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Matemática Libro del Área

Obra colectiva, diseñada, creada y producida bajo la dirección de:

Erlita Ojeda Zañartu Dra. en Ciencias de la Educación

sec.

I


Conoce tu libro

Prohi

bir cri

o bid es

Para desarrollar en tu cuaderno

Libro del área La colección “Matemática COREFO” para Secundaria es un material didáctico conformado por el “Libro del área”, el “Libro de actividades” y el “Libro de Razonamiento Matemático” como complemento. Es una propuesta que fue revisada y aprobada por la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI). Presenta un modelo constructivista con un enfoque basado en la resolución de problemas y una propuesta que incluye las competencias y organizadores específicos del área: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad, actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio, actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización, actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre. La colección “Matemática COREFO” refuerza y desarrolla las habilidades y capacidades matemáticas en los diferentes momentos del aprendizaje:

Rutas

rco Ma C

cional Na

Criteri

icos óg

nn

aje diz

nn

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nn

cional Na

nn

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nn

Aspectos teóricos a partir de la reflexión

Apertura (Libro del área) Momentos del aprendizaje: Incluye los lineamientos de: Recuperación de saberes previos – Activación de los saberes previos, motivación Apren icular de urr (Libro de actividades) – Construcción del aprendizaje DCN Motivación – Enlaces web (Libro del área) – Bibliografía eP ricular s d ro ur Construye tus aprendizajes Se refuerza con: MCN (Libro del área) – Libro de actividades Practica pedag – Material TIC en Corefonet: PPT, webquest, clases os (Libro de actividades) IC interactivas, fichas de nivel básico, fichas de refuerzo, Autoevaluación y metacognición e indicadores de solucionario, evaluaciones, entre otros. calidad Map a

nn

(Libro de actividades)

Integración con la tecnología COREFONET nn nn nn nn nn

e - book interactivo nivel Fichas del nivel básico Ficha cero de Fichas de refuerzo Ficha refuerzo 58 PPT PPT 6 webquest por grado (1ro a 5to)

nn nn

nn Webquest

Clase

Clases interactivas interactiva Evaluación de entrada, evaluaciones por unidad, y evaluación de salida en la Guía del maestro (Heteroevaluación). Sugerencias meteorológicas para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje

TEMAS TRANSVERSALES

e

Cul

Convive

Respet

ad uid o d

Valores

ia dem nc

lores Va

:

C

Matemática I

Convivencia y democracia

rática oc

ed el m io

a de tur

Cultura de Paz

z pa

2

la div

bie am nt

Cuidado del medio ambiente

oa

sidad er

Respeto a la diversidad

h hos um s ano

Respeto a los derechos humanos

Derec

El libro está integrado a través de los temas transversales que motivan el análisis y reflexión.


Apertura Presenta una portada con una serie de imágenes que hacen referencia a situaciones matemáticas contextualizadas que facilitan el logro de las competencias y capacidades del área. Así, como su relación con los aprendizajes fundamentales y valores que contribuyan a una formación integral. Aprendizaje fundamental/valor/contenido transversal

Titulo

ia dem nc

en Apr di

rática oc

ental am

Convive

je fund za

Utilizamos racionalmente los recursos

Usa la ciencia y tecnología

Nuestros aprendizajes

Competencia a desarrollarse en la unidad

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

En muchas situaciones de nuestro entorno observamos la presencia de los números racionales, por ejemplo cuando vamos a pagar el monto por consumo de agua, cuando vamos de compras al supermercado, entre otros. (Números racionales)

• Representa • • •

el orden de los números decimales en la recta numérica. Compara numeros decimales. Interpreta el significado de los números decimales en diversas situaciones y contextos. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas que combinen cuatro operaciones con números decimales.

Indicadores

El agua es la fuente de la vida y en este planeta solo el 2,8 % del agua es dulce y de consumo humano, y el resto no lo es. El 0,01 % de esta agua dulce se encuentra en lagos y ríos. ¡NO LA MALGASTES! (Adición y sustracción con decimales)

Reducir el consumo de energía eléctrica en el hogar depende mucho de cuánto tiempo usemos ciertos artefactos, Por eso es importante saber nuestro consumo diario por el uso de cada artefacto y así saber cuánto pagaremos al finalizar el mes. (Multiplicación y división con decimales)

Trabajamos

Averiguamos

1. 2. 3. 4.

Ingresa a las siguientes páginas web para complementar la información del tema tratado. • http://es.wikipedia.org/wiki/Uso_racional_del_agua • http://www.ditutor.com/numeros_decimales/numeros_decimales.html

Describe lo que observas y menciona qué porcentaje del agua del planeta es agua dulce. Señala algunos números decimales que puedas observar. ¿Crees que es importante el consumo racional de los recursos? ¿Por qué? ¿En qué situaciones del entorno observas la utilidad de los números decimales? Explica su importancia

102

103

Matemática I

Matemática I

Actividades de reflexión de la competencia del área

Enlaces webs a consultar

Secuencia de aprendizaje Motivación

Analiza los ejemplos

Propone una lectura motivadora que ayuda a relacionar el nuevo conocimiento con situaciones reales o de aplicación matemática.

Presenta una variedad de actividades desarrolladas que sirven de modelo para resolver la sección Practica.

Múltiplos y divisores Para desarrollar en tu cuaderno

Dulces en nuestro entorno En nuestra vida cotidiana podemos observar los maravillosos pastelillos llamados cupcakes. Generalmente los vemos en los mostradores de los supermercados, las panaderías, tiendas, etc. ordenados equitativamente.

Propicia la expresión y comunicación matemática a través de las preguntas de reflexión y análisis.

Para desarrollar en tu cuaderno

1. Si una docena de libros cuesta S/. 72, ¿cuánto costarán 3 decenas de libros? Solución: Como (costo) D.P. (Nº de libros) entonces, se cumple: Costo = cte Nº de libros Reemplazamos valores: 72 x = 12 3(10) x = 180 Rpta.: Tres decenas de libros costarán S/. 180.

1. Los alumnos de un colegio participan en un concurso de postres y algunos presentan cupcakes. Si se desea colocar 12 cupcakes sobre un mostrador, ¿de cuántas formas pueden ordenarse, de tal manera que todas las filas y columnas queden completas? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Webquest

Múltiplo de un número El múltiplo de un número se obtiene al multiplicar dicho número por un número natural. Ejemplos: “Múltiplos de 6” : M(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; …} “Múltiplos de 8” : M(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; …} Forma general Si un número natural “A” es múltiplo de otro número natural “B”, entonces la división de A por B es exacta y se denota así: A=B

A = Bk (k 

Importante Dados los números “A” y “B”; si se cumple que: A

B

0

k

A = Bk

Luego: “A” es múltiplo de “B”. “A” es divisible por “B”. “B” es divisor de “A”. • B : Se lee módulo “B”

Propiedades

b. El cero es múltiplo de todo número.

Ejemplos:

9=9 13 = 13

Ejemplos:

División por defecto

0 = 26

A

c. La cantidad de múltiplos de un número es infinita, debido a que el conjunto de los números naturales es 3 = {0; 3; 6; 9; 12…} ilimitado. 4 = {0; 4; 8; 12; 16…}

Principios de la multiplicidad respecto a un mismo módulo n+n=n Ejemplo: 20 + 25 = 45 5+5 =5

c.

b.

n–n=n Ejemplo: 36 – 12 = 24 6–6=6

d.

n×n=n Ejemplo: 8 × 12 = 96 2×2=2 (n)k = n Ejemplo: (6)3 = 216 (6)3 = 6

e. (n + r)k = n + rk Ejemplo: (9 + 2)3 = 9 + 23 =9+8 f. (n + a) (n + b) = n + ab Ejemplo: (3 + 2)(3 + 1) 3+2

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 46.

44

Matemática I

Propone recursos interactivos tales como PPT, fichas del nivel básico, fichas de refuerzo, webquest entre otros, para contribuir a la consolidación de los aprendizajes.

Recuerda

0 = 15

Ejemplos:

a.

2. Calcula el valor de “x” en el siguiente cuadro si “A” y “B” son magnitudes. A B

B

rd q

A = Bq + rd A = B + rd

Donde: rd: residuo por defecto División por exceso A = B(q + 1) – re A B re q + 1

A = B – re

Donde: re: residuo por exceso Además:

rd + re = B

Busca que el alumno construya el nuevo conocimiento a través de procesos secuenciales que propician la deducción y generalización de la información.

27 18

15 x

Magnitudes Velocidades (km/h) Tiempo (h)

5

8

y

Solución: Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple: • 80x = (50)(8) = 20y 80x = 400 x=5 • 20y = 400 y = 20

Si “A” es múltiplo de “B” entonces también será múltiplo de todos los factores de “B”.

Piden: x + y = 5 + 20 = 25 Rpta.: El valor de "x + y" es 25

A

12

Valores correspondientes 80 50 20 x

Rpta.: El valor de “M” es 12,5. 5. En el gráfico mostrado A y B son magnitudes proporcionales, determina el valor de "x".

84

3. La siguiente tabla muestra algunos valores de dos magnitudes, determina el valor de “x + y”

Nota

Integra los procesos de construcción y consolidación del nuevo conocimiento mediante la indicación del número de página que relaciona el libro del área con el libro de actividades.

6 4

Solución: Analizamos sus valores correspondientes: 6 = 27 = 3 4 18 2 Entonces se deduce que A D.P. B, luego: 3 15 = 2 x x = 10 Rpta.: El valor de "x" es 10

“B” es un factor de “A”.

)

a. Todo número es múltiplo de sí mismo.

Construye tus aprendizajes

4. Si M es D.P. a N, además cuando M = 10; N = 4. Calcula el valor de “M” para N = 5. Solución: Como “M” es D.P. a “N” entonces, se cumple: 10 = M 5 4 M = 12,5

x

B

Solución: Del gráfico deducimos que A D.P. B, luego se cumple: 12 = 84 x = 35 x 5 Rpta.: El valor de “x” es 35 6. Dos ruedas dentadas en contacto dan 72 y 63 vueltas. Si la primera rueda tiene 35 dientes, ¿cuántos dientes tendrá la segunda rueda? Solución: Sabemos que: ND1 × NV1 = ND2 × NV2 35 · 72 = ND2 · 63 40 = ND2

Rpta.: La segunda rueda tendrá 40 dientes.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146.

140

Matemática I

Enlace con la sección Practica

Matemática I

3


Recuerda Presenta un organizador visual que sistematiza los contenidos de los temas trabajados y ayudan a repasar todo lo aprendido en la unidad didáctica. „ Analiza el siguiente organizador visual y repasa lo aprendido.

NÚMEROS RACIONALES ( ) se define

= {[(a,b)] / a  , b  , b ≠ 0}

Bibliografía

FRACCIÓN ORDINARIA

FRACCIÓN DECIMAL es

es

Una Fracción cuyo denominador es una potencia de 10.

Una fracción cuyo denominador no es potencia de 10.

Presenta la bibliografía de algunos libros que se usaron para la elaboración de la unidad.

genera

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN NÚMEROS DECIMALES

Metacognición

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

sus operaciones son

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

son

DECIMAL EXACTO su generatriz es

0,ab ....f = “n” cifras

ab ....f 1000...0 “n” ceros

DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

DECIMAL PERIÓDICO PURO su generatriz es

0,ab ....f = “n” cifras

Matemática I

„ Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje. a. ¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad? b. ¿Qué estrategias utilicé para resolver mis dificultades? c. ¿Expliqué con mis palabras los conocimientos adquiridos? d. ¿En qué otras situaciones podría aplicar lo aprendido?

su generatriz es

ab ....f 9999...9

0,ab ....f gh ....p “x” cifras “y” cifras

“n” cifras

• •

=

ab …fgh…p – ab …f 99…9 00…0 “y” cifras “x” cifras

EDWARD, Allen (1967) Tablas matemáticas con seis decimales. Caracas : Distribuidora Escolar, 207p. RIOBUENO, Nelly ( 2005). Aprendo a multiplicar y a dividir : con decimales. Caracas : El Nacional, 45p.

• http://www.amolasmates.es/Mates%20basicas/mates_basicas3.html/Consultado el 10 de junio de 2015.

• http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/decimales.php/Consultado el 10 de junio de 2015.

Enlaces web

127

Propone direcciones web donde el alumno profundizará sus aprendizajes.

Secciones especiales Somos emprendedores

Cultura tributaria

Presenta proyectos de emprendimiento, que ayudan al alumno a conocer la importancia de la aplicación de la matemática y a desarrollar sus habilidades para trabajar en forma grupal con sus compañeros(as).

Presenta situaciones problemáticas que ayudan al alumno a desarrollar sus capacidades matemáticas y a reconocer la importancia del proceso de tributación y algunas funciones de la SUNAT.

Somos emprendedores*

*

Elaboramos portarretratos para generar nuestros propios ingresos

Obligaciones tributarias del empleador ¿Quién es el empleador y cuáles son sus obligaciones?

2. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:

Podemos vender portalapiceros de trupán.

Situación 1

Si deciden elaborar los portarretratos y venden 15 unidades cada semana, ¿cuánto dinero obtendrán en un mes? ¿Qué proyectos podemos plantear para generar nuevos ingresos?

Mejor hagamos portarretratos, son más comerciales.

Situación 2

Si deciden comprar los portaretratos y logran venden 15 unidades cada semana, ¿cuánto dinero obtendrán en un mes?

Responde oralmente

¿Cuáles son las obligaciones del empleador relacionadas con la seguridad social?

¿Qué observas en la imagen?

Problema ¿Qué proyecto puede generar ingresos mensuales? Alternativa solución Se proponen las siguientes actividades: • Venta de portarretratos • Venta de portalapiceros de trupán „ Forma grupos de trabajo y desarrolla. Análisis de posibilidades: 1. Elige la venta de portarretratos Si los compran hechos Precio de costo de cada portarretrato: S/. 5 Precio de venta: S/. 8 Ganancia por cada portarretrato: S/. 3 Ventaja: Listo para vender a los consumidores.

Situación 3

• Registra

¿Cuánto dinero más se logra ganar en la situación 1 con respecto a la situación 2?

a sus trabajadores y pensionistas y a los derechohabientes que estos declaren.

Precio de costo de cada portarretrato: S/. 2 Precio de venta: S/. 7 Ganancia por cada portarretrato: S/. 5 Ventaja: Se obtiene mayor ganancia y el precio de venta es menor.

los aportes a Essalud equivalentes al 9% de la remuneración mensual del trabajador.

2. ¿Cuál sería el precio más adecuado para el pro-

Matemática I

1. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas: Situación 1

Una persona gana S/. 1800 mensuales, ¿qué monto aporta a la ONP?

Situación 2

Roberto gana S/. 2 500 cada mes, ¿cuánto dinero le descuentan como aporte a Essalud?

Situación 3

Marta observa en su boleta de pago del fin de mes que le descuentan S/. 180 como aporte a Essalud, ¿cuál es su sueldo mensual?

• Retiene a los trabajadores el

aporte para el sistema nacional de pensiones correspondiente al 13% de su ingreso mensual. Alternativamente, el trabajador puede optar por afiliarse al sistema Privado de pensiones( más conocido como AFP)

Evalúa 1. ¿Se puede mejorar el producto? 2. ¿De qué otra forma se podría vender?

„ Pide a tu compañero (a) que te evalúe. Indicadores

„ Pide a tu compañero (a) que te evalúe. Indicadores

Aportamos ideas en el trabajo grupal.

Aportamos ideas en el trabajo grupal.

Respetamos las opiniones de nuestros compañeros.

Respetamos las opiniones de nuestros compañeros.

Cumplimos con la tarea asignada en el grupo.

Cumplimos con la tarea asignada en el grupo.

* Promueve el aprendizaje en equipo. 194

Las obligaciones tributarias del empleador generadas por la relación laboral están referidas a las contribuciones de Essalud y la ONP.

• Paga

Responde oralmente: 1. ¿Qué insumos tiene el producto elegido?

ducto?

Si los elaboran Compra de insumos: Trozo de trupán, pinturas de colores, pinceles, lija para madera, otros.

Para desarrollar en tu cuaderno

Es la persona natural o jurídica, empresa unipersonal, cooperativa de trabajadores, entidad del sector público o cualquier otro ente colectivo que remunera a cambio de un servicio prestado en condiciones de subordinado o que paga pensiones de cesantía, incapacidad o sobrevivencia.

* Promueve el aprendizaje grupal. 72

Matemática I

Este libro fue redactado y corregido según las últimas normas de la Real Academia Española. 4

Matemática I


Índice UNIDADES COMPETENCIA Y ORGANIZADOR ESPECÍFICO

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad. (Aritmética)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad. (Aritmética)

Matematiza situaciones

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad. (Aritmética)

Elabora y usa estrategias

CAPACIDADES Comunica y representa ideas matemáticas.

TITULO DE LA UNIDAD

“Respetamos y preservamos el número de animales de nuestra fauna”

“Valoramos la gastronomía en nuestro entorno”

“Reconocemos la importancia de la tecnología en la actualidad”

TEORÍA DE CONJUNTOS 10

MÚLTIPLOS Y DIVISORES 44

NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONES) 76

ŸŸ Determinación y clasificación de conjun-

ŸŸ Múltiplo de un número ŸŸ Divisor de un número ŸŸ Criterios de divisibilidad

ŸŸ Clases de fracciones ŸŸ Amplificación y simplificación de una

76

ŸŸ Fracciones equivalentes ŸŸ Adición de fracciones ŸŸ Sustracción de fracciones ŸŸ Multiplicación de fracciones ŸŸ División de fracciones ŸŸ Potenciación de fracciones ŸŸ Radicación de fracciones

79

tos 10

ŸŸ Relaciones entre conjuntos ŸŸ Operaciones con conjuntos ŸŸ Problemas con conjuntos

11 13 16

RELACIÓN BINARIA 19

ŸŸ Producto cartesiano ŸŸ Gráfica de un producto cartesiano ŸŸ Dominio y rango de una relación

19 20 21

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES 22

ŸŸ Orden y comparación de los números CONOCIMIENTOS

naturales 22

ŸŸ Adición en 23 ŸŸ Sustracción en 24 ŸŸ Multiplicación en 26 ŸŸ Potenciación en 30 ŸŸ Radicación en 32 ŸŸ Operaciones combinadas en 33 SISTEMAS DE NUMERACIÓN 35

ŸŸ Conceptos previos ŸŸ Sistema de numeración decimal ŸŸ Descomposición polinómica ŸŸ Cambios de base

RECUERDA

Razona y argumenta generando ideas matemáticas

35 36 37 37

ŸŸ Conjuntos 41

44 45 46

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS 49

ŸŸ Número primo ŸŸ Número compuesto ŸŸ Números primos entre sí ŸŸ Propiedades de los divisores de un

49 49 49

número 50

MCD Y MCM 53

ŸŸ Métodos para el cálculo del MCD ŸŸ Propiedades del MCD ŸŸ Métodos para el cálculo del MCM ŸŸ Propiedades del MCM

fracción 78 83 85 89 90 95 96

53 54 55 55

NÚMEROS ENTEROS 57

ŸŸ Representación de un número entero en la recta numérica

57

58 ŸŸ Comparación de números enteros ŸŸ Adición en 60 ŸŸ Sustracción en 62 ŸŸ Multiplicación en 65 ŸŸ División en 66 ŸŸ Potenciación en 69 ŸŸ Radicación en 70

ŸŸ Divisibilidad 73

ŸŸ Fracciones 101

Matemática I

5


UNIDADES COMPETENCIA Y ORGANIZADOR ESPECÍFICO

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad. (Aritmética)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad. (Aritmética)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. (Álgebra)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. (Álgebra)

Matematiza situaciones

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad. (Aritmética)

Elabora y usa estrategias

CAPACIDADES Comunica y representa ideas matemáticas.

TITULO DE LA UNIDAD

“Utilizamos racionalmente los recursos”

“Practicamos buenos hábitos para una vida saludable”

“Actuamos solidariamente en situaciones adversas”

NÚMEROS RACIONALES (DECIMALES) 104

FUNCIONES 130

ŸŸ Fracción decimal ŸŸ Número decimal ŸŸ Aproximación decimal ŸŸ Comparación de números decimales ŸŸ Generatriz de un número decimal ŸŸ Adición y sustracción con decimales ŸŸ Problemas de adición y sustracción con

104

OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS 164

105

ŸŸ Dominio de una función ŸŸ Rango de una función ŸŸ Función lineal ŸŸ Función constante

106

PROPORCIONALIDAD 133

110

ŸŸ Razón y proporción

ŸŸ Multiplicación y división con decimales ŸŸ Operaciones combinadas ŸŸ Potenciación y radicación con decimales ŸŸ Notación científica

115

104 105

decimales 112

CONOCIMIENTOS

Razona y argumenta generando ideas matemáticas

116 121 123

131 131 131 131 133

135 ŸŸ Razones geométricas equivalentes ŸŸ Magnitudes directamente proporcionales 137 ŸŸ Magnitudes inversamente proporcionales 138 141 ŸŸ Regla de tres simple 142 ŸŸ Regla de tres compuesta PORCENTAJES 144

ŸŸ Tanto por ciento ŸŸ Operaciones del tanto por ciento ŸŸ Aplicaciones comerciales ŸŸ Descuentos y aumentos sucesivos

144 145 147 148

EXPRESIONES ALGEBRAICAS 151 152 ŸŸ Término algebraico 152 ŸŸ Términos semejantes ŸŸ Polinomios 155 156 ŸŸ Grado absoluto y relativo Polinomios especiales 157 ŸŸ

RECUERDA

6

ŸŸ Números racionales

Matemática I

127

ŸŸ Proporcionalidad 161

ŸŸ Adición y sustracción de monomios ŸŸ Multiplicación y división de monomios ŸŸ Adición y sustracción de polinomios ŸŸ Multiplicación y división de polinomios

164 165 165 166

ECUACIONES DE PRIMER GRADO 170

ŸŸ Clasificación de las ecuaciones ŸŸ Solución de una ecuación ŸŸ Sistema de ecuaciones de primer grado ŸŸ Métodos de solución

170 171 176 176

INECUACIONES DE PRIMER GRADO 180

ŸŸ Inecuación 180 ŸŸ Propiedades 180 ŸŸ Solución de una inecuación de primer

grado 181

UNIDADES DE MEDIDAS 184

ŸŸ Unidades de longitud ŸŸ Unidades de masa ŸŸ Unidades de tiempo ŸŸ Unidades de superficie ŸŸ Unidades de volumen

184

ŸŸ Ecuaciones de primer grado

195

186 188 190 192


UNIDADES COMPETENCIA Y ORGANIZADOR ESPECÍFICO

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización. (Geometría y Trigonometría)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización. (Geometría)

Matematiza situaciones

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre. (Estadística y probabilidad)

Elabora y usa estrategias

CAPACIDADES Comunica y representa ideas matemáticas.

Razona y argumenta generando ideas matemáticas

TITULO DE LA UNIDAD

“Valoramos las construcciones de nuestros antepasados”

“Utilizamos materiales para construir nuestros aprendizajes” SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 234 ŸŸ Poliedros 234 ŸŸ Prisma 234 ŸŸ Pirámide 235 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 239 ŸŸ Cilindro 239 ŸŸ Cono 240 ŸŸ Esfera 241 TRIGONOMETRÍA 244 244 ŸŸ Ángulo trigonométrico 248 ŸŸ Sistemas de medidas angulares 249 ŸŸ Equivalencias entre los tres sistemas ŸŸ Razones trigonométricas de ángulos agudos 252 ŸŸ Propiedades de las razones trigonométricas 253 ŸŸ Razones trigonométricas de ángulos notables 257

ESTADÍSTICA ŸŸ Población, muestra ŸŸ Variable estadística

264 264 264

ŸŸ Tablas de distribución de frecuencias

265

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS ŸŸ Gráfico de barras ŸŸ Gráfico poligonal ŸŸ Gráfico circular

269 269 270 270

ŸŸ Pictogramas

271

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ŸŸ Media aritmética ŸŸ Mediana

274 274 275

CONOCIMIENTOS

CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA 198 ŸŸ Elementos fundamentales de la geometría 198 199 ŸŸ Segmento de recta 201 ŸŸ Ángulos y clasificación ŸŸ Complemento y suplemento de un ángulo 202 ŸŸ Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una recta secante 203 POLÍGONOS 205 205 ŸŸ Clasificación de los polígonos ŸŸ Propiedades 206 208 ŸŸ Triángulos 209 ŸŸ Líneas notables en el triángulo ŸŸ Cuadriláteros 212 CIRCUNFERENCIA 215 215 ŸŸ Elementos ŸŸ Propiedades 215 216 ŸŸ Ángulos en la circunferencia PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS POLÍGONALES Y CIRCULARES 220 220 ŸŸ Perímetro de figuras planas 220 ŸŸ Áreas de regiones triangulares 222 ŸŸ Áreas de regiones cuadrangulares 222 ŸŸ Áreas de regiones circulares TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 225 225 ŸŸ Simetría puntual y axial 226 ŸŸ Traslación en el plano cartesiano 226 ŸŸ Rotación y homotecia 228 ŸŸ Patrones geométricos

RECUERDA

ŸŸ Polígonos 231

261 ŸŸ Sólidos geométricos ŸŸ Trigonometría 261

ŸŸ Estadística 287

“La estadística y su relación con el medio ambiente”

ŸŸ Moda

276

ANÁLISIS COMBINATORIO ŸŸ Factorial de un número ŸŸ Principios fundamentales de conteo ŸŸ Permutación y combinación PROBABILIDAD ŸŸ Espacio muestral ŸŸ Suceso o evento ŸŸ Diagrama del árbol ŸŸ Probabilidad de un suceso o evento

279 279 280 281 284 284 284 285 285

Secciones especiales Somos emprendedores 1. Vendemos sándwiches de pollo para generar ingresos

40

2. Vendemos mazamorra morada para recaudar fondos

100

3. Elaboramos portarretratos para generar nuestros propios ingresos

194

Cultura tributaria 1. Obligaciones tributarias del empleador 2. Todos debemos tributar

72 160

Matemática I

7


Respetamos y preservamos el número de animales de nuestra fauna

1. lo que observas y establece un tipo de relación para los animales de la fauna. 2. los animales que tienen alguna característica en común. 3. ¿Cómo podrías contribuir para la preservación de las especies en extinción? 4. ¿En qué situaciones del entorno, observas la utilidad de los conjuntos? su importancia.

8

Matemática I


Respet

en Apr di

oa

la div sidad er

ental am

je fund za

Usa la ciencia y tecnología

Nuestros aprendizajes La fauna peruana está formada por todas las especies de animales que se encuentran en el país. Estas se pueden clasificar de acuerdo a las características que poseen en común. (Idea de conjunto)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

• Aplica algoritmos pertinentes en la solución • • • •

OMNÍVORO

CARNÍVORO

de situaciones problemáticas sobre conjuntos. Interpreta las leyes de correspondencia para formar relaciones entre conjuntos. Expresa en forma gráfica y simbólica las relaciones de orden entre números naturales. Describe las características de la potenciación considerando su base y exponente con números naturales. Realiza conversiones entre los diferentes sistemas de numeración.

Los animales dependiendo de qué comen se les llaman herbívoros, carnívoros u omnívoros. Es decir, existe una correspondencia entre el tipo de animal y su alimentación. (Idea de relación binaria)

HERBÍVORO

Según la Unión Internacional para la Conservación de la Naturaleza (UICN) 5200 animales se encuentran en peligro de extinción; podemos observar que dicho número representa a un conjunto grande de animales. (Conjunto de números naturales)

Ingresa a las siguientes páginas web para complementar la información del tema tratado. • http://www.sernanp.gob.pe/sernanp/contenido.jsp?ID=645 • http://animalesextincion.org/PERU

Matemática I

9


Teoría de conjuntos Para desarrollar en tu cuaderno

Los conjuntos en la vida cotidiana El zoológico del Parque de las Leyendas permite a los visitantes conocer la fauna más representativa de cada región, además de exhibir animales oriundos de distintos países. La colección zoológica actual cuenta con más de 2070 individuos de 607 clases de animales que están agrupados según ciertas características como hábitat, forma de alimentación, etc.

1. ¿Qué otras características considerarías para agrupar los animales del zoológico? En muchas situaciones de nuestra vida cotidiana, agrupamos objetos de acuerdo a ciertas similitudes, por ejemplo cuando ordenamos nuestras prendas de vestir en un ropero, al colocar algunos útiles escolares en nuestra cartuchera, entre otros.

2. ¿Qué grupos podrías formar con los objetos que observas en el salón de clases? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Webquest

En nuestro entorno encontramos muchos objetos que se pueden agrupar de distintas formas, pero para que estos grupos tengan cierto sentido se deben agrupar por alguna característica en común. Por eso decimos que un conjunto es una agrupación de varios objetos bien definidos, donde cada objeto recibe el nombre de elemento. En el lenguaje ordinario la palabra conjunto y sus sinónimos: colección, reunión, agrupación, entre otros, expresan pluralidad (varios elementos), mientras que en matemática un conjunto no solo expresa pluralidad, sino también unidad y nulidad.

Ejemplo:

Notación de conjunto

b. Por comprensión:

En forma general, los conjuntos, se denotan por letras mayúsculas y los elementos por letras minúsculas u otros símbolos, separados por comas y encerrados entre llaves. En el caso de que los elementos sean números, se usa el punto y coma.

Dado el conjunto A = {3; 6; 8}, podemos decir que: 3 Î A; 8 Î A; 7  A. Determinación de conjuntos Un conjunto se puede determinar de dos formas: a. Por extensión: Cuando se mencionan todos los elementos que conforman el conjunto. Ejemplo: A = {4; 5; 6; 8}

Cuando se menciona alguna característica común a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: B = {x + 3 / x Î

Ejemplos: • A = {verano, primavera, otoño, invierno} • B = {2; 3; 5; 7; 9}

Cardinal de un conjunto El cardinal de un conjunto finito A, se denota por n(A) y es el número de elementos diferentes que tiene dicho conjunto.

Relación de pertenencia Si un elemento se encuentra en un conjunto o es parte de él, se dice que el elemento pertenece al conjunto y se denota por Î; en el caso de no pertenecer, se denota por .

Ejemplo: • El conjunto A = {3; 5; 7; 9} tiene 4 elementos diferentes, entonces n(A) = 4. • El conjunto B = { 1; 1; 4; 4; 8] tiene 3 elementos diferentes, entonces n(B) = 3.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 12.

10

, 4 < x < 8}

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

Clasificación de conjuntos Los conjuntos se clasifican según el número de elementos diferentes que tienen, y estos pueden ser: a. Conjunto finito: Cuando tiene una cantidad limitada de elementos, es decir, se pueden contar o enumerar. Ejemplo: A = {5; 8; 9} → n(A) = 3. b. Conjunto infinito: Cuando tiene una cantidad ilimitada de elementos, es decir, no se pueden contar o enumerar. Ejemplo: B = {1; 3; 5; 7; 9; …} Conjuntos especiales • Conjunto vacío: Es aquel que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo y se le denota por: φ o { }. Ejemplo: A = {x/x es un número impar que termina en 2} • Conjunto unitario: Es aquel que tiene un solo elemento. Ejemplo: A = {x/x es la capital del Perú} • Conjunto universal: Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación en particular. Se representa por . Ejemplo:

Relaciones entre conjuntos • Inclusión de conjuntos Se dice que el conjunto A está incluido en B o es subconjunto de B, si todos los elementos de A están contenidos en B. Notación: A ⊂ B , se lee: A está incluido en B. • Igualdad de conjuntos Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos. Conjuntos comparables: Dos conjuntos son comparables cuando uno de ellos está incluido en el otro. Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos A = {a, c, i, j} y B = {a, b, c, d, i, j, l}; observamos que A  B, luego A y B son conjuntos comparables. Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común. Ejemplo: Dados los conjuntos M = {3; 4; 5; 8} y N = {1; 2; 6}, observamos que M y N no tienen elementos en común, luego M y N son conjuntos disjuntos. Diagrama de Venn Euler Son figuras geométricas que permiten representar un conjunto de forma gráfica. Por lo general se utilizan círculos para representar conjuntos y un rectángulo para representar el conjunto universal.

Dados los siguientes conjuntos: A = {x/x es un alumno del nivel primaria del colegio “Somos triunfadores”}

Ejemplo: A = {3; 5; 8; 10}

B = {x/x es un alumno del nivel secundaria del colegio “Somos triunfadores”}

Representación gráfica: A

Entonces un conjunto universal para los conjuntos A y B podría ser: = {x/x es un alumno del colegio “Somos triunfadores”}

.3 .5

.8 .10

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 15. Matemática I

11


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Indica el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones según corresponda. Justifica tus respuestas

Determina n(A) + n(B). Solución: Determinamos por extensión cada conjunto.

a. Un conjunto se denota por letras minúsculas. b. Si A = {2; 3; 5; 8} , entonces 5 Î A. c. El conjunto M = {x/x es un número natural par} es un conjunto finito. d. Si dos conjuntos tienen los mismos elemen- tos entonces son conjuntos disjuntos. Solución:

• Para el conjunto A: De: 0  x < 4 x: 0; 1; 2; 3 2 2 Luego: x + 1: 0 + 1; 12 + 1; 22 + 1; 32 + 1 x2 + 1: 1; 2; 5; 10 A = {1; 2; 5; 10} n(A) = 4 • Para el conjunto B: “x” es impar positivo y menor que 13, entonces x : 1; 3; 5; 7; 9; 11 B = {1; 3; 5; 7; 9; 11} n(B) = 6 Piden : n(A) + n(B) = 4 + 6 = 10

a. Falso, se denotan por letras mayúsculas. b. Verdadero, porque 5 es elemento del conjunto A. c. Falso, porque el conjunto M tiene una cantidad ilimitada de elementos. d. Falso, porque serían conjuntos iguales.

Rpta.: 10

Rpta.: F V F F 2. Discrimina y determina por extensión los siguientes conjuntos: • A = {x/x es un mes del año que empieza con la letra “M”} • B = {x/x es una vocal cerrada de la palabra “aumento”} • C = {x + 2 / x Î , 2 < x  6} Solución: Determinamos por extensión cada conjunto. • A = {Marzo, Mayo} • Las vocales cerradas son la “i” y la “u”, en la palabra aumento solo aparece la letra “u”, luego B = {u}. • Primero determinamos los valores para “x”. De: 2 < x  6 x: 3, 4; 5; 6 luego: x + 2 : 5; 6; 7 ; 8 C = {5; 6; 7; 8}

3. Dados los siguientes conjuntos: A = { x2 + 1/x Î , 0  x < 4} B = {x/x es un número natural impar y positivo menor que 13]

4. Observa el siguiente gráfico:

A

.1 .2

Matemática I

P .8

.4

.a .s

.i .r

.12

Luego indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifica tus respuestas I. Los conjuntos B y P son disjuntos. II. Los conjuntos A y B son comparables. III. n(A) + n(B) + n(P) = 12 Solución: I. Verdadero, porque los conjuntos B y P no tienen elementos en común. II. Verdadero, porque uno de los conjuntos está incluido en el otro. III. Del gráfico: n(A) = 7; n(B) = 3; n(P) = 4 → n(A) + n(B) + n(P) = 7 + 3 + 4 = 14 Luego, la proposición es falsa. Rpta.: V V F

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 12.

12

.2

.6 B


Para desarrollar en tu cuaderno

Familia de conjuntos o conjunto de conjuntos

B

n(P(A)) = 2n(A) Ejemplo: Si A = {1; 3; 5}, los subconjuntos de A son: {1}; {3}; {5}; {1; 3}; {1; 5}, {3, 5}; {1; 3; 5};  Entonces: P(A) = {{1}; {3}; {5}; {1; 3}; {1; 5}; {3; 5}; {1; 3; 5}; } Además observamos que n(A) = 3, luego n(P(A)) = 23 = 8. Operaciones con conjuntos a. Intersección de conjuntos () Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B simultáneamente, es decir es el conjunto formado por los elementos comunes de A y B.

A

.5 .10

.3 .7

AB

.13

.10

.13

AC=

Dados dos conjuntos A y B, se llama unión o reunión, de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos a la vez.

Simbólicamente

Se cumple que: n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

A  B = {x/x Î A ∨ x Î B}

Ejemplos: 1. Dados los siguientes conjuntos: A = {2; 4; 5; 7}, B = {3; 4; 7; 9; 10}, C = {3; 10} Entonces: A  B = {2; 3; 4; 5; 7; 9; 10} B  C = {3; 4; 7; 9; 10} A  C = {2; 3; 4; 5; 7; 10} Gráficamente: A

.2 .5

B

.3 .4

.9

.7

.10

AB

B

A .4

C

.3 .4

.4

.5

b. Unión o reunión de conjuntos ()

B

.1

C

.1

.7

BC=C

Simbólicamente A  B = {x/x Î A ∧ x Î B} Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos: A = {3; 5; 7; 10}, B = {1; 3; 4; 7; 13}, C = {1; 4; 13} Entonces: A  B = {3; 7} B  C = {1; 4; 13} A  C =  Gráficamente:

.3

C

.1 .4 .13 .7

Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplo: A = {{2} ; {a,b}; φ} Observamos que todos los elementos del conjunto A son conjuntos, luego A es una familia de conjuntos. Conjunto potencia Se llama conjunto potencia de A, a la familia formada por todos los subconjuntos de A, y se denota por P(A). Para calcular el cardinal de un conjunto potencia se aplica la siguiente relación.

A

.3

.7

C .2 .4

.5

.10 .9

BC=B

.3 .10

.7

AC

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 12. Matemática I

13


Para desarrollar en tu cuaderno

2. Dados los conjuntos A y B, se sabe que n(A) = 30; n(B) = 18 y n(A  B) = 40. Calcula n(A  B). Solución: Sabemos que: n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) Luego, reemplazamos valores: 40 = 30 + 18 – n(A  B) 40 = 48 – n(A  B) n(A  B) = 8 c. Diferencia de conjuntos ( –) Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B al conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Gráficamente: B

.2

.3 .4 .5

.3 .7

.4

.11 .9

A C .5

B–C

C

.1 .2

.7 .4

.5

.11

A∆B e. Complemento de un conjunto Dado un conjunto A(A  ), el complemento del conjunto A es aquel conjunto formado por los elementos de , que no pertenecen a A.

∧ x  A}

Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos: = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, A = {2; 4; 6; 8} Entonces: A' = – A = {1; 3; 5; 7; 9} Gráficamente: .5

A

.2

.1

.4 .6

.7

.8

.3

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 12. Matemática I

.11

.6

.7

A–C=A

d. Diferencia simétrica (∆) Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica al conjunto de los elementos que pertenecen a uno o a otro conjunto, pero no a ambos a la vez.

14

.9

.4

A' = Ac = {x/x  A' = – A

.11

A–B B

B

Simbólicamente

.7

.9

Gráficamente:

.2

Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos: A = {1; 2; 4; 5}, B = {3; 4; 5; 7; 9, 11}, C = {7; 11}. Entonces: A – B = { 1; 2 } B – C = { 3; 4; 5; 9 } A – C = { 1; 2; 4; 5 }

.1

Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos: A = {2; 4; 6; 7}, B = {4; 6; 9; 11} Entonces: A – B = {2; 7} B – A = {9; 11} A ∆ B = {2; 7; 9; 11}

A

Simbólicamente A – B = {x/x  A ∧ x  B}

A

A ∆ B = (A – B)  (B – A) A ∆ B = (A  B) – (A  B)

Notación:

.9

A'


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Si A = {x/x es una letra de la palabra honestidad} B = {x/x es una letra de la palabra solidaridad} Determina en forma simbólica y gráfica A Ç B. Solución: Determinamos por extensión cada conjunto. A = {h, o, n, e, s, t, i, d, a} B = {s, o, l, i, d, a, r} Luego: A Ç B = { s, o, i, d,a} Gráficamente: B A h s o

n e

t

l

i d a

r

Rpta.: A Ç B = {s, o, i, d, a} 2. Observa el siguiente diagrama: P

.1 .4 .8

.3

.6

.5

.2

.9

Q

.7

Luego, indica la suma de elementos de P – Q. Solución: Del gráfico deducimos que P – Q = {1; 4; 8} Piden: 1 + 4 + 8 = 13 Rpta.: 13

3. Para dos conjuntos comparables A y B(B Ì A) se sabe que: A – B = {b, f, g, d}, B = {a, c, e} Señala el número de elementos que tiene el conjunto A. Solución: Como B Ì A, gráficamente tenemos: B b

4. Dados los siguientes conjuntos: A = {5; 8}, B = {x/x es impar, 2 < x < 12}, C = {n2 – 1/ n Î , 1  n < 5}. Determina la suma de los elementos del conjunto ( C – B ) È A. Solución: Expresamos por extensión los conjuntos: A = {5; 8} , B = { 3; 5; 7; 9; 11} Para el conjunto C, tenemos: n: 1; 2; 3; 4 2 n – 1: 0; 3; 8; 15 C = {0; 3; 8; 15} Determinamos ( C – B ) È A C – B = {0; 8; 15} (C – B) È A = {0; 5; 8; 15} Piden : 0 + 5 + 8 + 15 = 28 Rpta.: 28 5. Para dos conjuntos A y B se sabe que: (A  B)' = {0; 6; 9}, A  B = {1; 2; 7}, A – B = {3; 5}, = {x/x  ∧ 0  x < 10}. Indica la suma de los elementos de B – A. Solución: Determinamos por extensión = {0; 1; 2; …; 8; 9} Luego graficamos, según los datos: A .6

A

g a c e d f

.0

B .3 .5

.1 .2 .7

.4 .8

Luego: A = {a, b, c, d, e, f, g} → n(A) = 7

Del gráfico observamos que: B – A = {4; 8} Piden: 4 + 8 = 12

Rpta.: 7 elementos

Rpta.: 12

.9

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 12. Matemática I

15


Para desarrollar en tu cuaderno

Problemas con conjuntos Muchas situaciones problemáticas de la vida cotidiana se pueden resolver mediante la teoría de conjuntos. Para ello debemos ubicar de manera correcta los datos en un diagrama de Venn reconociendo cada una de sus regiones. Así tenemos:

c. Prefieren ambos sabores: 12 d. Prefieren otros sabores: 9

2. En un grupo de 60 deportistas que practican fútbol o natación, se sabe que 38 practican fútbol y 32 practican natación. ¿Cuántos practican ambos deportes? Solución:

Para dos conjuntos Dados los siguientes conjuntos: A = {jóvenes que van al cine} B = {jóvenes que van al teatro} A

= 60 F = 38 a

b

b

Sea “x” el número de personas que practican ambos deportes.

c

Del gráfico:

d

Tenemos los siguientes cardinales: a: jóvenes que van solo al cine. c: jóvenes que van solo al teatro. b: jóvenes que van al cine y al teatro. a, b y c: jóvenes que van al cine o al teatro. a y c: jóvenes que van solo a un establecimiento. d: jóvenes que no van al cine ni al teatro. Ejemplos: 1. El siguiente gráfico muestra la preferencia de un grupo de personas por cierto sabor de helado. fresa

vainilla 15

12

a + x = 38…(I) b + x = 32…(II) a + x + b = 60…(III) Sumamos (I), (II) y (III) (a + b + x) + x = 70 60 + x = 70 x = 10

Luego, 10 personas practican ambos deportes.

3. En un instituto de idiomas hay 600 alumnos. Se sabe que 100 no estudian ni inglés ni francés, 50 estudian francés e inglés, 450 estudian francés. ¿Cuántos alumnos estudian inglés? = 600

24 9

¿Cuántas personas prefieren el helado de fresa? ¿Cuántas personas prefieren el helado de vainilla? ¿Cuántas personas gustan de ambos sabores? ¿Cuántas personas prefieren otros sabores?

Solución: Del gráfico podemos deducir que: a. Prefieren helado de fresa: 15 + 12 = 27 b. Prefieren helado de vainilla: 12 + 24 = 36

I =x

Matemática I

F = 450 a

50

400 100

Del gráfico:

a + 50 + 400 + 100 = 600 a = 50 Estudian inglés: a + 50 = 50 + 50 = 100 Luego, 100 personas estudian inglés

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 15.

16

x

B a

a. b. c. d.

N = 32


Para desarrollar en tu cuaderno

Para tres conjuntos Dados los siguientes conjuntos: F = {alumnos que practican fútbol} G = {alumnos que practican gimnasia} T = {alumnos que practican tenis} G

F n

a m

2. Cierta delegación de deportistas está conformada por 200 atletas, al ser consultados acerca de su afición por el cine, la danza o teatro, respondieron de la siguiente manera:

b

x

Solución: Del gráfico, podemos deducir que: a. Fueron encuestados: 8 + 3 + 5 + 2 + 4 + 6 + 10 + 5 = 43 b. Prefieren comedia: 2 + 5 + 4 + 6 = 17 c. Prefieren solo acción: 10 d. Prefieren otro tipo de películas: 5

p

c z

T

Tenemos los siguientes cardinales: a: alumnos que practican solo fútbol . m y x: alumnos que practican fútbol y tenis. m: fútbolistas y tenistas que no practican gimnasia. m, n y p: alumnos que practican solo dos deportes. m, n, p y x: alumnos que practican al menos dos deportes. a, b y c: alumnos que practican solo un deporte. z: alumnos que no practican ningún deporte.

• 40 prefieren el teatro. • 100 prefieren la danza. • 80 prefieren el cine. • 15 teatro y danza. • 25 teatro y cine. • 20 danza y cine. • 5 tienen afición por el cine, danza y teatro. Determina el número de atletas que no tienen ninguna afición. Solución: = 200 C = 80

Ejemplos: 1. Se realizó una encuesta a un grupo de personas sobre la preferencia por cierto tipo de película, obteniéndose los resultados que se muestran en el gráfico.

40 15 70

5 10

T = 40

20 5

D = 100 Ficción

3 5

2 5

6 4

10 Acción

a. b. c. d.

Del gráfico: 200 = 80 + 70 + 10 + 5 + x 200 = 165 + x x = 35 Luego, 35 atletas no tienen ninguna afición.

Comedia

8

¿Cuántas personas fueron encuestadas? ¿Cuántas personas prefieren comedia? ¿Cuántas personas prefieren solo acción? ¿Cuántas personas prefieren otro tipo de películas?

x

3. En un grupo de alumnos, se sabe que:

• 24 aprueban Aritmética.

• 18 aprueban Álgebra.

• 16 aprueban Geometría.

• 4 alumnos aprueban los tres cursos.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 15. Matemática I

17


Para desarrollar en tu cuaderno

• 9 alumnos aprueban Aritmética y Álgebra.

• 6 alumnos aprueban Álgebra y Geometría.

• 7 aprueban Aritmética y Geometría.

• 10 alumnos aprueban otros cursos.

¿Cuántos alumnos hay en total? Solución: Colocamos los datos en un gráfico:

Ar = 24 y

5 3

4

2

G = 16

10

Observamos que: x + 5 + 4 + 3 = 24 x = 12 y + 5 + 4 + 2 = 18 y=7 Luego: Total = n(G) + x + 5 + y + 10 Total = 16 + 12 + 5 + 7 + 10 Total = 50 Diagrama de Carroll Es un gráfico rectangular dividido por segmentos, que se usa para representar conjuntos disjuntos o conjuntos con sus respectivos complementos. A A' Para 1 conjunto

V

A' B B'

C

x

C'

20

= 80

44

Donde: V: conjunto de varones. M: conjunto de mujeres. C: personas que toman café. C’: personas que no toman café. Por dato: V + M = 80 Del gráfico: 44 + (x + 20) = 80 x = 16 Luego, 16 mujeres toman café. 2. A una fiesta de cumpleaños asistieron 300 personas entre varones y mujeres. Si se sabe que 175 son varones, de los cuales 95 llevaron regalo, además 130 personas no llevaron regalo, ¿cuántas mujeres no llevaron regalo? Solución: V R

95

R'

a

M

x

= 300 130

Para 2 conjuntos no disjuntos

Por dato: V = 175 Del gráfico: • 95 + a = 175 a = 80 Además: a + x = 130 80 + x = 130 x = 50 Luego, 50 mujeres no llevaron regalo.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 15.

18

M

175

B Para 2 conjuntos disjuntos

A

Solución: Utilizamos el diagrama de Carroll

Al = 18 x

A

Ejemplos: 1. En una reunión hay 80 personas, si se sabe que 20 mujeres no toman café y 44 son varones, ¿cuántas mujeres toman café?

Matemática I


Relación binaria Para desarrollar en tu cuaderno

OMNÍVORO

CARNÍVORO

HERBÍVORO

La correspondencia en nuestro entorno En la naturaleza podemos observar que la clasificación de los animales está en relación con algunas características como su tipo de alimentación, las partes de su cuerpo, su forma de reproducción, entre otros.

1. Establece una relación según las partes de su cuerpo (vertebrados o invertebrados) de los siguientes animales: Elefante, araña, tigre, caracol. Muchas de las cosas que nos rodean o las actividades que realizamos guardan cierto tipo de relación; por ejemplo, el tipo de prendas de vestir que utilizamos están en relación con el clima, el tiempo que demora un bus en llegar a una ciudad está en relación con su velocidad, etc.

2. Menciona otras situaciones de tu entorno que guarden algún tipo de relación. Ficha nivel cero

En la imagen mostrada observamos cierta relación que se puede establecer entre los animales y su forma de alimentación, las cuales podemos representar de la siguiente forma: (caimán, carnívoro), (jirafa, herbívoro), (oso, omnívoro) Cada una de estas representaciones, recibe el nombre de par ordenado. Un par ordenado es un conjunto de dos elementos denotado por (a; b), donde “a” es la primera componente, y “b” es la segunda componente. Teorema Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivos componentes son iguales. (a; b) = (c; d) ↔ a = c ; b = d Ejemplo: Si los pares ordenados (2m + 1; 9) y (7; n + 2) son iguales, calcula el valor de “m + n” Solución: Como los pares ordenados son iguales, se cumple: 2m + 1 = 7 → m = 3 n+2=9 → n=7 Piden: m + n = 10

Producto cartesiano Dados los conjuntos no vacíos A y B, se llama producto cartesiano de A con B al conjunto de todos los pares ordenados, tal que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B. Se denota como:

Ficha de refuerzo

PPT

A × B = {(a; b)/a  A ∧ b  B} Propiedades a. n(A × B) = n(A) × n(B) b. A × B = B × A ↔ A = B Notación: A × A = A2 Representación gráfica de un producto cartesiano. Dados los siguientes conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {a, b}. El producto cartesiano de A y B será: A × B = {(1; a), (1; b), (2; a), (2; b), (3; a), (3; b)}. Podemos representar A × B de las siguientes formas: • Diagrama sagital A

B .1 .2 .3

.a .b

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 19. Matemática I

19


Para desarrollar en tu cuaderno

• Diagrama del árbol A

B a (1; a)

1

b

Donde: A: conjunto de partida. B: conjunto de llegada. Ejemplos:

(1; b)

1. Si A = {3; 6; 2} y B = {4; 7}, determina los elementos de la relación “R” definida por: R = {(x; y) Î A × B / x < y}. Solución: Primero determinamos los elementos del producto cartesiano de A y B.

a (2; a) 2

b

3

(2; b)

a (3; a) b

(3; b)

A × B = {(3; 4), (3; 7), (6; 4), (6; 7), (2; 4), (2; 7)}.

• Diagrama cartesiano

Para obtener la relación R, tomamos los pares ordenados (x; y) de A × B tal que x < y, luego:

B

R = {(3; 4), (3; 7), (2; 4), (2; 7), (6; 7)}.

b a

(1; b)

(2; b)

(3; b)

Gráficamente:

(1; a)

(2; a)

(3; a)

A

R .3 .6 .2

0

1

2

3

B

a

b

1

(1; a)

(1; b)

2

(2; a)

(2; b)

3

(3; a)

(3; b)

Relación binaria Es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia elementos de un conjunto con algún elemento de otro conjunto. Si tenemos los conjuntos no vacíos A y B la relación R de A en B se establece como un subconjunto del producto cartesiano A × B. RÌA×B

Matemática I

.7

2. Dados los conjuntos A = { 5; 6; 7; 8}, B = {3; 4; 5} y la relación R = {(x; y) Î A × B / x + y / 13}, determina el número de elementos de R. Solución: A × B = {(5; 3), (5; 4), (5; 5), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (7; 3), (7; 4), (7; 5), (8; 3), (8; 4), (8; 5)} Tomamos los pares ordenados (x; y) tal que: x + y  13 R = {(8; 5)}

Luego, R tiene 1 elemento.

3. Dados los siguientes conjuntos A = {x + 2/x  , 2 < x  6} B = {3y – 1/y  , 1  y < 7; y es impar} Determina el número de pares ordenados de la relación definida por: R = {(x, y)  A × B/x  y}.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 19.

20

.4

A

• Tabla de doble entrada A

B


Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: Primero determinamos los elementos de los conjuntos A y B por extensión. Para el conjunto A: A = {x + 2/x  , 2 < x  6} x: 3; 4; 5; 6, A = {3 + 2; 4 + 2; 5 + 2; 6 + 2} → A = {5; 6; 7; 8} Para el conjunto B: B = {3y – 1/y  , 1  y < 7; y es impar} y: 1; 3; 5 B = {3(1) – 1; 3(3) – 1; 3(5) – 1} → B = {2; 8; 14} Luego: A x B = {(5; 2), (5; 8), (5; 14), (6; 2), (6; 8), (6; 14), (7; 2), (7; 8), (7; 14), (8; 2), (8; 8), (8; 14)} Determinamos la relación definida por R = {(x, y)  A × B/ x  y} R = {(5; 8), (5; 14), (6; 8), (6; 14), (7; 8), (7; 14), (8; 8), (8; 14)} Luego, R tiene 8 pares ordenados Dominio y rango de una relación: El dominio de una relación R [Dom(R)] es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. El rango de una relación R [Ran(R)] es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación.

Solución: En la relación R deducimos que: Dom(R) = {1; 2; 3; 4; 5} Ran(R) = {1; 3; 4; 6} Piden: Dom(R) Ç Ran(R) = {1; 3; 4} 3. Dados los siguientes conjuntos: A = {3; 5; 7} ; B = {0; 2} y la relación R = {(x; y) Î A × B / x + y > 5}, determina Ran(R). Solución: Determinamos A × B. A × B = {(3; 0), (3; 2), (5; 0), (5; 2), (7; 0), (7; 2)} Luego tomamos los pares ordenados de A × B que cumplan la condición x + y > 5, entonces: R = {(5; 2), (7; 0), (7; 2)} Piden: Ran(R) = {0; 2} 4. Dada la siguiente figura, traza y señala los pares ordenados de la relación , luego determina: Dom (R)  Ran (R). A

R: "es la mitad de"

.1 .2 .3 .4

Ejemplos: 1. El gráfico muestra una relación de A en B, determina su dominio y rango. R

N .1 .4 .5

A

R: "es la mitad de"

.1 .2

.16 .25

.3 .4

2. Observa la siguiente relación: R = {(1; 4), (2; 3), (3; 1), (4; 4), (5; 6)}. Luego, determina Dom(R) Ç Ran(R)

B

Solución:

P

Solución: Del gráfico R = {(4; 16), (5; 25)} Luego, Dom(R) = {4; 5}, Ran(R) = {16; 25}

.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9

.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9

B

De la gráfica obtenemos R: “es la mitad de” R = {(1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8)} Dom(R) = {1; 2; 3; 4} Ran(R) = {2; 4; 6; 8) Luego Dom(R)  Ran(R) = {1; 2; 3; 4; 6; 8}

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 19. Matemática I

21


El conjunto de los números naturales Para desarrollar en tu cuaderno

Los números en la naturaleza La imagen nos muestra algunos animales en peligro de extinción, uno de ellos que habita en nuestro país es el armadillo gigante, su tamaño desde la cabeza a la cola es de 150 cm a 160 cm, de los cuales 50 cm corresponden solo a la cola, tiene un promedio de vida de 12 a 15 años, su período de gestación es de 4 meses aproximadamente y tienen de 1 a 2 crías.

1. Visita el siguiente link y menciona algunas características del cóndor de los Andes que estén representados por un número. http://www.infoanimales. com/informacion-sobre-el-condor Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

El conjunto de los números naturales Cuando el hombre tuvo la necesidad de ordenar y relacionar conjuntos, aparecieron los números naturales, los cuales son la representación de la cantidad de elementos de un determinado conjunto. Los números naturales son infinitos y el conjunto formado por todos ellos se denota por . = {0; 1; 2; 3; 4; …} Representación gráfica de Todos los números naturales pueden ordenarse en una recta numérica. Para ello se toma la posición del cero y luego marcamos de unidad en unidad hacia la derecha en forma consecutiva. 0

1

2

4 …

3

También podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica. Dados los números naturales “a” y “b” se cumple que: • “a” es menor que “b” si “a” está situado a la izquierda de “b” en la recta numérica. a<b • “a” es mayor que “b” si “a” está situado a la derecha de “b“ en la recta numérica. a>b Tablero de valor posicional: Millones Clases

Miles o Millares

Órdenes

CMi

DMi

UMi

CM

DM

UM

C

D

U

Valores

100 000 000

10 000 000

10

10

8

7

1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 10

6

10

5

10

4

10

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 23.

