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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 1

Página 12 INTENTAMOS SACARLE MÁS PARTIDO AL PROBLEMA

Alternativa 1. ¿Y si la cuerda tuviera 12 m de largo?

Área = 3 π · 122 + 1 π · 72 + 1 π · 22 = 4 4 4 2 = 380,92 m

12 m

12 m

2m 10 m

El caballo podría comer 380,92 kg de hierba.

5m

7m

Alternativa 2. La cuerda tiene 15 m de largo.

Área = 3 π · 152 + 1 π · 102 + 1 π · 52 = 4 4 4 2 = 628,32 m

15 m

5m 10 m

15 m 5m

El caballo podría comer 628,32 kg de hierba.

10 m 10 m

Alternativa 3. La cuerda tiene 15 m y está sujeta en el centro del lado largo.

Área = 1 π · 152 + 1 π · 102 + 1 π · 52 = 2 2 2 2 = 549,78 m

15 m

10 m

10 m 5m 10 m 5m

Resolución de problemas

5m

El caballo podría comer 549,78 kg de hierba.


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 2

R E S U E LV E

1 Un constructor ha comprado tres parcelas cuadradas e iguales de 22 metros de lado. Las parcelas son colindantes y están alineadas. 22 m 22 m

¿Cuánto le costará cercar el terreno con una alambrada que viene en rollos de 20 metros a 85 € el rollo? Perímetro = 22 · 8 = 176 m 176 : 20 = 8,8 rollos necesitaría para cercar el terreno Tendrá que comprar 9 rollos. Por tanto, le costará: 85 · 9 = 765 €

2 Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal coincide con el lado de otro cuadrado de 10 m2 de superficie. l

• El área del cuadrado de lado d es: A1 = d 2 = 10 m2

l

d

• El área del cuadrado de lado l es la mitad del área del cuadrado de lado d. Por tanto: 10 m2

d

A2 = l 2 = 10 : 2 = 5 m2 El área del cuadrado de lado l es de 5 m2.

3 Cortando las esquinas de un triángulo equilátero se puede obtener un hexágono regular. ¿Cuál será el área de ese hexágono si la del triángulo original era de 90 m2? El hexágono ocupa 6 = 2 del área del triángulo. 9 3 Por tanto, su área es: A = 2 · 90 = 60 m2 3 Resolución de problemas


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 3

4 Tres de los vértices de un hexágono regular coinciden con los vértices de un triángulo equilátero de 20 cm2 de superficie. ¿Cuál es la superficie del hexágono?

El área del triángulo es la mitad del área del hexágono. Por tanto: Área del hexágono = 20 · 2 = 40 cm2

Página 13 R E S U E LV E

1 Una liebre lleva 12 de sus saltos de ventaja al galgo que la persigue. Dos saltos de galgo equivalen, en longitud, a tres saltos de liebre. El galgo tarda en dar tres saltos lo mismo que la liebre en dar cuatro. ¿Cuántos saltos dará la liebre antes de ser alcanzada? VENTAJA INICIAL → 12 SALTOS DE LIEBRE

G

L VENTAJA DESPUÉS DE TRES SALTOS DE GALGO

2 saltos de galgo equivalen a 3 de liebre → 1 salto de galgo equivale a 1,5 saltos de liebre. Sobre el esquema vemos que el galgo, en cada 3 saltos, reduce la distancia en 1 2 salto de liebre. Por tanto, el galgo alcanzará a la liebre en 12 : 1 = 24 grupos de 3 saltos; es de2 cir, en 24 · 3 = 72 saltos. La liebre da 24 grupos de 4 saltos; es decir, 24 · 4 = 96 saltos.

