Issuu on Google+


ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ..........................................................................................................2 Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις – ΣΕΠΤ 2006 ..................................3 Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις – IOY 2006.....................................4 Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών & Προβλέψεις – ΙΟΥ 2005 .......................................6 Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις - Ιούνιος 2004 .................................9 Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις - Ιανοσάριος 2003 ........................11 Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις - Σεπτέμβριος 2002 ......................13


Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις – ΣΕΠΤ 2006 Να γξαθνύλ ηέζζεξα ζέκαηα από ηα έμη. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε δύν κνλάδεο. ΘΕΜΑ 1ο Οξίζαηε ηηο έλλνηεο ηεο απηνζπζρέηηζεο

k –ηάμεο (  ) θαη ηεο ζπλάξηεζεο απηνζπρέηηζεο

κηαο ρξνλνινγηθήο ζεηξάο { xt } θαη απνδείμαηε όηη ε 1,1]. Αλ όκσο

1

είλαη ε απηνζπζρέηηζε 1εο

απνδείμαηε όηη παίξλεη ηηκέο κόλν ζην δηάζηεκα



παίξλεη ηηκέο κόλν ζην δηάζηεκα [-

ηάμεο κηαο ΜΑ(1)

 1 1   2 , 2 

ρξνλνινγηθήο ζεηξάο

. Ση ζπκπέξαζκα βγάδεηε γηα ηε

<<κλήκε>> κηαο ΜΑ(1) ζεηξάο ; Θα ηελ ραξαθηεξίδαηε ηζρπξή ή αζζελή θαη γηαηί; ΘΕΜΑ 2Ο Έζησ { xt } κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά πνπ αθνινπζεί έλα ARMA(p,q) ππόδεηγκα κε γλσζηή ηε δεηγκαηνιεπηηθή

xt , xt 1,..., xt n1

πξνβιέπηξηα ζπλάξηεζε

ησλ n

πην πξόζθαησλ παξαηεξήζεσλ. Οξίζαηε ηελ

xt (m)  g ( xt , xt 1 ,..., xt  n 1 ) γηα

ηνλ όξν xt  m

ηεο ζεηξάο απηήο,

πνπ ηθαλνπνηεί ην θξηηήξην ειαρίζηνπ κέζνπ ηεηξαγσληθνύ ζθάικαηνο θαη δηαηππώζαηε ηηο ηδηόηεηεο ησλ ππό ζπλζήθε καζεκαηηθώλ ειπίδσλ, πάλσ ζηηο νπνίεο ζηεξίδεηαη ε δηαδηθαζία πξόβιεςεο. Απνδείμαηε ηέινο όηη ηζρύεη ε ζρέζε:

xt 1  xt (1)   t 1

ΘΕΜΑ 3Ο Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά

xt

πνπ εθθξάδεηαη ζε ηξηκεληαία ζηνηρεία, αθνινπζεί ην

ππόδεηγκα :

xt  1,5 xt 1  0,5 xt  2  xt  4  1,5 xt 5  0,5 xt 6   t  0,3 t 1  0, 7 t  4  0, 21 t 5 όπνπ

t

ιεπθόο ζόξπβνο.

Απνδείμηε όηη ε

xt

δελ είλαη ζηάζηκε.

Βξείηε πνηνη

κπνξνύλ λα νδεγήζνπλ ζε κηα λέα ρξνλνινγηθή ζεηξά

κεηαζρεκαηηζκνί πάλσ ζηελ

z t πνπ

xt

ζα αθνινπζεί ζηάζηκν θαη

αληηζηξέςηκν ππόδεηγκα. Πσο ραξαθηεξίδεηαη ηόηε ην ππόδεηγκα πνπ αθνινπζεί ε xt ; ΘΕΜΑ 4Ο Έζησ

xt

κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά πνπ αθνινπζεί ην ππόδεηγκα :

1 1 xt   xt 1  xt 2   t , 6 6 Όπνπ  t

είλαη ν ιεπθόο ζόξπβνο. Να απνδεηρζεί όηη ε ζεηξά απηή είλαη ζηάζηκε θαη όηη ε

ζπλάξηεζε απηνζπζρέηηζήο ηεο κπνξεί λα γξαθεί κε ηε κνξθή :


k

k 

k

16  1  9 1       , k  0,1, 2,... 25  2  25  3 

Πνηα είλαη ε ζπλάξηεζε κεξηθήο απηνζπζρέηηζεο ηεο ζεηξάο απηήο ; ΘΕΜΑ 5ο Γηα λα γίλεη ζηάζηκε ε ρξνλνινγηθή ζεηξά

xt

γηα ηελ νπνία δηαζέηνπκε ηξηκεληαία ζηνηρεία,

πήξακε πξώηεο δηαθνξέο θαη πξώηεο επνρηθέο δηαθνξέο, ιακβάλνληαο ηειηθά ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt  (1  B )(1   4 ) xt

, γηα ηελ νπνία εθηηκήζεθε ην ππόδεηγκα :

yt   t  0, 6 t 1  0, 25 t 1  0,15 t 5 (α) Να ραξαθηεξηζζεί ην ζεσξεηηθό ππόδεηγκα ηεο αξρηθήο ζεηξάο

xt θαη

λα γξαθεί ζηελ

πνιιαπιαζηαζηηθή ηνπ κνξθή. Να βξεζνύλ ( αθξηβώο ) νη ξίδεο πνπ απηνπαιηλδξνκηθνύ κέξνπο σο θαη νη ξίδεο ηνπ κέξνπο ηνπ θηλεηνύ κέζνπ ( επνρηθνύ θαη κε επνρηθνύ ) ηνπ ππνδείγκαηνο ηεο ζεηξάο

xt . Δίλαη ε ζεηξά απηή αληηζηξέςηκε θαη γηαηί ;

(β) Γηα ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt

λα βξεζνύλ όιεο νη απηνζπζρεηίζεηο ηεο.

