Issuu on Google+

∆ευτέρα, 2 Νοεµβρίου 2009 Παράδειγµα Έστω X 1 , X 2 ,..., X v τ.δ. ~ N ( µ ,σ 2 ) . Να βρεθεί µία επαρκής σ.σ. για το

θ = ( µ ,σ 2 ) . f ( X ;θ ) =

v

∏ f (X ,X 1

2

,..., X v ; µ ,σ

i =1

 ( xi − µ )2  exp − =* 2 2 2 σ 2πσ  

v

2

)= ∏

1

i =1

v  1 v 2 2 −2 πσ 2 exp ( ) − 2 ∑ ( xi − µ )  =  2σ i=1  v v − ( 2πσ 2 ) 2 exp − 2σ1 2 ∑ ( xi 2 − 2 xi µ + µ 2 ) = i =1   v v  v 2  2 xi µ ∑ 2µ xi  v ∑ ∑  − ( 2πσ 2 ) 2 exp − i2=1σ 2 − i2=1σ 2 + i=12σ 2  =     v  v 2  x µ xi  v ∑ ∑ 2 i  − ( 2πσ 2 ) 2 exp − i2=1σ 2 − 2vσµ 2 + σi=12  = g (T ( X ) ,θ ) ⋅ h ( X ) , µε     v  v 2  x µ x v ∑ ∑ 2 i i   v − vµ − g (T ( X ) ,θ ) = (σ 2 ) 2 exp − i =1 2 − 2 + i =12  και h ( X ) = ( 2π ) 2 , οπότε 2σ σ   2σ   v  v  T ( X ) =  ∑ xi , ∑ xi2  , άρα η Τα είναι επαρκής για το θ .  i =1 i =1 

Επίσης v  ( xi − µ )2  2  1 v 2 −2 *∏ exp − = = 2 πσ exp − x − X + X − µ ( )   = i 2 2 ∑ 2 2 σ σ i = 1 i =1   2πσ 2   v 2 2  1 v   2 −2 2 πσ exp − x − X + X − µ + 2 xi − X X − µ   = ( )  i 2 ∑    2σ i =1  v

(

1

(

) (

)

(

)(

)

)


2

 v v  ∑ 2 −2 ( 2πσ ) exp − i=1    v v  ∑ 2 −2 ( 2πσ ) exp − i=1  

(

xi − X 2σ

)

2

2

(x − X ) i

2σ 2

2

(

v X −µ 2σ

)

2

2

1 2σ 2

(

2 X −µ

)∑( v

i =1

  xi − X  =  

)

 v X − µ  2  v  − , οπότε : T X = x − X ,X . ( )  ∑ i  2 2σ  i =1   

(

)

2

(

)

Παράδειγµα Έστω X 1 , X 2 ,..., X v τ.δ. ~ Ε.Ο.Κ. Υπάρχει επαρκής σ.σ. και ποια είναι; X j ~ EOK , j = 1, 2,..., v , θ = (θ1 ,θ 2 ,...,θ s )  s  f x j ( X ;θ ) = β (θ ) exp ∑ηi (θ ) Ti ( x j )  h ( x j ) ⇒  i =1  v v  s  f X ( x j ;θ ) = ∏ f ( x j ;θ ) = ∏ β (θ ) exp ∑ηi (θ ) Ti ( x j )  h ( x j ) = j =1 j =1  i =1  v v s v    β (θ )  exp ∑ ∑ηi (θ ) Ti ( x j ) ∏ h ( x j ) = j =1  i =1  j =1  s  β * (θ ) exp ∑ηi (θ ) Ti* ( X )  h* ( x j ) , άρα υπάρχει επαρκής σ.σ. και είναι η  i =1  * * * T ( X ) = (T1 ( X ) , T2 ( X ) ,..., Ts* ( X ) ) .


09_mathima