Page 9

Основні означення й поняття. Означення 1. [6] Для довільних x  R і m  N факторіальним степенем m з кроком k  R називають вираз

  x( x  k )  ( x  2k )  ...  ( x  (m  1)k ), якщо m  0, x m{k }    1, якщо m  0. Факторіальний степінь називають зростаючим, якщо k  0 , і спадним, якщо k  0 . Якщо k  0 , то маємо звичайний степінь, тобто xm{0}  xm . Зростаючий факторіальний степінь m з кроком 1 і спадний факторіальний степінь m з кроком (– 1) позначатимемо через x m і x m відповідно, тобто x m  x m{1}  x( x  1)  ...  ( x  m  1), xm  x m{1}  x( x  1)  ...  ( x  m  1).

Очевидно, що n!  1n  nn . У комбінаториці зростаючим і спадним факторіальним степеням часто притаманна двоїстість: якщо комбінаторна задача приводить до тотожності, побудованої при допомозі спадних факторіальних степенів, то зазвичай існує змістовна комбінаторна задача, яка приводить до двоїстої комбінаторної тотожності з участю зростаючих факторіальних степенів [4, 6]. Означення 2. Позначимо через C ( x), S ( x) інтеграли зі змінною верхньою межею від функцій Cos( x), Sin( x) відповідно, тобто x

C ( x)   Cos t dt , 2

x

S ( x)   Sin t 2 dt.

0

(1)

0

Враховуючи, що [2] (1)n (2n  1)! 2 n Cos( x)  1   x , (4n  1)! n 1 

(1)n (2n  2)! 2 n 1 Sin( x)   x , (4n  3)! n 1 

з (1) одержуємо такі зображення функцій C ( x), S ( x) у вигляді степеневих рядів, абсолютно збіжних на всій числовій осі: (1)n (2n  1)! 2 n 1 C ( x)  x   x , n 1 (2n  1)(4n  1)! 

(1)n (2n  2)! 2 n S ( x)   x . n 1 2n(4n  3)! 

(2)

9

Сборник материалов конференции  

Актуальні питання технічних і математичних наук у XXI столітті. Збірник матеріалів Міжнародної науково – практичної конференції (м.Київ, Укр...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you