ΘΕΜΑ 6Ο Οη εηήζηεο πσιήζεηο ηνπ πξντόληνο κηαο επηρείξεζεο ( ζε ρηιηάδεο ηεκάρηα) θαηά ηα έηε 2001-2005 δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα : 2001

2002

2003

2004

2005

5,3

8,1

9,2

11,4

13,8

Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο γξακκηθήο εθζεηηθήο εμνκάιπλζεο δύν παξακέηξσλ ( ηνπ Holt) κε α=0,2 θαη β=0,3, βξείηε ηηο πξνβιέςεηο ησλ πσιήζεσλ γηα ηα έηε 2002-2008. Αλ ε εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ απηήο γηα α=0,3 θαη β=0,2 έδσζε κέζν ηεηξαγσληθό ζθάικα ( MSE) ίζν πξνο 0,823, απαληήζαηε αλ ε δηθή ζαο επηινγή παξακέηξνπ έδσζε θαιιίηεξα απνηειέζκαηα. ΢ηε ζπλέρεηα βξείηε ηε ζηαηηζηηθή

U2

ηνπ Theil, πνπ αληηζηνηρεί ζηα

δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο θαη ζρνιηάζαηε ηελ ηηκή ηεο.

Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις – IOY 2006 Να γξαθνύλ ηέζζεξα ζέκαηα από ηα έμη. Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε δύν κνλάδεο. ΘΕΜΑ 1ο Οξίζαηε

ηηο

έλλνηεο

απηνζπζρέηηζεο

ηεο

απηνζπζρέηηζεο

κηαο ρξνλνινγηθήο

k

–ηάμεο

(  )

θαη

ζεηξάο { xt } θαη απνδείμαηε όηη ε

ηεο

ζπλάξηεζεο



παίξλεη ηηκέο


κόλν ζην δηάζηεκα [-1,1]. Αλ όκσο

1

ρξνλνινγηθήο ζεηξάο απνδείμαηε όηη

παίξλεη ηηκέο κόλν ζην δηάζηεκα

είλαη ε απηνζπζρέηηζε 1εο

ζπκπέξαζκα βγάδεηε γηα ηε <<κλήκε>> κηαο

ΜΑ(1) ζεηξάο ;

ηάμεο κηαο ΜΑ(1)

 1 1   2 , 2 

. Ση

Θα ηελ ραξαθηεξίδαηε

ηζρπξή ή αζζελή θαη γηαηί; ΘΕΜΑ 2Ο Έζησ { xt } κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά πνπ αθνινπζεί έλα ARMA(p,q) ππόδεηγκα κε γλσζηή ηε δεηγκαηνιεπηηθή

xt , xt 1,..., xt n1

πξνβιέπηξηα ζπλάξηεζε

ησλ n

πην πξόζθαησλ παξαηεξήζεσλ. Οξίζαηε ηελ

xt (m)  g ( xt , xt 1 ,..., xt  n 1 ) γηα

ηνλ όξν xt  m

ηεο ζεηξάο απηήο,

πνπ ηθαλνπνηεί ην θξηηήξην ειαρίζηνπ κέζνπ ηεηξαγσληθνύ ζθάικαηνο θαη δηαηππώζαηε ηηο ηδηόηεηεο ησλ ππό ζπλζήθε καζεκαηηθώλ ειπίδσλ, πάλσ ζηηο νπνίεο ζηεξίδεηαη ε δηαδηθαζία πξόβιεςεο. Απνδείμαηε ηέινο όηη ηζρύεη ε ζρέζε:

xt 1  xt (1)   t 1

ΘΕΜΑ 3Ο Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά

xt

πνπ εθθξάδεηαη ζε ηξηκεληαία ζηνηρεία, αθνινπζεί ην

ππόδεηγκα :

xt  1,5 xt 1  0,5 xt  2  xt  4  1,5 xt 5  0,5 xt 6   t  0,3 t 1  0, 7 t  4  0, 21 t 5 όπνπ

t

ιεπθόο ζόξπβνο.

Απνδείμηε όηη ε

xt

δελ είλαη ζηάζηκε.

Βξείηε πνηνη

κπνξνύλ λα νδεγήζνπλ ζε κηα λέα ρξνλνινγηθή ζεηξά

κεηαζρεκαηηζκνί πάλσ ζηελ

z t πνπ

xt

ζα αθνινπζεί ζηάζηκν θαη

αληηζηξέςηκν ππόδεηγκα. Πσο ραξαθηεξίδεηαη ηόηε ην ππόδεηγκα πνπ αθνινπζεί ε xt ; ΘΕΜΑ 4Ο Έζησ

xt

κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά πνπ αθνινπζεί ην ππόδεηγκα :

1 1 xt   xt 1  xt 2   t , 6 6 Όπνπ  t

είλαη ν ιεπθόο ζόξπβνο. Να απνδεηρζεί όηη ε ζεηξά απηή είλαη ζηάζηκε θαη όηη ε

ζπλάξηεζε απηνζπζρέηηζήο ηεο κπνξεί λα γξαθεί κε ηε κνξθή : k

k

16  1  9 1 k        , k  0,1, 2,... 25  2  25  3  Πνηα είλαη ε ζπλάξηεζε κεξηθήο απηνζπζρέηηζεο ηεο ζεηξάο απηήο ; ΘΕΜΑ 5ο


