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Abbiamo visto dalle equazioni di Maxwell che le correnti( o le densita' di carica corrispondenti ) sono le sorgenti del campo elettromagnetico. Come calcolare il campo elettromagnetico assegnate le sorgenti? La risposta e' molto semplice: risolvete il sistema di equazioni di Maxwell ma il procedimento non e' per niente banale se non in casi particolari ( onde piane ) Esiste una tecnica numerica ( FDTD ) che approssima le derivate parziali con le differenze finite e quindi integra numericamente.Diversi programmi basati sulla FDTD sono disponibili ( commercialmente e no )

Ma possiamo anche risolvere il problema per via analitica in modo abbastanza semplice con l'impiego del Potenziale scalare V e del potenziale vettore A


Una risposta analitica si ottiene con i potenziali

Sistema delle eq. di Maxwell

Sistema di 6 eq.diff in 6 incognite

E H

Ex, Ey, Ez Hx, Hy, Hz

Equazioni dei potenziali

4 equazioni djfferenziali Ax, Ay, Az, V

∇× ,∇

∂ ∇⋅ , Potenziali ∂t V

A 2


Iniziamo dal caso statico ∂ /∂t = 0

∇xE = 0 e quindi con

E= - ∇V V potenziale scalare

Nel caso di una singola carica Q

V = Q/4πεr nel caso di una distribuzione di cariche ρv ( in Coulomb/m3 ) V e' la soluzione dell'eq. di Poisson

∇2V = - ρv/ε0

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R = Ri + R'

il cubetto Δν' crea in R un potenziale

dV = ρvdν'/ 4πε |R'|

Tutto il volume crea un potenziale : V(R) =

∫∫∫

v'

(ρv/ 4πε |R'|) dν'

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Il potenziale vettore A ∇∙B =0

Dalla relazione

B = ∇ xA

possiamo porre

(Ricordando che la divergenza di un rotore è sempre nulla) ∇xB =∇x∇xA = ∇∇∙A- ∇2A = μoJ In base al teorema di Helmotz posso imporre che la divergenza di A sia nulla e ottengo

∇2A = - μoJ ∇2 Ax = - μ0Jx ∇2 Ay = - μ0Jy ∇2 Az = - μ0Jz e notiamo che sono identiche all'equazione di Poisson

∇ V = - ρv/ε0 2

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la soluzione della equazione di Poisson per il potenziale elettrico nel caso statico

V(R) =

∫∫∫

vol

(ρv /4πεo |R' | )dν'

E quindi

A(R) =

∫∫∫

vol

(μoJ / 4π |R' | )dν'

ove |R' | e' la distanza dal generico punto del volume ν' dove sono le sorgenti al punto ove calcolo il potenziale scalare V o il potenziale vettore A ed R indica il punto ove calcolo i potenziali


CASO GENERALE (∂/∂t ≠ 0 ) Dalla quarta di Maxwell

∇∙ B = 0

ottengo

B = ∇xA

dalla prima di Maxwell ottengo e quindi

∇x E = - ∂B/∂t ∇x ( E + ∂A / ∂t ) = 0 E = -∇V -∂A/∂t


Dalla terza di Maxwell

∇∙ E =ρv /εo Se sostituisco l'espressione di E ottengo

∇∙ E =

∇∙ (-∇V -∂A/∂t )

∇2V + ∂(∇∙A)/∂t = -ρv /εo


Analogamente dalla seconda di Maxwell ∇x H = J + ∂D / ∂t si ottiene

∇(∇∙A) - ∇2A + εμ ∇(∂V/∂t) +εμ ∂2A/∂t2= μ J

se pongo ∇∙A = -εμ ∂V/∂t ( scelta di Lorentz) l'equazione in A si semplifica drasticamente ∇2A -εμ ∂2A/∂t2=- μ J

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Voglio risolvere ∇2A -εμ ∂2A/∂t2=- μ J di cui nel caso statico ( ∂/∂t =0) ∇2A = - μ J conosco la soluzione

A(R) =

∫∫∫ vol (μ J / 4π |R' | ) dυ' o

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DAL CASO STATICO AL CASO DINAMICO BISOGNA DARE TEMPO ALLA PERTURBAZIONE ELETTROMAGNETICA DI SPOSTARSI DALLA SORGENTE AL PUNTO DI OSSERVAZIONE CON LA SUA VELOCITA' ( c = 3 108 m/sec ). Definisco tempo di transito τ il tempo che un'onda e.m. impiega a percorrere la distanza R'

τ = R'/c Il potenziale “ ritardato “ calcolato all'istante t e' legato alla carica all'istante t – τ

A (R,t)= (μ/4π)

∫∫∫

vol

( 1/R') J( t – R'/c ) dυ'

se la corrente oscilla come cos ( ωt ) il potenziale a distanza r varia nel tempo come cos [ω(t – τ )] 11


