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Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. Introducción Matemáticos y aficionados a los números han buscado a través del tiempo, fórmulas o expresiones algebraicas a partir de ciertas regularidades o patrones que muestran los números. Quizás esa sea una de las razones por la cual el Programa de Estudio para la Formación Diferenciada en Matemática en la Educación Media, se orienta a la profundización de algunos temas de procesos infinitos y a la apertura de nuevos conceptos para que los alumnos y alumnas de este nivel (actualmente 4° año medio), desarrollen y adquieran habilidades intelectuales relativas con los procesos de abstracción y generalización, formulación de conjeturas, capacidad argumentativa y utilización de modelos en diversos contextos. Se espera que los alumnos logren analizar, confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas o desafíos que involucren funciones, relaciones entre geometría y progresiones. Que conozcan y utilicen conceptos y lenguaje matemático asociados a modelación matemática y procesos infinitos. Con ésta motivación, este trabajo aborda los contenidos de una manera no extensa para estudiantes de cuarto medio y estudiantes en general, de un punto de vista matemático pero también como una modelación de situaciones en la vida cotidiana, junto a ejercicios y ejemplos concretos respecto a las sucesiones y sus aplicaciones de manera que los estudiantes se familiaricen con este concepto matemático.

3 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. Conductas de entrada El alumno debe cumplir con ciertos conocimientos previos para desarrollar los contenidos abordados en este trabajo.              

Transformar expresiones de lenguaje natural a lenguaje algebraico. Generalizar expresiones matemáticas usando letras para representar números o cantidades variables en diversos contextos significativos. Reducción de términos semejantes Factorización Función lineal y afín Dominio y recorrido de una función Variable dependiente y variable independiente Grafico de funciones e interpretación de ellos Área y perímetro de figuras planas Propiedades de números reales Propiedades de potencia Inecuaciones Sistema de ecuaciones de primer grado Figuras planas y sus propiedades

4 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. Primer acercamiento Se trata de exponer al lector un ejemplo cercano con la finalidad de que pueda adaptar sus conocimientos a los nuevos desafíos que este trabajo propone. Actividad 1 Un ciclista está muy ilusionado en ganar la competencia que se realiza en su pueblo. Un amigo le ha dicho que si entrena todos los días, medio kilómetro más cada día, podrá ganar la competencia. Teniendo en cuenta que el primer día de entrenamiento recorrió 10 kilómetros:

1. Construya una tabla donde relacione cuanto recorre el ciclista los primeros 10 días de entrenamiento. Días

Kilómetros

1

10

2

2. ¿Cuál es la variable independiente y la dependiente? 3. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el ciclista al sexto día de entrenamiento? 4. ¿Cuántos kilómetros recorre el ciclista al décimo tercer día de entrenamiento? 5. ¿Cuántos kilómetros recorre el ciclista al cabo de 31 días? 6. Encuentra una expresión algebraica que relacione las variables Días y

5 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. KilĂłmetros. Comprueba si satisface con la respuesta del ejercicio anterior. 7. Al reemplazar en la expresiĂłn algebraica encontrada anteriormente. ÂżCuĂĄntos kilĂłmetros recorre el ciclista al cabo de 60 dĂ­as? 8. ÂżPodrĂ­as decir que las variables DĂ­as y KilĂłmetros establecen una funciĂłn? ÂżPor quĂŠ? En el caso que fuera una funciĂłn establezca su dominio y recorrido. Actividad 2 Determina la fĂłrmula que genera la serie numĂŠrica de la cantidad de fĂłsforos utilizados para construir la figura formada por un nĂşmero dado de cuadrados, como se muestra en las figuras.

Completa la siguiente tabla: N° de Cuadrados 1 N° de palitos de 4 fósforos

2

3

4

5

6

7

8

1.- Puede obtener una formula general, en tĂŠrminos de n, que permita calcular el nĂşmeros de palitos en cualquier etapa? 2.- ÂżCuĂĄl es el numero de palitos en la etapa n=25? 3.- Establecer el dominio y recorrido del ejercicio Actividad 3 đ?‘›2

1. Si representamos la expresiĂłn por đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›+1, completa la tabla:

an

n2 n 1

a1

1 1  11 2

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a2

2. ¿Cuál es el valor de los términos a4 , a7 ,

a12 , a30 ?

3. ¿Se establece una función entre las variables n y an ? ¿Por qué? En el caso que fuera una función encuentra su dominio y recorrido. En las actividades anteriores, las relaciones entre las variables participantes eran funciones, con dominio en el conjunto de los números naturales y el recorrido está contenido en IR. Si las condiciones necesarias son: 1. Ser una función. 2. Su dominio es el conjunto de los números IN. 3. Su recorrido está contenido en el conjunto de los números IR. Entonces hablaremos de una sucesión real. Conceptos de sucesiones En matemática la palabra sucesión se usa en un sentido muy parecido al lenguaje usual. Decir que una colección de objetos o de sucesos esta en sucesión significa que están ordenados de modo que alguno de ellos se identifica como el primero, otro como el segundo, etc.

Una sucesión: Diremos que a es una sucesión real si y sólo sí conjunto de los números naturales (IN) a IR. Por lo tanto la función

a

es una función que va del

a : IN  IR es una sucesión real.

Notación: IN

IR

1

a1

2

a2

3

a3

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Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. 4

ď‚Ž

a4

ď ?

ď ?

ď ?

n

ď‚Ž

an

ď ?

ď ?

ď ?

Denotaremos la sucesiĂłn con la letra a , (aunque se podrĂ­a usar una letra cualquiera del alfabeto). AdemĂĄs representaremos la sucesiĂłn por sus imĂĄgenes; es decir:

a1, a2 , a3 , a4 ,..., an ,... Donde 1, 2, 3, 4,‌, n son los índices, a1 , a2 , a3 , a4 ,... son los tÊrminos y an es el tÊrmino n-Êsimo o tÊrmino general de la sucesión. Ejemplos

1 . Generemos los tres primeros tÊrminos: n 1 Para n  1 se obtiene, a1  1 

�: IN  IR; donde an 

Para n  2 se obtiene, a2  Para n  3 se obtiene, a3 



1 2

1 3

n �: IN  IR; donde an  (1) .Al generar los tres primeros tÊrminos, Se tiene:

Para n  1 se obtiene a1   1  1 1

Para n  2 se obtiene a2   1  1 2

Para n  3 se obtiene a3   1  1 3

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Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemåticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemåtica y computación. 

�: IN  IR; donde an  5 , a esta sucesión la llamaremos sucesión constante. Al generar los tres primeros tÊrminos, obtenemos: a1  5,



a2  5, a3  5.

n

ďƒŚ ďƒ¨

đ?‘Ž: IN ď‚Ž IR; donde an = ďƒ§1 

1ďƒś ďƒˇ . Al generar los tres primeros tĂŠrminos, obtenemos: nďƒ¸ 1

ďƒŚ 1ďƒś Para n  1 se obtiene a1  ďƒ§1  ďƒˇ  2 , ďƒž a1  2 ďƒ¨ 1ďƒ¸ 2

9 9 ďƒŚ 1ďƒś Para n  2 se obtiene a2  ďƒ§1  ďƒˇ  , ďƒž a2  4 4 ďƒ¨ 2ďƒ¸ 3

64 64 ďƒŚ 1ďƒś Para n  3 se obtiene a3  ďƒ§1  ďƒˇ  , ďƒž a3  27 27 ďƒ¨ 3ďƒ¸ 

đ?‘Ž: IN ď‚Ž IR; donde đ?‘Žđ?‘› =

Para n=1 se obtiene đ?‘Ž1 = Para n=2 se obtiene đ?‘Ž2 = Para n=3 se obtiene đ?‘Ž3 =

đ?‘’đ?‘› đ?‘›

đ?‘’1

1 đ?‘’2 2 đ?‘’3 3

. Al generar los tres primeros tĂŠrminos, obtenemos: ≈ 2.72 ≈ 3.69 ≈ 6.70

Actividad a) Determina para las siguientes sucesiones los cuatro tÊrminos siguientes y la expresión del tÊrmino general: Sucesión Cuatro tÊrminos siguientes TÊrmino general 1, 2, 3, 4,5,6,‌ ,an , ‌ 7,8,9,10 n 8, 8, 8, 8,8,8‌,bn, ‌ 2, 4, 6, 8,10,12‌, cn, ‌ 1, 3, 5, 7,9,11‌, dn, ‌

1 1 1 1, , , , ..., en, 4 9 16 1, -1, 1, -1,1,-1 ‌, fn, ‌

b) Dadas las sucesiones definidas por los tĂŠrminos generales:

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an

n   1 

bn 

n

,

n , n3  1

ďƒŹ 1 ďƒŻ cn  ďƒ­ 1 ďƒŻďƒŽ n  1

Si n es par Si n es impar ..

