r' 1 ( Redactado por el pr ofe sor de In strucción Primaria -·OCTAVA EOJCION aumentada y corregida. ] Jec lara<lo de te:c ln pun1 l<tR csqu11las p1·imarias tl c la l-'·to1:i11 oitt 71or el E.romo. So,., Oobc..'f"nfldor Ge-ner11l e-1i dem·elo de 2 de .Diciembn: de 1885 . y pat·a fd s de lt1 PeMnlinla y U/Crnmar por R eal Or ile» )e 1s ·cle Mayo dc l SOG , . \ ,,1!• Y.AUCO tipográfico ." Borinquen "
3'/ ,..< ( ----· ) , I • . '.'J.. 1 Es propiedad de) Autor. ¡_t¡.5.771 .. ·. / A mi di stinguido a·migo Don Juli'O Delgado. y Rossi. Querido Jtilio: 'A qui411 me:jo1· que á t i' que tno co11oces y que sabea npreciar mi1 deseoa y deaillterc1ado1 csJ u.er:os, au 11quc pabru, en pro de la t11stni a11tci prima ria, á11ioa y 16lida ba se de la felictdad de '°' pueblo1, pudiera de clicar Mfa humilde frabojo. 1 Reciúclo , J.>ucs, co n al cariño con 'L'"' mo dislúiguca y con el cua l m e · encuen tr o orgulloso u sati1feclto; 71 si .na<lci do m1et:p eri 6l ltJ'Oft·e::co, 'hallards al me11oa m1a p1'ueba 11uf1ilel1Jerdac1eru aprecio que siempre te lur. profesado 11• hn1m·ia blc affmo . amigo EM1LIAN0 J. Dí.u• 1•
1 Do s. palab r as del Auto r. J;a. 11u o.vn cdiuión correg-idn. y r efor mada e n fül'um dialogn. lla, que lwy, si n JH'Q1tmsio 11 cs d o uin g(tn géuero, otra ve,, ofrezco f1r este ilustra.do plll>lico, y en pru-ticliln1 · {1r mi s cl ig11os ,V co mpnficroR e n In. 1101Jlc y difícil c arrera tl el do mi trntuclo te6rico-11nfctico de AritmHica, c ll"111e11t a l, pnlilir :u.lo c u 1867; y 11rnw a1.11011to a1 11·obado co1110 11110 tlo loH textoK imra escuelas de la. l'roviuci fl , 3$Í cor no t11111Uió11 por J!C'al Orden par;i ln s de la J> c11fn snht y Ultra.rnnr, 11 nda de ofrt•i·c 1•11 tau importante c uanto materia. que 110 hayan e:-;crito i11trli gc11cias muy Kup er iores (1r mis d éb il r!i nlca1tccs . só lo l:'Í ht· procurado {¡, 1l cfl 11i cio11('s <-·lurns .Y co11c i 1·ms pura la tiurua i11te li genC'in, yeuclo <le lo 1i'ic il (t lo 1lif'icil 1 r ehuye ndo Ja pc1:i11<licial 1·utiu n. 6 im:;pir:'i.11<.lomc 011 1111 to110 quo lo¡.,: J>illlng-ogos, y Jo que llll'- ha In. 1le largos níios e11 Ja. c useíiauza pr irnarin. . Di c ho so yo, si este l.n1111ildo tral>:1jo es ncogido con Ue11cn-o l c11o i n1 cn 1110 lo fnú Ju, ver, p1 ·i111e 1·a, y
si l' Sto !ogro, \·eré co11 satiK · COI'Olla<l OS tni :i m:ís ill'tliPntc!:I ; 1 ( DECJ...ARACION DE TEXTO . ALCALDIA MU NICI PAL u 1 : Y.AUCO. _:.,-. 098. YJI Sor . Sc:c»cttH'io <le/ Gobie rll o ,qeiwral, aomu . niq<tciúu de fcclta ]2 dol corriente mes, ma <lice lo 8i!ltticnte : "hu Junta Provi1ulial ele• Instrucción JJ1 ibli<:11, "r1 quien so nnniti6 Para JW 11{/'urmc el tráta<7o tcóri ' ' C0·1Jrdc t ico de Aritmética cletue11tol, csm·ito JJOr ol "I'rofcao 1· Don l !h11Uia 1w J. 1Ji1L::, lo ltct CH1itiilo w¡. '' los siguientes Sor .-Eu 8esiú11.. · ' celebrada 1Jo1· cs t n Oorporac.:i6u. el 1:) co 1 rricnt c 11u:s, cnfrc otros 1Jarticulanu1, se el · 'que 1dguc :-.'{r t•i6 wi. i11/ormc, emitido 11or el tJoc.:n l '" tic CtJto Becerra, acm·cn del trataclo l fcti . '' 1·foo.pr(icffr:o de Aritmética olcmcntal1 o.writo jJOr l'I ·'Profesor J)nn l:Jmilfrmo J. })fa:, (' 1/ c:uyo iujonJu• "manijicsta que el libro que presenta el t·rfe1·irlo ·\ maestro es el mismo que fuQ aprobado como te.i·to "vor el Gobicn10 Su1JÚim· Oil:il el <11l o JSCW, lw11 con·egido, y 1mcsto en fo r ma d e !lMfo(1fh ¡'
• VI. H y que Ctl Rlt tJrinor"pio aprob61 ahora que " 1·euno 111ayoreR r:cntajaa, 'lb.les como precisión en las " cleji11icio11es: b11c11. orden. el (1esarrollo ilc lns t.:er" dadcs d• IR Aritmdtica, y,c11do. <le lo fácil ií lo difícil, •'y <le las ideas mtíR 1·uditne1ital"ia11 á loa ctilculoa mtí,'t " COOJlJJ l ioarlos, opina Bt> acccd<( ,; ln solicitado por d·i· "cito Profesm·, !J en ese sen t ido se informe al " Sefim· Go/J<,...¡ ·1w<for Gtmcral. La J1mta acordó de ) "· confm:mi<1lld con clP011tmto.-Y conformo " Sor. Gobornar1m· Geue1v1l con cA preinserto dicta" men, de su on1cii B1'J>et' ior lo transcribo a U. pani "conooimiontu dt:l interesado, como resoluci6n tl s11 "1°11staucin.'' Lo g11e fro&lado t¡ U. en ctttnplim icut.o de lo dispuesto t•n 1<1 comtmicncidn i nserta. J>io11 !JUf1rtlc ,¡ U. 'lllB. Hs.- rallco, Diciembre l ¡ <le 1.-s;;.-Accide11t"l-J. A. Negrmii. Sv->'. }Jon .Emiliano J. JJiaz. Prn}t'11.or de f11strucció11 plÍb/icu. ---------.. .., DEC)...AR.ACION DE TEXTO DE LA CIUDAD DE .,/ Rtyistrado al mím. 1.030. El lltn110. 807' . Secretario del Gobierno Gmier"l con feclta dt'ez y ocho del corriente se 6irve tnUr-sc1·ibirme io s"(qrtiente: "Por ol Aliniste.rio. f1c Ultramar, bajo 'fll 1uí11uJ1·0 "215 y 0011/eclta 18 dol 111cs p]Jdo., se di7'iQo al .FJ:vmo. " Stnior Gobernador General la Rea.l Otdcw siguiente: ".l!J::ccmo. Seño1·: Pasa<lo á informe det OonseJo debut H h'ucci611, P1lblica el exped1t1ite ]Jt·omovido por Don " Em.ilíano J. Dla z , solicitan<lo sea dcolat iada de lo.i·to "Pª"ª las esouelaa d• la Penínsulci y de Ultra111a..· lo " obra de que es attlor, titulttdtt "i'ratado teórico prfit·' ' t ico de .Aritmética elementn l", fo, comis ió1i º"'ljecial " de d;io/io Ottetz10 co11s1tllivo Tia emitülo el s(qllie1ite " dictamen: .l!J:r:mo. Seffrw: La cun1.1'ai6n espec ial de este Oonaejo en lfCBi6" celebrada -el rlla 23 del actro1l " hJ.. emitido el sig1tiente qicta111cn: Aritlll ótica elo . " mental tratado práctico pm· Dou. Em i lia110 u -J. IXaz.. Esta .o-drit'a es ttn trabqjo COfNplcto en '
V'Ill. • ,.¡¡ " to 1f ltt 111atcri<J. dado el carácter y t' que est<J euseí'i<rn:<i c1ebe 1·evtl8tiT con. aplicacióu á {fl'i: "IJ8c11el<rs p1·i111arias do 1'011ee ( Pto.-Rieo) y el méto11n con que cxl<i .,lesenT:uelto 1resvo1u1e al fin raoionftl y •' educativo que co1lvieno para que la i11str1tceió11. HCa. -'' yrnt . en las escuelas; siendo ga1·antia bastante el q11e " •• lurlla declarado de texto por el Examo. S.ffor Gober " nado,- Ge.11eral de la Isla en Decreto de 12 de Diciem" brc l 88:j. Por tot1o lo cu.al la com.isiQ11. cree puedo "01wnbar.vc dicha obrapa ·ra la Península y [J1trmnar, " una 1'Ce ampliac1a en. la 1Jtimcra c11señanza, y confor" má,.dose S. Jlf. el Rey (q.D.g.) y en su 110111bre la '' Reina RC!JC1ito del Reino con et ·1>reinset·to <1iotm1wn , " se Ita ser11il10 resol'ter como º'" el mismo se pro1101w. " Y puesto el eú111plase por S. E. co11 feoha 11 del tt e" tual1 de orc1e1i. superior lo tran{t;ribo lÍ U. para qu o lo " haya al interesado. . Lo que transcribo rí U. 1><:ru su conocimfouto .'/ .a.tisfucoi611. J)ios gum·d& lÍ U. ms. as.-Poucc 2:3 de Junio cfo 1806.-Luis &n' . .Don Emilicrno J. D\a.z, Profesor cle-I11strucción1ntblwa. { PRDfERA P.All/l'E. N OC IONES PRELX)'llINARES. Qué es Arit•11ótica t Ln. pnrte cleme11tnl lle la oieucin: do Jo¡;¡ uúmeros. Qué es 01mtidacl 1 : 'fodo lo que es s usceptible de aumento ó ditmiiuucion, como: el. peso , la clistmwio, etc. De cuftntas ma11c11\t:\ CH la cautid:ul 1 De dos: dis creta y contímm. • Qtté CK rnrnti1lml lliscrct.n t Ln qno 1tmue11ta. ó por uni1lacle sepnraclnmoutc, 1·01110: 11n p111í<tc1u r1c pc1:vfas. Q.uó es cn11tidncl co11tímm 1 Un, que 110 ¡m ctl u co11tursc por unitlaclcs scp:undus, rsh1ó que se millo, y puede un111e11tar ó dismiuuir por tnn pequefin s t·omn se qnil'rn, por ejemplo: 1rna t:ctnr, m1 dm o di: ]Jla..ta. Qué 1111iclatl 1 Ct11dquiern co::;a por la cun l e11teudcmos uno ó una, como: tm libro. mt ,·eal, mw 11lumn . Quó e.s 11tímcro 1 . BI resultado <le Ju. compnrnci611 de la cnntidnd con la nnidn<l. Cómo 150 c:xplicn. ln d1fercucin c¡ue hny c11tro h11 cniiticlad, In. u11itlnd y el 11úruero J Co11 el siguiente: Un pniindo <le ptiSet.nP. scrft. t11H1t cantidad, porqno ¡melle au111entnr ó disminuir por uuidndcs; <lel pniinclo cld.pcseras se toma una, éstn se llnmnr{t. uniaad; 11ero si co11tnmois por nni<ladcs los quo co11tiei1e el pullatlo, el resultado !!!C BnmnrA . . . ¡ .. 1
• -10Qné es numeración ! El arte de expresar los números por medio de Jlalabrns, ó por medio d e cifras ó guarismos. 1 Cómo se divide la """"'rMi6n. t En hablada que también se ll um!' oml , y en esol'i ta. LECCION1 1' NUMERACIÓN lJADLADA. Qué es numeración hablad a ! La que trata de expresar los 11ú111 e r os por merlio de JJala\Jrns. ¡ Cómo se forman los números J Por In. adición s u cesiva de l a uuidnd co u olla misma. Lu ego, s i i\ uu oQjeto run.lquiera l e agregamos otro de 1m espec ie, ' qu é uúm e ro r es ulta 1 Resulta e l n(1mero dos, Con qué pnlabra se exprcs1> el ngregndo d e do s y 11110 1 Con la palabra ''º' · · Qu é reJJresenta e l 11ilme ro oftatro 1 El ag regaclo de tres y "''°· Si al núm ero cinco se le otra unidad ele s u especie, co 11 ué pal abra se expres" f • Cou In palabra seis. Cómo se llnm l\ e l agregado ele 71ueve y 1mo ' Se llsun n diez 6 decena. Cu{1nt11s clcce ua s componen diez unidades ! Oompouen mm d eccná · Cuántas unidades tien e una clecona T Tiene diez unidndeS'. . Cómo se co ntar!\ desde dioz hasta vefo to 1 Lus diez unidades se considernu como un a sola, y se dictirregv. lar1neute cat01:ce,, 9uince, en v.ez de cliez!· · uno• die.zidos, clwzitres, d1ezi.ouatro, dwzunnco , y después se co11t111úa re g ularm ente diez· ci8, diczisiete, dieziocho, diezinucvc, 11.Bintc. Ouántas dece uns tienen veinte unidades 1 Tienen dos decenu s . Cuántas unidades tienen tres decenas 1 Treinta m1idacles. Si al n(Lmoro 11ovm1tinueve se le agrega otra uni<lnLI d e" " especie, con qué palabra se expresa! Con la pah1bra oi07'to ó cmitena. De qué se compone e l número ciento! De un a centm111 sun diu decenas, ó oic11 wiitl'ltles. ·. ¡ -11Uómo se ooutarñ ciescle ciento en aclelnnte f Co11side1·ando este primer c iento corno un a sola: unidad d e tercer orden, y se dice: ciento 1111.0, ciento dos, ciento t,·ea, .etc, hnstn coutnr 011·0 ciento que so llamará do1e:ientoa. sucesivnmeuto trescientos, cuatrocien'tos quinientos, (cu vez do· ciuco c ientos } BtJÍ8 · cientos, setec·ientos, oc/ioc;o1itos, novecientos y co 11tnclos cliez oin1tos 6 centenas, se co n Ja ¡ut lnbr a 7nilla,· ó mil¡ y del cnismo modo dos 11iil, tr es mit, c1ut.tro 11i i l1 c in co mil, etc . ba sta contu,r t.liez miles 6- mill a r es qne se •l e nomimu1 decena de millar, y cout111,uaudo osi s n cesivnme11tc, las diez decenas de millar se 11amnn cien 1ni l. y la s diez ce11tenas de millar millón ó cmmto y así s uceHivainc11te. Cómo .se llam a csr.e s iste ma de num er ación ' So llnruit décttplo, ¡>orquo l n• unidades se r ouu cu en dgrupos e diez e u di ez. · Nt;MBRAClÓN ES CRI'l'A. es uumerncióu escrita 1 L n. que enseua. ft rrprQS011tat· todos Jos nínneror.t que 1m rnn co n SOIQ diez signm1 6 cifras, lh1mados arlH.>igo s , porque se supone q n e fu e r a n inventados por los l\rn.bes. Ouáles so n g u urismqs ó cifrn s I Son lo s s i1;ni c 11 tes, y cttrln. uno e l va.Jor abso l uto que cuc iUH\ so le cx prcsn: Uno. DoB. Tres. Cuntl'O· Cinco. Sc iA , S ie t ti. OeJ1 0. l. 2. 3. 4. 5. ü. 7. S. Nuu ,·o. C'1ro. 9. o. Cómo puecleu i-eprescntar e co u Ro lo cstO!i!. di c'z s ign os todo s los mím eros qne so qui c t'an T Oonsi cl ernnd o fJne cacln c ifra tiene <l os valore ; , Cómo se ll a nrnll estus valo,res Y Absoluto y 011(1! el valolj-al>•ol u to do los g1111rismos ! El quo encierrá c u sí ta 11ü.1i;; u11idu<les como la. flgnrn. qu e r epresento; Y. g. E11 e l nilrn oro !JG el valor absoluto ,.., G. Qué es »al or r e latirn ? El qne tiene cada g u ar is mo con r el acióu n i Jugar e11 'JUO i::o balla l 1• ¡;. número 87 e l va lor r e lati vo es e l S. • diferencia bay e n tre e l valor nbso lnto y e l relativo T J_Jn sig ui e ut e: El uúm cro 4, por t.'jemp lo, ex prcsnr á si mpl e y cuntro c:os a sfó uuitl a cl es, porque es e l va lor que .., ·i
·.
s 02 3 !) o, 3 ;:¡ 71 o I', o 8 " " '"O '.:! " ..,, "" " ..,, í.i o:- e " § í.i "a :g " :g ¡; " " " " í.i "¡; " :; :3 " " :3 ¡; " " :: o A p :;.) A :;.) o o A p o o too "---v---" '--..,.--' ...__,,.. _./ .._____,,__, '---..,---' .; "'· ,; 7. "' "e 5'! "" "ª " ::o"'·a ;5 = ¡: ·a "" ., ., o o A Oómo so divide para. leerlo. e l número
Qué so llama socci6n d e nn número 7 Umln. tres c'ifh1" que la. componen, sepn.radns por medjo el e t'OllUL 6 punto, y se 11ombr n11 mi.idacl, decena. y centena. scccióil í1 In. izquici·da de un número, de c nli.u tas cifra s 11uede constrir f . Puede co nsta r !le mm ó clos cifras, y no cl<\ jl\ por esto de estar co mpleta, porque cero ú. pl'incipio d e u·úmero iuíttil.. LECOIO.N 3" D!V1SIÓN DEL Nú:u:ERO.
• -12Je dá su figura; pero si á este 4 se le ngregn. 1111 cel'o l\ ltt. derecha, ya. 110 r eprese nt a. cun.tro cosns ó Rin6 c natl'o deceun s, 6 i:mnn 40 uniclnd cs, p or h nllnrsc en el s1•g nmlu ln g- ar y del miR· mo modo, si se le co loca. otro cero, rcprcseutnr(\. cuatro cc11te11:n;, 6 sen.11 .J.00 unidnlll' S. El ce ro licuo nlgúu ·vn.lor 1 Ninguno, porqm' CK ol s ímliolo t'?c In. u:uln. rara.qué e l cero t Parn. ocupai• u l lu ga r dond o falto nl gú n orden ele u11idacl us, y 110 ¡medo ponerse :'l principio d e m1 número, porque es inútil. Uómo se escl'ib c 11 lo s número enteros 1 ) Se cmp ic;m p or lÍl izquiercln, colncandó los g uari s mos un os al · In do de los tcuh•tHlo Uie11 pre ente sus tres órdenes y dife· rentes dignidnlles pnrn uo omitir ni11gu11u . Ou{dcs so n ln s órdenes del t1úmero '! J.Jllo UniU.ntl, Decena y Centenn. . . C uúlcs son las dit'crentcs dignidndcS d e l 11ím1 oro 1 J.JaS secc ion es d e u11idndcs, t.l e millares, do 111il1011 08, rl e mi · liaros tlo millón, de billón, cte. On(iles HO ll los 110111l>rcs num era l es qno dctcrmiurm el vnlor relativo de lo g un ri :m1os, scgít11 C'l lugar que oc u ¡mn 1 Empeznnt1o :'L de derecha pnm, izquí crdn , ol pl'imero se llam a. unitlcul, t'l se;.:-undo clecmw, e l torce-ro centena, el cmuto 1millad c1a 111,ill<rr, e l quinto clccnna de m.illar, el sexto cantona. rle m1llm·, e l sétimo 1mú/ful c1o m.illón, el octavo l1ccc11n, tle 111.illdn, e l 11ovc no ce ntc11a, do 111,ilMn, e l décimo 1midad ele 11tillcn· de millón., el u11d6cimo clcccna. de 11lillilr do millón,('! dnorl écimo centena ele millar ele 1nill61" e l d éci mo tercio 1midai! de bülón, etc, que consta de muclms ' -13, rifm" l / En secciones ó gru po d e se is e11 seis gunrismos ·por medio tl e un p1111to, empcv.a ndo por ht y colocaudo c,n la. primera i:;ccc ión n11 1 por la JlUl'OO d e nrribu.; en la. segm1d;i un 2; •m In. torccra un 3, etc. Il ccl10 esto, cada seccióu d e ¡.;ch; en tlm3 el e tres p or mmJi o de umt comn. Uómo r-1e l een estos sig uo g <."OU que EC diYidon lo s uúmero t; !'"'"'leerlos 1 · La. com:¿ f'e l ee 11tillm· 6 mil, el punto y uno m:ill6u, e l punto y dos billúu 1 ol punto y trC'S trillón., y así en adl)la11tc.
Có mo se didd c el uí1111 ero co n r especto.á sus t E n simple ó dlgito, compqesto ó poJiclígito, eutcro, quebrado y mi xto. · Quó ·cs número si11111lc 6 <lfgito f El que uo ll egn. á co 111po1 1e r cZ.UJz unidades c 11terns, y se cscribP CO H una so la. cifra, como: S. 7. Qué es níun ero co111pll68lo ó policUyi.to r El quu ll ega 6 pmm do diez u11idutlcs e u terns, y so escribe co n elosó mús c ifras, como: JU •• atL .504. · Quó es uíuncro cntctot .Aquel que la!:; unithules fJUG lo compoueu son enteras, como: !4 p eRe tns. Qué e número q1tcln·ado 1 Aquel 110 ll egn :\.' co111po1101· h • uuidnd e utem, romo: • Qué es nfünero 111iwto I m que mnuiJJestt• unidades enteras y parto ó partes de otra unidad de la \mi s ma especie, como: pe sos, que so lee: cttafrº pesos y dos qKiklos. Oómo so divide el número con respecto tí su especie! · En abstracto, concreto; .Jtomo¡¡éueo y heterogéneo, l .1
• 1 \ \1 -14Qué es númel'O abstracto' El 'l"e no doclnra la especie de sus uuidude.-; ,., g. 48. Qué es número oouc>'eto1 1 · El que declara l!\ especie de \ns unidncles qne lo forman; v.g. 48pciios. Do cuántos modos puede ser el númm·o concreto t Pue<le ser incomplQjO y complejo. Ouál es el número i11co1"plt¡jo ' 1 El que repr ontn. colección do unidades igunles en especie; v. g. 14 libros. Ouál es el nfünel'O complt¡jo f El que se ex¡wesa con unidades ele diferentes o•pecies; pero t tollas relntivas ú la unidad superior; v.g. 14 pesos 15 "º"les 1ll maJ·a,;edises. Qné son números !tomogé11eos 1 Los que comparado!i entre af, do una mit:mm. cS])CCJe; v. ¡;. 12 pOBctas, 15 peaetas, 24 pesetas. Qué son 11umeros heterogéneos t I,os que comparadm; eutre sf, sou do ·diferentes especies; '" i;. 12 Ubros, 15 plumas, 24 pesos. LJi:COION 4' ScnIAR Ó ADICIÓN. Qué es s11>11a,. ó adioió>1 f La operación qae truta tle reunir en uno solo Yntios 1lc nnn. misma especie. Cómo !iC tlamnn los que so rcu11c11 ó se sumn11 fJ So llama u s1wwndos ó JJartida-H. La re unión de to1los los sumandos, c6mb llama 1 Aoregoilo ó su"'º. · .PQrqué los smno.ndos hm1 de 8cr de unn. miamn. ci:;pooic ! Porque de lo coutrario 110 pOllría darse mm suma cletermiua . da y conocida. De qué especie ha de l'esultnr la s""'ª t Dq la mitnna e s pecie ele los sumaudos. CuM es mayor, la suma ó l os sumnuclos t Sou i¡;m>les, porque el todo es igua 1 (i las pm·te s que Jn tOrmnu. · Con qué signo se irnlicn. la operación \lo sumnr t 0011 "º" (+ ) que se lee más, y se coloca
á la derecha de todos los sum1111dos, meaos en.el último. 1 1 + 11 ¡1 1i " " 11 1 1 1 1 " " " " " ,, " 2 + 2 ., 2 "2 2" "2 2" "2 "2 "2 " 3 + 3 ,, 3 "3 "3 ,, 3 "3 "3 "3 "3 " -15TAELA DE· SUMAR 0= 1 " 2 " 3 " 4" 1 4 + 2 4 " 0= 4 1 ,, 5 3 · 4 ,. 2 " 6 3 ,, . 74 4 "5 4 " 4 ,, . 8 5 " 6 4 6 " 7 4 7 " 8 4 8 " 9 4 !J "10 . 4 " " " " " 5 " 9 6 ,, 10 7 ,, 11 8 " 12 9 "13 o= 2 1 " 3 2 " 4 3 " 5 4 " 6 5 " 7 6 " 8 7 " 9 8 "10 9 "11 º= 3 1 " 4 2 " 5 3 " 6 4 " 7 5 " 8 6 " 9 7 "10 8 ;, 11 9 \,, 12 5 -t 5 " o = .. 5 1. " 6 2 ,.. 75 5 5 5 5 5 5 5 ,, ,, " 3 " 8 4" !J " ·5 ,, 10 6 "11 7 "12 8 "13 9 "14 ,, " " 6 + o= 6 6 ,, , 1 " 7 6 " . 2 " 8 6 " 3 ,, 9 6 ,, 4 "10 6 ,, 5 ,, 11 6 " 6 " 12 6 ,, 7 "13 6 " 8 "14 6 " 9 ,, 15 .J .... 7 " 2 " 11 1 ,, . 3 ,, 10 'I 7 " 4 "1i 1 7 " 5. ,, 12 7 ,, 6 " 13 7 ,, 7 ,, 14 'l . " 8 "15 9 " 167" 8+0=8 8 " 1 ' " 9 8 " 2 " 10 8 " 3 ,, 11 8 " 4 ,, 12 8 " 5 "13 8 " 6 "14 8 " 7 " 15 8 " 8 "16 8 " 9 ,, 17 9 + 9 ., 9 ,, 9 ,, 9 "9 ,, 9 "9 ,, 9 "9 " º= 9 1 "10 2 "' 31111 ,, 12 4 ,, 13 5 ,, 14 6 " 15 7 ,, 16 · 8 "17 !J " 18 j I , '
• -16- :11 Qné signo "º pone 1\ la dereclm del último s11mnndo t Dos rnyitn• (=) llllralelas y horizontales c¡ue se Icen igual cl, Oufult.oR casos pnerlen ocurrir e n lnloµeracion de smum· t Tres sumar dígito 0011 dtgito, compucscto con dfgito, :r compuesto 0011 com puesto. · Cómo se Humn dígito con cllirito f Subiendo bien la tabl!L de s umar¡ ' ' · g. 8+ !1=17, que •e Ice: . 8 más 9 igual 17. Uómo' Me 81111'0. nn co m¡mesto con un digit.o r Agrcgamlo el dfgito {, la s uuidudvg clcl com¡mesto; r 345 + 9= 3J4. Úómo se ,.nmn11 fos n(tmero!-1 6 poli<lígitos ! f Se c·olocr111 primeramonte todos lo s sn mamlos 1111os jo Uo los ele moflo qne se corrcspondn.u en Rui:; nnid a deij, de . 1·enas, cc n tcttn8, etc 1uC'go tira. mm raya. por para 110 se CC'nfurnla In s mun. con los Rtünn nd os, y Re empieza fl sumn.r por In. columna do la s mdrlntles, por lns d ecenas, cente . rnlfi, cte. ha sta ternliual' la opern.ció11 v. g. • 4,345+ 7,236 + Sumandos. 6,1:;5,l,= • / 18 ,,J,35 Surna. VOilrínn COIOCfil'SC Jo-: UllOS :t i J:ulo <lt: lOS Sí seiior, pero so co looa11 delmJo para nwyur Ht0 JH:1llc6 0 11 la oper;1éi611. Qu é ¡.:.e hnf·e- t·nmulo Ja Ruma de las uniflnrle;.; ele 1111c\·e EtC rl'¡;:e1·\·arú11 <lecc11ns qui· cv111}.)fmóa11 pal':'! s1111u11·· co11 la r,0l1111111n i11111cdiata, y !-IOJo e ...-c1·il.Jirá11 la:; ó ct:J'o. si 110 sobra 11inguna: lo mismo · prru.:ti<·rtrú 1• 0Jt Jos col111111rns hmsta tCl'l\1111ar la opt.:rnció11. !'Chace c•on In úWma t·olu1111111 tlc los :-:u111n11tlo1-t 1 Se e:;crihe todn pu 110 lrnlu!r rnf1s co lum11:1 s qut 1m11i;11" PROBLEMAS. Cumulo el niiio se eucucntro bic11 iustruido de lo que nntece fll!. :-:e le propoudrán t1iferc11tes prol>Jcmns prc'1cticos, con el fln de qne upr<'11dn nplicnrlos {t In tt>orin : lós qnc ,·an ul fi. ua l tle <"ali a IC('l'ió11 potlr{111 serdr dl• 111olielo. / -17Ejemplo 1 Pedro debe 8.435 renlQ$1 Juan 639, .A.u tonio 4,080 y Diego 508 t cuáu to deberán los cuatro T Debcrítu 13,6G2 , . 2? Lajm·isdicción do uu ¡)Uebfo produce anualmente .5!),7SG pesos o n nzúcar; 19,U60 en mieles; 356,978 en cale; 31,GClO e n ron, y 4,GW e n tabaco l á cuánto ascendori\n estos productos f .A. 473,0UO pesos. 3u Un comerciante quiero emplear cu pnüo 1 8,308 reales; cu bayetas 151 280; e 11 lienzo s blaucos 37,490 y en otras mercan. cias 16,948 t cu{u1tos real es h it de empicar J>Or todo f Empl en· r{• 88,035 reales. 4? Un padre mu er e y (leja en su pñra uuo de sus seis hijo s 51469 pesos ¡cu{mto dejó pnra todos! :l2,8Dejó I 4 pesos. LEOOlúN 5' l lES1"A R Ó SUSTRAOCJ6N. Q ué es t·cst<o· 6 sustracción " Ln. operación que h·nta do r. vcrignur In difc1·c11cia qu e lrny c u tre dos números llomog6 ueo s. Cómo so llaman 1os 11úrneros que se dnn parn restar T Miuucndo y s ustru e 11clo. En c¡ué se distiu g ue el minu endo d e l "u s trnc1ulo f En que el minn c nclo sie mpr e 11a. clu so r uwyor y ll eva delnu· te hi preposición de. Oómo se llnma e l res ultado de la operación do restar ! Se ll ama t·esto resicl·uo ó difm· enci a. Out\1 es el signo quo se 0111i1Jea para. iudicnr ht opcrnoión do re:star 1 · Una rnyita (-) hori zo ula1 c¡ue se lee memos, r se co loca á In del'eCJ.ia del minuendo.
