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EDICION REVISADA

a partir del trabajo en las aulas

LIBRO DEL DOCENTE

Santillana

Santillana

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EDICION REVISADA

a partir del trabajo en las aulas

LIBRO DEL DOCENTE

ESTUDIAR MATEMATICA

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Estudiar Matemática en 2.° Edición revisada a partir del trabajo en las aulas es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana bajo la dirección de Herminia Mérega por el siguiente equipo: Coordinación: Claudia Broitman y Cinthia Kuperman Autoría: Claudia Broitman, Cinthia Kuperman, Mónica Escobar, Héctor Ponce, Inés Sancha Lectura crítica: Horacio Itzcovich Editora: Silvia de Rojas Editora de esta edición revisada: Andrea Gutiérrez Coordinadora editorial: Mónica Pavicich Subdirectora editorial: Lidia Mazzalomo

ÍNDICE

APORTES PARA LA ENSEÑANZA ¿Por qué esta edición revisada? ........................................................ 3 1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática en 2.º ................................. 3 2. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática relativas a cada eje de contenidos en Estudiar Matemática en 2.º ................... 6 Numeración. Uso de los números ..................................................... 7 Sistema de numeración .................................................................... 8 Operaciones.................................................................................... 10 Espacio ........................................................................................... 13 Geometría ...................................................................................... 14 Medida ........................................................................................... 15

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La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el equipo de EDICIONES SANTILLANA S.A., integrado por: Coordinación de arte:

Mariana Valladares.

De esta edición: Coordinación de arte: Mariana Valladares.

Diseño maqueta, interior y tapa: 2martini • estudio de diseño Ilustración interior y tapa:

Lancman Ink.

Documentación fotográfica:

Diseño interior y tapa: Estudio Martini 07

Laura Peña, Federico Stefani y Macarena Ayestarán.

Fotografía:

Archivo Santillana.

Ilustración interior y tapa: Lancman Ink.

Corrección:

Marta Castro.

Preimpresión:

Miriam Barrios, Matías Pedullá y Omar Tavalla.

Documentación fotográfica: Macarena Ayestarán, Patricio Calvo, Ariadna Demattei.

Subgerencia de producción industrial:

Gregorio Branca.

Fotografía: Archivo Santillana. Corrección: Marta Castro. Preimpresión: Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez, Maximiliano Rodríguez, Nicolas Verdura. Subgerencia de producción industrial: Gregorio Branca.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito. © 2007, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

Estudiar matemática en 2º : edición revisada a partir del trabajo en las aulas : libro del docente / Claudia Broitman ... [et.al.]. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2007. 144 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-1881-2 1. Matemática. 2. Educación Primaria Básica. I. Broitman, Claudia CDD 372.7

ISBN: 978-950-46-1881-2 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: noviembre de 2005 Segunda edición revisada: enero de 2008

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Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2008, en Indugraf, Sanchez de Loria 2251, Buenos Aires, República Argentina.

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ESTUDIAR MATEMÁTICA en 2.

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APORTES PARA LA ENSEÑANZA La Edición revisada a partir del trabajo en las aulas de Estudiar Matemática en 2.º conserva la misma estructura que la primera, tanto respecto de la organización de las propuestas de enseñanza como del enfoque didáctico que las sustenta. A partir del trabajo en las aulas, la observación de su implementación y los comentarios que aportaron muchos maestros, se incorporó más espacio para la producción individual de los niños y se reorganizaron los momentos de trabajo colectivo.

1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática en 2.º La intención en este apartado es hacer explícitas algunas ideas sobre cómo se aprende y cómo se enseña Matemática en los primeros años de la escolaridad que permitirán comunicar ciertos rasgos del enfoque que sustenta la selección, organización y secuenciación de los contenidos y propuestas de este libro. Se parte de la idea de que es necesario que los alumnos se enfrenten a nuevos problemas que favorezcan procesos constructivos, a partir de poner en juego conocimientos iniciales y elaborar nuevos. Este proceso exige elaboraciones y reelaboraciones que pueden promoverse desde la enseñanza apuntando a un acercamiento progresivo desde los conocimientos de los niños hacia los saberes propios de la disciplina. Para que los niños puedan poner en juego un trabajo matemático precisan enfrentarse a situaciones que les presenten un grado de dificultad, sean verdaderos “problemas”. No se espera entonces que “salgan bien” desde el primer intento, por el contrario, es la dificultad de la situación propuesta la que genera la posibilidad de aprender algo nuevo. Es importante advertir que –además de los problemas presentados con un enunciado contextualizado y una pregunta– se considera también “problemas” a otras prácticas: poner en palabras una estrategia, interpretar un procedimiento ajeno, discutir la validez de una afirmación, copiar una figura, dictar un mensaje. En Estudiar Matemática en 2.º esta idea de problemas como nuevos desafíos sobre los cuales trabajar está presente en la forma en la que se inician y se organizan los diferentes contenidos.

Los problemas enmarcan el trabajo matemático. Permiten presentar nuevos desafíos y durante cierto tiempo se constituyen en objeto de estudio.

