Issuu on Google+

Η ΔΑΠ-Οικονομικού, ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟΝ ΦΟΙΤΗΤΗ, τώρα και με τθν επανζκδοςθ των κεμάτων παλαιότερων εξεταςτικών ςε όλα τα μακιματα. Τα παλαιότερα κα τα βρείτε ςτα τραπεηάκια τθσ ΔΑΠ ςε φυλλάδια και ςθμειώςεισ, κακώσ και ςε θλεκτρονικι μορφι ςτο DVD και ςτο site μασ, www.dap-oikonomikou.gr μαηί με άλλο χριςιμο υλικό.


Παλαιότερα Θέματα: Δυναμικά Μαθηματικά

2010

Περιεχόμενα Περιεχόμενα ................................................................................................................................ 1 Μακθματικά ΙΙΙ – Σεπτζμβριοσ 2009 ........................................................................................... 2 Μακθματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριοσ 2009 ......................................................................................... 2 Μακθματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριοσ 2008 ......................................................................................... 3 Μακθματικά ΙΙΙ – Ιανουάριοσ 2007 ............................................................................................. 4 Μακθματικά ΙΙΙ – Σεπτζμβριοσ 2006 ........................................................................................... 4 Μακθματικά ΙΙΙ – Σεπτζμβριοσ 2005 ........................................................................................... 5 Μακθματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριοσ 2005 ......................................................................................... 6 Μακθματικά ΙΙΙ – Σεπτζμβριοσ 2004 ........................................................................................... 7 Μακθματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριοσ 2004 ......................................................................................... 7 Μακθματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριοσ 2002 ......................................................................................... 8

1

www.dap-oikonomikou.gr


Παλαιότερα Θέματα: Δυναμικά Μαθηματικά

2010

Μαθηματικά ΙΙΙ – Σεπτέμβριος 2009 Θέκα 1νλ: Λα επηιπζεί ε Γηαθνξηθή Δμίζσζε: y‟= Θέκα 2νλ: Λα επηιπζεί ε Γηαθνξηθή Δμίζσζε: y‟+y=x√ =0, y(0)=4 Θέκα 3νλ: Δπηιύζαηε ην θάησζη ζύζηεκα δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ: ≡y1+y2+x =y1-y2+1-x Θέκα 4νλ: Γύν αληαγσληζηηθά πξντόληα θπθινθνξνύλ ζηελ αγνξά αξρηθά ζε πνζόηεηεο x0, y0 θαη κεηά από παξέιεπζε n εηώλ ζε πνζόηεηεο x0 θαη y0 αληίζηνηρα. Ηζρύνπλ νη ζρέζεηο:

Μαθηματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριος 2009 ΘΔΚΑ 1 Δπηιύζαηε ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε:

1 x

y

'    2 y x  ΘΔΚΑ 2 Δπηιύζαηε ην ζύζηεκα:

3 x ''(t )  2 y ''(t )  t 2 x ''(t )  y ''(t )  2t ΘΔΚΑ 3 Δπηιύζαηε ηελ θάησζη δηαθνξηθή εμίζσζε θαη κειεηήζαηε ηνλ ρώξν θάζεσλ ηεο:

y '( x)  4 y( x)  y 2 ( x) ΘΔΚΑ 4 Δπηιύζαηε ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ:

1 1  yn 2  yn1  yn  3  2n 2 2

2

www.dap-oikonomikou.gr


Παλαιότερα Θέματα: Δυναμικά Μαθηματικά

2010

ΘΔΚΑ 5

Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε ρξεζηκόηεηαο

U ( x, y)  a ln x  b ln y .

Βξείηε ηελ ζπλάξηεζε πνπ

είλαη θάζεηε (νξζνγώληα) ζηηο θακπύιεο αδηαθνξίαο ηεο.