2 He gastado en un CD las tres cuartas partes del dinero que llevaba. Después he ido al cine y me he gastado dos tercios de lo que me quedaba. Si aún tengo 2 €, ¿cuánto llevaba al principio? Resolución de problemas


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Observando el esquema, vemos que el dinero que llevaba era: CD

12 · 2 = 24 €

CINE

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2€

3 Un labrador ara por la mañana dos quintas partes de un campo. Por la tarde vuelve al trabajo y ara un tercio de lo que quedaba. Sabiendo que aún falta por arar media hectárea, ¿cuál es la superficie del campo? 2 del campo es 1 ha → 5 2 → 1 del campo es 1 ha → 5 4 → 5 del campo es 5 ha 5 4 Superficie del campo = 5 ha = 1,25 ha 4

1/2 ha

MAÑANA

TARDE

4 Un hacendado contrata a un sirviente por un sueldo anual de once monedas de oro y un caballo. A los cuatro meses, el sirviente se despide, recibiendo el caballo y una moneda.

1 año 4 meses

¿Cuál era el valor del caballo? Si por un cuatrimestre (4 meses) recibe 1 caballo y 1 moneda; por los otros dos cuatrimestres del año, recibirá 10 monedas de oro. Por tanto, por 1 cuatrimestre le corresponden 10 : 2 = 5 monedas de oro. Así, el caballo vale 4 monedas de oro.

5 Un hacendado contrata a un sirviente por un sueldo anual de 1 capa y 25 monedas de oro. A los cinco meses se despide. Recibe como pago la capa y cuatro monedas. ¿En cuántas monedas de oro se está valorando la capa? Si por 5 meses recibe 1 capa y 4 monedas, por los otros 7 meses le corresponderían 21 monedas de oro. Así: 21 : 7 = 3 monedas de oro le corresponden por un mes. 3 · 5 = 15 monedas de oro le corresponden por 5 meses. Por tanto, la capa está valorada en 11 monedas de oro. Resolución de problemas


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 5

Página 14 De los 30 alumnos y alumnas de una clase, 15 declaran ser aficionados al rock, y 13, al bacalao. Hay 6 de ellos que son aficionados a ambos ritmos musicales. ¿Cuántos no son aficionados ni a lo uno ni a lo otro?

;; ; ; ;;;;; ;;;

;; ;;;;; ;;;;; ; ; ;;; ; Resolución Rock

Bacalao

6

• ¿A cuántos les gusta solamente el bacalao?

;;;;; ;;;;;

; ; ;;;;; ;;;

Ni rock ni bacalao

• ¿A cuántos les gusta solamente el rock?

15 – 6 = 9 son aficionados solamente al rock

13 – 6 = 7 son aficionados solamente al bacalao

9 + 6 + 7 = 22 son aficionados al rock o al bacalao (o a ambos)

30 – 22 = 8 no son aficionados ni al uno ni al otro

Rock

9

6

Bacalao

7

8

30

R E S U E LV E

1 Tres amigos apellidados Ruiz, Roig y Arranz tienen cada uno una hermana. Con el tiempo, cada uno termina saliendo con la hermana de uno de sus amigos. En cierta ocasión, Ana Ruiz se encuentra con Pablo Roig y le comenta: —Ayer estuve de compras con tu novia. ¿Podrías decir cómo se han formado las parejas? CHICAS

☛ Pon todo lo que sabes en

ANA RUIZ

• Tachando las casillas imposibles y razonando un poco, se alcanza con facilidad la solución.

CHICOS

una tabla:

ROIG

ARRANZ

RUIZ PABLO ROIG ARRANZ

CHICAS

CHICOS

ANA RUIZ RUIZ

ROIG

ARRANZ

Parejas: • Chico

RUIZ

con chica

ROIG.

PABLO ROIG

• Pablo ROIG con chica ARRANZ.

ARRANZ

• Chico ARRANZ con Ana RUIZ.

Resolución de problemas


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 6

2 Se ha hecho una encuesta a todos los integrantes de un club deportivo y ha resultado que: — Treinta y siete son aficionados al baloncesto, 25 al fútbol y 17 al ajedrez. — Hay 8 aficionados al fútbol y al baloncesto simultáneamente, 5 al baloncesto y al ajedrez, y 3 al fútbol y al ajedrez. — Solo hay un miembro que practica los tres deportes, y, sin embargo, hay 37 que no practican ninguno de ellos. ¿Cuántos miembros tiene el club?

