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COLEGIO LOBACHEVSKY

TRIGONOMETRÍA

3ER AÑO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL I

UN POCO DE HISTORIA . Fue Renato Descartes (1 596 – 1 650) quien, al publicar en 1 637 su obra La Géometrie, puso los cimientos de la Geometría Analítica. Es por ello que a veces, en memoria de su fundador, la denominan Geometría Cartesiana que en resumidos cuentos vendría a ser el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada un álgebra. La Trigonometría, en su origen, se desarrollo en conexión con el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. El presente capítulo esta dedicado a aquellas partes de la trigonometría que tratan con la geometría del plano cartesiano. No obstante cometeríamos un grave error limitando el estudio de la trigonometría a su aplicación a triángulos. Sus aplicaciones son más extensas en muchos campos teóricos y prácticos como por ejemplo en el estudio de ondas; vibraciones; corrientes alternas; los sonidos; etc.

NOCIONES PREVIAS . SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES y

IIC

+

IC

Donde:

+

– IIIC

x

O

x

: Eje de Abscisas

y

: Eje de Ordenadas

IC

: Primer Cuadrante

IIC : Segundo Cuadrante IIIC : Tercer Cuadrante

IVC : Cuarto Cuadrante

IVC

O

: Origen del Sistema

Ubicación de un punto y

Donde: P(a; b)

b

P

: Punto del Sistema Bidimensional

a

: Abscisa del Punto P

b

: Ordenada del Punto P

(a; b): Coordenadas del Punto P a

x

26


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TRIGONOMETRÍA

3ER AÑO

radio vector . Es el segmento de recta dirigido (flecha) que parte del origen hacia un punto cualquier del sistema; su longitud o módulo esta representado por “r”. y

(a; b)

Donde: r: Longitud del Radio Vector 2

2

r =a +b |b|

2

r r

+

x |a|

2

2

|a| = a

Ángulo en posición normal . Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal. y

Donde: ,    son las medidas de los ángulos en posición normal

mostrados.

 x

L.I.: Lado Inicial

L.F.: Lado Final También son llamados ∢s en posición canónica o estándar.

Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar. y

(x; y)

sen 

r

Ordenada y  M.R.V. r

cos  

tg  x

27

Abscisa x  M.R.V. r

Ordenada y  Abscisa x

csc  

M.T .V. r  Ordenada y

sec   cot  

M.R.V. r  Abscisa x

Abscisa x  Ordenada y


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TRIGONOMETRÍA

3ER AÑO

REGLA DE SIGNOS . C

IC

IIC

IIIC

IVC

sen

+

+

-

-

cos

+

-

-

+

tg

+

-

+

-

cot

+

-

+

-

sec

+

-

-

+

csc

+

+

-

-

R.T.

y

Segund

Primero

S en

csc

o

+

Positivas Todas

x

Tercer

Cuarto

Tg

o

cot

+

C os

sec

comprobación . Utilizamos el siguiente gráfico para un ángulo en posición normal de medida “”. y (-; +)

(+; +)

x (-; -)

(+; -)

IC.

x; y  r son positivos entonces todas las divisiones son positivas.

IIC.

sen 

r y

IIIC. tg  IVC.

y

x

cos  

    –   –

x     r 

cos = +

cot = +

sec = +

Ejemplo 1

Solución 1

Del siguiente gráfico calcular:

a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”: 2

E  10 sen   12 cot 

y

2

2

r = r + (-3)

10

r=

b) Reemplazamos las definiciones:

 3 E  10 .   10

x

E = -3 + 4

  1    12    3 

E=1

(1; -3)

Ejemplo 2

Solución 2 IIC

Indicar el signo resultante de la siguiente operación:

IIIC

IVC

E = sen130º . cos230º . tg330º

E = sen130º . cos230º . tg330º E= + . - . -

28

E= +

+


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TRIGONOMETRÍA

3ER AÑO

Ejemplo 3

Solución 3

Indicar el cuadrante al que pertenece la

tg = -

{ IIC  IVC }

medida angular “” si:

csc = +

{ IC  IIC }

tg < 0

  IIC

csc > 0

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

Del gráfico calcular: E  11 cos   6 2tg

5.

