Page 1


Practicamos buenos hábitos para una vida saludable

Trabajamos 1. Describe lo que observas luego relaciona la talla respecto a tu edad. 2. Identifica magnitudes que intervienen al salir de caminata. 3. Menciona en qué porcentaje manejar bicicleta, ayuda a reducir el riesgo de un infarto. 4. ¿En qué situaciones de la vida cotidiana observas la utilidad de los porcentajes?

128

Matemática I


Convive

en Apr di

ental am

Valora su cuerpo y su salud

rática oc

ia dem nc

je fund za

Perseverancia

Nuestros aprendizajes Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad Los médicos siempre recomiendan asistir a consulta por lo menos una vez al año y así prevenir posibles enfermedades. En la imagen la niña observa en su control anual que su estatura aumenta. (Funciones)

• Usa modelos referidos a la proporcionalidad

• •

Distancia (km)

12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 Tiempo (h)

directa al resolver problemas. datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad directa entre magnitudes. Utiliza un modelo basado en aumentos y descuentos porcentuales al plantear y resolver problemas. Representa mediante un lenguaje algebraico enunciados verbales de diversos contextos.

• Organiza

Para las personas a quienes no les gusta hacer deportes tan extenuantes salir a caminar o correr, resulta ser ideal. En la imagen la joven recorre cierta distancia de kilómetros por cada hora. (Magnitudes)

Manejar bicicleta permite tener un buen estado físico. Estudios revelan que manejar en bicicleta reduce hasta en un 50% el riesgo de tener infartos. (Porcentaje)

Averiguamos Ingresa a las siguientes páginas web para complementar la información del tema tratado. • http://es.fhcrc.org/prevencion/ejercicio09.html • http://contenidos.educarex.es/mci/2007/08/teoria/2porcentajes.html

Matemática I

129


Funciones Para desarrollar en tu cuaderno

Comparamos medidas María asiste cada año a su control médico y observa que cada 2 años su estatura aumenta 14 cm. El doctor lleva el registro de esta situación desde que María tenía 3 años y en aquel entonces medía 91 cm.

1. ¿Cuál será la estatura de María cuando cumpla 11 años de edad? 2. La talla de María está en función a … 3. Completa el siguiente cuadro. Edad (años)

3

5

7

9

11

Talla (cm) Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Noción de función En la vida diaria el concepto de función es muy común. Por ejemplo: • El gasto total en la compra de lapiceros depende del número de lapiceros, o el gasto total se expresa en función del número de lapiceros. • El pago del consumo de energía eléctrica depende de la cantidad de kilowatts consumidos. Términos como “depende” o “está en función de” expresan una correspondencia o relación entre dos sucesos o entre los elementos de dos conjuntos. Como ya sabemos lo que es una relación, diremos que una función en matemática también es una relación. Es decir: Si una relación tiene todas sus primeras componentes de sus pares ordenados diferentes entonces se trata de una función Veamos un ejemplo: Sea la relacion R de A en B con regla de correspondencia: y = x + 2 R = {(2; 4); (3; 5); (4; 6)} Esta relacion R tiene tres pares ordenados, cuyas primeras componentes no se repiten, entonces tal relación recibe el nombre de función “f”, luego también podemos escribir así: f = {(2; 4); (3; 5); (4; 6)} Cada uno de los pares ordenados de “f” satisface la regla de correspondencia respectiva; esto significa que si reemplazamos los componentes de un par ordenado en dicha regla de correspondencia se obtendrá una igualdad. En nuestro ejemplo, reemplazando las componentes de (2; 4) en y = x + 2, tenemos: y=x+2 4=2+2 4=4 El valor de las segundas componentes “y” depende de los valores que les asignemos a “x”; esta dependencia suele ser expresada así: Variable dependiente y = f(x) Lo cual podemos leer del siguiente modo: La variable “y” en función de la variable “x”.

Variable independiente

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 140.

130

Matemática I


Entonces la regla de correspondencia del ejemplo puede ser escrita también así: f(x) = x + 2 Función: Una función “f” de A en B (f: A → B) es un conjunto de pares ordenados (x; y) en el cual dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente. En una función se distingue lo siguiente: • Conjunto de partida • Conjunto de llegada • Regla de correspondencia Representación tabular y gráfica de funciones Dados los siguientes conjuntos: A = {1; 3; 5} B = {3; 7; 11} Determina y grafica la función f: A → B definida por y = 2x + 1. Solución: Conjunto de partida: A Conjunto de llegada: B Producto cartesiano A × B: A × B = (1; 3), (1; 7), (1; 11); (3; 3), (3; 7), (3; 11), (5; 3), (5; 7), (5; 11)} Regla de correspondencia: y = 2x + 1 o f(x) = 2x + 1 Determinamos los pares ordenados que pertenecen a la función “f”, considerando que tienen una regla de correspondencia. Par ordenado

(x; y) (1; 3) (1; 7) (1; 11) (3; 3) (3; 7) (3; 11) (5; 3) (5; 7) (5; 11)

x o 1ra componente

x 1 1 1 3 3 3 5 5 5

y = f(x) o 2da componente

f(x) = 2x + 1 f(1) = 2(1) + 1 f(1) = 2(1) + 1 f(1) = 2(1) + 1 f(3) = 2(3) + 1 f(3) = 2(3) + 1 f(3) = 2(3) + 1 f(5) = 2(5) + 1 f(5) = 2(5) + 1 f(5) = 2(5) + 1

= = = = = = = = =

3 3 3 7 7 7 11 11 11

Para desarrollar en tu cuaderno Diagrama cartesiano B

Diagrama sagital

f

A

B

1 3 5

11

3 7 11

7 3 1

3

5

A

y = f(x) = 3x

2 1 –3 –2 –1 –1

(1; 3)  f (1; 7) Ï f (1; 11) Ï f (3; 3) Ï f (3; 7) Î f (3; 11) Ï 7 (5; 3) Ï f (5; 11) Ï f (5; 11) Î f

3

Dominio y rango de una función El dominio (Dom(f )) de una función es el conjunto de los primeros componentes de los pares ordenados de dicha función. El rango (Ran(f )) de una función es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha función. En el ejemplo anterior: Dom(f ) = {1; 3; 5} Ran(f ) = {3; 7; 11} Función lineal Una función es lineal, si y solo si f = {(x; y) / y = ax + b} Donde: a y b Î ; a ≠ 0 Ejemplo: Grafica: f = {(x; y) / y = 3x} Tabulamos para algunos valores x –1 0 1 … y –3 0 3 … Se observa que la gráfica de esta función es una recta oblicua a los ejes coordenados y pasa por el origen porque b = 0.

1

2

3 Dom(f ) = Ran(f ) =

–2 –3

Función constante Si en una función lineal y = ax + b; a = 0 , se tiene una función de la forma y = b, llamada función constante. Luego, “f” es una función constante si y solo si f(x) = {(x; y) / y = b} y Gráficamente:

Luego: f = {(1; 3), (3; 7), (5; 11)} Para graficar la función “f”, podemos emplear las siguientes representaciones:

b

f(x) = y = b x

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 140. Matemática I

131


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Si f = {(3; a + 5); (4; 6); (3; 8 – b)}, representa una función, calcula el valor de “a + b”. Solución: Por definición de función, se cumple: a+5=8–b a+b=8–5 a+b=3 Rpta.: 3 2. Si f = {(0; 2), (1; 3), (3; 4)} es una función; calcula la suma de los elementos del rango de f. Solución: Sabemos que el rango de la función "f", está dado por las segundas componentes de los pares ordenados que la conforman, luego: Ran(f ) = {2; 3; 4} Piden: 2+3+4=9 Rpta.: 9 3. Si f(x) = 5x – 1, calcula f(–2). Solución: Evaluamos f(x) = 5x – 1 para x = –2, luego: f(–2) = 5(–2) – 1 f(–2) = –10 – 1 f(–2) = –11 Rpta.: –11 4. Si f(x) = x3 – 2, calcula la siguiente expresión: f(–1) + f(0) . E= f(2) Solución: Evaluamos en la función para x = –1; 0 ; 2; luego: f(–1) = (–1)3 – 2 = –3 f(0) = (0)3 – 2 = –2 f(2) = (2)3 – 2 = 6 Reemplazamos en “E”. –3 + (–2) –5 E= = 6 6 –5 Rpta.: 6

5. Dada la siguiente gráfica de una función: f

A

2 3 5 6

Matemática I

B

Elabora su diagrama cartesiano Solución: Del gráfico, observamos que la función es f = {(2; 1),(3; 7),(5; 4),(6; 3)} B 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

A

6. En el gráfico mostrado, calcula la suma de elementos del dominio de f. 9

3 –1 1 1

2

5

–3

Solución: Del gráfico Dom(f ) = {–1; 1; 2; 5} Piden: –1 + 1 + 2 + 5 = 7 Rpta.: 7 7. Dados los conjuntos A = {0; 2; 4; 6} , B = {1; 3; 5}, y la función f: A B, tal que f(x) = x + 1. a. Representa la función mediante un diagrama sagital. b. Determina Dom(f ) y Ran(f ) Solución: Diagrama sagital: f

A

0 2 4 6

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 140.

132

1 3 4 7

1 3 5

B

Del gráfico: Dom(f ) = {0; 2; 4} Ran(f ) = {1; 3; 5}


Proporcionalidad Para desarrollar en tu cuaderno

-

Ingredientes para 10 personas 1/2 kg de maíz morado. 250 g taza de azúcar. 200 g de chuño. 1 taza de frutas picadas. Canela al gusto.

