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La enciclopedia de las demostraciones


Escrito por Imanol P´erez


1. Teor´ıa de n´ umeros

6

1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Infinitud de los n´ umeros primos . . . . . . . . . . .

6

1.3. Irracionalidad de

2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Postulado de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5. Irracionalidad de e . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.6. El caso n = 4 del u ´ltimo teorema de Fermat . . . .

16

1.7. Divergencia de la serie arm´onica . . . . . . . . . . .

18

1.8. Divergencia de la suma de los inversos de los n´ umeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.9. Problema de Basilea . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.10. Identidad de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

6


´ 2. Algebra

24

2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2. Teorema fundamental del a´lgebra . . . . . . . . . .

24

2.3. El binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3. An´ alisis

29

3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.3. Regla de l’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.4. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.5. Teorema del valor medio de Cauchy . . . . . . . . .

34

3.6. C´alculo de la integral de Gauss . . . . . . . . . . .

35

7


3.7. F´ormula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Otros

36

38

4.1. Los puentes de K¨onigsberg . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2. Demostraci´on sin palabras de la f´ormula para calcular el a´rea de un c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.3. Demostraci´on sin palabras de que la cardinalidad de la recta de los n´ umeros reales es la misma que la de un intervalo de la recta de los n´ umeros reales . . . .

41

4.4. Demostraci´on sin palabras de la suma de los primeros n n´ umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Problemas no resueltos de las matem´ aticas

41

42

5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

5.2. Hip´otesis de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

8


5.3. Conjetura de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5.4. Conjetura de Collatz . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.5. P contra NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.6. Conjetura de los n´ umeros primos gemelos . . . . . .

46

5.7. Existencia de n´ umeros perfectos impares . . . . . .

47

6. Bibliograf´ıa

49

9


1.

Teor´ıa de n´ umeros

1.1.

Introducci´ on

La teor´ıa de n´ umeros es la rama de las matem´aticas que estudia las propiedades de los n´ umeros y es una de las primeras ramas de la matem´atica en ser estudiadas. Euclides, Fermat y Euler son algunos de los matem´aticos m´as importantes en esta rama. Hoy en d´ıa sigue habiendo problemas irresueltos como la conjetura de Goldbach, seg´ un el cual todos los n´ umeros pares pueden expresarse como suma de dos n´ umeros primos.

1.2.

Infinitud de los n´ umeros primos

La infinitud de los n´ umeros primos fue demostrada por primera vez por Euclides utilizando el reductio ad absurdum, m´etodo que ´el mismo invent´o.

10


Supongamos que los n´ umeros primos son finitos. Sea A el conjunto de todos los n´ umeros primos: A = p1 , p2 , p3 , ..., pn . Sea S el producto de todos los n´ umeros primos m´as uno:

S = p1 · p2 · ... · pn + 1

S puede ser compuesto o primo. Si es compuesto, debe de haber un pi ∈ A tal que pi divide a S. Sin embargo:

p1 · p2 · ... · pn + 1 p1 · ... · pi−1 · pi · ... · pn + 1 = = pi pi 1 p1 · ... · pi−1 · pi+1 · ... · pn + pi

El cual no es un n´ umero entero. Por lo tanto, S ha de ser primo. Como esto es una contradicci´on del supuesto original, el conjunto de los n´ umeros primos no puede ser finito.

1.3.

Irracionalidad de

2

Para esta demostraci´on se utilizar´a el descenso infinito, aunque existen numerosas demostraciones utilizando otros m´etodos. 11


Supongamos que

2 es racional. Por lo tanto, se puede escribir

de la siguiente manera:

2=

p q

Donde p y q son enteros positivos. Ahora se demostrar´a que

2

es igual a otra fracci´on cuyo denominador tambi´en es positivo y menor que q. Esto implicar´ıa que se podr´ıa encontrar una sucesi´on de n´ umeros enteros positivos decreciente infinitamente, lo cual no es posible. Operando en la expresi´on anterior obtenemos que:

2=

p2 q2

Multiplicando ambos lados por q 2 obtenemos:

2q 2 = p2

Utilizando esta igualdad, tenemos que:

p2 − pq = 2q 2 − pq ⇒ p(p − q) = q(2q − p) ⇒ 12

p 2q − p = q q−p


Como

p √ = 2: q √

2=

2q − p q−p

 2 p = 2: Ahora se ver´a que 0 < p − q < q. Como q

 2 p p 1< < 4 ⇒ 1 < < 2 ⇒ q < p < 2q ⇒ 0 < p − q < q q q

Por tanto, hemos encontrado otro n´ umero entero positivo menor que q tal que este n´ umero es el denominador de una fracci´on √ equivalente a 2. Si repetimos lo anterior con esta nueva fracci´on encontrar´ıamos otro entero positivo de estas caracter´ısticas, creando una sucesi´on de n´ umeros enteros positivos decreciente infinita√ mente. Como esto es imposible, la suposici´on inicial de que 2 es √ racional ha de ser falsa y, por lo tanto, 2 ha de ser irracinal.