ángulo en posición normal cuya medida es “”.

y

a) 1

Calcular: “sec”

(3; 2 )

b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2.

6.

a) 1

x

(1; -2)

d) 4

7.

e) 5

Si: ABCD es un cuadrado y B

8.

c) 3

A 

e) 5

D

9.

B(-1; 2)

b) -0,2

C(2; 2) 

c) -0,3 e) -0,5

b) 2

d) -3

e) -2

Si: sen  

c) 3

2    IIIC 3

a) -1

b) -2

d) 2

e) 3

Si: cot   

c) -3

3    IVC 2

x

Si: ABCD es un cuadrado y

d) -0,4

a) 1

Calcular: E  21 sec   7 sen 

Del gráfico calcular “tg”

a) -0,1

Por el punto Q( 2 ;  7 ) pasa el lado final

C

b) 2

4.

c) -3/4

Calcular: E  5 (tg  sec )

Del gráfico calcular: E = cot - cot

d) 4

e) -3/2

es “”. Calcular: “ 7 csc  ”.

c) 3

a) 1

b) -2/3

d) -4/3

de un ángulo en posición canónica cuya medida

y

3.

a) -1/2 x

Del gráfico calcular: E  5 sec   4 cot 

b) 2

Por el punto P(2; 5 ) pasa el lado final de un

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Indicar el signo de cada expresión: I.

sen100º cos200º

II.

tg190º cot320º

III. sec200º csc350º x

A

D

29

a) +, +, +

b) -, -, -

d) -, -, +

e) +, -, -

c) +, +, -


COLEGIO LOBACHEVSKY 10.

TRIGONOMETRÍA

Indicar el signo de cada expresión: I.

sen200º tg200º

II.

cos100º cot100º

TAREA DOMICILIARIA

III. sen100º cos300º

11.

b) -, -, -

d) +, -, -

e) +, -, +

b) IIC

d) IVC

e) IC  IIC

2.

b) -2 c) -3

b) IIC

d) IVC

e) IIC  IIIC

y

17

c) IIIC

x

e) -5 3.

Del gráfico calcular: M = sen - 2cos + 3tg y

B

y

a) -1

A

4

b) -2 C

c) 3

c) -3

d) -1

d) -4

x

e) -5

Del gráfico calcular “cot” y

4.

53º

-3

x

Del gráfico calcular: M  5 (sen   cos ) y

a) 1

b) 4/7

b) 2

c) 5/7

c) 3

d) -3/7 e) -4/7 15.

(1-x; 2x)

d) -4

Del gráfico calcular: E = tg . tg

a) 3/7

Del gráfico calcular “tg” a) -1

sec < 0

a) IC

e) -2

(-4; -8)

c) IIIC

b) 2

14.

e) 9

x

d) 7

A que cuadrante pertenece  si:

a) 1

c) 5

 cos > 0

(AB = BC)

(24; 7)

a) 1 b) 3

a) IC

Del gráfico calcular E = 25sen + tg y

c) -, +, +

A que cuadrante pertenece “” si:

sen < 0

13.

1.

a) +, +, +

tg < 0

12.

3ER AÑO

x

d) 4

x

(2; -1)

e) 5

2

Del gráfico calcular: E = 3sec  - tg

5.

y

Del gráfico calcular “tg”

a) 10

Si: AOB  Equilátero 2AN = BN

b) 11

a)  2 / 2

c) 12

d) 13 e) 14

y

b)  3 / 3

x

c)  2 / 3

(-5; -3)

O

B

d)  3 / 2

3 e)  2

30

N A

x


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6.

TRIGONOMETRÍA

2

12.

Del gráfico calcular: “tg + sec ” MN = 2NP

y

a) 1 b) 2 c) 3

45º

d) 4

Indicar el signo de cada expresión: I.

tg500º . cos880º

II.

sen200º . cot400º

III. sec310º . tg220º

P

N

3ER AÑO

M

a) +, +, +

b) -, -, -

d) -, +, -

e) +, +, -

c) +, -, +

x

e) 5

13.