;;; ;;;

; ; ; ; ; ;;; ; ; ;;;

;;;;; ;;;;; ; ;

Organizamos la información en un diagrama: Baloncesto

7

25

Ajedrez

15

1

4

Fútbol

2

10

El número total de miembros es: 25 + 7 + 1 + 4 + 15 + 2 + 10 + 37 = 101

37

CLUB

3 Un matrimonio viaja en su coche con su hija de 12 años y su hijo de 2 años. Cada uno se entretiene en el viaje con una actividad diferente: conducir, dormir, leer y comer. El padre ni duerme ni lee. La madre, si lee, se marea, y jamás come en los viajes. Si el niño está despierto, no deja leer a su hermana. ¿Qué actividad realiza cada uno? Pongamos todo lo que sabemos en una tabla: PADRE

MADRE

HIJA

HIJO

CONDUCE LEE COME DUERME

El padre come, la madre conduce, la hija lee y el hijo duerme. Página 15 Para embellecer un paseo recto, se coloca, a lo largo de su línea central, una fila de jardineras hexagonales, rodeadas de baldosas de la misma forma. Se desea saber el número de baldosas necesarias para colocar una hilera de 20 jardineras. Resolución de problemas


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 7

Resolución • Empezaremos experimentando con casos sencillos: ¿Cuántas baldosas se necesitan para una jardinera? ¿Y para dos jardineras? ¿Y para tres?…

• Y recogeremos los resultados en una tabla: JARDINERAS

1

2

3

4

5

… 20 …

n

BALDOSAS

6

10

?

?

?

?

?

• Completa las primeras casillas y trata de encontrar la relación entre el número de jardineras y el de baldosas. JARDINERAS

1

2

3

4

5

… 20 …

n

BALDOSAS

6

10 14 18 22 … 82 … 2 + 4n

Para 20 jardineras serán necesarias 82 baldosas. En general, para n jardineras son necesarias 2 + 4n baldosas. R E S U E LV E

1 En el palacio de las habitaciones mágicas, cada vez que pasas por una puerta, esta se cierra, se bloquea y ya no puede volver a abrirse. Por eso tienes que tener cuidado, ya que en algunas habitaciones te puedes quedar dentro. ¿Cómo son las habitaciones en las que te puedes quedar encerrado? ☛ Estudia distintas habitaciones: UNA PUERTA

DOS PUERTAS

TRES PUERTAS

Sigue probando y saca conclusiones.

Estudiamos las habitaciones según el número de puertas que tenga cada una: 1 PUERTA

2 PUERTAS

3 PUERTAS

4 PUERTAS

5 PUERTAS

DENTRO

FUERA

DENTRO

FUERA

DENTRO

Resolución de problemas


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 8

Por cada vez que entras, necesitas otra puerta para poder salir. Por tanto, si las habitaciones tienen un número impar de puertas, te puedes quedar encerrado. Si el número de puertas es par, quedas libre.

2 ¿Cuántos palillos se necesitan para construir una estructura como la de la ilustración, pero que tenga, en vez de tres, veinte celdillas de ancho? ¿Y si tuviera n celdillas de ancho? Hagamos una tabla: N-º DE CELDILLAS N-º DE PALILLOS

1

2

3

4

… 20 …

n

12 20 28 36 … 164 … 4 + 8n

Si queremos formar 20 celdillas, necesitaremos 4 + 8 · 20 = 164 palillos. En general, para n celdillas serían necesarios 4 + 8n palillos.

3 ¿Cómo medirías 3 litros de agua si estuvieras junto a una fuente y dispusieras exclusivamente de un cántaro de 9 litros y de otro de 5 litros?

