

ÁN

phép biến đổi tương đương .Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích.

TO

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

5 2

+ k 2π ; x =

U

1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

4

+ arcsin

.Q

π

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

x=

Y

Vậy PT đã cho có các nghiệm là:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

+ V ới t =

GV: Đào Mỹ Hạnh

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 1. Giải các phương trình sau: 2

x x  a.  sin + cos  + 3 cos x =2 2 2 

b.

c. sin x + cos x.sin2x + 3cos3x = 2 ( cos4x +sin 3 x )

(1 − 2sin x ) cos x = (1 + 2sin x )(1 − sin x )

3

d.

3cos5x − 2sin3x.cos2x − sin x =0

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

43

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Giải 2

x x  a.  sin + cos  + 3 cos x = 2 2 2 

Ơ H Ư

ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

 

cos3x +sin3x   = 3 + cos2x 1 + 2 sin 2 x 

b. cos 2 3 x.cos2x − cos 2 x = 0

B

a. 5  sin x +

TR ẦN

Bài 1. Giải các phương trình sau:

10 00

π π 3   c. cos 4 x + sin 4 x + cos  x −  .sin  3 x −  − = 0 4 4 2 



d. 4.sin x cos x + 3sin 2 x = 6 sin x

1

cos3x +sin3x 

Ó





A

Giải:



-H

a. 5  sin x +  = 3 + cos2x . Điều kiện: sin 2 x ≠ − (*) 2 1 + 2 sin 2 x  

-L

Ý

Phương trình (a) trở thành:

TO

ÁN

 sin x+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x  ⇔ 5  = 3 + cos2x 1 + 2sin 2 x    sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x  ⇔ 5  = 3 + cos2x 1 + 2sin 2 x  

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Ý b, c, d tương tự.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

π  π π  x + = + k 2π x = − + k 2π   π π  3 6 6 ⇔ sin  x +  = sin ⇔  ⇔ (k ∈ Z ) π π π 5 3 6  x + =  x = + k 2π + k 2π   3 6 2

Y

N

H

1 3 1 sin x + cos x = 2 2 2

.Q

⇔

N

⇔ 1+sin x + 3 cos x = 2

ÀN

sin x + cos x +sin3x = 3 + cos 2 x 1 + 2 sin 2 x ( sin x+sin3x ) + cos x = 3 + cos 2 x ⇔ 5.

1 + 2 sin 2 x 2 sin 2 x.cos x + cos x ⇔ 5. = 3 + cos 2 x 1 + 2sin 2 x cos x (1+2sin2x ) ⇔ 5. = 3 + cos 2 x 1 + 2 sin 2 x

D

IỄ N

Đ

⇔ 5.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

44

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

⇔ 5 cos x = 2 + 2 cos 2 x

⇔ 2 cos 2 x − 5 cos x + 2 = 0

Ơ

N

1  cos x =  ⇔ 2  cos x = 2(PTVN)

H N Y TP

+ k 2π

N

G

Ý b, c, d tương tự.

H Ư

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI

TR ẦN

XỨNG ĐỐI VỚI SINX, COSX

c.

d. 3 ( cot x − cosx ) − 5 ( tan x − sin x ) = 2

2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x

Ó

A

Giải: a. s inx+sin 2 x + cos3 x = 0 .

-H

⇔ sin x +sin 2 x + cos3 x = 0

Ý

⇔ sin x (1 + sin x ) + cosx (1 − sin 2 x ) = 0

-L

⇔ (1 + sin x ) ( sin x + cos x (1-sin x ) ) = 0

ÁN

sin x =1 ⇔ sin x + cos x − sin x.cos x = 0 π  x = + k 2π ⇔ 2 2 t + 2t − 1 = 0(1)

TO ÀN Đ

IỄ N

3 2

b. sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x

10 00

a. sin x +sin 2 x + cos3 x = 0

B

Bài 1. Giải các phương trình sau:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

+ k 2π

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

.Q

U π

3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy phương trình có nghiệm: x =

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

π

Kết hợp với điều kiện nghiệm là x =

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

π   x = 3 + k 2π 1 Vậy cos x = ⇒  .

