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© D.R. 2014, Editorial Terracota, S. A. de C.V. Cerrada de Félix Cuevas 14 Col. Tlacoquemécatl del Valle, 03200 México D.F. Tel.: (55) 5335 0090 © 2014, Lidia Reyes García Dirección editorial: Rosa María Núñez Ochoa Coordinación editorial: Blanca Luz Torres Cano Asistencia Editorial: Sergio Armando Hernández Roura Colaboración especial: Diana Paloma Díaz Pérez, Tania Pérez Rivera, Griselda Ortigoza Alcalá Estilo: Rosalba María Eugenia Michaca Fandiño, Xiomara Ballesteros Quesada Gerente de diseño y producción: Jeanette Vázquez Gabriel Coordinación gráfica y de diseño: Mayra Alvarado López Diseño de interiores: Martha E. García Barrera © Editorial Terracota S. A. de C.V. © Cengage Learning Editores, S. A. de C.V. Diagramación: Lizbeth Sánchez Félix, Paola Xospa Ramírez, Patricia Mendoza Chapulín, Fernando García de la Cruz Ilustraciones: Cristina Anguiano Fotografías: Glow Images Royalty Free, Stock.Xchange, Wikki Commons

© D.R. 2014 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Matemáticas 2 (serie Nueva Generación) Primera edición 2014 Lidia Reyes García ISBN: 978-607-519-230-7 Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Director General de Cengage México: Enrique Fernández Calero

Diseño de portada: Studio Dos Gráfica Alterna S.A. de C.V. Fotografía de portada: ©ramcreations/shutterstock

www.editorialterracota.com.mx

Impreso en México 2017 10 9

2

2016 8 7

2015 2014 2013 6 5 4 3 2 1

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Bibliografía Índice Índice Presentación para el alumno

3

Presentación para el profesor

4

Descripción de la propuesta

5

Cómo usar este libro

13

Eje

Tema

Medida

Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos

Problemas multiplicativos

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Bloque

Análisis y representación de datos

Nociones de probabilidad

Manejo de la información

Proporcionalidad y funciones

1

Evaluación de bloque

8

Contenidos

Semana

Lecciones

Página

Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.

1

Lección 1 Multiplicación y división de números enteros

18

Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

2

Lección 2 Productos y cocientes de potencias

24

Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

3

Lección 3 Rectas paralelas y ángulos

29

4

Lección 4 Posibilidades de construcción de triángulos

36

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

5

Lección 5 Áreas de figuras compuestas por prismas y pirámides

42

Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

6

Lección 6 Problemas relacionados con el porcentaje

48

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

7

Lección 7 Problemas con procedimientos recursivos

54

Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que...”, “es menos probable que...”.

8

Lección 8 Probabilidad de eventos

61

9

Lección 9 La media y la mediana en la resolución de problemas matemáticos

67

Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

10

Reactívate

72


Contenidos

Semana

Lección 10 Suma y resta de monomios

76

Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios.

12

Lección 11 Suma y resta de polinomios

82

Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

13

Lección 12 Expresiones algebraicas equivalentes

87

Lección 13 Volumen de prismas y pirámides rectos

92

Lección 14 Estimación y cálculo del volumen de prismas y pirámides rectos

97

Medida

14

Proporcionalidad y funciones

Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

15

Lección 15 Proporcionalidad directa e inversa

103

Nociones de probabilidad

Forma, espacio y medida Manejo de la información

Evaluación de bloque

Página

11

Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

2

Lecciones

Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios.

Problemas aditivos

Tema

Problemas multiplica-tivos

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Bloque

Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.

16

Lección 16 Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica

109

17

Reactívate

116

9


Bibliografía Índice Índice Tema

Evaluación del bloque

10

Medida Proporcionalidad y funciones Análisis y representación de datos

Manejo de la información

3

Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos

Problemas multiplicativos

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

Bloque

Contenidos Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios. Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

Semana

Lecciones

Página

18

Lección 17 Jerarquía de operaciones

120

19

Lección 18 Multiplicación y división de expresiones algebraicas

125

Lección 19 Los ángulos interiores de los polígonos

131

Lección 20 Polígonos que cubren el plano

136

Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. 20 Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.

21

Lección 21 Distintas unidades de medida

141

Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

22

Lección 22 Relaciones de proporcionalidad

147

Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.

23

Lección 23 Gráficas poligonales e histogramas

153

Análisis de propiedades de la media y mediana.

24

Lección 24 Análisis de propiedades de la media y mediana

159

25

Reactívate

164


Forma, espacio y medida

Patrones y ecuaciones

Tema

Medida

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Bloque

Contenidos

Semana

Lecciones

Página

Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.

26

Lección 25 Sucesiones con números enteros

168

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

27

Lección 26 Ecuaciones de primer grado

173

Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones.

28

Lección 27 Los ángulos inscritos y centrales de un círculo

178

Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

29

Lección 28 Relación de proporcionalidad en el plano cartesiano

184

Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

30

Lección 29 Variación lineal entre dos conjuntos de datos

190

Resolución de situaciones de medias ponderadas.

31

Lección 30 Problemas de cálculo de la media ponderada

196

32

Reactívate

202

Proporcionalidad y funciones Análisis y representación de datos

Manejo de la información

4

Evaluación de bloque

11


12

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución).

33

Lección 31 Sistemas de ecuaciones

206

Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

34

Lección 32 Gráficas de sistemas de ecuaciones

212

Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

35

Lección 33 Simetría axial o de reflexión

218

Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

36

Lección 34 Problemas de ángulos y áreas de diversas formas circulares

224

Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

37

Lección 35 Gráficas de funciones lineales

230

Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.

38

Lección 36 Parámetros que definen la forma de las gráficas de funciones lineales

236

Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

39

Lección 37 Gráficas de probabilidad

242

40

Reactívate

248

Patrones y ecuaciones

Semana

Figuras y cuerposs

Evaluación de bloque

Contenidos

Proporcionalidad y funciones

Forma, espacio y medida Manejo de la información

5

Tema

Nociones de probabilidad

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

Bloque

Medida

Bibliografía Índice Índice Lecciones

Página

Anexos

250

Bibliografía

252


Cómo usar este libro Entrada de bloque Contiene los aprendizajes esperados y la lista de lecciones abordadas en el bloque.

Número de bloque

Aprendizajes esperados y competencias que se favorecen. Acertijo matemático que

Lista de lecciones

te invita a poner a prueba tus conocimientos.

Espacio para la

Imágenes relacionadas

dosificación del

con los contenidos del

docente

bloque

Lecciones Número y título de lección

Contenidos a desarrollar

a

Explora

Actividades para recuperar

Nexos

los conocimientos

Se hace referencia a los

previos.

contenidos trabajados en lecciones pasadas, bloques, grados anteriores y otras materias del grado escolar que se relacionan con el contenido de la lección en estudio, con la finalidad de que recuperes esos conocimientos previos necesarios para acceder a nuevos conocimientos.

13


Cómo usar este libro Modalidades de trabajo

En construcción Actividades individuales y en equipo que permiten desarrollar de manera gradual y suficiente los contenidos.

Glosario Incluye el significado de alguna palabra desconocida.

Destreza y estrategia Las actividades o ejercicios de esta sección servirán para contribuir a consolidar los conocimientos adquiridos en la lección.

RDT (Recursos digitales para todos) Actividades complementarias con el uso de la calculadora, hoja de cálculo y demás herramientas tecnológicas, como páginas de Internet interactivas, auxiliares en el tratamiento de los contenidos.

Coevaluación Comparte saberes y responsabilidades en el proceso de aprendizaje.

En la cima Cierre de lección donde se obtienen conclusiones a partir de lo producido en los diferentes momentos del desarrollo de la secuencia didáctica.

14


Reactívate Evaluación formato tipo PISA que ofrece la oportunidad de verificar el alcance de los aprendizajes esperados.

