Lecture 32 Change of Variables in Multiple Integrals Calculus II Topic 4: Multiple Integrals

Calculus II

Santiago de Vicente

1

Remembering Change of Variable in One Variable Integrals

Calculus II

Santiago de Vicente

2

Change of Variables in Double Integrals

Calculus II

Santiago de Vicente

3

Transforming Domains by Change of Variables from Cartesian to Polar Coordinates

Calculus II

Santiago de Vicente

4

General Change of Variables in R2 đ?&#x2018;Ł

đ?&#x2018;˘

Calculus II

Santiago de Vicente

5

Example: Changing from Cartesian to Polar Coordinates

đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; "đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;"

đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ą "đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;"

đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2022; đ?&#x2018;ť đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201D; "one â&#x2C6;&#x2019; to â&#x2C6;&#x2019; one" đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201C; Calculus II

Santiago de Vicente

6

Calculating the Area Element in the Cange of Variables

Calculus II

Santiago de Vicente

7

Theorem of Change of Variables for Double Integrals

Calculus II

Santiago de Vicente

8

Remembering Change of Variables from Cartesian to Polar Coordinates

đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x; cos đ?&#x153;&#x192; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x; sin đ?&#x153;&#x192; Calculus II

â&#x;š

đ??˝ đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x153;&#x192;

=

đ?&#x153;&#x2022;(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;(đ?&#x2018;&#x;,đ?&#x153;&#x192;)

=

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;

Santiago de Vicente

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192;

=đ?&#x2018;&#x;

â&#x;š

đ?&#x2018;&#x2018;đ??´ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;

9

Example:Change of Variables for Regions between ÂŤParallelÂť Curves

Calculus II

Santiago de Vicente

10

Example: Find a Change of Variables to transform the Domain R in a Rectangle

đ?&#x2018;&#x2026; Calculus II

Santiago de Vicente

2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś 2 11

Example: Find a Change of Variables to transform the Domain R in a Square

Calculus II

Santiago de Vicente

12

Example: Calculate the Double Integral:

đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2026;

Calculus II

Santiago de Vicente

13

Example: Calculate de Double Integral:

đ?&#x2018;&#x2026;

Calculus II

đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

Santiago de Vicente

14

Example: Find a Change of Variables to transform the Domain R in a Triangle with Sides parallel to the Axis

Calculus II

Santiago de Vicente

15

Example: Find a Change of Variables to transform the Domain R in a Rectangle with Sides parallel to the Axis

Calculus II

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16

Change of Variables for Triple Integrals

Calculus II

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17

Theorem of Change of Variables for Triple Integrals

Calculus II

Santiago de Vicente

18

Example: Change of Variables from Cartesian to Cylindrical Coordinates

đ??˝ đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x153;&#x192;, đ?&#x2018;§

=

đ?&#x153;&#x2022;(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś,đ?&#x2018;§) đ?&#x153;&#x2022;(đ?&#x2018;&#x;,đ?&#x153;&#x192;,đ?&#x2018;§)

=

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192;

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

=đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

Calculus II

Santiago de Vicente

19

Example: Change of Variables from Cartesian to Spherical Coordinates

đ??˝ đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x153;&#x192;, đ?&#x153;&#x2018;

Calculus II

=

đ?&#x153;&#x2022;(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś,đ?&#x2018;§) đ?&#x153;&#x2022;(đ?&#x153;&#x152;,đ?&#x153;&#x192;,đ?&#x153;&#x2018;)

=

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152;

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192;

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2018; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2018; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2018;

= đ?&#x153;&#x152;2 sin đ?&#x153;&#x2018;

Santiago de Vicente

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ = đ?&#x153;&#x152;2 sin đ?&#x153;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x2018;

20

Relation between Cartesian, Cylindrical and Spherical Coordinates

Calculus II

Santiago de Vicente

21

Example: Changing Variables for Triple Integrals

đ??ˇ

Calculus II

Santiago de Vicente

2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;§ + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ 2 3

22

Find the Change of Variables for Volume

Calculus II

Santiago de Vicente

23

Homework

Calculus II

Santiago de Vicente

24

4.10_Cambio_de_Variable
4.10_Cambio_de_Variable

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