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Respetamos y preservamos el número de animales de nuestra fauna

Nuestros aprendizajes Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad • Aplica algoritmos pertinentes en la solución de situaciones problemáticas sobre conjuntos. • Interpreta las leyes de correspondencia para formar relaciones entre conjuntos. • Expresa en forma gráfica y simbólica las relaciones de orden entre números naturales. • Describe las características de la potenciación considerando su base y exponente con números naturales. • Realiza conversiones entre los diferentes sistemas de numeración.

8

Matemática I


Respet

en Apr di

ental am

oa

la div sidad er

je fund za

Usa la ciencia y tecnología

„„ Completa el ejegrama teniendo en cuenta cada uno de los siguientes enunciados.

7P

O

R

A

2E

D

R

O

D

A

N

L

5U

I

N

L

A

S

R

E

V

M

8B

E

1

C

4

M

O

N

E

R

P

S

O

I N

O

A

S

R

R D

3U

N

I

I N

6A

T

I

O

O

I

R

N O

T A

10

A R I O

D

A

I

L

C

9D

O

M

N

I

I

O

O N

HORIZONTALES 1. Un conjunto se puede determinar por… o por extensión. 3. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. 5. El conjunto… contiene a todos los elementos de otros conjuntos. 7. (a; b) representa a un… 9. Dom (R) representa el … de una relación.

VERTICALES 2. Un conjunto está formado por… 4. Es el número de elementos diferentes que tiene un conjunto. 6. Es una operación en el conjunto de los números naturales. 8. Sistema de base 2 o … 10. ¿Cómo se llama el sistema de base 9? Matemática I

9


Laboratorio matemático*

Teoría de conjuntos

El profesor Rodríguez desea formar equipos de fulbito, voleibol y básquet, para esto entrega a cada estudiante una ficha de forma geométrica (triángulo, cuadrado o pentágono), de diferente tamaño (pequeño, mediano o grande), y color (azul, verde o rojo), luego les indica que se agrupen todos aquellos que tienen la misma figura. Después se vuelven a formar grupos pero teniendo en cuenta el mismo color, y finalmente se vuelven a agrupar considerando el tamaño, logrando conformar así los equipos. ¿Habrá estudiantes que pertenecen a dos o más equipos? ¿Habrá estudiantes que pertenecen a tres equipos a la vez?

1. Reconoce en el texto algunos grupos o conjuntos que se puedan formar. •

Grupo de fulbito, de voleibol y de básquet

Grupo de estudiantes que tienen la misma figura, el mismo color, el mismo tamaño.

2. ¿Perteneces o has pertenecido a algún tipo de grupo alguna vez?, menciona algunos. •

A mi grupo familiar (papá, mamá y yo).

A mi equipo de fulbito (grupo de 6 integrantes).

1. ¿Cómo representarías gráficamente que un estudiante pertenece al equipo de fulbito y al equipo de básquet? Sea A = {estudiantes del equipo de fulbito}

B = {estudiantes del equipo de básquet}

Estudiante = x

A

B x

A = Equipo de fulbito B = Equipo de básquet

* Promueve el aprendizaje en equipo. 10

Matemática I


2. ¿De qué otra forma se pueden representar cada uno de los siguientes conjuntos?

A

= {x/x es un integrante del equipo de fulbito del primer año}

A = {Luis, Miguel, Jorge, Gustavo, Jhon, Alfonso} … (Determinación por extensión)

B

= {papá, mamá, hijo}

B = {x/x es un integrante de una familia} … (Determinación por comprensión)

1. ¿Qué estrategias se aplicó para formar los grupos? Mediante dinámica y teniendo en cuenta las condiciones del profesor (características del conjunto o grupos a formar), nos agrupamos por ejemplo … • teniendo en cuenta solo la figura geométrica. - Los que tienen triángulos - Los que tienen cuadrados - Los que tienen pentágonos • teniendo en cuenta solo los colores. - Las figuras de color azul - Las figuras de color rojo - Las figuras de color verde • teniendo en cuenta solamente el tamaño. - Las figuras pequeñas - Las figuras medianas - Las figuras grandes • teniendo en cuenta los colores, el tamaño y la figura geométrica. - Los triángulos grandes de color azul - Los cuadrados pequeños de color verde - Los pentágonos medianos de color rojo.

2. Elabora una relación de los conjuntos formados y clasifícalos según la cantidad de elementos que posee. •

Conjuntos que no tienen elementos (conjunto vacio).

Conjuntos que tienen un elemento (conjunto unitario).

Conjuntos que tienen varios elementos (conjunto finito).

a. En qué se diferencia la pertenencia y la inclusión de conjuntos. Explica con un ejemplo. b. Un conjunto puede ser elemento. Explica en qué situaciones. c. Elabora una lista de conclusiones finales. Matemática I

11


Teoría de conjuntos Lee y analiza la siguiente información para resolver los ejercicios. CONJUNTOS

Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

se

presentan

DETERMINAN

RELACIONES

por

de

Webquest

Comprensión cuando

Se nombra las características en común.

Inclusión de conjuntos

Extensión cuando

Se nombra cada uno de los elementos del conjunto.

Igualdad de conjuntos

si

Todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro.

si

Los conjuntos tienen los mismos elementos.

Revisa la página 10 del Libro del área.

1. Determina por extensión el conjunto A y luego indica la suma de sus elementos. A = {x/x  ∧ x es divisor de 27}. Solución: Determinamos por extensión: A = {1; 3; 9; 27} Piden: = 1 + 3 + 9 + 27 = 40

Rpta.: 40

2. Determina por comprensión el siguiente conjunto: B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}. Solución: Observamos que los números del conjunto B son pares y naturales, además son mayores que 1 y menores que 13. Luego: B = {x  / x es par ∧ 1< x < 13}

3. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}, coloca en los recuadros verdadero (V) o falso (F). V I. {7}  A V II. 9  A V III. 7  A F IV. {9}  A F V. Ø  A F VI. 10  A 4. Determina el cardinal del siguiente conjunto: x3 – 2 C=  /x  ∧ x5 . 2 Solución: Determinamos los valores de “x”: x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Reemplazamos los valores de “x” en la condición: Si: 3 x = 0 → 0 – 2 = –1 2 3–2 1 x=1 → =–1 2 2 3–2 2 x=2 → =3 2

3 x = 3 → 3 – 2 = 25  2 2 3–2 4 x=4 → = 31  2 3 x = 5 → 5 – 2 = 123  2 2

Luego: C = {3; 31} → n(C) = 2

Rpta.: B = {x  / x es par ∧ 1 < x < 13}

Rpta.: 2

* Las páginas web propuestas han sido verificadas. Es importante recordar que muchas de ellas tienen período determinado de vigencia.

12

Matemática I


5. El conjunto H = {10; 2m + 6} es unitario, calcula el valor de “m + 5”. Solución:

9. Dados los siguientes conjuntos: A = {3; 5; 7; 8; 9} y B = {1; 5; 6; 9}. Calcula n(A – B) + n(B – A).

Por conjunto unitario se cumple: 2m + 6 = 10 m=2 Piden: m + 5 =2+5 =7

Solución: Graficamos: A .7 .8

Rpta.: 7

A  E 5  D C  A 2  B

.9

.6

V F

Rpta.: 5

10. Dados los siguientes conjuntos: = {1; 2; 3; …;10}, A = {x/x  , 4 < x < 10}, B = {x/x  , 1 < x < 7} y C = {1; 2; 5; 8}. Determina (A  B) – C.

V F

Solución: A = {5; 6; 7; 8; 9} B = {2; 3; 4; 5; 6} C = {1; 2; 5; 8} A  B = {5; 6} (A  B) – C = {6}

7. Dados los conjuntos A, B  , si A = {n2; 6} y B = {9; x – 1}, son iguales, calcula el valor de “x – n”. Solución: Por conjuntos iguales, se cumple: n2 = 9 x – 1 = 6 n = 3 x = 7 Piden: x – n = 7 – 3 = 4

Rpta.: {6}

Rpta.: 4

8. Si A = {x/x  , 5 < x < 15} y B = {x/x  , 3 < x < 10}, ¿cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A  B?

11. Dados los siguientes conjuntos: A = {x/x  , 0  x < 4}, B = {x/x  , x < 10; x es impar} y C = {x/x  , 7 < x < 12}. Determina (A – C)  (C – B).

Solución:

Solución:

A = {6; 7; 8; … ; 14} B = {4; 5; 6; 7; 8; 9} A  B = {6; 7; 8; 9} n(A  B) = 4 Luego: n [P(A  B)] = 24 = 16

A = {0; 1; 2; 3} B = {1; 3; 5; 7; 9} C = {8; 9; 10; 11} A – C = {0; 1; 2; 3} C – B = {8; 10; 11} (A – C)  (C – B) = ∅

Rpta.: 16

Rpta.: ∅

Investiga y aprende más en:

.5

.1

n(A – B) + n (B – A) = 3 + 2 = 5

6. Dados los siguientes conjuntos, coloca verdadero (V) o falso (F) en los recuadros. A = {1; 3; 5} ; C = {5} B = {2; 4; 6; 8} ; D = {3; 5} E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} I. II. III. IV.

B .3

http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm Matemática I

13


Revisa la página 10 del Libro del área.