Para que los niños puedan poner en juego ciertos conocimientos como punto de partida –aun cuando sean erróneos o no convencionales– y a la vez ponerlos a prueba, modificarlos, ampliarlos y sistematizarlos, será preciso enfrentarlos a una misma clase de problemas en sucesivas oportunidades. Un trabajo sistemático de varias clases próximas entre sí promueve reorganizar una y otra vez estrategias de resolución, pensar nuevamente en las relaciones que aparecieron en clases anteriores, abandonar ensayos erróneos e intentar nuevas aproximaciones. Por ello, en este libro, las diferentes propuestas se organizan en pequeñas secuencias de varias páginas en las que se visitan y revisitan los mismos tipos de problemas una y otra vez para favorecer avances. Una misma clase de problemas que al principio provoca un cierto nivel de dificultad, se espera sea más conocido por los niños, en algunas situaciones posteriores. Evidentemente, en muchos casos, esas situaciones propuestas deben vivir en la clase durante un tiempo más prolongado que el de las páginas en sí mismas para que verdaderamente logren instalarse dichos problemas. Además de volver sobre una misma clase de situaciones con otras herramientas, es necesario

Para promover avances sobre una clase de problemas es preciso enfrentar a los alumnos a una secuencia de situaciones similares y que estas “vivan” un tiempo en la clase...

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enfrentar a los niños a nuevos problemas. Por ello, en cada secuencia se van incorporando progresivamente variaciones en las situaciones, que agregan nuevos desafíos. Para sostener estas ideas sobre los problemas y su secuenciación, es necesario aceptar y prever la provisoriedad y el largo plazo en los procesos de construcción de conceptos matemáticos en la escuela. Aquellas cuestiones que en algún momento se resuelven con estrategias menos avanzadas con cierto trabajo sostenido, se resolverán con recursos más económicos.

Los problemas admiten diversidad de procedimientos. Producir nuevos, interpretar los de “otros” y establecer relaciones entre ellos es parte del quehacer matemático. Interpretar producciones ajenas requiere tomar distancia de la propia producción y considerar otros puntos de vista.

Los errores de los niños tienen su lógica. Develar esa lógica y encontrar buenas razones para superar los errores requiere –entre otras cuestiones– un trabajo colectivo. A lo largo de una secuencia de problemas es necesario considerar la potencia de diferentes formas de organización de la clase.

Esta mirada sobre los problemas implica provocar la aparición de una variedad de procedimientos posibles por parte de los niños. Tanto cuando se trate de sumar dos cantidades, de escribir un número, de comparar dos colecciones de objetos, de medir una longitud, etc., los niños podrán resolver la situación con estrategias propias y variadas según los conocimientos y recursos que tengan disponibles. En Estudiar Matemática en 2.º se explicita en muchas situaciones la posibilidad de elegir entre diversas maneras de resolución. Un tiempo después, que muchos niños desplieguen los mismos recursos puede ser interpretado como marca de avance. Los procedimientos de resolución son en sí mismos objeto de estudio y de debate. En muchas de las propuestas didácticas se explicitan momentos de trabajo dirigidos especialmente a comunicar, comparar y apropiarse de diferentes formas de resolver los problemas. El libro propone, en reiteradas oportunidades, interpretar procedimientos ajenos que, aunque en cuadernos o voces de niños hipotéticos, contemplan procedimientos característicos de los niños en esta etapa. En muchas ocasiones, entre las producciones infantiles que se presentan, se incluyen errores para analizar. Partimos de la idea de que explicar por qué una respuesta, una opinión o un procedimiento son erróneos puede constituirse en fuente de conocimientos para todos, tanto para aquellos niños que los han producido –o que producen errores similares a los propuestos–, como para aquellos a los que les es evidente por qué es un error pero se ven forzados a justificar y explicitar razones. Los errores son parte del proceso constructivo, marcas visibles del estado de conocimientos de los niños en un momento determinado, y exigen un trabajo sistemático para su superación –trabajo a veces de la misma naturaleza que producir nuevos conocimientos más acertados–. En Estudiar Matemática en 2.º se presentan producciones o expresiones erróneas típicas del pensamiento infantil, para ser discutidas.

En este libro se presentan diversas modalidades de trabajo que permiten a los niños acercarse de varias maneras al objeto de estudio. En ocasiones, las propuestas se inician para que sean abordadas desde el trabajo individual. Son aquellos problemas necesarios para que cada niño en un tiempo personal pueda enfrentarse al problema desde los conocimientos de que dispone. Estos primeros acercamientos a la resolución del problema serán puntos de partida para que el maestro pueda organizar la reflexión y el análisis posterior. En otras oportunidades se sugiere comenzar o retomar el problema en pequeños grupos o en parejas. Las interacciones entre los niños serán fecundas para la circulación de conocimientos. Esta modalidad se adopta cuando la actividad es exploratoria y no se espera que puedan re-

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solver autónomamente la situación; cuando la propuesta es más compleja y es posible que en el intercambio se acerquen a una estrategia o respuesta más elaborada (que solos no podrían abordar) y cuando la situación misma requiere roles diferenciados. Tanto si las propuestas empiezan de manera individual como en pequeños grupos o en parejas, se prevén instancias de trabajo colectivo. Estos son momentos privilegiados para evocar acuerdos, para el debate, para la comparación de procedimientos, para la confrontación de ideas, para la discusión y, posteriormente, para la elaboración y reorganización de conclusiones. Los desafíos que presentan los problemas, los errores que han aparecido, las diversas formas de resolución serán objeto de un trabajo reflexivo en forma conjunta, una ocasión para revisar y ampliar los conocimientos individuales que funcionaron como punto de partida. El trabajo colectivo tiene diferentes funciones. Son un espacio para comunicar y explicitar estrategias, “poner en palabras los descubrimientos”. La finalidad de esta explicitación es doble: que todos los niños puedan apropiarse de las estrategias de otros y reutilizarlas, y que se produzcan nuevas relaciones a la hora de explicarlas o compararlas. Es un momento propicio también para analizar algunos errores que han aparecido y que el docente devuelve al grupo para generar una discusión. En muchas ocasiones a los niños les resulta complejo explicitar sus estrategias y mostrar su producción. En Estudiar Matemática en 2.º se presentan algunas producciones típicas de niños puestas en voz o en cuadernos para fomentar la discusión. La intención es que los alumnos puedan identificar similitudes y diferencias entre esas producciones, las propias y otras del grupo. También es un problema en sí mismo para los alumnos discutir sobre la validez de una afirmación. En ocasiones se presenta una frase en voz de niños o simplemente como pregunta que se formula desde el mismo libro. En otras ocasiones, el trabajo colectivo requiere interpretar y completar conclusiones elaboradas por otros grupos de 2.º, que recogen expresiones que utilizan los niños realmente en clases similares. En Estudiar Matemática en 2.º, esos momentos de trabajo colectivo se presentan con la frase: Se abre la discusión. El rol del docente es central para que este momento potencie un intercambio rico entre los niños. En muchos casos, el maestro deberá mantener provisoriamente cierta incertidumbre respecto de la validez de las afirmaciones de algunos niños. Pondrá en duda tanto lo correcto como lo incorrecto, con el fin de promover un intercambio de ideas y puntos de vista –posponiendo para un momento posterior la respuesta correcta–.

