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Números enteros

1

1. Números enteros, positivos y negativos 1. Escribe el signo >, < ó = según corresponda: a) –2 ______

k)

–1 ______ 0

b) –7 ______ –3

l)

0 ______ 9

c) 2 ______ –9

m) –7 ______ 7

d) 11 ______ –10

n)

–8 ______ 0

e) 14 ______ –23

o)

–2 ______ –2.000

f) –37 ______ –5

p)

g) 12 ______ –12

q) |–2| ______ |+2|

h) –2 ______

r)

2

2

7 ______ 7

0 ______ |–9|

i) –5 ______ –1

s) |-5| ______ |+3|

j) 6 ______

t) |+65| ______ I–12|

0

2. Escribe el número entero que represente las siguientes situaciones: a) 3 grados bajo cero = b) Debo $2 000 = c) 25 metros de profundidad = d) 80 metros de altura = e) 6 metros a la derecha = f) 3 000 años antes de Cristo 3. Ordena los siguientes conjuntos de menor a mayor: A = {–6, 3, 0, –8, 4} B = {–13, –7, –3, –150, –9}

10

Unidad 1: Números enteros


Ejercicios combinados 1. Resuelve estos ejercicios combinados: a) (–6) + 3 • (–2) – 7 • 5 = b) 3 – 5 • 8 + 4 : 2 = c) (–48) • 2 – 21 : (–7) + 5 • (–3) = 2. Resuelve estos ejercicios combinados teniendo en cuenta el uso de llaves y corchetes: a) (–6) – [(–3) + 1] + 8 = b) (–8) – [20 – (3 – 8) – 10] = c) (–7) – {(–3) [(–5) (1 – 8) + 4] – 6} + 9 =

Problemas 1. Resuelve estos problemas, anotando la operación y la respuesta: a) Si pierdes 25 láminas en un juego y 28 láminas en otro, ¿cuántas láminas has perdido en total?

b) Un equipo de fútbol tiene 37 goles a favor y en el último partido hizo 4 goles más ¿Cuántos goles tiene en total?

c) Un submarino descendió 45 metros y luego subió 20 metros. ¿A qué profundidad se encuentra entonces?

d) Maipú tuvo ayer una temperatura de 3º bajo cero en la mañana. En la tarde subió 16º, ¿cuál fue la temperatura alcanzada?

e) Una sustancia química que está a 4° bajo cero se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 11° sobre cero. ¿Cuántos grados aumentó?

2. Fernando, Myriam, Fernanda, Valeria y Luisa compiten en una prueba de atletismo. La

prueba consiste en recorrer 600 m en un tiempo mínimo. Si a Fernanda le faltan por correr 20 m, a Myriam 71 m, a Fernando 85 m, a Luisa 101 m y a Valeria 415 m, responde:

a) ¿Cuántos metros ha corrido cada uno? b) ¿Cuántos metros más ha corrido Fernanda que Luisa? c) ¿Cuántos metros menos ha corrido Valeria que Miriam? d) Si los niños mantuvieron la misma velocidad hasta el final de la carrera, ¿cuál fue el orden de llegada?

3. Si la temperatura a las 10:00 horas de hoy era 2 ºC y aumentó 9 ºC al cabo de 3 horas, ¿cuál será la temperatura a las 13:00 horas? 16

Unidad 1: Números enteros


Tema Habilidades:

1

✔ Representar los números de distintas formas. ✔ Comprender e interpretar el valor posicional de cada cifra en un número.

Números de seis cifras

✔ Descomponer y componer números.

Representación de los números Vocabulario • Una centena de mil es equivalente a ___________ decenas de mil. • Una centena de mil es equivalente a ___________ centenas.

Practica 1 Cuenta en forma ascendente de 1 en 1 y completa los recuadros en blanco siguiendo el ejemplo. 100 000 100 001 100 002

2 Identifica los números representados en los ábacos.

a)

2 Mat4_Cuad1.indd 2

b)

Números

06-07-11 22:22


Taller de evaluación 1 El siguiente ábaco representa un número de seis cifras.

a) ¿Cómo se escribe este número con símbolos numéricos?

b) ¿Cuál es la descomposición aditiva de este número? a) Escribe el número representado en el ábaco.

b) ¿Cómo se lee este número? _________________________________

c) Claudia tiene 24 billetes de $10 000, 8 billetes de $1 000 y 50 monedas de $100. ¿Cuánto dinero tiene Claudia?

c) Escribe la descomposición aditiva de este número. 3 Determina el resultado de las siguientes operaciones. d) Escribe el sucesor y el antecesor de este número.

a) 34 568 + 43 567 – 34 567 =

b) 123 009 – 109 999 + 213 456 = 2 Claudia, tesorera del centro de padres, consulta sobre el precio de una fotocopiadora. El dependiente de la casa comercial le dice que el precio es doscientos cuarenta y dos mil novecientos noventa y nueve pesos.

42 Mat4_Cuad1.indd 42

c) (34 055 + 3 505) – (23 456 + 121 450) =

Números

06-07-11 22:24


1

Capítulo

El Universo y la materia

Introducción En este capítulo se busca que el alumno se introduzca en el fascinante mundo del cosmos, que conozca más sobre las teorías del origen del Universo, sobre el Big Bang, sobre cómo se originan las estrellas, etc., y que sea capaz de comunicar sus investigaciones sobre el tema dando a conocer su punto de vista.

Planificación SECUENCIA DIDÁCTICA Proceso pedagógico

Estrategia

EVALUACIÓN Recurso educativo

Criterio

Instrumento

Observar un video sobre la formación del Universo.

INICIO

MOTIVACIÓN

CONFLICTO COGNITIVO

PROCESO DE LA INFORMACIÓN

Video Youtube

Dialogar sobre el video observado y registrar las ideas principales en la pizarra.

Imagen, página 14

Observar la imagen del libro y dialogar al respecto.

Imagen, página 15

Comentar sobre el trabajo de Carlos Noriega.

Texto, página 16

Trabajar el “laboratorio inicial” ¿Cómo se comporta una estrella? ACTIVAR CONOCIMIENTOS PREVIOS

16

http://www.youtube.com/watch?v=R3-OcZF8-Fc

Recoger información en la pizarra a través de una lluvia de ideas sobre el tema del Universo.

Realizan la actividad de laboratorio.

Trabajo en grupo.

Pizarra y tizas

Preguntar, ¿cómo creen que se formó el Universo? Dejar la pregunta abierta para ser respondida durante el desarrollo de la clase.

Pizarra y tizas

Hacer la lectura: origen del Universo.

Texto, páginas 17 y 18

Utilizan la estrategia de lectura de página Observar un video sobre Isaac Newton donde hable 19. sobre la fuerza de gravedad. Dialogar sobre la teoría de la relatividad propuesta Texto, página 18: “Materiales por Einstein. caseros”. Observar el organizador “Alternativas posibles de la formación del Universo”, luego el aula se Video sobre Isaac divide en tres grupos y a cada uno se le asigna una Newton. alternativa, cada grupo debe sustentar su posición Video Youtube al respecto. Realizar la actividad de laboratorio: ¿Por qué algunos objetos se mueven en círculo?

Capítulo 1

Participación oral.

Responder las preguntas de “Activa tu mente”.

Realizar un paralelismo entre el modelo geocéntrico y heliocéntrico.

CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO

Aportan comentarios sobre el tema.

Aportan comentarios sobre el tema.

Participación oral.