„„ Encierra la alternativa correcta. ; x = 4 ∧ 4 < x < 24}, es:

1. El cardinal de A = {x/x  a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

2. Calcula la suma de los elementos del siguiente conjunto: A = {3x – 1/x  , 2< x < 7}. a. 48

b. 50

c. 52

d. 53

e. 47

3. Si el conjunto P = {8 – a; 5 + b; 1}, es unitario, calcula el valor de “a2 + b2”. a. 33

b. 65

c. 3

d. 52

e. 67

4. Dados los siguientes conjuntos iguales: A = {2x + 4; 13} ; B = {2y + 3; 14}. Calcula el valor de “x + y”. a. 6

b. 7

c. 8

d. 9

e. 10

5. Dado el siguiente diagrama, determina el valor de verdad de las proposiciones. A

B

.a .i

.e

.o .u

a. V V V b. V F V

I. i  (A  B) II. A – B = {a, e} III. o  (B – A)

c. F V F d. V V F

c. {8; 12} d. {6; 9; 10}

e. {14}

c. 16 d. 32 Matemática I

c. 10

d. 12

e. 13

e. {–1; 1}

10. Si n(P) = 15 y n(Q) = 22 y n(P  Q) = 30, calcula n(P  Q). a. 6

b. 7

c. 8

d. 9

e. 10

11. Si n[P(A)] = 64; n[P(B)] = 128; n[P(A  B)] = 16; calcula n[P(A  B)]. a. 64

b. 128

c. 512

d. 256

e. 32

12. Se sabe que A tiene 127 subconjuntos propios, que el número de elementos de la intersección de A y B es 5 y que B – A tiene 16 subconjuntos. Determina el número de subconjuntos de AB. a. 1024 c. 512 e. 1048 b. 2048 d. 4096

13. Dado el conjunto A= {{1; 2}; {3}; 4}, ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son falsas? I. {1; 2}  A IV. {3}  A II. {4}  A V. {{3}; 4}  A III. ∅  A (PREGUNTA ECE 2013)

e. 8

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

14. Para dos conjuntos A y B se sabe que n[P(A)] = 64; n[P(B)] = 32 ; n[P(A B)] = 8, determina el valor de n[P(A  B)]. (UNAC 2012 – I) a. 2

* Promueve el aprendizaje en equipo. 14

b. 9

9. Dados los siguientes conjuntos: A = {x  / x(x + 1) = 0}, B = {x  / –3  3x  4} y C = {x  / x2 = 1}. Determina (A – B)  C. a. {–1} c. {–1; 0} b. {1} d. {1; 0}

a. 1

7. Dado el conjunto M = {x/x  , 7 < x  12}, ¿cuántos elementos tiene su conjunto potencia? a. 4 b. 2

a. 7

e. F F F

6. Si = {4; 6; 8; 10; 12; 14} ; A = {6; 10; 12} ; B = {4; 6; 8}, determina (AB)'. a. {7} b. {11; 15}

8. Dados los siguientes conjuntos: = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, A = {2x/x  , 2 < x < 6} y B = {x + 2/x  , 2 < x < 8}. Calcula la suma de elementos de (A  B)'.

b. 4

c. 8

d. 64

e. 256


Problemas con conjuntos Lee y analiza la siguiente información para resolver los ejercicios. Ficha nivel cero

PROBLEMAS CON CONJUNTOS

Ficha de refuerzo

Para 2 conjuntos Sean los conjuntos: A = {Personas que juegan fútbol} B = {Personas que juegan básquet}

Gráficamente A

B a

b

c d

a : personas que solo juegan fútbol. c : personas que solo juegan básquet. b : personas que juegan fútbol y básquet. se cumple d : personas que no juegan ni fútbol ni básquet. a y c : personas que juegan uno de los deportes. a,b y c : personas que juegan fútbol o básquet.

PPT

Revisa la página 16 del Libro del área.

1. En un salón de clases de 25 alumnos, 12 prefieren leer, 14 pintar y 4 leer y pintar. ¿Cuántos alumnos no prefieren ninguna de estas actividades? Solución: L = 12 8

4

= 25 Del gráfico: Solo leen: 12 – 4 = 8 P = 14 Solo pintan: 14 – 4 = 10 Finalmente: 10 25 – (8 + 4 + 10) = 3

3. A 60 estudiantes de un salón de clases se les preguntó por el deporte que practican y respondieron: 40 juegan fútbol y 36 juegan voleibol. ¿Cuántos estudiantes practican solo fútbol si todos practican al menos uno de los deportes? Solución: = 60 F = 40

V = 36

40 – x x 36 – x

Rpta.: 3 alumnos

2. En una reunión hay 160 personas y en cierto momento se observa que la cuarta parte bebe gaseosa, la quinta parte conversa y la décima conversa y bebe gaseosa. ¿Cuántas personas no conversan ni beben gaseosa? Solución: = 160 B = 40 24

C = 32 16

16

Rpta.: 104 personas Investiga y aprende más en:

Del gráfico: Beben: (160 : 4) = 40 Conversa: (160 : 5) = 32 Conversa y beben: (160 : 10) = 16 Luego: No conversan ni beben: 24 + 16 + 16 + x = 160 x = 104

Rpta.: 24 estudiantes

Del gráfico: 40 – x + x + 36 – x = 60 –x = 60 – 76 x = 16 Piden solo fútbol = 40 – x = 40 – 16 = 24

4. De 100 familias encuestadas se observó que 36 tienen internet y 56 tienen teléfono y 20 no tienen internet ni teléfono. ¿Cuántas familias tienen internet y teléfono? Solución: = 100 I = 36 36 – x x 56 – x

T = 56

Del gráfico: 36 – x + x + 56 – x + 20 = 100 –x + 112 = 100 x = 12

20

Rpta.: 12 familias http://es.scribd.com/doc/14003263/problemas-resueltos-de-conjuntos#scribd Matemática I

15


5. Durante el mes de mayo, Sara asiste 18 días a la universidad y 24 días asiste a su trabajo. ¿Cuántos días estudia y trabaja a la vez? Solución: = 31 Del gráfico: T = 18 E = 24 18 – x + x + 24 – x = 31 –x = 31 – 42 x = 11 18 – x x 24 – x

8. De un grupo de 70 estudiantes de idiomas se observa que 15 estudian solo inglés, 30 estudian francés y 10 solo francés, 26 estudian alemán y 8 solo alemán. Además, 7 estudian los tres idiomas y 11 estudian otros idiomas. ¿Cuántos estudian inglés? Solución: = 70 F = 30

I 15

Rpta.: 11 días

x

Solución:

= 100

M

Luego, solo uno de los dos cursos: = 27 + 23 = 50

I 27

x

23

25

Solución: = 18 Danza(11)

5

Pintura(7)

1 3

2 a

4

Rpta.: 1 joven 16

Matemática I

Teatro(10)

Del gráfico: 1+2+3+a=7 a = 1 Piden: Solo pintura y teatro: 1

A = 26

9. En una encuesta realizada a 150 estudiantes se sabe que 60 son mujeres; 80 estudian letras, 20 mujeres no estudian letras. ¿Cuántos varones no estudian letras? Solución: Aplicamos Carroll

Var.

7. Se realizó una encuesta a 18 jóvenes sobre su preferencia por algún tipo de taller de verano y se obtuvo lo siguiente: • 11 prefieren el taller de danza. • 7 prefieren el taller de pintura. • 10 prefieren el taller de teatro. • 3 prefieren los tres talleres. ¿Cuántos jóvenes prefieren solo el taller de pintura y teatro, si 5 prefieren solo danza, 2 prefieren solo pintura y 4 solo teatro, además 1 prefiere danza y pintura pero no teatro?

z

Rpta.: 36 alumnos estudian inglés.

Muj.

Rpta.: 50 estudiantes

10

8

11

6. En un grupo de 100 estudiantes, 48 no estudian matemática, 52 no estudian inglés y 25 estudiantes no llevan ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos estudian solo uno de los dos cursos?

y 7

Del gráfico: 30 + 15 + x + 8 = 59 x = 6 Luego: 26 + 15 + y + 10 = 59 y = 8 Finalmente: I = 15 + 7 + x + y I = 15 + 7 + 6 + 8 I = 36

Letras No let. 40 20 40

x

80

60 90 150

Luego del cuadro: 40 + x = 90 x = 50

Del gráfico: Si son 60 mujeres → son 90 varones Si 20 mujeres no estudian letras, entonces 40 sí estudian letras.

Rpta.: 50 varones

10. En una fiesta a la que asistieron un grupo de personas se observa que el número de varones que no están bailando es el triple de las mujeres que están bailando y además excede en 16 al número de varones que están bailando. Si asistieron 22 mujeres, ¿cuántas personas no están bailando en ese momento? Solución: Aplicamos Carroll V

B x

No B 3x

M

x

a

Rpta.: 38 personas

22

Del gráfico: 3x – x = 16 x = 8 Luego: a = 22 – 8 a = 14 Piden: 3x + a = 24 + 14 3x + a = 38


Revisa la página 16 del Libro del área.

„„ Encierra la alternativa correcta. 1. De un grupo de 50 personas, 28 conocen Cusco, 32 conocen Trujillo y 15, ambas ciudades. ¿Cuántas personas no conocen ninguna de estas ciudades? a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

2. En un grupo de personas se sabe que 90 estudian francés, 60 estudian inglés. Además, 5 no estudian ninguno de estos cursos y 30 ambos. ¿Cuántas personas forman el grupo? a. 125

b. 130

c. 110

d. 105

e. 140

3. De un grupo de 100 alumnos se sabe que 30 juegan solo fútbol, 50 juegan solo básquet. ¿Cuántos no practican estos deportes si 10 practican los dos deportes? a. 5

b. 10

c. 15

d. 20

e. 25

4. Una persona toma café y/o leche en su desayuno cada mañana durante el mes de marzo. Si toma leche 25 mañanas y 18 mañanas toma café. ¿Cuántas mañanas tomó café con leche? a. 8

b. 9

c. 10

d. 11

e. 12

5. En una encuesta realizada a 30 personas sobre su preferencia por cierta emisora de radio, 14 personas, respondieron Radiomar, 19, Radio Ke Buena y 7, ambas emisoras. ¿Cuántas personas no escuchan las emisoras mencionadas? a. 2

b. 4

c. 6

d. 8

e. 10

6. En un grupo de personas se sabe que 8 gustan del box y el karate, el doble, solo del box, el triple, solo del karate, y al cuádruple no le agradan estos deportes. ¿Cuántas personas en total conforman el grupo? a. 50

b. 60

c. 70

d. 80

e. 90

7. De un total de 60 señoritas se sabe que a 18 les agrada que les obsequien rosas y solamente a 17 rosas y violetas a la vez. ¿Cuántas prefieren solo violetas, si a todas les gusta alguna de estas flores? a. 23

b. 24

c. 25

d. 26

e. 27

8. En un grupo de coleccionistas, se sabe que 40 de ellos lo son de monedas y 25 lo son de estampillas. Además, 12 coleccionan ambas cosas. Si se sabe que tienen que coleccionar algún objeto, ¿cuántos coleccionan solo uno de los objetos? a. 37

b. 40

c. 45

d. 41

e. 39

9. De un total de 84 familias, se sabe que 54 tienen casa propia y 49 poseen auto propio. Si se sabe que 12 no tienen ninguna de estas propiedades, ¿cuántas familias poseen ambas propiedades? a. 28

b. 29

c. 32

d. 31

e. 35

10. Una juguería comprobó que de sus 130 clientes a 75 les gusta el jugo de fresa, a 85 el jugo de papaya y a 35 no gustan de estos dos jugos. ¿A cuántos no les gusta el jugo de papaya? a. 65

