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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil Director Académico Profr. Julio Alfonso Martínez Romero Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia Director de Planeación Mtro. Pedro Hernández Peña

MATEMÁTICAS 4 Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2010 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Primera edición 2011. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

COMISIÓN ELABORADORA: Elaborador: Alma Lorenia Valenzuela Chávez Revisión Disciplinaria: Margarita León Vega Corrección de Estilo: Flora Inés Cabrera Fregoso Supervisión Académica: Mtra. Luz María Grijalva Díaz Equipo Técnico RIEMS Diseño: Joaquín Rivas Samaniego María Jesús Jiménez Duarte Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñuñuri Diana Irene Valenzuela López Coordinación General: Profr. Julio Alfonso Martínez Romero

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2010. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 10,064 ejemplares.

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DATOS DEL ALUMNO Nombre: _______________________________________________________________ Plantel: __________________________________________________________________ Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________ E-mail: _________________________________________________________________ Domicilio: ______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Ubicación Curricular

COMPONENTE:

HORAS SEMANALES:

CAMPO DE CONOCIMIENTO: MATEMÁTICO

CRÉDITOS:

FORMACIÓN BÁSICA

05

10

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3


4

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Índice Presentación ......................................................................................................................................................... 7 Mapa de asignatura .............................................................................................................................................. 8 BLOQUE 1: RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES. ...... 9 Secuencia Didáctica 1: Relaciones y funciones ................................................................................................10 • Diferencia entre relaciones y funciones......................................................................................................12 • Dominio y rango ..........................................................................................................................................21 • Formas de representar una función ...........................................................................................................23 Secuencia Didáctica 2: Clasificación de funciones ...........................................................................................32 • Según su forma analítica ............................................................................................................................36 • Según la presentación de su forma analítica .............................................................................................63 • Según su gráfica .........................................................................................................................................66 Secuencia Didáctica 3: Operaciones de funciones ...........................................................................................81  Suma de funciones .....................................................................................................................................82  Resta de funciones .....................................................................................................................................86  Multiplicación de funciones ........................................................................................................................90  División de funciones ..................................................................................................................................94  Composición de funciones .........................................................................................................................99 BLOQUE 2: APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES GRÁFICAS. ................. 105 Secuencia Didáctica 1: Funciones especiales ................................................................................................106  Función inversa ..........................................................................................................................................108  Funciones definidas por partes .................................................................................................................122 Secuencia Didáctica 2: Transformaciones de gráficas de funciones .............................................................141  Translación horizontal ................................................................................................................................144  Traslación vertical.......................................................................................................................................146  Reflexión con respecto al eje X ..................................................................................................................149  Reflexión con respecto al eje Y ..................................................................................................................153  Reflexión con respecto a la recta de 45º ...................................................................................................156  Contracción y expansión de funciones .....................................................................................................157 BLOQUE 3: EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES ......................................................................... 161 Secuencia Didáctica 1: Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos .................................................164  Concepto de función polinomial de una variable ......................................................................................166  Características de las funciones polinomiales .......................................................................................... 166  Influencia de los parámetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representación gráfica .... 168 Secuencia Didáctica 2: Funciones polinomiales de grado tres y cuatro ........................................................194  Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grados tres y cuatro ...............195  Teorema del residuo y del factor ...............................................................................................................205  Teoremas sobre las raíces de una ecuación ............................................................................................208 BLOQUE 4: APLICA FUNCIONES RACIONALES .............................................................................. 215 Secuencia Didáctica 1: Función racional .........................................................................................................216  Concepto de función racional ...................................................................................................................217  Función racional reducible .........................................................................................................................221 Secuencia Didáctica 2: Gráficas de funciones racionales ..............................................................................226  Asíntotas de funciones racionales ............................................................................................................229

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Índice (continuación) BLOQUE 5: UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ........................................ 239 Secuencia Didáctica 1: Funciones exponenciales.......................................................................................... 240  Concepto de función exponencial ............................................................................................................ 241  Variación exponencial ............................................................................................................................... 245  El número e ............................................................................................................................................... 249 Secuencia Didáctica 2: Función logarítmica ................................................................................................... 254  Propiedades de los logaritmos ................................................................................................................. 257  Concepto de función logarítmica .............................................................................................................. 258  Gráfica de la función logarítmica .............................................................................................................. 258  Ecuaciones exponenciales y logarítmicas ................................................................................................ 262 BLOQUE 6: EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS ............................................................................. 269 Secuencia Didáctica 1: Funciones sinoidales ................................................................................................. 270  Concepto de las funciones senoidales .................................................................................................... 272  Características de las funciones seonidales ............................................................................................ 273 Secuencia Didáctica 2: Graficación paramétrica de funciones senoidales ................................................... 283  Graficación mediante parámetros ............................................................................................................ 284 Bibliografía ........................................................................................................................................................ 296

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Presentación “Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”. El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un mismo propósito en un determinado contexto. El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Matemáticas 4, es una herramienta de suma importancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está implementando a nivel nacional. El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje sea significativo. Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que realizaste en las actividades de inicio y desarrollo. En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma individual, binas o equipos. Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de campo, etc. La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa cuando el docente lo indique, de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una visión general del logro de los aprendizajes del grupo. Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu aprendizaje. Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las actitudes de responsabilidad e integración del grupo. Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo laboral o en su preparación profesional. Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir juntos.

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MATEMÁTICAS 4 Contiene

FUNCIONES Cuyo análisis particularizado conduce al estudio de

Funciones algebraicas

Funciones trascendentes

Las cuales se clasifican en

Las cuales se clasifican en Su inversa

Irracionales

Polinomiales

Racionales

Limitadas a

Senoidales

Logarítmicas

Exponenciales

Compuestas por las funciones

En especial

Grado de 0 a 4

Seno

Bases 10 y e

Con el fin de

Con el fin de

RESOLVER PROBLEMAS

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Coseno


Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones.

Competencias disciplinares básicas:       

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:   

Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional.

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 21 horas


Secuencia didáctica 1. Relaciones y funciones. Inicio

Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. I. Lee con atención el siguiente texto y responde los cuestionamientos posteriores. Mónica organizó en su salón la actividad del amigo secreto, que consiste en seleccionar aleatoriamente una persona para enviarle diariamente un presente; el último día de clases, cada participante descubre quién era su amigo secreto. Cuando se hizo el sorteo, Juan se quedó con dos papelitos y no aguantó la tentación de abrirlos, por supuesto, sin que nadie se diera cuenta. Al leer los nombres se sorprendió, porque era Claudia y Esteban, sus dos mejores amigos, por lo que decidió callar y regarle a ambos, ya que no podía decidirse por alguno. 1. ¿Qué podría pasar en la actividad que organizó Mónica, con el proceder de Juan?

Si la lista de participantes es la siguiente, relaciona con una flecha la forma en que podría quedar el reparto, si no descubren a Juan. Persona que regala Gustavo María Juan Sonia Mónica Claudia Sandra Carlos Esteban

Persona que recibe el regalo Gustavo María Juan Sonia Mónica Claudia Sandra Carlos Esteban

2. ¿Qué condición debe existir para que la actividad resulte?

Relaciona con una flecha una forma en la que podría quedar el reparto de tal manera que funcione. Persona que regala Gustavo María Juan Sonia Mónica Claudia Sandra Carlos Esteban

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Persona que recibe el regalo Gustavo María Juan Sonia Mónica Claudia Sandra Carlos Esteban

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 1 (continuación) 3. De acuerdo a lo anterior, ¿cómo definirías una relación entre dos conjuntos?

4. De igual forma, ¿cómo definirías una relación funcional entre dos conjuntos?

II.

Relaciona los siguientes conjuntos mediante flechas, escribiendo en la línea la palabra relación o relación funcional, dado el caso. Vegetales

Chícharo Avena Toronja Rábano Tomate

Tipos

Figuras geométricas

Cereal Fruta Verdura Leguminosa Cítrico Tubérculo

__________________________________

Actividad: 1 Conceptual Comprende la diferencia entre relaciones y funciones. Autoevaluación

BLOQUE 1

Número de lados

0 1 2 3 4 5 6 7

__________________________________

Evaluación Producto: Cuestionario y ejercicios Puntaje: de relacionar. Saberes Procedimental Actitudinal Identifica la diferencia entre una Muestra disposición al realizar la relación y una función. actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente

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Desarrollo Diferencia entre relaciones y funciones.

A lo largo de tu vida has relacionado eventos o fenómenos para poder comprender las situaciones, como por ejemplo, cuando se reparten los temas de una exposición en equipo, cuando asignan la posición que tomarán los jugadores de futbol, la distancia que recorre un automóvil al transcurrir el tiempo, la velocidad de un objeto que cae a una altura determinada, etc.; estos eventos suceden debido a que es un mundo cambiante, donde existe un sinfín de magnitudes que varían, como: el tiempo, la posición de la luna, el precio de un artículo, la población, entre otras. A continuación se definirán los conceptos principales para desarrollar esta asignatura, como el concepto de relación y función, y la diferencia que hay entre ellos. Relaciones. La relación entre dos conjuntos es la correspondencia que existe entre los elementos de un primer conjunto llamado dominio, con uno o más elementos de un segundo conjunto llamado contradominio o codominio. Una relación se puede representar utilizando las siguientes formas:

Un conjunto es una colección de personas, animales u objetos con características similares.

Mediante un criterio de selección o regla de asociación, el cual se puede presentar en forma de enunciado o una expresión analítica (fórmula), que explicita la relación entre los elementos de los dos conjuntos. Mediante un diagrama sagital, el cual relaciona los elementos de dos conjuntos por medio de flechas. Mediante un diagrama de árbol, el cual es una representación gráfica que muestra el desglose progresivo de la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos. Mediante un producto cartesiano, el cual consiste en obtener todos los pares ordenados posibles, cuya primera coordenada es un elemento del primero conjunto y la segunda coordenada es un elemento del segundo conjunto. Si los conjuntos a relacionar son A y B, el producto cartesiano entre ellos se denota como A x B. Mediante una tabla, la cual es la organización de los conjuntos en columnas, relacionando así los elementos de los mismos mediante las filas. Mediante una gráfica, la cual es una representación de elementos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que guardan entre sí. Todas las formas de correspondencia entre dos conjuntos se pueden expresar mediante pares ordenados; si la asociación se da mediante un enunciado, se requiere obtener primero los elementos de cada conjunto para establecer entre ellos la relación y describir los pares ordenados. A continuación se mostrarán ejemplos de las diferentes formas de representar una relación. Ejemplos de relación mediante un criterio de selección o regla de asociación.  

La relación que existe entre los estados colindantes a Durango y sus capitales. La relación que hay entre las asignaturas de cuarto semestre del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, con el número de horas a la semana en las que se imparten. La relación entre los jugadores de la selección mexicana, con su posible posición en el juego contra Sudáfrica en el mundial del 2010. La relación que existe entre los kilómetros que recorre un automóvil con el tiempo que transcurre, si éste se mueve a una velocidad de 90 Km/h y tiene que recorrer 252 Km para trasladarse de Ciudad Obregón a Hermosillo. La relación que hay entre un número y su cuadrado aumentado en dos unidades.

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RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

 


 

La relación que existe entre los resultados que se obtienen en el primer lanzamiento de una moneda, con su segundo lanzamiento. La relación que existe entre las variables de la ecuación y  2x  3

Ejemplos de relación mediante un diagrama sagital.

Núm. de horas

Asignaturas Estados

Capitales

Chihuahua Sinaloa Coahuila Zacatecas Nayarit

Saltillo Tepic Zacatecas Chihuahua Culiacán

(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacán), (Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit, Tepic)

E. socio-económica de México (ESEM) Matemáticas 4 (M4) Biología 2 (B2) Literatura 2 (L2) Física 2 (F2) Actividades paraescolares (A. P.) Lengua adicional al español 4 (LAE 4) Capacitación para el trabajo A (CPT A) Capacitación para el trabajo B (CPT B)

Segundo lanzamiento

A

A

S

S

(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)

BLOQUE 1

4 5

(ESEM, 4), (M4, 5), (B2, 4), (L2, 4), (F2, 5), (AP, 3), (LAE 4), (CPT A, 4), (CPT B, 3)

Jugadores Primer lanzamiento

3

Guillermo Ochoa Paul Aguilar Carlos Salcido Ricardo Osorio F. Javier Rodríguez Efraín Juárez Rafael Márquez Gerardo Torrado Giovani dos Santos Carlos Vela Guille Franco

Posiciones

Portero Defensa Medio campista Delantero

(G. Ochoa, Portero), (P. Aguilar, Defensa), (P. Aguilar, Medio), (C. Salcido, Defensa), (R. Osorio, Defensa), (FJ, Rodríguez, Defensa), (E. Juárez, Defensa), (E. Juárez, Medio), (R. Márquez, Defensa), (R. Márquez, Medio), (G. Torrado, Medio), (GD. Santos, Medio), (GD. Santos, Delantero), (C. Vela, Medio), (C. Vela, Delantero), (G. Franco, Delantero)

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Ejemplos de relaci贸n mediante diagrama de 谩rbol. Primer lanzamiento

Segundo lanzamiento

Blusas

Blanca

Mezclilla Vestir Capri

A

Negra

Mezclilla Vestir Capri

S

Naranja

A A S

Pantalones

S

(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)

Mezclilla Vestir Capri

(Blanca, Mezclilla), (Blanca, Vestir), (Blanca, Capri), (Negra, Mezclilla), (Negra, Vestir), (Negra, Capri), (Naranja, Mezclilla), (Naranja, Vestir), (Naranja, Capri)

Ejemplos de relaci贸n mediante un producto cartesiano. 1.

Se lanza una moneda dos veces, expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento.

A:1er. lanzamiento B: 2do. lanzamiento

Producto cartesiano A x B = {(s, s), (s, c), (c, s), (c, c)} .

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RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


2.

Expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento de dos dados.

A: Primer dado. B: Segundo dado.

1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6   2,1, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6    3,1, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6  A xB    4,1, 4, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 6  5,1, 5, 2, 5, 3, 5, 4, 5, 5, 5, 6    6,1, 6, 2, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6, 6 

Ejemplos de relación mediante una tabla. ESTADO Chihuahua Sinaloa Coahuila Zacatecas Nayarit

CAPITAL Chihuahua Culiacán Saltillo Zacatecas Tepic

(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacán), (Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit, Tepic)

BLOQUE 1

x –1 0 1 2 3

y  2x  3 1 3 5 7 9

(-1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9)

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Ejemplos de relación mediante una gráfica. 

d (Km)

y







y

x

x



























 t (hrs) 

Es muy importante que comprendas que no todas las relaciones se pueden representar mediante las formas antes mencionadas, como por ejemplo, la relación que existe entre los jugadores y su posible posición, no se puede representar mediante una ecuación; tampoco tendría sentido intentar formar un diagrama de árbol o un producto cartesiano, por lo que sólo se puede representar en forma de enunciado o diagrama sagital. Una tabla proporciona una relación directa, donde cada elemento del primer conjunto está asociado con un elemento del segundo conjunto, de forma ordenada; al igual que la tabla, la representación gráfica proporciona una relación directa entre los elementos de los conjuntos, sin embargo, tanto la tabla como la gráfica pueden carecer de información suficiente como para describir su comportamiento mediante una expresión analítica, por ello, la representación analítica es la más completa, de ella se puede derivar una tabla, un gráfica, una expresión verbal y un diagrama sagital. El diagrama de árbol y el producto cartesiano se utiliza, en su mayoría, para obtener espacios muestrales y eventos probabilísticos, como los que abordaste en el último bloque de la asignatura de Matemáticas 2.

Actividad: 2 Cita dos ejemplos de cada una de las formas de representar la relación entre dos conjuntos. 1.

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Enunciado.

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 2 (continuaci贸n) 2. Representaci贸n anal铆tica.

3. Diagrama sagital.

4. Diagrama de 谩rbol.

BLOQUE 1

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Actividad: 2 (continuación) 5.

Producto cartesiano.

6. Tabla.

7. Gráfica.

Actividad: 2 Conceptual Reconoce las diferentes formas de representar la relación entre conjuntos. Autoevaluación

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Evaluación Producto: Diseño de ejemplos. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Ejemplifica las diferentes formas de Aprecia la utilidad de las representar la relación entre diferentes formas de representar conjuntos. una relación entre conjuntos. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Funciones. Ahora se abordará el concepto de función, la cual es un tipo especial de relación, su definición es: Una función es una relación en la cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto (contradominio).

Actividad: 3 Anota en la línea la palabra RELACIÓN o la palabra FUNCIÓN según corresponda y justifica tu respuesta. 

Fam. Zárate

y

  x 





María Carlos Francisco Manuel Lupita Javier

Asignaturas 1 2 3 5 6 7 8 9

 

______________________________________ Justificación:

Justificación:

x -1 0 1 2 3

y  2x  3 1 3 5 7 9

______________________________________ Justificación:

BLOQUE 1

______________________________________

Estados

Capitales

Chihuahua Sinaloa Coahuila Zacatecas Nayarit

Saltillo Tepic Zacatecas Chihuahua Culiacán

______________________________________ Justificación:

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Actividad: 3 (continuación) x 2  y 2  3x  4y  10  0

R  1,  5, 5, 2, 4,  3, 1,  4, 0,  5, 4, 6

______________________________________

______________________________________

Justificación:

Justificación:

Jugadores 

y

   x 





 

______________________________________ Justificación:

Actividad: 3 Conceptual Enuncia las características de una relación y de una función. Autoevaluación

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Posiciones

Guillermo Ochoa Paul Aguilar Carlos Salcido Ricardo Osorio F. Javier Rodríguez Efraín Juárez Rafael Márquez Gerardo Torrado Giovani dos Santos Carlos Vela Guille Franco

Portero Defensa Medio campista Delantero

______________________________________ Justificación:

Evaluación Producto: Ejercicios de relacionar y Puntaje: respuesta breve. Saberes Procedimental Actitudinal Argumenta la diferencia entre una Expone sus ideas con claridad. función y una relación. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Dominio y rango. En el estudio de las relaciones y las funciones, algunos conceptos deben quedar suficientemente claros para ser utilizados correctamente. Entre ellos se encuentran el concepto de dominio y contradomonio o codominio, mencionados anteriormente, los cuales se definen a continuación. Dominio (Dom): Es el conjunto de elementos a los que se les aplica la relación. Contradominio o codominio: Es el conjunto al que son enviadas, mediante la relación, los elementos del dominio. Argumentos: Son los elementos del dominio, es decir, los valores que se toman para construir la relación. Imágenes: Son los elementos del contradominio o codominio que están asociados con algún argumento. Rango: Es el subconjunto del codominio o contradominio que contiene a todas las imágenes o valores de la relación. En el siguiente ejemplo visualizarás estas definiciones. Equipo de danza Ana Yolanda Conchita Karla Laura Sofía

Equipo de danza Ana Yolanda Conchita Karla Laura Sofía

Argumentos (elementos)

DOMINIO (conjunto)

Grupos 101 M 102 M 103 M 104 M 105 M 106 M

Grupos 101 M 102 M 103 M 104 M 105 M 106 M

RANGO (conjunto)

Imágenes (elementos)

CONTRADOMINIO (conjunto)

Los conjuntos se expresan de la siguiente forma: Dom={Ana, Yolanda, Conchita, Karla, Laura, Sofía} Contradominio={101 M, 102 M, 103 M, 104 M, 105 M, 106 M} Rango={101 M, 102 M, 103 M, 104 M}

BLOQUE 1

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Actividad: 4 Marca con  si los conjuntos corresponden a una función o relación; determina el dominio, contradominio y rango de cada una de ellas. Categorías Docentes

Francisco Durán Javier Sandoval Marco Ramos José Luis Gutierrez Susana Herrera Jesús Leyva José Armenta Antonio Ricardez

Figuras geométricas

Titular A Titular B Titular C CB I CB II CB III CB IV CB V

Función Relación Dom: Contradominio: Rango:

CB V Núm. de lados Función 0 1 2 3 4 5 6 7

Empleado Antonio Manuel Yolanda Conchita Jesús Karla

Relación Dom: Contradominio: Rango:

Sueldo $5,000 $7,500 $8,000 $10,500 $12,000 $14,100

Función Relación Dom: Contradominio: Rango:

Actividad: 4 Conceptual Identifica el dominio, contradominio y rango de relaciones y funciones. Autoevaluación

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Evaluación Producto: Ejercicios de relacionar. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Escoge los elementos del dominio, Aprecia a las relaciones y contradominio y rango de funciones como parte de su vida relaciones y funciones. cotidiana. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Formas de representar una función. Una función f que relaciona a un conjunto X con un conjunto Y se denota de la siguiente forma: f:XY Se lee: “función f de X a Y”.

f Y

X 1

A

2

B

3

C

4

D

5

F

5 Como se observa, a cada elemento del conjunto X le asocia un elemento del conjunto Y mediante la función “f”, por lo tanto, se pueden relacionar de forma individual, de la siguiente forma. f(1) = A f(2) = B f(3) = D f(4) = C f(5) = B En general si se desea relacionar cualquier elemento del dominio con su correspondiente imagen, se denotaría de la siguiente forma: f(x)=y Se lee: “f de x es igual a y". Si se expresa la función como pares ordenados se obtiene: f(x)={(1, A), (2, B), (3, D), (4, C), (5, B)} También se puede representar la función en forma de tabla, como se observa a continuación. x 1 2 3 4 5

f(x) A B D C B

La representación analítica no se puede expresar, debido a que no se tiene una regla de asociación que describa la correspondencia entre los elementos. Es necesario aclarar que una función no sólo se denota con la letra “f”, se puede utilizar cualquier letra del alfabeto en mayúscula o minúscula, así como también con letras griegas. Cuando el problema es aplicado en alguna situación se acostumbra a utilizar la letra de la función que se está aplicando, como por ejemplo: si el problema indica expresar al volumen como función de “x”, la función se expresa como V(x).

BLOQUE 1

23


Cuando una función está expresada en forma de enunciado se puede escribir su representación analítica o viceversa, como en los siguientes ejemplos: 1. 2.

Si el enunciado es: “El cubo de un número más cinco”, entonces su representación analítica es: f( x )  x 3  5 . Si el enunciado es: “El triple del cuadrado de un número más el doble del mismo”, entonces su representación analítica es: g( x )  3x 2  2x .

3.

Si la representación analítica es: T( x )  número disminuido en 7 unidades”.

4.

x 4

 7 , el enunciado correspondiente es: “la cuarta parte de un

Si la representación analítica es: V( x )  x  1 , el enunciado correspondiente es: “la raíz cuadrada de la diferencia de un número con uno”.

A continuación se mostrará algunos ejemplos aplicados, en los que se expresan las diferentes formas de denotar y representar una función. Ejemplo 1. La edad de los hijos de Doña Lucía de Valdez.

E A

B

Gabriel

12 13 14 15 16 17 18

Sonia Javier Humberto

Los conjuntos A y B se relacionan mediante la función E, la edad; ésta es función dado que a los hijos de Doña Lucía le corresponde sólo un número, debido a que ninguna persona puede tener dos edades. La función se denota como: E: A  B De manera que si se aplica la función E al conjunto A, se obtiene el elemento correspondiente de B. Una forma de relacionar a cada argumento con su imagen mediante la función es: E(Gabriel) = 12 E(Sonia) = 14 E(Javier) = 14 E(Humberto) = 18 Lo más enriquecedor de descubrir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos mediante una relación o función es el análisis o conclusiones que se pueden desprender de ella, como es en este caso las siguientes deducciones:   

24

Doña Lucía parió en tres ocasiones. Sonia y Javier provienen de un embarazo múltiple. La diferencia entre el mayor y sus hermanos es mínimo de 5 años.

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Ejemplo 2. El tanque de gasolina de un automóvil contiene 10 litros. Si su rendimiento es de 12 Km/L, la tabla muestra la cantidad de gasolina contra la distancia, medida cada 24 km. Litros (l) 2 4 6 8 10

Distancia (d) 24 48 72 96 120

En este caso cada columna representa un conjunto por lo que la función se representa de la siguiente forma. F: L  D Donde L representa al conjunto de los litros y D al conjunto de las distancias. Debido a la descripción del problema y la información que se tiene de la tabla, se puede representar la forma analítica de la función, de hecho, el comportamiento es lineal, a medida que se consumen 2 litros el automóvil avanza 24 kilómetros. Como recordarás, en Matemáticas 1 y 3 aprendiste a modelar y graficar funciones lineales, por lo tanto, la función quedaría: F(l)=12l Utilizando la tabla se puede trazar la representación gráfica de la función. 

d

             

l 

   

De acuerdo a las características del problema, el dominio de la función no se puede describir de forma puntual, es decir, citando los elementos uno a uno como se muestra en la tabla, ésta es una muestra de los posibles valores que puede tomar; entonces el dominio se describe por intervalo, el cual va de cero a 10 litros, por lo tanto el rango abarca el intervalo de 0 a 120 Kilómetros. Posteriormente se proporcionará una notación más apropiada, matemáticamente hablando, de la forma de expresar el dominio y el rango de una función en intervalos.

BLOQUE 1

25


Actividad: 5 Resuelve lo que se pide. I. Considera la función g x   x 3  2x  3 para contestar los siguientes incisos: a) Completa cada una de las imágenes de la función para los argumentos indicados, sigue el ejemplo que se muestra a continuación. 3 g  2   2   2  2   3  1

g 1  g 0  g 1  g 2 

b) Forma los pares ordenados con las imágenes obtenidas en el problema anterior.

g x   {(  2,  1 ), (

,

), (

,

), (

,

), (

,

)}

c) Expresa el enunciado que describe a la función anterior.

II.

Completa la siguiente tabla. x

fx   x  3  2 2

1 2 3 4 5 a) Expresa el enunciado que describe a la función anterior.

b) Escribe los pares ordenados que se forman en la tabla.

c) Grafica los puntos que representan los pares ordenados.

26

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 5 (continuación) III.

Realiza la representación sagital de la regla de asociación “el doble de un número más 4 unidades”, usa los primeros cinco números naturales.

IV. Dados los pares ordenados Hx   {(  2,  10 ), (1,  5 ), ( 0,0 ), (1,5 ), ( 2,10 ), ( 3,15)} a) Escribe un enunciado que corresponda a los pares ordenados.

b) Expresa la función que modele los pares ordenados.

c) Expresa el dominio y el rango de la función.

V.

La renta de una habitación en el hotel Costa Marfil es de $450 como pago inicial más $300 por cada día transcurrido. a) Escribe la representación analítica de la renta de una habitación en función de los días transcurridos, R(t).

b) Representa mediante una tabla, seis valores de la función anterior. Rt  t

c) Determina el dominio y el rango de R(t).

Actividad: 5 Conceptual Ubica las diferentes formas de representar una función, así como el dominio y rango de la misma. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Construye las diferentes Es creativo y propositivo al representaciones de una función, realizar la actividad. así como el dominio y rango de la misma. C MC NC Calificación otorgada por el docente

27


Actividad: 6 En equipo, elaboren una caja sin tapa con una hoja de papel tamaño carta. Para formar la caja, se recortan cuadros de las esquinas como se muestra en la figura, el profesor les asignará a cada equipo la longitud del lado del cuadrado (1 cm, 2 cm, 3cm, 4cm, etc.) que deben de recortar para formarla.

x x 1.

Calcula el área de la caja y el volumen de la misma.

2.

Los equipos mencionarán los resultados obtenidos y llenarán la siguiente tabla. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3.

28

Área

Volumen

Graficar en un plano cartesiano el área contra la longitud del lado del cuadrado recortado.

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 6 (continuación) 4.

Graficar en el plano cartesiano el volumen contra la longitud del lado del cuadrado recortado.