Realizamos proporciones Diana tiene el listado de ingredientes para preparar una rica mazamorra morada para 10 personas. Si tuviera que preparar mazamorra para 30 personas:

1. ¿Cuántos gramos de chuño necesitará? 2. ¿Cuántos kilogramos de maíz necesitará? 3. ¿Qué es una razón? Ficha nivel cero

Proporcionalidad Desde la antigüedad el hombre usa las proporciones para resolver problemas de cálculo comercial, tener precisión al realizar mezclas y para elaborar construcciones arquitectónicas de diversos tamaños. Hoy en día, se utilizan además, proporciones en la ampliación y reducción de figuras, en maquetas y en todo aquello que involucre porcentajes y escalas. La proporcionalidad se utiliza en física para expresar las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos; en química es la base para las aleaciones, mezclas y soluciones; en matemática se emplea en problemas de semejanza de figuras geométricas, en descuentos e intereses; y en cartografía, para elaborar escalas.

Razón Es la comparación de dos cantidades de una misma magnitud, esta comparación puede ser mediante la sustracción o la división de dichas cantidades. Clases de razón A. Razón aritmética (R.A) Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Dadas las cantidades “a” y “b” se cumple: antecedente razón aritmética a–b=r consecuente

Ejemplo: La edad de Beto es 30 años y la edad de Carlos es 5 años. Determina la razón aritmética de sus edades. Solución: Del enunciado tenemos: R.A. = r = 30 – 5 = 25 Interpretación: La edad de Beto excede a la edad de Carlos en 25 años.

B. Razón geométrica (R.G) Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Dadas las cantidades “a” y “b” se cumple: antecedente

a = k b

Ficha de refuerzo

PPT Clase interactiva

razón geométrica

consecuente

Ejemplo: En una reunión hay 35 mujeres y 28 varones. Determina la razón geométrica del número de mujeres con respecto al número de varones. Solución: Del enunciado tenemos: R.G = k = M = 35 = 5 V 28 4 Interpretación: La cantidad de mujeres es a la cantidad de varones como 5 es a 4.

Proporción Una proporción es la igualdad de dos razones de una misma clase. Clases de proporción A. Proporción aritmética Una proporción aritmética es la igualdad de dos razones aritméticas. términos medios

a–b=c–d términos extremos

Propiedad Suma de términos = medios

Suma de términos extremos

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 142. Matemática I

133


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo: 21 – 13 = 15 – 7 Términos medios: 13 y 15 Términos extremos: 21 y 7 Tipos de proporción aritmética a. Proporción aritmética discreta Es aquella donde todos sus términos son diferentes. a–b=c–d Donde: “d” es la cuarta diferencial de “a”, “b” y “c”. Ejemplo: Calcula la cuarta diferencial de 7; 4 y 11. Solución: 7 – 4 = 11 – d 3 = 11 – d d=8 b. Proporción aritmética continua Es aquella donde los términos medios son iguales. a–b=b–c Donde: “b” es la media diferencial de “a” y “c”. “c” es la tercera diferencial de “a” y “b”. Ejemplo 1: Calcula la media diferencial de 14 y 4. Solución: 14 – b = b – 4 18 = 2b b=9 Ejemplo 2: Calcula la tercera diferencial de 19 y 12. Solución: 19 – 12 = 12 – c 7 = 12 – c c=5 B. Proporción geométrica Una proporción geométrica es la igualdad de dos razones geométricas. a c = b d términos extremos

términos medios

Ejemplo: 3 = 6 4 8 Términos medios: 4 y 6 Términos extremos: 3 y 8 Propiedad Producto de términos extremos

Matemática I

Producto de términos medios

Tipos de proporción geométrica a. Proporción geométrica discreta Es aquella donde todos sus términos son diferentes. a = c b d Donde: “d” es la cuarta proporcional de “a”, “b” y “c”. Ejemplo: Calcula la cuarta proporcional de 4; 32 y 5. Solución: 4 = 5 32 d

4d = 5 × 32 d = 40

b. Proporción geométrica continua Es aquella donde sus términos medios son iguales. a = b b c Donde: “b” es la media proporcional de “a” y “c”. “c” es la tercera proporcional de “a” y “b”. Ejemplo 1: Calcula la media proporcional de 12 y 3. Solución: 12 = b b 3

36 = b2 b=6

Ejemplo 2: Calcula la tercera proporcional de 3 y 6. Solución: 3 = 6 6 c

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 142.

134

=

3c = 36 c = 12


Para desarrollar en tu cuaderno

Propiedades de la proporción geométrica Si a = c , se cumple que: b d a.

Ejemplo: 3 = 15 = 3 + 15 4 20 4 + 20

a+b c+d = b d Ejemplo: 3 9 Si = 2 6

b.

3+2 9+6 = 2 6

Ejemplo: 18 6 18 – 6 = = 24 8 24 – 8

a–b = c–d b d

Si

5 10 = 6 12

a c a–c = = b d b–d

h.

Ejemplo:

c.

a c a+c = = b d b+d

g.

5 – 6 10 – 12 = 6 12

Razones geométricas equivalentes Se denominan así a las razones geométricas que tienen el mismo valor. a1 a a a = 2 = 3 =…= n = k b1 b2 b3 bn

a c = a+b c+d Ejemplo: Si

d.

20 5 = 8 2

20 5 = 20 + 8 5 + 2

a = c a–b c–d

Constante de proporcionalidad

Propiedades a + a2 + a3 + … + an A. 1 =k b1 + b2 + b3 + … + bn B.

Ejemplo: Si

e.

8 16 = 6 12

8 16 = 8–6 16 – 12

a+b c+d = a–b c–d Ejemplo: Si 10 = 40 3 12

10 + 3 = 40 + 12 10 – 3 40 – 12

C.

a1 · a2 · a3 · … · an = kn b1 · b2 · b3 · … · bn a1 b1

m

=

a2 b2

a–b =c–d a+b c+d Ejemplo: 14 28 Si = 5 10

Por propiedad 14 – 5 28 – 10 = 14 + 5 28 + 10

=…=

an bn

m

= km

Ejemplo: Dada la siguiente serie de razones geométricas equivalentes: a = b = c = d 2 3 5 6 Si a + b + c + d = 48; calcula el valor de la constante de proporcionalidad. Solución:

f.

m

a = b = c = d =k 2 3 5 6 a+b+c+d =k 2+3+5+6 48 = k k=3 16

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 142. Matemática I

135


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Pablo tiene 45 canicas y su amigo Luis tiene 28 canicas. Determina la razón aritmética entre el número de canicas de Pablo y Luis, luego interpreta dicho valor. Solución: Pablo: 45 canicas Luis: 28 canicas r = 45 – 28 r = 17 Es decir, el número de canicas de Pablo excede al número de canicas de Luis en 17 canicas. 2. Marta y Rocío van de compras a un centro comercial. Si Marta tiene S/. 450 y Rocío tiene S/. 150; determina la razón geométrica entre las sumas de dinero que tienen, luego interpreta dicho valor. Solución: Marta: S/. 450 Rocío: S/. 150 r = 450 150 r=3 Es decir, Marta tiene 3 veces la cantidad de dinero que tiene Rocío. 3. Dos números están en la razón de 7 a 3, si la diferencia de ellos es 36, calcula el número mayor. Solución: Por dato: a = 7 a = 7k; b = 3k b 3 Además: 7k – 3k = 36 4k = 36 k = 9 Piden: n° mayor = 7k = 7(9) = 63 Rpta.: El número mayor es 63 4. Calcula la cuarta diferencial de 13; 8 y 17. Solución: Sea la cuarta diferencial "d", luego: 13 – 8 = 17 – d 5 = 17 – d d = 12 Rpta.: La cuarta diferencial es 12.

5. Determina la media diferencial de 27 y 13. Solución: Sea la media diferencial "b", luego: 27 – b = b – 13 40 = 2b 20 = b Rpta.: La media diferencial es 20. 6. Calcula la cuarta proporcional de 5; 20 y 4. Solución: Cuarta proporcional: d 5 = 4 20 d 5d = 80 d = 16 Rpta.: La cuarta proporcional es 16. 7. Calcula la media proporcional de 27 y 3. Solución: Media proporcional: b 27 = b b 3 81 = b2 9=b Rpta.: La media proporcional es 9. 8. Dada la siguiente serie de razones geométricas equivalentes: a = b = c = d 2 3 5 6 Si a + b + c = 30, calcula el valor de “c + d”. Solución: De: a = b = c = d = k 2 3 5 6 Por propiedad: a+b+c =k 2+3+5 Por dato: 30 = k k=3 10 También se cumple: c + d = k 5+6 c + d = 3 11 c + d = 33 Rpta.: El valor de “c + d “ es 33.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 142.