b. 55

c. 45

d. 35

e. 25

11. En una ciudad se sabe que el 85% consume carne de res y el 65% consume pollo. Si el 5% son vegetarianos, ¿qué porcentaje consume ambos productos mencionados a la vez? a. 52

b. 42

c. 48

d. 51

e. 55

12. De un total de 300 turistas se sabe que 160 hablan inglés y 135 francés. Si 30 de ellos hablan otros idiomas, ¿cuántos hablan inglés y francés? a. 23

b. 33

c. 25

d. 35

e. 40

13. En un grupo de niños 70 comen melocotón, 80 comen plátano y 50 comen melocotón y plátano. ¿Cuántos niños conforman el grupo? a. 80

b. 90

c. 100

d. 110

e. 120

14. En un grupo de 80 mujeres, se sabe que 30 de ellas no usan reloj ni aretes, 20 usan reloj y 6 reloj y aretes. ¿Cuántas usan alguno de ellos? a. 22

b. 33

c. 44

d. 55

e. 11

15. De un grupo de personas el 14% no conoce Arequipa, el 16% no conoce el Cusco y el 81% conoce ambas ciudades. ¿Qué porcentaje no conoce Arequipa ni Cusco? a. 8

b. 9

c. 10

d. 11

e. 12

* Promueve el aprendizaje en equipo. Matemática I

17


16. De un grupo de deportistas se sabe que todos los que practican natación también practican fútbol. Además: • 27 practican básquet. • 15 practican fútbol y básquet. • 10 practican natación. • 7 practican básquet y natación. • 9 practican otros deportes. Si los que practican solo básquet son numéricamente iguales a los que practican fútbol pero no natación, ¿cuántos deportistas conforman el grupo? a. 43

b. 45

c. 72

d. 68

e. 51

17. En un grupo de 46 viajeros se sabe que 26 conocen Cusco, 31 conocen Trujillo, 28 conocen Ica y 12 conocen los 3 lugares. ¿Cuántas personas conocen al menos dos de los lugares? a. 15

b. 18

c. 21

d. 27

e. 41

18. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquet y 75 natación. Si 20 alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno, ¿cuántos practican un deporte y solo uno? a. 50

b. 55

c. 60

d. 40

e. 65

19. En una salón de clases el 60% de los estudiantes trabaja, el 32% son mujeres y la quinta parte de los que trabajan son mujeres. ¿Qué porcentaje son varones y no trabajan? a. 10%

b. 15%

c. 30%

d. 20%

e. 25%

20. En una reunión juvenil se encuentran 70 personas, de las cuales 30 son varones y 50 son mayores de edad, si 15 mujeres no son mayores de edad, ¿cuántos varones no son mayores de edad? a. 13

b. 15

c. 5

d. 10

18

b. 4 Matemática I

c. 6

d. 8

a. 7

b. 8

c. 6

d. 9

e. 5

23. En un grupo de 20 estudiantes 18 tienen mascotas. Las mascotas son perros o gatos. Si el número de los que tienen solo perros es igual al de los que tienen solo gatos e igual al de los que tienen ambos, ¿cuántos estudiantes tienen solo un tipo de mascota? (PREGUNTA ECE 2014) a. 6

b. 10

c. 12

d. 8

e. 12

24. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casacas, 17 varones con corbata no tenían casacas, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca? (PREGUNTA ECE 2014) a. 8

b. 9

c. 10

d. 11

e. 12

25. En un club, todos son deportistas: 58 practican fútbol, 35 básquet y 40 tenis. Si el total de deportistas es 76 y 10 de ellos practican los tres deportes, ¿cuántos practican solo dos deportes? (UNMSM 2015 – II) a. 39

b. 33

c. 31

d. 32

e. 37

e. 12

21. En un examen aplicado a 40 estudiantes, se observa que 16 desaprobaron; que el número de niñas es la mitad que el número de aprobados, y el número de niñas desaprobadas es la cuarta parte del número de niños aprobados. ¿Cuántas niñas aprobaron el examen? a. 2

22. De 34 científicos, 12 son físicos, 15 son químicos y 14 biólogos; 5 son físicos y químicos, 4 son químicos y biólogos, 6 son físicos y biólogos y solo 1 es físico, químico y biólogo. ¿Cuántos no son físicos, ni químicos ni biólogos? (PREGUNTA ECE 2014)

e. 7

26. En un centro de investigación trabajan 67 personas. De estas, 47 hablan inglés, 35 hablan francés y 23 hablan ambos idiomas. ¿Cuántas personas no hablan inglés ni francés en el centro de investigación? (UNMSM 2015 – I) a. 8

b. 9

c. 7

d. 6

e. 10


Relación binaria Lee y analiza la siguiente información para resolver los ejercicios. RELACIÓN BINARIA

Ficha nivel cero

su forma es

Ficha de refuerzo

R = {(x; y)  A × B/x  A ∧ y  B}

PPT

Presentan

Dominio

Rango

Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación.

Es el conjunto formado por todas los segundas componentes de los pares ordenados de la relación.

Revisa la página 19 del Libro del área.

1. Coloca verdadero (V) o falso (F) en los paréntesis según corresponda. I. Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivas componentes son iguales II. El producto cartesiano A × B = B × A III. El dominio de una relación es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación IV. El rango de una relación está formado por todos los elementos del conjunto de llegada

3. En el gráfico mostrado, calcula el valor de b+c+e 4 M= . a+d+f

V F

y 8 7

(a; b)

6 V

5

(c; d)

4 3

F

2. Determina el valor de “a + b” si se cumple: (5a – 1; 15) = (2a + 8; 4b – 1).

2

(e; f )

1 1

Solución: De la igualdad: 5a – 1 = 2a + 8 4b – 1 = 15 3a = 9 4b = 16 a = 3 b = 4 Piden: a+b =4+3 =7 Rpta.: 7 Investiga y aprende más en:

2

3

4

= 16 8

4

5

6

7

8 x

Solución: Del gráfico: (a; b) = (2; 6) (c; d) = (7; 4) (e; f) = (3; 2) Piden: M= 6+7+3 2+4+2 Rpta.: 16

4

= 16

http://www.ecured.cu/index.php/Relaci%C3%B3n_binaria Matemática I

19


4. Si A = {1; 3; 6}, B = {2; 4; 7} y C = {3; 4; 5; 6}, calcula el número de elementos del producto cartesiano (A – B) × (C – B). Solución: A – B = {1; 3; 6} C – B = {3; 5; 6} n(A – B) × n (C – B) = 3 × 3 = 9

Rpta.: 9

5. Si A = { x/x  ∧ 1 x < 6}, B = 2x + 1  /x  ∧ 3  x < 9 , 3 Calcula n(A × B). Solución: A = {1; 2; 3; 4; 5} Para B: x: 3; 4; 5; 6; 7; 8 2x + 1 : 7 ; 3; 11 ; 13 ; 5; 17 3 3 3 3 3 → B = {3; 5} Piden: n(A × B) = 5 × 2 = 10

Rpta.: 10

6. Si A = {2; 3; 5}, B = {1; 4; 5} y C = {2; 8}; calcula n[(A  B) × (C – B)]. Solución: A  B = {5} → n (A  B) = 1 C – B = {2; 8} → n(C – B) = 2 Piden: n[(A  B) × (C – B)] = 1 × 2 = 2

Rpta.: 2

7. Determina el dominio de la siguiente relación: R = {(x; y)  A × B/x < y}, si se sabe que A = {2; 3; 5; 6} y B = {3; 4; 6}.

Solución: R = {(4; 4), (4; 6), (6; 4), (7; 4)} Ran(R) = {4; 6} Piden: 4 + 6 = 10

Rpta.: 10

9. Si A = {2; 3; 4; 5; 8; 10} y R = {(a; b)  A2/a + b = 12}, determina la intersección del dominio y rango de R. Solución: R = {(2; 10), (10; 2), (4; 8), (8; 4)} Dom(R) = {2; 4; 8; 10} Ran(R) = {2; 4; 8; 10} Dom(R)  Ran(R) = {2; 4; 8; 10}

Rpta.: {2; 4; 8; 10}

10. Si A = {2; 3; 5} y R = {(x; y)  A2/ x + y  6}, determina Dom(R) – Ran(R). Solución: A × A = {(2; 2), (2; 3),(2; 5), (3; 2), (3; 3), (3; 5), (5; 2), (5; 3), (5; 5)} R = {(2; 2), (2; 3), (3; 2), (3; 3)} Dom(R) = {2; 3} Ran(R) = {2; 3} Piden: Dom(R) – Ran(R) = {2; 3} – {2; 3} = ∅

Rpta.: ∅

11. Dados los siguientes conjuntos: A = {x  / 2 < x  5} ; B = {y  /1 y  3}. Determina la suma de los elementos del dominio de R si: R = {(x; y)  A × B/ x + y es un número primo}. Solución:

R = {(2; 3), (2; 4), (2; 6), (3; 4), (3; 6), (5; 6)} Dom(R) = {2; 3; 5}

Determinamos los conjuntos A y B A = {3; 4; 5} ; B = {1; 2; 3} Luego: A × B = {(3; 1), (3; 2), (3; 3), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (5; 1), (5; 2), (5; 3)} Determinamos R Luego: Dom (R) = {3; 4; 5} R = {(3; 2), (4; 1), (4; 3), (5; 2)} Piden: 3 + 4 + 5 = 12

Rpta.: Dom(R) = {2; 3; 5}

Rpta.: 12

Solución:

20

8. Si M = {4; 6; 7; 8; 9} y R = {(a; b)  M2/a + b < 12}, calcula la suma de los elementos del rango.

Matemática I


Revisa la página 19 del Libro del área.

9. Observa el siguiente diagrama:

„„ Encierra la alternativa correcta.

M

1. Calcula el valor de “y – x” si los pares ordenados (15; 2y – 5); (3x + 6; 15) son iguales. a. 10

b. 3

c. 13

d. 7

e. 4

2. Si A × B = {(0; 1), (0; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)} y C × A = {(2; 0), (2; 2), (2; 3)}, calcula n(A  B  C). a. 3

b. 7

c. 4

d. 8

e. 10

3. Dados los siguientes conjuntos: A = {1; 4; 5}, B = {2; 3; 4} y C = {3; 4; 7}, calcula el número de elementos de A × (B  C). a. 4

b. 5

c. 6

d. 7

e. 8

4. Dado el siguiente diagrama, determina la suma de los elementos del rango de la relación de A en B. R

A

1 2 3 4 5

a b c

a. b. c. d. e.