ΘΔΚΑ 6

Έζησ

wt ν πιεζπζκόο ελόο είδνπο ςαξηνύ ηελ ρξνληθή ζηηγκή t. Έζησ όηη ν πιεζπζκόο απ-

ηόο απμάλεη θαηά 20%, ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή θαη αιηεύνληαη4 κνλάδεο. Δάλ ε ζπλάξηεζε δήηεζεο

είλαη

Dt  0.6 pt ,

pt

όπνπ

ε

ηηκή

ησλ

ςαξηώλ

ζηελ

αγνξά,

θαη

ε

St  1.2 pt 1  0.05wt 1

ε

ξώλ κε αγλώζηνπο ηα

wt , pt θαη επηιύζαηε ην , δεδνκέλνπ όηη ζηελ αγνξά επηθξαηεί ηζνξ-

ξνπία θαη

ζπλάξηεζε

πξνζθνξάο, κνξθώζαηε ζύζηεκα εμηζώζεσλ δηαθν-

w0  100, p0  2 .

ΣΑ ΘΔΚΑΣΑ 5 ΘΑΗ 6 ΒΑΘΚΟΙΟΓΟΤΛΣΑΗ ΚΔ 2 ΚΟΛΑΓΔ΢, ΣΑ ΑΙΙΑ ΚΔ 1.5 ΚΟΛΑΓΑ

Μαθηματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριος 2008 1. Έζησ ε ΔΓ

xt 1  1, 2 xt  0, 2 xt 1  2t x0  0, x1  1 α) Λα βξεζεί ην x3. β) Λα βξεζεί ην xn. 2. α) Λα ιπζεί ε δηαθνξηθή εμίζσζε ..

.

x 4 x 4 x  t κε ηε βνήζεηα ηεο αληίζηνηρεο νκνγελνύο θαη ππνζέηνληαο όηη νη αξρηθέο ζπλζήθεο είλαη κεδέλ. β) Λα ιπζεί ε ΓΔ .

x

xt , x(0)  1 1 t2

3. Λα βξεζνύλ ηα δύν ζεκεία ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζηήκαηνο .

x  y ( x  1) .

y  x(1  y 3 ) θαη λα εμεηαζηνύλ κε ηε βνήζεηα ηεο κεζόδνπ ηεο γξακκηθνπνίεζεο.

3

www.dap-oikonomikou.gr


Παλαιότερα Θέματα: Δυναμικά Μαθηματικά

2010

Μαθηματικά ΙΙΙ – Ιανουάριος 2007 ΘΔΜΑ 1νλ: Δπηιύζαηε ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε:

y

=

y 4x

+

x 4 y3

,

y(1) = 1

ΘΔΜΑ 2νλ: Δπηιύζαηε ην ζύζηεκα:

x

= 2x + y

y = 6 x  3 y ΘΔΜΑ 3νλ: Κειεηήζαηε ηνλ ρώξν θάζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο:

x = 5x  2 y

y = 2x – 5y ΘΔΜΑ 4νλ: Δπηιύζαηε ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ:

yn  2 + yn 1 - 2 yn

= 5n + 1 + 2n

ΘΔΜΑ 5νλ: Έζησ όηη ε ηηκή ελόο πξντόληνο ηελ ρξνληθή ζηηγκή t είλαη pt. Έζησ αθόκα όηη νη ζπλαξηήζεηο δήηεζεο θαη πξνζθνξάο δίδνληαη από ηηο ζρέζεηο: Dt =

a  bpt

St  c  dpt* όπνπ

pt*

a, b  0

,

,

c, d  0

ππνδειώλεη ηελ πξνζδνθώκελε ηηκή θαη δίδεηαη από ηελ ζρέζε:

pt*  pt*1  h( pt 1  pt*1 )

,

0<h≤1

Τπνζέηνληαο όηη ε αγνξά βξίζθεηαη ζε ηζνξξνπία ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή, κνξθώζαηε εμίζσζε δηαθνξώλ γηα ηελ ηηκή ζπλζήθεο, ην

pt

pt

θαη επηιύζαηε ηελ. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ h θαη ππό πνίεο

ζπγθιίλεη θαη πνπ;

Μαθηματικά ΙΙΙ – Σεπτέμβριος 2006 Θέκα 1ν Έζησ ε ΔΓ

4

xt 1  1,1xt  0,1xt 1 x0  0, x1  1

www.dap-oikonomikou.gr


Παλαιότερα Θέματα: Δυναμικά Μαθηματικά Α) Λα βξεζεί ην

xn

Β) Λα βξεζεί ην

lim

2010

xn 1 xn

Θέκα 2ν Α) Λα ιπζεί ε δηαθνξηθή εμίζσζε ..