Estrategias metodológicas TEMA 1.1 Origen del universo (Páginas 15-20) ¡ Observar las imágenes de la apertura del libro y responder las preguntas: ¿Qué sabes del Universo? ¿Cómo crees que está formado? ¿Conoces a Carlos Noriega? ¿Qué sabes de su vida? Pedirles que desarrollen las preguntas que se plantean en la página 15. ¡ Indicarles que realicen una investigación sobre la biografía de Carlos Noriega y elaborar una línea de tiempo con los hechos más importantes ocurridos en su vida. Resaltar la perseverancia y dedicación que le permitieron llegar a trabajar en la NASA y sobre su viaje al espacio. ¡ Desarrollar la actividad propuesta en la página 16: ¿Cómo se comporta una estrella? Luego compartir las respuestas obtenidas con sus compañeros(as). ¡ Leer la información de la página 17 sobre el origen del Universo y elaborar un organizador visual. Previamente, subrayar las ideas principales y seleccionarlas para utilizarlas en el organizador. Indicarles que a medida que van leyendo, seleccionen las palabras desconocidas para elaborar un glosario de términos al final del capítulo. ¡ Formar grupos de trabajo y solicitar materiales para que elaboren una maqueta sobre el modelo de Platón y Aristóteles, el de Ptolomeo y el de Copérnico, tomando como base la información de las páginas 17 y 18 del texto. Cada grupo hará una exposición y explicará sus conclusiones.

¡ Realizar un análisis del texto de la página 19 sobre la teoría de la relatividad y, a través de un esquema, describe las características de esta teoría. ¡ Observar y analizar el esquema conceptual sobre las alternativas posibles sobre la formación del Universo y pedirles que expliquen con sus propias palabras un texto referido al tema. ¡ Aplicar la evaluación propuesta del tema 1.1.

TEMA 1.2 El Big Bang y El origen del universo (Páginas 21-23) ¡ Para recuperar los saberes previos de los estudiantes, pedirles que observen las imágenes de la página 21 del libro y preguntar: ¿cómo podemos saber lo que existe en el Universo? ¿Cómo se origina el Universo? ¿Qué teorías conoces? Mediante una lluvia de ideas, recoger los saberes previos de los estudiantes y comentar al respecto. ¡ Mostrar videos relacionados a las teorías que explican el origen del Universo. Se sugiere el siguiente: http:// www.youtube.com/watch?v=R3-OcZF8-Fc. ¡ Pedirles que vayan anotando los conceptos claves y después de observar el video, hacer las preguntas correspondientes al tema. ¡ Indicarles que lleven un globo y que simulen la teoría del Big Bang. Pintar estrellas en él y luego inflarlo. Anotar y comentar lo observado.

¡ Después de la exposición, pedir a los estudiantes que elaboren un cuadro comparativo sobre las características de estos tres modelos.

¡ Realizar la lectura de la página 21 y hacer que los alumnos subrayen las ideas principales o palabras clave. Luego hacer un resumen del tema leído a través de un organizador gráfico.

¡ Indicar a los estudiantes que desarrollen las actividades propuestas en la sección “Comprueba tu aprendizaje” y la del Laboratorio: ¿Por qué algunos objetos se mueven en círculos? Después de realizar las actividades, dialogar sobre las respuestas obtenidas y profundizar en el tema.

¡ Pedirles que resuelvan la pregunta de la sección “Comprueba tu aprendizaje”. Dialogar sobre la importancia de los trabajos realizados por Modesto Montoya e invitarlos visitar la siguiente página web: http://abdaperu.blogspot.com/2010/05/encuentrocientifico-anual.html

¡ Pedirles que observen las imágenes de la página 19 y preguntarles por qué la Luna atrae a la Tierra con la misma intensidad con que la Tierra atrae a la Luna. Después de escuchar sus respuestas, indicarles que lean el texto referido a la fuerza de gravedad y el movimiento de los planetas. Comparar sus respuestas previas a la lectura con la del texto.

¡ Efectuar una lectura más profunda de las páginas 21, 22 y 23, ahondando en la comprensión del texto, reconociendo las ideas que se suceden y el tema principal. Luego elabora un cuadro sinóptico sobre los temas leídos. ¡ Realizar una investigación sobre los instrumentos actuales que se utilizan para conocer el Universo y compararlos con los que se utilizaban en la Antigüedad.

El Universo y la materia

19


8

Unidad 1

Números reales e inecuaciones

Inicio de la Unidad I. Propósito de la Unidad Esta Unidad consta de dos temas. El tema I, aborda el conocimiento de las desigualdades, sus propiedades y aplicaciones a diversos ejercicios y problemas, las inecuaciones de primer grado en una variable y su procedimiento de resolución. Se abordan las inecuaciones que involucran el valor absoluto y su procedimiento de resolución, graficando el conjunto solución y se presentan sistemas de inecuaciones, su procedimiento de resolución y su aplicación a la resolución de problemas. Para profundizar los conceptos se aborda la resolución gráfica de las inecuaciones y las diferencias y semejanzas entre las ecuaciones e inecuaciones. El tema II está orientado a recordar características de los números reales, su representación geométrica en la recta real, el conocimientos de las raíces cuadradas y cúbicas, sus pro-

piedades y su aplicación a ejercicios y problemas, y finalmente al conocimiento de los intervalos que son subconjuntos de números reales y sus expresiones gráfica, símbólica y conjuntista, el abordaje de los cambios de registro de una expresión a otra y la unión e intersección de intervalos. Las raíces cuadradas que pueden ser números racionales o irracionales y la conexión a la geometría representando aquellas raíces que son números irracionales en la recta real. La motivación en esta Unidad se realiza a partir de la utilización de contextos relacionados con situaciones de la vida diaria, otros subsectores de aprendizajes o de la propia matemática. Por otro lado también constituyen situación de motivación la presentación de la ejercitación graduada en un orden creciente de dificultad para provocar en el o la estudiante el gusto y deseo de ir avanzando en el desarrollo de ejercicios con mayor grado de dificultad.

II. Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales Conceptos Raíces cuadradas

Procedimientos Actitudes ▪ Cálculo de raíces cuadradas y aplicación Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones de ejercicios y problemas que de las propiedades en la resolución de involucran raíces cuadradas. ejercicios.

Raíces cúbicas

▪ Cálculo de raíces cúbicas aplicando el concepto y las propiedades.

Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones a situaciones que involucran el cálculo de raíces cúbicas y la aplicación de las propiedades.

Racionalización

▪ Procedimientos de racionalización de expresiones que contienen raíces irracionales en el denominador.

Sensibilidad y gusto por la aplicación y presentación de expresiones equivalentes que no contienen raíces irracionales en el denominador.

Desigualdades

▪ Aplican propiedades de las desigualdades. ▪ Comparan números reales. ▪ Conocen los intervalos como subconjuntos de los números reales.

Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones a situaciones que involucran la aplicación del concepto de desigualdad y la aplicación de las propiedades.

Inecuaciones de primer grado

▪ Resolución de inecuaciones. ▪ Resolución de inecuaciones que involucran al valor absoluto. ▪ Resolución de sistemas de inecuaciones.

Curiosidad por indagar y explorar sobre las estrategias de resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones.


