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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Mtro. Julio Alfonso Martínez Romero Director Académico Mtro. Víctor Manuel Gámez Blanco Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia Director de Planeación Mtro. Pedro Hernández Peña

Calculo Diferencial e Integral 1 Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2011 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Primera edición 2011. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

COMISIÓN ELABORADORA: Elaborador: Alma Lorenia Valenzuela Chávez Revisión Disciplinaria: Margarita León Vega Corrección de Estilo: María Esperanza Brau Santacruz Supervisión Académica: Mtra. Luz María Grijalva Díaz Diseño: Joaquín Alfredo Rivas Samaniego Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri Diana Irene Valenzuela López Coordinación General: Mtro. Víctor Manuel Gámez Blanco

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2011. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 3,738 ejemplares.

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PRELIMINARES

DATOS DEL ALUMNO Nombre: _______________________________________________________________ Plantel: __________________________________________________________________ Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________ E-mail: _________________________________________________________________ Domicilio: ______________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Ubicación Curricular COMPONENTE:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

HORAS SEMANALES:

GRUPO: FÍSICO – MATEMÁTICO Y QUÍMICO – BIOLÓGICO

CRÉDITOS:

PRELIMINARES

03

06

3

4

PRELIMINARES

Índice Presentación ......................................................................................................................................................... 7 Mapa de asignatura .............................................................................................................................................. 8

BLOQUE 1: ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES .....9 Secuencia Didáctica 1: 1 Antecedentes del Cálculo ............................................................................................10 • Evolución del cálculo ..................................................................................................................................11 Secuencia Didáctica 2: 2 Modelación de problemas ...........................................................................................15 • La variación de fenómenos ........................................................................................................................16 • Modelación con funciones .........................................................................................................................19 BLOQUE 2: RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL .................................................................... 31 Secuencia Didáctica 1: 1 Límite de una función ...................................................................................................32 • Noción intuitiva de límite .............................................................................................................................34 • Teoremas de límites....................................................................................................................................46 • Límite de funciones algebraicas .................................................................................................................51 • Límites de funciones trascendentes ...........................................................................................................60 • Límites en el infinito.....................................................................................................................................65 Secuencia Didáctica 2: 2 Continuidad de una función .........................................................................................74 • Funciones continuas o discontinuas ..........................................................................................................75 BLOQUE 3: ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES ........... 85 Secuencia Didáctica 1: 1 La derivada como razón de cambio instantáneo ........................................................86 • Razón de cambio instantáneo ....................................................................................................................93 Secuencia Didáctica 2: 2 Reglas de derivación ..................................................................................................107 • Derivada de una función ...........................................................................................................................109 BLOQUE 4: CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN .................................................................................................................................. 135 Secuencia Didáctica 1: 1 Aplicaciones de la derivada .......................................................................................136 • Puntos críticos de una función .................................................................................................................139 • Criterio de la primera derivada para la clasificación de los puntos críticos de una función...................146 • Resolución de problemas de optimización ..............................................................................................160 Secuencia Didáctica 2: 2 Concavidad de una función .......................................................................................166 • Criterio de la segunda derivada ...............................................................................................................167 Bibliografía ........................................................................................................................................................178

PRELIMINARES

5

6

PRELIMINARES

Presentación “Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”. El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un mismo propósito en un determinado contexto. El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Calculo Diferencial e Integral 1, es una herramienta de suma importancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está implementando a nivel nacional. El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje sea significativo. Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que realizaste en las actividades de inicio y desarrollo. En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma individual, binas o equipos. Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de campo, etc. La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa, de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una visión general del logro de los aprendizajes del grupo. Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu aprendizaje. Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las actitudes de responsabilidad e integración del grupo. Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir juntos.

PRELIMINARES

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 contiene

La evolución del Cálculo con el fin de

Modelar problemas para

Resolver problemas de diferentes sectores productivos, ambientales y sociales mediante

La derivada de la función

Límites de funciones estas son

se interpreta como

• Polinomiales • Racionales • Trigonométricas • Logarítmicas • Exponenciales

se define como

Valores máximos y mínimos se interpreta como

se calculan por medio del

La pendiente de la recta tangente

Razón de cambio

Criterio de la primera derivada

en relación con

para obtener

Teoremas sobre derivadas

aplicando

Criterio de la segunda derivada

Funciones crecientes y decrecientes

Optimización de funciones

Concavidad de funciones

para

Teoremas

para

se determinan los

Funciones algebraicas • Límites unilaterales. • Límites absolutos. • Límites en el infinito y al infinito. para determinar

Continuidad

Funciones trascendentales

Trazo de curvas

Argumenta el estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales.

Competencias disciplinares: • • • • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia: • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y geométricos. Explica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la evolución histórica del estudio del cálculo y los contrasta con su aplicación en situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con modelos matemáticos sencillos y su representación gráfica. Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos matemáticos.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 10 horas

Secuencia didáctica 1. Antecedentes del Cálculo. Inicio Actividad: 1 Realiza lo siguiente. I. Enuncia cinco personajes de la historia que hayan contribuido con el desarrollo de las Matemáticas. 1)

__________________________________________________________________________________________

2)

__________________________________________________________________________________________

3)

__________________________________________________________________________________________

4)

__________________________________________________________________________________________

5)

__________________________________________________________________________________________

II. Describe cuáles fueron las aportaciones de los personajes que mencionaste.

III. ¿Por qué crees que es importante conocer la historia de las Matemáticas?

IV. ¿Cuáles crees que son los beneficios que han aportado las Matemáticas en tu vida?

Actividad:1 Conceptual Reconoce personajes que contribuyeron al desarrollo de las Matemáticas. Autoevaluación

10

Evaluación Producto: Descripción y cuestionario. Saberes Procedimental Procedimental

Puntaje:

Explica las contribuciones a las Matemáticas de personajes de la historia. C

MC

NC

Actitudinal Describe en forma clara y limpia las contribuciones de diferentes personajes de la historia, a las Matemáticas.

Calificación otorgada por el docente

ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Desarrollo Evolución del Cálculo. El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los cambios en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Se utiliza para el análisis y la solución de múltiples problemas que se presentan en la naturaleza, en la ciencia y en la vida diaria.

Actividad: 2 Realiza lo que se te solicita. 1. Investiga cómo se originó el Cálculo y las aportaciones que se hicieron al mismo. 2. Realiza una línea del tiempo en donde plasmes los acontecimientos, incluyendo fechas, hechos e imágenes de los principales aportadores. 3. Una vez que hayas elaborado la línea del tiempo, pégala en el siguiente espacio, de manera que quede doblado en el interior del módulo y no haya dificultad alguna al momento de mostrarlo a tu profesor.

Actividad: 2 Conceptual Describe el origen del Cálculo y sus aportaciones. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Línea del tiempo. Saberes Procedimental Representa el origen del Cálculo y sus aportaciones. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Es creativo al realizar la representación de los acontecimientos que dieron origen al Cálculo.

Calificación otorgada por el docente

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Actividad: 3 Realicen en equipo lo siguiente: I. Elijan un personaje que haya contribuido en gran medida al desarrollo del Cálculo, escribe su nombre en la línea. ___________________________________________________ II. Realicen una presentación en Power Point, que contenga los siguientes puntos: 1. 2. 3. 4.

Datos generales del personaje (nombre completo, lugar, fecha de nacimiento y ocupación). Aspectos de su infancia y adolescencia. Su trayectoria como científico. Cuáles fueron sus aportaciones al Cálculo.

III. La presentación deberá contener imágenes alusivas al personaje y su duración será de máximo 10 minutos. IV. En la presentación incluirán una diapositiva final que contenga el nombre de los integrantes del equipo, su aportación a la investigación y presentación del personaje. V. Estos son algunos de los aspectos que deberán cuidar en la exposición. Aspectos generales: • • • • •

Puntualidad. Uso del tiempo. Originalidad en la presentación. Contacto visual. Tono de voz.

Contenido: • • • •

Vocabulario. Dominio del contenido. Procura la atención de sus compañeros. Secuencialidad.

Lámina: • • • •

Tamaño de letra Ortografía. Rotulado. Calidad del contenido presentado.

Actividad: 3 Conceptual Expone una breve biografía de un personaje que aportó en gran medida al desarrollo del Cálculo. Coevaluación

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Evaluación Producto: Presentación. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Sintetiza la información obtenida y la reestructura en una presentación. C

MC

NC

Cumple con los requisitos de la exposición.

Calificación otorgada por el docente

ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Cierre Actividad: 4 Realiza lo siguiente: I.

Escribe con tus propias palabras una cuartilla sobre la importancia del Cálculo en la sociedad actual. Para hacerlo tienes que dar respuesta a los siguientes cuestionamientos. 1) 2) 3) 4)

II.

¿Qué es el Cálculo Diferencial e Integral? ¿Cómo se ha desarrollado a través del tiempo? ¿Cuáles son las aplicaciones del Cálculo en la actualidad? ¿En tu entorno, dónde se aplica el Cálculo?

Para realizar tu escrito considera los siguientes aspectos: • • • • •

Estructura el título. Utiliza las palabras más adecuadas para expresar tus ideas. Elabora las oraciones de forma coherente y lógica. Revisa que estén correctos los signos de puntuación, letras mayúsculas y los acentos. Elabora un borrador para que te ayude a estructurar mejor tu escrito final y lo plasmes en la siguiente hoja.

_________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

BLOQUE 1

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Actividad: 4 (continuación) ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

Actividad: 4 Conceptual Identifica las aplicaciones del Cálculo y su desarrollo a través del tiempo. Autoevaluación

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Evaluación Producto: Escrito. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Opina sobre la importancia del Cálculo en la sociedad actual. C

MC

NC

Cumple con los requisitos indicados para realizar el escrito.

Calificación otorgada por el docente

ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Secuencia didáctica 2. Modelación de problemas. Inicio Actividad: 1 Completa la siguiente tabla. Nombre

Figura geométrica

Fórmulas

Despeje

P = 2b + 2h

b=

A = bh

b=

A=

h=

V=

a=

P = 2π r

r=

A = π r2

r=

A = 4π r2

r=

4 3 πr 3

r=

Rectángulo

h a

b

r

Esfera

V= r

A=

r=

V=

h=

h

V= Cono

1 2 πr h 3

h=

A = π r r 2 + h2 + π r 2

Actividad:1 Conceptual Identifica el nombre, figura y fórmulas de diferentes figuras geométricas. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Expresa el nombre, figura y fórmulas de diferentes figuras geométricas. Despeja variables de fórmulas. C

MC

NC

h=

Puntaje: Actitudinal Se interesa por realizar la actividad.

Calificación otorgada por el docente

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Desarrollo La variación de fenómenos. Es imposible imaginar al mundo que nos rodea sin movimiento; ¿has notado que todo lo que te rodea está cambiando? Cambia la distancia a la que se encuentran dos personas cuando se aleja una de otra, la altura en que se encuentra una persona cuando se tira en paracaídas; la temperatura de un líquido al aplicarle calor, la velocidad con que se transporta un sujeto en su automóvil, de una ciudad a otra, etc. y no nada más a los cambios que surgen en el transcurrir del tiempo, sino a cambios que se establecen para optimizar el desarrollo de la sociedad, como son: la distribución de las casas, los materiales con los que están hechas, el cambio de las rutas del trasporte urbano conforme crece la población, y así como estos ejemplos, podrías encontrar una gran diversidad de problemas en los que es necesario la optimización de alternativas que tienen que ver con las variables involucradas y sus cambios. En el estudio de la variación, se pueden encontrar diversos tipos de problemas que se representan de diferentes formas, como son: tablas, gráficas, analíticas, entre otras, esto lo manejaste en Matemáticas 4. Conjugar las diferentes representaciones ayuda a tener una mejor perspectiva de los problemas para así poder darles solución. Para encontrar la representación analítica de un problema, es importante establecer la dependencia de las variables, es decir, determinar cómo cambia una cantidad cuando varía otra, en otras palabras, cuándo una cantidad está en función de otra. Por ejemplo: •

El tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia determinada, depende de la velocidad que lleva.

El volumen de un recipiente, depende de la forma y el tamaño.

La cantidad de líquido en un recipiente que se coloca en el fuego, depende del tiempo que se exponga y la intensidad de calor.

El nivel de agua en una presa, depende de muchas variables, algunas de ellas son, la cantidad que pierde al evaporarse, la cantidad de agua que ingresa de otras afluencias, la cantidad de lluvia, la cantidad que pierde al abastecer a las diferentes comunidades, etc.

El costo de elaboración de un recipiente cilíndrico de determinado volumen, depende del material con que se elabora, del área de la superficie del cilindro, etc.

El costo de producción del recipiente anterior, tiene muchas variables, depende de la cantidad de trabajadores, de la calidad del producto, del tiempo de producción, de la maquinaria, etc.

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ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Actividad: 2 En equipo, analicen de qué depende cada una de las siguientes situaciones y enumera la mayor cantidad posible. 1.

El volumen de un globo que se está inflando.

2.

El nivel del agua de un recipiente cilíndrico cerrado que es llenado hasta la mitad al ir girando hasta 180o, es decir, que la tapa queda como base.

3.

La velocidad a la que cae una pelota.

4.

La distancia a la que llega un proyectil.

5.

Lo que pagas por consumo de luz en un mes.

BLOQUE 1

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Actividad: 2 (continuación) 6. El área de un círculo.

7.

El volumen de un cilindro.

8.

El volumen de un prisma.

9.

El sueldo de un trabajador.

10. El costo de un determinado artículo.

Actividad: 2 Conceptual Identifica las relaciones entre las variables que componen una situación. Coevaluación

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Evaluación Producto: Descripción. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Distingue las relaciones entre las variables que componen una situación. C

MC

NC

Es respetuoso y muestra interés en la opinión de sus compañeros. Aporta ideas claras para la realización de la actividad.

Calificación otorgada por el docente

ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Modelación con funciones. Una de las representaciones más usadas en los laboratorios e industrias son los registros numéricos o tablas, ésta se lleva a cabo, tomando el registro del comportamiento de la situación en cada instante de tiempo, con instrumentos especializados, donde se puede medir la velocidad, la temperatura, la posición de una partícula, la presión, la fuerza, etc. Cuando se tiene el registro numérico de un problema, se pueden analizar varios aspectos como es la velocidad con que cambian los factores involucrados, también se puede predecir el comportamiento futuro, bosquejar una gráfica o bien, si no se tiene toda la información del problema, se pueden determinar las condiciones iniciales en las que se llevó a cabo. Desafortunadamente, la exactitud del análisis de una tabla depende del número de registros que se hayan recabado, además del tamaño de intervalos en los que se tomó la lectura, como por ejemplo:

Tres personas hicieron 10 registros con sensores conectados a una computadora, de la posición de un automóvil que transita por una carretera recta al transcurrir el tiempo y obtuvieron los siguiente resultados. Persona 2

Persona 1

Persona 3

t

x

t

x

t

x

0

20

0.0

20

0.00

20.0

1

50

0.5

35

0.25

27.5

2

80

1.0

50

0.50

35.0

3

110

1.5

65

0.75

42.5

4

140

2.0

80

1.00

50.0

5

170

2.5

95

1.25

57.5

6

200

3.0

110

1.50

65.0

7

230

3.5

125

1.75

72.5

8

260

4.0

140

2.00

80

9

290

4.5

155

2.25

87.5

Donde “t” es el tiempo transcurrido en segundos y “x” es la posición del automóvil medida en metros. Si no se tuviera la información del problema, a simple vista se podría pensar que se trata de tres situaciones diferentes, pero al observar las tablas anteriores se puede determinar que se trata del mismo auto o tres automóviles que salieron al mismo tiempo y llevan hasta los 2.25 s la misma velocidad constante; debido a que en las tres tablas la posición inicial es de 20 m. Para complementar el análisis de un problema, se puede utilizar la representación gráfica, utilizando los datos de una tabla, con el propósito de obtener información más detallada del problema. Por supuesto, si se tiene la representación analítica (función) de una situación, se conoce exactamente el comportamiento numérico y gráfico en cada instante. Como por ejemplo, si se grafican las tablas anteriores, se observa que tienen la misma inclinación, cortan al eje vertical en el mismo punto y se pueden modelar mediante una función lineal, como se muestra a continuación. BLOQUE 1

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290 x(m) 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 −1−10 −20

1

290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

t (s) 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

−1−10 −20

x(m)

290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

t (s ) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

−1−10 −20

x(m)

t (s ) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

Posición inicial

x( t) = 30 t + 20

Velocidad del automóvil

La función anterior se conoce como función lineal y en Matemáticas 3 la conociste en su forma pendiente-ordenada en el origen. En ocasiones, a partir de un registro numérico, se puede generalizar y establecer en forma analítica (función) la relación que existe entre las variables involucradas y de esta forma, llevar a cabo un análisis más completo del comportamiento del problema y así poder determinar con exactitud la gráfica. Además, si se tiene de forma detallada alguna situación, se puede modelar con una función y así poder encontrar aspectos importantes para su manejo y solución. Enseguida se presentan la modelación con funciones, mediante la descripción detallada de algunas situaciones. Ejemplo 1. El volumen de una caja rectangular sin tapa, en función de los cuadrados de longitud “x” que se recortan en los extremos de una lámina de 60 cm de largo, por 40 cm de ancho.

x 40

x

60 – 2x

40 – 2x

V( x ) = (60 − 2 x )( 40 − 2 x )( x )

V( x ) = 4x 3 − 200 x 2 + 2400 x 60

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ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Si se conoce la representación analítica de un problema, se pueden representar de forma numérica y gráfica los factores más importantes que intervienen en el análisis de la situación; como por ejemplo, la función que se obtuvo del volumen de la caja sin tapa, quedó determinada de la siguiente forma: V( x ) = 4x 3 − 200 x 2 + 2400 x De tal manera que, si se quiere conocer cómo varía el volumen cuando cambia la longitud del cuadrado recortado, sólo es necesario asignarle valores a la longitud y se obtendrán los respectivos valores del volumen, como se mencionó con anterioridad, el registro numérico será tan exacto como tú quieras, debido a la forma en que vayas proporcionando el incremento de la longitud, por ejemplo:

x 3 4 5 6 7 8 9 10

V(x) 5508 6656 7500 8064 8372 8448 8316 8000

Si se observa la tabla, se puede notar cómo a medida que cambia la longitud, varía el volumen y si se sustituyen más valores de “x” en la tabla, se puede obtener un mejor acercamiento de la gráfica, como se muestra a continuación: x 0 1 2 3 4 5 6 7

V(x) 0 2204 4032 5508 6656 7500 8064 8372

8

8448

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8316 8000 7524 6912 6188 5376 4500 3584 2652 1728 836 0

BLOQUE 1

La tabla se realizó mediante Excel; de tal manera, que si deseas hacer una tabla con incrementos más pequeños, comenta con tu maestro y con el mismo paquete informático, puedes hacer una gráfica más fina que la anterior, para que puedas tener una información más exacta del problema.

V(x)

x

(

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Actividad: 3 De la información antes obtenida del problema de la caja, analiza y comenta en clase las respuestas a las siguientes preguntas.

1. ¿Qué ocurre con el volumen de la caja a medida que se cortan cuadros cada vez más grandes?

2. ¿Cuál es el cuadrado tomado como base de la caja de mayor tamaño que se puede recortar?

3. ¿Existe una caja que tenga el volumen máximo? Justifica tu respuesta.

4. ¿Cuál será la longitud del cuadrado base que se recorta para construir la caja de máximo volumen?

5. ¿De qué forma se podría conocer la longitud del cuadrado, tomado como base de la caja que nos da mayor volumen?

6. ¿Cómo sería la gráfica de la función que describe a este problema?

Actividad: 3 Conceptual Reconoce características importantes para la solución del problema. Autoevaluación

22

Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Detecta algunas características del problema, para graficarlo y darle solución. C

MC

NC

Se interesa en el análisis de los cuestionamientos y aporta ideas claras y concisas de su solución.

Calificación otorgada por el docente

ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Ejemplo 2. Expresar el área de la caja anterior, en función de la longitud del lado de los cuadrados. Para expresar el área de la caja, se tiene que encontrar primero el área de cada uno de los rectángulos que la forman.

I

A( x ) = A I + A II + A III + A IV + A V II

IV

III

40 – 2x

A I = A V = −2 x 2 + 60 x A II = A IV = −2 x 2 − 40 x A III = 4 x 2 − 200x + 2400

V

60 – 2x

Por lo tanto, la función queda:

A( x ) = 2( −2 x 2 + 60x ) + 2( −2 x 2 + 40x ) + 4 x 2 − 200x + 2400 A( x ) = −4 x 2 + 2400

Ejemplo 3. Una bola de billar recorre la trayectoria indicada por el diagrama siguiente:

B 0.73 m

1.52 m

θ

D

θ C

A

L

Para expresar la longitud L en función del ángulo θ, es necesario recordar los temas de triángulos semejantes y funciones trigonométricas, debido a que los ángulos de los triángulos ACB y DCE tienen la misma medida. Si al segmento BC se le asigna la letra x, se obtiene la siguiente expresión:

L 1.52 − x = 0.73 x E

(L )( x ) = ( 0.73)(1.52 − x )

Al realizar el despeje de L se obtiene:

L=

1.1096 − 0.73 x

De tal forma que utilizando las funciones trigonométricas, la longitud L en función de θ es:

L(θ ) = 1.52 tanθ − 0.73

BLOQUE 1

23

Ejemplo 4. Expresar la cantidad de alambre (L) necesaria para cercar un terreno rectangular de 1800 m2 en dos porciones iguales, con una cerca adicional paralela a dos de los lados, como se muestra en la figura, en término de la longitud “x”. La cantidad de alambre (perímetro) se expresa mediante la fórmula L = 2 x + 3y 1800 m2

y

Tomando en cuenta que el área es de 1800 m2, se obtiene la siguiente expresión:

1800 = xy De tal forma que la cantidad de alambre en función de “x” es: 5400 L( x ) = 2 x + x

x

Actividad: 4 En equipo, redacten 5 preguntas para cada uno de los ejemplos 2, 3 y 4 de esta secuencia, de tal forma que describa el comportamiento de cada función, para posteriormente dar una conclusión grupal a cada una de ellas.

Descripción

Dibujo

Función que lo modela

I

Expresar el área de la caja anterior en función de la longitud de los lados de los cuadrados.

II

III

IV

40 – 2x

A( x ) = −4 x 2 + 2400

V

Preguntas

60 – 2x

Conclusión:

24

ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Actividad: 4 (continuación) Descripción

Función que lo modela

L(θ) = 1.52 tan θ − 0.73

Preguntas

Una bola de billar recorre la trayectoria indicada por el diagrama. Expresar la longitud L en función del ángulo θ.

Dibujo

Conclusión:

BLOQUE 1

25

Actividad: 4 (continuación) Descripción

Dibujo

Expresar la cantidad de alambre (L) necesaria para cercar un terreno rectangular de 1800 m2 en dos porciones iguales, con una cerca adicional paralela a dos de los lados, como se muestra en la figura, en término de la longitud “x”.

Función que lo modela

1800 m2

y

L( x ) = 2 x +

5400 x

Preguntas

x

Conclusión:

Actividad: 4 Conceptual Comprende las características principales de las funciones que describen el problema.

Evaluación Producto: Conclusión grupal. Saberes Procedimental Diseña cuestionamientos que describe el comportamiento de la función que modela el problema. C

Coevaluación

26

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Es propositivo para diseñar las preguntas, escucha y respeta las opiniones de sus compañeros.

Calificación otorgada por el docente

ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Cierre Actividad: 5 Modela los siguientes problemas: 1.

Expresa el 谩rea de un cono circular en funci贸n de la altura, si el volumen es de 50 cm3.

2.

Se desea construir un cilindro de 60 cm3 de volumen, expresa el 谩rea del cilindro en funci贸n de su radio.

BLOQUE 1

27

Actividad: 5 (continuación) 3.

4.

28

Se desea fabricar un tanque de gas estacionario en forma de cilindro circular horizontal de 3.5 m de largo, para una fábrica de muebles. Expresa el volumen en función del radio.

Don Agustín heredó a su hijo un terreno rectangular de 1,500 m2. Si tiene la oportunidad de elegir las dimensiones del terreno, determina la longitud del alambre que utilizará para cercarlo, en función de uno de sus lados.

ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Actividad: 5 (continuación) 5.

Un alambre de 1 m de longitud debe ser cortado en dos pedazos, uno ha de ser doblado formando un cuadro y otro formando un círculo, expresa la suma de las áreas de las dos figuras en función de la cantidad “x” que debe ser cortada del alambre.

Actividad: 5 Conceptual Relaciona las variables que componen un problema. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Construye la función que modela un problema. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Es creativo y muestra interés en realizar la actividad.

Calificación otorgada por el docente

29

30

ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

Resuelve problemas de límites en situaciones de carácter económico, administrativo, natural y social.

Competencias disciplinares: • • • • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia: • •

Aplica el concepto de límite a partir de la resolución de problemas económicos, administrativos, naturales y sociales de la vida cotidiana. Calcula límites a partir de la elaboración de gráficas en algún software y su interpretación de las representaciones gráficas de funciones, mostrando habilidades en la resolución de problemas de situaciones cotidianas.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. 5.1. 5.4. 5.6. 6.1. 7.1. 8.1. 8.2. 8.3.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 15 horas

Secuencia didáctica 1. Límite de una función. Inicio Actividad: 1 Realiza lo siguiente: 1. Una agencia de renta de automóviles cobra $60 diarios por alquiler de un automóvil, más $0.40 por km. a) Escribe la fórmula del costo total de la renta por día.

b) Si rentas un carro por un día, ¿cuántos kilómetros podría recorrer por $220?