Los problemas no “funcionan” por sí mismos. Son un campo fértil sobre el cual desplegar nuevas preguntas, elaborar conclusiones, organizar debates. Este trabajo necesariamente requiere una instancia colectiva.

El trabajo colectivo también tiene otra finalidad: permite constituir una memoria de lo trabajado, recapitular, comparar los conocimientos anteriores con los nuevos, tomar conciencia de las progresivas y sucesivas reorganizaciones del conocimiento. En forma opuesta a la creencia de que los niños aprenden “sin darse cuenta” se intenta promover un trabajo reflexivo sobre el propio proceso de estudio. Si bien esas cuestiones irán haciéndose cada vez más profundas a medida que los niños avancen en la escolaridad, hay algunas marcas de este proceso que es posible instalar desde primer año: volver a mirar los cuadernos y encontrar señales que puedan reconocerse como avance, encontrar en páginas anteriores problemas parecidos, consultar una conclusión y reutilizarla, comparar las nuevas formas de resolver un problema con las anteriores. Estos momentos privilegiados para instalar procesos de estudio y de puentes entre lo viejo y lo nuevo se proponen en Estudiar Matemática en 2.º bajo el título Mirar para atrás.

El trabajo reflexivo en torno a un conjunto de problemas exige recapitular y tomar conciencia de lo nuevo.

Los momentos de trabajo colectivo son oportunidades para que los conocimientos se socialicen, se difundan y se sistematicen.

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El rol del docente es central para gestar condiciones que favorezcan la evolución de los conocimientos y varía según el momento de la clase.

Propone como idea central la recapitulación de lo trabajado en un conjunto de problemas y a través de varias clases. Se invita a releer –o el maestro leerá en voz alta– algunos problemas o conclusiones con la idea de establecer nexos entre lo ya realizado y algo nuevo, o bien, recordar lo que se fue haciendo en torno a determinados problemas. Dado que identificar por sus propios medios cuáles páginas mirar será una propuesta algo difícil para los niños de 1.º, el maestro ayudará en esa tarea hasta que progresivamente puedan realizarla de manera más autónoma. En algunas páginas se propone elaborar carteles con conclusiones para que puedan ser fuentes de consulta en clases siguientes. Se espera que los niños puedan dictar a su maestro, quien lo escribirá en un cartel visible para todos y lo leerá cuando sea necesario. Las Portadas también son otro espacio que tiene la intención de favorecer la recapitulación. Al iniciar cada etapa se propone Mirar para atrás aquellos contenidos que se fueron trabajando y escribir “conclusiones” para recordar y tener presente en la etapa siguiente. La tarea de elaboración de conclusiones podrá ser presentada como un trabajo conjunto. En cada portada también hay un fragmento del índice correspondiente a la etapa que viene, que habilita tanto a anticiparse a los temas que se abordarán, como a observar si se reitera alguno ya trabajado. También el maestro tiene “prácticas” o “roles” diferentes según los momentos de la clase y de desarrollo del contenido en cuestión. En algunos momentos propone a sus alumnos que expliciten los conocimientos y procedimientos utilizados. En otros, organiza los debates a propósito de los conocimientos en juego y promueve la difusión de los conocimientos (aunque sean producidos solo por algunos). A veces genera espacios de análisis de procedimientos y soluciones erróneas (aunque sean solamente de algunos niños) para promover avances para todos, o bien somete a discusión una nueva estrategia no utilizada para resolver un problema. En ocasiones aporta información cuando se requiere o pistas para retornar al problema. Registra en carteles aquello que es nuevo para que pueda ser reutilizado en otros problemas y evoca lo realizado en clases anteriores para promover una continuidad entre lo hecho y lo que está por realizarse. También puede proponer nuevos problemas que permitan reutilizar y ampliar lo aprendido. Estas ideas del marco teórico de la Didáctica de la Matemática se encuentran desarrolladas en la bibliografía de la página 128 del libro del alumno.

2. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática relativas a cada eje de contenidos en Estudiar Matemática en 2.º Este libro está organizado en torno a cinco ejes: • Numeración • Operaciones • Espacio • Geometría • Medida Estos ejes están distribuidos en cinco etapas que los organizan de forma temporal. Dentro de cada etapa se presentan consecutivas las páginas del mismo eje; esto fomenta la idea de seguir la secuencia planteada y no fragmentar el/los contenidos abordados. En cada etapa están indicados los ejes. En cada página se informan también los contenidos propuestos para abordar.