5.

Escribir la forma analítica del área y el volumen como una función que depende de la longitud del lado del cuadrado recortado.

6.

Escribe el dominio y el rango de cada una de las funciones antes obtenidas.

7.

¿Qué análisis y conclusiones puedes establecer de las representaciones antes obtenidas?

Actividad: 6 Conceptual Identifica las diferentes formas de expresar una función. Coevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Práctica. Saberes Procedimental Construye las diferentes formas de expresar una función. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Presenta disposición al trabajo colaborativo con sus compañeros.

Calificación otorgada por el docente

29


Cierre Actividad: 7 Dadas las siguientes funciones, realiza la representación correspondiente. 1. fx   x 2

4. T x   x

3. h x   2x  1

2. gx   3x

a) Mediante un diagrama sagital. f X

g Y

X

Y

h

T

X

b) Mediante una tabla de valores. x

fx   x 2

x

c) Mediante pares ordenados. f x   {( , ), ( , ), (

30

X

Y

gx   3x

Y

h x   2x  1

x

x

,

), (

,

), (

,

), (

,

)}

g x   {(

,

), (

,

), (

,

), (

,

), (

,

), (

,

)}

h x   {(

,

), (

,

), (

,

), (

,

), (

,

), (

,

)}

T x   {(

,

), (

,

), (

,

), (

,

), (

,

), (

,

)}

T x   x

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 7 (continuación) d) Mediante una gráfica.  f (x)   

 g (x)   

  

  

        

x   

  

        

   

  

  

   

 h (x)   

   

  

  

        

x

x   

  

        

   

T (x)

x   

  

   

e) Mediante un enunciado. 1. 2. 3. 4.

_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ______

Actividad: 7 Conceptual Reconoce las diferentes formas de representar a una función. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Representaciones. Saberes Procedimental Representa de diferentes formas una función. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.

Calificación otorgada por el docente

31


Secuencia didáctica 2. Clasificación de funciones. Inicio

Actividad: 1 Contesta lo que se pide en cada sección. I. Observa las siguientes gráficas y escribe en la línea la palabra Función o Relación según sea el caso; justifica tu respuesta. f (x) 

_________________________________________________________

        

  



x 

Justificación:______________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

     

f (x)

_________________________________________________________

        

  



x 

Justificación:______________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

     

f (x)

_________________________________________________________

           



x 

Justificación:______________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

    

32

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 1 (continuación) II. Analiza la forma que tienen las siguientes gráficas y de la clasificación que se da posteriormente, escribe en la línea las que pienses que cumplen cada una de ellas. Clasificación: Creciente, Decreciente, Constante, Continua, Discontinua. f (x)

 f (x)

 





 



x

 





x

  



  







 ________________________________________ 

________________________________________

 _________________________________________ 

_________________________________________

 f (x)            

       

x 



   ________________________________________ 

________________________________________ 

  

  

  

_________________________________________ 

f (x)

 

 



x

_________________________________________

     

f (x)

               

 f (x)

x 

    ________________________________________ 

________________________________________

BLOQUE 1





     





x 

     

_________________________________________  _________________________________________

33


Actividad: 1 (continuación) f (x) 

 





 



x

f (x)





 















x 





 







________________________________________

 _________________________________________

________________________________________

_________________________________________



 f (x)

f (x)

      



x 



 









 



















x 



________________________________________

_________________________________________

________________________________________

_________________________________________

Actividad: 1 Conceptual Describe el comportamiento de las funciones. Autoevaluación

34

Evaluación Producto: Reactivos de respuesta Puntaje: breve. Saberes Procedimental Actitudinal Explica el comportamiento de las Muestra interés al realizar la funciones. actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Desarrollo En asignaturas anteriores te has encontrado con problemas que se tienen que modelar mediante una expresión algebraica y que pueden ser representados con gráficas para poder darles solución, es por ello que el uso de las funciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia. Para hacer un uso adecuado de las funciones debes poseer habilidades para distinguir sus características, así como también para lograr una mejor interpretación. En virtud de lo anterior, en este tema se analizarán las características más importantes de las funciones, las cuales permiten su clasificación. A continuación se presenta un esquema de la forma en que se clasifican las funciones, para que tener un panorama general de lo que se abordará en esta secuencia. Clasificación de funciones Según

Su forma analítica

Algebraicas Polinomiales Racional Irracional Trascendentes Trigonométricas

La presentación de su forma analítica

Explícitas Implícitas

Su gráfica

Por su trazo

La forma de correspondencia entre sus conjuntos

Inyectiva

Continuas

Sobreyectiva

Discontinuas

Biyectiva

Por su variación Crecientes Decrecientes

Exponenciales Logarítmicas A continuación se mostrarán las características de cada una de las clasificaciones y en los bloques posteriores se estudiarán detalladamente. Se mostrarán también gráficas de cada una de ellas para que te vayas familiarizando, asociando la representación analítica con la gráfica, además de su variación, entre otras cosas. Al igual que en asignaturas anteriores, a la variable “x” se le denomina variable independiente y a la variable “y” se le conoce como variable dependiente, en pocas palabras, debido a que la variable “y” dependerá del valor que se asigne a la variable “x”. Hay que recordar que la variable “y” está en función de “x”. Para facilitar el lenguaje, de ahora en adelante se utilizara la palabra función para referirse a “y” y la palabra variable para referirse a “x”.

BLOQUE 1

35


Según su forma analítica. Funciones Algebraicas. Son aquellas funciones que están compuestas por términos algebraicos mediante operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces. Las funciones algebraicas se dividen en polinomiales, racionales e irracionales. A continuación se definirán cada una de ellas. Funciones polinomiales. Estas funciones tienen como forma general la siguiente:

fx   a n x n  a n1x n1  a n2 x n2  a n3 x n3  ...  a 2 x 2  a 1x  a 0 Donde an, an.1,…, a1, a0 son constantes y n es un número no negativo. El dominio de las funciones son aquellos valores que pueden sustituirse en la función y ésta es verdadera, por lo tanto el dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números reales. Las funciones polinomiales que se tratarán en esta asignatura son hasta de grado cuatro. En seguida se mostrarán la forma general de cada una de ellas y sus nombres.

Funciones polinomiales

 Función   Función   Función   Función  Función 

cons tan te lineal cuadrática cúbica cuártica

fx   a

fx   mx  b

con m  0

fx   ax  bx  c 2

con a  0

fx   ax  bx  cx  d 3

2

fx   ax  bx  cx  dx  e 4

3

2

con a  0 con a  0

Si te darás cuenta, las tres primeras funciones las manejaste en las asignaturas anteriores, pero de igual forma se ejemplificará cada una de ellas en esta secuencia y se retomarán en los bloques posteriores para abordarse con mayor profundidad. Función constante. Esta función tiene como imagen el mismo número; su dominio son todos los números reales y a todos ellos se les asocia el mismo elemento, el cual es el rango. Para darle mayor claridad se mostrarán algunos ejemplos. Ejemplo 1. Graficar la función fx   4 , determinar su dominio y rango. Se utilizará una tabla para poder ubicar las coordenadas de algunos puntos de la función. x –2 –1 –0 1 2

fx   4 4 4 4 4 4

Si observas en la tabla se eligen los valores de la variable más comunes como – 2, – 1. 0, 1, 2, y a todos ellos al sustituirlos en la función les asigna el 4.

Como su nombre lo dice, la variable “x” es independiente, por lo que se puede elegir cualquier número perteneciente a los números Reales y a todos ellos les asignará el mismo valor, 4; por lo que la gráfica es una recta horizontal que corta al eje Y en 4, como se muestra a continuación en su gráfica.

36

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


 f (x)               

x   

  

   

En la gráfica es más sencillo visualizar el dominio y el rango de la función.  f (x)      

Dom =  , 

        

  

Rango= 4

x   

   

La notación que se usó tanto en el dominio como en el rango la puedes verificar en el anexo A, al final de tu módulo. Ejemplo 2. Expresa la función y traza la gráfica si su dominio son los números reales y el rango es  Sabiendo que todos los valores de la función es el número 

9 2

.

9

, se puede trazar la línea horizontal a esa altura y 2 extenderse a los lados desde  hasta  , como lo determina el dominio, por lo tanto, la gráfica queda:  f (x)                   

BLOQUE 1

Como para cualquier valor de “x” el valor de la función es 

2

, por consiguiente

la función queda:

fx   

x   

9

9 2

  

El dominio y el rango se expresan de la siguiente forma:

Dom :  ,   9 Rango     2

37


Función lineal. La función lineal es una función algebraica cuyo grado es 1, y se puede visualizar en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Graficar la función gx   3x  4 , así como determinar su dominio y su rango. Como recordarás, esta función se abordó tanto en Matemáticas 1 como en Matemáticas 3, en ellas aprendiste diferentes formas de graficar una función lineal, por medio de una tabla, de las intersecciones de la función con los ejes coordenados, así como también a utilizar los parámetros m (pendiente) y b (ordenada en el origen). Utilizando una tabla para encontrar los valores se tiene: x –2 –1 0 1 2 3

gx   3x  4

gx   3x  4 – 10 –7 –4 –1 2 5

Graficando los puntos se obtiene:

g 2  3 2  4  10 g 1  3 1  4  7 g0  30  4  4 g1  31  4  1 g2  32  4  2 g3  33  4  5  g (x)    

              

x

      

Al tener la función, se puede calcular cualquier valor de x que se desee, enteros, racionales inclusive los irracionales, por lo tanto se deben unir los puntos mediante una línea recta. Con ello se comprueba que su dominio son los números reales, como se observa a continuación.  g (x)                   

x

      

Rango=  , 

Dom =  , 

38

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Ejemplo 2. Graficar la función fx   x , describir su dominio y rango. Se utilizará de nuevo una tabla para trazar su gráfica.

fx   x –3 –2 –1 0 1 2

x –3 –2 –1 0 1 2

En ella se observa que tanto la variable como la función tienen el mismo valor, es por ello que se le denomina función identidad o idéntica. Posteriormente te darás cuenta que la función identidad es muy importante para identificar la inversa de una función. Su gráfica describe una recta con un ángulo de inclinación de 45º.  f (x)    









x 

    

Al igual que todas las funciones lineales, su dominio y rango es el conjunto de los números reales. Tanto el dominio como el rango se pueden escribir de dos formas: Forma de intervalo Dom   ,  

Rango   ,  

Forma de conjunto. Dom  

Rango  

BLOQUE 1

39


Función cuadrática. La función cuadrática es de segundo grado y es de la forma fx   ax 2  bx  c con a  0 , su gráfica describe una parábola, como a continuación se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Graficar la función Tx   x 2  4x  1 ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la gráfica de la función. x –4 –3 –2 –1 0 1

Tx   x 2  4x  1 1 –2 –3 –2 1 6

T 4   4  4 4  1  1 2 T 3   3  4 3  1  2 2 T 2   2  4 2  1  3 2 T 1   1  4 1  1  2 2 T0  0  40  1  1 2 T1  1  41  1  6 2

Su gráfica es: T(x)    

Rango=  3,

  x 









  

Dom =  , 

Consulta el anexo A al final de tu módulo, para que verifiques cómo se representa el Dominio y Rango en forma de intervalo. Ejemplo 2. Graficar la función Hx   x 2  3 ; encontrar el dominio y el rango. Se sustituyen los valores en la función para encontrar los puntos.

40

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


x –2 –1 0 1 2

Hx   x 2  3 –1 2 3 2 –1

H 2   2  3  1 2 H 1   1  3  2 2 H0  0  3  3 2 H1  1  3  2 2 H2  2  3  1 2

Su gráfica es: H(x)     x 









Rango=  ,3

   

Dom =  , 

Función cúbica. La función cúbica es una función polinomial de tercer grado, es de la forma fx   ax 3  bx 2  cx  d con a  0 . Para conocer su gráfica se requiere ejemplificar. Ejemplo 1. Graficar la función D x   x 3  6x 2  12 x  6 ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la gráfica de la función. x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

BLOQUE 1

D x   x 3  6x 2  12 x  6 – 1.375 1 1.875 2 2.125 3 5.375

D0.5  0.5  60.5  120.5  6  1.375 3 2 D1  1  61  121  6  1 3 2 D1.5  1.5  61.5  121.5  6  1.875 3 2 D2  2  62  122  6  2 3 2 D2.5  2.5  62.5  122.5  6  2.125 3 2 D3  3  63  123  6  3 3 2 D3.5  3.5  63.5  123.5  6  5.375 3

2

41


Su gráfica es:  D (x)     

Rango=  ,

 x 



   

Dom =  , 

Ejemplo 2. Graficar la función K x   

1 3

x 3  1 ; obtener el dominio y el rango.

En este caso, la función no tiene el término cuadrático y lineal, pero sigue siendo una función cúbica. x –3 –2 –1

42

1

K x   

3

8

5 3 2  3

0

–1

1

2

3

– 10

4 3 11 3

x3  1

K 3   K 2  

1 3 1 3 1

 33  1  8  23  1  5

3 2 K 1    1  1   3 3 1 3 K0   0  1  1 3 1 3 4 K1   1  1   3 3 1 3 11 K2   2  1   3 3 1 3 K3   3  1  10 3 3

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Su gráfica es: 

K(x)

              

x 

Rango=  ,

        

Dom =  , 

Función cuártica. La función cuártica es una función polinomial de cuarto grado, es de la forma:

fx   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e con a  0 . Cualquiera de los términos b, c, d o e pueden valer cero, pero no así el coeficiente a, a continuación se ejemplificará su gráfica. Ejemplo 1.

Graficar la función f x   4x 4  6x 3  2x 2  2x  3 ; obtener el dominio y el rango. Se utiliza una tabla para determinar la gráfica de la función.

BLOQUE 1

x

f x   4x 4  6x 3  2x 2  2x  3

–1 –0.5 0 0.5 1 1.5

11 –0.5 –3 –4 –5 –1.5

f  1  4 14  6 13  2 12  2(1)  3  11 f  0.5  4 0.54  6 0.53  2 0.52  2(0.5)  3  0.5 f 0  404  603  202  2(0)  3  3 f 0.5  40.54  60.53  20.52  2(0.5)  3  4 f 1  414  613  212  2(1)  3  5 f 1.5  41.54  61.53  21.52  2(1.5)  3  1.5

43


Su gráfica es: 

f (x)

    





x



Rango=  5,

     

Dom =  , 

Este tipo de funciones, como en las cuadráticas, se requiere otro proceso para encontrar el punto más bajo con el fin de determinar con certeza el rango, como se muestra en la gráfica; esto lo aprenderás en el bloque correspondiente a las funciones de tercer y cuarto grado, así como también, en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I. Ejemplo 2. Graficar la función G x   

1 4

x4  x 

21 4

; obtener el dominio y el rango.

En este caso, se carece del término cúbico y cuadrático, pero sigue siendo una función cuártica. x –2 –1 0 1 2

44

G x   

1

x4  x 

4 

3 4

4

21 4

21 4

G 2  

G0   G1  

13

G2  

4 1

 24   2  21   3  0.75

4 4 21 G 1    1   1  4 4 4

6

4

1

1 4 1

04  0  21  21  5.25 14  1 

4 1 4

4

24

4 21

4

6 4 21 13  2    3.25 4 4

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Su gráfica es: 

G(x)

      







x 

Rango=  ,6

   

Dom =  ,  Funciones racionales. Son las funciones que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma: Px  donde Px  y Q x  son funciones polinomiales sólo que Q x   0 . fx   Qx  En el caso de que Q x  sea constante, se obtiene una función polinomial, como se muestra al simplificar la función

fx  

4x 2  8x  1

. 2 Para simplificarla es necesario realizar la división.

f (x) 

4x 2  8x  1 2 4 2 8 1 fx   x  x  2 2 2 1 fx   2 x 2  4 x  2 fx  

   x

Se obtiene una función cuadrática y su gráfica es la siguiente:





 

Su dominio y rango es:

Dom :  ,  



 5  Rango   ,    2 

BLOQUE 1

45


En esta sección se ejemplificará la forma que tienen las funciones racionales con denominador diferente a una función constante y en el bloque 4 se abordará más a fondo este tipo de funciones. Ejemplo 1. Graficar la función fx  

x2  4

; determinar su dominio y su rango. x2 Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la función.

fx  

x

x2  4 x2

 42  4 12   6  4  2  2  32  4 5 f 3    5  3  2  1 2  2  4 0 f 2    No está definido  2  2 0  12  4  3 f 1    3  1  2 1 02  4  4 f0    2 0  2 2 12  4  3 f1    1 1  2 3 22  4 0 f2   0 2  2 4 f 4 

–4

–6

–3

–5

–2

No está definido

–1

–3

0

–2

1

–1

2

0

Al graficar se obtiene: 

f(x)

     

 

 

x 

Como se observa en la gráfica, el comportamiento de los puntos parece ser una recta, pero cuando la variable toma el valor de –2, el cociente tiene divisor cero, por lo tanto, se indefine. Para poder determinar el comportamiento alrededor de la indefinición, se requiere tomar valores cercanos a x=–2, como se observa en la siguiente tabla.

    

46

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


fx  

x

x2  4 x2

–4.8

–2.6

–4.6

–2.4

–4.4

–2.2

–4.2

–2

No está definido

–1.8

–3.8

–1.6

–1.6

–1.4

–3.4

–1.2

–3.2

Al graficarse la tabla con los valores más cercanos a –2, se observa lo siguiente:

f(x)

El comportamiento sigue siendo lineal, y se puede seguir graficando valores de “x” más cercanos a –2, para comprobar que efectivamente ese comportamiento.

    

 

 2.82  4 3.84   4.8  2.8  2  0.8  2.62  4 2.76 f 2.6     4.6  2.6  2  0.6  2.42  4 1.76 f 2.4    4.4  2.4  2  0.4  2.22  4 0.84 f 2.2    4.2  2.2  2  0.2  22  4 0 f 2    No está definido  2  2 0  1.82  4  0.76 f 1.8    3.8  1.8  2 0.2  1.62  4  1.44 f 1.6     3.6  1.6  2 0.4 2  1.4  4  2.04 f 1.4    3.4  1.4  2 0.6  1.22  4  2.56 f 1.2    3.2  1.2  2 0.8 f 2.8 

–2.8

x 

Por lo tanto, se dibuja la línea pero con un “punto hueco” a la altura de –4.









f (x)



x

 









 4,

 

El dominio y el rango se componen de una unión de dos intervalos, como se observa en la gráfica. Dom   ,2   2,  

Rango   ,4   4,  

o bien

 

Dom     2



Rango     4

 , 4

 

 , 2 BLOQUE 1

 2, 47


Ejemplo 2.

x

Graficar la función Lx  

; determinar su dominio y su rango. x 1 Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la función. x

Lx  

x x 1

–3

0.75

–2

0.67

–1

0.5

0

0

1

No está definido

2

2

3

1.5

4

1.3

 3   3  0.75  3  1  4  2   2  0.67 L 2   2  1  3  1   1  0.5 L 1   1  1  2 0  0  0 L0  0  1  1 1  1  No está definido L1  1  1 0 2  2  2 L2  2  1 1 3  3  1.5 L3  3  1 2 4  4  1.3 L4  4  1 3

L 3 

Al graficar se obtiene:                           

48

L(x)

x

La gráfica de los puntos no dice mucho, por lo tanto, se requiere tomar valores cercanos a x=1, para ver su comportamiento, así como también valores en los extremos, para ello consideraremos la siguiente tabla.

        

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


fx  

x

x2  4 x2

 6  6   0.86  6  1  7  5  5 L 5    0.83  5  1  6 0.5 0.5 L0.5    1 0.5  1  0.5 0.8  0.8  4 L0.8  0.8  1  0.2 1 1 L1    No está definido 1  1 0 1.2 1.2 L1.2   6 1.2  1 0.2 1.5 1.5 L1.5   3 1.5  1 0.5 5 5 L5    1.25 5  1 4 6  6  1.2 L6   6  1 5

L 6  

–6

0.86

–5

0.83

0.5

–1

0.8

–4

1

No está definido

1.2

6

1.5

3

5

1.25

6

1.2

Según los puntos obtenidos, quedan distribuidos de la siguiente forma:  

L(x)

Al seguirse graficando puntos más cercanos al 1, se tiene que a su derecha tienden a irse a infinito (  ) y al acercarse por la izquierda del 1, tienden a irse a menos infinito (  ).

                  

Al igual que en los extremos, entre más grande el número, el valor de la función se acerca al 1 por arriba, y entre más pequeño es el número, el valor de la función se acerca a 1 por abajo, por lo tanto, la gráfica completa quedaría así:

x  

 

 

 

    

   

Las líneas punteadas se llaman asíntotas, la vertical representa el valor que no puede tomar la variable y la horizontal representa el valor que no puede tomar la función, es por ello que su dominio y rango son:

Rango   ,1   1,  

o bien

        

x  

 

 

   

Dom     1

Rango     1

 ,1

BLOQUE 1

1, 

   

 

Dom   ,1   1,  

L(x)

    

 

 , 1

1,  49


Así como estos dos ejemplos, que son tan diferentes en sus gráficas, encontrarás que las funciones racionales son muy variadas en su comportamiento, todo depende del tipo de funciones polinomiales que contengan en su numerador y denominador. Funciones irracionales. Son las funciones que se identifican por poseer raíces que involucran a la variable, este tipo de funciones no se pueden expresar como funciones racionales. Algunos ejemplos de funciones irracionales son:

fx   2x  5

gx   2x 2  3

hx   3 x 2  4

Se debe descartar aquellas funciones en las que se pueda extraer la variable de la raíz, como por ejemplo. En la función fx   4 4x 8 , se puede extraer la raíz dividiendo la potencia entre el radical y se obtiene como resultado

fx   4 4x 8  4 4x 2 , dejando ver que se trata de una función polinomial. La función fx   3x 2  5x 2  6 se puede expresar como fx   3x 2  5x  6 , que resulta ser una función polinomial. Se ejemplificarán algunas funciones irracionales para observar su comportamiento. Ejemplo 1.

Graficar la función fx   x  2 , así como determinar su dominio y su rango. Utilizando una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos. x

fx   x  2

–1 0 1 2 3 4 5 6

No es número real No es número real No es número real 0 1 1.4 1.7 2

f 1   1  2   3 No es número real f0  0  2   2 No es número real f1  1  2   1 No es número real f2  2  2  0  0 f3  3  2  1  1 f4  4  2  2  1.4 f5  5  2  3  1.7 f6  6  2  4  2

Como se observó, los valores que se pueden sustituir en la función son aquellos en los cuales el radicando sea un número no negativo, puesto que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece al conjunto de números imaginarios, no a los números reales.

50

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se tiene:  f (x)     x 



   

Para unir los puntos se debe considerar que los valores donde existe la función son mayores o iguales a 2 ( x  2 ), por lo tanto, la línea se traza a partir del punto ( 2, 0 ) hacia la derecha y hacia arriba, quedando la gráfica de la siguiente forma:  f (x)     x 



   

El dominio y el rango son:  f (x)   

Rango=  0, 

 x 



 

Dom =  2,  

 

BLOQUE 1

51


Ejemplo 2.

Graficar la función Lx    2 4  x  3 , así como determinar su dominio y su rango. Para resolver este ejemplo, se utiliza una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos. x

Lx    2 4  x  3

–2 –1 0 1 2 3 4 5

–1.9 –1.5 –1 –0.5 0.2 1 3 No es número real

L 2   2 4   2  3  2 6  3  1.9 L 1   2 4   1  3  2 5  3  1.5 L0   2 4  0  3  2 4  3  1 L1   2 4  1  3  2 3  3  0.5 L2   2 4  2  3  2 2  3  0.2 L3   2 4  3  3  2 1  3  1 L4   2 4  4  3  2 0  3  3 L5   2 4  5  3  2  1  3 No es número real

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se obtiene:  L(x)     x 







   

De acuerdo al comportamiento de la función, los valores que hacen que sea verdadera son para “x” menores o iguales de 4 ( x  4 ), por lo tanto se grafica a partir de ( 4, 3 ) a la izquierda y hacia abajo, quedando la gráfica de la función como sigue:  L(x)     x 







Rango=  ,3 

   

Dom =  , 4 

52

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Funciones Trascendentes. Son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonométricas, las cuales conociste en Matemáticas 2; también se consideran trascendentes las funciones exponenciales y logarítmicas. A continuación se presentan algunos ejemplos de cada una de ellas. Funciones trigonométricas. En ellas se utilizan las relaciones trigonométricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante, así como también las trigonométricas inversas. Hay que recordar que las funciones trigonométricas surgen de la comparación por división de las magnitudes de un triángulo rectángulo.

sen x 

c

b

csc x 

c a cos x  c b tan x  a

b

x

c

b c sec x  a a cot x  b

a

En el bloque 6 conocerás a detalle las funciones trigonométricas, entretanto, se graficarán algunos ejemplos para visualizar su comportamiento, y para ello se requiere el uso de la calculadora, en modo de radianes (Rad), como lo aprendiste en matemáticas 2. Ejemplo 1. Graficar la función f( x )  sen x , determinar su dominio y rango.

f( x )  sen x 0.28 0.76 –0.91 0 0.91 –0.76 –0.28

x –6 –4 –2 0 2 4 6

f 6  sen 6  0.28 f 4  sen 4  0.76 f 2  sen 2  0.91 f0  sen0  0 f2  sen2  0.91 f4  sen4  0.76 f6  sen6  0.28

Al graficar los puntos se obtiene la gráfica:  f (x)   x 













  

BLOQUE 1

53


En matemáticas 2, aprendiste a graficar estas funciones utilizando los valores que provocan cambios importantes en  ellas, los cuales son los múltiplos de 90º, éstos se grafican en el plano cartesiano en radianes como múltiplos de ; a 2 continuación se muestra se muestra la tabla en estos términos. x

f( x )  sen x

2

0

f  2  sen  2  0

1

 3   3  f      sen      1  2   2 

0

f    sen    0

–1

 1   1  f      sen      1  2   2 

0

f 0  sen 0  0

1

1  1  f     sen     1 2   2 

0

f   sen   0

–1

3  3  f     sen     1 2  2 

2

0

f 2  sen 2  0

3 2



1 2

0

1 2

3 2

Graficando estos puntos con los anteriores se tiene un mejor panorama del comportamiento de la gráfica, el cual es periódico.  f (x)   x 













 x

  

Al graficar la función y ubicar solamente los múltiplos de

 2

queda:

 f (x)   x 















Rango= ��� 1,1 

 

Dom =   ,  54

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Ejemplo 2. Graficar la función T( x)  3 cos x   1 , determinar su dominio y rango. Tomando en cuenta que el comportamiento de las funciones trigonométricas cambia en los múltiplos de π, la tabla queda: x

T( x)  3 cos x   1

2

2

T  2  3 cos  2  1  2

–1

 3   3  T      3 cos      1  1  2   2 

–4

T    3 cos    1  4

–1

 1   1  T      3 cos      1  1  2   2 

2

T 0  3 cos 0  2

–1

1  1  T     3 cps     1  1 2  2 

–4

T   3 cos  1  4

–1

3  3  T     3 cos     1  1 2  2 

2

2

T 2  3 cos 2  1  2

3 2



1 2

0

1 2

3 2

Al ubicar los puntos y trazar la línea se obtiene la gráfica:

T(x)     x 







 







Rango=  4,2 

  

Dom =  , 

BLOQUE 1

55


Funciones exponenciales. Son las funciones cuya variable se ubica en el exponente, como por ejemplo:

f x   e2x 1

f x   2

x 2 3

 1 f x    

x

3

En las funciones anteriores A continuación se muestran ejemplos de gráficas de funciones exponenciales para conocer a grandes rasgos su comportamiento y establecer su dominio y rango. Para encontrar los valores de la función, se requiere utilizar calculadora. Ejemplo 1.