Cu{mtos casos pueden ocurrir en la operación de restarf Tres CH SOS : restnr un dígito de otro; rei:;tar 11u <ligito de UH compuesto, y\restar mt compncsto de otro con1pucs to . Oómo se rosta un digito de otrn ó ele un compuesto ! Bastará aal>er la. tabla 9e pues Ja smnn.dol s ust11ae11do con In. resta siompre .igunl a l rniuueado; g. 10-0=7 1 quo se leo: 16 menos 9 ig11ai 7. .• l
-lS".l'AELA DE RESTAR. 1 - 1 = o 2 " 1 " 1 3 " 1 ., 2 4 l ! l l! 3 1 5 " 1 ,, 4 4-4=0 7 5 . " 4 " 1 8 6 " 4 ., 12 9 7 " J ,. 3 10 8.,J,,411 - 7 - o " 7 ,, 1 " 7 ,; 2 " 7 l! 3 ,, 7 ,, 4 1 1 6 " 1 " 5 9 ,, 4 ,, 5 12 7 .. 1 •i 6 10 ., 4 " 6 13 1 8 ,, 1 ,. 7 11 " 4 ,, 7 14 9 " 1 ,, 8 12 " 4 " 8 15 ' 10 " l ,, 9 13 ,, 4 " 9 16 " 7 " 66 1" 7 ,, " 1 " 7 1 ,. 7 h 8 " 7 " 9 ------2 - 2 ! 3 ,, 2 4 " 2 == o !l 1 " 2 5 " 2 " 31 6 ,, 2 " 4 2 ,, 57 ,, 8 ., 1 9 ,, ¡10 " 2 " 6 2 ,, 7 2 ,, 2 ,, 8 9 5 - 5 6 " 75 ,, 5 8 " 5 9 " 5 10 " 5 1l ,, 5 12 " 5 13 ,; 5 14 " ¡5 11 " ¡-----1 , 3-3=0 6-_6 J 4,,3hl 7,,6 5 " 3 " 2 !) " 6 6 " 3 " 3 9 " 6 7 ;, 3 " 4 10 " 6 8 " 3 " 5 11 " 6 9 ,, 3 ,, 6 i2 " 6 11 ;; i :; :; i =O " 1 ,, 2 ,, 3 ., 4 ,, 5 " 6 " 7 " 8 " 9 =O " 1 .. 2 ,. 3 " 4 .. 5 " 6 l• 7 " 8 •l 9 ,_______ 3 · 8 = o 9 .. 8 ,. 1 1 10 " 8 .. 2 lt " 8 " 3 12 " 8 ,, 4 ; 13 ,, ti\ ., 5 1 14 ,, 8 , 1 6 i 15 ,. 8 ,, 7 1· 16 " 8 ,. 8 17 ,. 8 !l 9 . _ .__¡ 9-9--o / 10 ., 9 ,¡ 1 11 " 9 " 2 1 12 ., 9 " 3 13 " 9 .1 4 14 .. 9 5 15 .. 9 " 6 16 ,. 9 ,¡ 7 17 " 9 ,. 81 18 " 9 h 9 ... 1 ! Cómo !-1.e resta un compue$to. de otro compuesto! Se. e.:;ta:ibe primero el minuendo y debajo ol 8ust.i·aemlo, dt:I mi s mo modo qne para. su mar , y se A rcsta.r por las 11111 dacles; bullud:( la tlifefencin. de és tas, que so coloca ,;.e ha ce lo mi 1$mO coi\ las decenas, cte. ha sta term111ar ht opcfaoi611, siendo. lo que resulto delmjo ele Ja rnya la resta di<h>; , .. g. lS,435- Minuendo. 7,336 = Sust1'ae ndo. 11,099 Rc•to. Cltanflo nlgún de l snstrncudo fu.ere mnyor qu.e el -;fue Je corrcspouclc e11 el 111i1111 C11<lo, t.1 né su Ln oo i . 8 ·· to111arí1 1111n unidad á la ci fr a. inm ttf liata del miuuentlo qu e nito. <1 icz, y se n;:rr·cira, cttr{wtCr me1101t que 110 so pu el o rcsLnr; poro col1sidern1Hlo el i11mediato gun.ri s!n o del cou una u11idn1l u11ís al «:. iccut:.u· sn corret;po11d1cnto s ns trncm611. . , Si el mi11u e11<10 tenn iun. eJl tlos 6 1ifás ceros, cómo.so c tectua. Ja. sustracción f co11l:'idera11 toilofi Jo s ceros como d iez, ·una umdml á cifra, d e l su atrmmClo qno (a. l os cm;os, 1110uos bit la <l e la. tlcrecl111; '"· g. 100,000 -1\iinuonclo,. 85,561 =. Sustmondo. 14.,433 Resto, PROBLEMAS. Ejemplo. J • Pedro debla 18,000 ren le• á Ju""' habión.dole s:.tisfeoho real es, ¡cuá11to le quednrá debieudu ! J;e deb erá 1313Gl reales. U11 patlre y tlcjn en su parn. sus dos hijos reale•, hab1e11d o toc"clo nl pr1mern 15,258 l cuá.i;i.to, toai>r(\ nl segu.udu t Lo> toc1uán D,242. rea.les . Uu comerciante tiene en cnjn. 20,4.00 s l emplea eu un negocio cnalqu)eru 9, 489 J.>CSOS t' cu.4uto lo qtlCd.a t Lll qu.et.la,u 10,911 J.>Csbs, .J .j· ''
Ouánclo e l procTucto r es ulta me nor que el multiplic1>111!0 .1 Ouaudo e l. muhipli cu dor e1:1, menor qüe l a. unid a d , ivn· que st to ma H1e11oto1 d o una. ,·cz; \ T, fr· S X :f = 2, que so Jec: ocllo 1mtlti J>l'icaclo 21or 1tm t"f/lutl do s . . E l cct·o multipli cntlo por un 11úm c t'{) Ct1alquicra, qué da produpor c to f Da cero, porque ésto 110 vale nada, y 11or consiguie utp 11ad ;1 pu ed o tomarse del multiplicando. CAS'OS DE LA MULTIPLICACIOlll. caso!-> pnede11 prcsc11tnrse e n la multiplicac\ón f 1.' r C:i : l? 1i1ultiplicac ióu d o un númct·o dígito por "·otro; g . 9 X 8 = 72. _. d o uu mlm e ro dígito pi;n· \un . g. X o = »04•• J\[11ltipliuncio11 d e un mímcro com1111csto por otro::J45 X 24 = 8 . 280. Oómo se multipli c" un cllgito pot o ti-o 1 E11co111011du11do ía. la. memoria, la fobia el e multiplicnt" l a c u a l iso hallan productos d o d os núm eros J·oprcso 11 tudos pornnn so la cifro. Cómo se multiplica nn díg ito por trn co1111me.sto So escribe el rlígito debajo de fos tmiclndos de l t:ompucblo , Jucl?o $;0 tira mm raya por d e lmjo, y snccsivnmcuto multiplica tle d erec ha para cnidnndo de escribir las n11icl:1dcs 't¡1 w ' ,•
Uua.ndo el "multipli cador es la t111 i<lad, porque se toma m1 n.so)wvez; v. g. 8 X l = 8.
Ouáudo ol pl'oducto res 11ltn mayor 1¡no e l multiplicando f .
Cuam.lo el 111uJtiplicnc1or es mayot que la uuidud, J>orqu c se s uma. 6 r e pite ta 11 tas , ,.ecc::1 como unidtUle.s tiene éste; " ·· 8g. ·
4? El cargamento de u-;, buque importaba 230,0UO pesos· .J unbiendo tenido que tirn1· n1 agua por valor ele 35,487 peso.; l* ; cnfü1to valch'lí el resto del cargamento f Valdr(• 194 1 513 pesos. 1 Podm, Juan y Diego deben: el primero 368 reales, el seg uudo l ,G7G y el tercero S,G47; habiendo pagado entre los tre• S,U29 reales ¡c u(tutos quedarán debiendo f Quedarán l,debiendo 792 reales. G 0 Un Comertiaute bn comprnclo tres pn1'tic1n s do maíz, primera ele 21500 qui11tales 1 la seguudn ele l ,&l!J y Ja tercera •lo 3,616; linbienclo vendiclo' G,91'4 qui11talcs ¡ c11(111to s le qued n rán ' / Le qnedarf\u 980 qu111talcs. 7° Un hncondndo tomó durante e l aii o de trul>njo ngrícol:l SJ5 pesos en hncalao, 1 735G en i11 st rume11tos do labran za, y 850 . en hnrinn; habi e11clo pngado 087 })esos i cuánto quedará debie111lo' Quocl:m< debi c11 do 1 , 064 posos. S? El b:111quero quo ha comprndo h'é$ letras ele 11nn d o 3.0011 p c•os, otrn ele 2,:;uo y la tercera de 2.0U o, y las ha 11cgociado e u 8, 0.J.J. pesos i cuú.nto hal.n·{1 gnua tlo Uabr{t. ga nad J,o 154 peso s . LECCIOXü• llUL1'!I'LIC.U!. Ó )ffiL'l'JPLlCA C' lÚN. Qu é es '1Jl.'ltlti)Jlica1· ó m1iltiplfoacifín J • Im operación que do :-.u 11111r ,; rcpetll' nn níu11 oro ta11tas 1'01110 1111if lailcl'o el on·u, por ·10 1111 e el l'ar111ultipli , ·i11nc :'t la mlicc iúu abre\·intla. Untw 1tos so 11 lm1 de cstn opel'acin11 ! Dos: mnltiplica1Hlo mnlliplic:rulm· que :-;o <le!Jl:1mm1 prntlu cto . Onó <'-"' 11rn ltiplfomulo f · llÚlll Cl'O que fiO ha. de repetir Ó !-illlllaJ ' lnnta!-l \ºCCC1-; (.'01110 n nid ndc" tien e e l otro, .re-; igua l al produ c to divi ditlo por e l innl t ipli untlnr . Qué es m11/tiplicallor t nfü11cro íJU O iudi ca. lns l)nc se hu <Ir rcp('lir 6 r'mrnar eÍ multi¡Jlicnndo, de mnnern que si el mutti¡¡licaclor tieue 8 uni · tlndes, el multiplicnndo rcpctiJ;se S veces. Con qné s iguo se i11dicn la multiplicación f Con una. cqui• (X) c¡ue so Ice 111ultiplicaclo poi·, y so coloca á 1,. dcrecl1 a del multiplicaudo; v.g. 7 X 3 DG, quo se lec: 7 tiJ>li1n1tl· cado ¡>or i!Jual 56. 061110 •e llnnm e l rcanltndo d e In multiplicación! Se ll a.111a produ cto, e l c ua l puede r es ulta r igual, imay01· 6 m eno r que e l umltiplic:rndo; porqu e el pró<lucto es al multipli c..'1 11 do lo que el mul tiplicado r es(• la unidad: Ou(tn,Jo el p1·0<1ucto r esulta ig ual nl multiplienndo f.
-2...-TAELA DE :NI;ULTIPLICAR. gi 1 X 1 "1 " 0= 1 "2 ,, 1 1 " 3 " ,,.. 4 ., 1 "1 1" "1 1 " 5 ,, 6 " 7 " s 11 9, " 3 ·4 4 1 4 5 1 64 4 7 4 8 4 9 4 " " O =i o 7 X O= O 1,,47,,1,,7 1 2 " 8 7 " 2 " 14 3 " 12 7 " 3 " :.!1 11 4 ;, l(i. 7 " 4 " 28 1 5 " 20 7 " 5 " 35 1 6,,24 7" 6,,42 1 7 " 28 7 ,, 7 ,, 4.!J 8 " 32 7 " 8 " 5r; 9 " 36 7 " 9 " 63 1 -------!------- -------1 2 X O= 2. '" 1 " 2 " 2 " 2 " 3 " 2 " 4 " 2 " 5 "2 ,, 6 ,, 2 " 7 " 2 " 8 " 2 " 9 " o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 5 X 5 "5 "5 "5 "5. "5 5 ' ·5' "5 0= O 8 X 0= o l 1,,58,,1,,8 2 " 10 . 8 " 2 " 16 3 " 15 8 " 3 " 24 4 " 20 s " 4 " 5,,25 8 •·•· 5,,40 6 " 30 8 " 6 " 48 7 " 35 8 ' 7 " 56 8,,40 s" 8.,64 9 " 45 8 " 9 " 72. " " 0= o 6 X O;;= O 1 " 6\l ,, 112. " 3 6 " 2. " 6 6 ·" 3 " 9 6 9 X 9 ., 9 " 9 " 9 " 9 " 9 " 9. " 9: " 9 " º= o 1 " 9 1 2 "18 1 3 " 27 ¡ 4 "36" " " " " " 4 "12 , 6 5 •.• 15 6 6 "18 6 7 " · 21 6. 8, " 24 6 9 " 27 6 • .. ... " " " 3 "18 4 " 24 5 " 36 6 " 36 7 " 42. 8 " 48 9. " 54; 5 " 6 '" 45 54 637 8 9 " '" .. 81 J -00rcsu ltcn, y se reserva.u las cleccnas para .agregarlas ·á los sigmen · t.es ¡l1"otlttctcs ; v. g. · 23.,473 x i\Iultlp!\canfo. 9 = 1\lultiplicador. ""'2""'11,....,""25""'7,..--·producfu. Cómo se multipiicnn lo s números compuestos! ./ Primero 'Se t:omnm p or multipUc.1dor el qu e tenga meuos guarismos,(&. fin do que res ulten menos pto<l'llctos pnrcin.lea, d cual se escribe debajo multiplic1>nd'o, ele modo que nmbos se corros pontln.n én suR decenas, OO ntonns e tc. H·ocbo esto, se multiplicn.u laa uujdnd es lle! multiplicnclor por todo · ol multiplicando, y del mismo modo las decenas, centenas cte. colocando cneli> producto debaj O' del anterior, y empezmrcío f\ os cribirle enfrcute de su s eguuclo gtmrismo ele derechi> p¡tri> iz quierdn, y d es¡Jués de multi¡>licnr todns las cifras signifleativas qu e tenga el mnlti¡1licnclo1-, •e s umotu los productos parciales y ¡,. • unm se rá e l ros ult.nelo total; ' " g. 234.-5 x Multiplicando. 5"'3 = J\Iultiplioador. 7035 -. Producto parcial. 9380 Id. id. 11725 Id. id . 1.273,335 Producto total. Culu1'ti\ll citrns en el procincto total una multiplicaciód 'ele nútrreros compuesto s ! Dar!\ tn11tns eo1110 hny 1> on nu\b<is ó una menos, cuando se mlllti}llicau los dos últimos c1H11cteres ele la izquier.dn¡ y sn prodtlcto no pasa de nueve. ABREVIAÓIONES D};) LA MUL'.l'IPLICION. Cuántos casos se p1iisenmn en los cuoleg se pued e nbre'viar la multiplicnciói1 t Tres: 1° uno de ios factores es lr. unidnll seguida de ceros; v: 234 x l O(}. 2? uno ó ambojf factores terminan oe l·o•; ,. . g. 20340 X 600. . . .. 3• Unnndo entre los caracteres significati\"ns d el m'.1llit'li•. '
f • . !ll -24cndor hny ceros; v. g. 240 x 305. 1 t:ómo se ejecuta la multiplicacióu cuaudo uuo de loo fo.ctor e.s es la unirlad segnicln. ele coros f Ba sta rá nñmlir á la dereclm del otro factor lo• ce ros c¡u e haya después ele In uniclacl¡ v . g. 1 2,346 X 1,00 0 = 2.346,000 . Cuándo two 6 ambos fücrores concluyen 0 11 ceros, cómo alJrevia la opernción t Mu1tiplicando solameute lnR cifras s ignificativas y aíindi c 11 do :í. la derec ha del producto tota l los ceros 110 multipli c.a clos ; Y. µ:. 2,340 X 560 = 140Y1170 1.310,4 00 Cua nd o onl t'(' Jos carnctcr del mnJtipJi cndor lrny ceros. có mo se hnrá In multiplicación 1 · Sólo se multiplican los g n a d s mo s significativos d e l 111111 ti pli ca dor, .r cu:111clo se lle g a. fL lo s coros 1 ¡mrn. colo car el s ignion to pro du cto parcinl. Ne tO l'l'Cn tantos ln gn r es haci a Ja izquierd a como ce r os teuga; , .. 11 . 24(i X 205 = l.230X ' 49 2 - 50 .43 0Usos 6 aplicaciones de la multiplicaoión. C n i\ ntos s on los n oos ó aplicacioues de la multiplicación f 'Ires: l" l,,urn.liacer uu uú111 ero dado cierto JJúmcro d e veces ma \'OJ'. '.!º "Para r educir unidades de especie s up erior ú unidad es d ino te ri or. , :; 0 Pnra :werig uar el nLior Ll e muchns nuidntlcs, c uamlo st•collocc e l yalo 1· el e uua. r· I / Cómo se plantea. In operació n , c11n11do á un núnmro dado se trutn de lw c<>r cierto u(1mero d e 'f"eces f . . So pondrá por multipUcaudo el i1flmoro por mult1 plirn<l o r el uúm e ro <ló v ece:s q u e i:;e qniern ha ce r mayor; \'. g . ..-Ll 111imcro tfLJG se qttfo-ro lur.ccr 84 -veces mayor. 456 X • 84= 1 ,8 24, X 1.3 68 Cómo:-;e r es nc h-e Jn. multiplicnclP,11 1 cua ndo se va.11. á rcdncil' unic.lndc J"; el e especie s 111> e ri o r ·á i11fe r io r f • J>o11i e nd o por 11111l tiplicn 11tl o e l mímcro da las unidades tic CS ]}(.' c io s 1111 e rior, y ¡wr rnul tip li cndor mn1 unjtl:ul d e es11eci t' s upcri or, rcrlucicla it In i11tt.•riot·, fJU e , .. g. Se tpti crn 1ur bcr <.11td11tas libras componen. U4 arrob<ts. 94 X 25 = -4 70-1 88 2,35 0 Ji bras Cómo su t'Ps twh·e In. ope raci ó n , c uamlo l'iC sai.Je1· \'I nt.· lo r 1lu , ·n rins u11i<lnci cf-<, co uocido el <le una f e l n1l or d o la uniclncl por· e l 11{1111cro tl c l' llH:-; ; v. g. Si 111m t'<Wa <le t ola va /o 15 1realcs ¡c mhttn t ftl<1rd n !?fJ:-J 293 X l:i= 1,465 2 93 4,39li r ea]es. cmi.Jm·go d e lo llicrfo, j )UC<fo inntl't irs l' t•I 0 1·tlcn de..· lo:i
Onámlo e l coci e11 te res ult a menor que e l divid endo f Onando 41 divisor es mnyor que Ja uni d ad, porque se másreparte tic tmn vez ¡ v. g. 64: 8 =S . ,.f ''
-26factores.11 eu la multiplicación T SI, seilol' porque In invers ión d e los factores 110 altero el producto. PROBLEMAS. E<iem 1ilo Al núuiero 4 263 Mgase 572 \" eces"rnayol'. Se· r (\ 2.438,43 6. 1 ,, será el !'rodncto de 8,364 multiplicado por 509 T Se· m I 3? Qué número de cllns te ndl'án 647 aüos t Tendr{rn 23ü,l5b cllas . 4° Cnáutas onzas tendr(m 23 0 niTobns T Tentil'(m 02,uoo o nzas. 5° Cuánto costarán quintales de café ft 520 reales catl1> quinta l t Costnl'áu 2.530,&lU real es. · Unúntn reutn t iene a l ailo el individuo que pel'ciu e 4G pesos cliru:ios l Tendrá 161790 pesos . 7º Si co n 5 real es do vellón se compra una. libra de cacao, ¡cuúnto \"nlclrfo 8 quintales 3 nl'l'Obns O liUrasf Valdrán 4 1 420 rls. 8° Cuál ser{• ol res ttlta clo de 348 multlplicado por 67 menos !?o ,74-6 1· Será 2,570. !í• Si eu nn día gana un artesnuo 2 pesos 4 reales de ve ll óu ,cuánto gannrú eu 8 mesesT Gannrá 10 1 560 reales. 1Oº Cuftutos seg nnd os tien e el niio que consta de 365 din•, l; ltoras, 40 uiinntos y 12 segnuclos 1 Tendr{• 31 .556,952 segun dos. - 27- ' LECCIQN 7• / llIVIDIR Ó DIVISIÓN. es dfoidir ó divi8i61' 1 La opernción que tra.ta de a.vel'i g uar la s veces quo n11 níimc» ro cnl>e ó coutieue e1\ otl'O. A. qué equivale ' " divi Rión T A unn. s ustracc ióu succs i vn. .en que el divitlcnclo r eprr oontn. uu minu e ntlo, e l divi sor un sustraendo, y las veces q ue se s'astrae es e l coc iente . De cuántas mnnerns puede set· Ja di v isión t De dos: e.meta cuando 110 deja res iduo é inexacta cuando lo-dcju. Uuánt.os los datos ele esta operación T Dos: DiricJendo y divisor. Qnó es divicle11dor El 11(1111 ero que cc;> 11t ienO n.I otro, y ¡m c,l e co us id crársele ·co mo un producto curo factor bonoc i<l o es ·e l divisor. A qué e• igu a l r l cl ivicl c ndo T A l cociente multiplic:ulo por e l clivisor. Qné es divi8or f · El núm ero que estfL co11te11iclo en el di\·iclendo. A qué e. igual e l <livii;orf A l <livid c mlo ¡¡nrti<lo por el 1·ocie11te. Co n quó l'>igno se i 11dica Ja. <livis i611 ! • üo n dos 111w tos ( : ) que se dividido poi·, y se co lo can e n tre e l <lividcudo y el d'.v isor; 6 con una roya+ h ori zontal; v. g. 28: 4 y f¡ 'l1n111bi é n puede ind icnrso se¡ mru nd o el divisor con una raya vertica l y otrsa. horizontal, cunm1o se dhriden 11úmcros co111pm1stos de vnrias cifra •, v. g. 3920 / li6 Cómo Re llamu el rcsultlido de la di•·isión·.,,---Se lhun a cooicnte, e l c ua l puecle resultar igua l , 11wyo1· 6-menor que el dh•i tleudo, y tambié u ig1'al 6 111e1wr que ' " unidad.
Uuándo el cociente es i¡¡nul n1 divideuclo f Onnndo el divi•or es l a 11nidad porque el di vide nd o se reporte una. ve.z; v. g. 16 : 1 = lG.
Onan do el dh-isor es 1mmor que Ja nuit.lud, pqrque se reparte me uo s ele uu a vezj v . g. lG : t = 64, que se Ice : 16 dfoitlido por un cuarto, igual 64.
Cuáuclo el cocie nte resulta mayor que el dividendo!
1'Inltit11icn.11do e l coc ie nte que se eli ge por l a primera cifra sn p er io r Ue l divi sor, y restando e l produQtO d e la primera ó las do r; pi'im e t·as tle l a. izquierda d el div'id c nrlo, des pu ós He vé .. t; i el resto Unido al cnrf1cter tl e l divicldudo, cnbe 6 contielh' ul mi !mo 11(m1 c ro d e l cocieute eu e l s<1'gu11do g nati s wo d e l divi· _) .I· ..1 1 1 '.•-
E 11 q uú consiste lo q nu Re ll nma tanteo t Bn poner por cociente é l núm e ro de Veces que ol primero ó Jos do s prim eros c;n ·:wtcres d a la izqu io't<h\ del están co11te11idos . c 11 e l primero tl c ln. izquierda del di Vii:m r, y n.veriguu.r clcsp u és &i este coci e 11to co11l:ie11c c u todo e l tLivi so r. Oómo so efectúa el t:111teo t
1 • 28e l cociente es igunl á In uni11nd t ..,¡ Cnnn dq e l di v i"or es igunl n.1 tlivi1l e11tlo, porqne se r c¡1nrle igual núm ero el e v. ::r. 16: lü = l. . Ourr.n clo el coc iente reimlta menor 1tuc In. mrnlacl t Oun.n<lo e l divitw r e:; mayor que el divitl c ndo , porq ue sr 1'<'· p a1'te e 11 mnyor 11úmcro d e v eces; v. g. 8 : 12 = f2 qu e se h.. c. S <li:r:idi<lo jJor 12, igual Oclto clocc ai:os. CASOS DE , • .. 0Qu{111 tos son los casos flc In. d1v1 s16 n tl e los entclCls • Son tres : D iv ií:iióu tl e un Húm e ro dl g ito por otro, v . I!'· 9: 3 =ª· _ 2º División d o un número compuesto 1){'1r un s implr; , .. .1G :7= 8. · División de uu uú mero co mpuesto por otro com1mc s tn i v. g. 175: 25 = 7. rl Cómo se di v ide un díg ito por otro, 6 n11 compuesto <lf' o..¿ c ifr a• por 1111 dígito t . SnlJ icrulo la. tab l a, 'le mnltiplicnr, pu es s1 e l procl 1rn to !l c l <·o. ciente pOl' el da e l divid om l o, e l sc p n, por ("JC mplo. 7 = 5U, fücihucuto a vc ri g 1mrá (JUC DG: 8 7, Y qtw ou" =s. ·r Corno <livi<le un núm ero com pu esto d o tres 6 mfü; m ¡>Ol' 1111 11í¡:ito f • primero e l co mp.ues to y (¡, s u <lorooh1! e l dfg1t? Reparado p o r e l signo co rreAp o1utJc 11t.c; de s pués . RC ."º la s vecc.l'I que l u primera. 6 Ja¡.¡ primcrns cifrnR ti c In. 1zq1t!Prdn cl e l. cli v icl e mlo co n tie 11 e 11 al d i vhso r c u yo i-;e CNl'r 1ltc t11·lnlJ0 7 Y mn ltipli cntlo por e l dh' iRo r, 'se l'CNt a (lcl rlhtidendo Jl lll'c inl ; Sl' hace lo rn h:mlO co n e l dc:-1pués ele uu i rl e ;\ 11\. d1 •rec;h a. la ¡;: j fl'uio11te ci fra , <l c l di videndo , y tmcesivame11te co n h :i tl cm(ls qt1l' 11'7bierc, husta tel'mi 11m· la o ptm1ció 11 , v· g. Di\"iclenilo 6552 1 9 ·DiYiso r. _ 25 728 Cocionto. 72 00 Có:no se clividc uu 11 lrn1e11) co 111pn esto e ntro o tro co mpue gto f l)rimei:o se esc rib e el •livide1ulo y ft s n d e r ec h a e l cliYi !'.\or, $C · pnrado por 11111\ ll11 ea vertical y otra hor izonta l; cl cs pu éti ise tomnr {111 d e l a, izquierda. cl c l divjdernlo ta utn s co mo hn )·a. e n <l i\iso r y 1111 11 m{ts, s i Ja primen\ tl el es may'?r la pr1 Jh ern. d e l dividc11do, y 80 vcr{L laR \'CCCs quo esto f11vul eml o part:ia l co 11ti c11c u l divisor, c n yo ·cocic nto se escribe tl obujo , el cual "º mul ti plic.-i por todo e l divisor y s¡1 producto se re s ta d e l tlivi ,,eiulo pnrcinl ·1al lado d e l r t!Sto, se cscribir(t. e l s ig uiente g uari s mo clcl 1lid<ic ndo, y se cua1 m t..'i veces, unido coa e l r esto, contiene al divLso r, procecliendo del mismo m oUo cou lo s c:wactere.:; d e l cliddcndo ha sta tc rmirm t· Ji\ oporación. ' Si In divi s ió n e.:; inexnctn, aJ Ind o del c oci en t e se esc l'ibirá un q_uel.n·a tl n rnyo unm e rauor repre se nto cl l'C:ii duo y e l cleuominaclor e l ,tli v iso r ; \ T, W · Didd e ndo 172628 1 48 · 286 1 462 .. 308/ 20 .DiYÍSOl'. Cociente. Cth\ntns c ifras darftr en el cocie nt e m)a división do iiúm ero:o\ f J1nrá tn.11tas co rn o la cli forencin. d o. cifras qu e l mya ninboH ó nn n, cuando el ¡)l·im er di vidc n<lo parcin.1 es ma.ym· que e l r ivisor. · Q,11 6 1d ebo te n e r se presente a l ejecuta r la división de los uít· meros ! · Ln s obset·vncio11 cs s igu ie nt.es: que l :t r est;t do en tl o. d'i vi tl e11do p arnial s iempre b1t ele ser menor qu e e l divisor; que no Jl necfo ¡>011L1 r se ele 9 mm so l o. vez o n el cocit! nt \1, y qu e gi so baja u11 g n ari"'1110 y u 11 ido con In. restn. 110 ro11tie110 al divisor, pouclr:'t. cero cu el cocie n te y se 1>1\jnr(tr el $igqiente g uar is mo Ue l divid e 11 1lo. 1'ANTEO EN LA DIVI SIÓN. En 1il divi s ión d e núm e ros· compuestos, c u (uHl o e1119ieza n f• ocnrrir t:11neos pnrn. hall 1ir J1L \' l•nlaclo1·a cifra ele! cocie n te f U na111l o e l segumlo gum·is1110 clel sea. O, 6 mayor que ü, ó cua.11do soa níayo r c¡n e e l prim e r o cl c l mi s mo di\dsor.
Cómo se resueh·e Jn, división cu.ando se qnicre i·epartir cierto' número ele cosas entre vurins personas 7 Escrfüiendo por dividendo el número ele cosas ¡iarn repartir Y por d1Vlsor las personas; v. g. Se de.1ean 1'cpai·tfr S,500 1'C<tl.. entr• 2G perao11aa. ( 8,500 . 25 ) -"'= 340. l 1 1 ¡
Cómo se res ue lve ha. opcrncióu, cnaudb á un número dado -se le ha de tomar Ja mitad, tercern, cnnrta. parte t Lo más abreviado es sacar <lel di\·idendo, sin escribir el di · visor, In parte que se qmern. tomar; v,, g . Se <leaea saber cttal la novena parte del ntfotm·o 3,105.. ( 3,105 : 9) = 345.
4" Para reducir uuiclaclcs de inferior tl unidades de especie s11 ¡>erior. · el averiguar e l va,lor de la unidad, cuando. conoce 6" Se usa, conocido el valor ele mu c has uuidades y conocido el vn lOl· tle nua, para :n1 e riguar e l uíunaro do elln.s. Oómo se plantea la operación cua·ntlo (, uu número dado se quiero hacer cierto número ele veces menor f Se escribirá por dividendo el níunero dado y por divisor el 11Cuncro de veces qu e se quiere hacer menpr; 'v.g. So desea. lta· re1· 48 veces nienor al númc,·o 1,102. ( 1,lú2 : 48 ) = 2.!.
3º Pa..ra repartir un cierto número de r,osas eutl'C un número de persona s . .
,,· 1 '" -30sor y sucesivamente cu loR demás, Riellflo i11oxacto 1 cuau<lo 110 le contenga, y hay que rebajarle una ó dos nuidacle•. Puede bailarse la venludem del oocieuto si n tener <¡Uc recurrirá lo que se llama el tauteo 1 Si, seiior, observando la regla que sigue: Siempre que el guarismo del 'divisor sea ó ó Gso podrá qnitnr al cocion , to una ó dos unidades; cuundo fuero 7 basta tres, y si fuere 8 ó aunque no rs de toílO puuto exacto, cnsi siempre pnra lial111r la. verdadera. cifra clel cociente consi<lerará e.-i. primer gnnri8mo del divisor con uua unidad más; pero n.1 ejecutar In. multiplica· ción del cociente poi· el di\•isor, cousidm-ru·(• con el valor realmenteque tiene. ( ÁDREVIACIONES DE LA DIVISIÓN. En qué casos puede abreviarse la división 1 En los cnl!ios siguientus: 1? Cun.11clo ul tlidsor es In nni<l n·<l acompañada de cualquier uúrnero do ce.ro•; v. g. 3,568 : lllO. 2? Cuando e l dividendo y divisor co uclnyeu eu uno ó rnfts ceros; v. g. 5,400 : 90. 3? Ounuclo solamente el divisor termina en cel'os; v. g.5,463: 900, • Cómo so nbro,·in In operación cuando el di\;sor os In. unlclnd acowpniinda do ceros 1 Sopnrauclo con uua coma do la derecha del dividendo tantos guarismos como cero1:1 tengo. el divisor de spués ele Ja unicln<l, y queda hecha la operación, s ienrlo lo que qnod" á In izquierda do la coma el cociente y los guarismos Reparados el residuo; v . g. ( 3568 : 100) = 35'68 = • Cómo so abrevia la -división cnanclo el dividendo y cli,·ioor coucluyeu cu cero1:1 f Tachnudo en nm. os términos tau tos ceros como baya .en el f tenga. menos v. g. ( 5,400 : 900 ) = 54 : 9 = 6. Ouaudo solamente el divisor concluye en cel'06, cómo .e abre,·ia la di\;sión 1 Separando do la derecha del clividouclo tantas cifras como ceros tenga el cliviSC!r, ejecutando después la división coa los gnnriamos no S"eparadoo; v. g. ( 5,463 : 900) = (54'63 : 9'00) = 6Jlilo Usos ó ÁPUCAO!ONES DE LA DIVISIÓN.
