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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 1

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SOLIDARIDAD

Entre todos los amigos, aportando 6 € cada uno, íbamos a comprar un balón. Pero Iván y Jaime no pueden pagarlo, por lo que ahora tocamos a 10 €. ¿Cuántos amigos somos en la pandilla? ☛ ¿Cuánto les tocaría aportar entre Iván y Jaime? ¿Cuánto supone esa cantidad para cada uno de los restantes?

Hay x amigos, cada uno aporta 6 € → El balón cuesta 6x € Ahora hay x – 2 amigos, cada uno aporta 10 € → El balón cuesta 10(x – 2) € • ¿Cuánto iban a aportar entre Iván y Jaime? Entre Iván y Jaime iban a aportar 6 · 2 = 12 € • ¿Cuánto supone esa cantidad para cada uno de los restantes? Para cada uno supone 10 – 6 = 4 € más, luego: 12 = 4(x – 2) → x – 2 = 3 → x = 5 En total somos 5 amigos en la pandilla.

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A VUELTAS CON EL RELOJ

Divide la esfera del reloj en seis partes de forma que la suma de los números de cada parte sea la misma. ☛ ¿Cuánto suman todos los números de la esfera del reloj? ¿Cuánto sumará cada parte?

• ¿Cuánto suman todos los números de la esfera del reloj? Entre todos los números suman 78. • ¿Cuánto sumará cada parte? Cada parte sumará 78 = 13. 6

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CAPICÚAS

¿Cuál es la suma de todos los números capicúas comprendidos entre 6 000 y 7 000? ☛ Resuelve primero uno más fácil: ¿Cuál es la suma de los números capicúas menores que 100? Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 2

11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99 = = 11(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 11 · 1 + 9 · 9 = 495 2 Hacemos lo mismo con los números entre 6 000 y 7 000: 6 006 = 6 000

+6

6 116 = 6 000 + 100 + 10 + 6 6 226 = 6 000 + 200 + 20 + 6 6 336 = 6 000 + 300 + 30 + 6 6 446 = 6 000 + 400 + 40 + 6 6 556 = 6 000 + 500 + 50 + 6 6 666 = 6 000 + 600 + 60 + 6 6 776 = 6 000 + 700 + 70 + 6 6 886 = 6 000 + 800 + 80 + 6 6 996 = 6 000 + 900 + 90 + 6 Sumando todo nos queda: 10 · 6 000 + 100(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 10(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 6 + 7 + 8 + 9) + 10 · 6 = 6 000 + (100 + 10) · 1 + 9 · 9 + 10 · 6 = 2 = 10 · 6 000 + 110 · 45 + 60 = 65 010

(

4

)

MÁS CAPICÚAS

Todos los números capicúas entre 1 000 y 2 000 tienen un factor común. ¿Cuál es? Todos los números capicúas entre 1 000 y 2 000 son de la forma 1AA1, donde A puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9. 1AA1 = 1 + A · 10 + A · 100 + 1 · 1 000 = 1 · (1 + 1 000) + A(10 + 100) = = 1 001 + 110 · A 1001 = 91 · 11 → múltiplo de 11 110 = 10 · 11 → múltiplo de 11 Luego cualquier número de la forma 1AA1 es múltiplo de 11; 11 es el factor común.

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MUCHOS CEROS

¿En cuántos ceros termina el producto de los cien primeros números naturales? ☛ Si un número acaba en cero es múltiplo de 2 y de 5 una vez. ¿Y si acaba en dos ceros? ¿Y si acaba en tres ceros? Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 3

¿Cuántas veces está el factor 5? 5, 10, 15, 20, 25, 30, … Tantas como múltiplos de 5 (100 : 5 = 20) más tantas como múltiplos de 25 (aquí está el 5 dos veces como factor: hay 3). Por tanto, hay 23 factores 5. ¿Y cuántas veces está el 2? Evidentemente, más que 23. Por tanto, el factor 2 · 5 está 23 veces. El producto de los 100 primeros números naturales termina en 23 ceros.

6 ¡QUÉ ROLLO! Si mido este rollo de cuerda de dos en dos metros me sobra uno. Si lo mido de tres en tres me sobran dos, si lo mido de cuatro en cuatro me sobran tres, si lo hago de cinco en cinco me sobran cuatro, y si lo hago de seis en seis me sobran cinco. Sabiendo que tiene menos de 100 m, ¿podrías decirme su longitud? ☛ Transforma el enunciado del problema teniendo en cuenta que: •

2+ 1 = 2 – 1

3+ 2 = 3 – 1 • •

• •

4+ 3 = 4 – 1

5+ 4 = 5 – 1

6+ 5 = 6 – 1

Busco un número que sea 2, 3, 4, 5 y 6. El menor es 60 y el siguiente ya es mayor que 100. •

Por tanto, la longitud del rollo es de 59 m (60 – 2 y, por tanto, 2 – 1, 3 – 1, etc.).