Graficar la función f x   3 x  2 , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos.

f x   3 x  2 –1.996 –1.988 –1.963 –1.889 –1.667 –1 1 7 25

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

f  5  3 5  2  1.996 f  4  3 4  2  1.988 f  3  3 3  2  1.963 f  2  3 2  2  1.889 f  1  3 1  2  1.667 f 0  3 0  2  1 f 1  3 1  2  1 f 2  3 2  2  7 f 3  3 3  2  25

Ubicando los puntos se obtiene la gráfica:  f (x)                                    

56

Se observa en la gráfica, entre menor sea el valor de x, la función se acerca al valor de –2, de hecho, jamás va a tomar el valor de –2, esto se puede visualizar analizando la función. Como la función es exponencial, el valor del exponente es el que varía.

f x   3 x  2

Si la x es grande, el valor de 3 x crece muy rápido, si la x es cero, su valor es 3 0  1, si el valor es negativo significa que se puede 1 expresar como: 3 4  , se hace casi cero, pero jamás será cero 34 ni negativo. Por lo tanto, si 3 x no puede ser cero, 3 x  2 no podrá tomar el valor de –2, ni tampoco números menores que este valor. x

         

Se podría decir que existe una recta asíntota a la altura de y=–2, que impide que la función toque ese valor.

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


 f (x)                                 

Rango=  2, 

x

         

  

Dom =  ,  Ejemplo 2.

Graficar la función P x    e x  3 , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos.

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

BLOQUE 1

P x    e x  3 2.993 2.982 2.95 2.865 2.9 2 0.282 –4.389 –17.086

El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas. Las primeras cifras son: 2.7182818284590452353… Se le conoce también como el número de Euler por Leonhard Euler.

P  5   e 5  3  2.933 P  4   e 4  3  2.982 P  3   e 3  3  2.95 P  2   e 2  3  2.865 P  1   e 1  3  2.632 P 0   e 0  3  2 P 1   e 1  3  0.282 P 2   e 2  3  4.389 P 3   e 3  3  17.086

57


P(x)

           

x 

                 

Al igual que el ejemplo anterior, esta función está delimitada por una asíntota, la cual está ubicada a una altura de y=3. Por lo tanto, la gráfica se visualiza de la siguiente forma:

P(x)

   

       

x 

     

Rango=  ,3

           

Dom =  , 

58

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Funciones logarítmicas. Éstas son las funciones inversas a las funciones exponenciales, su definición y propiedades se retomarán más adelante, mientras tanto, sólo se ejemplificará su forma, para ello, se requiere utilizar la calculadora científica. Las funciones logarítmicas más usadas son las que tienen base 10 o base e, y se escriben:

Log  log10 Algunos ejemplos de ellas son: fx   Ln x En las funciones anteriores

Ln  loge

f x   2 logx  1

f x   3 logx 

A continuación se muestran ejemplos de gráficas de funciones logarítmicas para conocer, a grandes rasgos, su comportamiento y establecer su dominio y rango. Ejemplo 1. Graficar la función f x   2 Ln x , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos.

f x   2 Ln x No existe No existe –4.61 –2.40 –1.39 0 1.39 2.20 2.77 3.22

x –0.5 0 0.1 0.3 0.5 1 2 3 4 5

f  0.5  2 Ln  0.5  No existe f 0  2 Ln 0  No existe f 0.1  2 Ln 0.1   4.61 f 0.3  2 Ln 0.3   2.40 f 0.5  2 Ln 0.5  1.39 f 1  2 Ln 1  0 f 2  2 Ln 2  1.39 f 3  2 Ln 3  2.20 f 4  2 Ln 4  2.77 f 5  2 Ln 5  3.22

Al sustituir los valores negativos en el logaritmo natural de tu calculadora, te das cuenta que no existe la función, esto es porque así como en la función exponencial, para cualquier valor que sustituyas en el exponente nunca será cero ni negativa, la función logarítmica al ser su inversa, no podrás sustituir valores negativos o el cero. Esto te quedará mucho más claro cuando veas más detalladamente los temas de funciones inversas, funciones exponenciales y logarítmicas. Continuando con la gráfica, se ubican los puntos y se obtiene:  f (x)

En esta ocasión, la asíntota es vertical y se ubica exactamente en el eje Y, puesto que no se encuentra valor de la función para “x” negativa o cero.

   



x 



    

BLOQUE 1

59


Por lo tanto, su gráfica queda:  f (x)    



x 





Rango=  ,

   

Dom = 0,

Ejemplo 2. Graficar la función S x   Log  x  1  2 , determinar su dominio y rango. Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos.

S x   Log  x  1  2

x –5 –4 –3 –2 –1 0 0.5 0.8 0.9 1 2

2.78 2.70 2.60 2.48 2.30 2 1.70 1.30 1 No existe No existe

S  5  Log   5  1  2  2.78 S  4  Log   4  1  2  2.70 S  3  Log   3  1  2  2.60 S  2  Log   2  1  2  2.48 S  1  Log   1  1  2  2.30 S 0  Log  0  1  2  2 S 0.5  Log  0.5  1  2  1.70 S 0.8  Log  0.8  1  2  1.30 S 0.9  Log  0.9  1  2  1 S 1  Log  1  1  2  No existe S 2  Log  2  1  2  No existe

Los puntos quedan de la siguiente forma: S(x)    x 











En esta ocasión la asíntota está ubicada en x=1, dado que en la función, cuando x=1, se tiene que obtener el valor de log(0) y éste no existe, así como también, valores de x mayores que 1 se tendría log( negativo), por lo tanto, no existe.

  

60

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Trazando la línea se obtiene la siguiente gráfica: S(x)    x 











Rango=  , 

 

Dom =  ,1 



Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos acerca de la clasificación de funciones. http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#La%20funció n%20seno http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html

BLOQUE 1

61


Actividad: 2 Clasifica las siguientes funciones y expresa su dominio mediante intervalos. Función

f x  

Clasificación

Nombre

Dominio

x3 x

rx   x 2  2x  3

H x   tanx  N x   7 F x   4 x  2

k x   x 4  6x 2  2 gx  

x2  9 x3

q x   2 3x  1

t x   4 senx  1 s x   Lnx  3  1

L x   5x  6 w x   4x  2  5 3

Actividad: 2 Conceptual Reconoce la clasificación de las funciones, así como el dominio y rango de ellas. Autoevaluación

62

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Clasifica las funciones y calcula el dominio y rango de las mismas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa sus dudas y corrige sus errores.

Calificación otorgada por el docente

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Según la presentación de su forma analítica. De acuerdo con lo que se ha presentado hasta ahora, se entiende que una función es de la forma y  fx  , pero no todo el tiempo es expresada igual. En ella se observa claramente que “x” es la variable independiente (como se ha visto desde Matemáticas 1), y “y” es la variable dependiente, porque está en función de x. Es por ello que es fácilmente identificable cuando se tiene una función de esta forma; sin embargo, cuando se posee una expresión en la que la variable dependiente no está despejada, no es tan sencillo visualizarla, es por ello que para hacerlo se tiene que despejar. A estas dos formas de presentar una función se les conoce como funciones explícitas y funciones implícitas; a continuación una breve explicación de cada una de ellas. Funciones explícitas. Son aquellas que se representan mediante una igualdad en la que aparece la variable dependiente despejada en uno de sus miembros y en el otro una expresión en términos de la variable independiente, como por ejemplo. 1.

y  x 2  3x  2

2.

y  2 x 11

3.

fx   3 x  1

En realidad, todas las funciones que se describieron en el tema anterior fueron expresadas en su forma explícita, debido a la sencillez que proporciona esta forma en la sustitución de valores. Funciones implícitas. Son aquellas que se representan por medio de una ecuación en donde la variable dependiente e independiente aparecen mezcladas en uno o ambos miembros de la igualdad, como se muestra a continuación. 1.

4x  3y  8  0

2.

23x  2y   6x  4y  8

3.

x2  y2  1

4.

x 2  2x  3 y  6  0

5.

x 2 y  3x  0

6.

y 2  2 x  4y  6  0

Cuando se tiene una función implícita y se desea conocer algunos puntos que pertenezcan a la función, es recomendable despejar la variable dependiente para transformarla en una función explícita y llevar a cabo de forma más simple, la sustitución de valores, aunque en algunas ocasiones se complica el despeje de la variable dependiente, como sería el caso de la función número 5, en la cual se tiene “y 2” y “y”, se tendría que utilizar un método de factorización para llevar a cabo el despeje. El saber despejar una variable será fundamental para encontrar la función explícita, pero aún más, para expresar la inversa de una función, como se verá en el siguiente bloque. La notación implícita se utiliza mucho en asignaturas posteriores, como en Cálculo diferencial e integral I y II. A continuación se transformarán las funciones implícitas anteriores en funciones explícitas, utilizando despeje simple en algunas de ellas, hasta el método de completar trinomio cuadrado perfecto, como es el caso de la sexta función.

BLOQUE 1

63


Función implícita

Función explícita.

Nombre

4x  3y  8  0  3y  4x  8 4x  3y  8  0

23x  2y   6x  4y  8

 4x  8 3 4 8 4 8 y x ó fx   x  3 3 3 3 23x  2y   6 x  4y  8

Función lineal

y

6 x  4y  6 x  4y  8 4y  4y  6 x  6 x  8 8y  8 y 1 2

Función constante

f x   1

ó 2

x  y 1  y 2  x 2  1 y2  x2  1 y   x2  1 x2  y2  1

Función irracional

De ésta se derivan dos funciones .

y  x2  1

ó

y   x2  1 ó

fx   x 2  1 fx    x 2  1

x 2  2x  3y  6  0 3y   x 2  2x  6 x 2  2x  3 y  6  0

y

 x 2  2x  6

Función cuadrática

3

y

1 3

x2 

2 3

x2

ó

f x   

1 3

x2 

2 3

x2

x 2 y  3x  2 x 2 y  3x  0

x 2 y  3x  2 y

3x  2 x2

ó

f x  

3x  2

Función racional

x2

y 2  2x  4y  6  0 y 2  4y  6  2x y 2  4y  4  6  2x  4 2

y  2 x  4y  6  0

y  22  10  2x

Función irracional

y  2   10  2x y   10  2x  2

64

y  10  2x  2

ó

f x   10  2 x  2

y   10  2x  2

ó

f x    10  2 x  2

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 3 Convierte las siguientes funciones implícitas en explícitas. 1.

4x  2y  9  0

2.

x  2y 2  5  0

3.

3y  11  0

4.

3xy 2  12 xy  3x  1  0

5.

x 2 y  4xy  4  4y

Actividad: 3 Conceptual Identifica la forma explícita e implícita de una función. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Obtiene la forma explícita de una Expresa la importancia del función, a partir de su forma manejo del Álgebra en la implícita. obtención de funciones explícitas. C MC NC Calificación otorgada por el docente

65


Según su gráfica. En los temas anteriores se han dibujado varios tipos de funciones, en ellas se ha visto cómo el dominio y el rango van cambiando dependiendo de qué valores se puedan sustituir en la función y qué se obtiene de la misma; también se vieron funciones en las que para ciertos valores de “x” la función no existe o bien se acota mediante rectas imaginarias (asíntotas), pues bien, ahora existe otra clasificación y ésta se refiere al comportamiento de su gráfica y sólo contempla dos tipos, aquellas que su gráfica nunca se interrumpe o las que sufren cortes o saltos, es decir, continuas o discontinuas. A continuación se proporcionará una definición intuitiva de estos dos conceptos. Funciones continuas. Son aquellas que pueden dibujarse sin levantar el lápiz del papel, éstas no sufren ninguna separación, salto o hueco. Ejemplo de ellas, son todas las funciones polinomiales, la función seno y coseno, pertenecientes a las funciones trigonométricas, así como también las funciones logarítmicas y exponenciales. A continuación se mostrarán algunas gráficas de funcione continuas.  f (x)

 



 

f (x) 



f (x)

x



x

     

 















x

















Funciones discontinuas. Son las que presentan una ruptura en su trazo, ya sea por medio de un salto o un punto hueco, como se observa en las siguientes gráficas. 

f (x)

  

        

x 

 

f (x)

  

 



 

x 



f (x)



 



x 

 

Cuando se tiene la representación analítica de la función, la discontinuidad existe para aquellos valores de “x” en donde la función se indefine, como es el caso de las funciones racionales, las cuales se indefinen para aquellos valores donde el denominador es cero.

66

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 4 Desarrolla lo que se pide en cada sección. I. Escribe en la línea debajo de cada gráfica, si la función es continua o discontinua, expresa su dominio y rango con intervalos. 

f (x)

 

 



       

L(x)









x 



x

























______________________________________

______________________________________

Dom: ___________________

Dom: ____________________

Rango:__________________

Rango: ___________________

M(x)

 









x 

T(x)







x 























______________________________________

______________________________________

Dom: ___________________

Dom: ____________________

Rango:__________________

Rango: ___________________

BLOQUE 1

67


Actividad: 4 (continuación) II.

1)

68

Dadas las siguientes funciones, determina si son continuas o discontinuas (justifica tu respuesta), en el caso de ser discontinuas, determina para qué valores se da la discontinuidad. x3 f x   x

2)

rx   x 2  2x  3

3)

  H x   4sen  x  2 

4)

x 2 y  4xy  4  4y

5)

N x   7

6)

F x   4 x  2

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 4 (continuación) x2  9

7.

gx  

8.

q x   2 3x  1

9.

s x   Lnx  3  1

x3

10. L x   5x  6

Actividad: 4 Conceptual Reconoce la diferencia entre una función continua y discontinua.

Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Diferencia funciones continuas de funciones discontinuas y establece el dominio y rango de las funciones. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Practica con entusiasmo los ejercicios y se muestra interesado en las aportaciones del grupo en la retroalimentación de la actividad.

Calificación otorgada por el docente

69


Según su variación. Como se ha observado en las funciones antes vistas, existen funciones que aumentan su valor en la medida que aumenta la variable x, así como también hay funciones que disminuyen, a medida que la variable x aumenta, esto se conoce como funciones monótonas, las cuales se dividen en funciones crecientes y decrecientes. También hay funciones que tienen los dos comportamientos por intervalos. A continuación se enunciarán los conceptos de funciones crecientes y decrecientes. Funciones crecientes. Una función es creciente si al crecer los valores de su dominio, las imágenes correspondientes también crecen, esto es: Si al evaluarla en dos valores “a” y “b” de su dominio, tal que a<b (“a” sea menor que “b”) se cumple que f(a)<f(b) (f(a) es menor que f(b)). f (x)

f (x)

f (x)

f b

f b

f b f a 

f a  f a  a

b

x

a

b

x

a

b

x

Funciones decrecientes. Una función es decreciente si al crecer los valores de su dominio, las imágenes correspondientes decrecen, esto es: Si al evaluarla en dos valores “a” y “b” de su dominio, tal que a<b (“a” sea menor que “b”) se cumple que f(a)>f(b) (f(a) es menor que f(b)). f (x)

f (x)

f (x)

f a 

f a 

f b

f a 

f b

f b a

b

x

a

b

x

a

b

x

A estas funciones, como anteriormente se mencionó, se les conoce como monótonas, debido a que en todo su dominio crecen o decrecen. Las funciones en que cambia su comportamiento, se puede establecer si crecen o decrecen por intervalos, como se muestra en los siguientes ejemplos:

70

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Ejemplo 1. Determinar para qué intervalos de la función f x  

2 3

x  22  1 es creciente o decreciente.

 f (x)      x 







 f (x)



La función tiene dos comportamientos: 1. A medida que “x” se acerca a 2, la función va decreciendo. 2. Cuando “x” es mayor que 2 la función va creciendo.

Por lo tanto, su comportamiento se expresa así:

La función es decreciente en el intervalo:  , 2

La función es creciente en el intervalo: 2,  

 x 







Decreciente Creciente Ejemplo 2.  Determinar los intervalos donde la función f x   3 cosx   1cambia de comportamiento. Considerando que el dominio de la función son los números reales y su gráfica es periódica, es decir que se repite infinitamente un fragmento de ella, se obtienen una infinidad de intervalos en los cuales la gráfica cambia de comportamiento.  f (x)   x 





















    

Creciente

BLOQUE 1

Decreciente

Creciente

Decreciente

Creciente

Decreciente

71


Primero se describirán los intervalos que se visualizan en la gráfica, y posteriormente se encontrará la regla que describe a todos ellos. 1. La función es decreciente en los intervalos:  2,   , 0 ,  , 2, 3 2.

La función es creciente en los intervalos:  3,  2 ,  , 0 , , 2

Por la forma que tienen los intervalos anteriores, se puede establecer una regla para encontrar todos los intervalos donde decrece o crece. Para n perteneciente a los números Enteros ( n  Z), los intervalos son: 1. 2.

La función decrece en los intervalos: 2n , 2n  1  La función crece en los intervalos: 2n  1 , 2n 

Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos sobre relaciones y funciones.

http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.php

Actividad: 5 Escribe en la línea debajo de cada gráfica los intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente. 

f (x)

M(x)

 

x

        

 

x 



























72

   

Creciente:_________________________________

Creciente:_________________________________

Decreciente:_______________________________

Decreciente:_______________________________

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 5 (continuación)

M(x)

 









x 

T(x)







x 























Creciente:_________________________________

Creciente: _________________________________

Decreciente:_______________________________

Decreciente: _______________________________

Actividad: 5 Conceptual Reconoce la diferencia entre una función creciente y decreciente.

Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Diferencia funciones crecientes de funciones decrecientes y establece los intervalos en los cuales cambia el comportamiento de una función. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Practica con entusiasmo los ejercicios y se muestra interesado en las aportaciones del grupo en la retroalimentación de la actividad.

Calificación otorgada por el docente

73


Según la forma de correspondencia entre sus conjuntos. Este tema se refiere a la propiedad o característica de algunas funciones, ésta se refiere a la relación que existe entre el dominio y rango de la función y puede ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Inyectiva (Uno a uno) Sea f una función que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la función f es inyectiva si y sólo si, a elementos distintos del conjunto A, les hace corresponder imágenes distintas del conjunto B, es decir que ningún elemento de A tiene la misma imagen, a continuación se ejemplificará esta definición con un diagrama sagital. A

B

x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4 y5

Ejemplo 1. Se relaciona las candidatas a reina del primer semestre del Colegio de Bachilleres de Magdalena, con el grupo al cual pertenecen. Candidata a reina

Grupos 101 M 102 M 103 M 104 M 105 M 106 M

Ana Yolanda Susana Karla Laura

La relación funcional es inyectiva debido a que a cada alumna la asocia con su grupo y no existen dos candidatas que pertenezcan al mismo grupo. Ejemplo 2. A cada ciudadano mexicano le corresponde una clave única de registro poblacional (CURP), ésta es una función inyectiva, porque para dos individuos distintos, les asocia claves diferentes. Ejemplo 3. Determinar si la gráfica de la función f ( x )  2x  1, es inyectiva.  f (x)

La función es lineal y su gráfica es:

    









x 

   

74

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


La función es inyectiva, debido a que a cada “x” le asocia un valor diferente de la función. Una forma sencilla de visualizar si una función es inyectiva, mediante su gráfica, es trazar rectas horizontales a lo largo de la función, si esta corta una sola vez a la gráfica, entonces la función es inyectiva; si la llega a cortar en más de una ocasión, la función no es inyectiva.  f (x)     









x 

   

Ejemplo 4.

1 2 x  3 es inyectiva. 2 Su gráfica es una parábola, puesto que es una función cuadrática. Determinar si la gráfica de la función f ( x ) 

f (x)

        



x 

    

Al trazarle líneas horizontales, se observa a excepción de una recta (la que pasa por el vértice), las demás cortan a la función en dos puntos, por lo tanto no es inyectiva. Para dos valores de “x” le asocia un valor de “y”. 

f (x)

        



x 

    

BLOQUE 1

75


Sobreyectiva (Sobre) Sea f una función que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la función f es sobreyectiva si y sólo si, cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento del conjunto A, es decir, no queda un solo elemento de B sin que esté relacionado por lo menos con un elemento de A. A continuación se ejemplificará esta definición con un diagrama sagital. A

B

x1 x2 x3 x4 x5 x6

y1 y2 y3 y4 y5

Ejemplo 1. Se relaciona un grupo de jovencitas con el curso de danza que llevan en su escuela. Grupo

Danza

Abigail Isaura Abril Karen Lita

Contemporánea Clásica Moderna Española

La relación funcional de las jóvenes con su clase de danza es sobreyectiva, dado que en todos los cursos que se ofrecen de danza tiene al menos una alumna de ese conjunto de chicas. Ejemplo 2. Determinar si la función k( x )  

1 3 7 x  3x  es sobreyectiva. 3 3

La gráfica de la función es: K(x)

La función es sobreyectiva, ya que todo valor de K(x) proviene de por lo menos una “x”.

      

  

 



x 

Esta función no es inyectiva puesto que existen tres valores diferentes de x que al sustituirlos en la función dan el mismo resultado, como se observa en el cruce de la función con el eje de las X, por mencionar un ejemplo de ello.

      

76



RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Biyectiva. Una función es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva, como se muestra en el siguiente diagrama. A

B

x1 x2 x3 x4 x5

y1 y2 y3 y4 y5

Ejemplo 1. Un retiro matrimonial ofrece la oportunidad a los matrimonios de reforzar su unión y renovar sus votos. Grupo de esposas

Grupo de esposos

Martha Margarita Maria Socorro Lupita

Rigoberto Benjamín Guillermo José Gustavo

La relación funcional que existe entre los conjuntos es biyectiva, puesto que a cada esposa la relaciona con su esposo y a su vez, no existe ningún esposo que haya asistido sin su esposa. Ejemplo 2. Determinar si la función f ( x )  2x  1, es biyectiva.  f (x)     









x 

   

Esta función se comprobó con anterioridad que era inyectiva, puesto que a toda x le corresponde un valor de la función, además no existe valor de la función sin que provenga de una x correspondiente, por lo tanto es biyectiva. Como las funciones se definen en el conjunto de los números reales, esto es, que va de    , pocas de ellas cumplen con las propiedades, si se restringe la relación al dominio y rango de las funciones, algunas más podrán cumplir con alguna de ellas.

BLOQUE 1

77


Actividad: 6 Responde cada uno de los siguientes cuestionamientos. 1. ¿Es biyectiva la función y  x 3 ? Justifica tus respuestas apoyándote en la gráfica correspondiente.

2. Clasifica cada una de las siguientes funciones como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas según sea el caso: Función

Clasificación

Justificación

gx   x  2

y  9  x2

f( x ) 

1 x

kx   2x  1

78

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 6 (continuación) 3.

Considera la cantidad de alumnos y el número de escritorios disponibles en un salón de clases, describe brevemente bajo qué circunstancias se produce: a) Una correspondencia inyectiva o uno a uno.

b)

Una función sobreyectiva.

c) Una función biyectiva.

4.

Entre los libros de una biblioteca y la correspondiente clave que se le asigna, ¿Qué tipo de relación se produce, inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? Explica tu respuesta.

Actividad: 6 Conceptual Distingue las características de una función según la correspondencia entre los conjuntos. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Cuestionario y Puntaje: complementación de la tabla. Saberes Procedimental Actitudinal Precisa la característica que Expone sus puntos de vista con cumplen las funciones para claridad y confianza. clasificarse en inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. C MC NC Calificación otorgada por el docente

79


Cierre Actividad: 7 Observa cada una de las funciones que se muestran a continuación y escribe al pie de ellas dentro de cada cuadro la letra que corresponda a la característica que presentan, guíate por las flechas para encontrar su comportamiento. Inyectiva (I), Sobreyectiva (S), Biyectiva (B), Continua (C), Creciente (Cr), Decreciente (D) y Creciente-Decreciente(CD).

Actividad: 7 Conceptual Anota la característica que tienen las funciones por intervalos. Autoevaluación

80

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Analiza las funciones por intervalos y las clasifica. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa sus ideas ante el análisis realizado a las funciones.

Calificación otorgada por el docente

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Secuencia didáctica 3. Operaciones de funciones. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. I. Evalúa las siguientes funciones con respecto a lo que se pide. 1)

fx   2x 2  8x  4 , encuentra f 3

2)

fx   5x  3 , encuentra f 3x 3  5

3)

fx   x 4  3x 3  x 2  6x  1, encuentra f 1

4)

fx   2x 2  8x  4 , encuentra f 3

5)

fx  

II.

x2 x

 1   , encuentra f  x2  2 

Sea f la función definida por f(h) = 60 h que convierte horas en minutos, y g(m) = 60m la función que convierte minutos a segundos. Encuentra una función que convierta horas en segundos.

Actividad: 1 Conceptual Reconoce la evaluación de funciones. Autoevaluación

BLOQUE 1

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Evalúa funciones en puntos dados. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra disposición al realizar la actividad.

Calificación otorgada por el docente

81


Desarrollo Suma de funciones.

Como hasta ahora se ha visto, existen una gran variedad de funciones, las cuales pueden obtenerse de operaciones simples entre dos funciones más sencillas, por ejemplo:

x2  1

1 , la cual es una función racional, ésta puede ser el resultado de sumar las funciones f x   x x y g x   x , esto se puede demostrar de forma gráfica. Si se tiene T x  

f (x)

 









x 

g (x)









x























Para analizar la suma de las funciones se tomarán como ejemplo los mismos valores en ambas funciones.

1

x

fx  

0

No está definida

x

gx   x

f x   gx 

0

No está definida

Tx  

x2  1 x

No está definida

2

1 2

1

3

82

2

1

1 3

1 2

1

3

2

1 2

5 2

1 1  2

1 3

3 

 1   1 1 1 5 5 2  4  4  1 1 1 2 2 2 2

12  1 1

10

32  1

3

3

1 1 1

9 1 3

2 1

2

10 3

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


En esta gráfica se observan las dos funciones f(x) (azul) y g(x) (rojo) y la suma de ellas f  gx  (negro)      









x 

    

T(x)=(f +g )(x)

    









x 

    

El dominio de f  gx  es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x). El dominio de f(x) es:  ,0  0,  El dominio de g(x) es:  ,

Por lo tanto, el dominio de f  gx  es:  ,0  0,  , puesto que son los intervalos que están tanto en “f” como en “g”. A continuación se definirá la operación de suma entre dos funciones. Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f+g es una función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos del Domf , que están también en el Domg , es decir, Domf  Domg y con la siguiente regla de correspondencia.

f  gx   fx   gx 

BLOQUE 1

83


Ejemplo 1.

Si fx   2x y gx   x , determinar la función f  gx  , así como su dominio. Las gráficas y los dominios de cada una de las funciones son:

gx   x

fx   2x

f (x)

g (x)

 x



































Domf :  , 

x

Domg : 0, 

La suma de las funciones es:

f  gx   2x 



x

Su gráfica se puede visualizar de color negro.

f  gx   2x 

x fx   2x

gx   x

x









[f +g ](x)

f gx  2x  

x

x 



























El intervalo que se encuentra tanto en el dominio de la función f, como en el dominio de la función g, es tanto Domf g : 0,  .

