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Programación Lineal La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización. Ejemplo Programación Lineal Los grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan un beneficio máximo? 1 Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 2 Función objetivo f(x,y)= 50x + 40y 3 Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:


pantalones chaquetas disponible algodón

1

poliéster 2 x + 1.5y ≤ 750

1,5

750

1

1000

2x+3y ≤ 1500

2x + y ≤ 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: x + 1.5y ≤ 750, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).


0 + 1.5· 0 ≤ 750 0 ≤ 750 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 2 · 0 + 0 ≤ 1 000 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Estas son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)


6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20 000 € f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25 000 € f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28 750 €

Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €. Solución múltiple La solución no siempre es única, también podemos encontrarnos con una solución múltiple. Si la función objetivo del ejercicio anterior hubiese sido: f(x,y)= 20x + 30y f(0,500) = 20 · 0 + 30 · 500 = 15 000 €

Máximo

f(500, 0) = 20 · 500 + 30 · 0 = 10 000 € f(375, 250) = 20 · 375 + 30 · 250 = 15 000 €

Máximo


En este caso todos los pares, con soluciones enteras, del segmento trazado en negro serían máximos.

f(300, 300)= 20 · 300 + 30 · 300 = 15 000 €

Máximo

Método Simplex El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones). Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior. Como se verá en el método Gráfico, dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro o polícoro, si el número de variables es mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema (llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno


adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta. Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más común el método de las Dos Fases. Ejemplo Método simplex: Resolver mediante el método simplex el siguiente problema: Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y sujeto a:

2x + y ≤ 18 2x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24 x≥0,y≥0

Se consideran las siguientes fases: 1. Realizar un cambio de variables y normalizar el signo de los términos independientes. Se realiza un cambio en la nomenclatura de las variables. Estableciéndose la correspondencia siguiente: x pasa a ser X1


y pasa a ser X2 Como los términos independientes de todas las restricciones son positivos no es necesario hacer nada. En caso contrario habría que multiplicar por "-1" en ambos lados de la inecuación (teniendo en cuenta que esta operación también afecta al tipo de restricción). 2. Normalizar las restricciones. Se convierten las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de holgura, exceso y artificiales según la tabla siguiente: Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece ≥

- exceso + artificial

=

+ artificial

+ holgura

En este caso se introduce una variable de holgura (X3, X4 y X5) en cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2·X1 + X2 + X3 = 18 2·X1 + 3·X2 + X4 = 42 3·X1 + X2 + X5 = 24 3. Igualar la función objetivo a cero. Z - 3·X1 - X2 - 0·X3 - 0·X4 - 0·X5 = 0 4. Escribir la tabla inicial del método Simplex. La tabla inicial del método Simplex está compuesta por todos los coeficientes de las variables de decisión del problema original y las de holgura, exceso y artificiales agregadas en el paso 2 (en las columnas, siendo P0el término independiente y el resto de variables Pi coinciden con Xi), y las restricciones


(en las filas). La columna Cb contiene los coeficientes de las variables que se encuentran en la base. La primera fila está formada por los coeficientes de la función objetivo, mientras que la última fila contiene el valor la función objetivo y los costes reducidos Zj Cj. La última fila se calcula como sigue: Zj = Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij. Aunque al tratarse de la primera tabla del método Simplex y ser todos los Cb nulos se puede simplificar el cálculo, y por esta vez disponer Zj = -Cj.

Tabla I . Iteración nº 1 3

2

0

0

0

Base

Cb

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P3

0

18

2

1

1

0

0

P4

0

42

2

3

0

1

0

P5

0

24

3

1

0

0

1

0

-3

-2

0

0

0

Z

5. Condición de parada. Si el objetivo es la maximización, cuando en la última fila (fila indicadora) no existe ningún valor negativo entre los costes reducidos (columnas P1 en adelante) se alcanza la condición de parada. En tal caso se llega al final del algoritmo ya que no existe posibilidad de mejora. El valor de Z (columna P0) es la solución óptima del problema. Otro caso posible es que en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos. Esto indica que el problema no se encuentra