136

Matemática I


Magnitudes proporcionales Para desarrollar en tu cuaderno Distancia (km)

36 30 24 18 12 6

Un paseo saludable Martha recorre los parques de su distrito diariamente con la finalidad de mantener una vida saludable. La gráfica que se muestra en la imagen representa los kilómetros recorridos por cada hora. 1 2 3 4 5 6 7 Tiempo (h)

1. ¿A qué ritmo camina Martha? 2. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido Martha en 10 horas? 3. ¿Qué son magnitudes directamente proporcionales? Ficha nivel cero

Magnitudes La longitud, el peso, el tiempo, la velocidad, el precio, el número de obreros, son algunos ejemplos de magnitudes. Una magnitud es todo aquello que es susceptible a sufrir variación, ya sea de aumento o disminución y por lo tanto, puede ser medido. Proporcionalidad directa Se establece al comparar magnitudes directamente proporcionales. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.) Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. Para este tipo de magnitudes se cumple que el cociente de sus valores correspondientes es siempre constante. Luego tenemos que: Si A y B son magnitudes directamente proporcionales (A D.P. B), entonces, se cumple: Valores de la magnitud A = constante Valores de la magnitud B Gráficamente:

Además, se cumple que: a1 a a a = 2 = 3 = 4 =k b1 b2 b3 b4

PPT

Ejemplo 1: El siguiente cuadro muestra algunos valores para las magnitudes “costo” por kilogramos de azúcar y “cantidad” de azúcar. Magnitudes A: Costo B: kg azúcar

Valores correspondientes 3 6 9 12 … 1 2 3 4 …

• Podemos observar del cuadro que el cociente de los valores correspondientes de cada magnitud es una constante. 3 6 9 12 = = = =…=3 1 2 3 4 • Además a medida que aumentan o disminuyen los valores de la magnitud “cantidad”, aumentan o disminuyen respectivamente los valores de la magnitud “costo”. Luego, Costo D.P. Cantidad Gráficamente: Costo(S/.)

Magnitud A

Ficha de refuerzo

A

a4

12

a3 a2

9

a1

3

6

b1 b2

b3

b4

1

2

3

4

Magnitud B

B

(kg azúcar)

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

137


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo 2: El siguiente cuadro muestra algunos valores correspondientes a las magnitudes número de máquinas y producción de pantalones. n° de máquinas Producción (n° de pantalones)

4

x

10

200

400

y

Gráficamente: Magnitud A a4 a3 a2 a1

Calcula el valor de "x + y".

b1 b2 b3

Solución: Observamos que: nº de máquinas D.P. producción entonces se cumple: 4 x 10 = = 200 400 y • •

4 x = 200 400 4 10 = 200 y

a1

×

b4 = a2

×

y = 500

Solución: Como “A” es D.P. a “B”, entonces, se cumple: 10 A = 30 45 A = 15 Proporcionalidad inversa Se establece al comparar magnitudes inversamente proporcionales. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.) Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra disminuye o al disminuir una de ellas, la otra aumenta en la misma proporción. Para este tipo de magnitudes se cumple que el producto de sus valores correspondientes es siempre constante. Luego, tenemos que: Si “A” y “B” son I.P., entonces:

b2 = a4

×

b1 = k

Valores de la = constante magnitud B

Valores correspondientes

A: n° de obreros

80 40

20 10 …

B: n° de días

12 24

48 96 …

• Podemos observar del cuadro que el producto que se obtiene al multiplicar los valores correspondientes de cada magnitud es una constante. 80 × 12 = 40 × 24 = 20 × 48 = 10 × 96 =… = 960 • Además a medida que disminuyen o aumentan los valores de la magnitud “número de obreros”, aumentan o disminuyen respectivamente los valores de la magnitud “número de días”.

Luego, n° de obreros I.P. n° de días Gráficamente: (nº obreros) A 80

40 20 10 12

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

×

Ejemplo 1:

Magnitudes

Ejemplo 3: Si “A” es D.P. a “B”; además cuando A = 10, B = 30, calcula el valor de “A”, cuando B = 45.

138

b3 = a3

El siguiente cuadro muestra algunos valores para las magnitudes “número de obreros” y “número de días” que demoran en realizar cierta obra.

x=8

×

Magnitud B

Además, se cumple que:

Piden: x + y = 8 + 500 = 508

Valores de la magnitud A

b4

24

48

96

B (nº días)


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo 2: En la siguiente tabla se presentan ciertos valores de las magnitudes, velocidad y tiempo. Calcula el valor de "3a + b"

Es decir: n° de vueltas x n°de dientes = constante

Velocidad (m/s)

20

5

b

Ejemplo 1:

Tiempo (s)

8

a

10

Dos ruedas en contacto dan 20 y 21 vueltas. Si la primera rueda tiene 42 dientes, ¿cuántos dientes tendrá la segunda rueda?

Solución: Observamos que velocidad I.P. tiempo. Entonces se cumple: 20 × 8 = 5 × a = b × 10 • 20

×

8=5

×

a

• 20

×

8=b

×

10

a = 32 b = 16

Solución: Se cumple: (n° dientes)

×

(n° vueltas) = constante

Piden: 3a + b = 3(32) + 16 = 112

ND1

Ejemplo 3: Si “P” es I.P. a “Q”; además, cuando P = 15, Q = 21, calcula el valor de “P” cuando Q = 35.

Luego, la segunda rueda tiene 40 dientes.

Solución: Como “P” es I.P. a “Q”, entonces, se cumple: 15 × 21 = P × 35 315 = 35P P=9

El gráfico muestra dos engranajes en contacto, si "A" gira 18 vueltas, ¿cuántas vueltas girará "B"?

×

42

NV1 = ND2

×

20 = d2

×

×

NV2

21

d2 = 40

Ejemplo 2:

A

Ruedas dentadas o engranajes B

Solución:

Una rueda dentada es un mecanismo de forma circular que transmite movimiento mediante dientes, las cuales rodean la rueda en todo su perímetro. Para dos ruedas dentadas o engranajes que están en contacto se cumple que el número de vueltas que da una de ellas es inversamente proporcional al número de dientes que tiene.

Del gráfico observamos que el engranaje "A" tiene 20 dientes y el engranaje "B" tiene 10 dientes, luego se cumple: NDA × NVA = NDB × NVB 20 × 18 = 10 × NVB NVB = 36 Luego, el engranaje B girará 36 vueltas.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

139


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Si una docena de libros cuesta S/. 72, ¿cuánto costarán 3 decenas de libros? Solución: Como (costo) D.P. (Nº de libros) entonces, se cumple: Costo = cte Nº de libros Reemplazamos valores: 72 x = 12 3(10) x = 180 Rpta.: Tres decenas de libros costarán S/. 180. 2. Calcula el valor de “x” en el siguiente cuadro si “A” y “B” son magnitudes. A B

6 4

27 18

15 x

8

y

Solución: Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple: • 80x = (50)(8) = 20y 80x = 400 x=5 • 20y = 400 y = 20 Piden: x + y = 5 + 20 = 25 Rpta.: El valor de "x + y" es 25

A

5

Valores correspondientes 80 50 20 x

5. En el gráfico mostrado A y B son magnitudes proporcionales, determina el valor de "x".

12

3. La siguiente tabla muestra algunos valores de dos magnitudes, determina el valor de “x + y”

Tiempo (h)

Rpta.: El valor de “M” es 12,5.

84

Solución: Analizamos sus valores correspondientes: 6 = 27 = 3 4 18 2 Entonces se deduce que A D.P. B, luego: 3 15 = 2 x x = 10 Rpta.: El valor de "x" es 10

Magnitudes Velocidades (km/h)

4. Si M es D.P. a N, además cuando M = 10; N = 4. Calcula el valor de “M” para N = 5. Solución: Como “M” es D.P. a “N” entonces, se cumple: 10 = M 4 5 M = 12,5

Matemática I

B

Solución: Del gráfico deducimos que A D.P. B, luego se cumple: 12 = 84 x = 35 5 x Rpta.: El valor de “x” es 35 6. Dos ruedas dentadas en contacto dan 72 y 63 vueltas. Si la primera rueda tiene 35 dientes, ¿cuántos dientes tendrá la segunda rueda? Solución: Sabemos que: ND1 × NV1 = ND2 × NV2 35 · 72 = ND2 · 63

40 = ND2

Rpta.: La segunda rueda tendrá 40 dientes.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146.

140

x


Para desarrollar en tu cuaderno

Regla de tres Es una operación que tiene por finalidad relacionar magnitudes proporcionales. A. Regla de tres simple (R.T.S.) Se utiliza para relacionar los valores de dos magnitudes proporcionales. Puede ser de dos tipos. a. Regla de tres simple directa Cuando se relacionan dos magnitudes directamente proporcionales. D.P.

Magnitud 1 a c

Magnitud 2 b x

Se cumple: bc x= a

ax = bc

Ejemplo 1: Si tres lapiceros cuestan S/. 11, ¿cuántos lapiceros podré comprar con S/. 66? Solución: D.P.

nº de lapiceros 3 x

Costo 11 66

Se cumple: 11x = 3 · 66 x = 18 Luego, podré comprar 18 lapiceros. Ejemplo 2: Si 12 metros de cable cuestan 42 nuevos soles, ¿cuánto costará 16 metros del mismo cable? Solución: n° de metros 12 16

D.P. Costo (S/.) 42 x

Se cumple: 12x = 16 · 42 x = 56 Luego, 16 metros de cable costarán S/. 56.

Ejemplo 3: Roberto cobra por pintar un cubo de madera de 5 cm de arista 4 nuevos soles. ¿Cuánto cobrará por pintar otro cubo de madera de 15 cm de arista? Solución:

D.P.

Área del cubo 6(5)2 6(15)2

Cobra 4 x

Se cumple: 6(5)2(x) = 6(15)2(4) 25x = 900 x = 36 Luego, Roberto cobrará 36 nuevos soles. b. Regla de tres simple inversa Cuando se relacionan dos magnitudes inversamente proporcionales. I.P

Magnitud 1 a c

Magnitud 2 b x

Se cumple: ab = cx

x=

ab c

Ejemplo 1: Si cuatro obreros pueden hacer una obra en 9 días, ¿cuántos días se demorarán 6 obreros en hacer la misma obra? Solución:

I.P.

n° de obreros 4 6 Se cumple: 4·9=6·x x=6 Luego, se demorarán 6 días.

nº días 9 x

Ejemplo 2: En una fábrica 40 máquinas pueden producir cierta cantidad de pantalones en 30 días, ¿cuántas máquinas se necesitarán para realizar la misma producción, en 25 días?