12

Desarrollo de la Unidad Números reales y valor absoluto (Páginas 14 a 17) • Orientaciones metodológicas Estas páginas están orientadas a: a) Representar números racionales en la recta numérica y a evidenciar la existencia de la relación biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta numérica. b) Definir el valor absoluto de x, |x|, como la distancia entre x y 0, y su representación en la recta real. El análisis de estas páginas constituye el motor de partida en la comprensión de los conceptos tratados en esta Unidad. • Errores frecuentes La representación de una fracción en la recta numérica, por 3 ejemplo la fracción , la ubican incorrectamente en un 4 punto entre el 3 y 4. Para remediar este error es necesario trabajar el concepto de fracción, su significado y su aplicación, tomando como entero el segmento de 1 unidad de longitud. Es muy importante que los estudiantes internalicen correctamente la ubicación de números racionales en la recta real, ya que esto es el punto de partida para graficar correctamente los intervalos. • Habilidades a desarrollar Habilidades

Analizar

Ejercicios pág. 16

1

• Información para el o la docente Es importante tener en cuenta la perspectiva analítica y la geométrica del valor absoluto de un número real x. Desde la perspectiva geométrica, |x| es la distancia de x a 0, para todo x ∈ 0 . Desde la perspectiva análitica se define la función en

{

x si x ⩾ 0 ramas, f(x) = |x| = x , cuyo gráfico es: –x si x < 0

3 7 , –0,75, –1, 0,005 y 4 2 –1

0

1

2

3

4

b) Identificar los números racionales que mejor se aproximen a los números marcados en la recta numérica. –1

0

1

2

3

4

Intervalos y unión e intersección de intervalos (Páginas 18 a 22) • Orientaciones metodológicas Los intervalos son subconjuntos de números reales, que para su mejor comprensión es necesario graficar en la recta numérica. Se presentan tres formas diferentes de expresar un intervalo: su expresión gráfica, su expresión simbólica y su expresión conjuntista. Las actividades presentadas están orientadas a determinar todas las distintas representaciones de un intervalo, de la unión de intervalos y de la intersección de intervalos, a enfatizar los cambios de un registro a otro de estas representaciones e identificar cada una de estas representaciones. • Errores frecuentes y dificultades Una de las dificultades que se presenta comúnmente en alumnos y alumnas es la realización de la unión e intersección de intervalos; por ejemplo ]–∞, 2] ∩ [2, +∞[. En este caso la intersección corresponde a un único número. Una estrategia que permite evitar este error es efectuar la representación gráfica de los intervalos, ya que facilita la visualización de la respuesta correcta. • Habilidades a desarrollar

Y

Habilidades

4

Ejercicios pág. 22

3 2 1 –3 –2 –1

• Ejercicios complementarios a) Ubica en la siguiente recta real los siguientes números racionales:

1

2

3

X

Graficar Identificar Resolver problemas 1-5

2-3-4-6

Piensa y resuelve

• Información para el o la docente Es recomendable plantear ejercicios que involucren unión e intersección de intervalos cuyos resultados sea un conjunto con un solo elemento o cuyo resultado sea vacío, graficar en la recta numérica y cambiar de un registro a otro.


1

2 Unidad 1 2

NĂşmeros enteros y decimales


Math on Location ¿Qué cálculos se usan en Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes comparar dos partes que tienen menos de un centésimo de metro?

REPASO DEL VOCABULARIO  Aprendiste las siguientes pE  n el centro de atención, los

empleados reciben aproximadamente 2 000 000 de órdenes personalizadas de sistemas de computación por año.

palabras cuando aprendiste las operaciones con números enteros y decimales. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

coma decimal signo usado para separar el lugar de las unidades y el lugar de los décimos en un decimal producto la respuesta a un problema de multiplicación cuociente el número, sin incluir el residuo, que resulta de la división

pP  iezas medidas con precisión en

milésimas de metro se desplazan a lo largo de sistemas transportadores en el edificio de montaje.

Copia y completa un diagrama como el siguiente. Usa lo que sabes acerca de la multiplicación y la división para completar las respuestas.

MULTIPLICACIÓN signo

x

números multiplicados factores

respuesta

DIVISIÓN signo

número dividido

número dividido entre

respuesta

p L as diferentes partes se mueven en

una cinta transportadora hacia el lugar donde se separan y se envían a diferentes áreas de embalaje.

Capítulo Unidad 1  3


1

Repaso rápido

Valor posicional hasta los miles de millones

Escribe el número que es 1,000 veces mayor que el número dado.

OBJETIVO: Leer y escribir números enteros hasta los miles de millones.

1. 336

2.  1 230

3.  1 580

4.  3 975

5.  8 627

PROBLEMA Imagina mil millones de monedas de $1. ¿Cuánto espacio ocuparían? Mil millones son 1 000 000 000.

Observa las ilustraciones para darte una idea del tamaño de 1 mil de millones de monedas de $1.

Aproximadamente 1 000 monedas de $1 podrían llenar un florero pequeño.

Aproximadamente 1 000 000 000 de monedas de $1 podrían llenar media cancha de básquetbol hasta una altura de 3 metros.

Aproximadamente 1 000 000 de monedas de $1 podrían llenar la maleta de un auto.

Puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de un dígito.

Ejemplo  ¿Cuál es el valor del dígito 2 en 3 205 000? Millones Centenas

Decenas

Miles

Unidades

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

3

2

0

5

0

0

0

3 x 1 000 000

2 x 100 000

0 x 10 000

5 x 1 000

0 x 100

0 x 10

0x1

3 000 000

200 000

0

5 000

0

0

0

El dígito 2 está en el lugar de los cien mil; por lo tanto, su valor es de 200 000. •  ¿Cuál es el valor del dígito 5 en 3 205 000? Un número se puede escribir en forma normal, en palabras o en forma desarrollada. Forma normal: 13 181 260 000 En palabras: trece mil millones ciento ochenta y un mil millones doscientos sesenta mil Forma desarrollada: 10 000 000 000 1 3 000 000 000 1 100 000 000 1 80 000 000 1 1 000 000 1 200 000 1 60 000

6

Recuerda que cuando escribes un número en forma desarrollada, no necesitas escribir los valores que tienen el dígito 0. Ejemplo: 305 Forma desarrollada: 300 1 5


CAPÍTULO

1

Razonamiento algebraico Enfoque del

1A

Variables y expresiones

1-1 Variables y expresiones algebraicas 1-2 Cómo simplificar expresiones algebraicas 1B

Ecuaciones

1-3 Ecuaciones y sus soluciones 1-4 Cómo resolver ecuaciones mediante la suma o la resta 1-5 Cómo resolver ecuaciones mediante la multiplicación o la división

¿Para qué sirve? En el año 1972, el Parque O´Higgins recibió ese nombre, luego de haberse llamado Parque Cousiño. Con una expresión algebraica se puede representar cuántos años hace que se le cambió el nombre al parque.

capítulo • Usar propiedades de aritmética y propiedades de igualdad. • Escribir y resolver ecuaciones para resolver problemas.


CAPÍTULO

1

Estrategia de lectura: Usa tu libro para alcanzar el éxito Comprender cómo está organizado tu libro de texto le ayudará a encontrar y usar información útil. Al leer los problemas de ejemplo, presta atención a las notas al margen, como Pista útil, Leer matemáticas, ¡Recuerda! y ¡Atención! Estas notas te ayudarán a comprender conceptos y a evitar errores comunes.

Pista útil

El símbolo | | quiere decir “el valor absoluto de”. Por ejemplo, |—3|

El glosario se encuentra al final de tu libro de texto. Úsalo para buscar definiciones y ejemplos de palabras o propiedades nuevas.

¡Recuerda!

¡Atención!

El símbolo < significa “menor que” y el símbolo > significa “mayor que”.

El coeficiente de una variable, como y, cuando aparece sola, es de 1. Por lo

Leer y escribir matemáticas

Usa diferentes figuras o colores para indicar conjuntos de

Leer matemáticas

El índice está al final de tu libro de texto. Úsalo para buscar la página en la que se enseña un concepto en particular.

Inténtalo Usa tu libro de texto para resolver los siguientes problemas 1. Usa el índice para hallar en qué página se define Expresión algebraica 2. En La lección 1-2, ¿qué definición aparece para el término “coeficiente”? 3. Usa el glosario para hallar la definición de los siguientes términos: variables y operaciones inversas. 4. ¿Dónde puedes repasar Notación científica en tu texto de Matemática 7°? Capítulo 1 - Razonamiento algebraico

3


CAPÍTULO

1–1 Aprender

a evaluar

expresiones algebraicas.