2  x = − π + k 2π  2

t = −1 − 2 < − 2 ( l ) (1) ⇔  t = 2 − 1

π π 2 −1   ⇒ 2 sin  x +  = 2 − 1 ⇔ sin  x +  = = sin α 4 4 2  

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

45

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

N

π   x = α − 4 + k 2π Do đó:  (k ∈ Z )  x = 3π − α + k 2π  4

Y

N

H

Ơ

3 ⇔ sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x b.

(1) 2 ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x.cos x ) − 1 = 3sin x.cos x

10 00

B

Do đó phương trình:

TR ẦN

 t = −1  ⇔  t = −2 − 3 < − 2 ( l )   t = −2 + 3

H Ư

⇔ ( t + 1) ( t 2 + 4t + 1) = 0 .

-H

Ó

A

  π 1  π  sin  x + 4  =  2 sin  x + 4  = 1 2      ⇔    π  3−2 π = sin α sin  x +  =  2 sin  x +  = 3 − 2 4 4  2   

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

 x = k 2π   x = π + k 2π 2  ⇔ π  x = α − + k 2π 4   3π − α + k 2π x =  4

c.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Đ ẠO

2  3 − t 2  2 + 3 ( t − 1) ⇔ t = 2  2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

 t2 −1   t2 −1 t 1 ⇔ 1 − = 1 + 3 ()     2    2 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

U

Đặt t = sin x + cos x, t ≤ 2

sin x ≠ 0 π 2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x . Điều kiện:  ⇒ x ≠ k ( *) .

2 cos x ≠ 0

Khi đó phương trình (c) trở thành:

sin x cos x + cos x sin x ⇔ 2 ( sin x + cos x ) .sin x cos x =1 ⇔ 2 ( sin x + cos x ) =

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

46

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

t = sin x + cos x, t ≤ 2  Đặt  . t2 −1 sin x.cos x =  2

)(

)

b. cos3 x + sin 3 x = cos2x

N

H Ư

d. tan x + cot x + tan 2 x + cot 2 x + tan 3 x + cot 3 x = 6

G

c. 3 tan 2 x + 4 tan x + 4 cot x + 3cot 2 x + 2 = 0 Bài 3. Giải các phương trình sau:

TR ẦN

a. sin 3 x − cos3 x = sin x- cos x



d.



sin x + cos x =1 sin 2 x + 1

10 00

B

c. sin2 x -12(sin x - cos x )+12=0 .

π  b. sin 2 x + 2 sin  x −  = 1 4

Bài 4. Giải các phương trình sau:

A

1 − cos2x 1 − cos3 x = 1 + cos2x 1 − sin 3 x

b. 5 ( sin x + cos x ) + sin 3x − cos3x =2 2 ( 2 + sin 2 x )

Ó

a.

-H

c. sin 2 x cos x − cos2x + sin x = cos 2 x sin x + cos x

-L

Ý

d. 4sin 3 x − 1 = 3sin x − 3cos3x

TO

ÁN

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI BẬC BA ĐỐI VỚI SINX, COSX

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 1. Giải các phương trình sau:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a. cos 2 x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x- cos x )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Bài 2. Giải các phương trình:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

TP

Thỏa mãn điều kiện.

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

π π π   ⇒ t = 2 ⇔ 2 sin  x +  = 2 ⇔ sin  x +  = 1 ⇒ x = + k 2π ( k ∈ Z ) 4 4 4  

Y

N

(

H

 t 2 −1  3 3 2 ⇔ 2t   = 1 ⇔ 2t − 2t − 2 = 0 ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔ t − 2 t + 2t + 1 = 0  2 

Ơ

N

Thay vào phương trình ta được:

a. sin 3 x − 3cos3 x = sin x.cos 2 x − 3 sin 2 x cos x b. sin 2 x ( tan x +1) = 3sin x ( cos x-sin x ) + 3

Giải: a. sin 3 x − 3cos3 x = sin x.cos 2 x − 3 sin 2 x.cos x Có 2 cách giải:

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

47

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Cách 1.