B

7 12 9 15 8

5. Dada la relación R = {(1; a), (1; 9), (1; b)}, calcula n[Dom(R)] + n[Ran(R)], si a ≠ b ≠ 9. a. 4

b. 5

c. 6

d. 3

b. 2

c. 3

¿Cuál de las siguientes relaciones corresponde al diagrama? • R1 = {(x; y)  M × N/x < y} • R2 = {(x; y)  M × N/x + y = 12} • R3 = {(x; y)  M × N/xy = 3} • R4 = {(x; y)  M × N/xy < 15} a. R1 b. R2

d. 4

e. 5

7. Si A = {x  / 0 < x < 4}, calcula el cardinal de la siguiente relación: R = {(x; y)  A × A / x + y > 0}. b. 10

c. 5

d. 9

a. 0

b. 25

c. 10

b. 1

11. Si R = {(x; y) 

e. R4

c. 2 ×

S = {(x; y)  × calcula n(R) + n(S). a. 15

b. 20

d. 3

e. 4

/x + y = 4}, / x + 2y < 10}, c. 25

d. 30

e. 35

12. Dados los siguientes conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {4; 9; 15} y la relación R = (x; y)  A × B/x = y}, determina el producto de los elementos del rango de dicha relación.

d. 15

e. 20

b. 36

c. 24

d. 16

e. 12

13. Dado el siguiente gráfico: A .1

B

C

.2

e. 15

8. Si R = {(x; y)  × /x + y = 5}, calcula la suma de elementos del dominio de la relación. a. 30

c. R3 d. R3 y R4

10. Si A = {1; 2; 3; 4}, R1 = {(x; y)  A × A/x – y = 1}, R2 = {(x; y)  A × A/x · y > 4}, R3 = {(x; y)  A × A/x + y = 5}, calcula n(R1  R2  R3).

a. 18

a. 12

N

.1 .2 .6

e. 2

6. Si F = {0; 3; 4; 6; 7}, G = {2; 3; 5} y la relación R = {(x; y)  F × G /y – x = 1}, calcula el cardinal de R. a. 1

.3 .6 .9

.4

.3

.5

.6

Calcula el número de elementos de C × (B – A). a. 2

b. 4

c. 6

d. 5

e. 3

* Promueve el aprendizaje en equipo. Matemática I

21


Adición y sustracción en Lee y analiza la siguiente información para resolver los ejercicios. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN

Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

PPT

ADICIÓN

SUSTRACCIÓN

Propiedades a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) a+0=a • Si a + b = c, entonces a+b+p=c+p • Si a + b + p = c + p entonces a + b = c

M–S=D M>S Donde: M: minuendo. S: sustraendo. D: diferencia.

Revisa la página 23 del Libro del área.

1. Juan y Enrique tienen juntos S/. 410. Si Juan tiene S/. 90 más que Enrique, ¿cuánto dinero tendrá Enrique si Juan le da S/. 78? Solución: J = E + 90 J + E = 410 E + 90 + E = 410 E = 160 Enrique tendrá: 160 + 78 = 238

3. Carla entra a un restaurante y consume un cebiche de S/. 32, una jalea de S/. 33 y un postre de S/. 15. Si paga con un billete de S/. 100 y le dice al mozo que se quede con el vuelto como propina, ¿a cuánto asciende la propina del mozo? Solución: Consumo: 32 + 33 + 15 = 80 Pago: S/. 100 Vuelto: S/. 100 – S/. 80 = S/. 20

Rpta.: 238 nuevos soles.

2. José nació el año 1950, se casó a los 32 años, 3 años después nació su primer hijo y cuando su hijo tenía 25 años nació su primer nieto. ¿En qué año nació su nieto? Solución: Del dato: - Nació = 1950 - Se casó = 32 1982 3 - Su hijo = 1985 1° nieto = 25 2010

Rpta.: La propina del mozo fue de S/. 20.

4. Para comprar una casa, Yuri aporta S/. 15 489 más que Eduardo y S/. 43 968 menos que Arturo. Si Eduardo aportó S/. 189 576, ¿cuánto pagarán por la casa? Solución: Eduardo: 189 576 Yuri: 189 576 + 15 489 = 205 065 Arturo: 205 065 + 43 968 = 249 033 Calculamos el total: 189 576 + 205 065 + 249 033 = 643 674

Rpta.: En el 2010. Investiga y aprende más en:

22

Matemática I

Rpta.: 643 674 nuevos soles. http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/tema502.pdf


5. Pedro gastó S/. 280 en la compra de un celular y S/. 450 en un blue ray. Si le queda S/. 160 menos de lo que gastó, ¿cuánto dinero tenía inicialmente Pedro? Gastó: 280 + 450 = 730 Queda: 730 – 160 = 570 Inicialmente tenía: 730 + 570 = 1300

Rpta.: La diferencia es 145.

Rpta.: S/. 1 300

6. Daniel dice: tenía S/. 1250, presté a mi hermano S/. 230, luego compré un regalo a mi madre de S/. 215, después compré un televisor y aún me queda S/. 120. ¿Cuánto me costó el televisor? Solución: 805 – televisor = 120 805 – 120 = televisor 685 = x

Rpta.: S/. 685

7. Mariella dice: si me pagaran S/. 300 tendría S/. 1 500, mi hermano Daniel tiene 200 nuevos soles más que yo y mi hermano Ángel tiene S/. 800 menos que Daniel y yo juntos. Si queremos dar S/. 5 000 de cuota inicial de un carro, ¿cuánto dinero nos falta? Solución: Del dato: Mariella = 1 500 – 300 = S/. 1 200 Daniel = 1 200 + 200 = S/. 1 400 Ángel = (1200 + 1400) – 800 = S/.1 800 Luego juntos: 1 200 + 1 400 + 1 800 = S/. 4 400 Falta: S/. 5000 – 4400 = S/. 600

Rpta.: S/. 600

Solución: S = 179 Luego: M + S + D = 648 M + M = 648 2M = 648 M = 324 D = 324 – 179 = 145

Solución:

Sea el costo del televisor: x Luego: Dinero 1250 – Preste 230 Queda = 1020 Regalo 215 805

8. En una sustracción la suma de los tres términos es 648. Si el sustraendo es 179, ¿cuál es la diferencia?

9. La diferencia de dos números es 36 948 y el doble del mayor es 296 658. ¿Cuál es el sustraendo? Solución: 2M = 296 658 M = 148 329 D = 36 948 Luego: 148 329 – S = 36 948 S = 111 381

Rpta.: El sustraendo es 111 381

10. Si abc – cba = 5mn, calcula el valor de “m + n”. Solución: Por propiedad: m = 9 y 5 + n = 9 Entonces: n=4 m + n = 9 + 4 = 13

Rpta.: 13

11. Si P = 1 + 2 + 3 + … + 80 A = 2 + 4 + 6 + … + 80 Calcula el valor de "P + A". Solución: P = 80(81) = 3 240 2 Como en A son 40 sumandos: A = 40(40 + 1) = 1 640 Luego: P + A = 3 240 + 1 640 = 4 880

Rpta.: 4 880 Matemática I

23


Revisa la página 23 del Libro del área.

„„ Encierra la alternativa correcta. 1. La señora Sara compró una camisa de S/. 25, un pantalón de S/. 75 y una casaca por S/. 122. Si pago con S/. 300, ¿cuánto recibirá de vuelto? a. S/. 58 c. S/. 64 e. S/. 78 b. S/. 68 d. S/. 74 2. María tiene S/. 1 450 y Rosa tiene S/. 830 más que María. ¿Cuánto dinero tienen ambas en total? a. S/. 3 250 b. S/. 3 320

c. S/. 3 510 d. S/. 3 480

4. Nací en 1970, a los 30 años me casé y 4 años después nació mi primer hijo. Si mi segundo hijo tiene 7 años y nació cuando el mayor tenía 5 años, ¿en qué año estamos actualmente? a. 2014 c. 2018 e. 2013 b. 2015 d. 2016 5. Ángel abre una cuenta bancaria con S/. 5 600. Si en el primer mes retira S/. 1 200 para luego depositar S/. 950 y en el segundo mes realiza la misma operación, ¿cuánto dinero tiene ahora en el banco? c. S/. 5 050 d. S/. 4 900

e. S/. 5 150

6. Calcula el valor de “x + y”, si a>b y ab – ba = xy. a. 2

b. 3

c. 5

d. 6

e. 9

7. En una sustracción, el sustraendo es 88 y la diferencia es 44. Calcula el minuendo. a. 130

b. 131

c. 132

d. 133

e. 134

8. La suma de los términos de una sustracción es 48. Calcula la suma de cifras del minuendo. a. 3

b. 4

c. 5

a. 11 b. 13

Matemática I

e. 9

10. Calcula el valor de “m · p”, si se sabe que: cdu – udc = 4mp. a. 35 b. 40

c. 45 d. 42

e. 38

d. 6

e. 7

11. En una sustracción el triple del minuendo es 99 y la diferencia es 24. Calcula el sustraendo. a. 12 b. 9

c. 15 d. 7

e. 18

12. Si A = 1 + 2 + 3 + … + 50, B = 1 + 3 + 5 + … + 49, calcula el valor de “A – B”. a. 620 b. 650

c. 550 d. 420

e. 480

13. Calcula MNO + XYZ + ABC si se sabe que: O + Z + C = 18, N + Y + B = 15, M + X + A =12. a. 1 328 b. 1 268

c. 1 368 d. 1 248

e. 1 338

14. Si (a + b)2 = 49, calcula el valor de la expresión ab + ba + aa + bb. a. 150 b. 158

c. 152 d. 155

e. 154

15. Calcula el valor de la siguiente expresión: A = 30 + 31 + 32 + … + 90. a. 3 660 b. 4 095

* Promueve el aprendizaje en equipo. 24

c. 12 d. 10

e. S/.3 730

3. Si gasto S/. 45 en un camisa, S/. 25 más que la camisa en un pantalón y S/. 20 más que el pantalón en un par de zapatos, ¿cuánto dinero gasté en total? a. S/. 195 c. S/. 205 e. S/. 190 b. S/. 250 d. S/. 180

a. S/. 5 000 b. S/. 5 100

9. Un número de tres cifras es tal que al restarle el doble de su C.A. resulta 283. Entonces la suma de sus cifras de decenas y centenas es…

c. 5 060 d. 5 095

e. 6 095


Multiplicación y división en Lee y analiza la siguiente información para resolver los ejercicios. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN

• • • • Si Si

Ficha nivel cero

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

propiedades

puede ser

a×b=b×a (a × b) × c = a × (b × c) a×1=a a × (b + c) = a × b + a × c a=b→n×a=n×b n≠0yn×a=n×b →a=b

Ficha de refuerzo

PPT

Exacta

Inexacta

D=d×q

D=d×q+ r

Propiedades • • • •

re + rd = d rmax = d – 1 rmin = 1 qe = qd + 1

Revisa la página 26 del Libro del área.