22

Unidades

Matemática I

3

10

2

1

10 100 1

Sabías que...? Los números naturales surgen ante la necesidad que tuvo el hombre primitivo de contabilizar sus animales, sus alimentos, entre otras cosas. Esta representación se hizo mediante marcas en huesos y maderas. Al irse desarrollando la humanidad se hizo necesaria una mejor forma de representar los números.


Para desarrollar en tu cuaderno

Operaciones con números naturales (

)

Adición en La adición es la operación matemática mediante la cual reunimos o agrupamos dos o más cantidades. Propiedades de la adición a. Clausura La suma de dos números naturales también es un número natural. a, b 

, (a + b) 

Ejemplo: 3y6 además: 3 + 6 = 9 y 9 

,a+b=b+a

c. Asociativa La forma como se agrupan los sumandos no altera la suma. , (a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo: (3 + 7) + 5 = 3 + (7 + 5) 10 + 5 = 3 + 12 15 = 15 d. Elemento neutro Cuando se adiciona a un número natural el cero, se obtiene como resultado el mismo número. a

,a+0=0+a=a

Ejemplos: • 9+0=9 • 120 + 0 = 120

Ejemplo: 3 + 12 = 6 + 9 3 + 12 + 4 = 6 + 9 + 4 19 = 19

Si en ambos miembros de una igualdad se les cancela un mismo sumando, la igualdad se mantiene.

Ejemplo: Como 5 + 8 = 13 y 8 + 5 = 13 entonces 5 + 8 = 8 + 5

a, b, c 

a, b, c, p  Si a + b = c a+b+p=c+p

f. Cancelativa de la adición

b. Conmutativa El orden de los sumandos no altera la suma. a, b 

e. Monotonía de la adición Si a ambos miembros de una igualdad se le suma un mismo número natural, la igualdad, se mantiene.

a, b, c, p Î Si a + b + p = c + p a+b=c Ejemplo: 5 + 12 + 17 = 13 + 12 + 9 5 + 17 = 13 + 9 22 = 22 Adiciones notables a. Suma de los “n” primeros números naturales (no nulos) n(n + 1) S = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ n = 2 b. Suma de los “n” primeros números impares. S = 1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n2 "n" sumandos c. Suma de los “n” primeros números pares (no nulos). S = 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2n = n(n + 1) "n" sumandos

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 23. Matemática I

23


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplos:

Propiedades de la sustracción

1. Juan, Pedro y Luis son tres amigos que van a invertir dinero en cierto negocio. Si Juan tiene S/. 3 240, Pedro tiene S/. 1 280 más que Juan y Luis tiene S/. 2 610 más que Pedro, ¿cuánto dinero invertirán en total en el negocio? Solución: Juan: S/. 3 240 Pedro: S/. (3 240 + 1 280) = S/. 4 520 Luis: S/. (4 520 + 2 610) = S/. 7 130

• Primera propiedad Si se aumenta o disminuye un número “K” al minuendo, entonces la diferencia aumenta o disminuye respectivamente en ese mismo número.

Ejemplo:

En total invierten: S/. (3 240 + 4 520 + 7 130) = S/. 14 890

M – S = D (M + K) – S = D + K

15 – 3 = 12

2. Si A = 1 + 2 + 3 + … + 50, B = 1 + 3 + 5 + … + 49, calcula el valor de “A + B”.

Solución: Por las adiciones notables, calculamos “A”: 50(50 + 1) A= = 1 275 2

Si se aumenta o disminuye un número “k” al sustraendo, entonces la diferencia disminuye o aumenta respectivamente en ese mismo número. M – S = D M – (S + K) = D – K

La sustracción es la operación matemática en la cual a un número llamado minuendo (M) se le disminuye una cantidad llamada sustraendo (S) para obtener la diferencia, siempre que M / S. UM 4 – 3 1 –

(Minuendo) M

C 3 2 1 3 251

(Sustraendo) –

S

D 7 5 2 =

U 2 1 1

16 – 4 = 12

16 – (4 + 3) = 12 – 3 16 – (4 – 3) = 12 + 3 16 – 7 = 9 16 – 1 = 15 9 = 9 15 = 15

• Tercera propiedad Si al minuendo y al sustraendo se les aumenta o se les disminuye un mismo número “K”, la diferencia no varía.

1 121

M – S = D

= (Diferencia) =

D

(M + K) – (S + K) = D

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 23.

24

M – (S – K) = D + K

Ejemplo:

Sustracción en

4 372

(15 + 2) – 3 = 12 + 2 (15 – 2) – 3 = 12 – 2 17 – 3 = 14 13 – 3 = 10 14 = 14 10 = 10

• Segunda propiedad

Calculamos “B”: B = 1 + 3 + 5 + … + [2(25) – 1] n B = 252 = 625 Luego: A + B = 1 275 + 625 = 1 900

Minuendo Sustraendo Diferencia

(M – K) – S = D – K

Matemática I

(M – K) – (S – K) = D


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo: 18 – 7 = 11

(18 + 4) – (7 + 4) = 11 (18 – 4) – (7 – 4) = 11 22 – 11 = 11 14 – 3 = 11 11 = 11 11 = 11

Complemento aritmético (C.A.) El C.A. de un número natural es igual a la cantidad de unidades que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior a su cifra de mayor orden. Ejemplos: 1 cifra

C.A.(7) = 101 – 7 = 3 Analiza los siguientes ejercicios:

2 cifras

1. En una sustracción, el sustraendo es 5 672 y la diferencia 4 683. Determina el triple del minuendo. Solución: Recordemos: M – S = D Luego: M = S + D Reemplazamos los datos del problema. M = 5 672 + 4 683 M = 10 355 Piden: 3M = 3(10 355) = 31 065 2. Mónica tiene S/. 2 360 y le falta S/. 850 para comprar un juego de sala. Si su hermano le regala S/. 375 y su primo S/. 175, ¿le falta o le sobra dinero para comprar el juego de sala? ¿Cuánto? Solución: Según los datos: Le falta: S/. 850 Hermano: S/. 375 (+) = S/. 550 consiguió Primo: S/. 175 Como S/. 550 < S/. 850 entonces le falta dinero Luego, le falta 850 – 550 = 300 Propiedades adicionales Si: donde: a > b ab – Se cumple: ba p+q=9 pq Si: abc – cba pqr

donde: a > c Se cumple: q = 9

p+r=9

C.A.(24) = 102 – 24 = 76 3 cifras

C.A.(732) = 103 – 732 = 268 En general: C.A.(N) = 10k – N Donde “k” es el número de cifras del numeral “N”. Analiza los siguientes ejercicios: 1. Calcula la suma de los complementos aritméticos de los siguientes números: 29; 794 y 1750 Solución: C.A.(29) = 102 – 29 = 71 C.A.(794) = 103 – 794 = 206 4 C.A.(1 750) = 10 – 1 750 = 8 250 Piden: 8250 + 206 71 8 527 2. La suma de los tres términos de una sustracción es 240. Si el sustraendo es la tercera parte del minuendo, calcula el C.A. de la diferencia. Solución: Del dato: M + S + D = 240 M 2M = 240 M = 120 Sustraendo: 120 : 3 = 40 Diferencia: 120 – 40 = 80 Piden C.A.(80) = 100 – 80 = 20

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 23. Matemática I

25


Para desarrollar en tu cuaderno

Multiplicación en La multiplicación o producto es la operación matemática por la cual, a partir de dos números naturales “a” y “b” se obtiene “c”, el cual resulta de sumar “a” veces el sumando “b”. Para a, b,  , Se cumple: c=b+b+…+b

Ejemplo: (5 × 6) × 3 = 5 × (6 × 3) 30 × 3 = 5 × 18 90 = 90 d. Elemento neutro La multiplicación de cualquier número natural por 1 (elemento neutro), da como resultado el mismo número natural.

“a” veces

a

×

b=c

a

Propiedades de la multiplicación a. Clausura El producto de dos números naturales es también un número natural. yb

a

×

b

8 = 56

×

Todos son números naturales b. Conmutativa El orden de los factores no altera el producto. Si a

yb

a

×

b=b

×

a

1=a

e. Elemento absorbente El cero es el elemento absorbente. La multiplicación de cualquier número natural por cero, da por resultado cero. a

a

×

0=0

Ejemplos:

f. Distributiva El producto de un número por una adición o sustracción, es igual a la adición (o sustracción) de los productos de tal número, por cada sumando (o cada término de la sustracción). a , b

yc

a × (b ± c) = a × b ± a × c

Ejemplo: 8 × (4 + 2) = 8 × 4 + 8 × 2 8 × 6 = 32 + 16 48 = 48

Ejemplo: 6×9=9×6 54 = 54

g. Monotonía del producto

c. Asociativa La forma como se agrupen los factores de la multiplicación no altera el producto.

Si a los dos miembros de una igualdad se los multiplica por un mismo número natural, se mantiene la igualdad.

Si a Î , b Î , c Î (a × b) × c = a × (b × c)

n  , se cumple que: Si a = b n×a=n×b

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 25.

26

×

• 15 × 0 = 0 • 246 × 0 = 0

Ejemplo: 7

,a

Ejemplos: • 7 × 1 = 7 • 13 × 1 = 13

Donde: a multiplicando factores b multiplicador c producto

Si a

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo:

abc × 7 d422

5 + 4 = 9, entonces (5 + 4) × 3 = 9 × 3 27 = 27 h. Cancelativa del producto Si un mismo factor diferente de cero aparece multiplicando a ambos miembros de una igualdad, este factor puede cancelarse (o suprimirse), manteniéndose la igualdad. Si n

×

a=n

×

b

a=b

Ejemplo: n × 5 = 5 × 9 n=9 Analiza los siguientes ejercicios: 1. En una librería, un lapicero cuesta S/. 2 y un cuaderno cuesta S/. 5. ¿Cuánto pagará María por la compra de 15 lapiceros y 12 cuadernos? Solución: Por 15 lapiceros pagará: 15 × 2 = 30 Por 12 cuadernos pagará; 12 × 5 = 60 En total pagará: S/. (30 + 60) = S/. 90 2. En una multiplicación, si el multiplicando aumenta en 15 unidades, el producto aumenta en 420 unidades. Determina el valor del multiplicador inicial. Solución: Sea m: multiplicando; x: multiplicador y p: producto. Entonces: p = m · x Por dato: (m + 15) x = p + 420 m · x + 15x = p + 420 p 15x = 420 x = 28

Luego, el multiplicador inicial es 28.

3. Calcula el valor de “a + b + c + d”, si abc · 7 = d422 Solución: Colocamos la operación en forma vertical y evaluamos valores:

Piden: 7×c=…2 c=6 llevamos 4, luego: 7 × b + 4 = …2 b=4 llevamos 3, luego: 7 × a + 3 = d4 a=3;d=2 Piden: 6 + 4 + 3 + 2 = 15 4. El producto de tres números naturales consecutivos es 720. Calcula la suma de dichos números. Solución: Descomponemos el número 720 720 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 2 3 3 5

agrupamos convenientemente los factores 720 = 8

×

9

×

10

Luego, números naturales consecutivos son: 8, 9 y 10. Piden: 8 + 9 + 10 = 27 División en La división es la operación matemática en la que dos números, llamados dividendo (D) y divisor (d), dan un resultado llamado cociente (q), número que expresa cuantas veces está contenido el segundo en el primero. Las unidades no divisibles se denominan residuo o resto. División exacta Una división es exacta cuando el residuo es igual a cero. D d D=d×q 0 q Ejemplo:

15 5 0 3

15 = 5 × 3

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 25. Matemática I

27


Para desarrollar en tu cuaderno

División inexacta Una división es inexacta cuando el residuo es otro número diferente de cero. D d r q Ejemplo:

D=d×q+r 34 3 1 11

0<r<d

34 = 3 × 11 + 1

La división inexacta a su vez puede ser: a. Por defecto En esta, se busca un cociente que, multiplicado por el divisor, se acerque al valor del dividendo sin excederlo. Ejemplo: 17 4 1 4

17 = 4

×

4+ 1

Residuo por defecto (rd)

b. Por exceso En esta se busca un cociente que, multiplicado por el divisor, se acerque al valor del dividendo excediéndolo.

Ejemplos: 1. Roberto compra un televisor cuyo precio al crédito es S/. 4 200. Si pagó la tercera parte del valor y el resto lo pagará en 7 cuotas iguales, determina el valor de cada cuota. Solución: Pagó la tercera parte del valor: 4 200 : 3 = 1 400 Luego falta pagar: 4 200 – 1 400 = 2 800 Cada una de las siete cuotas será de 2800 : 7 = 400 Luego, cada cuota será de S/. 400 2. Marcos repartió 128 canicas entre sus 15 amigos quedándole 8 canicas. ¿Cuántas canicas recibió cada amigo? Solución:

Ejemplo: 17 = 4

17 4 3 5

×

5– 3

Residuo por exceso (re)

Propiedades de la división inexacta • En toda división inexacta la suma del resto por defecto y el resto por exceso es igual al divisor. rexceso + rdefecto = divisor

Como le quedaron 8 canicas, entonces realmente repartió 120 canicas. Luego: 120 15 120 8 - -Cada amigo recibió 8 canicas

3. Al dividir 427 entre 4, calcula la suma del cociente por exceso, el residuo máximo y el residuo por defecto.

Solución: Realizamos la división por exceso: 427 4 –27 107 1

• En toda división inexacta, el resto máximo es menor que el divisor en la unidad. rmáximo = divisor – 1 • En toda división inexacta, el resto mínimo es la unidad. rmínimo = 1 • En toda división inexacta, el cociente por exceso es igual al cociente por defecto aumentado de la unidad. qexceso = qdefecto + 1

Luego: qexceso = 107 rmáximo = 3 Calculamos el residuo por defecto (rd) Sabemos que: rexceso + rdefecto = divisor 1 + rd = 4 rd = 3 Piden: 107 + 3 + 3 = 113

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 25.

28

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Patricia compró una bicicleta en S/. 240 y la vende a su amiga Rosa ganando S/. 80. Si Rosa quiere vender la bicicleta y ganar S/. 32 por dicha operación, ¿cuál será el precio de la bicicleta? Solución: Patricia le vende a Rosa a : 240 + 80 = 320 Rosa lo venderá a : 320 + 32 = 352 Rpta.: El precio de la bicicleta será de S/. 352 2. Pedro compra un mismo número de lápices y de lapiceros por S/. 84. Si cada lápiz cuesta S/. 5 y cada lapicero S/. 7, ¿cuántos objetos compró Pedro? Solución: Sea n° de lápices = n° de lapiceros = x Por dato: 5x + 7x = 84 12x = 84 x=7 Total de objetos: 7 + 7 = 14 Rpta.: En total compró 14 objetos. 3. En una sustracción la suma de sus tres términos es igual a 740. Calcula el valor de la diferencia, si el sustraendo es la quinta parte del minuendo. Solución: Por dato: M + S + D = 740…( I ) M D = ? , S = … ( II ) 5 Sabemos que M – S = D M=S+D Reemplazamos en ( I ) M + M = 740 M = 370 370 En ( II ): S = = 74 5 Luego, D = 370 – 74 D = 296 Rpta.: El valor de la diferencia es 296

4. Si abc · a = 2 618, abc · c = 1 496, calcula abc × a0c. Solución: Escribimos la operación en forma vertical y resolvemos: abc × a0c 1 496 261 8 263 296 Rpta.: 263 296 5. En una división, calcula la suma de cifras del dividendo si el divisor es 15 y el cociente es 7. Además, el resto es máximo. Solución: Sea “D” el dividendo:

D 15 14 7

rmáx. = 15 – 1 Luego: D = 15

×

7 + 14 = 119

Piden la suma de cifras: 1 + 1 + 9 = 11 Rpta.: 11 6. En una división el divisor es 7 y el resto por exceso es 4, ¿cuál es el resto por defecto? Solución: Sabemos que: re + rd = divisor Luego: 4 + rd = 7 rd = 3

Rpta.: 3

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 25. Matemática I

29


Potenciación y radicación en Para desarrollar en tu cuaderno

Proceso de reproducción de las bacterias Las bacterias son microorganismos esenciales para la vida, permiten el equilibrio natural de los ecosistemas. Estas se multiplican rápidamente mediante un proceso de bipartición, es decir, de la división de una célula resultan dos (2) células. El crecimiento de una población de bacterias es el aumento del número de células como consecuencia de un crecimiento individual y posterior división, esta ocurre de forma exponencial durante cierto intervalo de tiempo.

1. Si una bacteria se duplica en media hora, ¿cuántas bacterias habrá luego de 4 horas. Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Potenciación en Una potenciación es una multiplicación de varios factores iguales. a, b, n  , se cumple: a × a × a…× a = an = b

Sabías que...?

“n” factores

donde n ≠ 0, si a = 0 Donde:

“a” es la base : factor. “n” es el exponente : número de factores que se repiten en la base. “b” es la potencia : resultado.

Para la situación planteada en la imagen superior, analizaremos de la siguiente forma: Tiempo

0

N° de bacterias (Se duplica 1 cada media hora) Expresión 20

Media hora

1 hora

1 hora y 2 hora y 3 hora y 2 horas 3 horas 4 horas media media media

2

4

8

16

32

64

128

256

21

22

23

24

25

26

27

28

Observamos que luego de 4 horas (8 grupos de media hora) habrá: 28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256 bacterias Donde : 2 es la base ; 8 es el exponente , 256 es la potencia Propiedades de la potenciación en a. Potencia de exponente uno Todo número natural elevado al exponente uno es igual al mismo número. a Ejemplos:

, a1 = a

71 = 7, (125)1 = 125 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 28.

30

Matemática I

•• En la India se desarrolló el sistema de representación de los números del que se deriva el actual. Este fue transmitido a Occidente a través de los árabes. •• La palabra cero proviene de la palabra “sifr” que significa “vacío”. •• El cero es el único número por el que no se puede dividir a otro. Ejemplo: 8 : 0 = error


Para desarrollar en tu cuaderno

b. Potencia de exponente cero Todo número natural diferente de cero, elevado al exponente cero es igual a uno. a

Analiza los siguientes ejercicios: 1. Determina el valor de la expresión “A”. (75 × 67) A= 2 . (3 × 73 × 26)

, a ¹ 0; a0 = 1

Solución:

Ejemplos: 140 = 1, (38)0 = 1 c. Productos de potencias de igual base El producto de potencias de la misma base es igual a la base común elevada a la suma de exponentes. a, m, n

75 × (3 × 2)7 (32 × 73 × 26)

A=

75 × 37 × 27 32 × 73 × 26

A = 72 × 35 × 2 A = 49 × 243 × 2

, am × an = am+n

A=

A = 23 814 Ejemplo: 4

3

×

4 =4 5

3+5

= 4 = 65 536 8

2. Efectúa: d. Cociente de potencias de igual base El cociente de potencias de la misma base es igual a la base común elevada a la diferencia de exponentes. a, m, n

, am : an = am–n

Ejemplo: 55 : 53 = 55 – 3 = 52 = 25 e. Potencia de una potencia a, m, n

n

, (am) = am×n

Ejemplo: (25)2 = 25×2 = 210 = 1024

(25)3 × (16)2 × 94 8 × 52 × 125 × 243

M=

Solución:

Buscamos bases iguales. M=

(52)3 × (24)2 × (32)4 23 × 52 × 53 × 35

M=

56 × 28 × 38 23 × 55 × 35

M = 25 × 5 × 33 M = 32 × 5 × 27 M = 4 320

f. Potencia de un producto a, b, n

, (a

×

b)n = an × bn

Ejemplo: (5 × 2)3 = 53 × 23 = 125 × 8 = 1 000

30 factores

P=

2 × 22 × 22 ... × 22 (25)12 2

Solución: (22)30 P= 260

g. Potencia de una cociente a, b, n

3. Reduce:

, (a : b)n = an : bn

Ejemplo: (8 : 4)3 = 83 : 43 = 512 : 64 = 8

P=

260 = 20 60 2

P=1

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 28. Matemática I

31


Para desarrollar en tu cuaderno

Radicación en

Analiza los siguientes ejercicios:

La radicación es la operación matemática inversa a la potenciación.

1. Calcula el valor de la siguiente expresión:

a, b  Se cumple que: n a=b Donde :

n a b

4

81 = 3

Solución: b =a n

Por producto de potencias de igual base. A=

índice radicando raíz

A=

34 = 81 ,

3

125 = 5

53 = 125

, n /2 , se cumple:

a. Raíz de un producto a×b=na ×

n

n

b

Ejemplo: ×

218 215

3

23

2. Efectúa: M = 164 × 84 × 252 .

9

3

A=2

Propiedades a, b, m, n

25 = 9

×

25 = 3 × 5 = 15

Solución: Por raíz de un producto. M = 164 × 84 × 252 M = 162 × 82 × 25 M = 409 600 3. Determina el valor de la expresión “P”. P=

b. Raíz de un cociente n

a:b=na :

n

b

Ejemplo: 5 3 125 : 27 = 3 125 : 3 27 = 5 : 3 = 3 c. Raíz de una potencia n

N = 12 836 + 81 N = 83 + 8 N = 520

m: n

48 = 48:4 = 42 = 16

mn

a =

m.n

a

Ejemplo: 3

15 625 = 6 15 625 = 5

32 × 3

A=

32 × 2 3 3 64 9

A= 8 3

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 28. Matemática I

8 27

Solución: A=

d. Raíz de raíz

0

836 + 85 .

Por raíz de raíz y exponente cero.

A= 4

3 4

Solución:

4. Efectúa:

a =a m

Ejemplo:

32

24 × 28 × 25 × 2 . 210 × 25

3

,n2

Ejemplos:

A=


Para desarrollar en tu cuaderno

Raíz cuadrada de un número natural

7

mo

Paso: El número del casillero sube a la raíz.

Hay un algoritmo para obtener la raíz cuadrada de un número natural de más de dos cifras.

1 156 34 9 64 256 256 ---

Ejemplo: Calcula la raíz cuadrada de 1156. 1er Paso: Separa las cifras de dos en dos, de derecha a izquierda. Si el número de cifras es impar, una quedará sola.

1 156

×

4

∴ 1 156 = 34

Operaciones combinadas en

2do Paso: Extrae la raíz cuadrada al primer grupo. Si no es exacto, busca la más cercana. 1 156 3

11  3

3er Paso: Ese resultado elévalo al cuadrado y réstalo del primer grupo, a continuación se baja el segundo grupo de números. 11 56 3 9 2 56

(×2)

3ro En tercer lugar, resuelve las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

Ejemplo: Efectúa: A = 35 : 33 + 24 × 50 – 4 83 – 3 8 + 196 . Solución:

5to Paso: Coloca dos casilleros separados por el signo “×” al lado de la raíz duplicada. 1 156 3 9 6 256

2do En caso de que haya potencias y raíces, las resuelves en segundo lugar.

4to Por último, resuelve las adiciones y sustracciones.

4to Paso: Coloca otra línea en la raíz y duplica la raíz anterior (3). 1 156 3 9 6 256

Para resolver las operaciones combinadas, recuerda estos pasos: 1ro Resuelve primero las operaciones que se encuentran entre los signos de agrupación.

×

6to Paso: En los casilleros coloca un mismo número, de modo que el producto se acerque o sea igual al número que queda. 1 156 3 9 64 256 256 ---

×

A A A A

= = = =

243 : 27 + 16 × 1 – 4 83 – 2 + 14 9 + 16 – 4 81 + 14 25 – 3 + 14 36 Recuerda Los signos de agrupación son los paréntesis, los corchetes y las llaves.

4 1° 2° 3°

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 28. Matemática I

33


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Efectúa: A = 52 × 3 – 16 × 2 + 33 : 9. Solución: A = 25 × 3 – 4 × 2 + 27 : 9 A = 75 – 8 + 3 A = 70 Rpta.: 70 2. Determina el valor de la siguiente expresión: M = (3 27 ) × 4 256) + 53 × 3 – (94 – 73).

A1 = 82 A2 = 32 A1 = 64 A2 = 9 Piden: A1 + A2 = 64 + 9 = 73 Rpta.: La suma de sus superficies es 73 cm2 5. El gráfico muestra dos recipientes cerrados de forma cúbica, determina la suma de sus volúmenes.

Solución: M = (3 × 4) + 125 × 3 + (6 561 – 343) M = 12 + 375 + 6 218 M = 6 605

4 cm 12 cm

Rpta.: 6 605 3. Calcula el valor de la siguiente expresión:

Solución: Determinamos el volumen de cada recipiente.

P = 72 × 23 + 4 134 + 3 16 : 2 – 8 – 9 × 15. Solución: P = 49 × 8 + 13 + 3 8 – 8 – 9 × 15 P = 49 × 8 + 13 + 2 – 8 – 9 × 15 P = 392 + 13 + 2 – 8 – 135 P = 264 Rpta.: 264 4. En la figura se muestran dos placas metálicas cuadradas, determina la suma de sus superficies.

8 cm

3 cm

4 cm 12 cm

V1 = (12)3 V2 = 43 V1 = 1728 V2 = 64 Piden: V1 + V2 = 1 728 + 64 = 1 792 Rpta.: La suma de sus volúmenes es 1 792 cm3 6. Un cubo tiene por volumen 512 m3, ¿cuánto mide su arista? Solución:

Solución: Determinamos el área de cada placa metálica. 512 m3

8 cm

A1

a

A2 3 cm

Rpta.: Su arista mide 8 cm Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 28.

34

Matemática I

V = a3 512 = a3 a = 3 512 a=8


Sistemas de numeración Para desarrollar en tu cuaderno

Las especies se agrupan En la naturaleza, los animales de una misma especie se agrupan formando una población que vive en un lugar o espacio físico del ecosistema, al agruparse de esta forma se protegen de sus predadores naturales. En la imagen se muestra un cardumen de peces, lo interesante de este comportamiento en grupo, es la respuesta simultánea ante cualquier adversidad de las centenas de peces que conforman dicho cardumen.

1. Si quisieras contar la cantidad de peces del cardumen, ¿cómo los agruparías? En nuestra vida cotidiana observamos que algunos objetos para su venta están agrupados de distintas formas, por ejemplo las pilas vienen en paquetes de a dos, las bebidas gaseosas vienen en grupos de 6 o 12, entre otros.

2. Menciona algunos productos que compras y de qué formas están agrupados. Ficha nivel cero

Conceptos previos Numeral La humanidad en su desarrollo histórico creó diferentes formas para nombrar y denotar a los números naturales. En cada pueblo y en cada época los números naturales se representaron con diferentes símbolos. A estas representaciones simbólicas las denominamos numerales. Así:

Nombre Cinco

Símbolo

Pueblo

5

Indo-arábigo

Diez

X

Romano

Diez

Ç …

Egipcio

Trece

Maya

Número Es el primer concepto matemático y el más básico, el cual nos permite cuantificar los objetos. Un número es la idea mental de un numeral. Notación de los números arábigos Para representar de manera general a los números arábigos, se utilizan las letras del alfabeto, colocando una barra sobre ellas para diferenciarlas de las expresiones algebraicas. Ejemplo: Numeral De una cifra

Notación

De dos cifras

ab

De tres cifras

abc

a

Numeral capicúa Se llama así al numeral, cuyas cifras equidistantes del centro son iguales además se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Ejemplo: de 2 cifras aa de 3 cifras aba de 4 cifras abba

Ficha de refuerzo

PPT

Sabías que...? •• El cero es la innovación más importante de toda la Matemática. Con él y los otros nueve dígitos se puede representar cualquier cantidad por muy grande que sea. Sin embargo, tuvieron que pasar muchos siglos antes de que la humanidad usara este concepto con facilidad.

Importante •• El sistema de numeración que usamos generalmente es el sistema decimal o décuplo. •• En todo sistema de numeración se puede usar la cifra cero. •• La cifra máxima en cierto sistema de numeración es igual al valor de la base menos uno. •• En el sistema de base “n” se pueden utilizar “n” cifras. •• De la igualdad:

abc(x) = def(y)

Si abc > def Se cumple: x < y

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 31. Matemática I

35


Para desarrollar en tu cuaderno

Sistema de numeración Es la parte de la Aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números. Principios A. Del orden Toda cifra de un numeral tiene un determinado orden el cual empieza en uno y se cuenta de derecha a izquierda. Ejemplo: orden 4 3 2 1 3 5 2 6 numeral

A partir del sistema undecimal en adelante las cifras máximas se denotan también con letras griegas. Es decir: a = 10, b = 11, g = 12, etc. Sistema de numeración decimal Es el sistema que tiene un alfabeto de 10 cifras del 0 al 9, las cuales podemos combinar para expresar simbólicamente cualquier número posible. En este sistema cada orden tiene un nombre. En el número: 7 3 2 5 4 19 1er orden: 9 unidades

B. De la base Es aquel numeral referencial que nos indica cómo se debe agrupar las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración.

2do orden: 1 decena 3er orden: 4 centenas 4to orden: 5 unidades de millar 5to orden: 2 decenas de millar 6to orden: 3 centenas de millar

“La base toma valores positivos y enteros mayores o iguales que 2” Ejemplo: En el numeral 124(n) la base es “n”. (n / 2) C. De las cifras Para las cifras, se cumple lo siguiente: • Pertenecen al conjunto . • Son menores que la base. • La máxima cifra viene a ser una unidad menos que la base. Principales sistemas de numeración Base Sistema de numeración 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Binario o Dual Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal

Cifras 0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; …; 6 0; 1; …; 7 0; 1; …; 8 0; 1; …; 9 0; 1; …; 9; (10) 0; …; 9; (10); (11)

7mo orden: 7 unidades de millón Valores de una cifra A. Valor absoluto (V.A.) Es el valor que toma una cifra por su símbolo o figura, sin importar el orden que ocupe. B. Valor relativo (V.R.) Es el valor que toma una cifra según el orden que ocupe en el número. Ejemplo 1: Valor absoluto: 2 4256 Valor relativo: 200 (2 centenas) Ejemplo 2: En el numeral 81 542, determina la suma del V.A. de la cifra de segundo lugar y el V.R de la cifra de tercer orden.

3er 2do 1er 8 1 5 4 2

Lugar 1er 2do V.A. (1) = 1 V.R. (5) = 500 Piden: 500 + 1 = 501

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 31.

36

Matemática I

Orden


Para desarrollar en tu cuaderno

Descomposición polinómica de un número La descomposición polinómica de un número es expresar dicho número como la suma de los valores relativos de cada una de sus cifras. Ejemplos: • 4 723 = 4 × 103 + 7 × 102 + 2 × 10 + 3 • 156(7) = 1 × 72 + 5 × 7 + 6 Descomposición por bloques Si tenemos el numeral 74 521, lo podemos descomponer así: 74 521 = 74 × 103 + 52 × 10 + 1 74 521 = 745 × 102 + 21 Estas son dos descomposiciones por bloques del numeral, los bloques pueden ser de dos, tres, o más cifras. Cambios de base Para realizar cambios de base se emplean algunos métodos. Caso I: De base “n” a base 10 Se puede utilizar el método de Ruffini o la descomposición polinómica.

Caso II: De base 10 a base “n” Se usa el método de las divisiones sucesivas. Ejemplo: Convierte 1 325 1 325 6 5 220 6 4 36 0

a base 6.

6 6 6 0 1

Luego, 1 325 = 10045(6)

Caso III: De base “n” a base “m” Para este caso, se pasa primero a base decimal y luego a la base requerida. Ejemplos: 1. Convierte 3321(4) a base 7. Solución: 1ro: 3321(4) = 3 × 43 + 3 × 42 + 2 × 4 + 1 = 192 + 48 + 8 + 1 = 249

Ejemplos:

2do: 249 7 4 35 7 0 5

1. Convierte 427(9) al sistema decimal.

Por descomposición polinómica: 427(9) = 4 × 92 + 2 × 9 + 7 = 349 Solución: Por Ruffini:

4

36

9 (x)

2

4

38

(+)

7 342

3321(4) = 504(7)

2. Convierte 27436(8) a base 3. 1ro: 27436(8) = 2 × 84 + 7 × 83 + 4 × 82 + 3 × 8 + 6

(+)

= 8 192 + 3 584 + 256 + 24 + 6 = 12 062

349

Luego, 427(9) = 349 2. Convierte 2 356(8) al sistema decimal. Solución: Por descomposición polinómica: 2356(8) = 2 × 83 + 3 × 82 + 5 × 8 + 6 = 1 024 + 192 + 40 + 6 = 1 262 Luego, 2356(8) = 1 262

2do: 12 062 3 2 4 020 3 0 1 340 3 2 446 3 2 148 3 1 49 3 1 16 3 1 5 3 2 1 2743(8) = 121112202(3)

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 31. Matemática I

37


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Escribe correctamente los siguientes números: a. 2342(3) b. 21202(2) Solución: Para que un número esté correctamente escrito cada cifra debe ser menor que la base, luego en cada caso convertiremos cada cifra mayor que la base.

Formamos un grupo de 3 y queda 1

a. 2 3 4 2(3)

Solución: a. 245(6) a base 10 Utilizamos el método de Ruffini. 2 4 5 6 12 96 2 16 101 × 245(6) = 101

Formamos un grupo de 3 y queda 1

= 2 4 1 2(3) Formamos un grupo de 3

= 3 1 1 2(3) = 10112(3) Formamos un grupo de 2

b. 2 1 2 0 2(2) Formamos un grupo de 2

= 2 1 2 1 0(2) Formamos un grupo de 2

= 2 2 0 1 0(2) Formamos un grupo de 2 y queda 1

= 3 0 0 1 0(2) = 110010(2) 2. Calcula el valor de “m + n”, si (m + 1)25n7 es un número capicúa. Solución: Por capicúa se cumple: (m + 1)25n7 Cifras iguales m+1=7 m=6

3. Convierte: a. 245(6) a base 10. b. 524 a base 3. c. 231(4) a base 7.

n=2

Piden: m + n = 6 + 2 = 8 Rpta.: 8

b. 524 a base 3. Utilizamos las divisiones sucesivas: 524 3 22 174 3 14 24 58 3 2 0 28 19 3 1 1 6 3 0 2 524 = 201102(3) c. 231(4) a base 7. Convertimos primero a base 10 mediante descomposición polinómica y luego a base 7 por divisiones sucesivas: 231(4) = 2

×

45 7 3 6

Luego, 231(4) = 63(7)

Matemática I

×

4 + 1 = 45

4. Calcula el valor de “a + b + m”, si 253(6) = amb. Solución: Convertimos al sistema decimal mediante la descomposición polinómica: 253(6) = 2 × 62 + 5 × 6 + 3 = 72 + 30 + 3 = 105 Comparamos: amb = 105 Luego: a = 1, m = 0, b = 5 a + b + m = 1 + 5 + 0 = 6 Rpta.: 6

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 31.

38

42 + 3


Para desarrollar en tu cuaderno

5. Calcula el valor de “a + b + c”, si abc(5) = 47. Solución: Convertimos 47 a base 5. 47 5 2 9 5 4 1 47 = 142(5) Comparamos: abc(5) = 142(5) Luego: a = 1; b = 4; c = 2 Piden: a + b + c = 1 + 4 + 2 = 7 Rpta.: 7 6. Determina la representación de (a – 2)a(a + 4)(8). Solución: Analizamos el numeral a – 2 > 0 a + 4 < 8 a > 2 a < 4 Luego: a = 3 Reemplazamos “a” en el numeral: (a – 2)a(a + 4)(8) = 137(8) Rpta.: 137(8)

9. Calcula el valor de “n + p”, si 203(4) = npm(5). Solución: Convertimos el numeral 203(4) a base 5. • Primero aplicamos la descomposición polinómica. 203(4) = 2 × 42 + 0 × 4 + 3 = 32 + 0 + 3 = 35 • Ahora aplicamos las divisiones sucesivas 35 5 0 7 5 2 1 35 = 120(5) Comparamos: npm(5) = 120(5)

Igualamos

Luego:

n=1 ,

p=2 , m=0

Entonces: n + p = 1 + 2 = 3

7. Si los numerales n3(7) y 21(n) están correctamente escritos, calcula la suma de valores que puede tomar “n”. Solución: De: n3(7) n < 7; n ≠ 0 De: 21(n) n>2 Los valores que puede tomar “n” son: 3; 4; 5; 6 Piden: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. Rpta.: 18 8. Si los siguientes numerales están bien escritos: 23a(4); 22c(a) ; b1b(c). calcula el valor de “a + b + c”. Solución: De los numerales a < 4 a > c b ≠ 0 ∧ b < c Luego: b < c < a < 4

Rpta.: 3

10. Si el numeral x x + 1 (x – 2)(5) está correctamen2

te escrito, ¿cuál es el valor de “x”? Solución: Analizamos el numeral: I. x < 5 II. x + 1 < 5 2

III. x – 2 < 5 ∧ x – 2  0 x<7 ∧x2 IV. x ≠ 0

x = 2; 3; 4 • Descartamos 4 y 2 porque al reemplazar en x + 1 resultan números fraccionarios. 2

1 2 3 Piden: a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6

Luego: x = 3

Rpta.: 6

Rpta.: 3 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 31. Matemática I

39


Somos emprendedores* Vendemos sándwiches de pollo para generar ingresos Para desarrollar en tu cuaderno Chicos, este mes nos toca realizar ventas durante los recreos. ¿Tienen alguna idea de producto?

Sí, sándwich de pollo.

Podemos vender salchipapas

Eso no es muy sano mejor un sándwich que alimenta más.

2. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas: Situación 1

Si deciden preparar los sándwiches y venden 40 unidades semanalmente, ¿cuánto ganarán en un mes?

Situación 2

Si deciden mandar a preparar los sándwiches y venden 40 unidades semanalmente, ¿cuánto ganarán en un mes?

Responde oralmente

¿Qué observas en la imagen? Problema ¿Qué proyecto puede generar ingresos mensuales? Alternativa de solución Se proponen las siguientes actividades: • Venta de queques • Venta de papas rellenas • Venta de sándwiches de pollo „„ Forma grupos de trabajo y desarrolla. Análisis de posibilidades: 1. Elige la venta de sándwiches de pollo. Si los mandan a preparar Precio de costo de cada sándwich: S/. 2,00 Precio de venta: S/. 2,50

Si lo elaboran Compra de insumos: Pollo Pan Mayonesa Lechuga

Ganancia por cada sándwich:

Precio de costo de cada

S/. 0,50 Ventaja: Listo para vender a los consumidores

sándwich: S/. 1,50

Situación 3

¿Qué porcentaje de ganancia adicional se obtendrá en la situación 1 respecto a la situación 2?

Responde oralmente: 1. ¿Qué insumos tiene el producto elegido? 2. ¿Cuál sería el precio más adecuado para el pro-

ducto? Evalúa 1. ¿Se puede mejorar el producto? 2. ¿De qué otra forma se podría vender?

„„ Pide a tu compañero (a) que te evalúe.

Precio de venta: S/. 2,50 Ganancia por cada sándwich: S/. 1,00 Ventaja: La ganancia es mayor.

Indicadores Aportamos ideas en el trabajo grupal. Respetamos las opiniones de nuestros compañeros. Cumplimos con la tarea asignada en el grupo.

* Promueve el aprendizaje en equipo. 40

Matemática I


Matemática I

41

Está formada por todos los elementos de los conjuntos.

A  B = {x/x  A  x  B}

Está formada por los elementos comunes a los conjuntos.

A  B = {x/x  A  x  B}

se determinan

A B = (A – B)  (B – A)

A – B = {x/x  A  x  B}

d. ¿En qué otras situaciones podría aplicar lo aprendido?

c. ¿Expliqué con mis palabras los conocimientos adquiridos?

Está formada por los elementos que pertenecen a uno u otro conjunto pero no a ambos.

Está formada por los elementos que tiene un cojunto pero que no tiene el otro.

A’ = {x/x  U  x  A} A’ = U – A

Está formada por los elementos que no pertenecen a un conjunto peo sí al universo

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

• http://peru.aula365.com/el-sistema-decimal/Consultado el 10 de junio de 2015.

html /Consultado el 10 de junio de 2015.

• http://apuntes124.blogspot.com/2008/03/conjuntos-clases-de-conjuntos.

Martín (2004). El sistema numérico decimal. Caracas, Venezuela: Fe y Alegría: UNESCO, 28 p • LIPSCHUTZ, Seymour (1975). Teoría de conjuntos y temas afines: teoría y problemas. México: McGraw-Hill, 233 p.

• ANDONEGUI,

A B = (A  B) – (B  A)

DIFERENCIA SIMÉTRICA ()

POR EXTENSIÓN Se menciona cada uno de los elementos.

DIFERENCIA DE CONJUNTOS (–)

OPERACIONES CON CONJUNTOS

b. ¿Qué estrategias utilicé para resolver mis dificultades?

a. ¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad?

„„ Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

UNIÓN DE CONJUNTOS ()

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS ()

POR COMPRENSIÓN Se menciona una característica de los elementos.

es

CONJUNTO una colección de varios objetos llamados elementos

„„ Analiza el siguiente organizador visual y repasa lo aprendido.


Valoramos la gastronomía en nuestro entorno

Trabajamos 1. Describe lo que observas y menciona de qué otras formas podrías ordenar una caja los cupcakes. 2. Identifica y menciona los valores numéricos que no pertenecen al conjunto de los números naturales. 3. ¿Crees que es importante nuestra gastronomía? ¿Por qué? 4. ¿En qué situaciones de tu entorno observas la presencia de los números enteros?

42

Matemática I


Convive

en Apr di

ia dem nc

rática oc

ental am

je fund za

Emprende creativamente

Nuestros aprendizajes Los cupcakes son una de las recetas de repostería más divertidas, creativas y vistosas que puedes encontrar. Son coloridos así como llamativos y pueden ordenarse según su color, forma y tamaño. (Múltiplos y divisores)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

• Expresa • • • •

La gastronomía del Perú es de las más diversas del mundo. A lo largo de la costa peruana existen más de 2500 diferentes tipos de sopas, 491 platos típicos y más de 250 postres tradicionales. (Número primo y compuesto)

el significado de múltiplo, divisor, números primos, compuestos y divisibles. Reconoce datos y los expresa en un modelo relacionado a múltiplos y divisores. Expresa el significado del signo en el número entero en situaciones diversas. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas con números enteros. Describe las características de la potenciación considerando su base y exponente con números enteros.

Las comidas que tienen un contenido de azúcar alto como el helado se deben mantener en una temperatura entre -15 °C y -12 °C, mientras que otras comidas, como algunos postres requieren de altas temperaturas. (Números enteros)

Ingresa a las siguientes páginas web para complementar la información del tema tratado. • http://elcomercio.pe/gastronomia/peruana/que-gastronomia-peruana-nombrada-patrimonio-humanidad-noticia-730854 • http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/prime-composite.html

Matemática I

43


Múltiplos y divisores Para desarrollar en tu cuaderno

Dulces en nuestro entorno En nuestra vida cotidiana podemos observar los maravillosos pastelillos llamados cupcakes. Generalmente los vemos en los mostradores de los supermercados, las panaderías, tiendas, etc. ordenados equitativamente.

1. Los alumnos de un colegio participan en un concurso de postres y algunos presentan cupcakes. Si se desea colocar 12 cupcakes sobre un mostrador, ¿de cuántas formas pueden ordenarse, de tal manera que todas las filas y columnas queden completas? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Webquest

Múltiplo de un número El múltiplo de un número se obtiene al multiplicar dicho número por un número natural. Ejemplos: “Múltiplos de 6” : M(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; …} “Múltiplos de 8” : M(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; …} Forma general Si un número natural “A” es múltiplo de otro número natural “B”, entonces la división de A por B es exacta y se denota así: A=B

A = Bk (k 

Importante Dados los números “A” y “B”; si se cumple que: A

B

0

k

A = Bk

Luego: “A” es múltiplo de “B”. “A” es divisible por “B”. “B” es divisor de “A”. “B” es un factor de “A”.

)

•• B : Se lee módulo “B”

Propiedades a. Todo número es múltiplo de sí mismo. b. El cero es múltiplo de todo número.

Ejemplos:

9=9 13 = 13

Ejemplos:

0 = 15

División por defecto

0 = 26

A

Ejemplos:

c. La cantidad de múltiplos de un número es infinita, debido a que el conjunto de los números naturales es 3 = {0; 3; 6; 9; 12…} ilimitado. 4 = {0; 4; 8; 12; 16…}

Principios de la multiplicidad respecto a un mismo módulo a.

n+n=n Ejemplo: 20 + 25 = 45 5+5 =5

c.

b.

n–n=n Ejemplo: 36 – 12 = 24 6–6=6

d.

n×n=n Ejemplo: 8 × 12 = 96 2×2=2 (n)k = n Ejemplo: (6)3 = 216 (6)3 = 6

e. (n + r)k = n + rk Ejemplo: (9 + 2)3 = 9 + 23 =9+8 f. (n + a) (n + b) = n + ab Ejemplo: (3 + 2)(3 + 1) 3+2

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 46.

44

Matemática I

Recuerda B

rd q

A = Bq + rd A = B + rd

Donde: rd: residuo por defecto División por exceso A B A = B(q + 1) – re re q + 1

A = B – re

Donde: re: residuo por exceso Además:

rd + re = B

Nota Si “A” es múltiplo de “B” entonces también será múltiplo de todos los factores de “B”.


Ejemplo: ¿Cuántos múltiplos de 4 hay del 1 al 200? Solución: 1ra forma: Escribimos los números múltiplos de 4.

4 ; 8 ; 12; 16; 20; … ; 200

Expresamos cada número como el producto de factores 4 × 1 ; 4 × 2 ; 4 × 3 ; 4 × 4 ; … 4 × 50 Observamos que los factores que se encuentran encerrados aumenta de uno en uno, luego deducimos que cumplen con la condición 50 números. 2 forma: Cuando se tiene una sucesión de números desde la unidad, los múltiplos de 4 podemos obtenerlos así:

Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo: Indica los divisores de 120 y luego calcula la suma de los cinco divisores menores. Solución: D(120) = {1; 2; 3 ; 4; 5 ; 6; 8; 10; 12 ; 15; 20; 24; 30; 40; 60 ; 120} Piden: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Números perfectos Los números perfectos son aquellos que son iguales a la suma de sus divisores excepto él mismo. Forma general: Nº perfecto: 2n – 1 × (2n – 1)

da

200

4 50 Luego, hay 50 números múltiplos de 4.

Donde: (2n – 1) es un número primo. Ejemplos: • D(6) = {1; 2; 3; 6} Luego: 6 = 1 + 2 + 3 Entonces, 6 es un número perfecto. • D(28)

Divisor de un número

Ejemplos: Divisores de 10: D(10) = {1; 2; 5; 10} • Divisores de 24: D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

= {1; 2; 4; 7; 14; 28} Luego: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 Entonces, 28 es un número perfecto.

Un número “A” es divisor de “B” si el residuo de dividir B entre A es cero. Propiedades A. La unidad (1) es divisor de todo número. B. Todo número es divisor de sí mismo.

Ejemplos D(5) = {1; 2; 5} D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Divisibilidad Números divisibles Un número “A” es divisible por otro número “B”, si “A” contiene un número entero y exacto de veces a “B”, es decir la división de A por B es exacta. Luego: A 0

D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

B ;q q

Ejemplos:

C. Todo número tiene una cantidad finita de divisores.

D(15) = {1; 3; 5; 15} Hay 4 divisores

D. Los divisores comunes (DC) de dos números, son aquellos que son divisores de ambos números.

D(16) = {1; 2; 4; 8; 16} D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} Entonces: DC(16; 18) = {1; 2}

72 es divisible por 8 porque:

72

8

0

9

91 es divisible por 7, porque:

91 7 0

13

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 46. Matemática I

45


Para desarrollar en tu cuaderno

Números no divisibles El número A no es divisible por B si la división de A por B es inexacta.

Ejemplos: •

48 3

5 9

48

5+3 5–2

83 11 6 7

83

11 + 6 11 – 5

Ejemplo: Si A se divide entre 13, se obtiene 8 de residuo, si B se divide entre 13 se obtiene de residuo 11. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir A · B entre 13?

Forma general: abcd = 3

Ejemplo: Calcula el valor de “x”, si 4x8 = 3. Solución:

4+x+8=3 12 + x = 3 x: 0; 3; 6; 9

c. Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4 si las dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. Forma general:

d. Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. Forma general:

Criterios de divisibilidad Son ciertas reglas prácticas que nos permiten determinar si un número es divisible por otro, sin necesidad de efectuar la división. a. Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par.

d=2

Ejemplo: ¿Qué valores puede tomar “x”, si 4x es divisible por 2? Solución: 4x = 2

abcd = 5

Ejemplos: • 320 es divisible por 5, porque termina en 0. • 415 es divisible por 5, porque termina en 5. e. Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.

x: 0; 2; 4; 6; 8

abcd = 6

abcd

2 3

Ejemplos: • 426 es divisible por 2, porque termina en cifra par. • 426 es divisible por 3, porque 4 + 2 + 6 es múltiplo de 3 luego, deducimos que 426 es múltiplo de 6.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 46. Matemática I

d=0o5

Forma general:

Forma general: abcd = 2

cd = 4

Ejemplo: 2516 = 4, porque termina en 16 que es un múltiplo de 4.

Del dato: A = 13 + 8 B = 13 + 11 A · B = (13 + 8)(13 + 11) A · B = 13 + 88 A · B = 13 + (13 + 10) A · B = 13 + 10 Luego, el residuo es 10.

46

a+ b+c+d=3

abcd = 4

Solución:

b. Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.


Para desarrollar en tu cuaderno

f. Divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 solo si al multiplicar sus cifras de derecha a izquierda por los números 1; 3; 2; –1; –3; –2; 1; 3; 2; –1; –3; –2…, la suma de estos productos es múltiplo de 7 .

Forma general: abcdef = 7

–2a – 3b – c + 2d + 3e + f = 7

–2 –3 –1 2 3 1

Ejemplo 1: El número 86 940 es divisible por 7, porque (–3) × 8 + (–1) × 6 + 2 × 9 + 3 × 4 + 1 × 0 8 6 940 –3 –1 2 3 1 = –24 – 6 +18 + 12 + 0 = 0 0 es múltiplo de 7. Ejemplo 2: Si el numeral 1234x es divisible por 7, determina el mayor valor de “x”. Solución: 1 234 x=7 –3 –1 2 3 1

–3 – 2 + 6 + 12 + x = 7 x + 13 = 7 x = 1; 8

Piden: xmáx = 8 g. Divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8, si el número formado por sus 3 últimas cifras es múltiplo de 8. Forma general: abcd = 8

bcd = 8

h. Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Forma general: abcd = 9

Ejemplo 1: 6 723 = 9, porque: 6 + 7 + 2 + 3 = 18 = 9. Ejemplo 2: Si el numeral 1xx2 es divisible por 9, calcula el valor que toma “x”. Solución: 1xx2 = 9 1+x+x+2=9 2x + 3 = 9 x = 3 Ejemplo 3: Calcula el máximo valor de “x”, si 5x2x3x = 9 + 7 Solución: Por criterio de divisibilidad: 5+x+2+x+3+x=9+7 3x + 10 = 9 + 7 3x + 9 + 1 = 9 + 7 3x = 9 + 6 x: 2; 5; 8 xmáx = 8 i. Divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11 solo si al multiplicar sus cifras de derecha a izquierda por los números +1; –1; +1; –1; +1; –1… la suma de estos productos es múltiplo de 11. Forma general:

Ejemplo 1: 4 512 = 8, porque termina en 512 que es un múltiplo de 8. Ejemplo 2: Calcula el valor de “A” si el numeral 234a es divisible por 8. Solución: Se cumple: 34a = 8 a = 4

a+ b + c + d = 9

abcde = 11

+–+ – +

a – b + c – d + e = 11

Ejemplo: ¿El número 2 749 824 es divisible por 11? Aplicamos el criterio de divisibilidad por 11. 2 749 824

+ –+– +–+

2–7+4–9+8–2+4=0 Como 0 es múltiplo de 11, entonces el número 2 749 824 es divisible por 11. Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 46. Matemática I

47


Para desarrollar en tu cuaderno

1. En una universidad trabajan 100 profesores, de los cuales, la onceava parte de las mujeres están casadas y la quinta parte de los varones son solteros. ¿Cuántas mujeres solteras hay? Solución: Sea V : Número de varones M : Número de mujeres

100 cifras

Solución: Por criterio de divisibilidad: 2 + 2 + … + 2 = 200 100 cifras

Por dato: V = 5 ; M = 11 ; V + M = 100 Luego: M = 11; 22; 33; 44; 55; …; 99

4. Determina el residuo de dividir el número 2222…22 entre 9.

V = 89; 78; 67; 56; 45; …; 1

Cumplen las condiciones: M = 55 ; V = 45 55 Entonces: mujeres casadas: =5 11 Mujeres solteras: 55 – 5 = 50 Rpta.: Hay 50 mujeres solteras. 2. ¿Cuántos números del 1 al 200 son múltiplos de 6? Solución: Como empieza en la unidad, utilizamos el método práctico. 200 6 2 33 Luego, hay 33 números múltiplos de 6.

Luego: 200 9 2 22

200 = 9 + 2

Luego, el residuo será 2 Rpta.: 2 5. Calcula el valor entero de “a” si el numeral 426(2a -2) es divisible por 5. Solución: Por divisibilidad por 5, se cumple: 2a – 2 = 0

a=1

2a – 2 = 5 a= 7 2

Luego, a = 1 Rpta.: El valor de “a” es 1.

Rpta.: 33 números. 3. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 13 y terminan en 5? Solución: Sea el número: ab5 = 13 = 13k. Luego: 99 < ab5 < 1000 99 < 13k < 1000 7,6 < k < 76,9

Solución: Por criterio de divisibilidad. •

“k” toma valores: 8, 9, 10, 11, … 75, 76 Para que termine en cifra 5: debe tomar 15, 25, 35, … 75 7 valores Luego, hay 7 números de tres cifras múltiplos de 13 que terminan en 5. Rpta.: 7 números.

6. Si 7a2a6 = 9 y 8b345 = 11, determina el valor de “a + b”.

7a2a6 = 9 7+a+2+a+6=9 15 + 2a = 9 a=6 •

8b345 = 11

+–+–+

Piden: 6 + 1 = 7

Rpta.: El valor de “a + b” es 7. Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 46.

48

Matemática I

8 – b + 3 – 4 + 5 = 11 12 – b = 11 b=1


Números primos y compuestos Para desarrollar en tu cuaderno

Preparándonos para la feria gastronómica El boom gastronómico por el cual está atravesando el país ha hecho que los postres peruanos se den a conocer a nivel mundial, por lo que muchos productos se están exportando. En la actualidad, algunos de estos productos son transportados en diversos tipos y tamaños de cajas. En una feria gastronómica. Luis elaboró 18 postres de chocolate y Juan elaboró 11 postres de vainilla. Si deben colocarlos en cajas de tal forma que entren exactamente los postres

1. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los 18 postres de Luis, en cajas? Escribe todas las posibilidades. 2. ¿Cuántas posibilidades tiene Juan de colocar sus 11 postres en dichas cajas? Ficha nivel cero

Número primo

Ficha de refuerzo

Un número primo es aquel número natural no nulo que posee solo dos divisores positivos que son la unidad y el mismo número. Ejemplos: 7 es un número primo. D(7) = {1; 7} D(11) = {1; 11} 11 es un número primo. Propiedades de los números primos • El menor número primo es 2 (es el único par). • Existe una cantidad ilimitada de números primos. • Los únicos números primos consecutivos son 2 y 3. • Si “N” es un número primo mayor que 3, entonces “N” es 6 ± 1. • El cuadrado de un número primo impar diferente de 5 es 5 ± 1.

Número compuesto Un número compuesto es aquel número natural no nulo que posee más de dos divisores. Todo número compuesto posee divisores que son números simples (divisores simples) y números no simples o compuestos (divisores compuestos). En forma general, si se tiene el número “N”, entonces se cumple que: C.D.(N) = C.D.S.(N) + C.D.C.(N) Donde: C.D.(N) : cantidad de divisores de “N”. C.D.S.(N) : cantidad de divisores simples de “N”. C.D.C.(N) : cantidad de divisores compuestos de “N”.

PPT Clase interactiva

Importante •• La unidad es el único número natural no nulo que tiene un único divisor y es él mismo. •• Divisores propios son todos los divisores de un número excepto él mismo.

Ejemplo: Los divisores propios de 20 son: 1; 2; 4; 5 y 10

Número simple Es aquel número natural no nulo que no posee más de dos divisores y está formado por la unidad y los números primos.

Ejemplos: i) D(6) = {1; 2; 3; 6} Divisores simples: 1; 2; 3 Tiene más de dos divisores. Divisores no simples: 6 ii) D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} Divisores simples: 1; 2; 3 Los divisores compuestos de 18 son: 6; 9; 18 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 49. Matemática I

49


Para desarrollar en tu cuaderno

Números primos entre sí (PESI)

Ejemplo 2:

Dos o más números son primos entre sí, si tienen como único divisor común a la unidad. También se les llama primos relativos.

Calcula la cantidad de divisores primos del número 3 024.

Ejemplo: D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}; D(25) = {1; 5; 25} Como la unidad es el único divisor común, entonces 12 y 25 son PESI. Teorema fundamental de la Aritmética Todo número natural no nulo, mayor que la unidad se puede descomponer como el producto de potencias de sus factores primos. Esta descomposición es única y recibe el nombre de descomposición canónica (D.C.).

