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Le equazioni di Maxwell danno una descrizione completa delle relazioni tra i campi elettromagnetici, le cariche e le distribuzioni di correnti e costituiscono il modello matematico della teoria elettromagnetica. Speciali tecniche analitiche e numeriche forniscono procedimentirisolutivi, senza incrementare o modificare la struttura fondamentale delle equazioni di Maxwell sulle quali sono basate, ciò fa comprendere la loro importanza e potenzialità.


Onde piane Le onde piane sono particolari soluzioni delle equazioni di Maxwell nei mezzi omogenei Sono particolarmente utili perchÊ è possibile dimostrare che in un mezzo omogeneo qualunque campo è esprimibile come una combinazione lineare di onde piane Inoltre dimostreremo che sono una buona approssimazione del campo elettromagnetico a una sufficiente distanza dalla sorgente.


Nell' ipotesi di assenza di sorgenti : J = 0 ( ossia σ nullo ) e ρ= 0

∇xE= - ∂B/∂t ∇xH= - ∂D/∂ Prendiamo il rotore della prima

∇x∇xE = ∇∇∙ E - ∇2E = - ∇2E = ∇x( ∂B/∂t)

(Notare che Ma

∇∙ E=0 in assenza di cariche elettriche

∇xB =∇x(μH) =μ∇x(H) = μJ + εμ ∂E/∂t = εμ ∂E/∂t

e quindi ∂/∂t(∇xB) = ∂2/∂t2(εμE)


ottengo l'equazione d’onda per il campo elettrico E ∇2E = εμ ∂2E/∂t2

IN MANIERA PERFETTAMENTE ANALOGA ∇2H = εμ ∂2H/∂t2


Ogni equazione vettoriale da risolvere corrisponde a 3 equazioni scalari (una per ogni componente del campo)

∇2Hx = εμ ∂2Hx/∂t2 ∇2Hy = εμ ∂2Hy/∂t2 ∇2Hz = εμ ∂2Hz/∂t2 Ricordiamo che ∇2 = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 +∂2/∂z2


Onde piane uniformi Ipotesi 1: ∂ ∂ = =0 ∂x ∂y

(non ci sono variazioni del campo nelle direzioni x ed y)

Ipotesi 2: Il campo elettrico ha solo componente lungo x L' equazione d’onda si semplifica: ∂2 E x ∂2 E x =εµ 2 ∂z ∂t 2

Ex = A f1( t-z/v) + B f2(t+z/v) +


Verifichiamo che Ex =Af1(t-z/v) soddisfa l'eq. differenziale

∂2 E x ∂2 E x = εµ 2 2 ∂z ∂t

∂f1 /∂t = A f1'( t-z/v) ∂2f1 /∂t2 = A f1''( t-z/v) ∂f1 /∂z = A ( -1/v)f1'( t-z/v) ∂2f1 /∂z2 = A ( -1/v)2 f1''( t-z/v) = εμ ∂2f1 /∂t2 Con

1 v = µ ε


Analogamente possiamo verificare che anche EX =B f2(t+z/v) soddisfa l'eq. differenziale delle onde Nel vuoto

V =c = 3 108 m/sec


Vf e' detta velocita' di fase


In un mezzo con costante dielettrica relativa εr

Vf = 1/ (εr ε0μo)1/2 = c/( εr)1/2 Se definisco indice di rifrazione n

n =εr ½ ottengo Vf = c/n


VELOCITA' DI FASE DELLE ONDE NEL VUOTO a) Ex= A f1( t – z/c) all'aumentare del tempo l'onda rimane inalterata se mi sposto lungo z con velocita' positiva

∆z = ∆t c

∆z ⇒ =c ∆t

Quindi e' un'onda piana che si propaga lungo z b) Ex= B f2( t +z/c) Questa onda ha velocita' -c ; viaggia nel senso negativo dell'asse z


da

∇xH = ∂D/∂t Se prendiamo la sola componente lungo x ∂Hy/∂z = - ε ∂Ex/∂t ∂Hy/∂z = -ε [ A f1'(t–z/v)+ B f2'(t+z/v)] Hy = - εv [- A f1(t–z/v)+ B f2(t+z/v)] = = 1/η [ A f1(t–z/v)- B f2(t+z/v)] avendo posto η=1/εv Notare che η ha dimensioni [ V/m]/ [A/m] = [V/A] = OHM


IMPEDENZA D'ONDA η=1/εv ma

η=

v =

1 µ ε

µ Ω ε

Nel vuoto v = c = 3 108 m/sec η0= 377 Ω


Il campo elettromagnetico ha quindi componenti:

Ex = A f1( t-z/v) + B f2(t+z/v)

Hy = 1/η [ A f1(t–z/v)- B f2(t+z/v)]

con η=

µ Ω =377 Ω ε

In un dielettrico non ferromagnetico pongo εr ε0 al posto di ε0 La velocita' e' minore che nel vuoto v = c/n n =(εr)1/2 e' l'indice di rifrazione Anche l'impedenza d'onda si riduce η=η0/n =377 Ω /(εr)1/2


