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MATEMÁTICA III. NUEVAMENTE 1 Con los racionales

CONTENIDOS Concepto. Definición. Usos. Análisis comparativo. Densidad. Ubicación en la recta numérica. Relaciones de Orden. Operaciones y propiedades en el conjunto racional. Expresiones decimales: periódicas y exactas. Conversión a fracción. Expresiones equivalentes. Expresiones decimales finitas e infinitas. Cálculo exacto y aproximado. Potencia de exponente entero. Propiedades. Radicación en racionales. Concepto y propiedades de la radicación en el conjunto de los números racionales. Notación científica.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Reconocimiento, comprensión y uso de los números racionales, de sus propiedades y de sus distintas representaciones en función de la situación planteada. Obtención de números racionales comprendidos entre otros dos, con el objeto de construir la noción de densidad. Formulación y validación de conjeturas que involucren las propiedades de las operaciones y la relación de orden en Q. Identificación de operaciones inversas y su aplicación en la resolución de problemas. Investigación sobre la validez de las propiedades de los números al ampliarse el campo numérico. Modelización de situaciones matemáticas y extramatemáticas utilizando números racionales. Expresión adecuada de los resultados, elaborando aproximaciones en la utilización de redondeos y truncamientos justificados. Uso de la calculadora para cálculos rápidos que permitan anticipar resultados y para evitar que se disperse la atención en cada actividad. Determinación de números muy grandes o muy pequeños en notación científica con el objeto de construir expresiones económicas compatibles con la capacidad de las máquinas de calcular disponibles en el aula. Resolución de situaciones operando con notación científica, como herramienta práctica disponible en una hoja de cálculo Excel.

EXPECTATIVAS DE LOGRO Interpretar, registrar, comunicar y comparar números racionales en diferentes contextos. Comprender el funcionamiento de la potenciación y la radicación por medio de la utilización de las propiedades, del estudio de sus gráficas y del uso de diferentes tipos de calculadoras. Reconocer la diferencia entre valores exactos y valores aproximados de un número racional. Estimar, interpretar y comunicar los resultados de los cálculos. Comprobar su razonabilidad, valorar la precisión en su expresión y justificar los procedimientos empleados para obtenerlos.


2 Álgebra, geometría y números

CONTENIDOS Expresiones algebraicas. Elementos que la componen. Expresiones en lenguaje coloquial. Operaciones. Propiedad distributiva. Factor común. Cuadrado de un binomio. Diferencia de cuadrados. Potenciación y radicación. Teorema de Pitágoras. Ecuaciones lineales.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Uso de propiedades de las operaciones como recurso para proponer fórmulas que expresen las relaciones planteadas por una situación problemática. Lectura, en una fórmula, e identificación de la información relevante para la situación tratada. Transformación de una expresión algebraica en otra equivalente que permita obtener nueva información. Reconocimiento de equivalencias entre diferentes fórmulas. Análisis y expresión de regularidades. Planteo de situaciones en las que los alumnos expresen una misma idea mediante distintas formas de lenguaje, pasando de una a otra. Uso de símbolos literales, como forma simplificada de escribir todo el conjunto de valores con los que se ha analizado una situación problemática. Utilización y aplicación de la propiedad distributiva y del factor común como operaciones inversas. Transformación de una suma algebraica en producto, como ventaja de resolución. Estudio de gráficos y cálculo de áreas para descubrir el desarrollo del cuadrado de un binomio y de la diferencia de cuadrados. Estudio y aplicación del Teorema de Pitágoras y de las ternas pitagóricas. Extensión del uso del álgebra a la resolución de problemas, modelizando situaciones, planteando y resolviendo ecuaciones.