acotado y su solución siempre resultará mejorable. Ante esta situación no es necesario continuar iterando indefinidamente y también se puede dar por finalizado el algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos de forma iterativa. 6. Elección de la variable entrante y saliente de la base. 0. Se determina en primer lugar la variable que entra en la base. Para ello se escoge la columna cuyo valor en la fila Z sea el menor de entre todos los negativos. En este caso sería la variable X1 (P1) de coeficiente -3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color verde). 1. Una vez obtenida la variable que entra en la base, se procede a determina cual será la variable que sale de la misma. La decisión se toma en base a un sencillo cálculo: dividir cada término independiente (columna P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que ambos elementos sean estrictamente positivos (mayores que cero). Se escoge la fila cuyo resultado haya resultado mínimo. Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente. En caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición se habría cumplido la condición de parada y el problema tendría una solución no acotada (ver teoría del método Simplex). En este ejemplo: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] El término de la columna pivote que en la división anterior dio lugar al menor cociente positivo indica la fila de la variable de holgura que sale de la base. En este caso resulta ser X5 (P5), de coeficiente 3. Esta fila se llama fila pivote (en color verde).


Si al calcular los cocientes, dos o más resultados cumplen la condición para elegir el elemento saliente de la base (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (siempre que sea es posible). 2. La

intersección

de

la fila

pivote y columna

pivote marca

el elemento pivote, en este caso el 3. 7. Actualizar la tabla. Los nuevos coeficientes de la tabla se calculan de la siguiente manera: En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como: Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote En el resto de las filas cada elemento se calcula: Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote) Con esto se normaliza el elemento pivote y su valor pasa a ser 1, mientras que el resto de elementos de la columna pivote se anulan (análogo al método de Gauss-Jordan). Se muestran a continuación los cálculos para la fila P4: Anterior fila P4

42

2

3

0

1

0

-

-

-

-

-

-

Anterior Elemento Fila en Columna Pivote 2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

8

1

1/3 0

0

1/3

=

=

=

=

=

=

26

0

7/3 0

1

-2/3

Nueva fila pivote

Nueva fila P4

La tabla correspondiente a esta segunda iteración es:


Tabla II. Iteración nº 2 3

2

0

0

0

Base

Cb

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P3

0

2

0

1/3

1

0

-2/3

P4

0

26

0

7/3

0

1

-2/3

P1

3

8

1

1/3

0

0

1/3

24

0

-1

0

0

1

Z

8. Al comprobar la condición de parada se observa que no se cumple ya que entre los elementos de la última fila hay uno negativo, -1. Se continúa iterando nuevamente los pasos 4, 5 y 6. 5.1. La variable que entra en la base es X2 (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1. 5.2. Para calcular la variable que sale, se dividen los términos de la columna P0 entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24]. Como el menor cociente positivo es 6, la variable que sale de la base es X3 (P3). 5.3. El elemento pivote es 1/3. 6. Actualizando nuevamente los valores de la tabla se obtiene:

Lógica Bayesana El concepto básico en estadística o lógica bayesiana es el de probabilidad condicional: Para dos sucesos A y B,


Se puede aplicar la dentición también a variables discretas o continuas. Desde el punto de vista de los bayesianos, casi todas las probabilidades son condicionales porque siempre existe algún conocimiento previo o historia de los sucesos. Un concepto importante es el expresado por la ley de la probabilidad total.1 “La inferencia Bayesiana es una teoría matemática coherente pero no brinda la suficiente confianza en usos científicos. Las distribuciones a priori subjetivas no inspiran confianza porque ni siquiera existe

Teoría de juegos Evidentemente definir la Teoría de Juegos es tan absurda como su lógica, pero la realidad es que la Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se les da muy bien pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues generalmente la solución es la lógica a la inversa.

En la Teoría de Juegos la intuición no educada no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar tomando en consideración ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales. Por lo contrario en muchas ocasiones disfrutaremos de ventajas sustanciales estudiando juegos, si se eligen cuidadosamente los mismos. En estos juegosjuegos, se pueden desentender de todos los detalles. Si en lugar de utilizar personajes ficticios utilizamos personajes reales para los juegos si se observase qué tan honesto es ese personaje, cómo manipularía la información obtenida, etc. Para un especialista en Teoría de Juegos el ser deshonesto, etc., sería un error comparable al de un matemático que no respeta las leyes de la aritmética porque no le gustan los resultados que está obteniendo.