Anexos

Bibliografía Contiene los libros y sitios de Internet consultados.

15


Bloque 1 Aprendizajes esperados: s¬ 2ESUELVE¬PROBLEMAS¬QUE¬IMPLICAN¬EL¬USO¬DE¬LAS¬ LEYES¬DE¬LOS¬EXPONENTES¬Y¬DE¬LA¬NOTACIØN¬CIENTÓlCA¬ s¬ 2ESUELVE¬ PROBLEMAS¬ QUE¬ IMPLIQUEN¬ CALCULAR¬ EL¬ ÉREA¬Y¬EL¬PERÓMETRO¬DEL¬CÓRCULO¬ s¬ 2ESUELVE¬PROBLEMAS¬QUE¬IMPLICAN¬EL¬CÉLCULO¬DE¬ PORCENTAJES¬ O¬ DE¬ CUALQUIER¬ TÏRMINO¬ DE¬ LA¬ RELACIØN¬0ORCENTAJE¬¬CANTIDAD¬BASE¬™¬TASA¬)NCLUSIVE¬PROBLEMAS¬QUE¬REQUIEREN¬DE¬PROCEDIMIENTOS¬ RECURSIVOS¬ s¬ #OMPARA¬ CUALITATIVAMENTE¬ LA¬ PROBABILIDAD¬ DE¬ EVENTOS¬SIMPLES

Competencias que se favorecen: s¬ s¬ s¬ s¬

16

2ESOLVER¬PROBLEMAS¬DE¬MANERA¬AUTØNOMA #OMUNICAR¬INFORMACIØN¬MATEMÉTICA¬ 6ALIDAR¬PROCEDIMIENTOS¬Y¬RESULTADOS -ANEJAR¬TÏCNICAS¬ElCIENTEMENTE

Acertijo ¿Serías capaz en únicamente 15 segundos responder la siguiente pregunta? ¿Qué es más grande el 36% de 67 o el 67% de 36?


Dosificación del docente Lección 1. Multiplicación y división de números enteros Lección 2. Productos y cocientes de potencias Lección 3. Rectas paralelas y ángulos Lección 4. Posibilidades de construcción de triángulos Lección 5. Áreas de figuras compuestas por prismas y pirámides Lección 6. Problemas relacionados con el porcentaje Lección 7. Problemas con procedimientos recursivos Lección 8. Probabilidad de eventos Lección 9. La media y la mediana en la resolución de problemas matemáticos

17


LecciĂłn 1

MultiplicaciĂłn y divisiĂłn de nĂşmeros enteros Explor a

2ESOLUCIĂ˜NÂŹDEÂŹMULTIPLICACIONESÂŹYÂŹDIVISIONESÂŹCONÂŹNĂžMEROSÂŹ ENTEROS

Resuelve los siguientes problemas. 1. En el laboratorio de quĂ­mica Claudia observĂł, en un experimento controlado, como cambiaba la temperatura de dos sustancias al paso del tiempo. La temperatura inicial de ambas sustancias se observa en la Figura 1.

-2ÂşC

28ÂşC

Nexos

28 ÂşC

%NÂŹ PRIMERÂŹ GRADO ÂŹ RESOLVISTEÂŹ VARIOSÂŹ PROBLEMASÂŹ QUEÂŹ IMPLICABANÂŹ UTILIZARÂŹ NĂžMEROSÂŹPOSITIVOSÂŹYÂŹNEGATIVOS ÂŹASĂ“ÂŹ COMOÂŹ REALIZARÂŹ SUMASÂŹ YÂŹ RESTASÂŹ DEÂŹ NĂžMEROSÂŹENTEROSÂŹ0ORÂŹLOÂŹQUEÂŹESÂŹNECESARIOÂŹREFERIRTEÂŹAÂŹESOSÂŹCONTENIDOSÂŹ PARAÂŹ RECORDARÂŹ LAÂŹ CONVENCIĂ˜NÂŹ ENÂŹ LAÂŹ REPRESENTACIĂ˜NÂŹYÂŹOPERACIĂ˜NÂŹDEÂŹESTOSÂŹNĂžMEROSÂŹ

-12 ÂşC

Sustancia A

Sustancia B

Figura 1

Si la temperatura de la sustancia A disminuye 2 °C cada 30 segundos y la sustancia B aumenta 2 °C cada 30 segundos y ambos experimentos inician al mismo tiempo, ÂżdespuĂŠs de cuĂĄntos minutos las dos sustancias tendrĂĄn la misma temperatura? ÂżCuĂĄl es esa temperatura? Registra tus procedimientos en tu cuaderno. 2. En la ciudad donde vive Claudia, a las 18:00 horas el termĂłmetro marcaba –2 °C y a las 23:00 horas se observĂł nuevamente la temperatura, la cual habĂ­a descendido cinco veces el registro anterior. ÂżCuĂĄl era la temperatura a las 23:00 horas? JustiďŹ ca tu respuesta. ReĂşnete con dos compaĂąeros y para cada problema discutan porquĂŠ consideran que la respuesta que obtuvieron es correcta y cĂłmo llegaron a ella. Analicen si emplearon los mismos procedimientos o en caso contrario, si consideran que uno de los procedimientos es mejor que otro. Registren sus conclusiones en sus cuadernos.

18

B L O Q U E

1

T em a: P roblema r oblema s mult iplicat ivos


En construcción 1. En los problemas de la sección Explora viste que las temperaturas aumentan o disminuyen con una regularidad respecto al tiempo. Por ejemplo, en el Problema 2 por cada hora la temperatura desciende 2 °C. En este caso, se puede representar como (¡2) + (¡2) + (¡2) + (¡2) + (¡2), ¿con qué operación se puede sustituir la suma anterior? Escríbela. Realiza lo mismo con las temperaturas del primer problema de la sección Explora. Escribe las operaciones en tu cuaderno. Compara tus respuestas con las de otros compañeros para que verifiques si la operación que escribiste es la que efectivamente corresponde a la suma iterada. Resuelvan el siguiente problema. Justifiquen sus respuestas. 2. Para realizar una investigación en el fondo del mar, se están haciendo pruebas con un submarino que se sumerge a velocidad constante como se muestra en la Figura 2. Para ello, se registra en la Tabla 1 el nivel de profundidad por segundo que alcanza el submarino. La notación matemática que representa la profundidad a la que se encuentra el submarino se presenta con números negativos. Tiempo en segundos

Nivel en metros

1

¡2

2

¡4

3

¡6

5 20

-2

50

-4

180

-6

240

-8

300 Tabla 1

Figura 2

Una vez completada la Tabla 1, respondan lo siguiente: a) ¿Por cada segundo que transcurre, el submarino se sumerge a distancias iguales? b) ¿A qué nivel de profundidad se encontrará el submarino después de 10 minutos? c) ¿Cuál es la velocidad a la que se sumerge el submarino? d) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que el submarino se encuentre a una profundidad de 500 metros bajo el nivel del mar? e) En el contexto del problema, ¿qué significa (40) (¡2) = ¡80? f) ¿Qué se obtiene al multiplicar el tiempo en segundos (1, 2, 3, 4, 5, … ) por el número de metros que se sumerge el submarino por segundo (¡2)? g) ¿Veinte veces –2 es lo mismo que (20) (¡2)? ¿Por qué? h) ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación (35) (¡2) ? Con la finalidad de verificar si sus respuestas son correctas, compárenlas con las de otras parejas y discutan cómo fue que llegaron a ellas.