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

141


Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: I.P. nº máquinas 40 x

nº días 30 25

D.P.

Luego, se necesitarán 48 máquinas. Ejemplo 3: Un grupo de obreros desean realizar una obra en 20 días, pero como faltaron 3 de ellos, los demás tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron en la obra?

I.P.

Casas

Años

h/diarias

16 x

8 16

8 4

3 6

Se cumple: 40 · 30 = 25 · x x = 48

I.P.

Personas

Si las magnitudes que se comparan son D.P., entonces la columna de datos se mantiene, en cambio si las magnitudes son I.P., entonces la columna de datos se invierte. En el problema, se cumple: 16 = 8 · 4 · 6 x 16 8 3 x = 32 Luego, lo construirán 32 personas.

Solución: I.P. n° obreros x x–3

nº días 20 (20 + 4)

Se cumple: x(20) = (x – 3)24 20x = 24x – 72 4x = 72 x = 18 Luego, trabajaron realmente 15 obreros.

B. Regla de tres compuesta Es un método que se utiliza cuando en un problema participan más de dos magnitudes proporcionales. Método de comparación por parejas Consiste en comparar todas las magnitudes con aquella magnitud que contiene a la incógnita. Ejemplo: Se sabe que 16 personas construyen 8 casas en 8 años, trabajando 3 horas diarias. ¿Cuántos personas construirán el doble de casas en la mitad del tiempo anterior, trabajando 6 horas diarias?

Método de proporcionalidad constante Consiste en encontrar una relación entre todas las magnitudes para luego reemplazar los datos. Ejemplo: Una cuadrilla de 20 obreros pueden realizar una obra en 10 días con un rendimiento del 10%. ¿Cuántos obreros realizarán 5 obras de igual dificultad que la anterior en 20 días con un rendimiento del 20%? Solución: Analizamos las magnitudes que intervienen. n° de obreros I.P. Tiempo n° de obreros I.P. Rendimiento n° de obreros D.P. Obra Luego, se puede establecer la siguiente relación: Obreros

×

Tiempo × Rendimiento = constante Obra

Reemplazamos los datos 20 · 10 · 10 = x · 20 · 20 1 5 2 000 = 80x x = 25 Luego, lo realizarán 25 obreros.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146.

142

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Un caño arroja 30 litros de agua en 20 minutos, ¿cuántos litros de agua arrojará en 8 minutos? Solución: D.P. nº litros 30 x

tiempo 20 8

Se cumple: 30 · 8 = x · 20 x = 12 Rpta.: Arrojará 12 litros de agua 2. Un conejo salta 3 veces en 2 segundos. ¿Cuánto tiempo tardará en saltar 126 veces? Solución: D.P. Nº de veces 3 126

Tiempo 2 x

Se cumple: 3x = 126 · 2 x = 84 Rpta.: Tardará 84 segundos. 3. Un barco tiene provisiones para 96 tripulantes durante 25 días, pero solo viajaron 60 tripulantes. ¿Cuánto tiempo durarán los víveres? Solución: I.P. n° de tripulantes 96 60 Se cumple: 96 · 25 = 60 · x x = 40 Rpta.: Durarán 40 días

n° días 25 x

4. Un grupo de obreros realiza una obra en 60 días trabajando a razón de 8 horas diarias, ¿qué tiempo demorarán en realizar la misma obra, si trabajan a razón de 6 horas diarias? Solución: I.P. nº días nº horas 60 8 x 6 Se cumple: 60 · 8 = x · 6 x = 80 Rpta.: Demorarán 80 días. 5. Si 14 personas emplean 28 días en pintar 140 metros de la línea central de una autopista ¿cuántos metros pintarán 18 personas en 35 días? Solución: N° personas N° días Nº metros 14 18

28 35 D.P.

140 x

D.P.

Se cumple: 140 · 18 · 35 x= 14 · 28 140 = 14 · 28 x = 225 x 18 35 Rpta.: Pintarán 225 metros. 6. Veinte obreros construyen 3 zanjas de 18 metros de largo cada uno en 27 días. Determina el tiempo que tardarán 15 obreros para construir 4 zanjas iguales, pero de 36 metros de largo. Solución: N° obreros N° zanjas Nº metros Nº días 20 3 18 27 15 4 36 x I.P.

Se cumple: 27 = 18 · 3 · 15 x 36 4 20 Rpta.: Tardarán 96 días.

D.P.

D.P. 3 9

2

4

x = 27 · 36 · 4 · 20 18 · 3 · 15 1

1

51

x = 3 · 2 · 4 · 4 = 96

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

143


Porcentajes Para desarrollar en tu cuaderno

Andar en bicicleta es salud Estudios revelan que andar en bicicleta reduce el riesgo de infartos hasta en un 50%, ya que al pedalear, el ritmo cardíaco va en aumento mientras que la presión sanguínea decrece.

1. ¿Qué representa el símbolo %? 2. ¿Qué significa 50%? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Porcentajes En la vida diaria se observa muy a menudo el uso del tanto por ciento en diversas formas tales como: • “De cada 10 alumnos solo dos desaprobaron el curso de matemática”. • “Se nota que 3 de cada 20 deportistas son de Lima” • “El índice de desempleo en el año 2011 aumentó en un 12% respecto al año 2010”. • “En el departamento de Puno el 60% de los niños sufren de enfermedades respiratorias”. • “Por esta semana se ofrecen descuentos desde el 20% hasta un 40%”. Las ganancias o pérdidas, las rebajas o descuentos, comisiones, entre otros, se expresan siempre en un tanto por ciento; es decir, en un tanto por cada cien; de aquí, la importancia del estudio de este tema por su aplicación en la vida diaria. Tanto por ciento o porcentaje “Por ciento” viene del latín per centum que significa por cada cien ”. El lenguaje de los porcentajes o por cientos es una forma especial del lenguaje de las razones . Cuando decimos “8 por ciento” de los estudiantes están ausentes, queremos decir que: Ocho de cada cien estudiantes están ausentes. 8 : 100 <> 8 <> 8% 100 El tanto por ciento de un número es el número de unidades que se toman por cada 100. También se llama tanto por ciento a una o varias de las cien partes iguales en que se divide un número, es decir, uno o varios centésimos de un número. Analiza el siguiente gráfico Para la parte sombreada, tenemos: 25 = 25 · 1 = 25% 100 100 Luego, la parte no sombreada es:

75 = 75 · 1 = 75% 100 100 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 150.

144

Matemática I

Importante • Cualquier parte de 100 es menor que la unidad.

Por convención las palabras "de", "del", "de los", nos indicarán una multiplicación.

Recuerda • 100% < > 1 1 2 • 25% < > 14 • 20% < > 15 • 10% < > 101

• 50% < >


Para desarrollar en tu cuaderno Unidad

1 100

1 100

1 100

1 100

100 partes iguales

Tomar una parte de 100 es tomar una parte de cada cien, es decir el uno por ciento: 1 = 1%. 100 En forma general, se tiene: a % = a : 100 =

Ejemplos: • 60%N – 10%N + 20%N = 70%N • N – 30%N = 100%N – 30%N = 70%N • N + 15%N = 100%N + 15%N = 115%N ¿Qué porcentaje de b es a? Para determinar este valor podemos utilizar la siguiente relación:

a 100

Ejemplos: 1. Calcula el 20% de 50. Solución: 20% (50) = 20 (50) = 10 100

a × 100% b Ejemplos: 1. ¿Qué porcentaje de 1 500 es 375?

2. Calcula el 5% del 40% de 1 800. Solución: 5 · 40 · 1 800 = 36 100 100

Solución: Piden: 375 × 100% = 25% 1 500 2. ¿De qué cantidad es S/. 360 el 18%? Solución: Sea "x" la cantidad, luego

3. Calcula el 5% de 80: 5%(80) = 5 (80) = 4 100

18% 100%

4. Calcula el 60% del 500 por 600 de 20. 60 · 500 · (20) = 10 100 600 5. Calcula el 50% del 500 por 300 de 120. 50 · 500 · 120 = 100 100 300

360 x

x = 100 · 360 = 2 000 18 3. Si A = 5% del 20% de 800, B = 25% del 50% del 10% de 4 000, ¿qué tanto por ciento es A de B?

Toda cantidad representa el 100% de sí misma, es decir: N = 100% N

Solución: • A = 5 × 20 × 800 100 100 A = 8

Operaciones del tanto por ciento para un misma cantidad

• B = 25 × 50 × 10 × 4 000 100 100 100 B = 50

Sea “N” la cantidad, luego: a% N + b% N = (a + b)% N

Piden: A × 100% = 8 × 100% B 50

a% N – b% N = (a – b)% N

= 16%

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 150. Matemática I

145


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Calcula el 20% de 400. Solución: Piden:

5. En un colegio hay 350 alumnos. ¿Cuántos alumnos son de primer año de secundaria si estos representan el 12% del total? Solución: n° alumnos: 12% × 350 = 12 × 350 100 = 42

20 × 400 = 80 100 Rpta.: 80 2. Calcula el valor de la siguiente expresión: A = 20% de 80 + 25% de 200. Solución: A = 20 × 80 + 25 × 200 100 100 A = 16 + 50 A = 66 Rpta.: El valor de "A" es 66. 3. Si el 30% de “x” es 150, calcula el valor de “x”. Solución: Por dato: 30%(x) = 150 30 · x = 150 100 x = 500 Rpta.: El valor de "x" es 500. 4. En una reunión social hay 300 personas, si el 40% son varones, ¿cuántas mujeres hay? Solución: Por dato: n° varones = 40% (300) = 120

Rpta.: Son 42 alumnos. 6. ¿Qué porcentaje es 30 de 50? Solución: Piden: 30 × 100% = 60% 50 Rpta.: Es el 60% 7. María tiene 40 colores y Rosa tiene 50 colores. ¿Qué porcentaje representa el número de colores que tiene Rosa respecto de María? Solución: Piden: n° colores Rosa × 100% = 50 · 100% = 125% n° colores María 40 Rpta.: Representa el 125% 8. El año pasado, un equipo de fútbol ganó 60 partidos. Este año ganó 90 partidos, ¿cuál es el porcentaje de aumento de los partidos ganados? Solución: Aumento: 90 – 60 = 30

n° mujeres = 300 – 120 = 180

Piden: 30 × 100% = 50% 60

Rpta.: Hay 180 mujeres.