.

x  2 x  x  et Κε ηε βνήζεηα ηεο αληίζηνηρεο νκνγελνύο θαη ππνζέηνληαο όηη νη αξρηθέο ζπλζήθεο είλαη κεδέλ. Β) Λα γξαθεί ζε κνξθή εμηζώζεσλ θαηάζηαζεο Θέκα 3ν Λα βξεζνύλ ηα δύν ζεκεία ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζηήκαηνο .

x  x( y  1) .

y  y  y2 ΝΑ ΓΡΑΦΟΥΝ ΟΛΑ ΤΑ ΘΔΜΑΤΑ

Μαθηματικά ΙΙΙ – Σεπτέμβριος 2005 ΕΖΤΖΜΑ 1Ο Γηα πνηα ηηκή ηνπ ω>0 παξνπζηάδεηαη ην θαηλόκελν ηνπ ζπληνληζκνύ γηα ηελ παξαθάηω δηαθνξηθή εμίζωζε:

y(t )  4 y(t )  3sin(t ) Λα εμεγήζεηε ηα ραξαθηεξηζηηθά ηεο ιύζεσο γηα ηελ ηηκή ηνπ σ>0 πνπ παξνπζηάδεηε ζπληνληζκόο. ΕΖΤΖΜΑ 2ν Λα ιπζεί ε δηαθνξηθή εμίζσζε:

x(t )  3x(t )  2 x(t ) κε αξρηθέο ζπλζήθεο x(0)=0,

5

x(0)  1

www.dap-oikonomikou.gr


Παλαιότερα Θέματα: Δυναμικά Μαθηματικά

2010

ΕΖΤΖΜΑ 3ν Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ

a 

είλαη ην ζεκείν ηζνξξνπίαο αζπκπησηηθά επζηαζέο γηα

x(t )  y(t ), y(t )  2x(t )   y(t )

α) ην ζύζηεκα δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ

β) ην ζύζηεκα εμηζώζεσλ δηαθόξσλ x(t+1)=y(t), y(t+1)=αy(t) ΕΖΤΖΜΑ 4ν Λα ιπζεί ε εμίζσζε δηαθόξσλ: x(n+2)-5x(n+1)+4x(n)=0 κε αξρηθέο ζπλζήθεο x(0)=1, x(1)=0

Μαθηματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριος 2005 Εήηεκα 1ν: (α) Γηα πνηα ηηκή ηνπ σ>0 παξνπζηάδεηαη ην θαηλόκελν ηνπ ζπληνληζκνύ γηα ηελ ..

παξαθάησ δηαθνξηθή εμίζσζε:

y (t) + 4y(t) = 3sin(σt)

(β) Λα επηιπζεί ε παξαπάλσ δηαθνξηθή εμίζσζε γηα ηελ ηηκή ηνπ σ>0 πνπ παξνπζηάδεηαη .

ζπληνληζκόο θαη κε αξρηθέο ζπλζήθεο y(0)=

y (0)=0.

Εήηεκα 2ν: Λα ιπζεί ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ: ..

..

x (t) =2 x(t) – y(t)

θαη

y (t) = 3 x(t) – 2 y(t) .

.

κε αξρηθέο ζπλζήθεο ρ(0)= x (0)=0 θαη y(0)= Εήηεκα 3ν: Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ

aR

y (0)=1.

είλαη ην ζεκείν ηζνξξνπίαο αζπκπησηηθά επζηαζέο γηα .