Chia 2 vế phương trình cho cos3 x ≠ 0 , ta có phương trình:

N

sin 3 x sin x sin 2 x − 3 = − 3 cos3 x cos x cos 2 x

H

)

N

⇔ tan x + 3 ( tan 2 x − 1) = 0

Y U .Q TP H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

⇔ sin 3 x − s inxcos 2 x + 3 sin 2 x cos x − 3cos3 x = 0

⇔ sin x ( sin 2 x − cos 2 x ) + 3 cos x ( sin 2 x − cos 2 x ) = 0

)

TR ẦN

(

⇔ ( sin 2 x − cos 2 x ) sin x + 3 cos x = 0

10 00

B

π π kπ    2 x = 2 + kπ x = 4 + 2 sin 2 x − cos 2 x = 0  −cos2x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) sin x + 3cosx = 0  x = − π + kπ  x = − π + kπ  tan x = − 3   3 3

A

⇔ 3 tan 3 x + 3 tan 2 x − tan x-1=0 ⇔ ( tan x +1) ( 3 tan 2 x − 1) = 0

-L

Ý

-H

Ó

π   tan x =-1  x = − 4 + kπ ⇔ ⇔  tan x = ± 1  x = ± π + kπ  3  6

ÁN

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

TO

I. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

Cách 2.

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 tan x = − 3 ⇔  tan x = ± 1 π   x = − 3 + kπ ⇔ (k ∈ ℤ)  x = ± π + kπ  4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

Ơ

⇔ tan 3 x + 3 t an 2 x- tan x- 3 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇔

D

IỄ N

Đ

ÀN

1. Phương pháp

- Xét phương trình f(x) = 0

f1 (x) = 0 f (x) = 0  2 2 2 - Nếu f(x) = f1 (x) + f 2 (x) + .... + f n (x) thi f (x) = 0 ⇔  2 ... f n (x) = 0

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

48

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

2. Bài tập áp dụng: Bài 1. Giải các phương trình sau:

d. sin 2 x + sin 2 y + sin 2 ( x + y ) =

9 4

Y

2

10 00

B

1 − tan x.tan2x ⇒ tan x.cot3x + tan2x.cot3x + tan x.tan2x =1 tan x + tan2x

Cho nên phương trình có dạng: 2

2

2

=0

Ó

A

( tan x - tan2x ) + ( tan 2 x − cot 3x ) + ( cot 3x − tan x )

-H

⇔ tan x = tan2x = cot3x ⇒ x ∈ ∅ . Phương trình vô nghiệm

(

2

) +(

 π x = + k 2π    3 6  cos x = π   2 ⇔ ⇔  x = − + k 2π .

6  tan x = - 1     π 3  x = − + lπ 6 

ÁN TO ÀN Đ

IỄ N

)

2

3 tan x +1 = 0

-L

Ý

c. 4cos 2 x + 3tan 2 x − 4 3cosx+2 3 tan x +4=0 ⇔ 2cos x- 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

G

H Ư

N

b. tan 2 x + tan 2 2 x + cot 2 3x = 1 Do: cot 3 x = cot ( x + 2 x ) =

5π + k 2π thỏa mãn.

6

TR ẦN

Kết hợp với điều kiện có nghiệm x =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3 tan x +1 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

)

U

(

.Q

2

⇔ ( 2sin x − 1) +

 π x = + k 2π   1  6 sin x =   2sin x − 1 = 0  2   5π ⇔ ⇔ ⇔  x = + k 2π .

6  3 tan x +1=0  tan x =- 1     3 π  x = − + kπ 6 

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

4sin 2 x − 2 3 tan x +3tan 2 x − 4sin x + 2 = 0

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

Giải:

a.