Encuentra los cinco primeros tĂŠrminos de cada sucesiĂłn:

n

an

1 2

bn −

cn

2 9

3 4 5

c) La expresiĂłn algebraica

1 2đ?‘›âˆ’1

, donde đ?‘› ∈ â„•, representa los inversos multiplicativos de los

primeros nĂşmeros impares consecutivos. c.1) Si representamos la expresiĂłn por đ?‘Žđ?‘› =

1 2đ?‘›âˆ’1

, completa la tabla:

an

1 2n  1

a1

1 1 2 ďƒ—1  1

a2

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Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. c.2) ÂżCuĂĄl es el valor de los tĂŠrminos đ?‘Ž4 , đ?‘Ž7 , đ?‘Ž12 , đ?‘Ž30 ? c.3) Si đ?‘Žđ?‘˜ =

1 49

ÂżCuĂĄl es el valor de k?

Actividad Se tiene una semicircunferencia de un centĂ­metro de diĂĄmetro, construye otra con la mitad del diĂĄmetro anterior, posteriormente obtener otra semicircunferencia de diĂĄmetro que corresponde a la mitad de la anterior y asĂ­ sucesivamente como muestra la figura ampliada.

1. Completa la tabla para los valores que faltan: NĂşmero de semicircunferencias

Dibujo

PerĂ­metro expresado en fracciĂłn (m)

PerĂ­metro expresado en decimales (m)

ď ° ďƒ— r  ď ° ďƒ—1  ď °

3.14

1

2

1.57

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n 2. Si formalizamos este proceso ¿Cuántas veces puedes repetirlo? 3. ¿Es posible dejar de construir semicircunferencias como mostraba la figura? 4. Encuentra el término general de la sucesión entre el número de semicircunferencias y su perímetro. 5. ¿Hacia qué número se acerca o tiende el perímetro de la semicircunferencia a medida que el número de semicircunferencias se hace muy grande, es decir, cuándo n tiende a infinito? 6. ¿Es posible decir que a medida que el radio se hace más pequeño, su perímetro disminuye?

 En las sucesiones reales puedes realizar las siguientes operaciones: 1. Producto de una sucesión por un número: Considerando la sucesión del término general a n y un número real cualquiera k se tiene que: k  an   k  an  2. Suma de Sucesiones:

Dadas las sucesiones de términos generales a n y bn se tiene que: an  + bn   an  bn  

La suma de sucesiones cumple con las propiedades:

ii)

an  bn   cn   an  bn  cn  Conmutativa an   bn   bn   an 

iii)

Sucesión nula (0, 0, 0, 0, …)

i)

iv)

Asociativa

Para cada sucesión an  existe una sucesión opuesta  an .

3. Producto de Sucesiones:

Con las sucesiones de términos generales a n y bn se tiene que an  bn   an  bn 

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El producto de las sucesiones cumple con:

i) La sucesión unidad (1, 1, 1, 1,‌) es el elemento neutro del producto de sucesiones.

ďƒŹ1ďƒź ďƒ˝ si todos los tĂŠrminos de ď ťan ď ˝ ďƒŽ an ďƒž

ii) Para cada sucesiĂłn ď ťan ď ˝ existe la sucesiĂłn inversa ďƒ­ son distintos de cero. 4. Cuociente de Sucesiones:

Con las sucesiones de tĂŠrminos generales a n y bn se tiene que: ď ťan ď ˝ : ď ťbn ď ˝  ď ťan : bn ď ˝

Para poder realizar el cuociente de dos sucesiones es imprescindible que la sucesiĂłn divisor tenga todos los tĂŠrminos distinto de cero, de esta forma los cuocientes tienen sentido. Como te habrĂĄs dado cuenta el tĂŠrmino general de cada sucesiĂłn serĂĄ relativamente fĂĄcil de encontrar, no siempre es asĂ­, te proponemos que desarrolles la siguiente actividad. GrĂĄficos Actividad Observa el siguiente grafico, y responde las siguientes preguntas

a) SegĂşn el grĂĄfico ÂżA quĂŠ valor se van pareciendo los nĂşmeros a medida que la funciĂłn va tomando nĂşmeros mĂĄs grandes? b) Observando los datos. ÂżCuĂĄl serĂĄ el tĂŠrmino enĂŠsimo de la sucesiĂłn presentada? c) Grafique la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ đ?‘Ľ+1

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Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. d) ÂżCuĂĄl es la diferencia que observas entre el grĂĄfico presentado y el grĂĄfico de la funciĂłn đ?‘Ľ

đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ+1 ? e) ÂżPodrĂ­as calcular el valor de la sucesiĂłn en evaluada en 1.5? Justifique su respuesta.

Toda sucesiĂłn real puede ser graficada en el plano cartesiano. Sin embargo la grafica de la sucesiĂłn no es una funciĂłn continua dado a que su dominio lo componen los nĂşmeros naturales, por lo tanto no existe imagen de la sucesiĂłn para todos los elementos de los nĂşmeros reales.

MonotonĂ­a Observando el grĂĄfico presentado en el punto anterior de la sucesiĂłn đ?‘Žđ?‘› =

đ?‘› đ?‘›+1

, ÂżQuĂŠ relaciĂłn

puedes observar entre un punto y su sucesor?

Una sucesión �� es monótona decreciente cuando cada tÊrmino es mayor o igual que el tÊrmino siguiente; �� ≼ ��+1 es decir: cualquiera que sea el número natural n.

1 đ?‘›

1 2

1 3

Por ejemplo: sea đ?‘Žđ?‘› = , entonces tenemos đ?‘Ž1 = 1 > đ?‘Ž2 = > đ?‘Ž3 = > â‹Ż > â‹Ż

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Estrictamente creciente y decreciente

Una sucesiĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; es estrictamente creciente si es monĂłtona creciente y todos sus tĂŠrminos distintos; es decir: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; < đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 cualquiera que sea el nĂşmero natural n.

ÂżTe acuerdas de la sucesiĂłn de fibonacci? ÂżEs estrictamente creciente? Por ejemplo: sea đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;1 = 1 < đ?&#x2018;&#x17D;2 = 2 < đ?&#x2018;&#x17D;3 = 3 < â&#x2039;Ż < â&#x2039;Ż

Una sucesiĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; es estrictamente decreciente si es monĂłtona decreciente y todos sus tĂŠrminos son distintos; es decir: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; > đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 cualquiera que sea el nĂşmero natural

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Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. AnĂĄlisis de casos Regularidades conocidas ProgresiĂłn aritmĂŠtica Te invitamos a analizar el siguiente problema. El SeĂąor Pocaplata solicita al Prest-Banc un prĂŠstamo de $800.000. El banco le exige pagar una cuota de $50.000 mĂĄs un interĂŠs simple del 1% mensual sobre el saldo. El SeĂąor Pocaplata calcula que al sĂŠptimo mes deberĂĄ cancelar $55.500. ÂżHabrĂĄ sacado bien las cuentas el SeĂąor Pocaplata? 1. AyĂşdate con la siguiente tabla. NÂş de meses

Cuota inicial

Valor del 1%

1 $50000 $8000 2 3 $7000 4 5 6 $5500 7 2. ÂżCuĂĄnto debe pagar el SeĂąor Pocaplata en el noveno mes?

Total a pagar

Diferencia

an

an ď&#x20AC;­ an ď&#x20AC;­1 ď&#x20AC;˝ d , n ď Ś 2

$58000 $57500

$500

$500

3. ÂżQuĂŠ puedes decir de la diferencia de los tĂŠrminos del nĂşmero de meses đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; ? 4. ÂżPuedes obtener el valor de la segunda cuota a partir del valor de la primera cuota? Haz la operaciĂłn aritmĂŠtica para saberlo. 5. ÂżPuedes obtener el valor de la cuarta cuota a partir del valor de la primera cuota? 6. Expresa el tĂŠrmino general de la sucesiĂłn para un mes determinado a partir del valor de la primera cuota. 7. Reemplaza en el tĂŠrmino general de la sucesiĂłn anterior la variable del valor de la primera cuota por y la diferencia por.

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Una sucesiĂłn de nĂşmeros reales se llama ProgresiĂłn AritmĂŠtica, (P.A.), si cada tĂŠrmino se obtiene a partir del anterior sumĂĄndole un nĂşmero constante, llamado diferencia que representaremos por đ?&#x2019;&#x2026;: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = đ?&#x2018;&#x2018;

con đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;

En general si:

a1 ď&#x201A;Ż a1

a2 ď&#x201A;Ż a1 ď&#x20AC;Ť d

a3 ď&#x201A;Ż a1 ď&#x20AC;Ť 2d

a4 ď &#x152; an ď&#x201A;Ż ď &#x152; ď&#x201A;Ż a1 ď&#x20AC;Ť 3d ď &#x152; a1 ď&#x20AC;Ť ď&#x20AC;¨n ď&#x20AC;­ 1ď&#x20AC;Š ď&#x192;&#x2014; d

Por lo tanto el tĂŠrmino general de una ProgresiĂłn AritmĂŠtica, (P.A), es: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;1 + (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018; Donde: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; : Primer tĂŠrmino de una ProgresiĂłn AritmĂŠtica. đ?&#x2018;&#x203A;: nĂşmero de tĂŠrminos de una ProgresiĂłn AritmĂŠtica. đ?&#x2018;&#x2018;: diferencia aritmĂŠtica de la ProgresiĂłn AritmĂŠtica, donde đ?&#x2018;&#x2018; es una constante.