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Numeración

Uso de los números En las páginas 8 y 9 se propone, con Números en distintos lugares, un trabajo exploratorio inicial que apunta a indagar los diferentes usos sociales de los números, las distintas funciones que éstos pueden cumplir, y a distinguir los diferentes tamaños de números según contextos. Es una primera actividad introductoria que permitirá al docente conocer de algún modo qué saben los niños sobre los números y empezar a difundir estas cuestiones. Se espera que sea retomada en clases siguientes con diferentes portadores numéricos que podrán permanecer en el aula y otras actividades de investigación.

Sistema de numeración Recordar los primeros cien números El trabajo inicial propuesto en Estudiar Matemática en 2.º con los primeros cien números fomenta que los niños puedan desplegar sus conocimientos, los confronten con otros y puedan así resolver problemas que les exijan escribir, comparar y leer números al mismo tiempo que explorar regularidades de la serie oral, de la serie escrita y de las relaciones entre ambas. Se propone inicialmente un tiempo de trabajo recuperando y difundiendo los conocimientos de los niños que han sido abordados en primer grado sobre los números del 0 al 100, presente a través de Números hasta el 100; Ordenar y escribir números y Números del 0 al 100. Conclusiones (páginas 10 a 12). La página 12 se propone como una instancia de recapitulación sobre los problemas ligados a la lectura, la escritura y el orden en los números. Explorar números “más grandes” Este trabajo sobre las regularidades del 0 al 100 se extiende en la página 15 a Investigar números de varios tamaños. La información sobre cómo se llaman y cómo se escriben algunos números servirá para pensar en cómo se llamarán y escribirán otros. Presentar actividades de uso e investigación de todos los números de manera simultánea supone no esperar que lo que se proponga sea correcto de inmediato. Esta situación no apunta al dominio en la lectura, la escritura o el orden en este campo numérico mayor, sino que es una situación exploratoria, que puede ser resuelta con los conocimientos que los niños ya tienen y a la vez permitirá abonar hacia el estudio de los números del 0 al 1.000 que se propone más adelante.

Es interesante promover situaciones que permitan explorar números de diversa cantidad de cifras.

Estudiar los primeros mil números Se presentan situaciones que proponen explorar y analizar regularidades en los mil números juntos o en porciones de a cien no necesariamente crecientes. Se parte de la idea de que los niños podrán extender las regularidades encontradas y sistematizadas en los números de una

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centena a la otra, es decir que no es necesario, para abordar problemas que exijan trabajar con los números del 500 al 600, un dominio de los números anteriores. Trabajar con este campo numérico implicará aceptar que durante el proceso de su estudio aparecerán errores diversos. Su análisis permitirá promover avances para todos. Al escribir números los niños recurren a sus conocimientos de la serie oral, y a veces los escriben de manera no convencional.

Aprender a escribir números también es un proceso a largo plazo. Muchas investigaciones han puesto de manifiesto cómo los niños, para escribir números, se apoyan en los nombres de éstos y realizan escrituras que transparentan las descomposiciones aditivas de las palabras-número. Por ejemplo, para trescientos treinta y cuatro escriben 300304 o 30034. Estas diversas escrituras no convencionales conviven en los primeros momentos de estudio de los números junto a otras que sí son convencionales. Se requerirán diversas instancias de confrontación, intercambio, debate, consulta a portadores, búsqueda de ejemplos y contraejemplos para que estas escrituras sean reemplazadas progresivamente por escrituras convencionales.

Para leer números la información que brindan los nudos es un punto de apoyo.

Leer números también es un proceso complejo en el que los niños ponen en juego sus ideas acerca de cómo se llaman los números. La confrontación entre diversas interpretaciones y la información sobre el nombre de los números “redondos” (100, 200, 300, etc.) permitirá revisar y ampliar los conocimientos de partida.

Los niños pueden comparar números escritos aun cuando no sepan cómo se llaman.

Los niños pueden comparar números antes de saber sus nombres y de poder escribirlos convencionalmente dado su nombre. Frente a números escritos pueden utilizar diversas estrategias que les permiten decidir cuál es el mayor: podrán ver la cantidad de cifras o mirar, frente a los números de igual cantidad de cifras, la primera de ellas.

Analizar el valor que tienen las cifras según la posición que ocupan en el número es una tarea compleja para los niños y no precisa ser un punto de partida para aprender a leer, ordenar y escribir los números.

Para el estudio de los problemas de lectura, escritura, comparación, anteriores y posteriores a un número hasta el 1.000 se proponen las páginas 28 a 34 (Etapa II) y las páginas 52 a 55 (Etapa III). La organización de los números en grillas favorece el análisis de las regularidades de la serie numérica: todos los números de la misma fila empiezan igual, todos los números de la misma columna terminan igual. Algunos ejemplos son Del 100 al 200 (página 28), Escribir y ubicar números (entre 300 y 400) (página 29). La página 30 y 31 apuntan centralmente a ofrecer la serie de nudos para que los niños puedan avanzar en sus estrategias de interpretación. Está en juego en este recorrido propuesto la relación entre la serie oral y la serie escrita de números: saber cómo se escriben o cómo se llaman números correspondientes al mismo nudo constituye un fuerte apoyo para los niños. En la tercera etapa se proponen, en la página 52, Uno más y uno menos hasta el mil, para trabajar el anterior y posterior de un número, y en la página 55, Leer y escribir números, nuevamente se presentan situaciones de producción e interpretación que permiten retomar y volver a visitar las conclusiones elaboradas en la página 34. Estudiar el valor posicional en números ya conocidos Analizar y reflexionar acerca del valor de los números según la posición que ocupan es un problema que se debe poner en juego también en 2.º. Cuando los niños ya pueden dominar la lectura y la escritura de ciertos números, es conveniente instalar la reflexión en torno a su composición interna. Por eso en este libro se propone recién en la última etapa, en las páginas

