Issuu on Google+

Άσκηση 3. Έστω X 1 , X 2 ,..., X v τ.δ. από X ~ U ( −θ ,θ ) .

α) Να δειχθεί ότι η σ.σ. T = max { X 1 , X 2 ,..., X v } είναι επαρκής και πλήρης σ.σ. για την παράµετρο θ. β) Να βρεθεί: η α.ε.ε.δ. του εύρους 2θ του διαστήµατος και 1) 2) η α.ε.ε.δ. της διασποράς V(X). Λύση: 1 1  = , −θ < x < θ 1  α) = f ( x,θ ) = θ − ( −θ ) 2θ I ( −θ < x < θ ) 2 θ 0,αλλο ύ  Επάρκεια: Παραγοντικό κριτήριο Neyman: v v v 1 1  f ( x,θ ) = ∏ f ( xi ,θ ) = ∏  ⋅ I ( −θ < x < θ )  = I −θ < xi < θ ) = v ∏ ( θ 2   2 θ i =1 i =1 ( ) i=1 1

( 2θ )

v

I 0 ≤ xi < θ ) = v ∏ ( i =1

v

1

( 2θ )

v

∏ I ( 0 ≤ max { x

i

i =1

h ( X ) ⋅ g T ( X ) ,θ  µε: g T ( X ) ,θ  =

1

( 2θ )

v

)

, i = 1,2,..., v} < θ =

(

I 0 ≤ max { xi , i = 1,2,..., v} < θ

και h ( X ) = 1 , άρα

η T ( X ) = max { xi , i = 1,2,..., v} είναι επαρκής για το θ. Πληρότητα: Βρίσκουµε την συνάρτηση κατανοµής της Τ: hT ( t ) . Αθροιστική της Τ: Για t < 0 , FT ( t ) = 0 , για t ≥ θ , P ( x1 ≤ t ) = 1 για 0 ≤ t ≤ θ έχουµε: FT ( t ) = P (T ≤ t ) = P max { xi , i = 1,2,..., v} ≤ t =

(

)

P ( x1 ≤ t , x2 ≤ t ,..., xv ≤ t ) = (1) P ( x1 ≤ t ) P ( x2 ≤ t ) ⋅ ⋅ ⋅ P ( xv ≤ t ) = (2)

P ( x1 ≤ t )

v

P ( x1 ≤ t ) = P ( −t ≤ x1 ≤ t ) = P ( x1 ≤ t ) − P ( x1 ≤ −t ) = FX ( t ) − FX ( −t ) = t −t 2t t − = = 2θ 2θ 2θ θ

1 2

Λόγω ανεξαρτησίας. Λόγω ισονοµίας.

1

)


v v −1 v d d  t   t v −1 t t 1 FT ( t ) =   ⇒ fT ( t ) =  FT ( t )  = v = = v      dt  θ   dt θv θ  θ  θ v hT ( t ) = v t v −1

θ

Έστω g (T ) : E  g (T )  = 0 ⇒ θ

θ

t v−1

θ

∫ g ( t ) h ( t ) dt = 0 ⇒ ∫ g ( t ) v θ

v

ντας ως προς θ, έχουµε: g (θ )θ

v −1

T

0

∫ g (t ) t

dt = 0 ⇒

0

v −1

dt = 0, ∀t και παραγωγίζο-

0

= 0, ∀θ ⇒ g (θ ) = 0, ∀θ , δεδοµένου ότι

θ v −1 > 0, ∀θ

εποµένως η T ( X ) = max { xi , i = 1,2,..., v} είναι και πλήρης. β) 1) Ζητούµε συνάρτηση της Τ, η οποία να είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της g (θ ) = 2θ θ

Έστω Ψ1 (T ) : E  Ψ1 (T )  = 2θ ⇒ ( ) ∫ Ψ1 ( t ) fT ( t ) dt = 2θ ⇒ 3

0

θ

∫ Ψ1 ( t ) v 0

t v−1

θv

dt = 2θ ⇒

θ

v

∫ Ψ1 ( t ) t dt = 2θ ⇒ v −1

θv

0

θ

v −1 ∫ Ψ1 ( t ) t dt = 0

2θ v +1 και, v

2 ( v + 1)θ v παραγωγίζοντας ως προς θ, παίρνουµε: Ψ1 (θ )θ = ⇒ v 2 ( v + 1)θ v 2 ( v + 1) 2 ( v + 1) Ψ1 (θ ) = = θ , άρα η Ψ1 (T ) = T(X )= v −1 vθ v v 2 ( v + 1) max { xi , i = 1, 2,..., v} είναι η α.ε.ε.δ. του 2θ. v 2) Κατά τα γνωστά όταν X ~ U ( −θ ,θ ) , τότε η διασπορά v −1

θ − ( −θ )  ( 2θ ) = 4θ 2 = θ 2 , V (X ) =  = 12 12 12 3 άρα ζητούµε συνάρτηση της Τ, η οποία να είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια 2

της g (θ ) =

2

θ2 3 θ

θ2

t v −1

θ2

Έστω Ψ 2 (T ) : E  Ψ 2 (T )  = ⇒ ( ) ∫ Ψ 2 ( t ) v v dt = ⇒ 3 3 θ 0

3

3

Τα όρια της ολοκληρώσεως είναι 0 και θ, διότι

0 ≤T ≤θ .

2


v

θ

θ v ∫0

Ψ 2 ( t ) t dt = v −1

θ2 3

θ

∫ Ψ (t )t 2

0

προς θ, παίρνουµε: Ψ 2 (θ )θ v −1 = Άρα η σ.σ. Ψ 2 (T ) = g (θ ) =

θ2 3

v −1

dt =

3v

και, παραγωγίζοντας ως

( v + 2 ) θ v+1 ⇒ 3v

( v + 2) T 2 = ( v + 2) 3v

θ v+2

3v

=V (X )

3

( max { X }) i

Ψ 2 (θ ) = 2

( v + 2) θ 2 . 3v

είναι η α.ε.ε.δ. του


askisi3