1.4.

Postulado de Bertrand

El postulado de Bertrand establece que para todo n > 1 existe al menos un primo p tal que n < p < 2n. 13


Figura 1: Joseph Bertrand. Par´ıs, 11 de marzo de 1822 - 5 de abril de 1900

Sea x un entero positivo mayor que 1. Definimos ν(x) como:

X

ν(x) =

log(p)

p≤x, p primo

Consideremos ahora lo siguiente:

1

1

1

ψ(x) = ν(x) + ν(x 2 ) + ν(x 3 ) + ν(x 4 ) + ... (1)

log[x]! = ψ(x) + ψ( 12 x) + ψ( 13 x) + ... (2)

Siendo [x] la parte entera de x. De (1) se tiene que: 14


√ ψ(x) − 2ψ( x) = ν(x) − ν(x 12 ) + ν(x 31 ) − ... (3)

Y de (2) obtenemos:

log[x]! − 2 log[ 12 x]! = ψ(x) − ψ(x 12 ) + ψ(x 31 ) − ... (4)

Puesto que tanto ν(x) como ψ(x) son funciones crecientes, obtenemos a partir de (3) y (4) las siguientes desigualdades:

√ ψ(x) − 2ψ( x) ≤ ν(x) ≤ ψ(x) (5)

ψ(x) − ψ( 12 x) ≤ log[x]! − 2 log[ 12 x]! ≤ ψ(x) − ψ( 21 x) + ψ( 31 x) (6)

Por otro lado, puede demostrarse que:

log(Γ(x)) − 2 log(Γ 12 x + 12 ) ≤ log[x]! − 2 log[ 12 x]! ≤ log(Γ(x + 1)) − 2 log(Γ 12 x + 12 ) (7)

Ahora, ayud´andonos de la aproximaci´on de Stirling, seg´ un el √ cual n! ≈ nn · e−n · 2πn, obtenemos de (7) que: 15


log[x]! − 2 log[ 21 x]! < 34 x, si x > 0 (8)

log[x]! − 2 log[ 21 x]! > 23 x, si x > 300 (9)

Uniendo ahora la informaci´on proporcionada por (6), (8) y (9) se ve que:

ψ(x) − ψ( 12 x) < 34 x, si x > 0 (10)

ψ(x) − ψ( 21 x) + ψ( 13 x) > 23 x, si x > 300 (11)

Si se toma la expresi´on (10) y si se sustituye x por 21 x, 14 x, 81 x, . . . y se suman los resultados, se obtiene que:

ψ(x) < 32 x, si x > 0 (12)

Uniendo en este punto la informaci´on proporcionada por (5) y (12) se llega a que:

16


ψ(x) − ψ( 12 x) + ψ( 13 x) ≤ √ ≤ ν(x) + 2ψ( x) − ν( 21 x) + ψ( 13 x) < (13) √ < ν(x) − ν( 12 x) + 21 x + 3 x

Por otra parte, es evidente que:

1 x 6

√ − 3 x ≥ 0, si x ≥ 324

Por lo tanto se tiene que:

ν(2x) − ν(x) > 0, si x ≥ 162

Esto demostra el postulado de Bertrand para x > 162, ya que como ν(x) era la suma de los logaritmos de todos los n´ umeros primos menores que x, y como ν(2x) > ν(x), se tiene que entre x y 2x tiene que haber alg´ un primo para que ν(2x) sea mayor que ν(x). Si a continuaci´on se comprueba el postulado de Bertrand para todo x < 162, se demostrar´a el postulado de Bertrand.

17


1.5.

Irracionalidad de e

Asumamos que e es racional. Por lo tanto, se puede escribir de la forma:

a b

e=

Definimos ahora x como:

b X 1 x = b! e − n! n=0

! (1)

a Como e = : b b

x = b!

a X 1 − b n=0 n!

