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INTRODUCCION A LA TEORIA DE FUNCIONES Para la mejor comprensión de función vamos a recordar algunas definiciones como: CONJUNTO.- colección de objetos con una regla que indica si un objeto dado pertenece o no a la colección. Ejemplo: El conjunto de estudiantes de primer semestre de Ingeniería Agroindustrial El conjunto de estudiantes de primer semestre de Ingeniería en Sistemas y Computación PRODUCTO CARTESIANO Sean A y B dos conjuntos y sean a, b elementos de cada uno de estos conjuntos respectivamente, en estas condiciones llamamos par ordenado al elemento (a, b). Se llama PRODUCTO CARTESIANO de A por B al conjunto de pares ordenados (a, b) donde a es el elemento del conjunto A y b es un elemento del conjunto B, en símbolos

A  B  a, b / a  A  b  B

PROPIEDADES DEL PAR ORDENADO a. Dos pares ordenados  a, b  ,  a , b   son iguales si y solo si se cumple:

a, b   a , b   a  a 

y b  b 

b. Generalización: llamamos tripleta ordenada a un elemento de la forma a, b, c  , se llama cuadruplete, o cuadrupla ordenada a un elemento de la forma a, b, c, d

 etc.,

PRODUCTO CARTESIANO ENTRE TRES O MAS CONJUNTOS El producto cartesiano entre tres y cuatro conjuntos se define asi:

A  B  C   a, b, c  / a  A, b  B, c  C  A  B  C  D   a, b, c, d  / a  A, b  B, c  C, d  D

Representación gráfica del producto cartesiano Si A y B constituyen intervalos representamos A y B como parte de los ejes del plano cartesiano, entonces el producto cartesiano A B es un rectángulo como el ejemplo de la grafica


Si A y B tienen pocos elementos el producto cartesiano A B se puede representar en forma de un arreglo denominado tabla de doble entrada

Repitiendo el procedimiento obtenemos la siguiente tabla:

N

M

1

9

10

(1,9)

(1,10)

2

(2,9)

(2,10)

3

(3,9)

(3,10)

4

(4,9)

(4,10)

El producto cartesiano A B se lo representa también usando diagramas de Venn. Así por ejemplo si

A  1, 2  y B   x, y, z


RELACIONES Y FUNCIONES En la vida diaria encontramos correspondencias o asociaciones, en donde elementos de dos conjunto se relacionan entre si por ejemplo Sea el conjunto A formado por hijos y el conjunto B formado por los padres, cada elemento del conjunto A se relaciona con un elemento del conjunto B es decir cada hijo se relaciona con su padre Sea A el conjunto de estudiantes de primer semestre de Ingeniería en Sistemas y Computación y B el conjunto de promedios entonces a cada alumno le corresponde un promedio

Se llama RELACION entre dos conjuntos A y B al subconjunto del producto cartesiano A B que cumple una regla Dentro de las relaciones existe dependencia a la que se llama función, así toda función es una relación pero no toda relación es una función, ya que una función debe cumplir ciertas propiedades.

DEFINICION DE FUNCION Se define una funcion, aplicación o transformacion f de un conjunto A en un conjunto B , como un subconjunto de A B

tal que a cada elemento x A hace corresponder un único

elemento y B que llamaremos imagen del elemento x por la ley f y denotamos y  f x 


f es una función de A en B si cumple: 

f  A B

x, y  f

y

x, y   f

 y  y

OBSERVACION.- si f es una función, en f no puede existir dos pares ordenados con primeras componentes iguales y las segundas componentes diferentes, o lo que es lo mismo a un elemento del conjunto A no le pueden corresponder dos o mas elementos en el conjunto B No se debe confundir el simbolo f y

f x  puesto que f denota el procedimiento, la ley, y

f x  es el resultado de aplicar el procedimiento o la ley sobre el elemento x , de esta forma f x  es un elemento del conjunto B

NOTACION: para indicar que f es una función de A en B se usa la siguiente notacion

f : A B

x  y  f x 

se lee: “f es una función de A en B”

A B

x  y  f x 

UNA FUNCIÓN SE COMPONEN SE VARIAS PARTES ASI: DOMINIO.- Es el conjunto de elementos de A ARGUMENTOS.- Son los elementos del dominio CODOMINIO O CONTRADOMINIO.- es el conjunto d elementos de B IMÁGENES.- son los elementos del codominio que están asociados con algún elemento del argumento RANGO.- es el conjunto del codominio que contiene a todas las imágenes de la función. Puede coincidir con el codominio. Ejemplo:


DOMINIO DE UNA FUNCION.- sea y  f x  una función se llama dominio de la función al conjunto de valores de x para los que y  f x  está definida. Se denota Dom  f  Para encontrar el dominio se debe tener en cuenta lo siguiente:   

No es posible dividir entre cero No se puede estraer raices pares si el radicando o cantidad subradical es negativo No es posible estraer logaritmos de numeros negativos, ni de cero

FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCION Una función se puede representar de diversas maneras asi: en forma sagital, gráfica, analítica y tabular SAGITAL.- se emplean conjuntos en donde se muestra la relación entre los elementos del dominio, codominio


El dominio es el conjunto D   3, 6, 9, 12, 15 

El codominio es el conjunto E  1, 2, 3, 4, 5, 6 

El rango es

1, 2, 3, 4, 5  La regla de correspondencia es “el triple de “ GRAFICA.- se emplea los pares ordenados para representar en el plano cartesiano, donde x es el argumento y, y es la imagen de la funcion.


ANALITICA

Relaciones  

describe las relaciones partiendo del producto cartesiano

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