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V

MATEMÁTICA Unidad 5 UTILICEMOS LA INFORMACIÓN. Trabajemos con ecuaciones.

Objetivos de la unidad: Recolectarás, organizarás, graficarás e interpretarás la información del entorno, a fin de ser utilizada en la toma de decisiones de interés personal y/o social, valorando con criticidad la opinión de los demás. Propondrás alternativas de solución a situaciones problemáticas de índole escolar, económica y social, utilizando ecuaciones enteras y fraccionarias de primer grado.

55


Ecuaciones

Estadística sus

procesos de:

Conceptos básicos

Recopilación , organización y presentación de la información

sus Elementos

Enteras

Medidas de centralización

Gráficos a través de:

Histograma

Primer grado pueden ser:

mediante Tablas de distribución

de

una de ellas Polígono de frecuencias

Media aritmética

Descripción del proyecto Al finalizar la unidad podrás ayudar a resolver una situación financiera que involucra ecuaciones de primer grado.

56 Matemática- Octavo Grado

Fraccionarias


Lección 1

Quinta Unidad

Estadística, organización de información Motivación

Don Roberto, profesor de tercer ciclo de un centro escolar,

desea tener información relacionada con sus estudiantes, por ejemplo cuántos son por sexo, cuántos por años cumplidos; para ello, pregunta a 50 estudiantes, la edad, el sexo y obtiendo la siguiente información: Número de Edad ( años) estudiantes 13 12 Masculino 14 15 Femenino 15 17 Total 16 06 Total 50 Ahora tú puedes contestar por ejemplo las siguientes preguntas: ¿Cuántos estudiantes en total tienen 15 años? ¿Cuántos estudiantes tienen 13 o 14 años? ¿Cuántos estudiantes son señoritas? Sexo

Número de estudiantes 22 28 50

Indicadores de logro: Describirás y explicarás los términos estadísticos población, censo, encuesta y muestra con confianza. Diferenciarás y explicarás con seguridad las variables discretas y las variables continuas.

Recolectarás información estadística (de campo) con respeto, orden y aseo. Construirás tablas de distribución de datos para variables discretas con orden y aseo, y las explicarás con seguridad.

Estadística Estadística es el método científico mediante el cual se recopilan, clasifican, presentan, analizan e interpretan datos numéricos obtenidos de hechos reales y a partir de ellos se infieren conclusiones lógicamente aceptables. ¿Qué estudia la estadística? Estudia las características de cantidad de datos para conocerlos y poder tomar decisiones adecuadas relacionadas con ellos.

¿Qué le interesa a la estadística y en que es aplicable? Le interesan los fenómenos colectivos o de grupo, no datos aislados. Es aplicable a una amplia variedad de disciplinas, como Ciencias Físicas, las Ciencias Sociales, las ciencias de la salud y otras, y es usada para la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales.

Octavo Grado - Matemática 57


UNIDAD 5 Conceptos básicos Tomando la situación anterior, tienes que los estudiantes de tercer ciclo son una parte de todos los estudiantes del centro escolar. Entonces tienes que todos los estudiantes del centro escolar forma la población en estudio y los 50 estudiantes de tercer ciclo, seleccionados son una parte de ellos y se llama muestra. Los aspectos estudiados son el sexo y la edad, estos son llamados variables. Definimos: Población: grupo o conjunto de elementos que presentan una misma característica, que será el objeto de estudio Muestra: es una parte representativa de la población total de estudio, o también se dice que es un subconjunto o parte de la población tomado al azar; para que la muestra tenga validez cada elemento o unidad tomada de la población tiene que tener igual oportunidad de ser escogido.

En este ejemplo tiene un concepto nuevo y es el de frecuencia. La frecuencia, es el número de veces que aparece un determinado valor de la variable. En este caso el estudio se ha realizado a partir de toda la población, cuando esto sucede se dice que se ha realizado un censo, por ejemplo el censo de población llevado a cabo en nuestro país en el año 2007. Entonces, tienes que censo es un método de recolección de datos mediante el cual la información se obtiene de la totalidad de los elementos que componen la población o universo bajo estudio, realizándose simultáneamente en toda la población. Un censo es equivalente a una fotografía de la población bajo estudio.

Variable: es la característica objeto de estudio que puede ser el resultado de medir o contar, que toma diferentes valores y el valor que representa es un dato.

Ejemplo 1 Reconoce los conceptos anteriores en la siguiente situación: el profesor de octavo grado de una escuela quiere conocer la estatura promedio de sus estudiantes.

Solución: Toma en cuenta que: El conjunto de todos los estudiantes de octavo grado, es la población. La estatura, que es la característica de estudio, es la variable. La estatura de cada estudiante en particular, es un dato. Hay estaturas que se repiten varias veces, entonces el número de veces que se repite una misma estatura, es la frecuencia.

58 Matemática- Octavo Grado

Ejemplo 2 Analiza la siguiente situación: determina los conceptos estudiados y la forma de recolectar la información. Se desea investigar sobre el equipo de fútbol salvadoreño que tiene más afición, para lo cual se consulta a 60 personas aficionadas a este deporte.


UNIDAD 5 Solución: Para recolectar la información resulta difícil, preguntarle a todos los aficionados al fútbol, cuál es su equipo preferido, entonces, se toma una muestra de 60 aficionados. Los conceptos que utilizas son: La muestra: 60 personas consultadas. El equipo preferido: FAS, Águila, Firpo, Alianza, etc, es la variable. El número de personas que elige que equipo es preferido, es la frecuencia.

Variable discreta y continua Con anterioridad conoces que la variable es la característica objeto de estudio que puede ser el resultado de medir o contar y que toma diferentes valores. En ejemplos presentados tienes varios casos donde se reconocen variables que han sido estudiadas tales como: Edad, el sexo, la estatura, los equipos de fútbol; notarás que algunas de ellas la representas por números, otras por una característica. Las que representan una característica o atributo se le llama cualitativas y la que se refieren a números, cuantitativas. Por el momento sólo estudiarás y trabajarás con las variables cuantitativas.

Ejemplo 3 Determina la variable en cada una de las situaciones: a) La edad de los estudiantes de noveno grado que

realizaron las pruebas de logros en el año 2008.

b) El tiempo de duración de un televisor. c) El peso en libras de 25 personas. d) El número de hermanos que tienen los estudiantes de

séptimo grado.

Te das cuenta que todas las variables se refieren a cantidades. En este ejemplo notarás que algunas variables solamente puedes expresarlas con números enteros, por ejemplo el números de hermanos, mientras que otras puedes expresarla con números decimales, tal como el peso. A partir de esto tienes que las variables cuantitativas se dividen en discretas y continuas.

Variables discretas Es la que toma valores discretos o aislados por lo general números enteros. También podemos decir que es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar, son el resultado de contar.

Ejemplo 4 Determina la variable discreta en cada caso. a) El número de hermanos y hermanas que tienen los

docentes de una institución educativa.

b) El número de obras literarias leídas durante el

tercer ciclo. c) El número de monedas que tiene una persona. d) La cantidad de palabras escritas en forma correcta.

Solución:

Solución:

Las variables discretas en cada caso son:

a) La edad de los estudiantes.

a) Número de hermanos y hermanas.

b) El tiempo.

b) Número de obras literarias.

c) El peso en libras.

c) Número de monedas.

d) El número de hermanos.

d) Cantidad de palabras.

Octavo Grado - Matemática 59


UNIDAD 5 Variables continuas Son las variables que pueden adquirir o tomar cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Se dice también que son aquellas que resultan de medir. Por ejemplo el peso, la altura, etc.

1

Actividad

Determina las variables discretas y continuas en las siguientes situaciones: a) El peso en kilogramos de los estudiantes de octavo grado. b) La estatura en centímetros de los estudiantes de tercer ciclo. c) El número de vehículos que lavan diariamente en un

estacionamiento.

d) Las edades en años de los docentes de un centro escolar.

Recopilación de información

Ejemplo 5 Determina la variable continua en cada caso. a) Los cambios de temperatura que marca

El profesor de matemática asigna a sus estudiantes de octavo grado un trabajo de investigación, para el cual los organiza en equipos y distribuye el trabajo así: El equipo 1 investigará las profesiones u oficios de los padres de familia de sus compañeros y compañeras de sección.

un termómetro.

b) El peso de los estudiantes de segundo año

de bachillerato.

c) Consumo de gasolina por cada 100 km de recorrido. d) Los salarios de los empleados de una fábrica.

Solución: Las variables continuas en cada caso son: a) Cambios de temperatura. b) Peso de los estudiantes. c) Cantidad de gasolina consumida. d) Salarios de los empleados.

60 Matemática- Octavo Grado

El equipo 2 investigará el número de estudiantes por grado desde primero hasta noveno grado del año 2007 en los registros de la escuela. El equipo 3 investigará la cantidad de alumnas y alumnos egresados de noveno grado durante los últimos 5 años, en este centro educativo.


UNIDAD 5

Para efectuar los trabajos de investigación, los alumnos y las alumnas realizarán una recolección o recopilación de la información necesaria para llevar a cabo dicha investigación.

En ambos casos puedes utilizar la entrevista, el cuestionario y otros instrumentos que te faciliten la recolección de la información. Debes saber que la información puede obtenerse de forma directa o de primera mano, pero hay situaciones que se tiene que recurrir de forma indirecta, consultar archivos, revistas o periódicos registros.

La recolección de la información depende en gran medida del tipo de investigación y el problema que se estudia.

Entonces tienes que la recolección de la información puede realizarse en forma primaria (directa de campo) y secundaria (bibliográfica).

Esta fase del trabajo incluye: seleccionar un instrumento de medición válido y confiable, aplicar el instrumento y codificar las mediciones o datos.

En la situación anterior, sobre los trabajos de investigación asignados por el profesor de octavo grado, los equipos 1 y 4 realizarán una investigación de campo; mientras que la 2 y 3, tendrá que ser secundaria.

El equipo 4 investigará sobre el número de hermanas y hermanos de sus compañeros y compañeras.

En estadística se emplean una variedad de métodos distintos para recoger o recolectar información de lo que se desea investigar. La recolección de datos se refiere al uso de una gran diversidad de técnicas y herramientas que pueden ser utilizadas por el investigador para desarrollar los sistemas de información, los cuales pueden ser el censo, la encuesta y otros.

Censo Es un método de recolección de datos mediante el cual la información se obtiene de la totalidad de los elementos que componen la población o universo bajo estudio.

Recopilación de información primaria o de campo La recolección de campo o primaria es la que se obtiene de forma directa por medio de encuesta, entrevistas, observaciones o indagaciones etc. Éstas pueden ser obtenidas de primera mano en forma directa de la población. En la situación anterior, sobre los trabajos de investigación asignados por el profesor de octavo grado, los equipos 1 y 4 realizarán una investigación de campo, porque tendrán que preguntar a sus compañeros de manera directa sobre la información que les correspondió investigar. Ejemplos de este tipo de recopilación pueden ser: a) Los pesos de los estudiantes de octavo grado de un

centro de estudio.

b) Las edades de los estudiantes de sexto grado de un

centro educativo.

c) El número de hijos de los trabajadores de

Encuesta Es un método de recolección mediante el cual la información se obtiene relevando sólo un subconjunto o muestra de elementos del universo en estudio, que permite obtener información sobre el mismo.

una empresa.

d) El número de hermanos de los estudiantes de

octavo grado.