Cu(mtos son lo s usos ó de 1" división 1 Son los siguientes: 1" Se usa bace1· á un número dacio númer.o de veces menor. I de Ju. mitad) tercera, cuarta,. quinta, etc, partes
.q! , -32- 33' T.AELA DE DIVIDIR. /Cómo se escribirá la operación para reducir uni<laeles ele eso 1 o o 4 T 7 o l pecie iuforior superior f , . _ · : = : = : = Poniendo las unidades ele especie infürior por tlividendo y 1 " 1 " 1 4 " 4 " ] 7 " 7 " J>Or divisor mm unidad de la especie inmt'diata. superior reducida. 2 1 2 8 4: ,, , 2 u 7 {t. la i nferior; v. g. & desea · sal.Jet· ouaritas arrobas oonipontm " " ,, " " s,200 libras .3 ·" 1 " 3 12 " 4 " 3 21 " 7 " 3 1 es,2oo_: 25) == 4328. ,, 1 " 4 16 ., 4 " 4 i28 " 7 ,, 4 '.1' 1 5 " 1 " 5 20 ,, 4 ,, 5 135 ,, 7 " 5 1 Para llveriguar el valor de una cuando se conoce el 1 6 " 1 " 6 24- ., 4 ,, 6 42 ,, 7 ,, 6 I .,1Valor de muchas, eómo seJ.butea la opernción f 7 " 1 " · 7 28 4 7 .j_!) 7 7 Poniendo por divid c1 o el valot' de l as u11idades y por divi " " " " sor el número de ell as ; Y. g. Se des ea saber el de la vam ,8 " 1 ,, 8 32 " 4. " 8 56 " 7 " 8 ' sabiendo qu e con 1,070 1·eales se com.p1·an 43. tiania. 1 9 " l " u 36 " 4. " !) 63 ,, 7 ,, !) 1 o 2 o o o. o s 1 (1 , 0!5: 43).= 25. 1 : = : 5 = : = o Cómo se efoctú<> Ja diYi s ión , cµandÓ se da el valor de la 1 2 " 2 " 1 5 " ü " 1 8 " 8 ,. 1 uuidnd y e l valor d e muc h as, y quiere averiguar el número ele4 " 2 " 2 10 " 5 " 2 J(j " 8 " 2 ell as! · · 6 " 2 ,, :3 15 " 5 " 3, 2J " 8 " 3 ¡ Se divid o e l Ya1or d o la s por e l , ·aJor d o una, y e l " 8 " 2 " 4 20 " 5 ., .J. 3:l " 8 ,, . r:¡ rcs ultn<lo habrá <lo HCJ' e l uúmm·o de ella s; v. g. Valie ndo la va. 10 " 2 " 5 25 " 5 5 4.0 " ¡.¡ " 1·a de tela 25 1·ea les, se d t-sea .sabtn· cuántas v aras so com.p1·a 1·d n " 8 .con 1,075 rea lCB . :12 ., 2 ,, 6 30 " 5 " 6 4.8 " " 6 1 14 " 2 " 7 35 " 5 " 7 56 ,. 8 " 7 , (1,075 : 25 ) = 4.3. 16 " 2 ,, 8 40 ,, - " s 64 " 8 " 8 1 18 2 !) J5 () !) i2 8 !J I.E CC !Ú Y S• ',, " " " " " - ------o 3 = o o 6 o o !) o PRUEBA DE LAS CCA1'1W OPERA010NES DE LOS :. : = :3 3 1 6 6 1 !) !) 1 1 ! " " " " " " EN'fEROS. 6 ,, 3 " 12 " 6 " 2 18 " !) " 2 Qu é se llnnm OJl eraeión d e pmeba !)1 " 3 " 3 18 " (j " 3 27 " i) " 3 Uoa ºsegnnda opernción que i:;e lmce, contra-ria á l a ya· ejecu· . 12 " 3 ,, 4 2J " 6 " 4 36 " () " -t 1 tndn, con el tlu de siiber s i el re s nlta11o hnll<L<lo e n la primera es 15 ,, 3 " ¡; 30 " 6 " 5 .¡_5 " 9 ,. 5 , ó no el verdadero; por lo cual Ja operación de l!tllllAr se comprue·1 8 " 3 ,, f¡ 36 " (J " 6 54 " !) " 6 i ba restandoJ la de l' C1:1tn r, s ummul o; In. de 111ultiplicar , partien · 1 ·rl 3 7 42 6 7 63 9 7 do; y Ja do mnltiplicaudo. 1 • 1 " " " " ,. ,, !J Cómo se\pmeba Ja opernción el e sum ar Y 1 ;24 " 3 ,, 8 48 " (¡ " 8 72 " 9 ,. 8 Hecha Ja suma total, ·se Jrnr(" otrn p!>rcial, su wanelo toda s 127 " 3 " 154 " 6 ,, !) 81 " 9 " 9 las partidas menos un a, y 1Jstando I<> s um a pnreial de In .totalhabrá de dar In partida <¡u' ncln; v. g..... ' .. . . ; tJ
\>rOll1\eto
9 !
s u valor
,
fae. . '
75,487 + 43,654+54,432 + 9,678 = --34188,251 - Suma total. 107,764 = Snma 1parci11l. - - 75,487 Prn.,ba. ne qué otro modo puede probnrse 08Ul OJMll'R6ió11 ! Por que comuument-0 8C Jlnmn./uerti. ele 1u1ccc t•ual .oous1sOO en sumar t.odns la.s cith1s do loK su1Nat11lm1, cdusider,.dll8 en su \'lllor nbsoluto, y restar de 9, cuya dil'ore11cia ha dt• t!llr 1gtml 1\ la r¡ue 1lé la sum" total por el mismo to;'" g. 75,487 + 43,654 + !l.t,J,32+ 9,678 = 1!!3-;-251'Hosidno 2. Cómo se prueba la opm·ucic.ln tle reKtur 1 . ol sustraemlo con "I rcKto, resultando In. smun. 1gul\I al m111ucndo, cuando la operación el!tá bieu hecha· ó bieu el resto dol miunNulo. cuyn difcroucin ha.brl. de 8"r 1gwil ,.¡ sustraundo; ,., g. · ÜPE1Ul1JÓN. l" PllUEllA. 2' PRUEBA.. Minuendo 181435- !testo 11,199 -1Sustraendo ·7,2.ill= 7.23U = Mi11ue11do 18,435 Resto ll , 199 = liesto lJ,199 iuuondo 18.4;lñ Sust.rnenclo 7,2341 .Porquó el sustraendo con el rosto, la suma b1> de scr al mmucudo f al reeto es lo que le falta ni •IU!trllendo parn t!lll' igual restando el rcsicluo del minuendo, ha de dlll' el sus· Porque el os lo que le sobra al mfn)1endo pnra l'().l' ig\lbl al sustraumlo. -:l5-:Cómo "º toanpruebi> 11> snstmcción restando de 9 1 Se f'Utnnn las cifras <lel minuendo. coniidoradt\8 en su vl\lor alJ"Oluto, cuy,. •uuu• se resta de 9; lo mismo se bBOC COI\ el sus· m1endo, r 111 clifereJ\oi1> do ambos residuos 111> de scr igaal á 1.,. qu e ,..,suite e n el resro JJOr el mismo procedimieuto. Si el residuo . 1lel m i uneuclu, despuél! de res!Mo de 9, resultll8c ooro, ó menor que el del fiu•trncndo, se aumenta al resto del sustraendo uu1> uuidacl IB cuul se como el resto del minuenclo; Ejemp)oo: l'.' l'RL'EBA. 1 PRUERA. 87.l.2!i5 - 5 - j 86:3,154 - oti_Q.S1 5_! 6 = 2 :: 1478,532 = :.! = 205,68!l . . ;3 384 ¡622 - - 7 . PRUEB.A. 864,255-3489,6<13 = 7 ""' 374,612: . :-5C6mo i;o (•0111prnoh11 la multipJfoacjón l Se di\'id e el 11n11lu..ro por d multiplicnmln y da el multipli"''dor. ó bien por el rnultiplicador y ha ele dllr el multipli<lando. Ejemplos: ÜPERA.C IÓN. ] " PRUEBA. . 1 2• PRUEBA . • Multi¡11icu1111o3-t5 x j Pro<lneto-- S, 280: J Prodncto--8,280 : :llultipli c ndor 24 = J )Jultiplitnudo :l4b= 1 Multiplicador = Producto 8,280 J ;llultiplicudor 1 Porqué so divid e e l pr0<lucro por · el multiplicando ¡mm ballr>r el umltiplil'orclor 1 , Porque el multiplicmlor i11dien eou sus , ·eees que el pl'Odncto repite al mult.iplicnu1lo.
d
Porqué In di\'isióu del producto por el Porque el multipli cando e•p1..,s1> las \'eces que el está contenido eu el uml1'iplicador. Cómo .e comprueba lo multiplieooión restundo e Sumaudo las cifrns <lel multiplicando, consiclerndns en absolutp c uya snmu resti. de O; se hace lo mismo con cl multiplicador, y los resto• se rnultiplican entre si, cuyd' resnl tndo1 rest!>do de bn de snlir igual al resto dcl producto por el m1s".'o procedimicuto; CUJl!do el resto de algunos de loa
111rilti11licador da l'l multiplicaudof .
!J,
,
-36tores resalte cero, también seri\ el resto del prodncto. -11' Ejemplos: l' PRUEBA. 2' PR'OEBA. I 7,362 X • ••. 0 X .. -l ."13 =····ª= 51438 X •.•..2 X, 652= ·····= 3.M5,57p ••.• 8 . 6,898 X .'••• 8 X - 782- ..•. 8= 5.390,320-:::-:-c 3.334,086-:-:::-o -Oómo se ' prnella la división f Mnltiplicaodo el cooieot.e por el dlvl110r, cnyo producto, más e' resto,: si lo · ha;v, ha de ser ignal al 1livldeodo. También se comprueba, partiendo · el divldeudo, menos l!I resto, por el cocient.e, y el resaltado .babr' de ser el divisor. Ejemplos: OPllRACIÓN, ! P · PRUEDA. 1 3' PRUEBA. Dividen;¡;;- 81280: 1Div1sor -- M5 X 1Dividen;¡;;- : Divisor 34JI= J Oocient.e 24 = Uocieute 24 = Cociente -;¡¡- ¡l)ivideodo 8,280 1 Divi sor Porqué mnltiplicando el cociente por él divi sor du el divi · deudo f Porque el cociente expresa con sns nuidndes las veces qu e el divisor esta contenido en el dividendo, lncgo repitiendo el divisor este número de veees da el dividendo. Porqué la división del dividendo por el cociente <la el <liYi· sor! Porqoe el dividendo ee tantas veces mayor que el divi sor como unidades indica el cociente. · Cómo oo prneba la división reatando 9 f Siemlo el dividen1lo, menos el resto, ignal al prodnoto del CO· ciente por el divisor, se JXK1r1r oomprobar la división, restando de 11, . OOID() se ha en la operación de mnltiplicnr. Ej e mplos: 36,865 , 348 6 X 2,065 =-c10=5,----- 6 = o 825 36,MO O -37TAELA de la correepondoncla de pesas m11didaa Medidal de longlttld. l legua = 20,llOO piée. · 1 vara""" 3 id. l pié = 12 putl{adns. 1 ¡•ulglllla = 12 lineas. 1 fnoo = 12 punt:os. Otra de la t vara = 4 cuarta::!. · 1 cuarta = 2 oohnvns. 1 ocb1wa = 6 1\ edos . J)[edi¡!m 8ttperji:ci.ale1. para el aceil<l. 1 arrOl>a = 25 libras. 1 liura = 4 panillas• . 1 panilla = 4 onzl¡\8. Jllellidál para drido1. 1 ca.hiz = 12 fanegas. 1 fanega= 12 celemines. 1 celemlll = 4 cuartillos . 1 cuartillo = -l ocbaVill9s. Medidtu ponderales. " ad ¡ 1 quintal = 4 1arrobas. fanega = oiO est a es cua- 1 arroba= 2ú libras. drndos. 1 libra = 16 onzas. 1 nrnuzada. = 400 estadnles cua- 1 onza = 10 adarmes. = 16 mrns cu1tdrndae. L adanne = 3 tomines. 1 mra. cun drnd a. = 9 pi és cua.- · 1 .tomfn = 12 granos. Puas medici11ale1.drados. 1 pié cuadrado = 144 pulgndns cuadrnclns. 1 libm = 12 onzas. 1 onza = 8 dmcmaa. · Medida' CIWÍC<Ul. 11 1dmcum:.. a escrúpnlos. 1 escrúpulo = 24 1granos. vara cúbica= 27 piés cúbicos. 1 pié c(tbico = 11728 Pua. para la1 mo1WJdas. cúbicas. · 1 ¡migada cúbica = 1, 7281\neas 1 libra= 16 cúbicas. . 1 marro = 8 td. Medidaa para llquidoB. 1 cf>ntara = 4 cuartillas. 1 cuartilla = 2 ..,.um brea. 1 llZ1llllbre = 4 ooartillos. 1 cHrtiUlo = 4 copas. l onza = 8 ochavas. 1 ochava = 6 tomines. 1 tomln = 12 granas. Medidal del tiempo. 1 allo = 12 meses . 1 mes = 30 dlas.
,. ' • l 1 • ] día = !?4 liOl'fl8. 1 hora = 00 ruiuut-Os. 1 minuto = 00 Relacilln de molas . .De oro a11lig11as. l onza = 16 posos. 1 media onza =8 l doblón = 4 pesos. 1 escodo =2 pesos . l medio escudo = l peso. De oro l doblón ó contén ="100 rcnle• l wetlio doblón =50 id. 11 n e plata 1111tiglla•. 1 ueso = 20 r<"ales. 1 1 medio peso = 10 reales. 1 1 pe11eta-::::. 5 rualel". 1 1 media pcset<> = realc•. 1 renl = l;i renl. ' JJc plata fllOlltrnmt . 1 2 pesetas ::e:: S 'i 1 peseta = .J .1 J 111 cd1a. - 2 f'Cnles . 1 1 real == 34 mnrnvc1ti,..e.'i . ne cobre. 1 pieza. de :! cnu1·toli == ma'/ .l. cuarto =' J ¡ l ochnyo _ .:! n111nw od1sus. 'l'A:EII.A r>:&: m:na?'. OB :ROMANOB Uno . . . . ... ..... . . i SCl!enh• .. ... LX Do•·· ··· ....... __ rr 1 Set.cuto.._ ...... __ 'LXX Tres ...... · · ...... III 1 Ochenta ...... _. . LXXX Uuutro . __ -· ... _.... !V 11 Novc nca . ..... -·. Xü Cinco .... ........ V Oient.o ········ ·· e Seis .. . .. . ....•.... Vl ....... ce Siete . .... .. _.... . - YII Trescientos. ..... ccc Ocl10 ._ .......... - · VIII Cuatrocientos .... CD Nueve ....... .. .... JX Quinientos ...... . D Diez-- ........... _, X Seiscientos .. . ... DO Yeintc._ ...... ... .. X.X Sctecieu tos .. ... DCO '.l' rninta . ... -· ...... XXX Ocbooicutos .. .. DCCC Unareota .... ...... XL .:llovc<•icntos .... .. OM Ciucueuta. L Mil ......... _.... ll j -39/ PRO BLB l AS. Ejemplo J •· Al número 2.438,436 bí1gn•o 572 vece11 Ser&menor. número '11111ltiplicatlo por 593 di) por productoi Scrú &364. :i• Culll i;erll In octam pnrte del uómero 00,!ICl f Será .. ·l." Tómese l» 110rn11n pnrte del 11ú111cn' :?4ó,8 17. Será fiº Se qnieren 3,62:; t•ealbs entL·u 29 pof80nns ¡.cuá.11 tn eor1-cNpo11de oí <!nlla. 1.rna f f.J0 corrl'sppudorá.11 125 ü" Si 743 jol'naleroR ganan :!Ia.o;:o reult•s ¡ cuánt-0 <'1tdaganará 1111 0 Ua11a1 ·M, tSO l'l.'ales. 8" cu.i ntos qninl a. ll'!) i.084.SOO (lttzas r SCrfm 078 9" El come.rcinute que compra 4,836 vara!( de <m 3 14., . 3.JO rea.les t 6 cómo le c 0sturil In """" ! Le coslar:\ 66 renks. 10" Si con 2.6301840 rt:•lc8 se com¡irnu 4,:!6'0 ti c café¡ cull11t-0 valdrll un quintul 1 V-aldra 520 ' '""les. 11? Cnllutns V<>rns de tela se com priwliu c'On :H4,:100 1•;1licudo la var11 6.5 reates f Se compmrán -1.l!:JU Costando el quintal d o café 520 rcall'S ¡ <' t1ilntos quin t.1lC11 l!C comprnri\u con 2.530,8JO , l't'Rl"8 f So 4 1 >!61q11111ta1l'I!, ,J ' '. 1 l ¡· ''
i 13° Si con 4,420 reales se compran 8 qnintnles 3 arrobas 9 libras¡ cnánoo 1-aUirA Is libra t · Vfldl"á ó real es. 14• Un comerciante compró dos partidas de café; una de 640 qilintafes á 25 peso•, y la otra de 5-00 quintales i\ 24 pesos, ¡ cul\nros qnintales compró y á cqmo Yale cada quintal 1 Uompró 1,140 quintales y costó cada quintal pesos 56 centaYos. 15? El u Cunero 69,428 multiplfquese por .'J3; clol producpo réstese 84, 324 y la cliforencia <livldn se por 613 i cnál será e l re . s ult ndo t . El resultado será 3, GOo. ' 16" El impo1'te ele 2,400 mi-as de género es 21,600 r ea les¡(• c11únto se venderá la "'""' Jlill "' ganar 3 reales en cnda una 1 SeYenderá á J 2 ren les. Un co111ercia11te compró 2,450 arrobas de caeao eu 17,lóO pes os; queriendo ganar 4,!JOO pe s os¡ á cómo venderá cario arrobu T La veudet>.\ á V pe.os. • l '• De 6,4G3 quintales d e azúcar que tenfn u11 haceudad l' Jiu \'Cudido una partida oo 835 quintale s; otm d e 1,648 y ot1·a <l e 2,-109 ¡. cuántos quiutale!' l e q u e,ln11, y :í. cúmo venderá cada quintal para que le produzca ü,21!4 p c•os 1 Lo Yenll erá á 4 pesos. 19" E l haceu<lado que durante <:I n,iio h n tomado 1,625 val'aS <le te la á 2 real es y ll a pn gmlo cou 125 fan egas ele maíz ¡. á cóU10 vcudió la fanega 1 _ Ycudi ó la firnega á 26 reales. 20" Se ha pinta o e l fr e nte de un a ca•n que tie ue 86 piés <l e a u c l10 por 231 lle alto; habiendo costa do I" ¡Jintu ca 238, 392 reales ¡ cuúnlo sn l c e l pié cua clrnd o 1 Sale á 12 rcnle• .
SEGUNDA PARTE LEOCION l'+ QUEIJlf.ADOB Ó l ' RACOIONES COMUNES Qué se llama fracci6n ó qllt brado 1 1'ouo número q11e expre•a una Jllás portes iguales de la nnirlad; v. g. 11nra11ja, :f de pe.o-m. d e qu11_1t.a1, que Ieeo: rnedia nat·a11ja tr es cuartos do peso, cmoo cen'té.funas de qiuntal . De modo ... JHl ede se-i· la fraccióu ó quebrado r Ue do:s: c om(i11 y fl olli mnl. C uándo el qu e brarlo so ll ama conn.hi t Cua.uclo se r e fi ere ií. la . uuidad divididn. 0 11 cun.1t1ulcr de parte'; v.g.¡ .. .Cunnrio el quebrad o se llam" tlc cima.l ! Ouando se refiere á la unidad dividida en JO, 100, lOOO, J0,000 et.e. v. J!. 0':!5 . . . . 0'504, qu o se Je e n: veintici11co ctnf.ésimaa 1quinientos cuatt·o 111ilés imns . De dond e se origi11n11 lm; qnebrnclos 6 ft'ncc ioucs f D o Ja división t1e la 1mi1/ ad cu par t es. tomando de clJas la s que se .quiera.u, y birnlJ:!é1 l do Jn i!ivisió u tle uu meuor por otro nrnyor . Si cogemos, por eJcm µfo, 11na nm·an;a y la dividi moa en Bpm·tca if¡ rt alca, tomando dcd/m1 la!& ;o!o 5, o-eaultará ol qutJb,.ado i; y si al mím cro :) lo tNvirlimo H11or S, ( 5 : 8 =.a}da,. rá un co cie n te que so r cprC8rnta co11. el quc b1·ado Q . Qnli su infiere do lo did10 t Qu e t ocio qucórndo l'<' prcs<' :1 ta c?cicnte do una. d 1v1s1ón i ndicada , s ienflo l:Ht 11u1mwadm· ti tli\riclc mfo y su rlonom.inador e l diVi HO I'. Cómo se lee e l qucUrndo ó frn cc i <in común t Pronu1tcin.rnlo e l 11u111 ormlo r c:o11 los u omb rc1:1 numl1ra1Cll nbRolutox, y el <.hmo oliu:idol' los nun: cra. 1ci-t purtitivos si no Jlegn 1\ di P.z, y c-0 11 los 11111nornlt·i; ab sol utos s i ll ega. ó prt !"la do diez, nfi:i<liéndol c d C'8 J)U ÓK J¡¡ p a lnb ra at10a; v . . g. -l !l Q l h \ se lec 11: ait:ta tw vcn ws, qu i11ca tJciuUcua t,-o aiY•s. C óm o se cl\crilmn los qu<>br:irlo!\ f . Po n iendo 1>rim cru e l 1.umcra<lor y del>njo e l clc11001111nctor, aepara<lo1:1 1> or uu a roya; v.g.!.: e l uumcrador es el 8 y t\l í)e u omin ador el 9. . ..J · ''·' 1 il.
. !, j . t -42Qué e.tpresa. eI numurador de 1111 <)ttcln·:ulo f El 11ú111ero lle pnrte'i <1ue se toman jl O hi 111iirhul; ,., lf· "ªPI quebrado-! e l 1w111er1ulor S rcprcsl1 11t:t •1110 do la n11illa tomado1:;r11:111 S partes. oxpr1•:-;a- con el denomi:wdot t1e 1111 <1uclwn<10 ! m llÚlllero 110 pa.rtcs en 'Jlll' se co11sicl1ra divirlicla la 1111itl:ul: v. ;.:. t•u e l qnebraclo !. e l tlcnomhtadoY U fJIW la 1111i· fiad cst;í. dü•iclirl::t en 9 1111e,·c partes iguale!", J,ECUIO.N DE I,A DIYJSIÓN DE LON QUF.URAJ)OS. J Qné f]i\ ·ide °C J QllCbl':tclo, tanto ClHn\111 CO lllO dOtÍlll¡ti ! r lfo s impl e. co111puc$;to, prop io ó im1>ropio. Cufm do el quelJrarlo Ke Jlamn simplv? U ua11do so r<'ficrc (i, Ja llllid:ul clh•itlida ru p ;11·t<·;.;: '. g. d1• l ibra, y también 0 10.1 llt· lJ UintaJ. <J 1uírulo q1u•brnc1Q so llam a. <:1n11puc1tfo ! U11a 1u lo l'iO íí otro q1whrndo 6 á uu l'11tt·1'<1; \·. f!. H Jd1· <¡11L1tn l, y tnn1biú11 lfo:; <l e 1p1it111d.ei-:. ,,11(11ulo e l qucbrntlo St' II:1111:1 prop10 r l' 1rn11 rJo va lo 111<•11os qu o Ja 1111i1fod, .r so c·nunl'o t>11 fJHO 111111w.nlllrn· e!i 111('11111· Pi 1lc11omi11 :tc lo1·¡ ,.:-./!. : · l '.-> p: •ip io imr . 111u• I<: fo ltu.ij. para \ ': tlt>r la nni1!:11I; .Y ta111bi ú11 pOrr¡ut• Je tiilt;m O'i.'i· 01i;í1ulo (•I <¡rrnbrntl11 Sl' llmu;t impropir> f Cm11.u lo vale tanto V 111:ís 'Jllc /;a 1111id:ul. -43·'" 11u a ltt• n 11 p91-rp1c w ulti1)Jicar y' dividir nn 111í111 cro ¡mr otrn 1·u:ilc¡11it•r:ii C::-l c ou el mil-11110 valor. t:óruo :-:e reduce 1111 11ú1u cro mixto {¡. f¡ttebrnclo co1 111í 11 ? :\l 11 Jtip l11·a11Uo el entero por el de11om111aclor del quebrado, y ;d prrnliu·tu, 111:í,..; Hl l\UU1tm1rlor1 se po11drt1. ¡1u1· clc110111ina1lor eJ dt·I •¡r11·Lr:ul 11; v.g. reducido á <111cOrado so1·á: r.·i 5xS+3 -1:3 Cü1110 :;e n ·d11ce11 quebrados fºO GIJ;) llCStm-1 á :-; i111plcs ! i\ l11l ti 11lfrm.11<10 lo s 1111111cl'n1l o 1·es .Y de11ouii11ad nres 011trp sí, t'IHllltlo e l quclirnt.111 sc.n: tiere fí otro 1¡ucOr;1du; .Y cuu11do 1'38 r e/ic. re ;í 1111 e11tem, 11111l tiplica ésto por el uu mcradol' del q11e1Jraclo, J al JU'Oducto .SO lo prm o uJ llfismo 1Jenomi11ador; V g. ado fr f(Uill ; aJ """" X = ¡ rlo (Jllilllll! : .r ¡. rle 4 ]1CSO$ SCl'IÍ: . •J = f1le !JCl'iO . AL'.l'El?.ACION.ES QUE EL C¿UF.URA DO Cómo puedo an11u.rntHJ' el \';1Jor de ur1 f)uebrado 1 De dos l" Si el 11111nerador tlc quehrntlo so lllultipl1c.a, tnmbiéu resulta el 1) 11 eU1·ado multiplicadú J>Ol' el 11(11nero;mismo v.g. 3 X 2 (i =:s :.!" Si el dc11omi11mlor de u11 ¡.¡e divide por nrt 11úmeru CLU1lq11icn1, del 111is111 0 111oclo 11ucdarii. 11111lf-iplicudo olr1uebrndo; v. g. 3 ;j 8 2=.¡ U60·10 r>nedc 1lhuni1111ir ol vnlot· e.le 1111 queLr:tdú f Ue rlo s mu11 e1·at;: Urrn rulo S<" cli\·idc t.:I 1111111oraclor 7 e l IJl'atlo'lttC· 11uc <1ará dh-iditlo; v. g: ii : 2 3 7 =1 . Cual!do se 111ulti11licn e l. <!f110111i11aclor, tau1hié11 c1uc'flar:í di l 1 j '"
n6
= '16 . ... 4 >< 4 =j] .... SX2=i6 LECCIÓ:N 5'
' -44vidido el quebrado por e l n¡iaruo uúm oro; 1•. g. 6 \. 6 7 X 14 Cufindo el quebrado no altem de valor t . Cna.11<10 sus clús se mnlt.ipli c nu 6 llivil1en por un mismo ufüne10, porqu e eqmvale (i. multiplil'ar ú dividir el uu · 111erudor tantas veces como so divide ó multiplica ul <lonomiundor; v.g. GX 2 12 . G: 2 3 S X 2 = l6 tamb1ón ¡¡ : 2 = 4 dómo so conot:e Cu a ndo uu qnel>rnclo es mnyor que otro T Si am bos tienen mi mismo de11omi1uul01·, Her{¡, mayor el que tenga urnyox 1mmcrndor, porque Jns pnrt"'i-; son iguales y se toma mnyor uúmcr'o de clln:::; v. g. # i:ier:'t mnyor . U11 a11do ticuc:il. un mh11uo numc1·ador, i-erá tria..' or PI qu e tqygn menor <leuo m mador, porqu e la tmitluil dividida e_ü mlmoi' número do partes; v. g. ¡ acr{l. 1un yur qnc L. l lf · Cuando los 1rnm crnclo r cs y d enomi11ntlorcs 9 son. <lifürentes s e1:á el qucbratlo que le _ falto ¡ncuos pam componer uuulml; v. :r. mayor cine§, 1 ' -45Jin el prindplo 1le que un quebrado no a ltera de valo1· t·uausus dos t érm i11os so multiplican por un mismo número. Cómo se•rutluoon los qnebrndos á un denominador detormiuaclo J... i\fult ipli cn11<10 el numerador que brnclos que resulten <lo una conti nu a multiplicacióu t Multiplicnmlo térmiuos de cada. quebratlo por un número cuyo pro<l ue to dii e l de 11001innd o r mayor¡ v. g. Los quebrados _. .¡ .. . {i .•. a, rcducidoi; al ?1-ayor, t5Crft: 1 )( S 8 3 X 4 1.2 5 )( 2 10 2X8 UE LOS QUEBRADOS Q •e cntienu c por nn'quebraclo Reducirlo n su expre¡.;1ón sencilla., para mayor- facilidad en lus opcrac ioucs y pnra. co1101 •fl;r mejor su valor. l'ómo se reduce uu qneLrndo á su exprl'sióu
porq 10 i;o lo Jo t'ulca ! para llegar ú. la nuitlad. 7 LECCION RED U CCIÓN DE Qli E DRADOS Á \ UN <.:01.IÓN se llaman quolJrados QllO tioucu <life1onte tlcno minn1lor f Se lluman lu:tc..rn.1éncos, porque expresa.u colcccióu de pn.rtcs J tl o In uuitlacl. f Qn ó es ru<lucir Jo, :"1 n n comím 1 Bjtc·ut•tr unu opt•rnci611 alte1·ar ol vnlor tl los qnctlú nn tl<.•110111i11:u1or i:rnnl ú trnloH. Ctl HJ<J i:;c re•hH'Cll (l un 1l e11omi11ndor común t ruulti pli can dO l Ól'lll i llO!ol. tlO c.:1Hla quel.H'llllO por el prOtlUC · to dr lo!$ tlt·11onli11: u lor c ... c?e loA licnu'H• ; v. g,, i•iu'l\ reduc ir a uu común ucnominndol' los quehrndos JI ... . y se hari\: ] X 3 X 4 1l 2 X 2 X 4 16 3 X 2 X 3 18 2 X 3 X-,¡=24 ... 3 X 2 X-(=u·'"4X2x3=U Eu qné t.lescausa esta operación
f
.