EXPECTATIVAS DE LOGRO Producir, formular y validar conjeturas relacionadas con los números racionales utilizando el recurso algebraico. Representar, mediante tablas, gráficos o fórmulas, regularidades o relaciones observadas entre valores. Interpretar información presentada por medio de fórmulas, figuras de análisis, lenguaje coloquial y expresiones algebraicas, pudiendo pasar de una forma de representación a otra. Comprender el funcionamiento de la potenciación y la radicación mediante el uso de las propiedades, el estudio de sus gráficas y la utilización de la calculadora. Utilizar y aplicar el teorema de Pitágoras en diferentes situaciones. Resolver ecuaciones que comprendan una restricción impuesta sobre cierto dominio, y estén asociadas a un conjunto solución. Aplicar, en las ecuaciones, la noción de ecuaciones equivalentes, las operaciones


CONTENIDOS

3 Con los reales

Números irracionales. Redondeo y truncamiento. Definición. Número de oro. Relación y análisis comparativo de los conjuntos numéricos. Propiedades. Representación en la recta numérica. Intervalos. Inecuaciones.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

Presentación de los números irracionales como descubrimiento histórico de los pitagóricos. Modelización de situaciones reales. Incentivación de la curiosidad y el análisis práctico. Creación de números irracionales a partir de reglas de formación para distinguirlos de los racionales. Ubicación de números irracionales en la recta numérica a partir de construcciones de triángulos aplicando el teorema de Pitágoras. Interpretación y construcción de intervalos en la recta numérica como recurso visual de completitud en reales. Comprensión, determinación y utilización de propiedades y operaciones de inecuaciones, aplicándolas en la resolución de ejercicios y situaciones problemáticas.

EXPECTATIVAS DE LOGRO que dejan invariante el conjunto solución, y el recurso de reemplazar como verificación del resultado. Modelizar la resolución de situaciones problemáticas por medio de ecuaciones. Coordinar la resolución gráfica con la algebraica. Emplear la computadora como herramienta de cálculo de diversas fórmulas, con el objeto de comprobar resultados y apreciar la economía y las ventajas de su uso. Reconocer los distintos conjuntos numéricos y sus usos. Leer, escribir, comparar y ordenar números reales. Establecer equivalencias entre distintas formas de escritura de un mismo número. Interpretar los significados y los usos de las operaciones con números reales, aplicándolos a la resolución de situaciones problemáticas. Implementar el tipo de cálculo adecuado, en forma exacta y aproximada, mentalmente, por escrito con calculadora o sin ella, justificando las estrategias


4 Gráficos y funciones

CONTENIDOS

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

Representaciones gráficas. Relación entre variables. Función. Definición. Análisis, interpretación y reconocimiento de una función mediante diferentes gráficos. Crecimiento. Decrecimiento. Máximos. Mínimos. Dominio e Imagen. Raíces o ceros. Ordenada al origen. Asíntotas. Función numérica. Función definida por fórmula.

Interpretación y producción de gráficos que representan situaciones contextualizadas. Análisis de situaciones funcionales y no funcionales a partir de diversas representaciones gráficas. Establecimiento de las condiciones necesarias para que una relación sea considerada función, destacando la relación de variables (DominioImagen). Determinación de intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de una función, a partir de la lectura de un gráfico cartesiano. Análisis de funciones estudiando su dominio (discreto o continuo) y su imagen. Extracción e interpretación de información a partir de la gráfica cartesiana de una función. Determinación de raíces y de ordenada al origen a partir representaciones gráficas. Uso de gráficos como recurso visual para presentar aspectos no accesibles tan directamente mediante otra forma de representación. Construcción de tablas y representaciones gráficas

EXPECTATIVAS DE LOGRO empleadas. Estimar e interpretar los resultados de los cálculos. Comprobar su razonabilidad, valorar la precisión en su expresión, así como justificar los procedimientos empleados para obtenerlos. Utilizar la calculadora para calcular y comprobar los resultados. Utilizar el lenguaje gráfico para expresar relaciones funcionales. Reconocer, usar y analizar variaciones funcionales o no funcionales, en sus diferentes representaciones y en situaciones diversas. Interpretar gráficos de uso diario. Establecer relaciones entre las funciones como modelos matemáticos y las situaciones que modelizan. Mostrar los alcances y las restricciones del modelo en relación con la situación. Interpretar la información suministrada por cada gráfico, identificando aspectos relevantes y precisos de cada función en particular. Proponer situaciones en las que