!

b X b! = a(b − 1)! − n! n=0

El primer t´ermino es entero, y cada fracci´on en la suma es un entero ya que n ≤ b para cada t´ermino. Por lo tanto, x es un entero. Ahora se demostrar´a que 0 < x < 1, lo cual supondr´ıa una contradicci´on con lo dicho anteriormente, lo que supondr´ıa que e no es racional. 18


∞ X 1 El n´ umero e est´a definido como e = . Insertando esto en n! n=0 (1) y operando tenemos que:

∞ X b! x= n! n=b+1

Para cada t´ermino de la sumatoria tenemos que:

1 1 b! = ≤ n! (b + 1)(b + 2)(b + 3)...(b + (n − b)) (b + 1)n−b

Cambiando el ´ındice de la sumatoria a k = n − b y utilizando la f´ormula para la serie geom´etrica infinita, se tiene que:

∞ ∞ X X 1 b! 1 < = x= k n! k=1 (b + 1) b+1 n=b+1

1 1 1 − b+1

!

1 = l1 b

Como no hay ning´ un n´ umero natural entre el 0 y el 1, hemos llegado a una contradicci´on, y por lo tanto e ha de ser irracional.

19


1.6.

El caso n = 4 del u ´ ltimo teorema de Fermat

El u ´ltimo teorema de Fermat, formulado por Pierre de Fermat en 1637, establece que si n es un n´ umero natural mayor que 2 entonces no existen n´ umeros enteros no nulos a, b y c tales que an + bn = cn . Sup´ongase que existen tres n´ umeros x, y y z tales que x4 + y 4 = z 4 . Esto se puede reescribir como (x2 )2 + (y 2 )2 = (z 2 )2 . Por lo tanto, (x2 , y 2 , z 2 ) ha de ser una terna pitag´orica. Como toda terna pitag´orica ha de tener la forma (2pq, p2 − q 2 , p2 + q 2 ) podemos igualar (x, y, z) y (2pq, p2 − q 2 , p2 + q 2 ) miembro por miembro:

x2 = 2pq y 2 = p2 − q 2 z 2 = p2 + q 2

Donde 0 < q < p y p y q tienen distinta paridad. De la segunda ecuaci´on obtenemos que y 2 +q 2 = p2 y, por lo tanto, y, q y p forman otra terna pitag´orica. Por lo tanto:

q = 2ab y = a2 − b 2 20


p = a2 + b 2

Donde 0 < b < a y a y b tienen distinta paridad. Sustituyendo obtenemos que:

x2 = 2pq = 4ab(a2 + b2 )

Por lo que ab(a2 + b2 ) ha de ser el cuadrado de x2 . Como ab y (a2 + b2 ) son primos relativos, tanto ab como (a2 + b2 ) han de ser cuadrados. Supongamos que a = X 2 y b = Y 2 . Esto es suficiente para aplicar el descenso infinito, ya que suposici´on que se hizo al principio es que z 4 era un cuadrado, no una cuarta potencia. Dicho de otro modo, si x e y son enteros positivos tales que x4 + y 4 es un cuadrado la demostraci´on anterior nos permite encontrar otros dos enteros positivos, X e Y , tales que X 4 + Y 4 es un cuadrado. Adem´as:

X 4 + Y 4 = a2 + b2 = p < p2 + q 2 = z 2 < z 4 = x4 + y 4

Por lo que se tiene una sucesi´on infinita decreciente de n´ umeros enteros positivos. Como esto no es posible, queda probado el u ´ltimo 21


teorema de Fermat para el caso n = 4.

1.7.

Divergencia de la serie arm´ onica

La serie arm´onica es la siguiente:

∞ X 1 n n=1

Para demostrar su convergencia, ordenaremos la serie y lo comparamos con la siguiente serie:

      ∞ X 1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ + + + + + + + ... > n 2 3 4 5 6 7 8 n=1      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > 1+ + + + + + + +... = 1+ + + +... 2 4 4 8 8 8 8 2 2 2

Como esta u ´ltima serie diverge, entonces queda demostrado que la serie arm´onica tambi´en lo hace.

22


1.8.