Cabe destacar que la diferencia de una P.A. puede ser positiva, negativa o cero. ď&#x201A;§ ď&#x201A;§ ď&#x201A;§

Si đ?&#x2018;&#x2018; < 0 , entonces la P.A. es decreciente. Si đ?&#x2018;&#x2018; > 0 , entonces la P.A. es creciente. Si đ?&#x2018;&#x2018; = 0 , entonces P.A. es constante.

17 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. ProgresiĂłn geomĂŠtrica Atento al siguiente acontecimiento histĂłrico: Cuenta la leyenda que Sessa, inventor del ajedrez, presentĂł el juego a Sheram, prĂ­ncipe de la India, quien quedĂł maravillado de lo ingenioso que era. Se preguntĂł a Sessa que deseaba para recompensarlo y este respondiĂł: â&#x20AC;&#x153;Soberano prĂ­ncipe, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y asĂ­ sucesivamente hasta la casilla 64â&#x20AC;?. ÂżEl soberano habrĂĄ podido recompensar a Sessa, si contaba con 3 hectĂĄreas sembradas de trigo? 1. Completa la siguiente tabla đ?&#x2018;&#x203A;: N° de casilla del tablero del ajedrez. đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x203A; : Cantidad de granos de trigo en la casilla.

n

gn

Expresa el NÂŞ de granos de cada casilla (partir de la primera casilla)

1

g1 ď&#x20AC;˝ 1

g1 ď&#x20AC;˝ 1

2

g2 ď&#x20AC;˝ 2

g2 ď&#x20AC;˝ 1 ď&#x201A;ˇ 2

3

g3 ď&#x20AC;˝ 4

g3 ď&#x20AC;˝ 1 ď&#x201A;ˇ 2 ď&#x201A;ˇ 2 ď&#x20AC;˝ 22 g4 ď&#x20AC;˝ 1 ď&#x201A;ˇ 2 ď&#x201A;ˇ 2 ď&#x201A;ˇ 2 ď&#x20AC;˝ 23

4

ď ?

ď ?

ď ?

n

gn

gn

1. ÂżCuĂĄl es la cantidad de granos en la novena casilla? 2. ÂżCuĂĄl es el valor de la razĂłn

đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x203A; +1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x203A;

para đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 4?

3. Encuentra el tÊrmino general de la sucesión, para poder determinar la cantidad de granos para la casilla N°34. 4. ¿Cuål casilla tendrå aproximadamente 1.048.576 granos? 18 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseùanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. 5. ÂżEl soberano prĂ­ncipe habrĂĄ recompensado a Sessa? ÂżPor quĂŠ? En la actividad anterior el soberano prĂ­ncipe no pudo cumplir con la promesa, pues debĂ­a de tener 18 trillones, que equivalen aproximadamente a la cosecha que se recolecta al sembrar 65 veces toda la tierra.

De lo anterior podemos concluir que se trataba de una sucesiĂłn que era monĂłtona y que sus razĂłn era constante, pues bien a esta sucesiĂłn la llamaremos progresiĂłn geomĂŠtrica, donde r le llamaremos razĂłn y đ?&#x2018;&#x17D;1 el primer tĂŠrmino de la sucesiĂłn, asĂ­ podremos generar los siguientes tĂŠrminos de la sucesiĂłn y tambiĂŠn su tĂŠrmino general. Si los tĂŠrminos đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 , đ?&#x2018;&#x17D;3 , đ?&#x2018;&#x17D;4 , â&#x20AC;Ś estĂĄn en una progresiĂłn geomĂŠtrica y r su razĂłn, entonces:

r r r r r a1 , ď&#x201A;Ž a2 , ď&#x201A;Ž a3 , ď&#x201A;Ž a4 , ď&#x201A;Ž a5 ,ď&#x201A;Ž ... AsĂ­ podremos obtener

a1 ď&#x20AC;˝ a1 a2 ď&#x20AC;˝ a1 ď&#x201A;ˇ r a3 ď&#x20AC;˝ a2 ď&#x201A;ˇ r ď&#x20AC;˝ a1 ď&#x201A;ˇ r 2 a4 ď&#x20AC;˝ a3 ď&#x201A;ˇ r ď&#x20AC;˝ a1 ď&#x201A;ˇ r 3 ď &#x2039;

ď &#x2039;

ď &#x2039;

ď &#x2039;

a15 ď&#x20AC;˝ a14 ď&#x201A;ˇ r ď&#x20AC;˝ a1 ď&#x201A;ˇ r14 ď &#x2039;

ď &#x2039;

ď &#x2039;

ď &#x2039;

an ď&#x20AC;˝ an ď&#x20AC;­1 ď&#x201A;ˇ r ď&#x20AC;˝ a1 ď&#x201A;ˇ r n ď&#x20AC;­1

19 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn.

Una sucesiĂłn de nĂşmeros reales se llama ProgresiĂłn GeomĂŠtrica (P.G.) si cada tĂŠrmino se obtiene a partir del anterior multiplicĂĄndolo por un nĂşmero real fijo, llamado razĂłn, que lo representaremos por r. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x; â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;1

=đ?&#x2018;&#x;

por lo tanto

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1

Donde: đ?&#x2018;&#x17D;1 : Primer tĂŠrmino de la sucesiĂłn de la P.G. đ?&#x2018;&#x203A;: NĂşmero de tĂŠrminos de la P.G. đ?&#x2018;&#x;: RazĂłn geomĂŠtrica de la P.G. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; : TĂŠrmino enĂŠsimo de la P.G.

ProgresiĂłn ArmĂłnica

Una sucesiĂłn real đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; se llama ProgresiĂłn ArmĂłnica o ProgresiĂłn HipergeomĂŠtrica (P.H.), si la sucesiĂłn

1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

, đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; es una

progresiĂłn aritmĂŠtica: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030; 0 Ejemplo ď&#x201A;ˇ

1 1 1

1

La sucesiĂłn 1, 2 , 3 , 4 , â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x203A; , â&#x20AC;Ś, es una P.H ya que la sucesiĂłn formada por los recĂ­procos 1, 2, 3, 4,â&#x20AC;Śn, es una P.A.

20 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. Ă mbitos de aplicaciĂłn Si bien las sucesiones son funciones matemĂĄticas que nos modelan algunas situaciones de la vida diaria, tambiĂŠn es una aplicaciĂłn para otros conceptos matemĂĄticos, ejemplo de ello son las series. ď&#x192;ź 1. Consideremos la siguiente situaciĂłn: Dos Ciclistas se preparan para una competencia: Pablo comienza con 1000 metros, y todos los dĂ­as agrega 1000 metros mĂĄs, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada dĂ­a duplica lo hecho el dĂ­a anterior. ÂżCuĂĄntos metros recorre cada uno el dĂŠcimo dĂ­a? SoluciĂłn: Pablo aumenta el recorrido segĂşn una progresiĂłn aritmĂŠtica, por lo tanto đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 1000 + 10 â&#x2C6;&#x2019; 1 1000 = 10000 En cambio Emilio aumenta su recorrido segĂşn una progresiĂłn geomĂŠtrica, por lo tanto đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 200 â&#x2C6;&#x2122; 210â&#x2C6;&#x2019;1 = 102400 Se puede ver en una tabla Pablo

Emilio

1er dĂ­a

1000

200

2do dĂ­a

2000

400

3er dĂ­a

3000

800

4to dĂ­a

4000

1600

5to dĂ­a

5000

3200

6to dĂ­a

6000

6400

7mo dĂ­a

7000

12800

8vo dĂ­a

8000

25600

9no dĂ­a

9000

51200

10mo dĂ­a

10000

102400

Por lo tanto el dĂŠcimo dĂ­a Pablo recorre 10000 metros y Emilio 102400 metros. SucesiĂłn de Fibonacci En matemĂĄtica, la sucesiĂłn de Fibonacci es la siguiente sucesiĂłn infinita de nĂşmeros naturales: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89â&#x20AC;Ś

21 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. La sucesiĂłn inicia con 1 y 1, y a partir de ahĂ­ cada elemento es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta sucesiĂłn se le llama nĂşmero de Fibonacci. Esta sucesiĂłn fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemĂĄtico italiano del siglo XIII tambiĂŠn conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computaciĂłn, matemĂĄticas y teorĂ­a de juegos. Es decir đ?&#x2018;&#x17D;1 = 1

đ?&#x2018;&#x17D;2 = 1

đ?&#x2018;&#x17D;3 = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 = 1 + 1 = 2

đ?&#x2018;&#x17D;4 = đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x17D;3 = 1 + 2 = 3 â&#x20AC;Ś

Para obtener en forma recursiva el tĂŠrmino đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; , se necesita determinar su predecesor đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; , en cambio para obtener el tĂŠrmino general por una formula explĂ­cita no necesitamos de un tĂŠrmino anterior. Aunque parezca una desventaja lo dicho, la forma recursiva es de gran ayuda, puesto que dan origen a los procesos iterativos, que serĂĄn ilustrados en el capitulo introducciĂłn a los fractales mĂĄs adelante. ď&#x201A;ˇ

Analicemos la siguiente representaciĂłn grĂĄfica de esta sucesiĂłn.