84

0,  , por lo

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 2 Realiza la suma entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la función resultante. 1 1) fx   x 2 , gx   2x 6) fx   4x  x 2 , gx   x  2 f  gx   f  gx  

Domfg :

Domfg : 2)

3)

fx   3x  5 , gx   x 2  x

7)

f  gx  

f  gx  

Domfg :

Domfg :

fx   x , gx   2

8)

f  gx  

5)

1 x

Domfg :

fx   1  x  x 2 , gx  

2 3

x5

9)

fx   2 , gx   1  x  x 2

f  gx  

f  gx  

Domfg :

Domfg :

fx   x 2  9 , gx   4x

10) fx   x 2  9 , gx    x

f  gx  

f  gx  

Domfg :

Domfg :

Actividad: 2 Conceptual Escribe la suma de dos funciones. Autoevaluación

BLOQUE 1

fx   x 3  x , gx  

f  gx  

Domfg : 4)

fx   4x  2 , gx   1  x 3

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Obtiene la suma de dos funciones. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Expresa la simplicidad de la operación suma de funciones.

Calificación otorgada por el docente

85


Resta de funciones. Al igual que la suma de funciones, el dominio de la función resta es la intersección de las funciones involucradas, esto es: Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f  g es una función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos del Domf , que están también en el Domg , es decir, Domf  Domg y con la siguiente regla de correspondencia.

f  gx   fx   gx 

Ejemplo 1.

Si se tiene f x   x  1 y gx   x  4 , determinar la función f  gx  , así como su dominio. Ahora se obtendrán algunos valores de ambas funciones y realizar con ellas la resta. x

f x   x  1

gx   x  4

f x   gx 

–1

0

No es número real

No es número real

0

1

No es número real

No es número real

0  1  0  4  1   4 No es real

1

1.4

No es número real

No es número real

1  1  1  4  2   3 No es real

2

1.7

No es número real

No es número real

2  1  2  4  3   2 No es real

3

2

No es número real

No es número real

3  1  3  4  2   1 No es real

4

2.2

0

2.2

4  1  4  4  5  2.2

5

2.4

1

1.4

5  1  5  4  6  1  1.4

6

2.6

1.4

1.2

6  1  6  4  7  2  1.2

7

2.8

1.7

1.1

7  1  7  4  8  3  1.09

8

3

2

1

8 1 8  4  3  2 1

f  gx  

x 1 x  4

 1  1   1  4   5 No es real

Al graficar cada una de ellas se obtiene:

gx   x  1 .

f x   x  1 

f (x)

 







 











x 



Domf :  1, 

86

x 

g (x)





Domg : 4, 

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


En esta gráfica se observan las dos funciones f(x) (azul) y g(x) (rojo) y la resta de ellas f  gx  (negro)       



x 



   

La gráfica de la función f  gx  es: 

[f - g ](x)

     



x 



   

El dominio de f  gx  es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x). El dominio de f(x) es: Domf :  1,  El dominio de g(x) es: Domg : 4,  Por lo tanto, el dominio de f  gx  es: Domf g : 4,  , sólo coinciden en ese intervalo, como se muestra en el plano cartesiano donde están las tres juntas. Cuando se suman dos funciones, no importa el orden en que se realice la operación, la función resultante es la misma, pero en la resta no es así, a continuación se mostrará el ejemplo anterior, pero realizando la resta en diferente orden.

BLOQUE 1

87


Ejemplo 2.

Si se tiene f x   x  1 y gx   x  4 , determinar la función g  fx  , así como su dominio. Ahora se obtendrán algunos valores de ambas funciones para realizar con ellas la resta. x

f x   x  1

gx   x  4

gx   fx 

–1

0

No es número real

No es número real

 1  4   1  1   5 No es real

0

1

No es número real

No es número real

0  4  0  1   4  1 No es real

1

1.4

No es número real

No es número real

1  4  1  1   3  2 No es real

2

1.7

No es número real

No es número real

2  1  2  4  3   2 No es real

3

2

No es número real

No es número real

3  4  3  1   1  2 No es real

4

2.2

0

–2.2

4  4  4  1   5  2.2

5

2.4

1

–1.4

5  4  5  1  1  6  1.4

6

2.6

1.4

–1.2

6  4  6  1  2  7  1.2

7

2.8

1.7

–1.1

7  4  7  1  3  8  1.09

8

3

2

–1

8  4  8  1  2  3  1

g  fx  

x 4  x 1

La operación queda representada en la siguiente gráfica: 

fx   x  1

  

gx   x  4

  x 





   

88

f  gx  

x 1 x  4

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


La gráfica de la función g  fx  queda de la siguiente forma: 

[f - g ](x)

     



x 



   

El dominio de g  fx  es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x). El dominio de f(x) es: Domf :  1,  El dominio de g(x) es: Domg : 4, 

Por lo tanto, el dominio de g  fx  sigue siendo Domgf  : 4,  .

Actividad: 3 Realiza la resta entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la función resultante. 1 1) fx   x 2 , gx   2x 4) fx   4x  x 2 , gx   x  2 f  gx   f  gx  

Domfg :

2)

fx   3x  5 , gx   x 2  x

Domfg :

5)

f  gx  

f  gx  

Domfg :

3)

Domfg :

BLOQUE 1

Domfg :

fx   x , gx   2

f  gx  

fx   4x  2 , gx   1  x 3

6)

fx   x 3  x , gx  

f  gx  

1 x

Domfg :

89


Actividad: 3 (continuación) 7) fx   1  x  x 2 , gx  

f  gx  

2 3

9)

x5

f  gx  

Domfg :

8)

fx   2 , gx   1  x  x 2

Domfg :

fx   x 2  9 , gx   4x

10) fx   x 2  9 , gx    x

f  gx  

f  gx  

Domfg :

Domfg :

Actividad: 3 Conceptual Escribe la resta de dos funciones. Autoevaluación

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Obtiene la resta de dos funciones. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Es cuidoso al obtener la resta de dos funciones.

Calificación otorgada por el docente

Multiplicación de funciones.

Al igual que la suma de funciones, el dominio de la función multiplicación es la intersección de las funciones involucradas, esto es: Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f  g es una función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos del Domf , que están también en el Domg , es decir, Domf  Domg y con la siguiente regla de correspondencia.

f  gx   fx  gx  En esta ocasión se debe tener muy en cuenta al realizar las operaciones, las leyes de los signos. La porción de la función que esté por encima del eje X es positiva y la que esté por debajo es negativa, por lo tanto: 1.

Si los valores de la función f y g que estén por encima del eje X, la multiplicación también estará por encima del eje X.

2.

Si los valores de la función f y g que estén por debajo del eje X, la multiplicación estará por encima del eje X.

3.

Si los valores de la función f y g se ubican en diferentes lados del eje X, la multiplicación estará por debajo del eje X.

Lo anterior se visualizará en los siguientes ejemplos. 90

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Ejemplo 1. Si se tiene R x   xsen( x) , se puede comprobar que es el resultado de multiplicar las funciones f x   x y g x   senx  . Mediante la gráfica de cada una de ellas se visualizará la multiplicación de f y g.

g x   senx  .

f x   x  f (x)

 g (x)

       

x 

     ��� 

















Domg :  , 

Domf :  , 

x

Ahora se obtendrán algunos valores de ambas funciones para realizar con ellas la multiplicación, con el fin de compararla con la función R(x). x

f x   x

g x   senx 

f x   gx 

R x   x senx 

–1

–1

–0.8

0.8

0.8

0

0

0

0

0

1

1

0.8

0.8

0.8

2

2

0.9

1.8

1.8     

En esta gráfica se observan las dos funciones f(x) (azul) y g(x) (rojo) y la suma de ellas f  gx  (negro)

                   

x  

 

 

      

        

BLOQUE 1

91


Visualizando sólo la función R(x),  R(x)                        

x    

       

      

El dominio de f  gx  es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x). El dominio de f(x) es: Domf :  ,  El dominio de g(x) es: Domg :  , 

Por lo tanto, el dominio de f  gx  es: Domfg :  ,  , puesto que se intersecan en todo el conjunto de los números reales. Ejemplo 2. Si fx   x  2 y gx   x  2 , determinar la función f  gx  , así como su dominio. Las gráficas y los dominios de cada una de las funciones son:

gx   x

fx   2x

f (x)

g (x)

 







Domf :  , 

92

x 









x 

















Domg :  , 

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


La multiplicación de las funciones es:

f  gx   x  2x  2 f  gx   x 2  4

Su gráfica se puede visualizar de color negro. 

[f g ](x)

 

 



 



x 

[f g ](x)



 



 























x 

Como el dominio de las funciones “f” y “g” es el conjunto de los números reales, por lo tanto, el de su multiplicación también. Domfg :  , 

Actividad: 4 Realiza la multiplicación entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la función resultante. 1 1) fx   x 2 , gx   2x 4) fx   4x  x 2 , gx   x  2 f  gx   f  gx  

Domfg :

2)

3)

fx   3x  5 , gx   x 2  x

5)

fx   4x  2 , gx   1  x 3

f  gx  

f  gx  

Domfg :

Domfg :

fx   x , gx   2

f  gx  

Domfg :

BLOQUE 1

Domfg :

6)

fx   x 3  x , gx  

f  gx  

1 x

Domfg :

93


Actividad: 4 (continuación) 7)

fx   1  x  x 2 , gx  

f  gx  

2 3

9)

x5

10) fx   x 2  9 , gx    x

fx   x 2  9 , gx   4x

f  gx  

f  gx  

Domfg :

Domfg :

Actividad: 4 Conceptual Escribe la multiplicación de dos funciones. Autoevaluación

f  gx  

Domfg :

Domfg :

8)

fx   2 , gx   1  x  x 2

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Obtiene la multiplicación de dos Es cuidoso al obtener la resta de funciones. dos funciones. C MC NC Calificación otorgada por el docente

División de funciones. Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces por:

f fx   x   gx  g

f g

es definida

con gx   0

f El dominio de   x  es: Domf  Domg excluyendo los valores para los cuales gx   0 . g En esta operación también se debe tomar en cuenta las leyes de los signos, pero también hay que recordar que la división entre cero no está definida, es por ello que la definición anterior está restringida a que gx   0 , en dado caso que la operación fuera al revés, no se tendría el mismo resultado, a diferencia de la multiplicación. Al multiplicar dos valores que son mayores que la unidad, su resultado aumenta, en el caso contrario, disminuye su valor. En la división sucede lo contrario: si las dos cantidades son menores que la unidad, el resultado aumenta, así como también si el denominador es menor que la unidad. En el caso de que los dos sean mayores que la unidad, el resultado disminuye.

94

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Lo anterior lo visualizarán de manera más clara en las gráficas de los siguientes ejemplos. Ejemplo 1.

f Si fx   x  4 y gx   x 2  1 determinar la función   x  , así como su dominio. g Las gráficas y los dominios de cada una de las funciones son:

gx   x 2  1

fx   x  4

 f (x)

 g (x)

       

Domf :  , 



x 

      















Domg :  , 

 

x 

 

La división de las funciones  es:



f x4  x   2 x 1 g

 

 

 Su gráfica se puede visualizar de color negro.



              

        



BLOQUE 1

x 

En estos puntos, la función que corresponde al denominador, es cero, por lo tanto, se convierten en asíntotas para la función racional que se formó al dividir ambas funciones.

95


 [f / g ](x)              



x 

        

Como el dominio de las funciones “f” y “g” es el conjunto de los números reales, por lo tanto, el de su división debería ser los números reales, porque en todos sus puntos coinciden, sólo que se debe de excluir de él, los valores para los cuales la función g(x) es cero, y como se observó en la gráfica, es para x=–1 y x=1, por lo tanto, el dominio es: Dom f  :  ,     1, 1   g

En el siguiente ejemplo se invertirá la división, para observar cuáles serían los cambios. Ejemplo 2.

g Si fx   x  4 y gx   x 2  1 determinar la función   x  , así como su dominio. f Las gráficas y los dominios de cada una de las funciones son:

fx   x  4

 f (x)

 g (x)

       

Domf :  , 

96

gx   x 2  1



x 

      

















Domg :  , 

















x

 DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON


La división de las funciones es:

x2  1 g   x  f x4   Su gráfica se puede visualizar de color negro.              



x 

  

En este punto, la función que corresponde al denominador, es cero, por lo tanto, se convierte en una asíntota para la función racional que se formó al dividir ambas funciones.

           

2

x 1 g La gráfica de la función  x   , queda de la siguiente forma: f x4    [g / f ](x)

En este caso el único valor que hace cero a la función “f” es para x=–4, por lo tanto, el dominio es:

  

Dom g  :  ,     4 

         



x 

f  

  

           

BLOQUE 1

97


Actividad: 5 Realiza la división entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la función resultante. 1 1) fx   x 2 , gx   2x 6) fx   4x  x 2 , gx   x  2 f   x   f g   x   g

Dom f  :

Dom f  :

  g

2)

  g

fx   3x  5 , gx   x 2  x

f   x   g

7)

f   x   g

Dom f  :

Dom f  :

  g

3)

  g

fx   x , gx   2

8)

f   x   g

fx   1  x  x , gx   2

2 3

x5

f   x   g

Domfg : fx   x  9 , gx   4x 2

f   x   g Dom f  :   g

Actividad: 5 Conceptual Reconoce la multiplicación de dos funciones. Autoevaluación

98

1 x

Dom f  :

  g

5)

fx   x 3  x , gx  

f   x   g

Dom f  : 4)

fx   4x  2 , gx   1  x 3

  g

9)

fx   2 , gx   1  x  x 2

f   x   g Domfg : 10) fx   x 2  9 , gx    x

f   x   g Dom f  :   g

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Resuelve la multiplicación de dos Es cuidoso al obtener la resta de funciones. dos funciones. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Composición de funciones. ¿Será lo mismo guardar una cartera en una caja de regalo, que guardar un regalo en la cartera? En esta sección se utiliza la sustitución de valores dentro de una función, y más aún, una función dentro de otra función, a este procedimiento se le llama composición de funciones, y tiene su sentido, no es lo mismo la función compuesta de “f” con “g”, que la de “g” con “f”. A continuación se desarrollará la teoría correspondiente a la función composición. Se sabe que la notación f(a) significa el valor de la función f(x) cuando x = a; se obtiene al sustituir “a” por x, siempre y cuando que “x” aparezca en la expresión de f(x), por ejemplo: 1.

Si fx   x 2  1, entonces fa   a 2  1

2.

Si fx   3 x  6 , entonces fa   3 a  6

Ahora, si g(x) es una función, entonces fgx  es la función que se obtiene al sustituir g(x) en lugar de x, siempre que ésta ocurra en la expresión de f(x). La función fgx  es llamada la compuesta de “f” con “g” y se utiliza el símbolo operacional “  ” para denotar la compuesta de “f” con “g”. Así f  gx   fgx  . Ejemplo 1.

Si fx   x  2 y gx   x 2 , determinar f  gx   fgx  y g  fx   gfx  . Como se observa en f  gx   fgx  , f(x) es la función que será evaluada en g(x), por lo tanto, la composición de “f” con “g” es:

fx   x  2

fgx   gx   2 fgx   x 2  2 Se puede expresar como:

f  gx   x 2  2

Ahora se obtendrá la composición de “g” con “f”.

gx   x 2 gfx   fx 2 gfx   x  22  x 2  4x  4

Se puede expresar como:

g  fx   x 2  4x  4

Ambas composiciones son funciones cuadráticas, por lo tanto, el dominio es el conjunto de los números reales.

Domfg :  , 

BLOQUE 1

Domgf  :  , 

99


Ahora se presenta la definición de la composición de funciones. Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f  g (también conocida como composición de funciones) es función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos de Domg tal que g(x) está en Domf y con la siguiente regla de correspondencia.

f  gx   fgx 

La siguiente figura muestra una representación geométrica de f  gx   fgx  .

• x

• g(x)

fgx 

fg

Es muy importante hacer notar que para formar la función composición es necesario que el rango de la función g sea igual o un subconjunto del dominio de la función f. Ejemplo 2.

Si fx   2x  x y gx   x  3 , encontrar f  g y especificar su dominio. Como se pide evaluar a “f”, se sustituye la función g dentro de cada “x” que posea la función “f”, como se muestra a continuación.

fx   2x  x fgx   2gx   gx  fgx   2x  3  x  3 fgx   2x  6  x  3 La función composición se expresa así:

f  gx   2x  6 

x3

Ahora, analizando el dominio de g, por ser el valor que se está sustituyendo, observamos que es una función lineal, dado que es de primer grado, por lo tanto, el dominio y rango de gx   x  3 son todos los números reales.

Domg :  ,  y Rango g :  ,  Tomando en cuenta que los valores del Rango de g, son los que se sustituirán en la función “f”, y ésta posee una raíz, entonces de todos los números reales sólo se tomarán como dominio de la función composición, aquellos para los

cuales f  g es válida, esto es, observando f  gx   2x  6  x  3 , se tiene que el dominio de composición de f con g es Domfg :  3,  , porque al sustituir valores menores que –3 no se puede obtener de la raíz un número real.

100

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Si se realizan las gráficas correspondientes, es más sencillo visualizar el dominio de la función composición.

f  gx   2x  6 

x3

       













x



fx   2x  x 

 

gx   x  3    

Observando la gráfica se puede concluir que la función “g” desplaza a la función “f” tres unidades hacia la izquierda. ¿Qué pasaría con la función, si la composición de las funciones fuera al revés? Ejemplo 3.

Si fx   2x  x y gx   x  3 , encontrar g  f y especificar su dominio. Como se pide evaluar a “g”, se sustituye la función f dentro de cada “x” que posea la función “g”, como se muestra a continuación.

gx   x  3

gfx   fx   3 gfx   2x  x  3 La función composición se expresa así:

g  fx   2x 

x 3

Ahora, para los valores mayores e iguales a cero es válida la función composición “g” con “f”, puesto que la única parte que restringe al dominio es la raíz, sólo los valores no negativos pueden ser sustituidos, para validar esa función, por lo tanto, su dominio es:

Domgf  : 0,  Si se realizan las gráficas correspondientes, es más sencillo visualizar el dominio de la función composición.

BLOQUE 1

101


g  fx   2x 

x 3

       















x

fx   2x  x 

 

gx   x  3    

En esta ocasión, la función “f” fue trasladada 3 unidades hacia arriba. Generalizar este comportamiento sería muy apresurado, la forma en que varía la posición de las funciones, depende de ellas mismas, del tipo de funciones que sean. Posteriormente se utilizará la composición de funciones, para analizar el movimiento de las funciones, esto será en el próximo bloque. Los siguientes enunciados son ejemplos de la aplicación de la función composición. 1.

El costo de producción de huevos por un granjero está en función del número de gallinas que tiene; el número de gallinas depende a su vez del costo del alimento, por lo tanto, el costo de producción de huevos es una función del costo del alimento para gallinas.

2.

La producción anual de naranjas de una huerta está en función del número de árboles plantados en ella; el número de árboles plantados es función de la fertilidad del terreno. La producción anual es, pues, función de la fertilidad del terreno. Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos de operaciones con funciones. http://www.iesmarquesdesantillana.org/departamentos/matem/funciones/funcion es1.htm http://ficus.pntic.mec.es/~jgam0105/temas_1bach_CCNN/temario_1bach_CCN N.htm

102

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Actividad: 6 Utiliza las siguientes funciones para realizar las composiciones descritas en cada inciso y describe el dominio de la función compuesta, mediante intervalos.

fx   2  x 2

a)

fg

b)

g f

c)

fh

d)

h f

e)

hg

f)

gh

g)

f gh

hx   2  x

gx   x  4

Expresa las siguientes funciones compuestas, como las funciones que las originaron, es decir, escríbelas como fg.

1

hx   x 3

hx  

fx   gx   f  gx  

fx   gx   f  gx  

Actividad: 6 Conceptual Identifica la composición de dos funciones.

Autoevaluación

BLOQUE 1

hx  

x2

MC

x3

fx   gx   f  gx  

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Resuelve la composición de dos funciones. C

1 x 3

NC

Puntaje:

Actitudinal Aprecia el Álgebra como herramienta fundamental para obtener la composición de dos funciones. Calificación otorgada por el docente

103


Cierre Actividad:7 Resuelve cada una de las cuestiones que se te plantean. Si el área de una circunferencia es A r   r 2 y si A d 

1.

d 2

r, determina la función

compuesta: Ad  Ard

2.

En una tienda se observa la siguiente promoción: “En la compra de un juego de maletas obtenga un 20% de descuento”, y además “un descuento adicional de 35 pesos". Si se consideran las funciones Cx   0.8x y

Px   x  35 . a) Calcula: CPx 

PCx 

Evaluación b) ¿Cuál de los resultados obtenidos determina el pago del juego de maletas? ________. Actividad: x

Producto:

Puntaje:

c) ¿Cuánto se pagará por un juego de maletas con precio de lista de 650 pesos? _______. Saberes Conceptual

Procedimental

Autoevaluación

3.

C

MC

NC

Actitudinal Calificación otorgada por el docente

Daniel arroja una piedra a un lago y crea una ola circular que va hacia fuera a una velocidad de 55 cm/s. Expresa el radio del círculo formado en función del tiempo. a) Si A es el área del círculo en función del radio, encuentra A  r e interprétala.

Actividad: 7 Conceptual Identifica las operaciones de funciones que describen problemas de la vida cotidiana. Autoevaluación

104

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica operaciones de funciones Propone maneras creativas para para resolver problemas solucionar problemas. cotidianos. C MC NC Calificación otorgada por el docente

RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES


Aplica funciones especiales y transformaciones de gráficas.

Competencias disciplinares básicas:       

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:   

Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando propiedades de funciones inversas, constantes, idénticas, valor absoluto y escalonadas, para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Utiliza transformaciones de gráficas para la visualización de las representaciones algebraicas y geométricas de las funciones

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 12 horas


Secuencia didáctica 1. Funciones especiales. Inicio

Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. I. Marca con  la característica que cumple cada una de las funciones descritas por los pares ordenados. Función

Inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

fx    2,  6,  1,3, 0, 0, 1, 3, 2,6, 3,9, 4,12 fx    3,9,  2,4,  1,1, 0, 0, 1,1, 2,4, 3,9 fx   2,  5, 2,  3, 3,  1, 4,1, 5,1, 6,3, 7,5

fx    14 , 4,  13 , 3,  12 , 2, 1,1, 2, 12, 3, 13, 4, 14 fx    14 , 4,  13 , 3,  12 , 2, 1,1, 2, 12, 3, 13, 4, 14

II. Invierte las coordenadas de cada una de las funciones anteriores, analízalas y determina si es función marcando con , de ser así, marca la característica que cumple cada una de ellas. Pares ordenados

    

, , , , ,

,  ,  ,  ,  , 

,  ,  ,  ,  , 

, , , , ,

, , , , ,

,  ,  ,  ,  , 

,  ,  ,  ,  , 

, , , , ,

, , , , ,

Función

,  ,  ,  ,  , 

, , , , ,

,  ,  ,  ,  , 

, , , , ,

Inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

    

III. Invierte las coordenadas de la gráfica de la función que se encuentra en el lado izquierdo, para que ubiques los puntos invertidos en el plano cartesiano de la derecha y traces la gráfica correspondiente. Clasifica cada una de ellas marcando con  si es función o relación; si es función, marca la característica correspondiente. 

f (x)

 

      

Función ( ) Inyectiva ( ) Sobreyectiva ( Biyectiva ( )

106

Relación ( )

x 



x 

y





)

Función ( ) Inyectiva ( ) Sobreyectiva ( Biyectiva ( )

Relación (

)

)

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Actividad: 1 (continuación) f (x)

 y 

 

x

 



Función ( ) Inyectiva ( ) Sobreyectiva ( Biyectiva ( ) 

Relación (

)

)

   

x 

 

      

 

Relación (

)

)



Función ( ) Inyectiva ( ) Sobreyectiva ( Biyectiva ( ) 

 

Relación (

)

)

 

 

   



Función ( ) Inyectiva ( ) Sobreyectiva ( Biyectiva ( )

Relación (

)

)

Actividad: 1 Conceptual Reconoce las características de las funciones.

Autoevaluación

BLOQUE 2

x 

x

 y

f (x)



y



Función ( ) Inyectiva ( ) Sobreyectiva ( Biyectiva ( )

)



 

x 

)

Relación (

f (x)

  

Función ( ) Inyectiva ( ) Sobreyectiva ( Biyectiva ( )

 



x 

Función ( ) Inyectiva ( ) Sobreyectiva ( Biyectiva ( )

Relación (

)

)

Evaluación Producto: Complementación de Puntaje: tablas. Saberes Procedimental Actitudinal Asocia la característica de las Muestra interés al realizar la funciones de acuerdo a la regla de actividad y sus conocimientos correspondencia de una función o previos. a su gráfica. C MC NC Calificación otorgada por el docente

107


Desarrollo La importancia de las Matemáticas radica en su aplicación, en la manera que ayuda a plantear y resolver problemas; en la modelación, es fundamental el domino de diferentes funciones, debido a la variedad de problemas que se busca solucionar. En diferentes disciplinas se utilizan las funciones, como es el caso de la Física, en ella se conocen como fórmulas que requieren despejarse dependiendo la variable que se requiera conocer, por ejemplo: Un ciclista se mueve con una velocidad constante de 10 m/s, si “x” representa el desplazamiento recorrido por el ciclista en un tiempo t, entonces la relación entre el tiempo y el desplazamiento es:

v 10 

x t x t

t

x  10 t

x

10 Cada una de ellas es una función, la primera permite encontrar el desplazamiento cuando se conoce el tiempo, y en la segunda ocurre de forma inversa, se puede conocer el tiempo si se conoce el desplazamiento, por lo tanto, se pueden expresar como:

x  ft   10 t

t  gx  

ft   10 t 0 1 2 3 4

gx   0 10 20 30 40

0 10 20 30 40

x 10

x 10 0 1 2 3 4

Si se toma la primera tabla y se invierten las columnas se obtiene la segunda, en ambos casos la relación es la misma, pero la interpretación es diferente; desde el punto de vista de las funciones, se le denomina obtener la inversa de una función.

Función inversa. En la actividad de inicio encontraste que una de las características esenciales para obtener la inversa de una función, es que ésta sea biyectiva. A continuación se enuncia su definición. Dada una función biyectiva f : A  B , se dice que la función g : B  A es su inversa, si se cumple que: fgx   x, x B

gfx   x,

x A

En otras palabras, una función biyectiva tiene función inversa y al encontrar la función compuesta entre ambas, se obtiene la función identidad. Lo anterior se visualiza en el siguiente ejemplo:

108

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Ejemplo 1. Sea la función fx   3x  2 , demostrar que la función gx  

x2

es su función inversa. 3 Antes que nada, se graficará la función para determinar si es biyectiva, significa entonces, que debe cumplir con ser inyectiva y sobreyectiva. Primero se grafica la función utilizando uno de los métodos para graficar funciones lineales, obteniéndose la siguiente:  f (x)     



 



x 

   

Posteriormente, se utilizará la prueba de las líneas horizontales para demostrar que función f(x) es inyectiva, como se muestra a continuación.  f (x)     



 



x 

Como se puede constatar, las líneas intersecan a la función una sola vez, esto significa que es inyectiva, porque para dos valores diferentes de x le asocia dos valores diferentes de la función.

   

Si se observa el contradominio es el conjunto de los números reales y al ser igual que el rango, significa que todos las imágenes pertenecientes al contradominio provienen de una “x” específica, con ello se demuestra que también es sobreyectiva, por lo que se concluye que la función es biyectiva. Una vez comprobada que es biyectiva, se requiere demostrar que la función compuesta entre ambas da como resultado la función identidad, como se aprecia enseguida.