1. Danae gasta diariamente S/. 8 en preparar el desayuno para su familia y S/. 27 en preparar el almuerzo. ¿Cuál será su gasto semanal y cuánto le sobra si su esposo le entrega S/. 400 para los gastos de la semana?

3. Un padre de familia deja una herencia de S/. 90 000. Si la mitad le corresponde a la madre y el resto en partes iguales a sus 6 hijos, ¿cuánto dinero le corresponde a cada hijo? Solución:

Solución:

Madre: 90 000 = S/. 45 000 2 S/. 45 000 c/hijo: 6 = S/. 7 500

Desayuno = 7 × 8 = S/. 56 Almuerzo = 7 × 27 = S/. 189 Total 245 Resta: = 400 – 245 = S/. 155

Rpta.: S/. 155

Rpta.: S/. 7 500

2. Rosa compra 3 camisas de S/. 35 c/u, 2 pantalones de S/. 60 c/u y 4 chompas de S/. 57 c/u. ¿Cuánto recibe de vuelto si pagó con 5 billetes de S/. 100?

4. Roberto tiene que cambiar las cuatro llantas de su auto. Si cada llanta le cuesta S/. 250 y pagará a precio de contado en 8 cuotas iguales, determina el valor de cada cuota.

Solución: 3 camisas = 3(35) = S/. 105 2 pantalones = 2(60) = S/. 120 4 chompas = 4(57) = S/. 228 Total = 105 + 120 + 228 = S/. 453

Vuelto = 5(100) – 453 = 500 – 453 = S/. 47

4 llantas = 4 ( 250) = S/. 1 000 El valor de cada cuota: 1 000 V.C. = 8 V.C. = S/. 125

Rpta.: S/. 125

Rpta.: S/. 47 Investiga y aprende más en:

Solución:

http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/tema503.pdf Matemática I

25


5. Si se cumple que: abc · a = 1916 ; abc · b = 3353, calcula la suma de cifras del producto de abc · ab.

Solución:

Solución: abc × ab 3 3 53 1 9 1 6 2 2 5 13 Suma de cifras: 2 + 2 + 5 + 1 + 3 = 13

Rpta.: 13

6. Divide por exceso 446 : 3, luego indica la suma de los términos de la división. Solución:

446 3 14 149 26 1 r

N 50 3q q → N = 50q + 3q N = 53q…(I) Como el residuo es menor que el divisor: 3q < 50 q < 50 3 q < 16,6 → qmáx. = 16

9. Calcula “a + b + c + d + e” si se cumple: abcd × 7 = e2325. Solución: Colocamos la operación en forma vertical y evaluamos los valores: d = 5 abcd × c = 7 7 b = 4 a = 7 e2325 e=5 Piden: 7 + 4 + 7 + 5 + 5 = 28

Rpta.: 599

Rpta.: 28

10. La suma de dos números enteros positivos es 902, su cociente es 19 y el residuo es el mayor posible. ¿Cuál es la diferencia de dichos números?

Solución:

Solución:

Recordamos: rexceso + rdefecto = divisor rexceso + 6 = 15 rexceso = 9 Luego: D 15 9 25 D = 15 × 25 – 9 D = 366

Según los datos: a + b = 902…(I) a b b – 1 19 Luego: a = 19b + b – 1 a = 20b – 1…(II)

Rpta.: 366

Rpta.: La diferencia es 816.

Matemática I

Reemplazamos en (I): N = 53(16) N = 848

Rpta.: 848

Sumamos los términos: 446 + 3 + 149 + 1 = 599

7. En una división, el cociente por exceso es 25, el divisor es 15 y el residuo por defecto es 6. Calcula el dividendo.

26

8. ¿Cuál es el mayor número natural de modo que al dividirlo entre 50, da un residuo igual al triple del cociente?

Reemplazamos (II) en (I) 20b – 1 + b = 902 b = 43 En (I): a + 43 = 902 → a = 859 Piden: 859 – 43 = 816


Revisa la página 26 del Libro del área.

„„ Encierra la alternativa correcta. 1. Pamela compra una camioneta en S/. 27 580 y un camión en S/. 9 675 más que el doble de la camioneta. Si luego vende el camión con una ganancia de S/. 12 648, ¿en cuánto vendió el camión? a. S/. 54 650 b. S/. 67 580

c. S/. 77 483 d. S/. 52 420

e. S/. 74 483

3. Nelly compra 15 docenas de polos a S/. 36 el par. Si vende nueve docenas y media a S/. 24 cada uno y el resto a S/. 42 el par, ¿cuánto gana en total? c. S/. 482 d. S/. 481

e. S/. 883

4. Calcula la suma de las cifras que se deben escribir en los casilleros para que la siguiente multiplicación sea correcta. ×

a. 8

b. 10

6

c. 12

d. 14

e. 16

e. 20

6. El cociente de una división es 45 y el divisor es 50. ¿Cuál es el dividendo, si la división es exacta? c. 2 250 d. 1 550

e. 1 850

7. Calcula el dividendo de una división si el divisor es 5, su cociente es 12 y su residuo es el máximo posible. a. 64

b. 60

c. 72

e. 26 928

b. 11

c. 12

d. 13

e. 14

10. Se tiene el producto de tres números naturales. Si el primer factor aumenta en su triple, el segundo aumenta en su doble y el tercero se divide entre tres, ¿en cuánto aumenta o disminuye el producto original? a. b. c. d. e.

No varía Aumenta en su cuádruplo Aumenta en su triple Se reduce a la mitad Se reduce a la tercera parte

11. En una división inexacta el dividendo es 49 y el divisor es el triple del cociente. Calcula la suma de los términos de la división, si el residuo es el mínimo. b. 44

c. 55

d. 66

e. 77

12. Si a + b + c = 17, calcula el residuo que se obtiene al dividir (ab + bc + ca) entre 7.

9

5. Calcula “a + b + c”, si se cumple que: ab × 8 = c52. Además, a, b y c son distintos. a. 16 b. 17 c. 18 d. 19

a. 1 250 b. 2 200

c. 19 074 d. 14 488

9. Si a3bb × 7 = 9cb2, calcula el valor de "a + b + c".

a. 33

3 2

a. 13 927 b. 24 123

a. 10

2. Kevin gana S/. 1 020 al mes. De lunes a sábado gasta S/. 18 diarios y los domingos S/. 24. ¿Cuánto dinero ahorró luego de un año y medio? (considera 1 mes = 4 semanas). a. S/. 8 500 c. S/. 7 560 e. S/. 8 856 b. S/. 9 000 d. S/. 8 460

a. S/. 882 b. S/. 582

8. Calcula abc × mn si se cumple que: abc × m = 1 683, abc × n = 2 244.

d. 74

e. 68

a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

e. 7

13. La suma de dos números enteros positivos es 6 551. Si su cociente es 76 y el residuo es el mayor posible, ¿cuál es la diferencia de dichos números? a. 6 178 b. 6 219

c. 6 383 d. 6 252

e. 6 083

14. Al dividir N entre 38 el cociente resulta…275 y el residuo es el máximo posible. Calcula la suma de los tres últimas cifras de N. a. 15 b. 16

c. 17 d. 18

e. 19

* Promueve el aprendizaje en equipo. Matemática I

27


Potenciación y radicación en Lee y analiza la siguiente información para resolver los ejercicios. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN

Ficha nivel cero

Ficha de refuerzo

POTENCIACIÓN

RADICACIÓN

propiedades

propiedades

PPT

• • • • • •

a0 = 1 ; a ≠ 0 a1 = 1 am × an = am+n am : an = am–n (a × b)n = an × bn (a : b)n = an : bn

n

a×b=na×nb

n

a : b = na : nb

n

am = am:n

nm

a=

n×m

a

Revisa la página 30 del Libro del área.

1. Una bacteria tiene la propiedad de duplicarse cada hora, si a las 11 de la mañana había 4 bacterias, ¿cuántas habrá a las 8 p.m. del mismo día?

3. Si la capacidad que tiene una pecera de forma cúbica es de 9 261 cm3, calcula cuánto mide un lado de dicha pecera. Solución:

Solución: 11 a.m. 12 m 13 p.m. 14 p.m. 15 p.m. 16 p.m. 17 p.m. 18 p.m. 19 p.m. 20 p.m. 22

23

24

25

26 27

28

V = 9261

Luego, habrá = 211 = 2048 bacterias

Rpta.: 21 cm

Rpta.: 2 048

2. Determina la capacidad de un depósito de agua que tiene forma cúbica y una arista igual a 2 metros.

4 6 2 4. Reduce 7 × 7 × 7 . 73 × 75

Solución:

Solución:

74 × 76 × 72 73 × 75

l3

V= V = 23 V=8

4+6+2 = 7 3+5 7

=

712 = 712–8 = 74 = 2 401 78

2m 3 Rpta.: 8 m

Investiga y aprende más en:

28

Matemática I

V = l3 9261 = l3 3 9261 = l3 l = 21

29 210 211

Rpta.: 2 401 http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_6_3_pot.htm


5. Calcula el valor de la siguiente expresión: 4

6 3 5 A = 44 × (511) × 74 . 7 × 2 × 25

Solución: A=

212 × (5)12 × 75 74 × 211 × 58

A = 2 × 54 × 7 A = 8 750

Rpta.: 8 750 4 7 56 6. Calcula H = 16 × 32 × 2 2 . 2 2 [44 × (44) × 8]

H=

164 × 327 × 256 2 2 2 [44 × (44) × 8]

H=

216 × 235 × 256 2 [416 × 48 × 23]

216+35+56 H= 2 32 [2 × 216 × 23] 2107 2107 H= = = 2 2 2102 [232+16+3] (251) 2107

3 B = 125 +

25 + 36 . 4

Solución: A = (4 81 + 16)2 A = (3 + 4)2 A = 49 3 125 + 25 + 36 B= 4 5 + 5 + 6 16 B= = =4 4 4 Piden: A × B = 49 × 4 = 196

Rpta.: 196

B = 76 25 – (9 × 5) + 16 . Solución: B = 76 25 – (9 × 5) + 16 B = 76 32 – 45 + 4 B = 76 32 – 7 B = 380 Piden:

H = 25 = 32

B2 = ( 380)2 = 380

Rpta.: 32

7. Calcula el valor de la expresión “P”. 104 × 423 × 302 . 216 × 352 × 12 × 20 × 125

Solución: 104 × 423 × 302 P= 216 × 352 × 12 × 20 × 125 P=

24 × 54 × 23 × 33 × 73 × 32 × 22 × 52 23 × 33 × 52 × 72 × 22 × 3 × 22 × 5 × 53

P=

29 × 35 × 56 × 73 27 × 34 × 56 × 72

P = 22 × 3 × 7 = 84

Rpta.: 84

A = (4 81 + 16 )2 ,

9. Calcula el valor de “B2”, si:

Solución:

P=

8. Calcula el valor de A × B, si:

Rpta.: 380

10. Si A = 64 × 144 × 121 : 23 y B = 3 125 × 8 – 3 216, calcula el valor de "A – B". Solución: A = 64 × 144 × 121 : 23 A = 64 × 144 × 121 : 8 A = 8 × 12 × 11 : 8 A = 132 B = 3 125 × 8 – 3 216 B=5×2–6 B=4 A – B = 132 – 4 = 128

Rpta.: 128 Matemática I

29


Revisa la página 30 del Libro del área.