Divergencia de la suma de los inversos de los n´ umeros primos

Para demostrar la divergencia de la suma de los inversos de los n´ umeros primos, consideremos primero la serie arm´onica y la f´ormula del producto de Euler:

∞ X 1 Y 1 = n 1 − p−1 n=1 p

Tomando logaritmos en ambos lados y utilizando la serie de Taylor de log(1 − x) tenemos que:

! !   ∞ X Y X 1 1 1 log = log = log = −1 −1 n 1 − p 1 − p p p n=1  X X 1 1 1 −1 + + + ... = = − log(1 − p ) = p 2p2 3p3 p p !  X1 X 1 1 1 1 + + ... < + + p p2 2 3p 4p2 p p !  X1 X 1  1 1 + 1 + + 2 + ... = 2 p p p p p p ! ! ! X1 X X1 1 + = +C p p(p − 1) p p p p

23


Siendo C una constante menor que 1. Puesto que la suma de los rec´ıprocos de los primeros n n´ umeros enteros positivos es asint´otica a log(n) ( es decir, su ratio se acerca a 1 cuando n se acerca a infinito ) se tiene:

∞ X 1 ≈ log(n) si n → ∞ n n=1

Sustituy´endolo en la expresi´on de arriba y despreciando la constante C cuando n tiende a infinito, concluimos que:

1 1 1 1 + + + + ... = log log(∞) → ∞ 2 3 5 7

1.9.

Problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en encontrar la suma de los inversos de los cuadrados de los n´ umeros naturales, es decir, encontrar el valor de:

∞ X 1 n2 n=1

24


Euler demostr´o que el valor de la suma era

π2 . 6

Para demostrarlo,

consideremos el desarrollo de sin(x) utilizando la serie de Taylor:

sin(x) = x −

x 3 x5 + − ... 3! 5!

Dividimos ambos lados entre x y tenemos que:

sin(x) x 2 x4 =1− + − ... x 3! 5!

sin(x) son nx, donde n es un n´ umero entero. Asux mamos que podemos expresar esta serie infinita como producto de Las ra´ıces de

factores lineales dados por las ra´ıces, de la misma forma que hacemos con los polinomios finitos:

sin(x)  x  x  x  x = 1− 1+ 1− 1+ ... = x π 2π 2π π   x2 x2 1− 2 1 − 2 ... π 4π

Si calculamos la multiplicaci´on veremos que el coeficiente de x2 es:

25


 −

 ∞ 1 1 1 1X 1 + + + ... = − 2 π 2 4π 2 9π 2 π n=1 n2

Del desarrollo de la serie de Taylor tenemos que el coeficiente de x2 ha de ser − 3!1 = − 16 . Como los dos coeficientes han de ser iguales, tenemos que:

∞ 1 1X 1 − =− 2 6 π n=1 n2

Y, por lo tanto:

π2 X 1 = 6 n2 n=1

1.10.

Identidad de Cassini

La identidad de Cassini establece que, si Fk es el k-´esimo n´ umero de Fibonacci, entonces Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n . Se demostrar´a por inducci´on. Para n = 1, se ve que se cumple que F2 F0 − F12 = (−1)1 . Supongamos que la identidad es cierta para n = k: Fk+1 Fk−1 −Fk2 = (−1)k . Entonces, ha de ser cierta para n = k + 1: 26


2 2 Fk+2 Fk − Fk+1 = (Fk + Fk+1 ) Fk − Fk+1

(1)

2 = Fk2 + Fk Fk+1 − Fk+1

(2)

= Fk2 + Fk Fk+1 − Fk+1 (Fk + Fk−1 )

(3)

= Fk2 + Fk Fk+1 − Fk Fk+1 − Fk+1 Fk−1

(4)

= Fk2 − Fk+1 Fk−1

(5)

= (−1) Fk+1 Fk−1 − Fk2



(6)

= (−1) (−1)k

(7)

= (−1)k+1

(8) (9)

27


´ Algebra

2.

2.1.

Introducci´ on

El ´algebra es la rama de las matem´aticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del a´lgebra elemental). Su origen se romonta a los antiguos babilonios, que hab´ıan desarrollado un avanzado sistema aritm´etico con el que fueron capaces de hacer c´alculos en una forma algebraica. Utilizaron este sistema para encontrar valores desonocidos.

2.2.

Teorema fundamental del ´ algebra

El teorema fundamental del a´lgebra establece que todo polinomio en una variable de grado n = 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una ra´ız (real o compleja). Para la demostraci´on, consideremos p un polinomio de grado n, siendo p una funci´on entera. Para cada m positivo, existe un n´ umero real y positivo r tal que:

28


|p(z)| > m, si |z| > r

Si p no tiene ra´Ĺces, entonces la funci´on f =

1 p

es una funci´on

entera con la propiedad de que para cualquier n´ umero real  > 0, â&#x2C6;&#x192;r positivo tal que:

|f (z)| < , si |z| > r

Por lo tanto, la funci´on f es acotada. Sin embargo, seg´ un el teorema de Liouville si f es una funci´on entera y acotada, f ha de ser una constante, lo cual es imposible. Por lo tanto, f no puede ser entera y p tiene como m´Ĺnimo una ra´Ĺz. En consecuencia, p puede escribirse como el siguiente producto:

p(z) = (z â&#x2C6;&#x2019; z1 )q(z)