Octavo Grado - Matemática 61


UNIDAD 5 Recopilación de información de archivo o secundaria Esta recopilación de información es la que se extrae de libros, periódicos, revistas, registros, etc. Tomado los trabajos de investigación asignados a los grupos 2 y 3, es secundaria, ya que para recolectar la información tendrán que consultar los archivos que lleva el centro educativo.

Tienes entonces: Número de hermanos o hermanos de los estudiantes de octavo grado del centro escolar. Números de hermanas y hermanos

Recuento

No. de alumnos y alumnas (frecuencia)

0 1 2 3 4 5 Total

IIII

5 8 10 8 7 2 40

IIII III IIII IIII IIII III IIII II II

Observa que los datos se organizaron en la tabla.

Ejemplos de recopilación de información secundaria: a) El número de estudiantes egresados de bachillerato

en un Instituto Nacional del departamento de La Libertad.

b) El número de fallecidos durante un año en

determinada ciudad del país.

c) El número de niños y niñas nacidos en el hospital

de maternidad.

Organización de la Información Ejemplo 6 Recordarás que al equipo 4 le correspondió investigar sobre el número de hermanos y hermanas de sus compañeros, y recolectaron la siguiente información: 3, 4, 0, 1, 3, 2, 4, 5, 2, 1, 0, 2, 4, 3, 1, 4, 2, 3, 0, 1, 2, 4, 1, 3, 0, 5, 2, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 0, 2, y 3.

Solución: Primero organiza los datos en una tabla, ordenados de menor a mayor, realiza el recuento y luego obtienes el número de veces que se repite cada número de hermanos/hermanas a esto le llamamos frecuencia.

62 Matemática- Octavo Grado

La organización de la información se hace por medio de tablas de fácil interpretación, que faciliten el análisis estadístico. Por ejemplo, en este caso, en forma fácilmente puedes observar que el mayor número de compañeros y compañeras tiene sola 2 hermanos o hermanas, 5 hermanos o hermanas tienen 2 de sus compañeros.

2

Actividad

De los siguientes enunciados identifica cuáles son información primaria o secundaria a) El porcentaje de personas que ven los noticieros matutinos en

San Salvador.

b) El número de damnificados que hubieron para la erupción

reciente del volcán de Santa Ana.

c) El tiempo de servicio de los docentes de tu centro escolar. d) La cantidad de egresados por carrera durante los últimos 3

años de una universidad privada del país.

e) El número de habitantes de los países centroamericanos. f) El número de hermanos y hermanas de tus compañeros

de grado.


UNIDAD 5 En esta sección estudias la organización de variables discretas.

Tienes entonces:

Ejemplo 7 En octavo grado se le pidió a un estudiante que sacará las monedas de la alcancía del aula y recolectaron las siguientes: 10, 5, 1, 25, 5, 10, 1, 5, 10, 25, 1, 10, 5, 10, 1, 25, 10, 5, 1, 5, 10, 5, 25, 10, 1, 5, 10, 1, 25, y 10.

Solución: Primero organiza los datos en una tabla, ordenados de menor a mayor, realiza el recuento y luego obtienes el número de veces que se repite cada denominación (frecuencia).

Monedas

Recuento

Número de monedas (frecuencia)

1 5 10 25 Total

IIII II

7 8 10 5 30

IIII III IIII IIII IIII

¿Qué puedes interpretar de esta información? El mayor número de monedas corresponde a las de 10 ctvs. El menor número de monedas corresponde a las de 25 ctvs.

Actividad

3

Organiza en una tabla de datos la siguiente información: Número de hijos o hijas que tiene 40 familias: 3, 5, 4, 2, 1, 2, 0, 2, 3, 1, 2, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, 0, 2, 0, 4, 3, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 3, 2, 4, 3, 1, 3, 2, 5, 1, 3, y 6. Luego responde: a) ¿Cuántas familias tienen más hijos o hijas? b) ¿Cuántos hijos o hijas tiene la mayoría de las familias?

Resumen Conceptos Población Variable Dato Frecuencia Muestra

Descripción Conjunto de elementos que presentan una misma característica, que será el objeto de estudio. Característica que puede tomar diferentes valores. Valor o característica que asume una variable en un elemento particular. Número de veces que aparece un determinado valor de la variable. Parte de una población.

Octavo Grado - Matemática 63


UNIDAD 5

Autocomprobación El peso de una persona. b) La estatura de los alumnos. c) Número de empleados de una empresa. d) Tiempo de duración de un televisor. a)

Conjunto de personas u objetos que poseen una misma característica, representa: Variable. b) Población. a)

4

De los siguientes ejemplos, el que involucra una variable continua es: El número de billetes de $5.00 que circula en el país. b) El tiempo que tarda en resolver un examen de matemáticas. c) El número de estudiantes graduados por sexo. d) El número de casas construidas en una colonia.

c) Muestra. d) Dato.

Un ejemplo de recopilación de información secundaria es: El número de estudiantes de noveno grado que realizaron la prueba de logros en 2008. b) Las estaturas de los estudiantes de octavo grado de un centro de estudio. c) El número de maestros y maestras por sexo del centro escolar donde tú asistes. d) La cantidad de monedas que tienen diez de tus compañeros.

a)

a)

1. c.

2

3

El dato que representa una variable discreta es:

Soluciones

1

2. b.

3. b.

4. a.

UNO DE LOS COMIENZOS DE LA ESTADÍSTICA Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en el antiguo Egipto, cuyos faraones lograron recopilar, hacia el año 3050 antes de Cristo, prolijos datos relativos a la población y la riqueza del país. De acuerdo al historiador griego Heródoto, dicho registro de riqueza y población se hizo con el objetivo de preparar la construcción de las pirámides. En el mismo Egipto, Ramsés II hizo un censo de las tierras con el objeto de verificar un nuevo reparto. En el antiguo Israel la Biblia da referencias, en el libro de los Números, de los datos estadísticos obtenidos en dos recuentos de la población hebrea. Heródoto

64 Matemática- Octavo Grado


Lección 2

Quinta Unidad

Gráficas y medidas Motivación

E

n un proyecto de salud, el director de un centro escolar, recolectó el peso en libras de 60 alumnosy alumnas de tercer ciclo; desea presentar esta información en una tabla de frecuencia y forma gráfica en un histograma. Además quiere conocer la media aritmética de dichos pesos. ¿Puedes tú ayudarle?

Indicadores de logro: Determinarás y explicarás con confianza los límites inferior y superior de una clase en una tabla de distribución de frecuencias. Determinarás y explicarás con seguridad el rango de una distribución de frecuencias. Determinarás y explicarás el número de clases y el ancho de clase (en una tabla de datos) con confianza. Obtendrás y explicarás con precisión la frecuencia absoluta (en una tabla de datos). Determinarás y explicarás con seguridad, la marca de clase

o punto medio, frecuencia relativa y frecuencia acumulada, utilizando la fórmula. Resolverás problemas utilizando la información de la tabla de distribución de datos para variable continua. Resolverás problemas interpretando gráficas estadísticas: histograma y polígono de frecuencias. Determinarás y explicarás con confianza la media aritmética y sus características para variables discretas y continuas. Resolverás problemas aplicando la media aritmética.

Tablas de distribución de frecuencias Retomando la situación anterior, ¿qué debe hacer el director del centro escolar? Después de recolectar la información pedida; presentarla en una tabla de frecuencia. Los datos son: 120, 105, 130, 112, 108, 100, 118, 122, 110, 119, 128, 135, 123, 115, 118, 140, 136, 115, 150, 114, 120, 110, 118, 120, 125, 118, 160, 148, 122, 138, 155, 139, 125, 118, 108, 125, 110, 134, 148, 133, 128, 112, 124, 146, 138, 123, 115, 128, 105, 112, 126, 138, 142, 106, 111, 121, 131, 142, 130, 120.

de datos en una tabla de distribución de frecuencias formada por grupos de datos. Primero debes ordenar los datos ya sea en forma creciente o decreciente, en este caso lo harás de forma creciente.

Solución:

100, 105, 105, 106, 108, 108, 110, 110, 110, 111, 112, 112, 112, 114, 115, 115, 115, 115, 118, 118, 118, 118, 118, 119, 120, 120, 120, 120, 121, 122, 122, 123, 123, 124, 125, 125, 125, 126, 128, 128, 128, 130, 130, 131, 133, 134, 135, 138, 138, 138, 139, 140, 142, 142, 146, 148, 148, 150, 155, 160

Con anterioridad elaboraste tablas de datos para conocer con facilidad la frecuencia de cada dato. Ahora, verás como organizar o resumir una cantidad grande

Ahora, tienes que decidir cuántos grupos quieres formar, estos pueden ser entre cinco y alrededor de doce. En este caso puedes formar siete grupos.

Octavo Grado - Matemática 65


UNIDAD 5 Luego, para formar los grupos, tienes que encontrar la diferencia entre el mayor y el menor de los datos recolectados, es decir: Valor mayor – valor menor que corresponde a 160 – 100 = 60 A esta diferencia se le llama amplitud o rango de los datos. Como ya conoces la amplitud o rango y ya tienes definido el número de grupos a formar, entonces, divides el rango entre el número de grupos. 160 – 100 60 Es decir: = = 8.75 como el resultado 7 7 posee parte decimal, y es más conveniente trabajar con enteros, entonces en este caso puedes aproximar al inmediato superior, o sea que 8.57 ≈ 9 Procedes ahora, a formar los 7 grupos o clases, iniciarás con el menor de los datos, que en este caso es 100, y se consideran los números de manera continua aunque no estén representados en la serie. Considera los pesos entre 100 y 108

99.5 100 Límite inferior real

Límite inferior aparente (li)

108 108.5

Límite superior aparente (ls)

Límite superior real

Observa que el ancho entre 100 y 108 es de 9, que coincide con el que encontraste en la fórmula anterior. Trabajas con los límites aparentes y observas que el ancho es 8. En general se cumple: ls – li = c – 1. Luego, al menor valor le sumas c − 1. Es decir 100 + 8 = 108 y así la primera clase es 100 – 108 . La segunda clase la formas así: le sumas c = 9 a 100 y a éste el valor 8. La segunda clase es 109 − 117. Continúa este procedimiento.