- Construye un cuadrado de lado 1, de una unidad. - Adosa por un lado un cuadrado igual, como muestra la figura. -Adosa a estos dos cuadrados pegados a uno de lado 2 unidades. -Resulta un par de lados de medida 3 unidades. Adosa un cuadrado de lado 3 unidades a uno de estos.

-Adose un cuadrado de lado 5 unidades, y asĂ­ sucesivamente para ir formando la sucesiĂłn. Recientemente pudiste construir una sucesiĂłn de rectĂĄngulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado 1x1, pasan al rectĂĄngulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan de forma progresiva hacia una relaciĂłn curiosa, el cociente entre cada tĂŠrmino y el anterior se va acercando cada vez mĂĄs a un nĂşmero muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el nĂşmero ĂĄureo

1+ 5 2

, es asĂ­ como a este rectĂĄngulo se llama

rectĂĄngulo ĂĄureo. Si unimos los vĂŠrtices de estos rectĂĄngulos se nos va formando una curva llamada espiral como se muestra en la figura, que es de forma bastante ajustada al crecimiento de las conchas 22 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimiento y la forma del reino animal. Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.

Series Actividad Bastian y Paulo desean construir una estructura en forma de pirámide truncada con ladrillos, inicialmente se generará hasta la fila número 4 como lo muestra la figura, luego se construirá hasta la fila número 32, aunque esto no se mostrará en el texto. La primera fila consta de 12 ladrillos, la segunda fila está formada por 14 ladrillos, la tercera de 16 ladrillos, y así sucesivamente, hasta llegar a la fila número 32. Bastian y Paulo, necesitan saber rápido cuántos ladrillos deben de tener para construir la pirámide con 32 filas.

1. ¿En cuánto ladrillos difieren dos filas consecutivas? 2. ¿La construcción de la pirámide se representa por una progresión aritmética o geométrica?

23 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. 3. SĂ­ llamamos đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; el nĂşmero de ladrillos que forman la n-ĂŠsima fila. Encuentre el tĂŠrmino general de la sucesiĂłn. 4. Bastian le dice a Paulo, ÂżPor quĂŠ no hacemos dos pirĂĄmides truncadas, una de ellas invertida, amarilla y la otra anaranjada, acopladas, formando un paralelogramo, con cuatro filas de ladrillos, y luego lo generamos para calcular la suma total de 32 filas? ÂżPodrĂĄn calcularlo? ÂżCuĂĄntos ladrillos son en total?

5. Paulo le dice a Bastian, ÂżPor quĂŠ mejor con tu paralelogramo, le quitamos un triĂĄngulo de ladrillos amarillos por un lado y se lo reponemos por el otro lado, para formar un rectĂĄngulo, como muestra la figura, y asĂ­ podrĂ­amos calcular la suma de los ladrillos de nuestra pirĂĄmide? ÂżCon esta idea de Paulo podrĂ­as calcular la suma? ÂżCĂłmo?

6. Bastian Y Paulo deciden calcular la suma de su pirĂĄmide algebraicamente, pues bien Bastian le dice a Paulo: entonces tenemos que calcular đ?&#x2018;&#x2122;1 + đ?&#x2018;&#x2122;2 + đ?&#x2018;&#x2122;3 + â&#x20AC;Ś + đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; y Paulo le contesta: si llamamos đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; a nuestra suma y como acoplamos dos pirĂĄmides, y una de ella estĂĄ dada vuelta, entonces đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2122;32 + đ?&#x2018;&#x2122;31 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x2122;1 luego nuestra suma serĂĄ calcular: 2 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2122;1 + đ?&#x2018;&#x2122;2 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x2122;32 + (đ?&#x2018;&#x2122;32 + đ?&#x2018;&#x2122;31 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x2122;1 ) AyĂşdalos a calcularla y asocia convenientemente estas sumas, en caso que no puedas pasa a la otra pregunta. 7. Verifica las siguientes igualdades đ?&#x2018;&#x2122;1 + đ?&#x2018;&#x2122;32 = đ?&#x2018;&#x2122;2 + đ?&#x2018;&#x2122;31 = đ?&#x2018;&#x2122;3 + đ?&#x2018;&#x2122;30 = â&#x2039;Ż = đ?&#x2018;&#x2122;32 + đ?&#x2018;&#x2122;1 DefiniciĂłn Sea đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;, una sucesiĂłn, definimos la sumatoria de los n primeros tĂŠrminos de la sucesiĂłn, denotada

24 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2013;=1

Propiedades de la sumatoria Sean đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; y đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; dos sucesiones y đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?, se cumple: a) si đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;? entonces đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2013;=1

b) si đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; es una sucesiĂłn tal que đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; entonces đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013;=1

c) si {đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;? } , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; es una sucesiĂłn tal que đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? + đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; entonces đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013;=1

d) propiedad telescĂłpica đ?&#x2018;&#x203A;

(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 ) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 đ?&#x2018;&#x2013;=1

Algunas sumatorias importantes đ?&#x2018;&#x203A;

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + â&#x2039;Żâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś+ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 + đ?&#x2018;&#x203A; =

đ?&#x2018;&#x2013;= đ?&#x2018;&#x2013;=1 đ?&#x2018;&#x203A;

2

2

2

2

2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + â&#x2039;Żâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś+ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1

2

2

đ?&#x2018;&#x2013;2 =

+đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;+1 2 đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; + 1 (2đ?&#x2018;&#x203A; + 1) 6

ď&#x192;&#x2DC; Una importante aplicaciĂłn de las sucesiones consiste en representar sumas infinitas. Dicho brevemente sea đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; es una sucesiĂłn, entonces: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;&#x17D;4 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + â&#x2039;Ż

25 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn.

Serie AritmĂŠtica: Es una sucesiĂłn de suma parciales aritmĂŠtica. Y su suma es: đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2DC;=1

đ?&#x2018;&#x203A; 2đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;&#x2018; 2

đ?&#x2018;&#x153;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; =

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; 2

Donde đ?&#x2018;&#x17D;1 : Primer tĂŠrmino de una P.A. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; : Ă&#x161;ltimo tĂŠrmino de un P.A.

Serie GeomĂŠtrica: Es una sucesiĂłn de suma parciales geomĂŠtrica. Y su suma es: đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 = đ?&#x2018;&#x2DC;=1

đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;&#x;â&#x2C6;&#x2019;1

Donde đ?&#x2018;&#x17D;1 : Primer tĂŠrmino de una P.G. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; : Ă&#x161;ltimo tĂŠrmino de un P.G.

donde đ?&#x2018;&#x; =

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x203A; +1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

Cabe destacar que: -En el caso en que |r|<1 se dice que la serie converge -En el caso en que r>1 se dice que la serie diverge -En el caso en que r=1 no hay informaciĂłn con respecto a la serie. Ejemplo. Determina la suma de los diez primeros tĂŠrminos de la progresiĂłn geomĂŠtrica 3, 6, 12, 24,â&#x20AC;Ś SoluciĂłn: El dĂŠcimo tĂŠrmino es đ?&#x2018;&#x17D;10 = đ?&#x2018;&#x17D;1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x; 9 = 3 â&#x2C6;&#x2122; 29 = 1536 26 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. La suma serĂĄ

10 đ?&#x2018;&#x2DC;=1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

=

đ?&#x2018;&#x17D; 10 â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;&#x;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; 1 đ?&#x2018;&#x;â&#x2C6;&#x2019;1

=

1536 â&#x2C6;&#x2122;2â&#x2C6;&#x2019;3 2â&#x2C6;&#x2019;1

= 3069

Ejemplo: En un parque hay 50 filas de arboles y se sabe que la diferencia entre numero de arboles de una fila y el del anterior es constante y ademĂĄs que en la fila ocho hay 41 y en la quince 62. Hallar; 1) La diferencia entre primer nĂşmero de ĂĄrboles de dos filas consecutivas; 2) Valor de la plantaciĂłn si cada ĂĄrbol vale 100 pesos. 3) Sabemos que es una progresiĂłn aritmĂŠtica, porque la diferencia es constante. n = 50; a8 = 41; a15 = 62; d = ? ; S = ? precio = ? Una progresiĂłn podrĂ­a tener como primer tĂŠrmino đ?&#x2018;&#x17D;8=41 ; Ă&#x161;ltimo termino a15 = 62 y n = 8 đ?&#x2018;&#x17D;15 = đ?&#x2018;&#x17D;8 + đ?&#x2018;&#x203A; + 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018; 62 = 41 + 7đ?&#x2018;&#x2018; 21 = 7đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;=3 Como sabemos cuĂĄnto vale đ?&#x2018;&#x17D;8 , hacemos que ĂŠste sea el Ăşltimo; 41 = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018; 41 = đ?&#x2018;&#x17D;1 + 7 â&#x2C6;&#x2122; 3 đ?&#x2018;&#x17D;1 = 41 â&#x2C6;&#x2019; 21 đ?&#x2018;&#x17D;1 = 20 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 20 + 49 â&#x2C6;&#x2122; 3 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 20 + 147 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 167 đ?&#x2018;&#x2020;=

(20 + 167) â&#x2C6;&#x2122; 50 2

đ?&#x2018;&#x2020; = 187 â&#x2C6;&#x2122; 25 đ?&#x2018;&#x2020; = 4675 En donde d=3 y hay 467500 pesos.