2.

El precio de una computadora personal (en pesos) está dado por la expresión

, donde “x”

es el tiempo en meses. a) ¿Cuál será el precio de una computadora dentro de 6 meses?

b) ¿Cuánto bajará el precio del séptimo al octavo mes?

c) ¿En qué tiempo será de $9,200?

d) ¿Qué pasa con el precio conforme aumenta el tiempo?

e) ¿Consideras posible que la computadora salga gratis en un determinado número de meses? Justifica tu respuesta.

32

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 1 (continuación) 3.

Traza la gráfica de una función que satisfaga las siguientes condiciones: • Es creciente en el intervalo [−6, 0 ). • Es constante de valor −2 en el intervalo [0, 5] • Es decreciente en (5, 10] • y

Actividad:1 Conceptual Describe el comportamiento de la función que modela un problema de la vida cotidiana. Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Problemas aplicados. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Analiza el comportamiento de Muestra interés al realizar la funciones que modela problemas de actividad, expresa sus ideas y la vida cotidiana. corrige sus errores. C MC NC Calificación otorgada por el docente

33

Desarrollo Noción intuitiva de límite. En el lenguaje ordinario, la palabra límite tiene un carácter estático y significa término, confín o lindero. Sin embargo, en Cálculo, el concepto de límite es un concepto dinámico y tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible a un punto o un valor. En otras ocasiones tiene que ver con la idea de alejarse lo más posible del origen, o hacer lo más grande posible un número. A continuación se verá la noción de límite a partir de ejemplos prácticos. Si se observa el velocímetro de un automóvil cuando está en marcha, sobre todo en el tráfico de una ciudad, la aguja de éste se mueve constantemente, debido a que registra la velocidad definida en cada momento, puede verse que la aguja no permanece inmóvil mucho tiempo, es decir, la velocidad del auto no es constante. Al observar el velocímetro, se supone que el vehículo tiene una velocidad definida en cada momento, la cual se denomina velocidad instantánea. Sin este instrumento sería prácticamente imposible conocer la velocidad instantánea, sin embargo, se puede calcular la velocidad promedio del automóvil, dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Para conocer la velocidad instantánea a partir de las velocidades promedio, es necesario recurrir al límite, como se observará en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1. Se deja caer una pelota desde lo alto de la torre Latinoamericana, la cual mide 204 m de altura. Encontrar la velocidad de la pelota a los 5 segundos después de que se soltó. Para resolver este problema se tiene que tomar en cuenta el descubrimiento que hizo Galileo Galilei en el siglo XVI, el cual determinó que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente, es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. Si la distancia recorrida después de t segundos se denota mediante d(t) y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa con la ecuación:

d(t ) = 4.9t 2 En el problema se desea encontrar la velocidad instantánea, debido a que especifica el momento en que se requiere saber la velocidad, la cual es a los 5 segundos, es por ello que se recurrirá a la velocidad promedio o media (vm) para calcular éste valor. Dis tan cia recorrida Velocidad media = Tiempo transcurri do Entonces, si se considera el intervalo de tiempo desde t=5 hasta t=5.5, la velocidad promedio es:

d f − di t f − ti Donde df es la distancia en el tiempo final t f = 5.5 y di es la distancia en el tiempo inicial t f = 5 , de tal manera que la velocidad media se obtiene de la siguiente manera: d(5.5) − d( 5) Vm = 5.5 − 5 Vm =

Como la distancia recorrida después de “t” segundos está expresada por d(t ) = 4.9t 2 , se tiene:

vm =

4.9(5.5)2 − 4.9(5)2 = 51.45 m s 5.5 − 5

El resultado anterior corresponde a la velocidad promedio en el intervalo de [5.5−5] segundos; como se desea saber la velocidad exactamente a los 5 segundos, se irá acortando el intervalo de manera que se haga lo suficientemente pequeño y cercano a 5 segundos, para aproximar cuál será la velocidad en ese instante.

34

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Ahora se tomará el intervalo un intervalo más pequeño. Por lo tanto, la velocidad media para ese intervalo será: d(5.1) − d(5) vm = 5.1 − 5

4.9(5.1)2 − 4.9(5)2 5.1 − 5 = 49.49 m s

=

Mediante cálculos similares, se pueden ir tomando intervalos cada vez más pequeños, como se aprecian en la siguiente tabla: Intervalo de tiempo (s) 5 – 5.5 5 – 5.1 5 – 5.05 5 – 5.01 5 – 5.005 5 – 5.001 5 – 5.0005 5 – 5.0001

Velocidad promedio (m/s) 51.45 49.49 49.245 49.049 49.0245 49.0049 49.00245 49.00049

En ella se observa que, conforme se acorta el periodo de tiempo, la velocidad promedio se aproxima a 49 m/s. Por lo que, la velocidad instantánea, cuando t=5, se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez más cortos que se inician en t=5. Por consiguiente, la velocidad (instantánea) a los 5 segundos de lanzada la pelota, es: v = 49 m s

Actividad: 2 Realiza lo que se te solicita: 1.

Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 pies/s, su altura en pies, después de t segundos, se expresa por y(t)=40t−16t2. a) Encuentra la velocidad promedio en cada uno de los intervalos que especifica la tabla. Intervalo de tiempo (s) 2 – 2.5 2 – 2.1 2 – 2.01 2 – 2.001 2 – 2.0001

Velocidad promedio (pies/s)

b) Estima la velocidad instantánea para t=2.

BLOQUE 2

35

Actividad: 2 (continuación) 2.

Se dispara una flecha hacia arriba, con una velocidad de 58 m/s, su altura en metros, después de t segundos, se expresa por h(t)=58t-0.82t2. a) Encuentra la velocidad promedio durante los intervalos: [2.5−3], [2.9−3], [2.95−3], [2.99−3], [2.995−3],[2.999−3]

b) Estima la velocidad instantánea para t=3.

3.

El desplazamiento oscilatorio de una partícula está dado por la función se mide en segundos y el desplazamiento en centímetros. a) Encuentra la velocidad promedio para el periodo que se inicia cuando t=1 y dura: 0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005 y 0.001 seg.

, donde el tiempo

b) Estima la velocidad instantánea de la partícula cuando t=1.

4.

36

Como observaste, en los problemas anteriores se toman intervalos antes o después del tiempo en el que se desea conocer la velocidad instantánea, ¿cambiaría el resultado de la velocidad instantánea si los intervalos se toman de forma contraria?, es decir, si por ejemplo en cada intervalo del primer problema los intervalos se toman antes del tiempo indicado, justifica tu respuesta.

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental

Actividad: 3 Conceptual Conceptual Identifica el límite de las velocidades promedio, como velocidad instantánea.

Estima el límite de las velocidades promedio. C

Autoevaluación

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Es reflexivo al resolver la actividad. Expresa las dudas al docente.

Calificación otorgada por el docente

En los problemas anteriores se observó que se requiere conocer el concepto de límite para establecer cantidades importantes como es la velocidad instantánea de partículas, objetos, entre otros.

A continuación se observa la gráfica de la función d ( t ) = 4.9 t 2 que describe el ejemplo 1, en ella se puede visualizar que, a medida que transcurre el tiempo, la distancia que ha recorrido la pelota crece más rápidamente, esto significa que su velocidad va aumentando a medida que la pelota se acerca al piso. Para graficar la velocidad de la pelota al transcurrir el tiempo, se tendría que calcular las velocidades instantáneas en todo momento, desde que se suelta a una altura de 204 m hasta que toca el suelo, resultando tedioso determinar la gráfica de la velocidad de la pelota mediante tablas, como se hizo en el ejemplo anterior. Por ello, se requiere conocer un poco más de límites de funciones para poder generalizar. Para completar el análisis se te proporcionará a continuación la gráfica de la velocidad que lleva la pelota en cada instante de tiempo.

210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

d(t)

−1 −10

1

t 2

3

4

5

6

7

8

−20

v(t)

En el ejemplo 1, se tomó como intervalo inicial a [5 – 5.5] y posteriormente se fueron tomando intervalos más pequeños acercándose a 5. Nótese que los intervalos tomados estaban a la derecha del 5 y a medida que se acercaron a él, el valor de la velocidad promedio se aproximó a 49 m/s.

90 80 70 60

Con ello se puede decir que el límite por la derecha, cuando t se acerca a 5, da como resultado que las velocidades promedio se aproximen a 49 m/s.

50 40

Cabe mencionar que si se hubieran tomado intervalos, que se acercaran a 5 por la izquierda, se obtendría el mismo resultado.

30 20 10

−1

t 1

2

3

4

5

6

7

8

Como se observa en la gráfica, mientras los valores del tiempo se acercan a t=5 tanto por la izquierda como por la derecha; los valores de la velocidad promedio se aproximan a 49 m/s, tanto por abajo como por arriba, respectivamente.

−10

BLOQUE 2

37

A continuación se desarrollará de manera general la noción de límite de una función, analizando las gráficas y posteriormente se llevará a cabo la obtención algebraica del límite de una función. Ejemplo 2. Dada la gráfica de la función, determinar el límite en los valores indicados. 7

f(x)

6 5 4 3 2 1

x −8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

−1 −2 −3 −4

a) b) c) d)

Cuando “x” tiende (se aproxima) a −4. Cuando “x” tiende a 0. Cuando “x” tiende a 2. Cuando “x” tiende a 4.

Si utilizan flechas azules para indicar cómo se aproxima al valor por la izquierda y flechas rojas para observar cómo se aproxima al valor por la derecha, éstas también auxilian al momento de ubicar el valor del límite de la función. 7

f(x)

6 5 4 3 2 1

x −8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

−1 −2 −3 −4

38

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

En seguida, se analizará cada uno de los límites que se solicitan en los incisos anteriores y se expresarán cada uno de los límites en su forma algebraica. a) Cuando “x” tiende a −4 por la izquierda, la cual se denota como x → −4 − , se observa como la función va incrementando su valor hacia 3; de igual forma, cuando “x” tiende a −4 por la derecha x → −4 + la función va disminuyendo su valor hacia 3, por lo tanto, se puede decir que el límite de la función cuando “x” tiende a −4 (x → −4) es 3.

(

)

El hecho de que el valor de la función en x=−4 no exista (punto hueco) no invalida el límite, porque precisamente se acerca infinitamente a −4 sin tomar el valor exacto. Forma algebraica

Se lee

lim f( x ) = 3

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la izquierda es 3.

lim f( x ) = 3

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la derecha es 3.

lim f( x ) = 3

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 es 3

x → −4− x → −4 + x →− 4

(

)

b) Cuando “x” tiende a 0 por la izquierda x → 0 − , la función decrece hacia 5, y cuando “x” tiende a 0 por la derecha

(x → 0 ) la función incrementa su valor aproximándose a 5, por lo tanto, el límite de la función cuando “x” tiende a 0 +

(x → 0) es 5. Forma algebraica

Se lee

lim f( x ) = 5

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 0 por la izquierda es 5.

lim f( x ) = 5

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 0 por la derecha es 5.

lim f( x ) = 5

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 0 es 5.

x →0−

x → 0+ x →0

(

)

c) Cuando “x” tiende a 2 por la izquierda x → 2 − , la función disminuye su valor aproximándose a 3; cuando “x” tiende a

(

+

)

2 por la derecha x → 2 la función aumenta su valor aproximándose a 2; como ambos límites se aproximan a valores diferentes de la función, este límite no existe. Forma algebraica

Se lee

lim f( x ) = 3

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 2 por la izquierda es 3.

lim f( x ) = 2

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 2 por la derecha es 2.

lim f( x ) =

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 0 no existe.

x → 2− x → 2+ x →2

d) Al igual que el inciso anterior, el límite de la función cuando “x” tiende a 4 no existe, debido que el límite cuando “x” tiende a 4 por la izquierda x → 4 − se va hacia −∞ , y el límite de la función cuando “x” tiende a 4 por la derecha

(

)

(x → 4 ) se va hacia ∞ . −

Forma algebraica

lim f( x ) = −∞

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la izquierda es −4.

x →4+

lim f( x ) = ∞

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la derecha es 4.

lim f( x ) =

El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 no existe.

x → 4−

x →4

BLOQUE 2

Se lee

39

Los límites que se obtienen por uno de los lados, ya sea por la derecha o por la izquierda, se les conoce como límites unilaterales y cuando estos son iguales, el límite de la función existe y es igual al valor de los límites unilaterales, pero cuando ambos límites se van al infinito ( 4 ) o al menos infinito ( −4 ), se dice que el límite de la función no existe.

Actividad: 4 Escribe los límites que se indican en cada una de las gráficas.

10

a)

h(x)

9 8 7 6 5 4

b)

3 2 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

x 1

2

3

4

5

6

−2

c)

−3 −4 −5 −6 −7

9

f(x)

8

a)

7 6 5 4 3

b)

2 1 −6

−5

−4

−3 −2

−1

x 1

2

3

4

5

6

−1 −2 −3 −4

c)

−5 −6

40

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 4 (continuación) a) 8

g(x)

7 6 5 4

b)

3 2 1 −3 −2 −1

x 1

2

3

4

5

6

−1

c)

−2 −3

a) 11

L(x)

10 9 8 7 6

b)

5 4 3 2 1 −4 −3 −2 −1 −1

x 1

2

3

4

5 6

7

8

9 10

c)

−2 −3 −4

Actividad: 4 Conceptual Conceptual Identifica el límite de una función dada su gráfica. Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje:

Obtiene el límite de una función dada su gráfica. C

MC

NC

Actitudinal Aprecia la facilidad de ubicar los límites de una función cuando se conoce su gráfica.

Calificación otorgada por el docente

41

Los límites también son útiles para obtener el comportamiento de la gráfica de una función, cuando se conoce la representación analítica de ésta, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 3. Graficar la función f( x ) =

9 − x2 . 3+x

La función f(x) es racional y se indefine cuando x=−3, debido a que el denominador en ese valor se hace cero. Para graficarla se toman algunos valores de su dominio y se sustituyen en la función para encontrar las coordenadas de los puntos. x

f(x)

8

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

8 7

7

f (x)

6 5

5 4 3 2 1 0 −1 −2

4 3 2 1 x −6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

−1 −2

Para observar el comportamiento alrededor de −3, se sustituyen valores muy cercanos a −3, tanto por la derecha como por la izquierda, como se muestra en las siguientes tablas. x −3.1 −3.01 −3.001 −3.0001 −3.00001

f(x)

f(x) x −2.9 5.9 −2.99 5.99 −2.999 5.999 −2.9999 5.9999 −2.99999 5.99999

6.1 6.01 6.001 6.0001 6.00001

Se puede observar que cuando “x” se acerca a –3 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x ) se aproximan a 6. Este comportamiento se representa matemáticamente de la siguiente forma:

f(x) → 6 cuando x → −3 o bien, de manera formal: 9 − x2 =6 x → −3 3 + x lím

Una vez obtenido el límite de la función, se puede ubicar el punto hueco a la altura de 6 y unir los puntos, como se muestra a continuación.

42

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

8

f (x)

7 6 5 4 3 2 1 x −6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

−1 −2

Ejemplo 4. Elaborar la gráfica y obtener lim f( x ) , donde la función es: x→3

2 x − 2 f( x ) =   x − 3 + 1

si x < 3 si x ≥ 3

En esta función, el dominio está formado por todos los números reales; se sabe que la gráfica de la primera parte de la función es un “trozo” de una línea en forma de “V” debido a que es una función de valor absoluto, y la otra parte resultará en una porción de una media parábola horizontal abierta hacia la derecha, dado que es una función irracional. Sin embargo, no se sabe si esas dos partes se juntarán en un punto, para ello se debe considerar para qué intervalo de los números reales es válida cada una de ellas. Para este ejemplo, se sustituirá el valor de x = 3 en la función de valor absoluto de manera abierta, es decir, con paréntesis, pues dicho valor no se incluye en esa parte; sin embargo, para la función irracional, ese mismo valor sí se incluirá pues sí está dentro de los valores correspondientes. De esta manera, la tabla de valores queda:

x<3 x

f( x ) = 2 x − 2

x

-1 -0 1 2 (3)

6 4 2 0 (2)

[3] 4 5 6 7

La gráfica correspondiente a la función dada es:

f( x ) = x − 3 + 1 1 2 2.41 2.73 3

f(x) 5 4 3 2 1

x −2

−1

1

2

3

4

5

6

7

−1

BLOQUE 2

43

Se puede notar en esta gráfica que las dos partes de la función quedan separadas; ahora, para obtener lim f( x ) se debe x→3

tener la precaución de tomar los límites unilaterales correctos, debido a que las partes de las que se conforma la función tienen restringido su dominio. Debido a lo anterior, los límites se expresan de la siguiente forma:

x → 3−

x → 3+

x

f( x ) = 2 x − 2

x

2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999

1.8 1.98 1.998 1.9998 1.99998

3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001

lim f( x ) = 2

x →3−

y

f( x ) = x − 3 + 1 1.31 1.1 1.03 1.01 1.003 lim f( x ) = 1

x→3+

Como estos dos límites son diferentes, el límite buscado no existe:

lim f( x ) =

x →3

De todo lo anterior se desprende que, de manera intuitiva, el límite de una función es el valor al que se aproxima f(x) cuando la variable “x” tiende a un valor dado. También se deduce que el límite existe, siempre y cuando, los límites unilaterales coinciden, aun cuando la función no esté definida para el valor hacia donde “x” se aproxima. Así mismo, que el límite no existe cuando los límites unilaterales no coinciden en el mismo valor, o cuando alguno de ellos se vaya al infinito o al menos infinito.

Actividad: 5 Elabora la gráfica correspondiente de cada una las funciones y construye tablas de valores para encontrar el límite dado:

1.

2.

44

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 5 (continuaci贸n)

3.

4.

5.

BLOQUE 2

45

Actividad: 5 Conceptual Identifica el límite de una función dado una tabla de valores y su gráfica. Autoevaluación

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Obtiene el límite de una función, a Aprecia la necesidad de utilizar partir de una tabla de valores y la algún software para graficar gráfica correspondiente. funciones. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Teoremas de límites. En el tema anterior, se te presentó la noción intuitiva de límite, con el fin de introducirte al tema de una manera más o menos sencilla e informal. Sin embargo, como te habrás dado cuenta, no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de valores para obtener el límite, pues resulta un poco tardado y tedioso. Por esta razón, ahora se formaliza la obtención de los límites mediante la utilización de algunos teoremas que ayudarán obtener de manera rápida, el límite de una función. En estos teoremas sobre límites, “a” representa el valor hacia donde tiende “x”.

1.

Límite de una constante: Si c es una constante, entonces, lim c = c x→ a

Ejemplos:

8 lim 10 = 10 x→ 3

4

4

8 lim ( − 7π ) = − 7π x→ 4

En otras palabras, este teorema indica que el límite de una función constante es la misma constante; recuerda que una función constante es aquella en la cual no aparece la variable independiente “x”. Para el siguiente teorema, la aproximación de “x” hacia el valor dado “a” es tan cercana, que bien se puede suponer una sustitución de dicho valor en la función f(x), como se expresa a continuación:

2.

Límite de la función identidad: lim x = a

x→ a

Ejemplos:

8 lim x = 1 x→ 1

8 lim x = −5 x→ −5

8 lim x = 5 x→ 5

46

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Aquí, el teorema dice que la función se acerca siempre al mismo valor hacia donde tiende la variable independiente “x”.

3.

Límite de una constante multiplicada por una función: Si c es una constante, entonces, lim cf( x ) = c lim f( x ) x→ a

x→ a

Ejemplos:

8 lim 5 x = 5 ⋅ lim x = ( 5) ⋅ (3) = 15 x→ 3

8 lim

x→ 6

x→ 3

(−32 x ) = −32 ⋅ xlim x = ( −2 ) ⋅ ( 6 ) = −12 = − 4 3 3 →6 4.

Límite de una suma, de un producto y de un cociente: Si lim f( x ) = L 1 y lim g( x ) = L 2 , entonces: x→ a

x→ a

a) El límite de una suma de funciones es la suma de los límites: lim [f( x ) + g( x )] = lim f( x ) + lim g( x ) = L 1 + L 2 x→ a

x→ a

x→ a

b) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites: lim [f( x ) ⋅ g( x )] = lim f( x ) ⋅ lim g( x ) = L 1 ⋅ L 2 x→ a

x→ a

x→ a

c) El límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea diferente de cero: lim f( x ) L f( x ) x → a lim = = 1 ,L2 ≠ 0 x → a g( x ) lim g( x ) L 2 x→ a

Ejemplos:

8 lim (5 x + 2) = lim 5x + lim 2 = 5 lim x + lim 2 = ( 5)(3) + 2 = 17 x→ 3

x→ 3

x→ 3

x→ 3

x→ 3

8 lim (7 − 3 x ) = lim 7 + lim ( −3x ) = lim 7 + ( −3) ⋅ lim x = 7 + ( −3) ⋅ ( −2) = 7 + 6 = 13 x → −2

x → −2

x → −2

5.

x → −2

x → −2

Límite de una potencia. Si n es un entero positivo, entonces: a) lim x n = a n x →a

b) lim [f( x )] n = [ lim f( x )] n x →a

BLOQUE 2

x →a

47

Ejemplos:

8 lim x 3 = [ lim x ]3 = [7]3 = 343 x→ 7

x→ 7

2

8 lim ( x + 4x − 3) = lim x 2 + lim 4x − lim 3 = (5)2 + 4 ⋅ ( 5) − 3 = 42 x→ 5

x→ 5

x −1

8 lim

x→ 0

x→ 5

x→ 5

lim (X − 1)

=

2

x +x−2

lim x − lim 1

x→ 0

(

2

lim x + x − 2

x→ 0

6.

)

x→ 0

=

x→ 0

=

2

   lim x  + lim x − lim 2 x → 0 x→ 0 x→ 0  

0 −1 0+0−2

=

1 2

Límite de una raíz. Si existe

lim f( x ) , entonces:

x→ a

lim n f( x ) = n lim f( x )

x→ a

x→ a

Siempre y cuando “n” sea un entero positivo impar, o bien, “n” sea un entero positivo par y lim f( x ) > 0 . x→ a

Ejemplos:

8 lim 5 3x − 2 = 5 lim (3x − 2) = 5 3 lim x − lim 2 = 5 (3)(1) − 2 = 5 1 = 1 x→ 1

8 lim

x→ 1

4x − x 2x − 1

x→ 4

8 lim

x→ 4

8 lim

x→ 3

3

4 lím x − =

x→ 4

x→ 1

lim x

x→ 4

2 lim x − lim 1 x→ 4

=

x→ 4

x→ 1

4( 4) − 4 2( 4) − 1

=

16 − 2 8 −1

=

14 7

=2

2 x − 8 = 3 lim (2 x − 8 ) = 3 lim (2 x ) + lim (− 8 ) = 3 2 lim (x ) + lim (− 8 ) = 3 2(4 ) − 8 = x→ 4

x−3 =

lim (x − 3 ) =

x→ 3

x→ 4

x→ 4

x→ 4

x→ 4

3

0 =0

lim (x ) + lim (− 3 ) =

x→ 3

x→ 3

Aunque el resultado algebraico es 0, el límite no existe, debido a que es una de las condiciones del teorema; el lim x − 3 x→ 3

debe ser mayor que 0, por ser una raíz cuadrada, de no ser así, el límite no existe. En la siguiente actividad analizarás esta condición y concluirás el por qué se establece en el teorema.

48

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 6 En equipo, realicen lo que se les solicita. 1.

Tracen las gráficas de las dos últimas funciones de los ejemplos anteriores, analicen y justifiquen los resultados de sus límites.

2.

Comenten sus observaciones con el grupo y escriban en siguiente espacio la conclusión a la que llegaron.

Actividad: 6 Conceptual Identifica el comportamiento de una función, para determinar el límite de la misma a un valor determinado. Coevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Conclusión grupal. Saberes Procedimental Contrasta el límite de una función con el comportamiento de la misma visualizado en su gráfica. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Es respetuoso con sus compañeros, realiza aportaciones en el desarrollo de la actividad.

Calificación otorgada por el docente

49

Actividad: 7 Calcula el valor de los siguientes límites, utilizando los teoremas. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Actividad: 7 Conceptual Identifica los teoremas que requiere aplicar para resolver límites de funciones. Autoevaluación

50

Evaluación Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Aplica los teoremas de límites para resolver límites de funciones. C

MC

NC

Realiza el proceso con limpieza y claridad.

Calificación otorgada por el docente

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Límites de funciones algebraicas. A continuación se abordarán los límites de funciones, analizando comportamientos similares dependiendo de su clasificación. En la sección anterior se determinaron los teoremas sobre límites, y al aplicarlos de forma literal se hace el proceso un poco tedioso, a continuación se mostrará un nuevo teorema que engloba la mayoría de los teoremas y agiliza el resultado de los límites.