66 Matemática- Octavo Grado

Formas con los grupos una tabla como la siguiente: Peso (en libras) 100 − 108 109 − 117 118 − 126 127 − 135 136 − 144 145 − 153 154 − 162 Total

Frecuencia (alunmos/as) 6 12 20 9 7 4 2 60

A la par de cada grupo colocas el número de datos que corresponde, de acuerdo a la serie ya ordenada. Es decir, cuentas el número de datos que cae dentro de cada grupo, incluyendo los extremos a la cantidad de datos encontrado se le llama frecuencia. Luego la tabla de datos formada se le llama tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados.

Clase, límites de clase, ancho de clase, marca de clase Observa la tabla de distribución de frecuencias construida anteriormente. Cada uno de los grupos formados, se les llama clase, por ejemplo: 100 − 108, 109 − 117, 118 − 126, son alguna clases formadas. Cada clase tiene dos extremos, llamados límites así: En la clase 100 − 108, 100 es el límite inferior (li) y 108, el límite superior (Is) Tiene entonces que en toda clase el menor dato es el límite inferior y el dato mayor es el límite superior. A estos límites se les llama límites aparentes. Tal como se aprecia en la recta numérica anterior para la primera clase. Pero también tienes límites reales que se obtienen restando 0.5 al límite inferior y sumando 0.5 al límite superior.


UNIDAD 5 Solución:

Observa como aparecen en la tabla: Clases Peso (en libra) 100 − 108 109 − 117 118 − 126 127 − 135 136 − 144 145 − 153 154 − 162 Total

Clases Límites reales 99.5 − 108.5 108.5 − 117.5 117.5 − 126.5 126.5 − 135.5 135.5 − 144.5 144.5 − 153.5 153.5 − 162.5

Frecuencia (alumnos/as) 6 12 20 9 7 4 2 60

El ancho de clase o intervalos de clase, es igual a la diferencia del límite real superior menos el límite real inferior: i = ls − li Para su cálculo puedes tomar cualquiera de las clases de la tabla, por ejemplo si tomas la tercera clase y efectúas la resta tienes: i = 126.5 – 117.5 = 9; puedes tomar otra clase y el resultado siempre será el mismo, esto indica que el ancho de clase es 9, o sea i = 9

Ejemplo 1 Los resultados de una prueba de suficiencia presentada por 50 alumnos y alumnas en el programa EDÚCAME para octavo grado fue: 47 58 50 59 51 42 45 53 33 31 48 50 66 63 48 28 55 40 55 33 39 37 47 49 51 39 67 45 35 60 54 49 50 59 43 44 45 47 53 51 34 33 50 36 35 48 40 46 42 39. Organiza la información en una tabla de distribución de frecuencias agrupadas en 8 clases, determina: a) Los límites reales. b) El ancho de clase. c) Las marcas de clase o puntos medios.

Primero ordenas de menor a mayor: 28 31 33 33 33 34 35 35 36 37 39 39 39 40 40 42 42 43 44 45 45 45 46 47 47 47 48 48 48 49 49 50 50 50 50 51 51 51 53 53 54 55 55 58 59 59 60 63 66 67 Luego encuentras la amplitud o rango, en este caso 67 – 28 = 39. Formarás 8 clases, entonces calculas el ancho de Amplitud o rango 67 − 28 clase i = = Número de clases 8 39 4. 875 ≈ 5, tienes que cada clase incluye 5 = 8 datos, incluyendo los extremos. La tabla de distribución de clases y frecuencias te queda así: Resultados (clases) 28 − 32 33 − 37 38 − 42 43 − 47 48 − 52 53 − 57 58 − 62 63 − 67 Total

No. de alumnos/as (frecuencia) 2 8 7 9 12 5 4 3 50

Luego de organizar las clases con sus respectivas frecuencias, procedes a resolver: a) Recordarás que los límites reales los obtienes

restando 0.5 al límite aparente inferior y sumando 0.5 al limite aparente superior.

b) Encuentra el ancho de clase:

i = ls − li tomas cualquier clase y efectúas la resta 47.5 − 52.5 = 5

Octavo Grado - Matemática 67


UNIDAD 5 c) Ahora calcularás los puntos medios o marcas de

clase: Pm

Resultados (clases) 28 − 32 33 − 37 38 − 42 43 − 47 48 − 52 53 − 57 58 − 62 63 − 67 Total

Límites reales 27.5 − 32.5 32.5 − 37.5 37.5 − 42.5 42.5 − 47.5 47.5 − 52.5 52.5 − 57.5 57.5 − 62.5 62.5 − 67.5

No. de alumnos/as (frecuencia) 2 8 7 9 12 5 4 3 n = 50

Estos se obtienen sumando el límite inferior y superior de cada clase, luego dividiendo este resultado entre 2 Pm = li + ls = 28 + 32 = 60 = 30 = 30

2

2

2

Este corresponde para la primera clase, para la segunda es: li + ls 33 + 37 70 = = = 35 2 2 2 El resultado es el mismo con límites aparentes o si trabajas con límites reales. Continúa tú haciendo los siguientes cálculos, entonces la tabla tiene una columna más, así: Resultados (clases)

Límites reales

No. de alumnos/as (frecuencia)

28 − 32 33 − 37 38 − 42 43 − 47 48 − 52 53 − 57 58 − 62 63 − 67 Total

27.5 − 32.5 32.5 − 37.5 37.5 − 42.5 42.5 − 47.5 47.5 − 52.5 52.5 − 57.5 57.5 − 62.5 62.5 − 67.5

2 8 7 9 12 5 4 3 n = 50

68 Matemática- Octavo Grado

Pm =

li + ls 2

30 35 40 45 50 55 60 65

1

Actividad

a) Los siguientes datos que corresponde

a las estaturas de 50 estudiantes de II ciclo de educación básica; organiza una tabla de distribución de frecuencias de 7 clases, calcula los límites reales y el punto medio o marca de clase.

124 131 140 157 124 131 134 113 158 124 131 142 150 117 130 132 145 110 160 127 133 148 158 120 125 163 160 134 146 117 125 135 145 161 128 136 162 114 120 162 148 128 138 152 115 120 150 138 158 y 156.

Frecuencia absoluta, relativa, y acumulada Observa los ejemplos anteriores. Recordarás que cuando formaste la tabla de distribución de frecuencia, a cada clase le colocaste el número de veces que aparecen los datos entre los límites de dicha clase. Este número se le llama frecuencia absoluta de una clase. Dicha frecuencia se representa con la letra “fi”. La suma de todas las frecuencias da como resultado el total de datos recolectados.

Ejemplo 2 Encuentra la frecuencia relativa y la frecuencia acumulada con los datos organizados en la tabla de frecuencias que corresponde a los resultados obtenidos por un grupo de estudiantes en la prueba de suficiencia en el programa EDÚCAME.

Solución: La frecuencia relativa se calcula mediante el cociente de la frecuencia absoluta entre y el total de datos observado f fr. = , es decir divide cada frecuencia absoluta entre el n f 2 total de datos así: fr. = = = 0.04 n 50 f 8 fr. = = = 0.16 n 50 f 7 fr. = = = 0.14 n 50


UNIDAD 5 Continúa haciendo los cálculos y ubícalos en la columna correspondiente en la tabla. Resultados (clases) 28 − 32 33 − 37 39 − 42 43 − 47 48 − 52 53 − 57 58 − 62 63 − 67 Total

fi

(frecuencia)

2 8 7 9 12 5 4 3 50

0.04 0.16 0.14 0.18 0.24 0.1 0.08 0.06

Ahora, trabajarás con la frecuencia acumulada (fa) correspondiente a una clase es la suma de las frecuencias absolutas de esa clase con las frecuencias de todas las clases anteriores a él, que aparecen en la tabla. Resultados (clases)

fi

(frecuencia)

fa

28 − 32 33 − 37 39 − 42 43 − 47 48 − 52 53 − 57 58 − 62 63 − 67 Total

2 8 7 9 12 5 4 3 50

0.04 0.16 0.14 0.18 0.24 0.1 0.08 0.06

2 10 17 26 38 43 47 50

Actividad

2

Calcula la frecuencia relativa y la frecuencia acumulada en las situaciones siguientes: a) Prueba de admisión, 60 estudiantes.

Puntajes 42 − 49 50 − 57 58 − 65 66 − 73 74 − 81 82 − 89 90 − 97 Total

fi 2 8 9 15 7 11 8 60

b) Pesos en libras, de 40 estudiantes:

Pesos 118 − 123 124 − 129 130 − 135 136 − 141 142 − 147 148 − 153 154 − 159 Total

fi 1 10 8 4 9 4 4 40

Observa, la primera frecuencia acumulada coincide con la primera frecuencia absoluta y la última con el total de datos.

Octavo Grado - Matemática 69


UNIDAD 5

Histograma

Polígono de frecuencia

Ejemplo 3 Representa por medio de un histograma la información de la tabla de distribución de frecuencia que representa los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en una prueba de logros.

Solución:

Puntajes (clases) 28 − 32 33 − 37 39 − 42 43 − 47 48 − 52 53 − 57 58 − 62 63 − 67 Total

fi 2 8 7 9 12 5 4 3 50

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras unidas, en el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, que están dados en clases, entonces se colocan los límites reales de cada clase.

Gráfica lineal que une los puntos medios de cada clase en un conjunto de datos con su correspondiente frecuencia. El polígono de frecuencias se construye fácilmente si tienes representado previamente el histograma, ya que consiste en unir mediante líneas rectas los puntos del histograma que corresponden a las marcas de clase. Para representar el polígono de frecuencias en el primer y último intervalo, supones que adyacentes a ellos existen otros intervalos de la misma amplitud, con frecuencia cero para unir el polígono al eje horizontal.

3

Actividad

Construye el histograma y el polígono de frecuencias con la siguiente información: a)

Este tipo de gráfico, se utiliza cuando se estudia una variable continua, como edades, altura, peso, calificaciones, etc. En el eje de las abscisas “x” se ubican las clases, tomas una regla y mides a escala de igual tamaño tantas clase tenga la información. Y en el eje vertical “y” ubicas las frecuencias. Esta gráfica te proporciona una información de forma sintetizada donde puedes observar cuales fueron los menores puntajes, así como el mayor puntaje obtenido.

70 Matemática- Octavo Grado

Medidas 17.5 − 21.5 21.5 − 25.5 25.5 − 29.5 29.5 − 33.5 33.5 − 37.5 37.5 − 41.5 Total

fi 10 6 10 8 9 7 50

b)

Puntajes 50 − 57 58 − 65 66 − 73 74 − 81 82 − 89 90 − 97 Total

fi 6 8 11 15 7 3 50

Media aritmética Ejemplo 4 Milton desea encontrar la media aritmética de sus notas obtenidas en el segundo trimestre: Matemática 7, Ingles 7, Sociales 8, Ciencia Salud y Medio Ambiente 9, Lenguaje y literatura 8.