BLOQUE 2

109


gx  

fx   3 x  2

x2 3

fx   2 gfx   3 3x  2  2 gfx  

fgx   3gx   2 x  2 fgx   3  2  3  x  2 fgx   3  2  3  fgx   x  2   2

fgx   fgx  

fgx   x

3 3x  2  2 3 3x

x fgx   x

Cada una de ellas es la función inversa de la otra. Al graficar ambas funciones en el mismo plano cartesiano, se observará otra de las características que tienen las funciones inversas.  y

fx   3x  2

yx

   

gx  

 x 



x2 3

 

La característica a la cual se refiere anteriormente, es a que las funciones son simétricas con respecto a la función identidad y=x, es decir, que las funciones se encuentran a la misma distancia de la recta identidad. Regularmente si la función fx  tiene inversa, ésta se representa con f 1x  , esta notación sólo es una representación sin el sentido algebraico que tiene –1 como exponente, así que no se debe confundir el término inverso con recíproco. En el caso anterior fue sencillo comprobar que las funciones son inversas, se complica un poco cuando se desconoce la inversa de una función y se quiere encontrar; en el siguiente tema se explicará el proceso para encontrar la inversa de una función.

Actividad: 2 Prueba algebraicamente que las funciones f y g son inversas. 1) fx   1 x 3

110

gx   3 1 x

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Actividad: 2 (continuación) 1

2)

fx  

3)

fx   3  2x

4)

fx   4  x 2

5)

fx  

1 x

gx  

5x  9

gx  

x2

Conceptual Reconoce la función compuesta como método de comprobación algebraica de la función inversa. Autoevaluación

1 x

1

3x 2

gx   4  x

para x  0

Actividad: 2

BLOQUE 2

gx  

para x  1

9  2x x5

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Comprueba algebraicamente la función inversa. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de la función compuesta como método algebraico de comprobación para la función inversa.

Calificación otorgada por el docente

111


Forma algebraica de la inversa de una función. Los pasos requeridos para encontrar la forma algebraica de la inversa de una función, son los siguientes: 1. Comprobar que la función es biyectiva. 2. Escribir la función colocando en lugar de f(x) una “y”. 3. Despejar la “x” de la función. 4. Reescribir ésta última cambiando la “x” por la “y”, y viceversa. 5.

Representar la “y” como f 1x  .

Ejemplo 1. Encontrar la función inversa de fx   2x  4 . Lo primero que se debe hacer, es comprobar que es biyectiva, y esto se hace utilizando las rectas horizontales en su gráfica. f (x) 

Toda función lineal es biyectiva, tanto el dominio como el rango son los números reales y las rectas horizontales la cortan una sola vez.

     



x 

    

Ahora se expresa la función como y  2x  4 , para poder despejar la variable “x”. y  2x  4

y  4  2x y4 2

y

x

x x

y4

2

1

y2 2 El siguiente paso consiste en cambiar las variables, reescribiendo la función de la siguiente forma. 1 y x2 2 Por último, se representa la variable “y” como

f 1x  

1 2

x2

 



x 

 

f 1x  , obteniéndose de esta forma la función  fx   2x  4 inversa.  1 f 1x   x  2  2 Al graficarse ambas funciones en el mismo plano cartesiano, se observa la simetría con respecto a la función identidad.

112

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Ejemplo 2.

Encontrar la función inversa de fx   x 2  1. Esta función cuadrática describe una parábola con ramas hacia arriba, como se muestra en su gráfica, y al trazarle rectas horizontales, se comprueba que la cortan más de una vez en todos los puntos menos en su vértice, por lo tanto no es inyectiva y por consecuencia, tampoco biyectiva. f (x)        





x



  

Si se traza una curva simétrica con respecto a la función identidad, de esta función, se obtiene la siguiente gráfica.  y       



x 

   

Se obtiene una curva que no es función, porque a un valor de “x” le corresponden dos de “y”, también esto se puede comprobar al trazar una recta vertical y verificar que corta a la función en dos puntos. Es por ello que un requisito indispensable que se debe comprobar para obtener la función inversa, es que sea biyectiva, es decir, que sea inyectiva y sobreyectiva. Siempre que una función no sea inyectiva, al quererla invertir, se obtienen relaciones, no funciones. Aunque una función no sea inyectiva, se puede acotar a un intervalo que sí lo sea, esto es, sólo considerar aquellos valores de “x” en los que la función es inyectiva, se puede decir que se restringirá el dominio, si antes esta función tenía como dominio todos los números reales, ahora se puede considerar el dominio de los números no negativos, esto se escribe:

fx   x 2  1

BLOQUE 2

si x   0, 

113


Entonces con ello se obtiene sólo la mitad derecha de la función, como se ve en la siguiente gráfica. 

f (x)

      





x



 

Ahora se procede a obtener la función inversa.

 

fx   x 2  1

Recordando que primero se debe realizar el cambio de notación.

y  x2  1 Posteriormente, despejando la variable “x”.

y  x2  1 y  1 x 2  y 1 x x   y 1 Como se puede observar en el despeje, se obtienen dos funciones, esto es válido para cualquier “x”, pero como en este caso las “x” están restringidas a ser no negativas, entonces sólo se elige la función irracional de signo positivo fuera del radical.

x  y 1 A continuación se renombran las variables, intercambiando la “x” por la “y”.

y  x 1 De esta forma se obtiene la función inversa:

f 1x   x  1

y

 

Al graficar ambas funciones se observa la simetría.

 

fx   x 2  1

  



x 



f

1

x  

x 1

 

114



APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Al ver los tipos de funciones que se conocieron en el bloque anterior, se observa que hay varias de ellas que no cumplen con ser biyectivas, como por ejemplo las funciones trigonométricas, las cuales al ser periódicas no pueden ser inyectivas, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3. Encontrar la función inversa de fx   cos x . Al graficar esta función se observa su periodicidad, es por ello que se debe elegir un intervalo en el que la función sea inyectiva. f (x)   x 







  

Se elegirá el intervalo de 0 a π.

f (x)   x 







  

Por lo tanto, la función se redefine de la siguiente forma:

fx   cos x

si

x  0, 

Ahora se procede a encontrar la función inversa.

y  cos x cos 1y   x x  cos 1y  Haciendo el cambio de variables se obtiene:

y  cos 1x  Por lo tanto, la función inversa se expresa: También se conoce como:

BLOQUE 2

f 1x   cos 1x  f 1x   arccosx 

115


Al graficar las funciones se observa la simetría de éstas, con respecto a la función identidad. y

f 1x   arccosx 

  x









 

fx   cos x



Ahora se presentarán las dos funciones por separado, para comprobar cómo el dominio de la función original se convierte en el rango de la inversa, y el rango de la función se convierte en el dominio de su inversa. f (x)

 





f



x 

x 

y 1



x

















Dom :  0, 

Rango :  1, 1 

Dom :  1, 1 

Rango :  0, 

Ejemplo 4. Utilizando la función inversa, determinar el dominio y rango de la función fx  

x

. x 1 Esta función es racional y se indefine sólo si el denominador es igual a cero, es decir, cuando la x=1, por lo tanto, el dominio de la función son todos los números reales menos el 1, y se escribe de la siguiente manera:

Dom:    1 Para obtener el rango se hace más complicado sin la gráfica, por ello es que se recurre a la función inversa, si se obtiene el dominio de ésta, corresponderá al rango que se busca. Ahora se procederá a obtener la función inversa, suponiendo que es biyectiva, esto se comprobará al ver la función graficada. El propósito de este ejemplo es proporcionar otro método para obtener el rango de una función. 1.

Se cambia f(x) por “y”.

y 2.

116

x x 1

Se despeja “x”.

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


y x  1  x xy  y  x xy  x  y

x y  1  y x 3.

y 1

Se cambian las variables, la “y” por la “x” y viceversa.

y 4.

y

Se expresa “y” como f

1

x  .

x x 1 x

f 1x  

x 1 Observando la función inversa, se deduce, que la función original y su inversa es la misma, por lo tanto, el dominio de ésta última, también son todos los números reales menos el 1. Por lo tanto, el rango buscado en la función original es el mismo que su dominio. Graficando puntos se obtiene la siguiente función.  f (x)      x 







   

Dom:    1 Rango :    1

Resulta que la función misma es simétrica con respecto a la función identidad, es por ello que resultó ser igual a su función inversa.

BLOQUE 2

117


Actividad: 3 Dadas las siguientes gráficas, desarrolla lo que se pide. 1. Verifica que sean uno a uno. 3.

2. Identifica el dominio y el rango de f 1 En la misma gráfica, y tomando en cuenta que la función inversa se refleja en la recta y=x (la línea punteada), traza la inversa.

a) f (x)     x 



 

b) 

f (x)

    x 



 

c) 

f (x)

    x 



 

118

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Actividad: 3 (continuación) d) 

f (x)

    x 



 

e) 

f (x)

    x 



 

Actividad: 3 Conceptual Reproduce la gráfica de la función inversa. Autoevaluación

valuación Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Grafica la función inversa como Aprecia la facilidad de graficar la reflejo con respecto a la función función inversa a partir de la identidad gráfica de la función. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: En los siguientes sitios podrás reforzar tus conocimientos. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/funciones_ definidas_oper_transf/pagina17.htm http://cuhwww.upr.clu.edu/~basa/taller2pc/index.htm

BLOQUE 2

119


Actividad: 4 Resuelve lo que se pide. I. Toma en cuenta la siguiente función f0  0 , f1  3 , f3  6 , f5  10 , f6  12 y f7  14 ; calcula lo siguiente:

II.

120

1)

f 10 

2)

f 13 

3)

f 16  

Encuentra las funciones inversas, escribe el dominio para la cual f(x) tiene inversa. 1)

0, 0 , 1, 3 , 2, 5 , 3, 6 , 4,7

2)

fx   2  4x

3)

fx   2 x

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Actividad: 4 (continuación) 4)

fx   6x 2

5)

fx  

6)

fx  

1 x

5x  9 x2

Actividad: 4 Conceptual Reconoce la forma algebraica de la inversa de una función.

Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Construye la forma algebraica de la inversa de una función. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Reconoce y aprecia los conocimientos previos del Álgebra para calcular funciones inversas.

Calificación otorgada por el docente

121


Funciones definidas por partes. No todos los comportamientos de situaciones reales se pueden modelar con una misma función, tan sencillo como visualizar el recorrido de un automóvil. En condiciones controladas como en un laboratorio, un automóvil puede recorrer largas distancias a velocidad constante, pero en la vida real, un automóvil, acelera, desacelera, tiene velocidad constante o se detiene, e incluso, invierte su marcha. Todas estos comportamientos de recorridos son complicados para modelarse con una sola función, es por ello, que se puede modelar estas situaciones por partes, como por ejemplo: Un automóvil comienza acelerando los 40 primeros segundos, posteriormente su velocidad permanece constante durante 5 minutos más, abruptamente se detiene por un lapso de 1.5 minutos, y por último, reinicia su marcha acelerando para alcanzar en los 10 segundos siguientes, la misma velocidad a la que venía circulando, para luego seguir su marcha a velocidad constante. La siguiente gráfica podría modelar el comportamiento de este automóvil. 

d (mt s )

        

t (s eg ) 





                      

En ella se pueden reconocer dos funciones lineales, las cuales son definidas en los intervalos de tiempo de 40 seg a 340 seg y de 440 seg en adelante. También se reconoce la función constante que se define en el intervalo de 340 seg a 430 seg, y las funciones en donde acelera pueden ser cuadráticas, cúbicas, exponenciales o cualquier función en la que el crecimiento no sea de forma constante. Ejemplos como éste hay muchos en la vida diaria, es por ello que es necesario definir y obtener las gráficas de este tipo de funciones. La función definida por partes es aquella que tiene dividido su dominio en al menos dos partes y en cada una de ellas se define una regla de correspondencia diferente. Esto es, tener en un mismo plano varias funciones, por ejemplo:

fx   x  3 fx   

1 2

f (x)

fx   x  4x  6 2

x3

2

fx   x  4x  6

fx   x 2  4x

fx   x 2  4x

 

fx   x  3

      



x 

fx   

1 2

x3

 

122

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Cada una de ellas es función, pero agrupadas, es decir, considerándolas todas a la vez, no lo son, porque a varias “x” les corresponden varios valores de “y”, como es el valor de x=–2, que le corresponde y=1, y=2 y y= 4. Sin embargo, a partir de ellas se puede construir una función definida por partes. Esto se puede lograr dividiendo el eje x en intervalos consecutivos, por ejemplo: f (x)

             

x 



 

 1,1 

 , 1

4,  

1,4 

En los intervalos que muestra la ilustración anterior, no quedaron definidos los números –1, 1 y 4, es decir, no están considerados en ningún intervalo y si se desea hacer, se deben considerar sólo en uno, porque se caería de nuevo en definir una relación no una función, por lo tanto, se definirán los intervalos de la siguiente forma:  , 1 , 1,1  , 1, 4  y 4,   . En cada uno de ellos se hará válida sólo una función, por lo tanto, se “borrarán” las gráficas que no son válidas, dejándose sólo el trazo de una, esto garantiza que la definición de función. 

f (x)

            

 , 1

 

x 

1,1 

1,4

Hay que recordar que el paréntesis “(“, “)” indica que no está definido el valor de “x”, y le corresponde un hueco “”. El corchete “[“, “]” indica que está definido el valor de “x”, y le corresponde un punto lleno “”. Ver anexo A.

4,  

La expresión algebraica de esta función se representa de la siguiente forma.

x 2  4 x  6 si x  1  si  1< x < 1 x  3  fx    x 2  4x si 1  x  4  1  si x>4  2 x  3 Como se observa, la función está compuesta por las cuatro funciones condicionadas en un intervalo, es por ello que después de nombrar a cada una de ellas está el condicionante “si”, seguido de la desigualdad que representa al intervalo donde son válidas.

BLOQUE 2

123


El dominio de la función será la unión de los intervalos de las funciones que la componen, esto es: Dom:  , 1   1,1  1,4   4, ; en este caso, se puede decir que el dominio son todos los números reales, Dom :  . En cuanto al rango de la función definida por partes, también abarca todos los números reales, debido que la unión de los intervalos que componen los rangos de las funciones que la integran, da como resultado el conjunto de los números reales. A continuación se mostrará un ejemplo de la manera que se debe graficar una función definida por partes. Ejemplo 1.

 si x < 1  x 3  2x 2  4x  6 Graficar la función fx    y encontrar su dominio y rango.  2x  1 si x  1  Para graficar la función es recomendable representar, en sus diferentes formas, cada uno de los condicionantes que validan las funciones que la componen, esto se hará de la siguiente forma:

 x 3  2x 2  4x  6

Función Condicionante Representación por intervalo

2x  1 x 1

x <1

1, 

 ,1 x

Representación gráfica

   

x

   

En la representación gráfica del condicionante quedan más claros los valores que se deben sustituir en cada una de las funciones, y también queda más específico qué función llevará el hueco y cuál el punto. x –3 –2 –1 0 1

 x 3  2x 2  4x  6 3 –2 1 6 7

x

2x  1

1 2 3 4 5

3 5 7 9 11

Al ubicar los puntos se tiene: f (x)            



x 

 

124

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Al ver los puntos de esta forma, es muy común que el alumno los una sin considerar que son dos funciones, y que además, la función que está a la izquierda del 1 es cúbica y la que está a la derecha es una función lineal, por lo tanto, si se tiene duda de la curvatura de la función cúbica, se recomienda graficar más puntos entre los valores ya graficados, como es: x

 x 3  2x 2  4x  6

–1.5 –1 –0.5 0 0.5

–1.125 1 3.625 6 7.375 f (x)        

   



x 

 

Se debe tener en cuenta que la función es discontinua, porque da un salto, debido a que en la función cúbica el hueco ubicado en (1, 7), y en la función lineal el punto se ubica en (1, 3). Al unir los puntos se obtiene la gráfica: f (x)            



x 

 

Dom :  , 

Rango :  2,  

BLOQUE 2

125


Ejemplo 2. Elaborar la gráfica y obtener el dominio y rango de la función:

  x2 g( x )     x  6

si

x2

si

x2

Como en el ejemplo anterior, es recomendable visualizar los intervalos donde cada una de las partes que compone a esta nueva función, es válida; así como también, determinar los puntos que se requiere sustituir.

x2

x  6

x <2

x >2 2, 

Función Condicionante Representación por intervalo

 , 2

Representación gráfica





x 





x 

Sustituyendo los valores correspondientes de cada una de las funciones, se obtienen los siguientes puntos, recordando que en ambas partes hay un hueco, debido a que ninguno de los condicionantes posee la igualdad. x –2 –1 0 1 2

x2 4 1 0 1 4

x 2 3 4 5 6

x  6 4 3 2 1 0

Al graficar los puntos se obtiene lo siguiente:  g (x)           



x 



Para unir los puntos se debe considerar que a la izquierda del 2 la función es una parábola y a la derecha del mismo la función es una línea recta. También se debe reflexionar el punto en el que se parte la función (x=2), éste no es válido para ninguna de las dos partes de la función, pero en él se dibujará un círculo a la altura de 4, uniendo así la parábola y la línea recta, debido a que en las dos se obtiene el mismo valor de “y” (y=4). Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función g(x).

126

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


 g (x)           



x 



Su dominio son los números reales menos el 2, debido a que a la izquierda del 2 se extiende infinitamente la parábola y a su derecha, se extiende infinitamente la recta, pero en 2 no estaba definida la función g(x). En cuanto a su rango, la parábola se extiende infinitamente hacia arriba y a la altura de 4 si existe valor cuando x=–2, y hacia abajo se extiende infinitamente la recta, por lo tanto, el rango son todos los números reales. Tanto el dominio como el rango se escriben: Notación por intervalos Dom :  , 2  2,  

Rango :  ,  

Notación por conjuntos Dom :   2

Rango : 

Actividad: 5 Traza la gráfica de las siguientes funciones.  si x  2 x 2 1) f( x )    si x  2  x  6 

f (x)

            

x 

  

BLOQUE 2

127


Actividad: 5 (continuación)  x 3  2 si x  1 2) f( x )    si x  1  3 

f (x)

        

x 

      

3)

 x 2  4x  g( x )   1 1  x 2 4

si x  2 si x  2 

f (x)

           

x 

     

128

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Actividad: 5 (continuación)

4)

 x2  4   x2  f( x )    3  

si x  2 si x  2

f (x)

     

x

      

    

5)

 x  4  f( x )    2  2  x 3

si

x  4

si  4  x  1 si

x  1 

f (x)

            

x 

   

Actividad: 5 Conceptual Reconoce las funciones que componen a una función definida por partes. Autoevaluación

BLOQUE 2

valuación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Grafica funciones definidas por partes. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad con interés, expresa sus dudas y corrige sus errores.

Calificación otorgada por el docente

129


Se pueden construir una cantidad innumerable de funciones definidas por partes, como los ejemplos que se acaban de ver, pero en particular hay dos funciones especiales que por su utilidad se les denomina función valor absoluto y función escalonada, las cuales se describen a continuación. Función valor absoluto. En Matemáticas 3 viste el concepto de valor absoluto y lo utilizaste en el tema de distancia entre dos puntos; éste se representa mediante dos líneas como x , y se lee, valor absoluto de “x”. En ese momento no se definió como función, sólo se usó para asegurarse de que las distancias obtenidas dieran como resultado un número positivo, como por ejemplo: 6  6 y  3  3 . Ahora observando su definición como función, se aclara más el hecho de por qué si se aplica el valor absoluto a un número positivo resulta positivo, y si se aplica el valor absoluto a un número negativo da como resultado positivo. La función de valor absoluto fx   x se define como:

 x f( x )  x    x

si

x0

si

x0

Esta función está definida como la distancia que existe entre el 0 y el número en cuestión. Observando las dos partes en las que está compuesta la función valor absoluto, se concluye que son dos rectas, una con pendiente negativa y la otra con pendiente positiva, a continuación se graficará dando valores a la función.

 x f( x )  x    x

x0

si

x0

x x <0  , 0

Función Condicionante Representación por intervalo

x x0 0,  x

Representación gráfica x –4 –3 –2 –1 0

si



x 4 3 2 1 0







x



x 0 1 2 4 4







x 0 1 2 3 4

En las tablas anteriores se observa más claramente que se sustituye un número negativo, éste se multiplica por menos para convertirlo a positivo, y si es positivo se deja igual. 

Posteriormente no será necesario realizar todo el proceso de separación de la función, con sólo sustituir en el valor absoluto se obtendrá la gráfica de la función, pero siempre es necesario visualizar de dónde proviene el valor absoluto.

f (x)

  

Enseguida se sustituyen los puntos; notarás que en la tabla de la izquierda hay un hueco en el punto (0, 0), pero en la tabla de la derecha el punto está lleno en (0, 0), por lo tanto, le da continuidad a la función.

      



x 

 

130



APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Su gráfica queda de la siguiente manera: 

f (x)

Al extenderse infinitamente hacia los lados su dominio son los números reales, y su rango son los números no negativos.

 

Dom :  ,  

Rango : 0, 

       

x 



  A continuación se mostrarán dos ejemplos de funciones de valor absoluto, utilizando simple sustitución. 

Ejemplo 1. Graficar la función fx   x  3  5 , además, encontrar su dominio y rango. Se usa una tabla para determinar las coordenadas de los puntos por donde pasa la función, se recomienda graficar valores a la izquierda y derecha del 3, debido a que éste al sustituirlo en la función hace cero dentro del valor absoluto. x

fx   x  3  5

0

8

f0  0  3  5   3  5  3  5  8

1

7

f1  1  3  5   2  5  2  5  7

2

6

f2  2  3  5   1  5  1  5  6

3

5

f3  3  3  5  0  5  0  5  5

4

6

5

7

6

8

f4  4  3  5  1  5  1  5  6 f5  5  3  5  2  5  2  5  7 f6  6  3  5  3  5  3  5  8

La gráfica queda de la siguiente forma:  f (x)          

Su dominio y su rango son:



x 



Dom :  ,   Rango : 5, 

BLOQUE 2

131


Ejemplo 2. Graficar la función k x   

1

x  4  2 ; encontrar su dominio y rango. 2 Ahora se tomarán valores alrededor de –4, porque es el número que al sustituirlo dentro del valor absoluto da como resultado cero. x

k x   

1 2

x4 2

–7

–3.5

k 7  

–6

–3

k 6  

–5

–2.5

k 5  

–4

–2

k 4  

–3

–2.5

k 3  

–2

–3

k 2  

–1

–3.5

k 1  

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

74 2 64 2 54 2 44 34 24  1 4

1 2 1 2 1 2 1

3 2 2 2 1  2  

1 2 1 2 1

3  2   7  3.5 2

2  2  3

1  2   5  2.5

2 2 1 2 0  2   0  2  2 2 2 1 1 5  2   1  2   1  2    2.5 2 2 2 1 1 2 2  2   2  2  3 2 2 1 1 7 2 3  2   3  2    3.5 2 2 2

La gráfica queda de la siguiente forma: 

k (x)

          



x 

     

Su dominio y su rango son:

Dom :  ,  

Rango :  , 2

132

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Actividad: 6 Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones, realiza la gráfica correspondiente y entrégalas a tu profesor. 1)

H( x )  x  1  H(x)       

x

      

   

2)

R( x ) 

1 3x  6  1 2 

R(x)

           

x 

   

3)

L( x )  2 x  L(x)           

x 

      

BLOQUE 2

133


Actividad: 6 (continuación) 4) M( x )  x  2  2 

M(x)

       

x

    

 

5)



L( x )   2x  10  3

L(x)

             

x 

    

6)



K( x )  x  4



 K(x)           

x 

 

  

Actividad: 6 Conceptual Identifica la función valor absoluto. Autoevaluación

134

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Grafica funciones con valor absoluto. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad con interés, expresa sus dudas y corrige sus errores. Calificación otorgada por el docente

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Función escalonada. Es la función cuya gráfica está formada por segmentos horizontales de rectas, parecidos a escalones. Por ejemplo: Ejemplo 1.

si x  0  1 Graficar la función f( x )   ; encontrar su dominio y rango. si x  0  1 En esta función no es necesario utilizar tablas ni sustitución, ya que las partes por las que está formada son funciones constantes. Para todos las “x” menores que cero, se graficará una recta horizontal a la altura de –1 y para las mayores e iguales a cero, se trazará una recta horizontal a la altura de 1. f (x)    x 







  

Su dominio son todos los números reales, debido a que los intervalos de cada una de las partes contienen a todos los números reales,  , 0  0, ; en cuanto al rango, sólo son dos valores para los que existe la función, –1 y 1, en este caso no se utiliza paréntesis ni corchetes, porque no son intervalos, son dos elementos, por lo tanto, se encierran entre llaves, aquí no importa el orden en el cual se acomoden los elementos del rango.

Dom : 

Rango :  1,1 Ejemplo 2.

 2  0  Graficar la función T( x )    2  4

si si

 4  x  2 2  x  2

si

2 x  4

si

4 x  6

encontrar su dominio y rango.

Esta función está formada por 4 segmentos de recta, como se muestra en la gráfica. 

T(x)

   









x 

   

BLOQUE 2

135


Su dominio lo forman los intervalos  4, 2   2, 2  2, 4  4,6 , que es lo mismo que considerar el intervalo  4, 6 ; en cuanto al rango, únicamente son cuatro valores: –2, 0, 2 y 4.

Dom :  4, 6 

Rango :  2,0, 2, 4  Existe una función escalonada especial, llamada función máximo entero, cuya gráfica está formada por una serie de segmentos de recta horizontales de una unidad de longitud, cada segmento está definido por un intervalo semicerrado por la izquierda, es decir, que incluye al extremo izquierdo pero al derecho no. La función máximo entero se expresa como fx   x , donde el símbolo “x”. Por ejemplo: 2.3  2 , 0.74  0 ,  3.1  4 



indica el máximo entero menor o igual a

f (x)

  x 



  

El dominio de la función son todos los números reales, porque a cada número se le asigna el entero menor o igual que él, por lo tanto el rango es el conjunto de los números enteros.

Dom :  Rango :  Las funciones escalonadas son útiles en las compañías de telefonía, en el costo de las llamadas; si un cliente rebasa el tiempo en un determinado minuto, le cargan el siguiente minuto completo, situación que en la mayoría de los casos es injusta para el cliente, pero ellos se amparan en el contrato. Lo mismo sucede en el cobro del uso de estacionamiento, que por lo general tienen la leyenda “10 pesos por hora o fracción”, lo cual significa que aunque sea mínimo el tiempo excedido, siempre cobran una hora más. Ejemplo 3. El costo de una llamada por celular es de 2.5 pesos los primeros cinco minuto y 1.25 por cada minuto o fracción adicional. Expresar la función que representa esta situación. Primero hay que determinar las variables involucradas, por lo tanto, se considerará C(t) como el costo de la llamada en “t” minutos. El problema dice que el primer minuto cuesta 2.5 pesos, y en el segundo minuto costará 2.5+1.25, en total 3.75, el tercer minuto costará lo del minuto anterior más 1.25 pesos y así sucesivamente, por lo tanto, después del primer minuto, la función dará saltos de 1.25, como se muestra en la gráfica. En este caso se realizará primero la gráfica para poder dilucidar la forma de la función.

136

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


C (t )

     t 



También se tiene que considerar que el cobro se empieza a hacer a partir de t>0, es por ello que cuando t=0 se tiene un hueco a la altura de 2.5. La función que representa el costo de las llamadas en término del tiempo transcurrido es: si 0 t  1 2.5  3.75 si 1 t  2  C( t )   5 si 2  t  3 6.25 si 3  t  4    También se puede expresar como:

C(t)  2.5  1.25t

para t > 0

Actividad: 7 Traza la gráfica que describe cada situación. 1) La calificación en el sistema básico tiene como mínimo aprobatoria 6, si el alumno reprueba se le asigna la calificación de 5. La calificación aprobatoria se redondea, es decir, si obtiene de 6 a 6.4 se le asigna la calificación de 6, si obtiene como calificación de 6.5 a 7, se le asigna la calificación de 7 y así sucesivamente. La calificación obtenida es “x” y la calificación asignada se denota como C(x). 