Solución: 3 024 1 512 756 378 189 63 21 7 1

2 2 2 2 3 3 3 7

×

33

×

7

Luego, tiene 3 divisores primos.

Ejemplo 3:

Ejemplo: 450 225 75 25 5 1

2 3 3 5 5

450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 2 × 32 × 52

Calcula la cantidad de divisores compuestos de 500. Solución:

Descomposición canónica Factores primos: 2; 3; 5

500 250 125 25 5 1

Propiedades de los divisores de un número a. Cantidad de divisores de un número [C.D.(N)] Si se tiene el número N y además ax · by · cz, es su descomposición canónica entonces, la cantidad de divisores de “N” se calcula así:

C.D.(N) = (x + 1)(y + 1)(z + 1)

También:

C.D.(N) = C.D.primos + C.D.compuestos + 1

Ejemplo 1: Calcula la cantidad de divisores de 1200 Solución: 1 200 600 300 150 75 25 5 1

2 2 2 2 3 5 5

1 200 = 24 × 31 × 52 Luego: C.D.(1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30

2 2 5 5 5

Matemática I

500 = 22 × 53 C.D.(500) = (2 + 1)(3 + 1) = 12 C.D.primos = 2 Luego: 12 = 2 + C.D.compuestos + 1 C.D.compuestos = 9

Ejemplo 4: Si el número A = 12 × 15n tiene 36 divisores, calcula el valor de “n”. Solución: Realizamos la descomposición canónica de “A”. A = 22 A = 22

× ×

3 × 3n × 5n 3n+1 × 5n

Por dato: C.D.(A) = 36 3(n + 2)(n + 1) = 36 (n + 1)(n + 2) = 12 n = 2 Ejemplo 5: Calcula el valor de “n” si el número 40n tiene 65 divisores.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 49.

50

3 024 = 24


Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: Realizamos la descomposición canónica de 40n. 40 2 40 = 23 × 5 20 2 40n = 23n × 5n 10 2 C.D.(40n) = (3n + 1)(n + 1) 5 5 1 Por dato: (3n + 1)(n + 1) = 65 n = 4 b. Suma de los divisores de un número [S.D.(N)] Dado el número N = ax · by · cz, se cumple: S.D.(N) =

a x+1 –1 a–1

by+1–1 b –1

cz+1–1 c –1

Ejemplo 1: Calcula la suma de los divisores de 360. Solución: 360 180 90 45 15 5 1 Luego:

S.D.(360) =

2 2 2 3 3 5

360 = 23

×

32 × 5

23+1 – 1 32+1 – 1 51+1 – 1 2–1 3–1 5–1

24 – 1 33 – 1 52 – 1 1 2 4 = 15 × 13 × 6 = 1170

=

Ejemplo 2: Calcula la suma de 300 150 75 25 5 1

Dado el número N = ax · by · cz, se cumple: P.D.(N) = N

C.D. N

Ejemplo 1: Calcula el producto de los divisores de 150. Solución: 150 = 2 × 3 × 52 150 2 75 3 25 5 5 5 1 C.D.(150) = (1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 12 Luego: P.D.(150) = 15012 = 1506 Ejemplo 2: Calcula el producto de los divisores de 200. Solución: 200 = 23 200 2 100 2 50 2 25 5 5 5 1 C.D.(200) = (3 + 1)(2 + 1) = 12 Luego: P.D.(200) = 20012 = 2006

×

52

d. Suma de las inversas de los divisores de N Sea N = ax · by · cz, entonces: S.I.D.(N) =

los divisores de 300. 300 = 22 × 3 × 52 2 2 3 5 5

22+1 – 1 31+1 – 1 2–1 3–1 = 7 × 4 × 31 = 868

S.D.(300) =

c. Producto de los divisores de un número [P.D.(N)]

52+1 – 1 5 –1

Ejemplo: Calcula la suma de las inversas de 120. Solución: 120 = 23 × 3 × 5 120 2 60 2 30 2 23+1 – 1 S.D.(120) = 15 3 2–1 5 5 = 360 1 Luego, S.I.D.(120) =

S.D.(N) N

de los divisores

31+1 – 1 51+1 – 1 3–1 5–1 360 =3 120

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 49. Matemática I

51


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Indica todos los divisores de los siguientes números: • 36 • 40 • 60 Solución: Sabemos que los divisores de un número dividen exactamente a este, luego: D(36) : 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 D(40) : 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40 D(60) : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60 2. La descomposición canónica de 720 es 2x · 3y · 5z, calcula el valor de (x + y + z)2. Solución: Realizamos la descomposición canónica de 720. 720 2 720 = 24 × 32 × 5 360 2 Luego: 24 × 32 × 5 = 2x · 3y · 5z 180 2 x = 4; y = 2; z = 1 90 2 Piden: 45 3 (4 + 2 + 1)2 = 49 15 3 5 5 1 Rpta.: 49

5. ¿Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene el número 1 080? Solución: Realizamos la descomposición canónica de 1 080 1 080 540 270 135 45 15 5 1

2 2 2 3 3 3 5

4. ¿Cuántos divisores pares tiene el número 72? Solución: 72 2 Realizamos la descomposición ca36 2 nónica de 72. 18 2 72 = 23 × 32 9 3 Luego extraemos un factor “2” para 3 3 calcular los divisores pares 2(22 × 32) Entonces: C.D.pares = (2 + 1)(2 + 1) 1 = 9 9 Rpta.:

33

×

5

Extraemos un factor 2 y un factor 3 para obtener los divisores múltiplos de 6. = 2

×

3(22

×

32

×

5)

Luego: C.D. 6 = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18

Rpta.: 18

6. Determina la cantidad de divisores compuestos del número 364 × 283. Realizamos la descomposición canónica del número. 364 × 283 = (22 × 32)4 × (22 × 7)3 = 28 × 38 × 26 × 73 = 214 × 38 × 73 C.D. = (14 + 1)( 8 + 1)(3 + 1) = 540 C.D.

primos

=3

Sabemos que: C.D. = C.D.primos + C.D.compuestos + 1 540 = 3 + C.D.C + 1 C.D.Compuestos = 536

Rpta.: Tiene 536 divisores compuestos.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 49. Matemática I

×

Solución:

3. Si A = 81 · 13x tiene 45 divisores, calcula el valor de “x”. Solución: A = 81 · 13x A = 34 · 13x Luego: C.D.(A) = (4 + 1)(x + 1) Por dato: 5(x + 1) = 45 x = 8 Rpta.: 8

52

1 080 = 23


MCD y MCM Para desarrollar en tu cuaderno

Compartimos dulces a nuestro alrededor Muchas personas realizan actividades de ayuda social, esta ayuda puede ser económica o material. Lucía y Cristina tienen una empresa de postres y como parte de su obra social desean donar al asilo San Jacinto 180 empanadas, 200 cupcakes y 360 suspiros de fresa, de tal manera que todos reciban la misma cantidad de cada tipo de postres.

1. ¿Cuál es el mayor número de ancianos que pueden beneficiarse? 2. ¿Cuántos postres de cada tipo recibe cada persona? Ficha nivel cero

dad y sea la mayor posible, ¿cuántos toneles se necesitarán?

Máximo común divisor (MCD) El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor divisor común de dichos números. Si el máximo común divisor de dos números es 1, decimos que estos números son primos entre sí. (PESI). Ejemplo: D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}; D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18 } D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} Luego, podemos decir que el MCD (12; 18; 24) es 6. Métodos para el cálculo del MCD a. Por descomposición simultánea El MCD de dos o más números será el producto de todos los factores comunes extraídos a los números hasta obtener finalmente números primos entre sí.

Ejemplo 1: Calcula el MCD de 36; 48 y 120.

Solución:

36 18 9 3 Luego, MCD (36;

48;

48 24 12 4 120)

- 120 60 30 10 =2×2

2 2 3 ×

3 = 12.

Ejemplo 2: Se tienen dos toneles de cierto líquido con 480 y 360 litros respectivamente; si se desea repartir el líquido en toneles que tengan igual capaci-

Solución: La capacidad del tonel buscado será en MCD de 480 y 360, luego: MCD = 23 × 3 × 5 480 - 360 2 = 120 240 - 180 2 120 - 90 2 Piden: 480 360 60 - 45 3 N° toneles = + 120 120 20 - 15 5 =7 4 3

Ficha de refuerzo

PPT

b. Por descomposición canónica El MCD de dos o más números está dado por el producto de los factores primos comunes, elevados a su menor exponente. Ejemplo 1: Calcula el MCD de 600, 800 y 1 000. Solución: Llevamos cada número a su forma canónica. 600 = 23 × 3 × 52 800 = 25 × 52 1 000 = 23 × 53

Luego, MCD (600; 800; 1 000) = 23 × 52 = 200

Ejemplo 2: Determina el MCD de 120 y 200, por el método de descomposición canónica. Solución: Realizamos la descomposición canónica de cada número.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 52. Matemática I

53


Para desarrollar en tu cuaderno

120 2 200 2 60 2 100 2 30 2 50 2 15 3 25 5 5 5 5 5 1 1 120 = 23 × 3 × 5 200 = 23 × 52 Luego, MCD (120; 200) = 23 × 5 = 40 Ejemplo 3: Dados los siguientes números: A = 218 × 312 × 58; B = 215 × 316 × 510 × 720, si el MCD(A; B) = 2x · 3y · 5z, calcula el valor de “x + y + z”. Solución: Determinamos el MCD por descomposición canónica: MCD (A; B) = 215 × 312 × 58. Por dato: 2x · 3y · 5z = 215 · 312 · 58. Luego, x = 15, y = 12, z = 8 Piden: x + y + z = 35 c. Por el algoritmo de Euclides o divisiones sucesivas Para conocer este método analizamos el siguiente ejemplo: Determina el MCD de 540 y 220. Solución: Procedimiento: • Se divide 540 entre 220. • El residuo pasa a ser divisor, se divide 220 entre 100, el residuo obtenido pasa a ser divisor y así sucesivamente. • El último residuo que no es cero es el MCD: Entonces: Cocientes 540 Residuo

2 220 100

2 100 20

5 20 0

Luego, MCD (540; 220) = 20

Ejemplo 1: Determina el MCD de 450 y 168 mediante el algoritmo de Euclides. 450

2 168 114

1 114 54

Luego, MCD (450; 168) = 6

2 54 6

9 6 0

Ejemplo 2: La suma de dos números es 1 500. Calcula el menor de ellos, si se sabe que al aplicar el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes los números 3; 1; 3 y 5. Solución: Sean los números A y B, luego aplicamos de forma invertida el algoritmo. 3 1 3 5 Del esquema: A B 16n 5n n B = 1 × 16n + 5n = 21n 16n 5n n 0 A = 3 × 21n + 16n = 79n Por dato: A + B = 1 500 79n + 21n = 1 500 Piden: B = 21 × 15 = 315 Propiedades del MCD Si un número es múltiplo de otro, entonces el a. MCD de ellos es el número menor. Ejemplo: Determina el MCD de 15 y 60. Como 60 es 15 MCD = (15; 60) = 15 b. Si a varios números los multiplicamos o dividimos por un mismo número natural, entonces el MCD de ellos quedará multiplicado o dividido por dicho número, es decir: • MCD (An; Bn; Cn) = n · MCD (A; B; C) A ; B ; C = 1 · MCD (A; B; C) • MCD n n n n Si el MCD (A; B) = d, entonces MCD (An; Bn) = dn c. d. Si se dividen dos o más números entre el MCD de ellos, entonces los cocientes obtenidos son siempre PESI. Es decir: Si MCD (A; B) = d, se cumple: A • =p A = dp d p y q son PESI B • =q B = dq d

Mínimo común múltiplo (MCM) El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes de dichos números. Ejemplos: • Múltiplos de 6: M(6) = {6; 12; 18; 24; 30 …} • Múltiplos de 8: M(8) = {8; 16; 24; 32; 40; …} Luego, MCM (6; 8) = 24

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 52.

54

Matemática I

n = 15


Métodos para el cálculo del MCM a. Por descomposición simultánea El MCM de dos o más números será el producto de todos los factores comunes naturales y no comunes extraídos a todos los números hasta obtener de ellos, como número final, la unidad. Ejemplo 1: Determina el MCM de 12; 15 y 40. Solución: 12 - 15 - 40 2 6 - 15 - 20 2 3 - 15 - 10 2 3 - 15 5 3 1 - 5 5 5 1 - 1 1 Luego, MCM (12; 15; 40) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

Ejemplo 2: Roberto va al gimnasio cada 6 días y su amigo Pedro va cada 8 días. Si hoy se encontraron en el gimnasio, ¿después de cuántos días se volverán a encontrar? Solución: El número de días que debe pasar estará dado por el MCM de 6 y 8 6 8 2 MCM = 22 × 3 3 4 2 = 24 3 2 2 3 1 3 1 1 Luego, deberá pasar 24 días. b. Por descomposición canónica El MCM de dos o más números está dado por el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. Ejemplo: Determina el MCM de 480; 150 y 180. Solución: Realizamos la descomposición canónica de cada número. 480 2 150 2 180 2 75 3 90 2 240 2 25 5 45 3 120 2 5 5 15 3 60 2 1 5 5 30 2 1 15 3 5 5 1  

Para desarrollar en tu cuaderno

480 = 2 × 3 × 5; 150 = 2 × 3 × 52 ; 180 = 22 × 32 × 5 MCM (480; 150; 180) = 25 × 32 × 52 = 7 200 5

Propiedades del MCM Si dos o más números son primos entre sí (PESI), a. entonces el MCM de ellos es igual a su producto. Ejemplo: 6 y 7 son PESI MCM (6; 7) = 6 × 7 = 42 Si un número es múltiplo de otro, entonces el b. MCM de ellos es igual al número mayor. Ejemplo: Determina el MCM de 12 y 48. Como 48 es 12 MCM (12; 48) = 48. c. Si a varios números los multiplicamos o dividimos por un mismo número entero entonces el MCM de ellos se verá multiplicado o dividido por dicho número. Es decir: • MCM (An; Bn; Cn) = n · MCM (A; B; C) • MCM

A B C 1 ; ; = · MCM (A; B; C) n n n n

d. Si el MCM (A; B) = P, entonces MCM (An; Bn) = Pn. Ejemplo: Si MCM (A; B) = 6, calcula el MCM (A3, B3) Solución: Por propiedad: MCM (A3; B3) = 63 = 216 e. Si se divide el MCM de dos o más números entre cada uno de ellos, los cocientes que se obtienen son siempre PESI. Es decir, si MCM(a; b) = m, se cumple: • •

m =p A m =q B

m p m B= q A=

p y q son PESI

Propiedad del MCD y MCM Si MCD(A; B) = d y MCM(A; B) = p, entonces se cumple: A×B=d×p

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 52. Matemática I

55


Para desarrollar en tu cuaderno

1. ¿Cuál es la menor longitud que se puede medir con una regla de 40 cm y otra de 50 cm? Solución: Sea “l” la menor longitud, luego: l = MCM (40; 50) 40 - 50 2 MCD = 23 × 52 20 - 25 2 l = 200 10 - 25 2 5 - 25 5 1 5 5 1 1 Rpta.: La menor longitud es 200 cm. 2. Dos ciclistas recorren un velódromo; el primero da una vuelta en 15 minutos y el segundo en 18 minutos. Si parten juntos, ¿después de qué tiempo se encontrarán? Solución: El tiempo que demorarán en encontrarse estará dado por el MCM (15; 18) 15 - 18 2 MCD = 2 × 32 × 5 15 - 9 3 = 90 minutos 5 - 3 3 5 - 1 5 1 - 1 Rpta.: Se encontrarán después de 90 minutos. 3. Determina la cantidad de divisores del MCM(A; B) si: A = 23 × 32 × 5 ; B = 22 × 33 × 52 Solución: Por el método de descomposición canónica: MCM (A; B) = 23 × 33 × 52 Piden: C.D.(MCM) = (3 + 1)(3 + 1)( 2 +1 ) = 48 Rpta.: Tiene 48 divisores. 4. Dados los números “A” y 36, si su MCD es 12 y su MCM es 288, calcula la suma de dichos números.

Solución: Por propiedad: 36 × A = 12 × 288 A = 96 Piden: 96 + 36 = 132 Rpta.: La suma de los números es 132.

5. Calcula el valor de “n” si se sabe que: MCD (3A; 3B) = 12n y MCD (A; B) = 5n – 10. Solución: De: MCD (3A; 3B) = 12n Por propiedad: 3 · MCD (A; B) = 12n MCD(A; B) = 4n…(I) Por dato: MCD (A; B) = 5n – 10 Reemplazamos en (I) 5n – 10 = 4n n = 10

Rpta.: El valor de “n” es 10. 6. Determina el MCD de 390 y 252, luego da como respuesta la suma de sus divisores. Solución: 1 1 1 4 390 252 138 114 24 138 114 24 18

Matemática I

3 6 0

MCD(390; 252) = 6 D(6) = 1; 2; 3; 6 Piden: 1 + 2 + 3 + 6 = 12 Rpta.: La suma de divisores del MCD es 12. 7. ¿Cuántos divisores comunes tiene 605 y 403? Solución: Realizamos la descomposición canónica de cada número. 605 = (22 × 3 × 5)5 = 210 × 35 × 55

403 = (23 × 5)3 = 29 × 53

Luego, MCD (605 ; 403) = 29 × 53 Piden: C.D.(MCD) = (9 + 1)(3 + 1) = 40 Rpta.: Tienen 40 divisores comunes.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 52.

56

1 18 6


Números enteros Para desarrollar en tu cuaderno

Observamos temperaturas bajo cero y sobre cero La manera más fácil de almacenar los alimentos y hacer que duren más, es mantener los alimentos en la nevera (refrigeración). En los helados es tan importante la temperatura de elaboración como la del servicio. La temperatura de servicio de los helados varía entre los -15 y -12º C. Pero también hay alimentos como el chocolate, que necesitan de una temperatura superior a 0° para poder elaborarlos.

1. Elabora una lista de productos que necesiten refrigeración bajo cero y otra lista de productos que se elaboren con temperaturas superiores a cero. 2. Menciona algunas situaciones donde observes valores negativos para representarlas. Ficha nivel cero

El conjunto de los números enteros ( )

Ficha de refuerzo

Este conjunto se obtiene al ampliar el conjunto de los números naturales ( ), debido a que se presentan situaciones y operaciones que no se puede realizar en , como por ejemplo: • Representar la profundidad bajo el nivel del mar: – 60 m o 60 m bajo el nivel del mar. • Representar una temperatura menor que cero: –15 ºC o 15 ºC bajo cero. • Representar la pérdida en una inversión: –S/. 2 500. • Representar el número de plantas de un edificio en el ascensor, para los sótanos o plantas subterráneas. El conjunto de los números enteros( ) está formado por los números enteros positivos ( +), los números enteros negativos ( –) y el cero. Es decir:

PPT

Importante ••

•• El número entero 0, carece de signo, es decir no es positivo ni negativo. ••

+ 0

: Números enteros positivos además del cero.

••

– 0

: Números enteros negativos además del cero.

•• Por cada número entero positivo existe un número entero negativo.

= {…–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3…} ; luego: = –  {0}  + Representación de un número entero en la recta numérica Todos los números enteros pueden ubicarse en una recta numérica. De esta forma, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro según el lugar que ocupa en la recta numérica. Para ello debemos realizar lo siguiente: A. Trazamos una recta y ubicamos en la mitad de dicha recta al número 0. 0

B. Dividimos cada una de las semirrectas que se determinan en partes iguales. 0

C. Ubicamos los números enteros: los enteros positivos a la derecha del cero y los enteros negativos a la izquierda del cero. … –5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

Sabías que...? El nombre de enteros se justifica porque estos números ya sea positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas). Recién en el siglo XVII dichos números tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque algunos matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de la solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.

+5 …

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 55. Matemática I

57


Valor absoluto de un número entero Observa la recta numérica. … –5 –4 –3 –2 –1

0 +1 +2 +3 +4 +5 …

Los números enteros +4 y –4 se encuentran a la misma distancia del cero. Ello se verifica porque los dos números están formados por el mismo número natural 4, aunque con diferente signo. Al número 4 se le llama valor absoluto de +4 y –4, y se representa así: |+4| = |–4| = 4. En forma general:

Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: Por propiedad, se cumple: x + 3 = 5 ∨ x + 3 = –5 x = 2 x = –8 C.S. = {–8; 2} Opuesto de un número entero (Op) El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto, pero con el signo cambiado. Todo número entero, tiene un opuesto. … –3 –2 –1

x, si x  + |x| = 0; si x = 0 –x; si x  –

+1 +2 +3 …

Del gráfico se cumple que: Op(–3) = +3 Op(+3) = –3 Además: |+3| = |–3|. Comparación de números enteros

Es decir: •

El valor absoluto de un número entero positivo es el mismo número entero.

El valor absoluto del número cero es cero.

El valor absoluto de un número entero negativo, es el mismo número con signo negativo.

Ejemplo:

Dados dos números enteros representados en una recta numérica, el mayor es aquel que se encuentra a la derecha y el menor el que se encuentra a la izquierda. Para comparar dos números enteros tendremos en cuenta lo siguiente: A. Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. … –4 –3 –2 –1

Calcula el valor de la expresión “M”. M = |–3| + |–15| + |+8| – |+13|. Solución: Por definición de valor absoluto: •

|–3| = –(–3) = 3 • |–15| = –(–15) = 15 Luego: M = 3 + 15 + 8 – 13

|+8| = 8 • |+13| = 13

Si |x| = a

En el gráfico:

+1 +2 +3 +4 …

+3 > –1

B. El cero es mayor que cualquier entero negativo y menor que cualquier entero positivo. … –4 –3 –2 –1

En el gráfico: M = 13.

0

0 > –3

+1 +2 +3 +4 …

;

0 < +2

C. Dados dos números enteros negativos, el mayor es aquel que tiene menor valor absoluto.

x = a ∨ x = –a

Ejemplo: Calcula el valor de “x” si |x + 3| = 5.

… –4 –3 –2 –1

0

+1 +2 +3 +4 …

En el gráfico: |–4| = 4; |–1| = 1

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 55. Matemática I

0

Propiedad

58

0

–1 > –4


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Determina el mayor valor de “x” si |x + 3| = 7. Solución: Por valor absoluto, se cumple: x+3=7 ∨ x + 3 = –7 x=4 ∨ x = –10

4. Calcula la suma de valores enteros que puede tomar “x”, si se cumple que 2  x  8. Solución: Por dato: 2x8 x = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 Piden: 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35.

Luego, el mayor valor de “x” es 4. Rpta.: 4 2. Simboliza matemáticamente la expresión; “x” es un número entero mayor o igual que –3 pero menor que 2; y luego calcula el número de valores que puede tomar “x”. Solución: La representación simbólica del enunciado es: –3  x < 2 Puede ser: –3; –2; –1; 0; 1. Luego toma 5 valores.

Rpta.: La suma de valores es 35 5. Efectúa: M=

Solución: Para obtener el opuesto de un número solo se debe cambiar el signo; luego: Op (–6) = 6 ; Op (2) = –2 ; Op (–4) = 4 6 + 2 (5) – (–2) 3(4) + 6 18 M= =1 18 M=

Rpta.: Puede tomar 5 valores 3. Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones según corresponda. I. –8 es un número entero negativo

Rpta.: 1 6. Observa los puntos ubicados en la recta numérica, luego escribe en el recuadro los signos > o < según corresponda.

II. |–3| + |–5| = |–8| III. Si x  , además 2 < x < 5, entonces “x” toma 3 valores IV. –15 > –10

B

Solución: La representación simbólica del enunciado es: I. Por teoría de números enteros, II. |–3| + |–5| = |–8|

3 + 5 = 8,

III. 2 < x < 5 x = 3; 4 Luego “x” toma 2 valores,

Op (–6) + 2 |–5| – Op (2) 3Op (–4) + |6|

Verdadero Verdadero Falso

a. A b. F

A

<

D

C D

>

0

C

c. B d. E

F

< >

E

D A

Solución: Del gráfico, por la ubicación de los puntos deducimos que:

IV. Por comparación de números enteros, Falso

a. A b. F

Rpta.: V V F F

Rpta.: <, >, <, >

< >

C D

c. B d. E

< D > A

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 55. Matemática I

59


Adición y sustracción de números enteros Para desarrollar en tu cuaderno

Realizamos compras en una dulcería María y Carla tienen preferencia por los dulces de todo tipo, ellas observan la siguiente lista de precios en una dulcería: • •

Crema volteada: S/. 4 Mazamorra morada: S/. 2

• •

Arroz con leche: S/. 3 Porción de torta : S/. 5

1. ¿Cuánto dinero gastarán si compra cada uno de los dulces? 2. La señora que atiende en la dulcería les descuenta S/. 1 luego de la compra realizada. Representa matemáticamente dicha situación. Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

Adición de números enteros en la recta numérica Suma de números enteros del mismo signo

PPT

Para sumar números enteros de igual signo, se deben sumar los valores absolutos de los sumandos y al resultado se le antepone el mismo signo. •

Efectúa (+5) + (+4). +5

+4

Importante Del gráfico: (+5) + (+4) = +9

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 •

Efectúa (–3) + (–2). –2

•• La suma de dos números enteros positivos es otro número entero positivo. Ejemplo:

(+7) + (+5) = +12

–3

Del gráfico: (–3) + (–2) = –5

–5 –4 –3 –2 –1 0

•• La suma de dos números enteros negativos es otro número entero negativo.

Ejemplo:

(–4) + (–3) = –7

Suma de números enteros de diferente signo Para sumar números enteros de diferente signo, se deben restar los valores absolutos (al mayor se le resta el menor) y al resultado se le antepone el signo del que tiene mayor valor absoluto. •

Efectúa (+4) + (–7). Del gráfico: (+4) + (–7) = –3

–5

Del gráfico: (–5) + (+8) = +3 0 +1 +2 +3 +4

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 56. Matemática I

•• A + (+B) = A + B •• A – (–B) = A + B •• A + (–B) = A – B

Efectúa (–5) + (+8). +8

60

+38 = 38

•• A – (+B) = A – B

0 +1 +2 +3 +4 +5

–5 –4 –3 –2 –1

Ejemplo:

+5 = 5

simplificar signos

+4

Regla práctica para

–7

–4 –3 –2 –1

•• Los números enteros positivos pueden escribirse sin el signo +.


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplos: a. (+7) + (+9) = +16

d. (–18) + (+33) = +15

b. (–8) + (–15) = –23

e. (–9) + (–11) = –20

d. Propiedad conmutativa El orden de los sumandos, no altera la suma. Simbólicamente: a, b

c. (+10) + (–23) = –13 Analiza la siguiente tabla. a –11 +13 –16 +12

b 8 9 –7 –5

a+b (–11) + (8) = –3 (+13) + (9) = 22 (–16) + (–7) = –23 (+12) + (–5) = 7

Propiedades de la adición Los números enteros cumplen las siguientes propiedades para la adición: a. Propiedad de clausura La suma de dos números enteros es otro número entero. Simbólicamente: a, b

,∃c

/a+b=c

b. Propiedad asociativa La forma como se agrupan los sumandos no altera la suma. Simbólicamente: 

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo: (+5 + –3) + –10 = +5 + (–3 + –10) + 2 + –10 = +5 + –13 –8 = –8 c. Propiedad del inverso aditivo o elemento opuesto Si sumamos a un número entero su opuesto, siempre se obtendrá como resultado cero. Simbólicamente: a

Ejemplos: • –7 + (+7) = 0 • +10 + (–10) = 0

a+b=b+a

Ejemplo: –7 + 9 = 9 + (–7) +2 = +2 e. Propiedad del elemento neutro Si sumamos el número cero con cualquier número entero, la suma será el mismo número. Simbólicamente: a

a+0=0+a=a

Ejemplo: 0 + –4 = –4 + 0 –4 = –4 f. Propiedad de monotonía Si a ambos miembros de una igualdad le sumamos un mismo número entero, entonces la igualdad se mantiene. Simbólicamente:

Ejemplos: • (+5) + (+4) = +9  • (–8) + (–6) = –14 

a, b y c

+a + (–a) = 0

Si a, b, c y d 

;a+b=c

a+b+d=c+d

Ejemplo: (+3) + (–8) = –5 (+3) + (–8) + (+4) = –5 + (+4) –1 = –1 g. Propiedad cancelativa Si a ambos miembros de una igualdad le suprimimos un mismo número entero, entonces la igualdad se mantiene. Simbólicamente: Si a, b, c y d 

;a+b+d=c+d

a+b=c

Ejemplo: +5 + (–6) + (–3) = –1 + (–3) +5 + (–6) = –1 –1 = –1

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 56. Matemática I

61


Sustracción de números enteros La sustracción de números enteros es una operación que hace corresponder a cada par de números enteros, otro número entero llamado diferencia. La diferencia de dos números siempre es un número entero, por ello se dice que la sustracción es cerrada en . Forma general:

M – S = D donde: M: Minuendo S: Sustraendo D: Diferencia

Propiedades a. Para efectuar una sustracción, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y luego se aplica la regla de la suma de números enteros.

Es decir:

a – b = a + (–b)

Ejemplo: • (+8) – (+6) = (+8) + (–6) = +2 • (–13) – (–5) = (–13) + (+5) = –8 • (+17) – (–11) = (+17) + (+11) = +28 b. La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo es decir: M + S + D = 2M Ejemplo: +2 – (+3) = +2 + (–3) = –1 Además: +2 + (+3) + (–1) = +4 c. Si a > c y además

abc(n) – cba(n) xyz(n)

Se cumple que: x + z = y = n – 1. Operaciones combinadas de adición y sustracción La agrupación de operaciones de adición y sustracción de números enteros también es llamada adición algebraica. Para realizar estas operaciones combinadas debemos tener en cuenta las siguientes situaciones: •

Todo paréntesis precedido de un signo (+) no se ve afectado por este ya que se escribirán los números contenidos en él, con su mismo signo. Ejemplo: –5 + (–8 + 9) = –5 – 8 + 9 = –13 + 9 = –4

Todo paréntesis precedido de un signo (–) se ve alterado por este, ya que se escribirán los números contenidos en él, con el signo cambiado. Ejemplo: –8 – (–7 + 10) = –8 + 7 – 10 = –1 – 10 = –11

Para desarrollar en tu cuaderno

Para sumar varios números enteros, luego de suprimir los paréntesis, se agrupan los números positivos y los números negativos, se suman y luego se obtiene el resultado final. Ejemplo: Efectúa: A = +8 + (–7 + 2) – (–10 – 5 + 9) Solución: A = +8 – 7 + 2 + 10 + 5 – 9 A = (+8 + 2 + 10 + 5) + (– 7 – 9) A = (+25) + (–16) A=9 Problemas con adición y sustracción de números enteros 1. Una persona nació en el año 36 a. C. Si murió en el año 48 d. C. ¿Cuántos años vivió? años que vivió Solución: … –2 –1

… –36

antes de Cristo (a. C.)

Matemática I

+1 +2 …

+48 …

después de Cristo (d. C.)

Del gráfico, calculamos los años que vivió: +48 – (–36) = + 48 + (+36) = 84 años 2. En el Cusco, la temperatura durante la mañana fue de –10 °C. ¿Cuál es la temperatura en este momento, si la temperatura ha descendido 5°C.? –10 Solución: –5 –15

–10

0

Luego: (–10) + (–5) = –15 °C 3. Juan tiene 35 canicas. Si Raúl le regaló 13 canicas y María compró para Juan 18 canicas, ¿cuántas canicas tiene finalmente Juan si se sabe que perdió 10 canicas? Solución: Juan tiene: 35 Le regalan 13: +13 Le compraron 18: +18 Perdió 10: –10 Luego: 35 + 13 + 18 – 10 = 66 – 10 = 56 Al final Juan tiene 56 canicas. 4. Un saltamontes parte desde una piedra y avanza 5 metros, luego avanza 8 metros más y finalmente retrocede 15 metros. ¿En qué posición se encuentra el saltamontes respecto de la piedra? Solución: Avanza 5 metros: +5. Avanza 8 metros: +8. Retrocede 15 metros: –15. Luego: 5 + 8 – 15 = 13 – 15 = –2 Se encuentra 2 metros detrás de la piedra.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 56.

62

0


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Representa en la recta numérica las siguientes adiciones y luego indica su resultado. a. (+5) + (+4) b. (–2) + (+6)

c. (+7) + (–3) d. (–4) + (+5)

Solución: a. (+3) + (+4)

+3

0

–8 + Op(–3) = –8 + 3 = –5 Rpta.: –5 4. Suma (+18) con el opuesto de (–9 – 2).

+4 3

Solución:

7

+18 + Op(–9 – 2) = +18 + Op(–11) = +18 + 11 = +29

El resultado es +7

b. (–2) + (+6)

+6

Rpta.: +29

–2 –2

3. Suma (–8) con el opuesto de (–3). Solución:

0

+4

5. Calcula el valor de la expresión “M + 5”, si se sabe que M = +13 + (–10) + 4.

El resultado es +4

Solución:

c. (+7) + (–3)

+7

M = +13 + 4 + (–10) M = +17 + (–10) M=7 Piden M + 5 = 7 + 5 = 12

–3 0

+4

+7

El resultado es +4

d. (–4) + (+5)

Rpta.: 12

+5 –4

–4

6. Determina el valor de la expresión “P” si se sabe que P = –7 + 9 – [(+6) – (+10)].

0 +1

Solución:

El resultado es +1.

2. Escribe el resultado en el recuadro de cada una de las siguientes operaciones. a. (+6) + (+3) =

d. (+4) + (+9) =

b. (–7) + (+4) =

e. (7) + (–3)

c. (+8) + (–5) =

f. (+10) + (–8) =

Eliminamos los paréntesis y resolvemos: P = –7 + 9 – [+6 – 10] P= –7 + 9 – (–4) = –7 + 9 + 4 P = 6 Rpta.: 6

= 7. Si a = –5; b = +8; c = –10; d = 9, calcula “a + b – c – d”. Solución:

Solución: a. (+6) + (+3) = +9 d. (+4) + (+9) = +13 b. (–7) + (+4) = –3 e. (7) + (–3)

= +4

c. (+8) + (–5) = +3 f. (+10) + (–8) = +2

Reemplazamos los valores en la expresión y operamos: –5 + (+8) – (–10) – (9) –5 + 8 + 10 – 9 = 4 Rpta.: 4

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 56. Matemática I

63


Para desarrollar en tu cuaderno

8. Una liebre avanza con 18 saltos, retrocede 5 saltos, luego avanza 9 saltos y finalmente retrocede 6 saltos. ¿Cuántos saltos da en total? Solución: Como solo piden la cantidad de saltos no debemos considerar si avanza o retrocede, luego: Nº saltos = 18 + 5 + 9 + 6 = 38 Rpta.: 38 saltos

12. Una persona nació el año 38 a.C y murió el año 56 d.C. ¿Cuántos años vivió dicha persona? Solución: Nació: 38 a. C (–38) Murió: 56 d. C. (+56) Vivió: (+56) – (–38) = 94 Luego, la persona vivió 94 años Rpta.: Vivió 94 años

9. Raúl tiene S/. 183. Si en un juego de apuestas pierde S/. 72 y luego gana S/. 38, ¿cuánto dinero le queda al final? Solución: Según los datos le quedará: 183 + (–72) + (+38) = 183 – 72 + 38 = 149 Rpta.: Le quedan S/. 149 10. Lucía tiene S/. 350 en su cuenta del banco. Si retira S/. 125, luego deposita S/. 75, y después vuelve a retirar S/. 96 más, ¿cuánto dinero le queda finalmente en su cuenta? Solución: Según los datos le quedará: 350 + (–125) + (+75) + (–96) = 350 – 125 + 75 – 96 = 350 + 75 – 125 – 96 = 425 – 221 = 204 Rpta.: Le queda S/. 204 11. La temperatura de un congelador es de -25°C, si aumenta la temperatura 12°C, ¿qué temperatura marcará ahora el termómetro? Solución: Temperatura inicial: -25°C Aumenta: +12°C La temperatura final será: (-25) + ( +12) = -13 El termómetro marcará -13°C Rpta.: Marcará –13°C

13. Un alpinista se encuentra en la base de una montaña y realiza el siguiente trayecto: - Sube 325 metros - Desciende 210 metros - Sube 104 metros ¿A qué altura de la base de la montaña se encuentra? Solución: Por dato: Sube 325m (+325) Desciende 210m (–210) Sube 104m (+104) Luego: (+325) + (–210) + (+104) = 325 – 210 + 104 = 219 Finalmente el alpinista se encuentra a 219 metros. Rpta.: 219 metros 14. María se puso a dieta para bajar de peso. El primer mes, bajó 900 g, el segundo mes bajó 200 g menos que el mes anterior; el tercer mes subió 250 g y el cuarto mes subió 300 g más que el mes anterior. ¿Cuántos gramos bajó María al finalizar el cuarto mes? Solución: 1er mes: –900 2do mes: –900 + 200 = –700 3er mes: +250 4to mes: 250 + 300 = 550 Luego: –900 + (–700) + 250 + 550 = –800 Finalmente María bajó 800 g Rpta.: Bajó 800 g.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 56.

64

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

Multiplicación de números enteros Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos. Si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo y si los dos factores tienen diferente signo, el producto es negativo. Forma general:

c: Producto

Ejemplos: (–6)

×

a, b

(+9) = –54

(–3)

×

(–7) = +21

(–2)

a. Propiedad de clausura El producto de dos números enteros es otro número entero. Simbólicamente: a, b Ejemplo:

(–5)

, ∃c ×

/a

×

b=b

a

×

e. Propiedad del elemento neutro El producto de cualquier número multiplicado por 1, siempre será igual al mismo número. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación. Simbólicamente: a

(+3) = –15

(a

×

b)

×

c=a

×

(b

×

c)

Ejemplo: (–4

×

2) × 3 = –4 × (2 × 3) –8 × +3 = –4 × +6 –24 = –24

(–5)

a

×

0=0

×

PPT

Simbólicamente: Si a, b, c y d  ; a × b = c

a×b×d=c×d

Ejemplo: ×

(–4) (–4)

× ×

(–3) = +12 (–3) = (–2) × (+12) –24 = –24

g. Propiedad cancelativa Si se suprime el mismo factor a ambos miembros de la igualdad, se obtiene otra igualdad. Simbólicamente: a

×

Si a, b, c y d  ; c ≠ 0 b×c=d×c a×b=d

Ejemplo: (–4)

(–8)

1=a

(+1) = –5

×

+

c. Propiedad del elemento absorbente El producto de cualquier número multiplicado por cero , da como resultado cero. El cero es el elemento absorbente de la multiplicación. Simbólicamente: a

×

Ficha de refuerzo

Ejemplo:

(–2) +

a

Ficha nivel cero

f. Propiedad de monotonía Si se multiplica un mismo número entero a ambos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad.

b=c

b. Propiedad asociativa La forma como se agrupan tres o más factores no altera el producto. Simbólicamente:

Ejemplo:

×

(+5) = (+5) × (–2) = –10

×

Propiedades de la multiplicación de enteros

a, b y c

a

Ejemplo:

a × b = b + b + b + b +…+ b = c ; donde: a: Multiplicando “a” veces b: Multiplicador

d. Propiedad conmutativa El orden de los factores, no altera el producto. Simbólicamente:

×

0=0

(–6)

×

(+2) = (+24) +24 = +24

×

(+2)

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 59. Matemática I

65


Para desarrollar en tu cuaderno

h. Propiedad distributiva El producto de un número por una suma o diferencia se puede calcular multiplicando el número a cada uno de los términos de dicha suma o diferencia. Simbólicamente: a, b y c  , se cumple: a × (b + c) = a × b + a × c a × (b – c) = a × b – a × c

• Si al dividendo se le multiplica o se le divide por un número entero diferente de cero sin alterar el divisor, el cociente se verá multiplicado o dividido por dicho número entero. División inexacta Una división es inexacta cuando existe residuo diferente de cero. Forma general: D r

Ejemplo: 3

×

(–2 + 4) = 3

×

(–2) + 3

×

(+4) = 6

División de números enteros La división es la operación inversa a la multiplicación. División exacta Una división es exacta cuando el residuo es igual a cero. Forma general: D

d q

D=d

×

q

65 9 2 7

(–10) : (–2) = +5

a

Simbólicamente: ;0:a=0

a≠0

También se cumple que: •

Si al dividendo y divisor de una división se le multiplica o se le divide por un mismo número diferente de cero, el cociente no varía.

Matemática I

7+2

39 4 39 × 2 4 × 2 3 9 78 8 6 9 3×2

b. Si se divide el dividendo y el divisor entre un mismo entero diferente de cero, el cociente no varía, pero el residuo queda dividido entre dicho número. 48 10 8 4

48 : 2 10 : 2 24 5 4 4

8:2

Importante •• Ley de signos de la multiplicación (+)

×

(+) = (+)

(+)

×

(–) = (–)

(–)

×

(–) = (+)

(–)

×

(+) = (–)

•• Ley de signos para la división (+) : (+) = (+)

(+) : (–) = (–)

(–) : (–) = (+)

(–) : (+) = (–)

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 59.

66

×

Ejemplo:

;a:1=a

b. Propiedad del elemento absorbente Si dividimos el cero entre cualquier número en tero, distinto de cero, el resultado será cero. 

65 = 9

a. Si se multiplica el dividendo y el divisor por un mismo número entero, el cociente no varía, pero el residuo queda multiplicado por ese mismo número.

(+36) : (–4) = –9

Simbólicamente:

a

q+r

Ejemplo:

a. Propiedad del elemento neutro Todo número dividido entre la unidad, da como resultado el mismo número.

×

Propiedades de la división inexacta

Propiedades de la división exacta

D=d

Ejemplo:

Ejemplo: •

d q


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Calcula el valor de la siguiente expresión: P = –6 + –6 + –6 + … + –6. 35 veces Solución: Por teoría de multiplicación: P = (–6) × 35 P = –210

2. Si a = –7; b = –8; c = +6; d = –4, calcula el valor de (a – b) × (c + d). Solución: a – b = (–7) – (– 8) = +1 c + d = (+6) + (–4) = +2 Piden: (+1) × (+2) = +2

Piden: [(–38 : 2) + (–6)] : 5 = [(–19) – 6] : 5 = (–25) : 5 = –5

Rpta.: –5

3. Calcula el producto de la suma de –13 y +8 con la diferencia de –7 y –19. Solución: Piden: [(–13) + (+8)] × [(–7 – (–19)] = (–13 + 8) × (–7 + 19) = (–5) × (+12) = –60

7. Al dividir 328 entre “n” se obtiene 65 de cociente y 3 de residuo. Calcula el valor de “n”. Solución: 328 n 3 65

Se cumple: 328 = 65n + 3 325 = 65n n = 5

Rpta.: 5

Rpta.: –60 4. Calcula el producto de “A” y “B”, si se sabe que: A = 36 – (–5) × (–6), B = 27 + (–8) × (4). Solución: A = 36 –(–5) × (–6) = 36 – (+30) = 36 – 30 =6

Rpta.: –30

6. Calcula la mitad de –38, aumentada en –6 y luego divídela entre 5. Solución:

Rpta.: +2

×

Piden: 5 × (–17) – 4 × (13) = –85 – 52 = –137

Rpta.: –137

Rpta.: –210

Piden: 6

5. Calcula el quíntuplo de –17, disminuido en el cuádruplo de 13. Solución:

(–5) = –30.

B = 27 + (–8) × (4) = 27 + (–32) = 27 – 32 = –5

8. Si A = –9 y B = –6; calcula el valor de “A + B”. 5 –7 Solución: A = –9 5 B = –6 –7

A = –45 B = 42

Piden: –45 + 42 = –3

Rpta.: –3 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 59. Matemática I

67


Para desarrollar en tu cuaderno

9. Calcula el valor de “A × B” si se sabe que: A=

–28 + (–32) 3 × 10

y

B=

–45 – (–70) . (–2) × (–3) – 1

Solución: A = –28 – 32 30

B = –45 + 70 6–1

A = –60 30

B = 25 5

A = –2

B=5

Piden: A

×

B = (–2)

×

(5) = –10

Rpta.: –10

12. Al aumentar en 9 unidades a los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en 243. Determina el mayor factor, si la diferencia de ellos es 8. Solución: Sean los números “a y b”, luego: a · b = P Por dato: (a + 9)(b + 9) = P + 243 ab + 9a + 9b + 81 = P + 243 P 9(a + b) = 162 a + b = 18…(I) (+) a – b = 8…(II) 2a = 26 a = 13 Luego, el mayor factor es 13

10. Luis tiene 36 canicas y su amigo Pedro tiene la cuarta parte de lo que tiene Luis, más 15 canicas. ¿Cuántas canicas tienen entre los dos? Solución:

Rpta.: 13 13. El cociente de una división entera es 13 y el residuo es 28. Determina la suma de todos los posibles valores del dividendo si es menor que 450. Solución: D d 28 13

Luis: 36 Pedro: (36 : 4) + 15 = 9 + 15 = 24 Piden: 36 + 24 = 60 Luego, ambos tienen 60 canicas Rpta.: Tienen 60 canicas 11. Marta compró 3 vestidos y 4 pares de zapatos, si cada vestido le costó S/. 240 y cada par de zapatos S/. 98, ¿cuánto dinero gastó en total? Solución:

D = 13d + 28 … (I) Por dato: D < 450 13d + 28 < 450 13d < 422 d < 32,4... Además: d > 28 d: 29; 30; 31; 32

Por los vestidos pagó: 3 × (240) = 720 Por los zapatos pagó: 4 × (98) = 392

Reemplazamos en (I) y se obtiene: D: 405; 418; 431; 444

Piden: 720 + 392 = 1 112

Piden: 405 + 418 + 431 + 444 = 1 698

En total pagó: S/. 1 112 Rpta.: Pagó en total S/. 1 112

Rpta.: 1 698

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 59.

68

Matemática I


Potenciación de números enteros La potenciación es una multiplicación abreviada, en donde se repiten los factores un número exacto de veces.

Para desarrollar en tu cuaderno

b. Potencia de un producto Se eleva a cada factor de la multiplicación indicada a dicho exponente. Es decir:

Forma general: an = a

×

a

×

a

×

×

a=b

“n” veces

donde: a: Base n: Exponente b: Potencia

(a

×

b)n = an

×

bn

Ejemplo:

[2 × (–3)]4 = 24 × (–3)4 = 16 × (+81) = +1 296

Ejemplos: •

26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 • (–3)3 = (–3)(–3)(–3) = –27 • (–5)3 = (–5)(–5)(–5) = –125

c. Potencia de potencia Está dada por la potencia de la misma base elevado al producto de los exponentes.

Ficha de refuerzo

Es decir: n

Ley de signos para la potenciación • (+)

par

• (+)

impar

= (+) = (+)

Potencia de exponente cero a ≠ 0; a0 = 1 Ejemplo:

• (–)

impar

= (+) = (–)

Potencia de exponente uno a1 = a Ejemplo:

2 = 1; 49 = 1 0

• (–)

par

0

51 = 5; 281 = 28

(am) = am×n ;

((–2)3) = (–2)3×4 = (–2)12 = 4 096

(32) = 32×3 = 36 = 729

3

d. Cociente de potencias de igual base El cociente de dos potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la diferencia de los exponentes.

Propiedades de la potenciación a. Producto de potencias de igual base El producto de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes. Es decir: am × an = am+n Ejemplo: ×

a≠0

(–3)8 = (–3)8–3 = (–3)5 = –243 (–3)3

18 = 1; 130 = 1

(–2)4

am = am–n ; an

Ejemplos:

Ejemplo:

PPT

4

1n = 1

a≠0

Ejemplos:

Es decir:

Potencia de uno

Ficha nivel cero

(–2)3 = (–2)4+3 = (–2)7 = –128

e. Potencia de un cociente Se eleva cada uno de los términos del cociente a dicho exponente. Es decir: a b

n

=

an ; bn

b≠0

Ejemplo: 2 3 23 8 = 3 = 5 5 125

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 62. Matemática I

69


Para desarrollar en tu cuaderno

f. Exponente negativo Todo número elevado a un exponente negativo será igual a la inversa del número elevado al mismo exponente, pero con signo positivo. I caso: 1 an

a ≠ 0, a–n = Ejemplo:

b. Raíz de un cociente La raíz enésima de un cociente de números enteros es igual al cociente de las raíces del dividendo y el divisor. Es decir: n a n a = n ; b ≠ 0, b b Ejemplos:

1 1 2 = 3 = 2 8

27 = 3 64 4 5 2 –32 5 (–32) = 5 =– 3 243 243

–3

II caso: a, b ≠ 0, Ejemplo:

3 4

a b –4

–n

=

b a

=

4 3

4

=

n

=

bn an

44 256 = 34 81

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Forma general: b=a

an = b

Donde: n: índice de la raíz b: radicando a: raíz

Ejemplo: 6 • 3 86 = (3 8) = 86/3 = 82 = 64 d. Raíz de raíz Se cumple:

mn p

3

3 4

64 =

2·3

64 = 6 64 = 2 48

n nk

a. Raíz de un producto La raíz enésima de una multiplicación indicada de números enteros, es igual al producto de las raíces de los factores.

20 = 48

3·4·2

4

ak = n a Ejemplo:

6

Ejemplo:

4

ank = ak

a

×

3

b= a

×

24

20 = 20 = 202 = 400 48

n

164 = 16 253 =

2×3

253 = 25 = 5

320 = 4 34×5 = 35 = 243

Si a > 0 y n es par, se cumple: –an ≠ (–a)n –24 ≠ (–2)4 –16 ≠ 16 Además:

p n

am ≠ 22 ≠

b

p

(((a) ) ) m

n

[((2)2)3]2

Importante Signos de la radicación

64 × 25 = 64 × 25 = 8 × 5 = 40

par

(–27) × 8 = 3 –27

impar

×

3

8

= (–3) × 2 = –6

(+) = (+) (+) = (+)

Matemática I

impar

par

(–) = (–) (–) no existe en

El signo que indica la radicación es el signo radical

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 62.

70

24

Nota

2 3

n

Ejemplos: •

20 = 48

Ejemplo:

an = a

Es decir: n

a

m·n·p

Además, también se cumple:

Propiedades de la radicación

a=

Ejemplos:

n

3

c. Raíz de una potencia m Se cumple: n m a = (n a )m = a n

Radicación de números enteros

n

3

27 = 64

3

.


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Efectúa cada una de las siguientes operaciones: a. (–5)8 : (–5)4

c. (27 × 29) : 25 35 32 d. (–3) × (–3) (–3)64

b. (–13)12 : (–13)10

Solución: a. (–5)8 : (–5)4 = (–5)4 = 625 b. (–13)12 : (–13)10 = (–13)2 = 169 7 9 5 c. (2 × 2 ) : 2 = 216 : 25 = 211 = 2 048 35 32 67 d. (–3) × 64(–3) = (–3)64 (–3) (–3) = (–3)3 = –27

=5 ×7 ×9 = 385 875 3

A=

1 3

2

10

211 × (221)

Solución: 22 · 3 · 4 · 5 × 2216 P= 2121 × 2210

3

A = 3 –1 · 3 –1 + 3 (–8)(8) + 5 –243 – 4 256 . Solución: A A A A

= = = =

(–1) × (–1) + 3 –64 + (–3) – (4) 3 1 + (–4) – 3 – 4 1–4–3–4 –10 3

Rpta.: –10 7. Reduce la expresión P = Solución:

1 4

–3

Solución: Por exponente negativo: A = 32 + 43 + 6 A = 9 + 64 + 6 A = 79 Rpta.: 79

+

1 6

–1

.

335 × 926 × 2715 . 8112 × 2436

Llevamos cada expresión a base 3. 26

+

3

6. Efectúa:

= 211 × 33 × 118

–2

6

Rpta.: 32

3. Efectúa: A = (–3)4 : 3 27 + (12)0 – (–5)(–6). Solución: A = 81: 3 + 1 – 30 = 9 : 3 + 1 – 30 = 3 + 1 – 30 = –26 Rpta.: –26 4. Efectúa:

5. Reduce P =

120 216 336 P = 2 ×3312 = 2331 = 25 = 32 2 2

2. Reduce cada una de las siguientes expresiones: 8 13 10 18 13 20 a. 5 × 7 × 9 b. 2 × 3 × 11 55 × 710 × 99 27 × 310 × 1112 Solución: 8 13 10 18 13 20 a. 5 × 7 × 9 b. 2 × 3 × 11 55 × 710 × 99 27 × 310 × 1112 3

4 5 2 3

(((2 ) ) ) × 2

15

335 × (32) × (33) P= 12 6 (34) × (35) P=

P=

335 × 352 × 345 348 × 330

335 + 52 + 45 3132 = 348 + 30 378

P = 354

Rpta.: 354 8. Calcula el valor de A = 2 3 Solución:

6

×

9 4

9

8 4. 27

×

Llevamos cada expresión a base “ 2 “. 3 9 4 2 6 3 2 2 3 A= × × 3 2 3 A=

2 3

6

A=

2 3

6

2 3

× ×

2 3

–1 18

–18

×

×

2 3

2 3 12

12

A=

2 3

0

=1

Rpta.: 1 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 62. Matemática I

71


* Obligaciones tributarias del empleador ¿Quién es el empleador y cuáles son sus obligaciones?

Para desarrollar en tu cuaderno

Es la persona natural o jurídica, empresa unipersonal, cooperativa de trabajadores, entidad del sector público o cualquier otro ente colectivo que remunera a cambio de un servicio prestado en condiciones de subordinado o que paga pensiones de cesantía, incapacidad o sobrevivencia.

¿Cuáles son las obligaciones del empleador relacionadas con la seguridad social?

• Registra

a sus trabajadores y pensionistas y a los derechohabientes que estos declaren.

Las obligaciones tributarias del empleador generadas por la relación laboral están referidas a las contribuciones de Essalud y la ONP.

1. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas: Situación 1

Una persona gana S/. 1800 mensuales, ¿qué monto aporta a la ONP?

Situación 2

Roberto gana S/. 2 500 cada mes, ¿cuánto dinero le descuentan como aporte a Essalud?

Situación 3

Marta observa en su boleta de pago del fin de mes que le descuentan S/. 180 como aporte a Essalud, ¿cuál es su sueldo mensual?

• Paga

los aportes a Essalud equivalentes al 9% de la remuneración mensual del trabajador.

• Retiene a los trabajadores el

aporte para el sistema nacional de pensiones correspondiente al 13% de su ingreso mensual. Alternativamente, el trabajador puede optar por afiliarse al sistema Privado de pensiones( más conocido como AFP)

„„ Pide a tu compañero (a) que te evalúe. Indicadores Aportamos ideas en el trabajo grupal. Respetamos las opiniones de nuestros compañeros. Cumplimos con la tarea asignada en el grupo. * Promueve el aprendizaje grupal.

72

Matemática I


Matemática I

73

B k

El número abcdefg es divisible por 3, si: (a + b + c + d + e + f + g) es múltiplo de 3.

×

×

×

×

×

×

El número abcdefgh es múltiplo de 11, si: S1 = h + f + d + b S2 = g + e + c + a donde (S1 – S2) es cero o un múltiplo de 11.

DIVISIBILIDAD POR 11

DIVISIBILIDAD POR 9 El número abcdefg es divisible por 9 si: (a + b + c + d + e + g) es múltiplo de 9.

Se efectúa: h + 3g + 2f – e + … + 3a = T “T” debe resultar cero o múliplo de 7.

… 3 1 –2 –3 –1 2 3 1

×

a b c d e f g h

El número abcdefgh es múltiplo de 7 si:

DIVISIBILIDAD POR 7

B es divisor de A.

/ Consul-

• http://www.librosvivos.net/smtc/hometc.asp?temaclave=1025

d. ¿En qué otras situaciones podría aplicar lo aprendido?

tado el 10 de junio de 2015

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/07/matematicas-07. html / Consultado el 10 de junio de 2015

WAGNER, Graciela y otros ( 2006). Principios Básicos de Aritmética. Colombia: ELIZCOM S.A.S., 145 p. • ALSON, Pedro (2003). Números enteros. Caracas : Colección cuadernos estructurados de matemática, 176p.

El número abcdefg es divisible por 6 si es múltiplo de 2 y múltiplo de 3 a la vez.

DIVISIBILIDAD POR 6

A=k·B

c. ¿Expliqué con mis palabras los conocimientos adquiridos?

b. ¿Qué estrategias utilicé para resolver mis dificultades?

a. ¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad?

A es múltiplo de B.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

El número abcdefg es divisible por: 51 si g = 0, o g = 5 52 si f = g = 0 o fg es múltiplo de 25. 53 si e = f = g = 0, o efg es múltiplo de 125.

DIVISIBILIDAD POR 5

DIVISIBILIDAD POR 3

DIVISIBILIDAD cociente exacto y entero. residuo cero.

A es divisible por B.

A 0

„„ Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

3

2 si e = f = g = 0 o efg es múltiplo de 8.

El número abcdefg es divisible por: 21 si g = 0 o g es par 22 si f = g = 0 o fg es múltiplo de 4.

DIVISIBILIDAD POR 2

Si:

„„ Analiza el siguiente organizador visual y repasa lo aprendido.