Γηα λα γίλεη ζηάζηκε ε ρξνλνινγηθή ζεηξά

xt

γηα ηελ νπνία δηαζέηνπκε ηξηκεληαία ζηνηρεία,

πήξακε πξώηεο δηαθνξέο θαη πξώηεο επνρηθέο δηαθνξέο, ιακβάλνληαο ηειηθά ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt  (1  B )(1   4 ) xt

, γηα ηελ νπνία εθηηκήζεθε ην ππόδεηγκα :

yt   t  0, 6 t 1  0, 25 t 1  0,15 t 5 (α) Να ραξαθηεξηζζεί ην ζεσξεηηθό ππόδεηγκα ηεο αξρηθήο ζεηξάο

xt θαη

λα γξαθεί ζηελ

πνιιαπιαζηαζηηθή ηνπ κνξθή. Να βξεζνύλ ( αθξηβώο ) νη ξίδεο πνπ απηνπαιηλδξνκηθνύ κέξνπο σο θαη νη ξίδεο ηνπ κέξνπο ηνπ θηλεηνύ κέζνπ ( επνρηθνύ θαη κε επνρηθνύ ) ηνπ ππνδείγκαηνο ηεο ζεηξάο

xt . Δίλαη ε ζεηξά απηή αληηζηξέςηκε θαη γηαηί ;

(β) Γηα ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt

λα βξεζνύλ όιεο νη απηνζπζρεηίζεηο ηεο.

ΘΕΜΑ 6Ο Οη εηήζηεο πσιήζεηο ηνπ πξντόληνο κηαο επηρείξεζεο ( ζε ρηιηάδεο ηεκάρηα) θαηά ηα έηε 2001-2005 δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα : 2001

2002

2003

2004

2005

5,3

8,1

9,2

11,4

13,8

Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο γξακκηθήο εθζεηηθήο εμνκάιπλζεο δύν παξακέηξσλ ( ηνπ Holt) κε α=0,2 θαη β=0,3, βξείηε ηηο πξνβιέςεηο ησλ πσιήζεσλ γηα ηα έηε 2002-2008. Αλ ε εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ απηήο γηα α=0,3 θαη β=0,2 έδσζε κέζν ηεηξαγσληθό ζθάικα ( MSE) ίζν πξνο 0,823, απαληήζαηε αλ ε δηθή ζαο επηινγή παξακέηξνπ έδσζε θαιιίηεξα απνηειέζκαηα. ΢ηε ζπλέρεηα βξείηε ηε ζηαηηζηηθή

U2

ηνπ Theil, πνπ αληηζηνηρεί ζηα

δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο θαη ζρνιηάζαηε ηελ ηηκή ηεο.

Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών & Προβλέψεις – ΙΟΥ 2005 Να γραφούν δύο θέματα από κάθε ομάδα. Το έντσπο αστό να παραδοθεί μαδί με το γραπτό. ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ (Κάθε θέμα βαθμολογείται με δύο μονάδες) Θέμα 1ο Οξίζαηε ηηο έλλνηεο ηεο απηνζπζρέηηζεο k-ηάμεο ( ηάμεο (

 kk

pk ) θαη ηεο κεξηθήο απηνζπζρέηηζεο k-

 kk ) κηαο ρξνλνινγηθήο ζεηξάο xt . Πνηα ζρέζε ζπλδέεη ηελ κεξηθή απηνζπζρέηηζε

κε ηηο απηνζπζρεηίζεηο

p1 , p2 ,..., pk ;

Απνδείμαηε ηελ ηζρύ ηεο ζρέζεο απηήο


γηα k=2. Απνδείμαηε επίζεο ηελ ηζνδπλακία:

1  22  1  p2  2 p12  1

θαη

p2  1 . Τπόδεημε: Θεσξήζαηε σο γλσζηή ηε ζρέζε

pxy.w 

pxy  pxw p yw 2 2 (1  pxw )(1  p yw )

Θέμα 2ο Έζησ

{ xt } κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά πνπ αθνινπζεί έλα ARMA(p,q) ππόδεηγκα κε γλσζηή ηε

δεηγκαηνιεπηηθή δηαδξνκή

{x1 , xt 1 ,..., xt  n 1}

ησλ n πην πξόζθαησλ παξαηεξήζεσλ.

^

Οξίζαηε ηελ πξνβιέπηξηα ζπλάξηεζε

xt (m)  g ( x1 , xt 1 ,..., xt  n 1 )

γηα ηνλ όξν

xt  m

ηεο ζεηξάο απηήο, πνπ ηθαλνπνηεί ην θξηηήξην ηνπ ειαρίζηνπ κέζνπ ηεηξαγσληθνύ ζθάικαηνο θαη δηαηππώζαηε ηηο ηδηόηεηεο ησλ ππό ζπλζήθε καζεκαηηθώλ ειπίδσλ, πάλσ ζηηο νπνίεο ζηεξίδεηαη

ε

δηαδηθαζία

πξόβιεςεο.

