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1 Funciones entre Espacios Euclídeos ESQUEMA 1.1.

CÁLCULO DE DOMINIOS DE FUNCIONES ESCALARES DE UNA VARIABLE

1.2.

CÁLCULO DE DOMINIOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE

1.3.

CÁLCULO DE DOMINIOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES

1.4.

CÁLCULO DE DOMINIOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES

Apéndice: CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS

-1-


2

Anรกlisis Matemรกtico II - Ejercicios Resueltos


1. Funciones entre Espacios Euclídeos

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1.1. CÁLCULO DE DOMINIOS DE FUNCIONES ESCALARES DE UNA VARIABLE 1.

Hallar el dominio de la siguiente función escalar de una variable:  1 − 2x  f ( x ) = Log5    x+3 

Observaciones preliminares: El cálculo del dominio de funciones escalares de una variable f : D ⊆ Ñ → Ñ consiste en determinar el conjunto de números reales en los que la función dada está definida. Generalmente, la función estará expresada en forma analítica y = f ( x ) y el dominio resultante se deberá proporcionar en forma de uno o varios intervalos reales. Los pasos del procedimiento general de cálculo del dominio son: -

Plantear la expresión del dominio de la función como un conjunto representado por comprensión, en el que la propiedad característica está determinada por las condiciones (inecuaciones) que la expresión analítica de la función debe cumplir para ser válida.

-

Simplificar en lo posible las condiciones que determinan el dominio, expresándolas en una de las formas: C( x ) < 0 , C( x ) > 0 , C( x ) ≤ 0 , C( x ) ≥ 0 , C( x ) ≠ 0 .

-

Determinar los puntos críticos de cada correspondiente ecuación asociada C( x ) = 0 .

-

Dibujar en la recta real los intervalos delimitados por el conjunto de puntos críticos de las inecuaciones, y estudiar en ellos el signo de cada condición C(x). El dominio estará formado por los intervalos en los que se cumplan simultáneamente todas las condiciones planteadas.

inecuación,

Resolución Expresión del dominio como conjunto de números reales:   1 − 2x  1 − 2x  Dom(f ) = x ∈ Ñ | Log 5  > 0 ∧ x + 3 ≠ 0 ≥0∧ x+3  x+3   

1 − 2x 1 − 2x   = x ∈ Ñ | ≥ 1∧ > 0 ∧ x + 3 ≠ 0 x+3 x+3   1 − 2x   = x ∈ Ñ | ≥ 1 ∧ x + 3 ≠ 0 x+3  

resolviendo

la

Observaciones Al plantear las condiciones que determinan el dominio hay que tener en cuenta específicamente tres situaciones (que aparecen en el presente ejemplo): - El denominador de un cociente debe ser no nulo. - El radicando de una raíz de índice par debe ser mayor o igual que cero. - El argumento de un logaritmo debe ser


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positivo. También es necesario tener en cuenta las condiciones espécificas de las funciones trigonométricas, si las hubiera.

1 − 2x   = x ∈ Ñ | − 1 ≥ 0 ∧ x + 3 ≠ 0 x+3  

Puntos critícos de cada inecuación: •

1 − 2x −1 ≥ 0 x+3 1 − 2x 1 − 2x −1 = 0 ⇒ = 1 ⇒ 1 − 2x = x + 3 ⇒ x+3 x+3 ⇒ 1 − 2 x − x − 3 = 0 ⇒ −3x − 2 = 0 ⇒ x = −2

Los puntos críticos de una inecuación son aquellos en los que la ecuación asociada C( x ) = 0 se verifica. Estos puntos delimitan los intervalos en los que el signo de C(x) no cambia.

3

x+3≠ 0 x + 3 = 0 ⇒ x = −3

Estudio del signo de las condiciones:

+

−3

1 − 2x −1 x+3

Para estudiar el signo de una expresión C(x) en un intervalo basta sustituir en la expresión la variable x por un valor cualquiera dentro del intervalo.

−2 3

x < −3 ⇒

− 3x − 2 <0 x+3

− 3x − 2 − 3 < x < −2 ⇒ >0 3 x+3

*

− 3x − 2 <0 x > −2 ⇒ 3 x+3 Solución: Dom(f ) =] − 3, −2 ] 3

En la solución no se considera el extremo inferior del intervalo, pero sí el superior, puesto que la condición 1 − 2x − 1 ≥ 0 incluye el x+3 caso de igualdad a cero.


1. Funciones entre Espacios Euclídeos

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1.2. CÁLCULO DE DOMINIOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE 1.