UNIDAD 5 Solución: Como se trata de una serie de datos simple, entonces, recordarás que se obtiene sumando todos los datos, luego divides este resultado entre el número de datos:

Esto nos indica que X = 123.32 es decir, que la media aritmética del peso de los estudiantes es igual a 123.32 libras

X 1 + ,… , + X n donde X1 +,…+ Xn son los datos y n n es el número total de datos, aplicas la fórmula y calculas la media aritmética, así: 7 + 7 + 8 + 9 + 8 39 X= = = 7.8 por lo tanto su 5 5 promedio (media aritmética) es igual a X = 7.8 X=

Ahora observa para una serie de datos agrupados:

Ejemplo 5 Encuentra la media aritmética del peso de los estudiantes dado en la siguiente tabla de frecuencia.

(Peso en libras) 100 − 109 110 − 119 120 − 129 130 − 139 140 − 149 150 − 159 160 − 169 Total

Solución: En este caso lo primero que tienes que hacer, es

fi 6 17 18 1 6 2 1 51

calcular el punto medio de cada intervalo de clase, el cual después tienes que multiplicarlo por su respectiva frecuencia. Pmf La fórmula que utilizarás es X = ∑ n Como n = 51 y ∑ Pmf = 6289.5 entonces sustituyes los datos en la fórmula X = ∑ (Peso en libras)

f

100 − 109 110 − 119 120 − 129 130 − 139 140 − 149 150 − 159 160 − 169 Total

6 17 18 1 6 2 1 51

Pmf 6289.5 = = 123.32 n 51 Pm

Pmf

104.5 627 114.5 1946.5 124.5 2241 134.5 134.5 144.5 867 154.5 309 164.5 164.5 6289.5

4

Actividad

Encuentra la media aritmética en las situaciones siguientes: a) Puntajes obtenido en una b) Pesos en libras de 40 Prueba personas Puntajes 41 − 47 48 − 54 55 − 61 62 − 68 69 − 75 76 − 82 83 − 89 Total

fi 2 8 10 13 7 11 9 60

Pesos 118 − 123 124 − 129 130 − 135 136 − 141 142 − 147 148 − 153 154 − 159 Total

fi 1 10 8 4 9 4 4 40

Resumen Una tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados, está formada por grupos de datos llamadas clases, cuyos extremos se les llama límites de clase; a cada una le corresponde una frecuencia, llamada frecuencia absoluta, pero también se puede calcular frecuencia relativa: fr =

f y la frecuencia acumulada (fa) que es n

igual a la suma de las frecuencias absolutas de esa clase con las frecuencias de todas las anteriores a ella. Con estos datos agrupados se realizan representaciones gráficas como el histograma que está formado por una serie de barras unidas y la gráfica lineal que une los puntos medios de cada clase en un conjunto de datos con su correspondiente frecuencia, se construye fácilmente si tienes representado previamente el histograma.

Octavo Grado - Matemática 71


UNIDAD 5

Autocomprobación

1

2

Representa el punto medio de la quinta clase: 77 b) 77.5 c) 74.5 d) 81.5 a)

65 b) 57.5 c) 58 d) 65.5

La media aritmética de los puntajes corresponde a:

4

Corresponde a la mayor frecuencia relativa: 0.033 b) 0.15 c) 0.25 d) 0.12 a)

72.43 b) 8.57 c) 69.5 d) 8.1 a)

2. a.

3. b.

fi 2 8 9 15 7 11 8 60

3

a)

obtenidos por 60 estudiantes de noveno grados en la prueba de logros: Puntajes 42 − 49 50 − 57 58 − 65 66 − 73 74 − 81 82 − 89 90 − 97 Total

El límite real superior de la tercera clase es:

1. d.

Utiliza la información presentada en la siguiente tabla y responde puntajes

Soluciones

4. c.

LOS BABILONIOS Y LA ESTADÍSTICA Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a. de C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque.

72 Matemática- Octavo Grado


Lección 3

Quinta Unidad

Ecuaciones Motivación

P

iensa un número cualquiera. Multiplica el número pensado por cuatro. Suma seis al resultado. A este nuevo resultado réstale dos. Divide entre cuatro el resultado anterior. ¿Cuánto obtuviste? Si tu resultado fue seis, es porque pensaste en cinco, si fue cuatro, pensaste en tres,… ¿Podrías expresar en símbolos lo anterior? Indicadores de logro: Interpretarás y explicarás con seguridad la ecuación algebraica a partir de operaciones con números reales. Interpretarás y explicarás con interés los elementos que forman una ecuación algebraica: variables, grado de la ecuación, raíz y conjunto solución.

En matemática aparecen constantemente relaciones que son llamadas igualdades. Son expresiones numéricas o algebraicas unidas por el signo igual. Observa algunas: 6 + 4 = 10; 7 + 8 = 15; 3 + 10 – 6 = 2 + 3; (2)2 + 3(2) – 10 = 0 x + 5 = 6; x2 – 2 = 7; x + 2y = − 4; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Si retomamos la situación anterior y pensó en 3:

(3 × 4 + 6 − 2) ÷ 4 = 4

(18 − 2) ÷ 4 = 4

16 ÷ 4 = 4

4=4

Una igualdad puede ser cierta o falsa.

Explicarás la relación y uso del lenguaje común con el algebraico valorando su importancia, en la construcción de ecuaciones de primer grado.

Por ejemplo: 6 + 4 = 10 es cierta porque al efectuar la suma obtienes el resultado indicado. 3 + 10 – 6 = 2 + 3 es falsa porque al efectuar las operaciones los resultados son diferentes. Ahora, cuando compras 3 cuadernos por un total de $6, ¿cuál es el costo de cada cuaderno? Algebraicamente puedes expresarlo así: 3x = 6 En este caso la igualdad puede ser cierta o falsa según los valores que le asignes a la variable x: para x = 2, es cierta, para los demás valores es falsa.

Octavo Grado - Matemática 73


UNIDAD 5 Términos

En el conjunto de igualdades se distinguen tres tipos: Identidad numérica, es una igualdad cierta entre números. Identidad literal, es una igualdad que es cierta para cualquier valor que se asigna a la variable. Recordarás que (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 en este caso puedes dar cualquier valor a las variables “x” , “y” y siempre obtendrás una igualdad. Si asignas x = 3 y = 2, al sustituir estos valores en la igualdad obtienes: (3 + 2)2 = 32 + 2(3)(2)+22

Son cada una de las cantidades que posee cada miembro conectadas tanto por los signos + ó - , los términos pueden ser algebraicos o aritméticos. Para el caso de la ecuación anterior:

2x + 10 – 5x = 2x – 4

El primer miembro 2x + 10 – 5x en total posee 3 términos, 2x, − 5x son algebraicos y 10 es un termino aritmético.

52 = 9 + 12 + 4; 25 = 25 lo cual es verdadero. Prueba en tu cuaderno para otros valores y te darás cuenta que siempre es verdadero.

El segundo miembro 2x – 4 pose en total dos términos 28 es algebraico y − 4 aritmético en total la ecuación tiene 5 términos: 3 algebraicos y 2 aritméticos.

Ecuación, es una proposición que señala la igualdad de dos expresiones algebraicas. Las ecuaciones surgen de situaciones cotidianas.

La ecuaciones pueden tener una o varias incógnitas y sus exponentes pueden ser 1, 2, 3, etc. En este caso solamente estudiarás aquellas que tienen una incógnita (variable).

Son ejemplos de ecuaciones: x + 3 = 2x – 5; 4x + 18 = x + 2 ¿Puedes dar otros ejemplos? Escríbelos en tu cuaderno.

Elementos de una ecuación Observa las siguientes ecuaciones: C = 2πr x + 12 = 28 x2 + 2x = 3 En cada uno de los ejemplos anteriores notarás que hay valores conocidos y valores desconocidos, estos últimos se conocen como incógnitas. Las incógnitas se representan por letras y expresan los valores desconocidos de la ecuación. Una ecuación posee miembros y términos.

Miembros Se le llama primer miembro de una ecuación a la expresión que esta a la izquierda del signo igual y segundo miembro, a la expresión que esta a la derecha. 2× + 10 - 5×

=

2× - 4

Miembro izquierdo

74 Matemática- Octavo Grado

Miembro derecho

Recordarás que en una expresión algebraica, la parte literal puede estar elevada a cualquier exponente, lo mismo sucede con las ecuaciones. Por ejemplo: La ecuación 5x – 2 = 8, tiene sólo una variable x y está elevada al exponente 1, se dice entonces que esta ecuación es de primer grado. En la ecuación x2 – 3x + 2 = 1, tiene una incógnita, pero está elevada al exponente 2, es una ecuación de segundo grado. En 5x3 + x2 – 4x + 6 = 15, es una ecuación de tercer grado porque el mayor exponente de la incógnita es 3. El grado de una ecuación esta dado por el mayor exponente que presente la incógnita. Ecuaciones de primer grado, se les conoce como ecuaciones lineales.


UNIDAD 5

Actividad

1

En cada una de las siguientes ecuaciones identifica los miembros y determina su grado: a) 4x3 + 2x2 = 20

c) 7y4 – 5y2 = y + 1

e) 5x2 + 2 = 3

3 = 0 4

d) x = 5

f) x5 + 4 = x3 − 3

b) 4x +

Raíz y conjunto solución Ejemplo 1 Encuentra el valor que puede asignársele a la variable en 6x – 3 = 15 para que la igualdad sea cierta.

Solución: Observa la ecuación: 6x – 3 = 15 Para que esta igualdad sea cierta, tienes que buscar un número que al multiplicarlo por 6 y luego restar 3, obtengas 15.

Punto de apoyo Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad. Para x = 1 6x – 3 = 15 6(1) – 3 = 15 6 – 3 ≠ 15 3 ≠ 15 La igualdad no se cumple

Para x = 3 6x – 3 = 15 6(3) – 3 = 15 18 – 3 = 15 15 = 15 La igualdad si se cumple

Para x = 5 6x – 3 = 15 6(5) – 3 = 15 30 – 3 ≠ 15 27 ≠ 15 La igualdad no se cumple

Entonces la variable x debe tomar el valor de tres para que la igualdad sea verdadera. Es decir: x = 3. Al valor de la variable que hace que la igualdad se cumpla se llama raíz de la ecuación. En este caso la raíz de la ecuación es 3. El conjunto solución, es el conjunto de todas las raíces o soluciones de una ecuación, las ecuaciones de primer grado o lineales, solamente tiene una raíz.

Octavo Grado - Matemática 75


UNIDAD 5 Ejemplo 2

Ejemplo 3

¿Puedes encontrar los valores que cumplen con la ecuación y2 – 4 = (y + 2) (y – 2)?

Encuentra el conjunto solución de la ecuación 2x + 3 = 7

Solución: Recordarás que y2 – 4 es una diferencia de cuadrados y que siempre es igual a: y2 – 4 = (y + 2)(y – 2) Esta igualdad siempre será cierta no importa los valores que se le asignen la variable. Sustituye algunos valores asignados a la variable y: a) para y = 3

y2 – 4 = (y + 2)(y – 2) 32 – 4 = (3 + 2)(3 – 2) 9 – 4 = (5) ( 1) 5 = 5 b) para y = – 2

y2 – 4 = (y + 2)(y – 2) (– 2)2 – 4 = (– 2 + 2)( (– 2 – 2) 4–4 = (0) (– 4) 0 = 0 Observa siempre se cumple la igualdad, verifícalo con otros valores. Ecuaciones como la de éste ejemplo, se llaman ecuación identidad, porque la igualdad se cumple para cualquier valor que se asigne a la variable. Su conjunto solución son todos los elementos de los números reales.