Variables y expresiones algebraicas Harrison Ford nació en 1942. Puedes calcular en qué año cumplió 18 años si sumas 18 al año de su nacimiento. 1942 + 18

Vocabulario variable constante expresión algebraica

En álgebra, a menudo se usan letras para representar números. Puedes usar una letra como la a para representar la edad de Harrison Ford. Cuando cumpla a años de edad, el año será

evaluar

1942 + a. La letra a tiene un valor que puede cambiar o variar. Cuando una letra representa un número que puede variar, se llama variable. El año 1942 es una constante, porque el número no cambia. Una expresión algebraica consiste en una o más variables. Por lo general, incluye constantes y operaciones. Por ejemplo, 1942 + a es una expresión algebraica del año en que Harrison Ford cumple cierta edad. Para evaluar una expresión algebraica, sustituye la variable por un número determinado.

EJEMPLO

1

Edad 18

1942 + 18

1960

25

1942 + 25

1967

36

1942 + 36

1978

63

1942 + 63

2005

a

1942 + a

Evaluar expresiones algebraicas Evalúa n + 7 para cada valor de n. A

n = 3

n+7

3+7

10 B

n = 5

n+7

5+7

12

4

Sustituye n por 3 Suma.

Sustituye n por 5 Suma.

Año de nacimiento + edad = año en que tenía la edad


UNIDAD

2

OBJETIVOS FUNDAMENTALES OF 4. Comprender que puntos, rectas y planos pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta en el espacio. OF 5. Determinar áreas y volúmenes de cuerpos geométricos generados por rotación o traslación de figuras planas en el espacio.

Habilidades de la unidad • • • •

Análisis e interpretación. Resolución de problemas. De investigación. Comunicativas.

OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES OFT 1. El crecimiento y la autoafirmación personal: el interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento. OFT 2. Desarrollo del pensamiento: capacidad de establecer relaciones entre los distintos sectores de aprendizaje. OFT 3. Persona y su entorno: proteger el entorno natural y sus recursos como contexto de desarrollo humano. OFT 4. Tecnologías de Información y Educación: utilizar aplicaciones para representar, analizar y modelar información, comprender y/o resolver problemas.

10

Geometría en tres dimensiones


Idea transversal de la Unidad

Capítulos

Ecología y Ambiente.

Estos capítulos nos van a servir para abordar el tema: Capítulo 1: Conociendo el espacio. Capítulo 2: Interpretando el espacio con ecuaciones vectoriales. Capítulo 3: El movimiento de las figuras planas. Capítulo 4: Dimensiones 2D y 3D de figuras en movimiento.

Propósito principal de la Unidad Demostrar que el espacio es medible en tres dimenisiones.

Matemática en contexto COMENTA ¿Qué elementos geométricos se muestran en las fotografías de Matemática en Contexto? ¿Cómo se representa la información cuantitativa en simulaciones de relieve? ¿Cómo puedes ubicar elementos geométricos en el espacio?

LEE En la naturaleza es posible encontrar articuladas diversas formas geométricas tridimensionales.

Repaso de Vocabulario Aprendiste las siguientes palabras cuando estudiaste sistemas coordenados bidimensionales. Sistemas de coordenadas, está formado por dos rectas numéricas perpendiculares de origen coincidente. Par ordenado, también llamado coordenada del punto P, está compuesto por dos componentes, generalmente asociado a los ejes x e y. Líneas perpendiculares, son dos líneas que se intersectan para formar ángulos rectos o de 90º. Líneas paralelas, son líneas en un plano que están siempre a la misma distancia.

Los topógrafos construyen simulaciones del relieve para poder describir el medio ambiente y analizar los recursos naturales de una zona o región. En ocasiones estas construcciones se presentan en tres dimensiones.

ESCRIBE Trabaja la siguiente habilidad (destreza): Hacer un esquema. Haz un esquema que permita relacionar los siguientes elementos geométricos: • Punto • Recta • Figura geométrica • Cuerpo geométrico • Dos dimensiones • Tres dimensiones • Coordenadas cartesianas • Par ordenado • Trío ordenado • Área

Las figuras geométricas, naturales o creadas por el ser humano, que forman el paisaje plasman una escena tridimensional en un plano bidimensional.

• Volumen

Capítulo 1. Conociendo el espacio

11


LECCIóN

2

Distancia entre dos puntos en el espacio OBJETIVO: Deducir la distancia entre dos puntos ubicados en un sistema de coordenadas en tres dimensiones.

Vocabulario: • Distancia entre dos puntos. • Origen del sistema de coordenadas

Aprende

Repaso rápido: Calcula la distancia entre los siguientes pares de puntos.

Problema resuelto Mientras un grupo de personas está acampando en la orilla del lago de Todos los Santos en la X Región se produjo un leve movimiento sísmico. Un geógrafo que hay en el grupo está interesado en saber la distancia que pudiera haber entre el campamento y el hipocentro.

1. (7,0) y (0,3) 2. (-5,-1) y (0,0) 3. (4,-1) y (-4,-1) 4. (0,3) y (5,-2) 5. (8,4) y (5,4)

Paso 1: Antes de comenzar conviene definir el origen del sistema de coordenadas en el hipocentro.

Epicentro

z Hipocentro

y

Figura 1 x

Paso 2:

Después se halla la distancia entre el campamento y el epicentro, para ello se construye un triángulo rectángulo de vértices A, B y C. Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo ABC se obtiene AB 2 = AB 2 Epicentro + BC 2 o bien AC = √(0 – x1)2 + (y1 – 0)2 , ya que en el punto B se encuentra en el eje y. Es decir, AB = √x12 + y12 ,

Hipocentro

Figura 2 Paso 3: Ahora aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo formado por el epicentro, el hipocentro y el campamento. Para ello construiremos el triángulo rectángulo de vértices A, B y D, donde AD corresponde la distancia que estamos buscando. Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo ABC se obtiene AD 2 = AB 2 + DB 2 , pero como AB, = √x12 + y12 reemplazamos y obtenemos AD = √(√x12 + y12 )2 + (0 – z1)2 , 20


Especificidad celular A

ctualmente se piensa que hay más de 30 millones de especies diferentes. Es posible que al oír esta cifra consideres sólo plantas y animales, excluyendo así a protozoos, mohos y

algas. Sin duda, la gran diversidad en nuestro planeta nos hace únicos, en cuanto a la complejidad estructural. Las preguntas que podríamos hacernos son: ¿Qué tienen en común todos los organismos de nuestro planeta? ¿Cuál es la unidad funcional de todo organismo? ¿Qué permite que seas capaz de moverte, respirar, pensar o realizar cualquier actividad? Existe una respuesta a todas estas interrogantes. La unidad estructural y funcional que forma parte de todos los seres vivos de nuestro planeta es la célula. Es en ella donde ocurren todas las reacciones químicas que dan lugar al hermoso fenómeno de la vida.

12


Capítulo 1

Adaptación a nivel celular

Capítulo 2

1

Biología humana y salud

Aprendizajes esperados: • Reconocer la existencia de dos tipos celulares: procariotas y eucariotas. • Establecer diferencias entre células procariotas y eucariotas. • Conocer la características específicas que diferencian una célula de otra en eucariontes. • Comprender las implicancias de la diferenciación celular. • Relacionar diferencias estructurales con función especializada. • Identificar la polaridad celular como una característica que determina especificidad en la función. • Estudiar algunas enfermedades relacionadas con malformaciones debido a mutaciones. • Analizar las condiciones celulares que caracterizan el cáncer. • Identificar algunas características específicas de células vegetales y ambientes en los cuales se desarrollan.

13


Capítulo 1

Adaptación a nivel celular Tema 1: Tipos celulares Tema 2: Relación entre diferenciación y función celular

E

n cursos anteriores has logrado describir la función de la célula y de las estructuras que la constituyen, cómo ésta se reproduce y porta la información hereditaria. Seguramente, también recordarás que la

célula es reconocida como la estructura funcional de todo ser vivo, pero en el transcurso de tus años de estudiante, quizás ha quedado la impresión de que todas las células son iguales, o al menos, muy semejantes. Esta Unidad es una introducción a nivel celular, a aquellos sistemas altamente especializados en su función, como los son: el sistema nervioso, el sistema muscular y el sistema renal, entre otros, que verás con mayor detalle en la Unidad 2. Sin embargo, a medida que los organismos se vuelven más complejos, se va produciendo la distribución del trabajo entre distintos tipos de células, por lo que éstas deben especializarse con el objeto de realizar con mayor eficiencia sus funciones específicas.