Analogamente per il potenziale scalare

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Le grandezze del campo elettromagnetico si ottengono dalle espressioni di A e di V differenziando in funzione della variabile (tτ), ritardata nel tempo. ove τ = R/c In base alle considerazioni fatte si deduce che Ê richiesto un certo tempo τ per la trasmissione delle onde elettromagnetiche, perchÊ si sentano gli effetti delle cariche e delle correnti variabili nel tempo in punti distanti R da queste. c : velocita' della luce

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se la corrente e' espressa da e j ω t il potenziale “ritardato “ A varia come e j ω( t -τ) = e j (ω t -βr) con β =ω /c

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L'equazione ∇2A - εμ ∂2A/∂t2= μ J diventa ( ∂/∂t=jω) ∇2A + β2 A=- μ J con

β2 = ω2εμ

la scelta di Lorentz diventa ∇∙A = - j ωεμV si noti l'analogia con la continuita' della corrente ∇⠐J =- j ωρv

per mezzo della scelta di Lorentz ∇V= ( j ωεμ)-1 ∇∇∙A

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Da ottengo

E = -∇V -j ωA E = -j ω ( ∇∇∙A)/ β2 - j ω A B = ∇xA

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In definitiva: correnti variabili nel tempo creano un campo elettromagnetico il potenziale vettore A ritardato si calcola dalla densita' di corrente J mediante un integrale di volume. Dal potenziale vettore A si calcolano il campo elettrico E e quello magnetico H con semplici operazioni di derivazione

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Dipolo di Hertz ( o dipolo elettrico ) Elemento di lunghezza infinitesimo dl percorso da corrente costante

Er

HĎ• I

EΘ

Il dipolo e' nell'origine e diretto lungo z.

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Calcolo A e quindi E ed H Er =(η I dl /4π) cosΘ ( 2/r2+ 2/jβr3) e-iβr EΘ =(η I dl /4π ) sin Θ (jβ/r + 1/r2 + 1/jβr3) e-iβr EΦ = 0 Hr = H θ =0 HΦ = jβ I dl sinθ (1 +1/ jβr)/(4πr) e-iβr nel vuoto ( spazio libero) η = (μ/ε)½ = 377 Ω β = 2π/λ = 2πf/c

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HΦ = jβ I dl sinθ(1 +1/ jβr)/(4πr) e-iβr 1/βr = 1 per ro = 1/β a distanze maggiori di ro 1/βr diventa ' trascurabile rispetto a 1 ricordiamo che β = 2π/λ e quindi 1/β =λ/2π (all'incirca λ/6 )

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Nella zona di campo lontano r → ∞ ( in pratica per r >λ/6 ) EΘ =jη I βdl sinΘ e-iβr/4πr HΦ = jβ I dl sinθ e-iβr/(4πr) ossia HΦ = EΘ/η -il campo elettrico varia come sinθ :e' massimo nella direzione ortogonale al dipolo e nulla sull'asse del dipolo; -e' proporzionale alla corrente I -e' proporzionale a βdl ossia al rapporto dl/λ Il campo magnetico e' perpendicolare al campo elettrico e alla direzione di radiazione r

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Per r → ∞ 1) le ampiezzecdi E e di H diminuiscono con la distanza come 1/r 2) Il rapporto tra le ampiezze vale η = 120π Ω 3) E ed H sono in fase nel tempo 4) E ed H sono perpendicolari nello spazio e perpendicolari alla direzione di propagazione

Il campo e' localmente assimilabile ad un'onda piana 28


Potenza irradiata

→ P

z → dS

y x

• Campo elettrico e campo magnetico variano come 1/r • La densita' di potenza (Poynting ) varia come 1/r2 • La direzione di P e' radiale

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se considero una sorgente puntiforme che genera un'onda sferica la potenza che attraversa due sfere concentriche deve essere costante e pari alla potenza trasmessa. Quindi la densita' di potenza per unita' di superficie deve diminuire col quadrato della distanza ed il campo elettrico con l'inverso della distanza

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La zona di campo lontano dipende fortemente dalla lunghezza d'onda e quindi dalla frequenza Esempio A 50 Hz ( frequenze industriali ) 位 e' dell'ordine di migliaia di chilometri a 1 MHz ( stazioni MA) 位/6= 300/6 = 50 metri a 100 MHz ( stazioni MF) 位/6= 3/6 = 0,5 metri a 1 Ghz ( Stazioni Radio per TF) 位/6= 5 centimetri

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Una qualsiasi sorgente( corrente ) dl

e' la somma di tanti dipoli di Hertz

dl

~

Il campo totale e' la somma del campo radiato dal generico dipolo

I Ď 32


DIPOLO PER RISCALDAMENTO DI VENE ED ARTERIE


Radiazione da una spira Nell'ipotesi 2πa << λ ; a << r ; Iφ = I0 = cost Per r → ∞

EΦ =η (βa)2 I sin Θ e-iβr/4r Hθ = - (βa)2 I sin Θ e-iβr/4r Anche in questo caso il campo e' localmente assimilabile ad un'onda piana | E |/|H| =η

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radiazione