Solución: Resuelve para los siguientes valores de x: a) para x = 3

2x + 3 = 7 2(3) + 3 = 7 6 +3 ≠7 9 ≠ 7 no se cumple la igualdad b) para x = 2

2x + 3 = 7 2(2) + 3 = 7 4+3 =7 7 = 7 se cumple la igualdad c) para x = 4

2x + 3 = 7 2(4) + 3 = 7 8 +3 ≠7 11 ≠ 7 no se cumple la igualdad El conjunto solución de esta ecuación es {2} Ecuaciones como esta, donde la igualdad se cumple sólo para ciertos valores, reciben el nombre de ecuación condicionada.

Ejemplo 4 Encuentra la raíz de la ecuación 2x – 2x = 1

Solución: Asigna valores a x y sustitúyelos en la ecuación para encontrar el que cumpla la igualdad. Con seguridad no encontraste, ya que para cualquier valor que asignes a x siempre tendrás la resta de dos números iguales cuyo resultado es cero y no uno, por lo tanto no tiene solución. Este tipo de ecuaciones recibe el nombre de ecuación imposible; porque no tiene solución.

76 Matemática- Octavo Grado


UNIDAD 5 Ejemplo 5

¿Cuánto obtuviste?

Encuentra el conjunto solución de las ecuaciones 3x + 2 = 8; 6x + 4 = 16

Si tu resultado fue seis, es porque pensaste en cinco, si fue cuatro, pensaste en tres,…

Solución:

Muchas situaciones del entorno, como el anterior, pueden expresarse en lenguaje matemático, es decir como una ecuación.

Asigna valores a “x”, y sustitúyelos en cada una de las ecuaciones. Con seguridad encontraste que para 3x + 2 = 8, el valor que cumple la igualdad es para x = 2, entonces su conjunto solución es {2}

Para hacerlo, es necesario que aprendas a traducir frases de un lenguaje natural a expresiones algebraicas.

Ejemplo 6

Ahora, en 6x + 4 = 16, cuando x = 2 la igualdad se cumple, entonces el conjunto solución es {2}.

En un almacén aparecen los siguientes anuncios, represéntalos en una expresión algebraica.

Notarás que ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto solución.

a) Sólo hoy, llévate el segundo par de zapatos a mitad

de precio.

Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución se dice que son equivalentes.

Actividad

2

Asigna valores a x” para hacer cierta la igualdad. a) 5x = 16 – 3x

d) 7 + 2x = 5

b) 9x = 3 – 9x

e) 5 – 5x = – 7

c) 3x = 5x – 6

f) 9x – 5 = 85

b) Paga la camisa y llévate la corbata por la cuarta del

precio de la camisa.

Relación del lenguaje común con el lenguaje algebraico Expresa en símbolos el número que pensaste en el acertijo presentado al inicio de la lección. Piensa un número cualquiera. x Multiplica el número pensado por cuatro 4x Suma seis al resultado. 4x + 6 Ha este nuevo resultado réstale dos.

(4x + 6) – 2 ( 4x + 6 ) – 2 Divide entre cuatro el resultado anterior 4

Solución: Al expresar algebraicamente cada situación tienes: a) No aparece el precio del par de zapatos, entonces lo

representas por x, el segundo par a la mitad de éste, es x decir, 2 x b) El precio de la camisa es x y el precio de la corbata 4

Octavo Grado - Matemática 77


UNIDAD 5 Ejemplo 7

Solución:

Expresa en lenguaje algebraico la siguiente situación:

Primero determina a quién representa x.

Alicia, compra un litro de leche, una bolsa de cereal y una bolsa de azúcar. Por la leche paga la mitad del costo de la bolsa de cereal, y por el azúcar la cuarta parte del valor de la bolsa cereal.

La edad de Héctor es x. Julio tiene 5 años menos que Héctor, entonces, su edad es x – 5.

Solución: El precio de la leche y del azúcar, se relacionan con el precio del cereal, entonces: El precio del cereal es:

Lenguaje algebraico:

x 2 x Precio de la bolsa de azúcar: 4 Precio de la leche:

x +5 2 c) (a + b)2 b)

Expresa la siguiente situación en lenguaje algebraico: Héctor es el mayor de tres hermanos, Julio es menor 5 años que Héctor y Carlos tiene la mitad de la edad de Julio.

(a + b)2

x3 −

x 3

2x + (2x + 2)

x x + = 45 2 x = 22

78 Matemática- Octavo Grado

x g) x = 22 x3 − 3 e) 2x + (2x + 2) x f) x + = 45 2

a) x, x + 1, x + 2 d)

Ejemplo 8

x +5 2

Ejemplo 9

Completa con lenguaje común.

x

x, x + 1, x + 2

La edad de Carlos es la mitad de la de Julio, es decir: x –5 2

Solución: Siempre debes relacionar los datos con respecto a la incógnita, es decir a la variable x.

Tres números naturales consecutivos. La mitad de un número aumentado en cinco. El cuadrado de la suma de dos números. El cubo de un número disminuido en su tercera parte. La suma de dos números pares consecutivos. La suma de un número con su mitad es igual a cuarenta y cinco. La raíz cuadrada de un número es igual a dos al cuadrado.


UNIDAD 5

3

Actividad a) Traslada del lenguaje común al lenguaje algebraico:

Lenguaje común Un número El doble de un número Un número que aumentado Un número que disminuido La mitad de un número La tercera parte de un número Un número aumentado en su tercera parte Un número aumentado en dos es igual a 150 La cuarta parte de un número disminuido en su mitad. Expresa en lenguaje algebraico lo que se te pide en los siguientes enunciados. b) La tercera parte del dinero que tiene María es: $50.00.

3 para obtener 5 . 5 6 d) Una manzana, una pera y una naranja cuestan lo que vale una libra de uva. c) Agrega un número al numerador y denominador de la fracción

e) Dos pares de zapatos por el precio de uno y medio. f) El lado de un triángulo mide dos quintas partes del perímetro. g) Si el lado de un cuadrado se aumenta en 3 cm, su área se incrementará en 39 cm 2

Resumen En el conjunto de igualdades se distinguen tres tipos: Identidad numérica, es una igualdad cierta entre números. Identidad literal es una igualdad que es cierta para cualquier valor que se asigna a la variable. Ecuación es una proposición que señala la igualdad de dos expresiones algebraicas. El grado de una ecuación esta dado por el mayor exponente que presente la incógnita. Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

Octavo Grado - Matemática 79


UNIDAD 5

Autocomprobación

3

Grado 1 b) Grado 3 c) Grado 2 d) Grado 5

b) Identidad

Igualdad d) Término algebraico c)

a)

Término b) Variable c) Miembro d) Signo de igualdad

4

La mitad de un número aumentado en seis es igual el doble de dicho número, se expresa así: a)

x +6 2

b)

2x + 6 = x + 2

2. c.

Son los elementos que se encuentran a uno y otro lado de la ecuación:

El grado de la ecuación x3 – 3x5 + 5 = 2x2 es: a)

a) Ecuación

2

x +6 = 2x 2 x d) + 6 = 2x 2 c)

1. a.

Igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas, y que sólo es cierta para determinado valor numérico:

Soluciones

1

3. d.

4. d.

LOS ÁRABES Y LAS ECUACIONES Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo: Álgebra (del ár. algabru walmuqabalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval. Los matemáticos españoles llamaron a la cosa X.

80 Matemática- Octavo Grado


Lección 4

Quinta Unidad

Ecuaciones enteras Motivación

En la vida cotidiana constantemente te encuentras

con situaciones que para resolverlas se hace uso de ecuaciones. En un almacén aparece la siguiente oferta: Combo, llévate estos productos por el precio de $200 El vendedor explica a un cliente que el microondas tiene un precio de $65 más que la licuadora, y $ 32 más que la grabadora. Ayúdale tú a encontrar el precio de cada artículo.

Indicadores de logro: Construirás y explicarás con interés, ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita. Solucionarás con seguridad ecuaciones de primer grado con una incógnita, con y sin productos indicados.

Resolverás problemas utilizando ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.

Para ayudarle a encontrar el precio de cada artículo planteas: Si x es el precio del microondas, entonces x − 65 es el de la licuadora. x − 32 es el de la grabadora. El combo tiene el precio de $ 200. Entonces: x + (x − 65) + (x − 32) = 200 Una ecuación algebraica puede compararse con una balanza en equilibrio. Si agregas algo en uno de los platillos de la balanza, ya no hay equilibrio, entonces, para conservar el equilibrio debes agregar algo en el platillo que está en el otro lado. De la misma manera si quitas en un lado, también tienes que quitar en el otro.

Octavo Grado - Matemática 81


UNIDAD 5

Ecuaciones de primer grado con una incógnita Ejemplo 1

Solución:

Encuentra el conjunto solución de:

8x – 12x + 9 = 4x – 5x – 13 Ordenas los términos algebraicos y aritméticos en cada miembro.

9x + 14 = 86

Solución: Para encontrar la raíz de esta ecuación, puedes facilitar el proceso convirtiéndola en otra ecuación equivalente. Aplicas las propiedades de la igualdad de números reales, así: a) Si a los dos miembros de una ecuación sumas o

8x – 12x + 9 = 4x – 5x – 13 Reduces los términos semejantes. –4x + 9 = – x – 13

–4x + 9 – 9 = –x – 13 – 9 Ecuación equivalente.

restas un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación resultante es equivalente a la dada.

–4x = –x – 22

–3x = – 22

−3 x −22 = −3 −3

ecuación por un mismo número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente.

x=

−22 −3

Toma la ecuación equivalente anterior 9x = 72, entonces divides ambos miembros entre 9 y obtienes:

x=

22 3

b) Si multiplicas o divides los dos miembros de una

9 x 72 = es decir x = 8 9 9 El conjunto solución de la ecuación 9x + 14 = 86 es {8} o simplemente x = 8 Comprueba que la solución es correcta sustituyendo en la ecuación original. 9x + 14 = 86 9(8) + 14 = 86 72 + 14 = 86 86 = 86 se cumple la igualdad.

Ejemplo 2 Resuelve la ecuación 8x + 9 − 12x = 4x – 13 −5x

82 Matemática- Octavo Grado

Sumas x a ambos miembros.

– 4x + x = –x – 22 + x

9x + 14 = 86 si restas 14 a ambos miembros tienes una ecuación equivalente. 9x + 14 – 14 = 86 – 14, o sea 9x = 72

Restas 9 a ambos miembros de la ecuación.