Siendo z1 una ra´Ĺz de p y q un polinomio de grado n â&#x2C6;&#x2019; 1. Si repetimos estos pasos n â&#x2C6;&#x2019; 1 veces, llegamos a la conclusi´on que:

p(z) = k(z â&#x2C6;&#x2019; z1 )(z â&#x2C6;&#x2019; z2 ) ¡ ¡ ¡ (z â&#x2C6;&#x2019; zn ) 29


Donde z1 , z2 , z3 ... zn son las ra´ıces de p y k es una constante. De esta manera queda demostrado el teorema fundamental del a´lgebra.

2.3.

El binomio de Newton

A continuaci´on se demostrar´a por inducci´on el binomio de Newton, el cual establece que:

n   X n n−k k (a + b) = a b k k=0 n

Vemos que para el caso n = 1 se cumple que:

1

(a + b) =

1   X 1 k=0

k

a1−k bk = a + b = (a + b)1

Supongamos ahora que es cierto para todo n = k:

k

(a + b) =

k   X k i=0

i

ak−i bi

Si se cumple para todo k, tambi´en ha de cumplirse para k + 1: 30


k+1

(a + b)

 k+1  X k + 1 k+1−i i = a b i i=0

Como (a + b)k+1 = (a + b) · (a + b)k , y si aplicamos la hip´otesis inicial, obtenemos que:

(a + b)k+1 = (a + b) · (a + b)k = k   k   X X k k−i i k k−i i = (a + b) · a b =a a b+ i i i=0 i=0 k   X k k−i i +b a b = i i=0 k   k   X k k+1−i i X k k−i i+1 = a b + a b = i i i=0 i=0   k   k k+1 X k k+1−i i = a + a b+ 0 i i=1  k+1  X k + ak−(i−1) bi = i − 1 i=1   k   k k+1 X k k+1−i i = a + a b+ 0 i i=1    k  X k k k+1 k−(i−1) i + a b + b = i−1 k i=1     k   k k + 1 k+1 X k = a + + ak+1−i bi + 0 i i − 1 i=1    k   k + 1 k+1 X k + 1 k+1−i i k+1 k+1 + k+1 b = a + a b+ 0 i i=1

31


+

 k+1   k+1 X k + 1 k+1竏段 i b = a b i i=0

k+1 k+1

32


3.

An´ alisis

3.1.

Introducci´ on

El an´alisis empez´o a desarrollarse a partir del surgimiento del c´alculo en el siglo XVII. Sin embargo, algunos matem´aticos griegos ya hicieron un uso informal de los conceptos de l´ımite y convergencia.

3.2.

Regla de Barrow

La regla de Barrow, tambi´en conocido como el segundo teorema fundamental del c´alculo, establece que dada una funci´on f (x) continua en el intervalo [a, b] y si F (x) es una funci´on primitiva de Rb f (x), entonces a f (x)dx = F (b) − F (a).

Para la demostraci´on, consideremos que:

Z

x

f (t)dt

F (x) = a

33


El primer teorema fundamental del c´alculo establece que:

F 0 (x) = f (x) = g 0 (x)∀x ∈ [a, b]

Por lo tanto,

∃c ∈ R : ∀x ∈ [a, b], F (x) = g(x) + c

Observamos que

0 = F (a) = g(a) + c

Y, por lo tanto, c = −g(a). Sustituyendo tenemos que:

F (x) = g(x) − g(a)

Si x = b, tenemos que:

Z

b

f (t)dt = F (b) = g(b) − g(a) a

34


Que es lo que se quer´ıa demostrar.

3.3.

Regla de l’Hˆ opital

La regla de L’Hˆopital establece que siendo f (x) y g(x) dos funciones definidas en el intervalo [a, b], y f (c) = g(c) = 0, con c ∈ (a, b) y g 0 (x) 6= 0 si x 6= c, y adem´as f (x) y g(x) son derivables en (a, b), entonces:

f (x) f 0 (x) = l´ım 0 x→+c g(x) x→+c g (x) l´ım

Para la demostraci´on, asumamos que tanto f (x) como g(x) son derivables en c. Como f (c) = g(c) = 0,

f (x) g(x)

se puede escribir de la

siguiente forma:

f (x) − f (c) f (x) f (x) − f (c) x−c = = g(x) − g(c) g(x) g(x) − g(c) x−c

Como tanto f (x) como g(x) son derivables en c, utilizamos la definici´on de la derivada y tenemos que: 35


f (x) − f (c) f (x) f 0 (x) x−c l´ım = l´ım = l´ım 0 x→+c g(x) x→+c g(x) − g(c) x→+c g (x) x−c

3.4.