Hallar el dominio de la siguiente función vectorial de una variable:  t+2  ⋅j f ( t ) = tg (πt ) ⋅ i + Log 1    2 2  t − t −1 

Observaciones preliminares: El cálculo del dominio de una función vectorial de una variable f : D ⊆ Ñ → Ñ m consiste en determinar el conjunto de números reales en los que la función dada está definida, con un procedimiento muy similar al de las funciones escalares de una variable. Generalmente, la función estará expresada en forma analítica cartesiana f(t) = (f1 ( t ),..., f m ( t ) ) , vectorial f(t) = f1 ( t ) ⋅ e1 + ... + f m ( t ) ⋅ e m , o paramétrica  y1 = f1 ( t )  f ( t) =  M , y el dominio resultante se deberá proporcionar en forma de uno o  y = f ( t)  m m varios intervalos reales. Los pasos del procedimiento son:

-

Plantear la expresión del dominio de la función como un conjunto representado por comprensión, en el que la propiedad característica está determinada por las condiciones (inecuaciones) que las expresiones analíticas de las funciones coordenadas f1, ..., fm deben cumplir para ser válidas simultáneamente.

-

Simplificar en lo posible las condiciones que determinan el dominio, expresándolas en una de las formas: C( t ) < 0 , C( t ) > 0 , C( t ) ≤ 0 , C( t ) ≥ 0 , C( t ) ≠ 0 .

-

Determinar los puntos críticos de cada correspondiente ecuación asociada C( t ) = 0 .

-

Dibujar en la recta real los intervalos delimitados por el conjunto de puntos críticos de las inecuaciones, y estudiar en ellos el signo de cada condición C(t). El dominio estará formado por los intervalos en los que se cumplan simultáneamente todas las condiciones planteadas.

inecuación,

Resolución

Expresión del dominio como conjunto de números reales:

resolviendo

la

Observaciones Al plantear las condiciones que determinan el dominio hay que tener en cuenta específicamente tres situaciones (que aparecen en el presente ejemplo):


Análisis Matemático II - Ejercicios Resueltos

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 πt ≠ π + kπ, (k ∈ Ù) ∧  2      t+2   ≥ 0 ∧  Log 1     2 2 Dom(f ) = t ∈ Ñ  t − t −1   t+2   >0∧   2 t − t −1   2   t − t −1 > 0  

  t+2 t ≠ 1 + k , ( k ∈ Ù) ∧ ≤ 1 ∧  2   t2 − t −1 = t ∈ Ñ  t+2  > 0 ∧ t2 − t −1 > 0    t2 − t −1  

- El denominador de un cociente debe ser no nulo. - El radicando de una raíz de índice par debe ser mayor o igual que cero. - El argumento de un logaritmo debe ser positivo. También es necesario tener en cuenta las condiciones espécificas de las funciones trigonométricas.

 (t + 2)2 ≤ 1 ∧  t ≠ 1 + k , ( k ∈ Ù) ∧ 2 = t ∈ Ñ  t2 − t −1   2 t + 2 > 0 ∧ t − t −1 > 0     ( t + 2 )2 1  t ≠ + k , ( k ∈ Ù) ∧ − 1 ≤ 0 ∧ 2 = t ∈ Ñ  t2 − t −1   2 t + 2 > 0 ∧ t − t −1 > 0   Los puntos críticos de una inecuación son aquellos en los que la ecuación asociada C( t ) = 0 se verifica. Estos puntos delimitan los intervalos en los que el signo de C(t) no cambia.

Puntos critícos de cada inecuación: • •

t ≠ 1 + k , ( k ∈ Ù) 2

(t + 2)2 t2 − t −1

(t + 2)2 t2 − t −1

⇒ •

−1 ≤ 0 −1 = 0 ⇒

5t + 5 t2 − t −1

t 2 + 4t + 4 − t 2 + t + 1 t2 − t −1

=0⇒

= 0 ⇒ 5t + 5 = 0 ⇒ t = −1

t+2>0 t + 2 = 0 ⇒ t = −2

t2 − t −1 > 0  1+ 5 1 ± 1 + 4  2 ≅ 1'6 2 t − t −1 = 0 ⇒ t = = 2 1 − 5 ≅ −0'6  2


1. Funciones entre Espacios Euclídeos

Estudio del signo de las condiciones: ( t + 2) 2

+

+

+

+

+

+

t+2

+

+

+

+

t2 − t −1

−2

− 1 1− 5

( t + 2) 2 2

t − t −1

− 2 < t < −1 ⇒

−1 < 0 ∧ t + 2 < 0 ∧ t2 − t −1 > 0

( t + 2) 2 2

−1

Para estudiar el signo de una expresión C(t) en un intervalo basta sustituir en la expresión la variable t por un valor cualquiera dentro del intervalo.