27 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. Fractales Anteriormente trabajaste con sucesiones infinitas reales, cuya gráfica estaba bien definida, fáciles de manipular y se podían dibujar a mano alzada. Pero ahora estudiaremos sucesiones geométricas, que pueden expresarse en cada una de sus etapas por el método de iteración, cuya grafica es irregular, es decir, infinitos detalles, tendrán longitud infinita, contienen una imagen de sí misma en cada una de sus partes. ¿Existirá un objeto con estas características, pero llevada al extremo? ¿Qué mantengan la misma estructura en cada parte, así como las partes de todas sus partes? Pues bien, observa las siguientes imágenes.

Busca las formas que componen cada una de las imágenes ¿Ves alguna regularidad en cada una?

Con el propósito de crear una geometría capaz de describir la Naturaleza Mandelbrot desarrollo la geometría fractal. Los conjuntos fractales aparecen bajo diversas formas. Algunos son curvas,

28 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. otros una composición de figuras geométricas e incluso presentan formas tan extrañas que no hay términos geométricos clásicos para describirlos. Triangulo de Sierpinski Consideremos un triángulo equilátero determinando sus medianas, se extrae el triángulo que se formó; quedan tres triángulos como se muestra en la etapa 1. Trazando en estos nuevos triángulos sus medianas, extrae los tres triángulos interiores como se muestra en la etapa 2 y así sucesivamente.

Etapa Triángulos extraídos 1 1 2 3 3 9 4 5 6 7 8 9 10

 n

1. ¿Cuántos triángulos se sacaron en la quinceava etapa? 2. ¿Podrías encontrar cuántos triángulos se sacaron en la etapa 50? 3. Encuentra una expresión algebraica que relacione las variables, número de etapas y triángulos sacados. 4. ¿Podrías decir que entre las variables número de etapa y triángulos sacados permite establecer una función? ¿Por qué? En el caso que fuera una función establece su dominio y recorrido.

29 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. Construcción del Triángulo de Sierpinski en software geométrico Geogebra Partamos (iteración n=0) de la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Para ello debemos realizar su construcción a partir de un segmento de longitud a y extremos A y B. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. En la figura animada observamos hasta cinco iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

30 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación.

31 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. A continuación en la barra de herramientas, seleccionamos “herramientas” y luego “creación de herramienta nueva” y luego seleccionamos nuestro objeto de salida, el cual es todo el triangulo, luego objeto de entrada, los dos puntos iniciales A y B, y luego en “nombre e icono” seleccionamos el nombre de nuestra herramienta.

32 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación.

Paradoja de Zenón de Elea En el siglo V a. C., Zenón de Elea, un hábil filósofo y matemático griego, intentaba convencer a sus contemporáneos de que el testimonio de los sentidos era ilusorio y que no se podía confiar en el uso de la razón para describir el mundo. Inventaba, para este fin, sutiles argumentos lógicos que llevaban a conclusiones contradictorias, sus famosas paradojas, que desconcertaron a sus compatriotas y son recordadas hasta el día de hoy. Paradoja de la flecha que nunca llega a destino La paradoja señala que la flecha nunca llega a destino. Fíjate que si la flecha se demora, pongamos 1 2

segundo en recorrer la mitad de la distancia que la separa del blanco, entonces forzosamente se 1

1

demorará la mitad de ese tiempo, o sea 4 de segundos, en recorrer la mitad de la mitad, es decir, 4 1 8

1 2

1 4

1 8

de la distancia al blanco, de segundo en + + +

1 16

+

1 32

+

1 64

+

1 128

+. ..recorrer la mitad de lo

que le falta todavía, etc. Entonces el tiempo necesario para recorrer la serie infinita de trechos cada vez más cortos, que visualiza Zenón, se puede ver como la suma infinita de lapsos. 1 2

1

1

1

1

1

1

+ 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +. ..

Que son cada vez más breves; más precisamente, cada uno es la mitad del anterior. Sin embargo, lo que ocurre es que esta suma infinita de tiempos converge a un valor finito, exactamente 1 segundo en este caso. Lo único que ha hecho Zenón, con su refinado razonamiento,

33 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. es descomponer el lapso de 1 segundo, como una suma infinita de lapsos cada vez mĂĄs breves.

El hombre que calculaba Existen aplicaciones de las sucesiones tambiĂŠn en la literatura tal es el caso del libro â&#x20AC;&#x153;El hombre que calculabaâ&#x20AC;? de Malba Tahan. PROBLEMA DE LOS CUATRO CUATROS Escribir con cuatro cuatros y signos matemĂĄticos una expresiĂłn a un nĂşmero entero dado. En la expresiĂłn no puede figurar â&#x20AC;&#x201C; fuera de los cuatro cuatros - ninguna cifra, letra o sĂ­mbolo algebraico que suponga letras tal como: log, lim, etc. SOLUCIĂ&#x201C;N: 0 = 44 â&#x20AC;&#x201C; 44,

1 = 4/4 + 4 â&#x20AC;&#x201C; 4, 2 = 4/4 + 4/4, 3 = (4 + 4 + 4)/4, 4 = 4 + (4 - 4)/4, 5 = (4x4 + 4)/4,

6 = 4+ (4+4)/4, 7 = 44/4 â&#x20AC;&#x201C; 4, 8 = 4 + 4 + 4 â&#x20AC;&#x201C; 4, 9 = 4 + 4 + (4/4), 10 = (44 - 4)/4, 11 = 4 + (4+4)/4, 12 = 4[4 - (4/4)], 13 = (4 + 4 + 4)/4, 14 = 4 + 4 + 4/4, 15 = (4x4) - 4/4 16 = (4x4) + 4 â&#x20AC;&#x201C; 4, 17 = 4x4 + 4/4, 18 = 4 - (4 - 4/4) , 19 = 4 - 4 - 4/4, 20 = 4(4 + 4/4), 21= 4/4 + 4 â&#x20AC;&#x201C; 4, 22 = 4 - (4 + 4)/4 , 23 = 4 â&#x20AC;&#x201C; 4, 24 = 4+4(4-4), 25 = 4+4, 26 = 4+(4+4)/4, 27 = 4+4-4/4, 28 = 4+4+(4-4), 29 = 4+4/4+4 , 30 = (4 + 4/4) /4 â&#x20AC;Ś, etc. Pudiendo asĂ­ construir cualquier numero en base a cuatro cuartos.

InterĂŠs compuesto El interĂŠs compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interĂŠs (i) durante un periodo t, en el cual los intereses que se obtienen al final de cada periodo de inversiĂłn no se retiran sino que se reinvierten o aĂąaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (đ??śđ?&#x2018;Ą ). Supongamos que ponemos un capital P a una tasa del 6% de interĂŠs anual con una capitalizaciĂłn trimestral. Esto significa que cada tres meses el capital serĂĄ reajustado en un 1.5% y este interĂŠs es agregado al capital. Por lo tanto se tendrĂĄ: Primer periodo đ?&#x2018;&#x192; + 0.015đ?&#x2018;&#x192; = 0.015đ?&#x2018;&#x192; 34 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. Segundo periodo 0.015đ?&#x2018;&#x192; + 0.015 â&#x2C6;&#x2014; 1.045đ?&#x2018;&#x192; = 1.045(đ?&#x2018;&#x192; + 0.015đ?&#x2018;&#x192;) = 1.015 â&#x2C6;&#x2014; 1.015đ?&#x2018;&#x192; = 1.015 2 đ?&#x2018;&#x192; Tercer periodo 1.015 2 đ?&#x2018;&#x192; + 0.015 â&#x2C6;&#x2014; 1.015 2 đ?&#x2018;&#x192; = 1.015 2 đ?&#x2018;&#x192; â&#x2C6;&#x2014; 1 + 0.015 = (1.015)3 đ?&#x2018;&#x192; Al aĂąo, cuarto periodo (1.015)â ´P En general, en t aĂąos se obtendrĂĄ đ??ś = (1.015)4đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;. Observa que la expresiĂłn 1.015 proviene de 1+1 +

đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; 4

%

(considerando el interĂŠs de la forma 100 )

Por lo tanto el capital acumulado de un periodo inicial P, colocando a un r% de interĂŠs anual en k periodos anuales y en t aĂąos, serĂĄ: đ?&#x2018;&#x; đ??ś = (1 + )đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x201C;Ăłđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;ĂŠđ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;

Ejemplo: Se dispone de 1.000.000 de pesos el cual se deposita en una entidad financiera que le pagarĂĄ un interĂŠs mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial acumulada cada mes. ÂżCuĂĄnto se tendrĂĄ al final de 1 aĂąo? DATOS: Ci=1.000.000, capital inicial i= 2.5% mensual n= 12 meses Cf= Capital Final Aplicando la fĂłrmula i n Cf = Ci Ă&#x2014; 1 + 100 Cf = 1.000.000 Ă&#x2014; 1 + 0.025 12 Cf = 1.000.000 Ă&#x2014; 1.025 12 Cf = 1.000.000 Ă&#x2014; 1,344888824 Cf = 1.344.888,824 Actividad Ayuda a don Sergio ya que tiene una deuda de $100.000, a una tasa de interĂŠs de un 20% anual. Si la deuda se reajusta mensualmente mediante interĂŠs compuesto. ÂżCuĂĄnto deberĂĄ pagar al cabo de un aĂąo?

35 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. Anexo Clase del dĂ­a 02 de Enero del 2012 Clase Inductiva, en la cual su realizaciĂłn se baso en el Paradigma Conductista. OFV: - Conocer y utilizar conceptos y lenguaje matemĂĄtico asociados a modelaciĂłn matemĂĄtica y procesos infinitos. Sucesiones En matemĂĄticas, la palabra sucesiĂłn se usa en un sentido muy parecido al usual, es decir que una colecciĂłn de objetos o de sucesos esta en sucesiĂłn significa que esta ordenado de modo que algunos de ellos se identifican como el primero, segundo, etc. MatemĂĄticamente una sucesiĂłn se define como una funciĂłn cuyo dominio lo constituyen los nĂşmeros enteros positivos. Aunque una sucesiĂłn es una funciĂłn, pueden denotarse las sucesiones con notaciĂłn de subĂ­ndices en lugar de con la notaciĂłn habitual de funciones DefiniciĂłn: Diremos que a es una sucesiĂłn real si y sĂłlo sĂ­ a es una funciĂłn que va del conjunto de los nĂşmeros naturales (IN) a IR. Por lo tanto la funciĂłn a: IN ď&#x201A;Ž IR es una sucesiĂłn real. 1

2

3 4

5 â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś. n

đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;&#x17D;4 đ?&#x2018;&#x17D;5

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

Se dice: (Al 1 le corresponde đ?&#x2018;&#x17D;1 al 2 le corresponde đ?&#x2018;&#x17D;2 y asĂ­ sucesivamente. Los tĂŠrminos đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;&#x17D;4 đ?&#x2018;&#x17D;5 â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; son los tĂŠrminos de una sucesiĂłn.) El numero đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; es el termino e-nesimo de la sucesiĂłn la sucesiĂłn completa se denota đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; (aunque se podrĂ­a usar una letra cualquiera del alfabeto para denotar la sucesiĂłn). Ejemplo: 1) Los tĂŠrminos de la sucesiĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = {3 + â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A; } son: 3 + â&#x2C6;&#x2019;1 1 , 3 + â&#x2C6;&#x2019;1 2 , 3 + â&#x2C6;&#x2019;1 3 , 3 + â&#x2C6;&#x2019;1 4 , â&#x20AC;Ś 2,

4,

2,

4

36 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. 2) (Lo realizan los alumnos) Los tĂŠrminos de la sucesiĂłn đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = {3 + â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A; } son: Propiedades de Sucesiones 1. Producto de una sucesiĂłn por un nĂşmero: Considerando la sucesiĂłn del tĂŠrmino general đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; y un nĂşmero real cualquiera k se tiene que: đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; 2. Suma de Sucesiones: Dadas las sucesiones de tĂŠrminos generales đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; y đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; se tiene que: {đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; } + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = {đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; } La suma de sucesiones cumple con las propiedades:

ď&#x20AC;¨ď ťan ď ˝ď&#x20AC;Ť ď ťbn ď ˝ď&#x20AC;Š ď&#x20AC;Ť ď ťcn ď ˝ ď&#x20AC;˝ ď ťan ď ˝ď&#x20AC;Ť ď&#x20AC;¨ď ťbn ď ˝ď&#x20AC;Ť ď ťcn ď ˝ď&#x20AC;Š

v)

Asociativa

vi)

Conmutativa

vii)

SucesiĂłn nula (0, 0, 0, 0, â&#x20AC;Ś)

viii)

Para cada sucesiĂłn {đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; } existe una sucesiĂłn opuesta {â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; }.

ď ťan ď ˝ď&#x20AC;Ť ď ťbn ď ˝ ď&#x20AC;˝ ď ťbn ď ˝ď&#x20AC;Ť ď ťan ď ˝

3. Producto de Sucesiones: Con las sucesiones de tĂŠrminos generales đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; y đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; se tiene que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = {đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; } El producto de las sucesiones cumple con: i)

ii)

La sucesiĂłn unidad (1, 1, 1, 1, â&#x20AC;Ś) es el elemento neutro del producto de sucesiones.

ď&#x192;Ź1ď&#x192;ź ď&#x192;­ ď&#x192;˝ a ď ťa ď ˝ Para cada sucesiĂłn n existe la sucesiĂłn inversa ď&#x192;Ž n ď&#x192;ž si todos los tĂŠrminos ď ťan ď ˝

de

son distintos de cero.

37 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. 4. Cuociente de Sucesiones: Con las sucesiones de tĂŠrminos generales

a n y bn se tiene que:

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; Para poder realizar el cuociente de dos sucesiones es imprescindible que la sucesiĂłn divisor tenga todos los tĂŠrminos distinto de cero, de esta forma los cuocientes tienen sentido. Sucesiones monĂłtonas crecientes y decrecientes -

Una sucesiĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; es monĂłtona creciente cuando cada tĂŠrmino es menor o igual que el tĂŠrmino siguiente; es decir: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 cualquiera que sea el nĂşmero natural n. Una sucesiĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; es monĂłtona decreciente cuando cada tĂŠrmino es mayor o igual que el tĂŠrmino siguiente; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 es decir: cualquiera que sea el nĂşmero natural n. Una sucesiĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; es estrictamente creciente si es monĂłtona creciente y todos sus tĂŠrminos distintos; es decir: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; < đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 cualquiera que sea el nĂşmero natural n. Una sucesiĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; es estrictamente decreciente si es monĂłtona decreciente y todos sus tĂŠrminos son distintos; es decir: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; > đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 cualquiera que sea el nĂşmero natural.

Series Una aplicaciĂłn importante de las sucesiones consiste en representar â&#x20AC;&#x153;sumas infinitasâ&#x20AC;?. si đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; es una sucesiĂłn entonces: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;&#x17D;4 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + â&#x2039;Ż Donde los đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; son los tĂŠrminos de la serie para hallar la suma de las series consideramos la sucesiĂłn de sumas parciales đ?&#x2018; 1 = đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018; 2 = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018; 3 = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018; 4 = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;&#x17D;4 đ?&#x2018; 5 = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;&#x17D;4 + đ?&#x2018;&#x17D;5 ... đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x17D;3 +. . . +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

38 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. DefiniciĂłn Sea đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;, una sucesiĂłn, definimos la sumatoria de los n primeros tĂŠrminos de la sucesiĂłn, denotada đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2013;=1

Propiedades de la sumatoria Sean đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; y đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; dos sucesiones y đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?, se cumple: a) si đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;? entonces đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2013;=1

b) si đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; es una sucesiĂłn tal que đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; entonces đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013;=1

c) si {đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;? } , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; es una sucesiĂłn tal que đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? + đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; entonces đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013;=1

d) propiedad telescĂłpica đ?&#x2018;&#x203A;

(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 ) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 đ?&#x2018;&#x2013;=1

Algunas sumatorias importantes đ?&#x2018;&#x203A;

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + â&#x2039;Żâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś+ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 + đ?&#x2018;&#x203A; =

đ?&#x2018;&#x2013;= đ?&#x2018;&#x2013;=1 đ?&#x2018;&#x203A;

2

2

2

2

2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + â&#x2039;Żâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś+ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1

2

2

đ?&#x2018;&#x2013;2 =

+đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;+1 2 đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; + 1 (2đ?&#x2018;&#x203A; + 1) 6

39 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. Progresiones ProgresiĂłn aritmĂŠtica Una sucesiĂłn real đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;? se llama progresiĂłn aritmĂŠtica, denotada por P.A si: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

đ?&#x2018;&#x17D;1 = đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x2018;, đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;? â&#x2C6;&#x2019; 0 , â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;?