P = ExH rappresenta la densita' di potenza associata all'onda elettromagnetica ed e' diretto lungo la direzione di propagazione Dimensionalmente P è una potenza per unità di area (E in V/m, H in A/m, P è in Watt/m2) Moltiplicando P per la sezione di un corpo biologico ottengo la potenza che incide normalmente sul corpo stesso


Pz

I vettori E H e P di un’onda piana formano una terna destrorsa con P parallelo alla direzione di propagazione Per l'onda progressiva Ex / Hy = η e P e' quindi diretto nella direzione positiva dell'asse z P = η H2 = P = E2/η Per l'onda regressiva Ex / Hy =- η e P e' quindi diretto nella direzione negativa dell'asse z


(a) onda progressiva (b) onda regressiva


Onde piane nel dominio della frequenza Nel caso sinusoidale f1(t) = f2(t) = cos ( ωt ) cos ( ωt ) = Re [e j ω t] cos [ ω(t- z/c)] = cos [ ωt- βz] = = Re [e j ( ω t - β z )] con β = ω/c Ricordo che ∂/∂t =jω e

Partendo da

∂2/∂t2= - ω2

∂2 E x ∂2 E x =εµ 2 ∂z ∂t 2

Ottengo l' equazione d’onda

∂2Ex/∂z2= εμω2Ex = β2 Ex


Ex = E

+ x

+ − jβ z Exe +

= Re [ E x e

+

j ( ωt-βz)

− + jβ z Exe +

] = E x cos ( ωt-βz)

e' un'onda piana sinusoidale nel tempo e nello spazio che viaggia verso le z positive

− jβz

Ex e

onda piana che viaggia verso le z negative


Re[ e j(ωt-βz)] = cos(ωt-βz) Fotografata in un istante t l'onda e'periodica nello spazio con periodo λ βλ = 2π β = 2π/λ λ = lunghezza d'onda


da

∇×E = −jωµH ottengo

[

1 + − jβ z − + jβ z Hy = Exe − Exe η η =

µ Ω ε

]


FOTOGRAFIA DELL'ONDA SINUSOIDALE Ex+ ALL'ISTANTE t=0


Proprietà onde piane uniformi 1) campo elettrico e magnetico sono perpendicolari alla direzione di propagazione 2) campo elettrico e magnetico sono perpendicolari tra di loro e il loro prodotto vettoriale fornisce la direzione di propagazione dell'onda 3) non ci sono variazioni dell'ampiezza dei campi sul piano perpendicolare alla direzione di propagazione (fronte d'onda piano). In regime sinusoidale il fronte d'onda è un piano equifase. 4) il rapporto tra l’ampiezza del campo elettrico e di quello magnetico è dato dall’impedenza d’onda 5) Il vettore di Poynting e' diretto lungo la direzione di propagazione e fornisce la densita' di potenza per unita' di superficie associata all'onda elettromagnetica


6) A grande distanza dalla sorgente l'onda piana e' una accettabile approssimazione locale di un'onda sferica


Polarizzazione

Supponiamo che il campo elettrico abbia due componenti sfasate nel tempo di un angolo Ψ Nel piano z = 0

Ey0

 E = xˆ Ex 0 cos(ω t ) + yˆ E y 0 cos(ω t + ψ ) Ex = Ex 0 cos(ω t ) E y = E y 0 cos(ω t + ψ )

Ex0

Equazione di una ellisse 30


Casi particolari Ψ=0

E x = E x 0 cos(ω t )

Polarizzazione lineare

E y = E y 0 cos(ω t ) ωt = 0

Ey0

ωt = π/2

α Ex0

α=arctg (

Ey0 Ex0

)

ωt = π

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α =0 α =π/2

se Ey= 0 ( polarizzazione orizzontale ) se Ex= 0 ( polarizzazione verticale )

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Altri due casi particolari Ψ = π/2 , Ex0=Ey0=E0

E x = E0 cos(ω t )

Polarizzazione circolare destrorsa

E y = − E0 sin(ω t )

E0

ωt = 0

ωt = π

ωt = π/2

SE Ψ = - π/2

Pol. circolare sinistrorsa

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Partendo dalle leggi dell’elettromagnetismo J.C. Maxwell fu in grado di prevedere l’esistenza delle onde elettromagnetiche, calcolandone la velocità nel vuoto mediante le costanti dell’elettromagnetismo. Le onde elettromagnetiche furono realizzate e la velocita' fu misurata sperimentalmente da Hertz. Tale velocita' e' pari a c = 3 108 m/sec ed e' indipendente dal sistema di riferimento : contraddice la relativita' del grande Galileo

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La velocita' della luce ha valore assoluto c mentre il tempo e la lunghezza non sono grandezze assolute ma variano con la velocita' relativa dell'oggetto secondo le relazioni:

La meccanica classica e' valida solo se vrelativa << c

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onde piane