Reconocemos la importancia de la tecnología en la actualidad

Trabajamos 1. Describe lo que observas y establece una relación entre los trozos de naranja. 2. Compara las diferentes capacidades de los envases. 3. ¿Crees que es importante el avance tecnológico en nuestro país? ¿Por qué? 4. ¿En qué situaciones del entorno, observas la utilidad de los fracciones? Explica su importancia.

74

Matemática I


ad uid o d

C

Usa la ciencia y tecnología

e

en Apr di

ed el m io bie am nt

ental am

je fund za

Nuestros aprendizajes Las naranjas son frutas comestibles ricas en vitamina C y representan una de las más grandes fuentes de antioxidantes para el cuerpo humano. En la imagen se muestran trozos de naranja, los cuales representan una parte de toda ella. (fracciones)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

• Expresa las características de las fracciones. • Representa el orden de las fracciones en la • • •

recta numérica. Emplea procedimientos de simplificación de fracciones. Matematiza situaciones de contexto real utilizando las fracciones y sus propiedades. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas que combinen cuatro operaciones con fracciones.

Cuando vamos a un supermercado encontramos diferentes presentaciones de los envases de jugos; hay de medio litro, de un litro, de litro y medio, entre otros. (adición de fracciones)

Las plantas de procesamiento de jugos de frutas producen miles de frascos de diferentes capacidades, las cuales colocan en cajas para su traslado y posterior venta. (multiplicación y división de fracciones)

Ingresa a las siguientes páginas web para complementar la información del tema tratado. • http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/tema506.pdf • http://www.math.com.mx/docs/sec/sec_0006_Fracciones_Operaciones.pdf

Matemática I

75


Números racionales (fracciones) Para desarrollar en tu cuaderno

Importancia del consumo de frutas Las frutas forman parte de los alimentos con mayor cantidad de nutrientes y sustancias naturales altamente beneficiosas para la salud, Aportan una variedad y cantidad de vitaminas y minerales; principalmente vitamina C, la cual se encuentra presente de manera especial en los cítricos.

1. ¿Qué parte representa cada uno de los trozos respecto a toda la naranja? 2. Menciona algunas situaciones donde observes las fracciones. Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Número racional Se dice que un número es racional, si es un número de la forma a , a y b son números enteros, adeb más b ≠ 0. El conjunto de los números racionales se representa por la letra . Simbólicamente = {[(a, b)]/a  , b  ∧ b ≠ 0} Gráficamente

Representación de un número racional en la recta numérica Se representa dividiendo cada intervalo de números enteros en partes iguales. Cada una de estas subdivisiones representa a un número racional con denominador igual al número de partes de la subdivisión. –

–2

+

–1

0 –

1 3

1

2

1 1 4 2

Donde: + : Números racionales positivos – : Números racionales negativos Fracción Una fracción es cualquier par ordenado (a; b) de números enteros positivos escritos como una divi-

a , donde b ≠ 0. b Los términos de la fracción son: a numerador b denominador sión indicada de la forma:

Notación Para a  y b 

con b ≠ 0, consideremos: a [(a, b)] = b El denominador “b” representa el número de partes en que se divide la unidad, mientras que el numerador “a” representa el número de partes que se han tomado de la unidad. Ejemplo: Observemos la siguiente fracción: 3 4 Unidad 1 4

Matemática I

1 4

1 4

3 4

En este caso, el número 4, que es el denominador, nos indica que la unidad se ha dividido en 4 partes iguales; y el número 3, que es el numerador, nos indica que de las 4 partes se han tomado 3. Clases de fracciones I. Por la forma de sus términos a. Fracción propia

Una fracción es propia si el numerador es positivo y menor que el denominador (a < b).

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 76.

76

1 4


Para desarrollar en tu cuaderno

Toda fracción propia es menor que la unidad. Ejemplo 1:

Está formada por una parte entera y una fracción. Las fracciones impropias dan origen a las fracciones mixtas .

1 ; 4 ; 5 3 7 8

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: 1 3

1 3

3 1 ;11 ;6 2 4 5 5

2 <1 3

1 3

Ejemplo 3: x es una fracción propia, calcula 7 la suma de los valores positivos y enteros que puede tomar “x”. Si la fracción

Solución: Como es una fracción propia: entonces x < 7 Luego: x: 1; 2; 3; 4; 5; 6 Piden: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 b. Fracción impropia

Una fracción es impropia si el denominador es positivo y menor que el numerador (b < a). Toda fracción impropia es mayor que la unidad. Ejemplo 1:

1 3 1 3

4 con la unidad. 3 1 3

1 3 1 3

17 = 5 2 3 3

Ejemplos 3: 1 Convierte la fracción 7 a fracción. Para obte5 ner su fracción correspondiente, realizamos la siguiente operación: 7×5+1 1 (+) 7 = 5 (×) 5 = 36 5

a. Fracción reductible

Ejemplo 2: Compara la fracción

Ejemplo 2: Convierte la fracción 17 a fracción mixta. 3 Realizamos la división 17 3 2 5 Tomemos el cociente como la parte entera de la fracción mixta, el residuo como numerador de la parte fraccionaria

II. Por los divisores de sus términos.

5 ; 7 ; 11 4 3 5

1 3

c. Fracción mixta

3 + 1 = 4 3 3 3 4 >1 3

Ejemplo 3: 8 Si la fracción es impropia determina el máxia mo valor que puede tomar “a”.

Es aquella fracción cuyo numerador y denominador tienen divisores comunes diferentes de la unidad. Ejemplos: 6 25 12 , , 9 15 18 b. Fracción irreductible

Es aquella fracción cuyo único divisor común del numerador y denominador es la unidad. Ejemplos: 3 11 23 , , 4 16 30 III. Por grupos de fracciones

Solución Como la fracción es impropia, se cumple que a < 8, luego el máximo valor entero que puede tomar “a” es 7.

a. Fracciones homogéneas

Son aquellas fracciones cuyos denominadores son iguales.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 76. Matemática I

77


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo:

3 ; 7 ; 13 4 4 4 b. Fracciones heterogéneas Son aquellas fracciones cuyos denominadores son diferentes. Ejemplos: 1 ; 3 ; 9 5 7 13 a. Fracción decimal Es aquella fracción cuyo denominador es la unidad seguida de ceros, es decir es una potencia de 10. Ejemplos: 2 ; 517 ; 5 10 100 1000 b. Fracción ordinaria (también denominada común) Es aquella fracción en la que el denominador no es una potencia de 10. Ejemplos: 1 3 4 ; ; 5 7 5 Comparación de fracciones a. Si las fracciones tienen igual denominador Cuando las fracciones tienen igual denominador, es menor aquella que tiene menor numerador. Ejemplo: 3 7 a. b. 13 > 10 < 17 17 4 4 b. Si las fracciones tienen distintos denominadores Primero se transforman a fracciones equivalentes del mismo denominador positivo y luego se comparan sus numeradores. Es menor aquella que tiene menor numerador. Ejemplo: Compara las siguientes fracciones

2 3 y 3 4

Solución: 1° Determinamos el MCM (3; 4) = 12 2° Colocamos el MCM como denominador común:

8 9 < 12 12 2 3 < 3 4

Ejemplo 1: Determina la amplificación de la fracción 1 . 3 Solución: ×2

IV. Por su denominador

Luego

Amplificación de una fracción Es el proceso de transformación de una fracción cualquiera en otra equivalente, cuando se multiplica sus términos por un mismo número entero positivo.

×3

×4

1 = 2 = 3 = 4 = … 3 ×2 6 9 12 ×3 ×4

Ejemplo 2: Amplifica a cada una de las siguientes fracciones y da como respuesta el cuarto término amplificado. c. 3 a. 5 b. 7 6 4 11 Solución: Para amplificar, multiplicamos por el mismo número a cada uno de los términos de la fracción; una forma de amplificar es la siguiente: a. 5 = 10 = 15 = 20 = 25 = … 6 12 18 24 30 b.

6 3 9 12 15 = = = = =… 8 4 12 16 20

c.

7 = 14 = 21 = 28 = 35 = … 11 22 33 44 55

Simplificación de una fracción Es el proceso de transformación de una fracción cualquiera en otra equivalente, cuando se dividen el numerador y el denominador por un mismo número entero. Ejemplos: Simplifica las siguientes fracciones:

a. 15 = 15 : 3 = 5 18 18 : 3 6 b.

20 = 20 : 10 = 2 50 50 : 10 5

Fracciones equivalentes Una fracción es equivalente a todas aquellas fracciones que se obtienen por amplificación o por simplificación de la fracción dada.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 76.

78

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplos:

a.

2 4 6 8 10 = = = = 5 10 15 20 25 ×2

×3 ×4

b.

En este caso la fracción irreductible es 2 y es el repre3 sentante canónico de la clase de equivalencia.

×5

40 20 10 8 = = = 60 30 15 12 :2

:4 :5

Se concluye que: 2 ; 4 ; 6 ; 8 y 10 son equivalentes 25 5 10 15 20 40 20 10 8 ; ; y son equivalentes 60 30 15 12 También se dice que dos fracciones cualesquiera son equivalentes si los productos cruzados de sus términos son iguales, es decir:

a c Si = b d

a×d=b×c

Ejemplos: 1. 3 = 9 5 15 2. 2 = 16 3 24

Homogenización de fracciones heterogéneas Es el proceso por el cual convertimos a dos o más fracciones heterogéneas en homogéneas. Para ello se determina el MCM de los denominadores, luego se multiplica el numerador y el denominador por el resultado de la división del MCM entre el denominador de cada fracción. Ejemplo: Homogeniza las siguientes fracciones: 2 3 4 ; y . 5 12 6 Solución: MCM(5; 12; 6) = 60 ×12

x=4

Clase de equivalencia La clase de equivalencia de una fracción irreductible es el conjunto cuyos elementos son todas las fracciones equivalentes a dicha fracción . Ejemplos: a. La clase de equivalencia de 3 es: 4 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; … 4 8 12 16 20 3 A la fracción irreductible se le llama repre4 sentante canónico de la clase de equivalencia. b. La clase de equivalencia de 2 es: 3 2 4 6 8 10 ; ; ; ; ;… 3 6 9 12 15

×10

24 3 15 4 40 Luego: 2 = 60 ; 12 = ; = 60 6 60 5 ×12

3 × 15 = 5 × 9 45 45 2 × 24 = 16 × 3 48 48 x 20 3. Calcula el valor de “x” en: = . 10 50 Solución: Por fracciones equivalentes se cumple: x · 50 = 10 · 20

×5

×5

×10

Las fracciones homogenizadas son

24 15 40 ; y . 60 60 60

Ejemplos:

a 3 es equivalente a , además b 8 a + b = 132, calcula el valor de “b”. Solución: Por ser fracciones equivalentes se cumple que: a 3 = a = 3k, b = 8k b 8 Luego: 3k + 8k = 132 11k = 132 k = 12 Piden: b = 8(12) b = 96

1. Si la fracción

2. ¿Cuántas fracciones propias tienen denominador 18 y son mayores que 1/2? Solución: a La fracción propia es: , a < 17 18 Del dato: a > 1 a>9 18 2 a: 10, 11, 12, …, 17 Luego hay 8 fracciones.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 76. Matemática I

79


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Representa en la recta numérica los números fraccionarios que se indican.

– 4 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 3 3 3 3 3

a.

Solución: • Trazamos la recta numérica. • Dividimos las unidades en 3 porque así lo indica el denominador. –2

–1 4 – 3

0

1 1 2 3 3

2 4 3

3 8 3

2. Determina la fracción que representa a la parte coloreada de cada gráfico. a.

4. ¿Cuál de las siguientes gráficas fracción 3 ? ¿Por qué? 4

b.

b.

3. Representa gráficamente las fracciones. a. 2 1 3

b. 4 12

Solución: a. 2 1 3 b. 4 12 e. 5 3

c. 5 3

a. La fracción que representa es 3 . 8 b. No se puede representar mediante una fracción porque las partes no son iguales. 3 c. La fracción que representa es , ya que 4 están pintadas 3 partes de las 4 partes del gráfico. Rpta.: C 5. Roberto rinde un examen de 20 preguntas. Él respondió correctamente 12 preguntas. Expresa mediante una fracción el número de respuestas correctas e incorrectas, si resolvió todo el examen. Solución: 20 preguntas Respuestas correctas 12

Luego: fracción será: Respuestas correctas: 12 20

Respuestas incorrectas: 12

8

Matemática I

Respuestas incorrectas 8

8 20

; Rpta.: 20 20 6. Compara las siguientes fracciones y coloca >, < o = donde corresponda.

7 8 a. 9 b. 2 1 5 5 4 3 Solución: a. Por ser homogéneas, se comparan los numeradores (9 > 7), luego: 9 7 > 5 5 b. Homogenizamos los denominadores: 9 8 21 < 8 3 4 3 × 4 3 ×4 3 27 4 < 32 12 12

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág.76.

80

c.

Solución:

Solución: a. La fracción que representa a la parte coloreada es 3 . 6 b. La fracción que representa a la parte coloreada es 2 . 8

representa la


Para desarrollar en tu cuaderno

7. Identifica cuáles de las siguientes fracciones son propias, impropias, decimal y mixta. 1 5 3 4 9 1 11 ; ; 2 ; ; ; 3 ; 4 3 7 5 10 2 2 Solución: • F. Propias: 1 ; 4 ; 9 4 5 10 • F. impropias: 5 ; 11 3 2 • F. decimal: 9 10 • F. mixta: 2 3 ; 3 1 7 2 8. Homogeniza las siguientes fracciones: 4 5 1 . ; ; 3 2 5 Solución: Calculamos el MCM de los denominadores. MCM (3; 2; 5) = 30, luego: ×

10

• 4 = 40 30 3 ×

10

×

15

×

6

• 1 = 6 30 5 ×

6

• 5 = 75 30 2 ×

15

9. El siguiente grupo de fracciones son homogéneas, calcula el valor de “x + y”. 5 8 10 ; ; 12 2x – 6 16 – y Solución: Como las fracciones son homogéneas, se cumple 2x – 6 = 12 16 – y = 12 2x = 18 4=y x=9

Rpta.: 13

11. Si las fracciones 3 y a + 3 son homogéneas, 5 a–3 calcula la suma de los términos de la segunda fracción. Solución: Por ser homogéneas 3 , a + 3 los denomina5 a–3 dores son iguales, luego se cumple: a–3=5 a=8 En la segunda fracción tenemos: a + 3 = 8 + 3 = 11 a–3 8–3 5 Piden: 11 + 5 = 16 Rpta.: 16 12. Si la fracción mixta 23 2 es equivalente a la frac7 ción 5a + 13 , calcula el valor de “a × b”. b+2

40 ; 75 ; 6 30 Rpta.: 30 30

Piden: x + y = 9 + 4 = 13

10. Determina la suma de los términos de la fracción irreductible luego de simplificar la fracción 120 . 150 Solución: Simplificamos los divisores comunes. 120 = 12 4 = 4 15 5 5 150 4 La fracción irreductibles es . 5 Piden: 4 + 5 = 9 Rpta.: 9

Solución: Por dato: 23 2 = 5a + 13 7 b+2 23 × 7 + 2 = 5a + 13 7 b+2 Luego: 5a + 13 = 163 a = 30 b + 2 = 7 b=5 Piden: a × b = 30 × 5 = 150 Rpta.: 150

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 76. Matemática I

81


Para desarrollar en tu cuaderno

13. Determina la fracción equivalente a 3 de modo 7 que la diferencia de sus términos sea igual a 20. Solución: Sea la fracción equivalente 3k . 7k Por dato: 7k – 3k = 20 k=5 Piden: 3(5) = 15 7(5) 35

16. ¿Cuál es la fracción que resulta cuadriplicada si se agrega el valor del denominador a sus dos términos? Solución: Sea la fracción: a b Por dato: a + b = 4 a b+b b

a + b = 4a 2b b

15 35

Rpta.:

a + b = 8a b = 7a 1 a = 7 b

14. Determina la fracción equivalente a 3 en la que el producto de sus términos es 972. 4 Solución: Sea la fracción equivalente 3k . 4k Por dato: 3k · 4k = 972 12k2 = 972 k2 = 81 k =9 Piden: 3k = 3(9) = 27 4k 4(9) 36

27 36

Rpta.:

Rpta.:

17. Si a la fracción irreductible “f” se le resta su inversa, se obtiene 32/63. Calcula la suma de los términos de dicha fracción. Solución: Sea la fracción: f = a b Del dato: a – b = 32 b a 63

15. En una fiesta hay 60 mujeres y 80 varones. ¿Qué parte de las personas reunidas son varones?

a2 – b2 = 32 ab 63

Solución: Total de personas en las fiesta. 60 + 80 = 140 Varones: 80 4

Varones Piden: = 80 = 4 Total de personas 140 7 7

a2 – b2 = 92 – 72 ab 9 7 Luego: a = 9 , b = 7 f= 9 7 Piden: a + b = 9 + 7

Son varones 4 del total. 7 Rpta.:

La fracción es 1 . 7

a + b = 16

Rpta.: La suma de los términos es 16

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 76.

82

Matemática I


Adición y sustracción con fracciones Para desarrollar en tu cuaderno

Los alimentos y la tecnología Una de las ramas más importantes de la tecnología moderna es la tecnología de alimentos, en la actualidad hay una gran demanda por los jugos de frutas, ya que estos son agradables, nutritivos, saludables y relativamente baratos. Dentro de sus presentaciones hay envases de 350 ml, medio litro, 1 litro, 1 litro y medio, entre otros.

3l 1l

1. Representa con una fracción mixta la expresión litro y medio.

1/2l

2. Si compro cada una de las presentaciones de jugo de naranja que se muestran en la imagen, ¿cuántos litros de jugo tendré? Expresa dicho volumen como fracción.

1/4l

Ficha nivel cero

b. Adición de fracciones heterogéneas

Adición de fracciones a. Adición de fracciones homogéneas Para sumar 2 o más fracciones que tienen el mismo denominador se conserva el denominador y se adicionan los numeradores, es decir:

a + c = a+c b b b

Se homogenizan las fracciones y se operan como en el caso anterior. Ejemplo 1: Efectúa 2 + 1 . 3 4 Solución:

×

4

×

3

3 + 5 = 8 =1 8 8 8

2 + 5 + 1 = 2+5+1 = 8 13 13 13 13 13

3º Resolvemos como en el caso anterior.

7 + 3 = 10 = 5 6 6 6 3

6 + 1 + 5 = 6 + 1 + 5 = 12 13 13 13 13 13

8 + 3 = 8 + 3 = 11 12 12 12 12 Ejemplo 2:

2 8 1 3 = ; = 3 12 4 12

• Calcula la suma de las siguientes fracciones representadas gráficamente.

3 9

+

=

2 9

PPT

1º El MCM de los denominadores. MCM(3; 4) = 12 2º Llevamos el denominador de cada fracción a 12.

Ejemplos:

+

Ficha de refuerzo

=

5 9

×

4

×

3

Efectúa 3 + 5 + 2 . 4 2 5 Solución: Calculamos el MCM de los denominadores: MCM (4; 2; 5) = 20

3 + 5 + 2 = (20 : 4) · 3 + (20 : 2) · 5 + (20 : 5) · 2 4 2 5 20 = 15 + 50 + 8 20 = 73 20

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 81. Matemática I

83


Para desarrollar en tu cuaderno

c. Adición de fracciones mixtas Utilizamos para adicionar fracciones mixtas cualesquiera de los 2 siguientes métodos: 1° Podemos adicionar por separado la parte entera de la parte fraccionaria. 2° Transformamos las fracciones mixtas a fracciones impropias, donde cada numerador es igual al producto de la parte entera por el denominador más el numerador de esta, y donde el denominador es el mismo. Luego se procede como en el caso anterior.

Ejemplo 1: Calcula el resultado de 2 3 + 5 1 . 4 4 Solución: 1ra forma: Sumamos por separados la parte entera de las fracciones: 3 3 1 1 4 2 +5 =7+ + =7+ =8 4 4 4 4 4 2da forma: Transformamos a fracciones impropias. 3 2 = (2 × 4) + 3 = 8 + 3 = 11 4 4 4 4 (5 × 4) + 1 20 + 1 21 51 = = = 4 4 4 4 Luego: 11 + 21 = 32 = 8 4 4 4 Ejemplo 2: Calcula el resultado de 2 2 + 4 1 + 1 2 . 3 2 5 Solución: Convertimos a fracciones impropias. 2 2 + 4 1 + 12 3 2 5 8 9 7 + + 3 2 5

(10 × 8 + 15 × 9 + 6 × 7) 8 + 9 + 7 = 3 2 5 30 80 + 135 + 42 30 17

= 8 30

Calcula el resultado de 2 1 + 3 1 – 2 1 . 4 5 6 Solución: Adicionamos por separado:

(2 + 3 – 2) +

15 10 12 + – 60 60 60

=

257 30

Matemática I

17 17 =3 60 60

a. Clausura La suma de dos números racionales es siempre otro número racional. Simbólicamente:

∀ a ; c  b d

a + c  b d

Ejemplo:

1  4

y 2  5 1 + 2 = 5 + 8 = 13  4 5 20 20

b. Commutativa El orden de los sumandos, no altera la suma. Es decir:

a c c a + = + b d d b Ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5 = 19 6 4 4 6 12 c. Asociativa La forma como se agrupan los sumandos, no altera la suma . Es decir:

a + c + e = a + c + e b d f b d f

2 + 1 + 3 = 2 + 1 + 3 3 2 5 3 2 5 7 + 3 = 2 + 11 6 5 3 10 53 = 53 30 30

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 81.

84

=3+

Propiedades de la adición de fracciones

Ejemplo:

MCM (3; 2; 5) = 30

=

Ejemplo 3:


Para desarrollar en tu cuaderno

d. Elemento neutro La suma de cero con cualquier número fraccionario es siempre el mismo número fraccionario. Es decir: a +0 = a b b Ejemplo: – 3 +0=– 3 5 5 e. Inverso aditivo El inverso aditivo de una fracción es el opuesto de dicha fracción. La suma de una fracción con su inverso aditivo siempre es igual a cero. Es decir: a +–a =0 b b Ejemplo: 3 + –3 =0 5 5

Sustracción de fracciones

a La diferencia de 2 fracciones y c llamadas mib d nuendo y sustraendo se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a – c = a + – c b d b d Minuendo

Diferencia

Sustraendo

Ejemplo 1: Efectúa 7 – 3 4 5 Solución: 7 + – 3 = 35 + (–12) = 23 = 1 3 4 5 20 20 20 Ejemplo 2: Efectúa – 1 + – 1 – 1 . 2 5 3 Solución: Al igual que con los números enteros, podemos eliminar algunos signos con las expresiones de adición y sustracción.

–1 + –1 – 1 =– 1 – 1 – 1 2 5 3 2 5 3 = –15 – 6 – 10 = –31 = –1 1 30 30 30

Operaciones combinadas de adición y sustracción Para resolver estas operaciones debemos tener en cuenta los signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves). Ejemplo: Efectúa:

1 – 2

4 – 1– 1– 1 3 6 2 3

.

Solución: Para resolver este ejercicio debemos considerar que la prioridad de las operaciones los tienen los paréntesis y estos se resuelven de adentro hacia afuera. 1 – 4 – 1 – 3–2 2 3 6 6

= 1 – 2

4 – 1– 1 3 6 6

= 1 – 2

4 –0 3

= 1 – 4 = 3–8 =– 5 2 3 6 6 Problemas de adición y sustracción 1. Si un estudiante emplea la tercera parte del día para estudiar y la cuarta parte del día para otras tareas, ¿qué parte del día le queda para descansar? Solución: De acuerdo a los datos tenemos: Un tercio del día para estudiar: 1 3 Cuarta parte para otras tareas:

1 4

Tiempo total: 1 día = 1 unidad

1 + 1 = 4+3 = 7 3 4 12 12 Luego; le queda para descansar: 1 – 7 = 12 – 7 = 5 12 12 12

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85


Para desarrollar en tu cuaderno

2. La suma de dos números es 11 y su diferencia 12 es 5 . Determina los números. 12 Solución: Si los números son “a” y “b”, del enunciado tenemos: (I): a + b = 11 Reemplazamos en (I): 12 + 8 + b = 11 (II): a – b = 5 12 12 12 b = 11 – 8 2a = 16 12 12 12 b= 3

a= 8 12

12

3. Pepe pintó los 3 de una pared de su casa y 5 su hija Yessenia pintó los 2 de la misma pa10 red. ¿Qué porción de la pared pintaron entre los dos? ¿Qué porción de pared falta pintar? Solución: Adicionamos las partes pintadas: 8 3 2 6+2 4 + = = = 5 10 10 5 10 5 Se sabe que toda la pared es: 1 = 5 5 4 1 Luego: – = 5 5 5 ∴ Pintaron 4 de la pared y les falta pintar 1 5 5 de la pared.

La edad del padre es 42 años. La edad de Franco es: 3 (42) = 18 años 7 2 3 1 1 2 1 5. Si A = + – y B= + – , 3 5 2 4 5 8 calcula el valor de “A + B”. Solución: 1 2 3 A = + – 2 3 5 20 + 18 – 15 A = 30 23 A = 30 1 2 1 B = + – 4 5 8 B = 10 + 16 – 5 40 21 B = 40

la edad de Franco y cuál la de su padre? Solución: Del enunciado: La edad del padre: x La edad de Franco: 3 x 7 3 x+ x = 60 7 7x + 3x = 420 10x = 420 x = 42

Solución: M = 7 + 13 – 1 + 5 – 3 3 4 8 6 2 M = 56 + 78 – 3 + 20 – 36 24 115 M= 24

Matemática I

3 1 1 + para ser igual a 2 ? 4 2 3

Solución: Si lo que le falta es ”x”, entonces:

1 + 1+x=2 3 2 3 4 5 + x = 11 6 4 x = 11 – 5 6 4 33 – 10 x= 12 x = 23 12

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 81.

86

A + B = 23 + 21 40 30 92 + 63 = 120 155 = 120 = 31 24

6. Reduce: M=2 1 +3 1 – 1 + 5 –1 1 3 4 8 6 2

7. ¿Cuánto le falta a 4. La edad de Franco es 3 de la edad de su padre. 7 Si las edades de los dos suman 60 años, ¿cuál es

Piden:


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Efectúa:

5. Calcula:

2 1 +5 2 +4 1 . 3 3 3

Solución: 1ra forma: 2da forma: Convertimos a Adicionamos por fracciones: separado: 7 + 17 + 13 1 2 11 + 1 + + 3 3 3 3 3 3 37 1 = = 12 4 1 3 3 = 11 + = 12 3 3 12 1 3 Rpta.: 2. Calcula:

P= 3 + 2 +11. 4 5 2

Solución: Convertimos a fracciones: P = 15 + 8 + 30 P= 3 + 2 + 3 20 4 5 2 P = 53 P = 2 13 MCM (4; 5; 2) = 20 20 20 13 2 Rpta.: 20 3. Calcula:

2+ 1 – 7 + 3 . 3 15 5

Solución: Hallamos MCM (3; 15; 5) = 15

30 + 5 – 7 + 9 = 37 = 2 7 15 15 15 Rpta.: 4. Efectúa:

2

7 15 6 2 – 1 – 2 . 5 10 3

Solución: Transformamos a fracción y operamos los signos: 192 – 3 – 20 32 – 1 – 2 = 169 3 10 30 5 30 MCM (5; 10; 3) = 30 = 5 19 30 5 19 Rpta.: 30

2+

3 3 2 7 – + + . 5 8 9 8

Solución: Operamos y tenemos que:

2 + 3 – 27 + 16 5 72 2 + 3 – 43 + 7 5 72 8

+ 7 8

2 + 216 – 215 + 315 360 79

2 + 316 = 2 + 79 = 2 79 360 90 90 90 2 79 Rpta.: 90 6. Efectúa:

1 + 3 Solución: 1 + 3

4 –2 9

4 – 18 9

– 51 – 5 +1 . 3 9 – 16 – 14 3 9

1 + –14 – 16 – 14 3 9 3 9 1 – 14 – 16 + 14 3 9 3 9 –15 = –5 3 Rpta.: –5 7. Efectúa: A= 2 +31 –2 1 + 1 . 5 4 5 8 Solución:

A = 2 + 13 – 11 + 1 5 4 5 8 A = 16 + 130 – 88 + 5 40 A = 63 = 1 23 40 40 1 23 Rpta.: 40

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 81. Matemática I

87


Para desarrollar en tu cuaderno

8. Efectúa: 1 – 2 + 2 5 Solución:

1 – 2 + 2 5

1 – 1 – 1 – 1 7 8 4 5 8–7 – 56

5–4 20

+ 1 2 + 1 2

1 – 2 + 1 – 1 + 1 2 5 56 20 2 1 – 2 + 2 5

5 – 14 280

+ 1 2

1 – 2 + –9 + 1 2 5 280 2 1 – 2 + 9 – 1 = –112 + 9 2 5 280 280 2 = –103 = – 103 280 280 103 – Rpta.: 280 9. ¿Cuánto le falta a la suma de igual a la unidad? Solución: 1 + 2 = 3+8 4 3 12 11 = 12 12 11 11 Piden: 1 – = – = 12 12 12 Le falta 1 . 12 Rpta.:

1 y 2 para ser 4 3

1 12

10. Un obrero puede hacer un trabajo en 8 días y otro, que es menos hábil, puede hacerlo en 18 días. ¿Qué fracción del trabajo harán juntos en un día? Solución: Obrero A: 8 días En un día: 1 8 Obrero B: 18 días En un día: 1 18 Luego, si trabajan juntos en un día realizarán: 1 + 1 = 9+4 18 72 8 13 = 72 13 En un día harán los 72 del trabajo. Rpta.:

1 3 11. María compró 2 kg de carne, 5 kg de 2 4 1 papa, 3 kg de verdura. ¿Cuántos kilogramos 2 compró en total María? Solución: 1 3 1 2 +5 +3 2 4 2 5 23 7 = + + 2 4 2 10 + 23 + 14 3 47 = = = 11 4 4 4 3 Compró en total 11 kg. 4 Rpta.: 2 12. Un recipiente sin agua pesa 2 kg y lleno con 7 1 agua pesa 16 kg. ¿Cuál es el peso del agua 4 contenida en el recipiente? Solución: Sea “x” el peso del agua, luego: 2 1 2 + x = 16 7 4 16 65 +x= 7 4 65 16 x= – 4 7 391 27 x= x = 13 28 28 27 El peso del agua es 13 kg. 28 Rpta.: 13. Un padre regala a su hijo mayor S/. 900 y al menor, los 2 del total. ¿Cuánto recibe el hijo menor? 5 Solución: 2x Total de dinero: x 900 = x – 5 2 Hijo menor: x 3x 900 = 5 5 Hijo mayor: S/. 900 4 500 = 3x Luego: 1 500 = x 2x 900 + =x 5 ∴ El hijo menor recibe: 2 (1 500) = 600 5 Rpta.: El hijo menor recibe S/. 600.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 81.

88

Matemática I


Multiplicación y división con fracciones Para desarrollar en tu cuaderno

Repartimos nuestros productos Para distribuir los frascos de jugo de naranja a los establecimientos de venta, estos deben colocarse en cajas para evitar que se deterioren al transportarlos. Dependiendo del tamaño del envase, se utilizarán diferentes tipos de caja.

1. En una caja se colocan 20 frascos de jugo de medio litro, ¿Cuántos litros de jugo hay en total en dicha caja? 2. Una caja está llena de frascos de jugo de litro y medio, ¿Cuántos frascos hay en la caja si en total hay 12 litros de jugo? Ficha nivel cero

Multiplicación de fracciones Para multiplicar dos o más fracciones se multiplican los numeradores y denominadores entre sí. Es decir:

a c e × × = b d f

a×c×e b×d×f

a. Multiplicación de un número entero por una fracción Se multiplica el número entero por el numerador de la fracción y se coloca el producto sobre el denominador de la fracción . Ejemplo 1: Efectúa: 4 × 5 . 7 Solución: 4 5 = 4×5 4× 5 = × 1 7 1×7 7 20 = 4×5 = 7 7

Ejemplo 1: Efectúa 4 × 7 . 7 5 Solución: 4 7 4×7 4 × = = 7 5 7×5 5 Ejemplo 2: Efectúa 5 × 4 × 36 . 8 9 15 Solución: 1

1

2 4

2 1

1

3

Ejemplo:

Efectúa: 2 1 × 3 1 . 5 2

Debemos reemplazar la palabra “de” por el símbolo de multiplicación.

(–80) =

PPT

c. Multiplicación de fracciones mixtas Se transforman las fracciones mixtas a fracciones, luego, se procede como en el caso anterior.

Solución:

×

Se multiplican los numeradores y denominadores respectivos de las fracciones y luego se simplifica.

Ficha de refuerzo

5 × 4 × 36 = 5 × 4 × 36 = 2 8 9 15 8 × 9 × 15 3

Ejemplo 2: Calcula 3 de –80. 5

3 5

b. Multiplicación de 2 o más fracciones

3 × (–80) –240 = = –48 5 5

Solución: Convertimos a fracciones, luego: 11 7 11 × 7 77 7 × = = =7 5 2 5×2 10 10

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 86. Matemática I

89


Para desarrollar en tu cuaderno

Propiedades de la multiplicación de fracciones a. Clausura El producto de dos números racionales es siempre otro número racional. Simbólicamente:

∀ a ; c b d

a × c  b d

Ejemplo: 3  y 7  5 4 3 × 7 = 21  5 4 20 b. Conmutativa El orden de los factores no altera el producto. Es decir:

a × c = c × a b d d b Ejemplo: 2 × 3 = 3 × 2 = 6 5 7 7 5 35 c. Asociativa La forma como se agrupa los factores no altera el producto. Es decir:

a × b Ejemplo: 3 × 2 × 1 4 5 2

c × e d f

= a × c × e b d f

2 + 1 = 3 × 2 + 3 × 1 5 2 4 5 4 2 3

=

10

e. Elemento neutro El producto de una fracción por la unidad es igual a la misma fracción. Es decir: a ×1= a b b Ejemplo:

–2 1 –2 × 1 –2 =–2 × = = 1 5 5×1 5 5 f. Inverso multiplicativo Para toda fracción diferente de cero, existe una fracción inversa, tal que al multiplicar ambas, se obtiene como resultado la unidad. Si a es la fracción entonb ces la inversa es b . a Es decir:

a × b =1 b a

Ejemplo: 7 × 5 = 7 × 5 = 35 = 1 5 7 5×7 35

= 3 × 2 × 1 4 5 2

c +e = a × c + a × e d f b d b f

La división es la operación inversa de la multiplicación. Para dividir un número racional por otro distinto de cero, se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Es decir:

a : c = a × d = b d b c

Matemática I

a×d b×c

Ejemplo 1:

Efectúa: –2 : 7 5 8 Solución: –2 : 7 = –2 × 8 = –16 = – 16 5 8 5 7 35 35

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 86.

90

6 + 3 = 27 20 8 40

División de fracciones

3 × 1 = 36 × 1 4 5 20 21 3 = 3 20 20 d. Distributiva El producto de una fracción por la suma de otras fracciones es igual a la suma de los productos de dicha fracción por cada sumando. Es decir: a × b

Ejemplo: 3 × 4


Para desarrollar en tu cuaderno

Producto de extremos entre productos de medios También:

a : c = b d

= a×d b×c

13 : 13 = 13 × 4 = 4 5 4 5 13 5 2. Efectúa 1 2 : –2 3. 3 5 Solución: Convertimos a fracciones y operamos: 5 3 25 5 : – 13 = 5×5 = = – 25 3 5 39 –13 × 3 –39 – 13 5 Operaciones combinadas Para la resolución de las operaciones combinadas se opera siguiendo el orden de resolución que se utilizaba para los números enteros; es decir, primero las multiplicaciones y divisiones, luego las adiciones y sustracción Ejemplo:

1. Efectúa 4 – 3 : 2 × 3 . 5 5 5 8 Solución: 1

4 – 3 × 5 × 3 = 4 – 3 × 3 = 4 – 9 5 5 2 8 5 2 8 5 16 1 19 64 – 45 = = 80 80 3 + 1 2 . 2. Efectúa: 8 3 5 –3 4 Solución: 7 8 11 4

21+ 3 – 2 5 5 3

: 3 4 . 20

Solución:

a b c d

Ejemplos: 1. Efectúa: 2 3 : 3 1 5 4 Solución: Convertimos a fracciones y operamos:

3+4 8 = 23 –3 4

3. Efectúa

1

= 7×4 = 7 8 × 11 22 2

11 + 3 – 2 5 5 3

: 64 = 20

1

4

3

2

42 – 10 15

: 64 20

= 32 × 20 = 4 = 2 15 64 6 3 Problemas de multiplicación y división 1. ¿Por qué fracción hay que dividir a 15 para ob2 tener 3 ? 5 Solución: Sea la fracción “x”, luego: 15 2 15 = 17 =3 5 x 5 x 17 17x = 75 x= 75 La fracción es 17 75 2. Al dividir la edad de una persona por 1 , el resul5 tado es 35 años. ¿Cuál es la edad de la persona? Solución: Si “x” es la edad de la persona, se cumple que: x : 1 = 35 5 x · 5 = 35 x=7 1 Luego, la persona tiene 7 años. 3. A una reunión asistieron 180 personas, de los cua2 2 les 3 fueron niños y los 5 del resto de asistentes fueron niñas. ¿Cuántas personas adultas había en la reunión? Solución: 2 Niños: (180) = 120 3 Niñas: 2 (180 – 120) = 2 (60) = 24 5 5 Adultos: 180 – 144 = 36

Luego, había 36 personas adultas

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 86. Matemática I

91


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Indica el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones. a.

a c a×d × = b d b×c a

c

a×c

a

c

a×b

b. b : d = b × d c. b : d = c × d

Solución: a. a × c = a × c b d b×d

Falso

b. a : c = a × d = a × d b×c b d b c

Falso

c. a : c = a × d = a × d b×c b d b c

Falso

Rpta.: F, F, F 2. En las siguientes divisiones indica cuál de ellas es incorrecta: a. 3 : 2 = 3 × 3 4 3 4×2

3 5 b. 1 8

Solución: Convertimos a fracción:

= 5×8 3×1

9

13 × 36 = 13 × 9 = 117 4 5 1 5 5 1

c. 7 : 5 = 7 × 10 10 7 5×7 Solución:

Rpta.:

a. 3 : 2 = 3 × 3 4 3 4 2

3 5 b. 1 8

3. La suma de 2 números es 41 y su diferencia es 1 . Calcula el producto de 20 dichos números. 20 Solución: Si “a” y “b” son los números, luego: a + b = 41 …(I) 20 (+) a–b= 1 …(II) 20 2a = 42 20 a = 21 20 20 En (I): 21 + b = 41 b= =1 20 20 20 21 21 Nos piden: a · b = ×1= 20 20 21 Rpta.: 20 4. Efectúa 3 1 × 7 1 . 4 5

= 3 × 8 5×1

Incorrecto

c. 7 : 5 = 7 × 7 = 7 × 7 10 7 10 5 10 × 5 ∴ b y c son incorrectos.

Rpta.: b y c

Correcto

Incorrecto

23

5. Efectúa 2 3 8

= 23 2 5

2 5 ×

Matemática I

×

5 1. 3

Solución: Convertimos a fracción y simplificamos: 3

1 2

7

1

19 × 9 × 16 8 14 3 1

19 × 3 × 1 = 57 = 8 1 7 1×7×1 7 1 8 Rpta.: 7

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 86.

92

9 14


Para desarrollar en tu cuaderno

6. Efectúa – 5 : 1 . 7 2 Solución: – 5 : 1 = – 5 × 2 = – 10 = –1 3 7 7 2 7 1 7 3 –1 7 Rpta.: 7. Efectúa 4 – 3 : 4 3 7 7 Solución:

4 – 3 : 3 7 4 – 3 × 7 3 4 –1= 3 1 Rpta.: 3

4 × 7 7 × 4 1 3

×

4 3

.

4 3 4 3

4– 1 3

: 77 20

77 : 20 1

11 × 20 = 20 3 77 21 7

20 Rpta.: 21 9. Efectúa Solución:

2 5 3 4

5 × 93 10 × 3

1

3 4 5 7

=

5 12 50 21

4

10

11. Calcula el resultado de la siguiente expresión: 2 + 4 – 2 3 5 15 . 4 – 1 + 3 9 3 5 Solución: MCM(3; 5; 15) = 15 , MCM(9; 3; 5) = 45, luego:

10 + 12 – 2 15 = 20 – 15 + 27 45

20 15 32 45

5

3

1

8

= 20 × 45 15 × 32

17 Rpta.: 8

1+

Aplicamos productos de extremos entre productos de medios: 2 5 = 2×4 = 8 5×3 3 15 4 8 15 Rpta.:

7

= 7 40

12. Simplifica la expresión

.

1

5 × 21 12 × 50

=

7 Rpta.: 40

8. Efectúa 3 1 + 4 – 1 : 3 17 . 5 5 3 20 Soluci��n: Convertimos a fracciones:

16 4 1 + – 5 5 3

5 : 4 9 3 10. Efectúa . 3 1 × 5 3 7 Solución: Convertimos a fracción impropia y simplificamos:

1 2

= 15 8 =1 7 8

.

1+ 2 3

Solución: Efectuamos de abajo hacia arriba: 1 1 1 = = 6 2 2 1+ 1+ 1+ 5 5 1+ 2 3 3

= 5 Rpta.: 11

1 11 5

= 5 11

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 86. Matemática I

93


Para desarrollar en tu cuaderno

13. Un caño llena un tanque en 6 horas y un desagüe lo vacía en 7 horas. ¿En qué tiempo se llenará el tanque si el caño y el desagüe funcionan al mismo tiempo? Solución:

El caño llena en 1h: 1 6 El desagüe vacía en 1h: 1 7 Juntos llenan en 1h: 1 – 1 = 1 6 7 42 Luego: 1 42

En 1 h h

1

1 x= x = 42 h 1 42 Rpta.: El tanque se llenará en 42 horas. 14. Se tiene 2 grifos y un desagüe. El primero llena un tanque en 3 horas y el segundo, en 4 horas. ¿Qué tiempo tardaría el desagüe en dejar vacío el tanque, si al abrirse simultáneamente los 3 grifos, tardan 1 hora 36 minutos en llenar los 2 3 del tanque? Solución: Los grifos llenan los 2 del tanque en 3 1 h 36 min = 96 min. Se deduce que el volumen 1 48' 3 total se llena en: 1

3 96' 1 3

144 min < > 12 h 5

Luego en 1 hora: 1 1 1 5 + – = 3 4 x 12 1 = 1 + 1 – 5 12 3 4 x 1 = 2 x 12

x=6

Rpta.: Tardaría 6 horas.

15. Roberto compra 3 limones por 2 soles y vende a 4 por 3 soles. ¿Cuántos limones debe vender para ganar 150 soles? Solución: 1 limón cuesta: 2 soles 3 3 1 limón se vende: soles 4 3 2 1 En 1 limón gana: – = soles. 4 3 12

Para ganar 150 soles debe vender: 150 = 1 800 limones 1 12 Rpta.: Debe vender 1 800 limones. 16. ¿Por qué fracción queda multiplicado 10 cuando se 11 le resta 4 unidades a cada uno de sus términos? Solución: Sea la fracción: a b Del enunciado: a · 10 = 10 – 4 b 11 11 – 4 3 10a = 6 a = 6 × 11 7 11b b 10 × 7 5

a = 33 b 35 33 La fracción es . 35 Rpta.: 17. Recibo los 2 de la mitad de la quinta parte de 3 S/. 720, lo cual representa 1 de la tercera parte 2 de lo que tenía inicialmente. ¿Cuánto tenía inicialmente? Solución: Calculamos lo recibido: 2 1 1 × × × 720 = 48 3 2 5 Sea “x” lo que tenía al inicio; luego: 1 1 48 = · ·x 2 3 x = S/. 288 Rpta.: Inicialmente tenía S/. 288.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 86.

94

Matemática I


Potenciación y radicación con fracciones Para desarrollar en tu cuaderno

Una alimentación saludable Luis todas las mañanas después de realizar su rutina en el gimnasio, toma jugo de frutas. Para ello va al supermercado y observa que el costo (C) en nuevos soles, de "x" envases de jugo de naranja está expresado por la relación C = (3/2)x.

1. Determina la expresión que representa el costo de 4 envases de jugo. 2. Si hoy lleva 3 días que sale al gimnasio y bebe un envase de jugo diariamente, ¿cuánto dinero gastó a la fecha? Ficha nivel cero

Potenciación de fracciones

La potencia de una fracción se obtiene al multiplicar un número entero positivo de veces dicha fracción por sí mismo, es decir: n

a b

= a × a × a × a ×…× a =P b b b b b

b. Producto de potencias de igual base

a b

“n” : exponente a : base , b ≠ 0

–2 3 · –2 3 3

b

a b

Ejemplos:

1 4

3

= 1× 1× 1 = 1 4 4 4 64 5

• – 2 3

=

2 3

También:

n

a b

2 3

2 3

2 3

2 = – 32 243 3

n = an b

–2

2

5 4

=

4 5

=

2 5

b a

= 16 25

a b

=

m+n PPT

3+4

= –2 3

7

= –2 3

= – 128 2 187

m

:

Ejemplo: –3 7 : –3 3 = 5 5

n

a b –3 5

a b

=

7–3

m–n

= –3 5

4

= 81 625

d. Potencia de exponente cero

a b

– {0} ;

0

=1

Ejemplos: 3

23 8 = 3 = 5 125

Propiedades de la potenciación a. Potencia de exponente negativo

a b Ejemplos:

4

∀ a b

Ejemplos: 16 4 2 42 • = 2 = 9 3 3

–n

n

a b

c. Cociente de potencias de igual base

P : potencia

×

Ejemplo:

n factores

Donde:

m

Ficha de refuerzo

n

= bn a

n

3 7

0

0 • –3 = 1 4

=1

• –2 3 4

0

=1

e. Potencia de potencia a b

; a,b ≠ 0

m n

=

a b

m·n

Ejemplo:

–2 3

–3

3 = –2

3

27 =– 8

–2 5

2 3

6 = –2 = 64 5 15 625

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 91. Matemática I

95


Para desarrollar en tu cuaderno

f. Potencia de un producto m

a × c b d

m

a b

=

×

m

c d

2

7 3

=

2

5 2

×

2

3

27 = 216

= 49 × 25 = 1225 9 4 36

m

=

a b

m

c d

m

3

4 5

=

3

:

1 3

3

= 64 : 1 125 27

= 64 × 27 = 1728 125 1 125 Recuerda Ley de signos para la potenciación: (–)par = (+)

(–)impar = (–)

(+)par = (+)

(+)impar = (+)

Donde: a : Radicando (b ≠ 0) b n : índice(número natural donde n  2) x : Raíz : Operador radical 3

8 =2 27 3 También:

porque 2 = 8 27 3 n

a = b

n n

a b

3

–9 × 2

3= 4

3

Matemática I

–9 × 3 = 2 4

3

4

–27 =– 3 8 2

3

Podemos observar en este ultimo ejemplo que también se puede aplicar la propiedad en forma inversa. b. Raíz de una división n

a : c = b d

a : b

n

c d

n

Ejemplo: 4

1 : 625 = 16 256

4

1 : 16

4

625 256

= 1 : 5 = 4 = 2 2 4 10 5 c. Raíz de raíz

a = b

mn p

m·n·p

a b

Ejemplo:

16 = 81

16 = 4 16 = 2 81 81 3

2×2

d. Raíz de una potencia n

a b

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 91.

96

3

2

Ejemplos:

100 = 100 = 10 = 5 64 64 8 4

c d

n

1

Ejemplo: 3

a × b

4 · × 81 = 4 × 81 = 2 × 9 = 3 36 64 36 64 6 8 8

Radicación de fracciones La raíz enésima de una fracción es un número que elevado al exponente “n”, resulta la fracción inicial, es decir: n a =x xn = a b b

n

Ejemplos:

Ejemplo:

4 : 1 5 3

a· × c = b d

n

:

27 = 3 = 1 216 6 2

a. Raíz de un producto

g. Potencia de un cociente

a c : b d

3

Propiedades de la radicación

Ejemplo:

7 × 5 3 2

3

m

=

n

a b

m


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplos:

9 16

3

Solución: 3

=

9 16

–216 2 = 125

3

3

3

= 3 4

–216 125

2

= 27 64

2 = –6 = 36 5 25

e. Exponente fraccionario n

a b

m

m n

• •

3 5

3

16 25

Recuerda

3 2

=

= =

Ley de signos para la ra-

2 3

3 5

16 25

3

16 3 = 4 25 5

3

par

(+) = (+)

par

(–) = ∃ en

impar

(+) = (+)

impar

(–) = (–)

= 64 125

27 + 15 + –2 125 7 3

2

×

–5 . 4

Solución: Resolvemos las raíces y potencias:

3 + 9

3. Efectúa

3 15 4 –5 + + × 5 7 9 4

3 2 + + 9 3

3 + 15 – 5 5 7 9 MCM (5; 7; 9) = 315, luego: 189 + 675 – 175 = 689 315 315 8 : 1+ 216 6

2 5

3

27 8

9 3 + 9 2

1 +

3 3 5 1 =1+ = =2 2 2 2 2

4. Calcula el valor de “M”, si:

1 2

M=

3

576 + 729 24 + 5 144 8

5 3

2

.

Solución:

1 24 25 – + 8 27 9 1 + 5 6 8

M=

3

3 3 . 8

3

MCM(8; 27; 9) = 216, MCM(6; 8) = 24, luego:

1

2. Efectúa

4 + 9

Solución:

1

1

5

3+6 + 3 9 2

Ejemplos: 3

1

2

dicación:

Operaciones combinadas Para resolver operaciones combinadas debemos recordar lo siguiente: Primero se resuelven los signos de colección , luego se resuelven las operaciones según su jerarquía. Primero las raíces y potencias, luego multiplicaciones y divisiones, y al final las adiciones y sustracciones .

1. Efectúa

1

2 × 6 + 4 × 5 6 1 25 2

2 + 2 = 10 + 2 = 12 = 2 2 5 5 5 1 5

Ejemplos: 2

2 : 1 + 4 : 2 6 6 25 5

1

a b

=

Resolvemos las raíces y potencias:

2

M=

27 – 192 + 600 216 4 + 15 24 145

:

3

8 . 125

435 M = 216 19 24

1

435 × 24 M= = 145 = 2 31 216 × 19 57 57 93

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, 3 pág. 91. Matemática I

97


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Expresa como una sola potencia las siguientes operaciones: a. –4 5

3

–2 7

2

b.

3

·

2 7

· 3

c. 2 4

7

–4 5 4

4 11

·

7 2

· –5

4

3

:

–2 7

· –4 5 –3

4 11

:

–4

–6

3

–4 5

–4 5

3

–4 5

–4 5

36

c.

2

2 7

9

11 4

11 3

33

: – 4 5 24

4

:

2 7

4

·

11 4

5

11 4

8

11 4

8

11 4

8

= 11 4

–8

= 4 11

8

12

Aplicamos la propiedad:

a b

2 1

2

3 4

·

.

1

3 1

–n

n = b , luego:

a

1

P=4· 3 –3 4 P=3–3=0

36–12

Rpta.: 0

24

2. Efectúa: 3

2 7

:

a.

4

a.

:

11 4 · 121 4 16

:

11 4

4

:

11 4

4

11 4

16

:

6

b.

6

·

112 42

·

11 4

2 6

11 4

8–16

=

–8 27

b.

Matemática I

4

16 625

Solución:

5

= 2 7

3

3 –8 –8 = 3 27 27

3

4

Rpta.:

=

4

2 2 ; 3 5

4. Efectúa: 3 2

a.

4 3

b.

6 11

c.

1 × 4 × 1 9 25 36

42

:

4 3

· 6 11

–2 2 = – 3 3

16 = 2 625 5

4

16 = 625

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 91.

98

–1

12

= –4 5

2 7

·

12

: –4 5

: –4 5

4 5

=

· 2 7

3

1 3

P = (2)2 · 3 – 3 4

a. – 4 5

2 7

P=

Resolvemos:

b.

–1

Solución:

Solución:

= –4 5

4 3

·

4

16 121

·

–2

1 2

P=

12

–4 5

:

3. Calcula:

5 4

32

1 2


Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: a. 4 3

6

6 11

b.

4 3

·

16

20

4 3

= 9

1

1 2

1 81 × 25

26

4 3

Rpta.:

6

9

1 81 × 25 = 1 = 1 9×5 45 =

10 12

–216 125

= –216 125

4 3

120

=

=

–216 125

3

4

120

= – 216 125

–343 64

120 90

4 = –6 = 1 296 5 625

1 3

–343 + 64

Rpta.:

1 2

3 2

=

=

=

5 8× 6 5 12

2

8 × 5 × 12 = 8 × 2 = 16 = 4 6×5 1

Rpta.: 4

1

2

– 7 + 16 4 4 9 4

.

9. Efectúa: 1 2

+ 256 16

1 2

256 16

1 2

1 2

128 7 2 8 27 3 – 27

.

Solución: Por propiedad del exponente fraccionario: 3

3+2 6 3+2 12

1 296 Rpta.: 625

6. Efectúa:

= (1)2 = 1

Solución: Operamos:

.

–216 125

90

=

2

1 + 1 1 2 3 × 1 1 + 1 8 4 6

Solución: Aplicamos la propiedad raíz de raíz: 3×5×6

1 2 1 2

8. Efectúa:

6 ; 1 11 45

–216 125

2

1 64 1 2

5. Efectúa: 3 5 6

.

Rpta.: 1

7

;

2

1 × 1 × 1 2 4 8 1 1– 2

Solución:

1 2

1 × 4 × 1 9 25 36

c.

6

7

6 = 6 11 11

:

7. Efectúa:

26

:

3

–216 . 125

Solución: Por exponente fraccionario: 2 7 128 : –6 5 2 (3 27) – 3 8 27 4

9 = 3 4 2

1 3

2

1

5 = 4 × 5 = 12 × 5 = – 2 × 25 –6 –6 25 –6 5 9– 2 1 5 3 3 2 – 5 Rpta.: Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 91. Matemática I

99


Somos emprendedores* Vendemos mazamorra morada para recaudar fondos 2. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas: Situación 1

Si deciden preparar la mazamorra morada y venden 50 porciones cada semana, ¿En cuánto tiempo obtendrán una ganancia de S/. 360? Esta semana necesitamos recaudar fondos para nuestro paseo de confraternidad.

Como está empezando a hacer frío, creo que la venta de mazamorra sería una buena opción.

Responde oralmente

Situación 2

Si deciden mandar a preparar la mazamorra morada y venden 50 porciones cada semana. ¿En cuánto tiempo obtendrán una ganancia de S/. 360?

¿Qué observas en la imagen?

Problema ¿Qué proyecto puede generar ingresos mensuales? Alternativa solución Se proponen las siguientes actividades: • Venta de mazamorra morada. • Venta de gaseosas o refrescos.

Situación 3

¿Cuánto tiempo ahorran en conseguir la ganancia de S/. 360 en situación 1 respecto a la situación 2?

„„ Forma grupos de trabajo y desarrolla.

Responde oralmente: 1. ¿Qué insumos tiene el producto elegido?

Análisis de posibilidades:

2. ¿Cuál sería el precio más adecuado para el pro-

1. Elige la venta de mazamorra morada. Si las compran hechas. Precio de costo de cada porción: S/. 1,20 Precio de venta: S/. 2,00 Ganancia por cada porción: S/. 0,80 Ventaja: Listo para vender a los consumidores.

Si las elaboran. Compra de insumos: Maíz morado Manzana Azúcar Otros Precio de costo de cada porción: S/. 0,80 Precio de venta: S/. 2,00 Ganancia por cada porción: S/. 1,20 Ventaja: Se obtiene mayor ganacia pues el precio de costo es menor.

ducto? Evalúa 1. ¿Se puede mejorar el producto? 2. ¿De qué otra forma se podría vender?

„„ Pide a tu compañero (a) que te evalúe. Indicadores Aportamos ideas en el trabajo grupal. Respetamos las opiniones de nuestros compañeros. Cumplimos con la tarea asignada en el grupo.

* Promueve el aprendizaje en equipo. 100

Matemática I


Matemática I

101

Se divide por un mismo número a los términos de la fracción. La fracción a es irreb ductible si 1 es el único divisor común de a y b. Ejemplos: 1 ; 3 ; 7 2 5 11

POR SIMPLIFICACIÓN

Se multiplica por un mismo número a los términos de la fracción.

POR AMPLIFICACIÓN

a×d=b×c

Si a y c son equib d valentes, entonces se cumple que:

FRACCIONES EQUIVALENTES

a. b. c. d.

b

d

b

d

Si a × d < b × c a < c

b

Si a × d = b × c a = c

d

c d

si a × d > b × c a > c

a b

donde b y d ≠ 0, se cumple que: a×d b×c

Si se tiene a y c b d

COMPARACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad? ¿Qué estrategias utilicé para resolver mis dificultades? ¿Expliqué con mis palabras los conocimientos adquiridos? ¿En qué otras situaciones podría aplicar lo aprendido?