Rpta.: El porcentaje de aumento es el 50% Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 150.

146

Matemática I


Aplicaciones comerciales Para desarrollar en tu cuaderno

Aprovechemos las promociones Muchos tiendas deportivas realizan por temporadas variadas promociones y ofertas con la finalidad de captar mayor cantidad de clientes. Roberto es un atleta y compró en una tienda un par de zapatillas para correr a S/.250. Al pagar, el cajero le indica que dicho artículo tiene un descuento del 20%.

1. ¿A cuánto asciende el descuento? 2. ¿Cuál será el pago final que realizará Roberto por la compra? Ficha nivel cero

Aplicaciones comerciales En las operaciones comerciales se suele expresar las ganancias o pérdidas como un tanto por ciento del costo o de la venta, por eso encontramos expresiones como: • Gané el 30% del costo. • Gané el 20% del precio de venta. • Perdí el 15% del costo. En nuestra vida cotidiana observamos aplicaciones del tanto por ciento a los impuestos, por ejemplo toda persona que efectúa una compra paga el 18% de recargo del precio fijado, denominándose a esto el I.G.V. (Impuesto general a las ventas). Para las transacciones comerciales los términos que se utilizan son los siguientes: Pv Pc G P Pf D

Precio de venta Precio de costo Ganancia Pérdida Precio fijado o Precio de lista Descuento

Casos a. Si en la transacción comercial hay ganancia: Pv = Pc + G

(Pv > Pc)

b. Si la transacción comercial origina una pérdida: Pv = Pc – P

(Pv < Pc)

c. Si en la transacción comercial se aplica un descuento: Pv = Pf – D

Al resolver este tipo de problemas, debemos tener en cuenta las siguientes recomendaciones: • Todo porcentaje de ganancia o pérdida que no refiera unidad se asume que es referida al precio de costo. • Todo descuento, mientras no se diga lo contrario, se referirá al precio de lista. • Al fijar el precio de un artículo se está incluyendo en él, el costo, la ganancia y el descuento que se piense hacer.

Ficha de refuerzo

PPT

Pf = Pc + G + D Ejemplo 1: Se vende un artefacto en S/. 600 con una ganancia del 20%. ¿Cuál es el precio de costo? Solución: Sabemos que: Pv = Pc + G. La ganancia es el 20% ¿de qué?, como no se indica, asumimos que es respecto al costo. Reemplazamos los datos y tenemos que: Pv = Pc + 20% Pc 600 = 120% Pc 600 = 120 · Pc 100 Pc = S/. 500 Ejemplo 2: El precio de un pantalón se ha fijado en S/.50, pero esta semana, está con el 30% de descuento. ¿Cuál será el precio de venta? Solución: Si hay descuento sabemos que: Pv = 70%Pf Pv = Pf – D Pv = Pf – 30% Pf Pv = 35 Pv = 70 · 50 100

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 154. Matemática I

147


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo 3: ¿Qué precio se debe fijar a una computadora que costó S/. 460, de modo que al venderla se realice un descuento de S/. 120 y aun se gane S/. 180? Solución: Tenemos los siguientes datos: Pc = 460, G = 180, D = 120, Pf = ? Sabemos que: Pf = Pc + G + D Pf = 460 + 180 + 120 Pf = 760 Luego, el precio que se debe fijar es S/. 760 Descuentos sucesivos Para determinar la relación a aplicar, analicemos la siguiente situación. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 25%? Solución: Sea cantidad inicial “N”, luego al realizar el primer descuento quedará: N – 20%N = 80%N . El segundo descuento se realizará sobre el 80%N. Entonces, lo que queda se calcula de la siguiente manera: 80%N – 25% (80%N) = 100% (80%N) – 25% (80%N) = 75% (80%N) = 75 · 80%N = 60%N 100

Ejemplo: ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 40% y 20%? Solución: Por fórmula: Du = 40 + 20 – 40 · 20 % 100 = (60 – 8)% = 52% Aumentos sucesivos Para determinar la relación a aplicar, analicemos la siguiente situación: ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 30%? Solución: Sea la cantidad inicial “N”, luego al realizar el primer aumento se tendrá: N + 20%N = 120%N Luego se realiza el segundo aumento que será sobre 120%N. 120%N + 30% ( 120%N ) 100% (120%N) + 30% (120%N) = 130% (120%N) = 130 · 120%N = 156%N 100 Por lo tanto el aumento único será: 156%N – N = 56%N. Forma práctica Para calcular dos aumentos sucesivos del a% y b% se aplica la siguiente relación: Aumento único(Au) = a + b +

Por lo tanto, el descuento único será: N – 60%N = 40%N.

Para la situación anterior:

Forma práctica Para calcular dos descuentos sucesivos del a% y b% se aplica la siguiente relación:

Au = 20 + 30 +

Descuento único(Du) = a + b – ab % 100 Para la situación anterior: Du = 20 + 25 –

20 · 25 % = 40% 100

20 · 30 % = 56% 100

Ejemplo: ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 40% y 20%? Solución: Por fórmula: Au = 40 + 20 +

40 · 20 % = 68% 100

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 154.

148

Matemática I

ab % 100


Para desarrollar en tu cuaderno

1. María desea comprar una lavadora que cuesta S/. 1 200. Si la compra al crédito, le cobran un interés del 15%. ¿Cuánto pagará al final por dicha lavadora, si la compra al crédito? Solución: Calculamos el porcentaje a pagar: 100% + 15% = 115% María pagará el 115% del valor de la lavadora. 115% de 1 200 = 115 × 1 200 = 1 380 100 Rpta.: Pagará S/. 1 380. 2. Pedro compra un televisor de S/. 1 420. con un descuento del 18%. ¿Cuánto dinero pagó por el televisor? Solución: Calculamos el porcentaje a pagar 100% – 18% = 82% Pedro pagará el 82% del valor del televisor. 82% de 1 420 = 82 × 1 420 100 82% de 1 420 = 1 164, 4 Rpta.: Pagará S/. 1 164,4. 3. Un comerciante vende una cocina en S/. 800 perdiendo el 20% del precio de costo. ¿Cuál fue dicho precio? Solución: De : Pv = Pc – P Pv = Pc – 20% Pc Pv = 80%Pc 800 = 80 Pc 100 Pc = 1 000 Rpta.: El precio de costo fue de S/. 1 000.

4. ¿A qué precio se debe vender un reloj que costó S/. 270 para ganar el 10% del precio de venta? Solución: Pv = Pc + G Pv = Pc + 10%Pv Pv – 10% Pv = Pc 90% Pv = Pc 90 Pv = 270 100 Pv = 300 Rpta.: Se debe vender S/. 300. 5. Se vende un pantalón a S/. 75 con una ganancia del 25%. ¿Cuál fue el precio de compra y la ganancia? Solución: De los datos: Pv = Pc + 25% Pc Pv = 125% Pc 75 = 125 Pc 100 Pc = 60 Luego: G = 25%(60) G = 15 El precio de compra es S/. 60 y la gaRpta.: nancia es S/. 15. 6. Roberto vende una Tablet a S/. 550. Si en dicha operación ganó el 10% del precio de costo, ¿cuánto dinero ganó? Solución: De : Pv = Pc + G Pv = Pc + 10%Pc Pv = 110%Pc 550 = 110 Pc 100 Pc = 500 Piden : G = 10% ( 500) G = 50 Rpta.: Roberto ganó S/. 50.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 154. Matemática I

149


Para desarrollar en tu cuaderno

7. Un artículo se vendió en S/. 500 ganándose el 25% del costo. ¿A qué precio se debería vender para ganar el 30% del costo? Solución: De: Pv = Pc + G Pv = Pc + 25% Pc Pv = 125% Pc 500 = 125 Pc 100 Pc = 400 Sea Pv1 el nuevo precio de venta, entonces: Pv1 = Pc + 30% Pc Pv1 = 130%Pc Pv1 = 130 · 400 100 Pv1 = 520 Rpta.: Se debería vender a S/. 520. 8. Pablo vende dos productos en S/. 7 800. Si en uno de ellos gana el 20% de su costo y en el otro pierde el 25% de su costo, indica cuánto gana o pierde al final Pablo. Solución: Sea Pc el precio de costo de cada producto, por dato: Para el producto 1 Pv1 = Pc + 20%Pc Pv1 = 120%Pc…(I) Para el producto 2 Pv2 = Pc – 25%Pc Pv2 = 75% Pc… (II) Por dato: Pv1 + Pv2 = 7800… (III) Reemplazamos en (I) y (II) en (III) 120%Pc + 75% Pc = 7800 195% Pc = 7800 Pc = 4000 En los 2 productos gastó S/. 8 000 y los vendió en S/. 7 800, entonces al final perdió S/. 200 Rpta.: Pablo perdió S/. 200.