14

III Medio / Biología


Unidad

1

Células procariotas y eucariotas

Retículo endoplasmático

Centriolo

La vida, al menos como la concebimos hasta el momento, se sustenta en unidades que son autónomas en su funcionamiento y en su capacidad para perpetuarse a lo largo del tiempo. Esta autonomía queda de manifiesto en los organismos unicelulares, quienes pueden vivir y auto perpetuarse por sí solos. Estas unidades las conocemos como células, y se han denominado “unidades” porque son las estructuras Ribosomas más pequeñas que pueden funcionar y reproducirse como un todo. En el caso de los organismos pluricelulares, la auAparato tonomía de cada célula es menor, sin embargo, si se extrae de Golgi una sola célula de un tejido pluricelular, ésta es capaz de Figura 1.1. Célula eucariota (animal). sobrevivir si se encuentra en un medio adecuado. Observa las figuras 1.1 y 1.2 y responde en tu cuaderno: ¿Qué diferencias observas entre la célula procariota y la ADN Mesosoma eucariota? ¿Todas las células bacterianas tendrán flagelos para desplazarse? Describe los organelos que observas y atribuye a cada uno de ellos una función. Plasmidio Hasta la fecha se han descrito muchos organismos; sin embargo el mundo de las bacterias y arqueas (procariontes) y el mundo de los protistas (eucariontes unicelulares), probablemente esté recién descubriéndose.

Núcleo Mitocondria

Membrana celular

Flagelos

Diferencias entre tipos celulares ARN El origen de la vida nos señala que los primeros seres vivos en nuestro planeta fueron células procariotas Figura 1.2. Célula procariota (bacteria). similares a las bacterias actuales. Este tipo de célula logró adaptarse a las condiciones ambientales de entonces, pero después de millones de años de cambio en la Tierra aparecieron las células eucariotas, a partir de las cuales surgieron los primeros organismos pluricelulares. Se cree que los primeros organismos pluricelulares pudieron aparecer en los mares primitivos, hace unos 2.000 millones de años. Al no existir evidencias PARA SABER MÁS que permitan explicar el origen de los seres pluricelulares, los biólogos han Busca información acerca dispostulado una hipótesis que propone que a medida que el número de orgatintas teorías sobre el origen de nismos unicelulares fue aumentando por reproducción, los nutrientes habrían la vida que se han planteado a escaseado, por lo tanto, los organismos debieron competir por ellos. Como lo largo de la historia. consecuencia, se vieron favorecidas algunas células que fueron más eficientes en el “uso” de los nutrientes, dada la presencia de sistemas membranosos internos que posibilitaron su mayor tamaño. Ambos tipos de células comparten un lenguaje genético similar, lo que permite SABÍAS QUE... por ejemplo, reconocer muchas propiedades estructurales comunes. Entre Las plantas poseen una matriz estas características estructurales se encuentra la existencia de una membrana rica en celulosa que da forma y plasmática, que sirve de barrera de permeabilidad selectiva entre el medio resistencia a los órganos vegeinterno y externo. Además poseen un ADN basado en un código de cuatro tales. letras, igual al de la célula eucariota.

Unidad 1: Especificidad celular

17


Estrategias de aprendizaje Ejemplo Observa las siguientes microfotografías e identifica las células que son eucariotas y las que son procariotas.

Estrategia ¿Qué te preguntan? En este caso no se te pide que identifiques qué célula representa cada una de ellas, ni menos sus estructuras internas, sino que distingas el tipo celular de cada una de ellas, es decir, si son del tipo eucariota o procariota. ¿Qué debes responder? Para responder esta pregunta debes tener presente: a) En ambos tipos celulares se pueden reconocer propiedades estructurales comunes y también diferenciadores. b) Entre las comunes, está la presencia de una membrana plasmática y la presencia de ADN. c) Entre las diferencias, se destacan en células procariotas la presencia de flagelos o de una estructura denominada pili. d) Otras diferencias estructurales tienen que ver con la transformación de energía. Mientras que un procarionte utiliza su propia membrana externa para disponer de energía, las células eucariotas presentan estructuras u organelos especializados para realizar sus actividades metabólicas.

44

III Medio / Biología


CIERRE UNIDAD 1 Utiliza tus estrategias 1. La membrana plasmática es una estructura celular encargada de: a) Determinar parcialmente la forma celular. b) Determinar el volumen de la célula. c) Controlar el transporte de agua y de iones. d) Mantener la composición celular, en equilibrio. e) Todas las anteriores. 2. Lee la siguiente definición: “célula que no posee un sistema de membrana, por lo tanto, no se observa núcleo ni otros organelos citoplasmáticos”. Esta definición permite describir a cuál de la(s) siguiente(s) célula(s): I. Célula procarionte. II. Célula animal. III. Célula bacteriana. IV. Célula eucarionte. a) Solo I b) II y III c) I y II d) II y IV e) I y III 3. ¿Qué funciones cumple la membrana plasmática? I. Contiene los organelos. II. Protege a la célula. III. Regula el pasaje de solutos y solventes que entran o salen de la célula. IV. Contiene el material genético. a) I y II b) II y III c) III y IV d) I, III y IV e) Todas las anteriores.

4. De las células eucariontes podemos decir: I. Poseen organelos como los ribosomas. II. Poseen núcleo. III. Son más complejas que las procariontes. a) Sólo II b) I y II c) II y III d) I, II y III e) Ninguna de las anteriores. 5. ¿Cuál(es) de los siguientes componentes celulares participa(n) en procesos de transformaciones o generación de energía? I. Lisosoma. II. Cloroplasto. III. Ribosomas. a) Solo I b) Solo II c) I y II d) II y III e) I, II y III 6. Los cloroplastos poseen: I. ADN. II. ARN. III. Ribosomas. a) Solo I b) Solo II c) II y III d) I y II e) I, II y III 7. La incorporación de sustancias sólidas al interior de las células se realiza por: a) Fagocitocis b) Pinocitosis c) Excreción d) Crenación e) Exocitosis

Unidad 1: Especificidad celular

45


UNIDAD

1

Estructura y función de los seres vivos

Contenidos Capítulo 1 La molécula de la vida Capítulo 2 Reproducción celular Capítulo 3 La ciencia de la herencia Capítulo 4 Sistema endrocrino y hormonas Capítulo 5 Sexualidad y reproducción

10


¡Activa tus conocimientos! 1. Una vez que se ha producido

la fecundación, unión del espermio con el óvulo, la célula resultante, el cigoto, comienza a dividirse hasta formar el nuevo ser. ¿De dónde provienen todas las células que van a formar ese nuevo individuo? ¿Qué tienen en común las células de los seres humanos con las células de las bacterias, las plantas u otros animales? ¿Cómo son sus formas de reproducción? ¿Qué factores regulan estos procesos?

2. El cuerpo humano es una

máquina perfecta capaz de desarrollar un sinnúmero de actividades. ¿Qué factores influyen en tu cuerpo para regular las funciones vitales y la reproducción? ¿Has oído hablar de las hormonas? ¿Qué aspectos físicos, psicológicos, sociales y calóricos están asociados a la reproducción y la sexualidad en el ser humano que lo distinguen de otros seres vivos?

11


Capítulo

3 La ciencia de la herencia

Aprendizajes esperados …de conocimiento: • Identificar características del código genético. • Valorar la contribución realizada por Gregor Mendel al estudio de la genética mediante leyes que profundizan el estudio de los genes en los organismos. • Comprender mecanismos de la herencia humana y descubrir su importancia. • Reconocer la importancia del genoma humano. …de habilidades: • Analizar e interpretar gráficas y completar esquemas para comprender los experimentos realizado por Mendel. • Construir cuadrados de Punnett y utilizarlos para identificar información, validar o refutar hipótesis y detectar probabilidades. • Analizar árboles genealógicos para identificar anomalías genéticas. …de valores y actitudes: • Valorar los aportes realizados por científicos a la genética. • Apreciar avances tecnológicos que permiten aplicar la genética de manera social y étnica.

