Issuu on Google+

ТЕМА №1 Вторичное квантование Необходим для описания систем с переменным числом частиц. Пусть Ψ1 (ξ), Ψ2 (ξ), … – некоторая полная ортонормированная система волновых функций стационарных состояний одной частицы (ξ – набор координат и проекций спина) Обычно это плоские волны – волновая функция свободной частицы с определенными значениями импульса и проекций спина. Обычно для сведения спектра состояний к дискретному, рассматривают движение частиц в большом объеме V. В системе свободных частиц импульсы частиц сохраняются по отдельности. Тем самым сохраняются и числа заполнения состояний – числа N1, N2, …, указывающие, сколько частиц находится в каждом из состояний Ψ1, Ψ2, … В системе взаимодействующих частиц импульсы каждой из них уже не сохраняются, а потому не сохраняются и числа заполнения. Для такой системы можно говорить лишь о распределении вероятностей различных значений чисел заполнения. Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором именно числа заполнения (а не координаты и проекции спина) играют роль независимых переменных. В таком аппарате состояние системы описывается «волновой функцией в пространстве чисел заполнения», которую мы обозначим как Ф(N1, N2, …,t). Обычная координатная функция обозначается Ψ(ξ1, ξ2,…,t) Тогда и операторы различных физических величин должны формулироваться в терминах их воздействия на функции чисел заполнения.


Теперь рассмотрим вопрос с другой стороны. Пусть имеется система бозонов. Рассмотрим преобразование уравнения Шредингера в представлении чисел заполнения (

̂

)

(

)

Пусть имеем одночастичный гамильтониан ̂

∑̂

Волновую функцию можно представить в виде суперпозиции волновых функций свободного состояния ∑∑ Где mi – совокупность квантовых чисел

частицы,

характеризующих состояние одной частицы и кратко называемых уровнем (три компоненты импульса и спина). Тогда матричные элементы есть 〈

| ̂|

∑〈

|

Уравнение Шредингера преобразуется стандартным образом и даст уравнение для определения коэффициентов ∑ ∑⟨

|

(

)

Интерпретация правой части хорошо известна. Гамильтониан определяет переходы частицы j с уровня

на уровень

, а эволюция

во времени определяется суммой всевозможных переходов этого типа. Амплитуда вероятности каждого перехода представляет собой матричный элемент гамильтониана.


Теперь выразим эту же мысль в представлении чисел заполнения. До перехода имелось уровне

частиц на уровне

и

частиц на

.

После перехода число частиц на уровне а на уровне

стало равным

стало равным

,

. Этот процесс можно изобразить

как уничтожение частицы на уровне

и рождение частицы на уровне

. Теперь рассмотрим это описание на рис.

A

B

𝑚

𝑎 𝑚2

𝑎

𝑚3

𝑎 𝑚4

𝑐

𝑛𝑎

3

𝑛𝑏

0

𝑛𝑐

Начальное состояние A – Квантовая механика B – Вторичное квантование

A

𝑚

𝑎 𝑚2

𝑎

𝑚3

с

𝑐

𝑛𝑎

𝑛𝑎 𝑛𝑏

B 𝑛𝑐

𝑚4

𝑛𝑐

Конечное состояние

2 0 2


Оператор уничтожения ̂

2

2

Или можно представить в виде матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть ⟨

|̂| ⟩

Сопряженный оператор ̂ i+ изображается матрицей с единственным элементом ⟨ |̂|

|̂| ⟩

Это означает, что при воздействии на функцию увеличивает число

2

он

на 1.

Оператор рождения ̂

2

2

Вычислим произведения операторов ̂ i+ ̂ i – такой оператор может лишь умножить волновую функцию на константу, оставляя все переменные N1, … неизменными. Можно показать, что ̂ i+ ̂ i =

и ̂ i+ ̂ i

=

Аналогичным образом найдем ̂ i ̂ i+= Разность этих элементов дает правило коммутации ̂ i ̂ i+ - ̂ i+ ̂ i = 1 Операторы же с различными индексами

, действующие на

различные переменные, коммутативны ̂̂

̂̂

0

̂̂

̂̂

0

Аналогично можно получить обобщение и на симметричные по всем частицам операторы любого другого вида. Таким образом, гамильтониан системы взаимодействующих частиц есть ∑̂

2

2

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗


̂

̂ ̂

2

̂

̂

̂

̂

Одночастичный гамильтониан есть 2

̂

2 Для системы невзаимодействующих частиц имеем ̂

̂ ̂

∑ ̂

Поэтому ̂ Так как ̂ ̂

̂ ̂

, то получим очевидный результат ̂

Теперь представим формализм вторичного квантования в координатном представлении. Введем в рассмотрение так называемые – операторы. (

– волновые ортонормированные функции)

Вторично квантованные операторы

𝜓̂ 𝜉

∑ 𝜓𝑖 𝜉 𝑎̂ 𝑖 𝑖

𝜓̂

𝜉

∑ 𝜓𝑖 𝜉 𝑎̂

𝑖

𝑖

Переменные Аналогия:

рассматриваются как параметры ∑

– разложение произвольной функции по

базису – отсюда название «вторичное квантование» ̂ – уменьшает число частиц на единицу в точке ̂

– увеличивает число частиц на единицу в точке

Гамильтониан перепишется в виде:


̂

∫ ̂

̂

̂

2

∬ ̂

̂

̂

2

̂

Далее: Оператор ̂

̂ – оператор плотности числа частиц, так как ̂

̂

̂

̂ – оператор полного числа частиц. Проверка: подставив в ̂ определение ̂ ̂

∑̂ ̂

, получим

Фононы в одномерном кристалле Масса узлов m, равновесные положения определяются узлами решетки ⃗

, где

Пусть

23

– смещение атома из положения равновесия. В

потенциальную энергию дают вклад только соседние атомы 2

2

Кинетическая энергия выражается через скорости смещения

c

помощью функции ∑

2

2

Введем периодические (циклические) граничные условия ⃗

Одномерной решетке соответствует зона Бриллюэна с границами ⃗ Внутри этой зоны располагается N штук волновых векторов ⃗

2 2

0

2

2


От смещений отдельных атомов обобщенным координатам

удобно перейти к новым

, которые характеризуют коллективные

движения атомов, соответствующие определенным значениям ⃗ . Для этого введем преобразование ⃗

⃗ ⃗

Суммирование по всем возможным ⃗ внутри зоны Бриллюэна Для того, чтобы

удовлетворять условиям

была вещественна, новые переменные должны ⃗

Используя определение векторов ⃗ , ⃗ можно показать ∑

⃗⃗

⃗⃗

Тогда можно получить обратное преобразование ⃗

⃗ ⃗

В результате, энергия выражается через новые коллективные переменные 2

2

∑ ̇⃗

2

̇

Где 2

(⃗ )

2

( ⃗)

2

⃗ 2

Классическая функция Лагранжа имеет вид 2

∑ ̇⃗

̇

2

(⃗ )

Откуда получаем выражение для обобщенных импульсов, соответствующих обобщенным координатам

.


Импульс

̇

̇

̇⃗

, сопряженный смещению

, позволяет

представить обобщенный импульс в виде ⃗

⃗ ⃗

В результате получим классическую энергию как функцию обобщенных координат

2

и обобщенных импульсов ∑

2

(⃗ )

Переход к квантовой механике сводится к замене

,

соответствующими операторами, удовлетворяющим перестановочным соотношениям [ ̂

̂

]

⃗ ⃗

Тогда обобщенные координаты и импульсы будут удовлетворять соотношениям [ ̂ ⃗

̂⃗ ]

⃗ ⃗

Оператор энергии имеет вид ̂

2

̂⃗ ̂

2

(⃗ ) ̂ ⃗ ̂

От операторов ̂ ⃗ , ̂ ⃗ удобно перейти к новым операторам ̂ ⃗ , ̂ ⃗ с помощью соотношений ̂⃗

√ 2

(⃗ )

̂⃗

(⃗ ) 2

̂⃗

̂

̂⃗

̂

Новые операторы должны удовлетворять коммутационным соотношениям (чтобы выполнялось соотношение между ̂ операторы Бозе. [̂ ⃗ ̂⃗ ]

⃗ ⃗

̂

) Это


[ ̂ ⃗ ̂⃗ ]

[ ̂ ⃗ ̂⃗ ]

0

0

В результате гамильтониан преобразуется к диагональному виду ̂

(⃗ ) ̂ ⃗ ̂ ⃗

2

Основное состояние кристалла описывается функцией ⟨0| ̂ |0⟩

2

(⃗ )

∑ ⃗

В этом состоянии энергия имеет наименьшее значение. Энергия кристалла в квантовом состоянии ⟨

→|

̂|

→⟩

Далее учтем, что из определения ̂ ̂

∑√ 2 ⃗

(⃗ )

→ ⃗

равна (⃗ )

, ̂ ⃗ получим ⃗ ⃗

̂⃗

̂

Это позволит вычислить среднее смещение n-ого атома из положения равновесия в том же квантовом состоянии ⟨

→|

̂ ⃗|

→⟩

0

В то же время среднее значение квадрата смещения не зависит от номера атома ⟨

→|

̂ ⃗|

→⟩

(⃗ )

∑ ⃗

2

(⃗ )

Второе слагаемое характеризует вклад «нулевых колебаний», когда все

0

При ⃗ 0

0 имеем смещение кристалла как целого. При этом

0 .Поэтому при ⃗

0 колебания атомов отсутствуют, и это

значение исключено из суммы. В сумму же входят только такие ⃗ , абсолютная величина которых 2

(чтобы выполнялось неравенство для зоны Бриллюэна Тогда

2

)


2

Таким образом, стационарные возбужденные состояния кристалла распределены по всему кристаллу и характеризуются волновым вектором ⃗ (квазиимпульс

⃗ , энергия

( ⃗ )). Эти возбужденные состояния

называются фононами. (⃗ ) (⃗ )

2

|

|

⃗ 2 ⃗ 2

2

Длинноволновые возбуждения

|

| характеризуются

величинами (⃗ )

;

Длинноволновые возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется выражением

√ , где

– модуль Юнга

– плотность. В нашем

случае √ а модуль Юнга (отношение силы к вызванной ею упругой деформации)

Таким образом, √


Следовательно, рассмотренные нами элементарные возбуждения в пределе

совпадают с акустическими волнами в упругой среде.

Поэтому эти возбуждения называются акустическими фононами.


ТЕМА 1