E j e : Se n t id o n um éric o y pensam iento a lge br a ico

19


3. Representen en la siguiente recta numérica el descenso del submarino en los primeros segundos. ¡13

¡12 ¡11 ¡10

¡9

¡8

¡7

¡6

¡5

¡4

¡3

¡2

¡1

0

+1

+2

+3

a) Si el submarino descendiera 3, 4 o 5 metros cada segundo, ¿cuáles serían las profundidades alcanzadas en estos tiempos? b) Discute con tus compañeros la interpretación numérica que le pueden dar a esta representación de profundidad con respecto al tiempo con el uso de números positivos y negativos. 4. Analicen las multiplicaciones que se muestran a continuación y completen los productos faltantes utilizando las estrategias que consideren pertinentes. (4) (4) = +16

(¡4) (4) =

(4) (3) =

(¡4) (3) =

(4) (2) = +8

(¡4) (2) =

(4) (1) =

(¡4) (1) = ¡4

(4) (0) =

(¡4) (0) =

(4) (¡1) = ¡4

(¡4) (¡1) =

(4) (¡2) =

(¡4) (¡2) =

(4) (¡3) =

(¡4) (¡3) =

a) ¿Qué observan en los signos resultantes al multiplicar un número positivo y uno negativo o viceversa? b) ¿Cuál es el signo que resulta de la multiplicación de dos números positivos? ¿Y en el caso de dos números negativos? c) Verifiquen si la relación que observaron en la actividad anterior se cumple para otros números. Realicen las multiplicaciones en tu cuaderno. Comparen con otros equipos el procedimiento que emplearon para resolver las multiplicaciones y analicen las conclusiones a las que llegaron, argumentando lo que observaron para fundamentar cada una. Escriban en su cuaderno las conclusiones. 5. Resuelvan los siguientes problemas: a) Encuentren dos números enteros que al multiplicarlos den –24. ¿Cuántas posibilidades pueden encontrar? Enlístenlas. b) El resultado de multiplicar dos números es –6. Si uno es 2, ¿cuál es el otro? c) Encuentren dos números enteros que al dividirse entre ellos den –6. ¿Cuántas soluciones hay? Si hay dudas o errores, coméntenlos en clase con la finalidad de solucionarlos. 6. Generalmente los bancos o comercios representan sus saldos a favor con números positivos y los saldos en contra con números negativos. Por ejemplo, la Tabla 4 muestra los saldos de una cuenta de crédito que tiene el papá de Claudia con el banco.

20

B L O Q U E

1

T em a: P r oblema s mult iplicat ivos


Mes

Saldo

Enero

¡6 200

Febrero

¡4 240

Marzo

¡2 620

Abril

¡1 268

Mayo

¡4 890

Junio

¡1 680

Tabla 4

a) ¿Cuál es el promedio mensual de saldos? b) Escriban la operación que se tiene que hacer para calcular el promedio. Reúnanse con otras parejas y comparen sus respuestas. Discutan qué signos deben tener dos números para que el signo de su producto sea negativo y qué signos deben tener dos números para que su cociente sea un número negativo. Retomen sus argumentos o conclusiones, solicitadas en la página 18.

¬ Completa las siguientes tablas. Para ello, utiliza una calculadora que contenga la teclaa +/{ o la teclaa { que sirven para asignar el signo a un número. Explora tu calculadora para que identifiques la tecla que puedes usar. En la tabla de la división, los números de la columna vertical corresponden al dividendo. (£)

+1

+3

+4

+5

+6

(£)

+4

+36

+2

¡24

¡1

¡4

¡4

¡3

¡6

+2

¡12

¡3 -4

¡1

¡12 Tabla 5

¡3

¡72

Tabla 6

a) Cuando se multiplican o dividen dos números del mismo signo el resultado tiene signo: b) Cuando se multiplican o dividen dos números de distinto signo el resultado tiene signo:

c) Cuando se multiplica o divide un número por ¡1 el resultado es: d) ¿Cómo realizarías las operaciones siguientes sin el uso de una calculadora?

(¡8) (4) = (¡72) ¥ (¡6) =

E j e : Se n t id o n um éric o y pensam iento a lge br a ico

21


Compara con algunos de tus compañeros los resultados obtenidos en las Tablas 5 y 6 y analicen las conclusiones a las que llegaron. Discutan la manera en que resolvieron las operaciones sin utilizar calculadora; para ello indiquen el procedimiento que siguieron. Si tienen dudas, consulten a su profesor para aclararlas.

En la cima 1. Resuelvan los siguientes problemas: a) Acomoden dentro de cada círculo de la Figura 3 los números ¡12, ¡6, ¡3, +1, +2, +4, de tal manera que al multiplicar los números en la dirección que se indica el resultado sea ¡24. b) Acomoden dentro de cada círculo de la Figura 4 los números ¡36, ¡4, ¡3, ¡1, +1, +2, +3, +4, +6, de tal manera que al multiplicar los números en la dirección que se indica el resultado sea +72. Con base en las operaciones que han realizado, respondan Figura 3 lo siguiente: c) Si se multiplican varios números, ¿en qué casos el resultado es un número positivo? d) ¿En qué casos es un número negativo? 2. Con ayuda de su profesor, realicen una puesta en común de los resultados obtenidos en las actividades desarrolladas en la lección y completen las siguientes reglas de los signos: Multiplicación (+)(+)=( (¡)(+)=( (+)(¡)=( (¡)(¡)=(

) ) ) )

División (+)¥(+)=( (¡)¥(+)=( (+)¥(¡)=( (¡)¥(¡)=(

Figura 4

) ) ) )

Compartan sus resultados con sus compañeros. Con ayuda de su profesor establezcan una regla para anticipar el signo de un producto analizando el signo de sus factores. Escriban la regla obtenida en el siguiente espacio.

22

B L O Q U E

1

T em a: P r oblema s mult iplicat ivos


Destreza y estrategia Resuelvan los siguientes problemas. Justifiquen sus respuestas. 1. Realiza las siguientes operaciones. (¡9)(¡6) = (¡5)(+4)(¡3) = (¡3)(+7)(+1)(¡3) =

(¡8)(¡7)(+6) = (¡2)(+5)(¡1)(+3) = (¡1)(1)(¡1)(¡1)(+2) =

2. Encuentra los números que faltan, realizando las operaciones correspondientes. ( )( +3 ) = +24 ( )( ¡5 ) = ¡30 (¡2 )( ) = ¡8

(¡33) ¥ ( ) = ¡11 ( ) ¥ (¡1) = ¡1 ( ) ¥ (+7) = 9

3. Expresa el (+36) como producto de dos enteros, de todas las formas posibles. 4. Expresa el (+3) como cociente de dos enteros, de cuatro formas distintas. Al terminar, reúnanse con algunos de sus compañeros y verifiquen si obtuvieron las mismas respuestas. En caso de que haya diferencias, discutan cómo fue que llegaron a cada una y verifiquen el manejo correcto de las operaciones involucradas. Si existen dudas, coméntelas con su profesor. Realicen una reflexión grupal con el fin de resumir en dos postulados las leyes de los signos. y escríbanlos en el siguiente espacio.

Coevaluación Intercambia tu libro con alguno de tus compañeros con quienes trabajaste para evaluar el desempeño de ambos durante el desarrollo de esta lección. Aspectos a considerar

NO

Observaciones

Intervino en la formulación de las reglas de los signos cuando se multiplican o se dividen dos números con signo. Argumentó la validez de sus resultados y observaciones. Escuchó con atención y respeto la intervención de sus compañeros.

Analiza las observaciones hechas por tu compañero y considéralas para mejorar tu participación en las siguientes actividades.