9. Un comerciante vendió un equipo de sonido en S/. 2 800 ganando el 12% del costo más el 8% del precio de venta. Calcula el precio de costo. Solución: De: Pv = Pc + G Pv = Pc + 12% Pc + 8% Pv Pv – 8% Pv = 112% Pc 92% Pv = 112% Pc 92 × 2800 = 112 × Pc Pc = 2300 Rpta.: El precio de costo es S/. 2300 10. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 20%? Solución: Por fórmula: 20 · 20 Du = 20 + 20 – % 100 Du = 36% Rpta.: Equivalen a un descuento del 36%. 11. Determina a qué aumento único equivaldrían dos aumentos sucesivos del 30% y 10%. Solución: Por fórmula: 30 · 10 Du = 30 + 10 + % 100 Du = 43% Rpta.: Equivaldrían a un aumento del 43% 12. Marcos compró una laptop en S/. 4 000. Si la vende a su amigo Raúl con dos incrementos sucesivos del 10% y 25% sobre su precio inicial, ¿cuánto pagará Raúl por la compra? Solución: Determinamos el aumento único (Au) 10 · 25 Au = 10 + 25 + % 100 Au = 37,5% Luego, Raúl pagará: 4 000 + 37,5% (4 000) = 4 000 + 1 500 = 5 500 Rpta.: Raúl pagará S/. 5 500.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 154.

150

Matemática I


Expresiones algebraicas Para desarrollar en tu cuaderno

Expresamos cantidades Un ciclista se alista para una competencia, para ello debe llevar agua en pequeños recipientes y así poder hidratarse durante su recorrido. Él decide llevar dos recipientes de modo que la capacidad de uno de ellos sea el doble del otro.

1. Asígnale un valor (variable) a la capacidad del recipiente pequeño. 2. Determina el valor que representa la capacidad del recipiente grande. 3. Determina una expresión que represente el volumen total de agua que lleva el ciclista. Ficha nivel cero

Conceptos previos El Álgebra es una de las ramas de la Matemática que más ha ayudado al desarrollo de la ciencia en todos sus campos. Para estudiar a la cantidad del modo más general posible, el álgebra emplea “constantes y variables”. Constante Una constante es un símbolo que admite un solo valor conocido o definido. Por ejemplo: 5, –7, 1 , p, etc. 2 Variable Una variable es un símbolo que admite cualquier valor, dependiendo de la expresión de la que forme parte. Estos símbolos son por lo general las últimas letras del alfabeto. Por ejemplo: x ; y; z ; m ; t ; … Notación algebraica La notación algebraica se utiliza para diferenciar las variables y constantes de una expresión matemática. Sea la expresión matemática P(x; y) = 3x3 + 6y4 + 3x + 2xy + 4 M(a; b) = 5a3 + 3ab2 + 4b + 5 Variables

Constantes

Variables

Ficha de refuerzo

Sabías que…? “Regla de la cosa” era el nombre con el que los árabes difundieron hace poco más de 1000 años lo que ahora conocemos como algebra. Por aquella época, un señor conocido como Al-juarismi fue enviado a recoger información científica a la India y escribió a su regreso un libro llamado “al-jagr wa-l-muqabala” que fue su obra maestra; de tal nombre deriva la palabra álgebra y significa “transposición y reducción de términos”. Este significado está relacionado con la solución de ecuaciones. Aljuarismi denominó “cosa” a lo que hoy conocemos como “incógnita”, cuya representación es una letra. A los árabes se debe la traducción, desarrollo y difusión de lo que años atrás conocieron los babilonios, los griegos y los hindúes.

PPT

Constantes

Expresión algebraica (E.A.) Una expresión algebraica es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con las 6 operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación, división , potenciación y radicación, en un número limitado de veces, siendo los exponentes de las letras, números racionales ( ). Son expresiones algebraicas: No son expresiones algebraicas: 1 1 3 7 • P(x; y) = 2x4y + 6x2y 2 – x • P(x) = x 3 + 6x 2 – 2 x 3 3 • Q(x; y) = 7x4y + 6y Porque los exponentes de las letras no pueden ser números irracionales. • Q(x) = x + x2 + x3 + x4 + … Porque tiene un número ilimitado de términos.

Recuerda El algebra es una rama de la Matemática que estudia a la cantidad, del modo más general posible y las operaciones que con ella se realizan, en los diferentes conjuntos numéricos.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 157. Matemática I

151


Término algebraico Un término algebraico es aquella expresión algebraica cuyas variables no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción.

Para desarrollar en tu cuaderno

Términos semejantes Dos o más términos son semejantes si tienen las mismas variables afectadas por los mismos exponentes. Ejemplo:

Elementos de un término algebraico

Son términos semejantes:

En todo término algebraico, se distinguen las siguientes partes: coeficiente, parte literal y exponentes.

• 3ab, –5ab, 12ab, ab

Exponentes

Signo

• 5x4, –7x4 , 8x4, – 3x4 • 2xy3, –5xy3, xy3

– 6 x3 yz6

• 3a2b3c, –6a2b3c, 3a2b3c

Parte literal o variable

No son términos semejantes: • 3x4, 5y4, –8x2, –5x3

Parte constante o coeficiente

• 4x4y2, –5xy3, –2x2y3 Ejemplos: • P(x; y; z) = 8x y z Las variables no están relacionadas por la adición o sustracción, entonces se trata de un término algebraico. 2 6

• Q(x; y; z) = 4x7 + 3y – 5z2 La variables x, y , z están relacionadas por la adición y sustracción, entonces NO es un término algebraico. Observa la siguiente tabla Término algebraico

Coeficiente

Parte Exponentes variable

3y6

• 12ab, –7a2c ,3abc • 8m5n, –7m5n2, 9m5np Reducción de términos semejantes Dos o más términos semejantes pueden reducirse a uno solo, si es que se están sumando o restando entre sí. Para ello se suman o restan sus coeficientes y el resultado se pone como coeficiente de la parte literal común. Ejemplos: a. 4x + 7x – 3x + 12x = (4 + 7 – 3 + 12 )x = 20x

P(x; y) = 45x3y6

45

x; y

Q(x; y) = 6x7y

6

x; y

7y1

c. –12ab + 7ab – 5ab = (–12 + 7 – 5)ab = –10ab

R(m; n) = –23mn4

–23

m; n

1y4

d. Si se cumple que: axny8 + 4x4yb + 3 = 9x4y8,

P(x) = – 1 x12 2

– 1 2

x

12

A(x; z) = 3x4z5

3

x; z

4y5

B(x; y; z) = x y z

1

x; y; z

1, 1, 1

R(m; n) = [(m)2]2 · n

1

m; n

4y1

b. 5x5y + 7x5y – 9x5y = (5 + 7 – 9)x5y = 3x5y

calcula el valor de "a + b + n". Solución: Por términos semejantes, se cumple: • a + 4 = 9 a=5 • n = 4 • b + 3 = 8 b=5 Piden: a + b + n = 5 + 5 + 4 = 14

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 157.

152

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

1. En la siguiente expresión algebraica, indica el coeficiente, las variables y los exponentes:

A(x; y; z) = –3x4y6z

Solución: Coeficiente: –3 Variables: x; y; z Exponentes: 4; 6 y 1

Solución: Del dato, el coeficiente es 8. 2a + 2b = 8 a + b = 4 … (I)

Rpta.: –3; x; y; z; 4; 6; 1. 2. En el siguiente término algebraico indica el coeficiente y el exponente. 3 5 A(x) = x 2 Solución: Coeficiente: 3 2 Exponente: 5 3 ; 5. Rpta.: 2

Además, el exponente es 6. 2c + 2 = 6 c=2 Piden: a + b + c = 4 + 2 = 6 Rpta.: El valor de “a + b + c” es 6.

6. Dados los términos semejantes (a + 5)x3by2c; 3x15y12, calcula el valor de “b + c”.

3. En la siguiente expresión algebraica, el coeficiente es igual a 10, calcula el valor de “a”. P(x) = (a + 5)x7 Solución: Del dato, el coeficiente es igual a 10. a + 5 = 10 a=5

Solución: Por términos semejantes, se cumple: 3b = 15 b=5 2c = 12 c=6 Piden: b + c = 5 + 6 = 11.

Rpta.: El valor de “b + c” es 11.

Rpta.: El valor de “a” es 5. 4. En la siguiente expresión algebraica el exponente de la variable es igual a 15, calcula el valor de “n”. P(x) = 3x3n Solución: Del dato, el exponente es igual a 15. 3n = 15 n = 5 Rpta.: El valor de “n” es 5.

5. En el siguiente término algebraico, calcula el valor de “a + b + c” si el coeficiente y el exponente son 8 y 6 respectivamente. Q(x) = (2a + 2b)x2c + 2

7. Reduce la siguiente expresión: E = 13ab2c – 10ab2c – 4ab2c. Solución: E = (13 – 10 – 4)ab2c E = (–1) ab2c E = –ab2c

Rpta.: –ab c. 2

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 157. Matemática I

153


Para desarrollar en tu cuaderno

8. Reduce la siguiente expresión: A = 8x3y – 4x3y – (–2x3y). Solución: A = 8x3y – 4x3y + 2x3y A = (8 – 4 + 2)x y 3

A = 6x3y Rpta.: 6x y. 3

11. Indica el número de términos que resulta al reducir la siguiente expresión: 5x2y + 3xy – 2xy2 + 6x2y – 2xy2 + 6xy2 – 8xy + 5 Solución: Agrupamos términos semejantes para efectuar la reducción: 5x2y + 3xy – 2xy2 + 6x2y – 2xy2 + 6xy2 – 8xy + 5 5x2y + 6x2y + 3xy – 8xy – 2xy2 – 2xy2 + 6xy2 + 5 11x2y + –5xy + 2xy2 + 5 Luego, tiene 4 términos.

