Page 1

Trang : 0

BiĂŞn so n:


Trang : 1

BiĂŞn so n:


Biên so n:

Trang : 2

Nh ng i u h c sinh c n l u ý khi làm bài thi TN THPT môn toán............. 3 V n

1: Hình th c trình bày – k n ng th c hi n ...................................... 3

V n

2: N i dung c th ............................................................................. 5 Kh o sát hàm s và bài toán liên quan ............................................12 V n

1: Kh o sát hàm s ..........................................................12

V n

2: Ph

V n

3: C c tr c a hàm s ........................................................19

V n

4: Bi n lu n s nghi m c a ph

V n

5: Bài toán v c p i m

V n

6:

ng trình ti p tuy n................................................16

ng trình b ng

th .....21

i x ng.....................................23

th hàm ch a giá tr tuy t

i..................................24

Bài t p t ng h p ...........................................................................26 Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s ..............................30 Hàm s l y th a, hàm s m và hàm s lôgarit ..............................33 V n

1: Ph

ng trình m ..........................................................34

V n

2: Ph

ng trình lôgarit ..................................................... 35

V n

3: B t ph

ng trình m .................................................... 37

V n

4: B t ph

ng trình lôgarit ...............................................38

Bài t p t ng h p ...........................................................................39 Tích phân và ng d ng....................................................................40 V n

1: Tính tích phân .............................................................40

V n

2: Di n tích hình ph!ng - Th tích kh i tròn xoay ..........42

S ph c ...........................................................................................43 Kh i a di n –M t nón, m t tr , m t c u........................................45 Ph M ts

ng pháp t a

trong không gian..........................................49

tham kh o .....................................................................................54


Biên so n:

Trang : 3

!" #

$

% $ &

& & '&

( &

"

1. L i 1: Vi t ch x u, c u th . Trình bày bài l n x n, không m ch l c, ý t

ng không rõ ràng gây khó hi u

cho giám kh o. Cách kh c ph c: C g"ng vi t bài rõ ràng, c#n th n. Phân tích toán tr

bài, tìm cách gi i ngoài nháp, s"p x p các b

c th c hi n, tính

c các y u t c n thi t.

Trình bày thành t ng b

c rõ ràng, riêng bi t t ng n i dung, v$ hình minh

h a n u c n. Làm ng"n g n, chính xác. 2. L i 2: Không

ck

bài, nh m l n các gi thi t

Không n m Thi u

y

các yêu c u c a

bài, ch a làm h t câu, thi u k t lu n

t các i u ki n c n thi t ho c quên so v i i u ki n sau khi gi i

Cách kh c ph c: c

c#n th n, xác

nh chính xác gi thi t c a

bài. Chú ý

t các i u

ki n c n thi t Th c hi n

y

các yêu c u, nên làm ph n k t lu n cho t ng câu

có th

ki m tra l%i ã th c hi n h t các yêu c u c a câu h i ch a ? ã so nghi m v i các i u ki n

t ra ch a ?


Biên so n:

Trang : 4

3. L i 3: Chép các d ki n t

bài ra bài làm b sai.

Tính sai m t k t qu và s d ng k t qu

y làm ti p d n t i sai hàng lo t tuy

r ng cách làm úng. Cách kh c ph c: Hãy ch"c ch"n r ng các d ki n

c chép ra t

bài là chính xác tr

c

khi s& d ng Ki m tra k t qu các b

c quan tr ng khi k t qu

ó

c s& d ng cho

nhi u ph n khác c a bài làm 4. L i 4: Làm quá sát câu sau v i câu tr

c.

G ch b và xóa m t cách c u th gây m t c m tình c a giám kh o, vi t chen ph n s a v i ph n g ch b d n t i d b ch m sót. Không ánh s th t câu khi làm bài. B tr ng nhi u ch! trên gi y thi, làm m t câu kéo dài nhi u n"i trong bài làm d n t i d b ch m sai, ch m sót và c ng i m thi u. Cách kh c ph c: Không nh t thi t ph i làm theo th t câu trong làm tr

bài, câu nào bi t làm thì

c nh ng nên ghi rõ bài m y, câu m y khi làm.

Không dùng bút xóa hay g%ch b c#u th . Dùng th c n b và vi t l%i ph n úng vào phía d

c g%ch chéo vào ph n

i. Không vi t k bên hay ghi chèn

vào ph n ã g%ch b Nên nháp tr

c cách gi i

d

oán tr

c các khó kh n và làm tr n v'n

t ng câu, tránh b tr ng gi y thi và làm nhi u ph n c a câu ( nhi u n i trong bài 5. L i 5:


Biên so n:

Trang : 5

S d ng k#ý hi u tùy ti n, không gi i thi u. Làm bài quá v n t t, không gi i thích, thi u l p lu n. Làm bài quá dài dòng, vi t c nh ng bi n $i l t v t vào bài d n t i bài làm b r i và ph c t p. Ch n các ph "ng pháp c u k%, nhi u k x o trong khi có th ch n m t cách làm "n gi n Cách kh c ph c: Hãy gi i thi u k)ý hi u tr c ho c do h c sinh t

c khi s& d ng n u ó là m t k)ý hi u không qui t ra (nh t là VTCP và VTPT),

ng th*i c ng

không nên l%m d ng ký hi u mà làm cho bài tr( nên t i ngh+a Tránh các ph

ng pháp gi i c u k,, ph

n gi n mà v-n mang l%i k t qu , càng

ng pháp t t nh t là ph

ng pháp

n gi n càng ít sai sót và hi u qu .

Tuy nhiên không làm quá v"n t"t mà thi u s gi i thích và l p lu n c n thi t Các bi n

i l t v t nh qui

ng m-u s , chuy n v rút g n có th làm

ngoài nháp và ghi k t qu vào bài vì th *ng các bi n

i này không

c

tính i m trong áp án. Hãy t n d ng máy tính cho vi c gi i ph

ng d ng

o hàm

ng trình và h ph

kh o sát hàm s và v

ng trình.

th

A. Bài toán xét các tính ch t c a hàm s : Chú ý các bài toán: Bài toán 1: Xét tính

ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s

Bài toán 2: Tìm các i m c c tr c a hàm s (xem l%i i u ki n c n và i u ki n

hàm s có c c tr )


Biên so n:

Trang : 6

B. Bài toán kh o sát và v Ph i làm

y

+ T p xác

th hàm s :

các ph n, m.i ph n trên m t dòng riêng bi t:

nh

+ %o hàm, xét d u %o hàm, l p b ng bi n thiên ( ghi

y

giá tr t%i các

u m i tên) + Ghi rõ : * kho ng t ng gi m

* các c c tr (n u có)

* các gi i h%n khi x → +∞, x → −∞ th : Hình v$ nên th c hi n b ng bút m c, thay vì b ng bút chì vì

+ V$

bút chì không tr

c và

c xem là bút làm bài chính th c. Có th v$ bút chì

l%i b ng bút m c.

Khi th c hi n v$ hàm s có ch a tr tuy t ph n l p lu n v s liên h gi a chúng

ã v$ thì nên có

i t m t hàm s t

ó suy ra cách v$

Chú ý: y = ax 3 + bx 2 + cx + d , y = ax 4 + bx 2 + c , y =

ax + b . cx + d

Hàm s l y th a – Hàm s m – Hàm s logarit H c sinh c n xem l%i: Các tính ch t c a hàm s m , %o hàm hàm s m , d%ng

th (c

s >1 hay c s <1) Các tính ch t và phép bi n

i l y th a v i s m nguyên, h u t/, th c

Các tính ch t c a hàm s logarit, %o hàm hàm s logarit, d%ng

th

( c s >1 hay c s <1) Các tính ch t và phép bi n

i logarit

H c sinh c n thu c lòng các d%ng ph logarit c b n. N"m v ng các ph Ph

ng pháp 1:

ng trình và b t ph

ng pháp gi i:

a v các l y th a cùng c s .

ng trình m ,


Biên so n:

Trang : 7

Ph

ng pháp 2:

t #n ph ( l u ý: t = ax

i u ki nk: t > 0,

t = logax Ph

ng pháp 3: Logarit hóa (hay m hóa)

Ph

ng pháp 1: Dùng tính ch t

t∈R)

ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s

m , logarit. Các l u ý: Ch

ng trình không yêu c u gi i ph

tham s hay có ch a #n

ng trình có

ng th*i ( c s và s m hay ch a #n

th*i ( c s và bi u th c d Khi gi i ph

ng trình, b t ph

ng

i d u logarit ( VD: log4(x+2).logx2 = 1 )

ng trình, b t ph

ng trình logarit: c n

t i u ki n cho

các bi u th c logarit tr

c khi gi i và so i u ki n sau khi gi i xong

(n u bi n

t k thì các phép bi n

i mà ch a

Chú ý th c hi n các bi n

ng

ng)

i logarit sao cho không làm thay $i i u

ki n xác

nh c a bi u th c logarit

C n xác

nh m t bi u th c là d

Nh

i ph i t

ng tr

c khi l y logarit c a chúng

i chi u b t !ng th c khi:

+ Nhân chia hai v cho s âm + B ho c thêm c s hai v khi c s < 1 + B ho c l y logarit hai v khi c s < 1

Nguyên hàm, tích phân và ng d ng C n thu c chính xác b ng các công th c nguyên hàm và các tính ch t c a tích phân C n n"m v ng các ph

ng pháp

i bi n s [ d%ng t = ϕ(x) hay d%ng

x = ϕ(t)] C n n"m v ng công th c tích phân t ng ph n và cách áp d ng L u ý:


Biên so n:

Trang : 8

+ C n phân bi t rõ 2 ph ph

i bi n s và cân nh"c xem nên dùng

ng pháp

ng pháp nào

+ Nh

i c n tích phân khi dùng ph

+ Trong ph

ng pháp

i bi n s

ng pháp tích phân t ng ph n c n tránh l-n l n gi a nguyên

hàm và %o hàm, chú ý cách ch n nguyên hàm v thích h p t dv n phép tính

d-n

n gi n h n

Tính di n tích hình ph!ng: c n chú ý các v n

sau

+ Cách tính d a vào hình v$ ã có ( tính tr c ti p ph n

th c n tính ho c

cách tính gián ti p) + Cách tính không dùng hình v$ (chú ý tích phân và cách x& lý d u tr tuy t

d u tr tuy t i

i bên trong d u

tính)

Tính th tích v t th tròn xoay ( chú ý i u ki n áp d ng công th c): b

Nh n tr c Ox làm tr c quay: V = π

2

f ( x ) dx

a

S ph c D%ng %i s , bi u di0n hình h c, mô un c a 1 s ph c Các s ph c liên quan v i 1 s ph c z: s ph c liên h p, cách bi u di0n, s liên h v mô un c a chúng N"m v ng các phép toán c ng, tr , nhân, chia d%ng %i s và cách tính s ph c ngh ch C n n"m

o. c i u ki n

m t s ph c tr( thành s th c, s

o và cách tìm

t p h p các i m bi u di0n c a m t s ph c th a 1 i u ki n cho tr N"m

c cách tính c n b c hai c a s ph c d%ng %i s ( chú ý: không

dùng k)ý hi u Ph

c

cho s ph c)

ng trình b c hai v i h s th c, ph

th c ( chú ý: ∆ < 0)

ng trình quy v b c hai v i h s


Biên so n:

Trang : 9

Kh i a di n – M t nón, m t tr , m t c u. H c sinh c n xem l%i toàn b các công th c tính th tích: kh i chóp, kh i l ng tr , kh i c u, kh i nón, kh i tr và công th c tính di n tích xung quanh m t c u, hình tr , hình nón H c sinh c n xem l%i: + Các ph

ng pháp ch ng minh song song, vuông góc. Cách xác

nh và

tính góc, kho ng cách + Ph

ng pháp tính th tích kh i a di n: công th c, dùng t/ s th tích,

dùng phân chia l"p ghép kh i a di n nh tâm và bán kính m t c u ngo%i ti p kh i chóp và tính th tích,

+

di n tích xung quanh m/c u + Chú ý: Ph i v$ hình khi làm bài, ph i xác khi làm

nh úng các gi thi t tr

c

c bi t là gi thi t v góc

+ Trong m t s tr *ng h p thu n l i, có th v n d ng Ph "ng Pháp T a

&

có cách gi i

Ph

ng pháp t a

n gi n h n

trong không gian

C n h c thu c t t c các công th c tích vô h

ng hay có h

ng

Tính toán th t c#n th n vì d0 d-n tích có h

áp d ng chính xác, chú ý vi t úng

n vi c sai dây chuy n,

c bi t khi tính

ng c a 2 vect

Tránh l-n l n gi a ph

ng trình

*ng th!ng và ph

ng trình m t ph!ng

Nên làm bài theo t ng ý m t cho rõ ràng và nên có hình v$ minh h a kèm theo M t bài có th có nhi u cách gi i và d-n t i nhi u áp s khác nhau nh ng v-n úng,

c bi t là ph

ng trình

*ng th!ng. C n

a áp s ph

ng


Biên so n:

Trang : 10

trình

*ng th!ng v

úng d%ng n u

s , ph

ng trình chính t"c).

bài có yêu c u ( Ph

M t s cách gi i c n ki m tra l%i áp s có th a yêu c u

VECT : + T a +

ng trình tham

bài hay không.

, mô un, các phép toán

i u ki n 2 vect b ng nhau, cùng ph

ng, vuông góc,

ng

ph!ng ( c a 3 vect , c a 4 i m ) + Công th c tính di n tích hình bình hành, tam giác và công th c tính th tích kh i h p, t di n

M T C U: Ph t

ng trình m t c u, cách tìm ph ng

ng trình m t c u, v trí

i c a m t c u và m t ph!ng.

M T PH NG: ng trình m t ph!ng, cách vi p ph

ng trình m t ph!ng.

ng trình các m t ph!ng t a

ng trình m t ph!ng theo

+ Ph Ph

, ph

o%n ch"n + Cách xét v trí t

ng

i 2 m t ph!ng, tính góc c a 2 m t ph!ng,

kho ng cách gi a 1 i m và 1 m t ph!ng, gi a 2 m t ph!ng song song. + Tìm hình chi u c a 1 i m trên 1 m t ph!ng.

NG TH NG: + Ph ph + Cách

ng trình tham s và ph

*ng th!ng.

ng trình a ph

ng trình

ph!ng sang d%ng ph + Cách xét v trí t trình

ng trình chính t"c, cách vi t

ng

*ng th!ng là giao tuy n c a 2 m t

ng trình tham s ho c ph i c a2

*ng th!ng. Cách vi t ph

*ng th!ng vuông góc chung c a 2

+ Tìm hình chi u c a 1 i m lên 1

ng trình chính t"c ng

*ng th!ng chéo nhau

*ng th!ng, hình chi u c a 1


Biên so n:

Trang : 11

*ng th!ng lên 1 m t ph!ng. KHO NG CÁCH: + Công th c tính kho ng cách gi a 2 i m + Công th c tính kho ng cách gi a 1 i m và 1 mp + Kho ng cách gi a 1 i m M và 1

*ng th!ng ∆

Cách làm: tìm hình chi u H c a M trên ∆ và tính + Kho ng cách gi a 2

dài MH.

*ng th!ng chéo nhau (d1), (d2):

Cách làm: Vi t pt m t ph!ng (P) ch a (d2) và song song (d1) Tính kho ng cách t 1 i m M b t k, trên (d1)

n m t ph!ng (P)


Biên so n:

Trang : 12

#

)

chung

T p xác

$

#

!" S

"&

nh

%o hàm

*+ $% $ &

"

( ,

$# Hàm h u t y =

Hàm a th c

ax + b cx + d

d D = R \ {− } c

D=R y ' = [?] , ∀x ∈ D

y' = 0

y/ =

x=?

ad − bc [?]( <, > ) 0, ∀x ∈ D (cx + d ) 2

a a lim y = , lim y = x →−∞ c x→+∞ c

y = [ ?] ∞ lim x →−∞

Suy ra: y =

y = [ ?] ∞ lim x →+∞

lim

Gi i h%n ( Ph thu c d u c a h s l'y th a b c cao nh t )

d − x→ − c

a : c

y = [?] ∞, lim

d + x→ − c

y = [ ?] ∞

d Suy ra: x = − : c ( L u ý tách xét riêng các gi i h n )

( L u ý gi i h n

Hàm s B ng bi n thiên

(K t "n

lu n

các biên )

(ng bi n (ngh ch bi n) trên

tính

d d các kho ng (−∞;− ) và (− ; +∞). c c i u và c c

tr hàm s )

tùy vào d u c a (ad − bc). Hàm s không có c c tr .

B ng giá tr th

(Cho 4 c c tr )

V) ( th

i m tính

( Cho 4 i m )

V) các

*ng ti m c n và ( th


Biên so n:

Trang : 13

Ví d minh h a: Kh o sát s bi n thiên và v$

a. y = 2 x 3 − 3x 2 − 2

b. y = x 4 − 2 x 2 + 2

th (C) c a hàm s c. y =

x+3 x −1

Gi i:

a. y = 2 x 3 − 3 x 2 − 2 T p xác

nh: D = R

%o hàm: y ' = 6 x 2 − 6 x, ∀x ∈ D

y ' = 0 ⇔ 6x2 − 6x = 0 ⇔ Gi i h%n: lim y = −∞, x →−∞

x = 0 ( y = −2 ) x = 1 ( y = −3)

lim y = +∞ x →+∞

B ng bi n thiên :

K t lu n: + Hàm s

ng bi n trên (-∞; 0), (1; +∞) và ngh ch bi n trên (0; 1)

+ Hàm s

%t c c %i t%i x = 0 và yC = - 2.

+ Hàm s

%t c c ti u t%i x = 1 và yCT = - 3

+

th hàm s không có ti m c n.

B ng giá tr : x

-1

0

1

2

y

-7

-2

-3

2

th :


Biên so n:

Trang : 14

b. y = x 4 − 2 x 2 + 2 T p xác

nh: D = R

%o hàm: y ' = 4 x 3 − 4 x, ∀x ∈ D y ' = 0 ⇔ 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ Gi i h%n: lim y = +∞, x →−∞

( y = 2) ( y = 1)

x=0 x = ±1

lim y = +∞ x →+∞

B ng bi n thiên :

K t lu n: + Hàm s

ng bi n trên (-1; 0), (1; +∞) và ngh ch bi n trên

(-∞ ;-1),(0; 1) + Hàm s

%t c c %i t%i x = 0 và yC = 2.

+ Hàm s

%t c c ti u t%i x = ±1 và yCT = 1

+

th hàm s không có ti m c n.

B ng giá tr : x

-2

-1

0

1

2

y

10

1

2

1

10

th :


Biên so n:

Trang : 15

c. y =

x+3 x −1

nh: D = R \{1}

T p xác

%o hàm: y ' =

−4 < 0, ∀x ∈ D ( x − 1) 2

lim y = 1, x →−∞

Gi i h%n:

lim y = 1 . Suy ra: y =1 là x →+∞

*ng ti m c n ngang.

lim y = −∞,lim y = +∞ . Suy ra: x =1 là x →1 x →1 −

+

B ng bi n thiên :

K t lu n: + Hàm s ngh ch bi n trên (-∞; 1), (1; +∞) + Hàm s không có c c tr . B ng giá tr :

th :

x

-1

0

2

3

y

-1

-3

5

3

*ng ti m c n

ng.


Biên so n:

Trang : 16

%" &

Ph

'

&

th (C): y = f(x) t%i i m M0(x0; y0) ∈ (C):

ng trình ti p tuy n c a

(∆): y − y0 = f/(x0).(x − x0) x0 :

Các yêu c u c n xác

nh: y0 : k = f / ( x0 ) :

L u ý: Cho hai

*ng th!ng (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2.

(d1) // (d2) ⇔

a1 = a2 b1 ≠ b2

M T S! D"NG C

(d1) ⊥ (d2) ⇔ a1.a2 = −1.

B N

D ng 1: Vi t ph "ng trình ti p tuy n c a

*ng cong (C): y = f(x) t i i m

M(x0;y0) G i (x0;y0) là ti p i m. Tính f '(x)

f '(x0)

Ph "ng trình ti p tuy n có d ng y - yo = f '(x0)(x - x0)

D ng 2: Vi t ph "ng trình ti p tuy n ∆ c a h s góc cho tr

*ng cong (C) : y = f(x) bi t

c là k

Tính f '(x) G i M(x0;y) là ti p i m. H s góc c a ti p tuy n f '(x0) = k

x0 và y0.

Ph "ng trình ti p tuy n có d ng y - yo = f '(x0)(x - x0).

D ng 3: Vi t ph "ng trình ti p tuy n ∆ c a

*ng cong (C) : y = f(x) bi t ∆

qua i m M1(x1;y1) G i ∆ là

*ng th+ng qua M1(x1;y1) có h s góc k,

∆: y = k(x-x1) + y1


Biên so n:

Trang : 17

∆ ti p xúc(C) : y = f(x) khi và ch, khi h ph "ng trình sau có nghi m

(1) ( 2)

f ( x) = k ( x − x1 ) + y1 f '( x) = k

Thay (2) vào (1),gi i ph "ng trình có

-c x.