Actividad de introducción Cosas de familia

Materiales Papeles de colores (papel lustre, cartulinas, papel de regalo, etcétera) Cartón Pegamento Tijeras Lápices de colores

Compara tus características con las de tus padres. Muchas veces te has preguntado por qué los hijos se parecen a los padres. En este capítulo descubrirás por qué los rasgos se heredan de generación en generación. Para explorar cómo los rasgos pasan de los padres a los hijos, te invitamos a construir una familia de mascotas. Procedimiento 1. Haz una mascota de papel única, con 5 rasgos diferentes. Selecciona los rasgos de la siguiente lista: ojos cuadrados o redondos, nariz ovalada o triangular, dientes afilados o cuadrados, pelo crespo o liso, orejas grandes o pequeñas. 2. Cruza tu mascota con otra de la misma especie que otro compañero haya confeccionado para producir seis crías. Análisis Determina los rasgos que tendrán las crías y explica por qué los tienen. Aplicación de conceptos Compara el resultado de esta experiencia con tu vida propia o la de alguien cercano de quien conozcas su familia (ascendencia y descendencia). En relación a algunas características físicas o rasgos observables, en la vida real, ¿ocurre algo parecido a lo que observaste en esta experiencia?

62

Unidad 1: 2 •Estructura Polimeros ysintéticos función de y naturales los seres vivos


UNIDAD 1

3.1 Gregor Mendel y la genética moderna Antes de hacerse monje en el monasterio de Santo Tomás de Brünn (hoy Brno, en la República Checa), Gregor Mendel, Figura 3.1, probó suerte en diversas actividades, entre ellas la medicina y la pedagogía. A fin de obtener su certificado de maestro, Mendel asistió a la Universidad de Viena durante dos años, donde estudió botánica y matemáticas, entre otras materias. Esta capacitación probó ser crucial para los experimentos que llevaría a cabo y que constituyeron los cimientos de la ciencia moderna de la genética. En el monasterio de Santo Tomás, a mediados del siglo XIX, Mendel desempeñaba sus deberes monásticos y al mismo tiempo llevaba a cabo una serie de experimentos revolucionarios sobre la herencia en arvejas. No obstante, Mendel trabajó sin saber nada acerca de los genes ni los cromosomas. Será más fácil seguir sus experimentos después de echar un breve vistazo a ciertos conceptos genéticos modernos.

Actividad 3.1 Genética moderna Para comprender con mayor facilidad los experimentos de Gregor Mendel, repasemos algunos conceptos genéticos modernos, para ello completa las siguientes oraciones con los conceptos correctos.

Para leer Conceptos clave ¿Cuál es el principio de la dominancia? ¿Qué sucede durante la segregación? Estrategia de lectura Encontrar ideas principales. Mientras lees, busca pruebas que sustenten el siguiente enunciado: “Las ideas de Mendel sobre la genética fueron el inicio de una nueva área en la biología”.

Locus – genes – alelos 1. El lugar físico específico que un gen ocupa en un cromosoma recibe el nombre de __________________. 2. Los cromosomas homólogos contienen los mismos __________________, que ocupan los mismos loci (plural de locus). 3. Las diferencias en las secuencias de nucleótidos de un mismo locus del gen de dos cromosomas homólogos da origen a formas alternantes del gen llamadas __________________. 4. Los grupos sanguíneos humanos A, B y O son un ejemplo de tres __________________ diferentes del gen del tipo sanguíneo. Si dos cromosomas homólogos de un organismo tienen el mismo alelo en un locus de un gen específico, se dice que el organismo es homocigótico en ese locus de un gen. Por ejemplo, los cromosomas de la Figura 3.2, de la página siguiente son homocigóticos en los loci de los genes M y D. Si dos cromosomas homólogos tienen diferentes alelos en un locus de un gen específico, se dice que el organismo es heterocigótico (“diferente par”) en ese locus y se puede afirmar que es un híbrido. Losc romosomasd el a Figura 3.2so nhe terocigóticose ne l locus del gen Bk.

Figura 3.1 Gregor Mendel. Retrato de Mendel pintado alrededor de 1888, cuando ya había llevado a cabo sus innovadores experimentos de genética.

Glosario Homocigótico: cromosomas homólogos que tienen el mismo alelo en un locus de un gen. Del griego, “mismo par”. Heterocigótico: cromosomas homólogos que tienen diferentes alelos en un locus de un gen. Del griego, “diferente par”.

Figura 3.2 Relaciones entre genes, alelos y cromosomas. Capítulo 3: La ciencia de la herencia

63


Evaluación …de conocimiento: 1. La proporción 9:3:3:1 es una proporción de: A)

fenotipose nuna c ruzad ep rueba.

B)

fenotipose nuna c ruzad ei ndividuosq ue difierene nunra sgo.

C)

fenotipose nuna c ruzad ei ndividuos que difierene nd osra sgos.

D)

genotipose nuna c ruzad ei ndividuos que difierene nunra sgo.

E)

genotipose nuna c ruzad ei ndividuosq ue difierene nd osra sgos.

2. Un abogado le dice a un cliente varón que no

se puede usar el tipo sanguíneo en su favor en unad emandad ep aternidadc ontrae lc liente porque, de hecho, el hijo podría ser del cliente, de acuerdo con el tipo sanguíneo. ¿Cuál de lassi guientese sl aúni cac ombinaciónp osible quer espaldae stac ircunstanciahi potética? (Las respuestas están en el orden madre: padre:hi jo). A)

A:B:O

B)

A:O:B

C)

AB:A:O

D)

AB:O:AB

E)

B:O:A

3. Si una Drosophilahe mbrahe terocigóticad e

ojos rojos se aparea con un macho de ojos blancost endrád escendientes: A) hembras de ojos rojos y machos de ojos blancos en la F1.

88

B)

hembras de ojos blancos y machos de ojos rojos en la F1.

C)

hembras, la mitad de ojos rojos y la mitad de ojos blancos, y machos, todos con ojos blancos, en la F1.

D)

hembras, todas de ojos blancos, y machos, la mitad de ojos rojos y la mitad de ojos blancos, en la F1.

E)

hembras y machos, la mitad de ojos rojos y la mitad de ojos blancos en ambos casos, en la F1. Unidad 1: 2 •Estructura Polimeros ysintéticos función de y naturales los seres vivos

4. Lasa nomalías ligadas al sexo, como el daltonismoyl ahe mofilia: A) se deben a genes del cromosoma X. B) sed ebena g enesd ela utosoma. C) se deben a genes del cromosoma Y. D) see xpresanso loe nva rones. E) se expresanso loc uandod osc romosomasso nhe terocigóticosr ecesivos.

5. Gregor Mendel concluyó que cada planta de arveja tiene dos unidades o factores para cada rasgo, y cada gameto contiene una unidad. Las unidades de Mendel se conocen, hoy en día, como: A) genes. B) caracteres. C) alelos. D) factores de transcripción. E) Ninguno de los anteriores.

6. Un individuo de ojos azules (aa) cuyos padres son ambos de ojos oscuros, puede darse debido que el genotipo de estos últimos es: A) Madre AA; Padre AA. B) Madre AA; Padre Aa. C) Madre Aa; Padre AA. D) Madre Aa; Padre Aa. E) Tanto b como c son correctas.

7. Confecciona una lista de los cuatro principios básicos de la genética que descubrió Mendel en sus experimentos. Describe brevemente cada uno de esos principios.