5 litros 9 litros

• Llenamos el cántaro de 9 l y con él llenamos el de 5 l →

4l

• Vaciamos el de 5 l y en él ponemos los 4 l del grande →

0l

• Llenamos el grande y con él, lo que faltaba al pequeño →

8l

• Vaciamos el pequeño y lo llenamos con lo que hay en el grande →

3l

Ya tenemos los 3 litros en el cántaro grande. Página 16 R E S U E LV E

1 De un montón de 20 cerillas, dos jugadores van retirando, alternativamente, 1, 2 ó 3 cerillas. Pierde el último que se lleve cerillas. ¿Cuál es la estrategia ganadora? Resolución de problemas

5l

4l

5l

5l


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 9

¿Qué número de cerillas ha de recibir el jugador A en el último turno para poder dejar sobre la mesa una única cerilla? A gana si sobre la mesa tiene 2, 3 ó 4 cerillas, porque en estos casos retira 1, 2 ó 3, respectivamente, y deja una única cerilla, que habrá de coger su contricante. Para que le dejen 2, 3 ó 4 cerillas, él debió dejar antes 5. Y él dejará 5 si anteriormente le habían dejado 6, 7 u 8. Y así sucesivamente. Veámoslo en un gráfico: A A LE DEJAN

A DEJA 1

2ó3ó4

–4 5

6ó7u8

–4 9

10 ó 11 ó 12

–4 13

14 ó 15 ó 16

–4 17

20

La estrategia ganadora consiste en dejar en la primera ocasión 17 cerillas y cuando el compañero coge x cerillas, coger, en la baza siguiente, 4 – x. Por ejemplo: A 20 – 3 = 17 B

15 – 2 = 13 17 – 2 = 15

10 – 1 = 9 13 – 3 = 10

6–1=5 9–3=6

3–2=1 5–2=3

Página 17 R E S U E LV E

2 ¿Cuántos ayudantes necesitará el aventurero del problema anterior para poder cruzar el desierto en solo 6 jornadas? (Los ayudantes no han de llegar al destino. Solo transportan agua y regresan, pero ¡atención!, también necesitan beber a la vuelta). El aventurero puede hacer el camino de 6 días teniendo en cuenta que en el día 2 tiene que partir, como mínimo, con 4 cantimploras. Necesita, para ello, 4 ayudantes (más él mismo). Resolución de problemas


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 10

Las jornadas transcurrirán así: Inicio: Parten con 20 cantimploras. Día 1: Les quedan 15 cantimploras. Se da la vuelta un ayudante y se lleva 1 cantimplora para el camino. Quedan 4 personas y 14 cantimploras. Día 2: Les quedan 10 cantimploras. Se dan la vuelta tres ayudantes y se llevan 2 cantimploras cada uno. El aventurero se queda solo y tiene 4 cantimploras para hacer el resto del camino en 4 días más. Página 18 PROBLEMAS

1 ¿Cuánto debe pagar Laura por un refresco y dos hamburguesas? ¿Qué le debo?

Yo he pagado 3,5 €.

Lo mío han sido 6 €.

• Veamos cuánto cuesta 1 refresco. (Representaremos H = hamburguesas, R = refresco): H + R = 3,50  Restando → 2R = 6 – 3,50 = 2,50  H + 3R = 6  R = 2,50 : 2 = 1,25 € cuesta 1 refresco • Veamos cuánto cuesta 1 hamburguesa: H + R = 3,50   → H = 3,50 – 1,25 = 2,25 € cuesta 1 hamburguesa R = 1,25  • Por tanto, por un refresco y dos hamburguesas, Laura tendrá que pagar: 1,25 + 2 · 2,25 = 5,75 € Resolución de problemas


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 11

2 Varios clientes hacen la compra en la charcutería. Antonio paga 9,50 € por 200 gramos de jamón y 300 gramos de mortadela. Doña Rosa pide un cuarto de kilo de jamón, y abona 2,50 €. ¿A cuánto ascenderá la cuenta de María, que ha pedido 150 gramos de jamón y un cuarto de kilo de mortadela? • 250 g de jamón = 2,50 € → 50 g de jamón = 0,50 € • 200 g de jamón + 300 g de mortadela = 2 € + 300 g de mortadela = 9,50 € → 300 g de mortadela = 9,50 – 2 = 7,50 € → 100 g de mortadela = 7,50 : 3 = 2,50 € • 150 g de jamón = 0,50 · 3 = 1,50 € 250 g de mortadela = 2,50 · 2,5 = 6,25 € • Total compra de María → 1,50 + 6,25 = 7,75 €