(α) ην ζύζηεκα δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ

.

x (t)=y(t) , y (t)= -x(t)+ay(t)

(β) ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ δηαθνξώλ x(t+1)=y(t) , y(t+1)=ax(t) Εήηεκα 4ν: Λα ιπζεί ε εμίζσζε δηαθνξώλ: x(t+2) + 2x(t+1) + x(t)=0 κε αξρηθέο ζπλζήθεο ρ(0)=1 θαη ρ(1)=0.

6

www.dap-oikonomikou.gr


Παλαιότερα Θέματα: Δυναμικά Μαθηματικά

2010

Μαθηματικά ΙΙΙ – Σεπτέμβριος 2004 ΠΡΟ΢ΟΥΖ. Όζεο θαη όζνη από ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνύλ λα ελεκεξσζνύλ ειεθηξνληθά γηα ην βαζκό ηνπο, παξαθαινύληαη όπσο πξνζηξέμνπλ ζηελ ηζηνζειίδα ηνπ ηκήκαηνο ζηε δηεύζπλζε ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ III. 1νλ:Δπηιύζαηε

Θέκα

πιήξσο

ηελ

εμίζσζε

δηαθνξώλ:

y  3y  2y  10 , n 3 n 2 n1

y  y  0. 0 1

 Θέκα 2νλ:Γίδεηαη ην νινθιήξσκα

y( )  0 . 2

2 '2 02 ( y  y )dt

θαη νη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο y(0)=

Βξείηε γηα πνηεο „εθθξάζεηο‟ ηεο ζπλαξηήζεσο y(t) ην νινθιήξσκα παξνπζηάδεη

αθξόηαην, θαζώο θαη ην είδνο ηνπ. Θέκα 3νλ: Λα ιπζεί ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ:

Υ΄=ρ+

1 y 2

3 y ΄=ρ+ y +1 2 Θέκα 4νλ: Κηα ζπλάξηεζε παξαγσγήο Q, εμαξηάηαη από δύν ζπληειεζηέο Θ θαη L. Αθνινπζώληαο ην καξηδηλαιηζηηθό θαλόλα θαζνξηζκνύ ησλ ηηκώλ, κπνξνύκε λα κνξθώζνπκε ηελ εμίζσζε:

Q

Q Q K L. K L

Υξεζηκνπνηώληαο ηελ εμίζσζε απηή, βξείηε έθθξαζε γηα

ηελ Q. Βαζκόο δπζθνιίαο: Σα ζέκαηα είλαη ηζνδύλακα.

Μαθηματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριος 2004 ΠΡΟ΢ΟΥΖ.

Όζερ

και

όζοι

από

ηιρ

κςπίερ

και

κςπίοςρ

θοιηηηέρ

επιθςμούν

να

ενημεπωθούν ηλεκηπονικά για ηον βαθμό ηοςρ> παπακαλούνηαι όπωρ πποζηπέξοςν ζηην ιζηοζελίδα ηος Τμήμαηορ ζηην διεύθςνζη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ III Θ Δ ΜΑ 1 νλ : Δπηιύζαηε ηελ Γηαθνξηθή Δμίζσζε: (x + y 2 )dx + xydy = Ο,

7

www.dap-oikonomikou.gr

y(0) = 1


Παλαιότερα Θέματα: Δυναμικά Μαθηματικά

2010

Θ Δ ΜΑ 2 νλ : Γίδεηαη ην νινθιήξσκα

 e x'  xdt, T

 rt

3

0

T,r > Ο

θαη νη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ρ(0) = Ο, σ (Τ) = Β. Βξείηε γηα πνηεο “εθθξάζεηο” ηεο ζπλαξηήζεσο x(t) ην νινθιήξσκα παξνπζηάδεη αθξόηαην, θαζώο θαη ην είδνο ηνπ.