de cacla qu e brnuo por e l dono mi11ador que so <lctcrminn, y e l producto so divi<l e -por e l mismo <lc l quebrado, cuya (Ocieute el numerador respectivo; v. g· Para retlucir á octrwos los quol.Jrados .¡. _ . : bnrá como r:;iguc: Cómo se re<lncPn á un cleuominatlor mayor dos ó más
sencilla t Tomando de t ó rmi110 111 mitad, tcroéra, c uarta, q11ii11ta, se:x:ta, oct ,1va , 1wrena y décima parte, cuyo. opera· ción en (•sto priucipi<1: 1m qmJbr a. do 110 altera do 'Valor , cuando sus dos términos StJ d il'iden por mismo número. Onáu tlo llll quebrado puelle si mplifu; orse por 2 t Onnn<lo s us dos térm inos aca l> a. 1 ( en guarismo par 6 ºen cero, v.g. 34 :2 17 40:2=20 Pul>ndo nn qnebrnuo puede simplific1use por 3 1 C u a ndo sum1>uclo la• cifras d e ca-Oa té'rmino co nsirlerndaa ·¡ 1 ' 1 '
-46- J <' U su \' :t-lor 3h8oluto, dan 3 ó 1111 múltiplo de ,., 315: 3 1$)5 438: 3 = f.W Cn:.•mlo l'Od1I" 8i111plificarse por· ·1 'J Cuando la s U.os l1Itímas cifras tic In. dc1·cchn de <·;ula tl'n11i11u lc11ga11 cuarta pa.rtc exncta ó acalJett eu <los \". J.!. 512. J 128 736 :,t= ISl ()u(t11llo potll'(L por .j 1 ) Cua.utlo lo s términos del r¡uebrudo acal.>011 cu tt•ro ó cu J: , .. J.!. 34.5: 5 (jlJ 5'10: 5 = 108 UUií.ndo ¡medo s im1)lifi carso por G r Oua.1ulo nmbos tórm iu os acubjj11 1.m Oe1'o ó cu g't1ari:m 10 par. y aderuás Ja. suma. de las c ifras ele cada tér111i110, t:Oll1i irlcl'ntlas 1.•1t .."U valor alisoluto, se.'"L divisible por 3; \·. g. 258:1.i ·13 360: u= ifü podrá simplificarse por S ; Vun.udo l os t.ér1 11i11os sean dh·isibles por Z y por 4t arnoién el quebrado ser:, divisible por S , producto de. t JlOl' \',4¡ g . 136: 8 17 152: 8 = i9 C¡tá.ndo uu <111ch t'fülo ¡>tl41rü, sir uplifü•ar:-t• por 9 1 Onaudo .su111a.11üo las cifraM do catla tl-rrni110, cousidcradas en 'Valor ubso ln to, sean Uivisilifo8 J•or O, tumbión Jo e l urado¡que' " g. 126: ll 14 207:!J=23 Cuándo un qnebrndo podrá simpliticru·sc por 10 f Cuarn lo lob! térmi nos de uu q ueb r n.do acnbun 011 cero, éste podr4 simpli6carl'ie poi· Jo, se¡1arnudo nu cero decuda .... g. -4.7230: 10 23........ :no= 10 =s1 J!EDJD.1.S DE LOS NÚAIEUOS 9-üé se e11tic11tlc pm·fa ctor tÍ 1w rte alfo1wta de un níunoro T Vnalquicr número que l e dhid.o eAacrnmente; v.g. E l 5-cs ó parto nlfc11otn do 25, porque dh·idido és te j)Or 110aquél, '1cin res iduo. · Quó SO c11tirn1tk\ )lOI' 1JO?' iu u/iouanta J ' nfüuero q 11c di\·it.lo {¡. otro. dojnuao rcsifl119; v . f.!· BI ii es parto hli 1·ua11 t a. dr 28, f>OJ"Qlto clividido ésto pm- a<¡uó d1;jal, a JIOl' J'Cti itlno . ' f'lC ll :h11: :. 1Hi 11w 1·0 11t'IÍll.i¡Jlo de oko 1 Bl qu e l e Ri11 clcja1· residuo; · v.g. El 15 os tlermíltiplo a, n s1 com q :!ti lo us <l o 7. Uu(uu lo l<) w 11í1111 c r oR "C ll :1m:rn sinplcs 6 primo15 T Uunnclo t! O so11 div is iUlcK sino poi· sí 111isp1m, .¡ y la 1111idnd; r. g. 2, 3, Jj, 7, ll, J:l, 17, lf), 23 , 29 7 ctu. Cónto IS O fo r 11Hu1í un a. t alihL db níuu eros primos, ha sta. l'º''500. T E su rib ic 11d o los 11 ím11i ros rl esc i c· e l 2 hasta e l üOO, <le se¡Ht 1·a11 totl o:-¡ pa r es , e l 2; despu é s 105>1 cin c sen u divisi bfo s pm· 3, 111 r 11 os el J; lu ego los tlivisibles par 5, 111 e nos el 51 .v (dtirnu111 c 11 tc ' lll C t c11;:ra11 por foctor id 7 y al .. J J: los rc8t :.llltl'x t¡11 ctl 11rí111 i11 c loido !-! 011 la, tnb l a cic Jo¡;;p 1imos. l'n:í.nclo los 11úmcr·os ""' ll: 11 11n11 l'o mpues tos f C11n11do tic11eu o t r:i :•1e<.li da m;'1.s quo el 111is1110 11(nuoro y l1l 1111idad; v.;.: 4, fi, B, !I, Jo, J:.! , 1 J'1 J;'i, lH, cte. • Qué so lln11rn m c did:i <·01111í 11 •le 6 rnfís 11<u11cro...; f fiicto1· ln .'i tlividn ('.\'.Huta111e11te 6 qne pnrte nlicuota. de v.g. 2, 3, 4, r; y 12 scr¡í11 111edirin s com11 11 ct:1 do l o:i 11í1 111c1·os y 8J, pol'quc Jos cl1vido11 si11 drjnr residuo. j · Có mo so Lall.u·{rn los fücto1·cs sim11Jcs y corupncstos do 1111 jnluuero t \ Dividiendo r jJl'OjlllCsto, pl'imoro POI' 2 t o das Jus VO · ¡ ces q11c so pueda¡ luego por 3 y desJ>n6s por ó, cu.vos números Re escriben <lclnnt e dol y debajo del mismo e l cocien te; lu egl) so mt1Jtiplica11 los factores simple s entre sí, de doi: ,.,, 1. 1.
-".'Idos, Uo tres en ó ele cuatro eu cat\tr9, hasta. qnc so repita número propuesto. Ejemplo: 1 1 Faatorcs 1 1 Da 4:i "·•:"· i•• ,....... _,,.. 55 1 : · l 15 1 30 J 11 .11 1 23. _33_ . 55 66 .. 110 .. 165 330 . . Qué se entiende por mayor medida. comú11 tl mci.:i:imo común diviam· ent r e dos números darlos 7 · El mayor factor que los divi<lo cxnct.amcnte: v. "· El rnáxi · mo común tlivisor entre Jos nfünerns 24 y 81. serl. 12.,., s e llalla l a 1ooyor medida. <:0111ú11 out.re dos n<uuoros Se primeramente e l número mayor por et menor· si de esta. U1\·1s1ó11 cociente oxncto;.. ol 11úmero me11or la. rtl(r.yo_r comtili; pero f'i quedase algfrn entouces 50 segn_iri\ <l1v1d1cmlo el divisor por e l rcsi<loo y sucesivamente se coutiuuar{rn 11ivisiones hallar u:1 ' cociente exacto. Y on oste crLSo el ultimo divisor Ja. mayor medida comúu de los pl'OJ):J6Stios; g. Entro lo s níuneros 6G y 432 la mayor mcdrda comúu seri'1 6 por 1:1cr el 1tltimo divisor. 432J 6? _ >6 36 30 J 1 -- - 1!-·06 o Qu6 npJicación tiene PI t11áximn cmntín dioi11nr 1 S'rve !:..i sim11lificación de lm:1 qnebrudoH con mayor prontituc1. Quó s e entiende por mí11imo conuín '11úlliplo cutre dos ó n6mcro:3 clacl ol-' Y El meuor 11füocro qna sea. tlivir:iiblo á l a vez por t.odos ellow v.g. BI tníuimo co111ú11 múltiplo ontrc S y 12 será 24. · ' Cómo se baila cJ mfn.fmo com1in múltiplo cutre dos ó m:\R riumcros dudo .., t -49-- , Se descomponen primcrnmcuto JoS números dados en AUA fautores simple1•, y clc ' uqucllo13 que 1man clivii;ores 1le otros, formará un ]woducto con lo s factores obte · nidos, poniendo 011 cad:\ u.no tlu e lJos e1 mnyor expoueutc quo lleve en , ln H dcscorn1>0Kiciones ve.i·ifica<las; Y. g. El mi11imo t·omú11 mítltitJlo eutre uúnieros 24, 84 y lü8 scrfl lGS. Ejemplo: .. 6 2 21 · 3 42 2 3 s 7 7 21 13 1 1 717 2.!=21X3 -__. 84=2'X3x7 .. . _ .168=2'>< 3X7 2'X3X7=168 . Qu6 t.ic11e e l wi11imo covnt11- 1mí.ltiplo t · So nsu. )). ' U'I\ hi. 1·c1luc<:ióu <le los quCb1-.ulos 1\ un com(m <leno mimu.lor, c unutlo loto\ <l et1otniuallorcM tengan algúu factor co111ú11. LECO!O::S 7• OPEU ACIONES F\; :\'D.AM.EN'l'.ALES DF. LOS Q'UEJJRADOJS COMUNES $UMAR QUEBRADO$ Qué 01>cmcio11cs i;;e hatc11 Íos quebrnc.los comunes 1 mh; mns c1ue cou loH números eut.eros, y adt·más ro valúan. cnsos 8C cu la udicióu tle Jos qnubradoa f 'f rci:s: 1m111ur quelm1doti cou qneUnulos; sumur quebrado cou rutru'O. y snuun· uúmeroK mixtoi;. <.M016 se E<nmnn qncbrudot; 'l Cunudo tie11c1i un 1uis1110 <h.•110111im1dor, bat;tnrá suma r los numeradores 1 y {, Ja. t;umn poucrlc poi· dcnumiuador e l comíw á todos; pero tn lo s tieu<'U distiuto dl'uominnclor, ha.y que reducirlos (Lo m1 b m i smo , y des¡méH cjccu.-iu· l" operació» cowo queda. dicho. Eje111¡1lo.: ll 1 3 .! 5 7 20 2 ¡¡+9 +¡j+ü+9=1r= 2 !1 1 3 2 1 45 24 20 89 29 ¡+ ¡¡+a=6o +_m¡ +w=oo= 1 oo ,J 1. 1.
Cu611tos casos pueden ocruTir cu h' un1Itiplicnción el e Jos quebrados 1 . Pueden ocurrir trcR en eos clif<'rcntcs: multiplicn.f un qoebru<lo por otro; multipli c nr un entero por un quebrado 6 a.l cooM trario, y multiplicar uúmcros 1uixtos. Cómo •e hall:. el p ro ducto <fo dos quebrados f !lfultiplicamlo los numeradores y dcuominndores entre sl; v.g. Cómo "" multiplica un ontcro por un qu e brado, ó al trariooonf Se multiplicn el entero por el nnm erador del quebrodo, y el producto se divide por el dcuominador; v. g. ¡ '
RESTAR QUEBRADOS Cuántos casos pueden ocnrrir en In. resta' ñe lc8 qucbrudus f Puecleu ocurrir tres : restar uu q uebrndo <l e otro; restar uu qnebra.clo <le un eutero, y restar uúmeros mixtos. Uónio "º restan los quei.Jrndos f Si tienen mm misma. donominación, se restan los numerndoM res, y ÍL Ja diferencia. RO l e 110110 el denomjnatlor común; pero Ai lo s quebrados tienen difereute dcuomiuutlor, lia y que reducirlos á uno mismo. y dcspnél'J se nverigua la difere,ncia c.J.e Jos numera dorei1 como en el caso anteiior; v. g. Cómo se restn un ,qtlebrailo ile un entero f Poniendo al ente re la unidad por ueuowinador, y ol caso -51queda reiluciao á restar nn quebrado' de orro; v. g. Cómo se rostan lo s mixtos t PuNlc ha cer se Ja opcl'nción ele dos modos : 11! Reduciendo los números mixtos tí. quebrados, y PJecu. tn1ulo In operación como tales; v.g. · "'= 3. 9 27 27 27 ;} 2º Restando e l qnehrodo del quebrado, y el entero del enrc1·0. E11 ei:;to ca ··o 1mcclo ocurrir qne el qnol>rado del sustraM enrlo soa. rnrtyor que el del mi11uo11tlo; para tmlvar esta. dificultad,"'º tomará una uu iliad fi, tos e1it-0ros del minuendo y se unirá ni quebrado qne Je ucompniia; v., g.
... -50Cómo se suma uu entero con uu quebrarlo f Se hace lo mismo que para. rAduci11 u11 número mixto 6 qnebrado, C.!itO es, se multiplica e J entero por el flcnomina<lor quebrado, y al pt'Ollucto, más el uum erador, se poU1.lrá el mo deuomiuatlo1·¡ v. g . · 8+Jl ='!] . Cómo se suman los números mixtos t Puede l1accrxe la opcn1ció11 du dos 111otlos: Retlucicndo. los 11ím1cros mixtos á qnebrntlus, y ejeea · /tando la operación como tales; v. g. , w= Sumando los qnebra.1los con lo s qn ebrnilos y lo s ontero" con Jo s enteros, á In. suma. 110 los. onteroa lo qne resuJ. ta de Ja. sumn de los v. g. 2:} + 4.g. = 2 + 4 + .'.+ 1 : = B;¡
MULTIPLICAR QUEBRADOS
• . --5:?Cómo multiplican los mixtos f lnt>flrpornmlo f!I entct'O nl qncl>rndh, tan10 011 c1 muitiplic1t11 · do como en e l mn1tipJicac1or, y ol r..:. l.óo quoJa rcclnoidu á mulLipli · car uu qucl>rmlo JlOl' v. g. X J! = "!2 X !'.! -: 1,i ¡; 3 5 3 Jii 15 D IVIDIR Cuántos cmms Comprcmlo la dh·isit'111 ll e quohr:ülos T .. Compre11tlo cuatro casos! dividir nn qu e i.Jrado por otro; di· v1d1r un por un ei!tcro; di\litlir uu entero por un que· Urnclo, y dn·1dn· immctos Cómo 1m tlivitlctt <1nel.Jrados 1 u11 t·1 11 z, esto es, f.'l mu 11 craclm· 1lcl t11v1de111lo 11or el d c11ou1in:ul o r tlt•l Uivh;or, cuyo pmduc to :-;cr(t 1111111cr11do1' del col'ie11ll•; y ch, ' !'< JIUÜ :-\ el dcno111i11atlo1· tlol dividendo por e l m11nrr1ulor del divi sor y e l rc15 111l:ulo sc rl\. el tl o 11 0 111i · undor del co cicu tc¡ v. g. 0 3 5 X J 20 ¡:;:4=uxa=0 Cómo se dh·itle un c¡uclJr:ido ¡mr nn <.'!I t ero f 813 pondrá por uú111ei·atlo1· cll'I cociu11tu e l tmmoratlor d e l qnu.. brado , y p o r denominador el producto d o multiplica r el entero l'ºr el clc110111inndor; v. g. Cómo RO di,·iclc u11 entero por .un qu e brado 1 So multiplil'u. el cntCro por l' I dc11omi11ul101· e.le! cuy o 11rocluct o se divide por e l nnm c rmlor; v . g. 3 .G 3x8 2J ·4 s- = - c; - =u= se tli\'idcn los nluu e rog 1 lu oo rpornmlo e l Cutcro ul qu ebrado , tanto en e l diville11tlo -li:I- · <'01110 e11 el tl iv i.Or , y el cnao <¡11eiJ'1. rcducltlo n 11i\-ld ir quebrndO>lj v.g . . VALUAR QUEBRADOS. se e11tie11cle por nihuu· un quebrado! l\o es otra. co1m q uo b u lla r s n valor en uuidnd cFJ d e In cl'¡1ecie i11f\ rior {1 m1uelln ií -que se rdicre el qucb1•mlo· ( ' n ú ntoi-; }ntetl c n ocurrir :il valuar u11 q11 cbrn <lo t l'lifl..d c n ocurrir d ite r e u t'cs: v nhut1 un tjuebrndo \"Jlll' fie rcfiet·a ft uu c u cero; vnluar m1 qnebr11,lo fJHO se r c ilc'ra (lo la \t11itlad, y v nlmt r 1111 quebrndo que se t-c fl e ra ú otro qtm.Lr ntlo. Cl>rno E--c vn lfu1 uu qu c Ural:lo oue :)C r e fi er e {t un enfrro ' e l c11t e ro é l dt:l qn e Urnclo ¡u·o1lttcto so thv1 <lc p o r <" l d e11u1111n n d oi:, s 1gm c n<lo del mi s mo il? l a v :dn nción . q ncrln !- C ;il gú n r cfiid u o, 1111 sta ball a r un corne11t'e exaclo, ó ltn sta qu o . 11 0 hn;ya mít s es}?t><: Í(l S i11feriorcr. . 3 3 X G 18 • ;¡ tl e G pcsus = -.¡· = .4 = p esos l Mmo so \"Olírn nn qu eb rmlo , cunmlo se r e fi e.te Í\. tn uui<latlt 'Multiplicirndo su uum e.r nclor par el 1lúmt!ro de uuitlnd es de la especie i111Crior ft. Ja, 91rn se r c.6m=é el q ncbrado1 y el produ cto se d1vnlc por e l dc11ot111u atlo r · Ejemplo: 2 2x25 50¡¡de nrrobl\ = _ 5 _ = [f = 10 libras so rnlím u11 cnnmlo so refi ero ú otro 'Iºº Pr.imcromcnte se r edl1ce á sllnplc, y cle spu és se ejecutn. In opcrnc1óu p or el cu so que COl'l'CSpoutlu: Ejemplo: 1 2 5 2x5xs · so5 1le 8 do S p esos _ --.r:-:-;;-- _ 2 pesos. . 1:1 X 8 -!io=
aüos, ha\Jieodo teuido un hijo á los ¡ <1né edad tcudrá el hijo! Tendrá 2oi Ll' ·Si coniuo peso se compra noa vara de género, i ¡ cuúuto \'nldr!• 1 Valdrá pc¡fo. 12• El v alor de una libra de queso es í do peso ¡ culínto un petlnzo que ¡>esa.1 de libra t Valdrá. S peso. Si un qu iu tnl lle ""fO vule 25 pesos ¡ cuánto d e quintal' v ..111r{111 15 pesos. Siendo el va loi: de mm. cuerda. de terreno 40 pesos ¡ eu{rnto vu.ldrl\ un cuadro qnC-tieae il . de cuord11 ! Valdrl\ 16 15! El individuo gu8ta sema na lmente 28 pesos, cu "'! •emanas ¡ cnl>nto gnstará ! Gastarll 126 pesbs . 111• Valiendo el cuartillo do vino 1-li cuánto val· drán 25! cuartillo• t Vai<lrAn 3ü6i reales. 17! Qué valor tcndr!1 un queso que pesa l 7i libros, valien· do l:i. libra reales! Vnldrii. 97ii reales. 18! C uúnto vn ldrá mm vara de tela, sabien<lo vale1> peseta t La vam valdrá i , lle peseta. J9• Si con fo do peseta so compra! de libra cuánt.o val · drá la libra. 1 Va!Uráf de peseta. 1 20º Siendo el valor do 12 libras de Mrod de peso i cuán· to va ldr!'> la libra. t La. libm-\•aldráfo lle peso.
-54PROBLElllAS. Ejemplo: l! Ouá.ntos pesos serán t ·'íl ··t d e .J>esol Serfm lfi. peso. Cuántas varas componrn 1' ·...¡ ·· de varat Cou1po · 17 oen 1;¡ vnra. 3! Pedro tiene llz pesos, Junn 5i y Autonio 8 ft ¡cur.ntos ! pesos tendrán los tres! Tendrlín 25¡ pesos. 4u Un comerciante compró t.res partidas do cacno; una. do arrobas, otra. do y lo. tercera de 101 ¡ Ouánt:u; nrro · bas compró! Compró úO f, arrobas. l'.íº Ilabi<'ndo vendido nn comercienté lns ü partes de un queso que pesaba t de arroba ,cuhuto le quctlnl Le quedan Jde arroba. 6! El qne debe i ele unr> onza <le oro y pnga D. ¡cuán to. queda. debiendo! Qootlarlí debiendo t de onza. 7! De 4 libras ele azúcar se venden ¡ do libra ¡cuánto queda! Quedan 3k libras. · S i d e 25 pesos se gastan pesos ¡cuánto sobra t So bran ni pesos. o• Si 110 una pieza do lienzo qno tenla 23/r sólo se encuentran, vuras ¡ cuántas se habrán vendido! Be habrán Yendtdo 13 ¡ vara -ó5- . to• T euien'do el ¡iailre 1Í4!
11 -5621º Si con 12 pesos se compran¡ de fanega,¡ en:'rnto n.t drá.. la fanega f Valdrá 1'6-'0S. 1 22? Si un jornate.ro.·gana en 4Z semanas 2Gi cufuito ganará en. un11 sem11na t Ganará ü'P, pesos. 23? Una pieza de tela que tiene 25i varas v;llo tif 0 ) ¡ á CÓJao se venderá . la vara t Se venderá ¡¡ f <le ¡l-Ollo. Cuánt.o serán los !l de lG ,·aru8 f Serún 12 vara". nea. Cuánto valen los{ de fünega f Valdrán 5& celcmi 2G& Cuánto valen ouzn tlo o:O ! Yalen S [)('So.... com1>0nen los ¡ do !!ú vai·aR t Coruponen 28'! El que roj& annnlmcnt& fiOO qnintnles do cay_ lo vend e ú pesoR el quiutal i cutlntO tendrú de gannnl'i;i b.•1b1endo gastado. 5¡¡ pesos e" ciula 1 Te11<h-á de v1a""'"'"'. 10)187,¡. peso". e • 29: El que tiene de rm¡ta anual 3ü1000 pe•os y gnsta diaria.. mente 60.f pesos, ¡ cufrntc lo sobm al nfio 1 .Al afio le sobra 11121826f pesos . 30: El que compra nrrebas de cacao eu pesos ¡ " cómo venderá Cada nrroba pnra ganar !il Venderápesos! ;;uda urroba l!ll 9 pesos. -úí-. / LECülON s• Qt;EDRADO(ó FRACCION&S Dj:;CD!ALES Qn ó i::e llamn11 qm¡bra<las ó f'racoio11es decimafes 1 A•1ucllos quo ti e n e n por numerador un uúmuro c1wlc¡aiern, y por 'lc110111iluulor hl, unidad nco111pníinda. de uno , <los, tres ó v. f'· O'ü ... Ol24- .•. O'ii.J-8 qnc se Jee n: t/Vcimas, r'ei11timwtro crn ttf.<timas, g11hifo11fos cmo-auUoclw 111il&limas. . lJe <lo1uk! se ori.!.!inrm estas fraccioues t De la. <livit;ió11 <le Ju 1111 id ncl; pero 110 cmmo l'll los <fomm1cs e.n cnnlquier ni1111c.ro do igua les, :-i110 e-11 JU, too, IUOU, &. c•n tln n11n 1l e estns 1mrtcs déc:ima si la n11idad e..:tfl, dividit.la 011 10 par.t.<!s igua le:::;; cen tésima , xi 011 100; milt'íll;ma, si en .r sncc¡.; i,·a111c11té die:: twiléxima, cic:1 t11ilé.vima, 111ilfont · sima, diez willonóxima, cfon, · millonósima, 111it millo11ÓJ(ima, ett .. qno so n los 110111U1·cli 11um crnl c8 co 11 quu se dutc 1111i11;"\11 tli cln1:0 frac c iou cs. " • 0611 10 se cscrihe11 l a:i frnccioucs tl ecimnles 1 Suprimiendo el cl e 11 01111w1dor, e l · cnal t'C <·011nc<', ;1iiac.licudo á In uniclnd til11ros ceros co mo cifra:i <ltwi111ul ett tenga Ja, fr<1ct.:ió11, se eRcriUon como toi fne sc 11 euterns, popierulo (1 )¡ .., 'lo1't'chn. de las Ki las l1ay, la...; 'l éci nias, dc1-1pn ét' la s <:t·ntt:· y sncc8in1111e11tl1 l as 1111.Uxima,, dic::;11 ilú1:1i11m R, c:icnmilt.1ai 11ws, etc. tcuicntlo tic qcnpar co11 ceru, alg-úu ordc11 tl e u11i<lades qne puecla. tiiltnr. · Qué se ha ce p ara <liforoncia r la s cifra¡:¡, e11tl'l'll8 d e.:- la s il ccimnles, S e co locn. li19 eifrn" trnter;1:.; 1111 a. C(lma n1clta. al r c,·és, y 1:1 i no la$ hay, SI! po11e cero en 1:1u Jugar , l'll'ltarado t•on la 111i . uia. coma. Ejou1plo: 2 5, 3 7 º' ¡; o 41 7 o s, o \) ª u; ga ,,; " " "' "{ij ·;; "" .. = 8 " ' !:! ·:;,¡" .g\ ,,; ,,; ·¡;; ·;;;"' "' ,,; ., .; .5 == "' "" " ..," = :E '§ '§a " a " 8 a " :g g :E '$ = :!! " ¡; .§o" ¡:¡ ;;¡.i8 · ¡:¡ o ¡:¡ 5
LE CCIÓN9 '
-58Qué se deduce de la numeración úc las decim nle s ! Que es en se ntido opuesto á la numeración de los enteros: éstos se uombran d e derechn. pnro. izqui erda, numoutando eta d.iez e n diez, y nquellns, por el contrario, se uombl·nu ele izq nio r d n. fl, derncha, clitnniuuyendo en la misma prop01·u16 11 . Oó.mo se, leen las fracciones 1 Del núsmo modo que los númeroa e ntero !:! , prommcinnclo )}l'imcro la. pnr tc eotel'a, si la hay , y luego la fracción; d:índol o ou e l último carácter d e la dercclrn la deuom.iunc ión que le co rresponde, aei:ltu los g uariRmos de que consta la p!l r te fraccio· muia; v.g. 01035,234 que se Jee: troititici11co niil doscientas treiuti· ouatro mi llonési m as . Qué OJ?eracioues Re practican con la s fracciones decimales 1 Las nu-smas quo co n quebrados co munes, y l ns operaciones fündamcutn.!cl4 de. se pnedcn r esoh ·er por Cl:.o\to senc illo si•te ma, que nos 1n·c•"nta11 los clllcnlos ta n fáciles de ejec u tar como los de lo s 11(Lwe1·os e n teros .