Límites de funciones polinomiales. Una función polinomial es aquella que se expresa como: f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + a n − 3 x n − 3 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Donde an, an.1,…, a1, a0 son constantes y n es un número no negativo. El dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números reales. Debido a la forma que tienen las funciones polinomiales, se requieren los cinco primeros teoremas de límites, exceptuando la multiplicación y división de funciones, es por ello que, éstos se conjugan en un nuevo teorema que agiliza el proceso.

7.

Límite de un polinomio. Si f(x) es una función polinomial y “a” es cualquier número real, entonces: lim f (x ) = f (a ) x→ a

Ejemplo 1. 9 y verificar el resultado, graficando la función. 2 Este límite se resuelve con el teorema de límite de una función constante, o bien con este último, sólo que al no haber variable independiente (x) no existe lugar dónde sustituir, es por ello que permanece como resultado la misma constante. 9 9 lim − = − x→ −2 2 2

Calcular el

lim −

x→ −2

Esto se puede verificar con la gráfica de la función f( x ) = −

9 2

f(x) 3 2 1 −5

−4

−3

−2

−1

x 1

2

3

4

5

6

En la gráfica también se refleja una especie de comprobación del teorema, porque independientemente del número al que se aproxime “x”, el valor del límite siempre será la misma función constante.

−1 −2 −3 −4 −5 −6

BLOQUE 2

51

Ejemplo 2. Calcular el lim − 4 x y verificar el resultado graficando la función. x→ −2

Sustituyendo el valor en la función se obtiene el límite: lim − 4 x = −4(− 2 ) = 8

x→ −2

Se utiliza una tabla de valores para graficar la función y comprobar el resultado del límite. 10

y

9 8

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y 12 8 4 0 −4 −8 −12

7 6 5 4 3 2 1 −6

−5 −4 −3

−2

−1

x 1

2

3

4

5

6

−1 −2

Ejemplo 3. Calcular el lim ( 2 x 2 + x − 3 ) y verificar el resultado graficando la función. x→ 3

Utilizando el teorema anterior, se tiene:

20 y 19 18

lim ( 2 x 2 + x − 3) = 2(3)2 + (3 ) − 3 = 18

x→ 3

Ahora se le dan distintos valores a “x” (de preferencia alrededor de x=3), para encontrar los puntos que pertenecen a la función y así poder graficarla, a esto se le conoce como el método de tabulación, para realizar una gráfica. x −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y 12 3 −2 −3 0 7 18 33

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3

x 1 2

3 4

5 6

−4

52

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Límite de funciones racionales Las funciones racionales son las que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma: P(x ) f (x ) = donde P(x ) y Q (x ) son funciones polinomiales sólo que Q (x ) ≠ 0 . Q(x ) Cuando se obtiene el límite de una función racional, puede dar como resultado alguno de los siguientes casos: I)

El resultado es un número real.

II)

El resultado es un cociente de la forma

0 . 0

a  III) El resultado es un cociente donde el denominador es cero  , a ∈ ℜ  . 0  Con ejemplos se mostrarán los tres casos, determinando el comportamiento de la función mediante gráficas, debido a que en el caso II la función puede tener límite, y en el caso III, el límite no existe, pero tiene una denominación especial que se abordará más adelante.

Ejemplo 1. x 2 − 4x + 5 . x→4 x −1

Calcular el lim

Utilizando el teorema de límite de una función polinomial, se lleva a cabo la sustitución directa de los polinomios que conforman la función racional.

x 2 − 4x + 5 (4)2 − 4(4) + 5 5 = = x→4 (4) − 1 x −1 3 lim

En matemáticas 4 se inició el análisis de las funciones racionales, y se observó que tienen diferentes comportamientos, dependiendo de los polinomios que conformen el cociente, es por ello que para graficar las funciones, se recurrirá a la tecnología, como son el graficador Winplot, para poder visualizar la gráfica completa y realizar el análisis más rápido, verificando que el límite obtenido es congruente con la gráfica de la función. 8

y

7 6 5 4 3 2

x

1 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11

BLOQUE 2

53

Ejemplo 2. x2 + x − 6 . x → −3 x+3

Calcular el lim

Al sustituir el valor de −3 en la función se obtiene:

x 2 + x − 6 (− 3)2 + (− 3) − 6 0 = = x → −3 (− 3) + 3 x+3 0 lim

El resultado corresponde al segundo caso de límites de funciones racionales, debido a que en −3 se indefine la función, pero dicha indefinición puede ser un punto hueco o que existan asíntotas. En el caso de que hubiera un punto hueco, el límite sí existe y en el caso de que estuviera una asíntota, no existiría el límite. Para determinar de qué indefinición se trata, se requiere utilizar algebra preliminar, en este caso es necesario recurrir a la factorización, como se muestra a continuación. x2 + x − 6 (x + 3)(x − 2 ) = lim x → −3 x → −3 x+3 x+3 lim

En esta etapa, se puede cancelar el factor (x+3), que hace cero tanto al numerador como al denominador, y es válido cancelarlo debido a que x se aproxima infinitamente a −3, pero sin llegar a tomar su valor.

(x + 3 )(x − 2 ) = lim x − 2 = −3 − 2 = −5 x2 + x − 6 = lim x → −3 x → −3 x → −3 x+3 x+3 lim

x2 + x − 6

en una función lineal g( x ) = x − 2 , cuando x ≠ −3 , se puede concluir que su gráfica es x+3 una recta con un punto hueco en (−3, −5), como se observa en la gráfica correspondiente.

Al transformarse f( x ) =

4

f(x)

4

3

3

2

2

1 −5

−4

−3

−2

−1

1

x 1

2

3

4

5

f(x)

−5

−4

−3

−2

−1

x 1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

−5

−5

−6

−6

−7

−7

2

3

4

5

En el plano de la izquierda se visualiza mejor el punto hueco y en el derecha puedes observar que cuando tiende a −3 por ambos lados, la función se aproxima a −5, que es la altura a la que se encuentra la indefinición.

54

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Ejemplo 3. Calcular el lim

x→ 2

x 4 − 16

(x − 2)2

Al evaluar x=2 en la función se obtiene:

lim

x→2

x 4 − 16

(x − 2)2

=

(2)4 − 16 = 0 (2 − 2)2 0

Ahora se procede a factorizar el numerador del cociente.

lim

x→ 2

x 4 − 16

= lim

(x

2

)(

− 4 x2 + 4

) = lim (x − 2)(x + 2)(x

2

+4

)

(x − 2)(x − 2 ) (x − 2) (x − 2) (x + 2)(x 2 + 4 ) = (2 + 2)((2)2 + 4) = 32 = lim x→ 2 (x − 2) (2 − 2 ) 0 2

2

x→ 2

x→ 2

0 y se realizó la factorización correspondiente, el límite de la función no existe. 0 Ahora se observará gráficamente el comportamiento de la función alrededor de x=2. Aunque se obtuvo como primer resultado

120

y

En la gráfica se observa que los límites unilaterales no coinciden por lo tanto, el límite de la función cuando “x” tiende a 2, no existe.

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20

x

10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−20 −30 −40 −50 −60 −70 −80

Ejemplo 4. Calcular el lim

x → −1

x2 + 1

(x + 1)2

.

lim

x→ −1

x2 + 1

(x + 1)2

=

(− 1)2 + 1 = 2 (− 1 + 1)2 0

El límite de la función cuando “x” tiende a −1 no existe. Al observar la gráfica se tiene que cumple con un comportamiento muy particular, en este caso los límites unilaterales crecen arbitrariamente, es decir, se van hacia el infinito ( ∞ ) como se observa en la gráfica. BLOQUE 2

55

y 12

Para indicar este comportamiento, se utiliza la siguiente notación:

11 10 9

lim

8

x → −1

x2 + 1

(x + 1)2

=∞

7 6

Esto no significa que ∞ sea un número, ni que exista el límite, simplemente expresa la forma particular en que el límite no existe.

5 4 3 2

x

1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3 4

5

6

7

8

−2 −3

En general, se escribirá de forma simbólica lim f (x ) = ∞

x→ a

para indicar que los valores de f(x) se vuelven cada vez más grandes cuando “x” tiende a “a”. De manera análoga, se escribirá lim f (x ) = −∞

x→a

para indicar que los valores de f(x) se vuelven cada vez más pequeños cuando “x” tiende a “a”.

Límites en las funciones definidas por partes Como te habrás dado cuenta, en las funciones ejemplificadas anteriormente, se puede obtener el límite de la función simplemente sustituyendo el valor de “a” en la x, siempre y cuando se pueda obtener ese valor, es decir, que al hacerlo, no resulte en una raíz de un número negativo o en una división entre cero, por ejemplo. Esto excluye, además aquellas, funciones radicales que dén como resultado n 0 cuando n es par. Cuando se abordó el tema de noción intuitiva de límite, se ejemplificaron funciones definidas por partes, es decir, donde el dominio se divide en partes y cada una de ellas tiene una función diferente, y su comportamiento puede tener cambios muy significativos, precisamente en aquel valor de “x” donde se divide el dominio. Debido a esto, se establecen dos maneras de obtener el límite, dependiendo de cuál sea el valor de “a” hacia donde tiende la “x”, es decir, si “a” coincide o no con el valor donde se divide el dominio.

56

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Ejemplo 1. Considerando la función:  x − 1 + 2 f( x ) =  − x 2 + 6 x − 8

si x ≤ 2 si x > 2

Encontrar el lim f( x ) . x →0

Antes de empezar a resolver este límite, se requiere ubicar hacia dónde tiende la “x”, si está contenida dentro del dominio de una de las partes que componen a la función o si es el número donde se dividen éstas, para determinar los límites unilaterales y poder así elegir la función que corresponde, como se muestra a continuación: lim f( x ) = lim

x→0−

x→0−

x −1 + 2 = 0 −1 + 2 = −1 + 2 = 3

lim f( x ) = lim

x →0+

x −1 + 2 = 0 −1 + 2 = −1 + 2 = 3

x→0+

Por lo que:

lim f( x ) = 3

x →0

Una manera más simple de hacer el cálculo de este límite sería lo siguiente: Como en este caso, “x” tiende a 0 y pertenece al dominio del valor absoluto, debido a que está definida para todos los valores de x ≤ 2 , entonces sólo se sustituye el valor de 0 en el valor absoluto, porque los límites unilaterales daría la misma sustitución, como se muestra a continuación. lim

x→0

x −1 + 2 = 0 −1 + 2 = −1 + 2 = 3

En la gráfica de la función se visualiza que cuando “x” tiende a 0 tanto por la derecha como por la izquierda, la función que está involucrada es la de valor absoluto, no incluye la función cuadrática. 6

f(x)

5 4 3 2 1 −4

−3

−2

−1

x 1

2

3

4

5

6

7

−1 −2 −3 −4

Ejemplo 2. Considerando la función:

x 3 si x < 1 g( x ) =  3 − x si x > 1 Calcula el lim g ( x ) . x →1

Lo primero que se requiere considerar el la ubicación del valor al que tiende “x”, con el propósito de identificar si se requieren los límites unilaterales o una sustitución directa. En este caso “x” tiende a 1 y al observar el dominio de la función, es precisamente el valor donde se parte la función en una función cúbica a la izquierda del 1 y en una función lineal a la derecha del mismo. Debido a lo anterior, se requiere obtener los límites unilaterales, como se muestra a continuación: BLOQUE 2

57

lim g ( x ) = lim x 3 = (1)3 = 1

x → 1−

lim g( x ) = lim 3 − x = 3 − 1 = 2

x →1+

x → 1−

x →1+

Por lo tanto:

lim g( x ) = x→

En la gráfica se visualiza que cada límite unilateral requiere la sustitución de una función diferente y como no llegan al mismo punto cuando “x” tiende a 1, no existe su límite. g(x) 4 3 2 1 −4

−3 −2 −1

x 1

2

3

4

5

6

7

−1 −2 −3 −4 −5

Actividad: 8 Calcula el límite indicado en cada una de las funciones, si es que existe.

1.

a)

b)

c)

58

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 8 (continuaci贸n)

2.

a)

b)

3.

4.

5.

6.

7.

BLOQUE 2

59

Actividad: 8 Conceptual Identifica los teoremas que requiere aplicar para resolver límites de funciones racionales y definidas por partes.

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Aplica los teoremas de límites para resolver límites de funciones racionales y definidas por partes. C

Autoevaluación

MC

NC

Realiza el proceso con limpieza y claridad.

Calificación otorgada por el docente

Límites de funciones trascendentes. Las funciones trascendentes son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Límites Límites de funciones trigonométricas Los límites de las funciones trigonométricas elementales son aquellos que se obtienen de la sustitución directa, es decir, al evaluar el valor al cual tiende “x”, como se muestra a continuación: Ejemplo 1. Calcular lim sen x x→

π 4

Primero hay que aclarar que las funciones trigonométricas se evalúan en radianes, debido a que son funciones definidas en los números reales. Luego, asegurándose que la calculadora científica que se utiliza está en radianes, sustituir el valor al cual tiende “x” en la función dada, como se muestra a continuación. π lim sen x = sen   = 0.7071 π 4 x→ 4

Para visualizar mejor el límite, se realiza la gráfica en cualquier graficador (Winplot, Geogebra Derive, Graphics, entre otros) 3 sen(x)

2 1

x −π/2

π

π/2

π

3π/2

4

−1

−2

Ejemplo 2. Calcular el lim 4 cos x x→0

Al sustituir el valor de x=0 en la función, se obtiene:

lim 4 cos x = 4 cos(0) = 4

x →0

Observando la gráfica se comprueba dicho comportamiento.

60

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

4 cos(x) 4 3 2 1 −3π/2

−π

x

−π/2

π/2

π

3π/2

5π/2

−1 −2 −3 −4

Ejemplo 3. Obtener el lim tan θ θ→

π 2

π en la calculadora se obtiene como resultado una leyenda que 2 describe que hay un error y es porque la función trigonométrica tangente, se define como el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente, y cuando el ángulo se π acerca a (es decir, 90º) y ubicándose en el círculo unitario, como se vio en 2 Matemáticas 2, el cateto adyacente es cero, es por ello que no existe. Se puede decir π que la función tiene un comportamiento asintótico en . 2 ¿Se podrá decir que lim tan θ = ∞ ó lim tan θ = −∞ ?

Al sustituir el valor de

θ→

π 2

θ→

Hip

θ radio=1

Cat. Op.

Cat. Ady.

π 2

Al observar la siguiente gráfica de la función se puede dar respuesta a la pregunta anterior.

tan (θ) 4 3 2 1

θ −3π/2

−π

−π/2

π/2

π

3π/2

−1 −2 −3 −4

π π por la izquierda, la función se va hacia ∞ y cuando θ tiende a por la derecha, 2 2 la función se va hacia −∞, por lo tanto, no se puede decir que el límite es igual a ∞ o −∞, simplemente éste no existe.

Como se observa, cuando θ tiende a

lim tan θ = θ→

BLOQUE 2

π 2

61

Límites Límites de funciones funciones exponenciales La función exponencial es una función trascendente cuya forma es:

f(x ) = b x Donde a “b” se le denomina base y es una constante positiva diferente de 1, y a la variable “x” se le denomina exponente. En la definición anterior, el coeficiente principal es uno, así que generalizando la definición se tiene:

f(x ) = Ab x Donde el coeficiente A representa la condición inicial, esto es porque cuando x=0 se tiene: f (0 ) = Ab 0 f (0 ) = A (1) f (0 ) = A La gráfica de la función exponencial dependiendo del valor de su base es la siguiente. 4

f (x) 4

3

f (x)

3

2

2

1

1

x −2

−1

1

x

2

−2

−1

−1

1

2

−1

−2

Con b>1

Con 0<b<1

Actividad: 9 Observa las gráficas anteriores responde las siguientes preguntas: 1.

¿Qué sucede con la función exponencial

2.

¿Cuál es el comportamiento de la función exponencial

3.

¿Hacia dónde se aproxima la función

62

cuando “x” tiende a 0?

cuando “x” aumenta indefinidamente?

cuando “x” decrece indefinidamente?

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 9 Conceptual Observa las gráficas de funciones exponenciales para encontrar el comportamiento de las mismas, cuando los valores crecen o decrecen indefinidamente.

Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental

Actitudinal

Predice el límite de una función exponencial, analizando el comportamiento del límite de funciones. C

Autoevaluación

Puntaje:

MC

NC

Tiene apertura para hacer aportaciones de relevancia en el análisis de las preguntas.

Calificación otorgada por el docente

Límite de funciones logarítmicas logarítmicas La función logarítmica de base b es la inversa de la función exponencial de base b, esto es: y = log b x ←→ b y = x El hecho de que la función logarítmica es inversa de la función exponencial, implica que la acción que una de ellas realiza sobre un número, es eliminada por la otra función, es decir:

( )

logb b x = x El comportamiento de la función logarítmica dependiendo del valor de la base es la siguiente. 2

f (x)

f (x) 2

1 1

x −1

1

2

3

4

5

6

x

7 −1

−1

1

2

3

4

5

6

7

−1 −2 −2 −3

Con b>1

Con 0<b<1

Actividad: 10 Describe el comportamiento de la función

BLOQUE 2

utilizando límites.

63

Actividad: 10 Conceptual Comprende el comportamiento de una función, utilizando límites. Autoevaluación

Evaluación Producto: Descripción. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Describe el comportamiento de una función,utilizando límites. C

MC

NC

Muestra interés para realizar la actividad.

Calificación otorgada por el docente

Actividad: 11 Resuelve los siguientes límites: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

64

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 11 Conceptual Reconoce los límites de las funciones trascendentes. Autoevaluación

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Calcula límites de funciones trascendentes.. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa sus dudas y corrige sus errores. Calificación otorgada por el docente

Límites en el infinito. Hasta ahora se han considerado límites de funciones cuando “ x ” se ha aproximado a algún número real. Ahora se considerará el cálculo de límites donde “x” aumenta o disminuye indefinidamente.

Actividad: 12 Utiliza el Winplot o algún otro software para que grafiques e imprimas cada una de las siguientes funciones. Describe hacia dónde se aproxima cada una de las funciones cuando “x” crece o decrece indefinidamente, es decir, cuando ó . Pega en el lugar correspondiente cada una de las funciones impresas. 1.

2.

BLOQUE 2

65

Actividad: 12 (continuación) 3.

4.

5.

6.

66

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 12 Conceptual Identifica el comportamiento de una función mediante su gráfica. Autoevaluación

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Analiza el comportamiento de una Reconoce la importancia del uso función, mediante su gráfica, para de graficadores en el análisis del describir su tendencia. comportamiento de funciones. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Con la actividad anterior, notaste que cuando “x” aumenta o disminuye indefinidamente, la función racional cuyo numerador es una constante y su denominador contiene a la variable, se aproxima a cero, este teorema se puede representar de la siguiente forma: c lim = 0 x→ ∞ x Donde “c” es la constante. En el caso de que la variable esté elevada a alguna potencia, se aproxima más rápido a cero y se puede generalizar de la siguiente forma: c lim = 0, con n ∈ Z + x→ ∞ x n Además de observarlo en la gráfica, se puede visualizar el teorema de la siguiente forma: lim

x→ ∞

c x

= lim c ⋅

n

x→ ∞

1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ L = c(0 ) = 0 x 4 x 42 x 4 x 43 x 1 n veces

También observaste que algunas funciones, cuando tienden hacia el infinito a la derecha o izquierda, se aproximan a un número en específico, esto se puede resolver algebraicamente utilizando el teorema anterior, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo1. Calcular el lim

x→ ∞

3 x 4 − 5 x 3 + 4 x 2 − 3x + 6 6 x 4 + 8x 3 − 4x 2 + 8x + 10

Se identifica el grado mayor de los polinomios que componen el numerador y denominador, posteriormente se divide cada término entre la variable “x” con el máximo exponente, en este caso, se divide entre x 4 , como se muestra a continuación:

3x 4 4

3

2

3 x − 5x + 4 x − 3 x + 6

5x 3

4

3

4

+

4x 2 4

3x 4

+

6

x x x x4 , = lim x 4 3 2 x →∞ 6 x + 8 x − 4 x + 8 x + 10 x →∞ 6 x 8x 4x 8 x 10 + 4 − 4 + 4 + 4 4 x x x x x lim

4

2

Se realiza la división, utilizando las leyes de los exponentes: 5 4 3 6 3− + 2 − 3 + 4 x x x x lim ; x →∞ 8 4 8 10 6+ − 2 + 3 + 4 x x x x Aplicando los teoremas anteriores, todos los términos divididos entre la variable “x” elevada a una potencia con aproximarán a cero cuando “x” tiende a infinito, lo anterior se puede escribir de la siguiente forma, para visualizar cuales son los términos que se transforman en cero.

BLOQUE 2

67

0

0

0

0

5 4 3 6 3− + 2 − 3 + 4 x x x x lim 8 4 8 10 x →∞ 6+ − 2 + 3 + 4 x x x x 0

0

0

0

Por tanto:

lim

x →∞

3 x 4 − 5 x 3 + 4x 2 − 3x + 6 4

3

2

6 x + 8x − 4x + 8 x + 10

=

3 1 = . 6 2

La gráfica de la función, valida el resultado que se obtuvo del límite de la función cuando “x” aumenta indefinidamente. 9 f (x) 8 7 6 5 4 3 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9

Ejemplo 2.

3 − 2x 3 . x → −∞ x + 1 En este caso, el grado mayor es tres, y por ello se divide el numerador y el denominador entre x 3 , como se muestra a continuación: 3 2x 3 3 − 3 −2 3 3 3 − 2x x = lim x 3 lim = lim x x → −∞ x + 1 x → −∞ x x→ − ∞ 1 1 1 + 3 + 3 3 2 x x x x Encontrar lim

En este caso, cuando “x” tiende a − ∞ , se observa lo siguiente: 0

3 lim

x→ − ∞

0

68

x3 1 x2

−2 +

0

1 x3

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

El denominador se transforma en cero, por lo tanto, el límite de la función racional no existe, sin embargo, se puede

3 − 2x 3 , x +1 cuando “x” decrece infinitamente, el numerador 3 − 2 x 3 es positivo, debido a que x 3 es negativo y al multiplicarse por −2, su coeficiente, el producto es positivo y al sumársele 3, sigue siendo positivo. En el caso del denominador x + 1 , “x” es infinitamente pequeño, por lo tanto, negativo, y al sumársele 1 sigue siendo negativo, así que el cociente es negativo. analizar qué sucede con la función cuando “x” decrece indefinidamente; si se observa la función original f (x ) =

El análisis anterior se puede visualizar con la siguiente gráfica de la función.

El límite se puede expresar como:

3 − 2x 3 = −∞ x→ − ∞ x + 1 lim

Ejemplo 3. Obtener el lim

2x 3 + 6

. 8x 5 + 10x Ahora, se detecta que el grado mayor de los polinomios que conforman a la función racional es de grado cinco, por lo tanto, se divide tanto el numerador como el denominador entre x 5 . x→∞

2x 3 3

2x + 6

+

6

2

5

2

+

6

x = lim x x5 ; x →∞ 8 x + 10 x x →∞ 10 x x→∞ 8 + 10 + 5 5 x4 x x Al aplicar el teorema se observa que el numerador se aproxima a cero y el denominador a ocho, como se muestra a continuación. lim

5

5

x 8x 5

= lim

0

2

+

6

0

2 x5 = 0 = 0 lim x 10 x →∞ 8 8+ 4 x

0

BLOQUE 2

69

Actividad: 13 Realiza lo que se te solicita. I.

Resuelve los siguientes límites en el infinito:

1.

2.

3.

4.

70

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 13 (continuación) II.

Cuando se arroja materia orgánica de desecho a un estanque, éste se va oxidando y la cantidad de oxígeno varía de acuerdo a la siguiente función:

Donde N es el nivel de oxígeno en un estanque y t el tiempo medido en semanas. Cuando t=0 el nivel de oxígeno es el normal. a) ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana? b) ¿Tras diez semanas? c) ¿Cuál es el porcentaje de oxígeno para “t” excesivamente grande?

Actividad: 13 Conceptual Conceptual Reconoce el límite al infinito de una función. Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Ejercicios y problema aplicado. Saberes Procedimental Emplea el límite de una función, para resolver un problema práctico. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra disposición en el desarrollo de la actividad.

Calificación otorgada por el docente

71

Cierre Actividad: 14 Resuelve los siguientes problemas: 1. El costo en millones de pesos que gasta una agencia gubernamental al incautar “x”% de cierta droga ilegal es:

Determina el costo que gasta la agencia, cuando la droga incautada se acerca al 100%.

2.

La población de una pequeña ciudad se puede predecir mediante la función

Donde “t” es el tiempo medido en años. ¿Cuál es el límite cuando “t” es excesivamente grande?

3.

El costo promedio por disco (en pesos) cubierto por una compañía grabadora al imprimir x discos compactos de audio está dado por la función de costo promedio.

Cómo se interpreta cuando “x” tiende infinito.

72

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 14 (continuación) 4.

Las feromonas y dopaminas son sustancias químicas que libera el organismo en los individuos cuando empiezan a enamorarse, produciendo una doble sensación de aletargamiento y de hiperactividad. Si se supone que la función

, representa el porcentaje de estas

sustancias en una persona, durante una etapa de su enamoramiento, donde “t” representa el número de meses, qué cantidad de estas sustancias se generarán cuando el tiempo es exageradamente grande.

5.

La presión atmosférica “p” disminuye al aumentar la altura. Esta presión medida en milímetros de mercurio se relaciona con la altura “h” en kilómetros mediante la fórmula ¿Qué presión se obtiene si la altura es excesivamente grande?