„„ Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

Número mixto: q r b Entonces: q r = b×q+r b b

DE MIXTO A FRACCIÓN

a =q r b b q: Parte entera r : Parte fraccionaria b

residuo

Dado a ; a > b b Dividendo: a b divisor r q cociente

DE FRACCIÓN A MIXTO

TRANSFORMACIÓN

a ;b ;b≠0 a FRACCIÓN b a: Numerador b: Denominador

FRACCIONES

„„ Analiza el siguiente organizador visual y repasa lo aprendido.

se consigue por

ADICIÓN

n

0

m

=

=1

=p

a b

n×m

n

a = an b bn

n p: potencia

MULTIPLICACIÓN

n

n

n

n n

a b a × c = b d

a = b

b

p= a

n

a × b

a b

n

n

RADICACIÓN

c d

=P

a : c = a × d ; c≠0 b d b c o también: a b P. extremos a×d = b×c c P. de medios d

DIVISIÓN

a × c = a×c b d b×d a × c = c × a b d d b

• http://www. escolar.com/matem/08fracc.htm /consultado el 10 de junio de 2015 • http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fracciones-mixtas.html/consultado el 10 de junio de 2015

• ALMAGUER, Guadalupe (2002). Matemáticas 1. México: Editorial Limusa, 200 p • PALMER, Claude (1979). Matemáticas prácticas. Barcelona: Reverte, 644 p

a b

1 b

a b

n

POTENCIACIÓN

a – c = a–c b b b a – c = a + –c b d b d

SUSTRACCIÓN

a + c + d = a+c+d b b b b a + c = a×d+b×c b d b×d Donde: b y d ≠ 0

OPERACIONES EN

= {[(a,b)] / a  , b  , b ≠ 0}

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES:


Utilizamos racionalmente los recursos

Trabajamos 1. Describe lo que observas y menciona qué porcentaje del agua del planeta es agua dulce. 2. Señala algunos números decimales que puedas observar. 3. ¿Crees que es importante el consumo racional de los recursos? ¿Por qué? 4. ¿En qué situaciones del entorno observas la utilidad de los números decimales? Explica su importancia.

102

Matemática I


Convive

en Apr di

ia dem nc

rática oc

ental am

je fund za

Usa la ciencia y tecnología

Nuestros aprendizajes En muchas situaciones de nuestro entorno observamos la presencia de los números racionales, por ejemplo cuando vamos a pagar el monto por consumo de agua, cuando vamos de compras al supermercado, entre otros. (Números racionales)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

• Representa • • •

el orden de los números decimales en la recta numérica. Compara numeros decimales. Interpreta el significado de los números decimales en diversas situaciones y contextos. Emplea estrategias heurísticas para resolver problemas que combinen cuatro operaciones con números decimales.

El agua es la fuente de la vida y en este planeta solo el 2,8 % del agua es dulce y de consumo humano, y el resto no lo es. El 0,01 % de esta agua dulce se encuentra en lagos y ríos. ¡NO LA MALGASTES! (Adición y sustracción con decimales)

Reducir el consumo de energía eléctrica en el hogar depende mucho de cuánto tiempo usemos ciertos artefactos, Por eso es importante saber nuestro consumo diario por el uso de cada artefacto y así saber cuánto pagaremos al finalizar el mes. (Multiplicación y división con decimales)

Averiguamos Ingresa a las siguientes páginas web para complementar la información del tema tratado. • http://es.wikipedia.org/wiki/Uso_racional_del_agua • http://www.ditutor.com/numeros_decimales/numeros_decimales.html

Matemática I

103


Números racionales (decimales) Para desarrollar en tu cuaderno

Los decimales en nuestro entorno Los números decimales podemos observarlos en diferentes situaciones de nuestro entorno, por ejemplo cuando pagamos un recibo por cierto tipo de consumo, al pagar el pasaje en un bus cuando nos desplazamos, en las marcas de un termómetro al medir la temperatura, entre otros.

1. Menciona algunas situaciones de tu entorno donde observes la presencia de los números decimales. 2. ¿Cuáles son las partes de un numero decimal? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Webquest

Números racionales Como estudiamos en la unidad anterior, son aquellos números que tienen la forma a donde a  , b  , b b ≠ 0 y todos sus equivalentes. • Los números racionales están formados por los racionales negativos, el cero y los racionales positivos. • Todo número natural, así como todo entero también es considerado como número racional. Fracción y número decimal • Fracción decimal Es el número racional representado por una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. En la figura: Se lee: “Un décimo”

3.

7 se lee: “Siete diez milésimos” 10 000

4. La fracción 3 puede expresarse como fracción 5 decimal amplificada por 2: 3 × 2 = 6 = se lee: “seis décimos” 5 × 2 10 2 , la expresamos como fracción 25 decimal amplificada por 4 : 2 × 4 = 8 = se lee: “ocho centésimos” 25 × 4 100

5. La fracción

6. El número fraccionario – 1 puede expresarse 4 como fracción decimal amplificada por 25: 1 × 25 – = – 25 4 × 25 100 Se lee “menos veinticinco centésimos” Nota • Cualquier fracción común, cuyo denominador sea divisor de una potencia de 10, puede expresarse como fracción decimal.

1 10

Ejemplo:

Ejemplos: 1. 1 se lee: “Un centésimo” 100 2.

3 se lee: “Tres milésimos” 1 000

3 5

Matemática I

2 = 6 2 10

• La fracción común puede ser convertida en fracción decimal solo si los factores primos del denominador son potencias de 2 y/o 5. Ejemplo:

7 = 7 20 22 × 5

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 108.

104

×

×

5 = 35 5 100


Para desarrollar en tu cuaderno

• Número decimal 45 10 000 = 0,0045 215 22

Números decimales en la recta Los números decimales tienen su representación ordenada en la recta numérica . El número 3,7 está entre 3 y 4

Decimal finito

= 9,77272… Decimal infinito

3

Es la expresión decimal que resulta de dividir los términos de una fracción decimal u ordinaria y que representa al mismo número. Ejemplos:

Décimos

Centésimos

Milésimos

Diezmilésimos

4

,

0

0

0

7

c. 1,00692

1

,

0

0

6

9

d. 0,321

0

,

3

2

1

5

,

0

0

0

e. 35,0002

3

Millonésimos

Coma decimal

b. 4,0007

Cienmilésimos

Unidades

6

Decenas

,

Centenas

2

Expresiones decimales a. 2,6

2

2

Se leen: a. Dos enteros, seis décimos b. Cuatro enteros, siete diezmilésimos c. Un entero, seiscientos noventa y dos cienmilésimos d. Trescientos veintiún milésimos e. Treinta y cinco unidades, dos diezmilésimos 2. Expresa la fracción 2 como número decimal. 5 Solución: Convertimos 20 5 20 0,4 --

Rpta.: 0,4

2 = 0,4 5

4

El número 3,76 está entre 3,7 y 3,8 3,7

3,76

3,8

El número 3,762 está entre 3,76 y 3,77 3,76

1.

3,7

3,762

3,77

Aproximación decimal Los números decimales se pueden aproximar de dos maneras. a. Por redondeo Ubicamos la cifra de orden que se quiere aproximar, y si la cifra previa es menor que 5, se omiten todas las cifras de orden inferior al orden dado. Si esta es mayor o igual a 5, se adiciona 1 a la cifra anterior y se omite todas las cifras inferiores al orden dado. Ejemplo: Redondea los siguientes números decimales: a. 2,372 al décimo 2,4 b. 26,888… al centésimo 26,89 b. Por truncamiento Se omiten todas la cifras del orden inferior al orden dado. Ejemplo: Trunca los siguientes números decimales: a. 2,372 al décimo 2,3 b. 26,888 … al centésimo 26,88 Comparación de números decimales Para comparar números decimales debemos tener en cuenta lo siguiente: a. Los números positivos son siempre mayores que 0 y mayores que los negativos y que estos son siempre menores que 0. b. Si dos números tienen el mismo signo, se iguala el número de cifras decimales, si faltan completamos con ceros y luego los comparamos como si fueran números enteros.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 108. Matemática I

105


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo 1: Ordena de mayor a menor los números 2,16; 2,1 y 2,235. Solución: Completamos con ceros hasta que tengan igual número de cifras decimales que 2, 235. 2,160 y 2,100 Luego ordenamos: 2,235 > 2,160 > 2,100; finalmente: 2,235 > 2,16 > 2,1 Ejemplo 2: Ordena de menor a mayor los números 1,628; 1,63 y 1,6. Solución: Completamos con ceros: 1,630 y 1,600 Luego ordenamos: 1,600 < 1,628 < 1,630 Finalmente: 1,6 < 1,628 < 1,63 Ejemplo 3: Escribe el signo >, < o = según corresponda: –2,65 < +2,67 3,163 > 3,16 0,280 =

0,28

–1,245 <

–0,245

Generatriz de un número decimal Es la fracción irreductible que originó el número decimal. Esta generatriz dependerá del tipo de número decimal que se presente, es decir, si es exacto, periódico puro o periódico mixto . a. Decimal exacto Se dice del número que tiene un número finito de cifras decimales . Ejemplos: 0,5 ; 1,26 ; 2,4 ; 2,375 Generatriz del decimal exacto Para obtener la fracción generatriz de este decimal se coloca en el numerador el número sin la coma decimal, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número. Luego, se simplifica la fracción obtenida. 0,5 = 5 = 1 ; 1,26 = 126 = 63 100 50 2 10 Ejemplo: Calcula el valor de la siguiente expresión: M = 0,5 + 0,2 – 5 4

Solución: 0,5 = 5 10 0,2 = 2 , 10 Luego reemplazamos: 2 7 M= 5 + – 5 = – 5 10 10 10 4 4 M = 28 – 50 = – 22 = – 11 20 40 40 40 b. Decimal periódico puro Es aquel que tiene infinitas cifras decimales, y cuyo periodo, que puede ser de una o más cifras, se repite a partir de la coma. Ejemplos: 0,222… = 0,2 ; 2,666… = 2,6 Generatriz del decimal periódico puro Para obtener la fracción generatriz de este decimal se coloca en el numerador, el número sin la coma menos la parte entera y en el denominador tantos nueves como cifras tiene el período. Luego se simplifica la fracción. Ejemplos: 26 – 2 0,2 = 2 ; 2,6 = = 24 = 8 9 9 3 9 c. Decimal periódico mixto Es aquel que tiene infinitas cifras decimales y cuyo período se repite a partir de cierta cifra decimal. Ejemplos: 0,1333… = 0,13 ; 1,12444… = 1,124 Generatriz del decimal periódico mixto Para obtener la fracción generatriz de este decimal se coloca en el numerador el número sin la coma menos el número que resulta de omitir las cifras del período, y en el denominador, tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica, luego se simplifica la fracción obtenida. Ejemplos: 1 124 – 112 1 012 253 1,124 = = = 900 900 225 Atención Para componer o leer números decimales infinitos debes convertirlos a fracciones generatriz.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 108.

106

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

3 expresada como fracción decimal 4 se escribe como… Solución: Por amplificación:

1. La fracción

Construimos la tabla y completamos: Aproximamos a…

3. Ordena de menor a mayor los siguientes números: –0,2 ; 1 ; 3 ; –0,6 y 0,4. 5 5 Solución: Convertimos las fracciones a decimales: 1 = 0,2 3 = 0,6 5 5 Luego ordenamos: – 0,6 < – 0,2 < 0,2 < 0,4 < 0,6 – 0,6 < – 0,2 < 1 < 0,4 < 3 5 5 Rpta.: 4. Ordena de menor a mayor las siguientes expresiones: a = 0,7 ; b = 0,07 ; c = 0,70 y d = 0,007 Solución: Completamos la cantidad de cifras decimales a = 0,700 ; b = 0,070 ; c = 0,700 ; d = 0,007 d<b<a=c

Milésimo

5,2

5,24

5,240

5,2400

–0,168

–0,2

–0,17

–0,168

–0,1680

Diez milésimo

Centésimo

5,24

Décimo

5 2. Expresa la fracción como número decimal. 11 Solución: Efectuamos 50 11 Luego: 44 0,4545… 5 = 0,4545… - 60 11 55 5 = 0,45 - 50 11 44 - 60 55 -5 Rpta.: 0,45

Rpta.: d < b < a = c

Solución:

Número

75 Rpta.: 100

3 × 25 = 75 4 25 100

5. Construye una tabla con las aproximaciones al décimo, centésimo, milésimo y diezmilésimo de los siguientes números: 5,24 –0,168 124,445 567,65785

124,445

124,4 124,45 124,445 124,4450

567,65785

567,7 567,66 567,658 567,6579

2 6. ¿A cuánto equivalen los de 12,96? 3 Solución: Determinamos la fracción generatriz del número decimal: 12,96 = 1 296 = 648 = 324 100 50 25 108

2 × 324 = 216 = 8,64 25 3 25 1

Rpta.: 8,64 7. ¿Qué número dividido por 0,036 da como cociente 0,45? Solución: De: D d D=d·q+r r q D=

D = 0,036 × 0,45 + 0 36 1 620 × 45 = = 0,0162 1 000 100 000 100

Rpta.: 0,0162 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 108. Matemática I

107


Para desarrollar en tu cuaderno

8. Calcula el valor de la siguiente expresión: 0,4 × 0,0012 . P= 0,0024 Solución: Expresamos las fracciones en su fracción generatriz y operamos. 4 × 12 48 P = 10 10 000 = 100 000 24 24 10 000 10 000 P=

48 × 10 000 100 000 24

P= 2 10

7 12

5 – 2 × 6 12 × 6 10 100 10 A= = 25 10 45 × 10 + 2 1 +2 100 9 2

7 2 2 18 12 = = = = 0,666… = 0,6 3 18 7 3 12

3

Solución: Determinamos la fracción generatriz 0,2 = 2 = 1 ; 0,2 = 2 10 5 9 Reemplazamos: 1 –1 :2 = 3 – 5 : 2 9 5 3 9 15 15 =–2 : 2 =– 2 ×9 =– 3 5 15 9 15 2 Rpta.:

– 3

5

12. Calcula el valor de “m2 + m + 2”, si m = 0,2. Solución: 1 m = 0,2 = 2 = , luego: 10 5 1 2 1 m2 + m + 2 = + +2 5 5 1 + 5 + 50 1 1 = + +2= 25 25 5 = 56 × 4 = 224 = 2,24 25 4 100 Rpta.: 2,24 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 108.

108

Matemática I

7 12

0,2 – 1 : 0,2 .

Convertimos los decimales a su fracción generatriz y operamos:

Rpta.: 0,1152

7 12

11. Determina el valor de la siguiente expresión:

9. Efectúa la siguiente operación: (0,5 – 0,02) × 0,6 A= . 0,45 : 0,9 + 2 Solución:

72 = 0,1152 625

3 5 1 1 – 0,5 + 5 1 – 1 + 5 + – 2 9 9 9 2 3 9 = 3 =

Rpta.: 0,6

Rpta.: 0,2

A=

Efectuamos:

8 – 1 = 9 2 7 12

P = 0,2

A = 36 × 2 125 5

10. Reduce la siguiente expresión: 1 – 0,5 + 5 3 9 . 7 12 Solución:


Para desarrollar en tu cuaderno

13. Divide 36,86 entre 0,2 y da como respuesta la fracción irreductible que resulta. Solución: Convertimos a fracción generatriz. 1

1 843

36,86 = 3 686 = 1 843 ; 0,2 = 2 = 1 100 50 5 10 50 5

3 686 : 2 = 1 843 × 5 = 1 843 100 10 50 10 1 843 Rpta.: 10 14. ¿Cuál es la fracción propia que sumada a su inversa da por resultado 2,083 si sus términos son dos números consecutivos? Solución: 25

75 375

2,083 = 2 083 – 208 = 1 875 900 900 180 36 12

F. Propia: a , a < b b

a + b = 25 b a 12

16. Calcula la suma de las cifras de la parte periódica de 1 . 185

Solución: Efectuamos:

1000 185 925 0,00540540… 750 740 1000 925 750

1 = 0,00540 185 Piden 4 + 5 + 0 = 9 Rpta.: 9

a +b = 25 b·a 12 2

2

32 + 42 25 = 4·3 12

17. Efectúa la siguiente expresión: (0,1232323…)(3,666…) . 6,777…

a = 3; b = 4

3 Rpta.: 4

Solución: Efectuamos:

15. Calcula el valor de “y” en la siguiente expresión: y = (0,2)2 + (0,03)2 – (0,5)2 Solución: Llevamos a su fracción generatriz, y reemplazamos en la expresión: 2

2

y= 2 + 3 – 10 100 4 9 y= + – 100 10 000 y = 400 + 9 – 2 500 10 000 y = – 2 091

10 000

Rpta.: –0,2091

2

5 10 25 100

61

0,123 = 123 – 1 = 122 = 61 495 990 990 495

3,6 =

36 – 3 33 11 67 – 6 61 = = ; 6,7 = = 9 9 3 9 9 1

1

1

61 × 11 × 9 = 1 495 × 3 × 61 15 45 5

1

y = –0,2091 1 Rpta.: 15 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 108. Matemática I

109


Adición y sustracción de decimales Para desarrollar en tu cuaderno

El agua, un derecho fundamental El agua es indispensable para toda la humanidad, así como para todos los seres vivos que habitan el planeta, por ello es importante cuidarla y no desperdiciarla. Una familia pagó el mes pasado S/. 25,40 por consumo del servicio de agua y este mes debe pagar S/. 64,60.

1. ¿Cuál fue el incremento en el recibo de agua de dicha familia? 2. ¿Cuánto dinero pagó en total por el consumo de agua en esos 2 meses? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Adición y sustracción

4. ¿Cuánto le falta a 0,438 para ser igual a 2?

Para sumar o restar números decimales ordenamos los sumandos en columna haciendo corresponder el orden, tanto de la parte entera como de la parte decimal . En ambas operaciones completamos con ceros cuando sea necesario. Ejemplos: 1. Efectúa: 0,236 + 1,32 + 43,002 + 17,6. Solución: Ordenamos en columna y completamos con ceros. 0,236 + 1,320 43,002 17,6 00 62,158

Solución: Calculamos la diferencia entre 2 y 0,438, para ello ordenamos en columna y completamos con ceros. 2,000 – 0,438 1,562

2. Efectúa: 25,76 – 17,8. Solución: Ordenamos en columna y completamos con ceros. 25,76 – 17,80 7,96 3. Resta 18,762 de 36,45. Solución: Ordenamos en columna y completamos con ceros. 36,450 – 18,762 17,688

5. Efectúa:

4,137 + 26,4 – 0,365.

Solución: Adicionamos los dos primeros términos, luego restamos: 4,137 + 30,537 – 26,400 0,365 30,537 30,172 importante Para la sustracción: • M–S=D

Matemática I

M = minuendo S = sustraendo D = diferencia

• Además cuando se escribe

a: sustraendo

“Resta a de b“ entonces:

b: minuendo

• y “de x resta y” entonces:

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 113.

110

donde:

x: minuendo y: sustraendo


6. Efectúa 135,18 + 32,007 + 0,42 + 16 + 2,9. Solución: Ordenamos en columna y completamos con ceros. 135,180 + 32,007 0,420 16,000 2,900 1 8 6,507 7. Calcula con aproximación al milésimo la siguiente operación: 0,222… + 2,16 + 1,3276. Solución: Calculamos la suma hasta el decimal siguiente al indicado, es decir, los diezmilésimos luego aproximamos el resultado al milésimo. 0,2222 2…+ 2,1616 16… 1,3276 3,7 114

Nota El resultado es solo un valor aproximado que puede variar dependiendo de la forma como se aproxima.

Aproximado al milésimo es 3,711.

8. Efectúa 3,2 + 0,28 + 2,13. Solución: Calculamos sus respectivas generatrices: 3,2 = 32 = 16 5 10 0,28 = 28 – 2 = 26 = 13 90 90 45 2,13 = 213 – 2 = 211 99 99

9. Resta 3,7 de 6,45.

Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: Efectuamos: Primera forma:

6,45 –

3,70

2,75

Segunda forma: Calculamos sus respectivas generatrices. 129 6,45 = 645 = 20 100 3,7 = 37 10 Reemplazamos sus valores: 129 – 37 = 129 – 74 20 20 10 20 55 = 2,75 20 10. Calcula con aproximación al centésimo. 1,3 + 5,16 + 3,256. Solución: 1,333 3… + 5,166 6… 3,256 0 9,755 Aproximado al centésimo es 9,76 11. Efectúa 2,162 + 3,4 + 0,012. Solución: Calculamos sus respectivas generatrices. 2 141 2,162 = 2 162 – 21 = 990 990

Luego: 16 + 13 + 211 99 45 5

3,4 = 34 – 3 = 31 9 9

144 + 13 + 211 = 157 + 211 45 99 45 45 99 1 727 + 1 055 = 2 782 = 5,620 495 495

2 0,012 = 12 = 990 165 luego:

2 2 141 31 5 563 + + = = 5,619 165 990 990 9

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 113. Matemática I

111


Problemas de adición y sustracción A. Tres amigas llegan de viaje al Cusco y observan que a María le quedaba S/. 45,20; a Juana S/. 17,60 y a Luisa S/. 13,40. ¿Cuánto dinero tienen entre las tres? Solución: Ordenamos en columna: 45,20 + 17,60 13,40 7 6, 20

D. Roxana y Gladys comen una torta de lúcuma. 1 Roxana consume de la torta, y Gladys 0,25 8 más de lo que consumió Roxana de la misma torta. ¿Cuánto consumió Gladys? Solución: Roxana consume: 1 de la torta = 0,125 8 Gladys consume: 0,125 + 0,25 = 0,375 Rpta.: Gladys consumió 0,375 kg de torta.

Rpta.: Entre las tres tienen S/. 76,20. B. Miguel asiste a un club del sur para recrearse un fin de semana y compra dos prendas de baño a S/. 55 c/u. Como viaja con su primo Antonio, le vende una de las prendas a S/. 10,50. ¿Cuánto invirtió Miguel? ¿Y cuánto gastó? Solución: Efectuamos: 55,00 +  110,00 – Invirtió: 55,00 10,50 Gastó: 110,00 99,50 Miguel invierte S/. 110.00, gastó S/. 99,50. Rpta.: C. Irene acude al mercado con S/.18 y tiene que comprar 2 kg de papas a S/. 2,40; 1 kg de po1 llo a S/. 6,80; kg de lentejas a S/. 3,80; 1 kg 2 de azúcar a S/. 2,80 y 2 kg de arroz a S/. 6,80. ¿Le alcanzarán los S/. 18 a Irene para realizar las compras? Solución: Efectuamos: 2,40 + 6,80 3,80 2,80 6,80 22, 60

Para desarrollar en tu cuaderno

22,60 – 18,00 4,60

No le alcanzan los S/. 18, le falta S/. 4,60 para adquirir lo deseado.

E. Los pesos de 4 alumnos de 1ro de secundaria: Alberto, Juan, Felipe y Fidel suman 200 kg. Alberto pesa 42,30 kg; Juan pesa 37,50 kg y Felipe 56,10 kg. ¿Cuánto pesa Fidel? Solución: Ordenamos y efectuamos: Alberto

42,30 +

Juan

37,50

Felipe

56,10

135,90

Luego:

200,00 –

135,90

64,10

Rpta.: Fidel pesa 64,10 kg. F. La compra de ropa durante este mes le generó a Daniel un gasto de S/. 520,80. Si compró 2 pantalones a S/. 120 c/u; 2 camisas a S/. 35,60 c/u; 2 polos a S/. 25,40 c/u; 4 shorts a S/. 18,00 c/u y un juego de bividís, ¿cuánto le costó dicho juego? Solución: 2 pantalones 240,00 +

520,80 –

2 camisas

71,20

434,00

2 polos

50,80

86,80

4 shorts

72,00

434,00

Rpta.: El juego de bividís le costó S/. 86,80

Rpta.: No le alcanza. Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 113.

112

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Efectúa 25,8 + 476,0 + 19,326. Solución: Efectuamos: 25,800 + 476,000 19,326 521,126 Rpta.: 521,126 2. Ordena en columna y calcula la suma: 124,8 + 3,68 + 0,749 + 18,43. Solución: Efectuamos: 124,800 + 3,680 0,749 18,430 147,659 Rpta.: 147,659

Efectuamos: –0,57 – (3,78 + 3,5) – 59,2 –0,57 –

7,28

– 59,2

–67,05 Rpta.: –67,05 7. Convierte a fracción decimal y luego expresa como número decimal: – 7 . 2 Solución: Efectuamos: – 7 = – 7 × 5 = – 35 10 2 2×5 – 35 = –3,5 10

Rpta.: –3,5

3. Efectúa 7,59 – 0,679. Solución:

8. ¿Cuánto le falta a 0,279 para ser igual a la unidad? Solución:

Efectuamos: 7,590 – 0,679 6,911 Rpta.: 6,911 4. Ordena en columna y efectúa 0,369 – 0,2622. Solución: Efectuamos: 0,3690 – 0,2622 0,1068 Rpta.: 0,1068 5. Efectúa –56,8 – 7,47 – (0,45 + 6,9). Solución: Efectuamos: –56,8 – 7,47 – (0,45 + 6,9) –64,27 – 7,35 –71,62 Rpta.: –71,62

6. Efectúa: –0,57 – (3,78 + 3,5) – 59,2. Solución:

Efectuamos: 1,000 – 0,279 0,721 Rpta.: Le falta 0,721 9. Calcula con aproximación al centésimo: 0,444… + 6,19 + 12,5. Solución: Efectuamos: 0,44444 + 6 , 1 9 1 9 1 2 , 5 0 0 0 1 9 , 1 3 5

Aproximamos: 19,14 Rpta.: 19,14

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 113 Matemática I

113


Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: Primera extracción = 184,50 Segunda extracción = 128,75 Tercera extracción = 84,50 Queda en el depósito = 160,00 Luego, inicialmente había: 184,50 + 128,75 + 84,50 + 160 = 557,75 Rpta.: Había 557,75 litros

13. Rocío acaba de dar a luz mellizos, el varoncito pesa 3,250 kg y mide 49,53 cm, mientras que la mujercita pesa 3,120 kg, y mide 49,52 cm. ¿Cuál es el peso total de los recién nacidos? Y ¿Quién es más grande? Solución: Sumamos los pesos peso Varón

3,250

Mujer

3,120

11. Augusto tiene en su cuenta bancaria una suma de S/. 1 500. Por la mañana hace un retiro de S/. 512,5. Por la tarde un depósito de 1 225,8. ¿Cuánto dinero tiene ahora en su cuenta Augusto? Solución: Augusto tiene S/. 1 500 Por la mañana: 1 500,0 – 512,5 987,5 Por la tarde: 987,5 + 1 225,8 2 213,3

+

6,370

Comparamos las tallas diferencia de tallas

10. De un depósito con agua se extraen 184,5 , después 128,75 , y finalmente se extraen 84,5 . Si quedan en el depósito 160 , ¿qué cantidad de agua había inicialmente?

Solución:

Juntas compraron: 3,6 + 6,1 = 9,7 kg 10,5 – 9,7 0,8

Rpta.: Falta comprar 0,8 kg.

18,22 m

24,30 m

Piden el perímetro (2p), luego: 2p = 2(18,22) + 2(24,30) 2p = 36,44 + 48,60 2p = 85,04 Rpta.: Mide 85,04 m.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 113. Matemática I

49,52 0,01

14. Dos hermanos adquieren una parcela rectangular de 18,22 m de ancho por 24,30 m de largo. ¿Cuánto mide el perímetro de dicha parcela?

12. Sara compra 3,6 kg de uva, Carla compra 2,5 kg más que Sara. Si tenían que comprar entre ambas 10,5 kg de uva, ¿cuánto falta comprar todavía? Solución: Sara: 3,6 kg Carla: 3,6 + 2,5 = 6,1 kg

114

49,53

El peso total es 6,37 kg y el más granRpta.: de es el varoncito.

Rpta.: Ahora tiene S/. 2 213,3

Falta:

talla


Para desarrollar en tu cuaderno

Multiplicación y división de decimales

Importancia del ahorro de la energía eléctrica El ahorro de energía eléctrica es un elemento fundamental para el aprovechamiento de los recursos energéticos; ahorrar equivale a disminuir el consumo de combustibles en la generación de electricidad evitando también la emisión de gases contaminantes hacia la atmósfera. Por ejemplo, la terma: el uso promedio de 2 horas al día cuesta S/. 50. Para reducir el gasto, enciéndela 30 minutos antes de usarla. La refrigeradora: con una potencia de 350 watts cuesta al mes S/. 44.43 soles. Para evitar su gasto excesivo descongele regularmente. La televisión: con una potencia de 80 watts y consumo de 8 horas diarias promedio cuesta S/. 8.14 soles al mes.

1. Según el texto señala algunos consejos para ahorrar energía. 2. ¿Cuánto se pagará por el uso de la televisión luego de 5 meses? Ficha nivel cero

Multiplicación de decimales

Ficha de refuerzo

Para multiplicar números decimales, se multiplican como si fueran números enteros. En el producto, contamos de derecha a izquierda, tantas cifras como la suma de cifras decimales de los dos factores y colocamos la coma decimal.

• Si al resultado de la multiplicación de números decimales con ceros, le faltaran ceros, se coloca ceros a la izquierda del mismo hasta que tengamos las cifras necesarias.

Ejemplo 1:

Ejemplo: Si el kg de pollo cuesta S/. 7,50, ¿cuánto pagaré por 10; 100 y 1 000 kg de pollo respectivamente?

Efectúa 0,0018 × 0,3 × 0,02.

Solución: Multiplicamos como si fueran números enteros. 18 × 3 × 2 = 108 Luego contamos el total de cifras decimales y separamos con una coma en el producto. 0,0018 ; 0,3 ; 0,02 4 +

1 + 2 = 7 cifras decimales

0,0018 × 0,3 × 0,02 = 0,0000108

PPT

Solución: Efectuamos: 7,50 × 10 = 75 7,50 × 100 = 750 7,50 × 1 000 = 7 500 Rpta.: Se pagará respectivamente S/. 75, S/. 750 y S/. 7 500.

7 cifras decimales

Ejemplo 2:

División de decimales

2,6 × 0,002 (4 cifras decimales)

Para dividir números decimales, debemos considerar lo siguiente:

26 × 2 = 52 (como entero) 0,0052 ; 4 lugares de derecha a izquierda Casos especiales • Si multiplicamos un número decimal por 10; 100; 1000… desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el factor.

División de un decimal entre otro decimal Se multiplica al dividendo y al divisor por una potencia de 10, de forma que se eliminen las cifras decimales. Ejemplo: Efectúa: 52,6 : 2,5.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 119. Matemática I

115


Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: Multiplicamos efectuamos la 526 50

el dividendo y divisor por 10, luego división. 25 21,04

Para dividir un número entre 10; 100; 1000; 10 000; …, se desplaza la coma hacia la izquierda, tantas cifras como ceros tenga el divisor.

–26 25 –100 100 ––– Rpta.: •

Ejemplo: Calcula la división de: 62,73 entre 10; 100; 1 000 y 10 000 Solución:

21,04

62,73 : 10 = 6,273 62,73 : 100 = 0,6273 62,73 : 1 000 = 0,06273

División de un decimal entre un entero Efectúa la división como si el dividendo fuera un número entero y coloca la coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.

Ejemplo: Miguel compró 37,8 kg de habitas saladas y las empaquetó en bolsitas de 0,20 kg. ¿Cuántas bolsitas empaquetó Miguel?

Ejemplo: Efectúa: 357,2 : 36 Solución:

3 5 7, 2 324

36 9,922...

Solución: La repartición indica división.

–33 2 324

37,8 : 0,20

–– 80 72 –8 Rpta.: •

División de un decimal entre una potencia de 10

Multiplicamos el dividendo y el divisor por 100 y operamos. 3780 20 2 0 189 178 160 –180 180 –––

9,92

División de un entero entre un decimal Multiplica al dividendo y al divisor por una potencia de 10, a fin de eliminar las cifras decimales del divisor. Ejemplo: Efectúa: 17 : 2,5

Rpta.: Empaquetó 189 bolsitas.

Solución: Multiplicamos el dividendo y el divisor por 10. 170 25 150 6,8 –200 200 ––– Rpta.: 6,8

Operaciones combinadas Para efectuar operaciones combinadas, debemos considerar los siguientes criterios: •

Sin signos de colección o de agrupación Efectuamos de izquierda a derecha, y respetamos la jerarquía de las operaciones como la independencia de los resultados.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 119.

116

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplos:

1. Efectúa: 0,39 + 2,26 × 1,53 – 4,16 : 2,032. Solución:

Con signos de colección o de agrupación Efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los signos de agrupación de adentro hacia afuera .

0,39 + 2,26 × 1,53 – 4,16 : 2,032

Ejemplos:

0,39 +

1. Efectúa: 7,2 × {[(5,6 – 3,45) : 0,2]2}.

3,4578

2,0472

3,8478 – 2,0472 = 1,8006 2. Efectúa:

4,2 + (2,3)2 – 5,1 × 7,7 + 15,73 : 3.

Solución: Efectuamos: 7,2 × {[ 2,15 : 0,2]2} 7,2 × {[10,75]2} = 7,2 × {115,5625} = 832,05

Solución: 4,2 + (2,3)2 – 5,1 × 7,7 + 15,72 : 3 4,2 + 5,29 – 39,27 + 5,24 9,49

–29,78

39,27 +

+ 5,24

5,24 = –24,54

Solución: Efectuamos: 1,44 – [9,9 – 6,82] 1,44 – [3,08] = –1,64

3. Efectúa:

3. Efectúa:

2. Efectúa: (1,2)2 – [(6,2 + 3,7) – 3,1 × (2,2)].

M = [2 6,76 + (2,5)2 : 0,5 + 5 3 0,064 : (0,2)2] × 0,5.

33 – 2 3 + 5,9 × 1,5 – 3 + 0,5. 5 100 2

Solución: M = (2 × 2,6 + 6,25 : 0,5 + 5 × 0,4 : 0,04) × 0,5

Solución: Transformamos las fracciones a decimales:

M = (5,2 + 12,5 + 2 : 0,04) × 0,5

3 33 –2 5 100

M = (67,7) × 0,5

+ 5,9 × 1,5 – 3 + 0,5 2

0,33 – 2(0,6) + 8,85 – 1,5 + 0,5 0,33 – 1,2 + 8,85 – 1,5 + 0,5 –0,87

+ 8,85 – 1,5 + 0,5

7,98 – 1,5 + 0,5

M = (17,7 + 50) × 0,5

M = 33,85 Recuerda Debemos considerar la siguiente jerarquía: 1. Signos de colección o agrupación 2. Potenciaciones y radicaciones 3. Multiplicaciones y divisiones 4. Adiciones y sustracciones

6,48 + 0,5 = 6,98

Así como la independencia de los resultados.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 119. Matemática I

117


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Efectúa: 13,6 – 0,59 + 3,5 × 0,2. Solución: 13,6 – 0,59 + 3,5 13,6 – 0,59 +

0,2

×

0,7

4. ¿Qué número es igual a 5 veces la suma de 2,852 y 0,8? Solución: Efectuamos: 2,852 + 0,800 = 3,652 Piden: 5 × 3,652 = 18,26

13,01 + 0,7 = 13,71 Rpta.: 18,26

Rpta.: 13,71 2. Efectúa: 0,75 + 3,14 × 2,51 – 8,14 : 2,035. Solución:

Rpta.: Gastó S/. 81.

0,75 + 3,14 × 2,51 – 8,14 : 2,035 0,75 +

5. María compró 5 docenas de melones. Si cada melón cuesta S/. 1,35, ¿cuánto dinero gastó en la compra? Solución: En 5 docenas, tenemos: 5 × 12 = 60 Luego, se gastará por la compra: 60 × 1,35 = 81

7,8814

4

8,6314 – 4 = 4,6314

6. Si un metro de tela cuesta S/. 32,75. ¿Cuánto se pagará por 6 m de la misma tela? Solución: Por 6 m de tela se pagará:

Rpta.: 4,6314

3. Efectúa: Solución:

–0,75 – 0,7 + 4 + 3 . 3 2

0,75 = 75 = 3 ; 0,7 = 7 9 4 100 Reemplazamos en la expresión original – 3 – 7 + 4 + 3 = –27 – 28 + 48 + 54 36 4 3 2 9 = 47 = 1,305 36

Rpta.: 1,305

32,75 × 6 196,50

Rpta.: Se pagará S/. 196,50. 7. ¿Qué número es 10 unidades menor que el producto de 18,5 y 35,86? Solución: Efectuamos: Piden: 18,5 × 663,41 – 35,86 10,00 1110 653,41 1480 925 555 663,410 Rpta.: 653,410

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 119.

118

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

8. Un litro de leche cuesta S/. 3,20. ¿Cuánto se pagará por la compra de 12,5 litros? Solución: Efectuamos:

11. Si un tenedor cuesta S/. 2,75 y una cuchara S/. 3,75, ¿cuánto se pagará por 10 tenedores y 5 cucharas? Solución: 10 tenedores: 10 × 2,75 = 27,5 Luego, se pagará: 5 cucharas: 5 × 3,75 = 18,75 27,50 + 18,75 46,25

12,5 × 3,2 250 375 40,00

Rpta.: Se pagará S/. 46,25.

Rpta.: Se pagará S/. 40.

9. El perímetro de un cuadrado es 27 metros. Determina la medida de su lado. Solución: Sea “x” la longitud del lado; por dato: Perímetro = 27 4x = 27 x = 6,75

12. Efectúa la siguiente división: 4,35 : 0,5. Solución: Multiplicamos el dividendo y el divisor por 100 4,35 × 100 = 435 0,5 × 100 = 50 Luego, efectuamos: 435 50 400 8,7 350 350 --Rpta.: El cociente es 8,7.

Rpta.: El lado mide 6,75 m.

10. Raúl compró tres cuadernos a S/. 2,75 cada uno y 8

lapiceros a S/. 1,50 cada uno. ¿Cuánto dinero pagó en total?

Solución: Raúl compró: 3 cuadernos 8 lapiceros

2,75 × 3 = 8,25 + 1,50 × 8 = 12,00 20,25

Rpta.: Pagó en total S/. 20,25.

13. Reduce la siguiente expresión: A = 0,08 : 0,2 + 7,5 : 15. Solución: Efectuamos por partes: 0,08 : 0,2 Multiplicamos por 100 a ambos términos 8 : 20 = 0,4 7,5 : 15 Multiplicamos por 10 a ambos términos 75 : 150 750 150 750 0,5 Reemplazamos los resultados en "A" A = 0,4 + 0,5 A = 0,9 Rpta.: 0,9

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 119. Matemática I

119


Para desarrollar en tu cuaderno

14. En una división exacta el dividendo es 19,2 y el divisor es 0,8. Determina el valor del cociente. Solución: Por dato: 19,2 : 0,8 Multiplicamos por 10 al dividendo y al divisor 192 : 8 192 8 16 24 32 32

17. Un albañil gana S/. 462 en 12 días. ¿Cuál es el jornal que gana diariamente? Solución: El jornal que gana diariamente será: 462 12 36 38,5 102 96 60 60 --Rpta.: Diariamente gana S/. 38,5.

Rpta.: El cociente es 24. 15. ¿Cuántas ampollas de 0,01 litros se pueden obtener con 0,85 litros de una solución? Solución: Para determinar el número de ampollas se debe realizar la siguiente división: 0,85 : 0,01 (Multiplicamos por 100)

85 : 1 = 85

Rpta.: Se pueden obtener 85 ampollas. 16. Miguel pagó por 18 rosas S/. 103,50. ¿Cuál es el precio de cada rosa? Solución: El precio de cada rosa será: 103,50 : 18 Multiplicamos por 10

18. Roberto pagó S/. 186 por 5 metros de tela. ¿Cuánto le costó cada metro de tela? Solución: Cada metro de tela le costó a Roberto: 18 6 5 15 37,2 –36 3 5 –10 10 --Rpta.: Le costó S/. 37,2. 19. Pedro pagó por 15 libros la suma de S/. 547,50. ¿Cuánto dinero le costó cada libro? Solución: Cada libro le costó: 547,50 : 15

1035 180 900 5,75 1350 1260 900 900 ---

Multiplicamos por 10 a ambos términos

Rpta.: Cada rosa cuesta S/. 5,75.

5475 150 450 36,5 975 900 750 750 --Cada libro le costó S/. 36,50. Rpta.:

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 119.

120

Matemática I


Potenciación y radicación de decimales Para desarrollar en tu cuaderno

El reciclaje como responsabilidad social El reciclaje contribuye al cuidado del medio ambiente y se refiere al proceso mediante el cual los objetos de desecho son sometidos a cierto tratamiento para que se conviertan en materia prima reutilizable En cierto distrito se está realizando semanalmente el recojo de botellas de plástico de las instituciones educativas, obteniéndose el siguiente informe: 1ra semana: 0,1 × 21 toneladas 2da semana: 0,2 × 22 toneladas 3ra semana: 0,3 × 23 toneladas y así sucesivamente

1. Señala la expresión que representa la cantidad de plástico que se recogerá en la 5ta semana. 2. ¿Cuántas toneladas de basura se recogerá en la semana 8? Ficha nivel cero

Potenciación Para calcular la potencia de un número decimal, se desarrolla como si fuera un número entero y de la derecha del resultado, separamos con una coma tantas cifras como nos dé el producto del exponente por el número de cifras decimales que tenga la base. Si un número de “k” cifras decimales se elevan a una potencia “n”, el resultado tendrá “k • n” cifras decimales. Ejemplo: Calcula la potencia de: (0,04)2. Solución: (0,04)2

b. Cociente de potencia iguales El cociente de dos potencias de igual base, es otra potencia de igual base pero con un exponente que es la diferencia de los exponentes de las potencias dadas.

PPT

am = am – n an Ejemplo: 0,258 = (0,25)8 – 6 = (0,25)2 = 0,0625 0,256 c. Potencia de potencia La potencia de una potencia de base "a" es igual a la potencia de base "a" elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

= 0,0016

(am)n = am ∙ n

2 cifras

2

decimales

4 cifras decimales

×

Ficha de refuerzo

2

Propiedades de las potencias a. Producto de potencias de bases iguales: El producto de dos o más potencias de igual base, es otra potencia de igual base pero con un exponente que es igual a la suma de los exponentes de los factores. am ∙ an = am + n Ejemplo: (0,22)(0,23) = 0,25 = 0,00032

Ejemplo: (0,22)3 = (0,2)2 ∙ 3 = (0,2)6 = 0,000064 d. Potencia de un producto La potencia de un producto de dos o más factores, es igual al producto de cada uno de los factores elevados a la potencia dada. (a × b × c)n = an × bn × cn Ejemplo: (0,1 × 0,3 × 0,5)2 = (0,1)2 (0,3)2 (0,5)2 = (0,01)(0,09)(0,25) = 0,000225

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 125. Matemática I

121


e. Potencia de un cociente La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la potencia del divisor. a n = an b bn Ejemplos: 1.

0,2 0,8

3

Para desarrollar en tu cuaderno

Las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Propiedades de la radicación a. Raíz de un producto La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

3 = 0,23 = 0,008 = 0,015625 0,8 0,512

2. Efectúa: 6 A = (0,6)3 + [(0,2)3 ]2 – (0,03 × 0,5)2 (0,6) Solución: A = 0,63 + (0,2)6 – (0,03)2 × (0,5)2 A = 0,216 + 0,000064 – 0,0009 × 0,25 A = 0,216064 – 0,000225 A = 0,215839

n

(a × b × c) =

3

0,027 × 0,008 = 3 0,027 × 3 0,008 = 0,3 × 0,2 = 0,06

b. Raíz de un cociente La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

Radicación

Se extrae la raíz del número como si fuera entero y se separa con coma el número de decimales que tiene el radicando dividido entre el índice de la raíz.

4

0,0016 = 0,0625

4 4

0,0016 0,0625

4

0,0016 0,0625 = 0,2 0,5 =

2,89.

4

= 0,4

Solución: 1ra forma

2da forma

2,89

2,89 =

2:2 =1

c. Raíz de una potencia 289 100

17 10 = 1,7

289 = 17

=

2,89 = 1,7 2. Efectúa 0,007225. Solución: 0,007225

7 225 = 85

6:2=3

0,007225 = 0,085

n

Matemática I

am = (n a)m

Ejemplo: 5

0,000323 = (5 0,00032)3 = (0,2)3 = 0,008 0,044 = ( 0,04)4 = (0,2)4 = 0,0016

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 125.

122

n a a =n b b

Ejemplo:

Ejemplos: 1. Calcula

a × nb × n c

Ejemplo:

n

Para calcular la raíz de un número decimal, observamos si el número de cifras decimales es divisible entre el índice de la raíz.

n


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplos: 1. Reduce la siguiente expresión:

Los submúltiplos de diez se representan en forma semejante con la diferencia que los exponentes serán negativos: Estos números también se pueden representar como fracción:

A = 3 0,008 × 0,001 – 4 0,00163 + 0,81 . 0,36 Solución: 3

0,008 × 0,001 = 3 0,008 × = 0,2 × 0,1

3

0,001

Número

= 0,02 4

0,00163 = 4 0,00163 = (0,2)3 = 0,008 0,81 0,81 = 0,36 0,36 0,9 = 0,6 = 1,5

Reemplazamos valores en “A”: 3

A = (0,008 × 0,001 – A = 0,02 – 0,008 + 1,5 A = 1,512

4

0,00163) +

0,81 0,36

2. Calcula el valor de la siguiente expresión: 4 12 M = (0,03)10 + 0,0001 × 0,0016 – (0,4 × 0,02)3 (0,03) Solución: 4 4 M = (0,03)2 + 0,0001 × 0,0016 – (0,4)3 × (0,02)3 M = 0,0009 + 0,1 × 0,2 – 0,064 × 0,000008 M = 0,0009 + 0,02 – 0,000000512 M = 0,020899488 Notación Científica (N.C.) Antes de tratar la notación científica recordemos como representar los múltiplos y submúltiplos de 10. Los múltiplos de diez pueden representarse expresando diez elevado a una potencia positiva. Número 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

Como factor 10 10 10 10 10

× × × × ×

10 10 10 10 10

10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 ×

N.C. 102 103 104 105 106

Como fracción

Como factor

N.C.

0,1

1 10

10–1

10–1

0,01

1 100

10–1 × 10–1

10–2

0,001

1 1000

10–1 × 10–1 × 10–1

10–3

0,0001

1 10 000

10–1 × 10–1 × 10–1 × 10–1

10–4

0,00001

1 10–1 × 10–1 × 10–1 × 10–1 × 10–1 10–5 100 000

La notación científica es una manera de expresar números muy grandes o muy pequeños mediante un número multiplicado por una potencia de 10. La notación científica tiene las siguientes formas: a, b × 10n, con dos dígitos significativos a, b c ×10n, con tres dígitos significativos a, b c d × 10n, con cuatro dígitos significativos Dónde: 1  a < 10 o –10 < a  –1 b, c, d  {0; 1;…; 9} y n  . Ejemplo: 1. Expresa 26 500 en notación científica. Solución: 26 500 = 265 × 102, no está expresado en notación científica porque 265 no está entre 1 y 10. Para expresarlo en notación científica multiplicamos y dividimos por 100 a la expresión 265 × 102. 2 4 265 × 102 = 265 × 10 × 100 = 265 × 10 = 2,65 × 104 100 100

2. Expresa 1 970 en notación científica. Solución: Igual que en la situación anterior, multiplicamos y dividimos por 100 a 197 × 10

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 125. Matemática I

123


Para desarrollar en tu cuaderno

197

×

101 =

197

×

101 × 100 197 = 100 100

= 1,97 También debemos considerar que:

×

103

×

10

3

• Si el número es muy grande, se corre la coma decimal hacia la izquierda. Por cada lugar que se corre la coma el exponente de la potencia de 10 aumenta en 1.

Nota El número 0,00053 lo representamos en notación científica como 5,3 × 10–4 y de ninguna manera como: 53

×

105 = 0,5 × 10–3

Expresa en notación científica los siguientes números.

1. 348 Solución: 3 4 8 = 3,48

×

102

2 cifras

Ejemplos: 1. Expresa 126 000 000 000 en notación científica. Solución:

2. 27 600 Solución: 2 7 6 0 0 = 2,76 × 104 4 cifras

126 000 000 000 = 1,26

×

10

11

11 cifras

2. Expresa 35 700 000 en notación científica. Solución: 35 700 000 = 3,57 × 107 7 cifras

3. 435,64 Solución: 4 3 5, 6 4 = 4,3564 × 102 2 cifras

4. 97 285 Solución: 9 7 2 8 5 = 9,7285 × 104 4 cifras

• Si el número es muy pequeño se corre la coma decimal hacia la derecha. Por cada lugar que se corre la coma el exponente de la potencia de 10 disminuye en 1. Ejemplos: 1. Expresa 0,000000324 en notación científica. Solución: 0,000000324 = 3,24 × 10–7

5. 63,21 Solución: 6 3,2 1 = 6,321 × 101 1 cifra

6. 348,72 Solución: 3 4 8 , 7 2 = 3,4872 × 102 2 cifra

7 cifras

2. Expresa 0,00008213 en notación científica. Solución: 0,00008213 = 8,213

×

10

–5

3. Expresa 0,00375 en notación científica. 0,00375 = 3,75

×

10

–3

Efectúa: 202 020 404 040 3 Rpta.: 4

5 cifras

Solución:

RetoCorefo 1 414 2 828

3

+ 272 727 545 454

Respetaremos todas las propiedades de las potencias indicadas en la teoría de exponentes.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 125. Matemática I

+

Recuerda

3 cifras

124

3


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Efectúa (–0,04)3. Solución:

5. Calcula el valor de E2, si: E = 0,4166… + 6,66…

(–4)3 = –64 cifras decimales: 2 × 3 = 6 cifras

Solución:

5 15 75

0,416 = 416 – 41 = 375 = 5 900 900 12

(–0,04)3 = –0,000064

180 36 12

Rpta.: –0,000064

20

6,6 = 66 – 6 = 60 = 20 9 9 3

2. Efectúa (–0,3 )2.

3

Solución: 3 2 (–0,3 )2 = – = – 1 9 3 1 = 0,111… 9

2

= 1 9

+ 2 5 =5 5 2 3 2 3 3 Piden: E2 = 125 12 125 Rpta.: 12 5

E=

Rpta.: 0,1 3. Efectúa 5,3 × {[(2,4 – 7,36) : 0,4]2}.

6. Efectúa:

Solución: 5,3 × {[(2,4 – 7,36) : 0,4]2} 5,3 × {[–4,96 : 0,4]2} 5,3 × {[–12,4]2} 5,3 × {153,76} = 814,928 Rpta.: 814,928 4. Efectúa y expresa el resultado como fracción.

(–0,16 )3 – (–0,6 )2. Solución:

3

0,09 . 3,5 – 0,2

Solución: 9 9 3 3 100 100 = = 30 32 – 2 9 9 9 3 27 3 1 000 = 10 = 0,3 Rpta.: 0,3

– 97

216

3

81 = 3 000

7. Calcula el resultado de: Solución:

3 2 –1 – – 2 = 6 3 – 1 – 4 = –1 – 96 = – 97 9 216 216 216

Rpta.:

Reemplazamos valores: E = 5 + 20 12 3

0,1

×

0,16 : 2,3.

1 × 1 : 7 = 1 × 1 : 7 9 6 3 9 6 3 1 = 1 × 1 × 3 = 1 6 3 7 42 1

1 Rpta.: 42 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 125. Matemática I

125


Para desarrollar en tu cuaderno

8. Efectúa

11. Los geólogos y geofísicos modernos consideran que la edad de la Tierra es de unos 4470 millones de años aproximadamente con un margen de error de ±1%. Expresa esta edad en notación científica.

0,62 + 0,82 . 7 0,36 + 1 11

Solución: Efectuamos: 3 5

2

Solución:

4 5

+

25 9 + 16 25 25 = 25 22 22 11 11

2

4 + 18 11 11

1 11 = 1 = 0,5 = 22 22 2 11

Rpta.: 4,47 × 109 de años. 12. Si la masa de un protón es de 0,000000000000000000000167248 gramos, calcula la masa de un millón de protones.

Rpta.: 0,5

Solución:

9. Si 0,000000034 = 3,4 × 102x, calcula el valor de “x”.

Masa de un protón: = 0,000000000000000000000167248 g

Solución:

= 1,67248 × 10–22 gramos

0,000000034 = 3,4 × 102x

Un millón de protones pesará:

3,4 × 10–8 = 3,4 × 102x

(1 000 000)(1,67248 × 10–22)

Se cumple:

(1 × 106)(1,67248 × 10–22)

2x = –8

1,67248 × 10–16 gramos

x = –4

Rpta.: 1,67248 × 10–16 gramos.

Rpta.: –4 10. Escribe el producto 0,0005 tación científica.

×

0,005

Solución: 0,0005 × 0,005

×

0,05

5 × 10–4 × 5 × 10–3 × 5 × 10–2 125 × 10–9 Luego: 125 × 10–9 = 1,25 × 102 × 10–9

Edad de la tierra: 4 470 000 000 de años Edad de la tierra: 4,47 × 109 años (en notación científica)

= 1,25 × 10–7

–7 Rpta.: 1,25 × 10

×

0,05 en no-

13. El peruano promedio consume alrededor de 43 kilogramos de vegetales al año. Si hay unos 31 millones de peruanos aproximadamente. Escribe en notación científica la cantidad de kilogramos de vegetales consumidas cada año por la población peruana. Solución: Un peruano consume: 43 kilogramos al año 31 millones consumirán: (31 000 000)(43) = 31 × 106 × 43 = 1 333 × 106 = 1,333 × 109 Rpta.: 1,333 × 109

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 125.

126

Matemática I


Matemática I

127

“n” ceros

“n” cifras

0,ab ....f =

d. ¿En qué otras situaciones podría aplicar lo aprendido?

c. ¿Expliqué con mis palabras los conocimientos adquiridos?

b. ¿Qué estrategias utilicé para resolver mis dificultades?

a. ¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad?

„„ Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

“n” cifras

ab ....f 1000...0

“n” cifras

ab ....f 9999...9

su generatriz es

su generatriz es

0,ab ....f =

DECIMAL PERIÓDICO PURO

DECIMAL EXACTO

son

NÚMEROS DECIMALES

“x” cifras “y” cifras

=

“y” cifras “x” cifras

ab …fgh…p – ab …f 99…9 00…0

su generatriz es

do el 10 de junio de 2015.

• http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/decimales.php/Consulta-

sultado el 10 de junio de 2015.

• http://www.amolasmates.es/Mates%20basicas/mates_basicas3.html/Con-

EDWARD, Allen (1967) Tablas matemáticas con seis decimales. Caracas : Distribuidora Escolar, 207p. • RIOBUENO, Nelly ( 2005). Aprendo a multiplicar y a dividir : con decimales. Caracas : El Nacional, 45p.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

0,ab ....f gh ....p

sus operaciones son

Una fracción cuyo denominador no es potencia de 10.

Una Fracción cuyo denominador es una potencia de 10.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

es

es

genera

FRACCIÓN ORDINARIA

FRACCIÓN DECIMAL

= {[(a,b)] / a  , b  , b ≠ 0}

se define

NÚMEROS RACIONALES ( )

„„ Analiza el siguiente organizador visual y repasa lo aprendido.


Practicamos buenos hábitos para una vida saludable

Trabajamos 1. Describe lo que observas luego relaciona la talla respecto a tu edad. 2. Identifica magnitudes que intervienen al salir de caminata. 3. Menciona en qué porcentaje manejar bicicleta, ayuda a reducir el riesgo de un infarto. 4. ¿En qué situaciones de la vida cotidiana observas la utilidad de los porcentajes?

128

Matemática I


Convive

en Apr di

ental am

Valora su cuerpo y su salud

rática oc

ia dem nc

je fund za

Perseverancia

Nuestros aprendizajes Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad Los médicos siempre recomiendan asistir a consulta por lo menos una vez al año y así prevenir posibles enfermedades. En la imagen la niña observa en su control anual que su estatura aumenta. (Funciones)

• Usa modelos referidos a la proporcionalidad

• •

Distancia (km)

12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 Tiempo (h)

directa al resolver problemas. datos en tablas para expresar relaciones de proporcionalidad directa entre magnitudes. Utiliza un modelo basado en aumentos y descuentos porcentuales al plantear y resolver problemas. Representa mediante un lenguaje algebraico enunciados verbales de diversos contextos.

• Organiza

Para las personas a quienes no les gusta hacer deportes tan extenuantes salir a caminar o correr, resulta ser ideal. En la imagen la joven recorre cierta distancia de kilómetros por cada hora. (Magnitudes)

Manejar bicicleta permite tener un buen estado físico. Estudios revelan que manejar en bicicleta reduce hasta en un 50% el riesgo de tener infartos. (Porcentaje)

Averiguamos Ingresa a las siguientes páginas web para complementar la información del tema tratado. • http://es.fhcrc.org/prevencion/ejercicio09.html • http://contenidos.educarex.es/mci/2007/08/teoria/2porcentajes.html

Matemática I

129


Funciones Para desarrollar en tu cuaderno

Comparamos medidas María asiste cada año a su control médico y observa que cada 2 años su estatura aumenta 14 cm. El doctor lleva el registro de esta situación desde que María tenía 3 años y en aquel entonces medía 91 cm.