REDUCCIÓN DEL QUEBRADO COMÚN Á DEOIJlfAL Y VICE·VERSA úuúutos casos puedeu presentarse al reducir un quebrntlo común á decima l t Pueden prcse ntnrse do s casos: que el denominador sen Ja unidad seg uid a tle ceros, ó qu e el cleuominndor sen. un número cua lqui e ra. Oóruo se reduce e l quebrmlo comírn á cl ecimn l, cuando tiene J>9r. denomiuador la unidad ttcgui<la de ceros, .. Se escr ibi rá e l nnm e r a tl o r i-:o lum eute, sepnrándole co n la coma decimal, coutaml o tle derecha paru. izqui erda, tantns cifras como cefos tenga el denominatlor: Ri e l uunu:ra<lor uu tiene bnstnute número d e c ifras d imalea so completará. con cerms; v.g. 548 4 i ,ooo =- o• 5,1,s · · • · = 0•004 Cómo se reduce el quebrado común á d ecimal, cuando tiene por denominador un uúmero cualquiera' • 1 Primero se escd birá el numerador, seg uido de tantos ceros "' como c ifras decima les d e ba tener l a fracción, y luego se divide por e l deuominndor, sepnrau do e n el eocient.e con la coma <leci· wal tantos lugares como Ceros se hayan afi adido; v. g. ). 5 -59-' , / 16 '""50,000 : 16 = 0'3125 Oufrnt"8 clruw• de fracciones pueden resultar á l convertir una fi:aceióu co1mín e n rl
ec imn.l f Tres, á su. be r :/1·nooi<h• peri6dicc,, e u qu e la 8 mismas vuelven p e riódi ca meflt.e y se r epiten ha.sta lo intlnito; fra•oi6" no peri6clica, la e mll RUS cifrn s no se r fi\p ite n; y fracción niixta , esto es, e n . part o p erió di ca y on parte n o, c unrn.lo hall a do e l período no pcrió11ico , 111 6 cif'rns siguie'utcs so r e p :ten; v. g. Lol'I c¡uebrndos a.. ;\ l·etlnc idos {" d eo im a leto, dar{ua ' las sigtcs: 50000 ¡11 150000 ¡16 50000 ¡12 60 0'45.45 1 60 0'9 375' 2 0 0'41.66 50 120 ' 1 so GO 1 SO 5 etc.. 00 8 etc. E n In. r'e.clncció n del queilrnflO comím {\ deci11w1 ; re· au lta fraoc ió n no p eriód ica! Ouan d o el denominador t e nga ' por fnotoros a l 2 y al 5, y ento nces cl ará. en la ü ·nución tt1utas cifras como voces entren por d ich o 11úm croa. e l q u ebrado t: <lur{, c u atro oift·us, y 1¡¡ daró. tres. e2 X 2 X 2 X 2 ) = .. ' e5 X X 5 ) = 125 . NOTA: Pnm mnyor fncilidnd do1 cs'tu1 li :llll(!, Hu pn n o cu In s ig u icott\ t nbln, yn. A dt•('inmlt: .!\, lo R q1 u•hn11lo!i co 11111n e1:1 de ttu\s frticucu ... te oon e l fiu <l e qu o In. ouco rn1uiule :'t In = U'500 t = 0'4 00 · ¡¡ = 0 '44! k = O<;J33 f = 0'285,714 -& = 0'833 l = 0'250 t = 0'222 f = 0·714,285 !: = 0'200 = 0'7'50 g = 0'625 ·Ir= 0•166 11 ·= 0 ' 600 t = 0'5 55 ' t =-= 0'142 ,85 7 t = o·.t2s,5n t = 0 '85 7,142 k = 0 ' 125 = 0 '3 75 = 0' 875 -1; = o•ui t = o•soo f = 0'777 H= 0'666 t _";/= 0'571,428 i = 0' 888 l ¡, J
• ) --00Cómo se mm fracción <lecimal no 1Jc1·iúdica, e11 forma de frncción C<1111ú11 1 l,rPscindiendo de Ja comn. se pona pOr umuemLlor toda la. ')>arte fracio11nria, y por dcuominmlor la m1i<la1l. acompaih1da. do tuutos ceros como uifras dpcimales haya. cu ht fru1·ui611; v. g-. . 9,3í5 15 o• 9 , 375 = io,offó = 1li Cómo se en forma. do l}Uebrmlo común mm fl'ncció11 clecimn.l 11e1'i<;t11ca, 1nu·a I escrilJe por 11rnne1v.ulor todo el pCl'ÍOtlO f1110 z";C repite, y t por deuomiuutlor tantos nueves como cirra:i tenga el ¡uwiodo: Y. g. 285í 1J 2 0 •2s5,7 u. = 999999 = i CómO se pone en forma. <le quebrado. co1ní111 mia. frncció11 dcci111nl y pot' tl e nomi11ador tantos nu et ex como ticuo el periodo, acompafütdos t.lo ta11tos cero s como gu:U'ismos no periódicos hnyn; \'f g. O'Jl.66 = (41X9 + 6) = .375 5 900=12 :UECCIÚ.N QUE SUFllE LA FRAOOlÓN DECIMáL De cuúntos l'Olll:i s o trashtda uno, dos, tres lugares hac ia la. izquierdn; v. g. (O'SOJ : 100) = º'ouso4 Una fracción decimal clismiuiiye, ·10. 100 1 1000. voces 11101101, si C! \tt·e In. com a y los gu:U'ismos :su a iiatlc11 uno, dos, t1·cs ceros; v. g. (0'5 : 10)
ALTERACIONES
modo::; puetle anmcutar el valor de utrn frncció11 dccim:tl' De dos modos: l ? Uirn deci111:tl se u111 l tiplica por 10, 100, 1000 cte. cum"lo la comn se b:nslacla uno, tlos, tres lugares hacia. la dcrcclrn; v . g. X 100 = 40'7 - 61Uu:i fracción dccim:tl aumenta, hacióudose 10, 100, 1,000 ,·ccc:; mayor, si éntre In. coma. y los guarismos decima les se tt111, u110, doK, tres ceros; v . g. (0:005 X 100) = 0 '5 Do cuántos modos disminuye el valor do una fracción .-le· <:imal I · De dos modos: l ? U 11 o, fracción decimal e di vi.a por 1O, 1001 1000, si 1:>
= 0·05 Una.mio (b h\ clereclm de uun. fracclóu decimal so ngt·oga.11 tl tacha u cero• ¡ qn ó s ucede ' • Qne la. fracción 110 altera, porque eqnivnlo á multiplicar 6 dividir su numerador y tleuomiu.ador por 101 1001 10001 cte. 013.10 = 0'34. . 0'25 == 0'2500 ""cómo so rcduc t3 n dos ó más fracciones decimales :\ una tle11dmi11aoión común 1 .Agrcgnndo ceros á 1n. derecha. de la que tengni mon<:'S decimale8, lrnsta cou la que tcugu. más; v.g. 0• 025 .. _ o•os. _ .. 0 11> = 0•025 _. _. o•os o. ___ 0 •900 . '-=> 061110 so couocerá. si min. fracción decima l es moyor 6 menor que otrn t Pur'L uo hny mús que reducirlas t\ unn. clenominu· ción comírn; v.g. Ln. decimn l 0'37 ser.á mayor qne 0'098, ¡lorc¡ue •1¡¡regaudo un cero a l 37, resu l ta mayor que ; l
375
1wriótliaa mi.vtn I Se c:-;cril>ir{l. por 11mnera1lor clol qu o1J1·:ulo el producto qno rcsn l to Uo mnltiplicnr los µnarismos no 11m·ióllioos por nuctl'eB romo guarismos 11eriótlico.'I tcn;?n la .. cl('cimnl, ngreg írndole ... mi s mas cifrm; ¡1eriótlicas;
LECOION 11• OPERACIONES FUNDAMENTALES ni': LAS FRACCIONES DEOLMALES. SUM A R DECIMALES . 1 Cómo suman laa fracciones decimales T Después de ooloearlas de modo que las co11111S cstéu eu frou. te de l as comas, las décima• debajo de las. décimas, las centés1. mas debajo de las ceutésimns, etc. se redu c1rú11 nnu. tl eno m111a- J ción com(rn y luego se sumn rán como si fuesen e utoros, c uid an. ( do de la corno. de manera qu e forme coJwnna con la sumandos; v.g. Las decimales 4'5 .... 7'25 ••..... 0'437 !1'5,487 se sumarán como sigue : 4'5.000 + 7'2 ,500 + 0'4,370 + !!'5,487 = -----21'7,357 RESTAR , DECIMALES . Oómo se la s <lecimaJcs f Se completará primerameute con ceros lu f!·acció11 q!le .teuga rn eno.s cifras dccimal cR, y <lespués i:;e r es taran como si fu ese n entel'Os oolocnnclo la coma de manera. que iorme colnm11n. con la del uuu'ucudo y s ustrae udo; Y. g. 97'7 11101108 48'525 se hnr1• como•ignc: 97'70048'525 = ----49'175 MULTIPLICAR DECIMALES. Oómo se wultiplicau las decimales! Lo mismo que los enteros, prescindiendo de la coma, y t e uiendo caidndo de •aparar con In 1msma coma, de derecha para izquierda, tantos como cifras decimales bolla en el wuJ. -63- . ti ¡ilicando y en el multiplieador; v. g. La multiplicacióo de !ne decimales 196'25 y 2'8 se hará como sigue; . 1 96'25 X 2'8 = 157001). 39250 549'500 DIVIDIR DECIMALES Cómo se divid en los decimales t • Reduciémlolns p1·imcran1enfu a una deuomiunción com ún, completaudo con ceros 111 que ten¡:11 cifr:is. decima!C;s, se dividirán como si fuesen e nteros; v. g. P ara d1V1d1r In dec1 mal 48'374 e ntre 6'7 se liará como sigue: 48'374 1 6'700 1474 7'22 134 . 00 V ALUACION DE LAS DECIMALES. Cómo se valúau las cleciln11 les t Obse rvnudo lo miSluo que se haexplica<lo ya para la valuación de los queUrttdos comunes, y se presoutau Jos mismos casos . .. l ?-Valuar una decimal que se refiere tí la unidad. 2?-Valn:tr una decimal que se i·etlere á nn 3° Vnlunr una decimal qnll se refiere {1 otm decimal. Cómo se m lúa uun decimal que se refiere á la unidad 1 Multiplicando la deciu111l pc.r el número de unidades de espe. cie inferior de In unidad á que se refiern, y al producto se le separan con In tautna cifras como tiene la decimnl propll<!Stn: del modo se sigue la vnlnnción, hasta llegará la espe· cie ml\R inferior; v. g . ' el valor de la decimnl 0'9451956 de doblón 1 Será 3 peéos, 15 reales 23 mnravedfe. t .. /· J.•
_ \ -6401945,956 x de cloblón. _____4_=_ peso¡;¡. 31783,82.! x pesos. 20= reales. 1 5 1 6_7_6:...4_1> 0_x_ reales 3.! = mara,·edís.___2_7_0_5!J 2 __ 2029.!.! ---v3'000320 marav ed ís. Cómo so vnlúa una. <lccimn.l que so . rC'ficrc {1 uu c11tC'ro J\(uhiplicando e l ontcro por la c.lecimul, y en el prer1l11ct.o $1.• .-;e pnra.n c;o11 la. coma. ta. u tns cifras como tenga la. llecimnl propuc!'ttn . la vahrnción, si r1uednsc al p:(rn hm;b1 Jll!gar á la última c::;pccic; v.g. } Omíl s0t·1\,, c l vnlor de ?e H m ·rohU$ Ser{1 una arrol.ia. 12 hbrm; S o n zns. 0 125 X 6 arroba.i: ---1·50 X ar r oba. libras.2;¡ - 2510 12'50 x libra". lU onzas. s•oo oilzas. , ·:1 1(1n una dt·cimnl cine se rrflcrt• {1 ut1·a de1·1111al '! S1• 11rnltipli<:a11 pri14,1crnmentc lns decimales entre :-;!, y rlc:-;: pué.: se r csue l\·o por el cnso r¡ne concspoudn; , ., g. Cnanto Sl"ra. 0'!!5 de tí v:.irns ? Scrú una , ·:irn. 0'25 X 0 '8 = 1200 X 5= 1·000 rnra. ). -ü.3-. / r ·R OBLE MAS • Ejemplo l "-U11 1Ja1u1ucrn ha lomado Íl'CK ll1 t ril:) t-101Jrc I'a· 1·1 ·: n1ut clo frnncos 87 l'éntimos; otra.de 4 ,250 frs. 31 cé 11 · timo::;, y In tt•rcrrn tlo 5-18 frf;. S:! c.éutrmoí-'. vn1cn lns t1·ei-. lt1 trms f Vnle11 U , 000 fr:tlll'Ot'. •• 0 llabi'C'nflo \'C1Hli1 lo 1111 agricultor cnntro p:1rti1hu-; de café: 41&·4'.!0 4Jni11t11l es :!O Jilu ·a1; la prim e ra; dH ;')J"O qui11tnl1•i; liL l:ieg1111 · 1ln; 1le 2ü q uintal es 1ihras la y lle :!:!J, quiutala.;; !)5 lihr.ns In unartn , l Cl!i'rn l o::; qniutale8 ve11tlió f Ycrnlió 1:!:!0 qu111talt•s. 3? RI comercian.te que n1lt'mln. 1200 t'ral!l'OS !J:-J céntimo$, :r png n. 11111\ lctr:1 gil ncl:t ¡¡s u c:lrg·o p or valor (1 0 948 1'rattcos !ti có11timoi:t, ¡ m1:'111to quc tla.. tleb ie ndo 't Queda dol>icmlo 251 ' !Jü frrmcos. · . 4 ° Si de mia llicza tl c tela que ticnr 4[,'Q(j \·ai·ns S\' \' 1.'111lt.:n 37'28 vnra s ; cnúutns Yara s qncllan 1 Qncc!a11 51? Umínto vnlc11 JOG qni11talcs libra s de a z iíc1u {1 3':!ti pe s os e l quiutal f Vnh.•n ü3i'IJJ ¡Jes os. l.i ? <..:mi.uto 0'!!4 <l e qni ntal dt• nrrnz , valicullo el 'tuin · t;1 l 7'2.3 ¡ws0t; f "\'alc11 l'i ·.1 pt ·im. 7? Si se rrpnrtrn ü,G!lf>'tJS p eso:-; entro p Cl'RO lln !:i,; cn:í11lo tONll'Ú ít. cmlu uun t A (H\ lln unu tocar{i pcsof1 Jmportamlo l!H.i qni11tales 2 7 libra s tlc flt'l 'O i 11csos ¡ cuM sc ri't e l \' nlo 1 · lle u11 qni11tnl '/ Un ,·a l<hú .fj;J pesos. º"¡lC80S1 \ 'Ol'US , Si con 1 :20 peso Sf' co111prn n11a vnrn tlo teln, con s._¡,·.stn 'c u:íutnl' vnra8 .so compraní.11 ! Se comprar(m ¡(1'1ti..J . •
Qué es el v1etrn 1 Es la unidad d e metlittn. igunl {¡,la- die..."'tn.illoHési11m de tn. distnucia tl el Ecmul01· al polo Norte, tomnt'11t del . que pa sn por l.,ar\s, es decir, que diYiclic11llo d icha d1starn.: m CH diez millones de i>nrtcs, mul 1i u11a ele e ll as será un metro... l.,urn. qué toit·,·c el 11u tro li11eal T Pnrn Jn s mcdi4.lns tle lon gitud Ysus titu ye ú l a. n1rn.. A qué cquivnle nn mc.tro lineal t '.riQ11e al g-o de 43).mlgn<lus, ó t.;Ca 1'1 1003 vm:n.. UuO I es ta cqu i valcucin de I n \ ·u ra liul'nl , rcduunlu á mQtro f fü1nivule á 0 ' 8,3511d1>111ctro. Quó es e l ,;,-w. t Es h.i. mcdiUa de s11J.l(•11lcie ()tle consiP.tc en un cuntlra<lo qne tie11 e 10 Jl1c kos y>or coda ludo , y })()F cons!guieut.c 100 met ro s ¡>e1·ffcio · A que equh·ulc el t
• 1 -G&-Cuánto será 0187 de arrobl\ t Componen 21 libras 12 oozns. 11° Qué valen 0'35 ele yam 1 Valen 12 pulgadas 1 líneas. Qué valen 0'22 ele 8 quintales 1' Valen 1 quintal 3 nrrobas l libra. · · 13• Cuánto valen las 0'5 de 25 cuartillos 1 Vulcu 12 cuartillos 2 copas . 14° Lns 0 16 de !ns 0'65 ele uu dia 'cuánto es 1 Son 9 lwras 21 minutos 36 segnnclos . Un 11ncendaelo ha gastado pe soR en harina; 587 reales ,-elló11 e n bacal ao, y 25'87 pesos en mautéca 'c u rinto habd• gnstaclo 1 Habrá gastado 100'72 pe sos. 16" Un comerciante ha com¡mulo tres p1trtidas de tabaco: la primem ele 5 arrobas; la segnuelii ele 87 libras , y 11> ile 2 (Jnintales-! libras i cuántos quintales compró 1 Compró 4'16 quiutales. 17° El que debe 25;¡ pesos y paga 6180 pes.os 'cuánto quedan\ debiendo 1 Quedará debiouelo 18'95 pesos . Si ele 2 quiutales 12 libras sequitnu quintal' cu{mto qued1> 7 Queda l '37 quintal, 19" Si uua Yara de tell\ vale 9 124 reales ' cui\nt<> vnJelrúu lSij vn r ns f Valdr {m 173125 pesos. 20º Si una libm de cncno :va lo.28 centavos l cuánto valdrán 1 a1Toba libras 1 Valdrán 10157 peso§. 21° Valiendo una pncI\ de algodón 25f pesos 'cuántas pn·. J -67-' , cns ele algodón se comprar{m 54,40 i>esos f Se comprn r án 2'125 pacas. 22• En e l s upue sto que u11 n vara paiio tonto 4o,¡. reales 'cuúntas varas se cbmpruráu con 51 184: pesos 1 .Se comprnrún :t5'6 varas. Cuál es e l valor ele ¡ ele tele 25'80 pesos .' f?erá 7•7-l pesos. / LECCIÓN' l 2'. SISTElllA ll!ÉTRICO ·DEODl.AL. Qué so entiende por sistema 111ó1rico deoiviaL_ 1 Es u11 sistema ele pesas y mll!hda & por. bnse el 1nel1"0, vo:r. derivada. del mct1·6n, que s1g 111 ficn... HlCthdn. Porqué á este sistema se le llaurn fll étrico 1 Porque toelns Jus pesas y meeliclas que cu se uean <l epe nele11 ele! metro. . Porqué so l o ll ama clecimal f . Porque Jos múltiplos y s ubmúltiplos, s1gue11 e.1 sistoml\ <lécuplo d e l as elecirnnles.._ esto ,es, nllil:'eutan y d1suu11uycn do diez uuielades d e Ulellida se usan este sistema ' Oinco un,i.tlncles principnles y son: llIETRO, ÁIIBA , l>!E.'l'RO eúruco, LITRO y GRAMO.
-OSJ\ 1 '43 .11.57 mihhdmns ñe vnrn. cmulrncla. Cuá11tns varns cnadrnclns tiene m1 Íll'<'U. 1 14-3'11.07 centésimas de vnrn. qund1·tttla. A qué eqnivalc ln. tnru, cuad1·ada f Equivalt i\ O•U0.87.38 milímetrns cuadrado•. Qu é •• el metro clÍbico .1 Es nu cubo cuyo lu<lo tiene 1111 metro cnndrallo. Para. qu é zsirve el metro cúbico t ' Para In& medida s do volumen ó cnpncidml de los cue rpos. Ouftl es la equin1le11cin. del metro cúbico f Equival e 6 algo m:\s de 46 pie:! cítl>icos 6 sea n 4G 12!!G ..:>n:! ce11tésh11ns de pié cfü1i<!c . A qn ó r<]nivnle Ja .<J:ara cr'tbica. 1 Equivale(, 0'58!.070 centímetros cúbicos. Qué es el 681éreo 1 la mii<lad tlo me<lida 11nrn. In. lcfia, cqnivnlcnto fl In. q11-0 pnecle co locarse eu ol espacio el e nn metro oúbico, p tt labni, tomada del ¡:tricgo catt!reos, sólido. es e l litro 1 NI litro, qnc os igu al {i. la, miltSsimu, parto del metro cúl>ico, ci:; un cubo quo tiene un decímetro <le lar go, do a.ucho y tlc grueso. Pnm qu é a in·e el litro 1 l ...nra. las mcdi<lns ele cnpncitla1l, esto os, les líquido s y {1ridos, como el v ino , el arroz, el aceite. ... A qné eqnivnlo el litro de líquido 1 A poco m e nos de dos cuarlillos eflo, la ley ha fijnllo por de p e¡;;o lo s mil ó e l kito!l'·an&.rh l -69es el ki1ogramo·1 Es igual al peso ele n¡:u:. clestilada que cabe en un cnbo qne tenga do Indo la décima parte del metro. · .A qnc cquivnle el kilogmmo t Equivale á poco ma s ele 2 libras, 6 sen 2'173 libras . U11r1 librn, á qué es ignul 1 .A 460 grnmos. Ouál e• la unidncl de monedn t L:i peseta, moneda efectiva de pla ta, dividida en ·cien c4ntimo s . y m Hay m{is nnitlndes d e la s éxplicadas e 11 ol a isto nm' ;nétrico · ,J ec imal T Unicln<lcs nu ovas no; pero ha y m\'.Lltiplos y s ub múltiplos de la s mismas unid ades. · Cómo so forrnnu los múltipl os do las 1111idnd e.s m ét ri cas 1 Anteponiendo ni nombre do In ttuidnd principal ln s p a ln Urns d cr ivudn s d e l g ri ego dcca, hecto, kilo y miria. Qué s ign ifi ca n estas palabras 1 Dcca., qui er e de c i r 10 11.niclaclcs; · hecto, 100; k i l o, 1,000; y m i1·iaJ JO,OOO. S i á In nnidad gra••o, por ejemplo, se autcpono la pnmbra. kilo se foru1nru 1d l of1rau l'9, quo va le J 1000 gra mos¡ á In nnidnd áre<r. so n.ntc pou e la, palabra heoto, se torma hectárea que vu lc 100 flrca . Uómo forman los suhrnú lti plo s ó di\·i so r e::s de lu s nnid nde s méh' iens 1 rn11t c 11 do n n tes flcl 11 omh re do la nnhlall pri11 cipn l las p11la · latin as tleci, oe11U y mUi. Qué sig 11ifi cndo tione 11 pnlnUras f JJcci, s ig_niflcn. décima vartc; ceutí, centésima y 111U.i, 11r.ilt!si1Jrn . Si ÍL Ja. n11iducl 1¡wt·ro, lJ Ol' l>¡ je m1llo , se a nte poue lit pnlal..u·a, mmti, formal'á. ccnt(mcb·o, que es la contés in m pn1 te del mctm; y el e) mhuno modo, EOi pnlnbrn gramo se le nntcpoue mili. Ji1rnm miligramo, 111il 6s ima parto del gramo. Cn:\l es "º"l os 111últi¡1l os d e l rnetro l Et hectó metro , kilómet.ro y miriám e tro. Ou{lles so n los s ubmúltiplo s ó diviso1·cs l Decímetro, ccn tlm ctro
de I:i medid :> ele Castilla, ó sen 1•ns20 de cuartillo. .A qné eqnivaJo e l cuartillo <le líqnicl o 1 Eqnimlo (1 0 '511!3 do litm. A qné equ ival e e l Htro l>ara, g ranos' l iJq nh•nle ti 0'2159 d e cc l c 1nín. ·(.'u {mtos li tros tcn<.h-{t Ull cdclllÍll r Te111lrú 4'0319 litros. .. \.qu é t•qnivnl c un litro 11 0-fü:eitc t Aprnxim:l(.l11t11l'11te f'O n d os lilmu; , 6 8Ca. 1'0cl!J7 Ll e lilJl'n . O nál C!'\ Ju ct1uiva le 11 oi. do la lilJr a de f {L O•GO:W tl H liLro. '"" ()] gramo 1 g-r:11110 cl'5 ig- 11111 al p e·o ll e agua tl cst iladn ni m{1ximo 1lc cleni:;ithul qno cabe C' n 1111 cn1io de 011 cc11t11uetro lle lmlo. A rpu.' cr¡uivnlo el gl'amo r · A¡woximmlamcntc (1 20 gra110J.t; pero si timlo t: 111 peqn
-70,; ¡ · 1 t . ¿ 1 g.; b -1i l1 o ¡¡ 1 a .; :a t h ·-1:§ '""' c;,J Q,) Clll C):::; o . u ;:;; 1 niiritlmotro ... 10 ¡ 1oo l iooo ! 10,ooo"roo·ooo 1000:000!10.ooo"OOO"" . l kilómetro. .... l j 10 ¡ 100 ¡ 1,000 10 000 100,000 1 1 000.000 l l1 ec tó111 otro... ,. 1 l 10 1 . 100 J.000 10,000 100 000 l dec Amotr<>... ,. ¡ .. 1 l 10 100 1.000 1 10 000 l 1uc h 10 . .. . .. .. ,, J · 11 l 10 100. 1 000 1 ded mctro .... ,, 1 " r ,, ¡ ,, 1 10 100 l ccuUm c tro . .. 11 1 ,,, ¡ ,, 1 ,, " 1 10 Cuá les son los n1úlLiplo s d el {1rcn l · Li> hectarea que tiene loo úreas, ó se1> 11 .JO,OOO metros e1wh·a (los de s up erticie: tr. miriá.rea no usu.. Porqué no son múltiplos de e<Wca y kill'<l.-ea t Porque 11 0 pueden expres.nrse e u c·tmdrttclo s . Cuáles son lo s s ubmúltiplos del área!&lamente t ie ne l a ce ntiárea , qoo es igu al R un metro c nndrado ll e s upe rfici e; 11 0 s iendo Ja de c iár ea y la mil·kírea, porque no pueden expre•arse en cUAdl:a¡los. .Arons . .1 Hccll1reas. \ 1 Hcctúre" . .. _1---1--!___l_O_U__ --1-0-,0-0_0.__ 1 ,tren .. ...... ¡ ,, 100 1 Ce n tiárea . • . . , Ro n m:•ltiplos del mch·o r1)bico P No tic110 múltiplos á cn 11 sa de 6U mu(•ho volln11 e11 :n1edi cl ns da solklez se refieren HI met ro cúbico. UuA lí!t\ so 11 los sub m(tltiptof-1 ó cli,·isorcfi 7 _ ccntfurctre y u1ilfm e11·0 cí1bltes. ·. totlus h1 s -711 1,0,00 1' 1.000,0'00 1,0003()00,0001 Atetro• .... .. 1 l>cchnetro• . . 1 1 Milímetro• .. 1 1 1 •000,000 n ,, ,, 1 euálcs so n l os mfütiplo s tlel litro t h ectó litrc y kilólitro: el miriíilib-o· no se u sa. Cuales so n los s ubm(1ltiplos T Decilitro y ceutílitro: el mllllitl'O no se usa por s u 1 Kilólitro .... . . 1 Hectólitro . . . . 1 Decf•li t rc .... . " 1 Litro . ........ 1 1 Decilitro ... .. 1 Centflitro..... 1 )\ " " 1 " " ;, 10 J. " 100 10 i " 1,000 100 10 1 Onálcs son los múltiplos d el kilogramo ' El quinto.] métrico que e.s igual á 100 kilogramos 1 y ht touelncln de p eso que t iene 10 quwtales mét.ricos 6 scnu 1 000 kilogramos. ' Cuá les son IóJ s ubmúltiplos t . . Ilectogrruno, decagramo, gralilo, decigramo, c'llnti g rnmo .+ nuhgramo. _ .f . "
.... 1 1 1 r " '· / -73-CuímtoN múltiplos tieue e! escudo, moned<> de pll\tn quo rnle tlos pcsetaK y nwllia t Solameute e l doblón ó oenté11, moneda de oro que JO C•· «mlm; 6 100 rentes. 1 Cur.le• son !os submúltip los f . El real, 11\ décima y In real. 1 Doblím .. .... . 1 ... . .. ' 1 Ho:il . ... . ... . 1 D6cim:i. ... . . . 1 Oo n tós im:i .... . ¡ Rcn1cf'. ! 10 ! 100 1 1 ,000 10,000 1 1 1 10 100 1 ,000 ' " 1 1 1 · 10 100 1 " ,\ , 1 1 10l ,. ,, 1 1 Modo d e ,leer y esoribir las decimales métricas. Cómo se escriben las decimales métricas t Del 111i im10 modo qne ott 'Uli decimales, colocando 11\ coma nl lado 'ele la uuit.ht<l priuci¡ml, . y (, Ju. izquierda de estn l0$ múl· tiplos deca, 1iec.to, kilo .Y fuiria. por cleccnus, ce11te1111s, millurCS· y decenas de millar; y los submúltip lo1:1 deci, c:enti y mili (, la. clerechu. por dGcim<,.. , contósimns y v.g. Para escribir en forurn. de decimnl 7 Mm. 5 Km. 3 Dm. 4. J\ I. 8 •lm .. 9 cm. 2 mm. quedará heclJo íliciendo 75 , 034"592 •r. o § ;\'[últiplos. " Su lnuúlt,iplo" . .;::> 7 5 o 3 . ;t• 8 !) :.! "' "' "' o"' ,,, o o ·r. :!. ... o _g1o3 ... .!:: E.1 "t " '.:! 2 " = "' s '= ... -e .;; ? :s "¿) f.l .o '5 "Ei4 " " ., ;:¡ ;;;: A A o .,;
. ' . . .. -74- ,,. Quo se i1 l CRt.ml.>11· una. caut iclail métri ca no ('(H 11pl eta la. ser ie d e 111füt.ipl os y submúltiplos' Que Ro ocnpai·ún con c·croR los 19 guros que falten- v :;. . fi Kg. G G. 4 l'i l' 500G'04: g1 muos. ' Oómo lct>11 l ns ll cc imnl cs m étr i c a-: t D el nli :;mo mot lu <¡n e .Jns clceima prounn cia.ntlo primero PllttrOH co11 cs1>cc10 .r luego J11i fracción. Qnó hay r111e leer l:is rh cclidns do " up erflciu t .. Qu e do s p t·1111c ras c 1fr:1 s d es pu és 1le la co ma r t\ pn•scntn 11 tleawwx y la s ot1·a M dos, v. g. 2.•?o M:Z toe Joorí1: 48 111 e t1·os y cout ím c trol'I cu:id ruclo s. Y rnrnnrlo f\C trabi !l C medillns cftUicns f J la s primeras cifr;is fl cRpnéR tl e In comn. reprc- t sc n t11 r {! 11 d_ummas y l ns otrns tres, ce 11 ttJsi maR¡ v. f:t . 27':?7.".l.2'5:J 1\ll ¡.oe lcc ru: !! 1 eí11J1 cos y ce 11tlm etrns Operaci o nes de la(decimal es mét rica s. Qn é opC"rncio 11es l'\C h :wc n co11 htR <lecimnles métri ras ! La s 111i s111as fJllC co n otras dccimn lci:- 1 .Cl:ito es se 1m111a11, so r eshtn , 11111l ti p!ita11. :o.o did•l o11 y f\O valfüm . ' Có1110 KC op!!raci111tci-\ r t.:01110 t•11 h1N 1mes e l 111i s 1ho Ull mo se rctlth:C 1111 a cl cci111 ;1l lllétric1 t tl e llllf\ cs p ccio (l otrn i11H.•rior ó vi1·e-vcrsn 'f . . . <;nrric111 lo Ja. co1 11a ha cia l a <lerccha, cmtn clo so buacn. es p ec ie rn! ,l 11or, ti liacia. Ja izqu ierda, si t'S y co locH1u lo l a. e n e l ln (jll O fJll il'l'O ohtC ll t'I', ]lOl'qllC 111111 t1p l 11•:u 11 th\'1tllr ]JOI' 10, 1011 I Olltl. ctt·. v. u·. Pum, rnc ln cir .1':!:J,4t)7 ú 11wtro!'4 tneLi·os; y ta1111Jic11: qm:' Üa rú11 ;, h eutó litrOR di c ic ut.lo: · U1l11w :-;e r <'1lnc<'11 la::\ pc sal'i .r 111ellida s castc ll n. 11a s (1 , l as J.lC::;as y 111cdidm¡ rnétri1·:1s r · 1\1i1 lli plica11do 11ít111 ero ·dc p esa o 111 cditla. c11stclln11n poi' la e qn i v1.il o11cia e n Ju. cl e<' imal m ót l'ica, do la, 1111idnd ;'i, qne se va :'L r educir; ,., g. Pnra l'talJ U' co 1111 10 11 c 11 se 11atl ti ¡1li e1 ll'i'L p oi' 0' $:3.>91\L qu e tieuu la vnru.y serr1· o• .s'35!) X 2.l= 1'i718 ;¡ -75rrambiéu pu ede ]111 ccr$C la. OJl.crnción 1li \'iclio 11do el lltÍllWl'O propu est o pop.ria cqnh·nl cnc ia. tl e la uu illud mé trico. 011 I:\ 11<'1 n íuuer o que va í1 r crl uc ir ; v.g. Para re1lnch· 2,j vnrnJo' íi. m e tro s se divi<li1·fL p o r l'l,91..i3 d e vnra (¡lle tit•11e rl m e tro, y tiOl'l 0 t: 25 0000 l 1'1963 107400 20 '8 ll6960 ' 92930 . 91890 8149 Có mo se reducen lns p esas y mediUas m ét ricas :í l uK ' y m edi d as cnstc llaua s T blultipli cn rnl o la deci m a l m ét rica por Ja en 1 ) medida cnste lhrna. .d o la. '1miil n c.l á que se vu. it r educir; · '" · :;r. Para. saber cun11tot) libro s 201 d e acei t e so m.ultipli cm·ú po r 1 ' 989i de lib m que tieub e l litro, y s u prodncto\;crií: 1'9897 X 201 = · 1989 1-397 94 399'9297 libras I g ua l.m ente so el rr s nltado, dinclicutlo e l uúmero propuesto por l a, c qmvalcnci o. de Ja. uui<lud el e pesa 6 medida caste llau o. e n fra cc ión m étr ica d ec imal ; v. P n·rn. reduc ir :?O l li tros de ace ite á librn s, se dividirá por 0 '50'.!li de li tro que timtc la libra de n.ceitc:, y t;;n cocie 11 tc :-erá.: 2010000 1 0 '5025 000000P;R:o BLE MAS . Ejempl o P 1 Escríl>nrn:iO e n forma decimal u11idnclc s mé tricas 8 Km. G Dm. 7 crn Se r á S. OGU 10 7 metros. Cómb se escribirá. en forma . decimal -! B.u. 9 A. 5 e .u .: S.erá 409 '05 áreas. ,f .
1· -.3? Cómo se cscribfrá cu ·¡;;""' clccimnl 2 JJ.I. 8 r. l. ! r(¡S1•·iJI 20'0S litl'OS. 4 '? Escl'íbm 1se e11 forma deciJHal lns 'i111 i'1:11l<'1' métricas J Kt!. 7 Dg. 3 cg. pouicndo l_}Or unidntl el g-ra1110 1 Sm:fi. o,oio 1117 gramos. 5? 061110 •e ese.. ibeu 25. JI[• 15 cm .• 14 mm.•! Serf• 2.i•00.05. J4 milfm ros cuadrndos. G? Escribtlso Ja c.Iec.:imnl métrica 8 1m1,ii ! Será J S·l'OO u37 ce11tí111ctro• éúbicos. 7º Ouá. 11ti0s metros i:;on 67500 VRl'llS castellanas t 5433'35So1·á,11 mctms. 81? U 11 n. cuerda rlo terreno que tiene ü,62.1 varns cuadradas ¡cmí.ntos cu ncl r ndos tt• udl'f• ! Tc11dr(• 3,930 ]\['. CuAntos meb·os cúbicos componer; 48 vnras cúbicas f Uo1uponc11 28'03ó.60G ceutfmetros cúbicos. 10. C111111Los li tros scwán 10 cítrntaras d e v ino 'f Serán 258'1281 lit ros. llº Cuántos litro s Sl" r {111 25 füucgas. de granos 1 Ser:í11 J aS7 150 litro!-;. litros cmni>oncu 34 ltrrobns <le aceito' Co111po11c11 4::?7'20 litros. i3'' U 11 1í,11tos kilogramos r:omponcn 28 nrrol>as 10 libras f Com 1Jo11 c 11 320'.iU ki logramos. 14" Qné 11(1111cros de Uencu 34dracmas1 Tienen t:J] 77 15" C ufmtas varns com ¡1 on c11 57832•38 metros f Com1lo11ctt U varng. lG? Cn:'í11tas varas cua<lradns so11 3,930'40 mct.fosf Sou 0624.'08 .84 varae cnadradns. --.... 17? Qné Húm e ro s <lo w1ras cúb i cas tio11e n 28'tl3ti.725 metros T icucu 48 vnras · 18'.' On(tl 1tos cuartillo COlll[lOllCn 258'ló litros' ll e vi110 t t:gmponuu 511"885 curu·ti ll bs. 19" Cuántas frurcgns co 111po11c11 J ,387'525 litro s de gra11.c '! CompQnen 24'9632 fanegas. 2ou Qué nfuncro d e arrobas rle aceite tio110 11 4:27'145 litros 1 Tienen 34 arrobas. 2l ? Cuántas Iibrn s t.;Cr{111 3:!9'40 kilogra1uos t Se1·{111 7 15 libl'n•. 22'.' Crní11tns <lr:1cmaR So 1r 122'2 1:1 grn mo Rt · Ser1í,11 34 tlrac1na s . 23° Cuál es Ja sm ua du 14 A. 25 012 15 c m2, con 7 111 · U m111 11 co n S A.O 11111 9 d111 11 ! Ser(t 29'G3.21U19 árcnR. 2-i'. ' Cua l se rá la. difCrc ncia.cntrc 271'1ª14. cmª .v 1' Lª y :w dm .J 1 Sor(• 14'965.0U mctl'O• cúbicos. 25° Cuál Rerá e l. imp oitc ele 765 Kg. d e tabaco 1í !)5 l'r1i11N•i,. 25 ce11tési 111 os los mil gmmos 1 Ser(&. 72, thrncns. 2G? Ouáuto \Tnlclrá uua. pipn. <le vino <JUO C'Ontiern..\ nn Jitro 4 litros, se vcudc e l litro en 14 rcnle13 :!5 cénti nws 11 Vnlclr:\ 1482 rentes. ,.J .