9. Reduce las siguientes expresiones algebraicas: a. F(x) = 3x + 6x – 4x Solución: F(x) = (3 + 6 – 4)x = 5x b. E(a;b) = 12ab – 3ab + 4ab Solución: E(a;b) = (12 – 3 + 4)ab E(a;b) = 13ab

Rpta.: 4 términos. 12. Si (a + 2)xm + 2 + 6x8 = 12xn + 9 es una operación de términos semejantes. Calcula el valor de “m + a – n”. Solución: (a + 2)xm + 2 + 6x8 = 12xn + 9 Se cumple que: m+2=8 a + 2 + 6 = 12 m=6 a=4 n+9=8 n = –1

c. G(x) = 6x3 + 4x3 – 8x3 Solución: G(x) = (6 + 4 – 8)x3 G(x) = 2x3

Piden: 6 + 4 – (–1) = 11

Rpta.: El valor de “m + a – n” es 11.

10. Reduce la siguiente expresión, luego indica la cantidad de términos. E = 5a + b + c + 6a + 7b – 8c – a Solución: Agrupamos términos semejantes: E = 5a + 6a – a + b + 7b + c – 8c = (5 + 6 – 1)a + (1 + 7)b + (1 – 8)c = 10a + 8b – 7c

13. Si la suma de los siguientes términos semejantes es igual a la expresión 12x5y10, calcula el valor de “a · b · c”. (3a + 2)xby5c + 4x5y10. Solución: Por términos semejantes: b = 5 , 5c = 10 c=2 Luego (3a + 2 ) + 4 = 12 a=2 Piden: 2 · 5 · 2 = 20

Rpta.: “E” tiene 3 términos.

Rpta.: El valor de “a · b · c” es 20.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 157.

154

Matemática I


Polinomios Para desarrollar en tu cuaderno

Una merienda saludable Valentina organiza los alimentos que consumirá a media tarde, de la siguiente manera: Lunes: la mitad de una pera. Miércoles: un racimo de uvas más una manzana. Viernes: un cuarto de una naranja.

1. Si P representa a una pera, U a un racimo de uvas, M a una manzana y N a una naranja, determina una expresión que represente la cantidad de fruta que consumió Valentina durante una semana. Ficha nivel cero

Polinomios

Ficha de refuerzo

Un polinomio es una expresión algebraica donde sus exponentes son números enteros positivos, además tiene un número finito de términos. Forma general de un polinomio de una variable P(x) ≡ a0xn + a1xn–1 + … + an–1x + an ; (a0 ≠ 0) Donde: a0: Coeficiente principal a0, a1, … , an : Coeficientes an: Término independiente x: Variable

P(x) = –12x4 es un monomio pues tiene un solo coeficiente no nulo que es –12. También se puede decir que P(x) es un polinomio de un solo término.

PPT

b. Binomio Es el polinomio que está formado por dos términos no nulos. Ejemplo: Q(x) = 12 – 7x3 es un binomio, porque sus dos términos tienen coeficientes no nulos.

Notación variable P(x ; y) ≡ –5x2y7 nombre del polinomio

Ejemplo:

variables

Donde: Polinomio: P Variables: x; y Exponentes: 2; 7 Coeficiente: –5

c. Trinomio Es el polinomio que está formado por tres términos no nulos. Ejemplo: R(x) = 6 – 2x2 – x6 es un trinomio, porque sus tres términos tienen coeficientes no nulos.

Tipos de polinomios según el número de términos a. Monomio Es aquel polinomio que tiene un solo término no nulo.

Si un polinomio tiene 4 o más términos se nombra indicando el número de términos que posee. Ejemplo: P(x) = 16x3 + 4x2 + 6xy + 7y + y2 tiene 5 términos. Luego, P(x) es un polinomio de 5 términos.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160. Matemática I

155


Para desarrollar en tu cuaderno

Valor numérico (V.N.) Es el valor que toma un polinomio al sustituir las variables por constantes.

Ejemplo 3:

Ejemplo 1: Si P(x) = 2x2 + 5, calcula P(–1).

P(P(x)) = 3(3x2 + 2)2 + 2

Solución: Evaluamos el polinomio para x = –1, luego: P(–1) = 2( –1 )2 + 5 =7 Ejemplo 2: Calcula el V.N. del polinomio P(x; y; z) = 2x2y – 5xy3z + 3x4z3, para x = –1, y = 2, z =1. Solución: Reemplazamos los valores en el polinomio. P(–1; 2; 1) = 2(–1)2(2) – 5(–1)(2 )3( 1) + 3(–1)4(1)3 P(–1; 2; 1) = 4 – (– 40) + 3 P(–1; 2; 1) = 47 Cambio de variable Es el procedimiento mediante el cual la variable inicial de un polinomio se transforma en una nueva variable . Este procedimiento se emplea como alternativa para formar expresiones más sencillas que facilitan las operaciones. Ejemplo 1: Dado de polinomio P(x) = 5x3 + 2, si x = a P(a) = 5a3 + 2, si x = m + 1 P(m + 1) = 5(m + 1)3 + 2 Ejemplo 2: Si P(x – 1) = 3x – 1, calcula P(x + 2). Solución: P(x –1) = 3x –1 …(I) Realizamos un cambio de variable: x = m + 1 …(II) Sea x –1 = m Reemplazamos (II) en (I): P(m) = 3(m + 1) – 1 P(m) = 3m + 2 Volvemos a la variable inicial: P(x + 2) = 3(x + 2) + 2 P(x + 2) = 3x + 8

Si P(x) = 3x2 + 2, calcula P(P(x)). Solución: P(P(x)) = 3(9x4 + 12x2 + 4) + 2 P(P(x)) = 27x4 + 36x2 + 14 Grado de una expresión algebraica Es una característica que tienen las expresiones algebraicas. Existen dos tipos de grados: Grado absoluto (G.A.) y grado relativo (G.R.). Grado de un monomio A. Grado relativo (G.R.) El G.R. de una variable es el mayor exponente de dicha variable en el monomio. B. Grado absoluto (G.A.) Llamado también grado. Se calcula sumando los exponentes de todas las variables del monomio. Ejemplo: Si M(x; y; z) = 3a5x4y6z3; entonces: G.R.(x) = 4 ; G.R.(y) = 6 ; G.R.(z) = 3 G.A.(M) = 4 + 6 + 3 = 13 Grado de un polinomio A. Grado relativo (G.R.) El G.R. de una variable es el mayor exponente de dicha variable en el polinomio. B. Grado absoluto (G.A.) El G.A. de un polinomio es el mayor grado absoluto de sus términos. Ejemplo: Si P(x; y; z) = 2x7y3z + 5x4y10z2 – 3x6y3z4 G.A. = 11

G.R.(x) = 7 ; G.R.(y) = 10 ; G.R.(z) = 4 G.A.(P) = 16

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160.

156

Matemática I

G.A. = 16 G.A. = 13


Para desarrollar en tu cuaderno

Tipos de polinomios Polinomio

Homogéneo

Definición

Ejemplo

Es aquel polinomio en el cual todos sus térP(x; y) = 5x2y7 – x5y4 + 4x3y6 minos tienen el mismo 2+7 5+4 3+6 grado absoluto.

El grado de este polinomio se conoce como grado de homogeneidad.

Un polinomio está ordenado respecto a una P(x; y) = 5x2y10 – x6y4 +x7 variable si los exponentes de ella aumentan o disminuyen.

Está ordenado: a. De modo ascendentemente con respecto a ”x”. b. De modo descendentemente con respecto a “y”.

=9

Ordenado

Completo

Idénticos

Idénticamente nulo

Observaciones

Un polinomio está completo respecto a una de sus variables si dicha variable aparece en todos los términos desde el mayor exponente hasta el término independiente.

=9

=9

Si P(x) es un polinomio completo se cumple que P(y) = 9 + y – 5y2 + y3 el número de términos es Polinomio completo y ordenado ascenden- igual al grado de dicho polinomio aumentado en temente. uno. N° de términos = G.A.(P) + 1 P(m) ≡ 2m4 + 7m3 – 1 m2 + 3m – 10 2 Polinomio completo y ordenado descendentemente.

Dos polinomios son idénticos si y solo si Si ax2 + bx + c ≡ 5x2 – 8x + 1 los términos semejantes en ambos miem- Entonces: bros son iguales. ax2 = 5x2, bx = –8x , c = 1 a=5 b = –8 c=1

Si dos polinomios son idénticos entonces tienen el mismo valor numérico para cualquier valor de su variable. P(x) ≡ Q(x) P(a) ≡ Q(a); a =

Un polinomio reducido es idénticamente nulo si todos sus coeficien- Si: tes son iguales a cero . (a – 3)x2 + (2b + 1)x + (c – 4) ≡ 0

Si ax2 + bx + x ≡ 0 Entonces a = b = c = 0 Además, si un polinomio de grado “n” se anula para más valores de “n” diferentes entre sí, entonces, dicho polinomio es idénticamente nulo. Si P(x) ≡ 0 P(a) = P(b) = P(q) = 0 a, b, q son constantes numéricas

Entonces: a–3=0 a=3

2b + 1 = 0 b=– 1 2

c–4=0 c=4

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160. Matemática I

157


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Calcula el valor numérico de la siguiente expresión P(x) = 2x2 – 1, para x = 2. Solución: P(2) = 2(2)2 – 1 P(2) = 7

6. Determina el grado absoluto del siguiente polinomio: P(x; y) = 5x3y5 – 43x2y7 + 2x7 Solución: P(x; y) = 5x3y5 – 43x2y7 + 2x7 G.A. =

8

Rpta.: 7.