N

c. 4 cos 2 x + 3 tan 2 x − 4 3 cos x +2 3 tan x +4=0

Ơ

b. tan 2 x + tan 2 2 x + cot 2 3 x = 1

H

a. 4sin 2 x − 2 3 tan x +3tan 2 x − 4sin x + 2 = 0

Khi biểu diễn nghiệm trên vòng tròn đơn vị ta thấy nghiệm chung là: x=−

π 6

+ k 2π

(k ∈ Z )

d. sin 2 x + sin 2 y + sin 2 ( x + y ) =

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9 1 − cos2x 1 − cos2y 1 − cos2 ( x +y ) 9 ⇔ + + = 4 2 2 2 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

49

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

⇔ 2  cos2x +cos2y+cos2 ( x +y )  + 3 = 0

⇔ 2.2 cos ( x + y ) cos ( x-y ) +2  2cos 2 ( x + y ) − 1 + 3 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

-L

2

1   1 ⇔  sin x- sin 2 3 x  + sin 2 3 x.cos 2 3 x = 0 2   4

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

1 ⇔ sin 2 x + sin 2 3 x = sin x.sin 2 3 x 4 1 1 1 1 ⇔ sin 2 x − 2. sin x.sin 2 3 x + sin 4 3x + sin 2 3 x − sin 4 3 x = 0 2 4 4 4 2 1   1 ⇔  sin x- sin 2 3 x  + sin 2 3 x (1 − sin 2 3 x ) = 0 2   4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

-H

Ó

A

sin 2 3 x ( cos3x.sin 3 x + sin 3x.cos3 x ) = sin x.sin 2 3x 3sin 4 x

Ý

a.

N

Y

c. 8cos 4 x.cos 2 2 x + 1 − cos3x + 1 = 0

Giải:

.Q

U

10 00

b. 3cot 2 x + 4 cos 2 x − 2 3 cot x − 4 cos x + 2 = 0

d. sin 2 x +

TP

Đ ẠO

G

N

B

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 4

a. sin 2 x + sin 2 3 x = s inx.sin 2 3 x

π   x = − 3 + nπ hoặc  ( m, k ∈ Z )  y = − π + (m − k )π  3

H Ư

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1  cos2x = - ⇒ k = 2n  1 2 ⇔ cos ( 2 x − kπ ) = − cos kπ ⇔  2  cos2x = 1 ⇒ k = 2n + 1  2

π   x = 3 + nπ Giải ta tìm được:  ( n, k ∈ Z )  y = π + ( m − k )π  3

H

2

- Xét: x − y = kπ ⇔ y = x − kπ , thay vào (2).

Bài 2. Giải các phương trình sau:

Ơ

sin ( x − y = 0 ) (1)  ⇔  2 cos ( x + y ) + cos ( x − y )  + sin ( x − y ) = 0 ⇔  1 cos ( x +y ) = − cos ( x-y )( 2 )  2 2

N

⇔ 4 cos 2 ( x + y ) + 2.2 cos ( x + y ) .cos ( x-y ) + 1 = 0

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

50

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

 x = kπ   x = kπ    s inx=0     x = π + l 2π  x = kπ  π   x=k  sin3x=0 1 2     6    3 π  s inx= sin 3 x  ⇔ ⇔  ⇔  ⇔  x = + l 2π 2 5π 1 ⇔  x =  6 + l 2π  s inx= sin 2 3 x.cos 2 3 x = 0  s inx= 1 6      2  5 π  2 x =  + l 2π  cos3x=0 π π  sin 2 3x=1  x = + k 6     6 3 

N

GV: Đào Mỹ Hạnh

Ơ

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

H

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

.Q 2

Đ ẠO G TR ẦN

H Ư

π   x = 3 + kπ π ⇔ ⇒ x = + m2π ( m ∈ Z ) 3  x = ± π + l 2π  3

B

c. 8cos 4 x.cos 2 2 x + 1 − cos3x + 1 = 0 ⇔ 4 cos 4 x (1 + cos4x ) + 1 − cos3x + 1 = 0