; :·. . -78- ,.._ 2':? Costando los mil gramos de carne 5fl •ea les 4cuí•11t<> valdrá un& arroba! Una nrroba valdrá 66 1138 reales. 1 28? Si una piC'l:> de tela que tien& 7 Dm, 24 cm. vale J95 reales 60 céntimos, 4cuáuto valdrá el metro ! Valdrf1 el metro 2'18 reales.. · -, . Si con 14 dobloues 8 escudos. 2 reales se cot11pm """ pipa de vino qu<> coutiene un hectólitro 4 litros l cuánto costnrít el litro! Costará 14 125 reales. l -79/ T·AB L A de la correspondencia que tienen las pesas y medidas c\el sistema'antiguo con las del sistema métrico decinial . jJf ctli daa l iiiea l ea . l legua lega.I 1 vara 1 pió . 1 Jl\1 lgad:t 1 Jíue•• 7 leguas ..= 5'572,704 0'1'135,905 0''001,935 39 Km. Km. 111. icl. id. id . Medidas c11admdaa. 1 vara cuntlrncla 1 pié cuatlrn<lo l pulgadacundrndal líuea cuntlrnJa 10 varlis ciutdrntlus = 0 169.87.37 l\12 0'U7.7Q.37 id. O·U0.05.3!1 id. 11100.00. 03 id . 7 M• .Jlcdi<laa a.umritts. 1 l egu a. cundrnda l ti.111ega·supc.rficia l 1 arnnzada, 1 c•tatl nl l-l fa ue¡;n• 31.054'985 Kili' 6,439•5,617 JI{• 1,471•92 id. ll'l,798 id. 900 A. Mlliliclaa c úbicas. 1 vara cúbica 1 pió cúbico l cúbica 12 varas cí1bicas to 11 c lndn s ele urquoo fe,. 01/i84.079 M• 0·021.632 i tl , U'UU0.012 id, 'l Ml 41 l\I> ,·
I ; • • ' -80Me d id as d e ca pa9 id a d . Pm·n lígui<loa en genur11l 1 moyo 258'1:1 t., 1 c{rntam lG •I:l;l i<L 1 cnartilln 4'033 i<l. 1 a:t:..'1.mbre 2 '0 lflG id. 1 mrn1 tillo 0'50H4 iil. 1 CO}l:t 0°12003 itl. 2 cum1ti11os. 1 h 11 !l c 1.rnrtillos f ill J.... Pnr n gra11u.v, Ral, d';. l cahiz J,. 1 fat1tg'il1 55'501 MI. L cc le111 i11 ·J.' 62508 id. 1 c uartillo 1 ' 1úG27 i1J . n fanegas 500 L. Parn, 1·l 1writc 1 arrolla dí' aceite = f ;. l libra itl. 1 pauill n 0'125G3 itl. l o u r. a 0 ' 03 1H ;,¡. 2 libra • 1 L . lG unobo• 201 J'.,, Jl l e<lfrl,,a z¡oiulcrnles tou e l n<la tle p eso_... qlti11tal .1fromc: nrro tn1 J l lilJra. 0 1 UillU!l :i l onza 28'i,ííi l adnr111 0 1 ' 797 l ibro s ü K ;:. 1 quiutal 4ü irl. medic i11al e.v 1 lil.lr a tn él li r:i l ouzn l d1'n cm:1 1 escrúp ulo l p-ano ;¡45•01 28·7liH :1 150.J 1'198 n •OlU!l itl. (;, i d . icl. i d . id . J -Sl/ l'<: .rnN . para las '111 011 etl11.v liura llta l'<'O l onz a, l ueli a va. l to111í11 1 trrano TAB J, .A 41i0'0tl3 :.!30'0·Hi 3•594 0 15H9 u •0499 G. icl. ill. itl. itl. de l a correspondencia que tienen ·las pesas y medida s del sistema métrico.decimal con l as del sistema antig u o. M eclid11s li11 c<1lcs n1it·i:'1mc tro kilómetro l1cct6 mctro 1 decíímetro 1 m e tro 1 1 cc utim ctro 1 miHtu etro l '7H44ü:! 0 ' 17!)-t.J(j 1W'ü3 US J 1' 9U3ll' 11 1u3:18SU Llfedfrlas 1 hrf't:'trcn 1 • t ó ccut iarca. = 1 tlN·ímotro en: ,ltado.=l ct·11t11J1 Ct l'o cu: tdn1clo= l 111ilím ctro c umlrado= 14)31J '5:3.:!!J ]4:J ·l1 ..i3 1'43.11 0 ' 12.&'i U' U0.12. 88 U'UOOUJ:l Jfr1Urlrt8 CIÍ.ÚÍCfl8 ' 111 ctr o cú bi co <·úbito l cc 11L ímc t1 0 cú\J ico i. 111ilimctro l ' 712. onn l'O·lü.22ú O·OíU.S7í o•uoo ,rns leg ua : itl. va1'a s. itl. ill. itl. hl. va1·:1 :::,t ill. itl. pi4.ª itl. itl. VUl':l 3 pil" pnlg:ula " ill. ' . ·· -
-82Medidas de capacidad . PMa liquidda 1 bectóli tro 1 dectílitro 1 litro .1 deeUitro 1 centilitro 193<;¡;¡¡ 19'83!íl 1'9829 0'793<1, 0,0793 Para á?•illoa 1 heotólitro 1 dectílitro 1 litro 1 decrntro t centflitro 18'01769 1°80176 0'8648<10 ' 08648 0,00004 Para el aceite 1 heetólitro 1 <lecálitro 1 litro 1 decilitro 1 ceutUitro 7 1959884 19 1119971 1 198007 0 179598 o ,07959 M edidas ele 11eao 1 to nelad a rnétri cn 1 qni11tnl mé tri co l kilogramo l h ectoi;ramo l de ca gramo l gru.ma l dec igram o 1 ceutigramo 1 miligra mo 2,173'47'! 2'173 3•477 0 '347 0'556 0'05Gü 0·2 0 102 cuartillos. id. id. copa. id. fanega s . id. cuartillo. id. id. n rrobas. libras. i d . id . libras. id. id. ill. itl. g muo . i1l . J -83- . Abreviaturas leg·ales de las decimales métricas . Miri(•metro ........ . Mm. Kilómetro .. .... .. ·" Km. Hectó metro . . . . . . . . Hm. D ecámetro .......... Dm . Metro. M . D eoi metro ... ...... din. (Je11 thnetrO . . . . . . . . . cm. '.Milnnctro .. ... . ... . mm. Hectárea .......... HA. Aren .... .... . A . Uentiál'en · : e.A. Kilómetro'. .. . ..... Km.• Rectó111ctro2. .. . . . . Hm.2 D ecámet ro2 ..... ... .. Met.ro '............ 1\1• Decit.net ro2 .... ..... dm. i. Ce nt\m etl'o:z .... .... cm. 2 Milimetro• .... . . .... mm. Metro• ............. M' Decim etro' .......... clm. 1 Oe11t1111etroJ .... . .. . . cm 3 . :Mil1111eb'03 . ..... . ... . m.m t Kil,ólitro ..... ........ Kl. Hectó li tro .... ...... RI. Decúlitro ..... . .. : . . DI. Litro ............... L. D <1cfütro ............ d.1 . Cent,Hi tro . . . . . . . . . . . c.!. Mh·il1 gm. mo .. . . . ... . Mg. KiloStJ"amo . . . . . . . . . . Kg. . . . . . . . . Hg.' D eengl'umo .. ....... , Dg. Gramo ...... . . ... : .. G. D eeigrarno . . . . . . . . . . d.g. · Ce11tigra.mo. • c.g Miligramo . . m .g. LECCIÓN 1 3• Ü PEILl.CIOimS CON L OS NÚMEROS C6'!PLEJOS. Qué operaciones se practican con los uúmcro comp lejos 1 L as mismas que con los núm eros enteros, d ebieud:i> tenerse presente para s u resoln ción l o!\ va l ores d o e llos y s n corres1l011tlcncia ('.ou las i11fel'iorcJot. De cná 11 toli modos las ope rncio ncs de 11ú1n er<>R 1 Pttuc.leu por cltatro modos d i fe.reutcs: por números incom11lejos; p.or ufüueros ntixtos; por qncbrmlos co mun es, y por <l ec im a.lcs. · Uómo se reduce un comul (l1jo (t incomplejo! Red.ucioudo l u. ei:;pecie Kup er ior á In. i11111 ccti a.ta inferi or, Sil · mnndo co ll e lla. e l vrodn t to ha.Iludo; so lince lo co n lM t\ emils y el último rus ultml o scr(t. e l incomplejo; v. g. 12 libros 8 onza-8, reducido 1\ i'twoniplejo Cómo He relln cc un com pl ejo fli núUl e ro mixto 1 Po11ie11do por eutcro l a c:- pecic s uperior; por numerador de: quebrado la s cl emás , reda.cillas {l 11úm ero iucom
-8·1p l€\jo, y }lOr dc11omi11ador una. nni<lutl do Ja. cspC'cic superior n•dncidn, fl l a. m{1 s i nferior; v.g. E l 111í11wro com11lcjo ·15 arrobas 12 libras S on:as, rocl1witlo cí 111ixlo será J 15J arrobas. un :1. C)llcbrn<lo C'01111Í11 J 1'omcmlo }JOI' 1m 111eira1 l or del qucl}l'llt l o to<lo e l núm ero Jl lqjo, rctlucido :\ rncomplt.:io, .Y por de11omi11ador una. 1111iiliL<l de Ja cspcci'1 á l a inferior; v. g. E l wm1J lejo lj t mTobas 12 l·1bras S onzas, n:d1tc-ido tí quebra<lo com1i11 st.r<Í: Ct>mo so r cd ncc un núm ero comp lejo (L, dccimnl 1 llednciéu<lo lo ft, qucbr:.ulo y c1:;to /t. clccimal, npro:d· m{1o 11c!olo h n:ta. 9110 fiO q111crn. ohtcncr; v. g . co m11lr10 J:, arrobas 12 libra s 8 on:a.11, rcduci<lo tf dcoi · = 15'5 CO MPLEJOS . C6mo RO HllUlflll l oro. llÍlllllll'US ('Ol!lplc•jos ! Después de colocar hHlos lo :-t s11111n11°do:-1 Jo .. dolmjn ,fo lo s <le modo que !íC' COl'l'l'sp0111lan l a:-1 1111id:ult.•s ele cruln espec ie, fi su m nr por la t's pcdo 11i ;'1s iuft·rior. tp11it•1Hlo <¡uc, s_i de <"Hta sm 11 a.. 1:('s11Jt:is('11 1111iclaf1Ps •1 l1 J:i irnncdrntu s uperior, so rcse 1'\•n.r H11 par a fit1111url:H• '"º" r qu cclnso sobmntc, se os ·ribo debajo tlo 1-1n <·01111111111: 1lt· esh· 1 1 1101 10 so Hmnn 11 todus la s d cm{1s e¡..;pedes, Kif•.utl o Jo qm· 1·<>M1ll t.• l a fS llllltl to t uJ. njem p !o : 1517 $ (i !32 llll':-1. + 50!) " (i ,, + " !) 2fl "2027 :¡n 7 -Sií- · ' RE STA R COMPLEJO S. Có1110 n·sta11 l\>s 11ít111Cro$\ ? • Se <.'Sl'.l'illt• ¡H"i111cro t. l 1uit111c111.lo y del 1<tio 4•) 4h'l modo •¡ne 1"cs1a11 c111po1.111 11lo poi' 1111' c;-;pt11·ic i11ICr ior1 c nya 11if'crcncin se c·oloen 1ldmjo 11• 1 ellas f:.: UCl.'Si\·:11 nt'11to se hiu·c Jo tnhm10 co 11 bis t•s¡w1·i\•s. Pnecle c><'11rrir c1n c Ct'pccio 'de l 1·ac1uln fuere mu.\ nr f(He la (}lll"' l'll e l 111imtf>11tlo; t'll cHS1:1 tn111a1'{1 ,.s.lt..· ht t•:.;p1·1·il"' i1111w1 liatn. rl«'I 111i11l1cmlo 1111:1 u11itlall, ht. cunl 1·1•d1ll'l' y agTt:;!':I ;'1 la 11101101· 'lllC' llf) :-:r. pu.to rc !:'tru·1 11it.•rnlo tli s11ti1mido de esta unidad e l uúmcrc1 d e l a t.'!-1. pccic 11 0111!1 si"' lrnUo to111<lLlo. f) 12 · cn arts . 2:; rn , ·:3 " = - ;¡ t:Í11ts . 24 c tuírts . ;¡ !'t1p:Z MULTIPLICAR COMPL E JOS . 1 Cúmo se 11n1lti(lli(•a11 lo:ot 11úmcl'Os f de L·e<lul'ir el mnltiplkando .'· 1•1 111nltipli.rnclor a In. rncnm· el e mnltiplic·n11 cnll't' s 1, 41idclit•1 ulo t•l p1·1ull11·tn q111• poi' L'l 11ú11u.' ?'O 1111c ln t-i vec<'s qm• Ja unidad d.c L·:.:.pcc·ie dl·I 11111!tipli1·:111clo caUe 1.•11 ht 111 nyor, COC\,ClltO CX{ll'('S;ll':J t•I tol:ll 'le in O)l('r:l(·ion ('Jl 110 cspc4·it• 1lcl 11111lr.iplicm11lo. Hjcrnplo: Omiufu 11ttl ih'th1 :!:l.J quiutalfw j 11J'l'ubnit S libl'llx de o.:-1lt:w · , .11crbic111 /o que """ r¡11illtal rnle ·l ¡jeNO.'( :! l't'llfrH t:.! llUll'lll'ttliR • .' 1 $ l.:! · X 2:3::i qq. 'ft s lli -· 2:3i:i83 X Gll03 :l-l 111 :11 ·:-:. 1 oso 2800 = !li l 'OO 1Ssé; (j4 - :-2.1 4 iHi ü \ .wo (j(jl):J2 IOO: 100 j
86DIVIDIR COMPLlfJOS. Cómo :;e 4\ividc n lu::. números complPjQS t Se reducen el divülcoclo y dhti!K'r á números iucomplqjos, r después se clividcn entro si: el cocien te que 1-esulto so multiplica pol' C'l 11ú111ero que expresa. fas veces que In unitla.d de i11ft.•rior de l .<livisor esti1 contenida en In mayor, cuyo product:o t•xpresllrl't el resnltinclo qn.o se husca en unidndeR d e especio i nferio( del clividenclo. Ejemplo ; ' Cu{ll será el valor ele "" quin · ttrl tle azúca1·, sabie1tdo que 235 quintalfJS 3 m'robas li libras, im · l ¡ior tan 971 pesos l t•ed 10 tnaravedfs f ( .· 97l $ 2:35 q'l· 1 rl. 3 0J 10 mars. 8 lb 660324 1 235 83 . 1 H866-1 \ 28 X 100 = 2800 1111:s. ºº°''º fROBLEMAS. 1"jemplo lº 1{e<lim:ase (¡ incomplejo e l 11ínnero compl ajo 8 JG cun rtill o· 2:copna. Será 11000 copas. 2º 'El complejo fan1 •g-u:; ü C'cle111i11rs 2 euartiJlos,. t·edúa. en.se {1 número mixto.. Seri' tle Qué dnrá por r ·Ultnclo e l 11ú111c1·0 co:np l('jo 9 meses 15. 'Has 14 1.iovaR, reducido á quebrad.o com(m t Dnrá. de uiio· 4'! 'Reclí1zcas& >\ 1l ecim al e l 11úm ero co 111pli '.iO H ,·m·ns 2 piés 9 pulgadas. Será 1419166 varas. 5" Outil será In suma ele lo s com plejos 9 , ·oras 1 pié rl ¡mlgiidaR, más 6 varns 2 pi és 7 p ul gudas, mf1 a 3 rnrns 1 pié 1) ¡mlgn(las I Scr{m 20 vITTas. -87Uu i11divitln1J t411c vivió en •SU país ul'ltal hnstn lu, edad '('ic 35 anos 4 mé8Cfl F 1'ft.1,cia 4 n.ilos 9 m eses . díus, y pn•ó á ilo11de 1l\11r19 á Jos 12 afiM 9 meses 7· ell as, ¡ de qué e rln.cl mur ió l d o 53 años. E l qué Le11i!\ pnn\ " ' uso 211 qui 11 talcs d e. cnto y so lo h!\· iln. 13 quiutnles 3 arrobas 10 libra<i · 14. onzas, 1 cui\nto lmbr:'1 gastado 1 Ilabrt• gastnclo G qru11ta.les 14 librns '.!onzas. Jm111 un.ci ó {1. 8 do l n. 11oche 1l••l l l 110 Setiembre de . lS36 y murió 11. l as 12 ele! dfa d el 15 d e .OctnlHe d e ISUO. ¡ ()uán · · to t iempo vivió t Vivió 54 años 1 mes J 11lus 16 horas. E l quo tiene 7 20 cuartillc':i 3 co paA < l o vi uo y vende, ln. c{>11tn.m !• lG peso• 12 r eiile$. 17 111t11•1wcdi• , ¡ cm\nto sncaro por todm1 t Sacará 127'15 pe.os . Valionclo I» iirrobn ele cacno ·4 1ü r eiilé• 17 mnrn· ·vecHs, ¡c uftnto va lclr{111125 arrobas 20 1-2 0111,ast Va ld rán 123'33 tiosos . 11? Si con reales se ha11 Com pl':u.lo 7 vrwl\S tres ¡)t)l g:11las i t<" ti¡;;il i :'i ·qné prcc·io :-:nltlr:\ h1. vnrn! A O'Stl ¡.¡l'Ros. 1'2º Si co11 J.; to rea.les 2 1l1:1r1n'cclls se compra. uun n roba de cafó, con t\S!)O pct;os.; reales to mtu·avccUs, 1 <..1.l(rntas J-robns se 1:01111n·nrí1 11 1 Se co111prnrá11 573'584 at't'Ob••· 13" Sieuclo c• I ,·alOl· cl1• n nn libr:i. de cnm\O do peso, 'cuá l so rá el n1.hn· 11 0 1 1ilira"' H ou 7 tu.ln.r mes 1 Serfl. U'4424 peso:s . Si u u o pera1·io cobm por un jornal 2 pe•o• lú r el\ICs 17 Je nfü1to cobrm·6. por jornl\lcs f Ool>t·nr{1 G7'9S7ü )'lesos. 15" Sien<Jo ol vnlor do una cáutarlL de vi no 80 pcsctn s 2:1 céntimo•,¡ cnlll se r á e l valor <le 27 cáutru·as 16 cua!'tillos 2 co¡in@f ·3208'12 pesotns. )
s decenas __ . _________ . _ 27,000 + Triplo del cuadrado <le clecenn,; por unidades 16,200 + '.l'riplo de cleconas por .cnn drado ·tlo u11ida<lc8 3,24-0 + Oubo ele las unidade s ____ - - -_ -_. 216 = Tercera potencia 6 cubo. ____. _. - - lfKüiJf;Qué . se llj\mn rafz ele un níuucro f Aquel que multiplicndo por sf mismo mm ó veces, (s. l(Jrmar la ¡>ot.encin; Y: como ésto, puede f.ler cund1·1ttla, cubi · ctt 1 etc. · _j . --' ' .:....
¡ • ' • 1 :· 1 lti11 t111 l 'lllpl c:ulo ga na ('.111 un aiio 2-10!> 1.Ji n laks n.i11amn..'l1Í:-, t :·nú11to _g-;111nrú. cu u11 t1í:t ' ' Gnnara IS 1í" t)i l Ol1 O ¡wt-.u:<i 1:-: reales 3;; 111;11·!\\·C'llis :4.C cOlll)ll'atl 3 tll' <¡11i11tal ¡ nt:íuto n1hl1·(t. l·l qni11tnl t ,\ . all11·:·1 pPi:<oi:-. IS" 8iu11•lo el \·a\01 · <lo u11 metro de puiio :! pt•su:-1 l.J r<'ah•s ¿cu 11 S(. l '{l e l \'alar de 3 llm. :; cm. mm.! Hcra. J S3' ltiti pc·so::;. . 1:)•• CJ11:t111lo :!i lG cum·tillo.s t·OJ><IM , -ah·11 :!20 I:! n :aleii :! ·l 111111·11\"l't lÍg;.. :'t cómo .saldrú el 1·1rnrtillo: .._\ ()f:.!:; dl' Pl' M), :!ti" t¡rn • 1111,ior1mlcrn l'll · 1 :1f1t1 !J mest•s 20 días fi012 rcnlc!i 50 cé11ti111os ¡ cu!111to ganarú. cu u11 tlía, 1 Ua11u.ní ff:!.I 1·cale};, <)11ó prrn:1• dii t: ic 11tos hny para. componer y tlt•::H·o111pu11c1· l1Úlll Cl'O$ ! IJ:t t•lev:wi(111 :'a pu tc 11cias y c.xtracc1ú11 de .rafcl'S. <Jn é se ll a ma pofc>1wia tl<:' un número ! g1 prod tt cto de 11111It ipli tnrlo por sí man ,) m•'S vcc·ci:;; v j)l)I ' c·:sl1t l'< IZÚll l.1 pott•1u:ia ¡uu:dl' sl·r tll' \·a1•ias 1í g1·:11lns; in·rn )u!-; 1ic 1wíi; fr Ol' IH'Hlt,·!J:o;C) sn11: la 1wy1w-dl1110/t:m; iu ó '11w tlrcufo y ltt ltTl't'tll j)O/ CllC f fl ¡', ('U/Je, , (Jrtó es 1) ! bl p roclut'io quo l 'C\l, lil:t cll' 111ultiplic <ll' 1111 11(1111ern p11r mismo 1111:t n •z ; asi 1:!1 clt'nHIO ;Í su Nt•gunlla poh•11c1 a ú cnaclr:ttlt ( I:! ") = ( l:l XI:!)= 14 l <)n•-: (li-t ll!lTl'l':l. pot('nl°i a ó t·nho El proclucto quu rc¡.;11!ta lle 111ultipli<-ar un número por "'¡ 111i t-1 1:10 tlos n •c·cs, y l'H i;nrnl :11 tn:)tll'ado nttiltiplic.ulo por la, nu1.: a:-i.l l'I l·nllo 1l 14.•rccm potcnl'ia do j :-:c rú: !i" =·( fi X:; X 5) =·l :!fi -89Qué se llama c.tponenfe"tlc Ja, ! UI uúmero que indica los gradoij á qnc ha <le ::ubii:. In rníi. Cómo se hace para. i11dicur que uu 111'11m·ro Ita. 'lt• e!1•vrir a 1111a PQtencin. rlmln, ! · Ctlando sólo cons$o. de nt'1 a cifl'u, b11"'tarH ponorle :'1 t'U tlcl'ech:\ y un poco más a lto el e.xpoueute; l)('l'O f'i co 11 stn rlo$ ó má-s cifras, se encerrará dentro de ·u11 pa1 l'n .. csis, colocúndo le fue11i. e l expouente; o.al para intlici1r fJUl' el 9 se l1a lle elevar ul y e l 36 nl cubo , se bar{t c11 111 0 s igue: _ 9} = (9 X 9) -= 81 _.. (a6)> = ( 36 X 3(i X 36 ) = !16,656
Oómo puede cousidernrse comp).1e$to Wtlo 11(1mcro t¡11e isc trata de elevar {s. una i:>oteucin. dada 1 . Pu6de cousidernrse compuesto de nuidatlCl$ y tl t.>co11us; así e l núm ero u24, por consta n11id111les, y 9:! <lccc11a8. De qué coustn eI cnadrmlo ele un número 1 • · Del cuadrado tle Ins <leceuas, del dnplo tlc l as dfü•1.ma:-;, mul · tiplicado por lns unidades, y del cua.<lrntlo tlo uuidn.dcis; así el cuadrado ele g24 será: · Ouaclr1tclo de las __ 846,400 + Dnplo ele clccenns por unitlail cs ,.. 'i,3UO + Cnadnulo tlc las unidades._.: ___ . JU Hcgumla potencia ó cnatlrntlo . . __ . t-il\71ü D e qué constn e l cubo ele un 11ú111e1·0 ! Del cubo ele decenas; del trip lo t•1111<lrntlo do laf\ clecew1s por uuidndes; del triplo de ln s d ecc11at:' por el cuaclrnrlo de lag nnidndcs, y del cubo <le ur:sí el cu Lo do 31> tserá: Oubo de la
-!JOCon quU. sigo o se indicn. In. estrncción d o rrtÍC'f'S t Con el s igno qu e se radicaw--po11i o111lo e 11t rn s us brazos e l expo11 e11 te ele la 1·ru:r. que eil el 111lmm·o quo indil'a lo>t á quc /1a _cl• bajar lapotc1wia; ns( es t i. expres ión 'ind ica que al num ero se le ha d u ex traer la raíz cúb ica: e n Ja. raíz cuud.rada se suprime e l expo11C'11te. . Todo níunel"O qu e _ en la tmg'nml U. potencia 110 p ase do cifras, c ná utas t e ndrJ en la rníz t 'l'endrá unn. y s i e n Ja tercera pote ncia t ic no tres también to11Clrá uua en la ra1 z. 1 1 ¡ 11 8 27 Rmccs. ___C undraclos. _ UubOll ..... . 1 ¡; 1 G 1 7 1 8 1 !J25 3G 49 64 81 125 21G ;¡43 729 Qu é se su p one en todo níun em f]u e 110 tione rní z exacta t ,, Se t:tnponc un nuaclrílllo ó un cubo próximo mouor. En el muRero 58, por ej mnplo, el cnndradu es 4U cuya rafz es 7 y µ 11 quebrado que jamíhs so l a lual'á df,..asc lo , co11 res1>ccto nl cubo. nAfz CUADRADA. Quf! se c11t ic11c1e por extraer la raí z de un-ufüuero t _el núm e ro que produjo la })()teucia. por sn co nt íu n a. 111 11lt 1p lu ·ac11)11, Clué 1-1c llama. 1·afz c1u1dl 0 Arlu tle un número t AC(11l!l f(UU multiplicudo por si mi s mo uua. ,ez... d é por prot.lucto el 11ú111ct'O Ill'Opuesto; así /a cw11.d1·a<la. do 16 es 4. la ele J 00 10. -Cómo hallo In c uadrad a d e uu número compuesto d e tre/i 6 crfrns t ... _ . ilulica<la la · · d1c11tc, N" d1n<l c, em p ezn udo 11or la clerecl1a , el núm ero p rop ue sto cu g rup o de ll oi:i c ill·us: el pl'irner grupo de la izqu ierd a puede coustar do u_1rn c ifra. Se hall o. In. r aíz cnndrada d e l prim er d o In tomando ht próxima menor s i 110 fuere qne Be escr ib e(¡, In derecha dcl uúmero proPucsto intcrpom e mlo las rayas la y su cuad1·nc10 se re;ta. clel gru1io de donde ¡ironno. A la <lerecba d e l . resi duo se boja e l -ül- , siguiente grtt)_lo, y separánd o le co n nn n. coma el gu.nrismo el e l:'t derechn , so di\•i <l o lo qu e qn c<l :t (, I:> izqllicnl11 p or e l· duplo <le h1 rafa lt n11nda, ni lado d o ht unn l 130 co1oe1l- el cociente, c.omo lli é n {• h1 clereeb1t d e l divi s<¡ r. y esta cifra el e la rníz se multiplica p or todo el divi sor y NC rcst" d e l dividendo. Del mismo modo se co ntiulrn con lo s domiis grupos qt,to hubiere ha sta terminar la operacion. Ejemplo : PQtoncia ,.¡ O,!ll,6U.OO 4 29,1 .27 6 1 2, 630 46 6 -- 1 5 ü,9 523 156,!l 0000,0 1-5_2_6___ lln ó se h ace cuaudo quecln reRiduo 1 Se eB 1.mbir{i, dcl: wto Jo la ra.íz e n forma d e quebrado comú11 , pon iend o por numerador e l residuo y por c.leuomiundor e l clu1,Jo Je l a rniz, con 111 :1s la unid n<l . Si el rc8ichio se quiere aproximar por llccimnleR, quó se hact·l Se nñad ir{m clos cero:3 pol· cada. cifra d ecimal que se :mear. C u ando scparndas los unidades d e uu grupo bajado, lo q u<· queda se á 11> izquionlo. no pudiera. dividirse por el duplo de l:t rair. Juúlada, qué se bnoo ! Que se cero en l a r aíz. y se bi\jrtr{,, el siguiente JlTl!JlH. Uómo se prlleba esto. operación t E levnnclo á la seg und" potencio. In ralz lnlll ada, y si •'•ia, tn ñs el r es iclu o, s i to ha.y, <l {¡, e l níun ero propucistc, cst:'1. hic--11 ejec utada, l..ECCION , RAÍZ CÚD!CA.
"
Quó se llam a ru!z cúbica d e un núm ero f Aquel cuyo cubo ó tercera pote nci " sea igual do; as! la m(• cúbi ca d e 27 es 31 y 1" d e 64 es 4. Cómo se hall1> l a rniz. c úbi ca d e uu número más de tres cifras ! ) al número cla
r lt I • ' 'I ' ' ! .' -92Oe!'( pntl:-; <lt• In. operación oon el sig no co1·espon 11i c 11 tc, 1'10 tlh·i<lc el número propuest.o eli g1·upos d e tres cifrns; 110 le ha ce <¡ne e l prinuw gr upo do la izqui e rdn. tenga una 6 <l o:s c ifr as. Se .. In rui z c úbi ca del prim er gr upo , tomaudo ht próx im a. mouor, :si 110 Ja fie n c exaot.n., y se co lo ca á In drrecha \lel níunero tl rull, , int c rpo11iendo lns myns do la divi sión, y l'l ll cubo se resta. del gr up o ele d o nde }ft'ovino. A In clerl."clta th•I r esi duo :se cscril>t.• el grupo, y de s pu és tle 8<\pnrnr le con una. co m a. las c ifra s de la derec bn , lo que quetlc ú lu izqnier ch\ se divid e por e l triplo d e l c u1L<lmdo d e In mir. bnll n<lu, ni Indo ¡ d e l a c ua l Ne co loca Cl·COciuotc; 80 c ubi ca toda la J'lliz, y e l c u bo ( de Jm; clos gr upo s: sncesivmnente se bajan demás f:!l'll JlO:-\ qne hu biere, haciendo con ellos lo mi smo qu e se hn. c'(pliBjemplo: l'ol c n c i:i v'Ü4,818,816 (J! . 308,l-i !lll :l5 369 38,16 04818 816 000 000000 456 4 48 5 . 6075 6 :-;o han· t·u11111lo el núm ero dado uo tiene r a iz e-xnota t tic· ('"cribo e l delante d e In. ra.iz .cn forma d e fracción com ún , pouiemlc por 11n111 erador e l residuo y pore l tri ul o d e la. raíz, co11 más.el triplo d e l cuadrado d e la mi sma, ag-rrgtt111 lo lc la. unidad. Cómo Re a.proxima. ll l resictno por d cui malc s t Agrcgú 11d olo uu grupo <le fre s ccrON por cndn cifra decimal que t;;Q intu11tc toiacnr. Cnuudo 8Cpar:utni:; ln 1:1 d<kl cifrn!'l de 1111 grupo bajado, fii lo que 1111cda. :'" In izq ui enl a 110 pnode di v idi rse pm· el tr iplo del cuadrado d e la miz , f}U Ó "º ho ce 1 , Qno •e pouclr{• cero on la rniz y se baja e l siguitlnte g rupo . Cómo se prueba éSta opernc ión ' Elevando a l cnbo la raiz lrnllnda , y mlc.s el r esi duo, s i Jo hay, ba. de dar e l número propuesto. ·. -.93-; LECOION17' POTENOIA4!1 Y lUlOEB DE LAS :!'UACOIUNF:S. Qué Re bace para cuadrar ó al cubo nna fracción l! unlqu iera, r Se lrnce l o mismo que 1>nra hallar · e l c u>L<lrndo ó el cubo <le uu uúm ero entero, esto es, se mµ l t ipli ca poi' s i mismo nnll 6 clos v eceH. Ejeu!plo : ( 8 )' 8· 64 25 = 25 ' - = 625 ( 3 )' 3• 27 5 = ¡¡:.=-= (0 1125) ' = (0 ' 125 X 0'125) = 0'015 ,625 (0'25 )9 = ( 0125 X 0'25 X 0'25) 0,01 5,625. Uómo se ltnlla l a rnir. c undrncl a ó cúlriel\ rl e una fraccióu COIUÚll 1 Sacnuclo la rniz c uadrada ó cúbica d e cad l\ térmi no sepumdnmc ute, ambos ticueu rniz ex nctn, y en caso coutrn rio, lo más se 11 c ill o es 1·educirlu ú clcc imnl y se proced e come 011 el:tta. Ejem plos: 21.1 31 ="" U , JüUH.00=0'0797 " Có mo se l a raiz. c nnd.radn. ó cúbica d e una fr:tccióo tlooi mnl 1 · Se procede clcl mismo m_g;do c¡nc ¡mm ballar l a ruiz cua drad,. -....