Απνδείμαηε

ηέινο

όηη

ηζρύεη

ε

ζρέζε

^

xt 1  xt (1)   t 1 . Θέμα 3ο Γηα λα γίλεη ζηάζηκε ε ρξνλνινγηθή ζεηξά

xt ,

γηα ηελ νπνία δηαζέηνπκε ηξηκεληαία

ζηνηρεία, πήξακε πξώηεο δηαθνξέο θαη πξώηεο επνρηθέο δηαθνξέο, ιακβάλνληαο ηειηθά ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt  (1  B )(1  B 4 ) xt , ε νπνία (

yt ) αθνινπζεί ην ππόδεηγκα:

yt  5  0,3 yt 1   t  0, 6 t 1  0, 25 t 4  0,15 t 5 Να ραξαθηεξηζζεί ην ζεσξεηηθό ππόδεηγκα ηεο αξρηθήο ζεηξάο

xt θαη λα γξαθεί ζηελ

πνιιαπιαζηαζηηθή ηνπ κνξθή. Να βξεζνύλ (αθξηβώο) νη ξίδεο ηνπ απηνπαιηλδξνκηθνύ κέξνπο (επνρηθνύ θαη κε επνρηθνύ) σο θαη νη ξίδεο ηνπ κέξνπο ηνπ θηλεηνύ κέζνπ (επνρηθνύ θαη κε επνρηθνύ) ηνπ ππνδείγκαηνο ηεο ζεηξάο

xt . Δίλαη ε ζεηξά απηή αληηζηξέςηκε;

ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ (Κάθε θέμα βαθμολογείται με τρεις μονάδες) Θέμα 4ο


Έζησ

όηη

ε

ρξνλνινγηθή

xt  0, 6 xt 1   t  0, 4 t 1 ,  2 . Να απνδεηρζεί όηη ε ζεηξά απηνζπζρέηηζεο πξώηεο ηάμεο

όπνπ

xt αθνινπζεί

ζεηξά

ην

ππόδεηγκα

 t είλαη ιεπθόο ζόξπβνο κε ζηαζεξή δηαθύκαλζε

xt είλαη ζηάζηκε θαη αληηζηξέςηκε. Να βξεζεί ε ηηκή ηεο

p y (1) ηεο ρξνλνινγηθήο ζεηξάο

yt , πνπ ζπλδέεηαη κε ηελ

xt κέζσ ηεο ζρέζεο: yt  3xt  2 xt 1 . Θέμα 5ο Με βάζε 50 εηήζηεο παξαηεξήζεηο κηαο ρξνλνινγηθήο ζεηξάο εθηηκήζεθαλ ηα παξαθάησ ππνδείγκαηα: (1)

xt  0,93 xt 1  0, 74 xt  2   t  0, 47  t 1  0,52  t  2 , R 2  0, 77, AIC  2,87, Q* (12)  10,17 (0,113)

(0,113)

(0,144)

(0,139)

(2)

xt  1,33 xt 1  1,17 xt  2  0,31 xt 3   t  0,99  t 1 , R 2  0, 75, AIC  2,91 (0,151)

(0,178)

(0,152)

(0,043)

όπνπ νη αξηζκνί κέζα ζηελ παξέλζεζε είλαη ηα αληίζηνηρα ηππηθά ζθάικαηα θαη Q*(12) είλαη ε ζηαηηζηηθή Ljung-Box, πνπ ππνινγίζζεθε γηα ην ππόδεηγκα (1) γηα ηηο 12 πξώηεο απηνζπζρεηίζεηο ησλ θαηαινίπσλ ηνπ, ελώ γηα ην ππόδεηγκα (2) δίλνληαη παξαθάησ νη 12 πξώηεο απηνζπζρεηίζεηο ησλ θαηαινίπσλ ηνπ: k ^

pk

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0,04

-0,10

0,09

-0,20

-0,01

0,01

-0,16

-0,06

-0,05

-0,11

0,16

-0,22

(α) Να ππνινγηζζεί ε ζηαηηζηηθή Ljung-Box γηα ην ππόδεηγκα (2) (β) Δίλαη θαη ηα δύν εθηηκεζέληα ππνδείγκαηα απνδεθηά, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5%; Πνην από απηά είλαη ην θαηαιιειόηεξν; (Γηα ην F-test ζεσξνύκε όηη ηθαλνπνηείηαη θαη ζηα δύν ππνδείγκαηα). (γ)

Αλ

^

^

^

x50  1.15, x49  1.36, x49 (1)  1.01, x48 (1)  1.07  2  1.21 , λα βξεζνύλ ηα δηαζηήκαηα πξόβιεςεο ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5%, γηα ηελ 51ε θαη 52ε ηηκή ηεο ζεηξάο, ρξεζηκνπνηώληαο ην θαηαιιειόηεξν ππόδεηγκα. Γίλνληαη:

Θέμα 6ο

z0.025  1,96

,

2 x8,0.05  15,5 .


Οη εηήζηεο πσιήζεηο ηνπ πξντόληνο κηαο επηρείξεζεο (ζε ρηιηάδεο ηεκάρηα) θαηά ηα έηε 1998-2004 δίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: 1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

6,8

7,6

9,8

11,5

13,1

14,7

16,2

Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο γξακκηθήο εθζεηηθήο εμνκάιπλζεο κηαο παξακέηξνπ (ηνπ Brown) κε α=0,3

, βξείηε ηηο πξνβιέςεηο ησλ πσιήζεσλ γηα ηα έηε 1999-2007. Αλ ε

εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ απηήο γηα α=0,4 έδσζε κέζν ηεηξαγσληθό ζθάικα (MSE) ίζν πξνο 3,916

, απαληήζαηε αλ ε δηθή ζαο επηινγή παξακέηξνπ έδσζε θαιύηεξα απνηειέζκαηα.

΢ηε ζπλέρεηα βξείηε ηε ζηαηηζηηθή U2 ηνπ Theil, πνπ αληηζηνηρεί ζηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο θαη ζρνιηάζηε ηελ ηηκή ηεο.

Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις - Ιούνιος 2004 Να γξαθνύλ δύν ζέκαηα από θάζε νκάδα. Τν έληππν απηό λα παξαδνζεί καδί κε ην γξαπηό. ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ (Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε δπν κνλάδεο) ΘΕΜΑ 1o

( pk )

θαη ηεο ζπλάξηεζεο απηνζπρέηηζεο

{xt } θαη απνδείμαηε όηη ε pk

παίξλεη ηηκέο κόλν ζην δηάζηεκα [-

Οξίζαηε ηηο έλλνηεο ηεο απηνζπζρέηηζεο k-ηάμεο κηαο ρξνλνινγηθήο ζεηξάο 1,1]. Αλ όκσο

p1

είλαη ε απηνζπζρέηηζε 1εο ηάμεο κηαο ΜΑ(1) ρξνλνινγηθήο ζεηξάο

απνδείμαηε όηη παίξλεη ηηκέο κόλν ζην δηάζηεκα

 1 1   2 , 2  . Ση ζπκπέξαζκα βγάδεηε γηα ηε

«κλήκε» κηαο ΜΑ(1) ζεηξάο; Θα ηελ ραξαθηεξίδαηε ηζρπξή ή αζζελή θαη γηαηί; ΘΕΜΑ 2o Έζησ

{xt } κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά πνπ αθνινπζεί έλα ARMA(p,q) ππόδεηγκα κε γλσζηή ηε

δεηγκαηνιεπηηθή δηαδξνκή

{xt , xt 1,..., xt n1}

Οξίζαηε ηελ πξνβιέπηξηα ζπλάξηεζε

xt m

ησλ n πην πξόζθαησλ παξαηεξήζεσλ.

xˆt (m)  g{xt , xt 1,..., xt n1}

γηα ηνλ όξν

ηεο ζεηξάο απηήο, πνπ ηθαλνπνηεί ην θξηηήξην ειαρίζηνπ κέζνπ ηεηξαγσληθνύ

ζθάικαηνο θαη δηαηππώζαηε ηηο ηδηόηεηεο ησλ ππό ζπλζήθε καζεκαηηθώλ ειπίδσλ, πάλσ ζηηο νπνίεο ζηεξίδεηαη ε δηαδηθαζία πξόβιεςεο. Απνδείμαηε ηέινο όηη ηζρύεη ε ζρέζε:

xt 1  xˆt (1)   t 1


ΘΕΜΑ 3ο Με βάζε 50 εηήζηεο παξαηεξήζεηο κηαο ρξνλνινγηθήο ζεηξάο εθηηκήζεθαλ ηα παξαθάησ ππνδείγκαηα:

(1) xt  0.98 xt 1  0.81 xt 2   t  0.84  t 1 , R 2  0.68, AIC  2.98, Q* (12)  15.1 (0.064)

(0.062)

(0.076)

(2) xt  0.82 xt 1  0.69 xt 2   t  0.36  t 1  0.52  t 2 , R 2  0.73, AIC  2.83 (0.086)

(0.086)

(0.101)

(0.101)

όπνπ νη αξηζκνί κέζα ζε παξέλζεζε είλαη ηα αληίζηνηρα ηππηθά ζθάικαηα θαη Q*(12) είλαη ε ζηαηηζηηθή Ljung-Box, πνπ ππνινγίζζεθε γηα ην ππόδεηγκα (1) γηα ηηο 12 πξώηεο απηνζπζρεηίζεηο ησλ θαηαινίπσλ ηνπ, ελώ γηα ην ππόδεηγκα (2) δίλνληαη παξαθάησ νη 12 πξώηεο απηό ζπζρεηίζεηο ησλ θαηαινίπσλ ηνπ: k

1

pˆ k

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-0,03 -0,05 -0,04 -0,04 -0,08 -0,03 0,03 0,01 0,05 -0,17 0,10 -0,03

a.

Να ππνινγηζζεί ε ζηαηηζηηθή Ljung-Box γηα ην ππόδεηγκα (2).

b.

Δίλαη θαη ηα δύν εθηηκεζέληα ππνδείγκαηα απνδεθηά; Πνην από απηά είλαη ην θαιιίηεξν; (Γηα ην F-test ζεσξνύκε όηη ηθαλνπνηείηαη θαη από ηα δύν ππνδείγκαηα).

Γίλνληαη:

2 2 z0.025  1.96, 8,0.05  15.5, 9,0.05  16.9

ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ (Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε ηξεηο κνλάδεο) ΘΕΜΑ 4ο Έζησ

{xt } κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά πνπ αθνινπζεί ην ππόδεηγκα:

1 1 xt   xt 1  xt 2   t , 6 6 όπνπ

t

είλαη ιεπθόο ζόξπβνο. Να απνδεηρζεί όηη ε ζεηξά απηή είλαη ζηάζηκε θαη όηη ε

ζπλάξηεζε απηνζπζρέηηζήο ηεο κπνξεί λα γξαθεί κε ηε κνξθή:

k

k

16  1  9 1 pk        , k  0,1, 2,... 25  2  25  3  Πνηα είλαη ε ζπλάξηεζε κεξηθήο απηνζπζρέηηζεο ηεο ζεηξάο απηήο; ΘΕΜΑ 5ο Γηα λα γίλεη ζηάζηκε ε ρξνλνινγηθή ζεηξά

{xt },

γηα ηελ νπνία δηαζέηνπκε ηξηκεληαία

ζηνηρεία, πήξακε πξώηεο δηαθνξέο θαη πξώηεο επνρηθέο δηαθνξέο, ιακβάλνληαο ηειηθά ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt  (1  B)(1  B 4 ) xt ,

γηα ηελ νπνία εθηηκήζεθε ην ππόδεηγκα:

yt  t  0.6 t 1  0.25t 4  0.15 t 5 .


a.