1. ¿Cuál será la estatura de María cuando cumpla 11 años de edad? 2. La talla de María está en función a … 3. Completa el siguiente cuadro. Edad (años)

3

5

7

9

11

Talla (cm) Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Noción de función En la vida diaria el concepto de función es muy común. Por ejemplo: • El gasto total en la compra de lapiceros depende del número de lapiceros, o el gasto total se expresa en función del número de lapiceros. • El pago del consumo de energía eléctrica depende de la cantidad de kilowatts consumidos. Términos como “depende” o “está en función de” expresan una correspondencia o relación entre dos sucesos o entre los elementos de dos conjuntos. Como ya sabemos lo que es una relación, diremos que una función en matemática también es una relación. Es decir: Si una relación tiene todas sus primeras componentes de sus pares ordenados diferentes entonces se trata de una función Veamos un ejemplo: Sea la relacion R de A en B con regla de correspondencia: y = x + 2 R = {(2; 4); (3; 5); (4; 6)} Esta relacion R tiene tres pares ordenados, cuyas primeras componentes no se repiten, entonces tal relación recibe el nombre de función “f”, luego también podemos escribir así: f = {(2; 4); (3; 5); (4; 6)} Cada uno de los pares ordenados de “f” satisface la regla de correspondencia respectiva; esto significa que si reemplazamos los componentes de un par ordenado en dicha regla de correspondencia se obtendrá una igualdad. En nuestro ejemplo, reemplazando las componentes de (2; 4) en y = x + 2, tenemos: y=x+2 4=2+2 4=4 El valor de las segundas componentes “y” depende de los valores que les asignemos a “x”; esta dependencia suele ser expresada así: Variable dependiente y = f(x) Lo cual podemos leer del siguiente modo: La variable “y” en función de la variable “x”.

Variable independiente

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 140.

130

Matemática I


Entonces la regla de correspondencia del ejemplo puede ser escrita también así: f(x) = x + 2 Función: Una función “f” de A en B (f: A → B) es un conjunto de pares ordenados (x; y) en el cual dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente. En una función se distingue lo siguiente: • Conjunto de partida • Conjunto de llegada • Regla de correspondencia Representación tabular y gráfica de funciones Dados los siguientes conjuntos: A = {1; 3; 5} B = {3; 7; 11} Determina y grafica la función f: A → B definida por y = 2x + 1. Solución: Conjunto de partida: A Conjunto de llegada: B Producto cartesiano A × B: A × B = (1; 3), (1; 7), (1; 11); (3; 3), (3; 7), (3; 11), (5; 3), (5; 7), (5; 11)} Regla de correspondencia: y = 2x + 1 o f(x) = 2x + 1 Determinamos los pares ordenados que pertenecen a la función “f”, considerando que tienen una regla de correspondencia. Par ordenado

(x; y) (1; 3) (1; 7) (1; 11) (3; 3) (3; 7) (3; 11) (5; 3) (5; 7) (5; 11)

x o 1ra componente

x 1 1 1 3 3 3 5 5 5

y = f(x) o 2da componente

f(x) = 2x + 1 f(1) = 2(1) + 1 f(1) = 2(1) + 1 f(1) = 2(1) + 1 f(3) = 2(3) + 1 f(3) = 2(3) + 1 f(3) = 2(3) + 1 f(5) = 2(5) + 1 f(5) = 2(5) + 1 f(5) = 2(5) + 1

= = = = = = = = =

3 3 3 7 7 7 11 11 11

Para desarrollar en tu cuaderno Diagrama cartesiano B

Diagrama sagital

f

A

B

1 3 5

11

3 7 11

7 3 1

3

5

A

y = f(x) = 3x

2 1 –3 –2 –1 –1

(1; 3)  f (1; 7) Ï f (1; 11) Ï f (3; 3) Ï f (3; 7) Î f (3; 11) Ï 7 (5; 3) Ï f (5; 11) Ï f (5; 11) Î f

3

Dominio y rango de una función El dominio (Dom(f )) de una función es el conjunto de los primeros componentes de los pares ordenados de dicha función. El rango (Ran(f )) de una función es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha función. En el ejemplo anterior: Dom(f ) = {1; 3; 5} Ran(f ) = {3; 7; 11} Función lineal Una función es lineal, si y solo si f = {(x; y) / y = ax + b} Donde: a y b Î ; a ≠ 0 Ejemplo: Grafica: f = {(x; y) / y = 3x} Tabulamos para algunos valores x –1 0 1 … y –3 0 3 … Se observa que la gráfica de esta función es una recta oblicua a los ejes coordenados y pasa por el origen porque b = 0.

1

2

3 Dom(f ) = Ran(f ) =

–2 –3

Función constante Si en una función lineal y = ax + b; a = 0 , se tiene una función de la forma y = b, llamada función constante. Luego, “f” es una función constante si y solo si f(x) = {(x; y) / y = b} y Gráficamente:

Luego: f = {(1; 3), (3; 7), (5; 11)} Para graficar la función “f”, podemos emplear las siguientes representaciones:

b

f(x) = y = b x

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 140. Matemática I

131


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Si f = {(3; a + 5); (4; 6); (3; 8 – b)}, representa una función, calcula el valor de “a + b”. Solución: Por definición de función, se cumple: a+5=8–b a+b=8–5 a+b=3 Rpta.: 3 2. Si f = {(0; 2), (1; 3), (3; 4)} es una función; calcula la suma de los elementos del rango de f. Solución: Sabemos que el rango de la función "f", está dado por las segundas componentes de los pares ordenados que la conforman, luego: Ran(f ) = {2; 3; 4} Piden: 2+3+4=9 Rpta.: 9 3. Si f(x) = 5x – 1, calcula f(–2). Solución: Evaluamos f(x) = 5x – 1 para x = –2, luego: f(–2) = 5(–2) – 1 f(–2) = –10 – 1 f(–2) = –11 Rpta.: –11 4. Si f(x) = x3 – 2, calcula la siguiente expresión: f(–1) + f(0) . E= f(2) Solución: Evaluamos en la función para x = –1; 0 ; 2; luego: f(–1) = (–1)3 – 2 = –3 f(0) = (0)3 – 2 = –2 f(2) = (2)3 – 2 = 6 Reemplazamos en “E”. –3 + (–2) –5 E= = 6 6 –5 Rpta.: 6

5. Dada la siguiente gráfica de una función: f

A

2 3 5 6

Matemática I

B

Elabora su diagrama cartesiano Solución: Del gráfico, observamos que la función es f = {(2; 1),(3; 7),(5; 4),(6; 3)} B 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

A

6. En el gráfico mostrado, calcula la suma de elementos del dominio de f. 9

3 –1 1 1

2

5

–3

Solución: Del gráfico Dom(f ) = {–1; 1; 2; 5} Piden: –1 + 1 + 2 + 5 = 7 Rpta.: 7 7. Dados los conjuntos A = {0; 2; 4; 6} , B = {1; 3; 5}, y la función f: A B, tal que f(x) = x + 1. a. Representa la función mediante un diagrama sagital. b. Determina Dom(f ) y Ran(f ) Solución: Diagrama sagital: f

A

0 2 4 6

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 140.

132

1 3 4 7

1 3 5

B

Del gráfico: Dom(f ) = {0; 2; 4} Ran(f ) = {1; 3; 5}


Proporcionalidad Para desarrollar en tu cuaderno

-

Ingredientes para 10 personas 1/2 kg de maíz morado. 250 g taza de azúcar. 200 g de chuño. 1 taza de frutas picadas. Canela al gusto.

Realizamos proporciones Diana tiene el listado de ingredientes para preparar una rica mazamorra morada para 10 personas. Si tuviera que preparar mazamorra para 30 personas:

1. ¿Cuántos gramos de chuño necesitará? 2. ¿Cuántos kilogramos de maíz necesitará? 3. ¿Qué es una razón? Ficha nivel cero

Proporcionalidad Desde la antigüedad el hombre usa las proporciones para resolver problemas de cálculo comercial, tener precisión al realizar mezclas y para elaborar construcciones arquitectónicas de diversos tamaños. Hoy en día, se utilizan además, proporciones en la ampliación y reducción de figuras, en maquetas y en todo aquello que involucre porcentajes y escalas. La proporcionalidad se utiliza en física para expresar las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos; en química es la base para las aleaciones, mezclas y soluciones; en matemática se emplea en problemas de semejanza de figuras geométricas, en descuentos e intereses; y en cartografía, para elaborar escalas.

Razón Es la comparación de dos cantidades de una misma magnitud, esta comparación puede ser mediante la sustracción o la división de dichas cantidades. Clases de razón A. Razón aritmética (R.A) Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Dadas las cantidades “a” y “b” se cumple: antecedente razón aritmética a–b=r consecuente

Ejemplo: La edad de Beto es 30 años y la edad de Carlos es 5 años. Determina la razón aritmética de sus edades. Solución: Del enunciado tenemos: R.A. = r = 30 – 5 = 25 Interpretación: La edad de Beto excede a la edad de Carlos en 25 años.

B. Razón geométrica (R.G) Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Dadas las cantidades “a” y “b” se cumple: antecedente

a = k b

Ficha de refuerzo

PPT Clase interactiva

razón geométrica

consecuente

Ejemplo: En una reunión hay 35 mujeres y 28 varones. Determina la razón geométrica del número de mujeres con respecto al número de varones. Solución: Del enunciado tenemos: R.G = k = M = 35 = 5 V 28 4 Interpretación: La cantidad de mujeres es a la cantidad de varones como 5 es a 4.

Proporción Una proporción es la igualdad de dos razones de una misma clase. Clases de proporción A. Proporción aritmética Una proporción aritmética es la igualdad de dos razones aritméticas. términos medios

a–b=c–d términos extremos

Propiedad Suma de términos = medios

Suma de términos extremos

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 142. Matemática I

133


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo: 21 – 13 = 15 – 7 Términos medios: 13 y 15 Términos extremos: 21 y 7 Tipos de proporción aritmética a. Proporción aritmética discreta Es aquella donde todos sus términos son diferentes. a–b=c–d Donde: “d” es la cuarta diferencial de “a”, “b” y “c”. Ejemplo: Calcula la cuarta diferencial de 7; 4 y 11. Solución: 7 – 4 = 11 – d 3 = 11 – d d=8 b. Proporción aritmética continua Es aquella donde los términos medios son iguales. a–b=b–c Donde: “b” es la media diferencial de “a” y “c”. “c” es la tercera diferencial de “a” y “b”. Ejemplo 1: Calcula la media diferencial de 14 y 4. Solución: 14 – b = b – 4 18 = 2b b=9 Ejemplo 2: Calcula la tercera diferencial de 19 y 12. Solución: 19 – 12 = 12 – c 7 = 12 – c c=5 B. Proporción geométrica Una proporción geométrica es la igualdad de dos razones geométricas. a c = b d términos extremos

términos medios

Ejemplo: 3 = 6 4 8 Términos medios: 4 y 6 Términos extremos: 3 y 8 Propiedad Producto de términos extremos

Matemática I

Producto de términos medios

Tipos de proporción geométrica a. Proporción geométrica discreta Es aquella donde todos sus términos son diferentes. a = c b d Donde: “d” es la cuarta proporcional de “a”, “b” y “c”. Ejemplo: Calcula la cuarta proporcional de 4; 32 y 5. Solución: 4 = 5 32 d

4d = 5 × 32 d = 40

b. Proporción geométrica continua Es aquella donde sus términos medios son iguales. a = b b c Donde: “b” es la media proporcional de “a” y “c”. “c” es la tercera proporcional de “a” y “b”. Ejemplo 1: Calcula la media proporcional de 12 y 3. Solución: 12 = b b 3

36 = b2 b=6

Ejemplo 2: Calcula la tercera proporcional de 3 y 6. Solución: 3 = 6 6 c

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 142.

134

=

3c = 36 c = 12


Para desarrollar en tu cuaderno

Propiedades de la proporción geométrica Si a = c , se cumple que: b d a.

Ejemplo: 3 = 15 = 3 + 15 4 20 4 + 20

a+b c+d = b d Ejemplo: 3 9 Si = 2 6

b.

3+2 9+6 = 2 6

Ejemplo: 18 6 18 – 6 = = 24 8 24 – 8

a–b = c–d b d

Si

5 10 = 6 12

a c a–c = = b d b–d

h.

Ejemplo:

c.

a c a+c = = b d b+d

g.

5 – 6 10 – 12 = 6 12

Razones geométricas equivalentes Se denominan así a las razones geométricas que tienen el mismo valor. a1 a a a = 2 = 3 =…= n = k b1 b2 b3 bn

a c = a+b c+d Ejemplo: Si

d.

20 5 = 8 2

20 5 = 20 + 8 5 + 2

a = c a–b c–d

Constante de proporcionalidad

Propiedades a + a2 + a3 + … + an A. 1 =k b1 + b2 + b3 + … + bn B.

Ejemplo: Si

e.

8 16 = 6 12

8 16 = 8–6 16 – 12

a1 b1

m

=

a2 b2

Ejemplo: 10 + 3 = 40 + 12 10 – 3 40 – 12

a–b =c–d a+b c+d Ejemplo: 14 28 Si = 5 10

=…=

an bn

m

= km

Si a + b + c + d = 48; calcula el valor de la constante de proporcionalidad. Solución:

f.

m

Ejemplo: Dada la siguiente serie de razones geométricas equivalentes: a = b = c = d 2 3 5 6

a+b c+d = a–b c–d Si 10 = 40 3 12

C.

a1 · a2 · a3 · … · an = kn b1 · b2 · b3 · … · bn

Por propiedad 14 – 5 28 – 10 = 14 + 5 28 + 10

a = b = c = d =k 2 3 5 6 a+b+c+d =k 2+3+5+6 48 = k k=3 16

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 142. Matemática I

135


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Pablo tiene 45 canicas y su amigo Luis tiene 28 canicas. Determina la razón aritmética entre el número de canicas de Pablo y Luis, luego interpreta dicho valor. Solución: Pablo: 45 canicas Luis: 28 canicas r = 45 – 28 r = 17 Es decir, el número de canicas de Pablo excede al número de canicas de Luis en 17 canicas. 2. Marta y Rocío van de compras a un centro comercial. Si Marta tiene S/. 450 y Rocío tiene S/. 150; determina la razón geométrica entre las sumas de dinero que tienen, luego interpreta dicho valor. Solución: Marta: S/. 450 Rocío: S/. 150 r = 450 150 r=3 Es decir, Marta tiene 3 veces la cantidad de dinero que tiene Rocío. 3. Dos números están en la razón de 7 a 3, si la diferencia de ellos es 36, calcula el número mayor. Solución: Por dato: a = 7 a = 7k; b = 3k b 3 Además: 7k – 3k = 36 4k = 36 k = 9 Piden: n° mayor = 7k = 7(9) = 63 Rpta.: El número mayor es 63 4. Calcula la cuarta diferencial de 13; 8 y 17. Solución: Sea la cuarta diferencial "d", luego: 13 – 8 = 17 – d 5 = 17 – d d = 12 Rpta.: La cuarta diferencial es 12.

5. Determina la media diferencial de 27 y 13. Solución: Sea la media diferencial "b", luego: 27 – b = b – 13 40 = 2b 20 = b Rpta.: La media diferencial es 20. 6. Calcula la cuarta proporcional de 5; 20 y 4. Solución: Cuarta proporcional: d 5 = 4 20 d 5d = 80 d = 16 Rpta.: La cuarta proporcional es 16. 7. Calcula la media proporcional de 27 y 3. Solución: Media proporcional: b 27 = b b 3 81 = b2 9=b Rpta.: La media proporcional es 9. 8. Dada la siguiente serie de razones geométricas equivalentes: a = b = c = d 2 3 5 6 Si a + b + c = 30, calcula el valor de “c + d”. Solución: De: a = b = c = d = k 2 3 5 6 Por propiedad: a+b+c =k 2+3+5 Por dato: 30 = k k=3 10 También se cumple: c + d = k 5+6 c + d = 3 11 c + d = 33 Rpta.: El valor de “c + d “ es 33.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 142.

136

Matemática I


Magnitudes proporcionales Para desarrollar en tu cuaderno Distancia (km)

36 30 24 18 12 6

Un paseo saludable Martha recorre los parques de su distrito diariamente con la finalidad de mantener una vida saludable. La gráfica que se muestra en la imagen representa los kilómetros recorridos por cada hora. 1 2 3 4 5 6 7 Tiempo (h)

1. ¿A qué ritmo camina Martha? 2. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido Martha en 10 horas? 3. ¿Qué son magnitudes directamente proporcionales? Ficha nivel cero

Magnitudes La longitud, el peso, el tiempo, la velocidad, el precio, el número de obreros, son algunos ejemplos de magnitudes. Una magnitud es todo aquello que es susceptible a sufrir variación, ya sea de aumento o disminución y por lo tanto, puede ser medido. Proporcionalidad directa Se establece al comparar magnitudes directamente proporcionales. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.) Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. Para este tipo de magnitudes se cumple que el cociente de sus valores correspondientes es siempre constante. Luego tenemos que: Si A y B son magnitudes directamente proporcionales (A D.P. B), entonces, se cumple: Valores de la magnitud A = constante Valores de la magnitud B Gráficamente:

Además, se cumple que: a1 a a a = 2 = 3 = 4 =k b1 b2 b3 b4

PPT

Ejemplo 1: El siguiente cuadro muestra algunos valores para las magnitudes “costo” por kilogramos de azúcar y “cantidad” de azúcar. Magnitudes A: Costo B: kg azúcar

Valores correspondientes 3 6 9 12 … 1 2 3 4 …

• Podemos observar del cuadro que el cociente de los valores correspondientes de cada magnitud es una constante. 3 6 9 12 = = = =…=3 1 2 3 4 • Además a medida que aumentan o disminuyen los valores de la magnitud “cantidad”, aumentan o disminuyen respectivamente los valores de la magnitud “costo”. Luego, Costo D.P. Cantidad Gráficamente: Costo(S/.)

Magnitud A

Ficha de refuerzo

A

a4

12

a3 a2

9

a1

3

6

b1 b2

b3

b4

1

2

3

4

Magnitud B

B

(kg azúcar)

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

137


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo 2: El siguiente cuadro muestra algunos valores correspondientes a las magnitudes número de máquinas y producción de pantalones. n° de máquinas Producción (n° de pantalones)

4

x

10

200

400

y

Gráficamente: Magnitud A a4 a3 a2 a1

Calcula el valor de "x + y".

b1 b2 b3

Solución: Observamos que: nº de máquinas D.P. producción entonces se cumple: 4 x 10 = = 200 400 y • •

4 x = 200 400 4 10 = 200 y

a1

×

b4 = a2

×

y = 500

Solución: Como “A” es D.P. a “B”, entonces, se cumple: 10 A = 30 45 A = 15 Proporcionalidad inversa Se establece al comparar magnitudes inversamente proporcionales. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.) Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra disminuye o al disminuir una de ellas, la otra aumenta en la misma proporción. Para este tipo de magnitudes se cumple que el producto de sus valores correspondientes es siempre constante. Luego, tenemos que: Si “A” y “B” son I.P., entonces:

b2 = a4

×

b1 = k

Valores de la = constante magnitud B

Valores correspondientes

A: n° de obreros

80 40

20 10 …

B: n° de días

12 24

48 96 …

• Podemos observar del cuadro que el producto que se obtiene al multiplicar los valores correspondientes de cada magnitud es una constante. 80 × 12 = 40 × 24 = 20 × 48 = 10 × 96 =… = 960 • Además a medida que disminuyen o aumentan los valores de la magnitud “número de obreros”, aumentan o disminuyen respectivamente los valores de la magnitud “número de días”.

Luego, n° de obreros I.P. n° de días Gráficamente: (nº obreros) A 80

40 20 10 12

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

×

Ejemplo 1:

Magnitudes

Ejemplo 3: Si “A” es D.P. a “B”; además cuando A = 10, B = 30, calcula el valor de “A”, cuando B = 45.

138

b3 = a3

El siguiente cuadro muestra algunos valores para las magnitudes “número de obreros” y “número de días” que demoran en realizar cierta obra.

x=8

×

Magnitud B

Además, se cumple que:

Piden: x + y = 8 + 500 = 508

Valores de la magnitud A

b4

24

48

96

B (nº días)


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo 2: En la siguiente tabla se presentan ciertos valores de las magnitudes, velocidad y tiempo. Calcula el valor de "3a + b"

Es decir: n° de vueltas x n°de dientes = constante

Velocidad (m/s)

20

5

b

Ejemplo 1:

Tiempo (s)

8

a

10

Dos ruedas en contacto dan 20 y 21 vueltas. Si la primera rueda tiene 42 dientes, ¿cuántos dientes tendrá la segunda rueda?

Solución: Observamos que velocidad I.P. tiempo. Entonces se cumple: 20 × 8 = 5 × a = b × 10 • 20

×

8=5

×

a

• 20

×

8=b

×

10

a = 32 b = 16

Solución: Se cumple: (n° dientes)

×

(n° vueltas) = constante

Piden: 3a + b = 3(32) + 16 = 112

ND1

Ejemplo 3: Si “P” es I.P. a “Q”; además, cuando P = 15, Q = 21, calcula el valor de “P” cuando Q = 35.

Luego, la segunda rueda tiene 40 dientes.

Solución: Como “P” es I.P. a “Q”, entonces, se cumple: 15 × 21 = P × 35 315 = 35P P=9

El gráfico muestra dos engranajes en contacto, si "A" gira 18 vueltas, ¿cuántas vueltas girará "B"?

×

42

NV1 = ND2

×

20 = d2

×

×

NV2

21

d2 = 40

Ejemplo 2:

A

Ruedas dentadas o engranajes B

Solución:

Una rueda dentada es un mecanismo de forma circular que transmite movimiento mediante dientes, las cuales rodean la rueda en todo su perímetro. Para dos ruedas dentadas o engranajes que están en contacto se cumple que el número de vueltas que da una de ellas es inversamente proporcional al número de dientes que tiene.

Del gráfico observamos que el engranaje "A" tiene 20 dientes y el engranaje "B" tiene 10 dientes, luego se cumple: NDA × NVA = NDB × NVB 20 × 18 = 10 × NVB NVB = 36 Luego, el engranaje B girará 36 vueltas.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

139


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Si una docena de libros cuesta S/. 72, ¿cuánto costarán 3 decenas de libros? Solución: Como (costo) D.P. (Nº de libros) entonces, se cumple: Costo = cte Nº de libros Reemplazamos valores: 72 x = 12 3(10) x = 180 Rpta.: Tres decenas de libros costarán S/. 180. 2. Calcula el valor de “x” en el siguiente cuadro si “A” y “B” son magnitudes. A B

6 4

27 18

15 x

8

y

Solución: Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple: • 80x = (50)(8) = 20y 80x = 400 x=5 • 20y = 400 y = 20 Piden: x + y = 5 + 20 = 25 Rpta.: El valor de "x + y" es 25

A

5

Valores correspondientes 80 50 20 x

5. En el gráfico mostrado A y B son magnitudes proporcionales, determina el valor de "x".

12

3. La siguiente tabla muestra algunos valores de dos magnitudes, determina el valor de “x + y”

Tiempo (h)

Rpta.: El valor de “M” es 12,5.

84

Solución: Analizamos sus valores correspondientes: 6 = 27 = 3 4 18 2 Entonces se deduce que A D.P. B, luego: 3 15 = 2 x x = 10 Rpta.: El valor de "x" es 10

Magnitudes Velocidades (km/h)

4. Si M es D.P. a N, además cuando M = 10; N = 4. Calcula el valor de “M” para N = 5. Solución: Como “M” es D.P. a “N” entonces, se cumple: 10 = M 4 5 M = 12,5

Matemática I

B

Solución: Del gráfico deducimos que A D.P. B, luego se cumple: 12 = 84 x = 35 5 x Rpta.: El valor de “x” es 35 6. Dos ruedas dentadas en contacto dan 72 y 63 vueltas. Si la primera rueda tiene 35 dientes, ¿cuántos dientes tendrá la segunda rueda? Solución: Sabemos que: ND1 × NV1 = ND2 × NV2 35 · 72 = ND2 · 63

40 = ND2

Rpta.: La segunda rueda tendrá 40 dientes.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146.

140

x


Para desarrollar en tu cuaderno

Regla de tres Es una operación que tiene por finalidad relacionar magnitudes proporcionales. A. Regla de tres simple (R.T.S.) Se utiliza para relacionar los valores de dos magnitudes proporcionales. Puede ser de dos tipos. a. Regla de tres simple directa Cuando se relacionan dos magnitudes directamente proporcionales. D.P.

Magnitud 1 a c

Magnitud 2 b x

Se cumple: bc x= a

ax = bc

Ejemplo 1: Si tres lapiceros cuestan S/. 11, ¿cuántos lapiceros podré comprar con S/. 66? Solución: D.P.

nº de lapiceros 3 x

Costo 11 66

Se cumple: 11x = 3 · 66 x = 18 Luego, podré comprar 18 lapiceros. Ejemplo 2: Si 12 metros de cable cuestan 42 nuevos soles, ¿cuánto costará 16 metros del mismo cable? Solución: n° de metros 12 16

D.P. Costo (S/.) 42 x

Se cumple: 12x = 16 · 42 x = 56 Luego, 16 metros de cable costarán S/. 56.

Ejemplo 3: Roberto cobra por pintar un cubo de madera de 5 cm de arista 4 nuevos soles. ¿Cuánto cobrará por pintar otro cubo de madera de 15 cm de arista? Solución:

D.P.

Área del cubo 6(5)2 6(15)2

Cobra 4 x

Se cumple: 6(5)2(x) = 6(15)2(4) 25x = 900 x = 36 Luego, Roberto cobrará 36 nuevos soles. b. Regla de tres simple inversa Cuando se relacionan dos magnitudes inversamente proporcionales. I.P

Magnitud 1 a c

Magnitud 2 b x

Se cumple: ab = cx

x=

ab c

Ejemplo 1: Si cuatro obreros pueden hacer una obra en 9 días, ¿cuántos días se demorarán 6 obreros en hacer la misma obra? Solución:

I.P.

n° de obreros 4 6 Se cumple: 4·9=6·x x=6 Luego, se demorarán 6 días.

nº días 9 x

Ejemplo 2: En una fábrica 40 máquinas pueden producir cierta cantidad de pantalones en 30 días, ¿cuántas máquinas se necesitarán para realizar la misma producción, en 25 días?

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

141


Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: I.P. nº máquinas 40 x

nº días 30 25

D.P.

Luego, se necesitarán 48 máquinas. Ejemplo 3: Un grupo de obreros desean realizar una obra en 20 días, pero como faltaron 3 de ellos, los demás tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron en la obra?

I.P.

Casas

Años

h/diarias

16 x

8 16

8 4

3 6

Se cumple: 40 · 30 = 25 · x x = 48

I.P.

Personas

Si las magnitudes que se comparan son D.P., entonces la columna de datos se mantiene, en cambio si las magnitudes son I.P., entonces la columna de datos se invierte. En el problema, se cumple: 16 = 8 · 4 · 6 x 16 8 3 x = 32 Luego, lo construirán 32 personas.

Solución: I.P. n° obreros x x–3

nº días 20 (20 + 4)

Se cumple: x(20) = (x – 3)24 20x = 24x – 72 4x = 72 x = 18 Luego, trabajaron realmente 15 obreros.

B. Regla de tres compuesta Es un método que se utiliza cuando en un problema participan más de dos magnitudes proporcionales. Método de comparación por parejas Consiste en comparar todas las magnitudes con aquella magnitud que contiene a la incógnita. Ejemplo: Se sabe que 16 personas construyen 8 casas en 8 años, trabajando 3 horas diarias. ¿Cuántos personas construirán el doble de casas en la mitad del tiempo anterior, trabajando 6 horas diarias?

Método de proporcionalidad constante Consiste en encontrar una relación entre todas las magnitudes para luego reemplazar los datos. Ejemplo: Una cuadrilla de 20 obreros pueden realizar una obra en 10 días con un rendimiento del 10%. ¿Cuántos obreros realizarán 5 obras de igual dificultad que la anterior en 20 días con un rendimiento del 20%? Solución: Analizamos las magnitudes que intervienen. n° de obreros I.P. Tiempo n° de obreros I.P. Rendimiento n° de obreros D.P. Obra Luego, se puede establecer la siguiente relación: Obreros

×

Tiempo × Rendimiento = constante Obra

Reemplazamos los datos 20 · 10 · 10 = x · 20 · 20 1 5 2 000 = 80x x = 25 Luego, lo realizarán 25 obreros.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146.

142

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Un caño arroja 30 litros de agua en 20 minutos, ¿cuántos litros de agua arrojará en 8 minutos? Solución: D.P. nº litros 30 x

tiempo 20 8

Se cumple: 30 · 8 = x · 20 x = 12 Rpta.: Arrojará 12 litros de agua 2. Un conejo salta 3 veces en 2 segundos. ¿Cuánto tiempo tardará en saltar 126 veces? Solución: D.P. Nº de veces 3 126

Tiempo 2 x

Se cumple: 3x = 126 · 2 x = 84 Rpta.: Tardará 84 segundos. 3. Un barco tiene provisiones para 96 tripulantes durante 25 días, pero solo viajaron 60 tripulantes. ¿Cuánto tiempo durarán los víveres? Solución: I.P. n° de tripulantes 96 60 Se cumple: 96 · 25 = 60 · x x = 40 Rpta.: Durarán 40 días

n° días 25 x

4. Un grupo de obreros realiza una obra en 60 días trabajando a razón de 8 horas diarias, ¿qué tiempo demorarán en realizar la misma obra, si trabajan a razón de 6 horas diarias? Solución: I.P. nº días nº horas 60 8 x 6 Se cumple: 60 · 8 = x · 6 x = 80 Rpta.: Demorarán 80 días. 5. Si 14 personas emplean 28 días en pintar 140 metros de la línea central de una autopista ¿cuántos metros pintarán 18 personas en 35 días? Solución: N° personas N° días Nº metros 14 18

28 35 D.P.

140 x

D.P.

Se cumple: 140 · 18 · 35 x= 14 · 28 140 = 14 · 28 x = 225 x 18 35 Rpta.: Pintarán 225 metros. 6. Veinte obreros construyen 3 zanjas de 18 metros de largo cada uno en 27 días. Determina el tiempo que tardarán 15 obreros para construir 4 zanjas iguales, pero de 36 metros de largo. Solución: N° obreros N° zanjas Nº metros Nº días 20 3 18 27 15 4 36 x I.P.

Se cumple: 27 = 18 · 3 · 15 x 36 4 20 Rpta.: Tardarán 96 días.

D.P.

D.P. 3 9

2

4

x = 27 · 36 · 4 · 20 18 · 3 · 15 1

1

51

x = 3 · 2 · 4 · 4 = 96

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 146. Matemática I

143


Porcentajes Para desarrollar en tu cuaderno

Andar en bicicleta es salud Estudios revelan que andar en bicicleta reduce el riesgo de infartos hasta en un 50%, ya que al pedalear, el ritmo cardíaco va en aumento mientras que la presión sanguínea decrece.

1. ¿Qué representa el símbolo %? 2. ¿Qué significa 50%? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Porcentajes En la vida diaria se observa muy a menudo el uso del tanto por ciento en diversas formas tales como: • “De cada 10 alumnos solo dos desaprobaron el curso de matemática”. • “Se nota que 3 de cada 20 deportistas son de Lima” • “El índice de desempleo en el año 2011 aumentó en un 12% respecto al año 2010”. • “En el departamento de Puno el 60% de los niños sufren de enfermedades respiratorias”. • “Por esta semana se ofrecen descuentos desde el 20% hasta un 40%”. Las ganancias o pérdidas, las rebajas o descuentos, comisiones, entre otros, se expresan siempre en un tanto por ciento; es decir, en un tanto por cada cien; de aquí, la importancia del estudio de este tema por su aplicación en la vida diaria. Tanto por ciento o porcentaje “Por ciento” viene del latín per centum que significa por cada cien ”. El lenguaje de los porcentajes o por cientos es una forma especial del lenguaje de las razones . Cuando decimos “8 por ciento” de los estudiantes están ausentes, queremos decir que: Ocho de cada cien estudiantes están ausentes. 8 : 100 <> 8 <> 8% 100 El tanto por ciento de un número es el número de unidades que se toman por cada 100. También se llama tanto por ciento a una o varias de las cien partes iguales en que se divide un número, es decir, uno o varios centésimos de un número. Analiza el siguiente gráfico Para la parte sombreada, tenemos: 25 = 25 · 1 = 25% 100 100 Luego, la parte no sombreada es:

75 = 75 · 1 = 75% 100 100 Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 150.

144

Matemática I

Importante • Cualquier parte de 100 es menor que la unidad.

Por convención las palabras "de", "del", "de los", nos indicarán una multiplicación.

Recuerda • 100% < > 1 1 2 • 25% < > 14 • 20% < > 15 • 10% < > 101

• 50% < >


Para desarrollar en tu cuaderno Unidad

1 100

1 100

1 100

1 100

100 partes iguales

Tomar una parte de 100 es tomar una parte de cada cien, es decir el uno por ciento: 1 = 1%. 100 En forma general, se tiene: a % = a : 100 =

Ejemplos: • 60%N – 10%N + 20%N = 70%N • N – 30%N = 100%N – 30%N = 70%N • N + 15%N = 100%N + 15%N = 115%N ¿Qué porcentaje de b es a? Para determinar este valor podemos utilizar la siguiente relación:

a 100

Ejemplos: 1. Calcula el 20% de 50. Solución: 20% (50) = 20 (50) = 10 100

a × 100% b Ejemplos: 1. ¿Qué porcentaje de 1 500 es 375?

2. Calcula el 5% del 40% de 1 800. Solución: 5 · 40 · 1 800 = 36 100 100

Solución: Piden: 375 × 100% = 25% 1 500 2. ¿De qué cantidad es S/. 360 el 18%? Solución: Sea "x" la cantidad, luego

3. Calcula el 5% de 80: 5%(80) = 5 (80) = 4 100

18% 100%

4. Calcula el 60% del 500 por 600 de 20. 60 · 500 · (20) = 10 100 600 5. Calcula el 50% del 500 por 300 de 120. 50 · 500 · 120 = 100 100 300

360 x

x = 100 · 360 = 2 000 18 3. Si A = 5% del 20% de 800, B = 25% del 50% del 10% de 4 000, ¿qué tanto por ciento es A de B?

Toda cantidad representa el 100% de sí misma, es decir: N = 100% N

Solución: • A = 5 × 20 × 800 100 100 A = 8

Operaciones del tanto por ciento para un misma cantidad

• B = 25 × 50 × 10 × 4 000 100 100 100 B = 50

Sea “N” la cantidad, luego: a% N + b% N = (a + b)% N

Piden: A × 100% = 8 × 100% B 50

a% N – b% N = (a – b)% N

= 16%

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 150. Matemática I

145


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Calcula el 20% de 400. Solución: Piden:

5. En un colegio hay 350 alumnos. ¿Cuántos alumnos son de primer año de secundaria si estos representan el 12% del total? Solución: n° alumnos: 12% × 350 = 12 × 350 100 = 42

20 × 400 = 80 100 Rpta.: 80 2. Calcula el valor de la siguiente expresión: A = 20% de 80 + 25% de 200. Solución: A = 20 × 80 + 25 × 200 100 100 A = 16 + 50 A = 66 Rpta.: El valor de "A" es 66. 3. Si el 30% de “x” es 150, calcula el valor de “x”. Solución: Por dato: 30%(x) = 150 30 · x = 150 100 x = 500 Rpta.: El valor de "x" es 500. 4. En una reunión social hay 300 personas, si el 40% son varones, ¿cuántas mujeres hay? Solución: Por dato: n° varones = 40% (300) = 120

Rpta.: Son 42 alumnos. 6. ¿Qué porcentaje es 30 de 50? Solución: Piden: 30 × 100% = 60% 50 Rpta.: Es el 60% 7. María tiene 40 colores y Rosa tiene 50 colores. ¿Qué porcentaje representa el número de colores que tiene Rosa respecto de María? Solución: Piden: n° colores Rosa × 100% = 50 · 100% = 125% n° colores María 40 Rpta.: Representa el 125% 8. El año pasado, un equipo de fútbol ganó 60 partidos. Este año ganó 90 partidos, ¿cuál es el porcentaje de aumento de los partidos ganados? Solución: Aumento: 90 – 60 = 30

n° mujeres = 300 – 120 = 180

Piden: 30 × 100% = 50% 60

Rpta.: Hay 180 mujeres.

Rpta.: El porcentaje de aumento es el 50% Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 150.

146

Matemática I


Aplicaciones comerciales Para desarrollar en tu cuaderno

Aprovechemos las promociones Muchos tiendas deportivas realizan por temporadas variadas promociones y ofertas con la finalidad de captar mayor cantidad de clientes. Roberto es un atleta y compró en una tienda un par de zapatillas para correr a S/.250. Al pagar, el cajero le indica que dicho artículo tiene un descuento del 20%.

1. ¿A cuánto asciende el descuento? 2. ¿Cuál será el pago final que realizará Roberto por la compra? Ficha nivel cero

Aplicaciones comerciales En las operaciones comerciales se suele expresar las ganancias o pérdidas como un tanto por ciento del costo o de la venta, por eso encontramos expresiones como: • Gané el 30% del costo. • Gané el 20% del precio de venta. • Perdí el 15% del costo. En nuestra vida cotidiana observamos aplicaciones del tanto por ciento a los impuestos, por ejemplo toda persona que efectúa una compra paga el 18% de recargo del precio fijado, denominándose a esto el I.G.V. (Impuesto general a las ventas). Para las transacciones comerciales los términos que se utilizan son los siguientes: Pv Pc G P Pf D

Precio de venta Precio de costo Ganancia Pérdida Precio fijado o Precio de lista Descuento

Casos a. Si en la transacción comercial hay ganancia: Pv = Pc + G

(Pv > Pc)

b. Si la transacción comercial origina una pérdida: Pv = Pc – P

(Pv < Pc)

c. Si en la transacción comercial se aplica un descuento: Pv = Pf – D

Al resolver este tipo de problemas, debemos tener en cuenta las siguientes recomendaciones: • Todo porcentaje de ganancia o pérdida que no refiera unidad se asume que es referida al precio de costo. • Todo descuento, mientras no se diga lo contrario, se referirá al precio de lista. • Al fijar el precio de un artículo se está incluyendo en él, el costo, la ganancia y el descuento que se piense hacer.

Ficha de refuerzo

PPT

Pf = Pc + G + D Ejemplo 1: Se vende un artefacto en S/. 600 con una ganancia del 20%. ¿Cuál es el precio de costo? Solución: Sabemos que: Pv = Pc + G. La ganancia es el 20% ¿de qué?, como no se indica, asumimos que es respecto al costo. Reemplazamos los datos y tenemos que: Pv = Pc + 20% Pc 600 = 120% Pc 600 = 120 · Pc 100 Pc = S/. 500 Ejemplo 2: El precio de un pantalón se ha fijado en S/.50, pero esta semana, está con el 30% de descuento. ¿Cuál será el precio de venta? Solución: Si hay descuento sabemos que: Pv = 70%Pf Pv = Pf – D Pv = Pf – 30% Pf Pv = 70 · 50 Pv = 35 100

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 154. Matemática I

147


Para desarrollar en tu cuaderno

Ejemplo 3: ¿Qué precio se debe fijar a una computadora que costó S/. 460, de modo que al venderla se realice un descuento de S/. 120 y aun se gane S/. 180? Solución: Tenemos los siguientes datos: Pc = 460, G = 180, D = 120, Pf = ? Sabemos que: Pf = Pc + G + D Pf = 460 + 180 + 120 Pf = 760 Luego, el precio que se debe fijar es S/. 760 Descuentos sucesivos Para determinar la relación a aplicar, analicemos la siguiente situación. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 25%? Solución: Sea cantidad inicial “N”, luego al realizar el primer descuento quedará: N – 20%N = 80%N . El segundo descuento se realizará sobre el 80%N. Entonces, lo que queda se calcula de la siguiente manera: 80%N – 25% (80%N) = 100% (80%N) – 25% (80%N) = 75% (80%N) = 75 · 80%N = 60%N 100

Ejemplo: ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 40% y 20%? Solución: Por fórmula: Du = 40 + 20 – 40 · 20 % 100 = (60 – 8)% = 52% Aumentos sucesivos Para determinar la relación a aplicar, analicemos la siguiente situación: ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 30%? Solución: Sea la cantidad inicial “N”, luego al realizar el primer aumento se tendrá: N + 20%N = 120%N Luego se realiza el segundo aumento que será sobre 120%N. 120%N + 30% ( 120%N ) 100% (120%N) + 30% (120%N) = 130% (120%N) = 130 · 120%N = 156%N 100 Por lo tanto el aumento único será: 156%N – N = 56%N. Forma práctica Para calcular dos aumentos sucesivos del a% y b% se aplica la siguiente relación: Aumento único(Au) = a + b +

Por lo tanto, el descuento único será: N – 60%N = 40%N.

Para la situación anterior:

Forma práctica Para calcular dos descuentos sucesivos del a% y b% se aplica la siguiente relación:

Au = 20 + 30 +

Descuento único(Du) = a + b – ab % 100 Para la situación anterior: Du = 20 + 25 –

20 · 25 % = 40% 100

20 · 30 % = 56% 100

Ejemplo: ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 40% y 20%? Solución: Por fórmula: Au = 40 + 20 +

40 · 20 % = 68% 100

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 154.

148

Matemática I

ab % 100


Para desarrollar en tu cuaderno

1. María desea comprar una lavadora que cuesta S/. 1 200. Si la compra al crédito, le cobran un interés del 15%. ¿Cuánto pagará al final por dicha lavadora, si la compra al crédito? Solución: Calculamos el porcentaje a pagar: 100% + 15% = 115% María pagará el 115% del valor de la lavadora. 115% de 1 200 = 115 × 1 200 = 1 380 100 Rpta.: Pagará S/. 1 380. 2. Pedro compra un televisor de S/. 1 420. con un descuento del 18%. ¿Cuánto dinero pagó por el televisor? Solución: Calculamos el porcentaje a pagar 100% – 18% = 82% Pedro pagará el 82% del valor del televisor. 82% de 1 420 = 82 × 1 420 100 82% de 1 420 = 1 164, 4 Rpta.: Pagará S/. 1 164,4. 3. Un comerciante vende una cocina en S/. 800 perdiendo el 20% del precio de costo. ¿Cuál fue dicho precio? Solución: De : Pv = Pc – P Pv = Pc – 20% Pc Pv = 80%Pc 800 = 80 Pc 100 Pc = 1 000 Rpta.: El precio de costo fue de S/. 1 000.

4. ¿A qué precio se debe vender un reloj que costó S/. 270 para ganar el 10% del precio de venta? Solución: Pv = Pc + G Pv = Pc + 10%Pv Pv – 10% Pv = Pc 90% Pv = Pc 90 Pv = 270 100 Pv = 300 Rpta.: Se debe vender S/. 300. 5. Se vende un pantalón a S/. 75 con una ganancia del 25%. ¿Cuál fue el precio de compra y la ganancia? Solución: De los datos: Pv = Pc + 25% Pc Pv = 125% Pc 75 = 125 Pc 100 Pc = 60 Luego: G = 25%(60) G = 15 El precio de compra es S/. 60 y la gaRpta.: nancia es S/. 15. 6. Roberto vende una Tablet a S/. 550. Si en dicha operación ganó el 10% del precio de costo, ¿cuánto dinero ganó? Solución: De : Pv = Pc + G Pv = Pc + 10%Pc Pv = 110%Pc 550 = 110 Pc 100 Pc = 500 Piden : G = 10% ( 500) G = 50 Rpta.: Roberto ganó S/. 50.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 154. Matemática I

149


Para desarrollar en tu cuaderno

7. Un artículo se vendió en S/. 500 ganándose el 25% del costo. ¿A qué precio se debería vender para ganar el 30% del costo? Solución: De: Pv = Pc + G Pv = Pc + 25% Pc Pv = 125% Pc 500 = 125 Pc 100 Pc = 400 Sea Pv1 el nuevo precio de venta, entonces: Pv1 = Pc + 30% Pc Pv1 = 130%Pc Pv1 = 130 · 400 100 Pv1 = 520 Rpta.: Se debería vender a S/. 520. 8. Pablo vende dos productos en S/. 7 800. Si en uno de ellos gana el 20% de su costo y en el otro pierde el 25% de su costo, indica cuánto gana o pierde al final Pablo. Solución: Sea Pc el precio de costo de cada producto, por dato: Para el producto 1 Pv1 = Pc + 20%Pc Pv1 = 120%Pc…(I) Para el producto 2 Pv2 = Pc – 25%Pc Pv2 = 75% Pc… (II) Por dato: Pv1 + Pv2 = 7800… (III) Reemplazamos en (I) y (II) en (III) 120%Pc + 75% Pc = 7800 195% Pc = 7800 Pc = 4000 En los 2 productos gastó S/. 8 000 y los vendió en S/. 7 800, entonces al final perdió S/. 200 Rpta.: Pablo perdió S/. 200.

9. Un comerciante vendió un equipo de sonido en S/. 2 800 ganando el 12% del costo más el 8% del precio de venta. Calcula el precio de costo. Solución: De: Pv = Pc + G Pv = Pc + 12% Pc + 8% Pv Pv – 8% Pv = 112% Pc 92% Pv = 112% Pc 92 × 2800 = 112 × Pc Pc = 2300 Rpta.: El precio de costo es S/. 2300 10. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 20%? Solución: Por fórmula: 20 · 20 Du = 20 + 20 – % 100 Du = 36% Rpta.: Equivalen a un descuento del 36%. 11. Determina a qué aumento único equivaldrían dos aumentos sucesivos del 30% y 10%. Solución: Por fórmula: 30 · 10 Du = 30 + 10 + % 100 Du = 43% Rpta.: Equivaldrían a un aumento del 43% 12. Marcos compró una laptop en S/. 4 000. Si la vende a su amigo Raúl con dos incrementos sucesivos del 10% y 25% sobre su precio inicial, ¿cuánto pagará Raúl por la compra? Solución: Determinamos el aumento único (Au) 10 · 25 Au = 10 + 25 + % 100 Au = 37,5% Luego, Raúl pagará: 4 000 + 37,5% (4 000) = 4 000 + 1 500 = 5 500 Rpta.: Raúl pagará S/. 5 500.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 154.

150

Matemática I


Expresiones algebraicas Para desarrollar en tu cuaderno

Expresamos cantidades Un ciclista se alista para una competencia, para ello debe llevar agua en pequeños recipientes y así poder hidratarse durante su recorrido. Él decide llevar dos recipientes de modo que la capacidad de uno de ellos sea el doble del otro.

1. Asígnale un valor (variable) a la capacidad del recipiente pequeño. 2. Determina el valor que representa la capacidad del recipiente grande. 3. Determina una expresión que represente el volumen total de agua que lleva el ciclista. Ficha nivel cero

Conceptos previos El Álgebra es una de las ramas de la Matemática que más ha ayudado al desarrollo de la ciencia en todos sus campos. Para estudiar a la cantidad del modo más general posible, el álgebra emplea “constantes y variables”. Constante Una constante es un símbolo que admite un solo valor conocido o definido. Por ejemplo: 5, –7, 1 , p, etc. 2 Variable Una variable es un símbolo que admite cualquier valor, dependiendo de la expresión de la que forme parte. Estos símbolos son por lo general las últimas letras del alfabeto. Por ejemplo: x ; y; z ; m ; t ; … Notación algebraica La notación algebraica se utiliza para diferenciar las variables y constantes de una expresión matemática. Sea la expresión matemática M(a; b) = 5a3 + 3ab2 + 4b + 5 P(x; y) = 3x3 + 6y4 + 3x + 2xy + 4 Variables

Constantes

Variables

Ficha de refuerzo

Sabías que…? “Regla de la cosa” era el nombre con el que los árabes difundieron hace poco más de 1000 años lo que ahora conocemos como algebra. Por aquella época, un señor conocido como Al-juarismi fue enviado a recoger información científica a la India y escribió a su regreso un libro llamado “al-jagr wa-l-muqabala” que fue su obra maestra; de tal nombre deriva la palabra álgebra y significa “transposición y reducción de términos”. Este significado está relacionado con la solución de ecuaciones. Aljuarismi denominó “cosa” a lo que hoy conocemos como “incógnita”, cuya representación es una letra. A los árabes se debe la traducción, desarrollo y difusión de lo que años atrás conocieron los babilonios, los griegos y los hindúes.

PPT

Constantes

Expresión algebraica (E.A.) Una expresión algebraica es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con las 6 operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación, división , potenciación y radicación, en un número limitado de veces, siendo los exponentes de las letras, números racionales ( ). Son expresiones algebraicas: No son expresiones algebraicas: 1 1 3 7 • P(x; y) = 2x4y + 6x2y 2 – x • P(x) = x 3 + 6x 2 – 2 x 3 3 • Q(x; y) = 7x4y + 6y Porque los exponentes de las letras no pueden ser números irracionales. • Q(x) = x + x2 + x3 + x4 + … Porque tiene un número ilimitado de términos.

Recuerda El algebra es una rama de la Matemática que estudia a la cantidad, del modo más general posible y las operaciones que con ella se realizan, en los diferentes conjuntos numéricos.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 157. Matemática I

151


Término algebraico Un término algebraico es aquella expresión algebraica cuyas variables no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción.

Para desarrollar en tu cuaderno

Términos semejantes Dos o más términos son semejantes si tienen las mismas variables afectadas por los mismos exponentes. Ejemplo:

Elementos de un término algebraico

Son términos semejantes:

En todo término algebraico, se distinguen las siguientes partes: coeficiente, parte literal y exponentes.

• 3ab, –5ab, 12ab, ab

Exponentes

Signo

• 5x4, –7x4 , 8x4, – 3x4 • 2xy3, –5xy3, xy3

– 6 x3 yz6

• 3a2b3c, –6a2b3c, 3a2b3c

Parte literal o variable

No son términos semejantes: • 3x4, 5y4, –8x2, –5x3

Parte constante o coeficiente

• 4x4y2, –5xy3, –2x2y3 Ejemplos: • P(x; y; z) = 8x y z Las variables no están relacionadas por la adición o sustracción, entonces se trata de un término algebraico. 2 6

• Q(x; y; z) = 4x7 + 3y – 5z2 La variables x, y , z están relacionadas por la adición y sustracción, entonces NO es un término algebraico. Observa la siguiente tabla Término algebraico

Coeficiente

Parte Exponentes variable

3y6

• 12ab, –7a2c ,3abc • 8m5n, –7m5n2, 9m5np Reducción de términos semejantes Dos o más términos semejantes pueden reducirse a uno solo, si es que se están sumando o restando entre sí. Para ello se suman o restan sus coeficientes y el resultado se pone como coeficiente de la parte literal común. Ejemplos: a. 4x + 7x – 3x + 12x = (4 + 7 – 3 + 12 )x = 20x

P(x; y) = 45x3y6

45

x; y

Q(x; y) = 6x7y

6

x; y

7y1

c. –12ab + 7ab – 5ab = (–12 + 7 – 5)ab = –10ab

R(m; n) = –23mn4

–23

m; n

1y4

d. Si se cumple que: axny8 + 4x4yb + 3 = 9x4y8,

P(x) = – 1 x12 2

– 1 2

x

12

A(x; z) = 3x4z5

3

x; z

4y5

B(x; y; z) = x y z

1

x; y; z

1, 1, 1

R(m; n) = [(m)2]2 · n

1

m; n

4y1

b. 5x5y + 7x5y – 9x5y = (5 + 7 – 9)x5y = 3x5y

calcula el valor de "a + b + n". Solución: Por términos semejantes, se cumple: • a + 4 = 9 a=5 • n = 4 • b + 3 = 8 b=5 Piden: a + b + n = 5 + 5 + 4 = 14

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 157.

152

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

1. En la siguiente expresión algebraica, indica el coeficiente, las variables y los exponentes:

A(x; y; z) = –3x4y6z

Solución: Coeficiente: –3 Variables: x; y; z Exponentes: 4; 6 y 1

Solución: Del dato, el coeficiente es 8. 2a + 2b = 8 a + b = 4 … (I)

Rpta.: –3; x; y; z; 4; 6; 1. 2. En el siguiente término algebraico indica el coeficiente y el exponente. 3 5 A(x) = x 2 Solución: Coeficiente: 3 2 Exponente: 5 3 ; 5. Rpta.: 2

Además, el exponente es 6. 2c + 2 = 6 c=2 Piden: a + b + c = 4 + 2 = 6 Rpta.: El valor de “a + b + c” es 6.

6. Dados los términos semejantes (a + 5)x3by2c; 3x15y12, calcula el valor de “b + c”.

3. En la siguiente expresión algebraica, el coeficiente es igual a 10, calcula el valor de “a”. P(x) = (a + 5)x7 Solución: Del dato, el coeficiente es igual a 10. a + 5 = 10 a=5

Solución: Por términos semejantes, se cumple: 3b = 15 b=5 2c = 12 c=6 Piden: b + c = 5 + 6 = 11.

Rpta.: El valor de “b + c” es 11.

Rpta.: El valor de “a” es 5. 4. En la siguiente expresión algebraica el exponente de la variable es igual a 15, calcula el valor de “n”. P(x) = 3x3n Solución: Del dato, el exponente es igual a 15. 3n = 15 n = 5 Rpta.: El valor de “n” es 5.

5. En el siguiente término algebraico, calcula el valor de “a + b + c” si el coeficiente y el exponente son 8 y 6 respectivamente. Q(x) = (2a + 2b)x2c + 2

7. Reduce la siguiente expresión: E = 13ab2c – 10ab2c – 4ab2c. Solución: E = (13 – 10 – 4)ab2c E = (–1) ab2c E = –ab2c

Rpta.: –ab c. 2

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 157. Matemática I

153


Para desarrollar en tu cuaderno

8. Reduce la siguiente expresión: A = 8x3y – 4x3y – (–2x3y). Solución: A = 8x3y – 4x3y + 2x3y A = (8 – 4 + 2)x y 3

A = 6x3y Rpta.: 6x y. 3

11. Indica el número de términos que resulta al reducir la siguiente expresión: 5x2y + 3xy – 2xy2 + 6x2y – 2xy2 + 6xy2 – 8xy + 5 Solución: Agrupamos términos semejantes para efectuar la reducción: 5x2y + 3xy – 2xy2 + 6x2y – 2xy2 + 6xy2 – 8xy + 5 5x2y + 6x2y + 3xy – 8xy – 2xy2 – 2xy2 + 6xy2 + 5 11x2y + –5xy + 2xy2 + 5 Luego, tiene 4 términos.

9. Reduce las siguientes expresiones algebraicas: a. F(x) = 3x + 6x – 4x Solución: F(x) = (3 + 6 – 4)x = 5x b. E(a;b) = 12ab – 3ab + 4ab Solución: E(a;b) = (12 – 3 + 4)ab E(a;b) = 13ab

Rpta.: 4 términos. 12. Si (a + 2)xm + 2 + 6x8 = 12xn + 9 es una operación de términos semejantes. Calcula el valor de “m + a – n”. Solución: (a + 2)xm + 2 + 6x8 = 12xn + 9 Se cumple que: m+2=8 a + 2 + 6 = 12 m=6 a=4 n+9=8 n = –1

c. G(x) = 6x3 + 4x3 – 8x3 Solución: G(x) = (6 + 4 – 8)x3 G(x) = 2x3

Piden: 6 + 4 – (–1) = 11

Rpta.: El valor de “m + a – n” es 11.

10. Reduce la siguiente expresión, luego indica la cantidad de términos. E = 5a + b + c + 6a + 7b – 8c – a Solución: Agrupamos términos semejantes: E = 5a + 6a – a + b + 7b + c – 8c = (5 + 6 – 1)a + (1 + 7)b + (1 – 8)c = 10a + 8b – 7c

13. Si la suma de los siguientes términos semejantes es igual a la expresión 12x5y10, calcula el valor de “a · b · c”. (3a + 2)xby5c + 4x5y10. Solución: Por términos semejantes: b = 5 , 5c = 10 c=2 Luego (3a + 2 ) + 4 = 12 a=2 Piden: 2 · 5 · 2 = 20

Rpta.: “E” tiene 3 términos.

Rpta.: El valor de “a · b · c” es 20.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 157.

154

Matemática I


Polinomios Para desarrollar en tu cuaderno

Una merienda saludable Valentina organiza los alimentos que consumirá a media tarde, de la siguiente manera: Lunes: la mitad de una pera. Miércoles: un racimo de uvas más una manzana. Viernes: un cuarto de una naranja.

1. Si P representa a una pera, U a un racimo de uvas, M a una manzana y N a una naranja, determina una expresión que represente la cantidad de fruta que consumió Valentina durante una semana. Ficha nivel cero

Polinomios

Ficha de refuerzo

Un polinomio es una expresión algebraica donde sus exponentes son números enteros positivos, además tiene un número finito de términos. Forma general de un polinomio de una variable P(x) ≡ a0xn + a1xn–1 + … + an–1x + an ; (a0 ≠ 0) Donde: a0: Coeficiente principal a0, a1, … , an : Coeficientes an: Término independiente x: Variable

P(x) = –12x4 es un monomio pues tiene un solo coeficiente no nulo que es –12. También se puede decir que P(x) es un polinomio de un solo término.

PPT

b. Binomio Es el polinomio que está formado por dos términos no nulos. Ejemplo: Q(x) = 12 – 7x3 es un binomio, porque sus dos términos tienen coeficientes no nulos.