Thay x vào (2) tìm k. K t lu n ph "ng trình ti p tuy n ∆: y = k(x - x1) + y1

Ví d minh h a: Cho hàm s y = x 3 − 3 x 2 − 2 có

Vi t ph

th (C).

ng trình ti p tuy n c a (C) bi t:

a. T%i i m có tung

b ng -2

b. T%i giao i m c a (C) và tr c tung. c. Bi t ti p tuy n vuông góc v i Gi i: a. Vi#t ph

1 *ng th!ng ∆ : y = x + 2012 3

ng trình ti#p tuy#n c a (C) t i i m có tung

b$ng -2:

G i M ( xo ; yo ) là ti p i m. Ta có: yo = −2

xo3 − 3xo2 − 2 = −2 ⇔ xo2 ( xo − 3) = 0 ⇔

xo = 0 xo = 3

%o hàm : f ' ( x ) = 3 x 2 − 6 x

ng trình ti p tuy n: y − yo = f ' ( xo )( x − xo )

xo = 0 : f ' ( xo ) = 0 . Ph

y + 2 = 0 ⇔ y = −2

ng trình ti p tuy n: y − yo = f ' ( xo )( x − xo )

xo = 3 : f ' ( xo ) = 9 . Ph

y + 2 = 9 ( x − 3) ⇔ y = 9 x − 29

V y : có 2 ti p tuy n c n tìm là: y = −2 và y = 9 x − 29 b. Vi#t ph

ng trình ti#p tuy#n c a (C) t i giao i m c a (C) và tr c tung:

G i M ( xo ; yo ) là ti p i m. Ta có: M ( xo ; yo ) ∈ Oy

xo = 0

yo = −2


Biên so n:

Trang : 18

%o hàm : f ' ( x ) = 3x 2 − 6 x

ng trình ti p tuy n: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) y + 2 = 0 ⇔ y = −2 V y : có 1 ti p tuy n c n tìm là: y = −2 . xo = 0 : f ' ( xo ) = 0 . Ph

c. Vi#t ph

ng trình ti#p tuy#n c a (C) bi#t ti#p tuy#n vuông góc v%i

&ng

1 th'ng ∆ : y = x + 2012 : 3 G i M ( xo ; yo ) là ti p i m. %o hàm : f ' ( x ) = 3 x 2 − 6 x

Vì ti p tuy n vuông góc v i

1 *ng th!ng ∆ : y = x + 2012 nên h s góc 3

c a ti p tuy n là f ' ( xo ) = −3 ⇔ 3xo2 − 6 xo = −3 ⇔ xo = 1 . xo = 1

yo = −4 : Ph

ng trình ti p tuy n: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) y + 4 = −3 ( x − 1) ⇔ y = −3 x − 1

V y : có 1 ti p tuy n c n tìm là: y = −3x − 1.


Trang : 19

(" A - i(u ki n c n

)

Biên so n:

$#

hàm s

t c)c tr :

N u f ( x) có %o hàm trên kho ng (a; b) và %t c c %i ho c c c ti u t%i x0 ∈ (a; b) thì f '( x0 ) = 0 .

B - i(u ki n

hàm s

t c)c tr :

nh lý 1 : f '( x) > 0, ∀x ∈ (a; x0 )

x0 là i m C c a f ( x)

f '( x) < 0, ∀x ∈ ( x0 , b)

f '( x) < 0, ∀x ∈ (a; x0 )

x0 là i m CT c a f ( x)

f '( x) > 0, ∀x ∈ ( x0 , b) nh lý 2 : f '( x0 ) = 0 f ''( x0 ) > 0

f '( x0 ) = 0 f ''( x0 ) < 0

x0 là i m c c ti u c a f ( x)

x0 là i m c c %i c a f ( x)

C – M t s d ng toán v( c)c tr :

Cho hàm sô y = f ( x ) ,

th là (C).

Nghi m c a f ' ( x ) = 0 là hoành N u

N u

f ' ( x0 ) = 0 f '' ( x0 ) < 0 f ' ( x0 ) = 0 f '' ( x0 ) > 0

c a i m c c tr .

thì hàm s

%t c c %i t%i x = x0 .

thì hàm s

%t c c ti u t%i x = x0 .

Cho hàm s b c ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = f ( x ) có 2 c c tr ⇔

a≠0 . ∆ y' > 0


Biên so n:

Trang : 20

y = f ( x ) có hai c c tr n m v 2 phía

i v i tr c hoành ⇔ yC& . yCT < 0 .

y = f ( x ) có hai c c tr n m v 2 phía

i v i tr c tung ⇔ xC& .xCT < 0 .

y = f ( x ) có hai c c tr n m phía trên tr c hoành ⇔ y = f ( x ) có hai c c tr n m phía d

i tr c hoành ⇔

yC& + yCT > 0 yC& . yCT > 0 yC& + yCT < 0 yC& . yCT > 0

.

.

y = f ( x ) có c c tr ti p xúc v i tr c hoành ⇔ yC& . yCT = 0 .

Cách vi t ph

*ng th!ng i qua hai i m c c tr c a hàm s

ng trình

y = ax 3 + bx 2 + cx + d

L y y chia cho y’, Khi ó y = r(x) là

c th

ng là q(x) và d là r(x).

*ng th!ng i qua 2 i m c c tr .

Ví d minh h a:

Xác

nh m

hàm s y = x 3 − mx 2 + m −

2 x + 5 %t c c ti u t%i x = 1 3

Gi i:

T p xác

nh : D = R

%o hàm: y ' = 3 x 2 − 2mx + m −

Hàm s

2 3

%t c c ti u t%i x = 1 nên y ' (1) = 0 ⇔ 3 − 2m + m −

2 7 =0⇔m= 3 3

7 7 5 14 5 14 V i m = , ta có: y = x 3 − x 2 + x + 5 , y ' = 3x 2 − x + , y '' = 6 x − 3 3 3 3 3 3 Ta có: y '' (1) = V y: m=

4 >0 3

x = 1 là i m c c ti u.

7 th a yêu c u 3

bài.


Biên so n:

Trang : 21

*"

+

#

$

&

Bi n lu n theo m s nghi m c a ph khi bi t

'

,

)

ng trình f(x;m) = 0 (1)

th (C): y = f(x).

& a ph "ng trình (1) v d ng f(x) = g(m)

G i y = f(x) có ( th (C) y = g(m) có ( th là

*ng th+ng d vuông góc v i Oy.

Ph "ng trình (1) là ph "ng trình hoành

giao i m c a (C) và d .

S giao i m c a (C) và d là s nghi m c a ph "ng trình (1). D a vào ( th (C) bi n lu n

giá tr m.

Ví d minh h a:

Cho hàm s y = − x 3 + 3 x 2 − 1 có 1. Kh o sát s bi n thiên và v$ 2. D a vào

th là (C)

th (C) c a hàm s .

th (C) bi n lu n theo k s nghi m th c c a ph

ng trình

− x3 + 3x 2 − k = 0 .

3. Tìm a

ph

ng trình x 3 − 3 x 2 − 1 + log 2 a = 0 có 3 nghi m th c phân bi t.

Gi i: 1. Kh o sát s bi n thiên và v$ 2. D a vào

th (C) c a hàm s .

th (C) bi n lu n theo k s nghi m

th c c a ph

ng trình − x 3 + 3 x 2 − k = 0 .

Ta có : − x 3 + 3 x 2 − k = 0

( *)

⇔ − x3 + 3x 2 − 1 = k − 1

G i : y = − x 3 + 3 x 2 − 1 có y = k − 1 là

th (C),

*ng th!ng d vuông góc v i Oy.

S giao i m c a (C) và d là s nghi m c a ph

ng trình (*)


Biên so n:

Trang : 22

D a vào

th (C), ta có:

k − 1 < −1 ⇔ k < 0 : ph

ng trình (*) có 1 nghi m.

k − 1 = −1 ⇔ k = 0 : ph

ng trình (*) có 2 nghi m.

−1 < k − 1 < 3 ⇔ 0 < k < 4 ph

ng trình (*) có 3 nghi m.

k − 1 = 3 ⇔ k = 4 : ph

ng trình (*) có 2 nghi m.

k − 1 > 3 ⇔ k > 4 : ph

ng trình (*) có 1 nghi m.

3. Tìm a

ph

ng trình x 3 − 3x 2 − 1 + log 2 a = 0 có 3 nghi m th c phân bi t.

Ta có : x 3 − 3 x 2 − 1 + log 2 a = 0

( *)

⇔ x 3 − 3 x 2 = − log 2 a + 1 ⇔ − x 3 + 3 x 2 = log 2 a − 1 ⇔ − x 3 + 3 x 2 − 1 = log 2 a − 2

G i : y = − x 3 + 3 x 2 − 1 có y = log 2 a − 2 là

th (C) *ng th!ng d vuông góc v i Oy.

S giao i m c a (C) và d là s nghi m c a ph D a vào Ph

ng trình (*)

th (C), ta có:

ng trình (*) có 3 nghi m phân bi t ⇔ −1 < log 2 a − 2 < 3 ⇔ 1 < log 2 a < 5 ⇔ 2 < a < 32

V y : a ∈ ( 2;32 ) th a yêu c u

bài.


Biên so n:

Trang : 23

-"

.&

i m I ( x0 ; y0 ) là tâm

$

/

th ( C ) : y = f ( x )

i x ng c a

⇔ T n t%i hai i m M(x;y) và M’(x’;y’) thu c (C) th a

x + x ' = 2 x0 f ( x ) + f ( x ' ) = 2 y0

I ( x0 ; y0 ) là tâm

V y:

x ' = 2 x0 − x f ( x ) + f ( 2 x 0 − x ) = 2 y0

i x ng c a (C) ⇔ f ( x ) = 2 y0 − f ( 2 x0 − x )

Ví d minh h a:

Cho hàm s y = − x 3 + 3 x 2 − 1 có

th là (C)

Tìm trên

i x ng nhau qua i m I

th (C) các c p i m

1 ;3 2

Gi i:

G i M 1 ( x1 ; y1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ) là c p i m th a M1, M 2

i x ng qua I

bài.

1 ;3 nên theo h th c trung i m, ta có: 2

x +x 1 2 =1 x + x =1 x = 1− x 2 2⇔ 1 2 1 ⇔ 2 y +y y + y =6 y =6− y 1 2 =3 1 2 2 1 2

Ta có: M 1 ( x1 ; y1 ) ∈ ( C ) M

x ; y ∈ (C ) 2( 2 2)

(1) (2)

y1 = − x13 + 3x12 − 1 y = − x3 + 3 x 2 − 1 2 2 2 3 2 = − 1− x + 3 1− x − 1 = x3 − 3 x + 1 1 1 1 1

(

) (

(

)

)

3 2 Do (2): y = 6 − y ⇔ x3 − 3 x + 1 = 6 − − x1 + 3 x1 −1 2 1 1 1 x1 =−1 2 ⇔ x −x −2=0⇔ 1 1 x1 = 2 V y: C p i m th a bài là M 1 ( −1;3) và M 2 ( 2;3) .


Biên so n:

Trang : 24

0"

T

)

$#

)

th (C) c a hàm s y = f(x) suy ra

th các hàm s khác: y

D ng 1 : y = f( | x | ) có ( th là (C1) (C '')

V i x ≥ 0 ta có : y = f ( x)

x

M t khác: f ( − x ) = f ( x ) y = f ( x ) là hàm s ch1n. th (C1) g m 2 ph n : Ph n 1 : Gi nguyên ph n

th (C) bên ph i tr c Oy, b ph n

th (C)

bên trái tr c Oy. Ph n 2 : L y

i x ng ph n 1 qua Oy. y

D ng 2 : y = | f( x )| có ( th là (C2)

Ta có : y = f ( x ) =

f ( x)

f ( x) ≥

− f ( x) th (C2) g m 2 ph n :

Ph n 1 : Gi nguyên ph n Ph n 2 : L y

(C ')

f ( x) <

th (C) bên trên tr c Ox

i x ng qua Ox ph n

ph n

th (C) bên d

th (C) bên d

i tr c Ox.