Actividad: 14 Conceptual Identifica el límite de una función en problemas cotidianos. Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Problemas de aplicación Saberes Procedimental Aplica el límite de una función para resolver problemas cotidianos. C

MC

NC

.

Puntaje: Actitudinal Se interesa por resolver los problemas de aplicación.

Calificación otorgada por el docente

73

Secuencia didáctica 2. Continuidad de una función. Inicio Actividad: 1 Determina el dominio y rango de las siguientes funciones.

Dom:_______________________

Dom:_______________________

Dom:_______________________

Rango:_____________________

Rango:_____________________

Rango:_____________________

Dom:_______________________

Dom:_______________________

Dom:_______________________

Rango:_____________________

Rango:_____________________

Rango:_____________________

74

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 1 (continuación)

Dom:_______________________

Dom:_______________________

Dom:_______________________

Rango:_____________________

Rango:_____________________

Rango:_____________________

Actividad: 1 Conceptual Identifica el dominio y rango de una función. Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje:

Distingue el dominio y rango de una función. C

MC

NC

Actitudinal Muestra interés por realizar la actividad. Reconoce la importancia de los conocimientos previos.

Calificación otorgada por el docente

75

Desarrollo Funciones continuas o discontinuas. ¿Alguna vez te ha tocado que al ir caminando encuentras a tu paso algún obstáculo, como un charco de agua y para poder continuar tu marcha, es necesario brincarlo? En esta situación se ejemplifica que el salto que diste fue un impedimento para que tu caminar se diera en una forma continua, en otras palabras, te diste cuenta que para poder continuar tu marcha tuviste que despegar los pies del suelo. En las gráficas de funciones también se presenta el mismo caso, es decir, en ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla. En el caso de que la gráfica se pueda realizar como se mencionó anteriormente, sin necesidad de despegar el lápiz del papel, se dice que la función es una función continua. En el caso contrario, la función es discontinua.

Actividad: 2 Observa con atención las siguientes gráficas, repásalas con un lápiz de tal manera que compruebes cuales de ellas coinciden con la idea de ser continua o discontinua. Escribe en la línea si es continua en todos los números reales, de no ser así, escribe la palabra discontinua y los valores de “x” donde se da la discontinuidad.

76

______________________________

______________________________

______________________________

______________________________

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 2 (continuación)

______________________________

Actividad: 2 Conceptual Diferencia las funciones continuas y discontinuas. Autoevaluación

______________________________

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje:

Distingue los puntos de discontinuidad de las funciones. C

MC

NC

Actitudinal Reconoce la importancia de graficar funciones para visualizar la continuidad de las funciones.

Calificación otorgada por el docente

Conocer la gráfica de una función proporciona información acerca de la continuidad y discontinuidad de una función, sin embargo, en ocasiones determinar los valores de discontinuidad se complica cuando éstos no son enteros, para ello se tiene que realizar un método analítico.

Actividad: 3 Analiza con detenimiento los siguientes cuestionamientos y responde en forma clara, utiliza las funciones de las dos actividades anteriores para que te ayude en el análisis. 1.

¿Qué puedes decir acerca de los valores del dominio y la continuidad o discontinuidad de la función?

2.

De la misma forma, ¿qué observas en torno al rango y la continuidad o discontinuidad de la función?

BLOQUE 2

77

Actividad: 3 (continuación) 3.

¿Si observas el límite de las funciones en su discontinuidad, qué puedes decir al respecto?

4.

¿Qué requisito debe tener una función para que sea continua en algún punto indicado?

5.

¿De qué manera se relaciona el límite de la función con la continuidad de la misma en un punto determinado?

Anota la conclusión grupal en el siguiente espacio:

Actividad: 3 Conceptual Identifica las condiciones que debe cumplir una función para ser continua o discontinua en un punto específico. Autoevaluación

78

Evaluación Producto: Conclusión grupal. Saberes Procedimental Infiere las condiciones que cumple una función para ser continua o discontinua en un punto específico. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aporta ideas y respeta las aportaciones de sus compañeros.

Calificación otorgada por el docente

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Todo lo anterior se reduce a: Una función es continua en x=a, si satisface las tres condiciones siguientes: a) f(a) existe. b) lim f( x ) existe. x→a

c)

f(a ) = lim f( x) x→a

Para que una función sea continua en un punto, debe cumplir las tres condiciones, y para que sea discontinua, es suficiente que no se cumpla alguna de las tres. Ejemplo 1. Determina si la función f(x) es continua en x = 2 :

2 x − 1 + 2 si x < 2 f( x ) =  − x + 6 si x ≥ 2 Para graficar la función, se puede utilizar el programa Winplot y se obtiene la siguiente forma: 8 f (x) 7 6 5 4 3 2 1 -2

-1

x 1

2

3

4

5

6

7

-1 -2 -3 -4

En la gráfica se puede observar que la función es continua, ahora hay que demostrarlo comprobando las tres condiciones, como se muestra a continuación: a) b)

f(2) = −2 + 6 = 4 , el valor de la función en x = 2 existe, por lo tanto, la primera condición se cumple. lim f( x ) = 2 2 − 1 + 2 = 4    → lím f( x ) = 4 lim f( x ) = −2 + 6 = 4  x →2 + x →2  x →2 −

El límite existe cuando “x” se acerca a 2, por lo que la segunda condición también se cumple. c)

f(2) = lim f( x) , por lo tanto, se satisface también la tercera condición. x→2

Como las tres condiciones se satisfacen para x = 2 , se concluye que la función es continua en ese valor.

BLOQUE 2

79

Ejemplo 2. x 2 − 3x − 10 es continua en x=5. x−5 Al aplicar las tres condiciones se tiene:

Determina si la función T( x ) =

a)

T(5) =

(5)2 − 3(5) − 10 0 = (5) − 5 0

La función no está definida para x = 5 , por lo tanto, no cumple con la primera condición, con ello, se puede concluir que la función es discontinua en el valor indicado. Cuando se grafica la función hay que considerar que hay una ruptura en la gráfica en x = 5 8 T(x) 7 6 5 4 3 2 1 -2

-1

x 1

2

3

4

5

6

7

-1 -2 -3 -4

En la gráfica también se puede observar que el límite cuando “x” tiende a 5 existe, y se puede comprobar de la siguiente forma: x 2 − 3 x − 10 ( x − 5)( x + 2) b) lim = lim = lim ( x + 2) = 7 x →5 x → 5 x →5 x−5 x−5 Debido a lo anterior se puede decir que se cumple con la segunda condición. La tercera condición tampoco se cumple debido a que lim f( x ) ≠ f(5) . x→5

Ejemplo 3.

 x3 − 8  Determina si la función g( x ) =  x − 2 si x ≠ 2 . es continua en x=2.  12 si x = 2 a) g(2) = 12 b) En este caso no es necesario obtener los límites unilaterales, debido que a ambos lados de x=2 la función es la misma, por lo tanto: x3 − 8 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) lim = lim = lim ( x 2 + 2 x + 4) = 12 x →2 x − 2 x →2 x →2 x−2 c)

lim g( x) = g(2)

x →2

Por tanto, la función g( x ) es continua en x = 2 . 80

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 4 En equipo, investiguen cuáles son los tipos de discontinuidad que existen, escriban en el siguiente espacio dos ejemplos de cada tipo, con sus respectivas gráficas.

Actividad: 4 Conceptual Escribe los tipos de discontinuidad de una función. Coevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Ejemplos. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Cataloga, ejemplifica y grafica los Plasma la información de forma tipos de discontinuidad de una clara y concisa. función. C MC NC Calificación otorgada por el docente

81

Cierre Contesta lo queActividad: se te pide. 5 Realiza lo que se te solicita. 1. 2.

a)

en

b)

en

c)

82

Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. En el punto donde se indica, utilizando las tres condiciones de continuidad. Ingresa cada función al graficador Winplot, imprímela, recórtala y pégala en el espacio correspondiente, para que compruebes con la gráfica el proceso algebraico que realizaste.

, en

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Actividad: 5 (continuaci贸n)

d)

en

e)

en

f)

BLOQUE 2

en

83

Actividad: 5 (continuación)

g)

en

h)

en

Actividad: 5 Conceptual Contrasta las tres condiciones de continuidad de una función con la gráfica de la misma. Autoevaluación

84

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Comprueba la continuidad de una Expresa sus dudas y corrige sus función, mediante las tres errores. condiciones y su gráfica. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

Analiza razones de cambio en fenómenos naturales y sociales.

Competencias disciplinares: • • • • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia: •

Compara los diferentes procesos algebraicos que determinan una razón de cambio, mediante el análisis de casos relacionados con la producción agrícola, velocidad instantánea y la producción industrial existentes en el entorno cotidiano. Analiza y resuelve problemas matemáticos que modelan razones de cambio para cuantificar el cambio físico, químico, biológico, económico, entre otros, después de transcurrido un tiempo.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de

Tiempo asignado: 10 horas

Secuencia didáctica 1. La derivada como razón de cambio instantáneo. Inicio Actividad: 1 Encuentra la función que modela cada uno de los siguientes problemas: 1. Una compañía de taxis cobra $50 por un viaje y $2 adicionales por cada kilómetro que recorre. Escribe una función que representa la cantidad P(x) de dinero que debe pagar un pasajero, como función del número “x” de kilómetros recorridos.

2. El departamento de recreación de la ciudad planea construir un campo de juego rectangular de 3,600 m2. El campo de juego ha de estar rodeado de una cerca. Expresa la cantidad de cerca necesaria en función de la medida de la longitud del terreno.

α 3. Un fabricante produce cierto artículo a un costo de $12.00 cada uno. Si los vende a “x” pesos, entonces podrá vender (300 – x ) artículos a la semana. Expresa la utilidad semanal en función de “x”.

86

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Actividad: 1 (continuación) 4.

El dueño de un rancho quiere construir un corral de forma rectangular que tenga una superficie de 1,000 m2, lo cercará por tres de sus lados, puesto que uno corresponde a la pared de la casa. Expresa la longitud de la cerca en función de la longitud del terreno.

5.

Una caja sin tapa se construye con un pedazo de cartón de 70 por 80 cm., cortando un cuadrado de cada esquina. Expresa el volumen de la caja en función de la longitud del lado del cuadrado.

Actividad:1 Conceptual Distingue la variable dependiente e independiente y su relación, en un problema cotidiano. Autoevaluación

BLOQUE 3

Evaluación Producto: Problemas de aplicación Saberes Procedimental Construye la función que modela a un problema cotidiano. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Es reflexivo y muestra disponibilidad al realizar la actividad.

Calificación otorgada por el docente

87

Desarrollo Actividad: 2 En equipo, desarrolla lo que se les solicita. Don Manuel quiere sembrar sandías en un terreno rectangular y cercarlo con 80 metros de malla, para evitar que se las coma el ganado del vecino. ¿Cuánto deberán medir los lados del terreno para así poder sembrar el mayor número de plantas? 1. Dibujen en la cuadrícula, a escala, dos posibles formas de cercar el terreno de Don Manuel.

2. ¿Cuál de los dos terrenos que dibujaron representa la mejor opción para Don Manuel?, ¿por qué?

3. ¿Son éstas las únicas opciones posibles?, ¿por qué?

4. ¿Qué valor o valores están cambiando en el terreno?

5. ¿Cuáles cantidades no cambian?

88

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Actividad: 2 (continuación) 6. Asignen una letra a cada una de las cantidades que cambian.

7. Diseñen una tabla que contenga todas las cantidades involucradas en el problema.

8. Comparen la tabla con el resto de los equipos, complétenla si es necesario y añadan los datos de los demás equipos. 9. De los valores contenidos en la tabla, ¿cuál es la mejor opción?

10. ¿Cuál de las cantidades antes mencionadas les ayuda a decidir cuál es la mejor opción de terreno?

11. ¿Creen que pueda haber una mejor opción? 12. En caso de contestar afirmativamente la pregunta anterior, ¿entre qué valores se encuentra la mejor opción?

13. Elaboren una nueva tabla en la que visualicen los valores que mencionaron en la pregunta 12.

14. ¿Creen que haya otra mejor opción? ¿Por qué?

BLOQUE 3

89

Actividad: 2 (continuación) 15. Realicen una gráfica de la cantidad que les ayude en su decisión, con respecto a uno de los lados del terreno, apóyense en las tablas que realizaron.

16. Analizando la gráfica, qué otras situaciones observan en ella, de tal manera que les ayude a visualizar una mejor opción.

17. ¿Qué requieren para encontrar dicha opción?

Actividad: 2 Conceptual Distingue la variación y la dependencia entre las variables.

Evaluación Producto: Cuestionario, tablas y gráficas. Saberes Procedimental Argumenta la variabilidad y la respuesta óptima de una situación. C

Coevaluación

90

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Es respetuoso, aporta ideas y tiene apertura con las aportaciones de sus compañeros.

Calificación otorgada por el docente

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Actividad: 3 Realiza lo que se te solicita. Ahora Don Manuel quiere construir un gallinero con 50 m de tela de alambre y desea hacerlo de forma rectangular, de tal manera que las gallinas tengan una mayor 谩rea para moverse. Ap贸yate en las preguntas y acciones semejantes a las de la actividad anterior, para ayudar a Don Manuel con su gallinero.

BLOQUE 3

91

Actividad: 3 (continuación)

Actividad: 3 Conceptual Conceptual Identifica la variación y la dependencia entre las variables. Autoevaluación

92

Evaluación Producto: Problema aplicado. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Representa mediante una función Expresa sus dudas y corrige sus un problema cotidiano y plantea la errores. solución óptima. C MC NC Calificación otorgada por el docente

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Razón de cambio instantáneo. En las actividades anteriores llevaste a cabo un análisis sobre cómo elegir la mejor solución de un problema, y observaste la necesidad de modelar el comportamiento de la situación mediante una función, así como la gráfica de la misma, ya que proporciona mayor información para tomar una decisión. Uno de los objetivos principales de este bloque, es analizar e interpretar la razón de cambio de una función, es decir, la velocidad con que cambian las cantidades que están involucradas en una situación. Por ejemplo, si se observa a un automóvil que se mueve por una carretera recta, se puede calcular la velocidad promedio que éste lleva en un intervalo de tiempo. Si se deseara conocer su velocidad en un preciso instante, se necesitaría tener un sensor de movimiento, pero si la persona que observa el movimiento conduce el automóvil, con sólo observar el velocímetro tiene la velocidad instantánea. A continuación se mostrarán algunos ejemplos para comprender el concepto de razón de cambio. Ejemplo 1. En una industria, se está probando un nuevo automóvil; los ingenieros en diseño determinaron que al circular por una carretera recta, la posición que tiene en cada instante de tiempo está determinada por la función:

x (t) = t 2 +

1 3 t 2

Donde la distancia que recorre está medida en metros y el tiempo en segundos. Ellos desean saber la velocidad que alcanza exactamente cuando el tiempo marca 2 segundos. En otras palabras, requieren conocer la velocidad instantánea en el tiempo t=2, esto se logrará, por lo pronto, tomando diferentes valores de tiempo para encontrar la posición correspondiente, como se observa en la siguiente tabla. t 0 1 2 3 4 5

x(t) 0 1.5 8 22.5 48 87.5

En ella se observa la correspondencia que existe entre el tiempo y la posición correspondiente, de acuerdo a la expresión x(t), por ejemplo, cuando han transcurrido 2 segundos, el automóvil se encuentra a 8 m del punto de partida. En la tabla se observa la manera en que aumenta la distancia del automóvil al ir cambiando de posición conforme pasa el tiempo.

En la asignatura de Física 1 estudiaste la velocidad promedio o media de objetos en movimiento, y conociste la siguiente fórmula para calcularla.

vm =

x f − xi t f − ti

La velocidad promedio (vm) se puede calcular en un intervalo de tiempo, por esta razón, se precisa tomar la posición final (xf) registrada en el tiempo final (tf) del intervalo, así como la posición inicial (xi) que corresponde al tiempo inicial (tf) del mismo intervalo. Por ejemplo, si se desea obtener la velocidad promedio que llevaba el automóvil en los primeros 2 segundos, se toma como intervalo de tiempo [0, 2]. Los datos que se tomarán para calcular la velocidad promedio en el intervalo mencionado son:

tf = 2 s

xf = 8 m

ti = 0 s

xi = 0 m

Sustituyendo los datos en la fórmula se obtiene:

BLOQUE 3

93

vm =

x f − xi t f − ti

vm =

8m − 0m 8m = = 4 ms 2s − 0s 2s

Si observas la tabla anterior, hubo un cambio de posición del automóvil, lo cual da como resultado una distancia recorrida y si se toma cualquier otro intervalo de tiempo, obtendrán distancias recorridas diferentes, así mismo, se puede calcular la velocidad promedio correspondiente. Para obtener la velocidad en el instante deseado, el cual es exactamente a los 2 segundos, es necesario obtener primero la velocidad media en un intervalo de tiempo que contenga a dicho instante de tiempo, como se mostrará a continuación. Se considerará el intervalo de tiempo de 1 a 2 segundos para calcular la velocidad media, donde los datos a considerar son:

t f = 2s

xf = 8 m

ti = 1s

x i = 1.5 m

vm =

8 m − 1.5 m 6.5 m = = 6.5 m s 2 s − 1s 1s

Pero la velocidad encontrada no es la que se requiere, de tal forma que si se elige otro intervalo de tiempo más pequeño, se acercará un poco más a lo buscado. Ahora se toma el intervalo de tiempo de 1 a 2 segundos con cambios de tiempo de medio segundo, a dichos cambios también se les conoce como incrementos de tiempo. t 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x(t) 1.5 3.9375 8 14.0625 22.5 33.6875

Haciendo los mismos cálculos para encontrar la velocidad media tomando los datos que se encuentran sombreados en la tabla, se tiene:

vm =

8 m − 3.9375 m 4.0625 m = = 8.125 m s 2 s − 1.5 s 0.5 s

Con este nuevo cálculo se acerca mucho a la velocidad instantánea en t=2 s, pero no es suficiente, se tendría que considerar un intervalo más pequeño, donde esté involucrado el tiempo que interesa. Haciendo más pequeños los incrementos de tiempo, se puede construir la siguiente tabla y su correspondiente velocidad promedio. t 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2

x(t) 5.3465 6.156 7.0395 8 9.0405 10.164

vm =

8 m − 7.0395 m 0.9605 m = = 9.605 2 s − 1.9 s 0.1 s

m

s

Para tener una idea más precisa de cuál es el valor de la velocidad instantánea, se elabora la siguiente tabla en donde se calculan velocidades medias de diferentes incrementos de tiempo, a los incrementos o cambios se les denota con la letra griega ∆ (delta mayúscula).

94

ti

tf

xi

xf

∆t = t f - t i

∆x =xf - xi

vm

1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999

2 2 2 2 2

7.03950 7.90040 7.99000 7.99900 7.99990

8 8 8 8 8

0.10000 0.01000 0.00100 0.00010 0.00001

0.96050 0.09960 0.01000 0.00100 0.00010

9.60500 9.96005 9.99600 9.99960 9.99996

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

De la misma forma, se pueden calcular las velocidades medias con incrementos posteriores a t=2 s, y se obtendrá la siguiente tabla: ti

tf

xi

xf

∆t = t f - t i

∆x =xf - xi

vm

2 2 2 2 2

2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001

8 8 8 8 8

9.04050 8.10040 8.01000 8.00100 8.00010

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001

1.04050 0.10040 0.01000 0.00100 0.00010

10.40500 10.04005 10.00400 10.00040 10.00004

Observando las velocidades medias de las dos tablas anteriores, se puede concluir que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad promedio cuando el incremento de tiempo tiende a cero, es decir, se hace infinitamente pequeño. Con el procedimiento anterior se puede concluir que ambos límites, tanto el que se acerca a t=2 s por la izquierda, como por la derecha, se aproxima a 10 m/s. Realizar este proceso en cada uno de los problemas que se susciten posteriormente es muy tedioso, por lo tanto, se requiere encontrar un proceso general que agilice los cálculos, éste se analizará utilizando la gráfica del ejemplo anterior, así como las consideraciones que se hicieron para llegar a la velocidad instantánea deseada. Primero, se grafica la función con la ayuda de un programa graficador, en este caso, se utilizó el Geogebra. Como se observa en la gráfica, para incrementos iguales de tiempo, la posición aumenta más rápido cada vez, es por ello que se dice que tiene un comportamiento creciente. La gráfica corresponde a una función cúbica, debido a que proviene de una función polinomial de tercer grado, pero como se refiere a un problema aplicado donde no existen valores negativos del tiempo, es por ello que parte de t=0. Ahora se ubicarán en la gráfica los valores correspondientes a los intervalos de tiempos y posiciones que se utilizaron para formar las tablas anteriores.

BLOQUE 3

95

Cada una de las rectas secantes está uniendo la posición del automóvil en el intervalo descrito, y si se analiza con más detenimiento la fórmula para obtener la velocidad media, resulta ser la pendiente de la recta secante que une a dichos puntos. ¿Recuerdas la fórmula de pendiente?

m=

y 2 − y1 x 2 − x1

Ahora, si se grafican todas esas rectas en un solo plano cartesiano, se observa cómo la inclinación de la misma va cambiando, es decir, se va incrementando el valor de la pendiente de las rectas cuando el intervalo de tiempo es cada vez menor y cercano a t=2 s.

Con ello se puede decir que: cuando el incremento de tiempo es infinitamente pequeño, se obtendrá la velocidad instantánea, como ya se probó de manera tabular. Gráficamente hablando, La recta secante se convertirá en una recta que toca a la función en un solo punto, es decir, en una recta tangente muy parecida en comportamiento a la función. Una definición más formal de la recta tangente a una función en un punto es:

La recta tangente una función en un punto es aquella que en un intervalo de la misma, la toca sólo en dicho punto y tiene la misma pendiente que la curva.

96

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Por lo anterior, la velocidad que alcanza el nuevo automóvil en un instante preciso se puede escribir de la siguiente forma. v = lim v m ∆t → 0

Ahora hará un análisis de manera general, para la rapidez de cambio instantáneo de cualquier función en un punto dado. Sea la función f(x), tal que se desea obtener la rapidez de cambio instantáneo en el punto (xo, f(xo)). Para encontrarla se utilizará su grafica, la cual es la siguiente:

f(xo)

xo

Ahora, se tomará otro punto de referencia para observar la razón de cambio entre los dos puntos.

f(xo)

f(xo+∆x)

xo

xo+∆x

∆x

BLOQUE 3

97

La razón de cambio de la función entre estos dos puntos es la pendiente de la recta secante que pasa por ellos, como se muestra a continuación: f( x o + ∆x ) − f( x 0 ) m sec = (x o + ∆x ) − x o

=

f( x o + ∆x ) − f( x 0 ) ∆x

Cuando ∆x es infinitamente pequeño, (xo+ ∆x , f(xo+ ∆x )) se aproxima indefinidamente al punto (xo, f(xo)), y la recta secante se convierte en una recta tangente, por lo tanto, al obtener la pendiente de ésta última resulta ser la rapidez de cambio instantáneo, como se vio en el ejemplo 1 anterior.

m tan = lim msec ∆x → 0

m tan = lim

f( x o + ∆x ) − f( x 0 ) ∆x

∆x → 0

La expresión anterior se conoce como la derivada de la función f(x) evaluada en el punto xo. Ahora, volviendo a la función que se muestra en el ejemplo 1, se puede comprobar el resultado que se obtuvo utilizando las tablas.

1 3 t 2 La velocidad instantánea que se obtuvo fue para t=2, por lo tanto, al sustituir estas condiciones se logra: La función es: x ( t ) = t 2 +

v = m tan = lim msec ∆t →0

v = m tan = lim

∆t →0

Al evaluar x(2) y x(2+ ∆t ) se obtiene: 1 x (2) = (2)2 + (2)3 = 4 + 4 = 8 2

x( 2 + ∆t ) − x( 2) ∆t

1 (2 + ∆t )3 2 1 = 4 + 4∆t + (∆t )2 + 8 + 12∆t + 6(∆t )2 + (∆t )3 2 1 = 4 + 4∆t + (∆t )2 + 4 + 6∆t + 3(∆t )2 + (∆t )3 2 1 = 8 + 10∆t + 4(∆t )2 + (∆t )3 2

x (2 + ∆t ) = (2 + ∆t )2 +

(

v = mtan = lim

∆t → 0

)

x(2 + ∆t ) − x( 2) ∆t

 2 1 3  8 + 10∆t + 4(∆t ) + (∆t )  − (8 ) 2  = lim  ∆t → 0 ∆t 1 8 + 10∆t + 4(∆t )2 + (∆t )3 − 8 2 = lim ∆t → 0 ∆t 1 10∆t + 4(∆t )2 + (∆t )3 2 = lim ∆t → 0 ∆t

98

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

1   ∆t 10 + 4∆t + (∆t )2  2  = lim ∆  ∆t → 0 ∆t 1   = lim 10 + 4∆t + (∆t )2  ∆t → 0  2  = 10 Efectivamente, el resultado de la velocidad instantánea, es la misma que la que se obtuvo de las tablas, 10 m/s. Ejemplo 2. A Marco Antonio le dejaron de tarea obtener la velocidad de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba exactamente a los 4 segundos del lanzamiento; el maestro le dijo que la altura está dada por la función h( t ) = 96t − 16t 2 , donde la altura está medida en pies y el tiempo en segundos. ¿Cómo podrá resolver la tarea Marco? Idalia, amiga de Marco, le comentó que habían aprendido dos procedimientos para llegar a la velocidad instantánea o razón de cambio instantáneo, el primero fue utilizando límites con las tablas de incrementos, y el segundo es mediante la fórmula de la pendiente de la recta tangente, así es que él se decidió por el segundo, debido a que lo había entendido muy bien, el procedimiento algebraico no era problema para él y además, era más rápido de utilizar, así se hizo los siguientes cuestionamientos. −Si la rapidez de cambio instantáneo está dada por la siguiente fórmula:

m tan = lim

∆x → 0

f( x o + ∆x ) − f( x 0 ) ∆x

−¿Qué es f(xo+ ∆x ) y, f(xo)?, ¿cómo lo puedo obtener? −Bueno, aquí dice que tengo f(xo) esto debe ser la función evaluada en xo, pero ¿quién es xo?, a ver, a ver, despacio, de nuevo….xo no es cualquier valor, debe ser uno específico. Mmmhhh, pero no he visto primero qué me preguntan. −Bueno, me regreso un poco, me están pidiendo la velocidad instantánea en el tiempo t=4, y lo que sí conozco es la altura y aquí viene la función, h( t ) = 96t − 16t 2 , entonces, como la variable ya no es “x” sino “t”, la fórmula queda: m tan = lim

∆x → 0

m tan = lim

f( x o + ∆x ) − f( x 0 ) ∆x h( t o + ∆t ) − h( t 0 )

∆t → 0 ∆t En el proceso anterior, Marco hizo un cambio de función y de variable para poder resolver el problema. Él continúa su análisis con las siguientes reflexiones.