Notación variable P(x ; y) ≡ –5x2y7 nombre del polinomio

Ejemplo:

variables

Donde: Polinomio: P Variables: x; y Exponentes: 2; 7 Coeficiente: –5

c. Trinomio Es el polinomio que está formado por tres términos no nulos. Ejemplo: R(x) = 6 – 2x2 – x6 es un trinomio, porque sus tres términos tienen coeficientes no nulos.

Tipos de polinomios según el número de términos a. Monomio Es aquel polinomio que tiene un solo término no nulo.

Si un polinomio tiene 4 o más términos se nombra indicando el número de términos que posee. Ejemplo: P(x) = 16x3 + 4x2 + 6xy + 7y + y2 tiene 5 términos. Luego, P(x) es un polinomio de 5 términos.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160. Matemática I

155


Para desarrollar en tu cuaderno

Valor numérico (V.N.) Es el valor que toma un polinomio al sustituir las variables por constantes.

Ejemplo 3:

Ejemplo 1: Si P(x) = 2x2 + 5, calcula P(–1).

P(P(x)) = 3(3x2 + 2)2 + 2

Solución: Evaluamos el polinomio para x = –1, luego: P(–1) = 2( –1 )2 + 5 =7 Ejemplo 2: Calcula el V.N. del polinomio P(x; y; z) = 2x2y – 5xy3z + 3x4z3, para x = –1, y = 2, z =1. Solución: Reemplazamos los valores en el polinomio. P(–1; 2; 1) = 2(–1)2(2) – 5(–1)(2 )3( 1) + 3(–1)4(1)3 P(–1; 2; 1) = 4 – (– 40) + 3 P(–1; 2; 1) = 47 Cambio de variable Es el procedimiento mediante el cual la variable inicial de un polinomio se transforma en una nueva variable . Este procedimiento se emplea como alternativa para formar expresiones más sencillas que facilitan las operaciones. Ejemplo 1: Dado de polinomio P(x) = 5x3 + 2, si x = a P(a) = 5a3 + 2, si x = m + 1 P(m + 1) = 5(m + 1)3 + 2 Ejemplo 2: Si P(x – 1) = 3x – 1, calcula P(x + 2). Solución: P(x –1) = 3x –1 …(I) Realizamos un cambio de variable: Sea x –1 = m x = m + 1 …(II) Reemplazamos (II) en (I): P(m) = 3(m + 1) – 1 P(m) = 3m + 2 Volvemos a la variable inicial: P(x + 2) = 3(x + 2) + 2 P(x + 2) = 3x + 8

Si P(x) = 3x2 + 2, calcula P(P(x)). Solución: P(P(x)) = 3(9x4 + 12x2 + 4) + 2 P(P(x)) = 27x4 + 36x2 + 14 Grado de una expresión algebraica Es una característica que tienen las expresiones algebraicas. Existen dos tipos de grados: Grado absoluto (G.A.) y grado relativo (G.R.). Grado de un monomio A. Grado relativo (G.R.) El G.R. de una variable es el mayor exponente de dicha variable en el monomio. B. Grado absoluto (G.A.) Llamado también grado. Se calcula sumando los exponentes de todas las variables del monomio. Ejemplo: Si M(x; y; z) = 3a5x4y6z3; entonces: G.R.(x) = 4 ; G.R.(y) = 6 ; G.R.(z) = 3 G.A.(M) = 4 + 6 + 3 = 13 Grado de un polinomio A. Grado relativo (G.R.) El G.R. de una variable es el mayor exponente de dicha variable en el polinomio. B. Grado absoluto (G.A.) El G.A. de un polinomio es el mayor grado absoluto de sus términos. Ejemplo: Si P(x; y; z) = 2x7y3z + 5x4y10z2 – 3x6y3z4 G.A. = 11

G.R.(x) = 7 ; G.R.(y) = 10 ; G.R.(z) = 4 G.A.(P) = 16

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160.

156

Matemática I

G.A. = 16 G.A. = 13


Para desarrollar en tu cuaderno

Tipos de polinomios Polinomio

Homogéneo

Definición

Ejemplo

Es aquel polinomio en el cual todos sus térP(x; y) = 5x2y7 – x5y4 + 4x3y6 minos tienen el mismo 2+7 5+4 3+6 grado absoluto.

El grado de este polinomio se conoce como grado de homogeneidad.

Un polinomio está ordenado respecto a una P(x; y) = 5x2y10 – x6y4 +x7 variable si los exponentes de ella aumentan o disminuyen.

Está ordenado: a. De modo ascendentemente con respecto a ”x”. b. De modo descendentemente con respecto a “y”.

=9

Ordenado

Completo

Idénticos

Idénticamente nulo

Observaciones

Un polinomio está completo respecto a una de sus variables si dicha variable aparece en todos los términos desde el mayor exponente hasta el término independiente.

=9

=9

Si P(x) es un polinomio completo se cumple que P(y) = 9 + y – 5y2 + y3 el número de términos es Polinomio completo y ordenado ascenden- igual al grado de dicho polinomio aumentado en temente. uno. N° de términos = G.A.(P) + 1 P(m) ≡ 2m4 + 7m3 – 1 m2 + 3m – 10 2 Polinomio completo y ordenado descendentemente.

Dos polinomios son idénticos si y solo si Si ax2 + bx + c ≡ 5x2 – 8x + 1 los términos semejantes en ambos miem- Entonces: bros son iguales. ax2 = 5x2, bx = –8x , c = 1 a=5 b = –8 c=1

Si dos polinomios son idénticos entonces tienen el mismo valor numérico para cualquier valor de su variable. P(x) ≡ Q(x) P(a) ≡ Q(a); a =

Un polinomio reducido es idénticamente nulo si todos sus coeficien- Si: tes son iguales a cero . (a – 3)x2 + (2b + 1)x + (c – 4) ≡ 0

Si ax2 + bx + x ≡ 0 Entonces a = b = c = 0 Además, si un polinomio de grado “n” se anula para más valores de “n” diferentes entre sí, entonces, dicho polinomio es idénticamente nulo. Si P(x) ≡ 0 P(a) = P(b) = P(q) = 0 a, b, q son constantes numéricas

Entonces: a–3=0 a=3

2b + 1 = 0 b=– 1 2

c–4=0 c=4

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160. Matemática I

157


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Calcula el valor numérico de la siguiente expresión P(x) = 2x2 – 1, para x = 2. Solución: P(2) = 2(2)2 – 1 P(2) = 7

6. Determina el grado absoluto del siguiente polinomio: P(x; y) = 5x3y5 – 43x2y7 + 2x7 Solución: P(x; y) = 5x3y5 – 43x2y7 + 2x7 G.A. =

8

Rpta.: 7.

P(1) = 5(1)2 – 3(1) P(1) = 2 Rpta.: 2. 3. En monomio P(x; y) = 3x4y5, calcula G.R.(x) + G.R.(y). Solución: De la expresión tenemos que: G.R.(x) = 4 G.R.(y) = 5 Piden: 4 + 5 = 9. Rpta.: 9. 4. En el monomio M(x; y) = ax7y3, calcula G.R.(x), G.R.(y) y G.A.(M) Solución: De la expresión tenemos que: G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 3 G.A. = 7 + 3 = 10 Rpta.: 7; 3; 10. 5. En el polinomio P(x; y) = 2x2y3 + 3x5y, calcula: G.R.(x) + G.R.(y). Solución: El mayor exponente de “x” es 5: G.R.(x) = 5 El mayor exponente de “y” es 3: G.R.(y) = 3 Piden: G.R.(x) + G.R.(y) = 5 + 3 = 8 Rpta.: 8.

G.A. =

7

7. Calcula el valor del coeficiente de M(x; y) = (a + b)x2a – 4 yb – 3, si G.R.(x) = 12; G.R.(y) = 14. Solución: Por dato: G.R.(x) = 12 G.R.(y) = 14 2a – 4 = 12 b – 3 = 14 a=8 b = 17 Piden : coeficiente = a + b = 8 + 17 = 25 Rpta.: El coeficiente es 25. 8. Si el polinomio P(x; y) = 3xay4 + 2x5yb + 7x8y6 es homogéneo, calcula el valor de “a + b”. Solución: Observamos que el grado de homogeneidad es 8 + 6 = 14 , luego se cumple: • a + 4 = 14 a = 10 • 5 + b = 14 b=9 Piden : a + b = 10 + 9 = 19 Rpta.: El valor de “a + b” es 19. 9. Dado el siguiente polinomio homogéneo: P(x; y) = 2bxbyc + 5x7y2 + 3cxb + 7 Calcula la suma de coeficientes. Solución: Por polinomio homogéneo, se cumple: • b + 7 = 7 + 2 b=2 • b + c = b + 7 c=7 Piden: Suma de coeficientes = 2b + 5 + 3c = 2(2) + 5 + 3(7) = 30 Rpta.: La suma de coeficientes es 30.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160. Matemática I

9

Rpta.: 9.

2. Si P(x) = 5x2 – 3x, calcula P(1). Solución:

158

G.A. =

∴ G.A.(P) = 9


Para desarrollar en tu cuaderno

10. Calcula el valor de “a + b + c” si el polinomio P(x) = 2xa + 7 + 8x2a – b + 10 + 3xc + b – 4 es completo y ordenado en forma descendente. Solución: Como está completo y ordenado en forma descendente, entonces: • a + 7 = 2 a = –5 • 2a – b + 10 = 1 2(–5) + 9 = b b = –1 • c + b – 4 = 0 c + (–1) – 4 = 0 c = 5 Piden: a + b + c = –5 + (–1) + 5 = –1 Rpta.: El valor de "a + b + c" es –1. 11. Si (2a – 5)x2 + (3b + 1) x + 2c ≡ 5x2 – 8x + 10, calcula el valor de "a + b + c". Solución: Por polinomios idénticos, se cumple: • 2a – 5 = 5 a=5 • 3b + 1 = –8 b = –3 • 2c = 10 c=5 Piden: a + b + c = 5 + (–3) + 5 = 7 Rpta.: 7.

son polinomios idénticos.

Solución: Como son idénticos se cumple que: a = 3; 4 = 2b ; c+1=3 b= 2 c=2 Piden: a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7 Rpta.: 7.

Solución: Por polinomios idénticos, se cumple:

3a + 2b = 3 5a – 6b = –7 8a – 4b = –4

(+)

Rpta.: El valor de "8a – 4b" es –4.

14. Si se cumple que: m (x + n ) + n( x + m) ≡ 3x – 108, calcula el valor de "m – n" (m > n) Solución: Operamos en el dato: mx + mn + nx + nm ≡ 3x – 108 (m + n)x + 2mn = 3x – 108 m + n = 3 ; 2mn = –108 mn = –54 como m > n m = 9 ; n = –6 Piden: m – n = 9 – (–6) = 15 Rpta.: El valor de "m – n" es 15

12. Calcula el valor de “a + b + c”, si se sabe que: P(x) = ax3 + 4x2 + (c + 1)x y Q(x) = 3x3 + 2bx2 + 3x,

13. Si (3a + 2b)x2 + (5a – 6b) ≡ 3x2 – 7, calcula el valor de "8a – 4b".

15. Si el polinomio P(x) = (3a – 15)x2 + (2b – 10)x + 4c es idénticamente nulo, calcula el valor de "a + b + c". Solución: Por ser P(x) idénticamente nulo, se cumple: • 3a – 15 = 0 a=5 • 2b – 10 = 0 b=5 • 4c = 0 c=0 Piden: a+b+c=5+5+0 = 10 Rpta.: El valor de "a + b + c" es 10.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 160. Matemática I

159


* Todos debemos tributar Tributar significa pagar impuestos. La tributación tiene por objeto recaudar los fondos que el Estado necesita para su funcionamiento.

Superintendencia Nacional de Administración Tributaria (SUNAT)

• Es la encargada de la admi-

nistración, recaudación, control y fiscalización del tráfico internacional de mercancías, medios de transporte y personas dentro de nuestro territorio nacional. Por lo tanto, regula y controla diversos regímenes y operaciones aduaneras; entre las principales, tenemos la importación y la exportación.

Sistema Tributario Nacional

Componentes del tributo Hecho generador

Cuando se realiza la venta de bienes o la prestación de servicios en el país; así como los contratos de construcción.

Contribuyente

• Incrementar la recaudación. • Brindar al sistema tributario una mayor eficiencia, permanencia y simplicidad.

• Distribuir

equivalentemente los ingresos que corresponden a las Municipalidades.

Persona natural, jurídica o empresa que realiza una actividad económica, dando lugar al pago de tributos. Personas en forma individual o empresas que realizan transacciones de compra y venta de bienes o servicios.

Base de cálculo

Cantidad numérica expresada en términos de medida, sobre la cual se calcula el impuesto. El valor de venta del bien de la prestación del servicio o de la construcción.

• En

mérito a facultades delegadas, el Poder Ejecutivo, mediante Decreto Legislativo N° 771 dictó la Ley Marco del Sistema Tributario Nacional, vigente a partir desde 1994, con los siguientes objetivos:

Es la acción o situación determinada por la ley para tipificar un tributo.

Tasa

Es el valor porcentual establecido de acuerdo con la ley, a fin de determinar el monto del tributo que el contribuyente debe pagar al fisco. Es 18% compuesto por el 16%, que es el I.G.V. propiamente dicho, y el 2% correspondiente al Impuesto al Patrimonio Municipal.

Situación 1

Si una laptop tiene un valor de S/. 1 800, calcula cuánto cuesta con el IGV incluido.

„„ Pide a tu compañero (a) que te evalúe. Indicadores Aportamos ideas en el trabajo grupal. Respetamos las opiniones de nuestros compañeros. * Promueve el aprendizaje en equipo.

160

Matemática I


„„ Analiza el siguiente organizador visual y repasa lo aprendido. Aritmética

Aritmética

a – b = razón

a–b=c–d

Geométrica

PROPORCIONALIDAD

Razón

a = razón b

Geométrica

Proporción

a c = b d

EN MAGNITUDES

Directamente proporcionales (D. P.) a1 a2 a3 = = = k b1 b2 b3

a+d=b+c a×d=b×c

Inversamente proporcionales (I.P.) a1 × b1 = a2 × b2 = a3 × b3 = k REGLA DE TRES

Simple

Compuesta

Directa A a1 a2 x=

D.P.

a2 × b1

Inversa B b1

A a1

x

a2

a1

I.P.

a ×b x= 1 1 a2

B b1 x

a ·x 100

Pv = Pc + G

B D.P.

C

a1

b1

c1

a2

b2

x

x=

c1 × a2 × b1 a1 × b2

I.P.

PORCENTAJE a % de x =

A

aumento único

Au = a + b +

a×b % 100

descuento único

Du = a + b –

a×b % 100

Pv = Pc – P

PL = Pc + G + D

„„ Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje. a. b. c. d.

• •

¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad? ¿Qué estrategias utilicé para resolver mis dificultades? ¿Expliqué con mis palabras los conocimientos adquiridos? ¿En qué otras situaciones podría aplicar lo aprendido?

ESPINO Eyzaguirre, Andrés (1994). Factorización. Lima: Brasa, 63 p. ESPINO Eyzaguirre, Andrés (1994). Ecuaciones. Lima: Brasa, 63 p.

• http://www.ematematicas.net/polinomios.php?ejercicio=factoriza / Consultado el 10 de junio de 2015. • http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/ 1quincena7/index1_7htm / Consultado el 10 de junio de 2015. Matemática I

161


Actuamos solidariamente en situaciones adversas

Trabajamos 1. Describe lo que observas, luego menciona entre qué valores varía la temperatura en la ciudad de Puno en el tiempo de invierno? 2. ¿Entre qué valores varía la temperatura de tu ciudad en el verano? 3. Elabora un listado de productos u objetos que deberías tener al alcance en caso de ocurrir algún tipo de desastre. 4. ¿En qué situaciones de la vida cotidiana observas la utilidad de las unidades de medida? 162

Matemática I


Derec

en Apr di

h hos um

s ano

ental am

je fund za

Ejerce su ciudadanía

Nuestros aprendizajes Ante cualquier tipo de desastre, voluntarios de la Cruz Roja reciben la donación de organizaciones y personas. En la imagen los voluntarios, clasifican organizan y contabilizan los productos. (Operaciones con monomios y polinomios)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

• Describe una ecuación lineal reconociendo • •

Puno es una de las regiones de nuestro país que registra las temperaturas más bajas. La temperatura en la ciudad de Puno en invierno varía de –5º C a –16º C mientras que en Juliaca, la temperatura varía de –5º C a –8º C. (Inecuaciones de primer grado)

y relacionando los miembros, términos, incógnitas, y su solución. Selecciona y usa modelos referidos a sistemas de ecuaciones lineales al plantear y resolver problemas. Emplea estrategias heurísticas al resolver problemas de inecuaciones lineales.

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

• Reconoce •

las unidades principales de longitud, masa, tiempo, superficie y volumen. Matematiza situaciones reales utilizando las unidades de longitud, masa y capacidad.

El Fenómeno del Niño provoca en muchos casos inundaciones en algunos poblados de nuestro país. Evidencias geológicas confirman la existencia de este fenómeno en la costa peruana desde hace casi 13 mil años. (Unidades de tiempo)

Ingresa a las siguientes páginas web para complementar la información del tema tratado. • http://www.generaccion.com/magazine/1783/helada-puno • http://www.ditutor.com/sistema_metrico/unidades_medida.html

Matemática I

163


Operaciones con monomios y polinomios Para desarrollar en tu cuaderno

Contabilizamos productos Cuando ocurre algún siniestro, los voluntarios de la Cruz Roja no solo se encargan de preservar la salud y la vida de las personas, sino también se encargan de organizar las donaciones: entre víveres y demás productos que serán entregadas a los damnificados. En la imagen, los voluntarios agrupan, organizan y contabilizan productos.

1. ¿Se puede sumar 3 jabones con 5 bolsas de fideos?, ¿por qué? 2. ¿Qué condición deben cumplir los términos de una expresión algebraica para poder adicionarlas? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Operaciones con monomios Adición y sustracción de monomios Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal. Ejemplos: 1. 2xy + 5xy + 8xy = (2 + 5 + 8)xy = 15xy 2. 5x2y – 3x2y + 7x2y = (5 – 3 + 7) x2y = 9x2y

Recuerda am · an = am+n

3. –3xnym + 5xnym – 4xnym = ( –3 + 5 – 4)xn ym = –2xnym En el caso de tener más de un tipo de términos, se agrupa convenientemente los términos semejantes para luego reducirlos. Ejemplos: 1. 5x2y + 3xy – 2x2y + 5xy – 7x2y = 5x2y – 2x2y – 7x2y + 3xy + 5xy

am : an = am–n (am)n = am·n a, n, m ∈

,a≠o

= –4x2y + 8xy 2 2 2 2 2 2 2. 4x – 8x + 6x + 5x – 3x + x = 4x + 6x – 3x – 8x + 5x + x = 7x2 – 2x 3. 8x2yz – 5xy2z + 3xyz2 – 6x2yz + 7xy2z + 4xyz2 + 2xy2z – 3xyz2 + 7x2yz = 8x2yz – 6x2yz + 7x2yz – 5xy2z + 7xy2z + 2xy2z + 3xyz2 + 4xyz2 – 3xyz2 =

9x2yz

+

4xy2z

+

4xyz2

Si la expresión emplea signos de agrupación estos se deben suprimir antes de reducir. Ejemplos: 1. 10x + (3x – 2y) + 4y = 10x + 3x – 2y + 4y = 13x + 2y 2. 5x – (–2x + 3y) + 2y = 5x + 2x – 3y + 2y = 7x – y 3. 10x – (2y – 5x – 3x – (2x + 7y) – 5x) – 3y = 10x – (2y – 5x – 3x – 2x – 7y – 5x) – 3y = 10x – (–5x – 3x – 2x – 5x + 2y – 7y ) – 3y = 10x – ( –15 x – 5y) – 3y = 10x + 15x + 5y – 3y = 25x + 2y Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 174.

164

Matemática I

Importante • Si un signo de agrupación es antecedido por un signo de adición, este se puede suprimir sin variar los signos de los términos que están dentro del signo de agrupación y si está antecedido por un signo menos (–), se cambian los signos de todos los términos comprendidos en él.


Para desarrollar en tu cuaderno

En los ejercicios en los que se encuentren diversos signos de agrupación se deberá de reducir desde adentro hacia afuera. Ejemplos: 1. Reduce 3x – {2x – y – [–x + 2y – (3x + 4y) – 5y] – 2x} Solución: = 3x – {2x – y – [–x + 2y – 3x – 4y – 5y] – 2x} = 3x – {2x – y – [–4x – 7y] – 2x} = 3x – {2x – y+ 4x + 7y – 2x} = 3x – {4x + 6y} = 3x – 4x – 6y = –x – 6y 2. Reduce 7x – {2y + 4x – 3y + 7x – 2y – (5x + 8y)} Solución: = 7x – {2y + 4x – 3y + 7x – 2y – 5x – 8y} = 7x – {2y – 3y – 2y – 8y + 4x + 7x – 5x} = 7x – {–11y + 6x} = 7x + 11y – 6x = x + 11y Multiplicación de monomios Para multiplicar dos monomios se procede de acuerdo al siguiente orden: 1ro Se multiplican los signos. 2do Se multiplican los coeficientes. 3ro Se aplican la ley de exponentes para el producto. Ejemplos: 1. (–5x3)(–2x2) = (–5)(–2)x3+2 = 10x5 2. (–4x2)(2x3)(–3x2) = (–4)(2)(–3)x2+3+2 = 24x7 3. (10x4y2)(–4x3y5) = –40x7y7 4. (–5x3z2y5)(–2z2x5y4) Ordenamos alfabéticamente.

División de monomios Para dividir 2 monomios debemos seguir el siguiente orden: 1ro Aplicamos la ley de signos. (+) (–) (+) (–) = (+) ; = (+) ; = (–) ; = (–) (–) (+) (+) (–)

2do Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. ro 3 Se aplica la ley de exponentes para la división. Ejemplos: 1. (28x7) : (–7x4) = 28 · x7–4 –7 = –4x3 2. (64x7y5z8) : (–8x3y4z2) =

64 7 – 3 5 – 4 8 –2 x y z –8 4

6

= –8x yz

3. (30xa+2b–3) : (–2x2+a) =

30 a+2b–3–2–a x –2

= –15x2b–5

4. (125x2a–3 yb+5) : (25x2a+1 yb+4) = 5x2a–3–2a–1 y

b+5–b–4

= 5x– 4 y1

2 1 2 3 4–2 3–1 5. 2 x4y3 : xy = x y 3 1 3 3 = 6 x2y2 3 = 2x2y2 6. (0,01x4) : (0,1x2) = 0,1x2

(–5x3y5z2)(–2x5y4z2) = 10x8y9z4 Para multiplicar más de 2 monomios se aplica la propiedad asociativa, multiplicamos las 2 primeras y luego el producto de este resultado con el tercer factor y así sucesivamente hasta el último. Ejemplos: 1. (3x7)(–2x4)(5x6) = [(3x7)(– 2x4)](5x6)

Operaciones con polinomios Adición de polinomios Para sumar dos o más polinomios se coloca un polinomio debajo del otro ordenando por columnas los términos semejantes y luego se efectúa la reducción de dichos términos.

(–6x11)(5x6) = –30x17

Ejemplos:

2. (5a3b4c7)(8a3b4c8)(2a2b5c7)

1. Dados los siguientes polinomios, calcula A(x) + B(x). A(x) = 7x3 + 5x2 – 5x + 6 B(x) = 2x3 – 3x2 – x + 1

= (40a6b8c15)(2a2b5c7) = 80a8b13c22

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 174. Matemática I

165


Para desarrollar en tu cuaderno

Solución: A(x) = 7x3 + 5x2 – 5x + 6 B(x) = 2x3 – 3x2 – x + 1 A(x) + B(x) = 9x3 + 2x2 – 6x + 7 2. Dados los siguientes polinomios: A(x) = 2x4 – 5x2 – 6x + 1, B(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2, C(x) = 3x4 – 5x3 + 6x2 – 7x + 3.

Calcula A(x) + B(x) + C(x). Solución: A(x) = 2x4 – 5x2 – 6x + 1 B(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 C(x) = 3x4 – 5x3 + 6x2 – 7x + 3 A(x) + B(x) + C(x) = 5x4 – 4x3 – 2x2 – 9x + 2

Sustracción de polinomios Llamamos resta de dos polinomios al polinomio que se obtiene al sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Si los polinomios son A(x) y B(x) entonces: A(x) – B(x) = A(x) + (–B(x)) Ejemplos: 1. Calcula “A(x) – B(x)”, si: A(x) = 2x3 – 5x2 + 6x – 7, B(x) = x3 – 6x2 + 3x – 4. Solución: A(x) = 2x3 – 5x2 + 6x – 7 + –B(x) = –x3 + 6x2 – 3x + 4 A(x) – B(x) = x3 + x2 + 3x – 3 2. Calcula “M(x) – N(x)” si: M(x) = 5x2 – 3x + 7x3 – 2, N(x) = 4 – 5x + 2x3 – 3x2. Solución: M(x) = 7x3 + 5x2 – 3x – 2 + –N(x) = –2x3 + 3x2 + 5x – 4 M(x) – N(x) = 5x3 + 8x2 + 2x – 6 3. Calcula “P(x) – Q(x)” si: P(x) = 7x3 – 5x2 + 6x – 3, Q(x) = 2x3 – 7. Solución: P(x) = 7x3 – 5x2 + 6x – 3 + –Q(x) = –2x3 +7 P(x) – Q(x) = 5x3 – 5x2 + 6x + 4

Multiplicación de polinomios Para multiplicar polinomios se sigue el orden indicado: 1ro Se ordenan y completan los polinomios con respecto a una sola letra (en forma descendente). En el caso de que falte un término se completa con cero. 2do Multiplicamos cada uno de los términos del multiplicando por los del multiplicador y en cada resultado parcial, se desplaza un término hacia la derecha con la intención que las expresiones aparezcan en forma ordenada para luego reducir términos semejantes. Ejemplos: 1. Efectúa (x2 – 2x + 1) · (5x2). Solución: (x2 – 2x + 1)(5x2) = 5x4 – 10x3 + 5x2

2. Efectúa (x3 + 1) · (–3x4). Solución: (x3 + 0x2 + 0x + 1) · (–3x4) = –3x7 – 3x4

3. Efectúa (2x2 – x + 3) · (x2 – 5x + 6). Solución: 2x2 – x 2 x – 5x 2x4 – x3 – 10x3 2x4 – 11x3

Matemática I

3 6 3x2 5x2 – 15x 12x2 – 6x + 18 + 20x2 – 21x + 18

4. Efectúa (7x3 – x + 1) · (x2 + 1). Solución: Completamos términos en cada factor. (7x3 + 0x2 – x + 1) · (x2 + 0x + 1) 7x3 + 0x2 – x + 1 x2 + 0x + 1 7x5 + 0x4 – x3 + x2 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x 7x3 + 0x2 – x + 1 7x5 + 0x4 + 6x3 + x2 – x + 1

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 174.

166

+ + + +


Para desarrollar en tu cuaderno

División de polinomios a. División de un polinomio entre un monomio Se aplica la propiedad distributiva de la división y se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio. Ejemplos: 1. Efectúa (45x4 + 20x3 – 35x2 + 40x) : (–5x) Solución: 45x4 + 20x3 – 35x2 + 40x = –9x3 – 4x2 + 7x – 8 –5x –5x –5x –5x 2. Determina el cociente en cada caso. a. (8x5 + 8x3 – 12x + 16) : 4 Solución: 8x5 + 8x3 – 12x + 16 = 2x5 + 2x3 – 3x + 4 4 4 4 4 b. (225x4y5 – 60x3y7 – 15x2y9) : –15x2y4 Solución: 15x2y9 60x3y7 225x4y5 – – –15x2y4 –15x2y4 –15x2y4 = –15x2y + 4xy3 + y5 b. División entre dos polinomios Empleamos el método clásico. Procedimiento • Ordenamos y completamos los polinomios (dividendo y divisor) en forma descendente. • Tomamos el primer término del dividendo y lo dividimos con el primer término del divisor y obtenemos el primer término del cociente. • Luego, multiplicamos el primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor y el resultado lo trasladamos con su signo opuesto, debajo de cada término semejante del dividendo. • En seguida, realizamos la reducción de términos semejantes. • Luego, bajamos el siguiente término del dividendo a la derecha del resultado anterior. • Repetimos el procedimiento hasta llegar a la respuesta en la que el residuo debe ser un polinomio de menor grado que el divisor.

Ejemplos: 1. Efectúa (x5 + 2x4 – 13x3 + 27x2 – 50x + 21): (x2 + 5x – 3) Solución: Como los polinomios están completos y ordenados, procedemos a dividir.  x5 + 2x4 – 13x3 + 27x2 – 50x + 21 x2 + 5x – 3 –x5 – 5x4 +  3x3 x3– 3x2+5x – 7 –3x4  – 10x3 + 27x2 +  3x4 + 15x3 – 9x2     +5x3 + 18x2 – 50x  –5x3  – 25x2 + 15x   –7x2 – 35x + 21 7x2 + 35x – 21 Luego, Q(x) = x3 – 3x2 + 5x – 7; R(x) = 0 2. Efectúa (8x – 4 + x4 – x3) : (x + 4). Solución: Ordenamos el dividendo con respecto a “x” en forma descendente. x4 – x3 + 0x2 + 8x – 4 x + 4 –x4 – 4x3 x3 – 5x2 + 20x – 72 –5x3 + 0x2 5x3 + 20x2 20x2 + 8x –20x2 – 80x –72x – 4 +72x + 288 284 Luego, Q(x) = x3 – 5x2 + 20x – 72 ; R(x) = 284 3. Efectúa (38x4 – 65x3 + 27) : (2x2 – 5x + 3). Solución: 38x4 – 65x3 + 0x2 + 0x + 27 2x2 – 5x + 3 –38x4 + 95x3 – 57x2 19x2 + 15x + 9 30x3 – 57x2 + 0x –30x3 + 75x2 – 45x 18x2 – 45x + 27 –18x2 + 45x – 27 Luego, Q(x) = 19x2 + 15x + 9 ; R(x) = 0

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Para desarrollar en tu cuaderno

1. Reduce la siguiente expresión: M = (–6a4b) 1 ab5 (–4a2b7) : (–2a5b10) 3 Solución: M = (–6a4b) 1 ab5 (–4a2b7) : (–2a5b10) 3 M= M=

8a7b13 : (–2a5b10) –4a2b3

2. Reduce la siguiente expresión: a + {(–3a + 2b) – (5a + 4b – 3c) + 2a}. Solución: Resolvemos desde los paréntesis interiores a + {–3a + 2b – 5a – 4b + 3c + 2a} a + {–3a – 5a + 2a + 2b – 4b + 3c} a + {–6a – 2b + 3c} a – 6a – 2b + 3c –5a – 2b + 3c 3. Si P(x) = 5x2 – 2x + 3 y Q(x) = 2x2 + 5x – 7, determina 2P(x) + 3Q(x). Solución: Efectuamos el producto de cada uno de los polinomios. 2P(x) = 2(5x2 – 2x + 3) = 10x2 – 4x + 6 (+) 3Q(x) = 3(2x2 + 5x – 7) = 6x2 + 15x – 21 2P(x) + 3Q(x) = 16x2 + 11x – 15

4. Calcula P(x; y) + Q(x; y) si se sabe que: P(x; y) = x2y + 5x2y – 7x2y, Q(x; y) = 6x2y – 4x2y + 8x2y. Solución: P(x; y) = x2y + 5x2y – 7x2y = –x2y Q(x; y) = 6x2y – 4x2y + 8x2y = 10x2y Luego: P(x; y) + Q(x; y) = –x2y + 10x2y = 9x2y

5. Calcula P(x) + Q(x) – R(x) si se sabe que: P(x) = 5x3 + 3x2 – 5x + 7, Q(x) = –4x3 + 7x – 12, R(x) = –x3 + 2x2 + 11x. Solución: Ordenamos y completamos de acuerdo a lo que le falta a cada polinomio. P(x) =   5x3 + 3x2 – 5x +  7 Q(x) = –4x3 + 0x2 + 7x – 12 –R(x) =  x3 – 2x2 – 11x +  0 P(x) + Q(x) – R(x) = 2x3 + x2 – 9x – 5 6. Calcula M(1) si se sabe que: P(x) = 3x4 – 2x2 + 5x – 2, Q(x) = 2x4 + 3x3 + 2x2 – 5x + 4, R(x) = –x4 + 3x3 + x2 – 5x + 6, M(x) = P(x) – Q(x) + R(x). Solución: P(x) = 3x4 + 0x3 – 2x2 + 5x – 2 –Q(x) = –2x4 – 3x3 – 2x2 + 5x – 4 R(x) = –x4 + 3x3 + x2 – 5x + 6 P(x) – Q(x) + R(x) = / / – 3x2 + 5x Como M(x) = P(x) – Q(x) + R(x) Luego: M(x) = –3x2 + 5x M(1) = –3(1)2 + 5(1) M(1) = –3 + 5 M(1) = 2 1 1 2 2 1 1 x + x – ; B(x) = x2 + x + 1 3 2 2 3 4 3 2 2 1 y C(x) = x + x – , calcula [A(x) + C(x)] – B(x). 3 6 Solución: 2 1 1 A(x) = x2 + x – 3 2 3 2 1 C(x) = x2 + x – 3 6 4 2 3 3 A(x) + C(x) = x + x – 3 2 6 1 2 1 1 –B(x) = –  x – x – 4 2 3 13 2 5 [A(x) + C(x)] – B(x) = x +x– 12 6

7. Si A(x) =

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Matemática I


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8. ¿Cuánto le falta a 12x – 7x + 6 para ser igual a 10x2 + 5x + 3? Solución: Se trata de una resta, ordenamos de manera vertical. 10x2 + 5x + 3 Cambiamos de signo: –12x2 + 7x – 6 –2x2 + 12x – 3 2 Rpta.: Le falta –2x + 12x – 3. 2

9. Efectúa (2x3 – 4x2 + 3x – 2)(x2 – 5x + 1) y da como respuesta la suma de coeficientes del producto. Solución: Ordenamos según corresponde. 2x3 – 4x2 + 3x – 2 x2 – 5x + 1 2x5 – 4x4 + 3x3 – 2x2 – 10x4 + 20x3 – 15x2 + 10x 2x3 – 4x2 + 3x – 2 2x5 – 14x4 + 25x3 – 21x2 + 13x – 2 Nos piden la suma de coeficientes: Σcoef = 2 – 14 + 25 – 21 + 13 – 2 = 3 Rpta.: La suma de coeficientes es 3. 10. Resta (x + 5)(x2 – 2x + 3) de (x2 + 5x – 3)(x + 5). Solución: Efectuamos los productos indicados. (x + 5)(x2 – 2x + 3) = x3 – 2x2 + 3x + 5x2 – 10x + 15 = x3 + 3x2 – 7x + 15 (x2 + 5x – 3)(x + 5) = x3 + 5x2 + 5x2 + 25x – 3x – 15 = x3 + 10x2 + 22x – 15 Luego resolvemos la sustracción pedida. x3 + 10x2 + 22x – 15 –x3 – 3x2 + 7x – 15 7x2 + 29x – 30 2 Rpta.: 7x + 29x – 30 11. Determina el valor de E(x). E(x) = (125x7 + 200x5 – 150x4) : (–25x2). Solución: 7 5 4 E(x) = 125x2 + 200x2 – 150x2 –25x –25x –25x 5 = –5x – 8x3 + 6x2 5 3 2 Rpta.: E(x) = –5x – 8x + 6x .

12. Determina el cociente y el residuo de la siguiente división: (x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 5x – 6) : (x2 + x – 1). Solución: x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 5x – 6 x2 + x – 1 –x5 – x4 + x3 x3– 4x2 + 7x – 5 – 4x4 + 3x3 + 6x2 4x4 + 4x3 – 4x2 7x3 + 2x2 + 5x – 7x3 – 7x2 + 7x – 5x2 + 12x – 6 5x2 + 5x – 5 17x – 11 Q(x) = x3 – 4x2 + 7x – 5 es el coeciente y Rpta.: R(x) = 17x – 11 el residuo. 13. Determina el residuo de la siguiente división. (8x6 – 16x5 + 6x4 + 24x2 + 18x – 36) : (4x3 + 3x – 6). Solución: Completamos y dividimos. 8x6 –16x5+ 6x4+0x3 +24x2 +18x–36 4x3 + 0x2+3x – 6 –8x6 + 0x5 – 6x4 + 12x3 2x3–4x2+0x+ 6 –16x5 + 0x4 + 12x3 + 24x2 16x5 + 0x4 + 12x3 – 24x2 24x3 + 0x2 + 18x – 36 –24x3 – 0x2 – 18x + 36 Rpta.: R(x) = 0 14. Resuelve la división indicada y da como respuesta la suma del cociente y el residuo. (8x4 – 2x3 – 9x2 + 7x + 1) : (4x2 + x – 2). Solución: 8x4 – 2x3 – 9x2 + 7x + 1 4x2 + x – 2 4 3 2 – 8x – 2x + 4x 2x2 – x – 1 –4x3 – 5x2 + 7x +4x3 + x2 – 2x – 4x2 + 5x + 1 4x2 + x – 2 6x – 1 Piden: Q(x) + R(x) = (2x2 – x – 1) + (6x – 1) = 2x2 + 5x – 2 2 Rpta.: Q(x) + R(x) = 2x + 5x – 2

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Ecuaciones de primer grado Para desarrollar en tu cuaderno

Prevención ante un posible desastre El volcán Ubinas está localizado en el departamento de Moquegua y según el último informe del Instituto Geofísico de Arequipa continúa emitiendo gases y cenizas que alcanzan a los poblados cercanos, afectando ya a cerca de mil personas. Hasta el momento, según un reporte de Indeci, 1038 personas se han visto afectadas por la intensa actividad del volc��n, de los cuales se sabe que en Moquegua han sido afectadas el cuádruplo de personas que en Arequipa.

1. ¿Cuántas personas de Moquegua y Arequipa respectivamente fueron los afectados? 2. ¿Qué es una ecuación? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede reducir a la forma general: ax + b = 0, a ≠ 0 cuya solución general es x=–b a Clasificación de las ecuaciones a. Con respecto a los coeficientes de las incógnitas • Numéricos: Si los coeficientes de la incógnita son números. Ejemplo: – 3x + 5 = 0 4y + 5 = 0 • Literales: Si los coeficientes de la incógnita son letras. Ejemplos: –bx + c = 0 –ax + b = 0 b. Con respecto al número de incógnitas Ejemplos: 2x + 1 = 3 Ecuación con una incógnita: x 4x + y = 5 Ecuación con dos incógnitas: x, y 7x + 5y – 3z = 1 Ecuación con tres incógnitas: x, y, z c. Con respecto a su estructura o forma • Racionales Cuando sus incógnitas no están afectadas por un radical. Estas a su vez pueden ser de dos tipos, entera y fraccionaria . Ecuación racional fraccionaria Ecuación racional entera Ejemplo: x – 1 23 Ejemplo: –7x = 31 = x–5 6 • Irracionales Cuando la incógnita se encuentra dentro de un radical . Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 177.

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Matemática I

Importante Igualdad Es una relación entre dos expresiones equivalentes. Identidad Es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la variable. Ejemplos: (x + 3)(x – 3) = x2 – 9 (x + 7)2 = x2 + 14x + 49 Ecuación Es una igualdad que es verdadera solo para algunos valores de sus incógnitas. Los valores que verifican la igualdad reciben el nombre de soluciones de la ecuación, las cuales forman el conjunto solución.

Recuerda Cuando transponemos un término, dicho término pasa al otro miembro de la igualdad, con la operación opuesta.


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Ejemplos: 3x + 2 = 5 ;

x+7=4

d. Con respecto al número de soluciones • Compatibles Cuando tienen por los menos una solución. Estas pueden ser de dos tipos: Determinadas: Tienen un número limitado de soluciones. Ejemplo: 3x – 5 = 7 Indeterminadas: Tienen un número ilimitado de soluciones. Ejemplo: 3x – (x – 5) = 2x + 5 La ecuación es indeterminada, pues la igualdad se verifica para cualquier valor de “x”, es decir tiene infinitas soluciones. • Incompatibles - absurdas Son aquellas que no admiten solución. Ejemplo: 3x + 1 = 3x + 7 Solución de una ecuación • Reducimos los términos semejantes en cada uno de los miembros. • Realizamos la transposición de términos, de tal manera que los términos que presenta la incógnita queden agrupados en un miembro y los términos numéricos en el otro miembro. • Se reduce nuevamente los términos semejantes. • Se despeja la incógnita. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones: a. 12x + 7 = 8x + 11 Solución: • Realizamos la transposición de términos. 12x – 8x = 11 – 7 • Reducimos los términos semejantes. 4x = 4 4 x= x=1 4 b. 5x + 2x – 10 + 8x = 13x – 10 + 20 Solución: • Reducimos los términos semejantes.

• • •

Reducimos los términos semejantes. 15x – 10 = 13x + 10 Transponemos los términos. 15x – 13x = 10 + 10 Reducimos los términos semejantes. 2x = 20 20 x= x = 10 2

c. 5(x – 1) – (x – 3) = 3(x + 2) + 6 Solución: • Efectuamos los productos. 5x – 5 – x + 3 = 3x + 6 + 6 • Reducimos términos semejantes. 4x – 2 = 3x + 12 • Transponemos términos. 4x – 3x = 12 + 2 • Reducimos los términos semejantes. x = 14 d. x – 1 + 2x = –5x + 5x – 6 4 3 Solución: Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el MCM de los denominadores que es 12. 4(x – 1) + 24x = – 60x + 15x – 18 28x + 45x = 4 – 18 73x = –14 –14 x= 73 e. 5(x – 2) + 3(x – 4) + 2(x – 1) = 11(x – 5) Solución: Efectuamos los productos en ambos miembros. 5x – 10 + 3x – 12 + 2x – 2 = 11x – 55 10x – 24 = 11x – 55 10x – 11x = –55 + 24 –x = –31 x = 31 2x – 4 x – 6 5x 3x – 24 – + = +x–6 4 3 6 12 Solución: Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el MCM de los denominadores que es 12. 5x 2x – 4 x–6 12 – 12 + 12 12 4 3

f.

= 12

3x – 24 + 12x – 12(6) 6

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6x – 12 – 4x + 24 + 5x = 6x – 48 + 12x – 72 7x + 12 = 18x – 120 7x – 18x = –120 – 12 –11x = –132 –132 x= –11 x = 12 3(x + 2) g. 2(x + 1) + = 2(x + 2) 2 3 Solución: Efectuamos los productos. 2x + 2 + 3x + 6 = 2x + 4 2 3 Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el MCM de los denominadores que es 6. 3x + 6 2x + 2 6 +6 = 6(2x) + 6(4) 2 3 2(2x + 2) + 3(3x + 6) = 12x + 24 4x + 4 + 9x + 18 = 12x + 24 13x + 22 = 12x + 24 13x – 12x = 24 – 22 x=2 Solución de problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita En este tipo de problemas debemos interpretar los enunciados verbales y llevarlos a un lenguaje matemático o simbólico. Ejemplos: 1. Calcula un número, si se sabe que disminuido en 16, equivale al triple de su valor. Solución: Sea el número “x”, del enunciado se cumple: x – 16 = 3x x – 3x = 16 –2x = 16 x = –8 Luego, el número es –8. 2. El triple de un número, aumentado en 5, equivale a 29. Calcula dicho número. Solución: Sea el número “x”, del enunciado se cumple: 3x + 5 = 29 3x = 24 x=8 Luego, el número es 8.

3. En una reunión hay el doble del número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de niños. Si en total hay 35 personas, ¿cuántos adultos hay? Solución: Sea “x” el número de adultos, luego del enunciado se cumple:

n° niños : 2x n° niñas : 4x

Por dato: n° niños + n° niñas + n° adultos = 35 2x + 4x + x = 35 7x = 35 x = 5 Luego, hay 5 adultos. 4. Javier le pregunta a José por su edad y este responde: “Si el doble de mi edad se le resta 18 años, se tendría lo que me falta para tener 120 años”. ¿Qué edad tiene José? Solución: Sea la edad de José: x El doble de la edad de José: 2x El doble de la edad de José menos 18: 2x – 18 Edad que falta a José para tener 120 años: 120 – x Luego del enunciado se cumple: 2x – 18 = 120 – x 3x = 120 + 18 3x = 138 x = 46 Luego, José tiene 46 años. 5. El duplo de un número aumentado en su séxtuplo es igual al cuádruple de 40. ¿Cuál es el número? Solución: Sea el número “x”, del enunciado: 2x + 6x = 4 (40) 8x = 160 x = 20 Luego, el número es 20.

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Matemática I


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6. Una sala de forma rectangular tiene de largo 3 veces su ancho. Si su perímetro es 32 m, determina las dimensiones de la sala. Solución: Largo: 3x ancho: x 3x Por dato: Perímetro = 32 x + 3x + x + 3x = 32 8x = 32 x = 4 Luego, largo = 12 m ; ancho = 4 m 7. Si ganara S/. 880 tendría 9 veces lo que me quedaría si perdiera S/. 40. ¿Cuánto dinero tengo? Solución: Sea S/. “x” la cantidad de dinero que tengo, por dato: x + 880 = 9 ( x – 40) x + 880 = 9x – 360 1240 = 8x x = 155 Luego, tengo S/. 155 8. El perímetro de un paralelogramo es 54 cm. Si sus dimensiones se diferencian en 7 cm, determina la medida de la base (mayor dimensión). Solución: x+7 x

x

9. En una granja hay gallinas y conejos. Si el número de gallinas es el triple del número de conejos y se contabilizan 120 patas, ¿cuántas gallinas hay? Solución: Sea: n° conejos = x → n° patas = 4x n° gallinas = 3x → n° patas = 6x Por dato: N°patas(conejos) + n°patas(gallinas) = 120 4x + 6x = 120 10x = 120 x = 12 Piden: n° gallinas = 3(12) = 36 Luego, hay 36 gallinas. 10. Una sandía pesa 2 kg más la mitad de su peso. ¿Cuál es su peso? Solución: Sea el peso “x” kg, por dato: x x=2+ 2 x x– =2 2 x =2 2 x=4 Luego, la sandía pesa 4 kg. 11. El numerador de una fracción excede en tres unidades al denominador. Si al denominador se le suma 8, la fracción queda equivalente a 2/3. Determina la fracción inicial. Solución: x+3 x x+3 2 Por dato: = x+8 3 Sea la fracción

Base: x + 7 Por dato: Perímetro = 54 x + x + 7 + x + x + 7 = 54 4x = 40 x = 10 Piden: Base = 10 + 7 = 17 Luego, la base mide 17 cm.

3x + 9 = 2x + 16 x=7 Piden: fracción inicial =

10 7

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1. Resuelve 32 – 9x + 12 = 2x + 76 – 15x. Solución: Reducimos términos semejantes en cada miembro. 44 – 9x = 76 – 13x x = 32 4 –9x + 13x = 76 – 44 x = 8 4x = 32 Rpta.: 8 2. Resuelve x – 5 + 7x + 16 = 11x – 3 – x. Solución: Reducimos términos semejantes en cada miembro. 8x + 11 = 10x – 3 8x – 10x = –3 – 11 Transponemos términos Reducimos términos semejantes –2x = –14 –14 x= –2 x=7 Rpta.: 7 3. Resuelve 3x – (2x – 1) – 7x = (–x + 24) – (3 – 5x). Solución: Suprimimos los paréntesis en ambos miembros. 3x – 2x + 1 – 7x = –x + 24 – 3 + 5x Reducimos términos semejantes en ambos miembros. –6x + 1 = 4x + 21 –6x – 4x = 21 – 1 –10x = 20 x = –2 Rpta.: –2 4. Resuelve 0,25x – 0,75 + 2,25x = 1. Solución: Reducimos términos semejantes 2,50x – 0,75 = 1 2,50x = 1 + 0,75 2,50x = 1,75 x = 0,7 Rpta.: 0,7

5. Resuelve la siguiente ecuación. 7x + 5 · 4 – 9x = 3 x – 1 – 5. 3 2 Solución: Efectuamos los productos indicados. 28x + 20 – 9x = 3x – 1 – 5 2 14x + 20 – 9x = 3x – 6 5x + 20 = 3x – 6 Transponemos términos. 5x – 3x = –6 – 20 2x = –26 x = –13 Rpta.: –13 6. Resuelve x – {5 + 3x – [5x – (6 + x)]} = –3. Solución: Resolvemos de adentro hacia afuera. x – {5 + 3x – [5x – 6 – x]} = –3 Reducimos en los corchetes. x – {5 + 3x – [4x – 6]} = –3 Suprimimos los corchetes. x – {5 + 3x – 4x + 6} = –3 Reducimos en las llaves. x – {–x + 11} = –3 Suprimimos las llaves. x + x – 11 = –3 2x = 8 x=4 Rpta.: 4 7. Resuelve la siguiente ecuación: a(x + b) + x(b – a) = 2b(a – x); si b ≠ 0. Solución: Efectuamos los productos en ambos miembros. ax + ab + xb – ax = 2ab – 2bx Reducimos términos semejantes. ab + xb = 2ab – 2bx Transponemos términos semejantes. bx + 2bx = 2ab – ab 3bx = ab a x = ab x= 3 3b a Rpta.: 3

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Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

8. Tres hermanos se reparten una suma de S/. 5 200. Si el mayor recibe el doble que el segundo hermano y este el cuádruple de lo que recibe el hermano menor, ¿cuánto recibió cada uno? Solución: Mayor : 8x | Segundo : 4x | Menor : x Por dato: 8x + 4x + x = 5 200 13x = 5 200 x = 400 Luego: Mayor: S/. 3 200, Segundo: S/. 1 600 y Menor: S/. 400 Rpta.: S/. 3 200, S/. 1 600 y S/, 400 9. En un terreno de forma rectangular el largo mide 6 m más que el ancho, si su perímetro mide 68 m, determina sus dimensiones. Solución: Largo : x + 6 Ancho : x Por dato: Perímetro = 68 2(x + 6) + 2(x) = 68 2x + 12 + 2x = 68 4x = 56 x = 14 Rpta.: largo: 20 m y ancho : 14 m 10. En un examen de Matemática, Ángelo tenía que contestar 20 preguntas. Si por cada pregunta acertada le daban 5 puntos y por cada pregunta errada le descontaban 3 puntos, ¿cuántas preguntas acertó si al final obtuvo 76 puntos? Solución: Preguntas acertadas: x Preguntas erradas: 20 – x Poor dato: 5(x) – 3(20 – x) = 76 5x – 60 + 3x = 76 8x = 136 x = 17 Rpta.: Acertó 17 preguntas.

11. Si al triple de un número le aumentamos 20, se obtiene cinco veces el número disminuido en 10. ¿Cuál es el número? Solución: Sea “x” el número, del enunciado se cumple: 3x + 20 = 5x – 10 30 = 2x x = 15 Rpta.: El número es 15. 12. La edad de Shirley dentro de 8 años será el doble de la edad que tenía hace 5 años. ¿Cuántos años tiene Shirley? Solución: Sea “x” es la edad actual de Shirley Edad hace 5 años: x – 5 Edad dentro de 8 años: x + 8 Por dato: x + 8 = 2(x – 5) x + 8 = 2x – 10 18 = x Rpta.: Shirley tiene 18 años. 13. En un estacionamiento hay 27 vehículos entre autos y motocicletas. Si en total se cuentan 60 llantas, ¿cuántas motocicletas hay? Solución: n° motocicletas: x n° autos: 27 – x Por dato: n° llantas = 60 2x + 4(27 – x ) = 60 2x + 108 – 4x = 60 48 = 2x x = 24 Rpta.: Hay 24 motocicletas.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 177. Matemática I

175


Sistema de ecuaciones de primer grado Para desarrollar en tu cuaderno

Cuidado con el dengue Luego de los huaicos que azotaron a la ciudad de Chosica, personal de la Dirección de Salud-DISA IV Lima Este fumigan las casas de la ciudad con el fin de evitar la reproducción y reaparición del zancudo transmisor del dengue en zonas vulnerables Médicos del Minsa reportaron que en la cooperativa Pablo Patrón y Mariscal Castilla, se han atendido a 51 niños por casos de resfríos y alergias a la piel; además, también indicaron que el número de niños con infecciones a la piel representan al doble de los niños que presentaron resfrío.

1. ¿Cómo podrías determinar el número de niños que presentaron alergias a la piel? 2. ¿Cómo podrías representar la información en un sistema de ecuaciones? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas tiene la siguiente forma: a1x + b1y = k1 a2x + b2y = k2 Donde: a1, a2, b1, b2 son coeficientes diferentes de cero x, y ; son las incógnitas de primer grado k1, k2 son los términos independientes El conjunto solución (C.S.) de un sistema de ecuaciones está dado por el conjunto de pares (x; y) que satisfacen ambas ecuaciones. Ejemplo:

x + 2y = 10 Dado el siguiente sistema x – 2y = 6 se verifica para x = 8 e y = 1, porque estos valores satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. Comprobamos: En la 1ra ecuación: 8 + 2(1) = 10 En la 2da ecuación: 8 – 2(1) = 6 Luego, C.S. = {( 8 ; 1 )} Métodos de solución Con la ayuda de ejemplos analicemos cada método. a. Método de sustitución Resuelve el siguiente sistema: 4x + 2y = 2 … (I) 2x – 3y = –11 … (II)

Solución: 1ro Despejamos una incógnita en una de las ecua-ciones. En este caso, despejamos ”x”. 2 – 2y x= … (III) 4x = 2 – 2y 4 2do Sustituimos el valor de “x” en la otra ecuación. 2 – 2y 2 – 3y = –11 4 3ro Resolvemos la ecuación. 2 – 2y – 3y = –11 2 2 – 2y – 6y = –22 –8y = –24 y=3 4to Para calcular el valor de “x” sustituimos el valor de “y” en (III). 2 – 2( 3 ) x= 4 2–6 x= 4 x = –1 Luego, C.S. = {( –1; 3 )} b. Método de igualación Resuelve el siguiente sistema: 3x – 19 = 2y … (I) 4x – 3y = 26 … (II) Solución: 1ro Despejamos una misma incógnita en ambas ecuaciones, en nuestro caso “x”.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 180.

176

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

3x = 2y + 19 4x = 26 + 3y

2y + 19 x= … (III) 3 x = 26 + 3y … (II) 4

2do Igualamos las expresiones (III) y (IV). 2y + 19 26 + 3y = 3 4 3ro Resolvemos la ecuación. 4(2y + 19) = 3(26 + 3y) 8y + 76 = 78 + 9y 8y – 9y = 78 – 76 –y = 2 y = –2 4to Calculamos el valor de “x” sustituyendo el valor de “y” en una de las ecuaciones dadas. En nuestro caso lo hacemos en (I). 3x – 19 = 2( –2 ) 3x = –4 + 19 3x = 15 x=5 Luego, C.S. = {( 5; –2 )} c. Método de reducción o simplificación Resuelve el siguiente sistema: 4x + 5y = –7 … (I) 6x – 3y = 21 … (II) Solución: 1ro Tratamos de eliminar una variable, en nuestro caso, vamos a eliminar “y” para lo cual multiplicamos por 3 a la primera ecuación y por 5 a la segunda ecuación.

3(4x + 5y = –7) 5(6x – 3y = 21)

12x + 15y = –21 30x – 15y = 105

2do Sumamos las ecuaciones resultantes.

