Page 1

Τρίτη, 19 Ιανουαρίου 2010. Έλεγχοι Υποθέσεων για το Μέσο Κανονικού Πληθυσµού. Α. Αµφίπλευρος έλεγχος. Έστω X 1 , X 2 ,..., X n τ.δ. από κανονική κατανοµή N ( µ ,σ 2 ) , όταν το σ 2 είναι γνωστό. Ζητούµε κρίσιµη περιοχή για τον έλεγχο της H 0 : µ = µ0 , έναντι της H1 : µ ≠ µ0 Λύση: Κατά τα γνωστά, επιζητούµε να καταλήξουµε σε µια στατιστική συνάρτηση ελέγχου (ελεγχοσυνάρτηση) η οποία είναι µία συνάρτηση δεδοµένων του τυχαίου δείγµατος και των παραµέτρων, η οποία, κάτω από την υπόθεση H 0 να έχει γνωστή κατανοµή, ανεξάρτητη από άγνωστες παραµέτρους. X − µ0 Στο παράδειγµά µας, αυτή είναι η z = , η οποία ακολουθεί την τυποποι-

σ

n

ηµένη κανονική κατανοµή ( N ( 0,1) ) . Τότε µπορούµε να απορρίψουµε την H 0 , σε επίπεδο στατιστικής σηµαντικότητας α, αν z ≥ za 2

Α. Μονόπλευρος έλεγχος. Ζητούµε κρίσιµη περιοχή για τον έλεγχο της H 0 : µ = µ0 , έναντι της H1 : µ < µ0 Λύση: Όµοια µε το παραπάνω, η ελεγχοσυνάρτηση είναι η ίδια και απορρίπτουµε την H 0 , για ακραίες αρνητικές τιµές του z . Αντίθετα ( H1 : µ > µ0 ) , απορρίπτουµε την H 0 , για ακραίες θετικές τιµές του z . Βήµατα Ελέγχου Υποθέσεων 1) Με λόγο πιθανοφανειών ή γενικευµένο λόγο πιθανοφανειών, καταλήγουµε σε ελεγχοσυνάρτηση, η οποία κάτω από την H 0 , έχει γνωστή κατανοµή και είναι ανεξάρτητη από άγνωστες παραµέτρους. 2) Απορρίπτουµε την H 0 , αν η παρατηρούµενη τιµή της ελεγχοσυνάρτησης είναι ακραία κάτω από την αρχική υπόθεση ( H 0 ). Το πόσο ακραία, καθορίζεται από το ε.σ.σ. (α), αλλιώς η H 0 δεν απορρίπτεται και το συµπέρασµα είναι ότι τα δεδοµένα δεν παρέχουν αρκετές ενδείξεις για την απόρριψη της H 0 .

Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται στην κανονική κατανοµή, όταν η διασπορά (σ 2 ) είναι άγνωστη. X 1 , X 2 ,..., X n τ.δ. από N ( µ ,σ 2 ) , όταν η σ 2 είναι άγνωστη. 1


Τότε, όπως θυµόµαστε, αντί της σ 2 , παίρνουµε την εκτιµήτριά της s και X − µ0 ελεγχοσυνάρτηση είναι η T = , η οποία, κάτω από την H 0 , ακολουθεί S n 3)

(

)

(

)

την κατανοµή Student t, µε n-1 βαθµούς ελευθερίας T ~ t ( n−1) , η οποία είναι είναι ανεξάρτητη από άγνωστες παραµέτρους. Τότε για αµφίπλευρο έλεγχο, απορρίπτουµε την H 0 , για ακραίες τιµές της Τ, δηλαδή T ≥ ta ,( n−1) , 2

και για µονόπλευρο έλεγχο, απορρίπτουµε την H 0 , για ακραίες θετικές (ή αρνητικές) τιµές της Τ, δηλαδή T > ta ,( n−1) , ή T < ta ,( n−1) Παρατηρούµενο Επίπεδο Σηµαντικότητας (Observed Level of Significance, p – value) είναι η πιθανότητα να πάρει η ελεγχοσυνάρτηση τιµή τόσο ακραία ή περισσότερο ακραία από αυτή που παρατηρήσαµε στο δείγµα µας, κάτω από την αρχική υπόθεση H 0 . Τότε θα απορρίπτουµε την H 0 , αν το p-value είναι µεγαλύτερο από τη za .

2

24_mathima  

1 0 X τ . δ . από κανονική κατανοµή ( ) − = , η οποία ακολουθεί την τυποποι - , ,..., n X X = , έναντι της 1 = , έναντι της 1 N µσ , όταν το...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you