Ví d minh h a:

Cho hàm s y = − x 3 + 3 x 2 − 1 có 1. Kh o sát s bi n thiên và v$ 2. T

th (C), hãy v$

th là (C)

th (C) c a hàm s .

th các hàm s sau:

a. y = − x 3 + 3 x 2 − 1 . b. y = − x + 3 x 2 − 1. 3

Gi i: 1. Kh o sát s bi n thiên và v$

x

th (C) c a hàm s .

i tr c Ox. Sau ó b


Biên so n:

Trang : 25

2. a. T

th hàm s y = − x 3 + 3 x 2 − 1 .

th (C), hãy v$

G i y = − x 3 + 3x 2 − 1 có 3

th (C1)

2

Ta có : y = − x + 3 x − 1 =

− x3 + 3x 2 − 1

− x3 + 3x 2 − 1 ≥ 0

− ( − x 3 + 3 x 2 − 1)

− x3 + 3x 2 − 1 < 0

th (C1) g m 2 ph n: Ph n 1: Ph n Ph n 2: L y bên d 2. b. T

th (C) bên trên Ox. i x ng qua Ox ph n

i Ox. Sau ó, b ph n

th (C)

th (C) bên d

i Ox.

3

th hàm s y = − x + 3x 2 − 1.

th (C), hãy v$ 3

G i y = − x + 3 x 2 − 1 có

th (C2)

V i x ≥ 0, ta có : y = − x 3 + 3x 2 − 1 3

2

3

M t khác: y ( − x ) = − − x + 3 ( − x ) − 1 = − x + 3 x 2 − 1 = y ( x ) Suy ra:

th (C2)

i x ng qua Oy.

th (C2) g m 2 ph n: Ph n 1: Ph n

th (C) bên ph i Oy.

B ph n Ph n 2: L y

th (C) bên trái Oy.

i x ng ph n 1 qua Oy.


Biên so n:

Trang : 26

123 !" Cho hàm s y = x 3 + mx 2 + (m − 3) x − 2 (1)

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$ 2/ Vi t ph

th (C) c a hàm s khi m =0

ng trình ti p tuy n v i

th (C) t%i giao i m c a

ng trình ti p tuy n v i

th (C) bi t ti p tuy n i qua A(2;0)

th v i tr c

tung 3/ Vi t ph

ng trình x 3 − 3 x − 2 − k = 0

4/ Bi n lu n theo k s nghi m th c c a ph 5/ Tìm các giá tr m

hàm s (1) %t c c ti u t%i x =1.

123 %" Cho hàm s y = − x 3 + 3mx 2 + (1 − m) x + 1 (1)

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$ 2/ Vi t ph

th (C) c a hàm s khi m =1

ng trình ti p tuy n v i

th (C) bi t ti p tuy n song song v i

*ng th!ng d: y = −9 x + 2012 . *ng th!ng d: y = −4 x + 1 . Tìm t a

3/ Cho Vi t ph

ng trình ti p tuy n v i

giao i m c a d v i (C).

th (C) t%i các giao i m ó.

4/ Ch ng minh r ng: hàm s (1) luôn có m t i m c c %i và m t i m c c ti u. 5/ Tìm k

ph

ng trình − x 3 + 3x 2 + 1 = log 1 k (k > 0) có 3 nghi m th c phân 2

bi t. 123 (" Cho hàm s y = x 3 + (m + 3) x 2 + 1 − m có

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$

th là (Cm )

th (C1) c a hàm s .

2/ Xác

nh m

hàm s có i m c c %i là x = −1

3/ Xác

nh m

(Cm ) c"t tr c hoành t%i x = −2

123 *" Cho hàm s y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 6

1/ Kh o sát và v$

th (C) c a hàm s

ã cho


Biên so n:

Trang : 27

2/ Vi t ph

*ng th!ng d i qua i m (2; −4) và có h s góc b ng k.

ng trình

Tìm các giá tr c a k

d là ti p tuy n c a (C).

123 -" Cho hàm s y = x 3 − (m + 4) x 2 − 4 x + m

1/ Tìm các i m mà

th c a hàm s

2/ Ch ng minh r ng: ∀ m, 3/ Kh o sát và v$ 4/ Xác

th c a hàm s luôn luôn có c c tr .

th (C) c a hàm s khi m = 0 . *ng th!ng y = kx t%i ba i m phân bi t.

(C) c"t

nh k

i qua v i m i giá tr c a m

123 !" Cho hàm s y = x 4 − 2 x 2 + 1 có

th là (C)

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$ 2/ Tìm các giá tr c a m

ph

th (C) c a hàm s . ng trình x 4 − 2 x 2 + 3 − m = 0 có 4 nghi m th c

phân bi t. 3/ Vi t ph

th (C) t%i các giao i m c a

ng trình ti p tuy n v i

th v i

*ng th!ng d: y = 4

4/ Vi t ph

ng trình ti p tuy n v i (C) bi t ti p tuy n i qua M( 2 ;1)

123 %" Cho hàm s y = x 4 + mx 2 − (m + 1)

1/ Tìm các giá tr m

th là (Cm)

(Cm) i qua i m A( − 2 ;1)

2/ Kh o sát s bi n thiên và v$

th (C) c a hàm s khi m = 2

3/ Bi n lu n theo k s giao i m c a 4/ Tìm m

th (C) v i

*ng th!ng d: y = k

hàm s có 3 c c tr .

5/ Ch ng minh r ng: Khi m thay Tìm các giá tr m

i, (Cm) luôn i qua 2 i m M(-1;0); N(1;0).

ti p tuy n v i (Cm) t%i M và N vuông góc v i nhau.

123 (" Cho hàm s y = x 4 − 2mx 2 + m3 − m 2


Biên so n:

Trang : 28

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$ 2/ Xác

nh m

th c a hàm s khi m = 1

th (Cm ) c a hàm s

ã cho ti p xúc v i tr c hoành t%i hai

i m phân bi t. 123 *" Cho hàm s y = x 4 − 2 x 2

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$ 2/ Xác

nh m

ph

th (C) c a hàm s .

ng trình : x 4 − 2 x 2 − m = 0 có 4 nghi m th c phân bi t.

1 4 5 x − 3x 2 + 2 2 1/ Kh o sát s bi n thiên và v$

123 -" Cho hàm s y =

2/ Vi t ph

th (C) c a hàm s .

ng trình ti p tuy n c a (C) t%i i m M(1; 0).

123 0" Cho hàm s y = − x 4 − x 2 + 6 .

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$ 2/ Vi t ph

th (C) c a hàm s

ã cho.

ng trình ti p tuy n c a (C), bi t ti p tuy n vuông góc v i

1 th!ng y = x − 1 . 6

3x + 1 x+2 1/ Kh o sát s bi n thiên và v$

123 !" Cho hàm s y =

2/ Vi t ph

th (C) c a hàm s

ã cho.

ng trình ti p tuy n c a (C) t%i i m có hoành

2x + 1 2x −1 1/ Kh o sát s bi n thiên và v$

x = −1 .

123 %" Cho hàm s y =

2/ Xác

nh t a

giao i m c a

2x + 1 . x−2 1/ Kh o sát s bi n thiên và v$

th (C) c a hàm s th (C) v i

ã cho.

*ng th!ng y = x + 2 .

123 (" Cho hàm s y =

th (C) c a hàm s

ã cho.

*ng


Biên so n:

Trang : 29

2/ Vi t ph

ng trình ti p tuy n c a (C), bi t h s góc c a ti p tuy n b ng −5 .

123 *" Cho hàm s y =

2x + 1 . x +1

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$ 2/ Tìm m

th (C) c a hàm s

ã cho.

*ng th!ng y = −2 x + m c"t (C) t%i hai i m phân bi t A, B sao

cho tam giác OAB có di n tích b ng 3 ( O là g c t a 123 -" Cho hàm s y =

).

−x +1 2x −1

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$

th (C) c a hàm s .

2/ Ch ng minh r ng v i m i m,

*ng th!ng y = x + m luôn c"t (C) t%i hai

i m phân bi t A và B. G i k1 , k 2 l n l v i (C) t%i A và B. Tìm m 123 0" Cho hàm s y =

3/ Tìm trên

t ng k1 + k 2 %t giá tr l n nh t.

2x + 4 x +1

1/ Kh o sát s bi n thên và v$ 2/ Vi t ph

ng trình ti p v i

th (C) c a hàm s . th (C) t%i giao i m c a (C) v i tr c hoành.

th (C) nh ng i m có t a

4/ Ch ng minh r ng:

nguyên

*ng th!ng d: y = 2 x + m c"t

phân bi t v i m i m. Xác 123 4" Cho hàm s y =

t là h s góc c a các ti p tuy n

nh m

th (C) t%i hai i m

dài o%n AB ng"n nh t.

x−2 x −1

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$

th (C) c a hàm s .

2/ Vi t ph

ng trình ti p tuy n v i (C) t%i giao i m c a (C) v i tr c tung.

3/ Vi t ph

ng trình ti p tuy n v i (C), bi t ti p tuy n i qua i m M(0;-2).

4/ Tìm m

*ng th!ng ∆ : y = mx + 1 c"t (C) t%i hai i m phân bi t n m

trên hai nhánh c a (C).


Biên so n:

Trang : 30

" &-. /"

*&0

" &-.

)

*&

1. Cách tìm GTLN, GTNN trên kho ng (a; b) :

Tính %o hàm y/ ( Tìm nghi m ph

ng trình y/ = 0)

Tính gi i h%n ( hai biên: lim f ( x) và lim f ( x) x →a+

x →b −

L p b ng bi n thiên hàm s và k t lu n. x

y'

a

b

x0

x

y'

+

a

y

b

x0 +

− GTLN

y GTNN Trong ó f '( x0 ) = 0 ho c f '( x) không xác

nh t%i x0

2. Cách tìm GTLN, GTNN trên o n [a; b]

Xét hàm s y = f ( x) liên t c trên [a; b] Tính %o hàm y/ ( Tìm nghi m ph

ng trình y/ = 0 )

Tính giá tr hàm s t%i các nghi m ph

ng trình y/ = 0 và t%i hai biên a, b.

So sánh và k t lu n. Ví d minh h a:

Tìm giá tr l n nh t và nh nh t (n u có) c a hàm s a. y = f(x) = x 4 - 18x 2 + 2 trên o%n [ −1;4] . b. y = f ( x ) = ln x − x Gi i:

a. y = f(x) = x 4 - 18x 2 + 2 trên o%n [ −1;4] . Xét hàm s y = f(x) = x 4 - 18x 2 + 2 liên t c trên o%n [ −1;4] .


Biên so n:

Trang : 31

f ‘(x) = 4 x 3 − 36 x x = 0 ∈ [ −1;4] f ' ( x ) = 0 ⇔ 4 x 3 − 36 x = 0 ⇔ x = 3 ∈ [ −1;4] x = −3 ∉ [ −1;4]

f(0) = 2 , f(3) = -79 , f(-1) = -15 , f(4) = -30 V y:

−1;4

f ( x) = f ( 0 ) = 2 và

−1;4

f ( x) = f ( 3) = −79

b. y = f ( x ) = ln x − x T p xác y′ =

nh: D = (0; +∞)

1 1 1 − = x 2 x x

y′ = 0 ⇔

1 x

1 1 − x 2

1 1 − =0⇔ x=4 x 2

B ng bi n thiên : x

0

y′

+∞

4 +

0

-

2ln2 - 2 y

V y:

-∞

-∞ ( 0;+∞ )

f ( x ) = f (4) = 2ln 2 − 2 và

( 0;+∞ )

123 !" Tính GTLN và GTNN c a hàm s :

1/ y = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 10 trên o%n [-3; 3] 2/ y = x 4 − 3x 2 + 2 trên o%n [2; 5] 3/ y = 25 − x 2 trên o%n [-4; 4]

f ( x ) không t n t%i.