−Ahora tengo que comprender de qué partes está compuesta la fórmula y primero debo obtener h(to+ ∆t ). Sé que to+ ∆t es el valor a sustituir en la función, y además, to=4, porque en ese valor es donde me pide obtener la velocidad instantánea. −Mmmhh, bien, ya entendí… tomo la función h( t ) = 96t − 16t 2 y sustituyo 4+ ∆t .

h(4 + ∆t ) = 96(4 + ∆t ) − 16(4 + ∆t )2 −Ok, tengo que multiplicar 96(4 + ∆t ) y elevar el binomio (4 + ∆t )2 antes de multiplicarlo por −16. −Para elevar un binomio al cuadrado tengo que elevar el primer término al cuadrado, sumarle el doble del producto del primer término por el segundo y elevar el segundo término al cuadrado, ¿estará bien?, a ver, voy a multiplicarlo mejor por separado para ver si no me equivoqué.

(4 + ∆t ) 2 = (4 + ∆t )(4 + ∆t ) = 16 + 8∆t + (∆t )2 BLOQUE 3

99

(

)

16(4 + ∆t ) 2 = 16 16 + 8∆t + (∆t )2 = 256 + 128∆t + 16(∆t )2 −Muy bien, ahora ya puedo armar la fórmula y hacer el procedimiento.

[96(4 + ∆t) − 16(4 + ∆t) ] − [96(4) − 16(4) ] 2

m tan = lim

2

∆t

∆t → 0

[384 + 96∆t − 256 − 128∆t − 16(∆t ) ] − [384 − 256] = lim 2

∆t

∆t →0

= lim

∆t →0

− 32 ∆t − 16(∆t )

2

∆t

−Ya hice todas las operaciones, pero si sustituyo el límite me va a quedar un cero en el denominador y no puede ser… −Ahhh, pero como en el numerador tengo en cada término ∆t , lo puedo factorizar para poder eliminarlo con el ∆t que tengo en el denominador. Bueno a ver qué sale.

m tan = lim

− 32∆t − 16(∆t )2

∆t ∆t[− 32 − 16∆t] = lim ∆t →0 ∆t = lim [− 32 − 16∆t ] ∆t →0

∆t →0

−Ahora si puedo evaluar el límite y como ∆t tiende a cero me va a quedar nada más el −32. −¿Negativo?, ¿me habré equivocado en algo?.....ya verifiqué y nada, parece que todo está bien, pero ese negativo no me cuadra. −Si −32 es la velocidad que llevaba el objeto a los 4 segundos, ¿qué significa que sea negativo?....ya sé, voy a graficar la función a ver qué me dice la gráfica….jaja, como si la gráfica hablara…..bueno Marco no te distraigas y síguele… −Para graficarla utilizaré el programa Geogebra, al cabo que mi profesor ya me explicó cómo se hace.

− ¡Qué bien!, ahora sí sé por qué es negativa, resulta que el objeto va de bajada, por eso sale negativa.

100

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

−Si le dibujo la recta tangente, ¿de qué otra cosa me daré cuenta?, es mejor averiguarlo.

−¡Andaleee!, la pendiente es negativa porque me acuerdo que en Mate 3 aprendí sobre las rectas cuyo ángulo de inclinación se pasaba de los 90º, y son las que tienen pendientes negativas. −Bueno ya terminé el problema, pero…. y si le dibujo varias rectas tangentes ¿qué obtendré?, mejor lo checo.

−¡Cuantas cosas puedo hacer con este programita!…..bueno, a ver, ¿qué encontré? −Cuando el objeto va para arriba, todas las pendientes de las rectas tangentes son positivas, lo que significa que todas las velocidades son positivas y luego, cuando llega a su altura máxima, su velocidad debe ser cero, por lo que la pendiente de la recta tangente en ese punto debe ser cero también, y por lo tanto, una recta completamente horizontal….aunque la recta que puse cerquita del t=3 casi es horizontal, ¿será que en t=3 s, alcanzará su máxima altura?....bueno, eso después lo averiguo, ahorita estaba con las pendientes…y bueno, cuando el objeto va de bajada todas las pendientes de las rectas son negativas, y por lo visto, aumenta a gran velocidad, porque cada vez están más inclinadas.

BLOQUE 3

101

−Pero me quedé con la duda si será o no en t=3 s alcanzará su máxima altura, ¿cómo lo sabré?....ya sé, y si obtengo ahora la velocidad instantánea en t=3 y si resulta cero, significa que tengo razón, su altura es máxima, bueno, manos a la obra, haré los mismos pasos del problema que me dijo el profesor. No importa que me haya extendido un poquito más, pero no me puedo quedar con la duda.

[96(3 + ∆t ) − 16(3 + ∆t) ]− [96(3) − 16(3) ] ∆t [288 + 96∆t − 144 − 96∆t − 16(∆t) ]− [288 − 144] lim 2

2

mtan = lim

∆t → 0

2

=

∆t

∆t → 0

288 + 96 ∆t − 144 − 96∆t − 16(∆t )2 − 288 + 144 ∆t → 0 ∆t

= lim

− 16(∆t )2 ∆t → 0 ∆t = lim − 16∆t = 0

= lim

∆t → 0

−¡Excelente!, sí es el tiempo donde la altura es máxima, y ahora, ¿cuál será esa altura?, ésta la puedo obtener si sustituyo t=3 en la función de la altura.

h( t ) = 96t − 16 t 2 h( 3) = 96(3 ) − 16(3 )2 h( 3) = 288 − 144 h( 3) = 144 −O sea que su altura máxima es de 144 pies….¡guauu!, lo que acabo de encontrar es el vértice de la parábola, porque su exponente mayor es 2, ¡oraleee!, es otro método para encontrar el vértice….aunque está un poco largo, y si no hubiera sido t=3 el tiempo que da la altura máxima, ¿cómo le hubiera hecho?, ¿existirá una forma de obtener la pendiente de la recta tangente en cualquier punto? −Creo que lo comentaré mañana con mi profesor, aunque le voy a ir pensando a ver cómo sería.

Sitios Web recomendados:

Ingresa a los siguientes sitios para que visualices la derivada de una función. http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo1/Descartes/deri1/f uncionderivada2.htm http://www.analyzemath.com/spanish/calculus.html http://www.jpimentel.com/departamentos/matematicas/nan agonza/Deriv2.htm

102

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Cierre Actividad: 4 En equipo, desarrollen lo que se les solicita. I.

Utilicen materiales, dibujos, tablas, gráficas, gráficas, fórmulas, o lo que consideren necesario, para que resuelvan cada cada uno uno de los problemas que se les presentan a continuación:

1.

Valeria es una estudiante del COBACH plantel Prof. Ernesto López Riesgo, ella y su equipo deben elaborar un producto para la muestra de la Microempresa. Se les ocurrió elaborar joyeros de forma rectangular sin tapa, para hacerlo utilizarán hojas de cartón fotográfico doble carta (17 x 22 plg.), y recortarán cuadros del mismo tamaño en las esquinas para hacer los dobleces y formar el Joyero. Valeria pensó hacer joyeros de diferentes tamaños y una duda que les surgió es a qué precio deben de venderlos, si el material que utilizarán para todas es la misma cantidad. A Fátima, compañera de equipo, se le ocurrió obtener la capacidad de diferentes cajas y al encontrar aquella de máxima capacidad para asignarle el precio más alto y de ahí variar los precios. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de máxima capacidad?

BLOQUE 3

103

Actividad: 4 (continuación) 2. Don Juan desea comprar un lote rectangular dentro de un terreno baldío de 100 metros de ancho por 50 de largo, en él construirá una llantera que debe tener 800 m2; para decidir las dimensiones del lote, debe bardearlo por tres de sus lados, dejando libre el lado que utilizará como entrada. ¿qué dimensiones debe tener el lote para que la suma de las longitudes bardeadas sea mínima?

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ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Actividad: 4 (continuación) 3.

Karla es alumna del COBACH plantel Obregón 2, y desea realizar un viaje de estudio a Puerto Vallarta por cinco días, para hacerlo, acudió a una agencia de viajes que ofrece un paquete para excursionistas con las siguientes condiciones: • • •

El grupo no será menor de 30 personas. La tarifa es de $10,000 pesos por persona si asisten 30. La tarifa se reduce en 150.00 por persona si el número de excursionistas excede 30.

¿Qué número de alumnos tendrán que ir para que el pago sea mínimo y cuánto tendría que pagar cada uno?

BLOQUE 3

105

Actividad: 4 (continuación) II. Analicen el procedimiento que utilizaron para resolver llos os problemas anteriores, en base a las siguientes preguntas. 1. ¿Cuáles fueron las estrategias que utilizaron para resolver los problemas anteriores?

2.

¿Los resultados que obtuvieron son los óptimos?

a) Si es afirmativa la respuesta anterior, describan el procedimiento que seguieron.

b) Si es negativa la respuesta anterior, ¿qué requieren para lograr obtener el resultado exacto?

III. Conclusión grupal.

Actividad: 4 Conceptual Identifica la razón de cambio instantáneo en un problema cotidiano. Coevaluación

106

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la razón de cambio instantáneo para resolver problemas cotidianos. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Es participativo, respetuoso y tiene apertura con las aportaciones de sus compañeros.

Calificación otorgada por el docente

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Secuencia didáctica 2. Reglas de derivación. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se te solicita. I. Encuentra el límite de la función y grafícala: 2 si x < 0 − x + 1 f( x ) =  . 2 x + 1 si x ≥ 0

Lim f( x ) =

x→ 0

f(x)

x

II.

Encuentra el valor de los siguientes límites. 1.

Lím 3 x 2 − 2 x − 1

x→ 2

2.

Lím 2 x + 8

3.

Lím

BLOQUE 3

x →4

x→ 5

4 3

107

Actividad: 1 (continuación) 4. Lím

x→ 2

5.

6.

Lím

x → −5

Lím

x→ 2

3x − 6 x−2

2 x 2 + 8x − 10 x+5

x− 2 x2 − 4

Actividad:1 Conceptual Identifica el límite de una función.

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

108

Actitudinal

Calcula el límite de una función. C

Autoevaluación

Puntaje:

MC

NC

Expresa sus dudas y corrige sus errores.

Calificación otorgada por el docente

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Desarrollo Derivada de una función. En la secuencia anterior analizaste la necesidad de conocer de manera general la razón de cambio instantáneo para poder resolver problemas prácticos, dicha razón se puede obtener mediante la pendiente de la recta tangente a la curva, dicho en otras palabras, mediante la “inclinación” de la curva, a partir de la pendiente de la recta tangente. A continuación se realizará el proceso mediante un ejemplo, para obtener dicha razón de cambio. Ejemplo 1. A Martín le recetaron un medicamento que requiere administrarse de forma intramuscular, debido a que tiene una infección muy fuerte; al investigar dicho medicamento en internet, se asombró porque encontró que la concentración (mililitros) está en función del tiempo transcurrido (horas) después de ser aplicado y se describe mediante la función: 3t C( t ) = 27 + t 3 Martín se pregunta, ¿con qué rapidez se diluye el medicamento en la sangre? Para resolver el problema se retomará la fórmula de razón de cambio instantáneo, es decir, la velocidad instantánea. m tan = lim

f( x o + ∆x ) − f( x 0 ) ∆x

∆x → 0

Esta fórmula proporciona la razón de cambio instantáneo en el valor xo y para obtenerla en un valor cualquiera de “x”, se estaría considerando una nueva función, a la cual se le conoce como Derivada y se expresa de la siguiente forma: f( x + ∆x ) − f( x ) ∆x → 0 ∆x

mtan ( x ) = lim

Por practicidad, se ha acordado expresar la función de la siguiente forma: f( x + h) − f( x ) h→ 0 h

f ′( x ) = lim

df( x ) f( x + h) − f( x ) , con la condición de que el límite exista. = lim h→ 0 dx h

ó

Así que se tomará la primera forma de la derivada para conocer la velocidad con que se diluye el medicamento y la expresión, ajustada a las variables que proporciona el problema queda: C( t + h) − C( t ) h→ 0 h

C′( t ) = lim Primero, se requiere conocer C(t + h) . C( t ) =

3t

27 + t 3 3 (t + h) C( t + h) = 27 + (t + h)3 3t + 3h = 3 27 + t + 3 t 2h + 3th 2 + h 3

Ahora se sustituye en la derivada de la función.

3t + 3h 3

2

2

C′( t ) = lim 27 + t + 3t h + 3th + h h→ 0 h

3

3t 27 + t 3

Si se aplicara el límite en este momento, el cociente que se tiene en la función se indefiniría, debido a que la “h” se convertiría en cero. Así que se empezarán a realizar las operaciones correspondientes, para buscar la forma de eliminar la “h” del denominador, la cual es la que impide realizar el límite directo. BLOQUE 3

109

En el numerador de la derivada se tiene una diferencia de fracciones, por lo que para realizar la operación se requiere obtener el mínimo común múltiplo, como se observa a continuación:

(3t + 3h)(27 + t 3 ) − (3t )(27 + t 3 + 3t 2h + 3th2 + h3 )

(27 + t

C′( t ) = lim

)(

3

)

+ 3t 2h + 3th2 + h3 27 + t 3 h

h→ 0

Se realiza la división mediante la conocida “ley de la tortilla”, la cual multiplica extremos por extremos y medios por medios.

(3t + 3h)(27 + t 3 ) − (3t )(27 + t 3 + 3t 2h + 3th2 + h3 )

(27 + t

C′ ( t ) = lim

3

h→ 0

C′ ( t ) = lim

)(

+ 3t 2h + 3th2 + h3 27 + t 3 h 1

)

81t + 3t 4 + 81h + 3t 3h − 81t − 3t 4 − 9t 3h − 9t 2h2 − 3th3

(

)(

h 27 + t 3 + 3t 2h + 3th2 + h3 27 + t 3

h→0

)

Por conveniencia el denominador no se multiplica, ya lo observarás más adelante, por lo pronto, se reducirán términos semejantes en el numerador.

81h − 6t 3h − 9t 2h2 − 3th3

C′( t ) = lim

h→ 0 h

(27 + t

3

)(

+ 3t 2h + 3th2 + h3 27 + t 3

)

Como en el numerador todos los términos contienen a “h”, se puede factorizar por factor común y poder eliminar la “h” que está en el denominador.

C′ ( t ) = lim

(

h 81− 6 t 3 − 9t 2h − 3 th2

h→ 0 h

(27 + t

3

2

2

+ 3t h + 3th + h

3

)

)(27 + t ) 3

Ahora ya se puede aplicar el límite y debido a ello, todos los términos que contengan a “h” se convertirán en cero. 0

C′ ( t ) = lim

h→ 0

(27 + t

0

81− 6 t 3 − 9 t 2h − 3 th2 3

)(

+ 3t 2h + 3 th2 + h3 27 + t 3 0

C′ (t ) = C′ (t ) =

0

0

)

0

81− 6 t 3

(27 + t )(27 + t ) 3

3

81− 6 t 3

(27 + t )

3 2

La función que se acaba de encontrar es la derivada de la concentración del medicamento, es decir, es la rapidez con que se diluye en la sangre. Visualizando la gráfica de la función, se puede encausar la derivada para resolver otros aspectos interesantes de los problemas, como por ejemplo, el tiempo en el que la concentración en la sangre es máxima. En el próximo bloque se resolverán este tipo de cuestionamientos.

110

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

A continuación se mostrarán algunos ejemplos de cómo obtener la derivada de una función, dichos ejemplos están sin contexto, es decir, sólo se te proporciona la función sin provenir de algún problema aplicado, esto con el propósito de que se visualice el manejo algebraico que debe darse para su obtención. Ejemplo 1. Obtener la derivada de la función f( x ) = 3 x 2 − 5x + 1. Primero se sustituye la función en la definición de la derivada.

[3(x + h)

2

f′( x ) = lim

h→ 0

][

]

− 5( x + h) + 1 − 3 x 2 − 5 x + 1 h

Se desarrolla el binomio al cuadrado y después la multiplicación para eliminar paréntesis y corchetes.

[3(x

f′( x ) = lim

2

h→ 0

f ′( x ) = lim

[3x

2

][

]

][

]

+ 2 xh + h2 ) − 5x − 5h + 1 − 3 x 2 − 5 x + 1 h

+ 6 xh + 3h2 − 5 x − 5h + 1 − 3 x 2 − 5 x + 1 h

h→0

3x 2 + 6 xh + 3h2 − 5x − 5h + 1 − 3x 2 + 5 x − 1 h→ 0 h

f ′( x ) = lim

Se reducen términos semejantes, obteniéndose: 6 xh + 3h2 − 5h h→0 h

f ′( x ) = lim

Al tener el numerador sólo términos que poseen la variable “h”, se puede factorizar por el método de factor común. f ′( x ) = lím

h→0

h(6 x + 3h − 5) h

f ′( x ) = lim (6 x + 3h − 5) h→ 0

Por último se resuelve el límite, sustituyendo 0 en h, quedando la derivada de la siguiente forma.

f ′( x ) = 6 x − 5 Ejemplo 2. Obtener la pendiente de la recta tangente en x o = 2 a la función f( x ) =

2x − 3 . x +1

Sustituyendo en la fórmula se obtiene: f( x o + h) − f( x o ) h→ 0 h 2( x o + h) − 3 2 x o − 3 − (x o + h) + 1 x o + 1 mtan (x o ) = lim h→ 0 h

mtan (x o ) = f ′( x o ) = lim

BLOQUE 3

111

2( 2 + h) − 3 2(2 ) − 3 − (2) + 1 ( 2 + h) + 1 mtan (2) = lím h→ 0 h Se realizan las multiplicaciones correspondientes, para eliminar los paréntesis, quedando: 4 + 2h − 3 4 − 3 − mtan (2 ) = lim 2 + h + 1 2 + 1 h→ 0 h 1 + 2h 1 − = lim 3 + h 3 h→ 0 h Se efectúa la resta de fracciones, como se muestra a continuación:

mtan (2) = lim

(3)(1 + 2h) − (3 + h)(1) (3 + h)(3) h

h→ 0

Se realizan las multiplicaciones correspondientes, se reducen términos semejantes y se aplica la “ley de la tortilla”.

3 + 6h − 3 − h (3 + h)(3) mtan (2 ) = lim h→ 0 h 5h (3 + h)(3) = lim h→ 0 h 5h = lim h → 0 h (3 + h)(3) En este caso se puede eliminar la “h” directamente, ya que en el numerador hay un solo término, por lo tanto, queda de la siguiente forma: 5 mtan (2 ) = lim h → 0 (3 + h)(3 ) Resolviendo el límite se obtiene:

mtan (2 ) =

5 5 = (3)(3) 9

5 , 9 quiere decir que la curva, alrededor del punto que corresponde a x = 2 , tiene poca inclinación, esto se puede verificar en con su gráfica.

Gráficamente, el hecho de que la pendiente de la recta tangente sea igual a

La bondad de conocer este proceso es que se puede conocer el ángulo de inclinación de la recta tangente, aplicando una fórmula que conociste en Matemáticas 3. 5 θ = tan−1 m = tan−1   = 29.05 o 9 Con ello se pueden resolver otros tantos problemas aplicados que se te presentarán posteriormente.

112

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Ejemplo 3. Para la función M( x ) = x − 5 , obtener: a) La derivada de M(x). b) La pendiente de la recta tangente a M(x) en el valor x=9. Se toma la fórmula y se sustituye la función, como se muestra a continuación: f( x + h) − f( x ) h→ 0 h

f ′( x ) = lim

M(x + h) − M(x ) h→ 0 h

M′( x ) = lim

x +h−5 − x−5 h

M′( x ) = lim

h→ 0

El problema para resolver el límite, sigue siendo la “h” en el denominador, para solventarlo, se “saca” la “h” del radical, eso se puede hacer, multiplicando la función por el conjugado del binomio del numerador; para no alterar la fracción se debe multiplicar tanto en el numerador como en el denominador, como sigue:

M′( x ) = lim

h→ 0

x +h−5 − x −5 x +h−5 + x −5 ⋅ h x +h−5 + x −5

Aplicando el producto de binomios conjugados, queda:

( x + h − 5) − ( x − 5) h ( x + h − 5 + x − 5) 2

M′( x ) = lim

h→0

(x + h − 5) − (x − 5)

= lim

h→ 0

( x +h−5 +

h

x−5

x +h−5−x +5

= lim

h→ 0

2

( x +h−5 +

h

x−5

) )

Reduciendo términos semejantes se tiene:

h

M′( x ) = lim

h→ 0

h

( x +h−5 +

x−5

)

Se puede eliminar directamente “h”, como se muestra a continuación: M′( x ) = lim

h→0

1

( x+h−5 +

x−5

)

Una vez eliminada la “h” del denominador se puede resolver el límite sustituyendo 0 en “h”, de tal manera que la derivada de la función queda: 1 M′( x ) = 2 x−5

BLOQUE 3

113

Para encontrar la pendiente de la recta tangente en x = 9 , sólo se sustituye éste en la derivada que se obtuvo en la expresión anterior. 1 1 1 mtan ( 9) = M′(9 ) = = = ( 2 )( 2) 2 9−5 2 4 M′(9) =

1 4

Los ejercicios anteriores te sirvieron para que comprendieras de fondo el álgebra que está implícita en los siguientes teoremas, los cuales proporcionan una ayuda para agilizar el proceso para obtener la derivada de una función. Después de que revises y practiques cada uno de los teoremas, retomarás los ejemplos anteriores y verificarás con los teoremas su resultado, con ello te darás cuenta que los procesos se pueden generalizar para facilitar los cálculos algebraicos y así poder solucionar problemas con mayor rapidez, y al tener menos procedimiento, menor será la probabilidad de cometer errores en el camino. Ahora, te preguntarás por qué no se te proporciona esta información desde un inicio, y la respuesta a este cuestionamiento, es precisamente porque si comprendes la base de cualquier fórmula o estructura, o bien, si comprendes cómo se construyó, podrás aplicar estos procedimientos con mayor facilidad, porque se registra en la memoria de largo plazo.

Teorema sobre derivadas. Para obtener la derivada de una función, existen algunos teoremas que agilizan el proceso sin utilizar la derivar en su definición de límite, como te habrás dado cuenta, es bastante laborioso hacerlo de esa manera. A continuación se enumerarán los siguientes teoremas, de los cuales se omitirá su demostración; aclarando que ésta se puede realizar mediante la definición de derivada antes vista.

1.

Derivada de una función constante. Si f( x ) = c , entonces f ′( x ) = 0

Ejemplos:



f( x ) = −3



g( x ) =



h( x ) = 0.23

−3 π

f ′( x ) = 0 ⇒

g′( x ) = 0

h′( x ) = 0

5

2. Derivada de la función identidad. Si f( x ) = x , entonces f ′( x ) = 1

114

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

3. Derivada de una función potencia. Si f( x ) = x n , entonces f ′( x ) = nx n−1

Ejemplos:



f( x ) = x 5 f ′( x ) = 5x 4



g( x ) = x − 4 g′( x ) = −4x − 5 =



h( x ) =

−4 x5

2 x5 3

− 2 2 h′( x ) = 2 x 5 = = 3 5 5 5 x3 5x 5



r( x ) =

3 x

5

− 2x 4 + 7 x 5 −

2 5 6

+

3 2π

3 x Primero se escriben los términos en forma de potencias: 5

6 5

3 2π Ahora se derivan y se reacomodan los términos sin exponentes negativos ni exponentes cero: r( x ) = 3x −5 − 2x 4 + 7 x 2 − 23 x 3

+

11

− r ′( x ) = −15 x −6 − 8 x 3 + 35 x 2 + 12 x 5 2 15 −15 12 r′( x ) = − 8x 3 + 35 x 3 + 6 2 5 x 15 x11

4.