Ó

A

10 00

π kπ  1 x=± +   c x os4 =2π 2   6 2 ⇔ ( 2cos4x +1) + 1 − cos3x = 0 ⇔  ⇒x= + m 2π ( m ∈ Z ) 2⇔ 2 l π 3 cos3x =1 x =  3

-H

sin 2 3 x cos3xsin 3 x + sin 3 x cos3 x ) = sin xsin 2 3 x ( 3sin 4 x

-L

Ý

d. sin 2 x +

sin 2 3 x ( cos3xsin 3 x + sin 3x cos3 x ) 3sin 4 x sin 2 3 x  3 = sin x ( 4cos3 x − 3cos x ) + cos3 x ( 3sin x-4sin 3 x )  =  3sin 4 x 2 sin 2 3 x  2 2  = sin 3 x . 3 sin 2 x.cos2x 3sin x cos x cos x sin x ⇔ − ( )  3sin 4 x 2 3sin 4 x  sin 2 3 x 1 1 = sin 4 x = sin 2 3 x sin 4 x 4 4

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

⇔

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

)

3 cot x − 1 + ( 2 cos x − 1) = 0

1  cot x = 3 ⇔ cosx= 1  2

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

(

TP

(1) ⇔

N

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ĐK: x ≠ kπ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

b. 3cot 2 x + 4 cos 2 x − 2 3 cot x − 4 cos x + 2 = 0 (1)

Cho nên phương trình d chính là phương trình a mà ta đã giải.

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

51

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

II. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ 1. Phương pháp

- Xét phương trình: f(x) = g(x) , với ∀x ∈ D

Ơ

N

- Nếu tồn tại số thực k sao cho:

Y

N

H

f (x) ≤ k ≤ g(x), ∀x ∈ D f (x) = k thi f (x) = g(x) ⇔  g(x) ≤ k ≤ f (x)  g(x) = k

.Q

Bài 1. Giải các phương trình sau:

G

b. sin 3 x + cos3 x = 2 − sin 4 x

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

a. cos3x + 2 − cos 2 3 x = 2 (1 + sin 2 2 x )

d. tan 2 x + cot 2 x = 2sin 5  x +

H Ư

c. 3 − cos x − cos x + 1 = 2

TR ẦN

Giải:

(

B

a. cos3x + 2 − cos 2 3 x = 2 (1 + sin 2 2 x )

)

2

≤ (1 + 1) ( cos 2 3 x + 2 − cos 2 3 x ) = 4 ⇒ VT ≤ 2

10 00

Ta có: VT 2 = 1.cos3x +1. 2 − cos 2 3 x



A

VP = 2 (1 + sin 2 2 x ) ≥ 2 ⇒

-H

Ó

Cho nên phương trình có nghiệm khi cả hai vế xảy ra dấu đẳng thức:

-L

Ý

1  1 = cos 2 3 x = 1 cos6x =1  cos3x = 2 − cos 2 3 x ⇔  cos3x ⇔ ⇔ 2 − cos 2 3 x ⇔  sin2x =0 sin 2 x = 0 sin 2 x = 0 sin 2 x = 0 

ÀN

TO

ÁN

kπ   x = 3 6 x = k 2π ⇔ ⇔ . 2 x = lπ  x = lπ  2

π

 4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

3. Bài tập áp dụng

TP

- Các bất đẳng thức cơ bản: cauchy, Bunhiacopski

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

- Tính chất của hàm số lượng giác.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

2. Kiến thức sử dụng:

D

IỄ N

Đ

Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k, l thuộc Z sao cho hai nghiệm: kπ lπ 3 = ⇔ k = l ⇒ chọn: l = 2n.