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104 a 108, estudiar los aspectos ligados al análisis del valor posicional en términos de “unos”, “dieces” y “cienes”. Pagar con 100, 10 y 1, Unos, dieces y cienes en la calculadora son algunas páginas que apuntan a este aspecto del estudio de los números y se organizan en torno a dos contextos diferentes: el dinero y el uso de la calculadora. Es esperable que muchos niños que no tienen dificultades en leer y escribir números, encuentren importantes desafíos a la hora de descomponer y componer los números en los problemas presentados. Desentrañar estas composiciones y reglas de funcionamiento de los números no es una tarea sencilla, y no es necesariamente “visible” para quien ya conoce la serie. Para ampliar estas ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje de los números se sugiere consultar la bibliografía mencionada en la página 128 del libro del alumno.

Operaciones La enseñanza de las operaciones está presente en todas las etapas de Estudiar Matemática en 2.º. La construcción del sentido de las operaciones incluye tanto el dominio de diversas estrategias de cálculo como el reconocimiento del campo de problemas que resuelven. En las cinco etapas se proponen páginas para abordar diversidad de sentidos de los problemas y otras que apuntan estrictamente al estudio de estrategias de cálculo. Otras proponen problemas que exigen vincular las situaciones a los cálculos. Diversidad de problemas de suma y resta Desde las primeras páginas se propone enfrentar a los niños a una diversidad de situaciones problemáticas que les permitan producir o reutilizar estrategias variadas, seguramente ya trabajadas en 1.o. Se espera que lo puedan hacer “cada uno a su manera”, con rayitas, dibujar, escribir números, contar y usar cálculos. Las páginas 16 a 19 proponen problemas para desplegar dicha variedad de estrategias: Problemas para resolver I, II y III y Problemas para aprender a buscar datos. Para estos problemas el trabajo propuesto supone una fase de resolución individual en la que se busca que los niños ensayen y produzcan sus formas de resolución, y a continuación se presentan espacios de trabajo colectivo encabezados por Se abre la discusión en los que se invita a que los alumnos muestren sus maneras de resolver, las expliquen, puedan compararlas y también interpretar estrategias de otros niños. Este libro presenta en varias ocasiones procedimientos infantiles, en cuadernos o voces de niños que fueron realizados teniendo en cuenta procedimientos habituales de los niños en cada momento del año. En otros momentos se propone que elaboren y registren conclusiones, que incorporen estrategias ajenas, que tomen conciencia de los cambios producidos en sus propias estrategias, que vuelvan a mirar un problema resuelto en otro momento con nuevas herramientas. Estas propuestas están habitualmente encabezadas bajo el título Mirar para atrás. En el libro se presentan variados sentidos de la suma y la resta. Entre los de menor dificultad se encuentran los problemas de agregar, reunir, perder, retroceder, quitar. Entre los de mayor dificultad (tanto para la comprensión del enunciado como para la resolución e identificación del cálculo) están los que exigen averiguar el estado inicial (Compré 4, me quedaron 9, ¿cuántos

Conocer los cálculos no es suficiente para reconocer su uso en diversos tipos de problemas. La variedad de problemas también constituye un objeto de estudio y reflexión.

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El trabajo sobre los enunciados, los datos, los cálculos y las preguntas de los problemas también requiere de un trabajo sistemático.

Los niños pueden resolver problemas multiplicativos aun cuando no reconozcan la multiplicación y la división.

El trabajo sobre las escrituras multiplicativas puede iniciarse a propósito de una situación de comunicación.

El reconocimiento de la multiplicación en problemas de series proporcionales no es suficiente para usarlo en otros tipos de problemas.

tenía al principio?), comparar o buscar la diferencia (Estoy leyendo la página 12. El libro tiene 34, ¿cuántas me faltan?), averiguar la transformación sucedida (Tenía 11 caramelos, comí algunos y me quedaron 4, ¿cuántos comí?) o realizar dos o tres operaciones. Entre ellas las páginas 81 y 82, Problemas en los que hay que averiguar qué pasó y Resolver problemas paso a paso abordan estas cuestiones. Tanto para unos como para otros problemas se propone un intercambio sobre las estrategias usadas y los diversos cálculos que permiten resolver y representar cada uno. Luego de que los niños han interactuado con variados problemas, se propone reflexionar sobre los enunciados, analizar la pertinencia de los datos, inventar preguntas, analizar la relación entre cálculos y problemas. Algunas situaciones para seleccionar los datos y para inventar problemas y preguntas se presentan en: Problemas para aprender a buscar datos (página 19), Inventar problemas (página 36), Leer e inventar problemas (página 84). Las instancias de trabajo colectivo permitirán difundir los conocimientos ligados a los problemas de tratamiento de la información en los enunciados, cuestión que inicialmente suele ser compleja para los niños. Diversidad de problemas multiplicativos Se proponen varias secuencias de problemas que apuntan a explorar la variedad de estrategias para resolver problemas de series proporcionales y de reparto aun cuando estén lejos todavía de los cálculos correspondientes. (¿Cuántas figuritas hay en 4 paquetes si en cada uno hay 5 figuritas? Nicolás reparte en partes iguales sus 20 figuritas entre 4 amigos, ¿cuántas les dará a cada uno?) Para resolverlos desplegarán variados recursos: dibujos, dedos, rayitas, etc. Entre los problemas de series proporcionales y de reparto se encuentran los de las páginas 42 a 44, Problemas en los que se repiten cantidades I y II, Muchas formas para resolver repartos, y en la página 79, Problemas de partes iguales. El trabajo sobre estos problemas permitirá instalar un punto de partida rico para que en etapas siguientes continúen estudiando la multiplicación. Pero, para los problemas de reparto, la finalidad de su tratamiento reside exclusivamente en la potencia para producir y debatir sobre las estrategias diversas de resolución. En las páginas 62 a 68 se propone, luego de que los niños ya han resuelto diversos problemas multiplicativos, una situación en torno a la producción de mensajes para comunicar la cantidad de elementos de ciertas tarjetas. Esta situación abona al reconocimiento, uso y difusión de la escritura multiplicativa como una síntesis, inicialmente, de sumas reiteradas. Se trata de las páginas Mensajes que dicen cuánto hay en cada tarjeta I y II. Otra forma de introducir la multiplicación podría ser a propósito del uso de la calculadora: ¿qué cálculos con la calculadora pueden resolver este problema? En este texto se ha hecho la opción de su presentación vía la situación de comunicación y posteriormente se indaga en el uso del símbolo x con la calculadora. La misma situación de mensajes avanza luego para promover la diferenciación entre cuáles sumas pueden ser representadas por una multiplicación y cuáles no. Luego de esta presentación “oficial” del símbolo x, se promoverá el uso de esta escritura a propósito de otros problemas. Luego de que los niños se han iniciado en la escritura de cálculos multiplicativos sencillos se les propone estudiar su uso en dos nuevos tipos de problemas: organizaciones rectangulares, Filas y columnas (página 112), y problemas de combinatoria, Problemas para hacer com-