1− 5 2

2

t < −2 ⇒

t2 − t −1

7

t − t −1

−1 < 0 ∧ t + 2 > 0 ∧ t2 − t −1 > 0 *

( t + 2) 2 − 1 < t < 1− 5 ⇒ −1 > 0 ∧ t + 2 > 0 ∧ t2 − t −1 > 0 2 2 t − t −1 ( t + 2) 1− 5 < t < 1+ 5 ⇒ 2 2 2

2

t − t −1

−1 < 0 ∧ t + 2 > 0 ∧ t2 − t −1 < 0

( t + 2) 2 t > 1+ 5 ⇒ −1 > 0 ∧ t + 2 > 0 ∧ t2 − t −1 > 0 2 2 t − t −1

Solución: Dom(f ) =] − 2, −3 [∪] −3 ,−1] 2

2

En la solución no se considera el punto -2, pero sí el punto -1, puesto que la condición ( t + 2) 2

− 1 ≥ 0 incluye t 2 − t −1 el caso de igualdad a cero. Tampoco se incluye el punto −23 correspondiente

a la primera condición t ≠ 12 + k, (k ∈ Ù) .


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Análisis Matemático II - Ejercicios Resueltos

1.3. CÁLCULO DE DOMINIOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES 1.

Hallar el dominio de la siguiente función escalar de dos variables, representándolo en el plano geométrico:

f ( x , y) =

Ln( x + y) 1 − x 2 − y2

Observaciones preliminares: El cálculo del dominio de funciones escalares de varias variables f : D ⊆ Ñ n → Ñ consiste en determinar el conjunto de puntos de Ñn en los que la función dada está definida. Generalmente, la función estará expresada en forma analítica y = f ( x1 ,..., x n ) , pero, a diferencia de lo que ocurre con las funciones de una variable, el dominio resultante sólo podrá expresarse en forma de conjunto representado por comprensión (no tiene sentido pensar en intervalos reales). Adicionalmente, si la función f tiene dos variables independientes, podrá realizarse una representación geométrica del dominio en el plano, lo que proporciona una útil visión geométrica de la región o regiones donde la función está definida. Los pasos del procedimiento general de cálculo del dominio son:

-

Plantear la expresión del dominio de la función como un conjunto representado por comprensión, en el que la propiedad característica está determinada por las condiciones (inecuaciones) que la expresión analítica de la función debe cumplir para ser válida.

-

Simplificar en lo posible las condiciones que determinan el dominio, expresándolas en una de las formas: C( x1 ,..., x n ) < 0 , C( x1 ,..., x n ) > 0 , C( x1 ,..., x n ) ≤ 0 , C( x1 ,..., x n ) ≥ 0 , C( x1 ,..., x n ) ≠ 0 .

-

En el caso de una función de dos variables independientes f ( x, y) , las ecuaciones C( x , y) = 0 asociadas a las condiciones del dominio corresponden a líneas en el plano que delimitan las regiones en que la función puede estar definida. Basta dibujar en el plano estas líneas, y estudiar en cada región formada las condiciones C(x,y). El dominio estará formado por las regiones en las que se cumplan simultáneamente todas las condiciones planteadas. Resolución

Expresión del dominio como conjunto de números reales:

  2 2 Dom(f ) = ( x, y) ∈ Ñ 2 x + y > 0 ∧ 1 − x − y ≠ 0 ∧  1 − x 2 − y2 ≥ 0  

Observaciones Al plantear las condiciones que determinan el dominio hay que tener en cuenta específicamente tres situaciones (que aparecen


1. Funciones entre Espacios Euclídeos

= {( x , y) ∈ Ñ

2

2

x + y > 0 ∧1− x − y

2

> 0}

en el presente ejemplo): - El denominador de un cociente debe ser no nulo. - El radicando de una raíz de índice par debe ser mayor o igual que cero. - El argumento de un logaritmo debe ser positivo. También es necesario tener en cuenta las condiciones espécificas de las funciones trigonométricas, si las hubiera.

Ecuaciones C(x, y) = 0 asociadas a cada condición: •

x + y = 0 ⇒ y = − x (recta)

1 − x 2 − y 2 = 0 ⇒ x 2 + y 2 = 1 (circunferencia)

Las ecuaciones C( x, y) = 0 asociadas a las condiciones corresponden a líneas del plano. Estas líneas delimitan en el plano las regiones en que el signo de cada expresión C(x,y) no cambia.