Divides ambos miembros entre –3. Efectúas las operaciones. Aplicas ley de los signos.


UNIDAD 5 Ejemplo 3

Utiliza la forma abreviada:

Resuelve la ecuación 12x + 6 = 104 – 2x

6x – 5 = x + 30

Solución:

6x – x = 35 5x = 35 35 x= 5

En este caso observarás que los pasos que aplicaste en los ejercicios anteriores los puedes abreviar, así: Forma no abreviada 12x + 6 = 104 – 2x 12x + 6 – 6 = 104 – 2x – 6 12x = 98 – 2x 12x + 2x = 98 – 2x + 2x 14x = 98 14 x 98 = 14 14 x=7

Forma abreviada 12x + 6 = 104 – 2x 12x + 2x = 104 – 6 14x = 98 98 x= 14 x =7

Observa la forma abreviada y notarás lo siguiente: El término + 6 del miembro de la izquierda pasó como – 6 al miembro derecho.

¿Cómo resuelves la ecuación 4x + 17 – 2x = 2 – 3x + 6?

Solución: Resuélvela en tu cuaderno y compárala con la siguiente: 4x + 17 – 2x = 2 – 3x + 6 2x + 17 = –3x + 8 Reduces términos semejantes. 2x + 3x = 8 – 17 Realizas transposición de términos.

14 es el coeficiente de x, es un factor en el miembro izquierdo, pasó a dividir al miembro derecho.

Encuentra un número que multiplicado por 6 y disminuido en 5 unidades es igual al número aumentado en 30.

Verifícalo en la ecuación original.

Ejemplo 5

Ejemplo 4

Luego 5 pasa a dividir porque en el otro miembro estaba como factor.

x=7

El término – 2x del miembro izquierdo pasó como + 2x al miembro derecho.

El proceso anterior se conoce como una transposición de términos, que consiste en pasar los términos de un miembro de la ecuación al otro, haciéndoles cambio de signo, y pasando a dividir si está como factor.

Ahora tienes que x pasa a restar al otro miembro, porque sumaba.

5x = –9 −9 x= 5 x= −

Reduces de términos semejantes. Inviertes el factor, lo pasas a dividir.

9 5

Aplicas ley de signos.

La solución de 4x + 17 – 2x = 2 – 3x + 6 es x = −

Actividad

9 5

1

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 21 – 6x = 27 – 8x b) 65x – 36 + 1 = 11x + 5x

Solución:

c) 5n + 6n + 102 = −65n + 7n

Sea x: el número buscado 6x – 5: 6 veces el número disminuido en 5x + 30: el número aumentado en 30. Luego la ecuación a resolver es: 6x – 5 = x + 30

d) 7x + 16 + x – 5 = 1 – x + 11x – 3 e) 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x − 100 f) – 12x + 39x + 14 = 18x + 256 – 60x – 657x

Octavo Grado - Matemática 83


UNIDAD 5 Las ecuaciones de primer grado pueden estar planteadas con signos de agrupación.

Ejemplo 6 Resuelve 7y – (3 − 5y) + (− y + 24) = 3y − (2y – 1)

Solución: Primero suprimes los signos de agrupación. 7y – 3 + 5y – y + 24 = 3y – 2y + 1 Para suprimir los paréntesis tienes que aplicar la ley de los signos de la multiplicación. 7y + 5y – y − 3 + 24 = 3y – 2y + 1 Ordenas los términos algebraicos y aritméticos en cada miembro.

11y + 21 = y + 1

Reduces términos semejantes.

11y – y

Transpones términos.

10y

= 1 – 21 = − 20 −20 y= 10 y=–2

Reduces términos semejantes. Aplicas la ley de los signos para la división. Verifica esta respuesta.

Ejemplo 7 Resuelve 16x – [3x – (6 – 9x)] = 30x + [–(3x + 2) – (x + 3)]

Solución: 16x − [3x – (6 – 9x)] = 30x + [−(3x +2) – (x + 3) Suprimes los paréntesis. 16x − [3x − 6 + 9x] = 30x + [− 3x − 2 – x − 3] Suprimes los corchetes. 16x − 3x + 6 – 9x = 30x − 3x − 2 –x − 3

Ordenas los términos.

16x − 3x − 9x + 6 = 30x – 3x – x − 2 − 3

Reduces términos semejantes.

4x + 6

Transpones términos.

4x − 26x = −5 −6

− 22x

= 26x – 5

= − 11

11 x= 22 1 que es igual a x = 2

Comprueba la respuesta.

84 Matemática- Octavo Grado

Reduciendo.

Punto de apoyo a) Suprimes primero los signos de agrupación

que están más internos.

b) Recuerda la propiedad distributiva:

a (b + c) = ab + ac


UNIDAD 5 Ejemplo 8

Punto de apoyo

Resuelve 5(1 +2x) + 2(4x – 1) = 10 (x − 9) – 9(5 – 6x)

Solución: Primero efectúas los productos indicados: 5(1 + 2x) + 2(4x – 1) = 10 (x – 9) – 9(5 – 6x)

Puedes cambiar los signos de todos los términos de ambos miembros de la ecuación así: − 46x = − 138 equivale a: 46x = 138

Aplicas la ley distributiva del producto sobre la suma.

5 + 10x + 8x – 2 = 10x – 90 – 45 + 54x

10x + 8x + 5 – 2 = 10x + 54x – 90 – 45 18x + 3 = 64x – 135 18x – 64x = –135 – 3

–46x = –138 −138 x = −46 x =3

Ordenas términos semejantes. Haces transposición de términos. Reduces términos semejante.

El factor lo pasas a dividir y operas. Verifica la respuesta.

Resuelve los siguientes ecuaciones:

Actividad

a) – (3x + 3 ) + 8 = x – ( 2x + 1)

e) 5(x – 1) + 16(2x + 3) = 3(2x – 7) –x

b) 6x – (x + 2) + ( − x + 3) = − 10 + 15x

f) 2(x + 3) – 4(5x – 3)= –2(x + 5)

c) –(5x + 6) + (− 8+ 3x) = (− 5x + 4) + 30x –(− x + 6)

g) 7(18 – x) − 6(3 − 5x) + (7x + 9) + 3(2x + 5) = − 12

d) 3x +

[ −5x − ( x + 3 )] = 30 x + ( −5x − 9 )

2

h) 15x + (− 6x + 5) − 2 – (− x + 3) = − x + (3 – 2x) – (7x + 23)

Construcción de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Analiza la siguiente situación: La edad de Eva y Marta suman 64 años, y Eva tiene 10 años más que Marta. Encuentra ambas edades. Para resolver este problema debes pasar el lenguaje común al lenguaje algebraico. Primero tienes que reconocer quien representa la incógnita y quien está en función de ésta. En este caso tienes: x: edad de Marta. x + 10: edad de Eva, ya que tiene 10 años más que Marta. La suma de ambas edades es de 64 años.

Al expresarse en lenguaje algebraico tienes la ecuación siguiente: x + 10 + x = 64 x + (x + 10) = 64 Aplicas la forma x + x + 10 = 64 abreviada 2x = 64 − 10 2x = 54 54 x= 2 x = 27 Significa que la edad de Marta es 27 años y como Eva tiene 10 años más, entonces la edad de Eva es 27 + 10 = 37 Si sumas ambas edades tienes 27 + 37 = 64 R: La edad de Marta es 27 años y la de Eva 37 años.

Octavo Grado - Matemática 85


UNIDAD 5 Ejemplo 9

Ejemplo 10

Resuelve la siguiente ecuación que se te presentó al inicio de esta lección:

Un lazo mide 27 m, se corta en dos pedazos de manera que uno mida 3 m menos que el otro. Encuentra la longitud de los dos pedazos.

x + (x − 65) + (x − 32) = 200

Solución:

Solución: x + (x – 65) + (x – 32) x + x + x – 65 – 32 3x – 97 3x 3x

= 200 = 200 = 200 = 200 + 97 = 297 297 x = 3 x = 99

Entonces tienes que el precio del microondas es de $99.00 El precio de la licuadora es x – 65; sustituyes los datos: 99 – 65 = 34 El precio de la grabadora es x – 32; 99 – 32 = 67 Comprueba: Licuadora 99 – 32 = $ 67.00 Grabadora 99 – 65 = $ 34.00 Microonda 99 = $ 99.00 $200.00 R: Licuadora $ 67.00 Grabadora $ 34.00 Microonda $ 99.00

86 Matemática- Octavo Grado

Selecciona x para representar la medida en metros del pedazo más largo. El otro pedazo tiene 3 m menos que x, entonces lo representas por x – 3. Ahora, planteas la ecuación: x + (x – 3) = 27 27 m x

x−3

Eliminas paréntesis: x + x – 3 = 27 2x – 3 = 27 2x = 27 + 3 2x = 30 30 x= 2 x = 15 Significa que el pedazo más largo mide 15 m. Entonces el otro pedazo mide 15 m – 3 m = 12 m. Verifica: 15 m + 12 m = 27 m.


UNIDAD 5 Ejemplo 11 En la actualidad la edad de Elena es el triple de la edad de Roxana. Dentro de 4 años será solo el doble. ¿Qué edad tiene cada una?

Solución: x: edad de Roxana en la actualidad; x + 4 edad dentro de 4 años. 3x: edad de Elena en la actualidad; 3x + 4 edad dentro de 4 años. Como dentro de 4 años la edad de Elena será el doble que la de Roxana. Entonces: la edad de Elena = 2 veces la edad de Roxana. Planteas la ecuación y resuelves: 3x + 4 = 2 (x + 4) 3x + 4 = 2x + 8 3x = 2x + 8 – 4 3x = 2x + 4 3x – 2x = 4 x = 4

La edad de Elena es el triple de la edad de Roxana, es decir: 3(4) = 12

R: Edad de Roxana 4 años. Edad de Elena 12 años.

Actividad Resuelve los siguientes problemas: a) El perímetro de un rectángulo mide 72 cm, si su largo es el

doble de su ancho, encuentra las dimensiones.

b) Encuentra un número que aumentado en 5 equivale a su

triplo disminuido en 13.

3

c) En una sección de octavo grado hay 4 hombres menos que el

doble del número de señoritas. Si se sabe que en esa sección hay 22 hombres; ¿cuántos estudiantes hay en total?

d) Pedro invitó a Berta al estadio a ver un juego de fútbol; durante el

cual compraron dos bolsas de palomitas de maíz de $2.00 cada una y 5 latas de jugo (todas del mismo precio). Si Pedro gasta en total $10.00, ¿cuánto pago por cada lata de jugo?

Resumen Para resolver ecuaciones, se trasladan a un solo miembro de la ecuación los términos que contienen a la incógnita y en el otro todos los valores numéricos. Se efectúan las operaciones aritméticas indicadas y se despeja la variable para determinar la raíz de la ecuación.

En una ecuación, puedes pasar un término de un miembro al otro, cambiándolo de signo. Un factor de un miembro puede pasar a dividir a todo el otro miembro. Además puedes cambiar los signos de todos los términos de ambos miembros de la ecuación.