3 Observa y resuelve:

A B A

200 g

B A B

A

B

B B B A A A

A B

175 g

2A + B = 200 g  Sumando todo → 3A + 3B = 375 g  A + 2B = 175 g  Dividiendo entre 3 → A + B = 125 g 2A + B = 200 g  Restando → A = 200 – 125 = 75 g   A = 75 g   →  A + B = 125 g  B = 125 – A = 125 – 75 = 50 g   B = 50 g

4 Un joyero consigue una rebaja de 140 € en la compra de 16 broches iguales, cuyo precio, según el catálogo, es de 87,5 € cada unidad.

¿A cuánto debe vender cada uno si desea obtener una ganancia total de 500 €? 87,5 · 16 = 1 400 € cuestan los 16 broches según el catálogo 1 400 – 140 = 1 260 € paga por los 16 broches 1 260 + 500 = 1 760 € debe recaudar en total por la venta 1 760 : 16 = 110 € debe vender cada broche Resolución de problemas


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 12

5 Dos hermanos rancheros se reparten una herencia a partes iguales. El primero invierte su parte en la compra de una manada de 80 caballos. El segundo compra, con la suya, un rebaño de 100 vacas. Sabiendo que un caballo cuesta 50 € más que una vaca, ¿a cuánto ascendía la herencia? • Como 1 CABALLO = 50 € + 1 VACA, la diferencia de precio entre 80 caballos y 80 vacas es: 80 · 50 = 4 000 € → 20 vacas cuestan 4 000 € → 1 vaca cuesta 4 000 : 20 = 200 € • 1 caballo cuesta 200 + 50 = 250 € • 80 caballos cuestan 80 · 250 = 20 000 € • 100 vacas cuestan 100 · 200 = 20 000 € • Por tanto, la herencia ascendía a 20 000 + 20 000 = 40 000 €

6 Un automóvil y un camión parten simultáneamente de una población, por la misma carretera, pero en sentidos opuestos. La velocidad del coche es de 120 km/h, y la del camión es de 90 km/h. ¿Qué distancia los separará al cabo de 10 minutos? 120 + 90 = 210 km les separarían al cabo de 1 hora. 10 min = 10 h = 1 h 60 6 Al cabo de 10 minutos, les separará una distancia de: 1 · 210 = 210 = 35 km 6 6

7 Dos ciclistas parten del mismo lugar, a la misma hora y en el mismo sentido. Sus velocidades respectivas son de 30 km/h y 24 km/h. ¿Qué ventaja le sacará el primero al segundo cuando haya transcurrido una hora y cuarenta minutos? En una hora → 30 – 24 = 6 km 40 2 40 min = ––– = — h 60 3 2 — · 6 = 4 km 3

   → Ventaja = 6 + 4 = 10 km  

8 Entre Ramiro y Roger tienen 1 255 €. Entre Ramiro y Rita tienen 1 305 €. Entre Rita y Roger tienen 1 390 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? ☛ 1 255 + 1 305 + 1 390 = 3 950 €. ¿Qué significado tiene cada cantidad? Resolución de problemas


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 13

Ramiro → R Roger → G Rita → A (R + G) + (R + A) + (A + G) = 1 255 + 1 305 + 1 390 = 3 950 14444244443 2R + 2G + 2A = 2(R + G + A) Entre los tres tienen 3 950 : 2 = 1 975 €   Rita tiene 720 € R + G = 1 255 €  R + G + A = 1 975 €   Roger tiene 670 € R + A = 1 305 €  Ramiro tiene 1 975 – 720 – 670 = 585 €

9 Amelia regala a Julio un tercio de su colección de sellos, y da la mitad de los

AL M U D EN A

JU LI O

restantes a su hermana Almudena. De los sellos regalados, la cuarta parte era de Europa, y 210, del resto del mundo. ¿Cuántos sellos ha regalado a Almudena? 1 para Julio 3 2 : 2 = 1 para Almudena 3 3

