Issuu on Google+

Τρίτη, 12 Ιανουαρίου 2010. Έλεγχος Απλής Υποθέσεως H 0 Έναντι Απλής H1 . H 0 : θ = θ 0 έναντι της H1 : θ = θ1 Για την εύρεση Ισχυρότατη κρίσιµη περιοχή, συγκεκριµένου µεγέθους α είναι η κρίσιµη περιοχή µε τη µεγαλύτερη ισχύ (ή ισοδύναµα µε τη µικρότερη πιθανότητα σφάλµατος τύπου ΙΙ) ανάµεσα σε όλες τις κρίσιµες περιοχές µεγέθους α. Παράδειγµα Ελέγχουµε τη µεροληψία ενός κέρµατος. 1 3 H0: p = , H1: p = . 2 4 Έστω ν=6 (6 ρίψεις του νοµίσµατος) Να βρεθεί η ισχυρότατη κρίσιµη περιοχή µεγέθους a = 7 64 Μπορούµε να κατασκευάσουµε τον παρακάτω πίνακα: S 0 1 2 3 4 5 6

1 2 = 0,015625

H0 : p = 1

64

3 4 = 0,000244

H1 : p = 1

4096 6 = 0,09375 18 = 0,004395 64 4096 15 = 0, 234375 135 = 0,032959 64 4096 20 = 0,3125 540 = 0,131836 64 4096 15 = 0, 234375 1215 = 0,296631 64 4096 6 = 0,09375 1458 = 0,355957 64 4096 1 = 0,015625 729 = 0,177979 64 4096

∆ιακρίνουµε όλες τις περιοχές απόρριψης της H 0 , οι οποίες συνολικά έχουν πιθανότητα a = 7 . 64 Έτσι έχουµε: C1 = {S = 0,1} , C2 = {S = 5,6} , C3 = {S = 0,5} και C4 = {S = 1,6} . 3  Ισχύς ελέγχου = 1 - P  C | p =  4  3  Ισχύς ελέγχου C1 = 1 − P  C1 | p =  = 1 − 0,000244 − 0,004395 = 4  1 − 0,004639 = 0,995361 1


3  Ισχύς ελέγχου C2 = 1 − P  C2 | p =  = 1 − 0,355957 − 0,177979 = 4  1 − 0,355957 − 0,177979 = 1 − 0,533936 = 0,466064 3  Ισχύς ελέγχου C3 = 1 − P  C3 | p =  = 1 − 0,000244 − 0,355957 = 4  1 − 0,356201 = 0,643799 3  Ισχύς ελέγχου C4 = 1 − P  C4 | p =  = 1 − 0,000244 − 0,177979 = 4  1 − 0,178223 = 0,821777 Άρα η ισχυρότερη περιοχή ελέγχου είναι η C2 = {S = 5,6} , η οποία µεγιστοποιεί την P ( C | H1 ) = 1 − P (σϕ .τ .ΙΙ )

Λήµµα Neyman – Pearson Γενική Μέθοδος Εύρεση Ισχυρότατης κρίσιµης περιοχής. Έστω X 1 , X 2 ,..., X n τυχαίο δείγµα από κατανοµή µε σ.π. f ( x;θ ) και έστω παραµετρικός χώρος Θ = {θ 0 ,θ1} . Θέλουµε Ισχυρότατο έλεγχο µεγέθους α για τις H 0 : θ = θ 0 έναντι της H1 : θ = θ1 Υπενθύµιση: Συνάρτηση πιθανοφάνειας L (θ ) = f ( x;θ ) =

n

∏ f ( x ,θ ) i

i =1

Εάν υπάρχει θετική σταθερά κ και περιοχή C του δειγµατικού χώρου, τέτοια ώστε: L (θ 0 ) i) ≤ k , εάν ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ∈ C L (θ1 ) ii)

L (θ 0 ) ≥ k , εάν ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ∈C L (θ1 )

iii)