Del gráfico calcular “tg” y a) -3/7

7.

Si el punto P(1; 3) pertenece al lado final

b) -4/7

de un ángulo en posición canónica cuya medida

c) -5/7

es “” calcular: E = cot + csc

d) -6/7

a)

3 2

b)

c)

e) -7/4

3 4

14.

3 e) 6

3 d) 5 8.

3 3

e) -5

Si: sen = 0,28

c) -3/4 d) -4/3

d) -0,96

e) -0,98 

b) 2/3

c) -0,94

c) 3/4 e) 3/2

2

11.

d) 4

e) 5

c) 3

Indicar el signo de cada expresión: I.

sen140º . tg260º

II.

cos160º . cot320º

III. tg280º . csc310º a) +, +, +

b) -, -, -

d) -, +, -

e) -, +, +

x

 x

d) 4/3

Calcular: E = tg  + sec b) 2

y

  IIC

a) 1

3

Del gráfico calcular “tg” a) 1/2

b) -0,92

Si: cos = 0,3

-1

e) -3/2

c) -3

Calcular: “cos”

10.

C

   IIC

a) -0,90

y

b) -2/3

15. 9.

B

a) -1/2

“” calcular: M = 6tg + 5cos.

d) -4

Del gráfico calcular “tg” A

un ángulo en posición estándar cuya medida es

b) -2

x

(AB = BC)

Si el punto A(3; -4) pertenece al lado final de

a) -1

37º

c) +, -, +

31

(2; -3)


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TRIGONOMETRÍA

3ER AÑO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II

Ángulos cuadrantales . Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma “ n

π ”; n  Z ó “n. 90º”. 2

Ejemplo: Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; …. n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.

R. T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES .

y

m∢ 0º, 360º R.T. 0; 2 90º

180º

x -90º

90º

180º

270º

/2

3/2

sen

0

1

0

-1

cos

1

0

-1

0

tg

0

N

0

N

cot

N

0

N

0

sec

1

N

-1

N

csc

N

1

N

-1

0 = Cero 1 = Uno N = No definido

COMPROBACIÓN . y (0; r)

1.

sen 90º 

2.

cos 90º 

3.

tg 90º 

r 90º

y

r

r  1 r

x 0   0 r r y r

x

32

r  /  0

La división de un número entre 0 (cero) es una operación no definida.


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TRIGONOMETRÍA

3ER AÑO

r. t. de ángulos coterminales . Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales.

COMPROBACIÓN .

R.T.  = R.T. 

y (a; b)

x 

Son ∢s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y final.

1.

Por definición: tg 

b a

2.

Por definición: tg 

b a

3.

Concluimos que: tg  tg

=

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

Simplificar: E

( a  b)sen 90º  ( a  b) cos 0º

a) a d) b 2.

4.

-1

 Calcular: “ f( ) ” 4

2ab cos 360º

b) b

-1

c) a

e) ab

Simplificar:

5.

(a  b)2 sec 0º (a  b)2 sen270º E 2ab csc 90º

3.

a) a

b) b

d) 2

e) 4

Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x

a) 0

b) 1

d) -1

e) -2

c) 2

Indicar el cuadrante al que pertenece “” Si: |tg| = -tg  sec < 0

c) 1

6.

Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x

 Calcular: “ f( ) ” 2

a) IC

b) IIC

d) IVC

e) IC  IIC

c) IIIC

Indicar el cuadrante al que pertenece “” Si: |sen| = -sen  cot > 0

a) 0

b) 1

d) -1

e) -2

c) 2

33

a) IC

b) IIC

d) IVC

e) IC  IIIC

c) IIIC


COLEGIO LOBACHEVSKY

7.

TRIGONOMETRÍA

Si:    son medidas de ángulos coterminales

14.

y se cumple que:

Si:

3ER AÑO

sen  – cos  

1 3

2

tg < 0  |cos| = -cos; indicar el cuadrante

Calcular: E = tg  + sec

al que pertenece “”. a) IC

b) IIC

c) IIIC

d) IVC

e) IC  IIC 15.

8.