CONTENIDOS

5 Funciones lineales y sistemas

Función lineal: definición, fórmula y ecuación de la recta. Parámetros: pendiente y ordenada al origen. Rectas paralelas y perpendiculares. Representaciones gráficas. Intersección de rectas. Sistemas de ecuaciones. Métodos de resolución de sistemas. Clasificación de sistemas.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS de relaciones funcionales.

Análisis de gráficos lineales, funcionales y no funcionales como herramienta de visualización y correspondencia. Construcción de tablas a partir de gráficos. Detección de regularidades como elemento generalizador de lo observado en cada caso, permitiendo expresar las situaciones graficadas por medio de fórmulas. Establecimiento de la ecuación general o explícita de la recta. Análisis e interpretación de los parámetros que intervienen en la ecuación general de la recta. Resolución de situaciones problemáticas modelizables con ecuaciones lineales. Presentación de situaciones donde las funciones se muestren de diferente manera: tablas, fórmulas y gráficos, alentando el pasaje de una forma de expresión a otra. Producción de situaciones en las que se puedan establecer relaciones entre las características de la gráfica de una función y su fórmula. Establecimiento de paralelismo y perpendicularidad mediante gráficos y fórmulas. Determinación de la intersección de rectas a partir del análisis gráfico y analítico. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas como solución de intersecciones lineales. Resolución de situaciones problemáticas modelizables, que involucren el establecimiento y el planteo de ecuaciones lineales, permitiendo su resolución por cualquier método.

EXPECTATIVAS DE LOGRO se relacionen las características de la gráfica de una función con su fórmula. Plantear, interpretar y utilizar gráficos lineales. Estimar, anticipar y generalizar soluciones de problemas relacionados con nociones de la función lineal. Reconocer y operar con gráficos lineales y sus ecuaciones correspondientes. Producir soluciones numéricas y representaciones gráficas de las soluciones. Promover e interpretar fórmulas que modelicen situaciones contextualizadas. Realizar un tratamiento de los sistemas de ecuaciones que implique: comprender la noción de sistemas equivalentes. Resolver problemas que se modelicen por medio de sistemas de ecuaciones, coordinando las informaciones que resulten del tratamiento algebraico, de la representación cartesiana y del contexto en el que se plantea el problema que el sistema modeliza. Identificar y resolver los


CONTENIDOS

6 Circunferencias. Puntos notables

Circunferencias y rectas. Triángulos. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia. Ángulos inscriptos. Rectas tangentes, secantes y exteriores a la circunferencia. Recta tangente. Características. De una recta tangente a una circunferencia a partir de un punto dado. Posiciones relativas de dos circunferencias. Mediatrices de un triángulo. Puntos notables. Circuncentro. Bisectrices de un triángulo. Incentro. Alturas y medianas. Ortocentro y baricentro. Ángulos inscriptos y semiinscriptos en una

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Planteo y determinación de situaciones en las que se evidencien sistemas con una, infinitas o ninguna solución. Relación de estas situaciones con su representación lineal.

Introducción del concepto de recta tangente a la circunferencia en un punto. Construcción de figuras teniendo en cuenta sus propiedades. Aplicación de la relación pitagórica al trabajar con alturas y medianas, así como al identificar distancias mínimas. Exploración de las propiedades de la bisectriz. Construcción de la bisectriz con regla y compás, según los criterios de igualdad de triángulos. Incorporación del concepto de mediatriz como elemento necesario para el estudio de las relaciones entre triángulos y circunferencias. Estudio de los ángulos inscriptos en una semicircunferencia. Exploración y formulación de conjeturas, basadas en la relación entre un ángulo inscripto en un arco de circunferencia y el ángulo central correspondiente. Exploración conjunta de las propiedades de las alturas, las medianas y las mediatrices de triángulos.