Να ραξαθηεξηζζεί ην ζεσξεηηθό ππόδεηγκα ηεο αξρηθήο ζεηξάο

{xt } θαη λα γξαθεί ζηελ

πνιιαπιαζηαζηηθή ηνπ κνξθή. Να βξεζνύλ (αθξηβώο) νη ξίδεο ηνπ απηνπαιηλδξνκηθνύ κέξνπο σο θαη νη ξίδεο ηνπ κέξνπο ηνπ θηλεηνύ κέζνπ (επνρηθνύ θαη κε επνρηθνύ) ηνπ ππνδείγκαηνο ηεο ζεηξάο b.

{xt }. Δίλαη ε ζεηξά απηή αληηζηξέςηκε θαη γηαηί;

Γηα ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt

λα βξεζνύλ όιεο νη απηνζπζρεηίζεηο ηεο.

ΘΕΜΑ 6° Οη εηήζηεο δηαθεκηζηηθέο δαπάλεο (ζε εθαηνκκύξηα δξαρκέο) κηαο εκπνξηθήο επηρείξεζεο θαηά ηα ηειεπηαία δέθα ρξόληα (1994-2003) είλαη:

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 10

13

18

24

29

35

39

44

48

52

Να ππνινγηζζνύλ, κε ηελ ηερληθή ηνπ γξακκηθνύ θηλεηνύ κέζνπ ηξηώλ πεξηόδσλ, νη πξνβιέςεηο ησλ δηαθεκηζηηθώλ δαπαλώλ γηα ηα έηε 1999-2006. Αλ κε ηελ ηερληθή ηνπ γξακκηθνύ θηλεηνύ κέζνπ ηεζζάξσλ πεξηόδσλ ππνινγίζζεθε (γηα ηα έηε πνπ κπνξεί λα ππνινγηζζεί ηνύην) κέζν ηεηξαγσληθό ζθάικα 2,25, απαληήζαηε αλ ε ηερληθή ηνπ γξακκηθνύ θηλεηνύ κέζνπ ηξηώλ πεξηόδσλ, πνπ εθαξκόζαηε, δίλεη θαιιίηεξεο πξνβιέςεηο γηα ηελ εμεηαδόκελε ζεηξά. Υπόδεημε: Γηα ηνπο ππνινγηζκνύο ζαο λα ρξεζηκνπνηήζεηε αθξίβεηα 2 δεθαδηθώλ ςεθίσλ

Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις - Ιανοσάριος 2003 Να γξαθνύλ δπν Θέκαηα από θάζε νκάδα. Τν έληππν απηό λα παξαδνζεί καδί κε ην γξαπηό. ΟΜΑΛΑ ΠΡΩΤΗ (Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε όλν κνλάδεο) ΘΕΜΑ 1ο

( pk )

θαη ηεο ζπλάξηεζεο απηνζπρέηηζεο

{xt } θαη απνδείμαηε όηη ε pk

παίξλεη ηηκέο κόλν ζην δηάζηεκα [-

Οξίζαηε ηηο έλλνηεο ηεο απηνζπζρέηηζεο k-ηάμεο κηαο ρξνλνινγηθήο ζεηξάο 1,1]. Αλ όκσο

p1

είλαη ε απηνζπζρέηηζε 1εο ηάμεο κηαο ΜΑ(1) ρξνλνινγηθήο ζεηξάο

απνδείμαηε όηη παίξλεη ηηκέο κόλν ζην δηάζηεκα

 1 1   2 , 2  . Ση ζπκπέξαζκα βγάδεηε γηα ηε

«κλήκε» κηαο ΜΑ(1) ζεηξάο; Θα ηελ ραξαθηεξίδαηε ηζρπξή ή αζζελή θαη γηαηί; ΘΕΜΑ 2ο


Οξίζαηε ηε ζεηξά ελόο θηλεηνύ κέζνπ πεξηηηνύ αξηζκνύ πεξηόδσλ κηαο ρξνλνινγηθήο ζεηξάο, θαζώο επίζεο θαη ηε ζεηξά ελόο θηλεηνύ κέζνπ άξηηνπ αξηζκνύ πεξηόδσλ. Η κέζνδνο ησλ θηλεηώλ κέζσλ είλαη κηα πξαθηηθή κέζνδνο, ε νπνία όκσο έρεη ηξεηο πνιύ βαζηθέο ηδηόηεηεο, πνπ ηελ θαζηζηνύλ ρξήζηκε ζηελ αλάιπζε ησλ ρξνλνινγηθώλ ζεηξώλ. Γηαηππώζαηε ηηο ηξεηο απηέο ηδηόηεηεο θαη απνδείμαηε (γηα ηελ πεξίπησζε θηλεηνύ κέζνπ πεξηηηνύ αξηζκνύ πεξηόδσλ) ηελ ηδηόηεηα εθείλε πνπ αθνξά ηελ απαινηθή ηεο πεξηνδηθόηεηαο. Πεξηγξάςαηε πσο εθκεηαιιεπόκαζηε ηελ ηδηόηεηα απηή ζηελ ηερληθή ηεο απαινηθήο ηεο επνρηθόηεηαο κε ρξήζε θηλεηνύ κέζνπ; ΘΕΜΑ 3ο Η ρξνλνινγηθή ζεηξά

{xt }, πνπ εθθξάδεηαη ζε ηξηκεληαία ζηνηρεία αθνινπζεί ην ππόδεηγκα:

xt  0.7 xt 1  0.3 xt 2  xt 4  0.7 xt 5  0.3 xt 6   t  0.4 t 1  0.5  t 4  0.2  t 5 Να εμεηαζζεί ε ζεηξά απηή από πιεπξάο ζηαζηκόηεηαο θαη αληηζηξεςηκόηεηαο θαη κε ηε βνήζεηα θαηάιιεισλ θίιηξσλ δηαθνξώλ λα εθθξαζζεί σο έλα νινθιεξσκέλν ππόδεηγκα. ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ (Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε ηξεηο κνλάδεο) ΘΕΜΑ 4ο Αλ ε ρξνλνινγηθή ζεηξά ρξνλνινγηθέο ζεηξέο