Donde d se llama la diferencia de la progresiĂłn aritmĂŠtica. Suma de n tĂŠrminos: Llamemos Sn a la suma de los n tĂŠrminos y escribamos la suma dos veces, invirtiendo los sumandos en una de ellas. Sn = a1 + a2 +... + an-1 + an Sn = an + an-1 +... + a2 + a1 Sumando las dos igualdades resulta: 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) +... + (an-1 + a2) + (an + a1) Como hay n parĂŠntesis y el valor de cada uno es (a1 + an) se tiene: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) +... + (a1 + an) = (a1 + an)¡n đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x203A; =

De donde:

đ?&#x2018;&#x17D; 1 +đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x203A; 2

â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;

Ejemplo: ď&#x201A;ˇ

Sea la sucesiĂłn đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; tal que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A; luego tenemos.

Por extensiĂłn: 1, 2, 3, 4, 5, 6,â&#x20AC;Ś.., n. Luego đ?&#x2018;&#x17D;1 = 1 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018; = 1. ProgresiĂłn geomĂŠtrica Una sucesiĂłn real đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; se llama progresiĂłn geomĂŠtrica denotada por P.G si: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

đ?&#x2018;&#x17D;1 = đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;? â&#x2C6;&#x2019; 0,1 , â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022;

Donde đ?&#x2018;&#x; =

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x203A; +1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

se llama razĂłn de P.G.

Ejemplo:

40 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. ď&#x201A;ˇ

La sucesiĂłn cuyos primeros tĂŠrminos son: 2, 4, 8, 16, 32, 64,â&#x20AC;Ś es una P.G, donde el primer tĂŠrmino es đ?&#x2018;&#x17D;1 = 2 y la razĂłn es r = 2

Caso particular: Series geomĂŠtricas đ?&#x2018;&#x; = 1 + đ?&#x2018;&#x;2 + đ?&#x2018;&#x;3 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x203A; -En el caso en que |r|<1 se dice que la serie converge -En el caso en que r>1 se dice que la serie diverge -En el caso en que r=1 no hay informaciĂłn con respecto a la serie Ejemplo: â&#x2C6;&#x17E;

3 2

đ?&#x2018;&#x203A;=0

đ?&#x2018;&#x203A;

3 9 27 =1+ + + +â&#x2039;Ż 2 4 8

3

Tiene razĂłn đ?&#x2018;&#x; = 2 . Como đ?&#x2018;&#x; â&#x2030;Ľ 1 , la serie diverge. ProgresiĂłn armĂłnica 1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

Una sucesiĂłn real đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? , đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; se llama progresiĂłn armĂłnica, denotada por P.H si ( ) đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x2022; es una progresiĂłn aritmĂŠtica: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030; 0 Ejemplo ď&#x201A;ˇ

1 1 1

1

La sucesiĂłn 1, 2 , 3 , 4 , â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x203A; , â&#x20AC;Ś, es una P.H ya que la sucesiĂłn formada por los recĂ­procos 1, 2, 3, 4,â&#x20AC;Śn, es una P.A.

AplicaciĂłn de Sucesiones Actividad Un ciclista estĂĄ muy ilusionado en ganar la competencia que se realiza en su pueblo. Un amigo le ha dicho que si entrena todos los dĂ­as, medio kilĂłmetro mĂĄs cada dĂ­a, podrĂĄ ganar la competencia. Teniendo en cuenta que el primer dĂ­a de entrenamiento recorriĂł 10 kilĂłmetros. a) Construya una tabla donde relacione cuanto recorre el ciclista los primeros 10 dĂ­as de entrenamiento. b) ÂżCuĂĄntos kilĂłmetros recorrerĂĄ el ciclista al sexto dĂ­a de entrenamiento? ÂżAl cabo de 31 dĂ­as?

41 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. c) ÂżQuĂŠ formula permite relacionar el los kilĂłmetros junto a los dĂ­as recorridos? -ProgresiĂłn AritmĂŠtica Un individuo conviene en pagar una deuda de $36.000 en 40 pagos parciales anuales que forman una P.A. Cuando 30 de los pagos estĂĄn cubiertos, el deudor fallece dejando una tercera parte de la deuda sin cancelar. Calcule el valor del primer pago. SoluciĂłn: La suma de los 40 pagos serĂĄ $36.000. Los pagos estĂĄn en un P.A. luego; đ?&#x2018; 40 =

40 2

2đ?&#x2018;Ą1 + 39đ?&#x2018;&#x2018; ; Como đ?&#x2018;&#x2020;40 = 36.000

â&#x;š 1.800 = 2đ?&#x2018;Ą1 + 39đ?&#x2018;&#x2018; â&#x20AC;Ś (â&#x2C6;&#x2014;1 ) 1

Los 30 primeros pagos suman 36.000 â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2122; 36.000 = 36.000 â&#x2C6;&#x2122;

2 3

= 24.000 Luego, đ?&#x2018; 30 =

30 2đ?&#x2018;Ą1 + 29đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2021;&#x2019; 1600 = 2đ?&#x2018;Ą1 + 29đ?&#x2018;&#x2018; â&#x20AC;Ś (â&#x2C6;&#x2014;2 ) 2

Juntando â&#x2C6;&#x2014;1 đ?&#x2018;Ś (â&#x2C6;&#x2014;2 ), se tiene: 2đ?&#x2018;Ą1 + 39đ?&#x2018;&#x2018; = 1800 2đ?&#x2018;Ą1 + 29đ?&#x2018;&#x2018; = 1600 â&#x;š 10đ?&#x2018;&#x2018; = 200 â&#x;š đ?&#x2018;&#x2018; = 20 â&#x;š 2đ?&#x2018;Ą1 + 29đ?&#x2018;&#x2018; = 1600 2đ?&#x2018;Ą1 + 29 â&#x2C6;&#x2122; 20 = 1600 â&#x;š đ?&#x2018;Ą1 = 510 Por lo tanto, el valor del primer pago es $510. -ProgresiĂłn GeomĂŠtrica Se deja caer una pelota desde 6 pies de altura y comienza a botar, como muestra la figura (a la izquierda). Cada vez rebota ž de la altura desde la que cae del bote anterior. Calcular la distancia vertical total recorrida por la pelota. 42 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. SoluciĂłn: Cuando la pelota por primera vez el suelo ha recorrido una distancia đ??ˇ1 = 6. Sea đ??ˇđ?&#x2018;&#x203A; la distancia de subida y bajada en el n-ĂŠsimo bote subsiguiente. Por ejemplo, đ??ˇ2 đ?&#x2018;Ś đ??ˇ3 son: đ??ˇ2 = 6

3 3 3 +6 = 12 đ??ˇ3 4 4 4 3 3 3 3 3 =6 +6 = 12 4 4 4 4 4

2

Continuando con este proceso, encontramos que la distancia vertical total recorrida es đ??ˇ = 6 + 12

3 3 + 12 4 4 â&#x2C6;&#x17E;

= 6 + 12 đ?&#x2018;&#x203A;=0

3 = 6 + 12 4

=6+9

1 3 1â&#x2C6;&#x2019; 4

2

+ 12 3 4 â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x203A;=0

3 4

3

+â&#x2039;Ż

đ?&#x2018;&#x203A;+1

3 4

đ?&#x2018;&#x203A;

= 6 + 9(4)

= 42 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;

43 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. CONTROL SUCESIONES (SoluciĂłn) Nombre:

Fecha:

Nota:

1) Sucesiones a) Escribe los tĂŠrminos đ?&#x2018;&#x17D;2 , đ?&#x2018;&#x17D;3 , đ?&#x2018;&#x17D;4 , đ?&#x2018;&#x17D;5 de las siguientes sucesiones: a.1) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; =

â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A;!

a.2) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1

, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;1 = 77

SoluciĂłn: a.1) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; =

â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A;!

â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 = đ?&#x2018;&#x17D;5 =

â&#x2C6;&#x2019;1 2 â&#x2C6;&#x2019;1 =0 ; 2! 5 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 1 = â&#x2C6;&#x2019; 60 5!

đ?&#x2018;&#x17D;3 =

â&#x2C6;&#x2019;1 3 â&#x2C6;&#x2019;1 3!

1

= â&#x2C6;&#x2019; 3 ; đ?&#x2018;&#x17D;4 =

â&#x2C6;&#x2019;1 4 â&#x2C6;&#x2019;1 4!