1 Europa → 3 resto mundo = 210 4 4 3 son 210 → 1 son 70 4 4 Ha regalado 4 , y 1 son 70 → Ha regalado 280 sellos en total. 4 4 280 : 2 = 140 sellos ha regalado a Almudena. Página 19

10 Marta compra tres tortas, y Beatriz, dos. Cuando van a merendar, se les une su amiga Verónica, que no trae tortas. A la hora de compartir gastos, a Verónica le toca poner 5 €. ¿Cómo se repartirán esos 5 € Marta y Beatriz? ☛ Imagina cada torta partida en tres. Resolución de problemas


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 14

MARTA

BEATRIZ

A cada una le corresponden 15 : 3 = 5 trozos. Marta tiene 9 trozos. Le da 4 trozos a Verónica. Beatriz tiene 6 trozos. Le da 1 trozo a Verónica. Verónica da 1 € por cada trozo que le corresponde. A Marta le tocan 4 € y a Beatriz, 1 €.

11 La media de las edades de Rosa, Carol y Pilar es de 12 años. ¿Cuál será la media si incluimos, además, a Pepa, la hermana de Carol, que tiene 16 años? Entre Rosa, Carol y Pilar tienen 12 · 3 = 36 años. Entre Rosa, Carol, Pilar y Pepa tienen 36 + 16 = 52 años. La media será 52 : 4 = 13 años.

12 Las edades que tienen un padre y su hijo suman 100 años. 100 años

Cuando el padre tenía la edad que hoy tiene el hijo, sus edades sumaban 56 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

56 años

Desde que el padre tenía la edad que hoy tiene el hijo, han transcurrido: (100 – 56) : 2 = 22 años PADRE

22

HIJO

Hace 22 años, el padre tenía la edad que tiene hoy el hijo.

22

100 años

En el esquema vemos que 100 – 22 es el doble de la edad actual del hijo. Por tanto: • El hijo tiene ahora (100 – 22) : 2 = 39 años. • El padre tiene 100 – 39 = 61 años. Resolución de problemas


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 15

13 En una fiesta se reúnen 25 personas. Marta baila con 6 chicos, Rosa, con 7, Amanda, con 8, y así todas las chicas, hasta Lola, que baila con todos. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas había en la fiesta? 1-ª chica baila con 6 chicos → 1 + 6 = 7 personas 2-ª chica baila con 7 chicos → (1 + 1) + 7 = 2 + 7 = 9 personas 3-ª chica baila con 8 chicos → 3 + 8 = 11 personas … 9-ª chica baila con 14 chicos → 9 + 14 = 23 personas 10-ª chica baila con 15 chicos → 10 + 15 = 25 personas En la fiesta había 10 chicas y 15 chicos.

14 Esteban, Manolo y Enrique se ponen a contar de tres en tres, diciendo cada uno un número, por turnos:

3

ESTEBAN

6

9

MANOLO

ENRIQUE

¿Quién dice 192? Explica tu respuesta. Los números que dicen se pueden expresar como producto de 3 por otro número: 3=3·1

6=3·2

9=3·3

12 = 3 · 4

192 = 3 · 64

Así: Esteban → 3 · 1 3 · 4 3 · 7 3 · 10 Manolo → 3 · 2 3 · 5 3 · 8 Enrique → 3 · 3 3 · 6 3 · 9

  

En la fila de Esteban, todos los números que multiplican a 3 (4, 7, 10,…), al dividirlos entre 3 dejan un resto 1. En la fila de Manolo, dejan un resto 2 (5, 8, 11,…) al dividirlos entre 3. En la fila de Enrique, dejan un resto 0 (3, 6, 9,…) al dividirlos entre 3. Teniendo en cuenta que 192 = 3 · 64 y que 64 = 3 · 21 + 1 (el resto que deja 64 al dividirlo entre 3 es 1), el número 64 estará en la fila de Esteban. Por tanto, Esteban será el que diga 192. Resolución de problemas