„„ Encierra la alternativa correcta.

9. Simplifica la siguiente expresión: 50 veces

1. Determina el área de un terreno de forma cuadrada si su diagonal mide 4 5 km. a. 40 km2 c. 60 km2 e. 20 km2 b. 80 km2 d. 30 km2 2. El volumen de un recipiente de forma cúbica es 1 728 cm3, calcula su área lateral. a. 126 cm2 c. 288 cm2 e. 864 cm2 b. 144 cm2 d. 576 cm2 3. Efectúa

2 (23)

a. 65

– 32 + 256.

b. 71

d. 81

e. 69

4. Calcula el valor de la siguiente expresión:

a. 21

4 0

{[(52)3] }

b. 18

c. 20

a. 2

b. 4

20 0

a. 0

d. 19

e. 22

3 10

]

b. 3

+ [(30)

]

c. 5

0 10

+ [(25) d. 7

]

.

e. 9

6. Calcula el valor de “x + y”, si: 24 ×

28 × 4

28

27

d. 16

e. 32

10. Simplifica la expresión “M”. 156 × 124 × 59 × 63 M= . 1011 × 313 × 54 a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 8

d. 32

e. 23

d. 2

e. 1

A = 60 + 70 × 12 : (64 : 16) ; B = 84 – 7 + 4. b. 16

;

c. 18

12. Calcula el valor de “x” en: a. 5

(56)

b. 4

n

= 25.

c. 3

13. Calcula el valor de "T2 + U2" si: T=

33 3

U=

4

(3)3(3)9(315) ;

(32)(8) .

a. 15

b. 13

c. 11

d. 9

e. 7

312 × 3 39 × 9 327 = 3y.

a. 16

b. 14

c. 18

d. 12

e. 20

14. Calcula: 5

7. Reduce la siguiente expresión: A= a. 2

b. 4

2x+2 : 2x . 2y 2y+2 c. 16

a. 1 4

d. 64

e. 256

2 (23) ,

× (63

M=3 : 2) – 5 × (120 : 8) + 4 N = 10 × (3 – 43) + 5 × (106 : 104). a. 357

b. 285

c. 367

3

A=

8. Calcula el valor de "N – M", si se sabe que:

e. 345

Matemática I

c. 2

d. 1

e. 1 2

d. 524

e. 624

15. Calcula el valor de “P + L” si: P= L=

d. 287

220(1 024)(81)3(27)5(3)3 . 4 (256)(81) b. 4

3

(2)5(2)3(2)7(81)(9) 16 × 3 (3)(9)

5

;

(2)7(2)3(2)10 × (5)2(5)8 .

a. 224

* Promueve el aprendizaje en equipo. 30

c. 8

n x

M = [(42)

4

2 × 52 × 52 ×… × 52 . 4 23 × 4 23 × 4 23 × … × 4 23 8 veces

a. 15

+ 18.

5. Opera:

2x =

5

11. Calcula el valor de “A × B”, si:

c. 75

A=

A=

b. 324

c. 424


Sistemas de numeración Lee y analiza la siguiente información para resolver los ejercicios. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Ficha nivel cero

Se tienen

Ficha de refuerzo

CAMBIO DE BASE

PPT

De base n a base 10

De base 10 a base m

De base m a base n

Descomposición polinómica

Divisiones sucesivas

Ambos métodos

ejemplo

ejemplo

ejemplo

Convierte 375(8) a base 10. Solución: 375(8) = 3 × 82 + 7 × 8 + 5 = 192 + 56 + 5 = 253

Convierte 629 a base 7. Solución: 629 7 6 89 7 5 12 7 5 1

Luego: 629 = 1556(7)

Convierte 245(6) a base 4. Solución: 245(6) = 2 × 62 + 4 × 6 + 5 = 101 Luego: 101 4 1 25 4 1 6 4 2 1 245(6) = 1211(4)

Revisa la página 35 del Libro del área.

1. Ángel le dice a Daniel: yo tengo más nota que tú, y Daniel le responde: mi nota es mayor a la tuya. Si sus notas están representadas por 1100(2) y 110(3) respectivamente, ¿quién tiene la razón?

Solución: El menor número de tres cifras diferentes en base 4 es 102(4) Luego: 1 0 2 4 4 16 1 4 18

Solución: Ángel → 1100(2)

1 1 0 0 2 2 6 12 1 3 6 12

Daniel → 110(3)

1 1 0 3 3 12 1 4 12

Ingrid tiene 18 años Piden = 1 + 8 =9

Rpta.: 9

3. Calcula el valor de “m” si: 31(m) + 23(m) = 54(6). Solución:

Rpta.: Ninguno tiene la razón, ambos tienen 12.

2. Al preguntarle por su edad a Ingrid, ella respondió: mi edad está representada por el menor número de 3 cifras diferentes en base 4. Determina la edad de Ingrid y da como respuesta la suma de sus cifras. Investiga y aprende más en:

(3m + 1) + (2m + 3) = 5 × 6 + 4 5m + 4 = 34 5m = 30 m = 6

Rpta.: 6

http://matematica.pe/numeracion-problemas-resueltos-pdf/ Matemática I

31


4. El número de animales que tiene Leslie esta expresado de la siguiente manera: Patos: El mayor número de dos cifras diferentes en base cinco. Pollos: El mayor número de dos cifras en base cuatro. Pavos: El menor número de tres cifras diferentes que empieza en dos del sistema ternario. ¿Cuántos animales tiene Leslie? Solución: Del dato: Convertimos a base 10. Patos = 43(5) = 23 Pollos = 33(4) = 15 Pavos = 201(3) = 19 Piden = patos + pollos + pavos = 23 + 15 + 19 = 57

Rpta.: 57

5. Si los siguientes números están bien escritos, determina el valor de “a + c” 5ab(c) ; 3c(7) ; 4m2(a) Solución: Por propiedad De 5ab(c) → c > 5 ; a < c De 3c(7) → c < 7 De 4m2(a) → a > 4 Ordenando 4<a<c<7 Luego: a = 5 y c = 6 Piden: a + c = 5 + 6 = 11

Rpta.: 11

6. Calcula el valor de “b + c – a” si se sabe que (a – 2) 4 (2b) 96 (c – 1)5 es un número capicúa. Solución: Por número capicúa se cumple: a – 2 = 5 4 = c – 1 2b = 6 a = 7 c = 5 b=3 Piden = b + c – a =3+5–7 =1 Rpta.: 1 32

Matemática I

7. Si el mayor número de tres cifras en base tres se escribe como ab, calcula el valor de 2ab +1. Solución: Determinamos el mayor número de 3 cifras: 222(3) Luego: 2223 = ab 2 2 2 3 6 24 2 8 26 26 = ab a = 2 , b = 6 Piden: 2(2)(6) + 1 = 25 = 5

Rpta.: 5

8. Calcula el valor de “a + b” si se cumple: 262(7) = a4b. Solución: Convertimos 262(7) a base 10, y luego comparamos: 262(7) = 2 × 72 + 6 × 7 + 2 = 142 a4b = 142 a = 1; b = 2 → a + b = 1 + 2 = 3

Rpta.: 3

9. Indica cuántos números impares existen desde el número 111(2) hasta el número 43(5). Solución: Convertimos a base diez ambos números 111(2) = 1 × 22 + 1 × 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 43(5) = 4 × 5 + 3 = 23 Luego los impares son: 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23 Hay 9 números impares

Rpta.: 9

10. Calcula el valor de “x + y” si: x6(7) = 41 ; 1y1(4) = 25. Solución: 7x + 6 = 41 7x = 35 x=5 Luego: x + y = 5 + 2 = 7

Rpta.: 7

1 × 42 + 4y + 1 = 25 4y + 17 = 25 y = 2


11. Si mnp(8) = 312(7), calcula el valor de: “m + n + p”. Solución: • •

312(7) = 3 × 72 + 1 × 7 + 2 = 156 156 8 Luego: 4 19 8 mnp(8) = 234(8) 3 2

m+n+p=2+3+4=9

14. ¿En qué sistema de numeración se cumple que: 31 – 12 = 14? Solución: Sea el el sistema de base “x” Luego: 31(x) – 12(x) = 14(x) 3x + 1 – (x + 2) = x + 4 2x – 1 = x + 4 x = 5

Rpta.: Sistema quinario Rpta.: 9

12. ¿Cuántos números de tres cifras en base 6 terminan en cifra impar? Solución: Sea el número abc(6) Luego: a b c 1 0 1 2 1 3 3 2 5 4 3 5 4 5 5 × 6 × 3 = 90

15. Determina el valor de a3 + b2 si se cumple que: ab = ba(4). Solución: ab = ba(4) ; a < 4 , b < 4 1aa + b = 4b + a 9a = 3b 3a = b a 1 2 3 = = = b 3 6 9 Cumple solo si a = 1 ∧ b = 3 Piden: a3 + b2 = 13 + 32 = 10

Rpta.: 10 Rpta.: 90 números

13. Convierte 1001110(2) a base 8 y da como respuesta la suma de sus cifras. Solución: A base 8 = 23 Luego: 1 0 0 1 1 1 0 Convertimos cada bloque a base 10 • 1 → 1 • 001 → 1 • 110 → 1 × 22 + 1 × 2 + 0 = 4 + 2 = 6 Luego: 1001110(2) = 116(8)

Rpta.: 116(8)

16. Calcula la suma de cifras del número N expresado en base 5. N = 15 × 56 + 21 × 55 + 8 × 52 + 2. Solución: N = 3 × 5 × 56 + (4 × 5 +1) × 55 + (5 + 3) × 52 + 2 N = 3 × 57 + 4 × 56 + 55 + 53 + 3 × 52 + 2 N = 3 × 57 + 4 × 56 + 1 × 55 + 1 × 53 + 3 × 52 + 0 × 51 + 2 N = 3 × 57 + 4 × 56 + 1 × 55 + 0 × 54 + 1 × 53 + 3 × 52 + 0 × 51 + 2 Luego: N = 34101302(5) Piden = 3 + 4 + 1 + 0 + 1 + 3 + 0 + 2 = 14

Rpta.: 14 Matemática I

33


Revisa la página 35 del Libro del área.