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TIENE GEMELOS

Durante un largo viaje en tren, dos viajeros pasan el tiempo proponiéndose acertijos. Este es uno de ellos. A: Tengo tres hijos. El producto de sus edades es 36 y la suma de las mismas coincide con el número del asiento que usted ocupa. B: (Tras cavilar un rato…) Hay dos posibles soluciones, pero, dígame usted, ¿los gemelos son los dos mayores? A: No, son los dos pequeños. B: Entonces ya sé la solución. (Y acertó). Explica cómo lo ha conseguido y el porqué de su pregunta. ☛ ¿Cuáles son los divisores de 36? Prueba con un método para buscar los tríos que cumplen las condiciones del problema. ¿Cuánto suma cada trío? Dada la pregunta que hace el viajero, ¿cuál debía ser el número de su asiento? Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 4

De los divisores de 36, tomamos solo los positivos: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 EDADES

NÚMERO DE ASIENTO

= SUMA DE LAS EDADES

PRODUCTO

1, 6, 6

13

36

2, 2, 9

13

36

4, 1, 9

14

36

1, 3, 12

16

36

Las únicas dos sumas que coinciden corresponden a las edades: 1, 6, 6 y 2, 2, 9. Las edades son 2, 2, 9, ya que el individuo A asegura que los gemelos son los dos pequeños. Página 18

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HUELE A CHAMUSQUINA

Un panadero mete en el horno cinco bandejas de bollería, unas con magdalenas y otras con mantecados. En las bandejas hay 36, 15, 20, 8 y 17 piezas, respectivamente. Por un descuido, se le quema una de las bandejas. Ahora tiene el doble de mantecados que de magdalenas. ¿Qué bandeja se le ha quemado? ¿Cuántas magdalenas y cuántos mantecados tiene ahora? ☛ El número de mantecados y magdalenas que tiene ahora es múltiplo de 3.

Tenía, entre mantecados y magdalenas, 36 + 15 + 20 + 8 + 17 = 96 = 3 · 2 5, múltipo de 3 Si después de quemarse una bandeja le quedan x magdalenas y el doble, 2x, de mantecados, tendrá, en total, un número de piezas que será múltiplo de 3 (x + 2x = 3x). Por lo tanto, se le ha quemado una bandeja en la que hay un número de piezas que es múltiplo de 3, la de 36 o la de 15. • Si ha sido la de 15, le quedan 81 piezas, y deben ser 27 magdalenas y 54 mantecados. Con las bandejas que quedan no es posible conseguirlo. • Si ha sido la de 36, le quedan 60 piezas: 20 magdalenas (bandeja de 20) y 40 mantecados (bandejas 15, 8 y 7). Se le ha quemado la bandeja de 36 piezas, y tiene 20 magdalenas y 40 mantecados. Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 5

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RECTÁNGULO SIN DIMENSIONES

El área del rectángulo R es 4 m2, la del rectángulo S es 13 m2 y la del rectángulo T es 5 m2. A B ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD?

R

Si llamas x e y a las dimensiones de R, ¿cuáles son las dimensiones de S ? ¿Y las de T ?

T D

S

C

Planteamos igualdades con las áreas conocidas: ① x·y=4

x

z

y

R

S

② x·w=5

w

T

U

③ y · z = 13

A

B

D

C

④ w·z=U

Operando con estas igualdades podemos calcular el área pedida: Con ② y ③ obtenemos: x · z · w · y = 13 · 5 x·y=4  13 · 5 = 65  → 4 · U = 13 · 5 → U = w·z=U  4 4 El área total es: 4 + 5 + 13 + 65 = 88 + 65 = 153 = 38,25 m2 4 4 4 Las dimensiones no se pueden saber con estos datos; en realidad hay infinitos casos. Pero:

Veamos algunos 2

2

6,5

4

13 ← 8,5 · 4,5 = 38,25 m2

2,5

5

65/4

1

3,25

4

4

13

5

5

65/4

4,25 · 9 = 38,25 m2 ←

4

13

1

4

13

1,25

5

65/4 2,25 · 17 = 38,25 m2

Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 6

OTRA FORMA DE RESOLVERLO x

13 —x 4

R(4)