Pr ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ∈ C | θ 0  = a

Τότε η C θα είναι ισχυρότατη κρίσιµη περιοχή µεγέθους α, για τον έλεγχο H 0 : θ = θ 0 έναντι της H1 : θ = θ1 (απλής έναντι απλής). Παράδειγµα - Άσκηση: Έστω X 1 , X 2 ,..., X n τ.δ. από κανονική κατανοµή ( µ ,σ 2 = 36 ) Να ελεγχθεί η H 0 : µ = 50 , έναντι της υποθέσεως H1 : µ = 55 , σε επίπεδο σηµαντικότητας α. Λύση: Συνάρτηση πιθανοφάνειας

2


L ( µ ) = f ( x; µ ) =

n

n

∏ f ( x ;µ ) = ∏ i

i =1

i =1

 ( xi − µ )2  1 exp − = 2 ⋅ 36 2π 36  

 n 2 xi − µ )  ( ∑ n  −  ( 72π ) 2 exp − i=1  72      n 2 xi − 50 )  ( ∑ n  −  ( 72π ) 2 exp − i=1  n 72   exp − 1 ∑ ( xi − 50 )2  L ( µ = 50 )    72 i =1 = = = n n L ( µ = 55 )  2  1 2 xi − 55 )  exp − ∑ ( xi − 55 )  ( ∑ n  −   72 i =1  ( 72π ) 2 exp − i=1  72     n  1  n 2 2  exp −  ∑ ( xi − 50 ) − ∑ ( xi − 55 )   = i =1   72  i=1 n  1  n  exp −  ∑ ( xi 2 − 2 xi ⋅ 50 + 502 ) − ∑ xi 2 − 2 xi 55 + 552   = i =1   72  i =1 n n n n n  1  n  exp −  ∑ xi 2 − ∑100 xi + ∑ 502 − ∑ xi 2 + ∑110 xi − ∑ 552   = i =1 i =1 i =1 i =1 i =1   72  i =1  1  n  1  n  2 2  exp − 10∑ xi + n50 − n55   = exp − 10∑ xi + n ( 502 − 552 )   =    72  i =1  72  i =1 n    xi ∑  1    i =1 exp − 10n + n ( 50 − 55 )( 50 + 55 )   = 72 n         1   1  exp − 10n X + n ( −5 ) ⋅ 105  = exp − 10n X − 525n   72   72  L ( 50 ) 1  1  ≤ k ⇔ exp − 10n X − 525n  ≤ k ⇔ − 10n X − 525n ≤ ln k ⇔ L ( 55 ) 72  72 

(

(

)

(

525 10 X ln k 10 X 525 ln k − ≤ ⇔ ≥ − ⇔ 72 72 n 72 72 n 525 72ln k 1 X≥ − = ( 525n − 72ln k ) = c 10 10n 10n άρα I ΚΠ = C : ( X 1 , X 2 ,..., X n ) : X ≥ c

{

)

}

3

)


Pr ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ∈ C | µ = 50  = a

Αριθµητικά παραδείγµατα: Εφαρµογή: Να βρεθεί η σταθερά c, αν α=0,05 και n = 16 . P ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ∈ C | H 0  = a = 0,05

(

)

P X ≥ c | µ = 50 = 0,05   3 2  X −µ  36  X ~ N ( µ ,36 ) ⇔ X ~ N  µ ,  = N  µ ,    ⇔ z = ~ N ( 0,1) ⇔  2  3  16    2      X − 50 c − 50   c − 50  z P ≥ = 0,05 ⇔ Pr ≥ = 0,05 ⇔  3 3  3       2 2   2             c − 50 c − 50 c − 50  z 1 − Pr  z < = 0,05 ⇔ Pr < = 0,95 ⇔ Φ   3  = 0,95 ⇒ 3  3        2  2     2     c − 50  c − 50 3 ⋅ 1,645 4,935 Φ = Φ (1,645 ) ⇒ = 1,645 ⇒ c = 50 + = 50 + =  3 3 2 2    2  2 50 + 2,4675 = 52, 4675

Άσκηση: (συνέχεια προηγούµενης) Έστω n = 16 και c = 53 . Να βρεθεί το επίπεδο στατιστικής σηµαντικότητας α. Λύση   Χ − 50 53 − 50   a = P (απ όρρ . Η 0 | Η 0 αληθ ής ) = P Χ ≥ c | µ = 50 = P ≥ =  σ  3   2  n  P ( z ≥ 2 ) = 1 − P ( z < 2 ) = 1 − Φ ( 2 ) = 0,0228