„„ Encierra la alternativa correcta.

a. 18

1. Si el numeral 32a3(5) está correctamente escrito, calcula la suma de los valores que puede tomar “a”. a. 6 b. 8 c. 10 d. 12 e. 14 2. ¿Cuáles de los siguientes números están mal escritos? I. 104(3) II. 806(9) III. aba(b+1), donde b > a > 0. a. I b. II

c. III d. I y II

e. II y III

3. Si los numerales 1a(4) y b2(a) están correctamente escritos, calcula el mayor valor de “a + b”. a. 1

b. 2

c. 4

d. 5

e. 6

4. Calcula el valor de “a + b” si (a + 2)3(2b – 1)5 es un número capicúa. a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

e. 6

5. Indica el mayor número de cuatro cifras diferentes en el sistema quinario. a. 5555(5) b. 4444(5)

c. 4012(5) d. 4321(5)

e. 5432(5)

6. ¿Cuál es el menor número de cinco cifras diferentes en el sistema de numeración de base nueve? a. 11111 c. 12345 e. 10234 b. 10000 d. 10001 7. Si N = 83 × 7 + 82 × 5 + 8 × 4 + 2, convierte “N” a base 8. a. 7541(8) c. 5472(8) e. 8654(8) b. 7542(8) d. 7564(8) 8. Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. 16(7) = 15(8) III. 28(9) < 121(4) II. 23(5) < 23(6) IV. 46(7) < 47(8) a. V V V F b. V F V F 34

Matemática I

c. V V F V d. V F F F

9. Dado el numeral a(a – 2)51(7), determina la suma de los valores que puede tomar “a”.

e. F V F V

b. 20

c. 17

d. 19

e. 16

10. Si xyzy(6) = 339, calcula el valor de "x + y + z". a. 5

b. 6

c. 7

d. 8

e. 4

11. Dados los números A = 22(3) y B = 555(6), calcula el valor de "A + B" en el sistema decimal. a. 220

b. 221

c. 222

d. 223

e. 224

12. Si abc = 514(7), calcula el valor de "a + b + c". a. 11

b. 12

c. 13

d. 14

e. 15

13. ¿Cuántos números pares existen entre los números 110(3) y 110(4)? a. 5

b. 3

c. 6

d. 4

e. 7

14. Si el número 1120(3) = mn, calcula el valor de mn + mn + 1. a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

15. Expresa 5 681 en base 7 y da como respuesta la cifra de mayor orden. a. 1 b. 2 c. 3 d. 6 e. 4 16. Expresa 1 589 en base 8 y da como respuesta la suma de sus cifras. a. 13

b. 14

c. 15

d. 12

e. 10

17. Expresa 31033(4) en el sistema decimal y da como respuesta la suma de sus cifras. a. 19

b. 18

c. 20

d. 21

e. 17

18. Calcula el valor de “a”, si se sabe que: a1(3) = 100(2). a. 2

b. 3

c. 0

d. 1

e. 4

19. Calcula el valor de “n”, si se cumple: 21(n) + 35(n) = 36. a. 4

b. 5

c. 6

d. 3

e. 7

20. Si b3(6) = b4(5), calcula el valor de “b2 + 1”. a. 0

* Promueve el aprendizaje en equipo.

b. 1

c. 5

d. 2

e. 10


21. Si los números están correctamente escritos, calcula el valor de “a + b + c”. 213(b) ; 11b(a) ; 3a4(c) ; bac(7) . a. 14 b. 15

c. 9 d. 11

e. 10

22. Determina la suma de las cifras del número capicúa 6(b – 4)(b – a)ab . a. 20 c. 18 e. 21 b. 10 d. 22 23. Si al mayor número de tres cifras en base 5 se suma el mayor número de tres cifras diferentes en base cuatro, se obtiene: a. 161 c. 181 e. 151 b. 124 d. 171 24. Calcula el valor de “a”, si se cumple: aaa(4) = 132(5). a. 1 b. 0

c. 2 d. 3

e. 4

25. Expresa 313(8) en el sistema quinario y da como respuesta la suma de las cifras significativas. a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 26. Expresa abc(6) en base 8, si abc(6) es el mayor número posible. a. 321(8) c. 325(8) e. 329(8) b. 323(8) d. 327(8) 27. Si el menor número de tres cifras impares diferentes en base seis que empieza con 3, se escribe como aab, calcula el valor de ab + ba + 6a. a. 1 c. 3 e. 5 b. 2 d. 4 28. Calcula el valor de “a + b + c” si se sabe que 234(5) = abc(7) a. 8 b. 7

c. 9 d. 10

e. 6

29. Expresa “E” en el sistema senario y determina la suma de sus cifras si E = 4 × 66 + 3 × 64 + 2 × 63 + 76. a. 12 b. 13

c. 14 d. 15

e. 16

30. Si 6a2(c) = 4cb(8), entonces a + b + c es igual a: (UNAC 2014 – II) a. 9 b. 17

c. 15 d. 11

e. 8

31. ¿Cuántos números de la forma (a + 4)(–b)(3 – b) existen en el sistema decimal? (UNAC 2013 – I) a. 72 b. 81

c. 90 d. 63

e. 53

32. Si b0a(8) = 2a(a + 1)(11); calcula el valor de “ab – b”. a. 20 b. 22

c. 28 d. 30

e. 25

33. Calcula el valor de a2 – b2, si se cumple: 1ba(7) = ab(9) + ba(8). a. 10 b. 12

c. 18 d. 15

e. 21

33. Si se cumple que: b 2

b a = aba(5) , 2

determina el valor de "ab + a – b". a. 15 b. 12

c. 8 d. 10

e. 16

34. Si se cumple que 2aa(3a) = a6a(7), calcula el valor de "a2 – 3a". a. 4 b. 3

c. 2 d. 0

e. 1

35. ¿Cómo se representa el número 521(n) en base (n – 1)? a. 3(11)3(n–1) b. 4(12)2(n–1)

c. 5(12)8(n–1) d. 29(10)(n–1)

e. 4(11)6(n–1)

Matemática I

35


A resolver problemas

Problemas con conjuntos La ONG “Desarrollo es progreso” aplica una encuesta a un grupo de 100 personas con el fin de realizar un diagnóstico respecto a su nivel de alfabetismo. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: • 60 personas hablan y escriben solamente en quechua. • 5 personas hablan y escriben en quechua y castellano. • 15 personas son analfabetas. ¿Cuántas personas requieren ser alfabetizadas en castellano? ¿Cuántas personas requieren ser alfabetizadas en quechua? ¿Cuántas personas hablan solamente castellano?

Comprende el problema ¿Qué dice el problema? (Datos) • • • •

Total de encuestados : 100 personas Hablan y escriben en quechua : 60 Hablan y escriben en quechua y castellano : 5 Personas analfabetas : 15

¿Qué nos pide el problema? ¿Cuántas personas requieren ser alfabetizadas en castellano? ¿Cuántas personas requieren ser alfabetizadas en quechua? ¿Cuántas hablan solamente castellano?

Elabora un plan (busca la estrategia) 1° Graficamos la situación planteada 2° Aplicamos algoritmo de la ecuación

Ejecuta un plan (aplica la estrategia) Graficamos la situación planteada = 100 Q

C 55

5

x 15

Verifica y examina • • 36

Verificamos con los datos del problema Total de encuestados 100 = 55 + 5 + 25 + 15 100 = 100 Hablan y escriben en quechua 60 = 55 + 5 60 = 60 Matemática I

Por condición del problema 55 + 5 + x + 15 = 100 x + 75 = 100 x = 25 Luego: ¿Cuántas personas requieren ser alfabetizadas en castellano? 55 + 15 = 70 ¿Cuántas personas requieren ser alfabetizadas en quechua? 25 + 15 = 40 ¿Cuántas hablan solamente castellano? 25

Piensa y responde a. ¿La respuesta es correcta? b. ¿Existe otro modo de resolver el problema? c. ¿Se puede utilizar la misma estrategia para resolver otro problema?


A resolver problemas

Números naturales En una sala de cine, Daniel observa que el número de filas es igual al doble del número de asientos de una fila. Además, hay 578 asientos y cada fila tiene el mismo número de asientos, calcula el número de filas que hay en la sala. ¿Para cuántas mujeres hay asientos si se sabe que las quince primeras filas les corresponden a ellas? ¿Cuántos asientos son para los varones?

Comprende el problema ¿Qué dice el problema? Sea el número de filas : x Sea el número de asientos por fila : y Por dato: x = 2y Total de asientos: 578

¿Qué nos pide el problema? Calcula el número de filas que hay en la sala ¿Para cuántas mujeres hay asientos si se sabe que las quince primeras filas les corresponden a ellas? ¿cuántos asientos son para los varones?

Elabora un plan (busca la estrategia) 1° Graficamos la situación planteada 2° Aplicamos algoritmo de las ecuaciones y de las operaciones en el conjunto de los números naturales

Ejecuta un plan (aplica la estrategia) Graficamos la situación con los datos del problema.