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 16

15 Escribe un número de dos cifras. Escribe otro número que tenga las mismas cifras, pero cambiadas de orden. Resta ambos números. ¿Puedes decir por qué esa diferencia es siempre múltiplo de 9? Por ejemplo: 32 – 23 = 9 53 – 35 = 18 92 – 29 = 63 Podemos descomponer AB y BA así: AB = B + 10 · A

BA = A + 10 · B

Restamos: AB – BA = B + 10 · A – A – 10 · B = 9A – 9B = 9 · (A – B) que es, siempre, múltiplo de 9.

16 Escribe el año de tu nacimiento. Réstale la suma de sus cifras. El número resultante es múltiplo de 9. ¿Ocurre lo mismo con los años de otros amigos? ¿Puedes explicar por qué? Un número de cuatro cifras se puede descomponer así: ABCD = D + C · 10 + B · 100 + A · 1 000 ABCD – (A + B + C + D) = D + 10C + 100B + 1 000A – A – B – C – D = = 9C + 99B + 999A = 9 · (C + 11B + 111A) Es, siempre, múltiplo de 9.

17 Una cuadrilla de vendimiadores trabaja media jornada en una viña. Por la tarde, la mitad pasa a otra viña, que es la mitad de grande que la anterior, y todos trabajan hasta el final de la jornada. De esta forma han terminado de vendimiar la viña grande, y queda un trozo de la pequeña, que acaba un solo vendimiador en una jornada completa. ¿Cuántas personas componen la cuadrilla? VIÑA GRANDE:

Todos media jornada → 1 de la cuadrilla a jornada completa. 2 La mitad media jornada → 1 de la cuadrilla a jornada completa. 4 Resolución de problemas


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 17

VIÑA PEQUEÑA:

La mitad media jornada → 1 de la cuadrilla a jornada completa. 4 Más 1 vendimiador a jornada completa. 1 + 1 = 3 de la cuadrilla a jornada completa es el doble de 1 de la cuadrilla 2 4 4 4 a jornada completa más 1 vendimiador. 3 — de cuadrilla 4

( )

doble

3 → 2 1 +1 4 4 1 de la cuadrilla = 2 vendimiadores 4 Hay 4 · 2 = 8 vendimiadores.

doble +

1 — de cuadrilla 4

Página 20

18 Un padre repartió entre sus hijos un rebaño de ovejas. El mayor se llevó una oveja más 1/7 de las restantes. Al segundo le correspondieron dos ovejas más 1/7 de las restantes. Al tercero, tres ovejas más 1/7 de las que quedaban, y así, sucesivamente, hasta el más pequeño. De esta manera, todos recibieron la misma herencia y no sobró ninguna oveja. ¿Cuántos hermanos eran? ¿Cuántas ovejas había en el rebaño? Llamaremos n al número de hijos. El último recibe n ovejas más 1 del resto y se termina el reparto y también el 7 rebaño. Así que ese resto era cero. Recibe, pues, n ovejas. El antepenúltimo recibe n – 1 ovejas más 1 del resto. 7 Como los dos reciben los mismo, 1 del resto será una oveja y los dos tendrán n. 7 Por tanto, 6 de ese resto son 6 ovejas, que es lo que recibe el último. 7 Así, n = 6. HABÍA SE LLEVA QUEDAN

1-º 36

2-º 30

3-º 24

4-º 18

5-º 12

1 + 35/7 = 6 2 + 28/7 = 6 3 + 21/7 = 6 4 + 14/7 = 6 5 + 7/7 = 6 30 24 18 12 6

Resolución de problemas

6-º 6 6 + 0/7 = 6 0


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 18

19 La altura media de los jugadores que están en cierto momento en la cancha de un equipo de baloncesto es de 197 cm. El entrenador sienta a Mágico González, que mide 208 cm, y saca a la pista a Miguel Larguillo, que mide 203 cm. ¿Cuál es ahora la altura media del equipo que está en la pista? El jugador que entra tiene 5 cm menos que el que sale. Esa diferencia, repartida entre los cinco que hay en la pista, es de 1 cm. La media, después del cambio, es 1 cm menos que antes del cambio. Por tanto, después del cambio la estatura media de los jugadores que están en la cancha es de 196 cm.