{xt }

είλαη ζηάζηκε κε κεδεληθό κέζν, απνδείμαηε όηη θαη νη

yt  xt  0.4xt 1

θαη

zt  xt  2.5xt 1

είλαη ζηάζηκεο κε

κεδεληθνύο κέζνπο. ΢ηε ζπλέρεηα απνδείμαηε όηη νη ρξνλνινγηθέο ζεηξέο

yt

θαη

zt

έρνπλ

ηελ ίδηα ζπλάξηεζε απηνζπζρέηηζεο. ΘΕΜΑ 5ο Γηα λα γίλεη ζηάζηκε ε ρξνλνινγηθή ζεηξά

{xt }

γηα ηελ νπνία δηαζέηνπκε ηξηκεληαία

ζηνηρεία, πήξακε πξώηεο δηαθνξέο θαη πξώηεο επνρηθέο δηαθνξέο, ιακβάλνληαο ηειηθά ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt  (1  B)(1  B 4 ) xt ,

γηα ηελ νπνία εθηηκήζεθε ην ππόδεηγκα:

yt  t  0.6 t 1  0.25t 4  0.15t 5 a.

Να ραξαθηεξηζζεί ην ζεσξεηηθό ππόδεηγκα ηεο αξρηθήο ζεηξάο

{xt } θαη λα γξαθεί ζηελ

πνιιαπιαζηαζηηθή ηνπ κνξθή. Να βξεζνύλ (αθξηβώο) νη ξίδεο ηνπ απηνπαιηλδξνκηθνύ κέξνπο σο θαη νη ξίδεο ηνπ κέξνπο ηνπ θηλεηνύ κέζνπ (επνρηθνύ θαη κε επνρηθνύ) ηνπ ππνδείγκαηνο ηεο ζεηξάο b.

Γηα ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt

κεξηθέο απηνζπζρεηίζεηο. ΘΕΜΑ 6ο

{xt }. Δίλαη ε ζεηξά απηή αληηζηξέςηκε; λα βξεζνύλ όιεο νη απηνζπζρεηίζεηο ηεο θαη νη δύν πξώηεο


Οη εηήζηεο πσιήζεηο ηνπ πξντόληνο κηαο επηρείξεζεο (ζε ρηιηάδεο ηεκάρηα) θαηά ηα έηε 1995-2001 δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα:

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

7,2

8,8

10,3

12,1

14,5

16,3

17,9

Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο γξακκηθήο εθζεηηθήο εμνκάιπλζεο κηαο παξακέηξνπ (ηνπ Brown) κε α = 0,3, βξείηε ηηο πξνβιέςεηο ησλ πσιήζεσλ γηα ηα έηε 1996-2004. Αλ ε εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ απηήο γηα α = 0,4 έδσζε κέζν ηεηξαγσληθό ζθάικα (MSE) ίζν πξνο 5,108, απαληήζαηε αλ ε δηθή ζαο επηινγή παξακέηξνπ έδσζε θαιιίηεξα απνηειέζκαηα. ΢ηε ζπλέρεηα βξείηε ηε ζηαηηζηηθή U2 ηνπ Theil, πνπ αληηζηνηρεί ζηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο θαη ζρνιηάζαηε ηελ ηηκή ηεο.

Ανάλσση Φρονολογικών Σειρών και Προβλέψεις - Σεπτέμβριος 2002 Να γξαθνύλ δύν ζέκαηα από θάζε νκάδα. Τν έληππν απηό λα παξαδνζεί καδί κε ην γξαπηό. ΟΜΑΛΑ ��ΡΩΤΗ (Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε δύν κνλάδεο) ΘΕΜΑ 1° Γηαηππώζαηε ηε κνξθή ηνπ ππνδείγκαηνο πνπ θαιείηαη γεληθή γξακκηθή ζηνραζηηθή δηαδηθαζία θαη απνδείμαηε όηη ε απηνζπζρέηηζε k-ηάμεο γηα κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά πνπ αθνινπζεί ην ππόδεηγκα απηό δίλεηαη από ηνλ ηύπν:

pk   j j k j 0

 2 j 0

j

΢ηε ζπλέρεηα απνδείμαηε όηη γηα κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά πνπ αθνινπζεί έλα ARMA(p,q) ππόδεηγκα, ην ηζνδύλακν απηνύ ππόδεηγκα γεληθήο γξακκηθήο ζηνραζηηθήο δηαδηθαζίαο έρεη παξακέηξνπο

 j , πνπ δίλνληαη από ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε:

 j   1 j 1  2 j 2  ...   p j  p   j με  0  1,  j  0  j  0 και  j  0  j  q ΘΕΜΑ 2o Οξίζαηε ηηο έλλνηεο ηεο απηνζπζρέηηζεο k-ηάμεο ηάμεο

(kk )

απηνζπζρέηηζε

κηαο

(kk )

ρξνλνινγηθήο

ζεηξάο

pk

{xt }.

κε ηηο απηνζπζρεηίζεηο

θαη ηεο κεξηθήο απηνζπζρέηηζεο kΠνηα

ζρέζε

( p1 , p2 ,

ζπλδέεη

, pk ) ;

ηελ

κεξηθή

Απνδείμαηε ηελ

ηζρύ ηεο ζρέζεο απηήο γηα k = 2. (Υπόδεημε: Θεσξήζαηε σο γλσζηή ηε ζρέζε


pxy ,w 

pxy  pxw p yw

1 

2 pxw

1 

p 2yw

.