Ejemplo de la aplicación de La Teoría de juegos en el terreno empresarial Supongamos que una empresa tiene previsto la presentación de un producto en una determinada fecha y todavía no lo ha anunciado ante los medios. Esta empresa sabe además que su competencia más directa también tiene previsto presentar un producto similar al suyo en fechas cercanas. ¿Qué puede hacer la primera empresa? En este caso, tendríamos que valorar si presentar el producto con anterioridad a nuestra competencia resulta beneficioso: analizando toda la información disponible, comprobando las prestaciones de productos anteriores, posibles mejoras que hayan podido incluir en este nuevo producto o estimando el precio del producto de nuestra competencia para intentar predecir cómo podría afectar éste a la demanda. El estudio de esta información no garantiza el éxito de nuestras acciones, ya que el mercado es imprevisible, pero ayuda a reducir la incertidumbre. Si la empresa que hemos mencionado anteriormente presenta su producto a un precio de 700 euros y su competencia lanza a los pocos días un producto similar con mejores prestaciones a un precio de 450 euros, podría partir con desventaja en el Mercado. En muchas ocasiones una continua bajada de precios en el Mercado desencadena guerras de precios que pueden generar pérdidas económicas a todas las empresas involucradas o también desencadenar que una de ellas alcance una mayor cuota de mercado y se sitúe como líder del sector. Metido de Localización Desde la década de los 60, etapa donde ocurre la maduración de la teoría de la localización como área de investigación, se han creado y desarrollado infinidad de métodos analíticos cuyas aflicciones se extienden más allá de la administración de empresas, lo cual la convierte en un área pluridisciplinaria, Dichos métodos constituyen una herramienta de apoyo esencial ante la toma de decisiones sobre localización de instalaciones, las cuales a su vez, son un elemento fundamental del plan estratégico general de cualquier empresa (aun


cuando muchas de ellas la tomen sólo una vez en su historia), pues una buena selección de la ubicación puede contribuir a la realización de los objetivos empresariales, mientras que una localización desacertada puede conllevar un desempeño inadecuado de las operaciones. El desarrollo de estos métodos ha derivado que los autores clasifiquen los mismos para una mejor comprensión, estudio y aplicación Definición Método De Transporte El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

1.

Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2.

El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.

La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte. Ejemplo: DUMAS S.A posee tres plantas de ensamble; que se encuentran localizadas en los siguientes países: Portugal, que tiene una capacidad de producción mensual de 28000 unidades, la planta que se localiza en Dinamarca tiene una capacidad mensual de producción de 19.000 unidades, y la de Perú tiene una capacidad de producción mensual de 25 unidades.


Para el mes siguiente les han realizado los siguientes pedidos: La tienda que se encuentra en Bolivia ha hecho un pedido de 7000 unidades, la de Ecuador tiene un pedido de 17 unidades, la de Brasil ha pedido 11000 unidades, chile 13000 unidades, Nicaragua 24000. Buscar que el costo de distribución sea el mínimo dentro de las restricciones impuestas por las unidades disponibles y requeridas, usando el método de La Esquina Noroeste

SOLUCION


Técnica de Montecarlo El método Montecarlo es una técnica matemática computarizada que permite tener en cuenta el riesgo en análisis cuantitativos y tomas de decisiones. Esta técnica es utilizada por profesionales de campos tan dispares como los de finanzas,

gestión

de

proyectos,

energía,

manufacturación,

ingeniería,

investigación y desarrollo, seguros, petróleo y gas, transporte y medio ambiente.


La simulación Monte Carlo ofrece a la persona responsable de tomar las decisiones una serie de posibles resultados, así como la probabilidad de que se produzcan según las medidas tomadas. Muestra las posibilidades extremas — los resultados de tomar la medida más arriesgada y la más conservadora— así como todas las posibles consecuencias de las decisiones intermedias. Los científicos que trabajaron con la bomba atómica utilizaron esta técnica por primera; y le dieron el nombre de Monte Carlo, la ciudad turística de Mónaco conocida por sus casinos. Desde su introducción durante la Segunda Guerra Mundial, la simulación Monte Carlo se ha utilizado para modelar diferentes sistemas físicos y conceptuales. Ejemplo Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.

Programación lineal pdf  
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UFT

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