Derivada de una constante por una función. Si f( x ) = cg( x ) , entonces f ′( x ) = cg′( x )

BLOQUE 3

115

Ejemplos:



f( x ) = 3 x f ′( x ) = ( 3)(1) = 3



g( x ) = 4x 5 g′( x ) = (4)(5x 4 ) = 20x 4



2 −6 x 3 4  2 h′( x ) =  −  − 6 x −7 = 4 x −7 = 7 x  3

h( x ) = −

(

)

5. Derivada de una suma de funciones. Si f( x ) = g( x ) + h( x ) , entonces f ′( x ) = g′( x ) + h′( x )

Ejemplos:



f( x ) = 3 x − 1 f ′( x ) = 3 + 0 = 3



g( x ) = x 3 − 3x 2 + 5x − 2 g′( x ) = 3x 2 − (3)(2x ) + 5 + 0 = 3x 2 − 6 x + 5



1 x + x −4 5 1 1 4 h′( x ) = − 4x −5 = − 5 5 5 x h( x ) =

6. Derivada de un producto de funciones. Si f( x ) = g( x )h( x ) , entonces f ′( x ) = g′( x )h( x ) + g( x )h′( x )

116

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Ejemplos:



f( x ) = (2 x − 1)(3 x + 5) f ′( x ) = (2 x − 1)′ (3 x + 5) + ( 2 x − 1)(3 x + 5)′ = (2)(3 x + 5) + ( 2 x − 1)(3) = 6 x + 10 + 6 x − 3 = 12x + 7



g( x ) = (2x 3 − x 2 )( x 3 + x 2 ) g′( x ) = (2 x 3 − x 2 )′ ( x 3 + x 2 ) + ( 2 x 3 − x 2 )( x 3 + x 2 )′ g′( x ) = (6 x 2 − 2 x )( x 3 + x 2 ) + ( 2 x 3 − x 2 )(3 x 2 + 2 x ) = 6 x 5 + 6 x 4 − 2 x 4 − 2 x 3 + 6 x 5 + 4x 4 − 3 x 4 − 2 x 3 = 12x 5 + 5 x 4 − 4 x 3

7. Si f( x ) =

Derivada de un cociente de funciones.

g( x ) g′( x )h( x ) − g( x )h′( x ) , entonces f ′( x ) = h( x ) [h( x )]2

Ejemplos:



f( x ) =

5x − 1 x+3

f ′( x ) =

(5x − 1)′ (x + 3) − (5x − 1)(x + 3)′ (x + 3)2

f ′( x ) =



g( x ) =

(5)( x + 3) − (5 x − 1)(1) ( x + 3)

g′( x ) =

BLOQUE 3

=

5 x + 15 − 5 x + 1 ( x + 3)

2

=

16 ( x + 3 )2

x2 x3 − 7

(x )′ (x 2

g′( x ) =

2

3

) ( )( (x − 7)

− 7 − x2 x3 − 7 3

2

(2 x )( x 3 − 7) − ( x 2 )(3 x 2 )

(x

3

−7

)′

)

2

=

2 x 4 − 14x − 3 x 4

(x

3

−7

)

2

=

− x 4 − 14x

(x

3

−7

)

2

117

Actividad: 2 En equipo, deriven las siguientes funciones mediante el uso de teoremas: 1. f( x ) = 5

2. M( x ) = 6 x

3. h( x ) = π

4. T( x ) = x 3

5. R( x ) = − 21

6. L( x ) = x 5

7. g( x ) = x

8. M( x ) = 4 x 2

9. M( x ) = x 8

10. g( x ) =

1 x2

1

11. f( x ) = 6 x + 5

12. L( x ) =

13. F( x ) = 4x 2 + x + 21

14. g( x ) =

15. P( x ) = x 5 − x 3 − 4 x 2 + 6 x − π

16. f( x ) = 3 x 2 + 5 x 4 + 1

(

)(

17. L( x ) = x 2 + x + 1 x 3 − 2

118

1 x

)

+5

x5

4

− x5 + x3 −

8

(

)(

(

)(

2 x3

+ 1 .5

)

18. h( x ) = 5 x 7 − 1 4 x 5 − 6

)

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Actividad: 2 (continuación) 19. g( x ) =

20. r( x ) =

21. T( x ) =

x3 + 2 x2 + 1

x5 + x2 + 5 x3 + 1

2x 2 + 5x + 1 x3

22. g( x ) =

x2 − 4 x+2

23. f( x ) =

x 2 + 2 x − 15 x+5

Actividad: 2 Conceptual Identifica la derivada de una función.

Evaluación Producto: Ejercicios Saberes Procedimental

BLOQUE 3

Actitudinal

Calcula la derivada de una función. C

Coevaluación

Puntaje:

MC

NC

Es respetuoso con sus compañeros.

Calificación otorgada por el docente

119

Regla de la cadena. Es sencillo derivar una función como f( x ) = x 3 , ésta es f ′( x ) = 3x 2 , pero, en el caso de tener una función como

(

)

(

3

)

2

ejemplo Q( x ) = 3x 2 − 1 , ¿su derivada será Q′( x ) = 3 3x 2 − 1 ? Con el siguiente cuadro se comprobará que esta forma de hacerlo es un error.

Procedimiento incorrecto Función

(

)

2

Q( x ) = 3x − 1

Procedimiento correcto

( ) = (3 x ) + 3(3 x ) (− 1) + 3(3 x )(− 1)

3

2

Q( x ) = 3x − 1 2 3

3

2 2

2

2

+ (− 1)3

= 27 x 6 − 27 x 4 + 9 x 2 − 1 Derivada

( = 3(9 x

)

Q ′( x ) = 3 3 x 2 − 1 4

Q′( x ) = 162x 5 − 108x 3 + 18x

2

)

− 6x 2 + 1

4

2

= 27 x − 18x + 3

Al comparar los resultados se confirma que es un error derivar una función polinomial elevada a una potencia de esa forma. Observa que para derivarla de forma correcta, primero se desarrollo el binomio al cubo y posteriormente, se derivó; el problema surge cuando se tenga un polinomio de grado mayor elevado a un exponente más grande, como:

(

)

6

f( x ) = 4x 3 − 8x 3 + 5x 2 + 7 x − 3 . Desarrollar esta función requiere un proceso largo, el cual no es necesario. A continuación se muestra el método de la Regla de la Cadena, para derivar funciones compuestas como las anteriores. Para derivar una función compuesta es necesario conocer las funciones que las componen, se utilizarán algunos ejemplos para describirla.

Función compuesta f( x ) = [h o u](x ) = h [u(x )]

(

)

h( x ) = x 3

u( x ) = 3x 2 − 1

f (x ) = 5(x + 7 )−2

h(x ) = 5x −2

u(x ) = x + 7

f (x ) = 4x 3 + 5x

h(x ) = x

u(x ) = 4x 3 + 5x

h( x ) = sen(x )

u( x ) = x 3 − 6 x + 2

h( x ) = e x

u( x ) = 5 x + 2

f (x ) = 3x 2 − 1

3

(

f (x ) = sen x 3 − 6 x + 2 f (x ) = e 5 x +2 f (x ) = Ln

5x + 1 2

x +4

)

h(x ) = Ln x

u(x ) =

5x + 1 x2 + 4

A continuación se mostrarán las fórmulas que se utilizan para derivar funciones compuestas, para ello se nombrará a a u = u( x ) y g=g(x), pero antes que nada, habrá que enunciar la regla de la cadena.

120

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Regla de la cadena. Si “u” es derivable y “g” es derivable en “u”, entonces la función compuesta f( x ) = g o u , definida por f( x ) = g[u(x )] es derivable en “x” y su derivada está dada por:

f′( x ) = {g[u(x )]}′ f′( x ) = g′[u(x )]u′(x ) o bien de forma reducida:

f′( x ) = [g(u)] ′ f′( x ) = g′(u)u′

A continuación se proporcionarán otros teoremas sobre derivadas, que requieren la aplicación de la regla de la cadena.

8.

Derivada de la función potencia con la regla de la cadena. Si f( x ) = un , entonces f ′( x ) = n un−1 u'

Ejemplos:



(

)

m( x ) = 3x 2 − 5x + 1

7

Si u = 3 x 2 − 5x + 1, entonces : m( x ) = u7 m′( x ) = 7u7 −1 u′ Pero, la derivada de u = 3 x 2 − 5x + 1 es u′ = 6 x − 5 , sustituyendo se tiene:

(

)

(

6

)

m′( x ) = 7 3 x 2 − 5 x + 1 (6 x − 5 ) = (42x − 35) 3 x 2 − 5 x + 1



(

t( x ) = 5 7 x 3 − 5 x + 3

6

)

7

Primero se requiere expresar la función irracional, como una función elevada a una potencia, como se muestra a continuación. t( x ) =

5

(7x

3

− 5x + 3

) = (7x 7

3

− 5x + 3

7 5

)

Si u = 7 x 3 − 5 x + 3, entonces : t (x )

BLOQUE 3

7 = u5

121

7

7 −1 t′( x ) = u 5 u′ 5 t′( x ) = =



(

7 3 7 x − 5x + 3 5

(

7 21x 2 − 5 5

2 5

) (21x

) (7x 5

3

2

−5

− 5x + 3

)

)

2

−3

r( x ) =

(

2 5x 4 − 2x 3 + x

)

6

Para este caso se sube al numerador el polinomio elevado a la sexta potencia, cambiando de signo debido a las leyes de los exponentes, como se muestra a continuación: r( x ) =

−3

(

4

3

2 5x − 2x + x

)

6

=−

3 5x 4 − 2x 3 + x 2

(

)

−6

Si u = 5 x 4 − 2 x 3 + x, entonces : 3 r (x ) = − u −6 2 18 −7 u u′ 2 18 = 5x 4 − 2x 3 + x 2

r ′( x ) =

(



(

) (20x −7

)(

) 9(20x − 6x + 1) = 180x − 54x + 9 (5x − 2x + x ) (5x − 2x + x )

3

3

− 6x 2 + 1 =

2

4

3

7

3

4

2

3

7

)

P( x ) = x 4 + x − 2 − 8x 2 + 1

6

Aplicando la regla de la multiplicación y la regla de la cadena para potencias de polinomios, se obtiene: ′ ′ 6 6 P ′( x ) = x 4 + x − 2 − 8x 2 + 1 + x 4 + x − 2  − 8 x 2 + 1   

( P ′( x ) = (4 x

)(

3

)(

+ 1 − 8x 2

) ( )( + 1) + (x + x − 2 ) (6 )(− 8 x  6

4

)

2

)

5 + 1 (− 16 x ) 

Multiplicando y reacomodando términos tenemos:

(

)(

) (

)

6

(

)

P′( x ) = 4x 3 + 1 − 8x 2 + 1 + x 4 + x − 2 (− 96 x ) − 8x 2 + 1

5

Este resultado se puede escribir de una forma más reducida, factorizando por factor común, como sigue:

( = (− 8 x = (− 8 x

) [(4x + 1)(− 8x + 1) + (x + x − 2)(− 96x )] + 1) [− 32x + 4 x − 8x + 1 − 96 x − 96 x + 192x ] + 1) [− 128x + 4 x − 104 x + 192x + 1]

P ′( x ) = − 8 x 2 + 1

122

2 2

5

5

5

3

2

5

3

5

4

2

3

5

2

2

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Actividad: 3 En equipo, deriven las siguientes funciones: 1.

f( x ) = ( x + 2)2

2.

M( x ) = 2( x 5 − 2x + 3)6

3.

H( x ) = −2( x + 5)3 − 9

4.

K( x ) =

5.

1 3

2x − 1

M( x ) = x 2 −

BLOQUE 3

1 −1 x+2

123

Actividad: 3 (continuación) 6. M( x ) = ( x + 1)3 ( x + 5)2

7.

h( x ) = ( 3 x 2 + 1)5

8.

g( x ) =

9.

T( x ) = x + 9

10.

g( x ) =

1 x+3

2 ( 3 x − 7 )6

+2

Actividad: 3 Conceptual Distingue las funciones compuestas, para su derivación. Coevaluación

124

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Aplica la regla de la cadena para funciones compuestas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aporta ideas al equipo y es respetuoso con sus compañeros.

Calificación otorgada por el docente

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Funciones trigonométricas.

9.

Derivada de la función seno.

Si f( x ) = sen u , entonces f ′( x ) = u′ cos u

Ejemplos:



(

h( x ) = sen 3x 2 − 7 x + 2

)

Si u = 3 x 2 − 7 x + 2, entonces : h′( x ) = u′ cos u

(

h′( x ) = (6 x − 7 ) cos 3 x 2 − 7 x + 2



(

N( x ) = sen x 3 − 5x 2 + 3x

(

)

)

5

)

5

Si u = x 3 − 5x 2 + 3x , entonces : N′( x ) = u′cos u

(

N′( x ) = 5 x 3 − 5 x 2 + 3x 

) (3x 4

2

)

(

− 10x + 3  cos x 3 − 5 x 2 + 3 x 

)

5

Se multiplican los términos que no tienen potencia, con ello se obtiene:

(

)(

)

4

(

N′( x ) = 15x 2 − 50x + 15 x 3 − 5x 2 + 3x cos x 3 − 5x 2 + 3x

)

5

10. Derivada de la función coseno. Si f( x ) = cos u , entonces f ′( x ) = −u′sen u

Ejemplos:



T( x ) = cos (3 x − 2 ) Si u = 3x − 2 , entonces:

T ′(x ) = −u′sen u T ′( x ) = −3 sen(3x − 2)



(

)

L( x ) = cos 4 2x 5 + 1

Esta función también se puede expresar de la siguiente forma, con ello se podrá visualizar mejor la potencia.

[ (

)]

L( x ) = cos 2x 5 + 1

BLOQUE 3

4

125

Aun cuando se trata de una función trigonométrica, ésta se encuentra dentro de una potencia, esto lo hace una función compuesta, por lo que primero se debe aplicar la regla de la potencia y posteriormente la de la función coseno, es decir, se aplica la regla de la cadena.

(

)

Si u = cos 2x 5 + 1 , entonces:

L( x ) = u 4 L ' ( x ) = 4u 3 u′

[ ( )] [cos (2x + 1)]′ L ' ( x ) = ( 4) [co s (2x + 1)] [(− 10 x )sen (2 x L' ( x ) = (− 40x )cos (2x + 1)sen (2x + 1) L ' ( x ) = ( 4) co s 2x 5 + 1

5

3

5

4

3

3

4

5

5

)]

+1

5

11. Derivada de la función tangente. Si f( x ) = tan u , entonces f ′( x ) = u′sec2 u

Ejemplos:



(

)

N( x ) = −3tan 3x 2 − 1

Si u = 3x 2 − 1 , entonces:

N′( x ) = −3u′ sec 2 u ′ N′( x ) = −3 3x 2 − 1 sec 2 3 x 2 − 1

(

)

(

(

2

)

)

2

N′( x ) = −3(6 x ) sec 3 x − 1 2

(

2

)

N′( x ) = −18 x sec 3 x − 1



 2x − 1  P( x ) = tan    5x + 3 

2x − 1 , entonces: 5x + 3 P ′( x ) = u′ sec 2 u ′  2x − 1   2x − 1  P ′( x ) =   sec 2   5 x + 3    5x + 3  (2)(5 x + 3) − ( 2 x − 1)(5)  2x − 1  P ′( x ) = sec 2   2 ( 5 x + 3)  5x + 3 

Si u =

P′( x ) =

P′( x ) =

126

10x + 6 − 10x + 5 (5 x + 3)

2

 2x − 1  sec 2    5x + 3 

 2x − 1  sec 2   ( 5 x + 3)  5x + 3 

11

2

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

12. Derivada de la función cotangente. Si f( x ) = co t u , entonces f ′( x ) = −u′csc u

Ejemplos:



(

g( x ) = co t 5x 3 − 7 x + 2

)

Si u = 5x 3 − 7 x + 2 , entonces:

g′( x ) = − u′ csc 2 u

(

)

(

g′( x ) = − 15 x 2 − 7 csc 2 5 x 3 − 7 x + 2



)

 1 H( x ) = co t   x

Si u =

1 = x −1 , entonces: x

H′( x ) = − u′ csc 2 u

(

)

( )

H′( x ) = − − x −2 csc 2 x −1 H′( x ) =

 1 csc 2   x x

1

2

13. Derivada de la función secante. Si f( x ) = sec u , entonces f ′( x ) = u′sec u tan u

Ejemplos:



(

h( x ) = sec x 3 − 5x + 3

)

Si u = x 3 − 5x + 3 , entonces: h' ( x ) = u′ sec u tan u

(

)

(

) (

h' ( x ) = 3 x 2 − 5 sec x 3 − 5 x + 3 tan x 3 − 5 x + 3



)

T( x ) = sec 4 (2x − 3) = [sec (2x − 3)] 4 Si u = sec(2 x − 3 ) , entonces:

BLOQUE 3

127

T ′( x ) = 4u 3 u′ T ′( x ) = ( 4) [sec (2 x − 3 )] 3 [( 2) sec (2x − 3 )tan ( 2 x − 3)]

T ′( x ) = 8 sec 4 (2x − 3)tan (2x − 3)

14. Derivada de la función cosecante. Si f( x ) = csc u , entonces f ′( x ) = −u′csc u cot u

Ejemplos:



(

)

B( x ) = −7csc x 2 − 1

Si u = x 2 − 1 , entonces: B ′( x ) = −7[− u′ csc u cot u]

[

) ( )] B ′( x ) = 14 x csc (x − 1)cot (x − 1) (

B ′( x ) = −7 − 2 x csc x 2 − 1 cot x 2 − 1 = 2



2

(

R( x ) = csc 3 2 x 3 − 7 x

(

Si u = 2 x 3 − 7 x

)

4 3

)

4

(

= csc 2 x 3 − 7 x

4 3

)

, entonces:

R ′( x ) = u′ csc u cot u ′ 4 4 4  3 3 ′ R ( x ) =  2 x − 7 x  csc 2x 3 − 7 x 3 cot 2 x 3 − 7 x 3   1 4 4  R ′( x ) =  2 x 3 − 7 x 3 6 x 2 − 7  csc 2 x 3 − 7 x 3 cot 2 x 3 − 7 x  3  4 4 4 3 3 3 R′( x ) = 6 x 2 − 7 2x 3 − 7 x csc 2x 3 − 7 x cot 2x 3 − 7 x 3

(

)

(

(

(

)(

)

)

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

4 3

)

Funciones exponenciales y logarítmicas

15. Derivada de la función exponencial. Si f( x ) = e u , entonces f ′( x ) = u′e u

Ejemplos:



f( x ) = e −7 x + 1 Si u = −7x + 1, entonces:

128

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

f ′( x ) = u′e u f ′( x ) = −7 e − 7 x + 1

k( x ) = e

cos 3 x

Si u = cos 3x , entonces: k ′( x ) = u′ e u k ′( x ) = (cos 3 x )′ e cos 3 x

k ′( x ) = −3 sen 3x e

cos 3 x

16. Derivada de la función logaritmo natural. Si f( x ) = Ln u , entonces f ′( x ) =

u′ u

Ejemplos:



(

)

G( x ) = Ln x 5 − 4x 3 + 2x − 1

Si u = x 5 − 4x 3 + 2x − 1, entonces:

G′( x ) = G′( x ) =



u′ u 5 x 4 − 12x 2 + 2 x 5 − 4x 3 + 2x − 1

(

)

M( x ) = 4 Ln sen x 3 + 1

Si u = sen x 3 + 1 , entonces:

M′( x ) = M′( x ) = M′( x ) = M′( x ) =

BLOQUE 3

4 u′ u

)′

(

4 sen x 3 + 1 sen x 3 + 1

(

4 3 x 2 cos x 3

)

3

sen x + 1 12x 2 cos x 3 sen x 3 + 1

129

Actividad: 4 Deriva las siguientes funciones utilizando los teoremas: 1. h( x ) = sen (3x + 1)

2.

H( x ) = tan ( x + 1)

3.

f( x ) = sec x 4

4.

L( x ) = cos 3 ( x 2 + 1)

5.

F( x ) = e cos x

6.

N( x ) = Ln

130

3

x +1 x −1

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Actividad: 4 (continuación)

7.

g( x ) = cos (4 x 5 − 7 )3

8.

F( x ) = cot ( x 5 − 5x 2 + 1)

9.

y = e x + 5x + 1

2

10. H( x ) = Ln x 2 + 5x + 1

Actividad: 4 Conceptual Distingue las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, para su derivación. Autoevaluación

BLOQUE 3

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Calcula la derivada de funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales C

MC

NC

Expresa sus dudas y corrige sus errores.

Calificación otorgada por el docente

131

Cierre Actividad: 5 Resuelve los siguientes problemas.

1. Durante el campeonato de Softball femenil de la liga de jóvenes en la Ciudad de Guaymas, una de las jugadoras bateó un foul que sale disparado verticalmente hacia arriba. Un comentarista aficionado a la física comentó que la posición de la pelota respecto al piso está dada por y(t ) = 0.8 + 25t − 5t 2 . Javier, expectador del juego se asombró por el comentario y se preguntó: a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota? b) ¿Cuál es la velocidad a los 3 segundos? c) ¿En qué tiempo la pelota empieza a bajar?

2. Se llevará a cabo un concurso de cartel de publicidad en la Escuela de Comunicación en la Universidad de Sonora, el cartel debe contener 465 plg2 de imagen. Los márgenes superior e inferior tienen 3 plg. de ancho y en los laterales 2 plg. a) Expresa el área del cartel en función del ancho de la imagen. b) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo del área del cartel?

1

1

Cálculo Diferencial de una variable con aplicaciones.

132

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Actividad: 5 (continuación) 1 + 10 determina las variaciones que tiene una empresa t − 10 en la bolsa de valores al transcurrir los días. ¿Con qué velocidad cambian dichas variaciones?

3. La función f (t ) = (t − 10 )2 sen

4. Otro tipo de razón de cambio que no se mide respecto al tiempo es el costo marginal, el cual representa cuánto varía el costo de un producto si se produce una unidad más. El costo total de producir “x” piezas de computadoras está dado por la función C(x ) = 20 + 5 x − 0.01x 2 para x<504. ¿Cuál es el costo marginal al producir 84 unidades?

5. Cuando el precio de cierto artículo es “p” pesos por unidad, el fabricante ofrece “x” cientos de unidades, donde 3p 2 − x 2 = 12 ¿con qué rapidez cambia la oferta cuando el precio es de 4 pesos por unidad y se incrementa a la tasa de 87 centavos por mes?

Actividad: 5 Conceptual Identifica la razón de cambio instantáneo como la derivada de una función, en problemas aplicados. Autoevaluación

BLOQUE 3

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la derivada de una función en problemas cotidianos C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia el Cálculo como una herramienta para resolver problemas.

Calificación otorgada por el docente

133

134

ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

Calcula e interpreta máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización.

Competencias disciplinares: • • • • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia: • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos sobre el comportamiento de un móvil, en un tiempo determinado y calcula máximos y mínimos absolutos y relativos. Valora el uso de las TIC’s en el modelado y simulación de situaciones problemáticas de fenómenos físicos, químicos, ecológicos y de varios sectores de producción. Calcula máximos y mínimos de funciones algebraicas e interpreta los máximos relativos y puntos de inflexión en gráficas que modelan la resolución de problemas de su entorno.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. 5.1. 5.4. 5.6. 6.1. 7.1. 8.1. 8.2. 8.3.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Construye hipótesis, diseña y aplica modelos para probar su validez. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 10 horas

Secuencia didáctica 1. Aplicaciones de la derivada. Inicio Actividad: 1 Responde con tus propias palabras las siguientes preguntas: 1. ¿Qué es y cómo se escribe un intervalo abierto?

2.

¿Qué es y cómo se escribe un intervalo cerrado?

3.

¿Cuándo se dice que una función tiene un máximo absoluto?

4.

¿Qué significa que una función tenga un mínimo relativo?

5.

¿Cómo describes el punto de inflexión de una función?

6.

¿Qué es una función creciente?

7.

¿Qué sucede cuando una función es decreciente en un intervalo?

8.

¿Qué se entiende por concavidad de una función?

Actividad: 1 Conceptual Reconoce algunas características de una función. Autoevaluación

136

Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Argumenta las características de una función. C

MC

NC

Redacta de forma clara las características de una función.

Calificación otorgada por el docente

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Desarrollo Actividad: 2 Responde los cuestionamientos, con base en el siguiente problema: Don Jorge quiere sembrar árboles de manzana, y desea saber cuántos puede sembrar por hectárea. Si sabe que sembrando 24 por hectárea, cada árbol adulto dará 600 manzanas por año y además por cada tres más que se planten, se tendrán 12 manzanas menos por árbol al año ¿Cómo podrá Don Jorge resolver su problema, si quiere obtener el mayor número de manzanas posible? 1.

¿Qué información conoce Don Jorge de inicio para sembrar los árboles en una hectárea?

2.

De acuerdo a la información anterior, ¿cómo puede saber el número de manzanas que obtendrá de su siembra?

3.

Si considera plantar 3 árboles más de los 24 iniciales, ¿cuántas manzanas menos da cada árbol? ¿Cuántas manzanas obtiene de esta siembra?

