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FUNCIONES PROPOCICIONALES

CUANTIFICADOR UNIVERSAL

CUANTIFICADOR EXSITENCIAL UNICIDAD

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL


REGLAS DE NEGACION DE CUANTIFICADORES


Consideramos una función proposicional (A, P(x)) con dominio un conjunto A. Al reemplazar la variable x de p(x) por elementos de A obtenemos proposiciones verdaderas o falsas. Nos preguntamos ¿para cuántos elementos de A, P(x) es verdadera? Como posibles respuestas tenemos: Para todos los elementos de A. Para algunos elementos de A. Para ningún elemento de A. Los términos todos, algunos, un solo y ninguno, por indicar cantidad, son llamados cuantificadores. De estos, los fundamentales son todos, algunos y, como caso particular de este último, un único. Así, podemos decir que una función proposicional está constituida por los siguientes elementos: P(x): que es una proposición abierta que contiene la variable x. A : que es un conjunto llamado dominio o universo del discurso. Denotaremos a una función


El cuantificador todo se llama cuantificador universal y se le denota con el símbolo , , que es una A invertida (de "all" palabra inglesa para "todos"). Al cuantificar a la función proposicional P(x) mediante el cuantificador universal obtenemos la proposición: Para todo elemento x de A, P(x), que se simboliza del modo siguiente: (" xÎA)(P(x)).............................................. (1) A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones universales. Otras maneras de leer la proposición (1), son las siguientes: a. Para cada x en A, P(x) b. Cualquiera que sea x en A, p(x) c. P(x), para cada x en A d. P(x), para todo x en A Con mucha frecuencia, cuando el dominio A de P(x) está sobreentendido, la proposición (1) la escribimos simplemente así: (" x) ( p(x) ) La proposición (" x Î A) ( P(x) ) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera para todo elemento x de A; esto es, si y sólo si el dominio de verdad P(x) coincide con A.

El Cuantificador: Existe al menos uno, se llama cuantificador existencial, y se le denota con el símbolo, que es un E al revés. A la Proposición: Existe al menos un x de A tal que P(x)


La escribiremos simbólicamente del modo siguiente: ( xÎ A) (P(x)) (2) A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones existenciales. Otras maneras de leer la proposición (2) son: a. Para algún x en A, P(x) b. Existe un x en A tal que p(x) c. P(x), para algún x en A Si el dominio de la función proposicional está sobreentendido, a la proposición (2) la escribiremos simplemente así: ($ x) ( P(x)) La proposición ($ x Î A) (P(x)) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera al menos para un x de A. Esto es, si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es no vacío.

Cuantificador Existencial de unicidad Como un caso particular del cuantificador existencial "existe al menos uno" tenemos el cuantificador existe un único o existe sólo uno, que lo llamaremos cuantificador existencial de unicidad y lo simbolizaremos por $ !. Así la expresión: ($ ! x Î A) ( P(x))....................................... (3) Se leerá de cualquiera de las siguientes formas:


a. Existe un único x en A tal que P(x) b. Existe un sólo x en A tal que P(x) c. Existe uno y sólo un x en A tal que P(x) d. P(x), para un único x en A La proposición (3) es verdadera si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es un conjunto unitario, esto es, si y sólo si P(x) es verdadero para un único x de A. Ejemplo Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico: a. Existe un único número natural que sumado con 3 da 10. b. Existe sólo un número real tal que su cuadrado es 16. c. Existe un único número real tal que su cuadrado es - 4.

Negación de Cuantificadores Las dos leyes de De Morgan nos proporcionan las relaciones entre la negación, la conjunción y la disyunción. Como las proposiciones universales y existenciales son generalizaciones de la conjunción y disyunción, respectivamente, es de esperar que las leyes de De Morgan también tengan sus respectivas generalizaciones. Efectivamente así sucede con de De Morgan o reglas de la negación de cuantificadores. Estas dicen lo siguiente: 1. ~ ((" x Î A) (P(x))) º ($ x Î A) (~ P(x)) 2. ~ (($ x Î A) ( P(x))) º (" x Î A) (~ P(x)) Estas reglas nos dicen que para negar una proposición con cuantificadores se cambia el cuantificador, de universal a existencial o viceversa, y se niega la proposición cuantificada.


Negación de Proposiciones con dos Cuantificadores ~ [(" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A) (" yÎ B)(~ P(x,y)) ~ [(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A) ($ yÎ B)(~ P(x,y)) ~ [($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º (" xÎ A) ($ yÎ B)(~ P(x,y)) ~ [($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))] º (" yÎ B) (" xÎ A)(~ P(x,y)) Ejemplo Negar la proposición ($ xÎ R)(" yÎ R) (x+y = 0) Solución ~ [($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] º (" xÎ R) ($ yÎ R)(~ (x+y = 0)) º (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y ¹ 0))


Consideramos una función proposicional