Trang : 32

4/ y = 2sin x + sin 2 x trên o%n 0;

Biên so n:

3π 2

5/ y = sin 3 x − cos 2 x + sin x + 2 123 %" Trong s các hình ch nh t có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình ch nh t có

di n tích l n nh t. 123 (" Tìm hai s có hi u b ng 13 sao cho tích c a chúng là bé nh t. 123 *" Trong các tam giác vuông mà c%nh huy n có

dài b ng 10, hãy xác

nh

tam giác có di n tích l n nh t. 123 -" Tìm hình ch nh t có di n tích l n nh t, bi t r ng chu vi c a nó không

i

và b ng 64 cm. 123 *" Tìm

dài bán kính áy và chi u cao c a m t hình tr có th tích V = 18π

m3 và có di n tích toàn ph n nh nh t.


Biên so n:

Trang : 33

$

*

!&

$ 0

M r ng l y th a: a − n =

$

*

0

$

*

(

-&

1 ( a 2 0) an

m

a n = n a m (a > 0, m ∈ Z, n ∈ N*) nh ngh a và tính ch t lôgarit.

i u ki n: a > 0, a 2 1, b > 0 : log a b = n ⇔ a n = b • log a (b n ) = n.log a b

• log a 1 = 0

• log a a = 1

1 • log ( a ) b = log a b n

• log a b + log a c = log a (bc)

n

b c

• log a b − log a c = log a 123 !" Rút g n các bi u th c sau: 1 2

1 2

1 2

a − 2 a +1 a 3 a − 2a 3 b + 3 a 2b 2 3 a 2b − 3 ab 2 3 A= . 1 B= + 3 : a 1 − 2 3 3 3 a − 1 2 2 a− b a − ab a + 2a a a +2

a−3b C= 6 a−6b 3

D=

4 ab ab − b ab − : a −b a + ab

123 %" Tính

1 log .log 27 9 B = 4log 3 + 9 25 123 (" Th c hi n phép bi n i : A = log 5

2

3

2

C = 27 log 2 + 4log 27 D = log 3 6.log 8 9.log 6 2 9

8

49 theo a, b 8 2/ Cho log 2 5 = a, log 2 3 = b . Tính log 3 135 theo a, b

1/ Cho log 25 7 = a, log 2 5 = b . Tính log 5

123 *" Tính %o hàm các hàm s sau :

1/ y = ( x 2 − 2 x + 2)e x

2/ y = ( x 2 + 2)e − x

3/ y = 2 x ecos x

3x 4/ y = x +1

5/ y = (2 x − 1)ln(3x 2 + x)

6/ y =

ln(2 x + 1) 2x + 1


Biên so n:

Trang : 34

!" &

'

$ b>0 x = log a b

V i 0 < a ≠ 1: a x = b ⇔ M t s ph

ng pháp gi i ph

ng trình m :

a v cùng c s : V i 0 < a ≠ 1: a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) Lôgarit hóa: a f ( x) = b g ( x ) ⇔ f ( x ) = ( log a b ) .g ( x ) t #n ph Ví d minh h a: Gi i các ph

a. 32 x−1 + 32 x = 108

ng trình sau.

b. 64 x − 8x − 56 = 0

c. 3.4 x − 2.6 x = 9 x

Gi i:

a. 32 x−1 + 32 x = 108 ⇔ 4.32 x = 3.108 ⇔ 32 x = 34 ⇔ x = 2 ng trình là S = {2}

V y: T p nghi m c a ph b. 64 − 8 − 56 = 0 ⇔ ( 8 x

x

x

)

2

x

− 8 − 56 = 0 ⇔

8x = 8 8 x = −7 (VN )

ng trình là S = {1}

V y: T p nghi m c a ph

x

2 c. 3.4 − 2.6 = 9 ⇔ 3.2 − 2.2 3 = 3 ⇔ 3. 3 x

x

2 tt= 3

x

⇔ x =1

2x

x

x

2x

3 −2= 2

x

( *)

x

> 0 , ph

ng trình (*) tr( thành:

t =1 1 3t − 2 = ⇔ 3t 2 − 2t − 1 = 0 ⇔ 1 t t=− ( 3

V y: T p nghi m c a ph

2 ⇔ 3

ng trình là S = {0}

x

=1⇔ x = 0


Biên so n:

Trang : 35

%" &

'

+ 5 log a x = b ⇔ x = a b

V i 0 < a ≠ 1:

M t s ph

ng pháp gi i ph

ng trình lôgarit : f ( x) =

a v cùng c s : V i 0 < a ≠ 1: ⇔

f ( x) > 0

(

( x ) > 0)

f ( x) = g ( x)

f ( x) = b ⇔ a

M hóa: V i 0 < a ≠ 1:

g ( x)

f ( x)

= ab

t #n ph . S& d ng tính

n i u c a hàm s .

Ví d minh h a: Gi i các ph

ng trình sau

a. log 3 (5 x + 3) = log 3 (7 x + 5)

b. log 2 ( x − 5) + log 2 ( x + 2) = 3

c. log( x 2 − 6 x + 7) = log( x − 3)

d.

1 1 log( x 2 + x − 5) = log 5 x + log 2 5x

Gi i: a. log 3 (5 x + 3) = log 3 (7 x + 5) (*) 3 i u ki n: x > − . 5

(*) ⇔ 5 x + 3 = 7 x + 5 ⇔ x = −1 ( lo%i ) V y: T p nghi m c a ph

ng trình là S = φ

b. log 2 ( x − 5) + log 2 ( x + 2) = 3 (*) i u ki n: x > 5 .

(*) ⇔ log

2

( x − 5)( x + 2) = 3 ⇔ x 2 − 3 x − 10 = 8

⇔ x 2 − 3 x − 18 = 0 ⇔

V y: T p nghi m c a ph

x=6 x = −3 (

ng trình là S = {6}


Biên so n:

Trang : 36

c. log( x 2 − 6 x + 7) = log( x − 3) (*) x2 − 6x + 7 > 0 x < 3− 2 i u ki n: ⇔ x−3> 0 x>3

( *) ⇔ x

2

− 6x + 7 = x − 3 x=5 x=2 (

⇔ x 2 − 7 x + 10 = 0 ⇔

ng trình là S = {5}

V y: T p nghi m c a ph d.

1 1 log( x 2 + x − 5) = log 5 x + log 2 5x i u ki n: x >

(*) ⇔ log( x

2

⇔ x=5

(*)

21 − 1 2

+ x − 5) = 0 ⇔ x 2 + x − 5 = 1

⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔

x=2 x = −3 (

V y: T p nghi m c a ph

⇔x=2

ng trình là S = {5}

x > 3+ 2

⇔ x > 3+ 2


Biên so n:

Trang : 37

("

&

'

678

ng trình m c b n có d%ng ax > b (ho c ax ≥ b,ax < b,ax ≤ b) v i a > 0, a 2 1.

B t ph

M t s ph

ng pháp gi i b t ph

a v cùng c s : a f ( x) > a g ( x ) ⇔

ng trình m : f ( x) > g ( x)

a >1

f ( x) < g ( x)

0 < a <1

t #n ph S& d ng tính

n i u c a hàm s

Ví d minh h a: Gi i các ph 2

a. 2− x +3 x < 4

ng trình sau

b. 3x + 2 + 3x −1 ≤ 28

c. 4 x − 3.2 x + 2 > 0

Gi i: 2

2

a. 2− x +3 x < 4 ⇔ 2− x +3 x < 22 ⇔ − x 2 + 3 x < 2 ⇔ x 2 − 3x + 2 > 0 ⇔

x <1 x>2

ng trình là S = ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

V y: T p nghi m c a b t ph

b. 3x + 2 + 3x −1 ≤ 28 ⇔ 28.3x ≤ 3.28 ⇔ 3x ≤ 31 ⇔ x ≤ 1 ng trình là S = ( −∞;1]

V y: T p nghi m c a b t ph c. 4 − 3.2 + 2 > 0 ⇔ ( 2 x

x

x

)

2

x

− 3.2 + 2 > 0 ⇔

V y: T p nghi m c a b t ph

2x < 1 2x > 2

x<0 x >1

ng trình là S = ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ )


Biên so n:

Trang : 38

*" B t ph

&

'

+ 5

ng trình lôgarit c b n có d%ng log a x > b (ho c log a x ≥ b,log a x < b,

log a x ≤ b) v i a > 0, a ≠ 1 .

M t s ph

ng pháp gi i b t ph

ng trình lôgarit :

a v cùng c s : log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔

f ( x) > g ( x)

a >1

f ( x) < g ( x)

0 < a <1

t #n ph S& d ng tính

n i u c a hàm s

Ví d minh h a: Gi i các ph a. log 8 (4 − 2 x) ≥ 2

ng trình sau b. log 0,2 x − log 5 ( x − 2) < log 0,2 3

c. log 32 x − 5log 3 x + 6 ≤ 0

Gi i: a. log 8 (4 − 2 x) ≥ 2 ⇔ 4 − 2 x ≥ 64 ⇔ 2 x ≤ −60 ⇔ x ≤ −30 V y: T p nghi m c a b t ph

ng trình là S = ( −∞; −30]

b. log 0,2 x − log 5 ( x − 2) < log 0,2 3 (*) i u ki n: x > 2

(*) ⇔ log

0,2

x + log 0,2 ( x − 2) < log 0,2 3 ⇔⇔ log 0,2 ( x 2 − 2 x) < log 0,2 3

⇔ x2 − 2 x − 3 > 0 ⇔ So v i i u ki n, ta

x < −1 x>3

c: x>3

V y: T p nghi m c a b t ph

ng trình là S = ( 3;+∞ )

c. log 32 x − 5log 3 x + 6 ≤ 0 (*) i u ki n: x > 0

(*) ⇔ 2 ≤ log

3

x ≤ 3 ⇔ 9 ≤ x ≤ 27


Biên so n:

Trang : 39

c : 9 ≤ x ≤ 27

So v i i u ki n, ta

V y: T p nghi m c a b t ph

ng trình là S = [9;27 ]

! Gi i các ph

ng trình sau:

1/ 5.3x + 3.2 x = 7.2 x − 4.3x x

"

x

2/ 5x + 5x−1 + 5x−2 = 3x +1 + 3x−1 + 3x −2

3/ 35 = 53 2/ 3x = 25−2 x

4/ 9 x − 5.3x + 6 = 0

5/ 2.22 x + 15.2 x − 8 = 0

6/ 5x +1 − 52− x = 124

7/ 32−2 x − 2.32− x − 27 = 0

8/ 7 + 4 3 + 2 + 3 = 6

9/ 25.2 x − 10 x + 5 x = 25

10/ 12.3x + 3.15x − 5.5 x = 20

11/ log 3 (2 x − 1) = −2

12/ log 2 ( x + 2) − log 2 ( x − 2) = 2

13/ log 2 (9 − 2 x ) = 3 − x

14/ log 3 (3x +1 − 26) = 2 − x

15/

(

6 4 + =3 log 2 2 x log 2 x 2

17/ (2 − log 3 x).log 9 x 3 −

4 =1 1 − log 3 x

19/ log 0,5 ( x 2 − 5 x + 6) ≥ −1

x

) (

)

x

16/ log 2 (2 x + 1).log 2 (22 x+1 + 2) = 2 18/ log 5 (3 x − 1) < 1 2 20/ log 0,5 x + log 0,5 x − 2 ≤ 0


Biên so n:

Trang : 40

&1 &

!" N u

Ph Cách 1:

'

2

5

f ( x).dx = F ( x) + C thì ng pháp

( + $ "

f (ax + b).dx =

1 F (ax + b) + C . a

i bi n s :

t t = u(x) → Tính dt = u/(x).dx. i c n tích phân.( N u tính tích phân ) Bi n

i : f(x).dx thành g(t).dt và tính tích phân.

