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Vectores DefiniciĂłn Un vector es un segmento de recta con una direcciĂłn; representa el desplazamiento desde un punto “Aâ€? hacia a un punto “Bâ€?.

NotaciĂłn Los vectores son representados por letras minĂşsculas con una flecha superpuesta, mientras los puntos (inicial y terminal) son representados por letras mayĂşsculas. Generalmente, los componentes de los vectores pueden agruparse en corchetes, ya sea de forma horizontal o vertical. Utilizando como ejemplo el vector đ?‘Łâƒ— se observan sus componentes de la siguiente manera: 2 đ?‘Łâƒ— = [ ] 3

đ?‘Łâƒ— = [2,3]

ILUSTRACIĂ“N 1 VECTOR EN DOS DIMENSIONES

Operaciones con vectores Suma Sean đ?‘˘ ⃗⃗ = [đ?‘˘1 , đ?‘˘2 ] y đ?‘Łâƒ— = [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ], la suma de vectores estĂĄ definida como: đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = [đ?‘˘1 + đ?‘Ł1 , đ?‘˘2 + đ?‘Ł2 ]

MultiplicaciĂłn por un escalar Sea “câ€? un escalar arbitrario y đ?‘˘ ⃗⃗ = [đ?‘˘1 , đ?‘˘2 ], el producto de la multiplicaciĂłn entre ambos es: đ?‘?đ?‘˘ ⃗⃗ = [đ?‘?đ?‘˘1 , đ?‘?đ?‘˘2 ]


Distancia entre vectores La distancia entre vectores se puede obtener de manera anĂĄloga a la distancia entre dos puntos. Dado que los vectores son segmentos rectos, el uso del teorema de PitĂĄgoras facilita el cĂĄlculo de dicha distancia. Entonces, sean đ?‘Žâƒ— = [đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ] y đ?‘?⃗⃗ = [đ?‘?1 , đ?‘?2 ] la distancia entre ellos puede ser representada por: đ?‘‘ = √(đ?‘Ž1 − đ?‘?1 )2 + (đ?‘Ž2 − đ?‘?2 )2 = ‖đ?‘Ž − đ?‘?‖

ILUSTRACIĂ“N 2 DISTANCIA ENTRE VECTORES

Producto punto OperaciĂłn que da como resultado un escalar. Sean đ?‘˘ ⃗⃗ = [đ?‘˘1 , đ?‘˘2 ] y đ?‘Łâƒ— = [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ], el producto punto estĂĄ definido como: đ?‘˘ ⃗⃗ ∙ đ?‘Łâƒ— = đ?‘˘1 đ?‘Ł1 + đ?‘˘2 đ?‘Ł2

Producto cruz OperaciĂłn que da resultado un vector que es ortogonal a ambos factores. El producto punto es: đ?‘˘2 đ?‘Ł3 − đ?‘˘3 đ?‘Ł2 đ?‘˘ ⃗⃗ Ă— đ?‘Łâƒ— = [đ?‘˘3 đ?‘Ł1 − đ?‘˘1 đ?‘Ł3 ] đ?‘˘1 đ?‘Ł2 − đ?‘˘2 đ?‘Ł1

Ă ngulo entre vectores Dado que existe mĂĄs de un ĂĄngulo entre vectores, se selecciona el menor como convenciĂłn para realizar operaciones vectoriales. Para encontrar dicho ĂĄngulo se utiliza una simple ecuaciĂłn que se vale del producto punto. cos đ?œƒ =

đ?‘˘ ⃗⃗ ∙ đ?‘Łâƒ— ‖đ?‘˘ ⃗⃗‖ ∙ ‖đ?‘Łâƒ—‖

ProyecciĂłn de đ?‘˘ ⃗⃗ sobre đ?‘Łâƒ— La proyecciĂłn, en palabras mĂĄs simples, es la sombra que un vector produce sobre otro. Se traza una lĂ­nea desde el punto terminal de đ?‘˘ ⃗⃗ para formar un ĂĄngulo de 90° con đ?‘Łâƒ—. Entonces, la proyecciĂłn se encuentra como: đ?‘˘ ⃗⃗ ∙ đ?‘Łâƒ— đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘Łâƒ—⃗ đ?‘˘ ⃗⃗ = ( ) đ?‘Łâƒ— đ?‘Łâƒ— ∙ đ?‘Łâƒ—


Rectas y Planos Rectas en â„?2 Las formas comunes en las que se nos presentan rectas son:

đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘?

đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘?

(y − đ?‘Ś0 ) = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) đ?‘?

đ?‘Ž

De esta Ăşltima (ecuaciĂłn general de la recta), se obtiene đ?‘Ś = đ?‘? − đ?‘? đ?‘Ľ. Partiendo de esto, surgen varios casos interesantes.

Recta que atraviesa el origen (0,0) La recta estĂĄ descrita por la ecuaciĂłn đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = 0. Otra forma de ver esta ecuaciĂłn es como el resultado đ?‘Ž đ?‘Ľ de un producto punto entre dos vectores: [ ] ∙ [đ?‘Ś ] = 0. Obtener un resultado igual a cero en un producto đ?‘? punto indica que los factores son ortogonales. Involucrando los vectores en esta definiciĂłn, se puede obtener el modelo de la recta de distintas formas. Para esto, se puede considerar la recta 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś = 0.

EcuaciĂłn normal de la recta

đ?‘Ž Considerando un vector đ?‘›âƒ—⃗ = [ ] en donde a y b representan los coeficientes de las variables en la ecuaciĂłn đ?‘? general de la recta. Entonces, para encontrar la ecuaciĂłn normal se debe tener un vector đ?‘?⃗ que represente 2 un punto en la recta. En este caso, se utilizarĂĄ đ?‘?⃗ = [ ]. La ecuaciĂłn normal de la recta es đ?‘›âƒ—⃗ ∙ đ?‘Ľâƒ— = đ?‘›âƒ—⃗ ∙ đ?‘?⃗. −2 đ?‘Ľ 2 2 2 Entonces, se tiene [ ] ∙ [đ?‘Ś ] = [ ] ∙ [ ]. Una forma de comprobar este resultado es operar el producto −3 −3 −2 punto, obteniendo la ecuaciĂłn general.

Forma vectorial de la recta Un enfoque diferente de una recta. Lo Ăşnico que cambia es que se tiene un vector direcciĂłn multiplicado đ?‘? đ?‘Ľ đ?‘‘ por un escalar. [đ?‘Ś ] = [đ?‘?2] + đ?‘Ą [ ] đ?‘‘2

Forma paramĂŠtrica de la recta Parte de la forma vectorial. Consiste en subdivisiones por coordenada. Entonces, la ecuaciĂłn de la recta estĂĄ dada por: đ?‘Ľ = đ?‘? + đ?‘Ąđ?‘‘

y

đ?‘Ś = đ?‘? + đ?‘Ąđ?‘‘

Ecuaciones de un plano en â„?3 Forma normal đ?‘›âƒ—⃗ ∙ đ?‘Ľâƒ— = đ?‘›âƒ—⃗ ∙ đ?‘?⃗


Forma general đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ = đ?‘‘

Forma vectorial En donde đ?‘˘ ⃗⃗ y đ?‘Łâƒ— no son paralelos. đ?‘Ľâƒ— = đ?‘?⃗ + đ?‘ đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Ąđ?‘Łâƒ—

Distancia desde un punto “Fâ€? hasta una recta â„“ Se define como la distancia mĂ­nima que existe entre una recta y un punto cualquiera fuera de ella. Por lo tanto, se debe buscar un vector ortogonal a la recta. Se sugiere seguir estos pasos: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; en donde “Pâ€? es un punto conocido en la recta. 1. Trazar el vector đ?‘ƒđ??š ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Entonces, el vector đ?‘Ľâƒ— que va de la recta al punto es: đ?‘Ľâƒ— = đ?‘ƒđ??š ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś ⃗ đ?‘ƒđ??š ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 2. Encontrar đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘‘ đ?‘ƒđ??š đ?‘‘

3. La magnitud de đ?‘Ľâƒ— (‖đ?‘Ľâƒ—‖) es la distancia.

Distancia desde un punto “Fâ€? fuera del plano hasta el plano. En vez de utilizar el vector direcciĂłn, se utiliza el vector normal. 1. Trazar el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ??š ; en donde “Pâ€? es un punto conocido en la recta. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2. Encontrar đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘› đ?‘ƒđ??š. Entonces, el vector đ?‘Ľâƒ— que va de la recta al punto es: đ?‘Ľâƒ— = đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘›âƒ—⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ??š. 3. La magnitud de đ?‘Ľâƒ— (‖đ?‘Ľâƒ—‖) es la distancia.

ACTIVIDAD EXTRA

ACTIVIDAD 1 COMPLETA LA SOPA DE LETRAS


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