20 Por término medio, 5 policías municipales tardan 5 minutos en poner 5 multas. ¿Cuánto tiempo emplearán 10 policías municipales en poner 10 multas? Si 5 policías tardan 5 minutos en poner 5 multas, entonces 1 policía pone 1 multa en 5 minutos. Así, 10 policías municipales tardarán 5 minutos en poner 10 multas.

21 Coloca 17 fichas en 4 filas de modo que en cada fila haya 5 fichas. 4-ª fila

1-ª fila

3-ª fila

2-ª fila

3-ª fila

2-ª fila

4-ª fila 1-ª fila

22 Inserta dos cuadrados en esta figura de modo que los nueve puntos queden aislados.

Resolución de problemas


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 19

23

LAS MONEDAS

Tienes en tu bolsillo estas cinco monedas:

¿Cuántas cantidades de dinero distintas puedes formar? Para formar cada una de las distintas cantidades, tenemos 2 opciones con cada moneda (cogerla o no cogerla). Como son 5 monedas diferentes, hay 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 32 posibilidades. Pero una de ellas no es válida (la de no coger ninguna de las monedas). Por tanto, se pueden formar: 32 – 1 = 31 cantidades de dinero distintas.

24

MÁS SOBRE MONEDAS

Y si las monedas fueran estas,

¿Cuántas cantidades distintas de dinero podrías formar? La menor cantidad de dinero que se puede formar con estas monedas es 10 céntimos, y la mayor, 190 céntimos (10 cent + 10 cent + 20 cent + 50 cent + 1 €). Todos los múltiplos de 10 entre esas cantidades, se pueden formar: 10 céntimos → moneda de 10 cent 20 céntimos → moneda de 20 cent 30 céntimos → 20 + 10 40 céntimos → 20 + 10 + 10 50 céntimos → moneda de 50 cent 60 céntimos → 50 + 10 70 céntimos → 50 + 20 80 céntimos → 50 + 20 +10 90 céntimos → 50 + 20 + 10 + 10 100 céntimos → 1 € Resolución de problemas


1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 20

Para el resto de cantidades (de 110 a 190), basta con añadir la moneda de 1 € a las anteriores combinaciones. Así, las cantidades distintas que se pueden formar son todos los múltiplos de 10 comprendidos entre 10 y 190. Se pueden formar 19 cantidades distintas.

25

LA VARILLA

Tienes una caja de base rectangular de dimensiones 5, 6 y 8 cm. ¿Cuál es la varilla más larga que puedes introducir en ella? ¿En qué posición? Es obvio que la máxima distancia que existe entre dos puntos de un rectángulo se da entre vértices opuestos (es decir, una diagonal).

5 cm

Por el mismo razonamiento, la máxima distancia en una caja se consigue en cada una de las cuatro diagonales. Por tanto, ahí es donde hay que colocar la varilla.

6 cm 8 cm

Además, debe medir: √82 + 62 + 52 = √125 ≈ 11,18 cm.

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EL TORNEO

Ana y Begoña son las finalistas de un torneo de tenis. Gana el torneo quien venza en dos partidos consecutivos, o en tres alternos. Averigua todas las posibilidades que pueden darse. ¿Cuántos partidos, como máximo, tendrán que disputar para acabar el torneo? ☛ Haz un diagrama en árbol donde se visualicen todas las alternativas.

El máximo número de partidos a disputar por Ana (A) y Begoña (B) es de cinco. Las distintas posibilidades son: er 1– partido

2-º partido

3–er partido

A FIN

A B

B

B FIN

B FIN B FIN

B FIN B

A A FIN

Resolución de problemas

A FIN

B A

(Las letras indican victoria)

5-º partido

A FIN

A FIN A

4-º partido

B FIN

Resolución de problemas 1  
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