Octavo Grado - Matemática 87


UNIDAD 5

Autocomprobación La edad de Oscar y Juan suman 64 años, pero Oscar es mayor 32 años que Juan la edad de ambos es:

3

a)

Oscar 48 años y Juan 16 años. b) Oscar 32 años y Juan 16 años. c) Oscar 40 años y Juan 24 años. d) Oscar 40 años y Juan 8 años.

4

Al resolver la ecuación 15x – 9 = 13 – 18x, obtienes: 2 2 c) x = 3 9 3 1 b) x = d) x = 2 2 x=

12

c) 58

b)

14

d) 16

En un condominio de dos pisos hay un total de 48 apartamentos si los apartamentos del primer piso son el doble del segundo piso, ¿cuántos apartamentos hay en cada piso? 1er. Piso 32 y en el 2do. Piso 16 b) 1er. Piso 24 y en el 2do. Piso 24 c) 1er. Piso 16 y en el 2do. Piso 32 d) 1er. Piso 30 y en el 2do. Piso 15 a)

2. c.

3. d.

a)

a)

1. a.

2

Eduardo y Daniel venden suscripciones a la revista ECA, y durante el mes de enero, Eduardo vendió tres suscripciones menos que el cuádruplo de las que vendió Daniel. Si se sabe que Eduardo vendió 61 suscripciones, ¿cuántas vendió Daniel?

Soluciones

1

4. a.

UN EJEMPLO ANTIGUO La matemática desarrollada en la India entre los años 400 a 1,400 de nuestra era tiene un aspecto interesante que es la presentación de problemas matemáticos, mediante el lenguaje poético y metafórico. Un ejemplo de esto es el libro de astronomía Liláwari (La Hermosa) escrito por Bháskara del cual se presenta la siguiente situación: “A una dama se le quebró un collar, un tercio de las perlas cayó al suelo, un quinto quedó en el lecho, la joven encontró un sexto y su amiga recuperó un décimo de las perlas; en el hilo sólo quedaron seis perlas. ¿Cuántas perlas había en el collar?

88 Matemática- Octavo Grado


Lección 5

Quinta Unidad

Ecuaciones Fraccionarias Motivación

R esuelve el siguiente acertijo:

Cierto día un gavilán posaba en lo alto de un árbol y de repente ve pasar a unas palomas y les dice “adiós mis cien palomas” y ellas le contestan “no somos cien señor gavilán, somos; nosotras, más nosotras, más la mitad de nosotras, más un cuarto de nosotras y usted, si somos cien señor gavilán”. Indicadores de logro: Construirás y explicarás con interés ecuaciones primer grado con una incógnita con denominadores monomios. Solucionarás con interés ecuaciones fraccionarias con denominadores monomios de primer grado con una incógnita. Solucionarás con seguridad y orden ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incógnita con denominadores compuestos.

Resolverás problemas en colaboración con sus compañeros y utilizando ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incógnita. Graficarás con precisión ecuaciones lineales.

Retoma la situación del acertijo plantea la ecuación:

Resuelves la ecuación equivalente.

x: el número de palomas Plantea la ecuación:

Nosotras + nosotras + la mitad de nosotras + un cuarto de nosotras y usted somos = 100 x x + + 1 = 100 x + x + 2 4 x x 2x + + + 1 = 100 2 4 Encuentras el mcm de los denominadores. El mcm de 2 y 4 es 4. Multiplicas cada término por 4 x x ( 4 )( 2 x ) + ( 4 )   + ( 4 )   + ( 4 )(1) = ( 4 )(100 )  2  4 4x 4x + + 4 = 400 8x + 2 4 la ecuación equivalente es 8x + 2x + x + 4 = 400.

8x + 2x + x + 4 = 400

11x + 4

= 400

11x = 400 – 4

11x = 396 396 x= 11 x = 36 R: Las palomas que ve el gavilán son 36. Verificas en la ecuación original: x x + + 1 = 100 x + x + 2 4 36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100

Octavo Grado - Matemática 89


UNIDAD 5 Observa las siguientes ecuaciones:

anterioridad.

2 6 a) x + = 2 x 3 5 3 7 2 + = 2 x −3 x +3 x −9 1 1 1 c) x + x = − 3 4 5 b)

d)

d) Resuelves aplicando los pasos estudiados con

2 3 + =6 x 2x

9x – 10x = − 3 −x=−3 x=3 Aplicas ley de signos para el cociente de enteros: x=3 Entonces la solución de

3x 2x 1 − = − es x = 3 5 3 5

Te has dado cuenta que a) y c) unas tienen como coeficiente números fraccionarios, b) y d) tienen como denominador expresiones algebraicas, el proceso para resolverlas es el mismo. Una ecuación es fraccionaria cuando por lo menos involucra un término fraccionario.

Ejemplo 1 Resuelve

3x 2x 1 − =− 5 3 5

Solución: Primero tienes que eliminar los denominadores, para eso: a) Encuentras el mínimo común múltiplo de ellos, en

Ecuaciones fraccionarias de primer grado con denominadores monomios

b) Multiplicas el mcm encontrado por cada término de

Éstas se resuelven como los casos anteriores:

este caso el mcm de 5, 3, 5 es 15.

la ecuación:  3x   2x   1 15   − 15   = 15  −   5  3  5 c) Simplificas cada término de la ecuación para obtener una ecuación equivalente:

15 45 x 30 x − =− 3 5 5

La ecuación equivalente que obtienes es 9x – 10x = – 3.

90 Matemática- Octavo Grado

Ejemplo 2 Resuelve:

2 5 7 3 − = − +1 3 x x 10 2 x

Punto de apoyo Cuando resuelvas una ecuación de otros tipos, que se reducen a ecuaciones lineales; siempre tienes que probar la solución en la ecuación original.


UNIDAD 5 Solución: Encuentras el mcm de los denominadores 3x, x, 10, 2x, éste es 30x. Multiplicas cada término por el mcm encontrado:  2  5  7  3 30 x   − 30 x   = 30 x   − 30 x   + 30 x (1) x  10   2x   3x  60 x 150 x − 3x x 20 – 150 – 130 – 51x

210 x 90 x − + 30x Efectúas las operaciones y simplificas. 2x 10 = 21x – 45 + 30x Reduces términos semejantes. = 51x – 45 = − 45 + 130 85 x= Aplicas ley de signos para el cociente. −51 85 Simplificas el resultado dividiendo entre 17. x =− 51 5 x =− 3 Ahora en tu cuaderno verifica si satisface la ecuación original. =

Ejemplo 3 Una llave puede llenar un tanque de agua en 4 minutos y otra la puede llenar en 5 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si se abren ambas llaves?

Solución: 1 x: Es el número de minutos que tardan ambas llaves en llenar el tanque. del tanque x es lo que llenarían ambas llaves. 1 La primera llave en 4 minutos llenaría del tanque. La segunda llave en 5 minutos 4 1 llenaría del tanque. 5 1 1 1 Entonces tienes + = 4 5 x Encuentras el mcm de los denominadores, en este caso es 20x Multiplicas cada término por el mcm:  1 1 1 20x   + 20x   = 20x   Efectúas las operaciones indicadas y simplificas. x  4  5 20 x 20 x 20 x + = 5 x 4 5x + 4x = 20 Reduces términos semejantes 9x = 20 20 x= 9 20 Ambas llaves llenarían el tanque en minutos, aproximadamente en 2.2 minutos. 9

Octavo Grado - Matemática 91


UNIDAD 5 Ecuaciones fraccionarias de primer grado con denominadores compuestos

Ejemplo 4 Resuelve:

Solución:

2 3 =1 + 3x 2x

Ejemplo 5

Encuentras el mcm de 3x, 2x, en este caso es 6x. Multiplicas cada término por el mcm encontrado y simplificas: 3 2 + (6x) = (6x)1 (6x) 2x 3x 12 x 18 x + = 6x 3x 2x 4 + 9 = 6x

1

13 = 6x 13 13 =x ó x= 6 6

Actividad

Resuelve las siguientes ecuaciones: 6 12 144 a) − + =4 n 2n 3n 1 1 5 7 + 2= b) + x 2x 3x 3x 65 7 1 5 = 3− 2+ 2 c) 2 8y y 8y 4y 3 5 6 d) + 2 = x x x e) Juan puede hacer un trabajo en 4 horas, mientras que pedro puede hacer el mismo trabajo en 3 horas. ¿Cuánto tiempo se tardan en hacer el trabajo si lo hacen juntos?

92 Matemática- Octavo Grado

1 3 3 = + 2 a +1 a − 2 a − a − 2 ¿Qué diferencias encuentras con los ejemplos anteriores? Resuelve:

Solución: Estas ecuaciones poseen como denominador, polinomios. Al igual que en los ejemplos anteriores encuentras el mcm de denominadores aplicando la factorización de polinomios. a+1

Está completamente factorizado.

a−2

Está completamente factorizado.

a2 – a – 2

Es un trinomio de la forma x2 + bx + c

a2 – a – 2 = (a − 2) (a + 1); luego el mcm es (a + 1) (a − 2)


UNIDAD 5 Escribes la ecuación con sus denominadores factorizados. 1 3 3 = + a +1 a − 2 ( a − 2 )( a +1)

Multiplicas cada término por el mcm y simplificas: 1 3 3 ( a − 2 )( a + 1) = ( a − 2 )( a + 1) + ( a − 2 )( a + 1) a +1 a −2 ( a − 2 )( a +1) (a − 2)(1) = (a + 1)(3) + 3 Efectúas los productos indicados. a – 2 = 3a + 3 + 3 a – 3a = 6 + 2 Reduces los términos semejantes – 2a = 8 8 a= −2 a=–4 El conjunto solución de:

1 3 3 es – 4 = + 2 a +1 a − 2 a − a − 2

Ejemplo 6 Resuelve:

Solución:

1 3 5 + 2 = 2x − 3 2x − 3x x

1 3 5 + 2 = 2x − 3 2x − 3x x 2x – 3 2x2 – 3x = x (2x – 3) x

Encuentras el mcm de los denominadores. Está completamente factorizado. Aplicas factor común. Está completamente factorizado.

El mcm es x (2x − 3). Escribes la ecuación con los denominadores factorizados. Multiplicas cada término de la ecuación por el mcm y simplificas:

x (2 x − 3)

1 3 5 + x (2 x − 3) = x (2 x − 3) 2x − 3 x (2 x − 3) x

x (1) + (3) = (2x – 3)( 5 ) Resuelves los productos indicados. x + 3 = 10x – 15 Transpones términos. x – 10x = – 15 – 3 Reduces términos semejantes. – 9x = – 18 −18 x= −9 x = 2.