EXPECTATIVAS DE LOGRO diferentes sistemas en relación con la cantidad de soluciones que posea: una, ninguna o infinitas. Empleo de la computadora como elemento visualizador y de cálculo. Utilización de Excel como herramienta para plantear, resolver y graficar sistemas lineales. Reconocer los ángulos centrales, inscriptos y semiinscriptos en una circunferencia. Implementar y fundamentar las propiedades de cálculo y construcción. Explorar y validar las propiedades de las alturas, las medianas y las mediatrices de un triángulo. Resolver construcciones gráficas aplicando y utilizando, en forma correcta, propiedades y elementos de geometría. Resolver problemas que supongan encadenamientos deductivos y pongan en juego las propiedades de los triángulos, la circunferencia, la recta tangente y los ángulos


CONTENIDOS semicircunferencia. Ángulos inscriptos en un arco de circunferencia y su relación con el ángulo central correspondiente.

7 Funciones y ecuaciones cuadráticas

Función cuadrática. Concepto. Raíces y ordenada al origen. Eje de simetría. Vértice. Concavidad. Máximo y mínimo. Representaciones gráficas. Expresiones canónica, polinómica o general, y factorizada. Ecuación cuadrática.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

Análisis de gráficos. Determinación de regularidades. Visualización de forma y simetría mediante el gráfico de la función cuadrática. Exploración y estudio de las propiedades de modo gráfico y analítico. Análisis e interpretación de los parámetros que conforman la función cuadrática. Exploración de dominio, imagen, concavidad, vértice, eje de simetría, raíces y ordenada al origen, mediante el empleo de diferentes gráficos. Producción de razonamientos analíticos mediante el planteo de condiciones determinantes. Determinación de la forma canónica de la función a partir del análisis de corrimientos. Elaboración de gráficos mediante el análisis de la función a partir de la fórmula que la determina. Identificación y relación de parámetros con las diferentes formas de expresión: polinómica, canónica y factorizada. Elaboración de modelos a partir de situaciones problemáticas.

EXPECTATIVAS DE LOGRO inscriptos. Identificar, relacionar y manipular posiciones relativas de circunferencias en el plano. Identificar, relacionar y distinguir puntos notables de un triángulo. Manejar, interpretar y relacionar figuras inscriptas y circunscriptas a una circunferencia. Reconocer, manipular y construir gráficos de funciones cuadráticas. Distinguir, identificar e interpretar los parámetros de las diversas expresiones de una función cuadrática: polinómica, canónica y factorizada. Producir razonamientos analíticos que permitan la implementación y el desarrollo de situaciones variadas donde se involucren tanto funciones como ecuaciones cuadráticas. Establecer el gráfico de una función cuadrática a partir de condiciones dadas. Usar Excel como herramienta tecnológica para elaborar y analizar estas funciones.


8 Thales. Semejanza. Trigonometría

CONTENIDOS Teorema de Thales. Aplicaciones. Semejanza de triángulos. Criterios de semejanza. Homotecia. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Ecuaciones trigonométricas. Relación pitagórica. Identidades trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Presentación y demostración del teorema de Thales. Resolución de problemas a partir de las relaciones implicadas en ese teorema. Establecimiento de proporciones entre segmentos homólogos como modelo de resolución. Representación gráfica de diversos triángulos (semejantes o no), como análisis y determinación de la noción de triángulos semejantes. Relación de semejanza entre un triángulo dado y el que se obtiene al trazar una paralela a uno de los lados. Cálculo de las longitudes de los lados a partir de establecer las razones de semejanza entre los lados de dos triángulos. Introducción de criterios de semejanza de triángulos a partir de condiciones mínimas. Definición de relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos semejantes. Introducción del concepto de homotecia por medio de la construcción de figuras semejantes. Definición de homotecia, centro y razón de homotecia mediante el análisis de construcciones que permitan visualizar las relaciones implicadas. Determinación de razones trigonométricas a partir del trazado de paralelas a uno de los lados en un triángulo rectángulo, aplicando razones de semejanza. Presentación y empleo del teorema de Pitágoras y definición de relación pitagórica. Resolución de situaciones problemáticas que involucren la aplicación del teorema de Pitágoras.