P(1) = 5(1)2 – 3(1) P(1) = 2 Rpta.: 2. 3. En monomio P(x; y) = 3x4y5, calcula G.R.(x) + G.R.(y). Solución: De la expresión tenemos que: G.R.(x) = 4 G.R.(y) = 5 Piden: 4 + 5 = 9. Rpta.: 9. 4. En el monomio M(x; y) = ax7y3, calcula G.R.(x), G.R.(y) y G.A.(M) Solución: De la expresión tenemos que: G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 3 G.A. = 7 + 3 = 10 Rpta.: 7; 3; 10. 5. En el polinomio P(x; y) = 2x2y3 + 3x5y, calcula: G.R.(x) + G.R.(y). Solución: El mayor exponente de “x” es 5: G.R.(x) = 5 El mayor exponente de “y” es 3: G.R.(y) = 3 Piden: G.R.(x) + G.R.(y) = 5 + 3 = 8 Rpta.: 8.

G.A. =

7

7. Calcula el valor del coeficiente de M(x; y) = (a + b)x2a – 4 yb – 3, si G.R.(x) = 12; G.R.(y) = 14. Solución: Por dato: G.R.(x) = 12 G.R.(y) = 14 2a – 4 = 12 b – 3 = 14 a=8 b = 17 Piden : coeficiente = a + b = 8 + 17 = 25 Rpta.: El coeficiente es 25. 8. Si el polinomio P(x; y) = 3xay4 + 2x5yb + 7x8y6 es homogéneo, calcula el valor de “a + b”. Solución: Observamos que el grado de homogeneidad es 8 + 6 = 14 , luego se cumple: • a + 4 = 14 a = 10 • 5 + b = 14 b=9 Piden : a + b = 10 + 9 = 19 Rpta.: El valor de “a + b” es 19. 9. Dado el siguiente polinomio homogéneo: P(x; y) = 2bxbyc + 5x7y2 + 3cxb + 7 Calcula la suma de coeficientes. Solución: Por polinomio homogéneo, se cumple: • b + 7 = 7 + 2 b=2 • b + c = b + 7 c=7 Piden: Suma de coeficientes = 2b + 5 + 3c = 2(2) + 5 + 3(7) = 30 Rpta.: La suma de coeficientes es 30.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160. Matemática I

9

Rpta.: 9.

2. Si P(x) = 5x2 – 3x, calcula P(1). Solución:

158

G.A. =

∴ G.A.(P) = 9


Para desarrollar en tu cuaderno

10. Calcula el valor de “a + b + c” si el polinomio P(x) = 2xa + 7 + 8x2a – b + 10 + 3xc + b – 4 es completo y ordenado en forma descendente. Solución: Como está completo y ordenado en forma descendente, entonces: • a + 7 = 2 a = –5 • 2a – b + 10 = 1 2(–5) + 9 = b b = –1 • c + b – 4 = 0 c + (–1) – 4 = 0 c = 5 Piden: a + b + c = –5 + (–1) + 5 = –1 Rpta.: El valor de "a + b + c" es –1. 11. Si (2a – 5)x2 + (3b + 1) x + 2c ≡ 5x2 – 8x + 10, calcula el valor de "a + b + c". Solución: Por polinomios idénticos, se cumple: • 2a – 5 = 5 a=5 • 3b + 1 = –8 b = –3 • 2c = 10 c=5 Piden: a + b + c = 5 + (–3) + 5 = 7 Rpta.: 7.

son polinomios idénticos.

Solución: Como son idénticos se cumple que: a = 3; 4 = 2b ; c+1=3 b= 2 c=2 Piden: a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7 Rpta.: 7.

Solución: Por polinomios idénticos, se cumple:

3a + 2b = 3 5a – 6b = –7 8a – 4b = –4

(+)

Rpta.: El valor de "8a – 4b" es –4.

14. Si se cumple que: m (x + n ) + n( x + m) ≡ 3x – 108, calcula el valor de "m – n" (m > n) Solución: Operamos en el dato: mx + mn + nx + nm ≡ 3x – 108 (m + n)x + 2mn = 3x – 108 m + n = 3 ; 2mn = –108 mn = –54 como m > n m = 9 ; n = –6 Piden: m – n = 9 – (–6) = 15 Rpta.: El valor de "m – n" es 15

12. Calcula el valor de “a + b + c”, si se sabe que: P(x) = ax3 + 4x2 + (c + 1)x y Q(x) = 3x3 + 2bx2 + 3x,

13. Si (3a + 2b)x2 + (5a – 6b) ≡ 3x2 – 7, calcula el valor de "8a – 4b".

15. Si el polinomio P(x) = (3a – 15)x2 + (2b – 10)x + 4c es idénticamente nulo, calcula el valor de "a + b + c". Solución: Por ser P(x) idénticamente nulo, se cumple: • 3a – 15 = 0 a=5 • 2b – 10 = 0 b=5 • 4c = 0 c=0 Piden: a+b+c=5+5+0 = 10 Rpta.: El valor de "a + b + c" es 10.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160. Matemática I

159


* Todos debemos tributar Tributar significa pagar impuestos. La tributación tiene por objeto recaudar los fondos que el Estado necesita para su funcionamiento.

Superintendencia Nacional de Administración Tributaria (SUNAT)

• Es la encargada de la admi-

nistración, recaudación, control y fiscalización del tráfico internacional de mercancías, medios de transporte y personas dentro de nuestro territorio nacional. Por lo tanto, regula y controla diversos regímenes y operaciones aduaneras; entre las principales, tenemos la importación y la exportación.

Sistema Tributario Nacional

Componentes del tributo Hecho generador

Cuando se realiza la venta de bienes o la prestación de servicios en el país; así como los contratos de construcción.

Contribuyente

• Incrementar la recaudación. • Brindar al sistema tributario una mayor eficiencia, permanencia y simplicidad.

• Distribuir

equivalentemente los ingresos que corresponden a las Municipalidades.

Persona natural, jurídica o empresa que realiza una actividad económica, dando lugar al pago de tributos. Personas en forma individual o empresas que realizan transacciones de compra y venta de bienes o servicios.

Base de cálculo

Cantidad numérica expresada en términos de medida, sobre la cual se calcula el impuesto. El valor de venta del bien de la prestación del servicio o de la construcción.

• En

mérito a facultades delegadas, el Poder Ejecutivo, mediante Decreto Legislativo N° 771 dictó la Ley Marco del Sistema Tributario Nacional, vigente a partir desde 1994, con los siguientes objetivos:

Es la acción o situación determinada por la ley para tipificar un tributo.

Tasa

Es el valor porcentual establecido de acuerdo con la ley, a fin de determinar el monto del tributo que el contribuyente debe pagar al fisco. Es 18% compuesto por el 16%, que es el I.G.V. propiamente dicho, y el 2% correspondiente al Impuesto al Patrimonio Municipal.

Situación 1

Si una laptop tiene un valor de S/. 1 800, calcula cuánto cuesta con el IGV incluido.

„„ Pide a tu compañero (a) que te evalúe. Indicadores Aportamos ideas en el trabajo grupal. Respetamos las opiniones de nuestros compañeros. * Promueve el aprendizaje en equipo.

160

Matemática I


„„ Analiza el siguiente organizador visual y repasa lo aprendido. Aritmética

Aritmética

a – b = razón

a–b=c–d

Geométrica

PROPORCIONALIDAD

Razón

a = razón b

Geométrica

Proporción

a c = b d

EN MAGNITUDES

Directamente proporcionales (D. P.) a1 a2 a3 = = = k b1 b2 b3

a+d=b+c a×d=b×c

Inversamente proporcionales (I.P.) a1 × b1 = a2 × b2 = a3 × b3 = k REGLA DE TRES

Simple

Compuesta

Directa A a1 a2 x=

D.P.

a2 × b1

Inversa B b1

A a1

x

a2

a1

I.P.

a ×b x= 1 1 a2

B b1 x

a ·x 100

Pv = Pc + G

B D.P.

C

a1

b1

c1

a2

b2

x

x=

c1 × a2 × b1 a1 × b2

I.P.

PORCENTAJE a % de x =

A

aumento único

Au = a + b +

a×b % 100

descuento único

Du = a + b –

a×b % 100

Pv = Pc – P

PL = Pc + G + D

„„ Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje. a. b. c. d.

• •

¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad? ¿Qué estrategias utilicé para resolver mis dificultades? ¿Expliqué con mis palabras los conocimientos adquiridos? ¿En qué otras situaciones podría aplicar lo aprendido?

ESPINO Eyzaguirre, Andrés (1994). Factorización. Lima: Brasa, 63 p. ESPINO Eyzaguirre, Andrés (1994). Ecuaciones. Lima: Brasa, 63 p.

• http://www.ematematicas.net/polinomios.php?ejercicio=factoriza / Consultado el 10 de junio de 2015. • http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/ 1quincena7/index1_7htm / Consultado el 10 de junio de 2015. Matemática I

161

Matemática 1 sec - unidad 5  
Matemática 1 sec - unidad 5  
Advertisement