4.

Si ahora considera plantar 3 árboles más que los anteriores, ¿cuántas manzanas menos da cada árbol? ¿Cuántas manzanas más se obtienen de esta siembra?

5.

Si le añadiera 3 árboles cada vez, ¿cómo podría calcular el número de manzanas por cada árbol plantado? a) Para ayudarte a contestar esta pregunta, elabora una tabla donde vayas colocando la información obtenida a partir de la primera pregunta. b) ¿Qué variables considerarías en el diseño de la tabla? c) Completa la tabla calculando hasta 15 árboles añadidos a la siembra original.

6.

Si siembra “x” cantidad de árboles extras, ¿cuántas manzanas se obtendrán por cada árbol sembrado? ¿Cuántas manzanas se tendrán en total?

BLOQUE 4

137

Actividad: 2 (continuación) 7. Expresa el número de manzanas, como una función que depende del número de árboles plantados.

8.

¿Qué tipo de función obtuviste?

9.

¿Cómo es la gráfica de ésta función?

10. ¿Qué describe el punto más alto de esta función?

11. ¿Cómo sería la pendiente de la recta tangente en ese punto?

12. ¿Cómo puedes calcular la pendiente de la recta tangente en ese punto?

13. ¿A qué valor de “x” pertenece el punto más alto de la función?

14. ¿Cómo verificas que este punto es el más alto de la función?

15. ¿Qué significa el resultado que obtuviste?

Actividad: 2 Conceptual Relaciona las variables involucradas en el problema, para darle solución. Autoevaluación

138

Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Deduce la solución óptima al problema, utilizando el máximo de una función. C

MC

NC

Se interesa por contestar los cuestionamientos de forma clara.

Calificación otorgada por el docente

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Puntos críticos de una función. Por lo general, cuando se quiere resolver un problema siempre se busca que la solución sea la mejor, la óptima. Es por eso que una de las principales aplicaciones del Cálculo Diferencial es la optimización. En la actualidad, esta rama de las matemáticas es uno de los pilares más importantes de la industria. A lo largo del módulo has visto algunos problemas en los que se requiere obtener la mejor solución y en algunos de ellos no se ha obtenido, debido a que se requiere un proceso más específico. A continuación se presentará cómo obtener la solución óptima a dichos problemas, primero se iniciará un análisis de comportamiento para posteriormente formalizar el procedimiento, para ello, se retomará un problema clásico que has venido desarrollando desde Matemáticas 4 y que se retomó en el bloque 1, hasta ahora darás solución a mismo. Ejemplo 1. Se desea construir una caja rectangular sin tapa, para ello se recorta un cuadrado en cada uno de los extremos de una lámina de 60 cm de largo por 40 cm de ancho. ¿Cuál es la longitud del cuadrado que se debe recortar para que el volumen de la caja sea máximo?

x 40

60 – 2x

40 – 2x

V( x ) = (60 − 2x )(40 − 2 x )( x ) x

V( x ) = 4 x 3 − 200 x 2 + 2400 x

60 El volumen de la caja en función de la longitud de los cuadrados que se recortan de las esquinas es: V( x ) = 4 x 3 − 200 x 2 + 2400 x

Al graficarla se obtiene la siguiente curva:

BLOQUE 4

139

Se debe tener en cuenta que la longitud de los cuadrados que se pueden recortar es mayor que 0 y menor que 20 cm, por lo que el dominio restringido de la función es de ( 0, 20 ), por lo tanto, la gráfica que corresponde al problema real es:

Al observar la gráfica se visualiza que existe un valor de “x” para el cual el volumen es máximo, y para analizar la forma de obtener este valor, se tomará la función sin restricción de dominio. Para apoyo del análisis, se trazarán segmentos de rectas tangentes en algunos puntos, en donde cambia el comportamiento de la función, es decir, donde la función cambia de dirección.

P2

Donde las coordenadas de puntos de manera general son:

P3

P1 P7

P4

P5

los

P1=( x1, V(x1) ) P2=( x2, V(x2)) P3=( x3, V(x3) ) P4=( x4, V(x4)) P5=( x5, V(x5) ) P6=( x6, V(x6) ) P7=( x7, V(x7) )

P6

Si se observa el comportamiento de la función hasta el punto P2, ésta es creciente, puesto que a medida que aumenta el valor de “x”, aumenta el volumen V(x), en este caso la pendiente de las rectas tangentes son positivas porque su inclinación es menor a 90º, es decir, tienen inclinación hacia la derecha. A partir del punto P2 hasta P6 la función es decreciente, debido a que al aumentar el valor de “x” disminuye V(x), en esta sección de la función, se visualiza que las pendientes de las rectas tangentes son negativas, esto es consecuencia del ángulo de inclinación, el cual es mayor a 90º y menor a 180º, razón por la cual, las rectas se inclinan hacia la izquierda. Después del punto P6, la función es de nuevo creciente, ahí también se observa que las pendientes de las rectas tangentes son positivas.

140

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Otro detalle, y no menos importante que los anteriores, es la pendiente de la recta tangente en los puntos P2 y P6, particularmente son rectas horizontales, por lo que el valor de las pendientes es cero; de hecho, son los puntos donde la función cambia de comportamiento, de creciente a decreciente y de decreciente a creciente, respectivamente. A los puntos P2 y P6 se les conoce como puntos críticos y a sus correspondientes coordenadas x2 y x6 se les denomina números críticos. A los valores que toma la función en x2 y x6, es decir, a V(x2) y a V(x6) se les denominan valores críticos. ¿Notaste que las rectas tangentes antes de P4 están por encima de la función y después de éste se encuentran por debajo de la misma? Efectivamente, con ello se puede decir que la función antes de P4 es cóncava hacia abajo y después de éste es cóncava hacia arriba, entonces, se puede decir que P4 es el punto donde cambia de concavidad la función y se denomina punto de inflexión. Retomando el problema de la caja, para responder esta interrogante: ¿cuál es la longitud del cuadrado que se debe recortar para que el volumen de la caja sea máximo?, es necesario considerar que el volumen máximo es aquél cuya recta tangente tiene pendiente cero, es por ello que el proceso para encontrar la longitud del cuadrado “x” es: 1. Se obtiene la derivada de la función con respecto a “x”, debido a que ésta proporciona todas las pendientes de las rectas tangentes de la función volumen.

V ′( x ) = 12x 2 − 400x + 2400 2. Se iguala a cero V ′( x ) , puesto que es la condición necesaria para que el volumen sea máximo.

V ′( x ) = 0 2

12 x − 400x + 2400 = 0 X

3. Resolver la ecuación anterior, en este caso, se aplica la fórmula general, dado que es una ecuación cuadrática.

x=

x=

A = 12 B = − 400 C = 2400

x= x=

− B ± B 2 − 4 AC 2A

− (− 400 ) ±

(− 400)2 − 4 (12)(2400) 2(12)

400 ± 44800 24 400 ±

(6400)(7 ) 24

50 − 10 7 50 + 10 7 ó x= ≈ 7 .8 x= ≈ 25.5 3 3 Analizando estos resultados, se descarta el número crítico 25.5, debido a que se encuentra fuera del dominio restringido de la función, en otras palabras, se encuentra fuera del contexto que marca el problema, no es posible recortar cuadrados de 25.5 cm de longitud, puesto que no se formaría ninguna caja porque el ancho de la lámina es 40 cm, por lo tanto, la longitud del cuadrado que se debe recortar para que el volumen de la caja sea el máximo es: 50 − 10 7 ≈ 7.8 cm 3 Ahora se considerará la siguiente función cúbica, para continuar analizando los puntos críticos de una función y posteriormente, se formalizarán las definiciones. x=

BLOQUE 4

141

Ejemplo 2. Obtener los puntos críticos de la función f( x ) = − x 3 + 6 x 2 − 12x + 9 . En otras palabras, solicita encontrar las coordenadas de los puntos máximos o mínimos que posea la función, para ello se requiere obtener la derivada, e igualarla a cero, debido a que el máximo y el mínimo existe si la pendiente de la recta tangente es cero, por lo tanto, se obtiene: f ′( x ) = −3x 2 + 12x − 12

− 3x 2 + 12x − 12 = 0 De igual forma que el ejemplo anterior, se obtiene una ecuación cuadrática que se puede resolver mediante factorización o por la fórmula general. La ecuación cuadrática es sencilla y además se puede simplificar dividiendo ambos miembros de la ecuación entre −3. Si se utiliza la factorización se obtiene un trinomio cuadrado perfecto, el cual se puede expresar como un binomio al cuadrado, como se muestra a continuación. − 3 x 2 + 12 x − 12 = 0 x 2 − 4x + 4 = 0

(x − 2)2 = 0 Aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación se obtiene:

(x − 2)2

= 0

x−2=0 Al despejar “x” de la ecuación anterior, resulta el número crítico x = 2. Para conocer su correspondiente valor crítico y formar el punto crítico, se sustituye el número crítico en la función, como se observa a continuación:

f( x ) = − x 3 + 6 x 2 − 12x + 9 f(2) = − (2 )3 + 6(2 )2 − 12(2 ) + 9 f(2) = − 8 + 24 − 24 + 9 f(2) = 1 Por lo tanto, el único punto crítico que tiene la función es (2, 1). Sin la gráfica y con el proceso que se ha hecho hasta ahora, no se puede determinar qué tipo de punto crítico es, por lo pronto, se analizará la gráfica para determinarlo y más adelante se establecerán los criterios para clasificar puntos críticos.

En la gráfica se visualiza el punto crítico y la recta tangente, con ella se reafirma que su pendiente es cero, puesto que es horizontal. También se observa que en el punto (2, 1) hay un cambio de concavidad en la función, antes de x=2 la función es cóncava hacia arriba y después de él, es cóncava hacia abajo, por tal motivo, el punto crítico (2, 1) es también un punto de inflexión.

142

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Actividad: 3 Desarrolla lo que se solicita. I.

Realiza el procedimiento que corresponde para encontrar los puntos donde cambia de comportamiento cada una de las siguientes funciones. Grafica cada una de las funciones en algún software, imprime y pega cada una en la función correspondiente.

II.

2.

f( x ) = −( x + 3)2 + 5

3.

g( x ) = x 2 − 8x + 19

BLOQUE 4

143

Actividad: 3 (continuación) 3.

4.

M( x ) = x 4 − 8x 2

5.

N( x ) =

144

T( x ) = x 3 + 3x 2 + 3x − 1

2 5 3 4 5 3 x + x − x − 3x 2 5 4 3

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Actividad: 3 (continuación)

6.

L( x ) = ( x

7.

F( x ) =

2

2 − 9) 3

x6 − 9 x4

Actividad: 3 Conceptual Identifica los puntos donde cambia de comportamiento una función. Autoevaluación

BLOQUE 4

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Establece los puntos donde cambia de comportamiento una función. C

MC

NC

Aprecia la utilidad de los software de graficación, para verificar el resultado algebraico.

Calificación otorgada por el docente

145

Criterio de la primera derivada, para la clasificación de los puntos críticos de una función. En el tema anterior se manejaron los puntos críticos y se analizaron algunas de sus características, éstas se tomarán como base para establecer el criterio de la primera derivada para clasificar puntos críticos de una función. Existe un segundo criterio de clasificación el cual se abordará posteriormente. Para determinar el criterio, se observa el comportamiento de las derivadas de las siguientes funciones alrededor o en un intervalo que contenga al número crítico “a”.

En esta gráfica, se observa que en el número crítico “a” es donde la función toma su valor máximo, también, las rectas tangentes se encuentran por encima de la función, lo que muestra que es cóncava hacia abajo. Además, la función cambia de creciente a decreciente, por lo que la pendiente de la recta tangente antes del número crítico es positiva y después de él es negativa.

(

) De forma similar, en esta gráfica se tiene que en el número crítico “a”, la función toma su valor mínimo, y además, las rectas tangentes están debajo de la función, por lo que es cóncava hacia arriba. Nótese que antes del número crítico la pendiente es negativa y después de él es positiva, es decir, la función cambia de decreciente a creciente.

(

)

(

)

(

)

En estas dos gráficas el número crítico “a” establece un punto de inflexión, debido a que en él cambia de concavidad, además, antes y después de “a”, la pendiente de la recta tangente no cambia de signo, como se comenta en cada caso a continuación: a)

Nótese que en la gráfica de la izquierda, antes del número crítico “a”, la pendiente de la recta tangente es positiva, exactamente en “a”, su pendiente es cero, y después de éste, su pendiente sigue siendo positiva. Se observa también que su comportamiento es creciente en todo el intervalo.

b) En la gráfica de la derecha, su comportamiento es decreciente en todo el intervalo, además, antes de “a”, la pendiente de la recta tangente es negativa, en “a” es cero y después es negativa de nuevo. Un valor máximo o mínimo proviene siempre de un número crítico, sin embargo, el punto de inflexión puede provenir, o no, de un número crítico. 146

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Ejemplo 1. Ahora, qué sucede cuando se presenta una función como la que se presenta en la siguiente gráfica.

Ésta tiene un valor mínimo en “a”, pero no es derivable en el mismo. Para demostrarlo, se recurrirá al método algebraico, observando que sucede con la derivada. Su función es f (x ) =

f (x ) =

3

(x − 2)2

3

(x − 2)2

+4

+4

2 3

f (x ) = (x − 2 ) + 4

′ 2   f ′ (x ) = (x − 2 ) 3 + 4   2 2 −1 f ′ (x ) = (x − 2 ) 3 (x − 2 )′ + (4 )′ 3 2 2 f ′ (x ) = (x − 2 ) 3 −1 (x − 2 )′ + (4 )′ 3 −1 2 f ′ (x ) = (x − 2 ) 3 (1) 3 2 2 f ′ (x ) = = 3 1 3 x−2 3(x − 2 ) 3 Lo que se acaba de obtener es la derivada de la función, la cual proporciona la pendiente de la recta tangente en cualquier punto. Al observarla resulta que la derivada no está definida para x=2, debido a que al sustituir este número en ella, el denominador se convierte en cero, por lo tanto, no es derivable en x=2. Si se deseara saber la existencia de algún punto de la función donde su derivada es cero, y establecer si se encuentra otro punto máximo, mínimo o de inflexión, sólo se necesita resolver la siguiente ecuación. f ′ (x ) = 0

2 3

BLOQUE 4

3

=0

x−2

147

Resulta que tampoco tiene solución esta ecuación, es decir, que no existe un número “x” que al sustituirlo en ella, ésta se convierta en cero; para que el cociente sea cero el numerador debe ser cero, cosa que nunca sucede porque éste es 2. Pero, analizando qué sucede antes de x=2, se puede establecer que éste determina un mínimo de la función, para ello se mostrarán tanto el análisis gráfico, como el método algebraico. En la gráfica se muestra cómo antes de x=2, la pendiente de la recta tangente es negativa, por tener una inclinación mayor de 90º, y después de x=2, la pendiente de la recta tangente es positiva, como se observa, porque su inclinación es menor a 90º. La pendiente de la tangente cambió de negativa a positiva, esto establece que existe un valor mínimo donde la función cambia de comportamiento, el cual es x=2. Otro aspecto importante es que las rectas tangentes se encuentran ubicadas por encima de la función, esto no se presenta en las funciones normales en las que se posee un mínimo, donde las rectas tangentes se encuentran por debajo de la función.

Esto indica que a medida que los puntos (en donde se obtienen las rectas tangentes) se acercan a x=2, las rectas se van acercando a una recta completamente vertical, cuya pendiente no existe por definición. Recuerda que la definición de la pendiente de la recta tangente es: y − y1 ó m= 2 m = tan θ x 2 − x1 Éstas las abordaste en Matemáticas 3, en cualquiera de los dos casos, ya sea que la obtengas con el ángulo de inclinación, como es el caso de la fórmula de la izquierda, o dados dos puntos de la recta, como es el caso de la fórmula de la derecha, ambas se indefinen para una recta vertical. Esto indica que cuando una función tiene un “pico”, no es derivable en ese punto, pero esto no significa que no pueda tener un máximo o un mínimo en cualquier otro punto.

Con este ejemplo se complementa la definición de puntos críticos y se puede establecer el criterio de la primera derivada, para determinar puntos críticos. Del análisis anterior, se deduce el criterio para determinar cuando un número crítico establece un valor máximo, mínimo, o bien, un punto de inflexión.

148

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Definición de número crítico: Si f es una función continua y f ′(a ) = 0 ó f ′(a ) no existe, entonces se dice que “a” es un número crítico de f. Criterio de la primera derivada: Sea “a” un número crítico contenido en un intervalo abierto de una función f (x ) continua y derivable, excepto tal vez en “a”. 1) Si f ′(x ) cambia de positiva a negativa en “a”, entonces, (a, f(a )) es punto máximo de la función. 2) Si f ′(x ) cambia de negativa a positiva en “a”, entonces, (a, f(a )) es un punto mínimo de la función. 3) Si f ′(x ) no cambia de signo en el intervalo, entonces (a, f(a )) es un punto de inflexión de la función.

Actividad: 4 Analiza las siguientes gráficas y realiza lo que se solicita. a) Dibuja un punto de color rojo, donde consideres que la función tiene un valor mínimo.

b) Dibuja un punto de color azul, donde consideres que la función tiene un valor máximo.

c) Dibuja un punto de color verde, donde consideres que la función tiene un punto de inflexión.

d) Escribe un intervalo, para el cual, en x=1 la función tiene un valor máximo.

e) Escribe un intervalo, de tal manera que, en x=3 la función tiene un valor mínimo.

Actividad: 4 Conceptual Identifica los puntos críticos o de inflexión de una función. Autoevaluación

BLOQUE 4

Evaluación Producto: Gráfica. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Diferencia los intervalos donde Es reflexivo, expresa sus dudas y existen máximos, mínimos o puntos corrige sus errores. de inflexión. C MC NC Calificación otorgada por el docente

149

A continuación se mostrarán varios ejemplos en donde se calculan los puntos críticos de una función. Ejemplo 2. Encontrar los números críticos de la función f( x ) =

x2 y determinar por medio del criterio de la primera derivada, si tiene x +1

valor máximo, mínimo o punto de inflexión. Primero se deriva la función:

′  x2    f ′( x ) =  x + 1   2 ′ x (x + 1) − x 2 (x + 1)′ f ′( x ) = (x + 1)2

( )

f ′( x ) = f ′( x ) = f ′( x ) =

( )

(2x )(x + 1) − (x 2 )(1) (x + 1)2 2x 2 + 2x − x 2

(x + 1)2 x 2 + 2x ( x + 1)2

Ahora, se iguala la derivada a cero:

x 2 + 2x ( x + 1)2

=0

Al observar la ecuación anterior, resulta ser un cociente, además, el denominador es cero cuando x = −1, por lo que se indefine la función en este valor, por lo tanto, el cociente será cero, sólo cuando el numerador sea cero. x 2 + 2x = 0

Se factoriza la ecuación y se resuelve, como se muestra a continuación: x( x + 2) = 0 x=0 x=0

ó

x+2=0 x = −2

Por lo tanto, los números críticos de la función son x=0 y x=−2. Para determinar si éstos establecen valores máximos, mínimos o puntos de inflexión, se toma un valor de prueba antes y después de cada número crítico, para conocer el signo de la derivada, como se muestra en cada uno de los incisos siguientes.

a) Para x = 0 , primero se debe definir el intervalo de donde se tomarán los valores de prueba, para este caso se tomará el intervalo abierto (−1, 4); se debe tener cuidado en no elegir un intervalo que pueda contener a otro número crítico. 1 Como número de prueba a la izquierda de x = 0 , se puede evaluar x = − y a la derecha se evaluará x = 3 . Para 2 visualizar mejor el signo de la derivada antes y después del número crítico, se presentarán los cálculos en la siguiente tabla:

150

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

x=−

1 2

x=3

x=0

(− 12) + 2(− 12) f ′(− 1 ) = = −3 2 (− 12 + 1) 2

2

f ′(0 ) =

(0)2 + 2(0) =0 (0)2 f ′(x ) = 0

f ′(x ) < 0

f ′( 3) =

3 2 + 2( 3) 2

(3 + 1)

=

15 16

f ′(x ) > 0

Conforme a los resultados anteriores, se concluye que el número crítico x = 0 , proporciona un valor mínimo de la función, debido a que la derivada (pendiente de la recta tangente) va de negativa a positiva, y ese valor mínimo se obtiene al sustituir el número crítico en la función, como se muestra continuación:

f( x ) =

x2 x +1

f(0) =

(0)2 (0) + 1

f(0) = 0 Por lo tanto, el punto máximo se encuentra en (0, 0 ).

b) Para el número crítico x = −2 , se tomará el intervalo abierto (–4, –1), como números de prueba a evaluar antes y 3 después de x = −2 , se evaluará x = −3 y x = − . 2

x=−

3 2

x = −3

x = −2

(− 3 )2 + 2( −3) = 3 f ′( −3) =

(− 2)2 + 2(− 2) = 0 f ′(− 2 ) = (− 2)2

(− 3 2) + 2(− 3 2) f ′(− 3 ) = = −3 2 3 (− 2 + 1)

f ′(x ) > 0

f ′(x ) = 0

f ′(x ) < 0

( −3 + 1)2

4

2

2

De la tabla anterior, se concluye que el número crítico determina un valor máximo en la función y dicho valor es: x2 f( x ) = x +1

f( −2) =

(− 2)2 (− 2) + 1

f( −2) = −4 Analizando los dos puntos críticos encontrados: ( 0, 0 ) , el cual es mínimo, y ( − 2, − 4 ) , siendo máximo, surge la duda de cómo puede suceder si el primero está ubicado más arriba en un plano cartesiano que el segundo. Para determinar lo que sucede con la función y los puntos críticos anteriores, se tendrá que graficar, pero antes de ello, se puede analizar un poco la función para dilucidar cómo sería su comportamiento.

f( x ) =

x2 x +1

En primer lugar, el denominador se hace cero cuando x=−1, esto significa que tiene una asíntota vertical en el mismo. Por otra parte, también se puede obtener una asíntota oblicua al realizar la división y hacer tender a “x” al infinito, BLOQUE 4

151

obteniéndose una asíntota en y=x−1 (esto se abordó en la asignatura de Matemáticas 4), la cual se observa perfectamente al trazar la gráfica, como se muestra a continuación.

Al observar la gráfica, se nota cómo coincide todo lo que se ha visto en ésta y otras asignaturas. Pero sigue sin responderse el cuestionamiento de cómo es posible la definición de máximo y mínimo para este ejemplo. Es aquí donde surge la necesidad de diferenciar los máximos y mínimos de una función, porque el punto mínimo de la función, pero solamente en el intervalo de

( − 1, ∞ ) , y a su vez, el punto ( − 2, − 4 )

( 0, 0 )

es

es máximo sólo en el

intervalo abierto de ( ∞ − 1 ) . Por todo lo anterior, a ( 0, 0 ) se le denomina mínimo relativo o local, y a ( − 2, − 4 ) se le conoce como máximo relativo o local. A continuación se mostrará una clasificación de los valores máximos y mínimos de una función.

1.

152

Clasificación de máximos y mínimos. Un número f (a ) es un máximo absoluto de una función “f”, si f( x ) ≤ f(a ) para todo “x” en el dominio de “f”.

2.

Un número f (a ) es un mínimo absoluto de una función “f”, si f( x ) ≥ f(a ) para todo “x” en el dominio de “f”.

3.

Un número f (a ) es un máximo relativo o local de una función “f”, si f( x ) ≤ f(a ) para todo “x” en un intervalo abierto que contenga a “a”.

4.

Un número f (a ) es un mínimo relativo o local de una función “f”, si f( x ) ≥ f(a ) para todo “x” en un intervalo abierto que contenga a “a”.