E j e : Se n t id o n um éric o y pensam iento a lge br a ico

23


LecciĂłn 2

#ÉLCULODEPRODUCTOSY COCIENTESDEPOTENCIASENTERAS POSITIVASDELAMISMABASEY POTENCIASDEUNAPOTENCIA 3IGNIlCADODEELEVARUNNÞMERONATURALAUNAPOTENCIADE EXPONENTENEGATIVO

Productos y cocientes de potencias Explor a Resuelve los siguientes problemas. 1. Lee detenidamente el siguiente texto; luego responde lo que se cuestiona. La reproducciĂłn asexual se presenta en organismos unicelulares, participa un sĂłlo individuo y no hay combinaciĂłn de genes, por lo tanto los hijos son idĂŠnticos a su progenitor. Uno de los tipos de reproducciĂłn asexual es la biparticiĂłn, la cual consiste en la divisiĂłn en dos partes iguales tras la replicaciĂłn (copia) del material genĂŠtico; las dos cĂŠlulas resultantes son idĂŠnticas a la primera. BIPARTICIĂ“N CĂŠlula madre

2 cĂŠlulas hijas

Nexos %NÂŹELÂŹBLOQUEÂŹÂŹDEÂŹLAÂŹASIGNATURAÂŹDEÂŹ #IENCIASÂŹ ÂŹESTUDIASTEÂŹLAÂŹREPRODUCCIĂ˜NÂŹASEXUALÂŹYÂŹSUÂŹCOMPARACIĂ˜NÂŹCONÂŹ LAÂŹ REPRODUCCIĂ˜NÂŹ SEXUALÂŹ %NÂŹELÂŹCASOÂŹ DEÂŹ LAÂŹ REPRODUCCIĂ˜NÂŹ ASEXUAL ÂŹ MUYÂŹ COMĂžNÂŹ ENÂŹ LOSÂŹ MICROORGANISMOSÂŹ YÂŹ ENÂŹPLANTAS ÂŹEXISTENÂŹVARIOSÂŹTIPOSÂŹMEDIANTEÂŹLASÂŹCUALESÂŹLASÂŹCARACTERĂ“STICASÂŹ HEREDITARIASÂŹ DEÂŹ LOSÂŹ DESCENDIENTESÂŹ SONÂŹ IDĂ?NTICASÂŹ AÂŹ LASÂŹ DELÂŹ PROGENITOR ÂŹ POSIBILITANDOÂŹ LAÂŹ SUPERVIVENCIAÂŹ DELÂŹ MISMOÂŹPORÂŹLOÂŹQUEÂŹESÂŹIMPORTANTEÂŹSUÂŹ ESTUDIOÂŹ ÂŹ

Los organismos unicelulares como los hongos microscĂłpicos conocidos como levadura se reproducen por biparticiĂłn.

En un estudio sobre la divisiĂłn celular, se determinĂł que cierto tipo de levadura se reproduce por biparticiĂłn con una regularidad. Para mostrar ĂŠsta regularidad del nĂşmero de cĂŠlulas por minuto, se usan potencias de dos como se muestra en la Tabla 1. Tiempo en minutos

NĂşmero de cĂŠlulas

0 1 2 3 4

20 21 22 23 24

Tabla 1

24

B L O Q U E

1

T em a: P r oblema s mult iplicat ivos


a) De acuerdo con la informaciĂłn de la Tabla 1, si se cultiva una cĂŠlula de esta levadura, ÂżquĂŠ tiempo debe transcurrir para que hayan 128 cĂŠlulas? ÂżPor quĂŠ? b) ÂżCuĂĄntas cĂŠlulas habrĂĄn al cabo de 8 minutos? ÂżPor quĂŠ? c) En la investigaciĂłn se determinĂł que transcurridos 10 minutos el nĂşmero de cĂŠlulas fue 210. ÂżCuĂĄntas cĂŠlulas habĂ­a? Compara tus respuestas con las de otro compaĂąero y comenten cĂłmo fue que las obtuvieron. En caso de duda, acudan a su profesor.

En construcciĂłn

Nexos %NÂŹ PRIMERÂŹ GRADOÂŹ RESOLVISTEÂŹ PROBLEMASÂŹ QUEÂŹ IMPLICABANÂŹ CALCULARÂŹ LAÂŹ POTENCIAÂŹ DEÂŹ EXPONENTEÂŹ NATURALÂŹ DEÂŹ NĂžMEROSÂŹ NATURALESÂŹ YÂŹ DECIMALESÂŹ !PRENDISTEÂŹQUE ÂŹDEÂŹMANERAÂŹGENERAL ÂŹ ENÂŹUNAÂŹEXPRESIĂ˜NÂŹDEÂŹLAÂŹFORMAÂŹ an ÂŹ a ESÂŹELÂŹFACTORÂŹQUEÂŹSEÂŹREPITEÂŹYÂŹ nÂŹESÂŹELÂŹ EXPONENTEÂŹQUEÂŹINDICAÂŹELÂŹNĂžMEROÂŹDEÂŹ VECESÂŹQUEÂŹELÂŹFACTORÂŹSEÂŹREPITEÂŹ ÂŹ

expresiĂłn algebraica. 5NAÂŹ EXPRESIĂ˜NÂŹ ALGEBRAICAÂŹ ESÂŹ UNAÂŹ COMBINACIĂ˜NÂŹ DEÂŹ SĂ“MBOLOSÂŹ MATEMÉTICOS ÂŹ LITERALES ÂŹ NĂžMEROS ÂŹ OPERACIONES ÂŹ ETCĂ?TERAÂŹ QUEÂŹ TENGAÂŹ SENTIDOÂŹ %JEMPLOSÂŹÂŹXÂŹ ÂŹÂŹ ÂŹÂŹÂŹCÂŹÂ&#x;ÂŹAÂŹ

Resuelvan los siguientes problemas. En la actividad anterior, has determinado potencias o has expresado como potencia un nĂşmero; por ejemplo, cĂłmo escribir 128 como una potencia de 2 o determinar quĂŠ nĂşmero representa la potencia 28. regla general.ÂŹ%XPRESIĂ˜NÂŹ ALGEBRAICAÂŹ QUEÂŹ REPRESENTAÂŹ Ahora el problema es determinar quĂŠ hacer con los exponentes en un producto de UNAÂŹLEYÂŹOÂŹREGLA potencias de la misma base; por ello, resuelvan los siguientes problemas. 1. ÂżCuĂĄnto resulta si multiplicamos 23 ÂŁ 24? Âży 27? 2. ÂżCuĂĄl es el exponente de 52? ÂżCuĂĄl es el exponente de 5? 3. Analicen el siguiente esquema y escriban cĂłmo se realizĂł la multiplicaciĂłn de 52 ÂŁ 54. 52 ÂŁ 54 = 56 5 ÂŁ 5 ÂŁ 5 ÂŁ 5 ÂŁ 5 ÂŁ 5 = 56 a) ÂżCĂłmo se obtiene el exponente del resultado del producto de dos factores con la misma base y diferente exponente? Justifiquen su respuesta. ÂŁ

31

32

33

34

35

31 32

34

33 34 Tabla 2

35

310

b) Completen la Tabla 2 y a partir de ella escriban la expresiĂłn algebraica que representa la regla general para calcular el producto de potencias de la misma base. Regla general: am ÂŁ an = a [

]

Al terminar, comparen sus respuestas con las de otras parejas. Discutan cĂłmo fue que resolvieron cada problema, muestren quĂŠ operaciones o cĂĄlculos hicieron. En caso de que no coincidan, comĂŠntelo con todo el grupo y con la guĂ­a de su profesor lleguen a un acuerdo. 4. Confronten la regla que escribieron con la que aparece enseguida: El producto de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes: (am)(an) = am+n.