S(13)

T(5)

U

A y 5y — 4

D

B

C

(

)(

Puesto que los rectángulos R y S tienen el mismo ancho, sus largos están en la misma relación que sus áreas. Lo mismo les pasa a R y T. Por tanto, el área del rectángulo completo ABCD es:

)

x + 13 x · y + 5 y = 17 x · 9 y = 153 xy = 153 · 4 = 38,25 m 2 4 4 4 4 16 16

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UN EXTRAÑO SEGMENTO

Calcula la longitud de la diagonal del rectángulo que va de la esquina A a la B. A

5

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B 2

AB es la diagonal de un cuadrado de lado 5. — AB = √5 2 + 5 2 = √50 = 5 √2 ≈ 7,07

LA REGIÓN DEL CÍRCULO

Deduce la fórmula del área de la figura sombreada:

R α r

Área del círculo de radio R → πR 2 Área del círculo de radio r → πr 2 2 Área del sector circular de radio R y amplitud α → A1 = πR · α 360°

Área del sector circular de radio r y amplitud α →

2 A2 = πr · α 360°

2 2 Área de la figura sombreada → A = A1 – A2 = πα (R – r ) 360° Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 7

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LA ESTRELLA CIRCULAR

Halla el área de la parte sombreada: A1

2 A1 = 5 2 – π · 5 = A2 4

A3 l = 10 cm

A2

( ( )

= 25π – 25 = 25 π – 1 2 2

( )

Área zona sombreada = 4 · A3 = 100 π – 1 ≈ 57,08 2

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CUATRO IGUALES

Parte esta figura en cuatro piezas idénticas:

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RECOMPONER

Con dos cortes rectos parte la figura en tres piezas. Con ellas, construye un cuadrado.

Resolución de problemas

)

2 A3 = 5 2 – A1 – A2 = 5 2 – 2 5 2 – π · 5 = 4


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 8

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TENIS

Un profesor de tenis, en un entrenamiento, reparte tres pelotas a cada alumno y le sobran 11 pelotas. Al día siguiente lleva 20 pelotas más, con lo que cada uno recibe cinco y solo le sobra una. ¿Cuántos son los alumnos? ☛ ¿Cuántas pelotas hay de diferencia, entre entregar tres o entregar cinco a cada alumno?

Hay x alumnos. 3x + 11 = 5x + 1 – 20 → 2x = 30 → x = 15 Hay 20 alumnos.

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MÁS TENIS

¿Cuántos partidos hay que jugar para completar un campeonato de tenis, por eliminatorias, con 140 jugadores? ¿Y con n jugadores? ☛ Resuelve casos mucho más sencillos: 4 jugadores, 8, 12, 16, … Relaciona el número de partidos con el número de jugadores.

Probando con distintos casos se ve que Nº DE PARTIDOS

= Nº DE JUGADORES – 1

¿Por qué? En cada partido pierde un jugador y es eliminado. Cada jugador pierde un partido, salvo el que queda campeón.

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ALGARABÍA

Seis robots dialogan en la sala de espera del psiquiatra. Están aquejados de un extraño mal: solo dicen mentiras o solo dicen verdades. Todos se conocen perfectamente. Hablan los seis, por turno, y afirman: ① Aquí solo hay uno sincero. ② Al menos hay uno sincero. ③ Solo hay dos sinceros. ④ Al menos dos son sinceros. ⑤ Solo hay tres sinceros.  Al menos hay tres sinceros. ¿Podrías decir cuáles son los sinceros y cuáles los mentirosos? ☛ No puede haber un único sincero porque estarían diciendo la verdad los números ① y ②. ¿Puede haber dos únicos sinceros? Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 9

Descartando casos, podemos asegurar que todos mienten. Veámoslo: Llamamos V a decir la verdad y M a mentir. Si ① es V, entonces ② es V, entonces ① es M, porque ya habría dos V. Si Æ es V, entonces ② y ④ son V, entonces ③ es M, porque ya habría tres V. Si ƒ es V, entonces ②, ④ y ➄ son V, entonces ➄ es M, porque ya habría cuatro V. La primera conclusión que hacemos de todo esto es que ①, ③ y ➄ son M. Ahora cambiamos de proceder: • Supongamos que hay un solo V → Es imposible, porque ① sería V y no es cierto. • Supongamos que hay dos V → No puede ser, porque ③ sería V y no es cierto. • Supongamos que hay tres V → No puede ser, porque ➄ sería V y no es cierto. No puede haber más de tres V, porque solo hay seis robots y sabemos que tres de ellos son M. La única conclusión que se saca de todo esto es que todos son M.