3 2 2

Khi đó phương trình có nghiệm là: x = nπ

(n ∈ Z )

b. sin 3 x + cos3 x = 2 − sin 4 x VT = sin 3 x + cos3 x ≤ sin 2 x + cos 2 x = 1

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

52

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

VP = 2 − sin 4 x ≥ 2 − 1 = 1 . (Do 0 ≤ sin 4 x ≤ 1 ) Do đó phương trình chỉ xảy ra khi:

H

Ơ

N

sin 2 x (1 − sin x ) = 0 sin 3 x = sin 2 x   sin x = 1 π ⇔ cos3 x = cos 2 x ⇔ cos 2 x (1 − cos x ) = 0 ⇔  ⇒ x = + k 2π 2 cos x = 0 sin 4 x = 1  2 sin x = 1  

b. cos 2 x − 4 cos x − 2 x sin x + x 2 + 3 = 0

.Q G

 cosx ≤ 1 cos13 x ≤ cos 2 x ⇔  14 ⇒ cos13 x + sin14 x ≤ cos 2 x + sin 2 x = 1 Do:  2 sin x ≤ sin x  s inx ≤ 1

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy:

10 00

B

TR ẦN

 π   x = 2 + kπ  cos x =0   12 π  13 2 cos 2 x ( cos11 x − 1) = 0 x = + kπ cos x = cos x  sin x =1   x = π + kπ   ⇒  14 ⇔ ⇔ ⇔  ⇔ 2 2 2 12  2  cos x =1 sin x = sin x  sin x ( sin x − 1) = 0  2π = x l     x =k2π  sin x =0   x =kπ  2

2

b. 2 − 2 cos x − 2 x sin x + x 2 = 0 ⇔ ( cos x-1) + ( x − sin x ) = 0

-H

Ó

A

 x = k 2π cos x − 1=0 cos x = 1  x = k 2π ⇔ ⇒ ⇔ 2 ⇔ ⇒x=0 2 2  x -sin x = 0  x = sin x cos x + sin x = x + 1  x = 0

Ý

Bài tập tương tự:

-L

Bài 1. Giải các phương trình sau:

b. tan x +tan2 x = -sin3 x cos2 x .

c. sin4 x cos16 x = 1

π  d. 2sin  x +  = t anx +cotx 4

TO

ÁN

a. sin x + cosx = 2 ( 2 − sin 3 x )





https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

a. cos13 x + sin14 x = 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

a. cos13 x + sin14 x = 1

Y

N

Bài 2. Giải các phương trình sau:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 2. Giải các phương trình sau:  

a.  cos 2 x +

2

2

1   2 1  1 +  sin x + 2  = 12 + sin y 2  cos x   sin x  2 2

2

     3x 1   3x 1  81 2 b.  sin +  +  cos +  = cos 4 x 2 2 4 3 x 3 x  sin   cos   2  2

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

53

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

Bài 3. Giải các phương trình sau: 1 =0 s inx.cos2x.cos3x

a. 4 cos x − 2 cos 2 x − cos4x =1

b. tan 2 x + tan 3x +

c. cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0

d. ( cos4x-cos2x ) = 5 + sin 3x

H

Ơ

N

2

Y

H Ư

N

sin 3 x − cos 3 x = cos x − 1 2sin 2 x − 1

TR ẦN

4). (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 4/2015) cos 3 x − sin 2 x = (cos x − sin x)(2 cos x − 2sin x + 1)

5) (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 1)

10 00

B

(1 + sin 2 x)(cos x − sin x) = 1 − 2sin 2 x

6). (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 2) 1 4 4 π

Ó

A

sin x + cos ( + x ) = 2 4

-H

7). (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 3)

-L

Ý

π π cos 2 x − sin 2 2 x = sin( x + ) sin( x − ) 2 4 cos x 6 6

8). (ĐHSPHN – Trường THPT chuyên ĐHSP – lần 4)

ÁN

sin 2 x = sin 3 x + cos x(cos x − 1)

IỄ N

Đ

ÀN

TO

9). (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 2- ngày 05/10/2014)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

3). (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 3/2014)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

cos 3 x − cos x = 2sin 2 x + sin x + 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

2). (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Tháng 1/2015)

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

Đ ẠO

4 cos x cos( x + )cos( − x) = sin 3 x 3 3

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giải các phương trình sau: 1). (ĐHKHTN – Trường THPT chuyên KHTN – Ngày 28/12/2014) π π