C (x)

           

x 

 



BLOQUE 2

137


Actividad: 7 (continuación) 2)

La tabla representa el costo de envío por correo de paquetes según su peso.



Intervalo Peso (gramos)

Costo en pesos $

[0, 200)

450

[200, 500)

750

[500, 700)

950

[700, 1000)

1250

[1000, 1200]

1450

C (x)

           

x (p es o s ) 

3.

  f( x )    

1

si

x0

3

si

0x4

5

si

x4











f (x)

           

x 

 

Actividad: 7 Conceptual Identifica a la función escalonada en situaciones de la vida cotidiana. Autoevaluación

138

Evaluación  Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Representa gráficamente Aprecia la utilidad de las situaciones de la vida cotidiana funciones en la representación de mediante funciones escalonadas. situaciones cotidianas. C MC NC Calificación otorgada por el docente

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Cierre Actividad: 8 Realiza lo que se pide. I. Grafica cada una de las siguientes funciones y determina su dominio y rango:  si x  3  2 x  1  2 2 x  2 a) f( x )   b) f( x )     si x  3  x  6  x  3 1

 f (x)

 

x 











d) f( x)  x  1 

f( x)  x  1  f (x)

 f (x)

     

  

x





BLOQUE 2

f (x)

c)

si x  2



si x  2



x 

    



















x 

139


Actividad: 8 (continuación) II.

Completa la siguiente tabla escribiendo un ejemplo de la función que se solicita, su inversa, la comprobación algebraica y un bosquejo de la simetría de ambas funciones.

Nombre

Función

Comprobación algebraica

Función inversa

Gráfica

Lineal Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango

Dom: Rango:

Dom: Rango

Cuadrática

Cúbica

Racional

Irracional

Actividad: 8 Conceptual Identifica las funciones especiales e inversa de una función. Autoevaluación

140

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Ejemplifica funciones y sus inversas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.

Calificación otorgada por el docente

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Secuencia didáctica 2. Transformaciones de gráficas de funciones. Inicio

Actividad: 1 En equipo, realicen lo que se solicita. I.

Utilicen lápices de colores para graficar en un mismo plano cartesiano las siguientes funciones:

a) Con rojo la función fx   x 2

b) Con azul la función fx   x 2  2 c) Con verde la función fx   x 2  2 Consideren las siguientes tablas para realizar las gráficas. x

fx   x 2

fx   x 2  2

x

x

−3

−3

−3

−2

−2

−2

−1

−1

−1

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3



fx   x 2  2

f (x)

          x 









 

BLOQUE 2

141


Actividad: 2 (continuación) II.

Respondan las siguientes preguntas:

a) ¿Qué ocurre con la gráfica de fx   x 2 si la comparan con la gráfica fx   x 2  2 ?

b) Ahora, ¿qué sucede si la comparan con fx   x 2  2 ?

c) ¿Sucederá lo mismo con todas las funciones? III.

Comprueba lo anterior con la función identidad.  f (x)           



x 

    

IV. Escriban sus conclusiones y discutan en grupo ¿cuál es la utilidad que encuentran al usar gráficas para representar cierta información?

Actividad: 2 Conceptual Identifica las funciones cuadráticas. Autoevaluación

142

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Transforma funciones cuadráticas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés al realizar la actividad.

Calificación otorgada por el docente

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Desarrollo En Matemáticas 3 observaste cómo las figuras geométricas pueden moverse en el plano cartesiano sin cambiar de forma, como por ejemplo una circunferencia de radio 1 puede cambiar la ubicación de su centro y no cambia su forma, pero la ecuación que la describe sufre una modificación. 

Y

X 



  



X 

  



  





















x  y  3  1

2

2

x  y 1

x  3

2

2

Y

X





2

Y

   

Y

X 



2

 y 1

x  3

2

 y  32  1

Es muy útil al momento de graficar conocer los cambios que sufre la regla de correspondencia de una función al trasladarse en el plano cartesiano, de antemano se puede realizar un bosquejo de la función sin necesidad de sustituir puntos. Estos cambios se realizan a partir de una función base, como la siguiente: f (x)

x

Los cambios que se abordarán en esta secuencia son: f (x) f (x)

f (x)

x x

x

Traslación horizontal f (x)

Reflexión con respecto al eje X

f (x)

x

Reflexión con respecto al eje Y

BLOQUE 2

Traslación vertical

f (x)

x

Reflexión con respecto a la recta de 45º

x

Expansión y contracción

143


Cuando ocurren transformaciones gráficas, se observa que existen desplazamientos y reflexiones, que por lo general obedecen a parámetros, es decir, a valores constantes que propician dichos cambios, por ejemplo: en Matemáticas 3 se estudió a fondo la línea recta como lugar geométrico, y una de sus formas es la pendiente-ordenada en el origen ( y  mx  b ), donde “m” y “b” son los parámetros; “m” es la pendiente, la cual dependiendo de su valor es la inclinación que tiene la recta y “b” es la ordenada en el origen, la cual determina la altura a la que se encuentra la intersección de la recta con el eje Y. A continuación se analizará algunas transformaciones que se pueden presentar en las funciones, esto se hará mediante ejemplos; posteriormente se formalizará cada una de ellas.

Traslación horizontal.

Éste tipo de transformación se da cuando la función se mueve hacia la izquierda o a la derecha, como por ejemplo: Si se utiliza una tabla de valores para graficar la función fx   x , se obtiene:

fx   x

x

 f (x)

−3

8

−2

7

−1

6

0

5

1

6

2

7

         

3

8

  x 

  

Ahora se tabula y grafica la función fx  3  x  3 .

fx  3  x  3

−6

3

−5

2

−4

1

−3

0

−2

1

−1

2



0

3



También se tabula y grafica la función fx  3  x  3 x

144

 f (x+3)

x

fx  3  x  3

0

3

1

2

2

1

3

0

4

1

5

2

6

3

              

x 



 f (x-3)               

x 

  

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Notaste que los valores de “x” en las tablas no son los mismos, se eligen alrededor del valor de “x” que hace cero dentro del valor absoluto, cero para la primera función, menos tres para la segunda y tres para la tercera. Si se grafican las tres funciones en el mismo plano cartesiano, se observa cómo se transforma la función al sumarle o restarle una constante a la variable.  f (x)  

f(x+3)

f(x – 3)

  

           f(x)

x 

  

Con base en lo anterior, se puede concluir que: Si fx  se transforma en fx  c , la gráfica de f(x) se desplaza horizontalmente a la izquierda o a la derecha, obteniéndose una nueva función gx   fx  c ; hacia dónde se traslade depende del signo del parámetro “c", esto es: 

Si c > 0; es decir, “c” es positivo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia la izquierda “c” unidades.

Si c < 0; es decir, “c” es negativo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia la derecha “c” unidades.

A continuación se ejemplificará la traslación horizontal, sin utilizar la sustitución y la tabla de valores. Ejemplo 1.

Graficar la función gx   x  53 como una transformación de fx   x 3 , tomando en cuenta que su gráfica es:  f (x)      

  





 g (x)

x 







x

 







Como el valor del parámetro es −5, entonces para obtener la gráfica de g x  se desplaza cinco unidades a la derecha la gráfica de fx  , como se muestra.

   

BLOQUE 2

145


Ejemplo 2. Graficar la función y  x 

11

, como transformación de la función identidad. 2 Como se sabe, la gráfica de la función identidad es la recta que pasa por el origen y tiene una inclinación de 45º, las coordenadas de los puntos por donde pasa la función identidad son iguales. Con base en esta información, se puede trazar la gráfica de “y” trasladando la función identidad cinco unidades y media a la izquierda, como se muestra a continuación. 

h(x)

            



x 

    

En la gráfica se muestra cómo se traslada la función identidad hacia la izquierda, conservando su inclinación.

Traslación vertical.

Es la transformación que se presenta al trasladarse la función hacia arriba o abajo, como por ejemplo: Si se utiliza una tabla de valores para graficar la función fx   senx  se obtiene: x

fx   senx 

2

0

 3 2

1



0

 2

−1

0

0

2

1

0

3

−1

2

2

0  f (x) 











x 







146

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Ahora se tabula y grafica la función fx   2  senx   2 . x

fx   2  senx   2

2

2

 3 2

3



2

 2

1

0

2

2

3

2

3

2

1

2

2

f (x)

 







x 







También se tabula y grafica la función fx   2  senx   2 x

fx   2  senx   2

2

−2

 3

2

−1



−2

 2

−3

0

−2



2

−1



−2

3

2

−3

2

−2











f (x) x 





En el caso de las tres tablas anteriores, los valores de “x” son los mismos, debido a que el argumento de la función es “x”, es decir, para el mismo valor de “x” hace cero a la función seno en los tres casos. Al graficar las tres funciones en el mismo plano cartesiano se observa cómo se transforma la función al sumársele o restársele una constante.  f (x) 

fx   2

  







 

x 



fx 



fx   2

 

BLOQUE 2

147


Con base en lo anterior, se puede concluir que: Si fx  se transforma en fx   c , la gráfica de f(x) se desplaza verticalmente hacia arriba o hacia abajo, obteniéndose una nueva función gx   fx   c ; hacia dónde se traslade dependerá del signo del parámetro “c", esto es: 

Si c > 0; es decir, “c” es positivo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia arriba “c” unidades.

Si c < 0; es decir, “c” es negativo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia abajo “c” unidades.

A continuación se ejemplificará la traslación vertical, sin utilizar la sustitución y la tabla de valores. Ejemplo 1.

Graficar la función Tx   x 2  4 como una transformación de f x   x 2 , tomando en cuenta que su gráfica es: f (x)      





x 

  

El valor del parámetro es 4, éste es positivo, significa que la función f(x) se trasladará hacia arriba cuatro unidades,  para obtener la gráfica de T(x).  

T(x)



       





x 

 

Ejemplo 2.



 la función f x   x Graficar la función Cx   x  3 , como transformación de En el bloque anterior se graficó la función f(x), ésta es la mitad superior de una parábola con ramas a la derecha con vértice en el origen, por lo tanto, la gráfica de la función C(x) describe esta media parábola sólo que trasladada hacia abajo tres unidades, como se muestra a continuación.

148

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


 C (x) 

En la gráfica se muestra cómo se traslada la función irracional f(x) hacia abajo, conservando su forma.

   x 







   

Reflexión con respecto al eje X.

Esta transformación se obtiene al convertir f(x) en –f(x), debido a que las imágenes de ambas funciones tienen la misma magnitud pero signo contrario, lo cual se comprenderá mejor al observar las siguientes gráficas. Al graficar la función fx   x 4 mediante la tabla de valores se obtiene: x

fx   x 4



−3

81

−2

16

−1

1

0

0

1

1

2

16

3

81

f (x)

   

 









x 



Mediante una tabla de valores se graficará la función G x   fx  , es decir, G x   x 4 . x

 fx   x 4

−3

−81

−2

−16

−1

−1

0

−0

1

−1

2

−16

3

−81











G(x)

x 

        

BLOQUE 2

149


Ahora se visualizarán las dos gráficas, la de base, la cual es f(x) y la reflejada G(x). 

G(x)

       









x 

      

Ahora se ejemplificará el trazo de algunas funciones reflejadas con respecto al eje X. Ejemplo 1. Trazar la gráfica de la función Mx    La función fx  tiene como gráfica:

1 3 1 x como reflejo de la función fx   x 3 2 2

f (x)

       











x 

      

150

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Así que la función G(x) se obtiene cambiándole de signo a todas las imágenes de la gráfica anterior, es decir, si a x=2 la función f(x) le asigna el valor de y= 4, para ese mismo valor de “x” la función G(x) le asignará a y=−4; si a x=−1 f(x) le asigna y=−0.5, la función G(x) le asignará al mismo valor de “x” a y=0.5; siguiendo este proceso se obtiene la siguiente gráfica. 

G(x)

       











x 

      

Comparando las dos gráficas, se observa cómo la parte de la gráfica que se encuentra en el primer cuadrante pasa al cuarto cuadrante y la parte que se encontraba en el tercer cuadrante se cambia al segundo, como si se sujetara al plano cartesiano por los dos extremos del eje X y se le diera un medio giro. Ejemplo 2. Graficar –h(x) como reflexión de la función h(x) a partir de su gráfica, la cual es:  f (x)              

x 

    

Si no se tiene la regla de correspondencia, como en este caso, se ubican puntos de la gráfica y se invierte el signo de las imágenes, como se muestra a continuación.

BLOQUE 2

151


 f (x)              

x 

    

En el plano anterior se observan los puntos  6, 4 ,  3, 2 ,  2, 0 , 0,2 , 2, 0 , 3, 2 , y 6, 4 , para obtener la gráfica de la función h(x) se invierte el signo de la segunda coordenada en cada uno de los puntos:

 6,  4 ,  3,  2 ,  2, 0 , 0, 2 , 2, 0 , 3,  2 , 6,  4 Ubicando los puntos en el plano cartesiano se observa la curvatura de la función h(x).  h(x)              

x 

    

Posteriormente se dibuja la gráfica observando la curvatura de la función base f(x).  h(x)              

x 

    

152

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Reflexión con respecto al eje Y. Esta transformación se obtiene a partir de invertir el signo de los valores de “x”, es decir, si se tiene la función base f(x) la reflexión con respecto al eje Y se obtiene con f x  . A continuación se mostrará mediante tablas que la reflexión se da de acuerdo a lo antes mencionado. Para graficar la función fx   2 x  3 mediante la sustitución de valores, se deben elegir aquellos que permitan obtener la raíz cuadrada, es decir, los valores que se sustituyan debe dar como resultado, dentro de la raíz, un número no negativo, así que podrán sustituirse todos aquellos que sean mayores o iguales a 3.  f (x)

x

fx   2 x  3

3

0

4

2

5

2 2  2.8

6

2 3  3.5

7

4

         

8

2 5  4.4

    x 

  

De la misma forma, ahora se encontrará la gráfica de la función Rx   f x  , es decir Rx   2  x  3 ; para este caso los valores que se pueden sustituir son los menores o iguales que menos tres. x

Rx   2  x  3

−8

2 5  4.4

−7

4

−6

2 3  3.5

−5

2 2  2.8

−4

2

        

−3

0



R(x)

 

x 

 

Visualizando las dos funciones en un mismo plano cartesiano, se puede observar la simetría con respecto al eje Y. Esto significa que si se dobla la gráfica por el eje Y, las dos gráficas deben de coincidir en todos sus puntos. 

y

             

x 

  

BLOQUE 2

153


Ejemplo 1. Trazar la gráfica de la función que se obtiene de la reflexión vertical de fx   x  4 . Para la función f(x) no es necesario utilizar una tabla, debido a que ya se conoce la gráfica del valor absoluto básica, sólo que se traslada cuatro unidades a la derecha, como se muestra a continuación. 

f (x)

       

x 

 



La gráfica de la reflexión vertical es f(x), y seexpresaría:  

f x    x  4

 

f (-x)

     

x

          

 

Las dos gráficas trazadas en un mismo plano se ven de la siguienteforma: 

y





              

x 

   En ellas se nota que sólo con cambiarle el signo a la primera coordenada de la función se obtiene la función reflejada.   un medio giro a la función f(x), se obtiene la función f(x). Si te imaginas que tomas al eje Y por los extremos y le das 

154

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Ejemplo 2. Graficar g(x) como reflexión de la función g(x) a partir de su gráfica, la cual es: 

g (x)

               

x 

 

  en este caso, se ubican puntos de la gráfica y se invierte el signo de Al no conocer la regla de correspondencia, como  los valores de “x”, como se muestra a continuación.



g (x)

               

x 

 

 

En el plano anterior se observan los puntos  0, 9 , 1, 4 , 2,1 , 3, 0 , 4,1 , 5, 4 , 6, 3 , 7, 2 , 8, 1 y 9, 0 , para obtener la gráfica de la función g(x) se invierte el signo de la primera coordenada en cada uno de los puntos:

9, 0 , 8, 1 , 7, 2 , 6, 3 , 5, 4 , 4,1 , 3, 0 , 2,1 , 1, 4 0, 9 Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se observa la curvatura de la función g(x). 

g (-x)

                       

x 

 

BLOQUE 2

155


Al graficar las dos funciones en el plano cartesiano se observa la simetría. y

         

x

        

 

Reflexión con respecto a la recta de 45o.

Esta transformación se produce cuando en el mismo plano cartesiano se encuentra función y su inversa, debido a que son simétricas con respecto a la recta de 45º (función identidad). Ejemplo 1.

Graficar la reflexión sobre la recta de 45º de la función fx   e x  3 . La función f(x) es una función exponencial desplazada tres unidades hacia abajo, como se muestra a continuación.  f (x)                   



x 

 

Se puede utilizar la calculadora para ubicar algunos puntos que pertenecen a la función y así invertir las coordenadas para graficar la función inversa. Los puntos encontrados son:

 3,  2.9 ,  2,  2.8 ,  1,  2.6 , 0,  2 , 1 , 0.3 , 2, 4.4

156

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Entonces al invertirlos se obtiene:

 2, 0 ,  2.9,  3 ,  2.8,  2 ,  2.6,  1 ,  0.3, 1  , 4.4, 2  y                

x 



    

Al trazarse las dos funciones en el mismo plano cartesiano se observa la simetría con la recta de 45º. 

y

           



x 

     

Contracción y expansión de funciones.

 

Éstas son otro tipo de transformaciones que pueden sufrir las funciones; para visualizarlas mejor se mostrarán 

ejemplos de las transformaciones que sufre la función fx   x  32 al ser multiplicada por diferentes constantes. En los bloques posteriores se abordará con más detalle algunas funciones, y en ellos se formalizará la contracción y expansión de funciones particularizando cada caso. Ejemplo 1.

Describir la transformación que sufre la gráfica de la función fx   x  32 cuando se multiplica por cuatro. Se puede decir que al multiplicar la función original por una constante, se convierte en otra función, y para efectos de solución de este ejemplo, se le denominará como Lx   4x  32 .

Para observar la transformación que sufre, se graficarán las dos funciones mediante tablas de valores, para ello, se graficarán valores alrededor de 3, debido a que es el valor de “x” que al sustituirlo se hace cero dentro del paréntesis.

BLOQUE 2

157


x

fx   x  32

x

Lx   4x  32

0

9

0

36

1

4

1

16

2

1

2

4

3

0

3

0

4

1

4

4

5

4

5

16

6

9

6

36

  

f (x)

  

                  

            

x      

L(x)

   

     

x      

   

Ubicando las dos gráficas en un mismo plano cartesiano se observa cómo la función original f(x) se “contrae” transformándose en la gráfica L(x). 2 Lx   4x  3

  

fx   x  32

y

fx   x  32

                  

fx   x  32

x      

   

Con todo el proceso anterior, se puede concluir que la función original sufrió una contracción al ser multiplicada por cuatro. 158

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Ejemplo 2.

Describir la transformación que sufre la gráfica de la función fx   x  32 cuando se multiplica por 1 4 . 1 A esta nueva función se le denominará como: Nx   x  32 . 4 A continuación se muestran las tablas correspondientes a cada una de las funciones. x

fx   x  32

0

9

1

4

2

1

3

0

4

1

5

4

6

9   

     

   

En este caso se puede concluir que la función original sufrió una expansión al ser multiplicada por 1 4 . Si la función que se ha estado utilizando para realizar esta explicación se hubiese multiplicado por −4 y 1 , la transformación que sufriría la función original 4 es de contracción y expansión respectivamente, sólo que a su vez se reflejarían con respecto al eje X, es decir, si se multiplica por −4 las ramas de la parábola se cierran y se voltean hacia abajo, así como también, si se multiplica por 1 4 la función se abre con ramas hacia abajo.

x  32

1

1

2

0.25

3

0

4

0.25

5

1

6

2.25 N(x)

            

x

Ubicando las dos gráficas en un mismo plano cartesiano se observa cómo la función original f(x) se “expande” transformándose en la gráfica N(x).

4

2.25

  

     

1

0

f (x)

            

BLOQUE 2

Nx  

x

     

  

x      

y

fx   x  32

                  

   

Nx  

1 4

x  32

fx   x  32 fx   x  32 x      

   

159


En resumen, la transformación que sufre la gráfica de una función al multiplicarse por una constante es: 1.

La función fx  se contrae si se transforma en gx   a fx  cuando a  1

2.

La función fx  se contrae si se transforma en gx   a fx  cuando 0  a  1

Actividad: 2 En cada uno de los siguientes casos, indica el tipo de transformación que sufre f(x) para convertirse en g(x) y describe los cambios que se suscitaron en ellas. Función base

Función transformada

f x   x

gx   x  5

f x   x

gx   4x gx  

f x   x

g x   x  1

f x   x

g x   x  6

f x   x

g x   3 x  1  4

f x   x 3

g x   x  43

f x   x 3

g x   x 3  4

f x   x 3

g x   2x  33  2

f x   x 4

g x   x  14

f x   x 4

g x  

3

Descripción de los cambios

x9

1 4 x 3 2

g x   x  64  3

f x   x 4

Actividad: 2 Conceptual Reconoce los tipos de transformaciones de funciones. Autoevaluación

160

2

f x   x

Tipo de transformaciones

Evaluación Producto: Complementación de la Puntaje: tabla. Saberes Procedimental Actitudinal Describe las trasformaciones que Expresa sus dudas y corrige sus sufren las funciones. errores. C MC NC Calificación otorgada por el docente

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS


Cierre Actividad: 3 Lee cuidadosamente los siguientes cuestionamientos y desarrolla lo que se solicita.

1. Describe cómo se desplaza g x   x  54 y h x   x  24 con respecto a la función base

f x   x 4 .

2. Describe la diferencia algebraica y gráfica que existe entre las funciones f x   x  22 y gx   x 2  2 .

3. Dadas las gráficas f x   x 3 , gx   x 3  2 y hx   x 3  7 , describe los cambios que sufrió g(x) y h(x) con respecto a la función base f(x).

4. Dadas las gráficas f x   x , gx   3 x y hx  

3 5

x , describe los cambios que sufrió g(x) y h(x) con

respecto a la función base f(x).

Actividad: 3 Conceptual Identifica los cambios que se efectúan en las funciones al transformarse. Autoevaluación

BLOQUE 2

Evaluación Producto: Descripciones. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Describe los cambios que se Escucha las descripciones de efectúan en las funciones al sus compañeros y participa en la transformarse. retroalimentación del grupo. C MC NC Calificación otorgada por el docente

161


Actividad: 4 Elabora un mapa conceptual que describas las transformaciones de las funciones.

Actividad: 4 Conceptual Identifica las transformaciones de las funciones. Autoevaluaciテウn

162

Evaluaciテウn Producto: Mapa conceptual. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Clasifica las transformaciones de Es creativo al realizar el mapa las funciones. conceptual. C MC NC Calificaciテウn otorgada por el docente

APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRテ:ICAS


Emplea funciones polinomiales.

Competencias disciplinares básicas:       

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:   

Construye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales; para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 10 horas


Secuencia didáctica 1. Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. Inicio



Actividad: 1 Desarrolla lo que se pide. 1. ¿Qué es un polinomio?, proporciona un ejemplo.

164

2.

¿Cómo se determina el grado de un polinomio?

3.

Escribe un ejemplo de la ecuación de una recta en su forma pendiente-ordenada en el origen.

4.

¿Qué significa la pendiente de una recta?

5.

¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 1 (continuación) 6.

¿Qué es la ordenada en el origen?

7.

Escribe un ejemplo de una ecuación cuadrática.

8.

¿Cuál es la forma de una ecuación cuadrática?

9.

¿Qué es el vértice en una ecuación cuadrática?

10. ¿Cómo se obtiene el vértice de una ecuación cuadrática a partir de su forma general?

Actividad: 1 Conceptual Reconoce las características de las funciones de grado cero, uno y dos. Autoevaluación

Evaluación Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Determina las características Muestra interés al realizar la principales de las funciones de actividad y mostrar sus grado cero, uno y dos. conocimientos previos. C MC NC Calificación otorgada por el docente

 165 BLOQUE 3


Desarrollo Concepto de función polinomial de una variable.

En el bloque 1 se introdujo a las funciones polinomiales, también llamadas funciones polinómicas; la regla de correspondencia que las distingue es:

fx   a n x n  a n1x n1  a n2 x n2  a n3 x n3  ...  a 2 x 2  a 1x  a 0 , donde an, an-1,…, a1, a0 son constantes, n es un número no negativo y el grado de ella es n.

Características de las funciones polinomiales.

Es importante recordar que el grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones:

2.

fx   7 es de grado cero, se le conoce como función constante. fx   4x  1 es de grado uno, también conocida como función lineal.

3.

fx   x 2  5x  6 es de grado dos, se le conoce como función cuadrática.

4.

fx   4x 2  5x 3  1 es de grado tres y se le conoce como función cúbica.

5.

fx   2x 4  4x 2  x 3  1 es de grado cuatro y se le conoce como función cuártica.

1.

Las gráficas de cada una de ellas son:

fx   7

    

fx   x 2  6x  6

fx   4x  1

f (x)



x 

    





 f (x)

f (x)

       x 

    

 f (x)

f (x)

   

 

166

fx   2x 4  4x 2  x 3  1









    





fx   4x 2  5x 3  1

x

x 

    



x 

  

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


El dominio de una función polinomial es el conjunto de los números reales, sin embargo, el rango en algunos casos no lo es; para entender esto, se requiere analizar las funciones hasta encontrar la generalidad, por ejemplo: en la función de grado cero (función constante), el rango es el conjunto que tiene como único elemento la misma constante por la cual está definida; la función de grado uno (función lineal) y la función de grado tres (función cúbica) tienen como rango el conjunto de los números reales; la función grado dos (función cuadrática) y la función de grado cuatro (función cuártica) tienen como rangos una parte de los números reales, a esa parte se le conoce como subconjunto. En general, si una función es impar (grado impar) el rango de la función es el conjunto de los números reales; si una función es par (grado par), el rango de la función es un subconjunto de los números reales. En esta secuencia se abordarán funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, sus características y la influencia de los parámetros en el trazo de su representación gráfica.

Actividad: 2 Completa la siguiente tabla reconociendo el grado y el coeficiente principal.

Función

Tipo de función

Grado

Coeficiente principal

fx   x 3  x  r fx   2x 4  3x 2  x fx   3x 2 

1 x

fx   5 fx   9x  6 fx   4x 5  x 2  4x

fx   3x fx   2x 3  5x 2  3x 4 fx  

x x2

fx   x 2  8x  8

Actividad: 2 Conceptual Identifica las características de las funciones polinomiales.

Autoevaluación

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Determina las características de las funciones polinomiales. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés al realizar la actividad y reconoce la importancia de sus conocimientos previos.

Calificación otorgada por el docente

167 BLOQUE 3


Influencia de los parámetros de funciones de grado cero, uno y dos en su representación gráfica. La función constante. La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es:

fx   a , donde “a” es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a). Ejemplo 1. Graficar la función fx   5 , determinar su dominio y rango. La función también se puede expresar como y  5 , por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5, como se muestra a continuación.  f (x)            

x 



Su dominio y rango son:



Dom :  ,    Rango : 5

Ejemplo 2. Graficar la función gx   

7

, determinar su dominio y rango. 2 La función constante puede ser cualquier número real, en este caso es un número racional, el cual equivale a y  3.5 .  g (x)         



x 

     

Su dominio y rango son:

Dom :  ,    7 Rango :    2

168

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 3 Responde lo que se pide. 1.

Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango.

hx   4

L x  

10

y  24

3

     

    



     

























Dom :

Dom :

Dom :

Rango :

Rango :

Rango :

2.

Analiza la gráfica que representa la posición de un automóvil y explica qué ocurre.  d is t ancia (k m)          



t iemp o (hrs ) 

 _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________  _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

Actividad: 3 Conceptual Reconoce la función constante, su dominio y rango.

Autoevaluación

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Traza e interpreta la gráfica de la función constante. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Escucha la retroalimentación de la actividad con interés y respeta los comentarios de sus compañeros.

Calificación otorgada por el docente

169 BLOQUE 3


La función lineal. Esta función se vio en Matemáticas 1 y se retomó a fondo en Matemáticas 3 como lugar geométrico, con base en estos conocimientos previos, se analizarán sus parámetros para trazar la gráfica. La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es:

y  mx  b Donde “m” es la pendiente de la recta y “b” es la ordenada en el origen. Vista como función, se expresa de la siguiente forma.

fx   mx  b Analizando los parámetros, se tiene que:   

“b” es la constante que indica el lugar donde la recta cruza el eje Y, además se le denomina término independiente. “m” es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación, ésta es el coeficiente de la variable. “x” es la variable independiente.

En la siguiente función se visualizan los parámetros antes mencionados.

fx   2x  3

m2 b3 

f (x)

 

Ordenada en el origen (b) Es la intersección con el eje Y

m2

x 





 

Existen varios métodos para graficar funciones lineales, como:   

Sustitución de valores (tablas). Intersección con los ejes coordenados. Parámetros (m y b).

En este bloque se considerará el comportamiento paramétrico para bosquejar la gráfica de las funciones, el cual se describe a continuación. Cuando se tiene la regla de correspondencia de una función lineal es sencillo trazar la gráfica, ubicando primero el punto que describe la ordenada en el origen y a partir de él, mediante la pendiente, se ubica el segundo punto. Como se muestra a continuación.

170

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Ejemplo 1. Trazar la gráfica de la función fx  

4 3

x  1.

Observando la función, la pendiente es m 

4 3

y la ordenada en el origen es b  1 , la cual proporciona la

intersección con el eje Y. f (x)      





x 



b  1

  

Posteriormente se ubica el segundo punto a partir de la pendiente, como se muestra a continuación. Como la pendiente es m 

4

, a partir del punto se desplaza 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba, ya 3 que en el cociente de la pendiente, el numerador es el incremento vertical y el denominador es el incremento y  y1 horizontal, dado que la fórmula de pendiente es m  2 . x 2  x1 f (x)      





x 

   

Los parámetros dicen mucho del comportamiento gráfico de la función, como es el caso de la pendiente, cuando es mayor que cero y menor que uno, su ángulo de inclinación es mayor que 0 o y menor que 45º; cuando es mayor que uno su ángulo de inclinación es mayor que 45º y menor que 90º; en el caso de tener pendiente negativa, el ángulo de inclinación es mayor de 90º y menor que 180º. Lo anterior se puede comprobar con los siguientes ejemplos.

171 BLOQUE 3


Ejemplo 2. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano. a) fx   x  1 1

b)

fx  

c)

fx  

d)

fx   4x  1

e)

fx   2x  1

4

1 2

x 1

x 1

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen −1.

m4

m2

f (x)

m1

  

m

  





x 

m

1 2 1 4

   

Como las pendientes son positivas, las gráficas son crecientes; la velocidad de crecimiento está determinada por la pendiente, entre menor sea ésta, el crecimiento será más lento, es decir, la recta estará más cerca del eje X, así mismo, entre más grande sea la pendiente, la velocidad de crecimiento será más rápida, es decir, la recta estará más cerca del eje Y. Ahora se analiza el caso en el que la pendiente es negativa. Ejemplo 3. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano. a) fx   x  5 1

b)

fx   

c)

fx   

d)

fx   4x  5

e)

fx   2x  5

4

1 2

x5

x5

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen 5, es decir, cortan al eje Y a la altura de 5.

172

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


m  1 m  2 m  4 m m

 f (x)

1

2 1

4

     





x 



En este caso, las pendientes son negativas y las gráficas son decrecientes; entre más grande sea la pendiente el 1 crecimiento es menor, como se observa, la pendiente de m   está más cercana al eje X, sin embargo, la 4 pendiente m  4 , la cual es menor que la anterior, está más cercana al eje Y. El comportamiento paramétrico que tienen las funciones lineales ayuda a visualizar rápidamente la gráfica, y con ello, dilucidar con anterioridad la solución de problemas que se describen mediante funciones, en este caso, lineales. El uso principal de las funciones lineales es la variación directa, la cual es una relación directa entre dos variables, esto es, al aumentar una, aumenta la otra; la variación que sufre una variable con respecto a la otra se puede observar mejor en una tabla o en la regla de correspondencia. A través de las funciones se pueden modelar fenómenos de la vida cotidiana, con el propósito de poder analizar y describir hechos sin necesidad de realizar cálculos complicados de cada evento del fenómeno por separado. Cuando se usan funciones lineales para describir relaciones del mundo real se llama modelación lineal. A continuación se ejemplificará la aplicación de funciones lineales. Ejemplo 4. Un taxista cobra 30 pesos por salida y cada 5 pesos por kilómetro recorrido. Calcular: a) El costo de un viaje en x kilómetros. b) El costo del viaje si el destino de una persona es a 12 km. c) Graficar el costo del viaje como una función de la distancia recorrida. Es claro en el enunciado del problema, que el cobro del viaje depende de la distancia recorrida y se pueden particularizar algunos casos para visualizar la estructura de la función que lo describe. Si el viaje es de 1 Km, su costo es de 30+5(1)=35 pesos. Si el viaje es de 3 Km, su costo es de 30+5(3)=45 pesos. Si el viaje es de 10 Km, su costo es de 30+5(10)=80 pesos. Generalizando: Si el viaje es de x Km, su costo es de 30+5(x) pesos. Por lo tanto, la respuesta al inciso “a”, es:

Cx   30  5x Donde C(x) es el costo del viaje en taxi en función de la distancia recorrida “x”. 173 BLOQUE 3


En el inciso “b” se solicita un costo en particular que es el de 12 Km, sólo basta sustituir este dato en la función y así encontrar lo que se busca.

C12  30  512  90 Por lo tanto, el costo del viaje cuando se recorren 12 Km es de 90 pesos. Por último, se traza la gráfica de la función, notando que la ordenada en el origen es 30 y la pendiente es 5, esto se puede deducir mejor si se acomoda la función.

Cx   5x  30 Cx   mx  b b  30 m5

Ordenada en el origen Pendiente

Ubicando primero el punto que intersecta al eje Y (ordenada en el origen) y, posteriormente, el punto que se obtiene a partir de la pendiente. La gráfica queda de la siguiente forma:                 

 

C (x)

x 

  





Ejemplo 5. La polución del aire se compone de muchos tipos de gases, gotitas y partículas que reducen la calidad el aire. El aire puede estar contaminado, tanto en la ciudad como en el campo. En la ciudad, la polución del aire puede ser causada por automóviles, camiones y aviones, al igual que por la industria y la construcción. La polución del aire en el campo puede ser causada por el polvo de los tractores que están arando los campos, camiones y automóviles que están manejando por carreteras destapadas o con gravilla, por canteras de donde extraen piedras, por humo de fuego de madera y de fuego de cultivos.1

1

http://familydoctor.org/online/famdoces/home/common/asthma/triggers/085.html

174

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Se mide el nivel de polución del aire en una ciudad durante un día, desde las 8 horas hasta las 18 horas. Sea “p” el nivel de polución, medido en partes por millón, y “t” el tiempo en horas, después de 8 horas. Sabiendo que a las 10 horas el nivel de polución era de 50 partes por millón (ppm), y que crece uniformemente a razón de 15 partes por millón por hora.2 a) Identificar la pendiente y un punto de la función. b) Escribir la función que modela la polución en función del tiempo transcurrido. c) Graficar la polución como función del tiempo transcurrido. En el inciso “a” se solicita la pendiente, la cual corresponde a la razón de cambio que es 15 partes por millón, y el punto que ofrece el problema es de (10, 50), donde la primer coordenada es la hora en la que se mide la polución, la cual corresponde a 50 ppm. En el inciso “b” se requiere encontrar la función que modela la polución, para ello se retomarán conocimientos de Matemáticas 3, en los que aprendiste a obtener la ecuación de una recta, dada la pendiente y un punto por donde pasa. Esto se logra con la siguiente fórmula:

Sustituyendo los valores se obtiene:

y  y 1  m x  x 1  y  50  15 x  10  y  50  15 x  150 y  15 x  100

La polución expresada como función que depende del tiempo se expresa como:

pt   15t  100 Al trazar la gráfica de la función, se considera que la intersección con el eje vertical a la altura de −100 y la pendiente 15. Por lo tanto, la gráfica de la función sin restricciones queda: 

y

     p (t )

   



    

x



 



 restringida al problema es considerando sólo de 8 La gráfica a 18 horas,  como se muestra a continuación.

    

t 

2









 





Problema 2, pag. 56 de Matemáticas IV, Ramírez Margarito.

175 BLOQUE 3


Actividad: 4 Desarrolla lo que se pide. I. Realiza la gráfica de las siguientes funciones, encuentra el dominio y el rango correspondiente. 1)

gx   2x  4 g (x)

      





x



  

2)

k x   x 

1 2 k (x)

    





x



    

3.

Lx   3 

5 x 4  L(x)      







x 

  

176

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 4 (continuación) 4)

Gx  

5 3

x  G(x)            

x 



  

5)

Rx   

2 7

x5  R(x)        



x 

 

6)

Fx  

1 2

x

3 4  F (x)         



x 

 

177 BLOQUE 3


Actividad: 4 (continuación) III. Completa la siguiente tabla ubicando las diferentes representaciones de las funciones lineales. Representación tabular X y

0 -2

1 1

2 4

3 7

4 10

5 13

Representación algebraica

Representación gráfica 

f(x)=

y

                

x 

   



x y

h(x)=−2x+3

h(x)

    



x



   

x y

h(x)=

G(x)

        



x 

    

178

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 4 (continuación)

Un autobús viaja desde Hermosillo a Obregón a velocidad constante de 90Km/h. Un pasajero se sube en el cerrito de la virgen al Km 18 de los 351 Km que hay de Hermosillo a Obregón.

Expresa la función que modela la distancia recorrida por el pasajero con respecto al tiempo.



D (x)

   

D(t)=

  

Construye la tabla.

             

Actividad: 4 Conceptual Reconoce los parámetros de la función lineal, su dominio y rango. Autoevaluación

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Traza la gráfica de la función lineal utilizando parámetros. C

MC

NC

x 

Puntaje: Actitudinal Expresa sus dudas y corrige sus errores.

Calificación otorgada por el docente

179 BLOQUE 3


La función cuadrática. Como ya se había visto en el bloque 1, las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2, éstas se expresan en su forma general como: f x   ax 2  bx  c , con la condición de que su coeficiente principal es diferente de cero ( a  0 ). Sus componentes son:

ax 2

Término cuadrático

bx

Término lineal

c

Término independiente

Al igual que la ecuación cuadrática, la función cuadrática tiene la misma clasificación. La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente cuadro sinóptico visualizarás su estructura. Funciones Completas: fx   ax 2  bx  c Clasificación de las funciones cuadráticas

Funciones Puras: fx   ax 2  c Funciones Incompletas

Funciones Mixtas: fx   ax 2  bx

Las gráficas de las funciones cuadráticas describen parábolas. En Matemáticas 3 se abordó la parábola como lugar geométrico, conociendo sus elementos. A continuación se visualizarán los elementos principales de la función cuadrática. f (x)

Eje de simetría

x

Raíces o ceros de la función

Vértice V(h,k) Cuando la función se iguala a cero, se produce una ecuación y los valores que la satisfacen se llaman raíces de la función.

180

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Dependiendo del tipo de parábola (con ramas hacia abajo o ramas hacia arriba), el vértice es el punto mínimo o punto máximo, como se muestra a continuación. f (x)

Vértice V(h,k) Punto Máximo

f (x)

x x

Vértice V(h,k) Punto Mínimo Para observar cómo intervienen los parámetros en los cambios que sufre la gráfica, se tiene que reescribir la forma general de la función cuadrática a la forma estándar, la cual explicita el vértice y la abertura que tiene la parábola que describe. Forma general de la función cuadrática.

fx   ax 2  bx  c

Forma estándar de la función cuadrática.

fx   ax  h2  k

Donde h y k son las coordenadas del vértice. En los siguientes ejemplos se mostrará los cambios que sufre la gráfica de la función cuadrática. Ejemplo 1.

Comparar las gráficas de las funciones fx   x 2 y gx   3x  22  4 , para determinar la transformación que sufre g(x) con respecto a f(x). Al tomar valores y evaluarlos en las funciones, las gráficas quedan de la siguiente forma:

fx   x 2

gx   3x  22  4

x −2 −1 0 1 2

f (x)

f(x) 4 1 0 1 4

        



x 

x 0 1 2 3 4

g (x)

g(x) 8 −1 −4 −1 8

        



















x 

181 BLOQUE 3


Si la función f(x) se escribe en forma estándar, se tiene:

fx   1 x  02  0 Al compararse con la forma fx   ax  h2  k , se puede deducir que: a 1

h0 k0 Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así: 

f (x)

    

a=1

    



x 



Vértice V(h,k)=(0,0)

  

El coeficiente principal que es “a”, es el que determina la abertura de la parábola si se considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están una unidad hacia arriba. Si se realiza el mismo análisis para la función g(x), los parámetros se visualizan así:

gx   3x  22  4 Al compararse con la forma fx   ax  h2  k , se puede deducir que: a3

h2 Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así: 

k  4

g (x)

Como consecuencia de que el coeficiente principal “a” es positivo, la parábola se abre hacia arriba y se contrae, debido a que si considera una unidad a la derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están a tres unidades hacia arriba.

        

a=3

  

x 

Vértice V(h,k)=(2,−4)

 

182

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


y

         



x 

   

Mueve la parábola 2 unidades a la derecha

gx   3x  22  4 Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo

Se contrae y se abre hacia arriba Ejemplo 2. Graficar la función hx   

1

x  42  5 mediante los parámetros. 2 Analizando los parámetros, se deduce que: a

1

2 h  4 k5

Mueve la parábola 4 unidades a la izquierda hx   

Se expande y se abre hacia abajo

1 x  42  5 2

Mueve la parábola 5 unidades hacia arriba

h(x)  

El vértice tiene como coordenadas V 4, 5 , y a partir de él, recorriendo una unidad a la derecha y a la izquierda, se ubican los puntos de la parábola, media unidad hacia abajo, de este modo se traza la gráfica utilizando parámetros.

    













x 

  

183 BLOQUE 3


Ejemplo 3.

Graficar la función px   x 2  6x  5 utilizando parámetros. La función es completa y para utilizar los parámetros “a”, “h” y “k”, se debe factorizar el polinomio que la compone, esto se hace mediante el método de completar trinomio cuadrado perfecto, éste se vio en Matemáticas 3. Los pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto son los siguientes.

px   x 2  6x  5

1. Se asegura que el coeficiente principal sea 1, de no ser así, primero se tendría que extraer. En este caso no es necesario, porque el coeficiente principal es 1.

2

2

 6  6 px   x 2  6 x          5  2  2

2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal.

px   x 2  6 x  9  9  5 px   x 2  6 x  9  4

px   x  32  4

3. Se expresa el binomio al cuadrado. Mueve la parábola 3 unidades a la izquierda

px   x  32  4 Mueve la parábola 4 unidades hacia abajo

Tiene la abertura normal y se abre hacia arriba

p (x)

   



x 

    

Ejemplo 4.

Determinar si la función t x   2x 2  4x tiene un máximo o mínimo, encontrar el punto en cuestión y graficar la función. Es una función mixta y se requiere expresar la forma estándar para poder determinar el vértice y hacia dónde se abre la parábola, aunque se puede adelantar que se abre hacia abajo, debido a que el coeficiente principal es negativo.

184

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Para convertirla a la forma estándar se seguirán los siguientes pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto.

t x   2x 2  4x

1. Se extrae el coeficiente principal.

 t x   2x t x   2x t x   2x

t x   2 x 2  2x

2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del término lineal dentro del paréntesis.

2

 2x  12  12

2

 2x  1  2 1

2

  2x  1  2

t x   2x  12  2

3. Se expresa el binomio al cuadrado.

El vértice es el punto V 1, 2 y al ser el coeficiente principal −2, se abre hacia abajo, por lo tanto el vértice es el punto máximo de la función. t (x)

Mueve la parábola una unidad a la izquierda.

 

t x   2x  12  2

Contrae a la parábola y se abre hacia abajo.

Mueve la parábola 2 unidades hacia arriba.

x 





  

La intersección con el eje horizontal es otra información importante en las funciones, éstas se denominas raíces o ceros de la función, para encontrarlas la función debe valer cero, como se muestra a continuación.

t x   2x 2  4x 0  2x 2  4x La ecuación se puede resolver mediante factorización o por la fórmula general (ver anexo B), para este caso se utilizará factorización, debido a que es más sencilla.

 2x 2  4x  0

2x x  2  0  x  2  0 2x  0 0 x x2 2 x0 x  2 En la gráfica puedes ubicar estos dos resultados.

185 BLOQUE 3


Las opciones que tienen las raíces de una función cuadráticas son tres: 1. Dos raíces reales, como en el ejemplo anterior, que es cuando la parábola corta al eje X en dos puntos. f (x)

x

2. Una raíz real, esto sucede en el caso que el vértice esté sobre el eje X. f (x)

x

3. Dos raíces imaginarias, sucede cuando la función no corta al eje X. f (x)

x

Sitios Web recomendados: Este sitio te mostrará el comportamiento de la gráfica de una función cuadrática de acuerdo a sus parámetros. http://intercentres.cult.gva.es/intercentres/03000679/paginas/departamentos/mat ematicas/transformacion_de_funciones.htm

186

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 5 Desarrolla lo que se pide. I. Expresa la función que describe cada una de las siguientes gráficas. 1) 

h(x)

     x 





 

2) Q (x)     

 







x 



    

3) 

L(x)

      







x 

 

187 BLOQUE 3


Actividad: 5 (continuación) II.

Determina el punto máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones, además, encuentra las raíces y dibuja la gráfica correspondiente.

1) gx   2x  12

g (x)

     x 







 

2)

Wx   

2 3

x  42 

W (x)

      

x 

      

3)

Jx  

1 4

x  52  1 

J (x)

                  

x 

 

188

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 5 (continuación)

4)

Fx   3x 2  9x  F (x)  







x 



      

5)

Hx   x 2  6x  6  H(x)          

x 

  

189 BLOQUE 3


Actividad: 5 (continuación) 6)

L x   5x 2  20 x  23  L(x)    



x 

       

Actividad: 5 Conceptual Reconoce los parámetros de las funciones cuadráticas para realizar su gráfica. Autoevaluación

190

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Grafica funciones cuadráticas utilizando parámetros. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la facilidad de utilizar parámetros para trazar la gráfica de una función cuadrática.

Calificación otorgada por el docente

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Cierre Actividad: 6 Resuelve los siguientes problemas. 1.

El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica.

¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día?

2.

El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2.20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente a producir “x” bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.

3.

La dosis en mg de antibiótico que se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministra 40 mg y para un niño de 4 kg se suministra 65 kg. Calcular la función que da la dosis del medicamento dependiendo del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un niño que pesa 7.5 kg?

191 BLOQUE 3


Actividad: 6 (continuación) 4.

5.

Un hortelano posee 50 m de varilla para cercar una parcela rectangular de terreno contigua a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?

Un delfín toma impulso para saltar encima de la superficie del mar siguiendo la función y=–x2+6x+12 donde “y” es la distancia al fondo del mar en metros y “x” el tiempo empleado en segundos. a) Calcula cuándo sale de la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.

b) ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

6.

7.

192

Antonio encuentra que si su compañía produce “x” artículos diarios, el costo está dado por la función

Cx   420  0.8x  0.002 x 2 , ¿Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea mínimo?, ¿cuál sería ese costo mínimo?

Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada instante de tiempo la describe la función ht   16 t 2  80t  45 . a) ¿Cuál es el tiempo en que la pelota tarda en alcanzar la altura máxima?

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 6 (continuación) b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuál es la altura del edificio?

c) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?

d) Traza la gráfica de la altura de la pelota al transcurrir el tiempo.

4.

En una compañía, la utilidad mensual en miles de dólares, se expresa mediante la función

Ux   2x 2  24 x  37 , donde “x” representa el número de artículos, en cientos, que se producen y venden en un mes. a) ¿Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la utilidad sea máxima?

b) ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima?

c) ¿Con cuántos artículos producidos y vendidos no se tiene utilidad alguna?

Actividad: 6 Conceptual Reconoce la aplicación de las funciones lineales y cuadráticas. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica las funciones lineales y Aprecia la aplicabilidad de las cuadráticas en situaciones reales. funciones lineales y cudráticas. C MC NC Calificación otorgada por el docente

193 BLOQUE 3


Secuencia didáctica 2. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Inicio

Actividad: 1 Responde las siguientes preguntas. 1.

¿Qué características tienen las funciones polinomiales de tercer grado?

2.

¿Cuál es su nombre común?

3.

¿Cómo reconoces a una función polinomial de grado cuatro?

4.

¿Cuál es su nombre común?

5.

¿Qué característica tiene el dominio y el rango en cada una de ellas?

6.

Bosqueja la gráfica de una función polinomial de grado tres y otra de grado cuatro, en planos cartesianos por separado.

Actividad: 1 Conceptual Identifica las funciones de grado tres y cuatro. Autoevaluación

194

Evaluación Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Determina las características de las Muestra interés al realizar la funciones de grado tres y cuatro. actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Desarrollo Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Graficación mediante parámetros. Funciones de grado tres.

La forma general de las funciones de grado tres (cúbicas) es fx   ax 3  bx 2  cx  d , con a  0 ; en su forma estándar se presenta como fx   ax  h3  k Primero se trabajará con la forma estándar, para observar el comportamiento de la gráfica con respecto a los cambios que sufren los parámetros. En el primer bloque se graficó la función cúbica básica, la cual es:

fx   x 3 x −2 −1 0 1 2

f(x) −8 −1 0 1 8

f (x)

             

x 

      

Al punto donde la función cambia de concavidad, se le llama punto de inflexión (P.I.), que en el caso de la función cúbica base, es el origen. Para graficar una función cúbica utilizando los parámetros de forma estándar, se siguen los siguientes pasos: 1. Encontrar y graficar el punto de inflexión: P.I.(h,k). 2. A partir del punto de inflexión se recorre una unidad a la derecha y si el parámetro “a” es positivo, se ubica el punto hacia arriba “a”, de no ser así, se ubica hacia abajo. 3. Ahora, a partir del punto de inflexión, se recorre una unidad hacia la izquierda y se coloca el punto en sentido contrario del punto que se colocó en el paso 2, es decir, si el punto que está a la derecha del punto de inflexión quedó hacia arriba, éste quedará hacia abajo “a” unidades y viceversa. 4. Se traza la gráfica de forma suave. A continuación se ejemplificará el procedimiento anterior. Ejemplo 1.

Trazar la gráfica de la función fx   2x  13  3 , utilizando parámetros. El punto de inflexión se extrae de la función cúbica, de la misma forma que se extrae el vértice de la función cuadrática.

fx   2x  13  3

fx   ax  h3  k

195 BLOQUE 3


Por lo tanto, el punto de inflexión es P.I.(1, 3). Además, como el parámetro a=2, cuando se recorra una unidad a la derecha del punto de inflexión, el segundo punto se ubicará dos unidades hacia arriba, como se muestra en la siguiente gráfica. 

f (x)

               

x 

 

Posteriormente, se situará el tercer punto, recorriendo unaunidad hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo, debido a que es en sentido contrario del segundo punto.  



f (x)

               

x 

   Para trazar la gráfica se parte del punto de inflexión, considerando que a la derecha de éste es cóncava hacia arriba y  de la siguiente forma. a su izquierda es cóncava hacia abajo, quedando la gráfica  

f (x)

               

x 

    

196

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Ejemplo 2. Bosqueja la gráfica de la función Tx   

1 2

x  43  5

El punto de inflexión es: P.I.(−4, −5). En este caso, a partir del punto de inflexión, el segundo punto se situará una unidad a la derecha y media unidad 1 hacia abajo, debido a que el parámetro a   ; el tercer punto se situará una unidad a la izquierda y media unidad 2 hacia arriba. 

f (x)

        

x 

         

Ahora se traza la gráfica considerando que a la derecha delpunto de inflexión la función es cóncava hacia abajo y que  a la izquierda de éste, es cóncava hacia arriba.  

f (x)

        

x 

          

Sitios Web recomendados:

 

Este sitio contiene un graficador en línea, el cual te ayudará a comprobar las gráficas de las funciones. http://fooplot.com/

197 BLOQUE 3


Funciones de grado cuatro.

La forma general de las funciones de grado cuatro (cuárticas) es fx   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e , con a  0 ; en su forma estándar se presenta como fx   ax  h4  k La función cuártica tiene un comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es más rápido. La función cuártica base es:

fx   x 4 x −2 −1 0 1 2

f(x) 16 1 0 1 16



f (x)

                     

x 



En la función cuártica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde  hasta  . Los parámetros tienen el mismo efecto que en la función de grado dos (cuadrática); en el caso que el parámetro “a” sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo. Cuando se conoce la función estándar de una función cuártica, se puede conocer el punto máximo o mínimo, esto dependerá del signo del parámetro “a”. Ejemplo 1.

Trazar la gráfica de la función fx   3x  24  4 utilizando los parámetros. Como a=−3, la función tiende infinitamente hacia abajo y su punto máximo es Ph, k  y para obtenerlo se realiza la siguiente comparación.

f (x)

  

fx   3x  24  4 fx   ax  h  k Por lo tanto, el punto máximo es P(−2, 4).

4

El segundo punto se ubica una unidad a la derecha del máximo y tres unidades hacia abajo; el tercer punto se encuentra una unidad a la izquierda y de igual forma, tres unidades hacia abajo, como se muestra en la gráfica.

 x 









   

198



EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 2 Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones, utilizando los parámetros. 1)

H(x) = x 3 +1 H(x)       

 



x 



   

2)

Rx  

1 2

x  63  2 

R(x)

      

x 

    

3)

Lx   2x 3



L(x)

          

x 

     

199 BLOQUE 3


Actividad: 2 (continuación) 4)

Kx  

1 4

x  54  3 

K(x)

      

x

       

   

5)

Lx   x  44 

L(x)

        

x 

    

Actividad: 2 Conceptual Identifica los parámetros de las funciones de grado tres y cuatro, para trazar la gráfica. Autoevaluación

200

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Grafica funciones de grado tres y cuatro, mediante parámetros. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la facilidad del trazo de gráficas utilizando parámetros.

Calificación otorgada por el docente

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Graficación de funciones utilizando las raíces o ceros de la función. Trazar gráficas de funciones cúbicas y cuárticas en su forma estándar es sencillo, el problema se presenta cuando están en su forma general, entonces se podría graficar utilizando tablas de valores como se mostró en el primer bloque, aunque es más tardado y posiblemente no daría un panorama completo del comportamiento de la gráfica; para ello, en esta ocasión se abordará otra forma de bosquejar la gráfica de una función, utilizado las raíces de la función y analizando algunas características básicas de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro. En el siguiente ejemplo se visualizará la intención de este tema. Ejemplo 1.

