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Resolución de ecuaciones de segundo grado mediante un método iterativo David Uribe

Enero 2011

I.E.S. La Cañada, Departamento de Física y Química Avda. de la Cañada 44, 28823 Coslada (Madrid)

Es muy frecuente que en Química se propongan ejercicios en los que hay que resolver una ecuación de segundo grado. Esto ocurre, por ejemplo, con los problemas de equilibrio químico. Al escribir la expresión de la constante de equilibrio se obtiene, a veces, una ecuación de segundo grado. Si el valor de la constante de equilibrio es muy pequeño (mucho menor que 1) podemos utilizar un método iterativo que nos permita resolver la ecuación de una forma más rápida (y segura) que aplicando el método tradicional. Voy a explicar cómo se aplica el método iterativo y, para ello, resolveré el siguiente problema: La constante de equilibrio, Kc, para la reacción N2 (g) + O2 (g) ' 2 NO (g) vale 8,8·10–4, a 2200 K. a) Si 2 moles de N2 y 1 mol de O2 se introducen en un recipiente de 2 L y se calienta a 2200 K, calcule los moles de cada especie química en el equilibrio Solución:

⎯→ 2 NO (g) + N2 (g) + O2 (g) ←⎯ 2–x 1–x 2x

Debajo de las fórmulas están escritos los valores de los moles de equilibrio Escribimos le expresión de la constante de equilibrio

( 2x )2 22 Kc = ( 2 − x )(1 − x )

8,8·10

−4

2 2 x) ( 4 x2 = = ( 2 − x )(1 − x ) ( 2 − x )(1 − x )

22 Desarrollando: x2 x = 2, 2·10−4 ( 2 − x ) (1 − x ) 2, 2·10 = ( 2 − x )(1 − x ) Puesto que el cociente 2,2·10–4 es muy pequeño, “es evidente” que el valor de x también debe ser pequeño. A partir de ahora podemos obtener el valor de x mediante un sistema de iteraciones (repeticiones). Para ello partimos de un valor aproximado de x; lo sustituimos en los valores de x de la parte derecha de la igualdad para obtener el valor de x de la parte izquierda. El valor obtenido lo sustituimos, de nuevo en la parte derecha y obtenemos, de nuevo, el valor de x de la parte izquierda, y así sucesivamente hasta que el valor de x obtenido no varíe prácticamente. Para empezar se pude tomar como primer valor aproximado x = 0 que, por supuesto, es un valor absurdo pero que nos permitirá obtener nuevos valores que se vayan, poco a poco, acercando al correcto. Se obtiene como segunda aproximación (la primera aproximación ha sido x = 0) x = 0,021 Las siguiente aproximación obtenida es x = 0,021. ¡Ya hemos terminado!, puesto que el valor se ha repetido. Los moles que se piden son: n(O2) = 1 x = 0,979 mol n(NO) = 2x = 0,042 mol n(N2) = 2 x = 1,979 mol −4

Finalmente, veremos otro ejemplo: En un recipiente de 20 litros introducimos 1,8 moles de PCl5 y un mol de Cl2, y calentamos a 200 ºC. Sabiendo que a esa temperatura se produce la disociación PCl5 (g) ' PCl3 (g) + Cl2 (g) siendo la constante de equilibrio Kc = 7·10–3 mol/L. Calcule los moles de equilibrio de las tres sustancias.


Solución:

⎯→ PCl3 (g) + Cl2 (g) PCl5 (g) ←⎯ 1,8–x x 1+x

x 1+ x x (1 + x ) x (1 + x ) x (1 + x ) 7·10−3 = 0,14 = K c = 20 20 = 1,8 − x 20 (1,8 − x) ) 20 (1,8 − x) ) (1,8 − x) ) 20 Para resolver la ecuación podemos hacer lo siguiente 0,14 (1,8 − x) ) x= (1 + x) ) Puesto que x debe tener un valor pequeño, empezamos poniendo el valor x = 0 en el numerador y el denominador de la parte derecha y vamos obteniendo diferentes aproximaciones hasta que se produzca la convergencia hacia el valor correcto. Se obtienen los siguientes valores: x=0 x = 0,252 x = 0,173 x = 0,194 x = 0,189 x = 0,190 x = 0,189 Los moles que se piden son: n(PCl5) = 1,8 x = 1,611 mol n(PCl3) = x = 0,189 mol n(CL2) = 1+x = 1,189 mol

Para finalizar, propondré el siguiente ejercicio: La constante de equilibrio para la reacción en fase gaseosa I2 (g) + H2 (g) ' 2 HI (g) es Kc = 55,3 a 700ºC. Calcule los moles de equilibrio cuando se mezclan 1 mol de Yodo y 3 moles de hidrógeno a 700 ºC.

Solución: ⎯→ I2 (g) + H2 (g) ← ⎯ 2 HI (g) + 1–x 3–x 2x 2

⎛ 2x ⎞ ⎜ ⎟ 4x 2 V Kc = ⎝ ⎠ = 1 − x 3 − x (1 − x ) ( 3 − x ) V V

55,3 =

4x 2 (1 − x ) ( 3 − x )

En este caso observamos que la constante de equilibrio es grande, y si despejamos x de la siguiente manera x = 13,825 (1 − x ) ( 3 − x ) no conseguiremos un valor adecuado de x. Sin embargo, si despejamos la x del factor 1 – x, tendremos 0, 0724 x 2 x = 1− 3− x De la ecuación de Kc se desprende que x debe ser “relativamente grande”, pero necesariamente menor que 1. Pedemos empezar con un valor intermedio entre 0 y 1 como, por ejemplo, 0,5, aunque con un poco de experiencia podríamos saber que el valor debe ser más bien cercano a 1. En cualquier caso, empezaremos con x = 0,5. Se obtienen las siguientes aproximaciones: x = 0,5 x = 0,993 x = 0,964 0,967 0,967 ¡Hemos terminado!

Aunque este método no siempre es aplicable, con un poco de habilidad se pueden conseguir magníficos resultados.


resolución de ecuaciones de segundo grado  

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