Verifica y examina

Utilizamos ecuaciones: (x)(y) = 578 (2y)(y) = 578 2y2 = 578 y2 = 289 y = 289 y = 17

Luego: • Número de filas: x = 2y = 2(17) = 34 filas • Número de asientos para las mujeres: 15 filas = 15 (17) = 255 asientos. • Número de asientos para los varones: 19 filas = 19 (17) = 323

Piensa y responde

Comprobamos N° filas Total de asientos Fila de mujeres

15

255

Fila de varones

19

323

Total de filas

34

578

a. ¿La respuesta es correcta? b. ¿Existe otro modo de resolver el problema? c. ¿Se puede utilizar la misma estrategia para resolver otro problema?

Matemática I

37


Taller de práctica „„ Encierra la alternativa correcta. 1. Si A = {7m – 12; 37} es un conjunto unitario, calcula el valor de “2m + 1”. a. 13

b. 12

c. 15

d. 10

e. 18

2. Calcula el valor de “x + y”, si se cumple que: (x – y; y) = (8; 5). a. 15

b. 16

c. 18

d. 19

e. 20

3. Si A = {a; b; c} y B = {c; d}, entonces el cardinal del producto cartesiano A × B es: a. 2

b. 3

c. 4

d. 6

e. 8

4. De 60 estudiantes de un aula, 45 aprobaron la evaluación de Aritmética; 20 aprobaron Aritmética y Álgebra y 5, no aprobaron ninguno de estos cursos. ¿Cuántos estudiantes aprobaron solo Álgebra? a. 8

b. 10

c. 9

d. 15

e. 18

5. En un grupo de 28 jóvenes se sabe que 16 juegan ajedrez, 14 juegan ludo y 6 practican ambos juegos. ¿Cuántos jóvenes no practican ningún juego? a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

6. Si A = {x/x  , 1 < x  8} y B = {x/x  ¿cuántos elementos tiene A × B? a. 15

b. 20

c. 12

d. 16

, x < 4}, e. 28

7. Si A = {2; 3; 5} , B = {4; 6; 8; 10}; además se tiene la relación R = {(x; y)  A × B/y – x = 3}; determina Dom (R). a. {4; 6} b. {5; 8}

c. {2; 3} d. {3; 5}

e. {2; 5}

8. Alexandra y Claudia tienen juntas S/. 342. Si lo que tiene Claudia es cinco veces lo que tiene Alexandra, ¿cuánto tiene Claudia? a. S/. 57 c. S/. 285 e. S/. 328 b. S/. 228

d. S/. 375

9. Un automóvil está a 180 km de una ciudad y se acerca con una velocidad de 45 km/h. ¿A qué distancia estará luego de tres horas? a. 35 km c. 50 km e. 80 km b. 45 km d. 75 km 10. Se compraron 12 televisores a S/. 300 cada uno y se vendieron todos a S/. 4 200. ¿Cuánto se ganó? a. S/. 400 c. S/. 600 e. S/. 650 b. S/. 500 d. S/. 700 11. Si se aumenta diez unidades a cada uno de los factores de 78 × 15, ¿en cuánto aumenta su producto? a. 1 060 c. 1 030 e. 1 020 b. 1 080 d. 1 040 12. La suma de los términos de una sustracción es 482, calcula el valor del minuendo. a. 432 c. 140 e. 241 b. 306 d. 218 13. Efectúa: A = 4 81 × 25 – 26: a. 28

b. 32

Matemática I

d. 20

e. 36

14. Calcula el valor de “n” en: 65(n) + 23(n) = 121(7). a. 7

b. 5

c. 4

d. 6

e. 8

15. Si a0a(8) = b66(7), calcula el valor de “a2 + 5”. a. 6

b. 8

c. 10

d. 12

e. 14

16. Calcula el valor de “a”, si 3a4(7) = 186. a. 1

b. 2

* Promueve el aprendizaje autónomo. 38

c. 14

c. 3

d. 4

e. 5


17. Al preguntar a un grupo de personas acerca de la preferencia por dos canales de televisión, se observó que 42 ven “Alegría”, 24 ven “OK” y 15 ven ambos canales. ¿A cuántas personas se encuestó, si se sabe que las personas que no ven ninguno de los dos canales son la tercera parte de los que ven solo uno de ellos? a. 51

b. 56

c. 58

d. 50

e. 63

18. Calcula abc × pq si cada letra diferente es una cifra diferente y además se cumple: abc × p = 1284 ; abc × q = 1605. a. 14 435 b. 14 445

c. 13 725 d. 12 625

e. 15 445

19. En un restaurante, 24 personas consumen por un monto de S/. 360 para pagar en partes iguales. Como algunos no tienen dinero, cada uno de los que asumen la cuenta pagará 1/3 más de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas no tienen dinero? a. 8

b. 6

c. 5

d. 9

e. 7

20. Una caja contiene dos cajas rojas y dos libros. Cada caja roja contiene tres cajas amarillas y tres libros; y cada caja amarilla contiene cuatro cajas azules y cuatro libros. Calcula la suma del número de libros más el número de cajas. a. 63

b. 66

c. 65

d. 67

e. 68

Trabajamos

en equipo

Cultivo de bacterias Un cultivo es un método para la multiplicación de microorganismos, tales como las bacterias y virus. Para ello se prepara un medio favorable con la finalidad de obtener el proceso deseado. Este método es fundamental en medicina humana y veterinaria para el estudio de las bacterias y otros microorganismos que causan enfermedades. • El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos. Si el cultivo tiene inicialmente 4 millones de bacterias, ¿cuántas bacterias se tendrán dentro de 2 horas? • ¿Qué tiempo deberá pasar para obtener un cultivo de 1 024 millones de bacterias? „„ Pide a tu compañero (a) que te evalúe. Integrantes

Participa activamente en el grupo.

Aporta ideas en el desarrollo del trabajo.

Respeta las opiniones de los demás.

Cumple con la tarea asignada.

Ayuda a los compañeros que tienen dificultades.

1. 2. 3. 4. * Promueve el aprendizaje en equipo. Matemática I

39


Autoevaluación y metacognición 1. Analiza y completa el siguiente organizador visual. SISTEMA DE NUMERACIÓN Evaluación

se tienen NÚMERO

NUMERAL

CAMBIOS DE BASE

que

que

de

CUANTIFICA

REPRESENTA

a los

al

OBJETOS

NÚMERO

a. F F F V b. F V F V

a. 6

b. 10

c. 8

Solución: A = {4; 6; 8; 10} B = {6; 7; 8} → n(A × B) = 4 × 3 = 12

e. V F F V

De los conjuntos: • B – A = {6; 8} → I es verdadero • B  C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8} → II es falso • A – C = {2} → III es falso • B  C = {4; 6} → IV es verdadero

3. Durante el mes de enero del 2016, Roberto practicó basquet durante 18 días y fútbol durante 20 días. ¿Cuántos días practicó ambos deportes si descansó 8 días? a. 15 b. 12 c. 10 d. 18 e. 20 Solución:

31 F(20)

18 – x x 20 – x 8 Del gráfico 18 – x + x + 20 – x + 8 = 31 46 – x = 31 x = 15 Matemática I

REGLA DE RUFFINI.

IV. B  C = {4; 6}

Solución:

40

mediante

III. A – C = {2; 5}

c. V V F V d. V V V F

B(18)

puede ser mediante

DIVISIONES SUCESIVAS.

4. Si A = {x/x es par ∧ 3 < x  10}, B = {x/x  ∧ 12  2x < 18}, calcula n(A × B).

Determina el valor de verdad de las proposiciones. II. B  C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

BASE 10 A BASE n

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA.

2. Dados los siguientes conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {2; 4; 6; 8}, C = {1; 3; 4; 5; 6}. I. B – A = {6; 8}

BASE m A BASE 10

d. 12

e. 14

5. Se reparte una herencia de S/. 300 000 entre dos hermanos. Si el menor de ellos recibe S/. 48 000 más que el mayor, ¿cuánto dinero recibió cada uno? a. S/. 120 000 ; S/. 80 000 b. S/. 12 600 ; S/. 40 000 c. S/. 72 000 ; S/. 174 000 d. S/. 126 000 ; S/. 174 000 e. S/. 140 000 ; S/. 160 000 Solución: Hermano mayor: x Hermano menor: 48 000 + x Luego: x + 48 000 + x = 300 000 2x = 25 2000 x = 126 000 (hermano mayor) 126 000 + 48 000 = 174 000 (hermano menor) ∴ Recibieron: S/. 174 000 y S/. 126 000


6. Margot y Diana trabajaron juntas durante 38 días y ganaron S/. 2 166. Si Diana ganó S/. 25 en un par de días, ¿cuánto ganará Margot por dos meses de trabajo? a. S/. 3 000 b. S/. 2 450 c. S/. 2 900

d. S/. 2 700 e. S/. 2 670

8. Si P = 3 × 3 × 3 × … × 3 , 30 veces

Q = 7 × 7 × 7 × … × 7 , 45 veces

calcula el valor de a. 30

Solución:

c. 72

d. 45

e. 63

P = 330 ; Q = 745 Piden:

En 38 días: S/. 25 × 19 = S/. 475 2 166 – 475 = 1 691

15

Margot ganó en 38 días: S/. 1 691 En un día 1 691 : 38 = 44,50

7. Se divide N entre un número de dos cifras, obteniéndose como cociente 715 y como residuo máximo 98. Calcula el valor de “N”. e. 64 750

330 × 745 32 × 73 = 49 72

= 32 × 7 = 63

Margot ganará en 2 meses: 44,50 × 60 = S/. 2 670

c. 70 168 d. 73 000

b. 24

P×Q . 49

Solución:

Diana ganó: S/. 25 × 2 días

a. 70 071 b. 70 883

15

9. Expresa el menor número de cuatro cifras diferentes del sistema decimal en el sistema de base 13.

Solución: rmáx = divisor – 1 98 + 1 = divisor divisor = 99 N 99 98 715 Luego: N = 99 × 715 + 98 N = 70 883

a. 703(13) b. 609(13)

c. 7301(13) d. 685(13)

e. 73(13)

Solución: El número es 1023

1023 13

113

9

78 13 0

6

Luego, 1023 = 609(13)

A partir de las respuestas, ayuda al alumno(a) a reflexionar sobre su aprendizaje.

„„ Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje. a. ¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

b. ¿Qué estrategias utilicé para resolver mis dificultades? c. ¿Expliqué con mis palabras los conocimientos adquiridos? d. ¿En qué otras situaciones podría aplicar lo aprendido? * Aplica la ficha de Evaluación (heteroevaluación) que está en la Guía del maestro y Corefonet. Matemática I

41

Matemática 1 sec - Actividades unidad 1  
Matemática 1 sec - Actividades unidad 1  
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