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binaciones (página 113). Es esperable que los niños los resuelvan por conteo o por sumas y posteriormente reconozcan el cálculo multiplicativo o que provenga de una instancia colectiva. Su explicitación y difusión abonarán su reconocimiento en futuros problemas. Estrategias de cálculo mental en sumas y restas En los problemas se propone que los niños utilicen diversos procedimientos de cálculo, en particular, cálculos mentales escritos, también llamados “horizontales”. Se propicia la construcción de un creciente repertorio de sumas y restas memorizadas. Su uso permite reemplazar paulatinamente el conteo e iniciar la práctica del cálculo mental. Construir un listado de cálculos conocidos será útil para variados problemas. Entre ellos: sumas de iguales (2 + 2, 3 + 3...), sumas que den 10 (4 + 6; 3 + 7...), sumas de dieces (10 + 10; 20 + 20...), descomposición en dieces y unos (34 = 30 + 4 o 10 + 10 + 10 + 4), sumas de cienes (100 + 200), etcétera. La memorización de ciertos cálculos permite que los niños se apoyen en aquello que saben para averiguar lo que no saben (por ejemplo, usar 20 + 20 para calcular 21 + 23). La reflexión y los nuevos acuerdos sobre estrategias de cálculo permitirán ir provocando avances en los procedimientos (por ejemplo, para 21 + 21, es útil 20 + 20). La elaboración de un repertorio de cálculos disponibles se presenta en las páginas 20 a 23 y 72, entre otras: Cálculos que ya sabemos y cálculos que vamos a estudiar, Usar los cálculos que estudiamos, Nuevos cálculos para estudiar.

Construir un repertorio de cálculos conocidos es un buen punto de partida para entrar en el trabajo con el cálculo mental.

Un mismo cálculo admite estrategias diferentes. Las composiciones y descomposiciones posibles pueden ser objeto de estudio.

La primera situación que presenta Usar la calculadora se da en la página 21, que propone investigar el uso de la calculadora y, a partir de allí, pasa a ser un elemento de trabajo permanente tanto en el terreno de los cálculos como para resolver problemas. Respecto de los cálculos, se incluye su uso para que los niños puedan verificar los resultados obtenidos por medio de estrategias de cálculo mental y estimativo; esto favorece el trabajo autónomo por parte de los niños, ya que no es el maestro el único que puede validar los resultados obtenidos. Otro trabajo que se propone es analizar la conveniencia del uso de la calculadora y del cálculo mental según los números involucrados (por ejemplo, la página 40, Mentalmente o con calculadora). También se invita a usar la calculadora para resolver problemas y escribir los cálculos utilizados.

La calculadora es una herramienta presente en diversos contenidos y durante todo el año.

En las páginas 41, Otra forma de sumar, y 45, Otra forma de restar, se propone iniciar el estudio de los algoritmos de suma y resta más convencionales. Se ha optado por presentarlos cuando los niños ya tienen un cierto dominio del cálculo mental de sumas y restas, cuando pueden hacer diversas composiciones y descomposiciones de los números, cuando disponen de un conjunto memorizado de cálculos con números “redondos” y han trabajado con el uso de la calculadora. Los algoritmos se presentan como “otras” formas de resolver los mismos cálculos. El trabajo permanente en torno a ellos requerirá instancias en las que se discuta con los alumnos cuáles cálculos parciales se escriben y cuáles no, qué composiciones y descomposiciones conviene realizar y cómo controlar con la calculadora los resultados obtenidos luego de la resolución. El trabajo con el cálculo estimativo se propone asimismo como estrategia de anticipación de resultados y control para los cálculos algorítmicos. Por ejemplo, Estimar el resultado (páginas 69 y 109).

El estudio de los algoritmos convencionales de suma y resta exige un trabajo en torno a las diversas formas de representar y sintetizar los pasos intermedios y cálculos mentales.

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Construir y usar resultados multiplicativos permite resolver variados problemas antes de tenerlos disponibles en la memoria.