Teorema del valor medio

El teorema del valor medio establece que si f (x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces existe un c dentro del intervalo abierto (a, b) tal que:

f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

Esto implica que la tangente de f (x) en c es paralela a la secante que pasa por los puntos P (a, f (a)) y R(b, f (b)).

Para la demostraci´on, definamos la funci´on g(x) como la recta que pasa por el punto P y R:

g(x) = f (a) +

f (b) − f (a) (x − a) b−a

36


Figura 2: Representaci´ on gr´ afica del Teorema de valor medio

Despu´es, definimos ψ(x) de la siguiente manera:



 f (b) − f (a) ψ(x) = f (x) − g(x) = f (x) − f (a) + (x − a) b−a

Observamos que ψ(a) = ψ(b) = 0. Adem´as, como f (x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), ψ(x) tambi´en tiene que serlo. Por lo tanto, ψ(x) satisface las condiciones del teorema de Rolle, y por lo tanto, ha de existir un c ∈ (a, b) tal que:

0 = ψ 0 (c) = f 0 (c) −

37

f (b) − f (a) b−a


Y, por lo tanto:

f 0 (c) =

3.5.

f (b) − f (a) b−a

Teorema del valor medio de Cauchy

El teorema del valor medio de Cauchy establece que, si f (x) y g(x) son continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe alg´ un c ∈ (a, b) tal que:

f (b) − f (c) f 0 (c) = 0 g (c) g(b) − g(a)

Para la demostraci´on, definamos ψ(x) de la siguiente forma:

ψ(x) = [g(b) − g(a)] · [f (x) − f (a)] − [f (b) − f (a)] · [g(x) − g(a)]

Se tiene que ψ(a) = ψ(b) = 0. Por lo tanto, seg´ un el teorema de Rolle, ha de existir un c ∈ (a, b) tal que ψ 0 (c) = 0. Derivando ψ(x) se tiene que:

38


ψ 0 (x) = [g(b) − g(a)] · f 0 (x) − [f (b) − f (a)] · g 0 (x)

Como ψ(c) = 0:

0 = [g(b) − g(a)] · f 0 (c) − [f (b) − f (a)] · g 0 (c)

Y, despejando, obtenemos que:

f (b) − f (c) f 0 (c) = 0 g (c) g(b) − g(a)

3.6.

C´ alculo de la integral de Gauss

La integral de Gauss es la siguiente:

Z

+∞

2

e−x dx =

π

−∞

Para su c´alculo utilizaremos el c´alculo integral de dos variables.

Mediante el teorema de Fubini, la integral puede ser escrita como: 39


Z

+∞

Z

−(x2 +y 2 )

Z

+∞

2

2

dxdy = e−(x +y ) dxdy = 2 R Z +∞  Z +∞−∞ −∞  Z +∞ 2 2 −x −y 2 −x2 e dx · e dy = e dx e

−∞

−∞

−∞

Por otro lado, aplicando un cambio de coordenadas a coordenadas polares:

Z e

−(x2 +y 2 )

Z

Z

+∞

dxdy =

R2

re 0

−r2

Z drdθ = 2π

0

+∞

2

re−r dr = π

0

Z

+∞

2

e−x dx =

Por lo tanto, tenemos que

√ π.

−∞

3.7.

F´ ormula de Euler

La f´ormula de Euler establece que eiz = cos z + i sin z.

Utilizando la serie de Taylor para las funciones ex , cos x y sin x tenemos que:

ex =

x0 x1 x2 x3 + + + + ... (1) 0! 1! 2! 3!

40


cos x =

x0 x2 x4 − + − ... 0! 2! 4!

sin x =

x1 x3 x 5 − + − ... 1! 3! 5!

Tomando (1) y haciendo x = iz tenemos que:

(iz)0 (iz)1 (iz)2 (iz)3 + + + + ... = 0! 1! 2! 3! z0 z1 z2 z3 z4 z5 + − − + + − ... = 0! 1! 2! 3! 4! 5!

eiz =



  1  z0 z2 z4 z z3 z5 − + − ... + i − + − ... = cos z + i sin z 0! 2! 4! 1! 3! 5!

41


4.

Otros

4.1.