Octavo Grado - Matemática 93


UNIDAD 5 Ejemplo 7 10 n 2 − 5n + 8 =2 5n 2 + 9n − 19 En este caso puedes despejar el denominador de la fracción. Resuelve:

10n2 – 5n + 8 = 2(5n2 + 9n – 19) El denominador del primer miembro pasa a multiplicar al segundo miembro. 10n2 – 5n + 8 = 10n2 + 18n – 38 10n2 − 10n2 − 5n − 18n = − 38 − 8 − 23n = − 46 −46 n= −23 n=2

2

Transpones términos. Reduces términos semejantes. Simplificas la fracción.

Actividad

Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias:

x −3 x − 4 = x +1 x − 2 y + 4 2 y +3 b) 2 + = 2 y −1 y −1 5 1 c) 2 = x −1 x −1 a)

2 3 6 − = 2 x − 1 x + 3 x + 2x − 3 1 1 10 e) + = 2 x +3 x −3 x −9 3 5 6 f) − = 2 x − 2 x + 4 x + 2x − 8 d)

Gráfica de una ecuación lineal Recordarás que las ecuaciones de primer grado también se les llama ecuaciones lineales, y son aquellas en las que la variable está elevada al exponente 1, además su conjunto solución es solamente una raíz.

Para representar a una ecuación lineal en el plano cartesiano basta conocer solamente dos puntos, ya que éstos son suficientes para trazar una línea recta.

Ejemplo 8

Estas ecuaciones se pueden representar en el plano cartesiano por medio de una línea recta. Y se expresan de la forma y = ax + b.

¿Cómo será la gráfica de la ecuación 2x = 4 + y?

Por ejemplo:

¿Cómo la encuentras?

a) 4x + 5 = 2,

Despejas de la ecuación a y, así y = 2x – 4

b) 5x + 2 = 2x + 4

Luego asignas valores a “x” para obtener los correspondientes valores de “y”, los puedes colocar en una tabla.

realizas transposición de términos e igualas a y y = 4x + 5 – 2, es decir y = 4x + 3 haces la transposición de términos e igualas a y y = 5x + 2 – 2x – 4, entonces y = 3x – 2

94 Matemática- Octavo Grado

Solución:


UNIDAD 5 Para x = 1 y = 2x – 4 y = 2(1) – 4 y = 2 – 4 y = – 2 x y

Para x = 2 y = 2x – 4 y = 2(2) – 4 y = 4 – 4 y = 0 1 −2

2 0

Para x = 3 y = 2x – 4 y = 2(3) – 4 y = 6 – 4 y = 2 3 2

Para x = 4 y = 2x – 4 y = 2(4) – 4 y = 8 – 4 y=4

4 4

Para x = 0 y = 2(0)− 4 y=0−4 y=−4

y 4

0 −4

2

Ahora representa estos puntos en el plano cartesiano y únelos entre sí por medio de una línea recta y obtienes así la gráfica correspondiente a la ecuación 2x = 4.

0

-2

1 2 34 x

-4

Ejemplo 9 Construye la gráfica de la ecuación y = x + 3

Solución: Asignas valores a “x” para obtener los correspondientes valores de “y”, los puedes colocar en una tabla: Para x = – 1 y = – 1 + 3 y = 2 x y

para x = 0 y = 0 + 3 y = 3 −1 2

para x = 1 y = 1 + 3 y = 4 0 3

1 4

para x = 2 y=2+3 y=5 2 5

Ahora representa estos puntos en el plano cartesiano y los unes por medio de una línea recta y obtienes la gráfica correspondiente a la ecuación y = x + 3

y

5 4 3 2 1

-1

1 2 3 4

x

Resumen Actividad

3

Graficar las siguientes ecuaciones de primer grado o lineales: a) y = 3 – 2x

c) y = 3x + 1

b) y = 1 + 2x

d) y = x – 3

Una ecuación fraccionaria es una ecuación que involucra un cociente de expresiones algebraicas. Para resolver ecuaciones fraccionarias, primero encuentras el mínimo común múltiplo de los denominadores, luego este valor encontrado lo multiplicas por cada término de la ecuación, simplificas y obtienes una ecuación entera y la resuelves.

Octavo Grado - Matemática 95


UNIDAD 5

Autocomprobación

3

La raíz de la ecuación:

5 3 6 es: + = 2 x + 3 x − 1 x + 2x − 3 3 a) − c) x = 1 4 1 1 b) − d) 4 4

Al resolver

4

7 5 4 2 obtienes: + = − x2 x x x2

a)

x = – 9

c)

x=–4

b)

x = 6

d)

x=1

3 b.

3 5 1 2x 7 x 3x − = c) x − x = x 4 8 2 5 2 4 8x 2 − 5x + 2 3 + x 6 4 5 d) b) = + = x 7x x 15 4 a)

x x es: 3 6 3 c) 2 4 d) 3

2 3

El valor de la variable en = + 3 4 1 b) x = 2 a)

x=

2 a.

2

Un ejemplo de ecuación fraccionaria es:

1 d.

Soluciones

1

4 d.

OTRA CLASE DE ECUACIONES Un contemporáneo de Descartes, el también francés Pierre de Fermat, interesado en la representación gráfica de las soluciones de las ecuaciones, trabajó en su libro Introducción a los lugares geométricos planos y sólidos lo relacionado con el tema. Concentró su atención en la representación de la ecuación lineal y eligió un sistema de coordenadas arbitrario para graficarlas. En primer lugar trabajó la ecuación de la forma Dx = By, cuya gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, como una semirrecta con origen en el origen de las coordenadas, ya que Fermat, al igual que Descartes, no utilizaban abscisas negativas. Pierre de Fermat

96 Matemática- Octavo Grado


Solucionario Actividad 1

Actividad 2

a) variable continua

c) variable discreta

b) variable continua

d) variable discreta

a) Prueba de admisión, 60 estudiantes.

Puntajes 42-49 50-57 58-65 66-73 74-81 82-89 90-97 Total

Actividad 2 a) primaria

d) secundaria

b) secundaria

e) secundaria

c) primaria

f) primaria

Actividad 3 hijos/hijas

Recuento

0 1 2 3 4 5 6 Total

IIII IIII IIII IIII IIII IIII III IIII III II

No. de familias (frecuencia ) 4 9 10 8 4 3 2 40

b) La mayoría de familias tienen dos hijos/hijas.

Pesos 118 – 123 124 – 129 130 – 135 136 – 141 142 – 147 148 – 153 154 − 159 Total

f 1 10 8 4 9 4 4 40

fr 0.025 0.25 0.2 0.1 0.225 0.1 0.1 1.00

fa 1 11 19 23 32 36 40

a)

10 8 6 4 2

Actividad 1

Pm 113.5 121.5 129.5 137.5 145.5 153.5 161.5

17.5 21.5 25.5 29.5 33.5 41.5

a)

Límites reales 99.5 – 117.5 117.5 – 125.5 125.5 – 133.5 133.5 – 141.5 141.5 – 149.5 149.5 – 157.5 157.5 – 165.5

fa 2 10 19 34 41 52 60

b) Pesos en libras, de 40 estudiantes

Lección 2 f 6 8 9 7 6 5 9 50

fr 0.033333 0.133333 0.15 0.25 0.116667 0.183333 0.133333

Actividad 3

a) Sólo dos familias tiene seis hijos/hijas.

Clases 110 – 117 118 – 125 126 – 133 134 – 141 142 – 149 150 – 157 158 – 165 Total

f 2 8 9 15 7 11 8 60

b)

18 15 12 9 6 3

50 58 66 74 82 90 50 57 65 73 81 89 97

Octavo Grado - Matemática 97

- 57 - 65 - 73 1 - 81 1 - 89 - 97


Solucionario Actividad 4 a)

b)

X = 67.8

b)

X =138.2

1

e) 2x = 1 x

2

Actividad 1 c) Grado 4

e) Grado 2

b) Grado 1

d) Grado 1

f) Grado 5

Actividad 2 a) x = 2 6

c)

f) l=

Lección 4

a) Grado 3

b) x =

3

= 50

e) x =

d) x = –1

f) x = 10

5

a) x = 3 b) x =

5 7

Actividad 2

5 6

La tercera parte de un número Un número aumentado en su tercera parte Un número aumentado en dos es 150 La cuarta parte de un numero disminuido en su mitad

98 Matemática- Octavo Grado

c) x = −

3 7

Actividad 3

Lección 5

2

Actividad 1

x 3

x + 2 = 150 x x 4 2

e) x = − 4 f )x=

x=

a) n = 12

3

x+

n=−

b) x = 2

1 3

g) x = − 4 h) x = − 1

a) largo 24 cm y ancho 12 cm c) 35 estudiantes

x x

5

g) l2 + 39 cm 2 = (l + 3)2

p

3 14 e) x = − 2 7 f) x = 4 d)

b) x = 1

a)

Lenguaje algebraico x 2x x+ x−

2

34 23 13 d) x = 2 c)

a) x = 3

Actividad 3

Un número El doble de un número Un número que aumentado Un número que disminuido La mitad de un número

5+ x

=

Actividad 1

12

c) x = 3

Lenguaje común

3+ x

d) manzana + pera + naranja = 1lb de uvas

Lección 3

1

x

b) 9 d) $1.20

c) y = 1 d) x =

e) Tardarian 1.71 hrs.

5 3

Actividad 2 a) x = 5

c) x = 4

e) x = 5

b)

d) x = 3

f) x = 8

3 y =− 2


Solucionario Actividad 3 a)

c)

y

y 3

3

2

2

1

1 -2 -1

0

-1

1

3 2

2

3 4

1 2

x

1

2

x

2

3

-2

b)

d)

y

y 2 1

(0.1) 1 3

-2

x

-1

-1

1

4 x

-2 -3 -4

Proyecto Teresa es una señora que tiene una venta de cereales en el mercado. Ella tiene cierta cantidad de frijoles en su negocio. El lunes en la mañana llegó un proveedor a ofrecerle frijoles y ella le compró otra cantidad igual a la que ya tenía. En el transcurso del día vendió la mitad de los frijoles que compró por la mañana. El martes vendió la tercera parte de dicha cantidad, el miércoles la cuarta parte, el jueves la sexta parte, el viernes la octava parte y el sábado vendió la doceava parte. Además ella tomó dos libras para su consumo. Si todavía le quedan 50 libras para la venta, ¿Cuál era la cantidad original de libras de frijoles que tenía al principio en su negocio?

Octavo Grado - Matemática 99


Recursos Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. . Talleres Gráficos UCA, San Salvador, El Salvador, 2007, 219p Ángel Allen R., Álgebra elemental. Editorial Prentice Hall, 4ª Edición, México 1997, 600p. Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p. Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p. Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p. Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1991, 626p. Internet Enciclopedia libre Wikipedia: Estadística es.wikipedia.org/wiki/Estadística marzo 2008 ponce.inter.edu/cai/reserva/lvera/CONCEPTOS_BASICOS

100 Matemática- Octavo Grado


UNIDAD 5

COLOFON

Octavo Grado - Matemรกtica 101


UNIDAD 5

102 Matemรกtica- Octavo Grado

Mat 8u5  
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