Θ Δ ΜΑ 3 νλ: Λα ιπζεί ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ: x΄΄ = 2x – y

θαη

y΄΄ = 3x – 2y

Θ Δ ΜΑ 4 νλ: Έλαο πνιηηηθόο κπνξεί είηε λα απνθαζίζεη λα ζπκκεηάζρεη ζηηο πξνζερείο εθινγέο, είηε όρη. Παίξλεη κία απόθαζε θαη ηελ θνηλνπνηεί ζην πξόζσπν Α. απηό ζην Β, απηό ζην Γ, θ.ν.θ. Έζησ α ε πηζαλόηεηα θάπνην πξόζσπν λα δηαζηξεβιώζεη ην ' λαη ' ζε ' όρη ' θαη β ην ' όρη ' ζε ' λαί ". Γηαηππώζαηε ζύζηεκα εμηζώζεσλ δηαθνξώλ πνπ πεξηγξάθεη ηελ ' κεηάδνζε ' ηεο πιεξνθνξίαο θαη κειεηήζαηε ηελ νξηαθή ζπκπεξηθνξά ηεο. Βαζκόο Γπζθνιίαο: Τα ζέκαηα είλαη ηζνδύλακα.

Μαθηματικά ΙΙΙ – Φεβρουάριος 2002 Θ Δ ΜΑ 1 ν λ Ζ η ηκ ή ελόο π ξντό λ ηνο εμαξ ηά ηαη α πό ην λ ρ ξό λν , π = p(t) θαη αθνινπζεί ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε:

dp  p 1  tp 0.18 dt

Δάλ ξ(0) = 1, βξείηε έλαλ ηύπν γηα ηελ p(t) θαη δείμαηε όηη νξηαθά ε ηηκή ζα κεδεληζζεί.

Θ Δ ΜΑ 2 νλ Λα ιπζεί ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ: x"(t) + y'(t) = 1 - x(i) - y(t)

8

και

y"(t)+y(t)=x(t) -x'(t)

www.dap-oikonomikou.gr


Παλαιότερα Θέματα: Δυναμικά Μαθηματικά

2010

Θ Δ ΜΑ 3 νλ

Υξεζηκνπνηώληαο ηνλ κεηαζρεκαηηζκό

zn 

1 yn

, επηιύζαηε ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ:

y n1  y n  y n1  y n  0 Θ Δ ΜΑ 4 νλ

Θεσξνύκε ηηο αιιεινζπζρεηηδόκελεο αγνξέο "δσνηξνθέο-δώα", πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο ζρέζεηο: C

D

Εσνηξνθέο:

C

C

όπνπ

t

, St ,

D

t

C

C

 1,5 p  1.2 p

θαη

t 1

t

S

C t

C

p

t

C

 1.3 p

t 1

C

p

ε δήηεζε, ε πξνζθνξά θαη ε ηηκή ησλ δσνηξνθώλ αληίζηνηρα, ηελ

t

ρξνληθή ζηηγκή t. h

D

t

Εώα:

S

h t

C

t 1

t 1

t

θαη

 15  0.5 p  5 p h

h

όπνπ

h

h

 20  5 p

Dt , S t ,

p

h

t

ε δήηεζε, ε πξνζθνξά θαη ε ηηκή ησλ δώσλ αληίζηνηρα, ηελ ρξνληθή

ζηηγκή t. Έζησ όηη ππάξρεη ηζνξξνπία.

Κνξθώζαηε ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο ζε έλα ζύζηεκα εμηζώζεσλ

δηαθνξώλ, κε αγλώζηνπο ηηο πνζόηεηεο C

p

0

p

h

0

C

h

t

t

p ,p

θαη

επηιύζαηε

 5.

Βαζκόο Γπζθνιίαο: Σα ζέκαηα είλαη ηζνδύλακα.

Τπνινγηζηηθή Πεξηπινθόηεηα: ζέκα 3νλ, ζέκα 2νλ, ζέκα 1νλ, ζέκα 4νλ.

9

www.dap-oikonomikou.gr

ην.

Γίδεηαη

όηη


dap_themata_ok_2010_mathimatika_III