N

MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

sin x + sin 3 x + sin 5 x + 2 tan x = 0 cos x + cos 3x + cos 5 x

10). (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 23/11/2014) 4 cos x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 1

11). (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 21/12/2014) sin 4 x = tan x

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

54

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

12). (Trường THPT Đào Duy Từ - lần 3- ngày 25/01/2015) log 5− x2 (

3sin 2 x − 2sin x ) = log 22 5− x sin 2 x cos x

N

13). (Sở GD-ĐT Hà Nội- Trường THPT Thăng Long-lần 1)

Ơ

sin 2 x + 3 cos 2 x = sin 2 x − 3

N

H

14).(Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ-lần 1)

Y

2cox 3 x + cos 4 x + cos 2 x = 0

Đ ẠO

cos 3 x + cos x = 2 3 cos 2 x sin x

17). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Đào Duy Từ - lần 1)

G

sin 3 x − sin x + sin 2 x = 0

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

18). (Trường THPT chuyên Hà Tĩnh- lần 1) cos 3 x + 2sin 2 x − cos x = 0

TR ẦN

19). (Trường THPT chuyên Lam Sơn- ngày thi 31/1/2015) 2 cos 5 x.cos 3 x + sin x = cos8 x

20). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Đông Sơn 1)

10 00

B

cos 2 x + (1 + 2 cos 2 x)(sin x − cos x) = 0

21). (Sở GD_ĐT Nghệ An- Trường THPT Quỳnh Lưu 1) 2 sin 2 x − cos 2 x = 7 sin x + 2cox − 4

Ó

A

22). (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Hàn Thuyên- lần 2) π

-H

cos x + cos 3 x = 1 + 2(2 x +

4

)

-L

Ý

23). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 2-lần 1) sin 2 x + 2 sin x + 1 = cos 2 x

( x ∈ ℝ)

ÁN

24). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 2-lần 2)

TO

sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

16). (Trường THPT chuyên Đại học Vinh- lần 1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3cos 2 x + s inx-1= cos x + sin 2 x − sin 2 x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

15). (Trường THPT Lương Thế Vinh Hà Nội- lần 1)

D

IỄ N

Đ

ÀN

25). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Hậu Lộc 4) cos x − cos 2 x + sin x = 0

26). (Sở GD_ĐT Hải Dương- Trường THPT Hồng Quang- lần 1) 2sin 2 x + 3 sin 2 x − 2 = 0

27). (Trung tâm dạy thêm văn hóa Lê Hồng Phong- lần 1) 3s in 2 x + cos2 x = 2

28). (Sở GD_ĐT Bắc Giang-Trường THPT Lục Ngạn số 1- lần 2) 2 s in 6 x − 2sin4 x + 3cos2 x = 3 + sin 2 x

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

55

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

29). (Sở GD_ĐT Hải Phòng- Trường THPT Trần Nguyên Hãn) π sin 2 x + cos x − 2 sin( x − ) − 1 = 0 4

s inx − cos3 x + 2 cos 2 x cos x

π

Ơ

π

N

H

tan( − x) tan( + x) 4 4

.Q TP

32). (Trường THPT Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai-lần 1)

Đ ẠO

sin 2 x − 2sin x − 2 cos x + 2 = 0

33). (Sở GD_ĐT Tỉnh Nam Định)

cos 2 x + cos x(2 tan 2 x − 1) = 2

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

34). (Trường THPT Nghi Sơn- Thanh Hóa)

N

G

4sin 2 x + sin x = 2 − 3 cos x

TR ẦN

35). (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Ngô Gia Tự) sin 2 x − 2 2(sin x + cox) = 5

B

36). (Trường THPT Nguyễn Trung Thiên- lần 1)

10 00

sin 2 x − sin x = 2 − 4 cos x

37). (Trường THPT Quảng Xương I)

A

4 sin 2 x + sin x + 3 cos x = 2

-H

Ó

38). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thiệu Hóa- lần 1) sin 3 x + cos 4 x = 1