E j e : Se n t id o n um ĂŠric o y pensam iento a lge br a ico

25


Al terminar, discutan lo siguiente: a) ¿Cómo se realiza la multiplicación de potencias con más de dos factores, con la misma base, como la siguiente: 35 £ 32 £ 34? b) ¿Es correcto expresar 57 como (52)(55)? Resuelvan los siguientes problemas. Justifiquen sus respuestas, ya que esto les servirá para argumentar en la puesta en común con todo el grupo. 5. Cada una de las siguientes operaciones es una potencia elevada a otra potencia. ¿Cuál es el resultado de cada operación expresado como una sola potencia? ( 23 )2 = 2[ ] ( 42 )3 = 4[ ] ( 6 3 )4 = 6[ ] a) ¿Cuál sería la regla general para simplificar una potencia elevada a otra potencia? Exprésenla algebraicamente. ( 43 )2 = ( 43 ) ( 43 ) = 4[ ] ( 25 )2 = ( 25 ) ( 25 ) = 2[ ] ( 32 )5 = ( 32 ) ( 32 ) ( 32 ) ( 32 ) ( 32 ) = 3[ ] 6. Cada una de las siguientes operaciones es un cociente de potencias de la misma base. ¿Cuál es el resultado de cada operación expresado como una potencia? 24 = (2) (2) (2) (2) = 2[ 22 (2) (2)

]

104 = (10) (10) (10) (10) = 10[ (10) (10) (10) 103 3 (7) (7) (7) 7 = = 7[ ] (7) (7) (7) (7) (7) 75

]

a) A partir de los cálculos anteriores, escriban algebraicamente, en su cuaderno, una regla general para expresar el cociente de dos potencias de la misma base. 7. De manera grupal, discutan lo siguiente: 23 = 23 – 3 = 20 23 1 1 (2) (2) (2) 23 = = = 5 (2) (2) 22 (2) (2) (2) (2) (2) 2 a) ¿20 es igual a 1? 1 b) ¿ 2 es equivalente a 2–2? 2 c) ¿21 es igual a 2? 23 22

=

(2) (2) (2) 2 =2 = (2) (2) 1

d) De acuerdo con lo anterior, completen las siguientes afirmaciones: Todo número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a . Todo número elevado a la potencia 1 es igual . Todo número elevado a una potencia con exponente negativo es igual al cociente de la unidad entre la potencia con exponente .

26

B L O Q U E

1

T em a: P r oblema s mult iplicat ivos


e) Comparen sus enunciados con los de otros equipos y argumenten sus afirmaciones. En caso de que tengan dudas, coméntelas con todo el grupo y lleguen a una sola conclusión.

¬

Notación científica con potencias positivas y negativas

Reúnete con un compañero y con una calculadora científica realicen lo siguiente:

1 £ 103

1. Introduzcan la siguiente expresión: (8 £ 102)(7 £ 102) y anoten el

10 £ 10 £ 10

1 000

1 10

0.1

1 £ 102

resultado. Luego introduzcan en la calculadora 56 £ 10 [ ] con el expo-

1 £ 101

nente que asignaron y verifiquen que los resultados coincidan.

1 £ 100

De acuerdo con lo anterior, respondan lo siguiente:

1 £ 10¡1

a) ¿Qué significa que estos resultados coincidan?

1 £ 10

b) ¿Cuáles son los símbolos que usaron en la calculadora para escribir una potencia?

¡2

1 £ 10{3

2. Completen la Tabla 3. Luego verifiquen sus respuestas con la calculadora científica.

0.01 0.001 Tabla 3

3. Escribe en forma desarrollada el número 6.5 £ 10 {9. Comparen sus respuestas con las de otras parejas y comenten qué significan los símbolos que usaron en su calculadora.

En la cima Resuelve los siguientes problemas. 1. Los resultados de las siguientes operaciones pueden ser expresados como una sola potencia, encuentra diferentes maneras de hacerlo, en caso de que sea posible. b) (22 ) (24 ) (32) = a) (3)3 (35) (9) = 2 3 c) (–2 + 6) (4 ¡ 2) =

23

d)

(3)2 (3)3 = 33

2. Sabiendo que la velocidad de la luz es de 3 × 105 km/s calcula lo siguiente, expresa el resultado en notación científica: a) ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un minuto? b) ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en una hora? c) ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un día? d) Si la distancia media del Sol a la Tierra es de aproximadamente 149 600 000 kilómetros, ¿cuánto tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? e) ¿Cómo llegaron a las respuestas de las preguntas anteriores? Reúnete con algún compañero y comparen sus resultados, en caso de que no coincidan, verifiquen sus procedimientos. Si tienen alguna duda pidan ayuda a su profesor. En el siguiente espacio escriban las reglas para calcular los productos y cocientes de potencias enteras positivas. Posteriormente, indiquen su utilidad.

E j e : Se n t id o n um éric o y pensam iento a lge br a ico

27


Destreza y estrategia 1. Con base en las reglas de las potencias construidas anteriormente, expresa el resultado de las siguientes operaciones como una sola potencia. Luego verifica con tu calculadora. a) ( 21 )4 = b) (43 )4 = c) (102 )3 = d)

53 = 51

e)

45 = 45

f)

108 = 103

2. ¿Qué número debe ir en cada recuadro para que las igualdades sean correctas? a) [ ]7 £ [ ]9 = 9 [ ] b) [ ]6 £ [ ]9 = 515 c) [

]10 £ 10 [

]

= 1011

[ ] e) 7 = 73 [ ]7

g) ( [

]2 )[

]

= [

83 =8 8[ ]

d)

f) ( 63 ) 5 = 6 [ ]2 × [

]

= 920

h)

[ [

]×[

]

=6

[

]

]4 = 30 ]4

Al terminar, reúnete con algunos de tus compañeros y verifiquen si obtuvieron las mismas respuestas. En caso de que haya diferencias, verifiquen si están aplicando correctamente las reglas de los exponentes. Si tienen dudas, coméntenlas con su profesor.

Coevaluación Intercambia tu libro con alguno de tus compañeros con quienes trabajaste para evaluar el desempeño de ambos durante el desarrollo de esta lección. Aspectos a considerar

NO

Observaciones

Tuvo interés y colaboró en los cálculos de las operaciones de potencias de potencias y del cociente de potencias. Participó en la formulación de las reglas generales para simplificar una potencia elevada a otra potencia y para expresar como una potencia el cociente de dos potencias de la misma base. Analizó las propuestas de los demás equipos. Escuchó con atención y respeto la intervención de sus compañeros.

Analiza las observaciones hechas por tu compañero y considéralas para mejorar tu participación en las siguientes actividades.

28

B L O Q U E

1

T em a: P roble ma s mult iplicat ivos


LecciĂłn 3

Rectas paralelas y ĂĄngulos Explor a Resuelve el siguiente problema 1.La siguiente imagen corresponde a una torre de luz, la cual es una estructura de metal que se utiliza como elemento de soporte de la red de transporte de energĂ­a elĂŠctrica; es decir, es la parte del sistema de suministro elĂŠctrico encargada de llevar hasta los puntos de consumo y a travĂŠs de grandes distancias la energĂ­a elĂŠctrica generada en las centrales elĂŠctricas. Analiza en la Figura 1 sus caracterĂ­sticas y contesta lo que se solicita. a) ÂżQuĂŠ tipo de lĂ­neas se identifican en la torre de luz? b) Indica las formas geomĂŠtricas que reconoces en la estructura de la torre de luz. c) Prolonga las rectas resaltadas en rojo, ÂżcĂłmo son ĂŠstas al prolongarlas? d) ÂżQuĂŠ caracterĂ­sticas tienen este tipo de rectas? ÂżCĂłmo se llaman? e) Ahora, prolonga la recta azul, ÂżquĂŠ nombre recibe este tipo de recta? Investiga en un material impreso o electrĂłnico el nombre que recibe este tipo de recta. Compara tus respuestas con las de tus compaĂąeros con la ďŹ nalidad de llegar a acuerdos.