M t s d ng th

ng g p:

Bi u th c f(x) d

i d u tích phân

Hai a th c h(x), k(x)

c l p và b c

tu

Tính dt

t = h(x)

dt tính theo k(x)

G m có sinx, cosx: b c c a sinx l3

t = cosx

dt = − sinx.dx

G m có sinx, cosx: b c c a cosx l3

t = sinx

dt = cosx.dx

t = lnx

dt =

h(x) h n k(x) 1 b c.

G m có lnx và Cách 2:

1 x

π π

1 − x2

t x = sint, t ∈ − ; 2 2

a 2 − b2 x2

tx=

1 1 + x2

t x = tant, t ∈ − ; 2 2

1 a + b2 x2

tx=

2

a π π sint, t ∈ − ; b 2 2

π π

a π π tant, t ∈ − ; b 2 2

1 dx x


Trang : 41

Ph

Biên so n:

ng pháp(nguyên hàm) tích phân t ng ph n : b

u.dv a

b = u.v a

Tính: •

b

− v.du a

P ( x).Q( x).dx

P( x) :

!"

Q( x) :

#

P ( x) : Q( x) :

$

%

u = P( x) dv = Q( x).dx u = Q( x) dv = P( x).dx

123 !" Tính các tích phân sau: 2

1

x 2 1 − x 2 dx

1/ 0

2x + 1 dx x2 + x + 1

1

4/ −1

1

2/ x(1 − x) 5dx

3/ (e x + 1)dx

1

0

1

1

x + 1 dx

5/

6/ x 3 (1 + x 4 )3 dx

0

0

π

5x dx 7/ 2 2 0 ( x + 4) 1

4x dx x2 + 1

3

6

8/ (1 − cos3x)sin 3 xdx

9/ 0

0

123 %" Tính các tích phân sau: π e

ln 2

2

x ln xdx

1/

x cos 2 xdx

2/

xe −2 x dx

3/

0

1

π

0

π π

2

2

4/ cos x ln(sin x) dx

5/ x sin x cos xdx

π

6/ 2 x sin 2 xdx

0

0

4

π 2

1 dx 1 x ( x + 1) 2

( x + cos 2 x)sin xdx

7/ 0

8/

π

9/ ( x + sin x) 2 dx 0

2

ln x 10/ &x 2 1 x (2 + ln x ) e

x2 + e x + 2 x2e x 11/ dx 0 1 + 2e x 1

e

2x −

12/ 1

3 ln xdx x


Biên so n:

Trang : 42

%"

&

9

:

/

(C1 ) : y = f ( x)

Di n tích hình ph!ng (H): (C2 ) : y = g ( x) x = a; x = b

+ Gi i Ph

ng trình hoành

giao i m:

f(x) = g(x) ⇔ … ⇔ x1 < x2 < … < xn ∈ [a; b] b

+ Di n tích S = f ( x) − g ( x) dx a

x1

x2

b

= [ f ( x) − g ( x)]dx + [ f ( x) − g ( x)]dx + ... + [ f ( x) − g ( x)]dx a

x1

xn

Th tích kh i tròn xoay t%o b(i (C ) : y = f ( x) (H): Ox : y = 0 quay quanh Ox: x = a; x = b b

Th tích V =

2

[ f ( x)] .dx

a

123 !" Tính di n tích hình ph!ng gi i h%n b(i các

*ng sau :

1/ x = 0, x = 1, y = 0, y = 5 x 4 + 3 x 2 + 3

2/ y = x 2 + 1, x + y = 3

3/ y = 4 x − x 2 , y = 0

4/ y = ln x, y = 0, x = e

123 %" Tính th tích c a v t th tròn xoay, sinh ra b(i m.i hình ph!ng gi i h%n b(i các

*ng sau ây khi nó quay xung quanh tr c Ox :

1/ y = 0, y = 2 x − x 2 x 2

3/ y = xe , y = 0, x = 0, x = 1

2/ y = sin x, y = 0, x = 0, x = 4/ y = − x 2 + 2 x, y = 0

π 4


Biên so n:

Trang : 43

*'

"

S ph c z = a + bi , trong ó a là ph n th c, b là ph n o (a, b ∈ R, i 2 = −1) a=c b=d

Hai s ph c b ng nhau: a + bi = c + di ⇔

y

b

S ph c z = a + bi

c bi u di0n b(i i m M ( a; b )

trên m t ph!ng t a

Oxy.

x

O

dài c a vect OM là mô un c a s ph c z, t c là : z = OM = a 2 + b 2 S ph c liên h p c a z = a + bi là z = a − bi S ph c z = a + bi + a = 0, b 2 0 : g i là s ph c thu n o. + a 2 0, b = 0 : g i là s th c.

123 !" Tìm các s th c x, y tho : 1/ (3 x − 2) + (2 y + 1)i = ( x + 1) − ( y − 5)i 2/ (1 − 2 x) − i 3 = 5 + (1 − 3 y )i 3/ (2 x + y ) + (2 y − x)i = ( x − 2 y + 3) + ( y + 2 x + 1)i

123 %"

td

i d%ng x + y.i các s ph c sau :

1/ z = (2 + i )(−1 + i )(1 + 2i ) 2 3/ z =

1− i 1+ i

(

2/ z = 1 + i 3 4/ z =

)

3

1 − 3i 3−i 2012

1 1 + 5/ z = 1+ i 1− i

M

3 −i 6/ z = 1+ i 3

a


Trang : 44

123 (" Tính mô un c a các s ph c: 1/ z = 123 *" Tìm s ph c z tho 123 *" Gi i các ph

4 1+ i 3

Biên so n:

2/ z =

1 6 +i 2

i u ki n z = 10 và ph n th c b ng hai l n ph n o

ng trình sau :

1/ (3 − 2i ) z + (4 + 5i ) = 7 + 3i

2/ (1 + 3i ) z − (2 + 5i ) = (2 + i ) z

3/ z 2 + z + 1 = 0

4/ z 2 − z + 2 = 0

5/ z 4 + 10 z 2 + 169 = 0

6/ z 2 = z

123 -" Trên m t ph!ng to%

, tìm t p h p i m bi u di0n các s ph c tho mãn

i u ki n : 1/ z = 1

2/ 1 < z ≤ 2

3/ z ≤ 1

3/ z − 3 + 4i = 2

5/ z − 2 =| z + 3i |

6/ z − 1 − i < 1


Biên so n:

Trang : 45

#

*

2 3 4

5&

" 0

5& &- 0

5&

1. Kh i a di n: Th tích kh i h p ch nh t: V = a.b.c

(tích 3 kích th

c)

1 Th tích kh i chóp: V = S.h (S: di n tích áy; h: chi u cao) 3 Th tích kh i l ng tr : V = S.h (S: di n tích áy; h: chi u cao)

2. M t c u − Kh i c u: V trí t

i c a m t ph!ng (α) và m t c u S(I; R):

ng

d(I; (α)) > R ⇔ S(I; R) ∩ (α) = ∅. d(I; (α)) = R ⇔ S(I; R) ∩ (α) = H (H là hình chi u vuông góc c a I lên (α)) d(I; (α)) < R ⇔ S(I; R) ∩ (α) = (H; r) (& *ng tròn giao tuy n)

*ng tròn giao tuy n: Tâm H : hình chi u vuông góc c a I lên (α). Bán kính r: r =

R 2 − d 2 (d = d(I; (α)))

Di n tích m t c u S(I; R): S = 4πR Th tích kh i c u S(I; R): V =

4 2 πR 3

3. Hình tr − Kh i tr : C n xác

nh: R: bán kính

*ng tròn áy; h: chi u cao c a hình tr .

Di n tích xung quanh hình tr T: Sxp = 2π.R.h Di n tích toàn ph n hình tr T: Stp = 2π.R.h + 2π.R2 Th tích kh i tr T: V = π.R2.h

4. Hình nón − Kh i nón: C n xác

nh:R: bán kính áy; h:chi u cao và l là l2 = h2 + R2.

*ng sinh c a hình nón.


Biên so n:

Trang : 46

Di n tích xung quanh hình nón N: Sxp = π.R.l Di n tích toàn ph n hình nón N: Stp = π.R.l + π.R2 1 Th tích kh i nón N: V = π.R2.h 3 Hình chóp h% t

u: là hình chóp có áy là a giác

u và chân

*ng cao

/nh trùng v i tâm c a a giác áy.

Hình l.ng tr

ng: là hình l ng tr có c%nh bên vuông góc áy.

Hình l.ng tr

u: là hình l ng tr

Góc gi a

ng và áy là a giác

*ng th+ng và m t ph+ng: là góc gi a

u.

*ng th!ng ó và

hình chi u vuông góc c a nó trên m t ph!ng. Góc gi a hai m t ph+ng: là góc gi a hai

*ng th!ng l n l

tn m

trong hai m t ph!ng và vuông góc v i giao tuy n. Hai m t ph+ng vuông góc nhau thì

*ng th+ng nào n m trong m t

ph+ng này mà vuông góc v i giao tuy n thì s) vuông góc v i m t ph+ng kia. Hai m t ph+ng cùng vuông góc v i m t m t ph+ng thì giao tuy n c a chúng s) vuông góc v i m t ph+ng th ba.

123 !" Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình ch nh t. Bi t AB = a; AD = SA = a 3 và SA vuông góc v i (ABCD). 1/ Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. 2/ Tìm tâm, bán kính và di n tích m t c u ngo%i ti p hình chóp S.ABCD. 3/ Tính kho ng cách t A

n m t ph!ng (SBD).

123 %" Cho hình chóp S.ABCD có các m t (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i (ABCD). Bi t ABCD là hình ch nh t có AB = a, AD = 2a, góc ((SBC),(ABCD)) = 450.


Biên so n:

Trang : 47

1/ Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t A 2/ M t hình nón (H) có m t áy là

n m t ph!ng (SCD).

*ng tròn ngo%i ti p ABCD và áy còn l%i

ch a i m S. Tính di n tích toàn ph n hình nón (H) và th tích kh i nón (H). 3/ M t ph!ng (α) qua A và vuông góc SC c"t SB, SC, SD l n l

t t%i M, N, P.

Tính th tích kh i chóp S.MNP.

123 (" Cho hình chóp

u S.ABC có c%nh áy b ng a và c%nh bên b ng 2a

3

.

1/ Tính th tích kh i chóp S.ABC. 2/ Tính góc gi a m t bên và áy, gi a c%nh bên và áy. 3/ Cho (N) là hình nón /nh S và áy là

*ng tròn ngo%i ti p ∆ABC.

Tính di n tích xung quanh hình nón (N) và th tích kh i nón (N).

123 *" Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông t%i A, AB = a, góc C b ng 300, c%nh bên SB vuông góc v i áy và SC t%o v i áy m t góc 450. 1/ Tính th tích kh i chóp S.ABC. 2/ G i M là hình chi u vuông góc c a B trên SA, N ∈ SC th a SC = 3SN. Tính th tích t di n SBMN và kho ng cách t N

n m t ph!ng (SAB).