Απνδείμαηε

επίζεο

ηελ

ηζνδπλακία:

1  22  1  p2  2 p12  1 και p2  1. ΘΕΜΑ 3ο Γηα λα γίλεη ζηάζηκε ε ρξνλνινγηθή ζεηξά

{xt },

γηα ηελ νπνία δηαζέηνπκε ηξηκεληαία

ζηνηρεία, πήξακε πξώηεο δηαθνξέο θαη πξώηεο επνρηθέο δηαθνξέο, ιακβάλνληαο ηειηθά ηε ζηάζηκε ζεηξά

yt  (1  B)(1  B 4 ) xt , ε νπνία ( yt ) αθνινπζεί ην ππόδεηγκα:

yt  5  0.3 yt 1   t  0.6 t 1  0.25 t 4  0.15 t 5 . Να ραξαθηεξηζζεί ην ζεσξεηηθό ππόδεηγκα ηεο αξρηθήο ζεηξάο

{xt }

θαη λα γξαθεί ζηελ

πνιιαπιαζηαζηηθή ηνπ κνξθή. Να βξεζνύλ (αθξηβώο) νη ξίδεο ηνπ απηνπαιηλδξνκηθνύ κέξνπο (επνρηθνύ θαη κε επνρηθνύ) σο θαη νη ξίδεο ηνπ κέξνπο ηνπ θηλεηνύ κέζνπ (επνρηθνύ θαη κε επνρηθνύ) ηνπ ππνδείγκαηνο ηεο ζεηξάο

{xt }. Δίλαη ε ζεηξά απηή αληηζηξέςηκε;

ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ (Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε ηξεηο κνλάδεο) ΘΕΜΑ 4ο Απνδείμαηε όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά

{xt }, πνπ αθνινπζεί ην ππόδεηγκα:

(1  0.5B)(1  0.4B)(1  0.2B) xt  t ,

είλαη ζηάζηκε. ΢ηε ζπλέρεηα βξείηε ηηο

απηνζπζρεηίζεηο θαη κεξηθέο απηνζπζρεηίζεηο πξώηεο, δεύηεξεο θαη ηξίηεο ηάμεο ηεο ζεηξάο απηήο. ΘΕΜΑ 5ο Με βάζε 100 εηήζηεο παξαηεξήζεηο εθηηκήζεθαλ γηα κηα ρξνλνινγηθή ζεηξά ηα παξαθάησ ππνδείγκαηα:

(1) xt  0.02 1.01 xt 1  0.80 xt 2   t  0.98  t 1 , (0.007)

(0.065)

(0.065)

(0.023)

R 2  0.69, AIC  2.97, Q* (25)  31.15 (2) xt  0.82 xt 1  0.68 xt 2   t  0.37  t 1  0.55  t 2 , (0.086)

(0.086)

(0.098)

(0.097)

R 2  0.73, AIC  2.83, Q* (25)  26.04 (3) xt   t  0.64  t 1  0.56  t 2  0.77  t 3  0.27  t 4 , (0.097)

(0.085)

(0.089)

R 2  0.68, AIC  2.99, Q* (25)  44.13

(0.099)


όπνπ νη αξηζκνί κέζα ζε παξέλζεζε είλαη ηα αληίζηνηρα ηππηθά ζθάικαηα ησλ ζπληειεζηώλ,

R2

είλαη ν ζπληειεζηήο πνιιαπινύ πξνζδηνξηζκνύ, AIC είλαη ην πιεξνθνξηαθό θξηηήξην

ηνπ Akaike θαη

Q* (25)

είλαη ε ζηαηηζηηθή ησλ Ljung θαη Box, πνπ ππνινγίζζεθε γηα ηηο

25 πξώηεο απηνζπζρεηίζεηο ησλ θαηαινίπσλ. Δίλαη ηα εθηηκεζέληα ππνδείγκαηα απνδεθηά ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5%; Πνην από απηά είλαη ην θαιιίηεξν;

Γίλνληαη:

U U 2 z0.025  1.96, f3,96,0.05  2.69, f 4,96,0.05  2.46,  21,0.05  32.67 .

ΘΕΜΑ 6ο Οη εηήζηεο πσιήζεηο ηνπ πξντόληνο κηαο επηρείξεζεο (ζε ρηιηάδεο ηεκάρηα) θαηά ηα έηε 1996-2001 δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα:

1996

1997

1998

1999

2000

2001

6,4

7,9

9,5

11,8

13,6

16,3

Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο γξακκηθήο εθζεηηθήο εμνκάιπλζεο δύν παξακέηξσλ (ηνπ Holt) κε α = 0,2 θαη β = 0,3, βξείηε ηηο πξνβιέςεηο ησλ πσιήζεσλ γηα ηα έηε 1997-2004. Αλ ε εθαξκνγή ηεο κεζόδνπ απηήο γηα α = 0,3 θαη β = 0,4 έδσζε κέζν ηεηξαγσληθό ζθάικα (MSE) ίζν πξνο 0,274, απαληήζαηε αλ ε δηθή ζαο επηινγή παξακέηξνπ έδσζε θαιιίηεξα απνηειέζκαηα. ΢ηε ζπλέρεηα βξείηε ηε ζηαηηζηηθή U2 ηνπ Theil, πνπ αληηζηνηρεί ζηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο θαη ζρνιηάζαηε ηελ ηηκή ηεο. Σηηο αξηζκεηηθέο πξάμεηο λα ρξεζηκνπνηεζεί πξνζέγγηζε ηνπιάρηζηνλ δύν δεθαδηθώλ ςεθίσλ. Καιή επηηπρία !!!


dap_themata_2010_xron_seires