)DENTIlCACIĂ˜NÂŹDEÂŹRELACIONESÂŹ ENTREÂŹLOSÉNGULOSÂŹQUEÂŹSEÂŹFORMANÂŹENTREÂŹDOSÂŹRECTASÂŹPARALELASÂŹ CORTADASÂŹPORÂŹUNAÂŹTRANSVERSALÂŹ *USTIlCACIĂ˜NÂŹDEÂŹLASÂŹRELACIONESÂŹ ENTREÂŹLASÂŹMEDIDASÂŹDEÂŹLOSÉNGULOSÂŹINTERIORESÂŹDEÂŹLOSÂŹTRIÉNGULOSÂŹÂŹ YÂŹPARALELOGRAMOSÂŹ

Figura 1

2. Describan algunos ejemplos en los cuales el uso de segmentos de algĂşn material colocados en ciertas posiciones forman estructuras Ăştiles en la vida cotidiana como la torre de luz. Registren al menos tres ejemplos, tomen como guĂ­a la Tabla 1 constrĂşyanla en su cuaderno. Ejemplos Torre de luz

DescripciĂłn Estructuras en formas triangulares, trapezoidales, rectas paralelas, rectas transversales, etcĂŠtera.

Nexos %NÂŹLAÂŹPRIMARIAÂŹESTUDIASTEÂŹLAÂŹIDENTIlCACIĂ˜NÂŹDEÂŹRECTASÂŹPARALELAS ÂŹSECANTESÂŹ YÂŹ PERPENDICULARESÂŹ ENÂŹ ELÂŹ PLANO ÂŹ ASĂ“ÂŹ Tabla 1 COMOÉNGULOSÂŹRECTOS ÂŹAGUDOSÂŹYÂŹOBTUSOSÂŹ ,OÂŹ ANTERIORÂŹ SERɏ DEÂŹ UTILIDADÂŹ recta PORQUEÂŹENÂŹESTAÂŹLECCIĂ˜NÂŹESÂŹNECESARIOÂŹ ANALIZARLOSÂŹALÂŹMISMOÂŹTIEMPOÂŹ ÂŹ

a) Argumenten quĂŠ tipos de ĂĄngulos se forman cuando una transversal corta a dos rectas paralelas. b) Reflexionen sobre quĂŠ sucede si esta misma situaciĂłn se desarrolla con rectas que no son paralelas. Con su profesor escriban una conclusiĂłn de lo discutido en las dos Ăşltimas preguntas.

E j e : F o r m a , e spac io y m edida

29


En construcción En la resolución de los problemas anteriores han argumentado con respecto a los tipos de ángulos que se forman cuando una recta, llamada transversal, corta a un par de rectas paralelas. Con base en lo que han construido, resuelvan los siguientes planteamientos. 1. Rubén y Alejandro trazaron dos líneas paralelas que son cortadas por una transversal, como se muestra en la Figura 2a.

A B

D F

C

E

B C

H G

A F

D

E G

H

Figura 2 a)

b)

Con apoyo de sus instrumentos de medida, contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es la medida de los ángulos rojos? b) ¿Cuál es la medida de los ángulos verdes? c) ¿Cuál es la suma de la medida de un ángulo verde y un ángulo rojo? d) Elijan uno de los vértices. s¬ ¿Cuántos ángulos se forman en este? s¬ ¿Qué ángulos tienen la misma medida? s¬ De los ángulos que tienen la misma medida, ¿qué posición guardan entre sí con respecto al vértice donde se forman? e) ¿Qué medida tienen los ángulos A y E, así como D y H? s¬ ¿Qué relación guardan entre sí los ángulos A y E, así como D y H con respecto a la recta que corta las dos transversales? s¬ Con base en lo anterior que relación guardan los ángulos B y F, así como C y G? f) Discutan los resultados obtenidos y registren sus conclusiones acerca de la medida de los ángulos verdes y rojos. 2. Rubén realizó la construcción de la Figura 2b. a) ¿Cuál es la medida de los ángulos rosas? ¿Y de los ángulos azules? b) ¿Cuál es la suma de un ángulo rosa y un ángulo azul? c) Con base en el trabajo que han realizado en la Figura 2a y 2b, ¿qué ángulos son iguales entre sí? Registren sus respuestas en su cuaderno. d) ¿Cuántos ángulos se forman en la región que hay entre las dos rectas paralelas cortadas por la transversal? s¬ De los ángulos que son iguales entre sí, ¿describan qué posición es la que ocupan con respecto a la transversal? e) ¿Cuántos ángulos se forman en la región que no está entre las dos rectas paralelas cortadas por la transversal? s¬ De los ángulos que son iguales entre sí, ¿describan qué posición es la que ocupan con respecto a la transversal? f) Con ayuda de su profesor argumenten sus respuestas. ¿Qué conclusión pueden registrar al respecto? g) Contrasten sus conclusiones con la información de la página siguiente:

30

B L O Q U E

1

T em a: F i gur a s y cuer pos


Cuando dos rectas paralelas son atravesadas por una recta transversal se forman varios tipos de ángulos. Ángulos alternos: son los ángulos determinados por una secante que corta a dos rectas y que están situados en A lados distintos de ella. Los que se ubican dentro de la región D B del plano delimitada entre las dos rectas se llaman ángulos C alternos internos, los que están situados fuera de esta reE gión se denominan ángulos alternos externos. H Ángulos opuestos por el vértice: son los ángulos que F G comparten el vértice, son opuestos entre sí, y cada lado pertenece a una misma recta y tienen la misma medida. Ángulos correspondientes: dichos ángulos tienen la Figura 3 misma medida y se encuentran sobre un mismo lado de la recta transversal. En la Figura 3 son ángulos correspondientes el ángulo A y el ángulo E. Las conclusiones que obtuvieron en las actividades 1 y 2 se cumplen en general para los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Organicen sus conclusiones en la Tabla 2. Propiedad Ángulos alternos internos Ángulos alternos internos Suma de la medida de ángulos alternos internos Suma de la medida de ángulos alternos internos Tabla 2

3. Para cada caso, obtén las medidas de los ángulos faltantes; además identifica y nombra cada ángulo.

e=4x `=97º

x

_=123º

Figura 4

s¬$ISCUTAN¬EL¬PROCEDIMIENTO¬EMPLEADO¬Y¬LA¬RELACIØN¬ENTRE¬LOS¬ÉNGULOS¬INTERNOS¬Y¬EXternos que se forman al cruzar dos rectas paralelas con una transversal. Después registren en su cuaderno las conclusiones a las que llegaron.

E j e : F o r m a , e spac io y m edida

31


4. Con su transportador, obtengan la medida de cada uno de los ángulos de los triángulos de la Figura 5. Anoten sus resultados en la Tabla 3.

C

E

A

Figura 5

B

Triángulo

Ángulo 1

Ángulo 2

D

Ángulo 3

Suma de la medida de los tres ángulos

A B C D Tabla 3

E

a) En su cuaderno registren, ¿qué tipo de triángulo es cada uno de los que se relacionan en la tabla? b) ¿La suma de los ángulos internos de un triángulo obtusángulo, es la misma que la suma de los ángulos internos de un triángulo equilátero? c) Discutan: si miden otros cinco triángulos con características diferentes ya sea por sus lados o por sus ángulos, ¿cómo será la suma de la medida de sus ángulos internos? s¬ Con base en ello, redacten en su cuaderno una regla que permita saber cómo son los ángulos de cualquier triángulo y qué sucede al sumar sus medidas. d) Para comprobar la regla que redactaron, tracen en el siguiente espacio cinco triángulos diferentes por sus lados y/o ángulos.

s¬ Compartan sus construcciones y resultados con el resto de la clase y, con la orientación de su profesor, registren sus conclusiones.

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1

T em a: F i gur a s y cuer pos


5. Con su transportador, obtengan la medida de cada uno de los ángulos de los siguientes paralelogramos y nómbrenlos. Empleen estos datos para completar la Tabla 4.