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COLORES

El Sr. Pardo, el Sr. Verde y el Sr. Negro estaban almorzando juntos. Uno de ellos llevaba una corbata parda, otro una corbata verde y otro una corbata negra. —¿Se han dado cuenta —dijo el hombre de la corbata verde— de que aunque nuestras corbatas son de colores iguales a nuestros nombres, ninguno de nosotros lleva una corbata que corresponda a su nombre? —¡Tiene razón! —exclamó el Sr. Pardo. ¿De qué color era la corbata de cada uno? El Sr. Pardo puede llevar corbata negra o verde, pero quien habla primero la lleva verde, luego el Sr. Pardo lleva corbata negra. Así, el Sr. Verde lleva corbata parda y el Sr. Negro lleva corbata verde.

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EXPERIENCIA

Entre los 100 aspirantes a un determinado puesto de trabajo técnico, se descubrió que 10 nunca habían acudido a un curso de química o física. También se supo que 75 de los 100 habían recibido al menos un curso de química. Por último, se tuvo noticia de que 83 de las personas que deseaban optar al empleo habían realizado al menos un curso de física. ¿Cuántos de los aspirantes habían efectuado algún curso tanto en química como en física? Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 10

F → física Q → química

F y Q

Solo F

Solo Q 100

Ni F ni Q → 10

A algún curso habían acudido 100 – 10 = 90 Al menos un curso de Q → 75   Solo F → 90 – 75 = 15 A algún curso → 90  Al menos un curso de F → 83   Solo Q → 90 – 83 = 7 A algún curso → 90  Asistieron tanto a Física como a Química: 90 – (15 + 7) = 90 – 22 = 68

20 ¡TRAMPOSO! Informe de un empleado: — No de consumidores entrevistados: 100 — No de personas que beben café: 78 — No de personas que beben té: 71 — No de personas que beben té y café: 48 ¿Por qué despidieron al entrevistador?  78 beben café  78 – 48 = 30 beben solo café 48 beben café y té   71 beben té  71 – 48 = 23 beben solo té 48 beben café y té  SOLO CAFÉ

30

+ +

SOLO TÉ

23

+ +

CAFÉ TÉ

48

+

=

Nº DE ENTREVISTADOS

= 101

= 100

No coinciden. El entrevistador debió hacer mal las cuentas.

Página 20

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CON CUATRO CUATROS

Con cuatro cuatros, consigue tantos resultados como puedas. Por ejemplo: (44 – 4) : 4 = 10 (Puedes obtener los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y algunos más). Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 11

Por ejemplo: 0 = 44 – 44 1 = 44 : 44 2 = (4 : 4) + (4 : 4) 3 = (4 + 4 + 4) : 4 4 = √4 + √4 + 4 – 4 5 = [(4 · 4) + 4] : 4 6 = (4 + 4) : 4 + 4 7 = (44 : 4) – 4 8=4–4+4+4 9 = (4 : 4) + 4 + 4

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HAY ALGUNA DIFERENCIA

Supongamos que tienes un nuevo empleo, y el jefe te ofrece elegir entre: a) 4 000 € por tu primer año de trabajo, y un aumento de 800 € por cada año subsiguiente. b) 2 000 € por los primeros 6 meses y un aumento de 200 € por cada seis meses subsiguientes. ¿Qué oferta aceptarías? Razona tu respuesta. Hacemos una tabla con lo que ganaría cada año:

OFERTA

a)

OFERTA

b)

PRIMER AÑO

SEGUNDO AÑO

TERCER AÑO

4 000 €

4 800 €

5 600 €

2 000 + 2 200 =

2 400 + 2 600 =

2 800 + 3 000 =

= 4 200 €

= 5 000 €

= 5 800 €

La oferta b) es la mejor, supera, cada año, en 200 € a la oferta a). Si n es el número de años:

23

OFERTA

a) →

SUELDO

= 4 000 + 800(n – 1)

OFERTA

b) →

SUELDO

= 2 · 2 000 + 200(4n – 3)

PALILLOS

a) Suprime tres palillos del gráfico de modo que solo queden tres cuadrados. b) ¿Se puede conseguir que queden tres cuadrados suprimiendo solo dos palillos?

Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 12

a)

b)

Dos cuadrados de lado 1 palillo y un cuadrado de lado 2 palillos.

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MÁS PALILLOS

Mueve tres palillos y forma cuatro cuadrados iguales:

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LOS BALONES

En la clase de educación física hemos colocado los 9 balones que teníamos en 4 cajas, de forma que cada una contenía un número impar de balones y en ninguna había el mismo número de balones. ¿Cómo lo hemos hecho?

26 ¿ES LO MISMO? a) ¿Cuántas monedas hemos de mover para consegir que queden las tres de 10 céntimos a la izquierda y las tres de 1 € a la derecha?

b) ¿Cuántas copas hemos de mover para conseguir que queden tres con zumo a la izquierda y tres vacías a la derecha?

Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 13

a) Dos monedas. Se intercambian la moneda de 1 € que ocupa el segundo lugar con la moneda de 10 céntimos que ocupa el quinto lugar. b) Solo una. Se coge la copa que están en el quinto lugar y se vierte el zumo en la que ocupa el segundo lugar.

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MENUDO TRAJÍN

Una moto gasta 5 l de gasolina en recorrer un tramo de carretera situado entre dos puntos (observa el dibujo). En el depósito caben 10 l y puede llevar un bidón de 5 l en el sillín. ¿Cómo harías para recorrer esta carretera con la moto? (En las gasolineras, G, puedes llenar el depósito y comprar bidones de 5 l ). ¿Cuántos litros de gasolina necesitarías para llegar de una gasolinera a otra distante n tramos?

☛ Para recorrer cuatro tramos, tendrás que ir previamente a dejar un bidón en algún punto intermedio de la carretera. Para resolver el problema para cinco tramos, ¿te ayudaría haberlo resuelto primero para cuatro?

• Supongamos tres tramos entre gasolineras: ①

G1

G2

Es claro que hace dos tramos con los 10 litros y llena el depósito con su bidón para hacer el último tramo que le queda. • Supongamos cuatro tramos entre gasolineras: ① G1

③ G2

Sale de G1 con 10 litros y el bidón llega a ①, deja el bidón y vuelve a G1 a comprar otro y rellenar su depósito. Sale de nuevo de G1 y llega a ① con 5 litros en el depósito y un bidón, llena el depósito con el bidón que había dejado y sale hacia G2. Solo le quedan tres tramos y puede hacerlo como vimos antes. Resolvemos el problema considerando casos más sencillos: entre gasolinera y gasolinera hay tres tramos, cuatro tramos, cinco tramos… ① TRES TRAMOS Es fácil ver que tres tramos se pueden recorrer con 15 litros, los diez del depósito más los cinco del bidón. Resolución de problemas


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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Pág. 14

② CUATRO TRAMOS A G1

G2

Si conseguimos estar en el punto A en las condiciones de ① TRES TRAMOS, con el depósito lleno y un bidón, el problema está resuelto. TRAMOS

LITROS

RECORRIDOS

GASTADOS

1

5

1

5

1

5

3

15

6

30

Salimos de G1 con el depósito lleno y un bidón. Dejamos el bidón en A. Regresamos a G1 y rellenamos todo. Vamos a A. Rellenamos el depósito con uno de los dos bidones. Estamos en las condiciones iniciales de ① y ya podemos llegar al final.

Observamos que para recorrer cuatro tramos son necesarios 30 litros, problema que se reduce a partir de G1 con el depósito lleno más cuatro bidones. ③ CINCO TRAMOS G1 B

G2

Si conseguimos tener en B cuatro bidones y el depósito lleno, el problema está resuelto.

Repitiendo el proceso para otros números de tramos, obtendríamos: NÚMERO DE TRAMOS ENTRE LAS GASOLINERAS: NÚMERO DE TRAMOS QUE TIENE QUE RECORRER: NÚMERO DE LITROS GASTADOS

k

3

4

5

6

F(k)

3

6

15

42

15

30

75

210

El número de tramos que hay que recorrer viene expresado por la siguiente sucesión: 3; 3 · 3 – 3 = 6;

3 · 6 – 3 = 15;

3 · 15 – 3 = 42…

f (k + 1) = 3f (k) – 3, cuyo término general se puede expresar así: n–1 + 3 , para n = 0, 1, 2, … an + 3 = 3 2

Y el número de litros de gasolina necesarios puede expresarse por esta sucesión: n–1 + 3 · 5, para n = 0, 1, 2, … bn + 3 = 3 2

Resolución de problemas


Resolución de problemas 2