/ / (' ,f
:-946 cúbica de un número entero, prescindiendo de Ja coma; pero aHadiendo li. Ja derecha de la fracci6nt si no tieno cifras suficientes para poderla dividir en grupos ue dos en dos, ó de tres en tres¡ tant.os ceros como sean necesarios: en la raiz se separa,. rá con a coma un número de cifras igual á la mitad, si e cuadrada, ó al tercio, si es cúbicn, de líls que figuran en la clecimul propuesta. Ejemplos : = 0'125 <' 0'013,824 = 0•24 ·.
I ·.
Qué se lh1mn c.i;pm1onro de I» razóo ! E l r&m l tndo de 1:1 comparacióu del a11tecodcute con el couse · cuente. De .cuáutas maneras es la ra1.ÓU f A.rit;m6tica, cun.u<lo losclos 11íunems compnrau entre si por vía de sustracción; y gcométr.ic(l, cuando llenrn la mira <le saber lo que e l uno cout1cne a.I ot110. · Cómo se i nrl icn. l a i11.zó11 t S i Cb nritm é tico, con uu punto entre e l antecedente y coueo coeute, y con dos si es ¡¡eométrica; v. g. (7. 4) y (O: 3) que se leen: 7 es aritméticnmeuto á •11 y 6 es geométricnmento á 3. Cómo se la rnz611, atendiendo (• sn antecedente y consecuente 1 E n razón de igualdad fllayor ó 1ne11or deai{Jfl«ldrul, según
COMPLEMENTO ALA -AnJTMÉTICA ELEMENTAL L ECC ION i• f' DE LA RAZÓN GEN >;RA L Qué se Jl nmn. 1·azó1ven Aritm ó ticn.' La. comparación de dos números de mi:\ misma especie, loe coa.les se llamuu antecedc1ite y cons001tcnte: oJ prime\'O es el Qttl' se compara, y el segundo es el número con .el c nnl so compara e l antecedente.
geométrica una chv1s1ó11 mrl1cada, el exl10 11 e11te J1a. do ser igunl. 6 meuor que. la. unidad, siempre que ei co11s Jgnal, menor ó mayor que el n11tecedente; Y. g. 6:6=1 6 : 3=2 Ou{a.ndo uo altera. la razó11 aritmóticn t Cna.udo á sus do$ tértnibos se les suma ó rcstn 1111 i 1(11ne.1·0 v. g. 8 .4 :=8+2.4+2 8:4=8-2.4-2 Cuándo sufre alte;·ación razó n nrit1116tica f Anmeutn., adicionando 1111 11(11uero ni u.11tccede11te 6 ,,m;t1'1t· yéndolo al consecuente; y disminuye, en Rcutido cor:trar io; v. 6 . 4 ...... 6+2 . 4 = 8 . 4 mayor. 6. 4 ...... 6. 4-2 = 6. 2 mayor. (i. 4 ... . . . 6-2. 4 = 4. 4meno1-. 6 . 4 ...... 6. 4+2 = 6. 6 menor. -113(Juli 11clo 110 n Itera la razóu geométrica ! Cuarrdo s·is '<los téruiinos se multiplicau ó dividen por 1111 miRmo· uluncro; v. g. 12: ll= 12 X 2: 6 X 2 12: 6 = .i.¡. : t Cnfoilo sufre alteración la razón geométrica! · Altern aumuntando ; cuando se u11útiplica el por HH 11úmero cualquiera, ó se divide el consecuente; y por el con· rrario rli1'111i1111ye, que ae divide el antecedente ó se mnltiplica el cou sccu ente;"Y .
-112- 1 que su autecedeute sea ignal, mayor o menot que el cnusec11e11tl·: v.g. 8. 8 61 : 6 8.4 6:3 4.8 3:6 Cómo se halla el exponente ele 1\na rnzón nritrnética 1 consecue11te del anteccclcntc; as[ (í. :J) el ex pu· nente es 4. De aqui se mfiere que cuando la. razóu e-; ele icrualel ':l.-pouente será cero; cna.nclo es do <lc8ig-nnl<l;{°'d, Ja d1tcrencm. entre ambos números; y una cn.11t1dacl 'lll'g'iltiva rn:rn . l do es de meno1· desigualdad; v. g. ' r 8: 8 =0 8: 4=4 .4: 8=4-8 halla el exponente de la razón geométric:i' D1v1rltendo e l r>rrtccedeutc por el conRecnentc, asl (U: :J) 1•1 expone11_to es 2. . lo. q';le se clcdnce que, sie11do la razón g 12 : G. t..... 1.2 X 2 : 6 = 24 .: G mayor. 12 : G. ... 12 -1f = 12 : 3 mayor . 1;¿: 6 ...... .Y, : 6 = .(¡ : 6 menor. 12:6 12: llx2=12:12menor: LECIJIÚN DE LA PROJ>OROlÓN EN GEl\'ERAL . Qu 6 es p,-opm·ció11 ! , La. combi11n ci611 de dos razones que tengan un mismo expo· ncute. De aquí res ulta c¡ne toda proporción ha de coust.ar de cuatro té rmino s que se uombran: antoce<lcntes al primero Y tA•rcero; co nsecuentes al seguudo y cunrt.o; e:i;tremos, nl primero Y cunrto; 1'1C<lios, nl segundo y tercero. De cm\utos modos puede ser la proporción ! Lo mi:ni10 que la rnz 611, m·it111 ética y geométt·ica , seg(rn que se forme de dos razones nritméticn• ó goométricns. Cómo se iudica la }ll'Oporeión t · In mm rnzóu ele la otm por medio ele dos puntos. c..1ue se leell como, si es nl'itn1éticu; y por medio de cuatro, cnnoda es geométl·icn¡ v. g. (5. 3: 8. 6) y también (6: 4 :: 8) c¡ue. se leen : 5 es nritméticameute ' I'> 3 como 8 es á 6; y hi otra, 6 es geométricnmente (, 4 como 12 es {, 8. Cómo s e clasifica la pl'oporción por razón de los medios que entran en ella ! En di8cret{l, cuando los medios son diferentes como .-3 =8. talrlbién (6: 4 _8); y 001'li,.11a, cuando los · me dios son 1gunlcs : (8 . 6 : 6 . 4) ó bien (8 : 4 :: 4 : 2) j
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-ll406mo se Ja, proporción Negú11 el órclcn 11. 1 :;11:-;minos' En directa, y on iudfrecta ó i1u:craa. Cuándo la proporción se llama 1lirm1ta f Ounndo He forma tle cuatro términos dir(\f:tnuumte pruporcio . nalca, de mnuera que, Ja misma razóu cu qu o e8Ui. el prim e ro HI segundo, ha ll e os tor el ·tercero al curuto, como: (S. 4: 6 . t) trunhiéuy (6: 4 : : 12: 8) 1Cm\udo 1a proporeióu se llamni ·á. rnverKa f Cuando se fm"nm de cuntro términos i11direcb1111 e11te propor cionales. que SH hallarán en proporc ió n Uirec 1n .mndanclo lul'I autccedeute8, como: (G. 4: 8. 2) y tmuhién (12: 4:: 6: S) J,ECCTÚN3• l ' ll OP IEOADE S DE L..1. l >J.tnPOUOI ÓN. Lns alteracio11cs que :s ufre Ja rn.z611, so11 pccuHnrcs e¡ proporciónla. 1 Sf, seiíofo, pues to que la. propol'ción es Ja combinación de razones ig ual es. Cómo se forrua una propoi-ción nrit111éti1·a t Eswribiemlo la. prim em ra zó11 <·011 u(111101·11¡.: luego se poueu dos pnntosi, .r pu'"" el'lt:riUfr suma U r esta á los términos d e lo primera. 1111 mi"'mo tJÚIHl'ro . Ci.4:6+2.4+2 6 . .J Có mo 11e forma u11a proporció n :u·it111 étirn. co11t111tm f Se esc ribirá la ¡u·i1uera razu11, pouicnclo por antecedente de la..segunda. el cou;o.ecueute . 1le la ]>rimern; y llnra. cscriUir el enar to t-Ormiuo, se re sta 1lel lo que 01 primero excede ni segundo,. 6 bieu se agrega ul;toi ·t·(WO lo <-1110 c J iscgumlo lleva J\I prim e ro. Ejemplos. 8 6:6.6-2 6.8:8.8+2 Cuáles son lu s prop iedades de la razón aritDJética. f Son lns siguientes: i• f ¡a s uma. rle loa extnmios es igual á Ja snma de los mtdioa 1 I -115... ¡ 11i :-;c1·ctu, () 111 l"tl ma f1e Jos e.vtJtemo6' t·s ignul al ,]nplo deJ t érmino 11w1ffo, ex c·ontfuna; v.g. (6.2:8.4) . .. .. 6+4=2+8 ¡8.6 :6., 4¡ ..•... 8+.J=6X2 2• Ü u ;1tro 11úmL ' l'OS l'\Criín nr!tmét icume11te si '·atla tór111ino exfremo C.ij ig1111J á la lle mcdiOlf , elme1ios otro exfremo; v. g . . ... 6 = 2 +i'i -4(6.2:1i.4J. . . '' • ( ' na.tro 111Íin croi\ · ari·t;métiCAmont.c proporcionales, Ni unda té rmino modio es igu.ll ·á. Ja suma de los elmenoH otro medio; v . g. (6. 2: 8. 4). _.. 2= 6+ 4-8 ((J. 2 : 8. 4) ... . 8=.ü +4 -2 UOmo lialla. u11 té rmino nritn1éticamcnte propo rcional á tres 11í1111c1'0M dado s ! Su is u mau loR 111cdio1; y d o Ja. e l e:vtrcm.o cono-. ni,10 1 si se lm sca un cx ttt'tn o; y ol coutrario so sµman los c.x:trcmoa y do Ja suma 8C resta el mc1No conocido, cnu.n do se tra· ta de hallar u11111edio; v.g. (6.2 : 8 .:c ) .r=2+8-6 ((l. 2: X. 4 J. .. . a;= (j + 4- 2. ( 6. :c : 8 . 4) .. - .:c = (j + 4 - 8. ( .e . 2 : 8 . 4 J. . . .e = 2 + 8 - 4. Cómo so hall11. ur1 t tt rmiuo medio r:ontlnuo y aritmética .. mcutc propo¡cionu l i\ dos 11ú11"1. cro:-i tinelo s f Basturfi. s umm· lo s t1aclo:-i, considerando e n dicha suma duplicado el término medi o; v. g. 8+4 ... . :c=-=6 2 ,.J -----
' ' 1 !,. ' 1 -ll6Cómo ao forma 11oa proporción geométrica T Se escribe la primera razón, y para fonnar 1.. segunda se mn lti1>lican ó dividen sus tórmiuos 11m· nit mismo níunero; v. (6:4.:;6X2:4X2. l l' 4 ( 6: 4 ::-2: 2) 1 Cómo se forma una proporción geométrica contlmrn ! Dividiendo los términys de la primera razón por su ex po ( ueute, 6 bien escribe un núm e ro cnn.lquioro, por segundo y t<ircero u.n múltiplo do este número, y e l cuarto será g1úl t ip ln del anterior; v . g. s 4 (8:4=2 .... (8:4:: 2:2) (9:9 X 2: : 9 X2; 9 X .J<) Cuáles son las propiedades de la proporcióu geométrica f Son las siguientes: • l El procluct.o de los ext>·emos es igual ni product.o <le lo• 11tedios, si es discreta; ó el producto d e los extremos es igual al 1:11adrado del Mrmino ·naedio, Ri es contfuua; v.g. ( 6: 4 :: 12: 8) (i X 8 = 4X 12. ( 2: 4:: 4: 8) .... 2 X 8 = 4' ·. Cuatl·o números serán geométricamente proporcionales, si ca da térm ino ext.remo es igual ni prodoct.o de los medios, din •lido por el otro extremo; v. g .. ' , 4 X (12 6: 4::12: 8) ...... 6 = --8( 6: 4::12: 8 ) ..... 8=4X12 -u3' C11ntro números serao geométricamente proporcionales, si cada término medio es igual "1 product.o de los extremo•, divi · -117- · . t1o pol· el otro medio; v.. g. 6x8 ( 6:4::12:8=) . ... _ 6 .-.: 8 (6:4::12: 8=) . ..... 12=-4Cómo se hal11> un tér mino geom4tricamente proporcionnl 11 tres número s dados t Se multiJ_lli ca n loR medios, si se trata de buscar""ttn ea:trcmo , lli_\!.idienclo el proclu ct.o por e l ext1·m 1w conocido: ó bien, el pro1Jn cto de lo s exlrcmos se di vidir:\ por cJ. medio conocido, cuando ilSC ne.sea cncontrnr nu medio; v. g. ( G : 4 :: 12 : x ) .. • .· x = 4 X 6 12 = 8 (G:4:: x: .. . . .. x"==G: 8 ( (; : X :: 12 : 8 ) •. ·x = G X S = 4 . 12 (X : 4:: 1 2:!1) ... . .. x= 4 ; 12 =6 t:6mo so halhl uu mcd'io contlmto y geométricamente propor r. io11al á dos números dados J . . . Se mul t ipli ca u Jos extremos , y d e l producto so extrae la. l'l'úz cuadrada: v. g. (16: x :: x : '!) ..... . x=16 X4= ,.¡ 64= ll Pnede simp lill cnrso In proporción geométrica t Puede •il11pliflc1u-se, dividiendo por un mismo número lo s •mtecedentes y co usecue utes entre sí, 6 bien Jos tét'm iuos de la. primera razón, ó los de 1:. seg und11, ó los cnatm términos {, h• Vez. Ejemplo; ... : ........ [18:30::9:15] Antecedentes . . ............ (G 30 Consecuentes... ... ..... . .. (18 10 • .••••. •••••• , •••• (3 5 liazón .... . ............ (18 30 T.os cuatro Mrmyos• . ... . .. (6 10 3 ló 9 ó) 9 15) 3 5) 3 5¡ --....
f SimJ>le y compuesta; cada mm ele citas, como la ¡uoporción,dire cta é Oui\ut!o fa regla ele tres"º llama •imple! Ouando ¡mru s u re so lución s6Jo se atiende á una circuns· tancin; v: g 8i 6 operarios en. una semana ganan 200 reale11, 9 operarios ¡, cutmtoa ganartfn 1 011á111lo la regla de tres se llama compuesta t Cumulo para su resolución se atiende fl. ml1R de nua circnnB· taucia, nunqi1e los tél'Jl]i110S principn1es solo sean tres, á los coa· -119acnm1)auatt' los otros como 6 v;, Ir· t:;;i Ü t1pe rariON f'1 0 12 días, H Jtm·as charttUI, -?<> rt:<tlcs; U 01u:rctr1os eu JO drns, fralH•Jmi.do 8 horas calla dla 4 muui.lox r1.anarán 1 , • ·De (:nímt.'lt:" pnrtCfi cnnstn ln regla d e _t r es • . Uonst:i ll e <los par tes qne cq1ulncen 11, la y I totn.· l1rn111ttcj>ltel1to {\.Ja prim era,
menor qm· el conocerá c ua.ndo l a regla de h'Cti compuesta. es directo, ó 111ixtu 1 . . . li'ormuudo tuntas P''opotc1011es <:omo tér m111o s couomdos tcu · ,µ-n la pregunta. Ejemplo ·: J Si 6 011errtrios en t '.3 días yamiu 200 reales, 9 011orarios en. · <lía .<1 ' cu.•h1toli gamtrtÍ n 1 . Si ü operarios gut1u11 200 reales, O opcrarws gamirán más . ..... Directa . Si e n ·1 2 días se gn. nan 200 reales, . en 8 dfas He b,"nDttrfin uu •. 110P.. Directo !!" Si 6 opetario• ª" J§ dias, trabaja n<lo 10 ltorns cadll 1lfo> 1
será: (3:5::G:IO) Qn é es com11m·ar componiendo T Oomparnr Ja s umn. de a11tececle11te y consernente c•o n c ualquiera do Jo s <lm; térmh10s en ambns tcmlremo .. quo (G:10::3:ii} co 111pnrn11do componien<lo serli: igunl á (6:-j-10:6::3-1--6:3) y
1 1 1 . 1 i 11 -118Qué se Jlanum truusformaciooes en la }lroporción, tanto aritmética. como geométrica t , Los difcreut.i• motlos de prescutnrln sin que "Itere ele valor. Cuáles wn estas t Las priucipnles alt.erna.r, invertir, permutnr, comparar componiendo y comp:wnr dividiendo. Qné es alterna,· '! \ Comparar •nteceUeute cou autecedent<>t y c11nsecn ente •·011 consecuente, lo que Re rjecnta mudm1Clo do Ingnr los ml'dios .Asf (6: 10 :: 3 : ii} alternando será: (6: 3 :: 10 5) Qué es invertir 1 ( Comparar el co11sec11011te co11 n.utecetlonto 011 tacla razón. Luego (6:10::3:5) Ítl\"irtiendo •et"il: (IO:ti::5:3) Qué es 1iertn1tla1· t . Cambiar lns de Jugaros en una proporción , <le lo qno resulta que (G:10::3:5) ¡>ermutnmlo tambi é n (6- ,-l0:10: :3-l-li:5) Qué es compnrar dividiendo 1 "* Oomparar In. difor eul"ia e11tro n11ter..e'1e11te y consecuente con cualquiera ele los 1los término• e11 Bmba• mzunes. Asf (6:10::3:5) comparando divitlie1u lo ser !1: (l()...6:6::1>-3:31 y también (10-6:.JO::ii--3:5) LF.CCIÓN 4ª DE LA ItEOLA DE 1'RES. Qué se llnnrn 1·egm tlc trea ! La que e111'ni1a. el modo.do hallar un término desconocido do una ¡)1)oporci611 geomét1frn, couoci<los los otros troo. D o c uántas ma.ner; J)D Cde Her y JJJ·eg1111ta á lo segnn<la. Do cnfwtos t6 rmi11us ha rl c co11st11>1· l'I 1 Unanllo•la r cg ln de trei:; es s impl e 8ó lo chn ta. do' clos que se Jl,inn;m término 11rinoijutl y ·relytfro_ del to; cuando e.s C'ompueRta. to11clr{1, 111 (1"' el e cloR tét·11111Jo1 A8.t 1 en el primer ejemplo, el i:;11 rm rsto Rcrít :_ü tm. :.,.a<l() reales; y t'll el Kogu udo ::;ora: 6 01>er<f.1"iQS en 12 tlws, l1 abr')aJf.tlo 9 horas <liarias fjtuwn rca1c:t. JJ e crn,11to$ lind e couBtar I:• prrguutn. t Si Coi si1npl c, d e uuo que.. su <.fc11omi11n término l a ¡n-egnnta; y cunmlo Cl' com11tws tn, más. de 11110 co no cHlo y siempre otro 110r ('OllOC l' I', At:>í, t! 11 el pt·1tnt!.r q¡umplo, ¡n·egt111ta. será: U operarios , y en ol ti cgunt.lo U opc1·anos ea 10 l7ras, trabcij111ido 8 /101'08 Ctl(la, día. O u fi ndo Jn 1·egln, de tros se dfrcwta ! . C ua11tlo términos qne e11tra11 e u In pl'oporc1611 van d e ;\ tnl1s, 6 de menos ti 111 0110'1, v. g. i'i ü o¡ww1·i<Js eu 1rna semmw. qmwn 200 1·err l cs, 9 011 crnrif111 r1mtr.irtl11 tmiH, es to tanto. C'l tercero 200, cuu.u to e l Sl'µ-u 111lo 11111ytw qno e l l)J·unero O. ()u(rnclo r e• ·ln d e trni:; S(• Jlnm .1 1 (Juanelo los tÓr111i11os de la pro1mn·ió11 va.u t1HÍI tí menos ó de '1netlOS ,¿ máx • v. Si (i n1Jcrm·ios en lG díaH levantan 300 -va.ras de 1mred 1ut1·a lcvaulttrltrs e11. se 'IJ eccsitar(m •m.ás, esto es ; tnuto mayo1? que el tercero ü, c u n11to el 1::1ugu mlo 8 m:1
g. ,Si G üpet·m·ios en lli días luwc1' 'lma. ob1·a cualqufor<c, pm·a hacerla.· en S días ' cuánto• operai io1; se necesitarán I \ ( 6 : 1(j : : 8 : '{) = G X 16 = 12. 8 Cun:irl,) Ju, reglad o tres es compuesta, cómo so resuelve t Forruando tantas pro¡}orcioues simples como términos entra n - 121- . • hi pregunta y tles ¡més se r esuel ve cnda proporción separada1ue11te, Negún caso á, que co1·r1..·8¡>bndn: el cunrlo térnuno, lia ll n..tlo cm 111. l 1l trma proporción, será el result.\dO se busca: 1J;je111plos: Siü operarios en 12 dlas ganan 20p reales, U operarios cu S dfos ¡ tmánto ganm·án' Directa. Directa. !) X 200 (6: 9 :: 200 ·: x) . = · -o-= 300. 8 X 300 . (12:8::300 Si 6 optJr<rrioa en lü (Has, traboja·1ulo 10 horas cado. (lía, teva1itan 300 'Varas <lel.'01·cd ;' 11m·a le'Oantarla& en h tlfos, traba 1a.ndo 12 hon(S <Jtu1a ¡ 011orar ·ios so 11cousitm; , . 1G X 6 ( (¡ : 16 :: 8") ':"" -8- = 12 Invcrnu. J2 X 10 ( 12 : 10 : : 12 X ) = -:--i 2 ·- = l 0 3º S·i co1i :1 00 pesos en 12 meseS se ganan m1 pesos ¡ cwlntoi sr ncccsitari para ganar 120 11csos en. lü meses, I ll l"Cl'SH. Directa. (º"ºº ·12 .. 16: xl 375 . .. lü I 120 X 375 ( Gú: 120 :: 375: =7ii0 • (j De r¡n ú otro modo puetlo resol verso ln regln do tre i:; Heduciómlola 1\ 8imp le, Jo qu e so cous1guo cou h t co n t h.nrn. multiplicación do l ós términos prhrc ipal eR por la s y después t.m procedo como en cst.a : cu la proporci ó u i11vet·tu\ caml>iau los a\1tececlentcs. .J ..
-120lcvantan 300 vara• de 11ared; para lev antar(as.,. 8 día•, trahajmulo horas oada dfo, A Clltintos opcrn:rioH ·"fJ 1iccesitm·rín 1 Si en 16 dina Re n ecesita. u G operarios, e n 8 días se r{m 11161; . I11Ycr sn . Si trnbajanllo LO hora s cnda. día. se n ecmütnn G trabnjnndo J:.'! horns cada clía :m meno s. I11vcr:- :1 . 3? Si con f,.0 0 pesos en 12 meses se gnnnn GO ¡lesos I cuúnto din.ero se necesita. pnr a. ganar 120 pesos en lü mrHCt)' Si para ganar GO pesos se necesitan 500 pc t;o!-' 1 pur1t. ganar 120 se uccesitn.n m(t S: Directa. t Si cu 1 2 niesf'S se neces itan 500 pesos, en IG meses u ecusitan meno:-.. lnYorsa. LECCIÓN UEBOLUO!Ó:< DE LA REGLA DE 'l' J!ES. ¡Cómo ac resuelv e la r eg la de tres tlirccLu. ! Oolo<•ntu.lo 011 pro porción geométrica lo s trri:l tórminos por el ordP.11 directo en qno se prcscnta11, y resucita ésta. el cunrtf ; tl!rmiu1., sr r:\ la. iucóitnita. que se v... g. J>m·a enlaclri llar 1mci aala quo tienr. 1441JitJa cuadrados tle s1i1Mrjioie, RO necesitan 180 ladi il/os; porn e11l11 ilril1a,. ofm sala do 25G piés cuadra do" ' ouá 1¡tos lad1·illo11 se nc:r,B8ita rán del mismo tamaño 1 " 25G X 18 0 (. 144 ; 206 : : 1 0 : X) = -i 44 = 320. Cóun se resucke la rcgln ll e tres cnamlo es indirecta 6 in · versa. t la proporción geoméb'ica1 empcznnrlo por e l t..<!rm: .1 0 i111p a r, qne es el qu e Ru compnra. con la. iucognita, y pn.ra r esolv l"rJ . HO multipli c':\ el primer tél'mino J.lOl' el segundo y el ... di .vidirft por e l tercero; v.
Sil'Vflll de modelo Jos tres anteriores. (6 X12:9X8::200:x)=(77:72::200:x)=:.l00 :.l '.' ( 6: 16 X 10 :: 8 X 12: X)= ( 6: l<iO :: !JG: X)= 10 39 ( 16 X X)={ 9GO:lJ-IO::::oo: x) =730 Cómo so prnclm ln regla de c\ompucsta. t Suprimiendo uno ele los términos do la preg-unbt que "'" suple con el rcsultuclo hallmlo, y so forma. 1111 J1ncvo prohlc111a quo rc1melto ha d o dnr el término tachntlo . el 1:1;i•·111plu ) u11t-erior se probar;.\ suprimie11do lo¡;¡ y t'\'snlta1·1Í t•I siguieute problema: Si c:on. 5110 pesos e11. meses so gmwu 110, con 'iúO pesos c1r. lG meses 'cuánto IJC gan.ani r Directa. ( 500 : 75.0 :: GO .x )= GO = 00 Directa. ( 12: 16 :: 90: x) = 16 !JO = 12'.l G• Qué es regla de iuterés ' l I..1n, que 011seiia e l modo d e h:tllar el <¡ne ;í uu capital prestndo, mediautc un tn:ito J)Or deuto <le gaun11cia. De cnúntas 11rn11Crns puede ser t!I interés 1 Si111ple y compuesto. Cuándo el interés se llnmn sim11le ! Cuontlo só lo se buscan réditos del capital ncgocindo, ó lo i¡tt b ci:¡ iguhl, cuan do ve11ciclos loS iutercRes, uo se cnpitnJiv.an. se ll•mn f Om\11do uo solamente rédit-0s clcl cnpitnl aino tnrubián de los i'utorescs; ó de otro motlo, cnantlo lo s i11h·· reses vencitlos se cnpitn.lizan. Cuántos cusos pueclen prese t1tnrse en In, J'CSolució11 lle la 1·c:..d•• de interés simple t Pucdon p1·escnt1u·se trcR diferentes casos : l '.' Cunado se clá capital y tanto por ciento y se trata averiguar la gnna ncin, la cua l se lrnllo. mllltiplicanclo el capital ·. -123por el tnuto 1>or cim1t.o y el protluct.o .se di\ri cle por 100. JAjemplo: Cmiuto producirán de yanwwia 2,000 11c1>v8 al 9 por n11ual f ( 100 : () :: 2,,000 : 1.) = Q= 180 Dnclo t•npital y gnnnncia y lmscar el tanto por Jo quo cn11S 1g't10 rnultiph cando la g:umucia por .too y divkH e11· ,1.1 el prodnc·to por l'l capita l. E,iemtllo: Oon, 2,000 1Jesos, pu.es ,; ·i11tafli, llmt !/anarlo 180 ¡,¡qué tcmto por ciento· anual cu1'1'9'f]JOndc: ''" yana1wia t ' lSO X 100 (2. ,000: 180:;100: xl = = D :l? Co noc ida. In. gn..nnnci:l; y el tn.nto por cien to, para e ncontrar e l enpital qno la produjo, {'O multiplica la }'>01' 100 y i-; e divide el produ c to por el ta11t.o por cic11to . Ejemplo: .Uu. c:a1Jita l, p1tcsto ú úiteréx, lut .1H·oll1teido clcJ ga11aAwia JSO pesos al H por citJ11to amwl ¿ cuál 11erá el ca11 i tuJ impuesto J ((}: 100 ::180: x) = 180 10º . =2, 000 Cna.u d o en Ja. re gla. de inte.r'és simi)le se determina e l tiempo <¡ne el ca¡)ital cshn·o em pl cndo, cómo e resuelvo! Bntonces ·e hace nso d e In. regla de t r es compuestn., y ¡rn o· 1ien presentnrsc cnntro difereute:;., esto e!:!: buscar l:t '='nnnncin. e l ta n to por cit•nto, el cn}litn l 6 el tiempo. l'? Siempre quo "º tnitl do h a llar el interé• que produce 1111 cnpitn l prestado , t:onocidos los demús dutus, se multiplica el capituJ por el tnnto por ciento y tiempo, y el producto •C divide ))OJ' la nnidnd de tiempo. multiplicnda por l()Q. Ejemplo: ¡, Ouá•t' to 1n·od1wirti. do gm1m1cici . mr. capital 5,4.00 vcsos cu 3 111e868 Ji; días al Opo't' oieuto aw1wl ! 3'5 5 400 X 9 ll: {3)5 100 · 5 400 .. () X - · x) - ' 14.1'75pesos , ' " 12 , 100 X 12 Para !-\UScar el tauto por ciento que corresponde . {1o h\. ganancia que 111> producido un capital en !leterminudo j
-124 -. .'!l .ijC multiplica. la ganancia por ciento y pnr la. unidad ele tiem¡k>,. y el producto se divide por el capital 1uulti1>licado por el tiempo 11ue cstnvo em1>lca1lo, Ejemplo: Un¡ capit<1l de 51<l00 po•o• en a meses 15 dia11 ha 1n-od11cido rlc f/lllianoia l!ll'iü pesos r111é t.an(<> por ciento co rrcS"pondc U,, 9a11mu:fo '1 315 1<ll175 X 100 X 12 ( 31<l00 x -: Hl'75 :: 100: x = 1 = 9 por 100 • 1 2 51400 X 315 3° Si ¡;;,e flm;c(• oncout.r:w ol cn.pital, conociendo la. ganancia, el tanto por ciento y el tiempo, KO multi1>llca la. ganancia por uiento y por la uuidad <h: tic111pa, y el rosultfülo so divide por cV J>rodncto clol t:111to l''u- uicntn, multiplicado por el tiempa que el capital est1tvo c m p1cadu. ¡ Ouál Berú. el capital, pucH· to á interés, qiu: á razón del U por cien to mwal en 3 meses Hí clíaJt Ita producido ele f/etUancia 141 'j;) pesos. t ¡\1l) ( 9 x -: 100::141'05: x) = -----· - = 5100pcsos 12 :;10 &>q 9 4:u Uuaado se t1·nta tlo buscar el t ie1opo que un capital ha Ct"tatlo pn'i$tado, co11ocio11c1 o e l ta11to por ciento y la. g-:\IJnncfa, m11ltiplicnrft mstu t..'ié11t11 y por In unidad 11o tie mpo, y e l 1·csulttulo di,·i1lc por el prodnC'1o <lcl capilal, multiplitaUo por el tnnto por cicuto. Eje :11pl n: lrn cap ital <le iHOO 11csos, 1me.1tto lll interés d ol 9 1101· ciento a1wal, lta vroduciclo <le gauancia. 14 L'i5 11eRas ¡ cudnto ti empo esttn:n 1n·t:st wlo' x 100 .. 12 !l xj400: lOOx l.U '7ó : x = 3'5rns. J ..100 x {Jó mo se ¡H·ucba. Ja n::la <lo simple r una. 01 ornciú11 co nlrnl'iu, t·uyo habr{1. 11o 11110 do lo s t é r111i11o s <le la rugla ¡u·opncsta . LECUIÚ:S 7• D1!: I EGLA. DE INTERÉS CO)U>UESTO casos puctlc11 prcscntarso en la resolución la icgl:\ tic inLcrét:J C<>rnpuesto ! -]2fi_: Los mi.smos que par:l la, resolución do In. re!,!la de interés :-.impl<.•1 y con ticnq>o; n111u1uo su priuciplll objeto es nverigunr <} ) intcré8 compnt.'r--to que pl'oclucil' :'s. u11 prest.ulb {L. un tanto por cic 11to anual, EjoiD1>los: in rará hallar el compuesto ele nn capitnl, prcsta•lo vor til•rto 11íu11 ero <le afios, so formhr{m t."t11tas r azu i os S:úl hO ha Uo cstnr mnplca<lo e l capita l, poniendo en cndn. una.tlc clluR p or n.11t·cccdo11tc Cli<•nto y por co 11 secncute el mismo ciento 111fü.; e l <·on,·c11illo: dicha:; 1·n?.011e:s so roducen á una sola, 11111.Jtiplicamlo 108 ant«;c-1le11tcs y coni;.ec u c nt s ent re Hl, In. cnal t'OUiJHH'll COll el cnpit11I; v . g. C''u caz>if." l clr 4.liUO pesos .1v·ea tarlo pm· 1 aii.011 al i11tcrés com1wcsto <lcl ü 11or 100 anual i <.'tltfoto iwodut frd tltJ gamm cict i · l 00: 106 l , 1 : l'OG 1 100: 106 :: 4600 -: x = 1 :·1·ou : : 4000: x 100 : 106 1 : 1'06 r 100: l OG 1.: l'OG J , (1 : 1'26 247 H96 : :4,000 : ,; ) = 5807'394,016 ( 5807',liJJ,016 _: 4,UOO J = 1,207'3'94,016. I'ura. c nco u trn r e l tanto Jlflr ciento anual qne correspon<l c 1111 cnpitn1, prestado (L i11 tc r 6s cmnpue8t.o, s e divid e este, mas l a por e l mismo capital, (le cocicnto s o extrae una rniz del g r:1do c¡ue ax- prese P I 11Ílm1 ·ro tic aiios: esta rnig ser:\ l;\ unirlad, Ja, gauancia <lo olla en un :iiio; dcspu(is se multipli cis. In. ga11a.11cia ti c 1n, 1111 ic lml por HlO y el producto dar:\ el tant.o por c iento que ae lmscu; v. g . Cn Cl'pit<d de 4600 pesos, 1n·es lado por '1 a iiós d interés comJJllCRto Ita protluciclo do 9cma11cia. 1,207'394, OlG pesos; ¡ ú qué ta11to por cic11to 1;orrespo1ale la ga· na nda.7 , 4,000 + 1207 '3 94 .olG-+ = 1'2U 2¡7,696 ( ,Vr2G 247,696)) = ( ,Vl't!f:M7G96) = (,Vl'12,36) = l'OG (0'06 X lUO) =º· Para averiguar el capital que ha. producido i11tcrcSC!\ com¡mo:-tos á 1VLzón <le 1111 tr.uto por ciout.o anunl, se pri· mero.m e nte el <mpitnJ 6 iuteL és simplo.-qno proilnco la. uaidacl en un año, que multiplicatln. por s\ misrua ta.utas vece8 me110H uua como años estuvo impuesto ..él eapitol, dará la uuitlnd con el
2? Cun.ndo se bnsoa el tanto por ·ciento d e un documento descontado, conocido el vnJor uorniual y el montnnte del de scucn· t.ó, se fomnrá In. proporción , éscribicuclo primero el vnlor nomiual del docnmouto ó letra, meuos el moutaute del. de scuento, tlc ·pués el clescuent.o y por último 100. Ejemplo: A """ letra po,. rnlor <le 6,GOO francos se "ª" tlescontaao uou, &á qné ta11to por ciento sube el dcsctteuto 'f 100, X GIJO (6,60 0-GOO:OOO:: lOO:x) = --- = 10 uooo Pnrn a\·m·igunr d valor no111i11nl de mHL letra. ó dOClL· mento cmrndo se conoce el 111ontn11te del dcscneuto, t'U 1b1·nrnrá In. propol'cióu, escril,lforn.lo primero el tnuto por cie11to tlespués 100, y por último e l <11•scucuto: el cuarto té rmino sera cnpitul clescontudo, ;d c ual. se agrega ol descuento totnl y la :-1uni:L será. el C:t}litul nominal. Ejemplo: Cttltl so,-á el vctlor no · minal do 1ma letra cí que stJ l1at1. descontado 000 fra nc.'O." lÍ ,.<l:'Ú1' del 10 poi· ciento Y Goo x 100 ( 100 :: 600 : X )= = G,OOO · 10 o, oou +)ºº = 6,600.
