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ESPACIOS VECTORIALES
Se conoce que en realidad detrás de los vectores están los objetos físicos bien reales. Por esto, la investigación detallada de la estructura de los conjuntos representa interés por lo menos para la física. Hay una tentación, originada por la sencillez de los conjuntos citados, que conduce al deseo de estudiarlos apoyándose sólo en las peculiaridades concretas de los elementos. Sin embargo, no podemos sino observar el hecho de que dichos conjuntos tienen mucho en común, razón por la cual parece racional comenzar su estudio partiendo de ciertas posiciones generales, abrigando esperanza, por lo menos, que tendremos éxito en evitar repeticiones fastidiosas y monótonas al pasar de la investigación de un conjunto a la del otro. No se desarrollaran las diferentes propiedades de los cuerpos abstractos y no trataremos de cuerpo específico alguno que no sea de los números racionales, reales y complejos. Es conveniente y cómodo, por el momento, no especificar la naturaleza exacta del cuerpo de escalares, porque gran parte de los espacios vectoriales es válida para cuerpos arbitrarios. El estudiante que no conoce los cuerpos abstractos no estará en desventaja, pues basta con que piense en K como en uno de los cuerpos que le son familiares. Todo lo que importa es que podamos efectuar las operaciones de adición y sustracción, multiplicación y división, en la forma usual. Más adelante tendremos que restringir a K al cuerpo de los números reales o al cuerpo de los números complejos, para obtener ciertos resultados clásicos; pero se pospondrá ese momento tanto como podamos. En general, usaremos letras minúsculas del alfabeto latino para denotar a los vectores. Una excepción es el vector nulo que se denotará por . DEFINICION 5.1.1 Sea V un conjunto cualesquiera no vacío de elementos sobre el que están definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares. Por adición se entiende una regla que asocia a cada par de elementos u y v en V un elemento u + v denominado suma de u y v; por multiplicación escalar se entiende una regla que asocia a cada escalar y cada elemento u en V un elemento u, denominado múltiplo escalar de u por . Si los elementos u, v, w en V y los escalares y satisfacen los axiomas siguientes, entonces V se denomina espacio vectorial, y sus elementos se denominan vectores: 1.- Si u, v están en V, entonces u + v está en V. 2.- Si u, v están en V, entonces u + v = v + u. 3.- Si u, v, w están en V, entonces u + (v + w) = (u + v) + w. 4.- Existe un único elemento en V, denominado vector cero de V, tal que se cumple que + u = u + = u para todo u en V. 5.- Para todo u en V existe un elemento -u en V, denominado opuesto de u, tal que se cumple u + (-u) = (-u) + u = . 6.- Si es cualquier escalar y u es cualquier elemento en V, entonces u está en V. 7.- Si u, v están en V y es un escalar, entonces (u + v) = u + v. 8.- Si u está en V y , son escalares, entonces ( + )u = u + u. 9.- Si u está en V y , son escalares, entonces (u) = ()u. 10.- Si u está en V y 1 es un escalar, 1u = u. Los elementos de cualquier espacio vectorial los llamaremos vectores, a pesar de que según su naturaleza concreta dichos elementos pueden ser bien distintos de los segmentos dirigidos. Las representaciones geométricas, relacionadas con el nombre de vectores, nos ayudaran en aclarar y, con frecuencia, en prever los resultados necesarios, como también en buscar la interpretación geométrica de diferentes hechos la cual no siempre resulta obvia. Cualquier tipo de objeto pueJOE GARCIA ARCOS