Page 1

10η άσκηση στην γραμμική άλγεβρα Ι προθεσμία υποβολής: 30/01/2011 29 Ιανουαρίου 2011 ερώτημα 1. Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του R, Α ένα μη κενό υποσύνολό του και x ∈ A. Το x είναι γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του Α. Εξετάστε εάν το A∪{x} είναι γραμμικά εξαρτημένο σύνολο. ερώτημα 2. Θεωρούμε τα παρακάτω πέντε στοιχεία του διανυσματικού χώρου R4 : x = (7, −2, 3, 1), y = (7, 1, 1, 1), z = (3, −1, 4, 2), w = (1, 1, 0, 0) και t = (0, 0, 1, 1). Να βρεθεί υποσύνολο του συνόλου {x, y, z, w, t}, το οποίο είναι βάση του υπόχωρου < x, y, z, w, t >. ερώτημα 3. Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του R, {α1 , α2 , ..., αν } μια βάση του w ∈ V και β = λ1 α1 +λ2 α2 +λ3 α3 +...+λν αν με λ3 ̸= 0 και λi ∈ R. Εξετάστε εάν το σύνολο {α1 , α2 , β, α4 ..., αν } είναι βάση του διανυσματικού χώρου V . ερώτημα 4. Δίνεται ο πίνακας A ∈ R8×8 . Έστω επίσης ότι υπάρχει διάνυσμα         x1 0 x1 x1  x2   0   x2   x2           ...  ̸=  ...  τέτοιο ώστε A  ...  = λ  ...  .          ...   ...   ...   ...  x8 0 x8 x8 Εξετάστε εάν ο πίνακας A − λI8 είναι αντιστρέψιμος. ερώτημα 5. Δίνεται ο πίνακας A ∈ R8×8 . Έστω επίσης ότι υπάρχει διάνυσμα         x1 0 x1 x1  x2   0   x2   x2           ...  ̸=  ...  τέτοιο ώστε A  ...  = λ  ...  .          ...   ...   ...   ...  x8 0 x8 x8 Εξετάστε εάν ο πίνακας A − λI8 έχει ορίζουσα μηδέν. ερώτημα 6. Να βρεθεί η ορίζουσα του πίνακα  2 a − 4 a3 + 1  a2 − 4 a3 + 1 K=  a2 − 4 a3 + 1 a2 − 4 2a3 + 3

 2a + 3 5a2 + 1 2a + 3 6a2 + 4  . 5a + 6 12a2 − 7  5a + 11 7a2 + 10

ερώτημα 7. Για ποιο a ∈ R ο παραπάνω πίνακας Κ είναι αντιστρέψιμος; ερώτημα 8. Δίνονται οι διανυσματικοί χώροι V1 και V2 επί του R και f1 , f2 : V1 → V2 δύο γραμμικές απεικονίσεις. Έχουμε ακόμη ό,τι a ˆ είναι διατεταγμένη βάση του διανυσματικού χώρου ˆ και (f2 : a ˆ είναι ίσοι, εξετάστε εάν και οι γραμμικές V2 . Αν ισχύει ότι οι πίνακες (f1 : a ˆ, β) ˆ, β) απεικονίσεις f1 , f2 είναι ίσες. ερώτημα 9. Θεωρούμε την γραμμική απεικόνιση f : R3 → R3 με f (x, y, z) = (x + y, y − z, z − x). Να βρεθούν τα f (a1 ), f (a2 ) και f (a3 ) όπου a1 = (2, 1, 0), a2 = (−2, 0, 2) και a3 = (0, 1, 1). ερώτημα 10. Να αποδειχθεί ότι το a ˆ = (a1 , a2 , a3 ) και το βˆ = (β1 , β2 , β3 ), όπου β1 = (−1, −3, 2), β2 = (0, −1, −2) και β3 = (0, 0, −1) είναι διατεταγμένες βάσεις του διανυσματικού χώρου R3 . Να ˆ βρεθεί επίσης ο πίνακας (f : a ˆ, β). 1

askisi10  

EKFONISI dekatis ergasias sti grammiki 1

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you