(

)

Άσκηση: Έστω X 1 , X 2 ,..., X n τυχαίο δείγµα από κανονική κατανοµή N (θ ,1) . i) Να βρεθεί η ισχυρότατη κρίσιµη περιοχή του ελέγχου H 0 : θ = 0 έναντι της H1 : θ = −1 . ii) Ν.δ.ό. αν n = 25 και α=0,05, η ισχύς του ισχυρότατου ελέγχου είναι 0,999, όταν η H1 είναι αληθής. 4


Λύση Πιθανοφάνεια L (θ ) = f ( X 1 , X 2 ,..., X n ) =

i)

n

∏ f ( x ,θ ) = i

i =1

1 n  2   1 n 2 − −  1 2 2 π − x − θ = π − x − θ 2 exp 2 exp ( ) ( ) ( ) ( )     ∑ ∏ i i    2  i =1   2 i =1  n

 1 n 2  1 n 2 exp − ∑ xi  ( 2π ) exp − ∑ ( xi − 0 )  L (θ 0 ) L ( 0 ) 2 i =1    2 i =1  = = = = n 2  1 n  1 n L (θ1 ) L ( −1) 2 − 2 2 exp 1 exp −  x − −  π ( )  ∑  i ( )  − ∑ ( xi + 1)   2 i =1   2 i=1  n n n n 1  1  1 2 2  exp − ∑ xi 2 + ∑ ( xi + 1)  = exp   ∑ ( xi + 1) − ∑ xi 2   = 2 i =1 i =1  2 i=1    2  i =1 −

n 2

n n 1  n 1  n   exp   ∑ xi 2 + 2 xi + 1 − ∑ xi 2   = exp   ∑ ( xi 2 + 2 xi + 1) − ∑ xi 2   = i =1 i =1    2  i =1  2  i =1 n n n 1  n 1  n   exp   ∑ xi 2 + ∑ 2 xi + ∑1 − ∑ xi 2   = exp   2∑ xi + n   = i =1 i =1 i =1    2  i=1  2  i =1

n 1 ln k ln k 1 n  exp n X +  ≤ k ⇒ n X + ≤ ln k ⇒ X + ≤ ⇒ X≤ − =c 2 2 2 n n 2   Άρα η κρίσιµη περιοχή µεγέθους α είναι: C = ( X 1 , X 2 ,..., X n ) : X ≤ c , έτσι ώστε P ( ( X 1 , X 2 ,..., X n ) | H 0 ) = a

{

}

ln k 1 − , δηλαδή απορρίπτουµε την H 0 έναντι n 2 της H1 , όταν C = ( X 1 , X 2 ,..., X n ) : X ≤ c

ii)

Είδαµε ότι: X ≤ c , c =

{

}

άρα P ( ( X 1 , X 2 ,..., X n ) | H 0 ) = a

(

)

P ( C | θ = 0 ) = a = 0,05 ⇔ P X ≤ c | θ = 0 = 0,05 ⇔   X − 0 c − 0  = 0,05 ⇔ P ( z ≤ 5c ) = 0,05 ⇔ 5c = − z = −1,645 ⇒ P ≤ 0,05  1 1   25 25   1,645 c=− , άρα απορρίπτουµε όταν z < −1,645 ( Φ ( −1,645 ) = 0,05 ) , 5 z0,05 = 1,645 ⇒ − z0,05 = −1,645 Συνάρτηση ισχύος: Π (θ ) = P ( C | θ ) , όταν H1 είναι αληθής

(

)

(

)

Π (θ1 ) = P ( C | θ = −1) = P X ≤ c | θ = −1 = P X ≤ −0,329 | θ = −1 =

5


  X + 1 − 0,329 + 1  = P ( z ≤ 3,3) = Φ ( 3,3) = 0,999 , ό.έ.δ. P ≤  1  1   25 25  

6


22_mathima