Figura 6

Anoten sus resultados en la siguiente tabla: Paralelogramo

Ángulo 1

Ángulo 2

Ángulo 3

Ángulo 4

Suma de la medida de los 4 ángulos

Tabla 4

a) ¿En qué casos los paralelogramos coinciden en la medida de sus ángulos? b) Discutan las características de los ángulos, tratando de identificar diferencias y semejanzas. c) Si miden los ángulos de otros cinco paralelogramos, ¿cómo es la suma de la medida de sus ángulos interiores? d) Con base en ello, establezcan una expresión algebraica que permita saber cómo son los ángulos de cualquier paralelogramo y qué sucede al sumar sus medidas. e) Para comprobar la validez de la expresión algebraica que establecieron, tracen al menos tres paralelogramos y verifiquen si se cumple. Compartan sus resultados con el resto de la clase y, con ayuda de su profesor, registren sus conclusiones sobre la suma de los ángulos de un paralelogramo.

E j e : F o r m a , e spac io y m edida

¬ Visita la siguiente página electrónica sobre paralelogramos http://roble.pntic.mec.es/jarran2/ cabriweb/cuadri_paral1.htm. Analiza la información que presenta en el programa interactivo y realiza lo que ahí se solicita. Después escribe algunas ideas generales sobre el tema estudiado. Comparte tus ideas y, con la ayuda del maestro, escribe una conclusión general. (Última consulta: 4 de septiembre de 2012; 16:18 horas).

33


En la cima 1. Reunidos en parejas, jueguen memorama de ángulos y formas geométricas. Para ello, reproduzcan las tarjetas de la Figura 8. Las tarjetas que dicen: “Son dos ángulos opuestos” y “Son ángulos consecutivos”, deben reproducirlas tres veces cada una. Es condición del juego que se justifique, con los argumentos discutidos durante la lección, cada selección de las tarjetas consideradas par. Gana quien logre reunir la mayor cantidad de parejas.

Son dos ángulos opuestos

Son ángulos consecutivos

Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo

70º

Los ángulos interiores de cualquier triángulo miden 180o

110º 110º

45º

65º

126º Los ángulos consecutivos suman 180o

70º 110º

Los cuatro ángulos interiores de cualquier paralelogramo suman 360o

54º

54º

126º

Figura 7

Discutan en grupo sus experiencias. Durante el juego, anoten sus dificultades o dudas y compártanlas con el resto del grupo para que, con ayuda de su profesor, sean aclaradas. Escriban sus conclusiones sobre las características de los triángulos y paralelogramos.

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B L O Q U E

1

T em a: F i gur a s y cuer pos


Destreza y estrategia En parejas, resuelvan lo siguiente: 1. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de la Figura 8, si el ángulo 1 mide 55º? A 6

B 1

2

2. Analiza la Figura 9 y calcula la medida de los ángulos que se indican.

b=65º

5

4

D

|

e d c

3 C

Figura 8

a=130º Figura 9

Compara tus resultados con otras parejas y discute con tus compañeros la manera como pueden emplear las relaciones entre las medidas de los ángulos en triángulos, paralelogramos y rectas paralelas cortadas por una secante, en la resolución de problemas.

Coevaluación Intercambia tu libro con alguno de tus compañeros con quienes trabajaste para evaluar el desempeño de ambos durante el desarrollo de esta lección. Aspectos a considerar

NO

Observaciones

Mostró interés en realizar las actividades. Colaboró en la redacción las conclusiones para identificar los ángulos que se forman al intersecar dos rectas paralelas por una transversal. Argumentó sus respuestas y escuchó con atención y respeto la intervención. Comunicó al grupo y al profesor de manera clara su argumento e hipótesis con respecto a las relaciones entre la medida de los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos.

Analiza las observaciones hechas por tu compañero y considéralas para mejorar tu participación en las siguientes actividades.

E j e : F o r m a , e spac io y m edida

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Lección 4

Posibilidades de construcción de triángulos Explor a Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Nuestro entorno cuenta con innumerables formas de la naturaleza de forma triangular. El hombre, a su vez, usa como base el triángulo en sus construcciones. Debido a ello, es necesario conocer las condiciones de posibilidad y unicidad en su construcción. Para ello, es ineludible considerar la medida de sus lados y la medida de sus ángulos interiores. 1. Discutan otros usos de los triángulos en la construcción y en otras disciplinas. Tomen como referencia la imagen de la Figura 1. Fachada en onda

Fachada triangular 1

Nexos

Fachada triangular 2

En el Bloque 1 del primer grado de secundaria, trazaste triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Las técnicas utilizadas serán útiles para el estudio de esta lección.

Figura 1 Figura 2

2. En la Figura 2 se muestran los tipos de fachada que se proponen para la marquesina de una casa. Analicen sus características y reproduzcan un triángulo resaltado en azul. a) Discutan en parejas el procedimiento empleado para reproducir el triángulo azul. ¿Qué datos necesitaron? b) Obtengan la medida de cada uno de los lados del triángulo azul. ¿Cuál es la medida de cada lado? c) Supongan que el lado del triángulo que coincide con la barra roja mide 2 cm más, ¿se puede construir el triángulo? Realicen la construcción y registren sus resultados. Comparen sus respuestas y, con la ayuda de su profesor, escriban una conclusión en su cuaderno.

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T em a: F i gur a s y cuer pos


En construcción 1. Analicen si con los datos dados en la Tabla 1 se puede construir un triángulo. Después, en su cuaderno, construyan cada uno y en la última columna de la tabla escriban los argumentos que justifiquen si fue posible, o no, la construcción. Triángulo

Medida de los lados

A

1 cm, 2 cm y 3 cm

B

2 cm, 2 cm y 2 cm

C

5 cm, 6 cm y 7 cm

D

9 cm, 10 cm y 14 cm

Se puede o no construir

Argumentos de la construcción

Tabla 1

a) Comenten qué tipo de triángulo se forma en cada uno de los casos. Registren sus argumentos. b) ¿Qué sucede cuando la suma de la medida de dos lados es menor a la medida del tercer lado del triángulo construido en cada caso? c) ¿Qué sucede cuando la suma de la medida de dos lados es mayor a la medida del tercer lado del triángulo construido? d) Comenten sobre sus respuestas. ¿Qué conclusión pueden registrar al respecto? 2. Construyan en sus cuadernos los triángulos que cumplan con las siguientes condiciones: a) Las medidas de sus tres lados son iguales. b) La medida de uno de sus lados es menor a la suma de los restantes. Para ello determinen las medidas que consideren adecuadas. c) ¿Cuál es la medida del tercer lado de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 3.5 cm? d) ¿Cuál es la medida del tercer lado de un triángulo rectángulo cuyos lados perpendiculares miden 5 cm y 6 cm? e) Comparen sus respuestas y sus construcciones, retomen en la discusión qué estrategia se utilizó para construir los triángulos y la posibibilidad de anticipar si un triángulo se puede construir según la medida de sus lados. Compartan sus reflexiones sobre las construcciones realizadas con la finalidad de llegar a acuerdos.

E j e : F o r m a , e spac io y m edida

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3. Miguel realizó algunos trazos para obtener un triángulo, mientras que Matías utilizando otra estrategia también trazó su triángulo. Estas figuras se muestran a continuación.

Matías Miguel

Figura 3

a) ¿Son iguales los triángulos? ¿En qué son diferentes? b) Midan los lados y los ángulos, ¿a qué conclusión pueden llegar? c) En su cuaderno construyan los triángulos con las medidas que se indican en la Tabla 2, después argumenten por qué sí se pudieron construir. Medida de los lados

Se puede o no construir

Argumentos de la construcción

4 cm, 4 cm, 4 cm

12 cm, 14 cm, 15 cm

9 cm, 8 cm, 12 cm

4.5 cm, 5.5 cm, 6.6 cm Tabla 2

d) ¿Qué tipos de triángulos construyeron? e) Reflexionen qué sucede cuando la suma de la medida de dos lados es mayor a la medida del tercer lado. Comparen y argumenten sus respuestas, validen sus conclusiones en grupo y después regístrenlas en su cuaderno. 4. Escribe la medida faltante para que se pueda construir cada triángulo: a) 8 cm, 8.7 cm, y porque: 3 b) 1 cm, cm y porque: 2 4 c) 5 ft, 4 ft, y porque: d) 9 cm, y porque: e) Comparte tus respuestas con tus compañeros y discutan la validez de los argumentos para escoger el valor de los datos faltantes. f) Contesten en su cuaderno las siguientes preguntas: Las medidas que escribieron, ¿son las mismas? ¿Por qué sucede esto? Compartan sus construcciones y valídenlas en grupo.