Los puentes de K¨ onigsberg

Figura 3: Los puentes de K¨ onigsberg (izquierda) y su simplificaci´on (derecha)

En el r´ıo de la antigua ciudad de K¨onigsberg, actual Kaliningrado, hab´ıa dos islas, unidas a la ciudad mediante un total de 7 puentes. Los ciudadanos se divert´ıan tratando de adivinar si era posible cruzar los 7 puentes sin cruzar dos veces el mismo puente. Fue Euler quien encontr´o la soluci´on al problema. Para ello, simplific´o los puentes y las islas tal y como se puede ver en la figura 3. Euler demostr´o que no era posible cruzar todos los puentes sin cruzar dos veces por el mismo, puesto que para que esto sea posible debe haber a lo sumo 2 v´ertices de grado impar, esto es, debe haber a lo sumo 2 v´ertices de la que salgan un n´ umero impar de aristas. Esto es debido a que para cada v´ertice tiene que haber una arista 42


que llega al v´ertice y otra que sale, excepto en el inicio y en el final, que pueden tener un grado impar.

43


4.2.

Demostraci´ on sin palabras de la f´ ormula para calcular el ´ area de un c´ırculo

44


4.3.

Demostraci´ on sin palabras de que la cardinalidad de la recta de los n´ umeros reales es la misma que la de un intervalo de la recta de los n´ umeros reales

4.4.

Demostraci´ on sin palabras de la suma de los primeros n n´ umeros naturales

45


5.

Problemas no resueltos de las matem´ aticas

5.1.

Introducci´ on

Actualmente existen muchos problemas que no han sido resueltos a´ un. Algunos fueron propuestos hace unas pocas d´ecadas, pero otros llevan siglos sin resolverse. En esta secci´on se hablar´a sobre estos problemas.

5.2.

Hip´ otesis de Riemann

La funci´on zeta de Riemann se define de la siguiente manera:

ζ(s) =

∞ X 1 ns n=1

Donde s ∈ C. La funci´on zeta de Riemann est´a estrechamente relacionada con los n´ umeros primos, tal y como lo mostr´o Leonhard Euler:

46


∞ X Y 1 1 ζ(s) = = s n 1 − p−s n=1 p∈P

Bernhard Riemann conjetur´o en 1859 que la parte real de los ceros no triviales de la funci´on zeta de Riemann es 12 . Por lo tanto, todos los ceros no triviales de la funci´on zeta de Riemann tendr´ıan que encontrarse en la l´ınea cr´ıtica s =

1 2

+ it, con t ∈ R.

Riemann mencion´o por primera vez la hip´otesis que lleva su nombre en su trabajo “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr¨osse”(Sobre los n´ umeros primos menores que una magnitud dada). La hip´otesis de Riemann est´a inclu´ıda en la famosa lista de 23 problemas no resueltos de Hilbert. Tambi´en es uno de los Siete Problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathemtics Institute en el a˜ no 2000.

5.3.

Conjetura de Goldbach

Seg´ un la conjetura de Goldbach, todo n´ umero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos n´ umeros primos. En realidad, ser´ıa m´as acertado llamarlo la conjetura fuerte de Goldbach, puesto

47


que tambi´en existe la conjetura d´ebil de Goldbach, seg´ un el cual todo n´ umero impar mayor que 7 puede escribirse como suma de tres n´ umeros primos impares. Christian Goldbach, el autor de la conjetura, mencion´o por primera vez la conjetura que hoy en d´ıa lleva su nombre en una carta dirigida a Euler en 1742. Al igual que la hip´otesis de Riemann, la conjetura de Goldbach es uno de los 23 problemas de Hilbert.

5.4.

Conjetura de Collatz

Sea n un entero positivo. Si n es par, entonces dividamos n entre 2. Si, por otro lado, n es impar, multipliqu´emoslo por 3 y sum´emosle 1. Esto es igual a la funci´on f : N 7→ N:

f (n) =

   n,

si n es par

2

  3n + 1, si n es impar

Lothar Collatz conjetur´o en 1937 que si iteramos un n´ umero entero positivo n al final siempre alcanzaremos el 1 y, por lo tanto, el ciclo 4, 2, 1. Todav´ıa no se ha demostrado este hecho, pero se sabe que si existe un contraejemplo a la conjetura de Collatz, deber´a de 48


tener una o´rbita no acotada o una ´orbita peri´odica distinta a la o´rbita 4, 2, 1.