-L

Ý

39). (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc- lần 2) π 3x

ÁN

x (tan 2 x cot x − 1) sin 4 x = sin( x + ) + 2 cos sin 3 2 2

TO

40). (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc- lần 3) 2 cos 6 x − 2 cos 4 x − 3cos2 x = sin 2 x + 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

cos x = 1 − sin x 1 + sin x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

31). (Trường THPT Chuyên Bắc Yên Thành- lần 1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2 s in 2 x =

N

30). (Sở GD_ĐT Hải Dương- Trường THPT Chí Linh- lần 1)

D

IỄ N

Đ

ÀN

41). (Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc) sin 4 x + 2 = cos 3 x + 4 sin x + cos x

42). (Sở GD_ĐT Vĩnh Phúc-Trường THPT Yên Lạc- lần 1) 3π sin x(1 + 8cos x) = cos(3 x −

2

)

43). (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Yên Phong số 2) sin x − 3 cos x = 2

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

56

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

44). (Sở GD_ĐT Thái Nguyên -Trường THPT Gang Thép) cos x + sin x − sin 2 x − cos 2 x = 1

45). (Trường THPT Triệu Sơn 5- lần 2)

N

sin 2 x − cos 2 x = 2sin x − 1

H

Ơ

46). (Sở GD_ĐT Hà Tĩnh-Trường THPT Cù Huy Cận) π

Y

N

3 sin 2 x − cos 2 x − 3cos( − x) − 3 cos x + 2 = 0 2

G

49). (Trường THPT Lam Kinh- lần 1) π

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

cos x + cos 3x = 1 + 2 sin(2 x + ) 4 cos10 x = 2 cos 4 x sin x − cos 2 x

TR ẦN

50). (Sở GD_ĐT Hải Phòng- Trường THPT Lê Quý Đôn) 51). (Sở GD_ĐT Bắc Ninh-Trường THPT Lý Thái Tổ)

B

cos 2 x + cos x sin x − sin x + sin 2 x = cos x

10 00

52). (Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi- lần 1) 2 cos x( 3 cos x + cos x − 1) = 1

A

53). (Sở GD_ĐT Nghệ An- Trường THPT Nam Yên Thành – lần 1)

-H

Ó

sin 3 x + cos 2 x = 1 + sin x cos 2 x

54).(Sở GD_ĐT Hà Nội- Trường THPT Yên Lãng)

-L

Ý

sin 3 x + cos3 x = cos 2 x (2 cos x − sin x)

55). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Như Xuân)

ÁN

(sin x + cos x) 2 = 1 + cos x

TO

56). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thường Xuân 3)

D

IỄ N

Đ

ÀN

3cos x − 2 = −3(1 − cos x) cot 2 x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

sin 2 x + 3sin x − 2 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

48). (Sở GD_ĐT Vĩnh Phúc)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

x = cos 5 x + 1 2

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

sin 2

U

47). (Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Trần Phú)

57).(Sở GD_ĐT Thanh Hóa- Trường THPT Thường Xuân 3- lần 2) π 2 cos(2 x + ) + 4sin x sin 3 x − 1 = 0 3

58).( Vietel study- lần 1) 3 sin x + cos x =

1 cos x

59).( Vietel study- lần 2)

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

57

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

GV: Đào Mỹ Hạnh

2 3 cos3 x + 5 cos 2 x sin x + 3 sin 2 x cos x =0 tan x + 3

60).( Vietel study- lần 3)

N

2 sin x sin 3 x + sin 2 x = 4 cos x sin 3 x + 2 cos 2 x + 2

H

Ơ

61).( Vietel study- lần 4)

N

2 sin 2 x − 2 cos 2 x + 5 cos x + 2 sin x + 3 = 0

Y

62)( Vietel study- lần 6)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đào Mỹ Hạnh

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

HIỆU TRƯỞNG

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Xuân Hòa, ngày 15 tháng 11 năm 2015 Người viết

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

(cos x − 1) cos 2 x = 2(1 + sin x) sin x + cos x

Tổ: Toán - Tin

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial Trường THPT Xuân Hoà www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

58