8. En las plantas de arvejas, el alelo de semi-

llas amarillas es dominante sobre el alelo de semillas verdes. Predice la razón genotípica de los retoños que produciría la cruza de dos progenitores heterocigóticos para este rasgo. Dibuja un cuadrado de Punnett para ilustrar tu explicación.

9. ¿Por qué los alelos múltiples pueden pro-

porcionar muchos fenotipos distintos de un mismo rasgo?


UNIDAD 1

10. Analiza el siguiente caso: en los conejos, B es

el alelo de pelaje negro y b el alelo de pelaje marrón. Escribe los genotipos de un conejo que sea homocigótico para pelaje negro y otro conejo que sea heterocigótico para pelaje negro.

15. Pensar visualmente. Usa la información

de este capítulo para completar el siguiente diagrama de flujo. CROMOSOMA son de dos tipos

11. Explica por qué los cromosomas, y no los ge-

nes individuales, se transmiten independientemente.

1

Sexuales

provocan trastornos genéticos

…de habilidades: 12. Diseñar experimentos. En las ovejas, el alelo

Hemofilia

Síndrome de Down

para lana blanca (A) es dominante sobre el alelo para lana negra (a). ¿Cómo determinarías el genotipo de un carnero blanco o borrego macho?

2 3 4

13. Aplicar conceptos. En los perros, el alelo de

pelo corto (A) es dominante sobre el alelo de pelo largo (a). Dos perros de pelo corto son padres de una camada de ocho cachorros. Seis cachorros tienen pelo corto y dos tienen pelo largo. ¿Cuáles son los genotipos de los padres?

14. Inferir. Supongamos que Mendel cruzó dos

Daltonismo 5

…de valores y actitudes: 16. Reflexiona un momento sobre los aportes sig-

plantas de guisantes y obtuvo retoños altos y cortos. ¿Cuáles habrían sido los genotipos de las dos plantas originales? ¿Cuál es el genotipo que no pudo estar presente?

nificativos de los descubrimientos de Mendel. Menciona ejemplos cotidianos donde se apliquen las técnicas descubiertas por él y señala su impacto en la sociedad actual.

Cómo voy aprendiendo Haz un tick (✔) al lado de lo que corresponda. Podría…

No

Con dificultad

...explicar en qué consisten las características del código genético. ...describir las leyes de Mendel. ...explicar la importancia de los mecanismos de la herencia humana. ...explicar la importancia de conocer el genoma humano. ...extraer información a partir de gráficas e ilustraciones. ...construir cuadrados de Punnett para verificar información. ...analizar árboles genealógicos para determinar anomalías genéticas.

Capítulo 3: La ciencia de la herencia Química • 4º Medio

89


3

Construcciones geométricas

¿Cómo construimos con geometría? La raíz del vocablo geometría viene del griego geo, que quiere decir Tierra, y métrica, que significa medida, y se define como el estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio, como son las rectas, puntos, planos, polígonos, superficies, etc. Asimismo, esta rama de la matemática utiliza diversos instrumentos para llevar a cabo su estudio, como la regla, el compás, la escuadra y el transportador. Algunas de sus aplicaciones en física, mecánica, astronomía, cartografía, topografía o náutica, entre otras, han sido cruciales para el desarrollo de la humanidad. Además, cumple gran utilidad en la elaboración de diseños industriales, arquitectura, dibujo técnico o en la elaboración de artesanías.

En esta Unidad aprenderás a: Utilizar regla y compás en diversas construcciones. Construir ángulos y su bisectriz. Construir y reconocer rectas paralelas. Construir y reconocer rectas perpendiculares. Construir triángulos con regla y compás reconociendo las condiciones para su construcción. • Construir paralelogramos como el cuadrado y el rombo. • • • • •


3 Rectángulo áureo Le Corbusier fue un importante arquitecto, diseñador y pintor suizo nacionalizado francés, considerado como un gran teórico y de los más influyentes del siglo XX. La imagen que se aprecia es una casa diseñada por él, donde vemos el uso consciente del rectángulo áureo o dorado. Además se observa que el rectángulo existe tanto en el diseño completo superior, como en el área, verticalmente, a la izquierda de la escalera. Construcción del rectángulo áureo Es muy simple, sólo debes seguir los siguientes pasos: 1. Dibuja un cuadrado. 2. Tu dibujo lo divides por la mitad. 3. De las mitades traza una diagonal, de vértice a vértice 4. Toma un compás y ubica el centro en el vértice de la diagonal. Luego usa como radio la longitud de la diagonal y traza un arco. 5. Dibuja el rectángulo que resulta al lado del cuadrado.

¡Con la regla y el compás puedo dibujar una cancha de fútbol!

¡Y también un auto, un edificio o incluso diseñar un parque!


¿Cuánto recuerdo?

1. ¿Cuánto mide un ángulo agudo? 2. ¿Cuánto mide un ángulo obtuso? 3. ¿Cuánto mide un ángulo recto? 4. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?

5. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un pentágono? 6. Indica el nombre de todos los paralelogramos.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

7. Responde si es verdadero (V) o falso (F) cada afirmación: a). El cuadrilátero que no tiene lados paralelos es el trapezoide......... V F b). La suma de las medidas de un ángulo interior con su . exterior en un polígono es 180º....................................................................... V F c). Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de . un polígono es 540º podemos decir que es un hexágono............. V F d). Los ángulos opuestos por el vértice son de igual medida............... V F 8. Indica el complemento y el suplemento de cada ángulo dado: Ángulo 35º

Complemento

Suplemento

60º 75º

9. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un heptágono? a) 180º b) 540º c) 620º d) 720º

88

Unidad 3


3

1

Construcción de ángulos

Si observas dentro de tu colegio, en la plaza o en tu casa, te encontrarás con muchos objetos que cumplen las reglas de la geometría. Observa la imagen de la derecha, por ejemplo. ¿Podrías identificar ángulos, rectas paralelas, perpendiculares, triángulos y los famosos paralelogramos?

Uso de la regla y compás

La geometría clásica griega impuso como norma obligatoria para las construcciones el uso de la regla y el compás. La regla usada por Platón y Euclides difiere de la actual, pues no es una regla milimétrica, no poseía graduaciones ni calibraciones. Sin embargo, el compás de Euclides es similar al que usamos hoy en día.

Ap u n t es

La construcción con regla y compás consiste en trazar puntos, segmentos y ángulos de manera exacta, de forma que se facilita su medición posterior. El ángulo es la figura formada por dos rayos que tienen el mismo origen, llamado vértice. Los dos rayos son los lados del ángulo. o

lad

Uso del transportador El transportador es un aparato para medir ángulos y corresponde a un semicírculo graduado. Para usarlo, lo primero que debes hacer es identificar la recta del ángulo de cero grados (0º) que es la misma de 180º.

a vértice

lado

En el punto medio de esa recta se encuentra una marca que es la que se pone encima del vértice del ángulo, de modo que la línea de 0º quede sobre uno de los lados del ángulo y que los números del borde del transportador vayan creciendo hacia donde está el otro lado del ángulo. Si el otro lado es muy corto se debe prolongar para poder leer bien el número que queda por donde pasa esa recta. Ese número es la medida del ángulo en grados. 90

80

70

60

50

30 20

10

170 1 60 15 0

10 0 110

40

14 0

0 13

0 12

Construcciones geométricas

89


4

Rectas perpendiculares

Las rectas perpendiculares forman entre sí ángulos de 90º. Si A es perpendicular a B, se anota:

A

B

La construcción de edificios es la proyección vertical que se eleva sobre el plano o terreno. Es decir, un edificio es perpendicular al plano de la calle, ya que forma un ángulo de 90°.

¡Exactamente! La esquina del comedor mide 90º, son dos rectas perpendiculares.

¿Cómo construimos rectas perpendiculares? Observa que para construir dos rectas perpendiculares debes atender a los siguientes pasos:

Paso 1 Apoya la escuadra sobre la recta AB como lo muestra la figura.