Representación gráfica del dominio: Y

x 2 + y2 = 1 X

O

y = −x

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Cada línea C( x, y) = 0 se representa con trazo discontinuo si la condición asociada es una desigualdad estricta (los puntos de la línea no pertenecen al dominio), y se dibuja con trazo continuo en caso contrario. Para estudiar el signo de una expresión C(x,y) en una región basta sustituir en la expresión las variables x e y por valores correspondientes a un punto arbitrario dentro de esa región. Las regiones del plano que verifiquen simultáneamente todas las condiciones pertenecerán al dominio de f, y se representarán como regiones rayadas.


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1.4. CÁLCULO DE DOMINIOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES 1.

Hallar el dominio de la siguiente función vectorial de dos variables, representándolo en el plano geométrico:

f ( x , y) = e xLn ( y) ⋅ i + x 2 − y 2 · j Observaciones preliminares: El cálculo del dominio de funciones vectoriales de varias variables f : D ⊆ Ñ n → Ñ m consiste en determinar el conjunto de puntos de Ñn en los que la función dada está definida, con un procedimiento muy similar al de las funciones escalares de varias variables. Generalmente, la función estará expresada en forma analítica cartesiana f(x1 ,..., x n ) = (f1 ( x1 ,..., x n ),..., f m ( x1 ,..., x n ) ) , vectorial f(x1 ,..., x n ) = f1 ( x1 ,..., x n ) ⋅ e1 + ... + f m ( x1 ,..., x n ) ⋅ e m , o paramétrica

 y1 = f1 (x1 ,..., x n )  , y el dominio resultante sólo podrá expresarse en f (x1 ,..., x n ) =  M  y = f (x ,..., x ) m 1 n  m forma de conjunto representado por comprensión, pues no tiene sentido pensar en intervalos reales. Así mismo, si la función f tiene dos variables independientes, podrá realizarse una representación geométrica del dominio en el plano. Los pasos del procedimiento general de cálculo del dominio son: -

Plantear la expresión del dominio de la función como un conjunto representado por comprensión, en el que la propiedad característica está determinada por las condiciones (inecuaciones) que la expresión analítica de la función debe cumplir para ser válida.

-

Simplificar en lo posible las condiciones que determinan el dominio, expresándolas en una de las formas: C( x1 ,..., x n ) < 0 , C( x1 ,..., x n ) > 0 , C( x1 ,..., x n ) ≤ 0 , C( x1 ,..., x n ) ≥ 0 , C( x1 ,..., x n ) ≠ 0 .

-

En el caso de una función de dos variables independientes f ( x, y) , las ecuaciones C( x , y) = 0 asociadas a las condiciones del dominio corresponden a líneas en el plano que delimitan las regiones en que la función puede estar definida. Basta dibujar en el plano estas líneas, y estudiar en cada región formada las condiciones C(x,y). El dominio estará formado por las regiones en las que se cumplan simultáneamente todas las condiciones planteadas. Resolución

Expresión del dominio como conjunto de números reales:

Observaciones Al plantear las condiciones que determinan el dominio


1. Funciones entre Espacios Euclídeos

Dom(f ) = {( x, y) ∈ Ñ

2

2

y > 0∧x −y

2

≥ 0}

hay que tener en cuenta específicamente tres situaciones: - El denominador de un cociente debe ser no nulo. - El radicando de una raíz de índice par debe ser mayor o igual que cero. - El argumento de un logaritmo debe ser positivo. También es necesario tener en cuenta las condiciones espécificas de las funciones trigonométricas, si las hubiera.

Ecuaciones C(x, y) = 0 asociadas a cada condición: •

y = 0 (recta horizontal)

y=x x 2 − y2 = 0 ⇒ y2 = x 2 ⇒  (par de rectas) y = −x

Representación gráfica del dominio: Y

y=0

y=x

X

O

y = −x

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Las ecuaciones C( x, y) = 0 asociadas a las condiciones corresponden a líneas del plano. Estas líneas delimitan en el plano las regiones en que el signo de cada expresión C(x,y) no varía. Cada línea C( x, y) = 0 se representa con trazo discontinuo si la condición asociada es una desigualdad estricta (los puntos de la línea no pertenecen al dominio), y se dibuja con trazo continuo en caso contrario. Para estudiar el signo de una expresión C(x,y) en una región basta sustituir en la expresión las variables x e y por valores correspondientes a un punto arbitrario dentro de esa región. Las regiones del plano que cumplan simultáneamente todas las condiciones pertenecerán al dominio de f, y se representarán como regiones rayadas.