La computaci´on distribuida ha ayudado a comprobar la conjetura de Collatz para n´ umeros muy altos. En noviembre del a˜ no 2005, se hab´ıa comprobado la conjetura para todo n´ umero menor que 258 . Sin embargo, esto no puede considerarse como demostraci´on de la conjetura, puesto que es imposible comprobar la conjetura de Collatz para todo entero positivo.

5.5.

P contra NP

Un problema es de tipo P si existe un algoritmo que lo resuelva en tiempo polinomial. Por otro lado, un problema es de tipo NP si existe un algoritmo que verifique una soluci´on en tiempo polinomial. El problema P contra NP, el cual es uno de los Siete Problemas del Milenio, consiste en demostrar que P=NP, es decir, que si se puede comprobar la soluci´on de un problema en tiempo polinomial, entonces tambi´en se puede resolver el problema en tiempo polinomial.

Aunque el problema sigue sin soluci´on, han habido muchos in-

49


tentos a lo largo de los a˜ nos. Uno de ellos fue protagonizado por Vinay Deolalikar, investigador de la empresa HP en Palo Alto. Vinay Deolalikar asegur´o que hab´ıa demostrado que P 6= N P . Sin embargo, la demostraci´on result´o ser err´onea.

5.6.

Conjetura de los n´ umeros primos gemelos

Se dice que dos n´ umeros primos p1 y p2 son gemelos si p2 − p1 = 2. La conjetura de los n´ umeros primos gemelos postula la existencia de infinitos n´ umeros primos gemelos. Esta conjetura se puede generalizar, tal y como lo hizo Alphonse de Polignac en 1849. As´ı, Alphonse de Polignac postul´o que para todo n´ umero natural k, existen infinitos pares de n´ umeros primos cuya diferencia es 2k.

A lo largo de los a˜ nos se han realizado diversos acercamientos a la soluci´on del problema. Uno de ellos fue protagonizado por Erd¨os, quien demostr´o que existe una constante c < 1 tal que existen infinitos n´ umeros primos p tal que p0 − p < c ln(p), donde p0 es el n´ umero primo que sigue a p. En el a˜ no 2005 este resultado fue mejorado significativamente tras la demostraci´on por parte de Daniel Goldston, J´anos Pintz y Cem Yildirim de que el resultado es v´alido 50


para todo c > 0. Por otro lado, en 1973 Jing-run Chen prob´o que existen infinitos n´ umeros primos p tal que p + 2 es, a lo sumo, producto de dos n´ umeros primos.

Otra generalizaci´on de la conjetura de los n´ umeros primos es la conjetura de Hardy-Littlewood. Sea π2 (x) la cantidad de n´ umeros primos p menores que x tal que p + 2 tambi´en es primo. Sea C2 la constante de los n´ umeros primos, definida de la siguiente manera:

C2 =

Y p(p − 2) p≥3

≈ 0,66016...

(p − 1)2

La conjetura postula que:

Z π2 (x) ∼ 2C2 2

5.7.

x

dt (ln t)2

Existencia de n´ umeros perfectos impares

Se dice que un n´ umero natural k es un n´ umero perfecto si la suma de sus divisores (sin tener en cuenta el propio n´ umero) es igual a s´ı mismo. El 6 es el menor n´ umero perfecto, puesto que 51


sus divisores son el 1, 2 y el 3, y 1 + 2 + 3 = 6. Actualmente se desconoce si existen n´ umeros perfectos impares. Sin embargo, si existieran tendr´ıan que cumplir algunas condiciones. Por un lado, el n´ umero perfecto impar deber´a ser mayor que 10300 , deber´a tener 8 factores primos o m´as, excepto si no es divisible entre 3, en cuyo caso tendr´a que tener como m´ınimo 11.

52


6.

Bibliograf´ıa 1. Journal of the Indian Mathematical Society. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://www.imsc.res.in/ rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper24/page1.htm

2. Dos demostraciones de la irracionalidad de ra´ız de 2. Gaussianos. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/

3. El postulado de Bertrand. Gaussianos. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/

4. ¿Por qu´ e el caso n=4 es tan importante?. Gaussianos. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://gaussianos.com/¿por-que-el-caso-n4-es-tan-importante/

5. Mathematical Association of America. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://www.maa.org/pubs/Calc articles/ma018.pdf

6. Proofs without words. Math Overflow. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://mathoverflow.net/questions/8846?sort=votespage=1

7. Cassini’s Identity. Proof Wiki. Consultado el 17 de junio de 2012. URL: http://www.proofwiki.org/wiki/Cassini’s Identity

53


La enciclopedia de las demostraciones