3/ Tìm tâm và bán kính m t c u ngo%i ti p hình chóp S.ABC. Tính th tích kh i c u ó.

123 -" Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c%nh a, SA vuông góc (ABCD), góc gi a SC và áy (ABCD) b ng 600. 1/ Tính th tích kh i chóp S.ABCD. 2/ Cho M là trung i m SA. M t m t ph!ng (α) qua M, C và song song BD c"t SB, SD t%i P, Q. Tính th tích kh i chóp S.MPCQ.

123 0" Thi t di n qua tr c c a m t hình nón là ∆ vuông cân có c%nh huy n b ng 2a. 1/ Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình nón. 2/ Tính th tích kh i nón t

ng ng.


Trang : 48

Biên so n:

3/ M t thi t di n qua /nh t%o v i áy m t góc 600. Tính di n tích thi t di n này.

123 4" Thi t di n qua tr c c a m t hình nón là tam giác

u c%nh 2a.

1/ Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình nón. 2/ Tính th tích kh i nón t

ng ng.

3/ Tính th tích kh i chóp t giác

u n i ti p kh i nón ã cho.

123 ;" Thi t di n qua tr c c a m t hình nón là m t tam giác cân có c%nh áy b ng 2a và góc ( áy là 300. 1/ Tính di n tích xung quanh và di n tích toàn ph n c a hình nón. 2/ Tính th tích kh i nón t

ng ng.

3/ Tính th tích kh i chóp tam giác

u n i ti p hình nón ã cho.

123 <" Thi t di n qua tr c c a m t hình tr là hình vuông c%nh 2R. 1/ Tính di n tích toàn ph n c a hình tr và th tích kh i tr

ã cho.

2/ Tính di n tích hình c u và th tích kh i c u ngo%i ti p hình tr

ã cho.

3/ M t m t ph!ng (P) song song v i tr c hình tr c"t áy hình tr theo m t dây cung có

dài b ng bán kính áy hình tr . Tính di n tích các thi t di n c a

hình tr và hình c u ngo%i ti p hình tr khi c"t b(i m t ph!ng (P).

123 !=" Cho hình chóp

u S.ABCD có c%nh áy b ng a,m t bên có góc ( áy là 300.

1/ Tính th tích kh i chóp S.ABCD. 2/ Tính di n tích xung quanh c a hình nón /nh S và áy là ti p hình vuông ABCD.

*ng tròn ngo%i


Biên so n:

Trang : 49

' 1. Ph

/

'

"' &

3 &-

#

(

ng trình m t c u:

Tâm I(a; b; c), bán kính R: (S): (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2. (S): x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0. (A2 + B2 + C2 − D > 0) Tâm I(−A; −B; −C); bán kính R =

2. Ph

A2 + B 2 + C 2 − D

ng trình m t ph ng:

(α):

qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) '

#

n = ( A; B; C )

(α): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0. Vect pháp tuy n c a m t ph!ng(ABC) là n = AB, AC .

3. Ph (∆):

ng trình

ng th ng:

qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ' # ( x = x0 + at

#

(∆): y = y0 + bt

u = (a; b; c)

(t ∈ R)

z = z0 + bt 4. Kho ng cách:

T M(x0;y0;z0) d ( M ;α ) =

n m t ph!ng (α): Ax + By + Cz + D = 0: Ax0 + By0 + Cz0 + D

Kho ng cách t M

A2 + B 2 + C 2 n

*ng th!ng ∆ là

dài MH v i H là hình chi u

vuông góc c a M lên ∆. Kho ng cách gi a hai

*ng th!ng chéo nhau là kho ng cách t m t i m

(

n m t ph!ng ch a

*ng th!ng th nh t

song v i

*ng th!ng th nh t.

*ng th!ng th hai và song


Biên so n:

Trang : 50

123 !" Vi t ph

ng trình m t ph!ng trong các tr *ng h p sau:

1/ i qua A(1; 2; 3) và song song v i các m t ph!ng t a

.

2/ i qua A(1; −3; 4) và song song v i m t ph!ng: x + y + z = 0. 3/ Qua A(2; 1; 1) và ch a

*ng th!ng d :

x −1 y + 3 z − 2 . = = 2 3 1

x=2

4/ Ch a

*ng th!ng d: y = 1 − t , t ∈ R và vuông góc v i m t ph!ng z = 2 + 3t

(Q): 2x – y − 4z = 0 5/ Là m t ph!ng ti p di n c a m t c u (S): x2 + y2 + z2 − 6x − 2y + 4z + 5 = 0 t%i M (4; 3; 0)

123 %" Vi t ph

ng trình c a

*ng th!ng trong các tr *ng h p sau:

1/ i qua A(−2; 3; 1) và có vect ch/ ph

ng u = (2; 0; 3)

2/ i qua M(4; 3; −1) và song song v i

*ng th!ng d:

x −1 y z − 3 = = 2 −3 5

3/ i qua hai i m A(1; 5; −2) và B(4; 3; 7) 4/ i qua A(3; 2; −6) và vuông góc v i m t ph!ng (α): 3x – 5y – z + 9 = 0.

123 (" Vi t ph

ng trình m t c u trong các tr *ng h p sau:

1/ Có tâm I(5; −3; 7) và có bán kính R = 2. 2/ Có tâm I( 3; −5; −2) và ti p xúc v i m t ph!ng (P): 2x – y − 3z − 11 = 0. 3/ Qua 4 i m A (6; −2; 3), B (0; 1; 6), C(2; 0; −1), D(4; 1; 0). 4/ Qua 3 i m A(1; 2; −4), B(1; −3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm n m trên m t ph!ng Oxy. 5/ Qua A(1; 1; 0), B(−1; 1; 2), C(1; −1; 2) và có tâm thu c m t ph!ng (P): x + y + z − 4 = 0.


Biên so n:

Trang : 51

123 *" Cho b n i m A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). 1/ Vi t ph

ng trình m t ph!ng (ABC). Suy ra A, B, C, D là b n /nh c a m t

t di n. 2/ Vi t ph

ng trình m t ph!ng (α) qua AB và song song v i CD.

3/ Tính th tích kh i t di n ABCD.

123 -" Cho m t c u (S): x2 + y2 + z2 − 9 = 0. 1/ Tìm tâm và bán kính m t c u (S). 2/ Vi t ph

ng trình m t ph!ng (α) ti p xúc v i (S) và song song v i m t

ph!ng (β): x + 2y – 2z + 15 = 0 3/ Vi t ph

ng trình ti p di n c a m t c u (S) t%i i m M(1; 2; 2)

123 0" Cho i m M (1; 4; 2) và m t ph!ng (α): x + y + z − 1 = 0 1/ Vi t ph

ng trình

*ng th!ng d qua M và th!ng góc v i m t ph!ng (α).

2/ Tìm t a

i m H là hình chi u vuông góc c a M lên m t ph!ng (α).

3/ Tìm t a

i m M/

i x ng v i M qua (α).

123 4" Cho m t ph!ng (α): 3x – 2y – z + 5 = 0 và d:

*ng th!ng

x −1 y − 7 z − 3 = = . 2 1 4

1/ Ch ng minh r ng: d song song v i m t ph!ng (α). 2/ Vi t ph

ng trình m t ph!ng (β) ch a d và vuông góc v i m t ph!ng (α).

3/ Tính kho ng cách t d

n m t ph!ng (α). x = 1 − 2t

123 ;" Trong không gian Oxyz, cho hai

*ng th!ng: d1 : y = 2 + t và d2 là z = 3−t

giao tuy n c a hai m t ph!ng (α): 2x + y − z = 0 , (β): x − y + 2z + 1 = 0. 1/ Vi t ph

ng trình

*ng th!ng d2 . Ch ng minh r ng: d1, d2 chéo nhau.


Biên so n:

Trang : 52

2/ Vi t ph

ng trình m t ph!ng (P) ch a d1 và song song v i d2.

3/ Tính kho ng cách và góc gi a d1 và d2. x = 1 − 2t

123 <" Trong không gian Oxyz, cho

*ng th!ng d: y = 2 + t và m t ph!ng z = 3−t

(P): 2x + y + z + 1 = 0. 1/ Tìm to%

giao i m A c a d và (P).

2/ Vi t ph

ng trình m t ph!ng (Q) qua A và vuông góc v i d.

3/ Vi t ph

ng trình

*ng th!ng d’ là hình chi u c a d lên m t ph!ng (P).

Tính góc gi a d và (P).

123 !=" Cho hai

x =1+ t x y+2 z *ng th!ng d: = = và d’: y = 2 + t 2 3 4 z = 1 + 2t

1/ Ch ng minh: d và d’ chéo nhau. 2/ Vi t ph

ng trình m t ph!ng (α) ch a d và song song v i d’.

3/ Tính kho ng cách gi a d và d’ 4/ Cho i m M(2; 1; 4). Tìm t a

H thu c d’ sao cho o%n MH có

nh nh t. x =1+ t '

123 !!" Cho hai

*ng th!ng d:

x −1 y − 2 z = = và d’: y = 3 − 2t ' −1 2 3 z =1

1/ Ch ng minh: d và d’ chéo nhau. 2/ Vi t ph

ng trình

*ng th!ng vuông góc chung c a d và d’

3/ Tính kho ng cách gi a d và d’

123 !%" Trong không gian cho 4 i m A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;0). 1/ Vi t ph

ng trình m t ph!ng (ABC), (ACD)

dài


Biên so n:

Trang : 53

2/ Vi t ph

ng trình tham s c a

*ng th!ng qua D và th!ng góc v i m t

ph!ng (ABC) 3/ Vi t ph 4/ Xác

ng trình m t c u qua b n i m A, B, C, D.

nh t a

tâm và bán kính c a

*ng tròn là giao tuy n c a m t c u

(S) v i m t ph!ng (ACD) x =1+ t

123 !(" Vi t ph

*ng th!ng d : y = −1 + 2t z = 3t

ng trình hình chi u vuông góc c a

trên (α ) : x + y + 2 z − 5 = 0 x = 2t

123 !(" Tìm to%

M’

i x ng v i M( 2, -1, 3) qua

*ng th!ng d : y = −1 + 2t z =1

x=t

123 !*" Cho 2

x=t

*ng th!ng d1: y = −1 + 2t và d2 : y = 1 − 2t z =t

z = 3t

1/ Ch ng minh : d1 ⊥ d 2 và d1 chéo d2. 2/ Vi t ph

ng trình

123 !-" Cho M(2; -1; 1) và 1/ Tìm t a 2/ Tìm t a

*ng vuông góc chung c a d1 và d2. *ng th!ng ∆ :

x −1 y +1 z = = 2 −1 2

i m H là hình chi u vuông góc c a i m M trên ∆ c a i m M’

i x ng v i M qua ∆.


Trang : 54

B

GIÁO D*C VÀ ÀO T"O

Biên so n:

K+ THI T!T NGHI,P TRUNG H-C PH. THÔNG 2012

Môn thi: TOÁN − Giáo d c trung h c ph/ thông

*

Th*i gian làm bài: 150 phút, không k th*i gian giao ---------------------------------------------------

I. PH N CHUNG DÀNH CHO T0T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu 1. (3,0 i m). Cho hàm s y =

2x + 1 . x−2

1) Kh o sát s bi n thiên và v$ 2) Vi t ph

th (C) c a hàm s

ng trình ti p tuy n c a

ã cho.

th (C),bi t h s góc c a ti p tuy n

b ng −5.