Se propone construir tablas de proporcionalidad con resultados de multiplicaciones. Éstas se proponen inicialmente como problemas a resolver, y luego, esos mismos cuadros son propuestos tanto como objeto de reflexión sobre las relaciones que involucran los números, cuanto como un conjunto de resultados que pueden ser reutilizables en nuevos problemas. Por ejemplo, haber averiguado los precios de diversa cantidad de objetos que cuestan 4 pesos cada uno podrá servir para resolver el problema de cuántas patas tienen 4, 5 o 6 perros. Algunas páginas que proponen abordar la construcción y uso de estas tablas son las páginas 85 y 86, recortables que exigen el completamiento de tablas y se ofrecen como un recurso para usar en nuevas situaciones y tenerlas a disposición, y las páginas 114 a 116, Cuadros para completar, Problemas con cuadros y Problemas con cuadros y muchos pasos. Es importante aclarar que en 2.º se propone exclusivamente trabajar la multiplicación en torno a la resolución de diversos problemas y al reconocimiento de cómo unos resultados pueden reutilizarse para otros problemas. Se propone recién un trabajo sistemático de cálculo mental y cálculo algorítmico multiplicativo en tercer grado. Para ampliar estas ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje de las operaciones se sugiere consultar la bibliografía de la página 128 del libro del alumno.

Espacio Es preciso distinguir entre aquellas propuestas que abordan un uso físico del espacio real, de aquellas otras que involucran una representación gráfica o verbal de éste. En Matemática se trabajan estas últimas.

Los niños utilizan el espacio y construyen un conjunto de conocimientos prácticos que les permiten dominar sus desplazamientos y construir referencias. Se trata de adquisiciones espontáneas en su proceso de construcción de nociones espaciales. Pero esto no sucede con todos los problemas espaciales: algunos exigen un verdadero trabajo sistemático para su adquisición. Resulta necesario hacer una distinción entre el uso del espacio real (desplazarse, recorrer lugares, hacer circuitos, etc.) y los aspectos matemáticos que podrían estar vinculados a cada una de dichas situaciones. En el uso real del espacio no hay necesariamente una actividad anticipatoria o una actividad matemática. Los problemas matemáticos relacionados con el espacio no se resuelven empíricamente, ya que están ligados a la representación de ese espacio: representación verbal (oral o escrita) y gráfica. La representación es un modelo de la realidad, no es la realidad misma, pero permite tomar decisiones y resolver problemas anticipándose a las acciones físicas. Se espera que en los primeros grados los niños puedan, entre otros aspectos, avanzar en la resolución de problemas que exigen una comunicación oral y problemas que exigen una representación gráfica. En Estudiar Matemática en 2.º se presentan propuestas que involucran problemas de interpretación y producción de representaciones gráficas. La finalidad es que los alumnos aprendan a producir mejores representaciones planas de diferentes espacios físicos analizando puntos de vista y ubicación de los objetos, se inicien en la interpretación de dibujos, planos y recorridos realizados por sus compañeros y por adultos en situaciones de uso social, analizando formas diversas de representar y discutiendo sobre los tamaños y proporciones de los objetos a representar, por ejemplo, en algunos planos. Las propuestas de las páginas 56 a 59, Usar y dibujar planos I y II abordan estas problemáticas.

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Geometría Estudiar los objetos geométricos y sus propiedades requiere resolver problemas y luego reflexionar sobre los conocimientos usados y aprender otros nuevos. En Estudiar Matemática en 2.º se proponen, entre las páginas 91 a 100, secuencias de problemas para figuras geométricas y para cuerpos geométricos. Estos problemas son estrictamente geométricos, es decir, intentan promover interacciones con estos objetos ideales propios de esta rama de la matemática: las figuras y los cuerpos geométricos. Entre las propuestas que abordan el estudio de las figuras geométricas, las páginas 91 y 92, Armar figuras plegando un papel I y II pretenden instalar un análisis de las relaciones entre figuras geométricas, en particular, rectángulos, cuadrados y triángulos. Se intenta instalar un trabajo anticipatorio por parte de los niños acerca de cuáles y cuántas figuras iguales y diferentes pueden formarse con un cuadrado y con un rectángulo: ¿pueden armarse cuatro cuadrados con un cuadrado? ¿Y tres triángulos con un rectángulo? Algunos de estos problemas tendrán solución y otros no. Copiar una figura, en las páginas 93 a 95, apunta a analizar una figura a partir del problema de reproducirla. Copiar y comparar no son actividades que se resuelvan exclusivamente mirando o dibujando. Se obliga a los alumnos a reparar en características y detalles de las mismas y a poner en palabras similitudes y diferencias. Esta explicitación de propiedades forma parte de un problema estrictamente geométrico. En las páginas 96 y 97, Mensajes de figuras I y II, se propone un problema de comunicación. Los niños tienen que describir figuras y analizar qué mensajes corresponden a cada una. Este problema exige un análisis detallado de los datos necesarios que hay que considerar para dar la información pertinente y segura, e invita a trabajar sobre el uso del vocabulario específico y el análisis de las propiedades de las figuras.

Estudiar objetos geométricos y sus propiedades requiere trabajar con diversidad de problemas que exigen un trabajo intelectual y no se resuelvan exclusivamente mirando o manipulando.