EXPECTATIVAS DE LOGRO Analizar afirmaciones y producir argumentos que permitan validar las propiedades. Resolver problemas que requieran la utilización de la noción de recta tangente a una circunferencia. Realizar construcciones con regla y compás, según los criterios de semejanza entre triángulos. Incorporar las propiedades relativas a mediatrices, medianas, bisectrices y alturas. Producir conocimientos sobre las figuras utilizando las relaciones surgidas del teorema de Thales y de los criterios de semejanza de triángulos. Realizar construcciones con regla y compás, que requieran la aplicación del teorema de Thales y los criterios de semejanza de polígonos. Reconocer y aplicar el teorema de Pitágoras a diversas situaciones. Usar la calculadora para averiguar el valor de los ángulos.


9 Estadística, combinatoria y probabilidad

CONTENIDOS Gráficos estadísticos. Frecuencia relativa y absoluta. Variables continuas y discretas. Medidas de tendencia central: media, moda y mediana. Parámetros de dispersión: varianza y desvío. Combinatoria. Diagrama de árbol. Combinaciones. Permutaciones. Variaciones. Probabilidades. Suceso aleatorio.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Introducción del tema, a partir de situaciones que propongan el análisis, la exploración, la formulación y la validación de resultados. Determinación de diferentes gráficos estadísticos a partir de situaciones reales. Análisis de situaciones de diversos órdenes trabajando con variables cuantitativas continuas y discretas. Desarrollo de capacidades y habilidades mediante el análisis de problemáticas relacionadas con su entorno, para aplicar la probabilidad y la estadística en los campos de la investigación, el desarrollo tecnológico y el medio ambiente. Interpretación del significado de parámetros de tendencia central (media, moda y mediana) y análisis de sus límites para describir la situación en estudio y para la elaboración de inferencias y argumentos para la toma de decisiones. Establecimiento de la representatividad de datos a partir del análisis de parámetros de dispersión. Utilización del diagrama de árbol como recurso para contar de manera exhaustiva. Reconocimiento de la estructura multiplicativa en problemas de combinatoria. Resolución y análisis de problemas que involucran variaciones simples, variaciones con repetición y permutaciones simples. Utilización y desarrollo de situaciones problemáticas que involucren combinaciones simples. Análisis de las fórmulas que surgen al generalizar problemas de combinatoria. Interpretación, resolución y aplicación de datos probabilísticos.

EXPECTATIVAS DE LOGRO Recolectar, organizar, procesar, analizar, interpretar y comunicar la información estadística necesaria para comprender situaciones tanto de la vida real como de otras disciplinas, mediante diferentes representaciones. Calcular las medidas de la posición central en diferentes situaciones. Analizar su representatividad para el conjunto de datos. Resolver los problemas que se puedan presentar en relación con situaciones de desarrollo estadístico o probable. Seleccionar y aplicar las estrategias adecuadas para la resolución de situaciones problemáticas que impliquen acciones de conteo. Interpretar datos probabilísticos y valorar sus resultados en la toma de decisiones. Reflexionar sobre las relaciones, estrategias y resoluciones efectuadas, emitiendo juicios de valor sobre ellas. Utilizar recursos tecnológicos e informáticos para el desarrollo de las clases.


Nuevamente Matemática 3