Issuu on Google+

ТЕМА №9 𝜀

Приведены законы дисперсии в сверхтекучей

(верхняя

кривая)

и

нормальной Ферми-жидкости.

𝑝

Величина щели

𝑝

зависит от температуры, т.е. сама форма спектра

зависит от статистического распределения квазичастиц – ситуация аналогичная теории нормальной ферми-жидкости. Поскольку при возрастании температуры возрастают, стремясь к 1 (к конечной температуре

), то

числа заполнения квазичастиц

при этом уменьшается и при некоторой

обратится в ноль: система перейдет из сверхтекучего

состояния в нормальное. ∑ ⃗

(

)

Эта точка представляет собой фазовый переход второго рода (подобный переходу в жидком гелии). Наличие энергетической щели можно истолковать наглядно как результат образования связанных состояний парами притягивающихся частиц. Тогда величина

есть энергия, которая необходима для разрыва такой

пары. Этот эффект возникает в Ферми-газе уже при сколь угодно слабом притяжении. Обладая равным нулю спином, пара ведет себя, как бозевские образования, и могут накапливаться на уровне наименьшей энергии – уровне с равным нулю суммарным импульсом. В таком наглядном истолковании это явление вполне аналогично накапливанию частиц в состоянии с нулевой энергией в бозе-газе (бозе-эйнштенвская конденсация).


Однако, представление о связанных парах не следует принимать в буквальном смысле. Более строго можно говорить о корреляции между импульсами пары частиц, приводящей к конечной вероятности иметь равную нулю сумму импульсов. Оценим радиус корреляции частиц с нулевым импульсом. Разброс значений Соответствующая

пропорционален энергии , т.е. длина

определяет

. порядок

величины

расстояний между частицами с коррелированными импульсами. Эти величины есть | |

( )

Поскольку

совпадает с порядком величины межатомных расстояний, то

велико по сравнению с ними. Это обстоятельство наглядно демонстрирует условность понятия о связанных парах. Далее найдем температурную зависимость энергетической щели, т.е. ( ). Перепишем уравнение для

Здесь учтено, что

в следующем виде

Но левая часть отличается от того, что было ранее, только заменой . Поэтому, с учетом ранее полученных результатов, левая часть равна

В правой части уравнения вместо

подставляем её явное выражение и

переходим от суммирования к интегрированию по ( что даст

)


(

( )

)

где мы обозначили ( )

(

)

Ввиду быстрой сходимости интеграла пределы распространены на В области низких температур (

)

(первый член разложения по степеням ( )

(

.

) )

что даст следующее уравнение √ √

(

)

√ В области вблизи точки перехода

мало и первые члены разложения

интеграла ( ) дают ( ) Отсюда видно, что

обращается в ноль при температуре

Малой по сравнению с температурой вырождения После этого в первом порядке по (

) получим

.


( )

– постоянная Эйлера Вычислим теперь теплоемкость газа в области низких температур. Проще всего находить из формулы ∑

⃗(

)

Для изменения полной энергии при варьировании чисел заполнения частиц. Разделив на

и перейдя от суммирования к интегрированию, получим ∫

При

функция распределения квазичастиц есть

, так что

имеем ∫

Или окончательно ( Таким образом, при

)

теплоемкость убывает по экспоненциальному

закону – прямое следствие наличия щели в энергетическом спектре.


Тема 09