Si: 

a) 1

b) 3

d) 7

e) 9

Del gráfico calcular:

 son medidas de ángulos coter-

 3 cos    sen(  ) 6   E  3sen   2 

minales y se cumple: |sec| = sec  |cot| = -cot Indicar el cuadrante al que pertenece “”

9.

a) IC

b) IIC

d) IVC

e) IC  IVC

c) IIIC

Calcular: E  senx  cos x  1 a) 0 d)

b) 1

c) 5

a) 1/2

b) 2/3

d) 4/3

e) 3/2

c) 3/4

c) 2

e) 2 2

2

TAREA DOMICILIARIA 10.

Calcular: E  1  3senx  senx  1 a) 0 d)

11.

b) 1

1.

c) 2

Calcular:

E

e) 2 2

2

Si:   IVC, determinar el signo de: E

tg (1  cos ) sen   cos 

a) +

b) -

c) + ó -

d) +  -

e) Todas son correctas

2.

a) 1

b) 2

d) -3

e) -2

(a  b)3 sen90º(a  b)3 cos 360º

Si:   IIIC, determinar el signo de:

E

cos (3  sen) tg  csc

a) +

b) -

c) + ó -

d) +  -

e) Todas con correctas

3.

c) 3

Calcular:

E 12.

(a  b)2 sec 360º(a  b) cos 180º 2ab csc270º

a2 sec 0º3b2 csc 90º

a) a

b) b

d) 2b

e) ab

Si: f(x)  sen

c) 2a

x x x  cos  tg 2 3 4

Calcular: “f()” 13.

2

Una raíz de la ecuación: x – 2x – 3 = 0 es un valor de “tg”; si   IIIC. Calcular: E  10 (sen   cos ) a) -1

b) -2

d) -4

e) -5

c) -3

34

a) 1

b) 1,5

d) 2,5

e) 3

c) 2


COLEGIO LOBACHEVSKY 4.

TRIGONOMETRÍA

Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

a) 

 Calcular: “ f( ) ” 2

5.

d)

a) 0

b) 1

d) -1

e) -2

10.

E = sen - tg a) +

b) -

d) +  -

e) Todas son correctas

c) + ó -

11.

b)  3 e) 

b) 1/2

d) 2/3

e) 3/2

c)

cot y 

c) 1/3

3 2

12.

3 3

csc   cos  tg   sec 

a) +

b) -

d) +  -

e) Todas son positivas

c) + ó -

Calcular: E = cosk; k  Z a) 0

b) 1 k

e) (k)

13.

cosy < 0 además

c) -1 -1

a5 ; calcular “a”. a 1

Calcular: E = senk; k  Z a) 0

b) 1 k

d) (-1) a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

14.

E

Si: tg  a 

1 ;  a  R a

Sabiendo que   IIIC y que tg toma su menor valor.

x 3x . sec 3 4 x cos 5

a) +

b) -

d) +  -

e) Todas con correctas

c) + ó -

15.

a) -1

b) -1,5

d) -2,5

e) -3

Si:    son medidas de ángulos coterminales

b) 2

2 y tg  ; cos < 0. 5

c) 3

(a-b; b)

d) 2/3

29 sen   tg 

e) 3/2

sec  . cos 

35

c) -2

Del gráfico calcular: E = tg + cot a) 1

Calcular: E 

c) -1 -1

Calcular: E  5 csc 

Si: 270º < x < 360º indicar el signo de la

cot

e) (k)

c) 4

expresión:

9.

 0 6

Si: x e y son medidas de ángulos coterminales tal que: cos x   10

8.

4 5

Si:   IIC,   IIIC    IVC

d) (-1) 7.

12 5

c)

Indicar el signo de la expresión:

Calcular: E  cot   3sen 

3 2

e) 

a) 1

   IIC

3

8 5

Si: x  IVC  |cscx| - 4sen

E

3 Si: |cos| = 2

d) 

8 5

b) 

Calcular: E  senx  3 cos x

Si: |cot| = cot  |sec| = - sec

a)

4 5

c) 2

Indicar el signo de la expresión:

6.

3ER AÑO

 (a; a-b)


Razones trigonometricas de angulos en posicion normal