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Con el siguiente ejemplo se abordará la clasificación anterior. Ejemplo 3.

x4 x3 − + x2 + 2 . 4 3 Recordando los pasos a seguir para encontrar puntos críticos, primero se debe derivar la función, posteriormente se iguala a cero y se resuelve la ecuación, obteniéndose así los números críticos. Clasificar los puntos críticos que resulten de la función f( x ) = −

f( x ) = −

x4 x3 − + x2 + 2 4 3

f ′( x ) = − x 3 − x 2 + 2x − x 3 − x 2 + 2x = 0

(

−x =0

)

− x x2 + x − 2 = 0 − x (x − 1)(x + 2) = 0 ó x −1= 0 ó

x+2=0

Los números críticos son:

x=0

x =1

x = −2

Ahora se requiere conocer qué tipo de puntos críticos establece cada uno de los números críticos anteriores, para ello, se requiere evaluar números de prueba antes y después de cada número crítico, con el propósito de conocer el signo de la derivada; para mayor claridad, el proceso se realizará con tablas. Siguiendo el orden de menor a mayor de los números críticos encontrados, se tiene: a) Para x = −2 , se eligen números de prueba antes y después de éste, recordando no abarcar el siguiente número crítico. x = −3 x = −2 x = −1

f ′(− 3) = −(− 3)3 − (− 3)2 + 2(− 3) = 12 f ′(x ) > 0

f ′( −2) = −(− 2)3 − (− 2)2 + 2(− 2) = 0 f ′(x ) = 0

f ′(− 1) = −(− 1)3 − (− 1)2 + 2(− 1) = −2 f ′(x ) < 0

Ahora se sustituye x = −2 en la función, para determinar el punto crítico, el cual, por el resultado de la tabla es máximo. ( −2 ) 4 ( −2 ) 3 14 f( −2) = − − + ( −2)2 + 2 = 4 3 3 14   Por lo tanto, la función tiene un máximo en  − 2, . 3   b) Ahora, para x = 0 , se elegirán números entre −2 y 1, sin incluirlos, puesto que son los otros números críticos. x= 1 x = −1 x=0 2

f ′(− 1) = −(− 1)3 − (− 1)2 + 2(− 1) = −2

f ′(0) = −(0)3 − (0)2 + 2(0) = 0

f ′(x ) < 0

f ′(x ) = 0

( 2 ) = − ( 12 ) − ( 12 )

f′ 1

3

2

( 2) = 58

+2 1

f ′(x ) > 0

Al sustituir x = 0 en la función, se obtiene el punto crítico: ( 0 ) 4 ( 0) 3 f(0) = − − + ( 0 )2 + 2 = 2 4 3 Por el resultado de la tabla, la función tiene un mínimo en ( 0, 2 ) . BLOQUE 4

153

c) Por último, para x = 1 , se eligen los siguientes números de prueba.

x= 1

( 2 ) = − ( 12 ) − ( 12 )

f′ 1

x =1

x=2

f ′(1) = −(1)3 − (1)2 + 2(1) = 0

f ′(2) = −(2)3 − (2)2 + 2(2) = −8

f ′(x ) = 0

f ′(x ) < 0

2

3

2

( 2) = 58

+2 1

f ′(x ) > 0

Ahora se sustituye x = 1 en la función, y se tiene: (1)4 (1)3 29 f(1) = − − + (1)2 + 2 = 4 3 12  29  Por lo que, la función tiene un máximo en  1, .  12  En el proceso anterior se obtuvieron dos valores máximos y uno mínimo; para determinar cuál de los dos valores máximos es el absoluto y cuál el relativo, se requiere analizar la función o graficar. A continuación, primero se llevará a cabo el análisis y posteriormente, se comprobará con la gráfica de la función.

f( x ) = −

x4 x3 − + x2 + 2 4 3

Al observar la función, se tiene que es una polinomial de cuarto grado, por lo tanto, no posee ninguna discontinuidad en todos los números reales, es decir, para cualquier número real que se elija, se obtendrá su correspondiente valor en la función, además, el signo del coeficiente principal es negativo, lo cual indica que se extiende infinitamente hacia abajo, cuando x tiende a −∞ ó ∞, debido a que es una función par, dado que su grado es cuatro, esto también indica que el punto mínimo que se encontró es relativo. Así que al graficar sólo los puntos críticos, se puede inferir cuál es máximo absoluto y cuál es máximo relativo. Máximo absoluto Máximo relativo o local

Mínimo relativo o local

Al graficar la función se comprueba el resultado emitido anteriormente, como se muestra a continuación:

154

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Actividad: 5 En equipo desarrollen la actividad. I. Dadas las funciones, realicen lo que se solicita: a) b) c) d)

1.

Encuentren los puntos críticos de cada función, realicen los cálculos en las páginas posteriores. Clasifiquen los puntos críticos, de acuerdo al criterio de la primera derivada. Lleven a cabo el análisis de la función, para determinar si son máximos o mínimos absolutos o relativos. Con la ayuda de un software, grafiquen cada una de las funciones para que comprueben los resultados obtenidos, imprímanlas y péguenlas en el lugar correspondiente.

f( x ) = − x 2 + 3x + 4

BLOQUE 4

155

Actividad: 5 (continuación) 2.

3.

t( x ) = − x 3 + 12x

m ( x ) = x 4 − 4x

156

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Actividad: 5 (continuación) 4.

5.

h( x ) = x 2 −

L ( x) = (x

BLOQUE 4

8 x

2 + 3) 3

157

Actividad: 5 (continuación) 6.

7.

158

f( x ) =

x2 x2 + 3

3

r ( x ) = x 3 15 − x 2

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Actividad: 5 (continuación) 8.

g( x ) = 4 cos πx

Actividad: 5 Conceptual Ubica los puntos críticos de una función. Coevaluación

BLOQUE 4

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Analiza los puntos críticos de una función, para clasificarlos. C

MC

NC

Aprecia la utilidad de los softwares de graficación, para verificar el resultado algebraico.

Calificación otorgada por el docente

159

Resolución de problemas de optimización. Los problemas de optimización son aquellos en donde se solicita encontrar la mejor opción, por ejemplo: donde se solicita encontrar el menor tiempo de producción de un artículo, la máxima altura que alcanza un proyectil, la ganancia máxima o el costo mínimo de producción de un aparato eléctrico, el volumen máximo de un recipiente o el área mínima, entre otros tantos problemas que se pueden mencionar. A lo largo de tu caminar por esta asignatura y las que le precedieron, planteaste múltiples problemas que requirieron dar una respuesta óptima y llegaste a una aproximación de ella. Ahora ya tienes el conocimiento necesario para dar respuesta a ellos. Ejemplo 1. Se desea cercar un terreno rectangular de 1,800 m2 en dos porciones iguales, con una cerca adicional paralela a dos de los lados como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno de manera que el cerco utilizado tenga longitud mínima?

1800 m2

y

x Primero es necesario modelar el problema mediante una función y para ello, hay que tener claro qué es lo que se desea obtener. En este caso, hay que obtener la longitud de cerco mínimo, por lo tanto, se debe expresar la longitud del cerco en función de la longitud de uno de los lados del terreno, como se muestra a continuación. La longitud del alambre se expresa mediante la fórmula:

L = 2x + 3 y Como se observa, la fórmula anterior depende de dos variables, y para resolver el problema se debe tener una función en términos de una variable, para ello se utilizará la información dada en el problema, como es: El área del terreno, la cual se expresa mediante la fórmula: A = xy Como el área del terreno es conocida, se obtiene: 1800 = xy De esta última, se despeja una de las variables, en este caso, se despejará “y”.

1800 x En este momento, se sustituye el valor de “y” en la longitud del alambre, para obtener una función que depende de una sola variable. L = 2x + 3 y y=

 1800  L = 2x + 3    x  5400 L = 2x + x

160

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Formalmente se expresa como:

L( x ) = 2x +

5400 x

Para encontrar el valor de “x” para el cual la longitud del alambre sea mínima, se tiene que encontrar los números críticos de la función, para ello, se deriva la función, se iguala a cero y se resuelve la ecuación obtenida del proceso, como se muestra a continuación: ′ 5400   L ′( x ) =  2 x +  x   ′ L ′( x ) = 2 x + 5400 x −1

(

)

L ′( x ) = 2 − 5400 x 5400 L ′(x ) = 2 − x2 L ′(x ) = 0 5400 2− =0 x2

−2

Se multiplican los dos miembros de la ecuación por x2, para eliminar el denominador, esto se puede hacer siempre y cuando x ≠ 0 , que es donde la derivada se indefine. Siempre hay que tener en cuenta este tipo de detalles, porque se puede continuar con un proceso algebraico erróneo. Continuando con la resolución de la ecuación se tiene: 5400    = (0 )x 2 x 2  2 − x2   2 x 2 − 5400 = 0 2 x 2 = 5400 5400 x2 = 2 x 2 = 2700 x = ± 2700 x=±

(900 )(3)

x = ±30 3

x = −30 3

ó

x = 30 3

Analizando los resultados anteriores, se debe considerar únicamente a x = 30 3 para realizar los cálculos, debido a que representa uno de los lados del terreno y no puede ser negativo. Ahora se obtiene el lado faltante, y para ello, se sustituye el valor de “x” en el despeje y =

y= y= y=

BLOQUE 4

1800 . x

1800 30 3 60 3

=

60 3 3 3

60 3 = 20 3 3

161

La solución al problema es que los lados del terreno deben de medir 30 3 de largo por 20 3 de ancho. Ahora, la cuestión es, ¿estas medidas proporcionan la longitud mínima de cerco?, y para contestarla, se debe comprobar que la función tiene un valor mínimo en el número crítico obtenido, el cual es x = 30 3 , para ello, se recurrirá a las tablas en las que se toman números de prueba antes y después del número crítico encontrado. Como x = 30 3 ≈ 51.96 , se toma x = 50 y x = 60 como números de prueba.

x = 50 L ′( 50 ) = 2 −

5400 50

2

f ′(x ) < 0

= −0.16

x = 30 3 5400 L ′( 30 3 ) = 2 − =0 2 30 3 f ′(x ) = 0

(

)

x = 60 L ′(60 ) = 2 −

5400 60 2

= 0. 5

f ′(x ) > 0

Efectivamente, en x = 30 3 se tiene un mínimo. Verificando este resultado con la gráfica de la función, se tiene:

− 30 3 30 3

En la gráfica se observan los dos números críticos, x = −30 3 y x = 30 3 , el primero máximo relativo y el segundo mínimo local, el cual este último es el que corresponde al contexto del problema, por lo tanto la gráfica del problema sería tomando en cuenta sólo la “rama” de la derecha de la función, como se muestra a continuación:

162

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Cierre Actividad: 6 En equipo realiza lo que se solicita. I.

De los problemas enlistados a continuación, seleccionarán de forma aleatoria, 5 problemas, el profesor mostrará el mecanismo para hacerlo. II. Resolverán cada uno de ellos en hojas blancas, para entregárselas al profesor, engrapadas y con hoja de presentación. III. El profesor elegirá un problema de cada equipo, para que lo expongan, esta actividad se realizará en hojas de rotafolio, si se tiene el equipo necesario, pueden elegir presentarlo en Power Point; el profesor indicará el rol de exposiciones. PROBLEMARIO. 1. Se desea construir una lata cilíndrica que tenga capacidad de 350 ml. ¿Cuáles serían las dimensiones aproximadas para que la cantidad de material requerida en su construcción sea mínima?

2. Abel tiene 120 yardas de alambre y desea cercar a un costado de su casa, un terreno rectangular para la siembra de hortalizas, uno de los lados no tiene que cercarse porque coincide con la pared de su casa. ¿Qué dimensiones aproximadas del terreno nos proporciona el área más grande? Casa

y x

3. En un instante determinado, un automóvil A se encuentra a 50 millas al Este de otro automóvil B. El automóvil A empieza a moverse hacia el Norte con una velocidad de 20 mi/h, mientras que el B lo hace hacia el Este con una velocidad de 25 mi/h. Sabiendo que las carreteras son rectas, calcula el tiempo aproximado que transcurrirá hasta que la distancia que los separe sea mínima.

4. La empresa “Jugos de temporada S.A.” desea exportar jugo en cajas rectangulares de base cuadrada con un volumen de 12 litros. El costo del material de las caras laterales es de $ 5 por dm2 y el costo de la tapa y el fondo es de $10 por dm2. Calcula las dimensiones aproximadas de la caja para que el costo de su elaboración sea el mínimo. y

x x

5. Un campesino dispone de un terreno rectangular de 3000 m2 de superficie y quiere cercarlo y dividirlo en 5 partes iguales para el cultivo de 5 hortalizas. Calcula las dimensiones aproximadas del terreno para que el material empleado en la cerca sea mínimo. y

x

BLOQUE 4

163

Actividad: 6 (continuación) 6. Se va a empastar el prado de un jardín de forma rectangular, cuya superficie es de 72 m2. El prado debe estar rodeado por un andador, de tal manera que en los lados mayores sea de 1 m y en los lados cortos 2 m. Calcular las dimensiones del prado para que el área total del prado y del paseo sea el mínimo. 7. La sección amarilla vende su espacio rectangular por cm2, los anunciantes deben incluir en los anuncios un margen de 1 cm por cada lado. Una tienda de autoservicio contrata regularmente un anuncio de 375 cm2 (impresión y márgenes). ¿Cuáles serían las dimensiones aproximadas que debe tener un anuncio, que le cueste lo mismo, pero que tenga mayor área?

1 1

8. Un carpintero tiene que hacer una mesa en forma triángulo de isósceles y con perímetro de 65 cm. Encuentra las dimensiones para que el área que contenga sea la más grande. y

x

9. Un comerciante de papas fritas decide vender su producto en cajas de cartón de base cuadrada abierta por arriba. Para su construcción el comerciante dispone de hojas cuadradas de cartón de 48 cm. de lado y las va a construir recortando de cada hoja un cuadrado de lado x de cada esquina. Encontrar la longitud del cuadrado que debe de recortar para que el volumen de la caja sea máximo.

10. Un alambre de 1m de longitud debe ser cortado en dos pedazos, uno ha de ser doblado formando un cuadro y otro formando un círculo, halla la cantidad de alambre que debe ser cortada para que el área sea mínima. 1m

11. Una ventana de forma rectangular coronada con un triángulo equilátero tiene un perímetro de 5 m. Expresa el área en función de la altura del rectángulo.

y

x

164

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Actividad: 6 (continuación) 12. Se desea construir el marco de una de ventana de aluminio rectangular coronada con un semicírculo, cuyo perímetro es de 6 m. Encontrar las dimensiones del marco, de tal forma que tenga la mayor área.

y

x

13. A Sonia le dejaron de tarea construir un cono circular de papel, cuyo volumen sea de 1 dm3. Encuentra las dimensiones del cono de tal manera que el papel utilizado sea lo menos posible. r

h

14. A Marco Antonio le dejaron de tarea obtener la altura máxima de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba; el maestro le dijo que la altura está dada por la función h( t ) = 96 t − 16 t 2 , donde la altura está medida en pies y el tiempo en segundos. ¿Qué resultado presentó Marco en su tarea?

15. Karla es alumna del COBACH plantel Obregón 2, y desea realizar un viaje de estudio a Puerto Vallarta por cinco días, para hacerlo, acudió a una agencia de viajes que ofrece un paquete para excursionistas con las siguientes condiciones: • El grupo no será menor de 30 personas. • La tarifa es de $10,000 pesos por persona si asisten 30. • La tarifa se reduce en 150.00 por persona si el número de excursionistas excede 30. ¿Qué número de alumnos tendrán que ir para que el pago sea mínimo y cuánto tendría que pagar cada uno? 16. El costo total de producir “x” piezas de computadoras está dado por la función C(x ) = 20 + 5 x − 0.01 x 2 para x<504. ¿Cuál es el máximo costo marginal de producción?

Actividad: 6 Conceptual Representa cada uno de los problemas mediante una función. Reconoce el criterio de la primera derivada para dar solución óptima a los problemas. Coevaluación

BLOQUE 4

Evaluación Evaluación Producto: Presentación. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Aplica el criterio de la primera derivada para solucionar problemas de optimización. C

MC

NC

Aprecia el cálculo como una herramienta que favorece la solución óptima de problemas de la vida cotidiana.

Calificación otorgada por el docente

165

Secuencia didáctica 2. Concavidad de una función. Inicio Actividad: 1 Dibuja un punto de color rojo, en donde identifiques un punto de inflexión. Asimismo, dibuja la recta tangente en dicho punto.

¿Todas las funciones tienen punto de inflexión? ¿Por qué?

Actividad: 1 Conceptual Identifica el punto de inflexión de una función. Autoevaluación

166

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental

Puntaje: Actitudinal

Argumenta la existencia del punto de inflexión de una función. C

MC

NC

Muestra interés al realizar la actividad.

Calificación otorgada por el docente

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Desarrollo Criterio de la segunda derivada. En la secuencia anterior obtuviste los puntos críticos de una función, los cuales podían ser máximos, mínimos y en algunos casos, puntos de inflexión, Esto lo lograste siempre y cuando la pendiente de la recta tangente en ellos fue horizontal, dicho en otras palabras, cuando la derivada se iguala a cero, pero no es la única forma de hacerlo. A continuación se presentará el criterio de la segunda derivada, con él también se pueden clasificar los puntos críticos, pero más aún, se puede obtener los puntos donde cambia de concavidad una función, es decir, los puntos de inflexión de la misma. Para deducir el criterio, se analizará el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.

1 3 1 2 x − x − 2 x + 2 y su derivada, además, la derivada de la derivada, es decir, la segunda 3 2 derivada, para identificar los puntos donde cambia de comportamiento la función. Graficar la función f( x ) =

Primero se obtendrá la primera y segunda derivada de la función f(x), y posteriormente, se utilizará el graficador Geogebra para trazar ambas gráficas y comparar los puntos de cambio de comportamiento de la función.

1 3 1 2 x − x − 2x + 2 3 2

f ′( x ) = x 2 − x − 2

f ′′( x ) = 2 x − 1

En esta función, se observa un máximo relativo en x=−1 y un mínimo relativo en x=2.

La derivada corta al eje X en x=−1 y en x=2.

La segunda derivada es negativa en x=1 y positiva en x=2.

También muestra un punto de inflexión entre x=0 y x=1.

También muestra un valor mínimo entre x=0 y x=1.

Corta al eje X en x = 1 . 2

En el intervalo de (− ∞,− 1 ) la función es creciente.

En el intervalo de (− ∞,− 1 ) la derivada es positiva, está por encima del eje X.

En el intervalo de (− 1, 2 ) la función es decreciente.

En el intervalo de (− 1, 2 ) la derivada es negativa, está por debajo del eje X. En el intervalo de (2, ∞ ) la derivada es positiva, está por encima del eje X.

f( x ) =

En el intervalo de (2, ∞ ) la función es creciente. BLOQUE 4

167

A continuación se graficarán la función, su primera y segunda derivada en el mismo plano, para ver la correspondencia de los puntos críticos entre ella y establecer la forma en que se pueden encontrar los puntos de inflexión. f’’(x) f’(x) f(x)

Como se puede observar en esta imagen y con el análisis por separado de las tres funciones, presentado con anterioridad, se deduce que el punto de inflexión de la función se puede obtener cuando la segunda derivada de la función se iguala a cero, pero además, también se puede deducir que la función tiene un máximo si su segunda derivada evaluada en el número crítico, es negativa, y tiene un mínimo cuando la segunda derivada evaluada en el número crítico es positiva. A continuación se formalizará éste criterio.

Criterio de la segunda derivada: 1. Una función f (x ) es cóncava hacia abajo en un intervalo, si la segunda derivada, f ′′(x ) existe y además f ′′(x ) < 0 en todo el 2.

3.

intervalo. Una función f (x ) es cóncava hacia arriba en un intervalo, si la segunda derivada, f ′′(x ) existe y además f ′′(x ) > 0 en todo el intervalo. Una función f (x ) tiene un punto de inflexión en x=a, si f ′′(a ) = 0 y además, antes y después de éste, cambia de concavidad la función.

Ejemplo 2. Determina si la función f (x ) = x 4 − 6 x 2 + 4 tiene valores máximos o mínimos y puntos de inflexión, utilizando el criterio de la segunda derivada. Primero, se obtendrá la primera derivada, para obtener los valores críticos.

168

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

f (x ) = x 4 − 6 x 2 + 4 f ′ (x ) = 4 x 3 − 12x Ahora se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación. f ′ (x ) = 4 x 3 − 12x = 0 4 x 3 − 12x = 0

(

)

4x x 2 − 3 = 0 4x = 0 0 x= 4

ó

x2 − 3 = 0 x2 = 3

x=0

x=± 3 x=− 3

ó

x= 3

Se obtuvieron tres puntos críticos y se clasificarán utilizando el criterio de la segunda derivada, para ello, se obtiene la segunda derivada de la función.

f (x ) = x 4 − 6 x 2 + 4 f ′ (x ) = 4 x 3 − 12 x f ′′ (x ) = 12 x 2 − 12

Número crítico

x=− 3

f ′′(x )

Punto crítico

(− (−

( )) 3 , − 5)

3, f − 3

x=0

(0, f(0)) (0, 4)

x= 3

( 3, f( 3 )) ( 3, − 5)

Concavidad

( ) ( ) − 12 = 24 f ′′(− 3 )> 0

f ′′ − 3 = 12 − 3

2

f ′′ (0 ) = 12(0)2 − 12 = −12 f ′′(0 ) < 0

( ) ( ) − 12 = 24 f ′′( 3 )> 0

f ′′ 3 = 12 3

2

Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

Ahora hay que obtener los puntos de inflexión, para ello, se debe resolver la ecuación f ′′(a ) = 0 .

f ′′ (x ) = 12x 2 − 12 = 0 12x 2 − 12 = 0 12x 2 = 12 x2 = 1 x=± 1 x = −1 ó x =1 Como antes y después de x = −1 la función sufrió un cambio de concavidad, así como antes y después de x = 1, debido a la información que se proporcionó en la tabla, se puede decir que estos dos establecen puntos de inflexión. Para mayor claridad, se mostrará la siguiente tabla:

BLOQUE 4

169

x = −1

x=0

x =1

x= 3

f ′′ 3 > 0

f ′′(− 1) = 0

f ′′(0 ) < 0

f ′′(1) = 0

f ′′ 3 > 0

(−

(− 1, − 1 )

( 0, 4 )

( 1, − 1 )

( 3, − 5 )

Punto de inflexión

Cóncava hacia abajo (Máximo)

Punto de inflexión

Cóncava hacia arriba (Mínimo)

x=− 3

( )

3, − 5

)

Cóncava hacia arriba (Mínimo)

( )

Al graficar la función, se comprueban los resultados anteriores.

El valor mínimo que toma la función es −5, y los puntos críticos que lo establecen son mínimos absolutos. No existe un máximo absoluto debido a que la función crece infinitamente, pero en el punto ( 0, 4) se estableció un máximo relativo, porque se debe definir el intervalo donde no exista ningún valor más alto que él, para que sea máximo absoluto.

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que visualices las derivadas. http://www.walter-fendt.de/m14s/deriv12_s.htm http://www.geogebra.org/en/upload/files/SSBBNITRA/03_Graficas_derivada.ht ml

170

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Actividad: 2 En equipo, desarrollen lo que se solicita. I.

Bosquejen la gráfica de cada una de las siguientes funciones, que cumplen con los requisitos descritos.

1. Punto crítico o de inflexión

f ′(x )

f ′′(x )

Clasificación

( 0, 0)

f ′(0 ) = 0

f ′′(0 ) = 0

Punto de inflexión

( 2, − 16 )

f ′(2 ) < 0

f ′′(2 ) = 0

Punto de inflexión

( 3, − 27 )

f ′(3) = 0

f ′′(3 ) > 0

Mínimo absoluto

Punto crítico o de inflexión

f ′(x )

f ′′(x )

Clasificación

( 0, 0)

f ′(0 ) = ∃

f ′′(0 ) = ∃

Mínimo relativo

( 4, 2 4 )

f ′(4 ) = 0

f ′′(4 ) = 0

Máximo relativo

2.

3

BLOQUE 4

171

Actividad: 2 (continuación) II.

Dada la siguiente gráfica, complementen la tabla posterior, tomando en cuenta los siguientes aspectos: 1. Determinen los puntos críticos e inflexión. 2. Clasifiquen en máximos o mínimos (absolutos o relativos). 3. Para cada punto crítico o de inflexión encontrado, determinen el valor de la primera y segunda derivada.

Punto crítico o de inflexión

Actividad: 2 Conceptual Reconoce los puntos críticos o de inflexión de una función.

Coevaluación

172

f ′(x )

f ′′(x )

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental

Puntaje:

Elabora la gráfica de una función a partir de la obtención de los puntos críticos o de inflexión de una función. C

MC

NC

Clasificación

Actitudinal Actitudinal Es respetuoso con las aportaciones de sus compañeros y se interesa por expresar su opinión.

Calificación otorgada por el docente

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Cierre Actividad: 3 En equipo, realicen lo que se solicita. I.

II.

Encuentren los puntos críticos de las siguientes funciones, clasifíquenlos utilizando la segunda derivada de la función. Auxíliense de la primera y segunda derivada de la función, para calcular los puntos de inflexión, si es que existen.

1.

T( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 + 3

2.

Q ( x ) = (x − 4 )2

3.

P( x ) = −(x + 3 )4 − 1

BLOQUE 4

3

x4

173

Actividad: 3 (continuación) 4.

g ( x ) = xLn x

5.

U(x) =

6.

L( x ) = x 2 −

174

x +1 2

x + x +1

16 x

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Actividad: 3 (continuación) 8.

9.

K ( x) =

5

W( x ) = x 4 + 4 x 3 + 2 x + 2

x 3 (4 − x )

10. f( x ) = x 2 + 6 x + 8

BLOQUE 4

175

Actividad: 3 (continuación) II.

Escriban en la línea la función que corresponde a cada gráfica, auxiliate de los resultados que obtuviste en la sección anterior.

___________________________

__________________________

___________________________

___________________________

__________________________

___________________________

176

CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Actividad: 3 Conceptual Reconoce los criterios de la primera y segunda derivada para encontrar los puntos críticos o de inflexión de una función. Autoevaluación

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica los criterios de la primera y Es respetuoso con las segunda derivada, para calcular los aportaciones de sus compañeros y puntos críticos o de inflexión de una se interesa por expresar su función. opinión. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que visualices los puntos críticos, entre otras cosas. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesderivada/html/node8.html http://www.mathresource.iitb.ac.in/applet/Derivative/index.html http://webs.ono.com/vimanmon/mat/funciones.html

BLOQUE 4

177

Bibliografía 

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STEWART, James et. al. Precálculo. Matemáticas para el Cálculo. Cengage Learning. México. 2009.



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Calculo diferencial Colegio de bachilleres