Bosquejar la gráfica de la función fx   x 3  2x 2  3x , mediante las raíces de la función. Como se vio anteriormente, las raíces de la función son precisamente cuando fx   0 , es decir, cuando

x 3  2x 2  3x  0 . Para encontrar la solución a la ecuación cúbica anterior, se requiere de factorizar el polinomio, en este caso, mediante factor común.

x 3  2x 2  3x  0

x x 2  2x  3  0 x1  0

x 2  2x  3  0

ó

Al separar los factores, se obtiene el primer resultado que se busca x 1=0, pero también, se obtiene una ecuación cuadrática, la cual se requiere resolver utilizando la fórmula general o factorización, debido a su sencillez, se factorizará la ecuación.

x 2  2x  3  0

x  3x  1  0 x30

ó

x  1 0

x2  3 x 3  1 Ahora, se requiere analizar algunas características de las funciones cúbicas para poder bosquejar su gráfica. 1. El coeficiente principal es a=1, por lo tanto, la mayor parte de su trayectoria es creciente, parte de  a  . 2. Es una función suave, sin ángulos en su trazo. 3. La función pasa por las raíces encontradas. Por lo tanto, el trazo quedaría más o menos de la siguiente forma. Si se requiere mayor precisión en el trazo, se tiene que expresar una tabla de valores y la gráfica exacta, como se muestra a continuación: 

f (x)

       

x 

      

201 BLOQUE 3


Ejemplo 2. Bosquejar la gráfica de una función de grado cuatro, cuyas raíces son x1  1 , x 2  1, x 3  2 y x 4  3 , además, su coeficiente principal es negativo. Primero se colocan los puntos en el plano cartesiano, posteriormente se analiza las características de la función cuártica. 1. 2. 3. 4.

La función cuártica es suave. Su rango es un subconjunto de los números reales, es decir, no los abarca a todos. El coeficiente principal es negativo, por lo tanto, la función se extiende hacia  por ambos extremos. Debido al número de raíces y a las tres características anteriores, la función puede tener uno o dos puntos máximos. A continuación se bosqueja la gráfica.

Sustituyendo puntos se tiene la gráfica con más detalle, como se muestra a continuación.



f (x)

                  

x 

     

En el ejemplo anterior se puede obtener las raíces a partir de la función, su proceso sería diferente al que hasta ahora has utilizado, debido a que de un inicio no se puede factorizar por factor común para simplificar su solución. Como antes se ha mencionado, el cero o raíz de una función es un valor “x” para el cual f(x)=0. Por ejemplo, el cero de la función fx   x  4 es x=4, porque si se sustituye este valor en la función, ésta será igual a cero.

202

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


A continuación se estudiarán algunos teoremas que ayudarán a conocer los ceros de una función de forma más práctica.

Teorema del residuo y del factor. Se requiere conocer la división entre polinomios como:

x3  5x2  3x  2 entre x  2

x2  2x  8 entre x  1

8x3  27 entre 2x  3

Si se toma x2  2x  8 entre x  1 y se realiza el algoritmo de la división, ésta resultaría de la siguiente manera: Cociente

x 3 Divisor

x 2  2x  8

x 1

Dividendo

2

x  x 3x  8  3x  3

Residuo

5 El resultado se puede escribir como: x 2  2x  8 x 1

 x3 

5 x 1

El Teorema del Residuo se enuncia de la siguiente forma: Si un polinomio f(x) se divide entre el binomio x−r, donde “r” es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(r). Esto significa que el residuo viene a ser el valor que se obtiene al sustituir “a” en el polinomio. Este teorema proporciona una herramienta de comprobación del algoritmo de la división, como se muestra a continuación. Si se considera fx   x2  2x  8 y se evalúa en x=1, se obtiene:

fx   x 2  2x  8 f1  12  21  8 f1  1 2  8

f1  5 Esto significa que el algoritmo de la división que se realizó es correcto, porque el polinomio evaluado en x=1 resulta −5, como el residuo en la división. ¿Por qué es tan importante este teorema para encontrar las raíces o ceros de una función?, porque si el residuo es cero, significa que el binomio por el cual se dividió es un factor, esto es, se ha encontrado otra forma de factorizar un polinomio. Lo anterior da origen al Teorema del Factor, el cual se enuncia a continuación. Si “r” es una raíz de f(x) =0, es decir f(r)=0, entonces x−r es un factor de f(x). Recordando la división anterior, x−1 no es un factor de x2  2x  8 , porque su residuo fue −5.

203 BLOQUE 3


Ahora se retomará el polinomio anterior, pero en esta ocasión se dividirá entre x−2, para comprobar si es factor del polinomio x2  2x  8 .

x 4 x 2  2x  8

x2

 x2  2x 4x  8  4x  8 0 Como el resultado del residuo fue cero, entonces, x−2 es factor del polinomio x2  2x  8 , por lo tanto, éste se puede expresar como:

x2  2x  8  x  2x  4

En el caso de que el polinomio representara a la función fx   x2  2x  8 , x=2 y x=−4 representarían las raíces de la función. Para comprobar se puede evaluar f2 y f 4 .

fx   x 2  2x  8

fx   x 2  2x  8

f2  22  22  8

f 4   42  2 4  8

f2  4  4  8

f 4  16  8  8

f2  0 f 4  0 Ejemplo 1. Si las raíces de la función polinomial son −1, 1, −2, 3, determinar dicha función.

Basándose en el teorema del factor, con cada una de las raíces se forma el factor correspondiente, quedando de la siguiente manera: x1  1 , x 2  1, x 3  2 y x 4  3 Por lo tanto, la ecuación que satisfacen es: Multiplicando los factores queda:

x  1x  1x  2x  3  0

x  1x 2

4

3

2

 x 6  0 2

x  x  7x  x  6  0 La función se expresa:

fx   x4  x3  7x2  x  6

Aunque éste no es el único resultado, porque la función obtenida se extiende infinitamente hacia arriba, otra forma de función que cumple con las raíces anteriores es:

fx   x 4  x3  7x2  x  6 Ésta se pasa por las mismas raíces pero se extiende infinitamente hacia abajo. Para simplificar un poco el procedimiento de la división de polinomios, se puede utilizar otro método menos complicado, el cual es la división sintética, la cual es un proceso abreviado del algoritmo de división que se conoce hasta ahora.

204

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


División sintética. Para ilustrar el procedimiento de la división sintética, se utilizará un ejemplo haciendo hincapié en que esta división sólo se aplica a divisiones con polinomios de una sola variable donde el divisor es de la forma x−r. Procedimiento de la división sintética (Regla de Ruffini). Dividir x3  5x2  3x  2 entre x  2 Procedimiento

Ejemplo

El dividendo debe estar ordenado de forma decreciente. En el primer renglón se ponen sólo los coeficientes del dividendo, sustituyendo por cero las potencias faltantes entre un término y otro del polinomio. A la derecha del último elemento del dividendo se escribe “r” con signo contrario separado, por una línea vertical.

x 3  5x 2  3x  2

5

1

2

3

1

5

3

2

2

1

5

3

2

2

1

5

3

2

2

1 1

5

3

2

2

5

3

2

2

2

14 2

Se traza una línea horizontal que separa al segundo y tercer renglón.

El primer término del dividendo se escribe como el primer término del tercer renglón Después se multiplica el primer término del tercer renglón por el divisor y el producto resultante se escribe en el segundo renglón y en la columna dos.

2 1 1

Se suman los términos de la segunda columna y el valor resultante se multiplica por el divisor, poniéndose dicho resultado en la tercera columna. Este proceso se sigue hasta sumar los elementos de la última columna del divisor.

Los coeficientes que quedan en el tercer renglón, son los coeficientes del cociente, y el último elemento del tercer renglón es el residuo.

1

7

1

5

3

2

2

14

 28

1

 7 17

 30

1

5

3

2

2

14

 28

 7 17

 30

1 x

2

x

x 3  5x 2  3x  2

La división se puede escribir como se muestra.

x2

2

cte. residuo

 x  2 x 2  7 x  17  30

Ejemplo 1.

Dividir la función fx   8x 3  27 entre 2x  3 , utilizando la división sintética.

8

8

0

0

 27

12

18

27

12 18

0

3 2

205 BLOQUE 3


El cociente de esta división es 8x2  12 x  18 , entonces la función dada se puede expresar en términos de sus 3  factores como fx    x   8x 2  12 x  18 o bien fx   2x  3 8x2  12 x  18 . 2 

Ejemplo 2. Demostrar que completa.

x  1

y

x  3

son factores de fx   2x4  x3  14 x2  5x  6 , además, escribir la factorización

Si x  1 es factor, entonces la raíz es 1 y el residuo de la división de f(x) entre x  1 es cero.

2 2

1  14

5

6

1

 11  6

2

3

3

 11

6

0

Con ello se ha comprobado que x  1 es factor. Ahora, si x  3 es factor, la división entre el polinomio resultante 2x3  3 x2  11 x  6 y x  3 debe tener residuo cero, para ello el divisor es −3.

3

 11

6

6

9

6

2 3

2

0

2

3

El polinomio resultante es 2 x2  3 x  2 y se puede factorizar, quedando:

2x2  3 x  2  2x  1x  2 Por lo tanto, f(x) se puede expresar como la multiplicación de sus factores.

fx   2x 4  x 3  14 x 2  5x  6

fx   x  1x  32x  1x  2 A partir de cada factor se obtienen las raíces.

x3  0

x 1 0

x  3

x 1

2x  1  0 x

1

x2  0 x2

2

Actividad: 3 Realiza lo que se indica. I. Determina el cociente y el residuo de las divisiones, utilizando división sintética. 1)

206

fx   2x3  3x2  5x  7 entre x  2

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 3 (continuación)

II.

2)

fx   x 4  1 entre x  1

3)

fx   2x4  2x3  10 x2  11 x  10 entre x  3

4)

fx   x 3  8 entre x  2

Comprueba los resultados anteriores, evaluando la función.

Actividad: 3 Conceptual Identifica las funciones especiales e inversas de una función. Autoevaluación

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Ejemplifica funciones y sus inversas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas.

Calificación otorgada por el docente

207 BLOQUE 3


Cuando se tiene información previa de las raíces de una función es sencillo comprobar si lo son o extraer las faltantes, pero cuando se desconocen, se debe recurrir a otros teoremas que ayudarán a calcularlas.

Teoremas sobre las raíces de una ecuación. Teorema fundamental del Álgebra. Toda ecuación polinomial de grado n  1 tiene al menos una raíz, real o compleja. Teorema. Todo polinomio de grado n  1 puede ser expresado como producto de n factores lineales. Por ejemplo:

fx   x3  2x2  5x  6 se puede factorizar y expresarse como fx   x  3x  1x  2 . gx   x4  2x3  4x2  8 x puede expresarse como gx   xx  2x  2 ix  2 i . Teorema de las n raíces. Toda función polinomial f(x)=0 de grado n tiene exactamente n raíces, siempre y cuando considere la multiplicidad de las raíces. Por ejemplo:

f x   x2  4x  4 tiene dos raíces iguales: 2, 2.

hx   x3  2x2  5x  6 tiene tres raíces: −2, 1, 3. gx   x4  2x3  4x2  8 x tiene cuatro raíces: 0, 2, 2i, −2i, las dos primeras son reales y las otras dos son complejas. Teorema de las raíces racionales. u Si el racional irreducible es una raíz de una función polinomial de coeficientes enteros, entonces “u” es un factor v del término independiente y v es un factor del coeficiente principal. En la siguiente tabla se visualizará el teorema anterior, utilizando las raíces de las funciones de los ejemplos anteriores.

Función

Coeficiente principal

Factores del coeficiente principal

Coeficiente del término independiente

Factores del término independiente

f x   x2  4x  4

1

1

4

 1,  2,  4

hx   x3  2x2  5x  6

1

1

6

 1,  2,  3,  6

208

Probables raíces

1   1 1 2   2 1 4   4 1 1   1 1 2   2 1 3   3 1 6   6 1

Raíces

2 2

−2 1 3

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


fx   2x4  x3  14 x2  5x  6

 1,  2

2

 1,  2,  3, 6

6

1   1 1 2   2 1 3   3 1 6   6 1 1  2 2   1 2 3  2 6   3 2

1 −3 1  2 2

Ejemplo 1.

Encontrar las raíces de la función polinomial fx   4x 3  16 x 2  9x  36 . Basándose en el teorema anterior, las posibles raíces son los cocientes formados por los factores del término independiente entre los factores del coeficiente principal. Esto es: Los factores del término independiente 36, son:  1,  2,  3,  4,  9,  12,  18,  36. Los factores del coeficiente principal 4, son:  1,  2,  4 Las posibles raíces son: 1, 

1 2

, 

1 4

, 2 , 3 , 

3 2

, 

3 4

, 4 , 9 , 

9 2

, 

9 4

, 12 , 6 , 18 , 36 .

Si se prueban las posibilidades con división sintética, se obtiene: Para x=1.

4 16  9 36 4 4

20

20

1

11

11  25

Como el residuo es diferente a cero, x=1 no es raíz de la función. Haciendo el mismo procedimiento, pero con x=−1, encontrarás que tampoco es raíz, se requiere ir sustituyendo una a una las posibles raíces. Ahora se sustituirá

3 2

.

4 16  9  36 6 4 Como el residuo es cero, x 

3 2

22

3 2

33 36 24

0

es raíz de la función.

209 BLOQUE 3


El polinomio que resulta es 4x 2  22 x  24  0 , ahora se procede a factorizar el polinomio de segundo grado.

4x 2  22 x  24  4x  6x  4  0

Por lo tanto, las raíces son:

4x  6  0

x40

4x  6 x

6 4

x  4 

3 2

Por lo tanto, las raíces de fx   4x 3  16 x 2  9x  36 son:

3

3

, 4 . 2 2 No es necesario seguir probando con los demás valores, ya que el teorema de las n raíces dice que si el grado de la función es 3, tiene 3 raíces. , 

La gráfica que describe a la función es: 

f (x)

             

x      

      

Sitios Web recomendados: Ingresa a estos sitios para que refuerces tu aprendizaje. http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio nes/polinomial/Funcion_Polinomial_5_comparacion.htm http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio nes/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion.htm http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio nes/polinomial/Funcion_Polinomial_7_ecuacion.htm http://tutormatematicas.com/ALG/Ecuaciones_polinomios_soluciones_ceros_rai ces.html

210

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Cierre Actividad: 4 Realiza lo que se indica. 1. Encuentra todas las raíces reales, para que escribas la forma factorizada de las siguientes funciones polinomiales. a) f( x )  x 4  12 x 2  64

b) T( x )  x 3  x 2  10 x  8

c) G( x )  x 3  5x 2  2x  10

d) P( x )  x 4  5x 2  36

2. Encuentra todos los ceros (reales e imaginarios) de la función F( x )  6x 3  2x 2  6x  2 .

211 BLOQUE 3


Actividad: 4 (continuación) 3.

Factoriza directamente por agrupación de términos, la regla de correspondencia de la función f( x )  x 3  5x 2  2x  10 .

212

4.

Bosqueja la gráfica de la función G( x )  x 3  x 2  6x , utilizando sus raíces.

5.

Encontrar los ceros racionales e irracionales de la función: L( x )  2x  3 x 2  5x .

6.

Expresa en factores lineales la función de tercer grado H( x )  x 3  x 2  16 x  20 .

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Actividad: 4 (continuación) 7.

f(x) es una función de tercer grado cuya gráfica corta al eje X en −4, 0 y

3 2

, encuentra su

regla de correspondencia y bosqueja la gráfica.

8.

Se desea hacer una caja de cartón corrugado, la cual tenga forma rectangular de 20 cm por 10 cm, cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Encontrar las dimensiones de la caja sabiendo que el volumen es de 156 cm3.

9.

La caja de un trailer que transporta mercancías para una cadena de supermercados, tiene una capacidad de 120 m3, si el ancho es x, el largo 3x+1 y la altura x+1 metros, ¿cuáles son sus dimensiones?

Actividad: 4 Conceptual Reconoce la aplicación de las funciones cúbicas y cuárticas. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica las funciones cúbicas y Aprecia la aplicabilidad de las cuárticas en situaciones reales. funciones cúbicas y cuárticas . C MC NC Calificación otorgada por el docente

213 BLOQUE 3


214

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES


Emplea funciones racionales.

Competencias disciplinares básicas:       

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:   

Construye e interpreta modelos con funciones racionales, aplicando razones entre funciones racionales para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones racionales.

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 07 horas


Secuencia didáctica 1. Funciones racionales. Inicio



Actividad: 1 Después de analizar el ejemplo, en equipo, determina el dominio de las siguientes funciones.

Función

fx  

x3

2x  9

fx  

x3

fx  

fx  

fx  

f( x ) 

x2  1

x2  9 4x 2  3x  0

5x

x4x  3  0

2

4x  3x

x0

4x  3  0 x

3  Dom :   0,   4 

3 4

x2 2

x  8x  15

2 x

x 2  4x x 3  3x 2  3x  1 3x 2  6 x 4  12 x 2  64

Actividad: 1 Conceptual Reconoce el dominio de la función racional. Autoevaluación

216

Dominio

2x

fx  

fx  

Ceros del denominador

Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Distingue el dominio de la función racional. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés al realizar la actividad y demostrar sus conocimientos previos.

Calificación otorgada por el docente

EMPLEA FUNCIONES RACIONALES


Desarrollo Concepto de función racional.

Son las funciones que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma: Px  donde Px  y Q x  son funciones polinomiales sólo que Q x   0 . fx   Qx  A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se encuentra el dominio de algunas funciones racionales, además, se muestra la gráfica de cada una de ellas. Ejemplo 1.

fx  

x2  x  1 x2  x  1

El dominio de la función es el conjunto de los números reales, menos aquellos valores que indefinan la función, esto es, cuando x 2  x  1  0 . Para encontrar la solución de la ecuación, se puede utilizar la fórmula general.

a 1

x

b  1 c 1

x x

 b  b 2  4ac 2a   1 

 12  411 21

1 1 4 2

1  3 2 Con el resultado anterior, se concluye que no existen números reales que sean solución de la ecuación, por lo tanto, el dominio de la función son todos los números reales. Su gráfica se presenta a continuación. x

f (x)

    







x 

   

Ejemplo 2. x 1 fx   x 1 Ahora, el dominio de la función depende de la solución a la ecuación x  1  0 , y al despejarla se obtiene x  1. El dominio de la función es: Dom:    1

217 BLOQUE 4


La gráfica es:  f (x)                    

x

     

Ejemplo 3. 24 x  6 fx   2 8x  62 x  75 Se requiere resolver la ecuación 8x 2  62 x  75  0 , lo cual se realiza mediante la fórmula general.

a8 b  62 c  75

x x x

 b  b 2  4ac 2a  62  

62 2  4875  28

 62  3844  2400 16

 62  1444 16  62  38 x 16  62  38 3 x1     1.5 16 2  62  38 25 x2    6.25 16 4 x

El dominio de la función es: 25   3 Dom :    ,   4  2 La gráfica es:

 f (x)                         

218

x

   

EMPLEA FUNCIONES RACIONALES


Ejemplo 4. 4 fx   x En este caso el único valor en el cual se indefine la función es x  0 , por lo que el dominio es:

Dom :   0 La gráfica es:  f (x)                     

x

      

Ejemplo 5.

fx   

3

x  42

1

Ahora se tiene que resolver la ecuación x  42 , para ello sólo se requiere despejar.

x  42  0 x4 0 x40 x4 Por lo tanto, el dominio son todos los números reales menos el cuatro.

Dom:   4

La gráfica es:

f (x)

        

x 

      

219 BLOQUE 4


Actividad: 2 Anota en las líneas el dominio de cada una de las gráficas y selecciona la función correspondiente, de la que se ofrece al final. y

y

     

x

y

x

    

x

     







































_________________________

__________________________

__________________________

Dom:____________________

Dom:_____________________

Dom:_____________________

y

           

x 

    

                       

y

y

    

x         

      

x 

      

_________________________

__________________________

__________________________

Dom:____________________

Dom:_____________________

Dom:_____________________

hx  

k x  

1 x 1 4

x2  1

Actividad: 2 Conceptual Identifica el dominio de la función racional. Autoevaluación

220

gx   Qx  

4

Vx  

2

1

x 1 1 fx   5 x2

x 1 x x 2  2x  3

Evaluación Producto: Gráficas. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Selecciona la gráfica de funciones Aprecia la utilidad del dominio en racionales de acuerdo a su la identificación de gráficas. dominio. C MC NC Calificación otorgada por el docente

EMPLEA FUNCIONES RACIONALES


Función racional reducible. Dentro de las funciones racionales se encuentran las que son reducibles, es decir, aquellas que tienen factores iguales en el numerador y denominador, de tal manera que se pueden eliminar y mostrar la función simplificada. Para reducir las funciones racionales, se recurre a la factorización, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. x2  4 fx   x2 Es esencial determinar primero el dominio de la función, la cual parte de encontrar los ceros del denominador, el cual, en este caso se convierte en cero cuando x=−2, por lo tanto, el dominio es:

Dom:    2 Observando la función, se deduce que el denominador es una diferencia de cuadrados, y se factoriza mediante binomios conjugados. A continuación se muestra la forma en que se reduce la función. x 2  4 x  2x  2   x2 x2 x2

fx  

Por lo tanto, la función queda:

fx   x  2

con x  2

La función reducida es una recta con pendiente uno y ordenada en el origen −2, su gráfica se muestra a continuación. Se debe dibujar un “punto hueco” en las coordenadas (2, −4), ya que en ese punto se indefine la función racional. 

f (x)

    







x 

      

221 BLOQUE 4


Ejemplo 2.

gx  

x 3  4x

x El dominio de la función es:

Dom :   0

El denominador se puede factorizar por factor común, de la siguiente manera:

gx  

x 3  4x x x 2  4   x2  4 x x

Por lo tanto, la función queda:

gx   x 2  4

con x  0

La función reducida es una parábola con vértice en (0, 4), sólo que al dibujar el punto correspondiente a éste, debe ser un “punto hueco”, porque es donde la función se indefine. 

g (x)

      









x 

   

Ejemplo 3.

hx  

x3  8

x2 El dominio de la función es:

Dom:   2

El denominador se puede factorizar por diferencia de cubos como se muestra a continuación:

hx  

x 3  8 x  2 x 2  2x  4 2  x 2x4 x2 x2

Por lo tanto, la función queda:

hx   x 2  2x  4

con x  2

Completando el trinomio cuadrado perfecto en la función cuadrática anterior, se obtiene el vértice.

222

EMPLEA FUNCIONES RACIONALES


hx   x 2  2x  4

 

hx   x 2  2x  12  12  4 hx   x  1  3 2

La parábola que describe tiene su vértice en el punto (−1, 3 ) y se abre hacia arriba, también tiene un “punto hueco” en x=2; para encontrar la altura, el valor donde se indefine se sustituye en la función reducida.

h2  22  22  4  12 Por lo tanto, el “punto hueco” tiene coordenadas (2, 12) y su gráfica queda: h(x)                  



x 

Sitios Web recomendados: En este sitio encontrarás ejercicios concernientes a la función racional. http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionesracionales.htm http://www.x.edu.uy/racional.htm

Actividad: 3 En equipo, reduce las siguientes funciones racionales. 1)

fx  

x 3  x 2  4x  4 x2  4

223 BLOQUE 4


Actividad: 3 (continuación) Tx  

2)

3)

gx  

4)

px  

5)

mx  

6)

k x  

2x 4  8x 2 4x  8

2x 4  4x 4x

2x  4 x2

x 2  6x  8 x2  4

2x 4  7 x 3  4x 2  4x 2x 2  3x  2

Actividad: 3 Conceptual Identifica el método de factorización para reducir una función racional. Coevaluación

224

Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Establece la función reducida de una función racional. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Respeta la opinión de sus compañeros y colabora de forma activa en el equipo.

Calificación otorgada por el docente

EMPLEA FUNCIONES RACIONALES


Cierre Actividad: 4 Las gráficas corresponden a las funciones descritas en la actividad anterior. Escribe debajo de cada una de ellas la función racional, la función reducida, el dominio y rango. 

y

   



  

x

 



x 

y







y





x















________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

Dom: Rango:

Dom: Rango:

Dom: Rango:

y

y





x 

 



 x























________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

Dom: Rango:

Dom: Rango:

Dom: Rango:

Actividad: 4 Conceptual Identifica la gráfica de una función racional, su dominio y rango. Autoevaluación

Evaluación Producto: Gráficas. Saberes Procedimental Distingue la gráfica de la función racional, su dominio y rango. C

MC







 

x

 

y

























NC

Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad con entusiasmo.

Calificación otorgada por el docente

225 BLOQUE 4


Secuencia didáctica 2. Gráficas de funciones racionales. Inicio



Actividad: 1 Resuelve las siguientes ecuaciones. 1)

x 4  2x 3  x 2  0

2)

2x 2  x  15  0

3)

2x 4  7x 3  2x 2  13x  6  0

4)

4x 2  x  9  0

Actividad: 1 Conceptual Identifica el método para resolver ecuaciones polinomiales. Autoevaluación

226

Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Aplica diferentes métodos de Muestra interés al realizar la solución de ecuaciones actividad. polinomiales. C MC NC Calificación otorgada por el docente

EMPLEA FUNCIONES RACIONALES


Desarrollo Para graficar una función racional, se requiere sustituir valores alrededor de las indefiniciones (valores de “x” donde el denominador es cero) y valores extremos (muy grandes y muy pequeños).

x 1 , tiene su indefinición en x=3, por lo que se requiere sustituir valores muy x3 cercanos a 3, también es necesario sustituir valores muy grandes y pequeños, como se muestra en las siguientes tablas. Por ejemplo, en la función fx  

x

fx  

x 1

fx  

x

x3

x 1 x3

x

fx  

x 1 x3

2

-1

-30

0.94

14

1.18

2.5

-3

-28

0.94

16

1.15

2.9

-19

-26

0.93

18

1.13

2.99

-199

-24

0.93

20

1.12

3

indefinición

-22

0.92

22

1.11

3.01

201

-20

0.91

24

1.10

3.1

21

-18

0.90

26

1.09

3.5

5

-16

0.89

28

1.08

4

3

-14

0.88

30

1.07

Con las tablas se puede concluir que: 1. En la primera se observa que para valores muy cercanos a x=3 por la izquierda, la función tiende a  ; y cuando se sustituyen valores muy cercanos a x=3 por la derecha, la función tiende a  . 2. En la segunda tabla se observa que para valores muy pequeños la función se acerca a 1. 3. En la tercera tabla se observa que para valores muy grandes, la función se acerca a 1. Analizando la función se pueden obtener otros datos que ayudan a visualizar la gráfica, por ejemplo: 1. Si se sustituye la función en x=3, no se obtiene valor alguno en la función.

f3 

2.

3 1

33 Si se realiza el cociente de la función, se tiene:

2 0

no está definido

1 x  3 x 1 x3 2 Se puede expresar como:

fx  

x 1 x3

fx   1  Al sustituirse valores muy grandes o muy pequeños

2 x3

2 x3 se aproxima a cero y la función se acerca a 1.

227 BLOQUE 4


Estos dos análisis coinciden, por lo tanto, se puede trazar dos rectas auxiliares que acoten estos comportamientos, a estas rectas se les conoce como asíntotas. f (x)         







x 

f (x)









 

Graficando algunos de los puntos se puede orientar la forma de la función.

  







x 



Su gráfica queda de la siguiente manera.

  

f (x)         







x 

   

Para bosquejar la gráfica de una función racional, se requiere conocer dónde están situadas las rectas asíntotas, es por ello que se debe diferenciar los tipos de asíntotas.

228