=0 ;

a.2) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 = 2 + 77 = 79 ; đ?&#x2018;&#x17D;3 = 3 + 79 = 82 ; đ?&#x2018;&#x17D;4 = 4 + 82 = 86 ; đ?&#x2018;&#x17D;5 = 5 + 86 = 91 b) Encuentra el tĂŠrmino general de las sucesiones cuyos primeros tĂŠrminos son los siguientes: b.1) 1, 2, 6, 24, 120, 720,.... b.2)

â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019;1 1 , , , â&#x20AC;Ś 4 7 10 13

SoluciĂłn: b.1) 1, 2, 6, 24, 120, 720,.... b.2)

â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019;1 1 , , , â&#x20AC;Ś 4 7 10 13

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A;! đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; =

â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A; 3đ?&#x2018;&#x203A;+1

c) Dadas las sucesiones de tĂŠrmino general: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1

2

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = 5 â&#x2C6;&#x2122; 100đ?&#x2018;&#x203A;5

0

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 4,

se pide:

c.1) Determina las sucesiones: ď ťa n ď ˝ ď&#x20AC;Ť ď ťb n ď ˝; 2ď ťc n ď ˝ ď&#x20AC;­ ď ťb n ď ˝; ď ťb n ď ˝ď&#x192;&#x2014; ď ťc n ď ˝ y escribe sus dos primeros tĂŠrminos.

ď ťb n ď ˝ ď ťa n ď ˝ ď ťb ď ˝ ď ťc ď ˝ c.2) ÂżSe puede considerar una sucesiĂłn n ? ÂżY n ? SoluciĂłn: 44 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. c.1) * đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1

2

+ 5 â&#x2C6;&#x2122; 100đ?&#x2018;&#x203A;5

0

= đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x203A; + 1 + 5 = đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x203A; + 6 = đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;¤1 = 12 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2122; 1 + 6 = 5 *2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = 2 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019; 5 â&#x2C6;&#x2122; 100đ?&#x2018;&#x203A;5

0

đ?&#x2018;¤2 = 22 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2122; 2 + 6 = 6 = 4đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 8 â&#x2C6;&#x2019; 5 = 4đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 13

đ?&#x2018;¤1 = 4 â&#x2C6;&#x2122; 1 â&#x2C6;&#x2019; 13 = â&#x2C6;&#x2019;9 * đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = 5 â&#x2C6;&#x2122; 100đ?&#x2018;&#x203A;5

0

đ?&#x2018;¤2 = 4 â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2019; 13 = 5

â&#x2C6;&#x2122; 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 4 = 10đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 20

đ?&#x2018;¤1 = 10 â&#x2C6;&#x2122; 1 â&#x2C6;&#x2019; 20 = â&#x2C6;&#x2019;10

đ?&#x2018;¤2 = 10 â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2019; 20 = 0

c.2) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A;

=

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 2 5â&#x2C6;&#x2122; 100đ?&#x2018;&#x203A; 5 0

=

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 2 5

; Si se puede considerar como una sucesiĂłn, es funciĂłn y estĂĄ definida

en todo su dominio de los nĂşmeros naturales y su recorrido son los reales. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A;

=

5â&#x2C6;&#x2122; 100đ?&#x2018;&#x203A; 5 2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;4

0

; No se puede considerar como sucesiĂłn, porque no es funciĂłn, ya que en n=2, la

sucesiĂłn queda indefinida y su imagen no pertenece a los reales. 2) SĂ­ a, b, c estĂĄn en progresiĂłn aritmĂŠtica y se tiene que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = 0, demuestre que la ecuaciĂłn admite como soluciĂłn al (-1). SoluciĂłn: Si a, b, c estĂĄn en progresiĂłn aritmĂŠtica, entonces: (Diferencia en P.A.)

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

â&#x2021;&#x2019;

đ?&#x2018;? = 2đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;

Luego la ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = 0, se convierte en đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; = 0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;? = 0 đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ + 1 = 0 đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;Ľ + 1 + 2đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ + 1 = 0 đ?&#x2018;Ľ + 1 đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2đ?&#x2018;? = 0

â&#x2021;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ + 1 = 0 â&#x2C6;¨ đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2đ?&#x2018;? = 0 đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;´ una de las soluciones de la ecuaciones es (â&#x2C6;&#x2019;1) 45 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de MatemĂĄticas y Ciencias de la ComputaciĂłn. Licenciatura En EducaciĂłn MatemĂĄtica y computaciĂłn. 3) Considere la PA: 5,â&#x20AC;Ś,28,â&#x20AC;Ś,â&#x20AC;Ś,73. Intercalando una cierta cantidad de nĂşmeros entre 5 y 28, y el doble de esa cantidad entre 28 y 73. Calcule la suma desde 5 hasta 73 inclusive. SoluciĂłn: đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A;Ăşđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019; 5 đ?&#x2018;Ś 28

Sea

â&#x2C6;´ 2đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A;Ăşđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019; 28 đ?&#x2018;Ś 73 Luego, n tĂŠrminos

5,

,

,...,

2n tĂŠrminos

, 28, , ,â&#x20AC;Ś, , 73

t1

tn+2

t3n+3

AsĂ­ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x203A;+2 = đ?&#x2018;Ą1 + đ?&#x2018;&#x203A; + 1 đ?&#x2018;&#x2018;

, đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x203A;+2 = 28, đ?&#x2018;Ą1 = 5

đ?&#x2018;Ą3đ?&#x2018;&#x203A;+3 = đ?&#x2018;Ą1 + 3đ?&#x2018;&#x203A; + 2 đ?&#x2018;&#x2018;

, đ?&#x2018;Ą3đ?&#x2018;&#x203A;+3 = 73, đ?&#x2018;Ą1 = 5

Luego 23 = đ?&#x2018;&#x203A; + 1 đ?&#x2018;&#x2018; 68 = (3đ?&#x2018;&#x203A; + 2)đ?&#x2018;&#x2018; 23

68

â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;+1 = 3đ?&#x2018;&#x203A;+2 â&#x2021;&#x2019; 69đ?&#x2018;&#x203A; + 46 = 68đ?&#x2018;&#x203A; + 68 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; = 22

â&#x2021;&#x2019;

23

23

đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x203A;+1 = 23 = 1

â&#x2021;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2018;=1

El nĂşmero de tĂŠrminos es: 3đ?&#x2018;&#x203A; + 3 = 3 â&#x2C6;&#x2122; 22 + 3 = 69 Por lo tanto,

đ?&#x2018;&#x2020;69 =

69 (2 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ą1 2

đ?&#x2018;&#x2020;69 =

69 2

+ (69 â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x2018;&#x2018;)

2 â&#x2C6;&#x2122; 5 + 68đ?&#x2018;&#x2018; = 2.691 â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x2020;69 = 2.691

46 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la EnseĂąanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. Conclusión En base a nuestro trabajo podemos rescatar los contextos en los que se presentan los procesos infinitos (sucesiones, series, fractales), que no son menores ni muy alejados del contexto de los estudiantes de enseñanza media. A medida en que se realizó este trabajo nos percatamos de la poca importancia y tiempo que se entrega a este concepto en el aula y la poca significancia que los profesores le dan al contexto de estos conceptos con la resolución de problemas en base a fórmulas y/o definiciones, incentivando la memorización de procesos, por diversas razones, siendo la más evidente ante nosotros la importancia dedicada a la preparación PSU que el contenido mismo de cuarto medio, ya que la unidad de procesos infinitos corresponde al programa electivo de matemáticas de dicho curso. Respecto a nuestra experiencia en el aula, al realizar una clase basada en el paradigma conductista, nos vimos muy limitados al momento de querer provocar un aprendizaje significativo del concepto de sucesión, de hacer actividades interesantes que motivaran al alumno, ya que nos regimos a entregar la definición, ejercicios y luego mostrar y que ejercitaran la aplicación de las sucesiones, además observamos que el enfoque conductista es un método que no desarrolla buenos resultados respecto a que el alumno obtenga un aprendizaje significativo, sin embargo, en base a nuestra experiencia creemos que los paradigmas conductistas y constructivista pueden ser enlazados en el aula de manera de que los alumnos logren obtener mejores resultados en su aprendizaje significativo. Esto nos motiva como futuros docentes a querer buscar formas interesantes de manera que los alumnos se motiven y que su participación sea activa para que logren visualizar la utilidad de las matemáticas, con el fin de que dejen de verlas como algo lejano y difícil para ellos.

47 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media


Universidad de Santiago de Chile. Facultad de Ciencia. Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Licenciatura En Educación Matemática y computación. Bibliografía    

 

Novoa, E. (2004). Presentación de contenidos y actividades para la enseñanza de los procesos infinitos en plan diferenciado de cuarto año de educación media. Santiago: Autor. Becerra, R. Cid, E. Vera, A (2003).Matemáticas 4° año medio, texto del estudiante. Santiago: Arrayan editores. Larson, R. () .Cálculo volumen 1. :Mc Graw Hill Programa de Estudio para Cuarto Año Medio, Formación Diferenciada, HumanísticoCientífica, Matemática: Funciones y Procesos Infinitos, extraído desde http://www.curriculum-mineduc.cl/ http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Interes_compuesto.html http://www.amschool.edu.sv/paes/c10.htm

48 Sucesiones como modelo de problema de aplicaciones en la Enseñanza Media

Tesina  

SUCESIONES-EDUCACIÓN MEDIA

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