Page 11

Зв’язок функцій C ( x), функцією. Позначимо через

S ( x) з узагальненою гіпергеометричною F  a1 , a2 ; b1 , b2 , b3 ; z  узагальнену гіпергеомет-

2 3

ричну функцію, тобто функцію, визначену при допомозі узагальненого гіпергеометричного ряду [1] 

a1n a2n z n , 2 F3  a1 , a2 ; b1 , b2 , b3 ; z    n n n  n! n  0 b1 b2 b3

де a nj , b nj – зростаючі факторіальні степені (означення 1). Теорема. Для всіх x  ( ;  ) справджуються тотожності C ( x)  x 

 3 5 7 5 x2  x3  2 F3 1, ; , , ;   , 18  2 4 4 2 64 

 x2 3 5 x2  S ( x)   2 F3 1, 1; , , 2;   . 2 4 4 64  

Доведення. З (2), враховуючи, що n!  1n , а (4n  1)!  4n (2n)!(4n  1)!!, для функції C ( x) одержуємо: (1)n 1 (2n  1)! 2 n 3 C ( x)  x   x  n  0 (2n  3)(4n  3)! 

x3  (1)n  x  x2n  n 2 n 0 (2n  3)(4n  3)!!4 3 5 2n  1 n   ...   x2  x 4 4 4  x    4n  1   7 11 4n  3   5 7 2n  3   64  18 n 0  5 9    ...       ...       ...   4  4 4 4  2 2 2  4 4 3

3 1   2

n

n

n

 x2  x3   x     18 n  0  5 n  7 n  5 n  64     n !       4 4 2

 3 5 7 5 x2  x3  x   2 F3 1, ; , , ;   . 18  2 4 4 2 64 

Аналогічно, для функції S ( x) маємо: 11

Сборник материалов конференции  

Актуальні питання технічних і математичних наук у XXI столітті. Збірник матеріалів Міжнародної науково – практичної конференції (м.Київ, Укр...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you