12x + 15y = –21 (+) 30x – 15y = 105 42x / = 84

3ro Resolvemos la ecuación con una incógnita. 84 x = 42 x = 2

4to Calculamos el valor de “y” sustituyendo el valor de “x” en cualquiera de las ecuaciones dadas; en nuestro caso lo hacemos en (I): 4( 2 ) + 5y = –7 5y = –7 – 8 5y = –15 y = –3 Luego, C.S. = {( 2; –3 )} Resolución de problemas mediante un sistema de ecuaciones En este tipo de problema buscamos formar un sistema de ecuaciones a partir del enunciado. Ejemplos: 1. Calcula dos números cuya suma es 132, además de sabe que el número mayor excede al menor en 6. Solución: Sea los números x e y (x > y) Del enunciado: x + y = 132 … (I) x – y = 6 … (II) Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (I) y (II) x + y = 132 (+) x–y=6 2x / = 138 x = 69 Reemplazamos el valor de “x” en (I). 69 + y = 132 y = 63 Luego, los números son 69 y 63. 2. En un corral hay 45 animales entre gallinas y conejos. Si en total se cuentan 140 patas, ¿cuántos conejos hay? Solución: Sea “G” el número de gallinas y “C” el número de conejos, del enunciado: G + C = 45… (I) 2G + 4C = 140 G + 2C = 70… (II) Restamos (II) y (I) 2C – C = 70 – 45 C = 25 Hay 25 conejos.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 180. Matemática I

177


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Resuelve por el método de sustitución. x – 2y = 3 … (I) y – 3x = –14 … (II) Solución: 1ro Despejamos una incógnita en la ecuación (I). x = 3 + 2y …(III) 2do Reemplazamos el valor de “x” en la ecuación (II). y – 3(3 + 2y) = –14 3ro Resolvemos. y – 9 – 6y = –14 –5y = –14 + 9 –5y = –5 y=1 to 4 Para calcular “x”, reemplazamos “y” en (I). x – 2(1) = 3 x=5 Luego, C.S. = {(5; 1)} Rpta.: {(5; 1)} 2. Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema: x + y = 4 … (I) x – y = 2 … (II) Solución: 1ro Despejamos una misma incógnita en ambas ecuaciones, en nuestro caso “x”. x = 4 – y … (III) x = 2 + y … (IV) 2do Igualamos las expresiones (III) y (IV). 4 – y = 2 + y 3ro Resolvemos la ecuación. 4–2=y+y 2 = 2y 1=y to 4 Calculamos el valor de “x” en (I). x + 1 = 4 x=3 Luego, C.S. = {(3; 1)} Rpta.: {(3; 1)}

3. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción: x – 2y = 10 … (I) 5x + 6y = 2 … (II) Solución: Multiplicamos por 3 a la ecuación…(I) 3x – 6y = 30…(III) Sumamos (II) y (III) 8x = 32 x = 4 Reemplazamos en (I) 4 – 2y = 10 y = –3 Luego, C.S. = {(4; –3)} Rpta.: {(4; –3)} 4. Calcula el valor de “x – y” en el siguiente sistema. x–2 y+1 + = 1 … (I) 10 5 x+2 y+3 – = 4 … (II) 2 3 Solución: En (I): 2(x – 2) + y + 1 = 10 2x + y = 13  …(III) En (II): 2(x + 2) – 3(y + 3) = 24 2x – 3y = 29 …(IV) Restamos (III) y (IV) 4y = –16 y = –4 Reemplazamos en (III) 2x + (–4) = 13 17 x = 2 17 Piden: x – y = – (–4) 2 25 = 2 25 Rpta.: 2

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 180.

178

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

5. Roberto y Pedro tienen juntos S/. 160, si Roberto le da S/. 10 a Pedro, entonces ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? Solución: Roberto tiene: S/. x Pedro tiene: S/. y Por dato: x + y = 160… (I) x – 10 = y + 10 x – y = 20…(II)

Del enunciado: x + y = 44 … (I) 50x + 100y = 3 350 … (II)

Sumamos (I) y (II) 2x = 180 x = 90 y = 70

Empleamos el método de sustitución, despejamos “x” en (I). x = 44 – y … (III)

Luego, Roberto tiene S/. 90 y Pedro tiene S/. 70

Rpta.: S/. 90 y S/. 70

Por dato: x + y = 35…(I)

Por el n° de llantas se cumple: 4x + 2y = 120

2x + y = 60…(II)

Restamos (II) y (I) x = 25 y = 10 Luego, hay 10 motocicletas

Rpta.: 10 motocicletas

Reemplazamos (III) en (II): 50(44 – y) + 100y = 3 350 2 200 – 50y + 100y = 3 350 50y = 1 150 y = 23 Rpta.: 23 personas.

6. En una playa de estacionamiento hay 35 vehículos entre autos y motocicletas. Si se contabilizan 120 llantas, ¿cuántas motocicletas hay? Solución: Sea n° autos : x n° motocicletas : y

7. Se reparten S/. 3 350 en billetes de S/. 50 y S/. 100 entre 44 personas, de tal forma que cada una recibe un tipo de billete. ¿Cuántas personas recibieron billetes de S/. 100? Solución: Personas que recibieron billetes de S/. 50: x Personas que recibieron billetes S/. 100: y Dinero que recibieron “x” personas: 50x Dinero que recibieron “y” personas: 100y

8. La suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 9. Si al número resultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el número inicial. ¿Cuál es dicho número? Solución: Número de 2 cifras: xy Del enunciado: x + y = 9 … (I) yx + 9 = xy … (II) Efectuamos la descomposición de los numerales de la ecuación (II). 10y + x + 9 = 10x + y 9 = 9x – 9y x – y = 1… (III) Sumamos (I) y (III): 2x = 10 x = 5 y=4 Piden: xy = 54 Rpta.: El número es 54.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 180. Matemática I

179


Inecuaciones de primer grado Para desarrollar en tu cuaderno

Nos solidarizamos contra el friaje Ante las bajas temperaturas registradas en los últimos años, niños de las comunidades campesinas de Puno y Juliaca reciben apoyo a través de campañas contra el friaje. La temperatura de Puno en invierno varía de 5º C a 16º C mientras que en Juliaca, la temperatura varía de –5º C a 8º C y relativamente es una de las ciudades más frías del altiplano.

1. Dibuja la recta real y grafica los intervalos de temperaturas de ambas ciudades. Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Inecuaciones de primer grado Inecuación Es toda desigualdad entre dos expresiones en donde intervienen variables y números. Ejemplos: • 3x – 4 > 2x + 7 • 8x – 1 < 23 1 • 2 x + 10x  x + 2 • 5 + x  x + 1 3 5 6 Una inecuación de 1er grado con una incógnita en su forma simplificada puede presentar las siguientes formas: ax + b > 0

o

ax + b < 0

ax + b  0

o

ax + b  0

Las inecuaciones se verifican solamente para un conjunto de valores que se le da a sus variables. 1. 15 > 8 Se lee 15 es mayor que 8. 2. x < 7, x  Se lee “x” es menor que 7 y se verifica para x = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} 3. y  2; y  Se lee “y” es mayor o igual que 2 y se verifica para y = {2; 3; 4; 5; 6; …} 4. 2x  –  4    14, x     Se lee “2x” menos 4 es menor o igual que 14 y se verifica para: x = {9; 8; 7; 6; …; 0; –1; –2; … }

c. Transitiva Si a > b y b > c

a>c

d. Monotonía de la adición Si a > b a+c>b+c Si a < b a+c<b+c e. Monotonía de la multiplicación • Si el factor es positivo, no cambia el sentido de la desigualdad. Si a < b y c > 0 a·c<b·c Si a > b y c > 0 a·c>b·c • Si el factor es negativo, cambia el sentido de la desigualdad. Si a < b y c < 0 a·c>b·c Si a > b y c < 0 a·c<b·c f. Monotonía de la división a > b Si a > b y c > 0 c c a Si a > b y c < 0 < b c c Recuerda Intervalo abierto 〈a; b〉

a

b

Intervalo cerrado [a; b] a

b

Intervalo semiabierto por la izquierda 〈a; b]

Propiedades de las inecuaciones a. No simétrica Si a > b b>a b. Antisimétrica a  b ∧ b  a a=b

a

a

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 183.

180

Matemática I

b

Intervalo semiabierto por la derecha [a; b〉

b


Para desarrollar en tu cuaderno

Resolución de una inecuación de primer grado, con una incógnita Consiste en determinar su conjunto solución (C.S.), el cual es el conjunto de todos los valores de la variable “x” que convierten el enunciado abierto en una proposición verdadera. Debemos seguir los siguientes pasos: a. Suprimimos los signos de colección si los hubiera. b. Si la inecuación es fraccionaria se reduce al menor denominador. c. Realizamos la transposición de términos semejantes al desarrollo de ecuaciones. d. Reducimos los términos semejantes. e. Despejamos la incógnita. Ejemplos: 1. Resuelve la inecuación 8x – 10 > 6. Solución: 8x – 10 > 6 Transponemos términos 8x > 6 + 10 Reducimos: 8x > 16 Despejamos la incógnita x > 16 8 Graficamos: 1 2 3 4 5 6 7

x>2

+∞

Luego, C.S. = 〈2; +∞〉 2. Determina el conjunto solución de la siguiente inecuación en el conjunto de los números naturales. 3x – 4 < 5. Solución: 3x – 4 < 5 ; x  Transponemos términos: 3x < 5 + 4 Reducimos términos semejantes: 3x < 9 Despejamos la incógnita: x < 3, x 

Luego, C.S. = {0; 1; 2}

3x – 5  13 – 3x.

Solución: Transponemos términos 3x + 3x  13 + 5 Reducimos: 6x  18 Despejamos la incógnita: x  18 x3 6 Graficamos: –∞

–2 –1 0 1 2 3

Luego, C.S. = 〈–∞; 3] 4. Resuelve la siguiente inecuación: 2x – 5 > x + 10. 3 3 Solución: 6x – 5 > x + 30 Transponemos términos: 6x – x > 30 + 5 Reducimos términos: 5x > 35 Despejamos la incógnita: x > 35 x>7 5 Graficamos: 5 6 7 8 9

Como se observa la solución toma cualquier valor mayor que 2.

Entonces “x” puede ser: 0; 1; 2

3. Resuelve la siguiente inecuación:

+∞

Luego, C.S. = 〈7; +∞] 5. El doble de stickers que tiene Pablo aumentado en 10 es menor que 42. ¿Cuántos stickers como máximo puede tener Pablo? Solución: Si “x” es el número de stickers que tiene Pablo, por dato: 2x + 10 < 42 2x < 32 x < 16 Luego, Pablo puede tener como máximo 15 stickers. 6. ¿Cuáles son los 2 menores números enteros consecutivos cuya suma es mayor que 155? Solución: Números consecutivos: x; x + 1 Del enunciado se deduce que: x + x + 1 > 155 2x > 154 x > 77 Luego, los 2 menores números son 78 y 79.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 183. Matemática I

181


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Resuelve la siguiente inecuación: 7x + 6 > 5x – 12. Solución: Transponemos términos: 7x – 5x > –12 – 6 Reducimos términos: 2x > –18 –18 Despejamos la incógnita: x > 2 x > –9 Rpta.: C.S. = 〈–9; +∞〉 2. Determina el conjunto solución de la siguiente inecuación en el conjunto de los números naturales. 3x – 7  11 – 3x. Solución: Transponemos términos: 3x + 3x  11 + 7 Reducimos términos: 6x  18 18 Despejamos la incógnita: x 6 x3 Las soluciones naturales son: 0; 1; 2; 3 Rpta.: C.S. = {0; 1; 2; 3} 3. Resuelve la siguiente inecuación: 3x + 5 > 5 + x . 4 8 Solución: MCM = 8 2(3x + 5) > 5 + x Transponemos: 6x + 10 > 5 + x 6x – x > 5 – 10 Reducimos: 5x > –5 Despejamos: x > – 5 5 x > –1

Rpta.: C.S. = 〈–1; +∞〉

4. Resuelve la siguiente inecuación: (x – 3)2 + 3 > x2 – 5x + 2. Solución: (x – 3)(x – 3) + 3 > x2 – 5x + 2 Efectuamos la multiplicación: x2 – 6x + 9 + 3 > x2 – 5x + 2 Transponemos términos: x2 – 6x – x2 + 5x > 2 – 9 – 3 Reducimos términos semejantes: –x > –10 Dividimos por (–1) a ambos miembros: x < 10 Rpta.: C.S. = 〈–∞; 10〉 5. Resuelve (2x + 1)(3x + 2) > (2x + 5)(3x – 1). Solución: Tenemos: (2x + 1)(3x + 2) > (2x + 5)(3x – 1) Multiplicamos: 6x2 + 7x + 2 > 6x2 + 13x – 5 Transponemos términos: 6x2 + 7x – 6x2 – 13x > –5 – 2 Dividimos por (–1): –6x > – 7 Despejamos la incógnita: 6x < 7 x< 7 6 Rpta.:

C.S. = –∞; 7

6. Luis tiene $ 200 en su cuenta de ahorros. ¿Cuánto puede ahorrar como máximo este mes, si desea completar hasta $ 700? Solución: Debe ahorrar: x , x  0 Luis tiene: $ 200 Ahorra hasta: $ 700 La inecuación será: 200 + x  700 x  700 – 200 x  500 xmáx = 500 Rpta.: El máximo ahorro es $ 500

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 183.

182

Matemática I

6


Para desarrollar en tu cuaderno

7. María dice: “Si al triple de mi edad le aumento 11 años, tendría más de 101 años”. ¿Cuál es la edad mínima que puede tener María? Solución: Edad de María: x Del enunciado: 3x + 11 > 101 3x > 90 x > 30 xmín = 31 Luego, la mínima edad de María es 31 años. Rpta.: 31 años.

8. Determina el mayor número entero cuyo triple, disminuido en 20 unidades es menor que su doble, aumentado en 30. Solución: Sea el número: x Por dato: 3x – 20 < 2x + 30 x < 50 xmáx = 49 Rpta.: El mayor número es 49. 9. Si al doble de la edad de Flor se le suma 3 años, resulta mayor de 41 años, pero si al triple de la edad de Flor se le resta 12 años el resultado es menos que 51 años. ¿Cuántos años tiene Flor? Solución: Edad de Flor : x Por dato: 2x + 3 > 41 3x – 12 < 51 2x > 38 3x < 63 x > 19 x < 21 Luego, Flor tiene 20 años. Rpta.: 20 años

10. ¿Cuál es el menor número natural tal que si le añadimos su mitad, es mayor que su octava parte más la cuarta parte de su suma con 12? Solución: Sea el número: x Por dato: x + x > x + 1  (x + 12) 4 8 2 3x > x + 2x + 24 8 2 12x > 3x + 24 9x > 24 x> 8 3 xmÍn = 3

Rpta.: El menor número natural es 3. 11. El número de alumnos de una institución educativa es menor que 500 y mayor que 350; se observa que a los 3/11 del total les gusta el curso de Matemática y los 5/17 son alumnos de primer año. La suma de los alumnos a los que les gusta el curso de Matemática con los de primer año, será: Solución: Número de alumnos : x x debe ser múltiplo de 11 y 17 es decir múltiplo de 187. 350 < 187x < 500 De la inecuación, x = 2 Entonces hay 374 alumnos Matemática = 3 (374) = 102 11 Son de primer año = 5 (374) = 110 17 Piden: 102 + 110 = 212

Rpta.: 212 alumnos. Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 183. Matemática I

183


Unidades de longitud Para desarrollar en tu cuaderno

El gran tsunami del Callao El último gran tsunami del Perú ocurrió en 1746. Se sabe que el puerto del Callao fue totalmente arrasado y sólo sobrevivió el 4% de su población. El Callao recibió el peor impacto, las olas del tsunami no dejaron ninguna construcción en pie, y causaron hasta 5 kilómetros (5 000 metros) de inundación. Se cree que la Iglesia Carmen de la Legua debe su nombre a la distancia destructiva del tsunami de 1746, que arrasó todo a su paso adentrándose a una legua (4 o 5 Kilómetros) de la costa.

1. ¿A cuánto equivale aproximadamente una legua marina? 2. ¿Qué unidades de longitud encontramos en la información mostrada? 3. Si queremos medir distancias pequeñas, ¿qué unidades de longitud sería conveniente usar? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Unidades de longitud En el sistema Internacional (S.I.) la unidad principal de longitud es el metro (m). El metro es la longitud del recorrido en el vacío de un rayo de luz en un tiempo de 1/299 792 458 segundos. Unidad

Símbolo

Factor

Exámetro

Em

1018

1 000 000 000 000 000 000

Petámetro

Pm

1015

1 000 000 000 000 000

Terámetro

Tm

1012

1 000 000 000 000

Gigámetro

Gm

109

1 000 000 000

Megámetro

Mm

106

1 000 000

Kilómetro

km

103

1 000

Hectómetro

hm

10

100

Decámetro

dam

101

10

Metro

m

10

1

Decímetro

dm

10–1

0,1

Centímetro

cm

10

0,01

Milímetro

mm

10–3

0,001

Micrómetro

µm

10

0,000 001

Nanómetro

nm

10–9

0,000 000 001

Picómetro

pm

10

0,000 000 000 001

Femtómetro

fm

10–15

0,000 000 000 000 001

Attómetro

am

10

0,000 000 000 000 000 001

Webquest

M Ú L T I P L O S UNIDAD FUNDAMENTAL S U B M Ú L T I P L O S

2

0

–2

–6

–12

–18

De forma práctica, podemos utilizar del siguiente esquema: × 1 000 × 10 × 10 × 10 × 10 Mm

km

: 1 000

hm

: 10

dam

: 10

m

: 10

Equivalencia en metro (m)

×

10

dm

: 10

Matemática I

10

cm

: 10

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 186.

184

×

×

1 000 µm

mm

: 10

: 1 000


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Convierte 12 km a metros. Solución: De la tabla anterior observamos que: 1 km = 1 000 m ∴ 12 km = 12 · 1 km = 12 (1 000 m) = 12 000 m Otra forma de hallar lo pedido es mediante el factor de conversión. 12 km × 1000 m = 12 000 m 1 km Rpta.: 12 000 m 2. Convierte 20 km a cm. Solución: Utilizamos el factor de conversión: 20 km × 1 000 m = 20 000 m 1 km factor de conversión

Luego convertimos 20 000 m a centímetros 100 cm 20 000 m × = 2 000 000 cm 1m factor de conversión

Rpta.: 2 000 000 cm 3. ¿Cuántos kilómetros hay en 125 dam? Solución: • De forma práctica observamos que: 1 km = 100 dam Luego: 1 km 100 dam x 125 dam x = 125 dam × 1 km 100 dam x = 1,25 km • Mediante el factor de conversión. 10 m 125 dam × = 1 250 m 1 dam

Luego convertimos 1250 m a km. 1 km 1 250 m × = 1,25 km 1 000 m

Rpta.: 1,25 km

4. En un estante se colocan 40 libros de Matemática de 20 mm de grosor y 25 libros de Comunicación de 2 cm de grosor. ¿Qué longitud en metros ocupan todos los libros? Solución: Libros de Matemática = 40 · 20 mm = 800 mm Convertimos a metros 1m 800 mm × = 0,8 m 1 000 mm Libros de Comunicación = 25 · 2 cm = 50 cm Convertimos a metros 1m 50 cm × = 0,5 m 100 cm Piden: 0,8 + 0,5 = 1,3 Rpta.: 1,3 m 5. Una bacteria puede llegar a medir hasta 0,0005 mm. ¿Cuál es su medida en micrómetros? Solución: La longitud de la bacteria podemos transformarla de esta manera: 0,0005 mm = 5 × 10–4 mm Convertimos 5 × 10–4 mm a m 10–3 m 5 × 10–4 mm × = 5 × 10–7 m 1 mm Convertimos 5 × 10–7 m a µm 1 µm 5 × 10–7 m × = 5 × 10–1 µm 10–6 m = 0,5 µm Rpta.: Mide 0,5 µm 6. ¿Cuántas gradas hay en una escalinata cuya altura es de 20,50 m, si cada grada tiene 25 cm de altura? Solución: Convertimos la altura a cm. 100 cm Altura total: 20,50 m × = 2 050 cm 1m Altura de cada grada: 25 cm El número de gradas está dado por el cociente entre la altura total y la de cada grada. 2 050 = 82 25 Rpta.: La escalinata tiene 82 gradas.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 186. Matemática I

185


Unidades de masa Para desarrollar en tu cuaderno

Colaboramos con nuestros hermanos del sur Pisco, Chincha e Ica, fueron las ciudades más afectadas por el último gran terremoto en nuestro país, Muchas empresas y personas colaboraron con los damnificados realizando todo tipo de donaciones. Una empresa donó tres camiones cada uno con 4 toneladas de víveres en los que se incluían 3 200 kilogramos de arroz, 2 900 kilogramos de azúcar, y el resto en alimentos enlatados.

1. ¿Qué unidades de masa encontramos en el texto? 2. ¿A cuántos kilogramos equivale una tonelada? 3. ¿Cuántos kilogramos de alimentos enlatados donó dicha empresa? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Unidad de masa

Se denomina masa a la cantidad de materia de un cuerpo o sustancia. El gramo (g) es la principal unidad de masa. El gramo y el kilogramo son las unidades de masa más usadas. Nombre

Webquest

M Ú L T I P L O S UNIDAD FUNDAMENTAL S U B M Ú L T I P L O S

Símbolo

Valor en gramo

Factor

Exagramo

Eg

1 000 000 000 000 000 000

1018

Petagramo

Pg

1 000 000 000 000 000

1015

Teragramo

Tg

1 000 000 000 000

1012

Gigagramo

Gg

1 000 000 000

109

Megagramo

Mg

1 000 000

106

Kilogramo

kg

1 000

103

Hectogramo

hg

100

102

Decagramo

dag

10

101

Gramo

g

1

100

Decigramo

dg

0,1

10–1

Centigramo

cg

0,01

10–2

Miligramo

mg

0,001

10–3

Microgramo

µg

0,000 001

10–6

Nanogramo

ng

0,000 000 001

10–9

Picogramo

pg

0,000 000 000 001

10–12

Femtogramo

fg

0,000 000 000 000 001

10–15

Attogramo

ag

0,000 000 000 000 000 001

10–18

Además de las unidades de masa del cuadro anterior, están el quintal métrico (q) que equivale a 100 kg y la tonelada (t) que equivale a 1 000 kg. Estas unidades se usan para medir cantidades grandes. De forma práctica, podemos utilizar el siguiente esquema: ×

10

kg

×

10

hg : 10

×

10

dag : 10

×

10

g : 10

×

10

dg : 10

×

cg : 10

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 188.

186

Matemática I

10 mg

: 10


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Convierte 30 kg a gramos. Solución: Utilizamos el factor de conversión: 30 kg ×

1 000 g = 30 000 g 1 kg

Rpta.: 30 000 g 2. Expresa en teragramos 1 800 mg. Solución: Utilizamos el factor de conversión: 10–3 g 1 800 mg × = 1,8 g 1 mg Convertimos 1,8 g a teragramos. 1 tg 1,8 g × = 1,8 × 10–12 Tg 1012 g –12 Rpta.: 1,8 × 10 Tg

3. Expresa en kg 25 477 Gg. Solución: Utilizamos el factor de conversión: 109 g 25 477 Gg × = 25 477 × 109 g 1 Gg Convertimos a kg: 1 kg 25 477 × 109g × 3 = 25 477 × 106 kg 10 g = 2,5477 × 1010 kg 10 Rpta.: 2,5477 × 10 kg

4. Convierte 36 000 000 miligramos a megagramos. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 10–3 g 1 Mg 36 000 000 mg × × 1 mg 106 g 6 –3 –6 = 36 × 10 x 10 × 10 Mg = 36 × 10–3 Mg = 0,036 Mg Rpta.: 0,036 Mg 5. Una caja contiene 20 docenas de manzanas. Si el peso medio de una manzana es de 75 g, ¿cuántos kg pesarán todas las manzanas?

Solución: Una docena equivale a 12 manzanas, luego en 20 docenas habrá 240 manzanas. Peso de una manzana: 1 kg 75g × = 0,075 kg 1 000 g Piden: 240 × (0,075 kg) = 18 Rpta.: 18 kg 6. Una ballena azul pesa aproximadamente 120 000 kg. Expresa su peso en toneladas. Solución: 1t 1 000 kg x 120 000 kg 120 000 kg · 1t x= 1 000 kg x = 120 t Rpta.: 120 t 7. Una botella llena de vino pesa 3,455 kg. Si la botella vacía tiene un peso de 324 g, ¿cuál es el peso del vino que contiene? Solución: 1 000 g Botella llena de vino : 3,455 kg × 1 kg = 3 455 g Botella vacía : 324 g Peso del vino : 3 455 g – 324 g Peso del vino : 3 131 g Rpta.: El peso del vino que contiene la botella es 3 131 g. 8. Si 5 kg de queso cuestan 75 nuevos soles, ¿cuánto cuesta 1 Mg de queso? Solución: Convertimos 1 Mg a kg: 106 g 1 kg 1 Mg · · = 1 000 kg 1 Mg 103 g 1 Mg = 1 000 kg Luego: 5 kg S/. 75 1 000 kg x 1 000 · 75 x = 5 x = 15 000 Rpta.: Cuesta S/.15 000

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 188. Matemática I

187


Unidades de tiempo Para desarrollar en tu cuaderno

El fenómeno del Niño Es un fenómeno climático cíclico que provoca el calentamiento de las aguas, se presenta en intervalos variados entre los 3 a 11 años. Una de las consecuencias de este fenómeno son las lluvias intensas, las cuales provocan inundaciones. Este fenómeno tiene una duración entre 4 a 12 meses y en algunos casos hasta 18 meses.

1. ¿Qué unidades de tiempo encontramos en la información? 2. ¿Cuál es la principal unidad de tiempo, según el Sistema Internacional de Unidades (S.I.)? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Unidades de tiempo La unidad principal del tiempo en el S.I. es el segundo (s) sin embargo existen varias unidades que en la práctica utilizamos, la cual se muestra en el siguiente cuadro con sus respectivas equivalencias. Unidad

Equivalencia

1 milenio

1 000 años

1 siglo

100 años

1 década

10 años

1 lustro

5 años

1 año bisiesto

366 días

1 año civil

365 días = 12 meses = 52 semanas

1 año comercial

360 días

1 mes

28; 29; 30 o 31 días

1 semana

7 días

1 día

24 h = 1 440 minutos = 86 400 s

1 hora

60 min = 3 600 s

1 minuto

60 s

Recordemos que para realizar la conversión de unidades en otras equivalentes, empleamos el método del factor de conversión, que consiste en colocar a partir de la unidad conocida, equivalencias en forma de fracción, de modo que la unidad a eliminarse debe estar en el denominador. Ejemplo 1: Convierte 3 horas a segundos.

Ejemplo 2: Convierte 12 días a minutos.

Solución: La equivalencia a utilizar es 1h = 3 600 s

Solución: La equivalencia a utilizar es 1 día = 1 440 minutos

3h ×

3 600 s = 10 800 s 1h

12 días ×

1 440 minutos = 17 280 minutos 1 días

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 191.

188

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Convierte 5 horas a segundos. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 3 600 s 5 horas × = 18 000 s 1 hora Rpta.: 18 000 s

Rpta.: 57 600 min

2. Convierte 32 semanas a horas. Solución: Convertimos 32 semanas a días. 7 días 32 semanas × = 224 días 1 semana Convertimos 224 días a horas. 24 h 1día

224 días ×

5. Convierte 40 días a minutos. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 1 440 min 40 días × = 57 600 min 1 día

6. Convierte 4 800 horas en días. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 4800 h ×

1 día = 200 días 24 h

Rpta.: 200 días

= 5 376 h

Rpta.: 5376 h 3. Convierte 480 meses a lustros. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 1 lustro 1 año 480 meses × × 5 años 12 meses = 480 lustros 60 = 8 lustros

7. Si la mascota de Daniel tiene un lustro de edad, más dos semanas, ¿cuántos días tiene su mascota? Solución: Un lustro = 5 años Un año = 365 días Una semana = 7 días Luego: Un lustro + dos semanas 5(365) + 2(7) = 1825 + 14 = 1839 Rpta.: 1839 días

Rpta.: 8 lustros 4. Convierte 2 milenios 7 siglos 4 lustros en años. Solución: Convertimos cada uno de ellas en años. 1 000 años 2 milenios × = 2 000 años 1 milenio 100 años 7 siglos × = 700 años 1 siglo 4 lustros ×

5 años = 20 años 1 lustro

∴ 2 milenios 7 siglos 4 lustros = 2 720 años Rpta.: 2 720 años

8. Carlos realizó cierto trabajo en tres tardes. Si utilizó 2 h 25 min la primera tarde, cinco cuartos de hora la segunda tarde y tres cuartos de hora la última tarde, ¿cuántos minutos en total se demoró Carlos en realizar el trabajo? Solución: Primera tarde = 2h + 25 min = 120 + 25 = 145 min. Segunda tarde = 5 (60 min) = 75 min 4 3 Tercera tarde = (60 min) = 45 min 4 Piden = 145 + 75 + 45 = 265 min Rpta.: 265 min

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 191. Matemática I

189


Unidades de superficie Para desarrollar en tu cuaderno

Factores que causan la sequía La causa básica de la sequía es la cantidad insuficiente de lluvias caídas en un período de tiempo prolongado. Las sequías causan daños graves al suelo, los cultivos, los animales y hasta a las personas, provocándoles la muerte en algunas ocasiones. Según la información proporcionada por las autoridades locales y regionales de Defensa Civil, 3,016 hectáreas de cultivo fueron afectadas en la región Piura por la escasez de lluvias. Además, también indicaron que 1 500 hectáreas de pastos cultivados se irrigarán en Lambayeque con la apertura de las compuertas del sector Juliana del Proyecto Especial Olmos Tinajones.

1. ¿Cuál es la principal unidad de área, según el Sistema Internacional de Unidades (S.I.)? 2. ¿A cuántos metros cuadrados equivale una hectárea? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Unidades de superficie Las unidades de superficie se derivan del producto de 2 longitudes largo y ancho, de esta forma obtenemos las unidades de superficie. El metro cuadrado (m2) es la principal unidad de superficie. M Ú L T I P L O S UNIDAD FUNDAMENTAL S U B M Ú L T I P L O S

Nombre Exámetro cuadrado Petámetro cuadrado Terámetro cuadrado Gigámetro cuadrado Megámetro cuadrado Kilómetro cuadrado Hectómetro cuadrado Decámetro cuadrado Metro cuadrado Decímetro cuadrado Centímetro cuadrado Milímetro cuadrado Micrómetro cuadrado Nanómetro cuadrado Picómetro cuadrado Femtómetro cuadrado Attómetro cuadrado

Simbolo Em2 Pm2 Tm2 Gm2 Mm2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 µm2 nm2 pm2 fm2 am2

De forma práctica podemos utilizar el siguiente esquema. × 100 × 100 × 100 De forma práctica: km2

hm2 : 100

dam2 : 100

×

100

m2 : 100

Factor 1036 1030 1024 1018 1012 106 104 102 100 10–2 10–4 10–6 10–12 10–18 10–24 10–30 10–36

×

100

dm2 : 100

×

100

cm2 : 100

mm2 : 100

Unidades agrarias: Se utilizan para medir las superficies de los terrenos, campos, huertos, entre otras. Su unidad fundamental es el área (a). 1a = 1 dam2 1a = 100 m2

Su

múltiplo es la hectárea (ha) 1 ha = 1 hm2 1 ha = 10 000 m2 1 ha = 100 a

Su submúltiplo es la centiárea (ca). 1 ca = 1 m2 1 ca = 0,01 a

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 194.

190

Matemática I


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Convierte 64 km2 a cm2. Solución: Primero convertimos 64 km2 a m2. 106 m2 64 km2 × = 64 × 106 m2 1 km2 Luego convertimos 64 × 106 m2 a cm2 64 × 106 m2

1 cm2 10–4 m2

= 64 × 106 × 104 cm2 = 64 × 1010 cm2

10 2 Rpta.: 64 × 10 cm

5. Un campo rectangular tiene 200 m de largo y 160 m de ancho. ¿Cuál es la extensión del terreno en ha? Solución: Nos piden la extensión = Área = largo x ancho = 200 m × 160 m = 32 000 m2 Convertimos 32 000 m2 a ha 1 ha 32000 m2 × = 3,2 ha 10 000 m2 Rpta.: La extensión del terreno es de 3,2 ha.

2. Expresa 280 m2 en hm2. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 1hm2 280 m2 × = 2804 hm2 104 m2 10 –4 2 280 × 10 hm = 28 × 10–3 hm2 –3 2 Rpta.: 28 × 10 hm

3. Convierte 6 Pm2 a m2. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 30 2 6 Pm2 × 10 m2 = 6 × 1030 m2

1 Pm

6. Un campo rectangular que tiene 180 metros de largo por 130 metros de ancho se vende a S/. 585 000. ¿Cuál es el precio por m2? Solución: Calculamos el área del campo rectangular: A = largo × ancho A = 180 m × 130 m A = 23 400 m2 Luego: 23 400 m2 S/. 585 000 1 m2 x 2 x = 1 m × 585 000 23 400 m2 x = 25 2 Rpta.: El precio es de S/. 25 el m .

30 2 Rpta.: 6 × 10 m

4. Convierte 8 hm2 a cm2. Solución: Convertimos 8 hm2 a m2. 104 m2 8 hm2 × = 8 × 104 m2 1 hm2 Convertimos 8 × 104 m2 a cm2 8 × 104 m2 ×

1cm2 10–4 m2

8 2 Rpta.: 8 × 10 cm

104 = 8 × –4 cm2

10

= 8 × 108 cm2

7. Una ciudad tiene una extensión de 1 600 km2. Expresa dicha extensión en hectáreas. Solución: Convertimos 1 600 km2 a m2. 1 600 km2 ×

106 m2 1 km2

= 16 × 108 m2

Convertimos 16 × 108 m2 a ha 1 ha 16 × 108 m2 × = 16 × 108 × 10–4 ha 104 m2 = 16 × 104 ha 4 Rpta.: 16 × 10 ha

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 194. Matemática I

191


Unidades de volumen Para desarrollar en tu cuaderno

Importancia del agua Después de algún tipo de desastre natural es común no tener acceso a los servicios de agua potable, debido a las averías en las tuberías que transportan este elemento. Por ello es importante tomar conciencia de la importancia de este recurso y usarla apropiadamente. En la ciudad de Lima el promedio de consumo de agua es de 250 litros por habitante/día, cuando en países desarrollados el consumo no supera los 150 litros por habitante/día.

1. ¿Cuál es el consumo de agua aproximadamente de una persona? 2. ¿Será lo mismo decir metro cúbico que litro? ¿Por qué? Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Unidades de volumen Las unidades de volumen se derivan del producto de 3 longitudes largo, ancho y altura, razón por la cual, estas unidades se obtienen elevando al cubo la respectiva unidad de longitud. El metro cúbico (m3) es la principal unidad de medida de volumen. Nombre M Ú L T I P L O S UNIDAD FUNDAMENTAL S U B M Ú L T I P L O S

Simbolo

Factor

Exámetro cúbico

Em3

1054

Petámetro cúbico

Pm3

1045

Terámetro cúbico

Tm3

1036

Gigámetro cúbico

Gm3

1027

Megámetro cúbico

Mm3

1018

Kilómetro cúbico

km3

109

Hectómetro cúbico

hm3

106

Decámetro cúbico o megalitro

dam3

103

Metro cúbico

m3

100

Decímetro cúbico o litro

dm3

10–3

Centímetro cúbico

cm3

10–6

Milímetro cúbico

mm3

10–9

Micrómetro cúbico

um3

10–18

Nanómetro cúbico

nm3

10–27

Picómetro cúbico

pm3

10–36

Femtómetro cúbico

fm3

10–45

Attómetro cúbico

am3

10–54

De forma práctica, podemos utilizar el siguiente esquema: ×

1 000

km3

×

1 000

hm3 : 1 000

×

1 000

dam3 : 1 000

×

1 000

m3 : 1 000

×

1 000

dm3 : 1 000

Matemática I

1 000

cm3 : 1 000

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 196.

192

×

mm3 : 1 000


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Convierte 1 km3 a m3. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 1 km3 ×

109 m3 = 109 m3 1 km3

2. Convierte 5m3 a nm3. Solución: 1 nm3 5 m3 × = 5 × 1027 nm3 10–27 m3

27 3 Rpta.: 5 × 10 nm

3. Convierte 4,5 Gm3 a m3. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 1027 m3 = 4,5 × 1027 m3 1 Gm3

27 3 Rpta.: 4,5 × 10 m

1 dm3 = 8 × 103 dm3 10–3 m3 litro = 8 000 litros 1 dm3

Rpta.: 8 000 litros 6. ¿Cuántos litros de agua pueden ingresar en una piscina de 5m de largo, 1,8m de profundidad y 3,5m de ancho? Solución: Piden la capacidad (volumen) de la piscina, la cual estará dada por el producto de sus dimensiones. V = (5m)(1,8m)(3,5m) V = 31,5m3 Convertimos a litros (dm3) 1 000 dm3 31,5 m3 × = 31500 dm3 1 m3 = 31500 litros Rpta.: 31500 litros

4. Convierte 21 × 107 mm3 a hm3. Solución: Aplicamos el factor de conversión: 10–9 m3 21 × 107 mm3 × = 21 × 10–2 m3 1 mm3 = 0,21 m3 Convertimos 0,21 m3 a hm3 1 hm3 0,21 m3 × = 0,21 × 10–6 hm3 106 m3 = 21 × 10–8 hm3 –8 3 Rpta.: 21 × 10 hm

8 m3 ×

8 × 103 dm3 ×

9 3 Rpta.: 10 m

4,5 Gm3 ×

5. Convierte 8m3 a litros. Solución: Convertimos 8m3 a dm3.

7. Un depósito contiene 200 000 cm3 de vino. Si el litro cuesta S/.16, ¿cuánto dinero se obtendrá al venderse todo el contenido de vino? Solución: Convertimos 200 000 cm3 a dm3 (litros) 1 dm3 = 200 dm3 1000 cm3 = 200 litros 200 000 cm3 ×

Luego, al venderse se obtendrá 200 × (16) = S/. 3 200 Rpta.: S/. 3 200

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 196. Matemática I

193


Somos emprendedores* Elaboramos portarretratos para generar nuestros propios ingresos 2. Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:

Podemos vender portalapiceros de trupán.

Situación 1

Si deciden elaborar los portarretratos y venden 15 unidades cada semana, ¿cuánto dinero obtendrán en un mes? ¿Qué proyectos podemos plantear para generar nuevos ingresos?

Mejor hagamos portarretratos, son más comerciales.

Si deciden comprar los portaretratos y logran venden 15 unidades cada semana, ¿cuánto dinero obtendrán en un mes?

Responde oralmente

Situación 2

¿Qué observas en la imagen?

Problema ¿Qué proyecto puede generar ingresos mensuales? Alternativa solución Se proponen las siguientes actividades: • Venta de portarretratos • Venta de portalapiceros de trupán „„ Forma grupos de trabajo y desarrolla. Análisis de posibilidades: 1. Elige la venta de portarretratos Si los compran hechos Precio de costo de cada portarretrato: S/. 5 Precio de venta: S/. 8 Ganancia por cada portarretrato: S/. 3 Ventaja: Listo para vender a los consumidores.

Situación 3

¿Cuánto dinero más se logra ganar en la situación 1 con respecto a la situación 2?

Responde oralmente: 1. ¿Qué insumos tiene el producto elegido? 2. ¿Cuál sería el precio más adecuado para el pro-

ducto?

Si los elaboran Compra de insumos: Trozo de trupán, pinturas de colores, pinceles, lija para madera, otros. Precio de costo de cada portarretrato: S/. 2 Precio de venta: S/. 7 Ganancia por cada portarretrato: S/. 5 Ventaja: Se obtiene mayor ganancia y el precio de venta es menor.

Evalúa 1. ¿Se puede mejorar el producto? 2. ¿De qué otra forma se podría vender?

„„ Pide a tu compañero (a) que te evalúe. Indicadores Aportamos ideas en el trabajo grupal. Respetamos las opiniones de nuestros compañeros. Cumplimos con la tarea asignada en el grupo.

* Promueve el aprendizaje en equipo. 194

Matemática I


Matemática I

195

Realiza transposición de términos.

Reduce nuevamente términos semejantes.

Despeja la incógnita.

una incógnita en una ecuación. • Sustituye el valor en la otra ecuación. • Resuelve la ecuación. • Sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones.

d. ¿En qué otras situaciones podría aplicar lo aprendido?

c. ¿Expliqué con mis palabras los conocimientos adquiridos?

b. ¿Qué estrategias utilicé para resolver mis dificultades?

a. ¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad?

Trata de eliminar una variable, multiplicando por un número convenientemente, a una o ambas ecuaciones. • Elimina una variable. • Resuelve la ecuación y determina el valor de la variable no eliminada. • Sustituye el valor determinado en una de las ecuaciones. •

solución

MÉTODO DE REDUCCIÓN

/ Consultado el 10 de junio de 2015.

co.html / Consultado el 10 de junio de 2015.

• http://www.elabueloeduca.com/aprender/matematicas/medidas/sismetri-

• http://w w w.i-matematicas.com/recursos0809/1ciclo/algebra/

ARTEAGA, Arnedo y CHOREN, Eduardo (1998). Introducción al sistema internacional (SI) de unidades. Maracaibo: Universidad del Zulia, 35 p. • REA, Marcial (1921). Cómo aprender a plantear ecuaciones. Lima : Mnemo, 30p.

Despeja una misma incógnita en ambas ecuaciones. • Iguala ambas expresiones. • Resuelve la ecuación. • Sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones.

solución

solución • Despeja

MÉTODO DE IGUALACIÓN

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

„„ Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

Reduce términos semejantes.

métodos

solución

ECUACIONES DE 1° GRADO CON 2 INCÓGNITAS (Sistema de ecuaciones) a1x + b1y = k1 a2x + b2y = k2 a1, a2, b1, b2 ≠ 0.

ECUACIONES DE 1° GRADO CON 1 INCÓGNITA. ax + b = 0, a ≠ 0

tipos

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

„„ Analiza el siguiente organizador visual y repasa lo aprendido.


Valoramos las construcciones de nuestros antepasados

Trabajamos 1. Describe lo que observas y menciona algunas figuras geométricas que aparecen en las construcciones. 2. Identifica los polígonos que aparecen en el tejido, luego indica su número de lados. 3. ¿Cómo podrías contribuir para la preservación de las construcciones de nuestros antepasados? 4. ¿En qué situaciones de la vida cotidiana observas la utilidad de los triángulos y cuadriláteros? Explica su importancia.

196

Matemática I


Respet

en Apr di

oa

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Interactúa con el arte

Nuestros aprendizajes La líneas de Nazca están formadas por varias figuras que abarcan diseños tan simples como líneas hasta complejas figuras antropomorfas, zoomorfas entre otras. En todas resaltan elementos geométricos como los segmentos, planos y puntos (Conceptos básicos de geometría)

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

• Describe las relaciones de paralelismo y per• • •

El Hatun Rumiyoc es una calle admirable de arquitectura poligonal en donde sus muros muestran el ensamblaje poligonal de las piedras; que los incas utilizaron para su construcción. En dicha calle resalta la piedra de los doce ángulos. (Polígonos)

pendicularidad en formas bidimensionales. Emplea propiedades de los ángulos y líneas notables de un triángulo al resolver un problema. Resuelve problemas sobre circunferencias. Emplea estrategias heurísticas, para resolver problemas de perímetro y área de figuras geométricas. Describe patrones usando términos de transformaciones geométricas.

Los textiles incas se caracterizan por sus diseños geométricos y por la fineza de su técnica. La lliclla de Chinchero está organizada mediante una serie de simetrías jerárquicamente alineadas. (Transformaciones geométricas)

Ingresa a las siguientes páginas web para complementar la información del tema tratado. • http://www.minube.pe/rincon/piedra-de-los-doce-angulos-a77232 • http://cepre.uni.edu.pe/pdf/cuadrilateros.pdf

Matemática I

197


Conceptos básicos de geometría Para desarrollar en tu cuaderno

Líneas de Nasca, un enigma en el desierto Sobre más de 1 000 km² de pampa, resaltan los geoglifos a una escala gigantesca que no ha sido hallada en otras partes del planeta, allí se trazaron figuras geométricas mediante el uso de elementos geométricos como los segmentos, planos y puntos y representaron arañas, monos, reptiles, picaflor, peces, y otros seres. El Colibrí es uno de los geoglifos más famosos por su armoniosa proporción. El segmento que separa la distancia entre los puntos extremos de sus dos alas mide 66 metros

1. Menciona algunos objetos del salón de clase donde observes segmentos y planos. Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

Para el estudio de la Geometría es importante tener en cuenta el concepto intuitivo de punto, recta y plano.

La recta

El punto Representa una posición en el espacio. No tiene dimensión; es decir no tiene tamaño. Se representa con letras mayúsculas.

A• Se lee: el punto A

Ejemplos: • El vértice de un cuadrado. • La intersección del piso con dos paredes de una habitación. • La esquina de una pizarra. • El vértice de un cono.

El plano Superficie plana que se extiende infinitamente en todas sus direcciones.

Pasa por dos puntos. Tiene solo una dimensión. Se extiende infinitamente en sus dos extremos.

Se lee: el plano P

Ejemplos: • Una hoja de tu cuaderno. • El techo del salón de clase. • Un campo de fútbol.

No tiene origen ni fin.

Notación: AB ; Hay infinitos puntos en una recta. Se nombra con letras mayúsculas o minús- Se lee: la recta AB o recta culas.

Se forma al tomar un punto cualquiera de una recta y se representa como una porción de recta limitada por un extremo e ilimitada por el otro. O

Notación: OA ; Se lee: rayo OA

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 212. Matemática I

A

El rayo

P

Se nombra con una letra mayúscula.

198

B

Ejemplos: • La intersección de dos paredes. • El borde de una regla. • El tendido de los cables que llevan electricidad.

No tiene grosor. Posee dos dimensiones, largo y ancho. Se representa regularmente con figuras de cuatro lados.

No tiene grosor ni ancho.

A


Para desarrollar en tu cuaderno

Segmento de recta

En el gráfico observamos que AB = PQ, entonces:

Es una porción de la recta que se determina al tomar dos puntos cualesquiera de esta, además dichos puntos reciben el nombre de extremos del segmento.

AB ≅ PQ Punto medio de un segmento Es aquel punto que divide a un segmento en otros dos segmentos de igual medida.

B A

A

M

B

Notación: AB

Si M es punto medio de AB, entonces AM = MB.

Se lee: segmento de recta AB.

Operaciones con segmentos Estas operaciones se realizan con las medidas de los segmentos.

Longitud o medida de un segmento

a. Adición

4 cm A

A

B

En el gráfico observamos que la longitud o medida del segmento AB es 4 cm. Notación: • AB = 4 cm, se lee: longitud del segmento AB igual a 4 centímetros. • mAB = 4 cm, se lee: medida del segmento AB igual a 4 centímetros. Para construir un segmento de cierta longitud en una recta, a partir de un punto se realiza lo siguiente: • Medimos la distancia con el compás. B

A

B

d1

4 cm

3 cm

A

B

B P

A

B

C

AB = d1 – d2

5 cm

Segmentos congruentes Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida. 3 cm P

d2

Ejemplo: Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C. Si AC = 15 cm y AB = 5 cm , determina la medida de BC.

A

B

D

b. Sustracción

Luego, el segmento PB' es el segmento buscado.

A

C

Solución:

B’

3 cm

5 cm

Solución: Del gráfico: AD = AB + BC + CD AD = 4 cm + 3 cm + 5 cm AD = 12 cm

P

A

AC = d1 + d2

Ejemplo: En el gráfico mostrado, calcula la longitud de AD.

d1

• Apoyándonos en el punto sobre la recta, marcamos un arco con la distancia medida.

C

d2

Q

B

15 cm

C

Del gráfico: BC = AC – AB BC = 15 cm – 5 cm BC = 10 cm

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 212. Matemática I

199


Para desarrollar en tu cuaderno

1. En el gráfico mostrado los segmentos AB y PQ son congruentes. Determina el valor de “x”. 3x – 18 A

x + 12 B

P

Q

2. Sobre una recta se toman los puntos M, N, P y Q colineales y consecutivos. Si MN = 5 cm, NP = 8 cm y PQ = 3 cm, calcula MP, MQ y NQ. Solución: 8 N

3 P

Q

Del gráfico: MP = 5 + 8 = 13 MQ = 5 + 8 + 3 = 16 NQ = 8 + 3 = 11 Rpta.: 13 cm; 16 cm y 11 cm 3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que la medida de las longitudes de los segmentos AB, BC y CD están representados por tres números enteros consecutivos. Si se sabe que AD = 15 cm, calcula BD. Solución: a+1 a+2 a A B C D Por dato: AD = 15 a + a + 1 + a + 2 = 15 3a = 12 a = 4 Piden: BD = 2a + 3 BD = 11 Rpta.: 11 cm

2 cm B

C

Matemática I

D

Calcula P = 3AC – CD . 2BC Solución: Reemplazamos en la expresión "P" las medidas de los segmentos: P = 3(6 cm) – 6 cm 2(2 cm)

P=3 Rpta.: 3 5. En el gráfico mostrado, AD = 67 cm. Determina la medida de BD. x A

3x – 2

2x + 3

B

C

D

Solución: Por dato: AD = 67 x + 3x – 2 + 2x + 3 = 67 6x = 66 x = 11 Piden: BD = 3x – 2 + 2x + 3 BD = 5x + 1 BD = 5(11) + 1 BD = 56 Rpta.: 56 cm 6. Calcula el valor de “a” en el siguiente gráfico, si M es punto medio de AB. 7a + 6 A

2a + 26 M

B

Solución: Como M es punto medio de AB, se cumple: 7a + 6 = 2a + 26 5a = 20 a = 4 Rpta.: El valor de "a" es 4

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 212.

200

6 cm

P = 12 cm 4 cm

Rpta.: El valor de “x” es 15.

M

4 cm A

Solución: Por segmentos congruentes, se cumple: 3x – 18 = x + 12 2x = 30 x = 15

5

4. Dado el siguiente gráfico:


Para desarrollar en tu cuaderno

Ángulos

Una piedra con historia La piedra de los doce ángulos es quizás la piedra más famosa del Perú, se destaca porque su ensamblaje en la pared que se encuentra es perfecto, precisos cortes hacen de esta piedra una maravilla de la arquitectura humana, hasta ahora no se puede explicar cómo nuestros antepasados pudieron colocarla en ese lugar.

1. Observa la imagen y con tu transportador mide los ángulos de la piedra y clasifícalos según su medida. Ficha nivel cero

Ángulo

Es una figura geométrica formada por la unión de dos rayos que tienen el origen común llamado vértice. A

O

Elementos: Lados: OA y OB Vértice: O Notación: AOB; AOB

B

Medida de un ángulo Los ángulos se miden en grados sexagesimales (°), y el instrumento que se utiliza para medirlos es el transportador. A

A

O

45°

O

B

m AOB = 90° O

A

B

d. Ángulo obtuso Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°. A

α

90° < m AOB < 180°

B

Clasificación I. Por su medida a. Ángulo nulo: Es aquel ángulo cuya medida es cero grados (0°) y está formado por dos lados que coinciden. B

m AOB = 0°

b. Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 90°. A

O

B

e. Ángulo llano Es aquel ángulo cuya medida es igual a 180°. Equivale a media vuelta completa.

A

O

B

O B

m AOB = 180°

f. Ángulo de una vuelta Es aquel ángulo cuya medida es igual a 360°.

0° < m AOB < 90° O

PPT

A

m AOB = α

m AOB = 45°

O

c. Ángulo recto Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°.

Ficha de refuerzo

B

A

m AOB = 360°

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 215. Matemática I

201


Para desarrollar en tu cuaderno

II. Por la posición de sus lados a. Ángulos adyacentes Dos ángulos son adyacentes, si tienen el mismo vértice y un lado en común.

a

b

a y b son ángulos adyacentes b. Ángulos consecutivos Son dos o más ángulos adyacentes, es decir los ángulos se encuentran uno a continuación del otro. a

Suplemento de un ángulo (Sx) Es lo que le falta a un ángulo para ser igual a 180°, es decir: Sx = 180° – x Bisectriz de un ángulo Es aquel rayo que divide un ángulo en otros dos ángulos de igual medida. A

b q

a, b y q son ángulos consecutivos. c. Ángulos opuestos por el vértice Son aquellos ángulos que se forman por la intersección de dos rectas, donde el punto de intersección es el vértice común de dichos ángulos. Se cumple: a

Complemento de un ángulo (Cx) Es lo que le falta a un ángulo para ser igual a 90°; es decir: Cx = 90° – x

a a

O

B

Construcción de ángulos En muchas ocasiones tenemos la necesidad de construir ángulos, a continuación veremos cómo se construyen ángulos usando el compás o la escuadra. 1. Construcción de un ángulo de 90°

a=b

b

D

90°

Si AOB y CPD son complementarios, se cumple:

B

A

C a b

OP

a + b = 90°

D

b. Ángulos suplementarios Si AOB y CPD son suplementarios se C cumple: B q + g = 180° q A

g

O P

B

C

III.Por sus características a. Ángulos complementarios

D

O

A

Matemática I

• Desde el punto O de la semirrecta OP, utilizando el compás, se traza un arco con un radio cualquiera. El arco corta a la semirecta OP en el P punto A.

• Desde el punto A con la misma abertura del compás, se traza un arco, obteniendo el punto B. • Se traza un nuevo arco, con el mismo radio y con centro en el punto B, obteniendo el punto C. • Utilizando los puntos B y C, realiza otro arco con la misma abertura del compas, obteniendo el punto D. • Al unir el punto D con el punto O, consigue la recta perpendicular a la semirecta OP en el extremo de la semirecta.

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 215.

202

OM es bisectriz del ángulo AOB.

M


Para desarrollar en tu cuaderno

2. Construcción de un ángulo de 45°

d. Ángulos conjugados internos L3

• Partiendo del ángulo de 90° ubicamos los puntos “A” y “B”

L1

B

L2

C

A

• Trazamos desde el vértice “O” una semirrecta que B pasa por el punto de intersección C, donde OC es bisectriz del ángulo 45° AOB. O

b

C

D

D

e. Ángulos conjugados externos A L3 L1

C

E D

b F

En resumen:

Si tomamos L1 y L2 rectas paralelas y además L3 una recta secante a las anteriores, se generan los siguientes ángulos:

A L1

a

B

D

C

E

b. Ángulos alternos internos L3 L1 A

ABC ≅ BCE

B

a

4

C

a=b

Alternos internos: 3 – 5; 4 – 6 Alternos externos: 1 – 7; 2 – 8 Conjugados internos: 3 – 6; 4 – 5 Conjugados externos: 1 – 8; 2 – 7 Correspondientes: 1 – 5; 2 – 6; 3 – 7; 4 – 8 Propiedades 1.

x

c. Ángulos alternos externos L1

a

E

ABC ≅ DEF

A L3 a B

L2

a=b C

b

x=a+b

b

2.

a x b

E D

3

5 6 8 7

b

L2

2

a=b

b

L2

1

ABD ≅ BCE

L3

a + b = 180°

B

C

A

ABC y DEF

a

L2

Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una recta secante

a + b = 180°

A

a

• Desde los puntos “A” y “B” trazamos dos semiB circunferencias de igual radio que se interceptan en el punto “C” como se muestra en la figura O

a. Ángulos correspondientes

ABC y BCD

x+y=a+b+q

y F

q Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 215. Matemática I

203


Para desarrollar en tu cuaderno

1. Calcula el valor de “x” en el gráfico mostrado.

2x

135° 3x +15°

Solución: Por ángulos suplementarios se cumple: (2x2)° + 30° + 78° = 180° 2x2 = 72 x = 6 Rpta.: 6

Solución: Del gráfico se cumple: 2x + 3x + 15° = 135° 5x = 120° x = 24°

4. Calcula el valor de “x” en el gráfico mostrado, si // 2. 1 4x

Rpta.: 24°

1

6x + 20°

2. En el gráfico mostrado m AOB = 2m BOC, calcula la medida del ángulo AOB. A

C

Solución: A

O

Solución: Por conjugados internos: 4x + 6x + 20° = 180° 10x = 160° x = 16°

B

O

B 2a a C

2

Rpta.: 16°

Del gráfico: 2a + a = a = Piden: m AOB = = =

90° 30°

5. En el gráfico mostrado, calcula el valor de “6x”, además L2 // L2 .

2a 2(30°) 60°

x + 10°

1

130° 2x 2

Rpta.: 60°

Solución:

3. En el gráfico mostrado los ángulos AOB y PQR son suplementarios, calcula el valor positivo de “x”. P A

(2x2)° + 30°

x + 10°

50° 130° 2x 2

B Q

78°

O R

Rpta.: 80°

Continúa tus aprendizajes en el Libro de actividades, pág. 215.

204

Matemática I

1

Por propiedad: 50° = x+ 10° + 2x 3x = 40° Piden: 6x = 2(40°) = 80°


Polígonos Para desarrollar en tu cuaderno

Hatun rumiyoc una arquitectura poligonal Es una calle que se encuentra en el Cusco, la muralla es admirable por su arquitectura poligonal. Al centro del muro se ubica la piedra de los doce ángulos, famosa por el perfecto ensamblaje de sus esquinas. La calle se caracteriza porque en ella se encuentra el palacio de Inca Roca, construido con piedras de diorita verde, de estilo poligonal.

1. En la imagen: ¿Qué figuras geométricas encuentras? 2. ¿Qué objetos de tu entorno tienen forma de polígono? Ficha nivel cero

Polígono Es aquella figura geométrica plana que se forma al unir tres o más puntos no colineales mediante segmentos de recta tomados dos a dos. Se llama diagonal del polígono al segmento que une dos vértices no consecutivos. B b b A a a

Elementos: Vértices: A, B, C, D, E C Lados: AB, BC, CD, DE, AE q c Ángulos internos: a, b, q, g, f Ángulos externos: a, b, c, d, e g D Diagonales: AC, BD, CE, AD, BE

f

E e

d

Clasificación de los polígonos a. Por la medida de sus ángulos • Polígono convexo Es aquel polígono que tiene todos sus ángulos internos convexos, es decir son menores que 180°. C

B

D

E

A F ABCDEF: Polígono convexo

• Polígono no convexo o cóncavo Es aquel polígono que tiene por lo menos un ángulo interno cóncavo, es decir mayor que 180°.

Ficha de refuerzo

B

PPT

D A

C

ABCD: Polígono cóncavo

b. Por su número de lados Según el número de lados, los polígonos se nombran así: Nombre

Nº de lados

Triángulo

3

Cuadrilátero

4

Pentágono

5

Hexágono

6

Heptágono

7

Octágono

8

Nonágono

9

Dec