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5. Analicen los triĂĄngulos de la Figura 4, completen la Tabla 3 con los datos que se solicitan y ďŹ nalmente contesten las preguntas en su cuaderno.

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Figura 4

TriĂĄngulo

Lado 1

Lado 2

Lado 3

Ă ngulo 1

Ă ngulo 2

Ă ngulo 3

RectĂĄngulo IsĂłsceles EquilĂĄtero

Tabla 3

a) ÂżQuĂŠ triĂĄngulo tiene un ĂĄngulo con medida de 90°? b) Selecciona la opciĂłn que da respuesta a la pregunta: ÂżcĂłmo son las medidas de los ĂĄngulos de un triĂĄngulo isĂłsceles? sÂŹ4ODOSÂŹSONÉNGULOSÂŹMENORESÂŹAÂŹÂŞ sÂŹ4ODOSÂŹSONÉNGULOSÂŹMAYORESÂŹAÂŹÂŞ sÂŹ4IENEÂŹUNÉNGULOÂŹDEÂŹÂŞÂŹYÂŹDOSÉNGULOSÂŹMENORESÂŹAÂŹÂŞ sÂŹ.INGUNAÂŹDEÂŹLASÂŹANTERIORES c) ÂżCĂłmo son las medidas de los ĂĄngulos de un triĂĄngulo equilĂĄtero? d) Si se tiene un triĂĄngulo con medidas 8 cm, 6 cm y tiene un ĂĄngulo de 90°, Âżde quĂŠ tipo de triĂĄngulo se trata? sÂŹz#UÉLÂŹESÂŹLAÂŹMEDIDAÂŹDELÂŹLADOÂŹFALTANTE e) Si se tiene un triĂĄngulo cuyas medidas de sus ĂĄngulos son de 60°, Âżde quĂŠ tipo de triĂĄngulo se trata? f) Discutan en grupo quĂŠ aspectos deben considerar si se traza un triĂĄngulo escaleno con base en la medida de sus ĂĄngulos. sÂŹz#UÉLESÂŹSONÂŹLASÂŹMEDIDASÂŹDEÂŹSUSÂŹLADOS sÂŹ 0ARAÂŹ VALIDARÂŹ SUSÂŹ RESPUESTASÂŹ CONSTRUYANÂŹ ELÂŹ TRIÉNGULOÂŹ ENÂŹ SUÂŹ CUADERNO ÂŹ DEÂŹ SERÂŹ NECESARIOÂŹ corrijan y registren sus acuerdos. 6. Realicen en su cuaderno las siguientes construcciones con las medidas que se indican. Una vez que concluyan, compĂĄrenlas con las de sus compaĂąeros de equipo. Argumenten y justiďŹ quen sus respuestas para obtener conclusiones. a) Dadas las medidas 8 cm, 9 cm y 10 cm, que corresponden a los lados de un triĂĄngulo, construyan todos los triĂĄngulos diferentes que sea posible. b) Dados los siguientes segmentos AB = 6 cm y BC = 9 cm, tracen un triĂĄngulo y digan cuĂĄl es la medida del tercer lado. c) Dados los segmentos de recta AB = 6 cm y BC = 9 cm y sabiendo que el ĂĄngulo comprendido entre ellos es 55Âş, tracen un triĂĄngulo y digan cuĂĄl es la medida del tercer lado. d) El segmento AB = 6 cm y en los extremos del segmento se trazan ĂĄngulos de 65Âş y 45Âş, respectivamente. Tracen un triĂĄngulo y digan cuĂĄl es la medida del tercer ĂĄngulo. Compartan con otros equipos sus respuestas y construcciones. Comenten los argumentos para validar cada construcciĂłn. Con ayuda de su profesor, obtengan conclusiones sobre la unicidad en la construcciĂłn de triĂĄngulos.

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En la cima 1. Para todos los casos comprueba tu respuesta realizando, en tu cuaderno, las construccciones necesarias. a) Se sabe que un triángulo tiene tres ángulos de 45°, ¿se puede construir el triángulo? b) ¿Se puede construir un triángulo cuyos tres lados miden 7 cm y sus tres ángulos miden 60°? c) ¿Se puede construir un triángulo cuando dos lados miden 12 cm y un ángulo 90°? d) Construye un triángulo cuyas medidas de sus ángulos son 18° y 35°, ¿cuál es la medida del tercer ángulo? Ê UÊ· Õ?˜ÌœÊ“ˆ`iÊV>`>Ê՘œÊ`iÊÃÕÃʏ>`œÃ¶ 2. Registren sus conclusiones sobre las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones de triángulos. a) Escriban cuándo es posible construir un triángulo conociendo la medida de sus lados. b) Escriban cuándo es posible construir un triángulo conociendo la medida de sus ángulos. c) Completen la Tabla 4, indicando si es verdadero o falso que se puede obtener un triángulo único con los datos de construcción indicados. Datos conocidos:

Verdadero

Falso

La medida de los tres ángulos. La medida de los tres lados. La medida de dos lados cualquiera. La medida de dos ángulos cualquiera. La medida de dos ángulos y el segmento que los une. La medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Tabla 4

De manera grupal, orientados por el profesor, redacten una síntesis acerca de las condiciones para la construcción de triángulos con base en ciertos datos. Escriban sus conclusiones en el siguiente espacio.

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B L O Q U E

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Destreza y estrategia 1. Construye en tu cuaderno los siguientes triángulos. Identifica sus características y determina si alguno de ellos no se puede construir. s¬80°, 45° y 55° s¬4 cm, 12 cm y 18 cm s¬90°, 17 cm y 22 cm s¬1°, 10 cm, 10 cm s¬180°, 2 cm y 6 cm s¬120°, 50° y 15 cm Con la ayuda de tu profesor analiza y compara tus procedimientos con los del grupo y obtengan una conclusión.

En la dirección electrónica, “Geometría-Actividades Asistentes”, http://www.gobiernodecanarias.org/ educacion/3/Usrn/matematicas/Geometria/Actividades/inicio.htm, revisen la actividad número 8, Construcción de triángulos; encontrarán información y actividades útiles para consolidar los contenidos de esta lección. También pueden acceder a la dirección electrónica http://www.eskola20.org/sd/eso/mat/poligonos_triangulo/materiales/actividades/es/07_imposible.html. Analicen la información que se presenta en el programa interactivo y realicen lo que ahí se solicita. Después escriban algunas preguntas o ideas generales sobre el tema estudiado y con ayuda de su profesor compártanlo con el resto del grupo para llegar a conclusiones. (Última consulta: 4 de septiembre de 2012; 05:37 horas).

Coevaluación Intercambia tu libro con alguno de tus compañeros con quienes trabajaste para evaluar el desempeño de ambos durante el desarrollo de esta lección. Aspectos a considerar

NO

Observaciones

Mostró interés en realizar las actividades, construyendo los triángulos con base en los datos proporcionados. Comentó con claridad sus procedimientos personales para la construcción de triángulos. Argumentó sus respuestas y escuchó con atención y respeto las intervenciones de sus compañeros. Identificó de manera clara las posibilidades de construcción y unicidad de triángulos.

Analiza las observaciones hechas por tu compañero y considéralas para mejorar tu participación en las siguientes actividades.

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