Câu 2. (3,0 i m) 1) Gi i ph

ng trình : 25x − 6.5x + 5 = 0. π

2) Tính tích phân I = x(1 + cos x)dx . 0

3) Tìm GTNN và GTLN c a hàm s y = f(x) = x2 − ln(1 − 2x) trên o%n [−2; 0].

Câu 3. (1,0 i m). Cho hình chóp S.ABC có m t bên SBC là tam giác

u c%nh a, c%nh bên SA

vuông góc v i m t ph!ng áy. Bi t góc BAC = 1200, tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo a.

II. PH N RIÊNG (3,0 i m) Thí sinh h c ch

ng trình nào thì ch

!c ch n ph n dành riêng cho ch

trình ó (ph n 1 ho c ph n 2) 1. Theo ch

ng trình Chu1n :

Câu 4a (2,0 i m). Trong không gian Oxyz, cho m t c u (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 36

ng


Biên so n:

Trang : 55

và m t ph!ng (P): x + 2y + 2z + 18 = 0. 1) Xác

nh t a

tâm T và tính bán kính c a m t c u (S). Tính kho ng cách

n m t ph!ng (P).

t T 2) Vi t ph

*ng th!ng d i qua T và vuông góc v i (P).

ng trình tham s c a

Tìm t a

giao i m c a d và (P).

Câu 5a. (1,0 i m). Gi i ph

ng trình : 8z2 − 4z + 1 = 0 trên t p s ph c.

2. Theo ch

ng trình Nâng cao:

Câu 4b. (2,0 i m). Trong không gian Oxyz, cho i m A(1; −2; 3) và

*ng th!ng d có ph

ng trình

x +1 y − 2 z + 3 = = 2 1 −1 1) Vi t ph

ng trình c a m t ph!ng i qua i m A và vuông góc v i

*ng

th!ng d. 2) Tính kho ng cách t

i mA

n

*ng th!ng d. Vi t ph

tâm A, ti p xúc v i d.

Câu 5b. (1,0 i m). Gi i ph

ng trình: 2z2 − iz + 1 = 0 trên t p s ph c. __________ H4T __________

ng trình m t c u


Biên so n:

Trang : 56

B

GIÁO D*C VÀ ÀO T"O

K+ THI T!T NGHI,P TRUNG H-C PH. THÔNG 2012

Môn thi: TOÁN − Giáo d c trung h c ph/ thông

*

Th*i gian làm bài: 150 phút, không k th*i gian giao ---------------------------------------------------

I . PH N CHUNG CHO T0T C THÍ SINH ( 7 i m ) Câu I ( 3,0 i m ) y=

Cho hàm s

x−3 có x−2

th (C)

1) Kh o sát s bi n thiên và v$

th (C) c a hàm s .

2) Tìm t t c các giá tr c a tham s m th c a hàm s

*ng th!ng d : y = mx + 1 c"t

ã cho t%i hai i m phân bi t .

Câu II ( 3,0 i m ) 1) Gi i b t ph

ng trình e

ln 1+sin π 2

− log 2 ( x 2 + 3x ) ≥ 0

π 2

1 + sin

2) Tính tích phân I = 0

x x cos .dx 2 2

3) Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s

ex trên o%n y= x e +e

[ln2; ln4].

Câu III ( 1,0 i m ) Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông t%i B, BAC = 300 , SA = AC = a và SA vuông góc v i m t ph!ng (ABC). Tính VS.ABC và kho ng cách t A

n m t ph!ng (SBC).

II . PH N RIÊNG ( 3 i m ) Thí sinh ch A. Theo ch

!c làm m t trong hai ph n A ho c B

ng trình chu1n :

Câu IV.a ( 2,0 i m ) :


Biên so n:

Trang : 57

Trong không gian v i h t a

Oxyz, cho b n i m A, B, C, D bi t

OA = 5i + j + 3k , AB = −10i − 4k , BC = 6i − 4 j + k , CD = 2i − 3 j + 2k

1) Tìm t a

4 i m A, B, C, D. Vi t ph

2) Tìm t a

ng trình m t ph!ng (BCD).

i x ng v i A qua m t ph!ng (BCD)

i m A’

Câu V.a ( 1,0 i m ) : Tìm mô un c a s ph c z = 1 + 4i + (1 − i)3.

B. Theo ch

ng trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 i m ) : Trong không gian v i h t a và hai

*ng th!ng (d1):

Oxyz , cho m t ph!ng (α): 2x − y + 2z − 3 = 0

x − 4 y −1 z x+3 y+5 z −7 = = ; (d2): = = 2 2 −1 2 3 −2

*ng th!ng d1 song song m t ph!ng (α) và d2 c"t m t

1) Ch ng t ph!ng (α).

2) Tính kho ng cách gi a 3) Vi t ph

*ng th!ng d1 và d2 .

*ng th!ng (∆) song song v i m t ph!ng (α), c"t

ng trình

th!ng d1 và d2 l n l

t t%i M và N sao cho MN = 3.

Câu V.b ( 1,0 i m ) : Tìm nghi m c a ph ph c z.

ng trình z = z 2 , trong ó z là s ph c liên h p c a s

*ng


Biên so n:

Trang : 58

B

GIÁO D*C VÀ ÀO T"O

K+ THI T!T NGHI,P TRUNG H-C PH. THÔNG 2012

Môn thi: TOÁN − Giáo d c trung h c ph/ thông

*

Th*i gian làm bài: 150 phút, không k th*i gian giao ---------------------------------------------------

I . PH N CHUNG CHO T0T C THÍ SINH ( 7 i m ) Câu I (3,0 i m). Cho hàm s y =

x −1 x +1

1) Kh o sát s bi n thiên và v$ 2) Vi t ph

th (C) c a hàm s .

ng trình ti p tuy n v i (C) t%i i m thu c (C) có hoành

3) Ch ng t r ng v i m i m thì

x0 = −2.

*ng th!ng y = − x + m luôn c"t (C) t%i hai

i m phân bi t A, B. Tìm m

dài o%n AB ng"n nh t.

Câu II (3,0 i m). 1) Gi i ph

ng trình 9

x+

1 2

− 6.3x−1 − 5 = 0

π 2

2) Tính tích phân I = x 2 .cos xdx 0

3) Tìm GTLN và GTNN c a hàm s

y = x −1+

1 3 trên o%n [ ;4] x −1 2

Câu III (1,0 i m). *ng cao SI = a v i I là trung i m c a BC.

Cho hình chóp S.ABC có

ABC là tam giác vuông cân t%i A và BC = 2a. 1) Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a. 2) Tính di n tích m t c u ngo%i ti p hình chóp S.ABC.

II . PH N RIÊNG ( 3 i m ) Thí sinh ch A. Theo ch

!c làm m t trong hai ph n A ho c B

ng trình Chu1n

áy


Trang : 59

Biên so n:

Câu IVa (2,0 i m) Trong không gian t a

Oxyz cho b n i m A(1; 0; 0), B(0; 1; 0),C(0; 0; 1),

D(−2; 1; −1) 1) Vi t ph

ng trình m t ph!ng (ABC), suy ra ABCD là t di n.

2) Vi t ph

ng trình m t c u tâm D và ti p xúc m t ph!ng (ABC)

3) G i H là chân

*ng cao c a t di n ABCD i qua D. Vi t ph

ng trình

*ng cao DH. Câu Va (1,0 i m) Gi i ph

B. Theo Ch

ng trình x2 − x + 7 = 0 trên t p s ph c.

ng trình Nâng Cao

Câu IVb (2,0 i m) Trong không gian t a

Oxyz cho b n i m A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3),

D(−2; 1; −1) 1) Vi t ph

ng trình m t ph!ng (ABC), suy ra ABCD là t di n.

2) G i H là chân

*ng cao c a t di n ABCD i qua D. Vi t ph

ng trình

*ng cao DH. 3) Vi t ph

ng trình m t c u tâm D và ti p xúc m t ph!ng (ABC). Tìm t a

ti p i m.

Câu Vb (1,0 i m) Tìm s ph c z sao cho: z.z + ( z − z ) = 4 − 2i .


Biên so n:

Trang : 60

B

GIÁO D*C VÀ ÀO T"O

K+ THI T!T NGHI,P TRUNG H-C PH. THÔNG 2012

Môn thi: TOÁN − Giáo d c trung h c ph/ thông

*

Th*i gian làm bài: 150 phút, không k th*i gian giao ---------------------------------------------------

I . PH N CHUNG CHO T0T C THÍ SINH ( 7 i m ) Câu I (3,0 i m). Cho hàm s

y = f ( x) =

x+2 x−2

1/ Kh o sát s bi n thiên và v$ 2/ Vi t ph

th (H) c a hàm s .

ng trình ti p tuy n v i

3/ Tìm trên

th (H) k3 t

th (H) nh ng i m cách

4/ Tính di n tích hình ph!ng gi i h%n b(i

i m A(-6;5).

u hai tr c t a

.

th (H), tr c hoành và hai

th!ng x = 3, x = 5.

Câu II (3,0 i m). e

1/ Tính tích phân sau I = ( x 2 + x ) ln xdx 1

cos 2 4 x 2/ Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s y = 3 + cos 4 x 3/ 56 i b t ph ng 789nh sau log 2 (3.2 x − 1) > 2 x + 1

Câu III (1,0 i m). Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông t%i B, SA là

*ng cao.

Bi t SB = a 2 , ASB = BSC = 450 . 1/ Tính th tích hình chóp S.ABC. 2/ Xác

nh tâm và tính bán kính m t c u ngo%i ti p hình chóp S.ABC.

II . PH N RIÊNG ( 3 i m ) Thí sinh ch

!c làm m t trong hai ph n A ho c B

*ng


Biên so n:

Trang : 61

A. Theo ch

ng trình Chu1n

Câu IVa (2,0 i m) Trong không gian t a

Oxyz cho m t c u (S) qua b n i m A(6; -2; 3),

B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). 1/ Vi t ph

ng trình m t c u (S).

nh tâm và bán kính m t c u (S).

2/ Vi t ph

ng trình ti p di n c a m t c u (S) t%i i m A.

Câu Va (1,0 i m) 2

2

:9m ;<c s )th c x, y)7=> : (1 + 2i ) x − ( 4 − 5i ) y = 2i B. Theo Ch

ng trình Nâng Cao

Câu IVb (2,0 i m) 1/ Trong không gian Oxyz cho i m M( 21; 4; 2010). Vi t ph ph!ng qua i m M c"t các tr c Ox, Oy, Oz l n l

ng trình m t

t t%i A, B, C sao cho M

là tr ng tâm tam giác ABC. 2/ Vi t ph c"t hai

ng trình c a

*ng th!ng n m trong m t ph!ng (α ): y + 2z = 0 và

x =1− t *ng th!ng d1 : y = t z = 4t

x = 2−t và d 2 : y = 4 + 2t . z =1

Câu Vb (1,0 i m) :9m ph n th c ?@)ph n o ; a s )ph c sau: z = i (2 + i ) +

3−i 3+i


Trang : 62

BiĂŞn so n:

File922  

Biên son: Trang : 0 Biên son: Trang : 1 Biên son: Trang : 2 !"!"!"!...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you