Para cuerpos geométricos, en las páginas 98 y 99, Armar el esqueleto de un cuerpo, el trabajo propuesto apunta a que los alumnos identifiquen y formulen propiedades de los cuerpos, en particular, la cantidad y variedad de aristas y la cantidad de vértices. Inicialmente, los niños podrán construir “esqueletos” de cuerpos con varillas y bolitas de plastilina y luego se propondrá un avance hacia la anticipación de qué cuerpos se pueden formar con ciertos vértices y aristas, y cuántos de cada uno tendrá un determinado cuerpo. Describir un cuerpo geométrico, propuesta de la página 100, apunta a distinguir un cuerpo a partir de sus características: forma y cantidad de caras, vértices, entre otros cuerpos dados. En las propuestas geométricas, del mismo modo que en los otros contenidos, se intenta promover un clima de trabajo y de producción colectiva. Si bien se incluyen momentos de trabajo individual o en parejas, hay presentes instancias grupales de justificación, debate, confrontación de ideas, discusión, elaboración de conclusiones, todas ellas encabezadas por el título Se abre la discusión. Se trata de problemas que exigen varias clases, y aquellas propiedades que circularon en una clase se retoman, amplían o superan en las clases siguientes. Por ello se incluyen momentos para Mirar para atrás, otro espacio privilegiado para el trabajo colectivo. Las situaciones presentadas abordan diferentes tipos de prácticas. En algunas, se trata de que los niños tomen conciencia de propiedades a las que no suelen prestar particular atención,

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propiedades provisoriamente “no tan visibles”. En otros casos la intención es que los niños puedan “poner en palabras” esas propiedades, es decir, pasar de su reconocimiento implícito a su explicitación. El trabajo de los alumnos, en otras secuencias, consiste en tomar decisiones anticipadamente –apoyándose en ciertas descripciones o características–, para luego verificar su validez. Todas estas “prácticas” constituyen problemas diversos en torno a los mismos objetos: figuras y cuerpos. Para ampliar estas ideas sobre la enseñanza del Espacio y la Geometría, se sugiere consultar la bibliografía de la página 128 del libro del alumno.

Medida El estudio de la medida abarca una diversidad de cuestiones. Un aspecto refiere al conocimiento de las magnitudes a medir. Los niños podrán aprender que se pueden medir longitudes, capacidades, pesos, superficies, velocidades, el tiempo, la temperatura, la humedad, etc. Evidentemente, ellos no están en condiciones de resolver problemas ligados a todas estas magnitudes, pero podrán explorar cuáles de las diferentes magnitudes son medibles. Otro aspecto que se debe explorar son los distintos instrumentos de medida que se usan socialmente. Suelen conocer algunos instrumentos, podrán consultarlos y explorar otros: termómetro, medidor de velocidad, reloj, jeringa, vaso medidor, balanzas diversas, etc. Se podrán explorar estas cuestiones investigando en qué diferentes formas se comercializan productos que ellos conocen: ¿El azúcar se vende por unidad, por kilo o por litro? ¿La carne se cuenta o se pesa? Las diversas unidades de medida que se usan habitualmente para esas magnitudes y según las dimensiones de cada objeto a medir constituyen otro posible foco de trabajo. Se apuntará a que reconozcan algunas unidades de medida convencionales. Otro aspecto que hay que considerar refiere a la posibilidad de iniciar a los niños en la estimación de medidas; para ello se los podrá instar a que analicen ciertas afirmaciones y encuentren cuáles son posibles y cuáles no, y por qué: por ejemplo: “un bebé puede pesar 3 kilos”, “un bebé puede pesar 3 gramos”, o “un bebé puede pesar 3 toneladas”. En Estudiar Matemática en 2.º se proponen problemas de medida en las páginas 119 a 122. Medir con distintos instrumentos, página 119, apunta a la cuestión antes mencionada de conocer y analizar qué instrumentos de medida conocen y cómo se usan, qué magnitudes miden; en la página 120 se propone aprender a Usar la regla para medir, en la página 121, a Usar el metro para medir, y por último, en Muchos problemas de medida, en la página 122, se propone también el uso de cuartos y medios en torno a unidades de peso y capacidad. En varios problemas de estas páginas la propuesta consiste en estimar la medida de ciertos objetos: en algunos casos, averiguar sus medidas reales y en otros, medir para verificar sus anticipaciones. En este tipo de problemas el trabajo es centralmente colectivo y exige por parte del maestro ser un informante clave de cuestiones que para los niños son exploratorias. No se apunta a generar un dominio de las unidades de medida, ni de la estimación, ni del uso de instrumentos; se trata de un trabajo de investigación grupal de los usos sociales y de sistematización de las informaciones que los diferentes niños tienen y de las que proveen el docente y los libros u otros portadores de información. En relación con la medida de lon-

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gitudes, los niños podrán resolver algunos problemas por sí mismos, tales como medir, aprender a usar la regla, estimar ciertas medidas, conocer cuántos centímetros hay en un metro, usar metros diversos, etcétera. También para la medida, las propuestas se organizan con espacios colectivos bajo el título de Se abre la discusión y espacios de recapitulación como Mirar para atrás.

En estas páginas de Estudiar Matemática en 2.º hemos intentado mostrar una cierta característica común propuesta para todos los ejes de contenidos: el trabajo matemático implica resolver problemas, analizarlos, discutir sobre las estrategias usadas, analizar procedimientos ajenos, consultar información, elaborar conclusiones, discutir sobre formas de comunicar y registrar lo realizado, producir e interpretar escrituras, comparar soluciones, transformar los problemas en nuevas preguntas. Un camino en el que el trabajo individual se alterna con espacios colectivos en manos del docente, dirigidos a difundir conocimientos, instalar debates y elaborar nuevas conclusiones. Desde esta perspectiva, todas las páginas del libro presentan problemas. A veces problemas nuevos, en otros casos, problemas de recapitulación o sistematización.

Estudiar Matemática es fruto de un trabajo colectivo. Así lo ha sido para el equipo de autores y se anhela que lo sea para los maestros, además de para los niños.

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Estudiar Matemática 2