Onl\ntos casos pueden presentarse e11 la resolución· de !<1 regla de de•cuento sim¡ile ! Pnedeu presentarse Jos mismos casos que parni el interés 1º Cnnmlo se bu sen, el de un rlocnmenti> ó letra, dndo el t.'lnto por ciento convenido, se formnrft. In. proporción gcometrica, escribieudo pQr primer término 100, más el tanto por • cieitto, por Sf'gu11do t·l mismo 100 y por tercero e1 valor uominal¡ el enarto término lrnbrá de ser el valor efectivo. Ejemplo: C11ál será el 11alor efeoti110 de una letra ele GOO.O (mnoos <¡)W se negocna media11te "" 10 por .ciento de de•c11cnto t · GGOIJ >< 100 ( 100 + 10: 100 :::0000 '<' J = ·· no = ooqo . (6600-G OOO) = .600.
: . 1 ,, .. 11 1 -.. ·--12Gmtcré::5 compurslo clo ella, 'y co11 C!-'l9 f:'icit ?S d iu tcn"s de 100: después RO Ja, p1'opore1611 i;co111étr1cu, )'111 · 11ie1ulo J>Or priulC•r término el iuterés fle JOO, }JOI' SL•J!lllldo el 100 y por tercero los ,comp.ucxtox; v. µ. U11 c:a11ital )JUCJjtO ,; ill.tcrés cmu1mesto par tmos" J'a:z1m del GJWI' c;itmto anual, ]ta JH'Oc1nci<lo de f¡anhncia l,:JOí'304-Ulü 1u:sox, ¡ owil.. '" el capital nesnciaclo' ( JUG-;- 100) = l'OG ( l"OG x l'OC. x l'OG X l'OG) = (1'26.247,UOG x lt •O) = t . I2G,24 7,tifl6. ( 2G'247,G9G: 100 :: X)= 4600. 4? Para f;abPr C'l tiL•.mpo que ha pcn1:111rt·iclo u11 {¡, i11h."rés c1m1pucsto, su h.nlla el interés simple lllIO produce };t uuutucl L'll 1111 uuo, .r se vli1·u por (•l capital 11egoriado, hasta quó IICJrUC IÍ prorl11c11 · mii-;mo cnpit:tl con lo:-i i11tcrcl-iCK compue1-1tus: el 11úmeio fle mult iplil'ai.:ioues quo so haga, i11tlit•u¡·{1 yl HÍl!111·ro <lo rtne el Jl ital esluvo e111ple:ulo; Y. g. ¡Cuanto .cRtuvo CmJ!lcaclo al interés compu.eMo th;t ü 1uu ciento amurl, 1q1 lle 1)c'Hf111 que ha 1n·oduci'10 <lo gmurncia J,:!Ol 1.JU-10Hi pc11t11J 1 (lllU -7100) = l'OG (4600 X ron X 1'110 X l ' OU X J'OG) = ¡;,o.-:J!H,Olli i5hUi' 394016-·JGllO) = LECUIÓN DE J.A DE DESCOF.N'l'O ' CJu é se Jhrnrn l'Cgln <le, rlcsoueuto t . L it. qne e111'lcih1 e mOílo de cinc <·or1:cspo111lt• a nn. ,,apitnl c¡uc so PªA"ª su mcdrnnto uu tautu JIOI' dento COllV€1li<lo. De <·u(l.11tos rno41os pnetlo "'cr f'l tlei;cucnto t Lo mi1-<mo <JUe el 1timvle y cm111rno11to 1 pues el to tlobe Her siernpro ig-1rnl al interés r¡ne prodnco 1111 cap1tul 6 dvc1t111c11to 11ei..rociado nl mismo tanto por dento. Cnfírnlo so Jlu,11m simple t e l d01!c1iento "º hace 'ol:nncnt" d"l cnpitnl ó letra tuyo png-o 8c l!u(uulo se llama com¡lucsto t -127Cunmlo no-áolamenfo se descuenta ni onpital ó negoch1· dos, sino también el 111011taute del descuenw. •
! 1 1 '' l H I• I/ :Y i ¡j 1 -128Cna.ndo o1 descuento es por ciert.o uflm oro do dias, meses t\ aiios, cómo ae resuelvo la cuc8tión 1 ' el do la. nuidud de t icnlpo, y luego fac1I es averiguar Jo que debe dcscontarRe por el tiempo 1¡ue falta pam su vcnclmienfu del p ago. Ejemplo: 1• Un paga,.6 do 31300 pesos q¡to le falta" 3 meses 1 dúts JJO''ª su 11mtoimiiento1 so ft'Cgocin. hoy media1itc un dc110t1c11.to de un 1O11or 100 ª"""!. ¡ Cttúl será S1' M!or efectiTo 1 ( 110 : 100 :: 3,300: x) = 3,000 . __ . 3,300- 3,0Q O= 300 ( 360: 30 0 :: 102: X) = 85 I Un}lagm·é do 31300 posos que le faltan a me•• •, 1lfos. panf SI'- 1J,:m oimiento , SC 11.CflOCia hoy 111t:cUante mi cl escme,ito <1e 8fi pBBos, ' lÍ· qu 6 tanto por ciento anual cot·respo11cle el dcscucHto t ( 3 ,300 300 : 300 :: 100 ; X ) = 10 3• A "" 11aga ré qu o le faltan 3 9"681l8 12 dfa s po.-a .,, mic; 1t o y se paya /Loy , 116 /tan descontado 8G peso s á razó n. del lu por <·icnf-0 amrnl1 A cttál BBt'<Í su valo1' uominnt t . (102: 85 :: 360: x ) = 300 ( 10 : 100 :: 300 : X)= 3,000( + 300 ) = 3,300 4" ..A 1t;i 11agaré n egociaclo, 01tyo valo1· nominal es <le 3,300 jJC· &os se han d esoonta<lo 85 JJC80li á raz6n · <lel 10 .vor ciento amwl , l m•li 1:io Uempu faltaba z1artt su t"encimiento t · ( 110 ' 100 :: 3,300 : X) = ;J,000 ( 300; 3ü0 :: 85; X) = 102 Có1uo fiO hnllnr!i el cle15 cueuto compue s t o do nn docmuento \;Uyo pa g o s e anticipo, mcdinuto un tnnto por cicuto couvcuido P Se formm'f1u, lo mismo que pnr:i. halln1· e l inte r é s compuesto. razones como se ttuticipa el pago, JlOniendo en cad: • uu ri d e ell . as por antecccl e ute 100, mós e l tanto por ciento, y por co11Rccncn t e el mismo IQO ; dichna se reducen {a. una soln, ln cua l se uom¡rnri> con el valor nominal tlel document.o: e l c u ar· - 129 -· to té'11nino serfl. el valor efectivo, que , se resta <le l nominal pan• hall nr e l descne¡rto. Ejemplo· U11a t.ipolJCClt JIOr do 4,ooo pesos que le falta" 4 ª"º" parci su vencimiento, HC negocia My, mcd,iando 11.11. (lucucnto Bompuesto dfl vn 6 por ciou.to anual , J li citdnto 8flbc el de.!eu eu.to t · 106 : 100 ¡ 1 '06 : 1 ¡ 106 : luu í 1'06 : 1 5 106 : 100 ¡ :: 4, 000: X= l'Oü: l l :: 4 .000: x = ,106 : lOIJ 5 1'06 1 5 . ( 1'26.247,696 ! 1 :: 4,000 ; [ = 3168'37 [ 4, 00 0 _:_ 3 ,168'3 7 ] =- ·83 l'G3 DE L .\ l ?.EO LA CON.JU.N'.l'A Qu ó se 1l amn rrr1 la c,Y,11j 1mta ' . Aqu elJ n. c! c l' q 11 j\·n.l c u c in s h et.cro gé 11 c a s, eu la :rnUas e ntro s 1, qn o ti f'ne por IJ 11.,.t ·a r Ja l'Clncio tt (] UC h a y e ntrP 1111 llÍITIHWO (' Oll o e h lo y Ot ro deS(' Oll O«i (! o . Cu íd rs Ro :1 l o::: m.¡os ó a¡11i c:¡4·ioues d f' c stu r c• r) n. f umpl ca. r o;1 pH·frrf'w ·t a. {1 lú r eg la. de t re: co m¡mest :-1 , y l·r.1 toll os los '1. ll C tl l• p c utl c n el e tt11 1lti1l li raci on l's y <liv1 s10 11 l'S, y c u:: 11ia s th.•c t u ucin. cm n. ndo i:;e tra,ta 1i 1C i·cllucir P l.'8aR .): a . et l illas . r tod o 1111es!T :l:-; ;'¡. las ó ' JCC ·\ c·o11rt <·ttli\ Ja t'C' l:1d 6 11 1¡uc. t au tos mm s t •tHllO Ull'll S, t·iOllC !I tn n ele 1l i.., t i11t.o :.i vn i s rs. 1 ( 'ó1110 se pla !1 1:f ·n y 1·c ..;1wl ,. e re A' la. f primt'ro Ja i 11 t·óg' 11 itn , lu ego el Ki g n o d e tlacl , y ('ll f.'.C gu1t !:t d ;:(111 \•:. 1o col oc a11do 1l u hnj o y e n d.oR Ja ::; li\' cc¡n l\·al c m·ia s, d e mod o flll U la. CSJll-*.. 1: m ump1 t 1·c l a, q n t• la. uutorior , y a K1 t-10 uu1t111un lrn st a qt1f' I:i 11l 11 ma e q111 v; tl e 11 c rn ac ab o co 11 Ja mi s ma c8p edo de In ill eú;p ii tn: lu cp;o se tli vi cie (') producto d e Jo ¡.¡ do Ja, por e l p rotlnd o d C' t é rmiuo s ci C' l u izquicr, da , su: 111lo el cor ienh' l'I 11u c buscn. l 'uántos q11\t. f<rl os compo u .: .i 832 qurntales nos . eu el :tupucst o !/ Ut' 7 librn s catct la 11w1 t qu i "alt •u á S Hbra &
-130tellanaa y que el q1tintal cataldn tiene l0,l librll8. qls. catalanes x = 832 nls. castellanos. q J. castellano 1 = 100 libras . lbs. castellanas 8 = 7 lbs. catalanas. lbs. catn,lanas 104 = 1 quintal. 1 (83 2X100x7xl+lOJ x 8xl) = ( 582400+832=700qis. 2° Se quieren. emplear 3,200 peaoa m¿ una let ra sobre Fildeljia, estando el cambio al 2t 1ior ciento, de qué ca11tid<rd serii I" fntrar · Dollars x = 3,200 pesos. Pesos 102'25 = 100 dollars . ( 3,200 X 100 7-102'25) = 320,000 .;-102•25) = 3129'58 dollars 3° 011ántos pesos ltc •·coibido por una letm do 2150 rlolfars sob1·0 l.Tiitci1 a rork ci 00 dfa-s do vista, que se '1wgooia al cambio <l ol !) p01· ciento clo aumento t J'esos PesoH x = 2150 dollars. 100= 109 ¡>esós. ( 2150 x .100-;. 100) = e 23435 0 -:-- 100) = 234.'J' 50 pesos. 4. Ouá11 tos ves os ganarán 18 lwmbrcs Bit clfas, en el BllpllCBlo q1•c 12 hombres c11 C>;i <lías ganao·án 84'24 pesos 1 Pesos Hombres Días X 12 6'25 84'24 pesos. 18 hombres. 9'5 ' días. {84'24 x I8x9'57 12" )=102'0G72 pesos ..d un JWga,·6 tlC l ,000 110808 Be le !tan descontado comcroil1lmet1le HY6251icsos á'•·azó11 del 1ior ciento amial. t 01ub1to faltllba pa•·" su vc11ci1nieiito, Tiempo x 360 días. Capital 1000 . 100 capital. '!'auto por ciento 12'75 12'625 lanlo poc cmlo. ( 1000X12'75)=(382500) 7 12750 )=30 días. -131- . O!lánto será11 !o• 1·éditos qll'e co1.,.csponde11 al capital 4.000 Jicso s . que so /(a z¡rcstado por 3 aom al intei·és compycsto de Gz por ciento anualf Capital y r édito x Capital ' 100 100 100 = 4000 pesos. = 106'50 capilal y r!dfü. = · 106'50 "' = ·106150 ,, •i (4,000X1()(¡'50X106'50xl0G'507lOOXlOOx100)='831' 80pcson tECüION DE LA. REGLA. DE COlllPA.filA. . Qué se llnma regl a de co7>1pafüa 6 <le socicdatl1 Lr< que euseíi!t á di s tribuir l a ganancht y tnmbié u Ja pérdida que corresponde[¡, cada. uno d e vnrios compa.íiorol:! que reu. J1 iero11 sns cnp itn les en ignol 6 diferente tiempo P"'"' negocia·ciones;i Cómo se tlivide In. regla. ele c01npaíi.í11 Y Nu aim1>lo ó si n tiempo y com1mesta 6 bo11 tiempo. Cuándo se Jtamu. simp le 6 sin tiem1)0 f Onauflo Jos poncu sus respectivos cnpitaJcs t>Or un mi smo tiempo en la. masa. com1i.11 .. Cn{1n<lo se llamn compuesta 6 con tiem·po f Ouaudo los pou'co ·sus respeotivo8 c..1pitale8 en Ju, masa, comú n por difcrcute tiempo. Cómo so r esue lvo la regla de compaiifa •imp le' Después Uc sumar los cnpita.les con quo mida uuo de lotoi socios _contribuyó, se Jbruwrún tantas proporciones coino imlividuos cntrnu c 1l Ja !:iociodnd, ó por mq:ior clccil', se tbrniar{t mut. proporción pnra cnda asociado, que en términos gcncrn lcs :m pqclrft. c x1ll'csnt· di cie ndo: <'I f(mdo com(m es á la propqrcióu que 011 úl tengn cualquiom lle los socios, la gaurrncia tota l ea á l a porción que on ella le cotT<•s¡ionde. Tt·c• in1l·i ·1·id1Los 1t:icioron uua sooiedaa : el 1n1so 4001rcsow>' ol <lo UOO y el IOl"CCl'O l,000; ltabirintlose f]anado !111 ellt1 800 !JCBo.· ¡Cuánto OOl'l'CSpondc Ú Cll<lll 111Wf (400 + 600 + 1,000) = 2,000 1! (2000 '. 800 '.'. 400'. x:: 160 2.pesos. \.(2000 . 800 .. 600 . l< - 210 " · 3P (2000: 800 ::lOOO i x= 400 ,, _ ..f
Cómo se prucva esta operneió n ' Multiplicando cadfl clifcre11ci1> por el término IJ'.'e le queda ií la izt)uiercla, y h"!. 1mmn ele los producto s lm d o :s·er igual al pro<lucto ele mnltillti c1\r la suma <le clH0reuoi as por el término 111edio. El ejemplo anterior se pro!J1u·ú: ( 23 X 2 + 18 X 3 ) = ( 2 + 3 X 20 ) Oómo se re s u e lve ln n ligarión cuando eu la. mezcla Cntrau tres 6 más especies 1 Se ligan ele do s en dos las especie.., y no le hace que una misnm. se ligue <lo8 ó más veces, f) i necesario fuera; l!1ego se RIL man lns diforencias. que resulten de mm miRma cspcmo, y la su · ma de todas liu• diferencias expresar:1 1:, canlidud total del mix · to que se desea. Ejem¡ilo: Unplatel'O tim1c oro de 14 .. 18 .. 20 . ; y q11ilatu y qriiM·e t11ezc 1y10 parn que le salga oro de 21 g11••
: 1 '• • ! .f ·¡ 11 1i 11 • K 11 ,,. "132 En qné descansa esta operación f Está fundadn en que eu 11> proporción geométrica ra de. los a atcbedentts es ·igual á l.& suma do loa oouecuenteH, como m• 1olo antecade11tc d un sol.o con.seouente. ' Cómo •e resue h rn la regla ele comp1>üla compuesta! Primormnonte se reduce 3 simpJe, multiplicaudo cada lmbet· por su restlectivo tiempo, para. que los productos vengan Jign· rar como capitales simples, y después 1110 rcanlve como en. e l caso. anterior. 15jemplo: Juan, Pedro y Diego, en una. sociedad t¡u e 1Licieron1 ganaron 1 ,2 00 pesos: Juan puso 700 por ü 111ese8j 1'edr<> 600 po1· 8 meses , y IJiegr> üOO por un. mio ¡ cttánta 9an6 cada trno'I' 4200 .. -(600X 8)=4800 .. (500X12 = 6000 t (4200 + 4800 + 6000) = 15,000 ' :ruan 15000 : 1200 : : 4200 : x =- 336 l'C<1ro 15000 : 1200 :: 4800 : x = 3 '4 ,, (Diego 15000 : 1200 : : 6000 : x ·= 480 Oómo cornp1·neba. ln. regla •Ir compañrn? St. 1.1.inc lo l ns ganancias parciale."I, y si la sumn. sale ign:1l {, h:1 gau::rncin. totn l, la operación estar!\ bien ¡,ECCLÚN DE LA U.I:GLA DE, ALTíTACJÓN Qué se 11nmn 'reglci de e1liguciú11? opcrnci(111 •1110 li: lcC 1mra. do!,; 6 m;Í-s J1omogi.;neas, t•o u el oQjeto 4J e li n llar otrn co11forme A lns t•of1dicion t1s cp 1e HC µroponf!nu. pnc<lcu oeurril" en opcrncióu ! J>tK'llc <l ar lugar ií c:rso1-t dif'ce11tcs: ] n .A vcrignar t..'1 }ff<Jt¡io 111et1in de CJ.tl& de mezclm·:-.e lo tc111an difere ute, .r :-e nomlirn. ali9am'.óu. tliretla. · '.!" A \·crigunr la 11 or c i6n eu que tie han ele mrz<: lar difcrcnwi.:. especics, p:1rn que r es ulte 1111 mixto dctc:"rminndo, y 011 esto ca::;.o :-; o llama aligm,'iú11 i1werRa. Cómo se 1'csuelvo la n l igación tlirectu t .'.\111Jtiplicnudo lu s especies que e11trau en la 111c1A:la por su precio, y In suma ele lo• productos se clidde por la - 133'"Ullll> <le la s éspecies que entran en h• mezcla. u,. •ncrcacler titmo 5 etfotaras de vi1w i-0 ()O rcalc8 la cánUfra¡ G d<J 9U twC.s y 3 de 128; si se '"""clan todas ¡ c•dl será el valor de cada 'CÜHi(lrU 1 / 5 X 60 = 300 6 X 96 = 576 3 X 128 == 3St 14 1260 (1260+14 ) =90 r eal es, Yú.lor de la cá1itara. Cómo se r eR nelvc la aligación invorsa.f Se. escriben lali ef:'pccies ó precios de modo que el mayor u.rribn, el menor d elwjo, y e l rnedio 1_1acia. izquierda !ln lJOCO tnÚS nfllCL'l.lj 80 r et:ta el Pi'CClO mcc.1.10 ael Su perior y l:.L diferencia. HH coJocil. 6. la d e rcch µ. del íuferior, y aste se resta. del ]>recio medio, co !ocando su diltwCJlcia á In dercc h tL d e l supe1·ior: la. s uma. ele nmboN residuos la cantidad de In. wcz. cla.. Ejemplo: Un, plaitJJ'O tiene oro dv 18 y 23 q1tilates , y 2"!ere 111czcforlo 1mr11. que. le salga oro de 20 quilates ¡cuánto tonwra de <.:acla especie 1 • 20 23 ....... ... ... 2 parte s. 518 ............ 3 pa1'tos.
' ,, 1 i ,, .; '' · -134lntes i c11á1ito 111ezclar1í do cada e&pecie r .. .. 7 .... 3 I 21 21 21 14 .... 2 . 18 . ... 2 20 1 2 Qué so hace cua ndo en Ja aligació1\ se determina la cnntidnil llel mixto que so d.asca ! Después do ligar ele dos en dos las epccies con Ja media so b.ace uso de.la reghl> de com¡mñin simple, considernudo J11nflcl qno como si fnera Ja ganancia. total; la t.' Uma el difer.eucms, como la suma. do Jos cnpitnles impues· ros, y la :í la. derecha. do cn<ln.. e s pecie, como e l ca ¡)ital de> cacln lu ego so procede como cu esta, formu.m lo hm · nis co n.10 especie :-; : el cuarto término de mu.la. pro 1>orci6u :-:cru la ca 11t1dad quo <lcba tomarso ele su re s pectiv a. c:-i.JJCcic. ·mpl<J: Un 11late-ro c1esca, obt11nct' 28 011.:as de oro cic quilates; te11ic11do para/" mezcla oro de 14. '. 18 .. 20 . . y 23 qni · lnte11 : c1uí11tas on:cts de cm1a mio 1 23.. - 7 23. - - 3 23 ..21.1 21 21 • 14 .... 2 18 . . 2 20 .· - - 2 D e I J quilates ...... 17 : 28 :: 2 : x = 3'30 onzas. ])e 18 ,, ... . . . 17 : 28 :: 2 : X :...< 3'2!J D e 20 17 : 2!'i :: 2 : x = 3'30 De 2:3 .1.7: 2 ' ::11: x =18'11 Smna .. . :!S J,ECVIO::S DE LA l?EGLA DE FALSA l'OSIOIÓN. Qu é se llnmn r<' g l[\ de.falsa11osioióu 1 " " " O llZ llS. . T-'n. (JHC tie11e dcterrniuar un 11(11nero c1n e se clmwn , de otro uumero se supo11e, por lo cual se le Uama aru1trnr10; pt:ro que f'US prop1edncles s ou cuternmcntc couoci<las. D o ena 11ta s mauerns pneJo ser la falsa po8ici6u T ruede se r sc11cil/a y doble. · . J -1:35Cn{l>UdO se llnma l u fnhm f Onnudo prír:t <lctcrmi uar el uú111rru <¡no hu."'ra, se ntlt· du un so lo f.lnpuosto. • üuímdo se l1r11na. flobl c 1 . Cmrnclo pnrn. d ete rminar e l 11fün c ro CJlll' l:il' clt•l:l t• :11 se \·:1ll' dos fal<.;of\ l"npue8tos. ' Oómo se resuelve In. fühm p m;ic iú1) !oie uc illa i Se t.oma 11n 111Í111 ero, Jl:una1lo ·x'ttJH1CHIOÓ C1rbitrnrio. (¡111' las propiedaUcs del 11(111wro p eclillQ; líte p:o 111111 pto · porción, cuyo pri111N· té1·111i110 l a. Kn111a la:-; propit·4hult•:-; dd níunc.ro s n¡mc sto, e l seg umlo cslc 1111i:;.1110 m1111( 1 l'o KUpUP:'lo, y 1·1 tércero el 11ú111 cro que 8C p1·npo11r: el t t..> n11i1111 tlar{1 1•1 11Í1 · m ero pedido. U111u1 1lr e lf l m11rir :!7,000 ]Jl'IW'l pa · 1·a .ntx treR hij08 !/ 1llcrnnt'I, 1· cpurtitfox dr. la 1111111u1r 11iguie11tr: tÍ 11/ mrneL 1ma p11.rt e, ti .tluto1lfo el dol>fo de .l/m,,, cl ,111i María el tri_plt> d r. A ·nto11io ¡. c 111int o con·c·"JJOW l1 · ,; <'1t1lrr uno t X úrn e ro 811 pnc:-:to . . . . G ;\la111te1 . _ . .. :>.. . .. ,. :3 000 . \111011io .... . 10. . . • . CiOOO .:\fal'Ía .. . . .. :30 .... . 1800() .J:i '2 7,000 ( 45 : (i : : 27 ,000 : X)= ;3ij()ij !"'""º· Cu(rntos casui;; p11 c tl u 11 ocnnir e11 In foJ:-;a, tlnl.111' T Pn cdt• 11 0<·111Tir do!-\ 1'.' In su111:i. •lt· l a:-. prnpit·· drt<l cli de lo:-; 4\u s núm ero¡.; 1111p1w11 t o1J, In. uim ni1'11l11• rn:iy<w y la otrtl> 111enor c111u el número prnzntrHfO. Qm1 :trnbu s re ·u l tc11 nwyore ..; 1 } menores <¡ne níun e ro p1'01mrlrlo. Cómo se r·c·such·o <'U e l ptimor f li es pu és de sumadas lms propiecliule:-t de ambos se rclit..'w d1clia s suma s del númei•o 1H'Op11csfo : lil primen" dH'o rc11 · cin. se multipli cn p or el segu ndo supu esto, y la, tt<.i:!Ulllla por el prirncro; lu ngo l:it' divide la finuan. d o a111Uos 1>ro<lnct.os por la t-1ttmu. de ln s difereucias, y el cociente scr:'L t•I 11Ílm1 1·0 ped ido. Ejemplo: Llls eclaclcs <le un. su 1w<1rc y su, nhul'ln cnmponcu. si,qln's: eljt.culr o tic11 tJ 25 mloN 111ÚH <¡1w el liU 01 ,11 el <tb-:cefo 1•1 triplo clr, la edad rfol 11Uo t c 11tíl Hrr1i fer cdnd tfel lti¡o t . .J .
-136l e r. 36 supuesto,. 2ti Hijo ..... =aG Hijo Pn<iro . . . . . . 61 Pntlre . . . . . . 60 .Abuelo. . . . 108 Almelo..... 75 Suma .... 205 / Suma .. . \ lliO 20ü-200= 5 200-150= liO Suma ... . 55 ( 5 X 2ü) = 125 ... ( 50 X 36) = 1 1 800 (1800 + 125 .;- 65) = 11925.;. 5ü-35 aüos de ednd del b(jo. Cómo se resueJvé en el segundo caao f de maJtiplicar la s dilereucias 1>or los números 11ipucatos, c:omo en el cnso anterior, se divitle el residuo de ambos productos por I" resta de hiR difererwins, y el cociente· será el 11ú111ero podido. Ejemplo: Pídcse 1Hl mtmcro ·qr;e w·u. 11tUad 1 ter ,J ccnr y novtma. pa,1·te d6 17. lar. / 2º. Mitad . . . . . 18 Mitad . . . . . . 27 Tercera..... 12 Tercera...... 18 l'roveua..... .i Novena...... 6 Diforéncias 34-17 = 17 51-17 = 34 Suma 34 Snm" ... . 51 Diferencia 17 ( 17 X 54) = 918 ... . ( 34 ., 36) = 1224 í 1224-918) = 306 . ... (306 :· 17) =18 número pedida , ·. 1 ¡. ( / ..J· ..