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Apéndice: CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS Ecuación general de una cónica: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 •

Si A = B , C = 0 : CIRCUNFERENCIA

Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 ⇒ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 Y (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 = r 2 C ( x 0 , y 0 ) ≡ Centro

r

y0

r ≡ Radio

O

X

x0

x 2 + y 2 − 4x + 6 y + 8 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 4 + y 2 + 6 y + 9 − 5 = 0 ⇒

Ejemplo:

⇒ ( x 2 − 4 x + 4) + ( y 2 + 6 y + 9) = 5 ⇒ ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 5 •

Si A ≠ B , sg(A) = sg (B) , C = 0 : ELIPSE Ax 2 + By 2 + Dx + Ey + F = 0 ⇒

(x − x 0 ) 2 a2

+

(y − y0 ) 2 b2

Y

(x − x 0 )2 a2

+

(y − y0 )2 b2

C ( x 0 , y 0 ) ≡ Centro

=1 b

y0

a

a ≡ Semieje horizontal b ≡ Semieje vertical O

x0

X

=1


1. Funciones entre Espacios Euclídeos

Ejemplo:

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4 x 2 + y 2 − 8x = 0 ⇒ 4 x 2 − 8x + 4 + y 2 − 4 = 0 ⇒

⇒ 4( x 2 − 2 x + 1) + y 2 = 4 ⇒ 4( x − 1) 2 + y 2 = 4 ⇒ ( x − 1) 2 + •

y2 =1 4

Si A ≠ B , sg(A) ≠ sg(B) , C = 0 : HIPÉRBOLA

 (x − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 − =1  2 2  2 2 a b Ax + By + Dx + Ey + F = 0 ⇒  2 2  ( y − y 0 ) − (x − x 0 ) = 1  b2 a2  Y

(x − x 0 )2 (y − y 0 )2 − =1 a2 b2 C ( x 0 , y 0 ) ≡ Centro

b

y0

a

a ≡ Semieje horizontal b ≡ Pendiente a

asíntotas O

X

x0 Y

(y − y 0 )2 (x − x 0 )2 − =1 b2 a2

C ( x 0 , y 0 ) ≡ Centro

b

a

y0

b ≡ Semieje vertical b ≡ Pendiente a

asíntotas O

Ejemplo:

x0

X

2 x 2 − 3y 2 + 4 x − 6 y − 7 = 0 ⇒

2 x 2 + 4 x + 2 − 3y 2 − 6 y − 3 − 6 = 0 ⇒ 2( x 2 + 2 x + 1) − 3( y 2 + 2 y + 1) = 6 ⇒ ⇒ 2( x + 1) 2 − 3( y + 1) 2 = 6 ⇒ •

( x + 1) 2 ( y + 1) 2 − =1 3 2

Si A ≠ 0 , B = C = 0 : PARÁBOLA VERTICAL

Ax 2 + Dx + Ey + F = 0 ⇒ y − y 0 = p( x − x 0 ) 2


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Y

Y

p>0

y − y 0 = p(x − x 0 )2

p<0

y0

V ( x 0 , y 0 ) ≡ V értice

y0

O

X

x0

O

x0

X

3x 2 − 12 x − y + 11 = 0 ⇒ 3x 2 − 12 x + 12 − y − 1 = 0 ⇒

Ejemplo:

⇒ 3( x 2 − 4 x + 4) − y − 1 = 0 ⇒ 3( x − 2) 2 − y − 1 = 0 ⇒ y + 1 = 3( x − 2) 2 •

Si B ≠ 0 , A = C = 0 : PARÁBOLA HORIZONTAL

By 2 + Dx + Ey + F = 0 ⇒ p( y − y 0 ) 2 = x − x 0 Y p<0

p(y − y 0 )2 = x − x 0 V ( x 0 , y 0 ) ≡ V értice

p>0

y0

O Ejemplo:

Y

y0

x0

X

O

x0

2 y 2 + x + 8y + 4 = 0 ⇒ x − 4 + 2 y 2 + 8y + 8 = 0 ⇒

⇒ x − 4 + 2( y 2 + 4 y + 4) = 0 ⇒ x − 4 + 2( y + 2) 2 = 0 ⇒ x − 4 = −2( y + 2) 2 •

Si C ≠ 0 : CÓNICA DE EJE OBLÍCUO DE ÁNGULO θ RESPECTO A OX -

C 2 − 4AB < 0 , tg( 2θ) = C : ELIPSE

-

C 2 − 4AB = 0 , tg( 2θ) = C : PARÁBOLA

-

C 2 − 4AB > 0 , tg( 2θ) = C : HIPÉRBOLA

A−B A−B A−B

X

prueba 1  

prueba pruebaa

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