A B D

Paso 2 Dibuja una recta CD sobre el otro lado de la escuadra tal como lo observas en la figura.

A B C

La recta que acabas de dibujar es perpendicular a la inicial. Es decir, CD es perpendicular a AB . 96

Unidad 3


3 ¿Cómo construimos triángulos conocidos sus 3 lados? Para construir un triángulo debes atender a los siguientes pasos:

Paso 1

c a) Se trazan los 3 segmentos conocidos AB, AC y BC que son los lados del triángulo.

A

B

b

A

C

a B

b) Dibujamos uno de sus tres lados. En éste caso AC.

C

A

C

Paso 2 Traza un arco con centro en A y abertura del compás igual a la medida de otro de sus lados, medida de AB como lo muestra la figura.

A

C

A

C

Paso 3 Traza otro arco con centro en C y abertura del compás igual a la medida del lado que falta (BC) de tal forma que este arco intersecte al arco anterior en el punto B.

B

Paso 4

c

a

Une los puntos de intersección de los arcos trazados con el punto A y luego con el punto C para obtener el ∆ ABC.

A

b

C

Importantísimo: para poder construir un triángulo conocidos sus 3 lados se debe cumplir siempre que la suma de las medidas de dos de sus lados debe ser mayor que la medida del tercer lado.

a+b>c a+c>b b+c>a Construcciones geométricas

99


Ejercicios de refuerzo Construcción de ángulos y bisectriz 1. Usa regla y transportador para construir el ángulo indicado y su respectiva bisectriz.

Construcción de rectas paralelas y perpendiculares

a) 25º

2. Dibuja dos rectas paralelas separadas por 4 cm y dos rectas perpendiculares a ellas separadas por 3 cm.

b) 44º

Construcción de triángulos 3. Dibuja un triángulo de lados 4 cm, 5 cm y 6 cm.

c) 100º

110

Unidad 3

4. Dibuja un triángulo equilátero de lado 3 cm.


3 5. Se tienen tres segmentos y se solicita lo siguiente:

8. Usa regla y compás para dibujar en tu cuaderno los siguientes paralelogramos con las medidas dadas:

4 cm

a) Medir cada segmento. b) Si las medidas anteriores cumplen las condiciones para construir un triángulo, dibújalo en tu cuaderno.

4 cm

c) Si lo pudiste dibujar, entonces clasifícalo según: i) La medida de sus lados _______________

6 cm

ii) La medida de sus ángulos _____________

Construcción de paralelogramos

6 cm

6. Dibuja un rectángulo de largo 8 cm y ancho 5 cm. 8 cm

8 cm

7. Dibuja un rombo de lado 6 cm y un ángulo interior que mida 60º.

7 cm

7 cm

9. Construye un rombo cuyos lados midan 10 cm y uno de sus ángulos interiores mida 45º. 10. ¿Es posible construir un paralelogramo con sus lados de igual medida?

Construcciones geométricas

111


La convivencia social: derechos, deberes y necesidades de la vida en sociedad

Ahora tú podrás • • • • •

78

Conocer los derechos y deberes que se derivan de la vida en sociedad. Conocer los derechos del niño aprobados por las Naciones Unidas en 1990. Reconocer y valorar la importancia de las normas en la convivencia social. Identificar las normas existentes en tu familia, colegio y ciudad. Reconocer y valorar la existencia de diversas autoridades preocupadas de velar por el cumplimiento de las normas de convivencia.


TEMA 1: Derechos y deberes derivados de yladeberes vida derivados en sociedad TEMA 1: Derechos de la vida en sociedad

Viviendo en una sociedad Los derechos y deberes de todos los hombres y mujeres son la base de la convivencia social, su respeto y cumplimiento son condiciones necesarias para lograr relaciones armónicas y en paz. Con el objetivo de organizar la convivencia, las distintas comunidades han establecido las normas o reglamentos, cuyo fin es resguardar el respeto a los derechos de todas las personas, y velar porque estas, a su vez, se responsabilicen y cumplan con sus deberes u obligaciones en los distintos grupos o comunidades en que viven y se desenvuelven.

Mis derechos y los derechos de quienes me rodean Todas las personas tienen derechos que deben ser respetados y satisfechos; por lo tanto, no se le pueden negar, independiente de cual sea el género, etnia, situación socio-económica o edad de cada cual. “Toda sociedad necesita que sus niñas y niños se desarrollen para convertirse en ciudadanos y ciudadanas responsables, capaces de contribuir al bienestar de sus comunidades.” MINEDUC

Escribe tres derechos que tú tienes. ___________________________________________________

¿Cómo se satisfacen estos derechos? ___________________________________________________

¿Quién o quiénes satisfacen estos derechos? ___________________________________________________

¿Por qué es importante para ti la satisfacción de estos derechos? ___________________________________________________

Como puedes ver, el respeto y la satisfacción de tus derechos y los de todos los niños y niñas por igual, es de gran importancia para que puedan crecer, estar sanos, educarse, disfrutar y acceder a los beneficios que entrega la sociedad. De este modo, podrán asumir de manera responsable los deberes y obligaciones que tienen con la comunidad que los rodea, y que tendrán en el futuro como ciudadanos de nuestro país y del mundo. Esta es la clave de una buena convivencia social. En 1990 las Naciones Unidas aprobó la Declaración de los derechos del Niño, a la que Chile suscribió junto a otros 57 países. Reflexiona. • Piensa qué derechos están implícitos en esta declaración.

80


3

Tengo derecho a que me respeten, no importa cual sea mi religión, etnia o condición física.

Tengo derecho a recibir un nombre y apellidos que me distingan de los demás niños y niñas.

Tengo derecho a vivir con mi familia, que me cuide, me alimente y que me quiera.

Tengo derecho a recibir educación.

Tengo derecho a descansar, jugar y divertirme.

Tengo derecho a recibir atención médica.

Tengo derecho a decir lo que pienso y lo que siento.

Tengo derecho a reunirme o formar grupos con otros niños y niñas.

Tengo derecho a no ser explotado en trabajos que me dañen.

81


Recursos para aprender Debes tener presente que una imagen, ya sea una pintura, una fotografía o una ilustración también corresponde a un texto, ya que se puede leer e interpretar la información que presentan.

Texto 1

El comentario de un texto Para comprender el contenido de un texto, se deben realizar los siguientes pasos: 1. En primer lugar, hay que leerlo sin interrupciones y muy lentamente. Es posible que para entenderlo bien sea necesario releerlo más de una vez, poniendo mayor atención en los trozos que resultan más difíciles. 2. Después de leerlo, se debe clasificar el texto según sus características. Por ejemplo: escrito, imagen, poema, prosa, que entrega instrucciones, que entrega información sobre temas diversos, etc. 3. En segundo lugar, una vez entendido el significado del texto, se debe explicar con una única frase de qué se trata dicho texto. 4. A continuación, se deben señalar las ideas principales que presenta el texto y su orden según secuencia, vale decir el orden en que aparecen. 5. Por último, hay que ver si el texto pretende dejar algún mensaje en concreto, o si solo se trata de un texto informativo.

Texto 2 Para que tu localidad se mantenga en orden, limpia y segura: “Circula por las calzadas y aceras cumpliendo las normas y las señales de tráfico, y respeta a las personas cuando circules por las calzadas y las aceras. Usa correctamente los basureros, los bancos y otros elementos de las calles. Evita las actividades ruidosas o peligrosas, tanto por tu seguridad como por la de las personas que te rodean”. A partir de los textos presentados, contesta las preguntas: 1. 2. 3. 4.

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¿A qué tipo de textos corresponden? Explica de qué se trata o cuál es el tema de estos textos. ¿Cuáles son las ideas principales del texto 2? Escribe en los siguientes casilleros las ideas principales según el orden o secuencia en qué aparecen en el texto 2. ¿Es posible establecer secuencia en el texto 1? Explica.


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